Cote n° 72 · batch 6 · pages 101–112 · Transcription · Polyèdres réguliers et hyperpolyèdres réguliers (Calculs en dimension quelconque) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

101Pour (24), on voit que \[ z_i z_{i+1} - \rho\, z_{i+1} z_i = \underbrace{\langle a_{i+1}, a'_i\rangle}_{\in k^*} a'_{i+1}\otimes a_i - \rho \underbrace{\langle a_i, a'_{i+1}\rangle}_{\in k^*} a'_i \otimes a_{i+1} \qquad (\rho \in k^*) \] les deux « \(\in k^*\) » sont écrits sous les crochets, reliés à eux par une flèche montante ; « \(\rho \in k^*\) » est écrit sous le membre de gauche qui doit est \(\neq 0\) […] […] la famille donc \(\lbrace a'_{i+1}\otimes a_i,\ a'_i\otimes a_{i+1}\rbrace\) est libre dans \(\operatorname{End}(E)\) — et l'image par \(\operatorname{End}(E) \to E\), \(u \mapsto u(x)\) formée de \(\lbrace a'_{i+1}(x)\, a_i,\ a'_i(x)\, a_{i+1}\rbrace\), qui est libre si l'image est formée des le passage de « donc » à « est libre si » est encadré à gauche et annulé par quatre longs traits obliques ; la lecture en est incertaine \[ \langle a_{i+1}, a'_i\rangle\, a'_{i+1}(x)\, a_i - \rho \langle a_i, a'_{i+1}\rangle\, a'_i(x)\, a_{i+1}, \] […] que […] \(k a_i \oplus k a_{i+1}\) \(= \mathfrak{h}_i + \mathfrak{h}_{i+1}\), ce qui prouve signifie aussi que la lettre gothique est lue \(\mathfrak{h}\) ; elle revient à la page 102 \[ (a'_i, a'_{i+1}) : E \longrightarrow k^2 = k e_1 \oplus k e_2 \] est surjectif, en effet l'image de sa restriction à \(k a_{i+1} \oplus k a_i\) a la matrice \(a_{i+1} \mapsto (\langle a_{i+1}, a'_i\rangle, 0)\), donc l'image de \(E\) contient \(k e_1\), en fait l'image sous \(\langle a_{i+1}, a'_i\rangle\) dans la ligne biffée, « \(\in k^*\) » avec une flèche montante \[ \begin{pmatrix} \langle a_{i+1}, a'_i\rangle & * \\ 0 & \langle a_i, a'_{i+1}\rangle \end{pmatrix} \] de déterminant \(\langle a_{i+1}, a'_i\rangle \langle a_i, a'_{i+1}\rangle \in k^\times\), en vertu de (25), lui-même conséquence immédiate de (13) \(\lambda_i \in k^\times\), compte tenu de (4). Enfin (25\('\)) est une conséquence immédiate de (25),

cqfd.

102Remarque. Si \(E\) est loc. libre de rg \(n+2\), alors on trouve des conditions équivalentes \((\bar A)\), \((B)\) et \((\bar B)\), en renforçant (A), (B), remplaçant (9) de (A), et (1) de (B), respectivement par

ainsi en (12\('\)) ; les \(a'_i\) étant des formes linéaires, on attendrait le dual de \(E\) Quand ces conditions Elles sont aussi équivalentes à la conjonction de (A), de (B), avec la condition \[ (26) \qquad E_{n+1} = E . \] Sont alors \(\xi'_0 = a'_{-1}\) Si ces conditions sont satisfaites, complétons

Soit \(a'_{-1}\) [\(\xi'_0 = a'_{-1}\)] une forme lin. sur \(E\) telle que (27) \(\operatorname{Ker} a'_{-1} = k(a_0, \dots, a_n)\) elle est donc déterminée, au facteur scalaire \(\in k^*\) près, par la donnée des \(z_i\) \((0 \leq i \leq n)\), de […] ce passage est encadré à gauche et annulé par des traits obliques croisés ; le numéro « (27) » est d'une lecture incertaine (on pourrait lire « (47) »)

Idem pour cor. 1 [conditions \((\bar A')\), \((\bar B')\), équivalentes à (A\('\)), (B\('\)) + (26)]

Proposition. Soient \(E\) un \(k\)-module loc. libre de rg \(n+2\), \(z_i\) \((0 \leq i \leq n)\) des pseudo-réflexions dans \(E\), \[ z_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i \qquad (0 \leq i \leq n), \] (27) satisfaisant \(z_i z_j = z_j z_i\) dans \(\underline{\check P}(E)\). (28) Pour qu'il existe un (localement) \(s_0 \in E\) tel que les conditions \((\bar A)\), \((\bar B)\) du […]) (remarque ci-dessus), soient satisfaites (conditions de commutation et de « non-dég »), il f. et il s. « commutation et » est écrit au-dessus de la ligne et appelé par un trait

103que les conditions suivantes soient satisfaites.

[Les conditions impliquent donc (28) \(\langle a_i, a'_j\rangle = 0\) pour \(0 \leq i, j \leq n\), \(i, j\) non consécutifs).

Dém. La nécessité de a) b) c) est claire, prouvons celle de a\('\)), prouvons […] prouvons […] conditions du th. 1 […] propriété de stabilité des […] par dualité. Ces conditions \(E_n \subset E_{n+1} = E\) […] hyperplan, et soit \(s'_0\) une « c) » est ajouté au-dessus de la ligne ; la suite, jusqu'à « soit \(s'_0\) une », est biffée et, pour l'essentiel, annulée par des traits obliques ; la lecture en est très incertaine

On suppose donc que \(s_0\) satisfait les conditions dites, on pose \(a_{-1} = s_0\), et on définit \[ a_{-1} = s_0 \in E, \qquad a'_{n+1} \in E^{\vee} \] défini par \[ \operatorname{Ker} a'_{n+1} = k(a_{-1}, a_0, \dots, a_{n-1}) \] d'où \[ \begin{cases} \langle a_i, a'_{n+1}\rangle = 0 & -1 \leq i \leq n-1 \\ \langle a_n, a'_{n+1}\rangle \in k^* \end{cases} \] devant la seconde ligne, un début biffé « \(c_n =\) » surmonté d'un mot illisible Considérons \[ \begin{aligned} &(a_{-1}, a_0, \dots, a_n) \in E^{n+2} \\ &(a'_0, a'_1, \dots, a'_{n+1}) \in E^{\vee\, n+2} \end{aligned} \] et la matrice qu'ils forment, i.e. une matrice triangulaire, avec sur la diagonale

104\[ c_{-1} = \langle a_{-1}, a'_0\rangle, \quad c_0 = \langle a_0, a'_1\rangle, \quad \dots, \quad \& \ c_n = \langle a_n, a'_{n+1}\rangle \] donc de déterminant égal à \[ \Delta = c_{-1} c_0 \cdots c_n = \underbrace{\lambda_n}_{\in k^\times} \underbrace{c_n}_{\in k^\times} \in k^\times , \] devant \(\Delta\), un « et » biffé ; les deux « \(\in k^\times\) » sous \(\lambda_n\) et \(c_n\) sont reliés à eux par une flèche montante ce qui prouve que les \((a'_0, \dots, a'_n, a'_{n+1})\) forment une base de \(E^{\vee}\), d'où (a\('\)).

Inversement, supposons a) a\('\)) b) c) satisfaits, cherchons \(s \in E\) satisfaisant, avec \(z_0, \dots, z_n\), la condition \((\bar B')\)(17) pour \(i = -1\), ce qui équivaut aux conditions (b) de \((\bar B')\). En Tout d'abord suit un passage biffé et annulé par des traits en zigzag, dont on ne lit que des fragments : « (28) […] […], […] Rappelons la situation […] pour […] (17) […] » ; puis, annulé par des traits obliques croisés : La condition (7) est déjà satisfaite par hypothèse, La condition (8) signifie \(\langle s_0, a'_i\rangle a_i = 0\) pour \(1 \leq i \leq n\), et comme \(a_i\) est libre, ceci équivaut à (29) \(\langle s_0, a'_i\rangle = 0\) \(1 \leq i \leq n\)

— En vertu de a\('\)), l'ens. des \(s_0\) satisfaisant (18) pour \(i = -1\) (pour \(s_0 = a_{-1}\)) ou conditions est un sous-module facteur direct, loc. libre de rang \((n+2) - n = 2\), Soit soit \(F\). Pour tenir compte de \((\bar B')\)(19) pour \(i = 0\), (Soit \(D \subset F\) la droite, définie par les conditions \(\langle s_0, a'_i\rangle = 0\) \(0 \leq i \leq n\) dans \(E\),) donc on a la seule condition \(\langle s_0, a'_0\rangle \in k^\times\) dans \(F\). La condition (19) \(\lambda_n \in k^*\) signifie compte tenu de (6) et (4), que \(\langle s_0, a'_0\rangle \in k^*\), \(\langle s_0, a'_0\rangle \in\) i.e. \(s_0 \notin D\) sur chaque fibre. « Pour tenir compte de \((\bar B')\)(19) pour \(i = 0\), » est écrit au-dessus de la ligne ; le numéro (18) pourrait être un (17) surchargé

105Reste à exprimer \((\bar B')\)(18), pour ceci considérons la condition formes lin. \(a'_{-1}\) qui s'annulent sur les le module \(L = E / k(a_0, \dots, a_n)\), et l'homom. \(a_i\) induits par \(E \to L\), \(F \to L\), on sait je dis que c'est un épi, i.e. que c'est un épi sur chaque fibre point. Comme on est ramené au cas d'un corps de base, il suffit de prouver que dans ce cas \(F\) on n'a pas \(F \subset k(a_0, \dots, a_n)\), ou encore que Or Or \(F \cap k(a_0, \dots, a_{n-1}) = (0)\), car le système des \(n\) formes linéaires \(a'_1, \dots, a'_n\) sur \(k(a_0, \dots, a_{n-1})\) a une matrice triangulaire, de déterminant le produit des \(c_i = \langle a_i, a'_{i+1}\rangle\) \((0 \leq i \leq n-1)\), donc \(\in k^*\). Comme \(k(a_0, \dots, a_{n-1})\) est de codim 1 dans \(k(a_0, \dots, a_n)\), […] et \(\dim F = 2\), cela implique qu'on ne peut avoir \(F \subset k(a_0, \dots, a_n)\). « \((\bar B')\) » est écrit au-dessus de « (18) », qu'un trait oblique barre peut-être ; dans la phrase « Comme … de codim 1 dans … », les derniers indices des deux modules sont mal formés

Soit \(D'\) \(\Delta = \operatorname{Ker}(F \to L)\), qui est une droite de \(F\). La condition \((\overline{18})\) sur \(s_0\) signifie que \(s_0 \notin \Delta\) en chaque fibre. Donc la conjonction de \((\overline{17})\) \((\overline{18})\) \((\overline{19})\) signifie que \(s_0\) est une section de \(F\) (fibré vect. de rg 2) qui n'est dans \(D\) ni \(\Delta\) en aucune fibre — il en existe toujours localement, ok.

Classes de Stiefel-Whitney et classe de Brauer de la forme invariant

inscrit à l'encre en haut à droite du feuillet de garde (page 106), de papier chamois, qui ne porte rien d'autre ; « invariant » est écrit ainsi. Le feuillet ne reçoit pas de numéro de page

107* Mais il faut supposer \(f \mid \mathcal{O}_S[a_1, \dots, a_n]\) lisse, donc \(\sigma = \beta_n\) inversible cette note est écrite en haut à droite de la page ; l'astérisque renvoie à celui qui suit « \(\mathcal{O}_S[a_1, \dots, a_n]\) » cinq lignes plus bas

Classes de Stiefel-Whitney.

Supposons \(f_V\) lisse et 2 inv., i.e. 2 \[ \delta(f_V) = (\beta_0^{\,n} \beta_1^{\,n-1} \cdots \beta_{n-1})\, \rho \quad \text{inv. et } 2 \text{ inv.} \] devant la parenthèse, un chiffre biffé (un 2 ?) ; le facteur final, lu \(\rho\), est d'une lecture incertaine (Calculons \(w_i(f_V)\). Pour ceci, on va procéder par récurrence en calculant l'orthogonal de \(\mathcal{O}_S[a_1, \dots, a_n]\) *, Comme \[ \Psi_V(a_i) = -(\beta_0 \cdots \beta_{i-1})\, a'_i , \] c'est aussi l'orthogonal de \(a'_1, \dots, a'_n\), donc la projection orthogonale de \(s_0 - \frac{1}{\rho}\pi\) de \(s_0 = a_{-1}\) sur \(V\), dans \(E = V \oplus \mathcal{O}_S \pi\), soit \(p = \mathrm{id} - \frac{1}{\rho}\, \pi' \otimes \pi\) la dite projection [notée \(\tilde s_0\)] « orthogonale » et « \(s_0 - \frac{1}{\rho}\pi\) » sont écrits au-dessus de la ligne ; le \(\mathcal{O}\) de \(\mathcal{O}_S \pi\) est souligné \[ [\ \tilde s_0 = -\frac{1}{\rho}\bigl(\xi_0 a_0 + \xi_1 a_1 + \cdots + \xi_n a_n\bigr) \] \[ \begin{cases} \xi_n = 1 \\ \xi_{n-1} = 2 \\ \xi_i = L_{n-i}(\beta_{i+1}, \dots, \beta_{n-1}) = \rho_{i+1,\,n-1} \\ \xi_0 = L_n(\beta_1, \dots, \beta_n) = \rho_{1,n} = \sigma \end{cases} ] \] le \(\xi_0\) de la dernière ligne est écrit par-dessus une autre lettre. La formule générale donnerait pour \(i = 0\) : \(L_n(\beta_1, \dots, \beta_{n-1}) = \rho_{1,n-1}\), alors que la dernière ligne porte \(\beta_n\) et \(\rho_{1,n}\) ; l'écart est sur la page \[ f_V(\tilde s_0) = f_E\Bigl(s_0 - \frac{1}{\rho}\pi\Bigr) = \underbrace{f_E(s_0)}_{0} + \frac{1}{\rho^2} \underbrace{f_E(\pi)}_{-\tilde\rho\tilde\sigma} - \frac{1}{\rho}\, \underbrace{\varphi(s_0, \pi)}_{\langle s_0,\, \psi(\pi)\rangle \,=\, \langle s_0,\, -\sigma\pi'\rangle \,=\, -\sigma} \] le signe devant \(\frac{1}{\rho}\varphi(s_0, \pi)\) est surchargé ; la ligne suivante le lit comme un moins. Sous \(\varphi(s_0, \pi)\) il écrit \(\langle s_0, \psi(\pi)\rangle\), avec \(\psi(\pi)\) souligné et \(-\sigma\pi'\) en dessous, puis \(-\sigma\) sous une accolade ; la mise en ligne est nôtre \[ = -\frac{\tilde\rho\tilde\sigma}{\rho^2} + \frac{\sigma}{\rho} = \frac{1}{\rho^2}\Bigl[\underbrace{\rho\sigma}_{2\tilde\rho\tilde\sigma} - \tilde\rho\tilde\sigma\Bigr] = \frac{\tilde\rho\tilde\sigma}{\rho^2} \] \[ \partial\bigl(f_V(\tilde s_0)\bigr) = \partial(\tilde\rho\tilde\sigma) = \partial(\tilde\rho_{0,n-1}\, \tilde\rho_{1,n-1}) \] sous le premier \(\partial\) : Bockstein \(H^0(\ ,\, \mathbb{G}_m) \to H^1(\ ,\, \mu_2)\)

108Donc on trouve \[ w_*\bigl(f_{V_{n+1}}(\beta_0, \dots, \beta_{n-1})\bigr) = \bigl[1 + \underbrace{\partial(\tilde\rho_{0,n-1}\, \tilde\rho_{1,n-1})}_{\in H^1(-,\, \mu_2)}\bigr]\, w_*\bigl(f_{V_n}(\beta_1, \dots, \beta_{n-1})\bigr) \] l'indice du second \(V\) est mal formé (lu \(V_n\)) ; dans \(H^1(-, \mu_2)\), le coefficient est écrit par-dessus un autre, biffé On trouve ainsi de proche en proche, pourvu que les calculs aient un sens i.e. que tous les \(\tilde\rho_{i,n-1}\) soient inversibles \((0 \leq i \leq n-1)\) \[ \begin{aligned} w_*\bigl(f_{V_{n+1}}(\beta_0, \dots, \beta_{n-1})\bigr) = {}& \bigl[1 + \partial(\tilde\rho_{0,n-1}\, \tilde\rho_{1,n-1})\bigr] \bigl[1 + \partial(\tilde\rho_{1,n-1}\, \tilde\rho_{2,n-1})\bigr] \\ & \cdots \bigl[1 + \partial(\tilde\rho_{n-2,n-1}\, \tilde\rho_{n-1,n-1})\bigr]\, w_*\bigl(f_{V_2}(\beta_{n-1})\bigr) \end{aligned} \] dans le dernier crochet, les indices sont surchargés et récrits en dessous : \(n-2, n-1\) et \(n-1, n-1\) De même, on trouve, \[ w_*\bigl(f_{V_2}(\beta_{n-1})\bigr) = \bigl(1 + \partial[\underbrace{\tilde\rho_{n-1,n-1}}_{4 - \beta_{n-1}}\, \underbrace{\tilde\rho_{n,n-1}}_{1}]\bigr) \underbrace{\bigl(1 + \partial(\underbrace{\tilde\rho_{n,n-1}}_{1}\, \underbrace{\tilde\rho_{n+1,n}}_{1})\bigr)}_{1} \] \[ \bigl(1 + \partial(\beta(4 - \beta))\bigr) = \bigl[1 + \partial\bigl((2 + \alpha)(2 - \alpha)\bigr)\bigr] \] un long trait oblique traverse le membre de droite de la première ligne, qui semble remplacé par la seconde ; sous \(\tilde\rho_{n,n-1}\) du premier facteur, un signe de répétition ; entre \((2+\alpha)\) et \((2-\alpha)\), un signe surchargé En En effet, faisons le calcul pour \(f_V(\beta)\) […] \(a_0, a_1\) […] […], si on veut \[ \begin{cases} f(a_0) = 1 \qquad \partial f(a_0) = 0 \\ a_0^{\perp} = \lbrace x a_0 + y a_1 \mid 2x - \beta y = 0 \ \text{ i.e. } \ x = \frac{\beta}{2} y \rbrace \end{cases} \] devant « \(x = \frac{\beta}{2} y\) », un « \(y =\) » biffé engendré par \(\beta a_0 + 2 a_1 = u\) \[ \begin{aligned} f(u) &= \beta^2 \underbrace{f(a_0)}_{1} + 4 \underbrace{f(a_1)}_{\beta} + 2\beta \underbrace{\varphi(a_0, a_1)}_{-\beta} \\ &= 4\beta - \beta^2 = \beta(4 - \beta) \end{aligned} \] devant \(\beta^2 f(a_0)\), un début biffé « \(\beta^2 + 4\beta\) ». Le calcul est juste pour \(\varphi\) forme polaire de \(f\) d'où \(w_*\) la formule annoncée.

109On trouve, en résumé, \[ w_*\bigl(f_V(\beta_0, \dots, \beta_{n-1})\bigr) = \Bigl(\prod_{0 \leq i \leq n-2} \bigl(1 + \partial(\tilde\rho_{i,n-1}\, \tilde\rho_{i+1,n-1})\bigr)\Bigr) \Bigl(1 + \partial\bigl(\underbrace{\beta_{n-1}(4 - \beta_{n-1})}_{(2 + \alpha_{n-1})(2 - \alpha_{n-1})}\bigr)\Bigr) \] formule valable si tous les \(\tilde\rho_{i,n-1}\) \((0 \leq i \leq n-1)\) sont inversibles, ainsi que les \(\beta_i\) \((0 \leq i \leq n-1)\).

Bien sûr, on aurait pu conduire le calcul en sens inverse, en […] […] partant de \((a_0, \dots, a_{n-1})\) etc, on trouverait-on d'autres expressions remarquables ?

Calculons \(w_*(f_E)\), si on suppose on sait que \(V^{\perp} = \mathcal{O}_S \pi\) et \(f(\pi) = -\tilde\rho\tilde\sigma\) et on trouve donc un facteur supplémentaire \[ 1 + \partial(\underbrace{-\tilde\rho\tilde\sigma}_{-\tilde\rho_{0,n-1}\, \tilde\rho_{1,n-1}}) . \] Posons donc \[ \begin{aligned} \partial(-1) &= \varepsilon \\ \partial(\tilde\rho_{i,n-1}) &= \eta_i \qquad 0 \leq i \leq n-1 \\ \partial(\beta_{n-1}) &= \eta_n \end{aligned} \qquad \text{éléments de } H^1(-, \mathbb{Z}/2) \] un tilde se trouve entre \(\tilde\rho_{i,n-1}\) et \(\beta_{n-1}\) ; il peut appartenir à l'une ou l'autre lettre On trouve \[ w_*(f_V) = \prod_{0 \leq i \leq n-1} (1 + \eta_i + \eta_{i+1}) \] NB \(w_{n+1}(f_V) = 0\) ! \[ w_*(f_E) = (1 + \varepsilon + \eta_0 + \eta_1) \prod_{0 \leq i \leq n-1} (1 + \eta_i + \eta_{i+1}) \] dans la première formule, un signe biffé avant le « \(=\) »

110Si \(n = 2\), ceci donne \[ \begin{cases} \varepsilon = \partial(-1) \\ \eta_0 = \partial(\tilde\rho) = \partial(\underbrace{4 - \beta_0 - \beta_1}_{-(\alpha_0 + \alpha_1)}) = \partial\bigl[-(\alpha_0 + \alpha_1)\bigr] \\ \eta_1 = \partial\tilde\sigma = \partial(4 - \beta_1) = \partial(2 - \alpha_1) \\ \eta_2 = \partial\beta_1 = \partial(2 + \alpha_1) \end{cases} \] \[ w_* f_V = (1 + \eta_0 + \eta_1)(1 + \eta_1 + \eta_2) \] avec hyp. parasite que \(\tilde\sigma = 2 - \alpha\), […] soit inversible. Un calcul plus satisfaisant, sans cette hypothèse, s'obtient en prenant l'orthogonal de \(\mathcal{O}_S(a_0, a_2)\) engendré par \(u = \beta_0 a_0 + 2 a_1 + a_2\), on trouve \(f(u) = -\beta_0(\alpha_0 + \alpha_1)\), et \(f(a_0) = 1\), \(f(a_2) = \beta_0\beta_1\) syst. orthogonal. […] pose donc « soit » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; le signe entre \(\tilde\sigma\) et \(2 - \alpha\) est surchargé \[ \begin{aligned} \varepsilon &= \partial(-1) \\ \eta_0 &= \partial(\beta_0) \\ \eta_1 &= \partial(\beta_1) \\ \eta_2 &= \partial\bigl[-(\alpha_0 + \alpha_1)\bigr] \end{aligned} \] et on trouve \[ \begin{aligned} w_*(f_V) &= (1 + \eta_0 + \eta_2)(1 + \eta_0 + \eta_1) \quad \text{i.e.} \\ w_1(f_V) &= \eta_1 + \eta_2 \\ w_2(f_V) &= (\eta_0 + \eta_1)(\eta_0 + \eta_2) = \eta_0^2 + (\eta_0\eta_1 + \eta_1\eta_2 + \eta_2\eta_0) \end{aligned} \] dans les deux dernières lignes, un début biffé et illisible après le « \(=\) »

111On a \[ c(f_V) \overset{\text{dfn}}{=} w_2(f_V) + w_1(f_V)^2 = (\eta_0 + \eta_1 + \eta_2)^2 + (\eta_0\eta_1 + \eta_1\eta_2 + \eta_2\eta_0) \] (La condition n. et s. pour que le fibré en droites projectives associé soit isomorphe à celui défini par […] la forme \(x^2 + y^2 + z^2\)). Donc \[ \operatorname{Br}(f_V) \overset{\text{dfn}}{=} c(f_V) - \underbrace{c(X^2 + YZ)}_{\varepsilon^2} = (\varepsilon + \eta_0 + \eta_1 + \eta_2)^2 + (\eta_0\eta_1 + \eta_1\eta_2 + \eta_2\eta_0) \] dans \(c(X^2 + YZ)\), un mot biffé devant \(X^2\) L'annulation de cette expression est n. et s. pour que le fibré en droites projectives associé défini par \(f_V\) soit associé à un fibré vect. de rang 2, en fait, c'est la classe de Brauer de ce fibré … Le calcul universel se fait sur \[ S_0 = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\beta_0, \beta_1]_{2\beta_0\beta_1(4 - \beta_0 - \beta_1)} \] On notera que dans \(H^1(S_0, \mathbb{Z}/2)\), les sections éléments \(\varepsilon, \eta_0, \eta_1, \eta_2\) forment une base. Il est plausible que les 10 expressions \[ \varepsilon^2,\ \eta_0^2,\ \eta_1^2,\ \eta_2^2,\ \varepsilon\eta_0,\ \varepsilon\eta_1,\ \varepsilon\eta_2,\ \eta_0\eta_1,\ \eta_1\eta_2,\ \eta_2\eta_0 \] sont dans \(H^1(S_0, \mathbb{Z}/2)\), l'exposant est écrit par-dessus un autre chiffre

112? lin. indép. dans \(H^2(S_0, \mathbb{Z}/2)\) … le point d'interrogation est dans la marge de gauche, en tête de page

Pb. Considérons une forme quadratique ⌜lisse⌝ à coeff. indéterminés, à coefficients dans \[ \mathbb{Z}\bigl[(c_{ij})_{1 \leq i \leq j \leq n}\bigr]_{2\delta'((c_{ij}))} \] « Calculer » ses classes de Stiefel-Whitney totales ?

NB Le \(H^1(S_0, \mathbb{Z}/2)\) (\(\simeq\) \(H^0(S_0, \mathbb{G}_m)_2\)) est engendré par \[ \varepsilon = \partial(-1), \quad \underbrace{\partial(2)}_{\xi}, \quad \underbrace{\partial(\delta'(c_{ij}))}_{\eta \,=\, w_1(f)}, \] il met « \(w_1(f)\) » entre guillemets ; « \(\simeq H^0(S_0, \mathbb{G}_m)_2\) » est écrit au-dessus de « est engendré par » ; devant \(\partial(2)\), un signe biffé dont les 2 premiers deviennent nuls sur une extension biquadratique \(\mathbb{Q}_2\)\([\sqrt{-1}, \sqrt{2}]\) — a fortiori sur \(\mathbb{C}\), le deuxième donne lieu à \(w_1\). Il est donc clair que multiplicativement à partir de ces éléments, on ne peut exprimer aucun des \(w_2, w_3, \dots\) etc. la lettre du corps de base est surchargée (un \(\mathbb{Z}\) barré ?) ; « donc » et « aucun des » sont écrits au-dessus de la ligne