Fonds Grothendieck, cote n° 72, pages 81–100

la page commence en cours de raisonnement. donc \underbrace{\mathrm{Lin}(h_{i+1}, \dots, h_n)}_{Z_i \ \mathrm{dim}\ n-i-1} \subset Z \subset \underbrace{H_0 \cap \dots \cap H_i}_{Z'_i \ \mathrm{dim}\ n-i} . « \mathrm{Lin} » est lu d'après la page 85, où le mot est écrit en clair ; ici il est abrégé. L'indice de dimension sous Z_i se lit n-i-1, le dernier signe peu net.

~~Cela implique donc Z~~ et par cette condition implique bien que Z est stable par les T_j. Elle implique aussi Z. Z_i \subset Z'_i , ce qui équivaut aussi à h_{i+1} \notin H_i i.e. \beta_i = 0 . le signe est bien \notin sur la page ; l'inclusion Z_i \subset Z'_i semblerait demander h_{i+1} \in H_i.

à droite, séparé du texte par un trait vertical : Réciproquement, pour i fixé, conditions équiv. : a) Z_i \subset Z'_i ; b) Z_i inv. par G ; c) Z Z'_i inv. par G ; d) \beta_i = 0.

Et pour une raison de dim., on doit avoir Z = Z_i \quad \text{ou} \quad Z = Z'_i , l'inverse étant clair.

Remarque. Conditions équivalentes, lorsque \dim C \geq 2 i.e. n \geq 2 : a) Il n'y a pas d'hyperplan de C invariant par G ; b) On a \beta_0 \neq 0, et on n'a pas \bigl(\beta_1 = 0 et \underbrace{H_0 \cap H_1}_{\mathrm{dim}\ n-1} \subset C\bigr) (i.e. H_0 \cap H_1 inv. par G). sur « \beta_1 = 0 » un \neq a d'abord été écrit, puis sa barre biffée. Sous la parenthèse une accolade renvoie à : \Updownarrow si \beta_0 ou \mu_0 \neq 0 : \beta_1 = 0 \quad \text{et} \quad \mu_1 \mu_0 - \beta_0 = 0

forment un drapeau.

c) Pour que G opère sur C irréductiblement, il faut et suffit que tous les \beta_i (0 \leq i \leq n-1) soient \neq 0, i.e. que la forme ~~quadratique can.~~ bil. can. f_V sur V soit ~~non dég.~~ non dégénérée (i.e. que f_V soit lisse, et que p si n impair, ~~2 soit inv. sur S~~ k soit de car. \neq 2).

~~c) Pour que~~

Dém. Dire que Z est inv. par T_i signifie que l'on a Z \ni h_i \quad \text{ou} \quad Z \subset H_i . ~~Si Z est~~ invariant par tous les T_i, ~~ou bien Z \subset H_i pour tt i, donc Z \subset \bigcap H_i = \{c\}, donc Z = \emptyset ou Z = \{c\}, ou bien \exists\, i~~ Notons que si 0 < i \leq nbornes peu nettes. Z \subset H_i \Longrightarrow Z \subset H_{i-1} , car sinon on aurait h_{i-1} \in Z, donc h_{i-1} \notin H_i, absurde. De même, si h_j \in Z, ~~h_j~~ 0 \leq j < n, donc h_{j+1} \in Z, car sinon on aurait Z \subset H_{j+1}, donc h_j \notin H_{j+1}, absurde. dans « h_{i-1} \notin H_i » et « h_j \notin H_{j+1} », la barre est tracée sur un \in déjà écrit. Il en résulte que l'on a deux possibilités :

a) Z \subset H_i \forall\, 0 \leq i \leq n, donc Z \subset \bigcap_{0 \leq i \leq n} H_i = \{c\}, donc Z = \emptyset ou Z = \{c\} — qui est bien invariant ;

a') Z \not\subset H_i \forall\, 0 \leq i \leq n, i.e. Z \ni h_i 0 \leq i \leq n, donc Z \supset V(h_0 \dots h_n) = C, donc Z = C Z = Xla fin de la ligne est surchargée : après « Z = C » un trait barré, puis « X », avec « Z = » au-dessus. qui est bien invariant ;

b) On n'est pas dans a) ou a'), donc \exists\, i, 0 \leq i < n, tel que Z \subset H_j si 0 \leq j \leq i, et Z \not\subset H_j si j \geq i+1

Groupes engendrés par des pseudo-réflexions projectives et relations avec les réalisations géom. des hyperpolyèdres.

ces mots, de sa main, sont écrits en haut à droite d'un feuillet teinté (page 83), par ailleurs blanc, qui précède les pages suivantes ; un mot biffé devant « hyperpolyèdres ».

~~Soit C n-maquette régulière, correspon~~

Soit C une n-carte régulière combinatoire, R l'ens. de ses repères, qui est un torseur à gauche sous G = \mathrm{Aut}\, C, le commutant de G étant formé des opérations des gr. cartographiques, engendré par \sigma_0, \dots, \sigma_n. Si \underline{r} \in R, il lui correspond des générateurs \tau_i^{(r)} de G, définis par (1) \qquad \tau_i^{(r)} \underline{r} = \sigma_i \underline{r} . Une réalisation géométrique projective de C, dans (n+1)-fibré projectif X sur S, revient à la donnée de

a) Opération \varphi_X de G sur Xl'indice de \varphi est peu net (X ou r). (2) \qquad \varphi_X : G \to \mathrm{Aut}_S X = \Gamma\, \underline{\mathrm{Aut}}_S(X) ,

b) drapeau \underline{r} = (X_0, X_1, \dots, X_n) X dans X, satisfaisant (3) \qquad \tau_i X_j = X_j \quad \text{si } i \neq j sous (3) une seconde ligne est biffée : « \tau_i X_i \neq X_i ».

(4) Les \tau_i sont des réflexions de Pou de X ; la lettre est peu nette.

[Ceci permet de définir R \to \mathrm{Drapeaux}(X) et des applications \mathrm{Dr}_H(C) \to \mathrm{Dr}_H(X).]

Prop. Conditions équivalentes (si S = \mathrm{Spec}(K) le corps)lecture incertaine de la parenthèse. :

b) ~~Aucune~~ Aucune des applications \Phi_i \to \mathrm{Gram}_i(X) \qquad 0 \leq i \leq n n'est constante, ~~fibre générale~~ « \mathrm{Gram}_i » est lu tel quel ; on attend une grassmannienne. Dans la marge gauche, une étiquette biffée et une flèche qui descend vers le groupe d'énoncés suivant.

~~c) \forall\, 0 \leq i \leq n, on a \tau_i X_i \neq X_i.~~

les quatre énoncés suivants sont réunis par une accolade ; plusieurs lettres ont été récrites sur d'autres.

d) Si \underline{f_{i-1}} < \underline{f_i} \neq \underline{f'_i} < \underline{f_{i+1}} dans \Phi_*(C), alors f_i \neq f'_i indépendant du repérage r (une flèche vers d))

a) L'image \Phi_0 de \underline{\Phi}_0 engendre lin. X (i.e.)

de X_0 engendre lin. X

a') L'intersection des hyperplans de \Phi_n est vide

c) \forall\, 0 \leq i \leq n, \tau_i X_i \neq X_i

en haut, encadré : NB Dans f), les conditions \alpha) \beta) \gamma) ne font intervenir que (\tau_i), non le choix de s_0, qui est précisé dans \delta) \eta) \rho)

e) Posant s_0 = unique pt de X_0, \begin{aligned} s_1 &= \tau_0 s_0 \\ s_2 &= \tau_1 s_1 \\ &\cdots \\ s_{n+1} &= \tau_n s_n , \end{aligned} les s_i sont projectivement indépendants, i.e. engendrent l'espace X.

NB (5)le chiffre 5 est cerclé. s_i = \tau_{i-1} \cdots \tau_0 s_0 \qquad (1 \leq i \leq n+1) donc si j > i \tau_j s_i = (\tau_{i-1} \cdots \tau_0) \tau_j s_0 = s_i car \tau_j s_0 = s_0.

dans la marge gauche, en oblique : Il y a une condition duale e'), avec ~~X_n~~ S_{n+1} = X_n, S_n = \tau_n X_n, S_{n-1} = \tau_{n-1} S_n, \dots, puis une égalité aux indices empâtés « S = \tau X_0 », en exigeant \bigcap_{0 \leq i \leq n+1} S_i = \emptyset

[f) ~~Soit~~ Soit h_i (H_i) le centre () des \tau_i. On a : la liste qui suit est écrite dans la colonne de droite, séparée par une accolade.

\alpha) h_i engendrent C ((h_i) indép.)

\beta) \bigcap H_i = c ((H_i) indép.)« = c » est une lecture douteuse.

\gamma) h_i \notin H_{i+1} (0 \leq i \leq n-1)

\delta) s_0 \in \underbrace{H_1 \cap \dots \cap H_n}_{\text{(droite } D)} (NB c'est plus fort que \tau_i s_0 = s_0 1 \leq i \leq n)

\eta) s_0 \notin H_0 ou encore s_0 \neq c (\{c\} = \bigcap H_i) ou encore \tau_0 s_0 \neq s_0

\rho) s_0 \notin C i.e. s_0 \neq d où \{d\} = D \cap C.] les lettres grecques \eta et \rho sont lues d'après la forme ; la seconde est peut-être récrite.

Schéma de dém. On a les implications sur la page les flèches sont doubles (\Rightarrow, \Leftrightarrow) ; « tr » : trivial. Le schéma est reproduit avec ses sommets et ses flèches.

\begin{tikzcd} a) \arrow[r, Rightarrow, "\mathrm{tr}"] & b) \arrow[r, leftrightarrow, "\mathrm{tr}"] & c) \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d, leftrightarrow, "\mathrm{tr}"] & e) \arrow[r, Rightarrow, "\mathrm{tr}"] \arrow[dr, Rightarrow, "\mathrm{tr}"'] & a) \\ a') \arrow[ur, Rightarrow, "\mathrm{tr}"'] & & d) & & a') \end{tikzcd}

la seule implication non triviale étant la phrase s'arrête là ; au bout de la ligne, dans le cadre de la colonne de droite, est écrit « d) \Rightarrow e) ».

On prouve l'indép. des (s_0, \dots, s_i) par réc. sur i ; on ~~Si elle est établie~~ prouvera en même temps

Cor. Sous les conditions précédentes, on a (F) \quad \Bigl\lbrace\ X_i = \mathrm{Lin}(s_0, \dots, s_i) (0 \leq i \leq n+1, posant X_{n+1} = X). sous cette ligne, biffée : « \tau_j s_i = s_i si j > i ». Si prouvé pour i \leq i_0, prouvons le pour i = i_0 + 1, i.e. \left\lbrace \begin{aligned} X_{i+1} &= \mathrm{Lin}(s_0, \dots, s_i, s_{i+1}) \quad (= \mathrm{Lin}(X_i, s_{i+1})) \\ \tau_j s_{i+1} &= s_{i+1} \quad (j > i+1) \end{aligned} \right. sur la page : « si j > i+1 », puis une flèche vers « vérifié par (5) », et deux lignes biffées d'un gribouillis.

Par déf. s_{i+1} = \tau_i s_i, or \tau_i X_{i+1} = X_{i+1}, car s_i \in X_i \subset X_{i+1}, donc \underline{s_{i+1} \in X_{i+1}}. ~~Reste~~ Il faut prouver que Reste à prouver que s_{i+1} \in X_i, i.e. \tau_i s_i \in X_isic, deux fois \in : le sens demande \notin., car ~~\tau_i~~ X_i = \mathrm{Lin}(X_{i-1}, s_i), donc \tau_i X_i = \mathrm{Lin}(\underbrace{\tau_i X_{i-1}}_{X_{i-1}}, \underline{\tau_i s_i}) qui serait égal à X_i, contrairement à l'hyp. c).

page de formules, sans phrases de liaison ; on les donne dans l'ordre de la page, de haut en bas et de gauche à droite.

En haut à gauche, deux suites d'indices : a_0 \ \text{---}\ a_{i-1} \qquad \begin{array}{c} a_{\cdot}\ \overline{a_{n-1}\ a_n} \\ a'_{i+1} \ \text{---}\ a'_{n-1}\ a'_n \end{array} l'indice du premier terme de la suite du haut, noté ici par un point, est illisible ; une barre coiffe a_{n-1}\,a_n.

c = \bigwedge H_i \qquad C = \bigvee h_i \qquad d = \Bigl(\overbrace{\bigwedge_{1 \leq i \leq n} H_i}^{Z_1}\Bigr) \wedge C \qquad D = \underbrace{\bigvee_{0 \leq i \leq n-1} h_i}_{Y_{n-1}} \vee c Y_{n-1} \cap H_n = Y_{n-2} le signe = est surchargé. Y_{n-1} \cap (H_n \cap \dots \cap H_{i+1}) = Y_{i-1} Encadré : \left\lbrace \begin{aligned} &Z_1 \not\subset C \\ &c \notin Y_{n-1} \end{aligned} \right.

Un schéma d'inclusions, les traits verticaux portant des dimensions : \begin{array}{ccc} & \overbrace{\qquad}^{2} & \\ Y_{n-1} & \subset & X \\ {\scriptstyle n-i}\ \Big| & & \Big|\ {\scriptstyle n-i} \\ Y_{i-1} & \subset & Z_{i+1} = H_n \cap \dots \cap H_{i+1} \\ {\scriptstyle n}\ \Big| & {\scriptstyle 2} & \Big|\ {\scriptstyle i} \\ \emptyset & \subset & Z_1 \\ & {\scriptstyle 2} & \end{array} à droite du schéma : « Y_0 », un trait vers « \emptyset — », puis « h_0 \notin H_1 », et plus bas, isolés, « c d ».

Encadré : \begin{aligned} X_n &\longmapsto X_i = X_n \wedge Z_{i+1} \\ X_0 &\longmapsto X_i = X_0 \vee Y_{i-1} \end{aligned}

c = \bigwedge_0^n H_i \qquad d = \Bigl(\overbrace{\bigwedge_1^n H_i}^{Z_1}\Bigr) \wedge C = Z_1 \wedge C C = \bigvee_0^n h_i \qquad D = \Bigl(\underbrace{\bigvee_0^{n-1} h_i}_{Y_{n-1}}\Bigr) \vee c = Y_{n-1} \vee c \begin{aligned} X'_i &= (Y_{i-1} \vee c) = Z_{i+1} \wedge C \\ X''_i &= Y_{i-1} \vee d = Z_{i+1} \wedge D \end{aligned} entre les deux membres de X'_i, une égalité biffée : ~~= C \wedge Z_{i+1}~~. Au-dessus du premier = de X''_i, un petit « ? ». Y_{n-1} \ \text{---}\ Z_1 \qquad\qquad Y_1 \quad Z_{n-1} = H_n \wedge H_{n-1}

Correspondances, en colonne : \begin{array}{cc} h_i & H_i \\ c & C \\ d & D \end{array} plus bas à gauche, biffé : « \bigwedge h_i ».

Encadré, sous une accolade :

h_i \subset H_j si i, j non consécutifs h_i \not\subset H_{i+1} ~~(h_i) indép.~~ \bigvee h_i = C de codim 1 \bigwedge H_i = c de dim 0 / d

Au pied de la page : s_0 longueur, d infiniles deux lettres sont écrites au-dessus des deux mots..

h_0\ h_1\ \dots\ h_n sections du fibré projectif X

H_0\ H_1\ H_n hyperplans (X de rang n+1) le mot « hyperplans » est traversé d'un trait, peut-être une biffure. encadré à droite : (h_i, H_i) centre et cocentre de la pseudo-réflexion \tau_i dans X ; \tau_i \tau_j = \tau_j \tau_i si i, j non consécutifs, d'où

\emptyset = X_{-1} \subset X_0 = \{s_0\} \subset X_1 \subset \dots \subset X_n \subset X = X_{n+1} \tau_i X_j = X_j \quad (i \neq j) \qquad 0 \leq i, j \leq n sur la page : « \tau_i X_j = X_j si i \neq j ». \Longrightarrow \quad \underline{\Phi}_i \to \Phi_i

A) Conditions équivalentes

~~a) \forall\, 0 \leq i \leq n, \Phi_i non réduit à un pt~~ cette première rédaction de a) et b) est barrée en zigzag.

a) \Phi_0 engendre lin. X en chaque fibre

a') l'intersection des Z \in \Phi_n est vide ( en chaque fibre)

b) \forall\, 0 \leq i \leq n, \Phi_i non réduit à un pt

c) \forall\, 0 \leq i \leq n \tau_i(X_i) \neq X_i

d) Si \underline{f_{i-1}} < \struck{\ill{}}\ \underline{f_i} < \underline{f_{i+1}} dans \underline{\Phi}_*, alors \exists\, \underline{f'_i} \neq \underline{f_i} entre \underline{f_{i-1}}, \underline{f_{i+1}}, tels que f_i \neq f'_i un « \exists » isolé est écrit à droite de c), et repris dans d).

e) Posant s_1 = \tau_0 s_0, s_2 = \tau_1 s_1 = \tau_1 \tau_0 s_0, \dots, s_{n+1} = \tau_n s_n = \tau_n \tau_{n-1} \cdots \tau_0 s_0, les (s_i)_{0 \leq i \leq n+1} engendrent lin. ~~aff. X~~ aff. X_n la fin de la ligne est surchargée ; lecture incertaine des deux ajouts.

e') Condition duale avec S_n =, S_{n-1} = \tau_n S_n, S_{n-2} = \tau_{n-1} S_{n-1} = \tau_{n-1} \tau_n S_n, \dots, S_{-1} = \tau_0 S_0 = \tau_0 \tau_1 \cdots \tau_n S_n, on veut \bigwedge S_i = \emptyset.

~~f) des conditions~~

f) l'une des conditions en ch. fibre les trois conditions qui suivent sont réunies par une accolade.

\alpha) (h_i)_{0 \leq i \leq n} libres \Longleftrightarrow engendrent hyperplan C

\alpha') (H_i)_{0 \leq i \leq n} libres \Longleftrightarrow \bigcap_0 H_i = \{c\}, c section de X

\beta) h_i \not\subset H_{i+1} en chaque fibre 0 \leq i \leq n-1

« en ch. fibres » est ajouté au-dessus de \alpha) ; la ligne \alpha) commence par un mot biffé.

~~\gamma) posons D_0 = H_n \cap \dots \cap H_1 (droite), on a D_0 \cap C = \{d\}, \dots, c \in D_0, une section D_0 \cap C = \{d\} \dots~~ bloc raturé en plusieurs couches ; on n'en donne que ce qui se lit.

\delta) s_0 section de D_0^{**} = D_0 \smallsetminus \{c, d\} = D_0 - {} après le dernier « - », « ~~sections~~ des 2 pts », et au-dessus « lieu des fixes de \tau_0 | D_0 » ; lecture incertaine.

encadré à gauche, relié par une flèche à la liste : NB \alpha) \alpha') impliquent \lbrace h_i \subset H_j, h_j \subset H_i si 0 \leq i, j \leq n, i, j non consécutifs (ce qui exprime encore la commutation des \tau_i). f) implique X_i = \bigvee(s_0, h_0, \dots, h_{i-1}) = \bigwedge(X_n, H_n, \dots, H_{i+1}). X_i et X_j se déterminent mutuellement pour i < j par X_i = \bigwedge(X_j \cap H_j \cdots H_{i+1}), X_j = \bigvee(X_i, h_i, \dots, h_{j-1}).

B) Pour (\tau_i) donné, pour qu'il existe loc. () un drapeau (X_i) satisfaisant aux conditions équivalentes ci-dessus, il faut et suffit que (\tau_i) satisfasse les conditions (\alpha, \alpha', \beta) de (A f).

C) Sous les conditions de B (i.e. \alpha \alpha' \beta), l'application (X_i) \mapsto s_0 est une bijection de l'ens. ~~des~~ \mathrm{Dr}(\tau_i) des drapeaux (X_i) adaptés à (\tau_i) et non dégénérés, sur l'ens. des sections de D_0^{**}. Plus gén., ~~\forall\, 0 \leq i_0 \leq n,~~ ~~bijection de \mathrm{Dr}(\tau_*) sur l'ens.~~ (X_*) \longmapsto X_{i_0} est une bijection de \mathrm{Dr}(\tau_*) sur l'ens. des sections de D_{i_0}^{**}, où D_i^{**} = D_i \smallsetminus \{c_i, d_i\}, D_i = fibré en droites des (i+1)-espaces compris entre Y_{i-1} = \bigvee(h_0, \dots, h_{i-1}) et Z_{i+1} = \bigwedge(\struck{H_n}\ H_n, \dots, H_{i+1}) (resp. de dim i-1 et i+1), c_i, d_i étant les sections de D_i définies resp. par ~~Y'_i = Y_{i-1} \vee Z_{i+1}, \dots et Z'_i = \bigvee(Z_i, Y_{i-1}), Y_{i-1} \subset Y'_i, Z'_i \subset Z_{i+1} [NB Z stable par \tau_0 \dots \tau_i, \dots Z stable par (\tau_i, \dots, \tau_n)]~~ \begin{array}{ccc} X'_i = (Y_{i-1} \vee c) & \text{et} & (Y_{i-1} \vee d) = X''_i \\ \Vert & & \Vert \\ (Z_{i+1} \wedge C) & & (Z_{i+1} \wedge D) \end{array} où D est défini comme D = \bigvee(h_0 \dots h_{n-1}, c). le passage biffé est raturé en zigzag ; on n'en donne que ce qui se lit.

D) Sous les conditions de B), soit \underline{g} le groupe des automorphismes de (X, \struck{(\tau_*)}), i.e. des G_n-automorphismes de X, où G_n est le groupe engendré par les gén. \tau_i (0 \leq i \leq n), liés par relations \tau_i \tau_j = \tau_j \tau_i si i, j non consécutifs. On a donc \underline{g} \longrightarrow \underline{\mathrm{Aut}}\bigl(D_0, (c) \cdot (d)\bigr) = \mathrm{Aut}(D_0, \Delta_0) où \Delta_0 est le diviseur sur D_0 défini par les sections c, d au-dessus de « (c) \cdot (d) » : « id sur », et « produit de div. relatifs » ; au-dessus de \Delta_0 : « rel. sur » ; lectures incertaines. ; ceci dit, cet homom. est un isom. — par suite D_0^{**} = D_0 \smallsetminus \Delta_0 est un \underline{g}-torseur : \exists loc. section (c'est la condition de B, C), et deux sections sont conjuguées par un unique G_n-automorphisme. Donc En en vertu de C, item pour le schéma des (\tau_*)-drapeaux non dégénérés, qui est un torseur sous \underline{g}.

à gauche : NB \underline{g} est lisse commutatif de dim rel 1, ses fibres sont \mathbb{G}_m (c \neq d) (resp. \mathbb{G}_a (c = d)).

Scholie. Un système (\tau_*, X_*) non dégénéré peut être considéré comme une rigidification d'un système (\tau_*) non dég., i.e. d'une représentation projective non dég. de G_n. La cat. (sur S fixé) des (\tau_*, \struck{X_*}) non dég. est équivalente à celle des (\tau_*, X_*) (i.e. des réal. géom. non dég. de G_n) munies d'un torseur sous le groupe \underline{g}_0 \underline{\mathrm{Aut}}(D_0, \Delta_0) rel. sur correspondant à cette dernière\dots Utilisant la section s_0 distincte de d, ~~comme~~ comme pt 1 , c comme 0 et d comme \infty (si c \neq d en tt fibre i.e. le centre c n'est à l'\infty sur aucune fibre) on trouve que ce groupe est \mathbb{G}_m, donc ~~il s'agit de la~~ dans ce cas la cat. des (\tau_*) non dég. avec centre partout à dist. finie équivaut à la cat. produit de la cat. des (\tau_*, X_*) par celle des Mod. inv. sur S.

E) Soit \Pi un quasi-polyèdre combinatoire régulier, G le groupe de ses automorphismes, R l'ens. des repères, qui

est un torseur sous G. Le choix d'un r \in R définit un ~~épim.~~ G_n \xrightarrow{\ \varphi_r\ } G , d'où un système \tau^r_* = (\tau^r_i) = \varphi_r(\underline{\tau}_i), transformé en un syst. conjugué (par \mathrm{int}(g)) si on change r en r' = gr (g \in G). Donnons-nous un hom. \varphi_G : G \longrightarrow \mathrm{Aut}\, X , dire que \tau^r_* = (\tau^r_i) = \varphi_G(\underline{\tau}^r_i) = (\varphi_G(\tau^r_i)) est formé de quasi-réflexions, et que la condition de non dég. de B est satisfaite, ne dépend pas du choix de r. Donnons-nous une repr. régulière \bigl(\varphi_G,\ \varphi_* = (\varphi_i)_{0 \leq i \leq n}\ (\varphi_i : \Phi_i(\Pi) \to \mathrm{Gram}_i(X))\bigr) de \Pi, d'où r \mapsto \varphi_G(\underline{r}) = X_*, dire que (\tau^r_*, X_*) est non dég. ne dépend pas du choix de \underline{r} — ~~intrinsèques~~ d'ailleurs les conditions a) a') b) (d) de A) sont intrinsèques. La première en vertu équivaut à l'existence locale (Zar.) d'une « réal. géom. non dég. » de \Pi associée à \varphi_G. ~~Donc~~ ~~Tel encore, on voit que le grp~~ Comme G est simplement transitif sur R, on voit d'ailleurs que tt objet géom. associé intrinsèquement à une situation \tau_* repr. (\tau_*, X_*) non dég. [tel que D_0, et ses sections c, d] est défini intrinsèquement aussi en termes d'une \varphi_G repr. quasi-polyédrale n.d. (repr. d'une réalisation géom. (\varphi_G, \varphi_*) de \Pi). Ceci dit, \mathrm{Aut}\, \varphi_G opère sur (D_0, c, d), et on trouve \underline{\mathrm{Aut}}(X, \varphi_G) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Aut}}\bigl(D_0, (c) \cdot (d)\bigr) au-dessus du second membre : « rel sur ». donc la cat. des \varphi_G quasi-pol. non dég. équivaut à celle des couples \bigl((\varphi_G, \varphi_*), T\bigr), (\varphi_G, \varphi_*) réal. géom. proj. n. dég. de \Pi, T un torseur sous \underline{\mathrm{Aut}}(D_0, c, d) — la ligne continue au bas de la page, peu lisible ; on y devine « intéressant ».

que ci-dessus pour T comme l'une des structures quasi-pol. non dég. subordonnées à \varphi_G. Lorsque c \neq d en chaque pt, T s'interprète comme un torseur sous \mathbb{G}_m (opérant par homothéties, cf. plus bas). Si c = d, alors D_0^* = D_0 \smallsetminus c est un ~~torseur fibré affine~~, ~~trivialisé par s_0~~ ~~un fibré vectoriel~~ de rang 1, trivialisé par s_0 et \simeq D_0^* le fibré vectoriel ass. à ses translations\dots la fin de la page est surchargée ; la suite des corrections est incertaine. Le reste de la page est blanc.

Coordonnées universelles (n \geq 1). On prend C = V(h_0, \dots, h_n) comme hyperplan à l'\infty, ~~alors les s_i (i \leq) dans~~ E = X \smallsetminus C comme fibré affine de rg n+1, les s_i étant donc des sections de E formant une base affine ~~et donc les s_1 - s_0, \dots forment une base de l'espace vectoriel des translations~~ ~~. On choisit comme base s_0, s_1, \dots, s_n~~.

\mathcal{E} vectoriel \mathcal{E} ext. de \underline{\mathcal{O}}_S par l'espace des tr. V de E enveloppe vect. de E s'identifie donc à \underline{\mathcal{O}}_S^{n+2}, en prenant (\lambda_0 = 1, \lambda_1, \dots, \lambda_{n+1}) correspondants la fin de la phrase est raturée en plusieurs couches. \struck{s_0 + \lambda_1 (s_1 - s_0) + \lambda_2 (s_2 - s_0) + \dots + \lambda_n (s_n - s_0)} ligne biffée, avec sous les différences les noms e_0, e_1, \dots, e_n. \mathcal{E} = k s_0 \oplus k s_1 \oplus \dots \oplus k s_{n+1} \xrightarrow{\ \pi\ } \underline{\mathcal{O}}_S , \qquad \sum \lambda_i s_i \longmapsto \sum \lambda_i

\tau_i ps.-réflexions de \mathcal{E} satisfaisant 0 \leq i \leq n à gauche, biffés : « \tau_i \tau_j = \tau_j \tau_i si i \neq j » et « \tau_i s_i = ». Les numéros (1), (2), (3) sont cerclés ; une flèche marquée « conditions imposées » pointe vers le groupe qu'ils forment. \tau_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i

(1)\langle a_i, a'_j \rangle = 0 si 0 \leq i < j \leq n, ~~i, j non cons.~~ ~~j \neq i+1~~ [\langle a_j, a'_i \rangle = 0 si 0 \leq i \leq j \leq n, j \neq i+1] (3)~~\langle s_0, a'_j \rangle = 0 si j \geq 1~~ ~~(3) \langle s_0, a'_0 \rangle, \langle s_0, a'_1 \rangle, \dots, \langle a_{n-1}, a'_n \rangle inversibles~~ (2)s_{i+1} = \tau_i s_i 0 \leq i \leq n

les indices de la condition entre crochets sont surchargés ; lecture incertaine.

a'_j = \lambda_{jj} s_j + \lambda_{j,j+1} s_{j+1} + \dots + \lambda_{j,n+1} s_{n+1} exprime (1) : (\tau_i s_i =)\ s_i + \lambda_{ii} a_i = s_{i+1} \qquad \struck{a_i =} \ \lambda_{ii} a_i = s_{i+1} - s_i ops \lambda_{ii} = 1, donc \boxed{a_i = s_{i+1} - s_i} \qquad \lambda_{ii} = 1 \quad \text{i.e.} \quad a'_i = s_i + \lambda_{i,i+1} s_{i+1} + \dots + \lambda_{i,n+1} s_{n+1} exprime (1) et (2) \left. \begin{aligned} &\lambda_{i,i+2} = \lambda_{i,i+3} = \dots = \lambda_{i,n+1} \quad (\ldots\ \mu_i) \\ &\lambda_{i,i+1} = \lambda_i \end{aligned} \right| exprime (3). « ops » : on peut supposer. Dans la parenthèse, un mot illisible puis une lettre surchargée, lue \mu_i.

page barrée de deux longs traits obliques qui se croisent ; on la transcrit dans la mesure où elle se lit. Elle renvoie à des conditions (5), (8), (9) et à des sous-espaces F_n, F_{n-1} qui ne figurent pas à la page 91 : la suite des feuillets n'est pas assurée ici.

on peut supposer ces conditions satisfaites, donc aussi (9) vrai. donc aussi (9). ~~Prouvons~~ Notons que alors ~~l'indépendance~~ des conditions s_{n+1} \notin libre mod F_n équivaut à la condition ~~libre mod F_n~~ (5), ~~Maintenant on sait déjà que~~ Mais on sait que ~~a'_n | F_{n-1} = 0, donc~~ équivaut à \langle s_n, a'_n \rangle inv. ?, et \langle s_n, a'_n \rangle = \lambda_n, OK. Il reste, pour compléter la récurrence, à établir (8) pour i = n+1 i.e. on a s_{n+1} \overset{\mathrm{déf}}{=} \tau_n s_n = s_n + \langle s_n, a'_n \rangle a_n \equiv \langle s_n, a'_n \rangle a_n \quad (F_n) sous cette ligne, un calcul entièrement biffé et raturé : « F_n \dots \equiv \lambda_{n-1} a_{n-1} \langle s_{n-1}, a'_{n-1} \rangle a_{n-1} \equiv \langle s_{n-1}, a'_n \rangle a_{n-1} mod F_{n-1} », « mod F_n = \mathcal{O}_S(s_0, a_0, \dots, a_{n-1}) (F_{n-1}) », puis, dans un cadre, « s_n \equiv \lambda_{n-1} a_{n-1} », « a'_n | F_{n-1} = 0 », « s_{n-1} \equiv \lambda_{n-1} a_{n-1} », « donc \langle s_n, a'_n \rangle = ». Seul reste non biffé, à droite : \Vert \qquad \lambda_n a_n \ \text{par (9)} \qquad \text{OK.} dans la marge gauche, en oblique : Les conditions de stabilité, évidentes\dots

Corollaire. Avec fibré vectoriel (\mathcal{O}-Mod. l.l. de t.f.) et conditions fibre par fibre.

Re Corollaire. Conditions sur E loc. libre de rang n+2. Conditions équivalentes sur le système (s_0, \tau_0, \dots, \tau_n) section, ps.-réflexions, définissant les s_i.

au pied de la page, écrit tête-bêche : a'_i \otimes \underline{a_i} \qquad \underline{a'_{i+1}} \otimes a_{i+1} \qquad a_0 \ \text{---}\ a_n \quad a'_1

le haut de la page (jusqu'à « i + 2 \leq j ») est barré de cinq longs traits obliques. \underline{s_0\ a_0 \ \text{---}\ a_{i-1}} \langle s_0, a'_0 \rangle = 1 \qquad \langle a_i, a'_{i+1} \rangle = \langle s_{i+1} - s_i, s'_{i+1} + \cdots \rangle = 1 le premier terme de la seconde égalité est récrit (d'abord s_i ?). \struck{\langle a'_i, a_j \rangle =} \quad \langle a_j, a'_i \rangle = \langle s_{j+1} - s_j, s'_i + \lambda_{i,i+1} s'_{i+1} + \dots + \lambda_{i,n+1} s'_{n+1} \rangle \qquad j \geq i+2 i \leq j - 2 \qquad i + 2 \leq j \qquad \lambda_{ij}

Encadré : \begin{aligned} \tau_i &= \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i \\ a_i &= s_{i+1} - s_i \\ a'_i &= s'_i + \lambda_i s'_{i+1} + \mu_i (s'_{i+2} + \dots + s'_{n+1}) \qquad 0 \leq i \leq n-1 \\ a'_n &= s'_n + \lambda_n s'_{n+1} \end{aligned} la lettre devant la parenthèse est surchargée (d'abord « + », puis une lettre lue \mu_i) ; à droite de l'encadré, « pour » et « \lambda_0 \dots \lambda_n », « \mu_0 \dots \mu_{n-1} », en partie coupés.

~~Quand a-t-on~~ \overbrace{Y_i}^{} \subset Z_{i+1} \qquad \bigvee(h_0 \dots h_{i-1}) \quad \bigwedge(H_n, \dots, H_{i+1}) ces deux lignes sont entourées d'un trait qui les relie à l'encadré. \tau_i^2 = 1 \quad \text{i.e.} \quad \underbrace{\langle a_i, a'_i \rangle}_{\lambda_i - 1} = -2 \ ? \qquad \Longleftrightarrow \qquad \boxed{\lambda_i = -1} le calcul est juste : \langle s_{i+1} - s_i, a'_i \rangle = \lambda_i - 1, qui vaut -2 pour \lambda_i = -1. \tau_i = \mathrm{id} + a_i \otimes a'_i \qquad \struck{\ill{}} \qquad \tau_i^n = \mathrm{id} + P_n(\langle a_i, a'_i \rangle) \tau_i \tau_{i+1} = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i + a'_{i+1} \otimes a_{i+1} + \underbrace{\langle a_{i+1}, a'_i \rangle}_{\alpha_i - \lambda_i} a'_{i+1} \otimes a_i sous l'accolade, « \alpha_i - \lambda_i » suivi d'un terme biffé ; la lettre \alpha_i n'est pas définie sur la page (on attend \mu_i). Le terme croisé est bien \langle a_{i+1}, a'_i \rangle\, a'_{i+1} \otimes a_i ; avec l'encadré, \langle a_{i+1}, a'_i \rangle = \mu_i - \lambda_i. \left( \begin{array}{ll} \struck{\ill{}} & V_i \quad a_i, a_{i+1} \\ V_i^{\vee}\ \struck{\ill{}} & V'_i \quad a'_i, a'_{i+1} \end{array} \right) \begin{pmatrix} \lambda_i - 1 & 1 + \alpha_i - \lambda_i \\ 1 & \lambda_{i+1} - 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} \langle a_i, a'_i \rangle & \langle a_{i+1}, a'_i \rangle \\ \langle a_i, a'_{i+1} \rangle & \langle a_{i+1}, a'_{i+1} \rangle \end{pmatrix} dans la première matrice les « -1 » sont écrits sur des termes raturés. Le coefficient \langle a_{i+1}, a'_i \rangle y est écrit 1 + \alpha_i - \lambda_i, et sous l'accolade du produit \alpha_i - \lambda_i : les deux ne s'accordent pas, et la page ne tranche pas.

En marge à gauche : \struck{\lambda_i \alpha_{i+1} + \lambda_i - \alpha_i} \qquad \struck{\ill{} \alpha_i + \lambda_i} \qquad t\ \begin{pmatrix} -2 & 2 + \alpha_i \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \qquad 2 - \alpha_i ce dernier bloc est barré d'un trait ondulé.

en haut à droite, au crayon puis à l'encre, un réseau de droites obliques se croisant en losanges, un sommet entouré d'un cadre ; aux nœuds, des couples d'indices peu lisibles, lus sous réserve « 0,0 », « 1,0 », « 0,1 », certains raturés, et au milieu une inégalité entre deux d'entre eux.

Lemme. Soit \mathcal{E} fibré vectoriel de rg N \geq 3, X = \check{\mathbb{P}}(\mathcal{E}).

a) Soit \tau_X une ps.-réflexion de X. Alors \exists ! ps.-réflexion \tau_{\mathcal{E}} de \mathcal{E} qui lui donne naissance, propre si \tau_X l'est. l'indice de \tau dans « si \tau_X l'est » est récrit.

b) Soit C un ~~hyperplan~~ sous-fibré proj. de X, ~~stable par \tau_X, de~~ C = \check{\mathbb{P}}(V), ~~supposons \tau_X C = C i.e. \tau_{\mathcal{E}} V = V~~. \tau_X propre, centre h \in C, ~~alors~~ alors ~~considérons l'extension \mathcal{E} de \underline{\mathcal{O}}_S par V~~ \tau_{\mathcal{E}} induit l'identité sur \mathcal{E}/V. Si C est hyperplan et \mathcal{E} l'enveloppe vectorielle can. de E = X \smallsetminus C, donc \mathcal{E}/V \simeq \underline{\mathcal{O}}_S can., alors l'action de \tau_X | E ~~sur~~ s'identifie à \tau_{\mathcal{E}} | E, où on identifie E à l'image inverse de 1 par \mathcal{E} \to \underline{\mathcal{O}}_S.

Dégager : conditions de stabilité d'un s-fibré projectif par pseudo-réflexions

conditions de commutation de deux pseudo-réflexions.

Ordre d'une pseudo-réflexion Ordre du produit de deux pseudo-réflexions

Groupes engendrés par des pseudo-réflexions vectorielles\dots

ces mots, de sa main, sont écrits en haut à droite d'un feuillet teinté (page 95), par ailleurs blanc, qui précède les pages suivantes ; le premier mot est d'une lecture douteuse.

Théorème. Soient k un anneau, \mathcal{E} un k-module, n \in \mathbb{N}, \tau_i (0 \leq i \leq n) des pseudo-réflexions dans \mathcal{E} (1) \qquad \tau_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i \qquad a'_i \in \check{\mathcal{E}}, \ a_i \in \mathcal{E} \quad (0 \leq i \leq n) . Soit s_0 \in \mathcal{E}, et posons ~~Considérons~~ (2) \qquad s_1 = \tau_0 s_0, \ s_2 = \tau_1 s_1 \ (= \tau_1 \tau_0 s_0), \ \dots, \ s_{n+1} = \tau_n s_n \ (= \tau_n \tau_{n-1} \cdots \tau_0 s_0) , au-dessus : « s_{i+1} = \tau_i s_i \dots ». (3) \qquad \mathcal{E}_0 = k s_0, \ \mathcal{E}_1 = k(s_0, \struck{\ill{}}\, a_0), \ \struck{\ill{}} \dots, \ \mathcal{E}_i = k(s_0, \struck{\ill{}}\, a_0, \dots, \struck{\ill{}}\, a_{i-1}), \dots et enfin (4) \qquad \lambda_i = \langle s_0, a'_0 \rangle \langle a_0, a'_1 \rangle \cdots \langle a_{i-1}, a'_i \rangle \qquad (0 \leq i \leq n) à droite, dans une accolade : \mathcal{E}_{n+1} = k(s_0, a_0, \dots, a_n). NB \mathcal{E}_i engendré par i+1 éléments. ~~(\mathcal{E}_i engendré par i+1 ). On a alors~~

1°) On a (5) s_i \in \mathcal{E}_i pour 0 \leq i \leq n+1, donc k(s_0, \dots, s_i) \subset \mathcal{E}_i (0 \leq i \leq n+1) (6) s_{i+1} \equiv \lambda_i a_i mod \mathcal{E}_{i} dans (6), le membre de droite est récrit ; on lit \lambda_i a_i modulo \mathcal{E}_i, sous réserve.

2°) Conditions (A) et (B) (1 \leq i \leq n+1) équivalent à supposer a'_i | \mathcal{E}_{i-1} = 0 (0 \leq i \leq n) l'ajout, relié par un trait à « (A) et (B) », est de lecture incertaine.

A) ~~Les sections s_i (0 \leq i \leq n+1) sont lin. indépendantes~~ On a ~~\mathcal{E}~~

(7) \tau_i \tau_j = \tau_j \tau_i pour 0 \leq i, j \leq n, i, j non consécutifs

(8) \tau_i s_0 = s_0 pour 1 \leq i \leq n

(9) (s_i)_{0 \leq i \leq n+1} libre dans \mathcal{E} les numéros (7), (8), (9) sont récrits sur d'autres. À droite, une flèche vers (7)-(8) et, en oblique : « et il suffit que ce soit vrai modulo les scalaires dans \check{\mathbb{P}}(\mathcal{E}) ».

B) On a

(10) \langle a_i, a'_j \rangle = 0 pour 0 \leq i, j \leq n, i, j non consécutifs

(11) \langle s_0, a'_i \rangle = 0 pour 1 \leq i \leq n

(12) (s_0, \struck{\ill{}}\, a_0, \dots, a_n) libre dans \mathcal{E}.

(13) \lambda_n \in k^*

3°) De plus, ces conditions impliquent que (14) \qquad \mathcal{E}_i = k(s_0, \dots, s_{i-1}) \qquad 0 \leq i \leq n+1 d'après (3) et la NB, \mathcal{E}_i a i+1 générateurs s_0, a_0, \dots, a_{i-1}, et (5) donne k(s_0, \dots, s_i) \subset \mathcal{E}_i ; on attendrait ici k(s_0, \dots, s_i). L'indice i-1 est bien celui de la page.

(15) ~~\mathcal{E}_i stable par \tau_0, \dots, \tau_{i-1} (\dots i)~~ \tau_j(\mathcal{E}_i) = \mathcal{E}_i j \neq i 0 \leq i, j \leq n

(16) \tau_i(\mathcal{E}_i) \neq \mathcal{E}_i 0 \leq i \leq n si k \neq 0

Dém.

(1°) Prouvons la formule (5), qui se réduit à s_i \in \mathcal{E}_i \qquad 0 \leq i \leq n+1 — procédons par réc. sur i, la formule étant triviale pour i = 0. Et prouvons en même temps (6), (qui est vraie pour i = 0 si on pose a_{-1} = s_0, \lambda_{-1} = 1, \mathcal{E}_{-1} = 0). On a s_{i+1} = \tau_i s_i = \underset{\substack{\cap \\ \mathcal{E}_i}}{s_i} + \langle s_i, a'_i \rangle a_i \in \mathcal{E}_i + k a_i = \mathcal{E}_{i+1} s_{i+1} \equiv \langle s_i, a'_i \rangle a_i \quad (\mathcal{E}_i) comme s_i \equiv \struck{\ill{}}\ \lambda_{i-1} a_{i-1} \quad (\mathcal{E}_{i-1}) on aura \langle s_i, a'_i \rangle = \lambda_{i-1} \langle a_{i-1}, a'_i \rangle = \lambda_i , d'où la formule (6) pour i+1 au lieu de i, si on suppose a'_i | \mathcal{E}_{i-1} = 0, OK. la dernière égalité utilise a'_i | \mathcal{E}_{i-1} = 0 et la définition (4) de \lambda_i ; elle est juste sous cette hypothèse.

Corollaire. Soient \left\lbrace \begin{aligned} h_i &= k a_i \\ H_i &= \mathrm{Ker}\, a'_i \end{aligned} \right. \qquad 0 \leq i \leq n \ \struck{\ill{}} les sous-modules associés à \tau_i, posons aussi \lbrace a_{-1} = s_0, h_{-1} = k s_0 . Les conditions ci-dessous ~~équivalentes~~ (A') et (B') sont équivalentes et impliquent la formule (14) (\mathcal{E}_i = k(s_0, \dots, s_{i-1})) NB h_i, H_i ~~sont~~ définis en termes des \tau_i, dès que a_i, a'_i font libres.

(A') On a

(15) h_i \subset H_j si -1 \leq i < j \leq n, j \neq i+1

(15') (s_i)_{0 \leq i \leq n+1} est libre (ou encore, [] les h_i indépendants et h_i \not\subset H_{i+1} en chaque fibre, pour -1 \leq i \leq n-1) l'ajout entre parenthèses, dans la marge de droite, est raturé en plusieurs couches ; lecture incertaine.

(B') On a

(17) \langle a_i, a'_j \rangle = 0 pour -1 \leq i < j \leq n, j \neq i+1

(18) (a_i)_{-1 \leq i \leq n} est libre

(19) \lambda_n \in k^*

Bien sûr, (17) n'est qu'une reformulation de (15), et il reste à prouver, en admettant (15) et (17) vrais, que (15') équivaut à (18) + (19). ~~Pour~~ On . On peut supposer que (S i.e. n \geq 0) dans la marge gauche, en travers : a_i \notin \mathcal{E}_{i-1} (lecture incertaine : l'appartenance est récrite).

déjà prouvé pour n-1, et que s_0 \dots s_n et (a_{-1}, \dots, a_{n-1}) sont lin. indép. et (s_0, \dots, s_n) engendrent \mathcal{E}_n. ~~On a donc~~ ~~Donc que (s_0, \dots, s_n, s_{n+1}) libre s_{n+1} libre mod \mathcal{E}_n ; s_{n+1} \equiv \lambda_n a_n mod \mathcal{E}_n, donc s_{n+1} et (s_0 \dots s_{n+1}) libre~~ ~~s_{n+1}~~ or par (6) s_{n+1} \equiv \struck{\ill{}}\ \lambda_n a_n \quad (\mathcal{E}_n) donc la condition équivaut à \alpha) a_n libre mod \mathcal{E}_n, i.e. (18), et \beta) la condition (19). les numéros (18), (19) sont récrits sur d'autres.

Donc on a l'équivalence dite, et de plus ces conditions équiv. impliquent ~~\mathcal{E}_n = k(s_0, \dots, s_n)~~ \mathcal{E}_n \mathcal{E}_{n+1} = \mathcal{E}_n + k s_{n+1} = k(s_0, \dots, s_n) + k s_{n+1} = k(s_0, \dots, s_{n+1}) , ce qui achève la dém. du corollaire. ici \mathcal{E}_{n+1} = k(s_0, \dots, s_{n+1}), avec le même indice que \mathcal{E} ; cela confirme que le s_{i-1} de la formule (14), page 96, est un glissement d'indice.

(2°)le numéro est cerclé. On procède par récurrence sur n, supposant (n \geq 0) que c'est prouvé déjà pour n-1. Donc on peut supposer que toutes les conditions, écrites dans A, B sont satisfaites pour le système (s_0, \tau_0, \dots, \tau_{n-1}), et qui a ~~donc~~ et de plus ~~\mathcal{E}_n = k(s_0, \dots, s_n)~~ (14) pour 0 \leq i \leq n, et prouvons que alors les syst. de conditions (A'') :

\alpha)\tau_n commute à \tau_0 \dots \tau_{n-2} \beta)\tau_n s_0 = s_0 \gamma)s_{n+1} libre mod \mathcal{E}_n

équivaut au syst. de conditions (B'') :

\alpha)\langle a_i, a'_n \rangle = 0, \langle a'_i, a_n \rangle = 0 pour 0 \leq i \leq n-2 \beta)\langle s_0, a'_n \rangle = 0 \gamma)a_n libre mod \mathcal{E}_n \delta)\lambda_n \in k^*

et que ces conditions impliquent \mathcal{E}_{n+1} = k(s_0, \dots, s_{n+1}) . (20) « (20) » est écrit seul au pied de la page. Dans \alpha) de (B''), le second crochet s'écrit \langle a'_i, a_n \rangle, les arguments dans l'ordre inverse de l'autre.

Comme s_{n+1} = \tau_n s_n = s_n + \langle s_n, a'_n \rangle a_n, la condition de (\mathrm{A}''\gamma) s_{n+1} libre mod \mathcal{E}_n, implique a_n libre mod \mathcal{E}_n, donc (s_0, a_0, \dots, a_n) libre. En particulier, (a_i, a_n) est libre si 0 \leq i \leq n-1, donc \tau_i commutant à \tau_n si \langle a'_i, a_n \rangle = \langle a_i, a'_n \rangle = 0. De même (s_0, a_n) étant libre, la condition \tau_n s_0 = s_0 () implique passage encadré et barré de traits obliques. Donc on peut supposer, pour établir l'équivalence de (A'') et (B''), que (s_0, a_0, \dots, a_n) est libre. Mais alors (a_i, a_n) étant libre pour 0 \leq i \leq n-2, la condition \alpha) de (\mathrm{A}''\alpha) s'interprète par (\mathrm{B}''\alpha), (\mathrm{A}''\beta) par (\mathrm{B}''\beta), il reste à montrer, moyennant les conditions précédentes supposées satisfaites, que (\mathrm{A}''\gamma) équivaut à (\mathrm{B}''\delta), Or Or (\mathrm{A}''\gamma), par l'hypoth. faite de liberté de a_n mod \mathcal{E}_n, équivaut à \langle s_n, a'_n \rangle \in k^* , or par hyp. de récurrence et 1°) déjà prouvé, on a s_n \equiv \lambda_{n-1} a_{n-1} \quad \text{mod } \mathcal{E}_{n-1} et a'_n | \mathcal{E}_{n-1} = 0 par (\mathrm{B}''\alpha, \beta), donc \langle s_n, a'_n \rangle = \lambda_{n-1} \langle a_{n-1}, a'_n \rangle = \lambda_n donc on trouve bien la condition \lambda_n \in k^* de (\mathrm{B}''\delta). Enfin il est évident que toutes ces conditions impliquent \mathcal{E}_n + k s_{n+1} = \mathcal{E}_n + k a_n = \mathcal{E}_{n+1}, et comme \mathcal{E}_n = k(s_0, \dots, s_n) par hyp. de récurrence, on en déduit bien (20),

cqfd.

(3°)le numéro est cerclé. On a déjà prouvé (14), il faut prouver (15) (16).

Formule (15) : Pour j < i cela provient de \tau_j = \mathrm{id} + a'_j \otimes a_j, et a_j \in \mathcal{E}_i, pour j > i cela provient de a'_j | \mathcal{E}_i = 0 (moyennant les hyp. A) B)), qui implique \mathcal{E}_i \subset H_j (\mathcal{E}^{\tau_j}). sous H_j, un signe d'égalité vertical renvoie à « \mathcal{E}^{\tau_j} ».

Formule 16. On a \mathcal{E}_i = \mathcal{E}_{i-1} + k a_{i-1} , donc \begin{aligned} \tau_i \mathcal{E}_i &= \underbrace{\tau_i \mathcal{E}_{i-1}}_{\mathcal{E}_{i-1}} + k \tau_i a_{i-1} \\ &= \mathcal{E}_{i-1} + k \underbrace{\langle a_{i-1}, a'_i \rangle}_{\in k^*} a_i = \mathcal{E}_{i-1} + k a_i \end{aligned} la première égalité omet le terme k a_{i-1} de \tau_i a_{i-1} = a_{i-1} + \langle a_{i-1}, a'_i \rangle a_i ; le résultat \mathcal{E}_{i-1} + k a_i est celui de la page. libre mod \mathcal{E}_{i-1}, cela et comme (a_{i-1} et a_i) prouve notre assertion. l'ordre des deux dernières lignes sur la page est incertain.

Corollaire 2. Sous les conditions du ) (équivalentes à les conditions du Th. + 2° corollaire), on a, posant \left\lbrace \begin{aligned} \mathcal{E}^{\tau_i} &= \mathrm{Ker}\, a'_i \ (\overset{\mathrm{df}}{=} H_i) \\ k a_i &= \mathrm{Im}(\tau_i - \mathrm{id}) \ (\overset{\mathrm{df}}{=} h_i) \end{aligned} \right. \qquad 0 \leq i \leq n devant l'accolade, un premier essai biffé (« H_i \overset{\mathrm{df}}{=} »).

(21)(l'accolade ci-dessus) (22)\mathcal{E}_i \subset H_j ~~(\mathrm{Ker}\, a'_j)~~ pour 0 \leq i < j \leq n (23)\mathcal{E}_i \cap H_i = \mathcal{E}_{i-1}, (24)\tau_i \tau_{i+1} \neq \tau_{i+1} \tau_i, même modulo k^* (si k \neq 0) (25)~~h_i \in H_i~~ i.e. \langle a_i, a'_{i+1} \rangle \in k^* (donc \neq 0 si k \neq 0) (-1 \leq i \leq n) (25')h_i \not\subset H_{i+1} si k \neq 0sous h_i et H_{i+1}, reliés par des signes = verticaux : k a_i et \mathrm{Ker}\, a'_{i+1}.

le numéro (21) est en face de l'accolade de définition ; (24), (25) sont récrits sur d'autres chiffres. Sous (25), biffé : « k a_i — \mathrm{Ker}\, a'_{i+1} ».

La formule (22) est déjà prouvée, (21) 1° provient du fait que a'_i est libre, (21 2°) du fait que a'_i : \mathcal{E} \to k est surjectif, car \langle a_{i-1}, a'_i \rangle \in k^* (avec a_{-1} = s_0 !) grâce à (13) (4). ~~Donc~~ La formule (23) provient de \mathcal{E}_i = k(a_{-1}, \dots, a_{i-1}), et que H_i = \mathrm{Ker}\, a'_i, a'_i nul sur a_j (-1 \leq j \leq i-2), \langle a_{i-1}, a'_i \rangle \in k^*.