Fonds Grothendieck, cote n° 72, pages 101–112

Pour (24), on voit que z_i z_{i+1} - \rho\, z_{i+1} z_i = \underbrace{\langle a_{i+1}, a'_i\rangle}_{\in k^*} a'_{i+1}\otimes a_i - \rho \underbrace{\langle a_i, a'_{i+1}\rangle}_{\in k^*} a'_i \otimes a_{i+1} \qquad (\rho \in k^*) les deux « \in k^* » sont écrits sous les crochets, reliés à eux par une flèche montante ; « \rho \in k^* » est écrit sous le membre de gauche ~~qui doit~~ est \neq 0 la famille donc \lbrace a'_{i+1}\otimes a_i,\ a'_i\otimes a_{i+1}\rbrace est libre dans \operatorname{End}(E) — et l'image par \operatorname{End}(E) \to E, u \mapsto u(x) formée de \lbrace a'_{i+1}(x)\, a_i,\ a'_i(x)\, a_{i+1}\rbrace, qui est libre si l'image est formée des le passage de « donc » à « est libre si » est encadré à gauche et annulé par quatre longs traits obliques ; la lecture en est incertaine \langle a_{i+1}, a'_i\rangle\, a'_{i+1}(x)\, a_i - \rho \langle a_i, a'_{i+1}\rangle\, a'_i(x)\, a_{i+1}, que k a_i \oplus k a_{i+1} = \mathfrak{h}_i + \mathfrak{h}_{i+1}, ce qui ~~prouve~~ signifie aussi que la lettre gothique est lue \mathfrak{h} ; elle revient à la page 102 (a'_i, a'_{i+1}) : E \longrightarrow k^2 = k e_1 \oplus k e_2 est surjectif, en effet ~~l'image de~~ sa restriction à k a_{i+1} \oplus k a_i a la matrice ~~a_{i+1} \mapsto (\langle a_{i+1}, a'_i\rangle, 0), donc l'image de E contient k e_1, en fait l'image~~ sous \langle a_{i+1}, a'_i\rangle dans la ligne biffée, « \in k^* » avec une flèche montante \begin{pmatrix} \langle a_{i+1}, a'_i\rangle & * \\ 0 & \langle a_i, a'_{i+1}\rangle \end{pmatrix} de déterminant \langle a_{i+1}, a'_i\rangle \langle a_i, a'_{i+1}\rangle \in k^\times, en vertu de (25), lui-même conséquence immédiate de (13) \lambda_i \in k^\times, compte tenu de (4). Enfin (25') est une conséquence immédiate de (25),

cqfd.

Remarque. Si E est loc. libre de rg n+2, alors on trouve des conditions équivalentes (\bar A), ~~(B)~~ et (\bar B), en renforçant (A), (B), remplaçant (9) de (A), et (1) de (B), respectivement par

(9')(a_i)_{0 \leq i \leq n+1} forment une base de E (12')(a'_i)_{-1 \leq i \leq n} forment une base de E.

ainsi en (12') ; les a'_i étant des formes linéaires, on attendrait le dual de E ~~Quand ces conditions~~ Elles sont aussi équivalentes à la conjonction de (A), de (B), avec la condition (26) \qquad E_{n+1} = E . ~~Sont alors \xi'_0 = a'_{-1}~~ ~~Si ces conditions sont satisfaites, complétons~~

Soit a'_{-1} [\xi'_0 = a'_{-1}] une forme lin. sur E telle que (27) \operatorname{Ker} a'_{-1} = k(a_0, \dots, a_n) elle est donc déterminée, au facteur scalaire \in k^* près, par la donnée des z_i (0 \leq i \leq n), de ce passage est encadré à gauche et annulé par des traits obliques croisés ; le numéro « (27) » est d'une lecture incertaine (on pourrait lire « (47) »)

Idem pour cor. 1 [conditions (\bar A'), (\bar B'), équivalentes à (A'), (B') + (26)]

Proposition. Soient E un k-module loc. libre de rg n+2, z_i (0 \leq i \leq n) des pseudo-réflexions dans E, z_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i \qquad (0 \leq i \leq n), (27) ~~satisfaisant~~ ~~z_i z_j = z_j z_i dans \underline{\check P}(E).~~ (28) Pour qu'il existe un (localement) s_0 \in E tel que les conditions (\bar A), (\bar B) du ) (remarque ci-dessus), ~~soient~~ satisfaites (conditions de commutation et de « non-dég »), il f. et il s. « commutation et » est écrit au-dessus de la ligne et appelé par un trait

que les conditions suivantes soient satisfaites.

a)(a_i)_{0 \leq i \leq n} est ~~libre~~ strictement libre dans E (i.e. engendre un sous-Module facteur direct de rg n+1) a')(a'_i) est strictement libre dans E^{\vee} b)\langle a_i, a'_j\rangle = 0 0 \leq i < j \leq n, j \neq i+1 (ou encore \mathfrak{h}_i \subset H_j pour ces i, j) c) \langle a_i, a'_{i+1}\rangle \in k^* (0 \leq i \leq n-1) (\Longleftrightarrow \mathfrak{h}_i \not\subset H_{i+1} en chaque fibre, 0 \leq i \leq n-1)

[Les conditions impliquent ~~donc~~ (28) \langle a_i, a'_j\rangle = 0 pour 0 \leq i, j \leq n, i, j non consécutifs).

Dém. La nécessité de a) b) c) est claire, ~~prouvons~~ ~~celle de a'), prouvons~~ ~~prouvons conditions du th. 1 propriété de stabilité des par dualité. Ces conditions E_n \subset E_{n+1} = E hyperplan, et soit s'_0 une~~ « c) » est ajouté au-dessus de la ligne ; la suite, jusqu'à « soit s'_0 une », est biffée et, pour l'essentiel, annulée par des traits obliques ; la lecture en est très incertaine

On suppose donc que s_0 satisfait les conditions dites, ~~on pose a_{-1} = s_0, et on définit~~ a_{-1} = s_0 \in E, \qquad a'_{n+1} \in E^{\vee} défini par \operatorname{Ker} a'_{n+1} = k(a_{-1}, a_0, \dots, a_{n-1}) ~~d'où~~ \begin{cases} \langle a_i, a'_{n+1}\rangle = 0 & -1 \leq i \leq n-1 \\ \langle a_n, a'_{n+1}\rangle \in k^* \end{cases} devant la seconde ligne, un début biffé « c_n = » surmonté d'un mot illisible Considérons \begin{aligned} &(a_{-1}, a_0, \dots, a_n) \in E^{n+2} \\ &(a'_0, a'_1, \dots, a'_{n+1}) \in E^{\vee\, n+2} \end{aligned} et la matrice qu'ils forment, i.e. une matrice triangulaire, avec sur la diagonale

c_{-1} = \langle a_{-1}, a'_0\rangle, \quad c_0 = \langle a_0, a'_1\rangle, \quad \dots, \quad \& \ c_n = \langle a_n, a'_{n+1}\rangle donc de déterminant égal à \Delta = c_{-1} c_0 \cdots c_n = \underbrace{\lambda_n}_{\in k^\times} \underbrace{c_n}_{\in k^\times} \in k^\times , devant \Delta, un « et » biffé ; les deux « \in k^\times » sous \lambda_n et c_n sont reliés à eux par une flèche montante ce qui prouve que ~~les~~ (a'_0, \dots, a'_n, a'_{n+1}) forment une base de E^{\vee}, d'où (a').

Inversement, supposons a) a') b) c) satisfaits, cherchons s \in E satisfaisant, avec z_0, \dots, z_n, la condition (\bar B')(17) pour i = -1, ~~ce qui~~ équivaut aux conditions (b) de (\bar B'). En ~~Tout d'abord~~ suit un passage biffé et annulé par des traits en zigzag, dont on ne lit que des fragments : « (28) , Rappelons la situation pour (17) » ; puis, annulé par des traits obliques croisés : La condition (7) est déjà satisfaite par hypothèse, La condition (8) signifie \langle s_0, a'_i\rangle a_i = 0 pour 1 \leq i \leq n, et comme a_i est libre, ceci équivaut à (29) \langle s_0, a'_i\rangle = 0 1 \leq i \leq n

— En vertu de a'), l'ens. des s_0 satisfaisant (18) pour i = -1 (pour s_0 = a_{-1}) ~~ou conditions~~ est un sous-module facteur direct, loc. libre de rang (n+2) - n = 2, ~~Soit~~ soit F. Pour tenir compte de (\bar B')(19) pour i = 0, (Soit D \subset F la droite, définie par les conditions \langle s_0, a'_i\rangle = 0 0 \leq i \leq n dans E,) ~~donc~~ on a la seule condition \langle s_0, a'_0\rangle \in k^\times dans F. La condition (19) \lambda_n \in k^* signifie compte tenu de (6) et (4), que \langle s_0, a'_0\rangle \in k^*, ~~\langle s_0, a'_0\rangle \in~~ i.e. s_0 \notin D sur chaque fibre. « Pour tenir compte de (\bar B')(19) pour i = 0, » est écrit au-dessus de la ligne ; le numéro (18) pourrait être un (17) surchargé

Reste à exprimer (\bar B')(18), pour ceci considérons ~~la condition formes lin. a'_{-1} qui s'annulent sur les~~ ~~le module~~ L = E / k(a_0, \dots, a_n), et l'homom. ~~a_i~~ induits par E \to L, F \to L, ~~on sait~~ je dis que c'est un épi, i.e. que c'est un épi sur chaque fibre ~~point~~. Comme on est ramené au cas d'un corps de base, il suffit de prouver que dans ce cas F on n'a pas F \subset k(a_0, \dots, a_n), ~~ou encore que~~ Or Or F \cap k(a_0, \dots, a_{n-1}) = (0), car le système des n formes linéaires a'_1, \dots, a'_n sur k(a_0, \dots, a_{n-1}) a une matrice triangulaire, de déterminant le produit des c_i = \langle a_i, a'_{i+1}\rangle (0 \leq i \leq n-1), donc \in k^*. Comme k(a_0, \dots, a_{n-1}) est de codim 1 dans k(a_0, \dots, a_n), et \dim F = 2, cela implique qu'on ne peut avoir F \subset k(a_0, \dots, a_n). « (\bar B') » est écrit au-dessus de « (18) », qu'un trait oblique barre peut-être ; dans la phrase « Comme … de codim 1 dans … », les derniers indices des deux modules sont mal formés

Soit D' \Delta = \operatorname{Ker}(F \to L), qui est une droite de F. La condition (\overline{18}) sur s_0 signifie que s_0 \notin \Delta en chaque fibre. Donc la conjonction de (\overline{17}) (\overline{18}) (\overline{19}) signifie que s_0 est une section de F (fibré vect. de rg 2) qui n'est dans D ni \Delta en aucune fibre — il en existe toujours localement, ok.

Classes de Stiefel-Whitney et classe de Brauer de la forme invariant

inscrit à l'encre en haut à droite du feuillet de garde (page 106), de papier chamois, qui ne porte rien d'autre ; « invariant » est écrit ainsi. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

* Mais il faut supposer f \mid \mathcal{O}_S[a_1, \dots, a_n] lisse, donc \sigma = \beta_n inversible cette note est écrite en haut à droite de la page ; l'astérisque renvoie à celui qui suit « \mathcal{O}_S[a_1, \dots, a_n] » cinq lignes plus bas

Classes de Stiefel-Whitney.

Supposons f_V lisse et 2 inv., i.e. 2 \delta(f_V) = (\beta_0^{\,n} \beta_1^{\,n-1} \cdots \beta_{n-1})\, \rho \quad \text{inv. et } 2 \text{ inv.} devant la parenthèse, un chiffre biffé (un 2 ?) ; le facteur final, lu \rho, est d'une lecture incertaine (Calculons w_i(f_V). Pour ceci, on va procéder par récurrence en calculant l'orthogonal de \mathcal{O}_S[a_1, \dots, a_n] *, Comme \Psi_V(a_i) = -(\beta_0 \cdots \beta_{i-1})\, a'_i , c'est aussi l'orthogonal de a'_1, \dots, a'_n, donc la projection orthogonale de s_0 - \frac{1}{\rho}\pi de s_0 = a_{-1} sur V, dans E = V \oplus \mathcal{O}_S \pi, soit p = \mathrm{id} - \frac{1}{\rho}\, \pi' \otimes \pi la dite projection [notée \tilde s_0] « orthogonale » et « s_0 - \frac{1}{\rho}\pi » sont écrits au-dessus de la ligne ; le \mathcal{O} de \mathcal{O}_S \pi est souligné [\ \tilde s_0 = -\frac{1}{\rho}\bigl(\xi_0 a_0 + \xi_1 a_1 + \cdots + \xi_n a_n\bigr) \begin{cases} \xi_n = 1 \\ \xi_{n-1} = 2 \\ \xi_i = L_{n-i}(\beta_{i+1}, \dots, \beta_{n-1}) = \rho_{i+1,\,n-1} \\ \xi_0 = L_n(\beta_1, \dots, \beta_n) = \rho_{1,n} = \sigma \end{cases} ] le \xi_0 de la dernière ligne est écrit par-dessus une autre lettre. La formule générale donnerait pour i = 0 : L_n(\beta_1, \dots, \beta_{n-1}) = \rho_{1,n-1}, alors que la dernière ligne porte \beta_n et \rho_{1,n} ; l'écart est sur la page f_V(\tilde s_0) = f_E\Bigl(s_0 - \frac{1}{\rho}\pi\Bigr) = \underbrace{f_E(s_0)}_{0} + \frac{1}{\rho^2} \underbrace{f_E(\pi)}_{-\tilde\rho\tilde\sigma} - \frac{1}{\rho}\, \underbrace{\varphi(s_0, \pi)}_{\langle s_0,\, \psi(\pi)\rangle \,=\, \langle s_0,\, -\sigma\pi'\rangle \,=\, -\sigma} le signe devant \frac{1}{\rho}\varphi(s_0, \pi) est surchargé ; la ligne suivante le lit comme un moins. Sous \varphi(s_0, \pi) il écrit \langle s_0, \psi(\pi)\rangle, avec \psi(\pi) souligné et -\sigma\pi' en dessous, puis -\sigma sous une accolade ; la mise en ligne est nôtre = -\frac{\tilde\rho\tilde\sigma}{\rho^2} + \frac{\sigma}{\rho} = \frac{1}{\rho^2}\Bigl[\underbrace{\rho\sigma}_{2\tilde\rho\tilde\sigma} - \tilde\rho\tilde\sigma\Bigr] = \frac{\tilde\rho\tilde\sigma}{\rho^2} \partial\bigl(f_V(\tilde s_0)\bigr) = \partial(\tilde\rho\tilde\sigma) = \partial(\tilde\rho_{0,n-1}\, \tilde\rho_{1,n-1}) sous le premier \partial : Bockstein H^0(\ ,\, \mathbb{G}_m) \to H^1(\ ,\, \mu_2)

Donc on trouve w_*\bigl(f_{V_{n+1}}(\beta_0, \dots, \beta_{n-1})\bigr) = \bigl[1 + \underbrace{\partial(\tilde\rho_{0,n-1}\, \tilde\rho_{1,n-1})}_{\in H^1(-,\, \mu_2)}\bigr]\, w_*\bigl(f_{V_n}(\beta_1, \dots, \beta_{n-1})\bigr) l'indice du second V est mal formé (lu V_n) ; dans H^1(-, \mu_2), le coefficient est écrit par-dessus un autre, biffé On trouve ainsi de proche en proche, pourvu que les calculs aient un sens i.e. que ~~tous~~ les \tilde\rho_{i,n-1} soient inversibles (0 \leq i \leq n-1) \begin{aligned} w_*\bigl(f_{V_{n+1}}(\beta_0, \dots, \beta_{n-1})\bigr) = {}& \bigl[1 + \partial(\tilde\rho_{0,n-1}\, \tilde\rho_{1,n-1})\bigr] \bigl[1 + \partial(\tilde\rho_{1,n-1}\, \tilde\rho_{2,n-1})\bigr] \\ & \cdots \bigl[1 + \partial(\tilde\rho_{n-2,n-1}\, \tilde\rho_{n-1,n-1})\bigr]\, w_*\bigl(f_{V_2}(\beta_{n-1})\bigr) \end{aligned} dans le dernier crochet, les indices sont surchargés et récrits en dessous : n-2, n-1 et n-1, n-1 De même, on trouve, w_*\bigl(f_{V_2}(\beta_{n-1})\bigr) = \bigl(1 + \partial[\underbrace{\tilde\rho_{n-1,n-1}}_{4 - \beta_{n-1}}\, \underbrace{\tilde\rho_{n,n-1}}_{1}]\bigr) \underbrace{\bigl(1 + \partial(\underbrace{\tilde\rho_{n,n-1}}_{1}\, \underbrace{\tilde\rho_{n+1,n}}_{1})\bigr)}_{1} \bigl(1 + \partial(\beta(4 - \beta))\bigr) = \bigl[1 + \partial\bigl((2 + \alpha)(2 - \alpha)\bigr)\bigr] un long trait oblique traverse le membre de droite de la première ligne, qui semble remplacé par la seconde ; sous \tilde\rho_{n,n-1} du premier facteur, un signe de répétition ; entre (2+\alpha) et (2-\alpha), un signe surchargé En En effet, faisons le calcul pour f_V(\beta) a_0, a_1 , si on veut \begin{cases} f(a_0) = 1 \qquad \partial f(a_0) = 0 \\ a_0^{\perp} = \lbrace x a_0 + y a_1 \mid 2x - \beta y = 0 \ \text{ i.e. } \ x = \frac{\beta}{2} y \rbrace \end{cases} devant « x = \frac{\beta}{2} y », un « y = » biffé engendré par \beta a_0 + 2 a_1 = u \begin{aligned} f(u) &= \beta^2 \underbrace{f(a_0)}_{1} + 4 \underbrace{f(a_1)}_{\beta} + 2\beta \underbrace{\varphi(a_0, a_1)}_{-\beta} \\ &= 4\beta - \beta^2 = \beta(4 - \beta) \end{aligned} devant \beta^2 f(a_0), un début biffé « \beta^2 + 4\beta ». Le calcul est juste pour \varphi forme polaire de f d'où w_* la formule annoncée.

On trouve, en résumé, w_*\bigl(f_V(\beta_0, \dots, \beta_{n-1})\bigr) = \Bigl(\prod_{0 \leq i \leq n-2} \bigl(1 + \partial(\tilde\rho_{i,n-1}\, \tilde\rho_{i+1,n-1})\bigr)\Bigr) \Bigl(1 + \partial\bigl(\underbrace{\beta_{n-1}(4 - \beta_{n-1})}_{(2 + \alpha_{n-1})(2 - \alpha_{n-1})}\bigr)\Bigr) formule valable si tous les \tilde\rho_{i,n-1} (0 \leq i \leq n-1) sont inversibles, ainsi que les \beta_i (0 \leq i \leq n-1).

Bien sûr, on aurait pu conduire le calcul en sens inverse, en partant de (a_0, \dots, a_{n-1}) etc, on trouverait-on d'autres expressions remarquables ?

Calculons w_*(f_E), ~~si on suppose~~ on sait que V^{\perp} = \mathcal{O}_S \pi et f(\pi) = -\tilde\rho\tilde\sigma et on trouve donc un facteur supplémentaire 1 + \partial(\underbrace{-\tilde\rho\tilde\sigma}_{-\tilde\rho_{0,n-1}\, \tilde\rho_{1,n-1}}) . Posons donc \begin{aligned} \partial(-1) &= \varepsilon \\ \partial(\tilde\rho_{i,n-1}) &= \eta_i \qquad 0 \leq i \leq n-1 \\ \partial(\beta_{n-1}) &= \eta_n \end{aligned} \qquad \text{éléments de } H^1(-, \mathbb{Z}/2) un tilde se trouve entre \tilde\rho_{i,n-1} et \beta_{n-1} ; il peut appartenir à l'une ou l'autre lettre On trouve w_*(f_V) = \prod_{0 \leq i \leq n-1} (1 + \eta_i + \eta_{i+1}) NB w_{n+1}(f_V) = 0 ! w_*(f_E) = (1 + \varepsilon + \eta_0 + \eta_1) \prod_{0 \leq i \leq n-1} (1 + \eta_i + \eta_{i+1}) dans la première formule, un signe biffé avant le « = »

Si n = 2, ceci donne \begin{cases} \varepsilon = \partial(-1) \\ \eta_0 = \partial(\tilde\rho) = \partial(\underbrace{4 - \beta_0 - \beta_1}_{-(\alpha_0 + \alpha_1)}) = \partial\bigl[-(\alpha_0 + \alpha_1)\bigr] \\ \eta_1 = \partial\tilde\sigma = \partial(4 - \beta_1) = \partial(2 - \alpha_1) \\ \eta_2 = \partial\beta_1 = \partial(2 + \alpha_1) \end{cases} w_* f_V = (1 + \eta_0 + \eta_1)(1 + \eta_1 + \eta_2) avec hyp. parasite que \tilde\sigma = 2 - \alpha, soit inversible. Un calcul plus satisfaisant, sans cette hypothèse, s'obtient en prenant l'orthogonal de \mathcal{O}_S(a_0, a_2) engendré par u = \beta_0 a_0 + 2 a_1 + a_2, on trouve f(u) = -\beta_0(\alpha_0 + \alpha_1), et f(a_0) = 1, f(a_2) = \beta_0\beta_1 syst. orthogonal. pose donc « soit » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; le signe entre \tilde\sigma et 2 - \alpha est surchargé \begin{aligned} \varepsilon &= \partial(-1) \\ \eta_0 &= \partial(\beta_0) \\ \eta_1 &= \partial(\beta_1) \\ \eta_2 &= \partial\bigl[-(\alpha_0 + \alpha_1)\bigr] \end{aligned} et on trouve \begin{aligned} w_*(f_V) &= (1 + \eta_0 + \eta_2)(1 + \eta_0 + \eta_1) \quad \text{i.e.} \\ w_1(f_V) &= \eta_1 + \eta_2 \\ w_2(f_V) &= (\eta_0 + \eta_1)(\eta_0 + \eta_2) = \eta_0^2 + (\eta_0\eta_1 + \eta_1\eta_2 + \eta_2\eta_0) \end{aligned} dans les deux dernières lignes, un début biffé et illisible après le « = »

On a c(f_V) \overset{\text{dfn}}{=} w_2(f_V) + w_1(f_V)^2 = (\eta_0 + \eta_1 + \eta_2)^2 + (\eta_0\eta_1 + \eta_1\eta_2 + \eta_2\eta_0) (La condition n. et s. pour que le fibré en droites projectives associé soit isomorphe à celui défini par la forme x^2 + y^2 + z^2). Donc \operatorname{Br}(f_V) \overset{\text{dfn}}{=} c(f_V) - \underbrace{c(X^2 + YZ)}_{\varepsilon^2} = (\varepsilon + \eta_0 + \eta_1 + \eta_2)^2 + (\eta_0\eta_1 + \eta_1\eta_2 + \eta_2\eta_0) dans c(X^2 + YZ), un mot biffé devant X^2 L'annulation de cette expression est n. et s. pour que le fibré en droites projectives ~~associé~~ défini par f_V soit associé à un fibré vect. de rang 2, en fait, c'est la classe de Brauer de ce fibré … Le calcul universel se fait sur S_0 = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\beta_0, \beta_1]_{2\beta_0\beta_1(4 - \beta_0 - \beta_1)} On notera que dans H^1(S_0, \mathbb{Z}/2), les ~~sections~~ éléments \varepsilon, \eta_0, \eta_1, \eta_2 forment une base. Il est plausible que les 10 expressions \varepsilon^2,\ \eta_0^2,\ \eta_1^2,\ \eta_2^2,\ \varepsilon\eta_0,\ \varepsilon\eta_1,\ \varepsilon\eta_2,\ \eta_0\eta_1,\ \eta_1\eta_2,\ \eta_2\eta_0 sont dans H^1(S_0, \mathbb{Z}/2), l'exposant est écrit par-dessus un autre chiffre

? lin. indép. dans H^2(S_0, \mathbb{Z}/2) … le point d'interrogation est dans la marge de gauche, en tête de page

Pb. Considérons une forme quadratique lisse à coeff. indéterminés, à coefficients dans \mathbb{Z}\bigl[(c_{ij})_{1 \leq i \leq j \leq n}\bigr]_{2\delta'((c_{ij}))} « Calculer » ses classes de Stiefel-Whitney totales ?

NB Le H^1(S_0, \mathbb{Z}/2) (\simeq H^0(S_0, \mathbb{G}_m)_2) est engendré par \varepsilon = \partial(-1), \quad \underbrace{\partial(2)}_{\xi}, \quad \underbrace{\partial(\delta'(c_{ij}))}_{\eta \,=\, w_1(f)}, il met « w_1(f) » entre guillemets ; « \simeq H^0(S_0, \mathbb{G}_m)_2 » est écrit au-dessus de « est engendré par » ; devant \partial(2), un signe biffé dont les 2 premiers deviennent nuls sur une extension biquadratique \mathbb{Q}_2[\sqrt{-1}, \sqrt{2}] — a fortiori sur \mathbb{C}, le deuxième donne lieu à w_1. Il est donc clair que multiplicativement à partir de ces éléments, on ne peut exprimer aucun des w_2, w_3, \dots etc. la lettre du corps de base est surchargée (un \mathbb{Z} barré ?) ; « donc » et « aucun des » sont écrits au-dessus de la ligne