Cote n° 72 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Polyèdres réguliers et hyperpolyèdres réguliers (Calculs en dimension quelconque) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

81la page commence en cours de raisonnement. donc \[ \underbrace{\mathrm{Lin}(h_{i+1}, \dots, h_n)}_{Z_i \ \mathrm{dim}\ n-i-1} \subset Z \subset \underbrace{H_0 \cap \dots \cap H_i}_{Z'_i \ \mathrm{dim}\ n-i} . \] « \(\mathrm{Lin}\) » est lu d'après la page 85, où le mot est écrit en clair ; ici il est abrégé. L'indice de dimension sous \(Z_i\) se lit \(n-i-1\), le dernier signe peu net.

Cela implique donc \(Z\) et par cette condition implique bien que \(Z\) est stable par les \(T_j\). Elle implique aussi \(Z\). \[ Z_i \subset Z'_i , \] ce qui équivaut aussi à \[ h_{i+1} \notin H_i \] i.e. \[ \beta_i = 0 . \] le signe est bien \(\notin\) sur la page ; l'inclusion \(Z_i \subset Z'_i\) semblerait demander \(h_{i+1} \in H_i\).

à droite, séparé du texte par un trait vertical : Réciproquement, pour \(i\) fixé, conditions équiv. : a) \(Z_i \subset Z'_i\) ; b) \(Z_i\) inv. par \(G\) ; c) \(Z\) \(Z'_i\) inv. par \(G\) ; d) \(\beta_i = 0\).

Et pour une raison de dim., on doit avoir \[ Z = Z_i \quad \text{ou} \quad Z = Z'_i , \] l'inverse étant clair.

Remarque. Conditions équivalentes, lorsque \(\dim C \geq 2\) i.e. \(n \geq 2\) : a) Il n'y a pas d'hyperplan de \(C\) invariant par \(G\) ; b) On a […] \(\beta_0 \neq 0\), et […] ⌜on n'a pas⌝ \(\bigl(\beta_1 = 0\) et \(\underbrace{H_0 \cap H_1}_{\mathrm{dim}\ n-1} \subset C\bigr)\) ⌜(i.e. \(H_0 \cap H_1\) inv. […] par \(G\))⌝. sur « \(\beta_1 = 0\) » un \(\neq\) a d'abord été écrit, puis sa barre biffée. Sous la parenthèse une accolade renvoie à : \(\Updownarrow\) si \(\beta_0\) ou \(\mu_0 \neq 0\) : \[ \beta_1 = 0 \quad \text{et} \quad \mu_1 \mu_0 - \beta_0 = 0 \]

82[…] forment un drapeau.

c) Pour que \(G\) opère sur \(C\) […] irréductiblement, il faut et suffit que tous les \(\beta_i\) (\(0 \leq i \leq n-1\)) soient \(\neq 0\), i.e. que la forme quadratique can. ⌜bil. can.⌝ \(f_V\) sur \(V\) soit non dég. non dégénérée (i.e. que \(f_V\) soit lisse, et que p[…] ⌜si⌝ \(n\) impair, \(2\) soit inv. sur \(S\) ⌜\(k\) soit de car. \(\neq 2\)⌝).

c) Pour que

Dém. Dire que \(Z\) est inv. par \(T_i\) signifie que l'on a \[ Z \ni h_i \quad \text{ou} \quad Z \subset H_i . \] Si \(Z\) est ⌜[…]⌝ invariant par tous les \(T_i\), ou bien \(Z \subset H_i\) pour tt \(i\), donc \(Z \subset \bigcap H_i = \{c\}\), donc \(Z = \emptyset\) ou \(Z = \{c\}\), ou bien \(\exists\, i\) Notons que si \(0 < i \leq n\)bornes peu nettes. \[ Z \subset H_i \Longrightarrow Z \subset H_{i-1} , \] car sinon on aurait \(h_{i-1} \in Z\), donc \(h_{i-1} \notin H_i\), absurde. De même, si \(h_j \in Z\), \(h_j\) \(0 \leq j < n\), donc \(h_{j+1} \in Z\), car sinon on aurait \(Z \subset H_{j+1}\), donc \(h_j \notin H_{j+1}\), absurde. dans « \(h_{i-1} \notin H_i\) » et « \(h_j \notin H_{j+1}\) », la barre est tracée sur un \(\in\) déjà écrit. Il en résulte que l'on a deux possibilités […] :

a) \(Z \subset H_i\) \(\forall\, 0 \leq i \leq n\), donc \(Z \subset \bigcap_{0 \leq i \leq n} H_i = \{c\}\), donc \(Z = \emptyset\) ou \(Z = \{c\}\) — qui est bien invariant ;

a') \(Z \not\subset H_i\) \(\forall\, 0 \leq i \leq n\), i.e. \(Z \ni h_i\) \(0 \leq i \leq n\), donc \(Z \supset V(h_0 \dots h_n) = C\), donc \(Z = C\) […] ⌜\(Z =\)⌝ \(X\)la fin de la ligne est surchargée : après « \(Z = C\) » un trait barré, puis « \(X\) », avec « \(Z =\) » au-dessus. qui est bien invariant ;

b) On n'est pas dans a) ou a'), donc \(\exists\, i\), \(0 \leq i < n\), tel que \(Z \subset H_j\) ⌜si \(0 \leq j \leq i\)⌝, et \(Z \not\subset H_j\) si \(j \geq i+1\)

Groupes engendrés par des pseudo-réflexions projectives et relations avec les réalisations géom. des […] hyperpolyèdres.

ces mots, de sa main, sont écrits en haut à droite d'un feuillet teinté (page 83), par ailleurs blanc, qui précède les pages suivantes ; un mot biffé devant « hyperpolyèdres ».

84Soit \(C\) \(n\)-maquette ⌜régulière⌝, correspon

Soit \(C\) une \(n\)-carte régulière combinatoire, […] \(R\) l'ens. de ses repères, qui est un torseur à gauche sous \(G = \mathrm{Aut}\, C\), le commutant de \(G\) étant formé des opérations des gr. cartographiques, engendré par \(\sigma_0, \dots, \sigma_n\). Si \(\underline{r} \in R\), il lui correspond des générateurs \(\tau_i^{(r)}\) de \(G\), définis par \[ (1) \qquad \tau_i^{(r)} \underline{r} = \sigma_i \underline{r} . \] Une réalisation géométrique projective de \(C\), dans […] \((n+1)\)-fibré projectif \(X\) sur \(S\), revient à la donnée de

a) Opération \(\varphi_X\) de \(G\) sur \(X\)l'indice de \(\varphi\) est peu net (\(X\) ou \(r\)). \[ (2) \qquad \varphi_X : G \to \mathrm{Aut}_S X = \Gamma\, \underline{\mathrm{Aut}}_S(X) , \]

b) drapeau ⌜[…]⌝ \(\underline{r} = (X_0, X_1, \dots, X_n)\) \(X\) dans \(X\), satisfaisant \[ (3) \qquad \tau_i X_j = X_j \quad \text{si } i \neq j \] sous (3) une seconde ligne est biffée : « \(\tau_i X_i \neq X_i\) ».

(4) Les \(\tau_i\) sont des réflexions de \(P\)ou de \(X\) ; la lettre est peu nette.

[Ceci permet de ⌜définir \(R \to \mathrm{Drapeaux}(X)\) et des⌝ applications \(\mathrm{Dr}_H(C) \to \mathrm{Dr}_H(X)\).]

Prop. Conditions équivalentes (si […] \(S = \mathrm{Spec}(K)\) ⌜le corps⌝)lecture incertaine de la parenthèse. :

b) Aucune Aucune des applications \[ \Phi_i \to \mathrm{Gram}_i(X) \qquad 0 \leq i \leq n \] n'est constante, […] fibre […] générale « \(\mathrm{Gram}_i\) » est lu tel quel ; on attend une grassmannienne. Dans la marge gauche, une étiquette biffée et une flèche qui descend vers le groupe d'énoncés suivant.

c) \(\forall\, 0 \leq i \leq n\), on a \(\tau_i X_i \neq X_i\).

les quatre énoncés suivants sont réunis par une accolade ; plusieurs lettres ont été récrites sur d'autres.

d) Si \(\underline{f_{i-1}} < \underline{f_i} \neq \underline{f'_i} < \underline{f_{i+1}}\) dans \(\Phi_*(C)\), alors \(f_i \neq f'_i\) indépendant du repérage \(r\) (une flèche vers d))

a) L'image ⌜\(\Phi_0\)⌝ de \(\underline{\Phi}_0\) engendre lin. \(X\) (i.e.) […]

⌜[…] de \(X_0\) engendre lin. \(X\)⌝

a') L'intersection des hyperplans de \(\Phi_n\) est vide

c) \(\forall\, 0 \leq i \leq n\), \(\tau_i X_i \neq X_i\)

85en haut, encadré : NB Dans f), les conditions \(\alpha\)) \(\beta\)) \(\gamma\)) ne font intervenir que \((\tau_i)\), non le choix de \(s_0\), qui est précisé dans \(\delta\)) \(\eta\)) \(\rho\))

e) Posant \(s_0 =\) unique pt de \(X_0\), \[ \begin{aligned} s_1 &= \tau_0 s_0 \\ s_2 &= \tau_1 s_1 \\ &\cdots \\ s_{n+1} &= \tau_n s_n , \end{aligned} \] les \(s_i\) sont […] projectivement indépendants, i.e. engendrent l'espace \(X\).

NB (5)le chiffre 5 est cerclé. \[ s_i = \tau_{i-1} \cdots \tau_0 s_0 \qquad (1 \leq i \leq n+1) \] donc si \(j > i\) \[ \tau_j s_i = (\tau_{i-1} \cdots \tau_0) \tau_j s_0 = s_i \] car \(\tau_j s_0 = s_0\).

dans la marge gauche, en oblique : Il y a une condition duale e'), avec \(X_n\) \(S_{n+1} = X_n\), \(S_n = \tau_n X_n\), \(S_{n-1} = \tau_{n-1} S_n\), \(\dots\), puis une égalité aux indices empâtés « \(S = \tau X_0\) », en exigeant \(\bigcap_{0 \leq i \leq n+1} S_i = \emptyset\)

[f) Soit Soit \(h_i\) (\(H_i\)) le centre ([…]) des \(\tau_i\). On a : la liste qui suit est écrite dans la colonne de droite, séparée par une accolade.

\(\alpha\)) \(h_i\) engendrent \(C\) (\((h_i)\) indép.)

\(\beta\)) \(\bigcap H_i = c\) (\((H_i)\) indép.)« \(= c\) » est une lecture douteuse.

\(\gamma\)) \(h_i \notin H_{i+1}\) \((0 \leq i \leq n-1)\)

\(\delta\)) \(s_0 \in \underbrace{H_1 \cap \dots \cap H_n}_{\text{(droite } D)}\) (NB c'est plus fort […] que \(\tau_i s_0 = s_0\) \(1 \leq i \leq n\))

\(\eta\)) \(s_0 \notin H_0\) ou encore \(s_0 \neq c\) (\(\{c\} = \bigcap H_i\)) ou encore \(\tau_0 s_0 \neq s_0\)

\(\rho\)) \(s_0 \notin C\) i.e. \(s_0 \neq d\) où \(\{d\} = D \cap C\).] les lettres grecques \(\eta\) et \(\rho\) sont lues d'après la forme ; la seconde est peut-être récrite.

Schéma de dém. On a les implications sur la page les flèches sont doubles (\(\Rightarrow\), \(\Leftrightarrow\)) ; « tr » : trivial. Le schéma est reproduit avec ses sommets et ses flèches.

LaTeX source
\begin{tikzcd}
a) \arrow[r, Rightarrow, "\mathrm{tr}"] & b) \arrow[r, leftrightarrow, "\mathrm{tr}"] & c) \arrow[r, Rightarrow] \arrow[d, leftrightarrow, "\mathrm{tr}"] & e) \arrow[r, Rightarrow, "\mathrm{tr}"] \arrow[dr, Rightarrow, "\mathrm{tr}"'] & a) \\
a') \arrow[ur, Rightarrow, "\mathrm{tr}"'] & & d) & & a')
\end{tikzcd}

la seule implication non triviale étant la phrase s'arrête là ; au bout de la ligne, dans le cadre de la colonne de droite, est écrit « d) \(\Rightarrow\) e) ».

On prouve l'indép. des \((s_0, \dots, s_i)\) par […] réc. sur \(i\) ; on Si elle est établie prouvera en même temps

Cor. Sous les conditions précédentes, on a \[ (F) \quad \Bigl\lbrace\ X_i = \mathrm{Lin}(s_0, \dots, s_i) \] (\(0 \leq i \leq n+1\), posant \(X_{n+1} = X\)). sous cette ligne, biffée : « \(\tau_j s_i = s_i\) si \(j > i\) ». Si […] prouvé pour […] \(i \leq i_0\), prouvons le pour \(i = i_0 + 1\), i.e. \[ \left\lbrace \begin{aligned} X_{i+1} &= \mathrm{Lin}(s_0, \dots, s_i, s_{i+1}) \quad (= \mathrm{Lin}(X_i, s_{i+1})) \\ \tau_j s_{i+1} &= s_{i+1} \quad (j > i+1) \end{aligned} \right. \] sur la page : « si \(j > i+1\) », puis une flèche vers « vérifié par (5) », et deux lignes biffées d'un gribouillis.

Par déf. \(s_{i+1} = \tau_i s_i\), or \(\tau_i X_{i+1} = X_{i+1}\), car \(s_i \in X_i \subset X_{i+1}\), donc \(\underline{s_{i+1} \in X_{i+1}}\). Reste ⌜Il faut prouver que⌝ Reste à prouver que \(s_{i+1} \in X_i\), i.e. \(\tau_i s_i \in X_i\)sic, deux fois \(\in\) : le sens demande \(\notin\)., car \(\tau_i\) \(X_i = \mathrm{Lin}(X_{i-1}, s_i)\), donc \[ \tau_i X_i = \mathrm{Lin}(\underbrace{\tau_i X_{i-1}}_{X_{i-1}}, \underline{\tau_i s_i}) \] qui serait égal à \(X_i\), contrairement à l'hyp. c).

86page de formules, sans phrases de liaison ; on les donne dans l'ordre de la page, de haut en bas et de gauche à droite.

En haut à gauche, deux suites d'indices : \[ a_0 \ \text{---}\ a_{i-1} \qquad \begin{array}{c} a_{\cdot}\ \overline{a_{n-1}\ a_n} \\ a'_{i+1} \ \text{---}\ a'_{n-1}\ a'_n \end{array} \] l'indice du premier terme de la suite du haut, noté ici par un point, est illisible […] ; une barre coiffe \(a_{n-1}\,a_n\).

\[ c = \bigwedge H_i \qquad C = \bigvee h_i \qquad d = \Bigl(\overbrace{\bigwedge_{1 \leq i \leq n} H_i}^{Z_1}\Bigr) \wedge C \qquad D = \underbrace{\bigvee_{0 \leq i \leq n-1} h_i}_{Y_{n-1}} \vee c \] \[ Y_{n-1} \cap H_n = Y_{n-2} \] le signe \(=\) est surchargé. \[ Y_{n-1} \cap (H_n \cap \dots \cap H_{i+1}) = Y_{i-1} \] Encadré : \[ \left\lbrace \begin{aligned} &Z_1 \not\subset C \\ &c \notin Y_{n-1} \end{aligned} \right. \]

Un schéma d'inclusions, les traits verticaux portant des dimensions : \[ \begin{array}{ccc} & \overbrace{\qquad}^{2} & \\ Y_{n-1} & \subset & X \\ {\scriptstyle n-i}\ \Big| & & \Big|\ {\scriptstyle n-i} \\ Y_{i-1} & \subset & Z_{i+1} = H_n \cap \dots \cap H_{i+1} \\ {\scriptstyle n}\ \Big| & {\scriptstyle 2} & \Big|\ {\scriptstyle i} \\ \emptyset & \subset & Z_1 \\ & {\scriptstyle 2} & \end{array} \] à droite du schéma : « […] \(Y_0\) », un trait vers « \(\emptyset\) — », puis « \(h_0 \notin H_1\) », et plus bas, isolés, « \(c\) \(d\) ».

Encadré : \[ \begin{aligned} X_n &\longmapsto X_i = X_n \wedge Z_{i+1} \\ X_0 &\longmapsto X_i = X_0 \vee Y_{i-1} \end{aligned} \]

\[ c = \bigwedge_0^n H_i \qquad d = \Bigl(\overbrace{\bigwedge_1^n H_i}^{Z_1}\Bigr) \wedge C = Z_1 \wedge C \] \[ C = \bigvee_0^n h_i \qquad D = \Bigl(\underbrace{\bigvee_0^{n-1} h_i}_{Y_{n-1}}\Bigr) \vee c = Y_{n-1} \vee c \] \[ \begin{aligned} X'_i &= (Y_{i-1} \vee c) = Z_{i+1} \wedge C \\ X''_i &= Y_{i-1} \vee d = Z_{i+1} \wedge D \end{aligned} \] entre les deux membres de \(X'_i\), une égalité biffée : \(= C \wedge Z_{i+1}\). Au-dessus du premier \(=\) de \(X''_i\), un petit « ? ». \[ Y_{n-1} \ \text{---}\ Z_1 \qquad\qquad Y_1 \quad Z_{n-1} = H_n \wedge H_{n-1} \]

Correspondances, en colonne : \[ \begin{array}{cc} h_i & H_i \\ c & C \\ d & D \end{array} \] plus bas à gauche, biffé : « \(\bigwedge h_i\) ».

Encadré, sous une accolade :

Au pied de la page : \(s_0\) longueur, \(d\) infiniles deux lettres sont écrites au-dessus des deux mots..

87[…] \(h_0\ h_1\ \dots\ h_n\) sections du fibré projectif \(X\)

\(H_0\ H_1\ H_n\) hyperplans (\(X\) de rang \(n+1\)) le mot « hyperplans » est traversé d'un trait, peut-être une biffure. encadré à droite : \((h_i, H_i)\) centre et cocentre de la pseudo-réflexion \(\tau_i\) dans \(X\) ; \(\tau_i \tau_j = \tau_j \tau_i\) si \(i, j\) non consécutifs, d'où […]

\[ \emptyset = X_{-1} \subset X_0 = \{s_0\} \subset X_1 \subset \dots \subset X_n \subset X = X_{n+1} \] \[ \tau_i X_j = X_j \quad (i \neq j) \qquad 0 \leq i, j \leq n \] sur la page : « \(\tau_i X_j = X_j\) si \(i \neq j\) ». \[ \Longrightarrow \quad \underline{\Phi}_i \to \Phi_i \]

A) Conditions équivalentes

a) \(\forall\, 0 \leq i \leq n\), \(\Phi_i\) non réduit à un pt cette première rédaction de a) et b) est barrée en zigzag.

a) \(\Phi_0\) engendre lin. \(X\) en chaque fibre

a') l'intersection des \(Z \in \Phi_n\) est vide ([…] en chaque fibre)

b) \(\forall\, 0 \leq i \leq n\), \(\Phi_i\) non réduit à un pt

c) \(\forall\, 0 \leq i \leq n\) \(\tau_i(X_i) \neq X_i\)

d) Si \(\underline{f_{i-1}} < \struck{\ill{}}\ \underline{f_i} < \underline{f_{i+1}}\) dans \(\underline{\Phi}_*\), alors \(\exists\, \underline{f'_i} \neq \underline{f_i}\) entre \(\underline{f_{i-1}}, \underline{f_{i+1}}\), tels que \(f_i \neq f'_i\) un « \(\exists\) » isolé est écrit à droite de c), et repris dans d).

e) Posant \(s_1 = \tau_0 s_0\), \(s_2 = \tau_1 s_1 = \tau_1 \tau_0 s_0\), \(\dots\), \(s_{n+1} = \tau_n s_n = \tau_n \tau_{n-1} \cdots \tau_0 s_0\), les \((s_i)_{0 \leq i \leq n+1}\) engendrent ⌜lin.⌝ aff. \(X\) ⌜aff. \(X_n\)⌝ la fin de la ligne est surchargée ; lecture incertaine des deux ajouts.

e') Condition duale avec \(S_n =\)[…], […] \(S_{n-1} = \tau_n S_n\), \(S_{n-2} = \tau_{n-1} S_{n-1} = \tau_{n-1} \tau_n S_n\), \(\dots\), \(S_{-1} = \tau_0 S_0 = \tau_0 \tau_1 \cdots \tau_n S_n\), on veut \(\bigwedge S_i = \emptyset\).

f) […] des conditions

f) […] l'une des […] conditions en ch. fibre les trois conditions qui suivent sont réunies par une accolade.

\(\alpha\)) […] \((h_i)_{0 \leq i \leq n}\) libres \(\Longleftrightarrow\) engendrent hyperplan \(C\)

\(\alpha'\)) \((H_i)_{0 \leq i \leq n}\) libres \(\Longleftrightarrow\) \(\bigcap_0 H_i = \{c\}\), \(c\) section de \(X\)

\(\beta\)) \(h_i \not\subset H_{i+1}\) en chaque fibre \(0 \leq i \leq n-1\)

« en ch. fibres » est ajouté au-dessus de \(\alpha\)) ; la ligne \(\alpha\)) commence par un mot biffé.

\(\gamma\)) posons \(D_0 = H_n \cap \dots \cap H_1\) (droite), on a \(D_0 \cap C = \{d\}\), \(\dots\), \(c \in D_0\), une section \(D_0 \cap C = \{d\}\) \(\dots\) bloc raturé en plusieurs couches ; on n'en donne que ce qui se lit.

\(\delta\)) \(s_0\) section de […] \[ D_0^{**} = D_0 \smallsetminus \{c, d\} = D_0 - {} \] […] après le dernier « \(-\) », « sections des 2 pts », et au-dessus « lieu des fixes de \(\tau_0 | D_0\) » ; lecture incertaine.

encadré à gauche, relié par une flèche à la liste : NB \(\alpha\)) \(\alpha'\)) impliquent \(\lbrace h_i \subset H_j\), \(h_j \subset H_i\) si \(0 \leq i, j \leq n\), \(i, j\) non consécutifs (ce qui exprime encore la commutation des \(\tau_i\)). f) implique \(X_i = \bigvee(s_0, h_0, \dots, h_{i-1}) = \bigwedge(X_n, H_n, \dots, H_{i+1})\). \(X_i\) et \(X_j\) se déterminent mutuellement pour \(i < j\) par \(X_i = \bigwedge(X_j \cap H_j \cdots H_{i+1})\), \(X_j = \bigvee(X_i, h_i, \dots, h_{j-1})\).

B) Pour \((\tau_i)\) donné, pour qu'il existe loc. ([…]) un drapeau \((X_i)\) satisfaisant aux conditions équivalentes ci-dessus, il faut et suffit que \((\tau_i)\) satisfasse les conditions \((\alpha, \alpha', \beta)\) de (A f).

C) Sous les conditions de B (i.e. \(\alpha\) \(\alpha'\) \(\beta\)), l'application \((X_i) \mapsto s_0\) est une bijection de l'ens. des ⌜\(\mathrm{Dr}(\tau_i)\)⌝ des drapeaux \((X_i)\) adaptés à \((\tau_i)\) et non dégénérés, sur l'ens. des sections de \(D_0^{**}\). Plus gén., \(\forall\, 0 \leq i_0 \leq n\), bijection de \(\mathrm{Dr}(\tau_*)\) sur l'ens. \[ (X_*) \longmapsto X_{i_0} \] est une bijection de \(\mathrm{Dr}(\tau_*)\) sur l'ens. des sections de \(D_{i_0}^{**}\), où \(D_i^{**} = D_i \smallsetminus \{c_i, d_i\}\), \(D_i =\) fibré en droites des \((i+1)\)-espaces compris entre \(Y_{i-1} = \bigvee(h_0, \dots, h_{i-1})\) et \(Z_{i+1} = \bigwedge(\struck{H_n}\ H_n, \dots, H_{i+1})\) (resp. de dim \(i-1\) et \(i+1\)), \(c_i\), \(d_i\) étant les sections de \(D_i\) définies resp. par \(Y'_i = Y_{i-1} \vee Z_{i+1}\), \(\dots\) et \(Z'_i = \bigvee(Z_i, Y_{i-1})\), \(Y_{i-1} \subset Y'_i\), \(Z'_i \subset Z_{i+1}\) [NB \(Z\) stable par \(\tau_0 \dots \tau_i\), \(\dots\) \(Z\) stable par \((\tau_i, \dots, \tau_n)\)] \[ \begin{array}{ccc} X'_i = (Y_{i-1} \vee c) & \text{et} & (Y_{i-1} \vee d) = X''_i \\ \Vert & & \Vert \\ (Z_{i+1} \wedge C) & & (Z_{i+1} \wedge D) \end{array} \] où \(D\) est défini […] comme \(D = \bigvee(h_0 \dots h_{n-1}, c)\). le passage biffé est raturé en zigzag ; on n'en donne que ce qui se lit.

88D) Sous les conditions de B), soit […] \(\underline{g}\) le groupe des automorphismes de \((X, \struck{(\tau_*)})\), i.e. des \(G_n\)-automorphismes de \(X\), où \(G_n\) est le groupe engendré par les gén. \(\tau_i\) (\(0 \leq i \leq n\)), liés par relations \(\tau_i \tau_j = \tau_j \tau_i\) si \(i, j\) non consécutifs. On a donc \[ \underline{g} \longrightarrow \underline{\mathrm{Aut}}\bigl(D_0, (c) \cdot (d)\bigr) = \mathrm{Aut}(D_0, \Delta_0) \] où \(\Delta_0\) est le diviseur sur \(D_0\) défini par les sections \(c\), \(d\) au-dessus de « \((c) \cdot (d)\) » : « id sur », et « produit de div. relatifs » ; au-dessus de \(\Delta_0\) : « rel. sur » ; lectures incertaines. ; ceci dit, cet homom. est un isom. — par suite \[ D_0^{**} = D_0 \smallsetminus \Delta_0 \] est un \(\underline{g}\)-torseur : \(\exists\) loc. section (c'est la condition de B, C), et deux sections sont conjuguées par un unique ⌜\(G_n\)-⌝automorphisme. Donc En en vertu de C, item pour le schéma des ⌜\((\tau_*)\)-⌝drapeaux non dégénérés, qui est un torseur sous \(\underline{g}\).

à gauche : NB \(\underline{g}\) est lisse commutatif ⌜[…]⌝ de dim rel \(1\), ses fibres sont \(\mathbb{G}_m\) (\(c \neq d\)) (resp. […] \(\mathbb{G}_a\) (\(c = d\))).

Scholie. Un système \((\tau_*, X_*)\) ⌜non dégénéré⌝ peut être considéré comme une rigidification d'un système \((\tau_*)\) non dég., i.e. d'une représentation projective non dég. de \(G_n\). La cat. (sur \(S\) fixé) des \((\tau_*, \struck{X_*})\) non dég. est équivalente à celle des \((\tau_*, X_*)\) (i.e. des réal. géom. non dég. de \(G_n\)) munies d'un torseur sous le groupe ⌜\(\underline{g}_0\)⌝ \(\underline{\mathrm{Aut}}(D_0, \Delta_0)\) ⌜rel. sur⌝ correspondant à cette dernière\(\dots\) Utilisant la section \(s_0\) distincte de \(d\), comme ⌜comme pt 1⌝ […], \(c\) comme \(0\) et \(d\) comme \(\infty\) (si \(c \neq d\) en tt fibre i.e. le centre \(c\) n'est à l'\(\infty\) sur aucune fibre) on trouve que ce groupe est \(\mathbb{G}_m\), donc il s'agit de la ⌜dans ce cas⌝ la cat. des \((\tau_*)\) non dég. avec centre partout à dist. finie équivaut à la cat. produit de la cat. des \((\tau_*, X_*)\) par celle des Mod. inv. sur \(S\).

E) Soit \(\Pi\) un quasi-polyèdre combinatoire régulier, \(G\) le groupe de ses automorphismes, \(R\) l'ens. des repères, qui

89est un torseur sous \(G\). Le choix d'un \(r \in R\) définit un épim. \[ G_n \xrightarrow{\ \varphi_r\ } G , \] d'où un système \(\tau^r_* = (\tau^r_i) = \varphi_r(\underline{\tau}_i)\), transformé en un syst. conjugué (par \(\mathrm{int}(g)\)) si on change \(r\) en \(r' = gr\) (\(g \in G\)). Donnons-nous un hom. \[ \varphi_G : G \longrightarrow \mathrm{Aut}\, X , \] dire que \(\tau^r_* = (\tau^r_i) = \varphi_G(\underline{\tau}^r_i) = (\varphi_G(\tau^r_i))\) est formé de quasi-réflexions, et que la condition de non dég. de B est satisfaite, ne dépend pas du choix de \(r\). Donnons-nous une repr. régulière \[ \bigl(\varphi_G,\ \varphi_* = (\varphi_i)_{0 \leq i \leq n}\ (\varphi_i : \Phi_i(\Pi) \to \mathrm{Gram}_i(X))\bigr) \] de \(\Pi\), d'où \(r \mapsto \varphi_G(\underline{r}) = X_*\), dire que \((\tau^r_*, X_*)\) est non dég. ne dépend pas du choix de \(\underline{r}\) — intrinsèques ⌜d'ailleurs⌝ les conditions ⌜a) a') b)⌝ (d) de A) sont intrinsèques. La première en vertu […] équivaut à l'existence locale (Zar.) d'une « réal. géom. non dég. » de \(\Pi\) associée à \(\varphi_G\). Donc Tel encore, on voit que le grp Comme \(G\) est simplement transitif sur \(R\), on voit d'ailleurs que tt objet géom. […] associé intrinsèquement à une situation \(\tau_*\) repr. \((\tau_*, X_*)\) non dég. [tel que \(D_0\), et ses sections \(c\), \(d\)] est défini intrinsèquement aussi en termes d'une \(\varphi_G\) ⌜repr. quasi-polyédrale n.d.⌝ (repr. d'une réalisation géom. ⌜\((\varphi_G, \varphi_*)\)⌝ de \(\Pi\)). Ceci dit, \(\mathrm{Aut}\, \varphi_G\) opère sur \((D_0, c, d)\), et on trouve \[ \underline{\mathrm{Aut}}(X, \varphi_G) \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\mathrm{Aut}}\bigl(D_0, (c) \cdot (d)\bigr) \] au-dessus du second membre : « rel sur ». donc la cat. des \(\varphi_G\) quasi-pol. non dég. équivaut à celle des couples […] \(\bigl((\varphi_G, \varphi_*), T\bigr)\), ⌜\((\varphi_G, \varphi_*)\) réal. géom. proj. n. dég. de \(\Pi\)⌝, \(T\) un torseur sous \(\underline{\mathrm{Aut}}(D_0, c, d)\) — […] la ligne continue au bas de la page, peu lisible ; on y devine « intéressant ».

90que ci-dessus pour \(T\) comme l'une des structures quasi-pol. non dég. subordonnées à \(\varphi_G\). Lorsque \(c \neq d\) en chaque pt, \(T\) s'interprète comme un torseur sous \(\mathbb{G}_m\) (opérant par homothéties, cf. plus bas). Si \(c = d\), alors \(D_0^*\) ⌜\(= D_0 \smallsetminus c\)⌝ est un torseur fibré affine, trivialisé par \(s_0\) un fibré vectoriel de rang \(1\), ⌜trivialisé par \(s_0\)⌝ et […] \(\simeq D_0^*\) le fibré vectoriel ass. à ses translations\(\dots\) la fin de la page est surchargée ; la suite des corrections est incertaine. Le reste de la page est blanc.

91Coordonnées universelles ⌜(\(n \geq 1\))⌝. On prend \(C = V(h_0, \dots, h_n)\) comme hyperplan à l'\(\infty\), alors les \(s_i\) (\(i \leq\)) dans \(E = X \smallsetminus C\) comme fibré affine de rg \(n+1\), les \(s_i\) étant donc des sections de \(E\) formant une base affine et donc les \(s_1 - s_0, \dots\) forment une base de l'espace vectoriel des translations […]. On choisit comme base \(s_0, s_1, \dots, s_n\).

\(\mathcal{E}\) vectoriel ⌜\(\mathcal{E}\)⌝ ext. de \(\underline{\mathcal{O}}_S\) par […] l'espace des tr. \(V\) de \(E\) ⌜enveloppe⌝ vect. de \(E\) s'identifie donc à \(\underline{\mathcal{O}}_S^{n+2}\), en prenant […] \((\lambda_0 = 1, \lambda_1, \dots, \lambda_{n+1})\) correspondants la fin de la phrase est raturée en plusieurs couches. \[ \struck{s_0 + \lambda_1 (s_1 - s_0) + \lambda_2 (s_2 - s_0) + \dots + \lambda_n (s_n - s_0)} \] ligne biffée, avec sous les différences les noms \(e_0\), \(e_1\), \(\dots\), \(e_n\). \[ \mathcal{E} = k s_0 \oplus k s_1 \oplus \dots \oplus k s_{n+1} \xrightarrow{\ \pi\ } \underline{\mathcal{O}}_S , \qquad \sum \lambda_i s_i \longmapsto \sum \lambda_i \]

\(\tau_i\) ⌜ps.-⌝réflexions de \(\mathcal{E}\) satisfaisant ⌜\(0 \leq i \leq n\)⌝ à gauche, biffés : « \(\tau_i \tau_j = \tau_j \tau_i\) si \(i \neq j\) » et « \(\tau_i s_i =\) ». Les numéros (1), (2), (3) sont cerclés ; une flèche marquée « conditions imposées » pointe vers le groupe qu'ils forment. \[ \tau_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i \]

les indices de la condition entre crochets sont surchargés ; lecture incertaine.

\[ a'_j = \lambda_{jj} s_j + \lambda_{j,j+1} s_{j+1} + \dots + \lambda_{j,n+1} s_{n+1} \] exprime (1) : \[ (\tau_i s_i =)\ s_i + \lambda_{ii} a_i = s_{i+1} \qquad \struck{a_i =} \ \lambda_{ii} a_i = s_{i+1} - s_i \] ops \(\lambda_{ii} = 1\), donc \[ \boxed{a_i = s_{i+1} - s_i} \qquad \lambda_{ii} = 1 \quad \text{i.e.} \quad a'_i = s_i + \lambda_{i,i+1} s_{i+1} + \dots + \lambda_{i,n+1} s_{n+1} \] exprime (1) et (2) \[ \left. \begin{aligned} &\lambda_{i,i+2} = \lambda_{i,i+3} = \dots = \lambda_{i,n+1} \quad (\ldots\ \mu_i) \\ &\lambda_{i,i+1} = \lambda_i \end{aligned} \right| \] exprime (3). « ops » : on peut supposer. Dans la parenthèse, un mot illisible […] puis une lettre surchargée, lue \(\mu_i\).

92page barrée de deux longs traits obliques qui se croisent ; on la transcrit dans la mesure où elle se lit. Elle renvoie à des conditions (5), (8), (9) et à des sous-espaces \(F_n\), \(F_{n-1}\) qui ne figurent pas à la page 91 : la suite des feuillets n'est pas assurée ici.

on peut supposer ces conditions satisfaites, ⌜donc aussi (9) vrai.⌝ […] ⌜donc aussi (9)⌝. Prouvons ⌜Notons⌝ que alors l'indépendance des […] conditions \(s_{n+1} \notin\) libre mod \(F_n\) équivaut à la condition libre mod \(F_n\) (5), Maintenant on sait déjà que ⌜Mais on sait que⌝ \(a'_n | F_{n-1} = 0\), donc équivaut à \(\langle s_n, a'_n \rangle\) […] ⌜inv.⌝ ?, et \(\langle s_n, a'_n \rangle = \lambda_n\), OK. Il reste, pour compléter la récurrence, à établir (8) pour \(i = n+1\) ⌜i.e.⌝ on a \[ s_{n+1} \overset{\mathrm{déf}}{=} \tau_n s_n = s_n + \langle s_n, a'_n \rangle a_n \equiv \langle s_n, a'_n \rangle a_n \quad (F_n) \] sous cette ligne, un calcul entièrement biffé et raturé : « \(F_n\) \(\dots\) \(\equiv \lambda_{n-1} a_{n-1} \langle s_{n-1}, a'_{n-1} \rangle a_{n-1} \equiv \langle s_{n-1}, a'_n \rangle a_{n-1}\) mod \(F_{n-1}\) », « mod \(F_n = \mathcal{O}_S(s_0, a_0, \dots, a_{n-1})\) (\(F_{n-1}\)) », puis, dans un cadre, « \(s_n \equiv \lambda_{n-1} a_{n-1}\) », « \(a'_n | F_{n-1} = 0\) », « \(s_{n-1} \equiv \lambda_{n-1} a_{n-1}\) », « donc \(\langle s_n, a'_n \rangle =\) […] ». Seul reste non biffé, à droite : \[ \Vert \qquad \lambda_n a_n \ \text{par (9)} \qquad \text{OK.} \] dans la marge gauche, en oblique : Les conditions de stabilité, évidentes\(\dots\)

Corollaire. Avec […] fibré vectoriel (\(\mathcal{O}\)-Mod. l.l. de t.f.) et conditions fibre par fibre.

Re Corollaire. Conditions sur \(E\) loc. libre de rang \(n+2\). Conditions […] équivalentes sur le système \((s_0, \tau_0, \dots, \tau_n)\) ⌜section, ps.-réflexions⌝, définissant les \(s_i\).

au pied de la page, écrit tête-bêche : \[ a'_i \otimes \underline{a_i} \qquad \underline{a'_{i+1}} \otimes a_{i+1} \qquad a_0 \ \text{---}\ a_n \quad a'_1 \]

93le haut de la page (jusqu'à « \(i + 2 \leq j\) ») est barré de cinq longs traits obliques. \[ \underline{s_0\ a_0 \ \text{---}\ a_{i-1}} \] \[ \langle s_0, a'_0 \rangle = 1 \qquad \langle a_i, a'_{i+1} \rangle = \langle s_{i+1} - s_i, s'_{i+1} + \cdots \rangle = 1 \] le premier terme de la seconde égalité est récrit (d'abord \(s_i\) ?). \[ \struck{\langle a'_i, a_j \rangle =} \quad \langle a_j, a'_i \rangle = \langle s_{j+1} - s_j, s'_i + \lambda_{i,i+1} s'_{i+1} + \dots + \lambda_{i,n+1} s'_{n+1} \rangle \qquad j \geq i+2 \] \[ i \leq j - 2 \qquad i + 2 \leq j \qquad \lambda_{ij} \]

Encadré : \[ \begin{aligned} \tau_i &= \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i \\ a_i &= s_{i+1} - s_i \\ a'_i &= s'_i + \lambda_i s'_{i+1} + \mu_i (s'_{i+2} + \dots + s'_{n+1}) \qquad 0 \leq i \leq n-1 \\ a'_n &= s'_n + \lambda_n s'_{n+1} \end{aligned} \] la lettre devant la parenthèse est surchargée (d'abord « \(+\) », puis une lettre lue \(\mu_i\)) ; à droite de l'encadré, « pour […] » et « \(\lambda_0 \dots \lambda_n\) », « \(\mu_0 \dots \mu_{n-1}\) », en partie coupés.

Quand a-t-on \[ \overbrace{Y_i}^{} \subset Z_{i+1} \qquad \bigvee(h_0 \dots h_{i-1}) \quad \bigwedge(H_n, \dots, H_{i+1}) \] ces deux lignes sont entourées d'un trait qui les relie à l'encadré. \[ \tau_i^2 = 1 \quad \text{i.e.} \quad \underbrace{\langle a_i, a'_i \rangle}_{\lambda_i - 1} = -2 \ ? \qquad \Longleftrightarrow \qquad \boxed{\lambda_i = -1} \] le calcul est juste : \(\langle s_{i+1} - s_i, a'_i \rangle = \lambda_i - 1\), qui vaut \(-2\) pour \(\lambda_i = -1\). \[ \tau_i = \mathrm{id} + a_i \otimes a'_i \qquad \struck{\ill{}} \qquad \tau_i^n = \mathrm{id} + P_n(\langle a_i, a'_i \rangle) \] \[ \tau_i \tau_{i+1} = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i + a'_{i+1} \otimes a_{i+1} + \underbrace{\langle a_{i+1}, a'_i \rangle}_{\alpha_i - \lambda_i} a'_{i+1} \otimes a_i \] sous l'accolade, « \(\alpha_i - \lambda_i\) » suivi d'un terme biffé ; la lettre \(\alpha_i\) n'est pas définie sur la page (on attend \(\mu_i\)). Le terme croisé est bien \(\langle a_{i+1}, a'_i \rangle\, a'_{i+1} \otimes a_i\) ; avec l'encadré, \(\langle a_{i+1}, a'_i \rangle = \mu_i - \lambda_i\). \[ \left( \begin{array}{ll} \struck{\ill{}} & V_i \quad a_i, a_{i+1} \\ V_i^{\vee}\ \struck{\ill{}} & V'_i \quad a'_i, a'_{i+1} \end{array} \right) \] \[ \begin{pmatrix} \lambda_i - 1 & 1 + \alpha_i - \lambda_i \\ 1 & \lambda_{i+1} - 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} \langle a_i, a'_i \rangle & \langle a_{i+1}, a'_i \rangle \\ \langle a_i, a'_{i+1} \rangle & \langle a_{i+1}, a'_{i+1} \rangle \end{pmatrix} \] dans la première matrice les « \(-1\) » sont écrits sur des termes raturés. Le coefficient \(\langle a_{i+1}, a'_i \rangle\) y est écrit \(1 + \alpha_i - \lambda_i\), et sous l'accolade du produit \(\alpha_i - \lambda_i\) : les deux ne s'accordent pas, et la page ne tranche pas.

En marge à gauche : \[ \struck{\lambda_i \alpha_{i+1} + \lambda_i - \alpha_i} \qquad \struck{\ill{} \alpha_i + \lambda_i} \qquad t\ \begin{pmatrix} -2 & 2 + \alpha_i \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \qquad 2 - \alpha_i \] ce dernier bloc est barré d'un trait ondulé.

en haut à droite, au crayon puis à l'encre, un réseau de droites obliques se croisant en losanges, un sommet entouré d'un cadre ; aux nœuds, des couples d'indices peu lisibles, lus sous réserve « \(0,0\) », « \(1,0\) », « \(0,1\) », certains raturés, et au milieu une inégalité entre deux d'entre eux.

94Lemme. Soit \(\mathcal{E}\) fibré vectoriel de rg \(N \geq 3\), \(X = \check{\mathbb{P}}(\mathcal{E})\).

a) Soit \(\tau_X\) une ⌜ps.-⌝réflexion de \(X\). Alors \(\exists !\) ⌜ps.-⌝réflexion \(\tau_{\mathcal{E}}\) de \(\mathcal{E}\) qui lui donne naissance, propre […] si \(\tau_X\) l'est. l'indice de \(\tau\) dans « si \(\tau_X\) l'est » est récrit.

b) Soit \(C\) un hyperplan ⌜sous-fibré proj.⌝ de \(X\), stable par \(\tau_X\), de \(C = \check{\mathbb{P}}(V)\), supposons \(\tau_X C = C\) i.e. \(\tau_{\mathcal{E}} V = V\). \(\tau_X\) propre, centre \(h \in C\), alors alors considérons l'extension \(\mathcal{E}\) de \(\underline{\mathcal{O}}_S\) par \(V\) \(\tau_{\mathcal{E}}\) induit l'identité sur \(\mathcal{E}/V\). Si \(C\) est hyperplan et \(\mathcal{E}\) l'enveloppe vectorielle can. de \(E = X \smallsetminus C\), donc \(\mathcal{E}/V \simeq \underline{\mathcal{O}}_S\) can., alors l'action de \(\tau_X | E\) sur […] s'identifie à \(\tau_{\mathcal{E}} | E\), où on identifie \(E\) à l'image inverse de \(1\) par \(\mathcal{E} \to \underline{\mathcal{O}}_S\).

Dégager : conditions de stabilité d'un s-fibré projectif par pseudo-réflexions

conditions de commutation de deux pseudo-réflexions.

Groupes engendrés par des pseudo-réflexions vectorielles\(\dots\)

ces mots, de sa main, sont écrits en haut à droite d'un feuillet teinté (page 95), par ailleurs blanc, qui précède les pages suivantes ; le premier mot est d'une lecture douteuse.

96Théorème. Soient \(k\) un anneau, \(\mathcal{E}\) un \(k\)-module, \(n \in \mathbb{N}\), […] \(\tau_i\) (\(0 \leq i \leq n\)) des pseudo-réflexions dans \(\mathcal{E}\) \[ (1) \qquad \tau_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i \qquad a'_i \in \check{\mathcal{E}}, \ a_i \in \mathcal{E} \quad (0 \leq i \leq n) . \] Soit \(s_0 \in \mathcal{E}\), et posons Considérons \[ (2) \qquad s_1 = \tau_0 s_0, \ s_2 = \tau_1 s_1 \ (= \tau_1 \tau_0 s_0), \ \dots, \ s_{n+1} = \tau_n s_n \ (= \tau_n \tau_{n-1} \cdots \tau_0 s_0) , \] au-dessus : « \(s_{i+1} = \tau_i s_i \dots\) ». \[ (3) \qquad \mathcal{E}_0 = k s_0, \ \mathcal{E}_1 = k(s_0, \struck{\ill{}}\, a_0), \ \struck{\ill{}} \dots, \ \mathcal{E}_i = k(s_0, \struck{\ill{}}\, a_0, \dots, \struck{\ill{}}\, a_{i-1}), \dots \] et enfin \[ (4) \qquad \lambda_i = \langle s_0, a'_0 \rangle \langle a_0, a'_1 \rangle \cdots \langle a_{i-1}, a'_i \rangle \qquad (0 \leq i \leq n) \] à droite, dans une accolade : \(\mathcal{E}_{n+1} = k(s_0, a_0, \dots, a_n)\). NB \(\mathcal{E}_i\) engendré par \(i+1\) éléments. (\(\mathcal{E}_i\) engendré par \(i+1\) […]). On a alors

1°) On a (5) \(s_i \in \mathcal{E}_i\) pour […] ⌜\(0 \leq i \leq n+1\)⌝, donc […] \(k(s_0, \dots, s_i) \subset \mathcal{E}_i\) \((0 \leq i \leq n+1)\) […] (6) \(s_{i+1} \equiv \lambda_i a_i\) mod \(\mathcal{E}_{i}\) dans (6), le membre de droite est récrit ; on lit \(\lambda_i a_i\) modulo \(\mathcal{E}_i\), sous réserve.

2°) Conditions (A) et (B) ⌜\((1 \leq i \leq n+1)\) équivalent à supposer \(a'_i | \mathcal{E}_{i-1} = 0\) \((0 \leq i \leq n)\)⌝ l'ajout, relié par un trait à « (A) et (B) », est de lecture incertaine.

A) Les sections \(s_i\) (\(0 \leq i \leq n+1\)) sont lin. indépendantes On a […] \(\mathcal{E}\) […]

(7) \(\tau_i \tau_j = \tau_j \tau_i\) pour \(0 \leq i, j \leq n\), \(i, j\) non consécutifs

(8) \(\tau_i s_0 = s_0\) pour \(1 \leq i \leq n\)

(9) \((s_i)_{0 \leq i \leq n+1}\) libre dans \(\mathcal{E}\) les numéros (7), (8), (9) sont récrits sur d'autres. À droite, une flèche vers (7)-(8) et, en oblique : « et il suffit que ce soit vrai modulo les scalaires dans \(\check{\mathbb{P}}(\mathcal{E})\) ».

B) On a

(10) \(\langle a_i, a'_j \rangle = 0\) […] pour \(0 \leq i, j \leq n\), \(i, j\) non consécutifs

(11) \(\langle s_0, a'_i \rangle = 0\) pour \(1 \leq i \leq n\)

(12) \((s_0, \struck{\ill{}}\, a_0, \dots, a_n)\) libre dans \(\mathcal{E}\).

(13) \(\lambda_n \in k^*\)

3°) De plus, ces conditions impliquent que \[ (14) \qquad \mathcal{E}_i = k(s_0, \dots, s_{i-1}) \qquad 0 \leq i \leq n+1 \] d'après (3) et la NB, \(\mathcal{E}_i\) a \(i+1\) générateurs \(s_0, a_0, \dots, a_{i-1}\), et (5) donne \(k(s_0, \dots, s_i) \subset \mathcal{E}_i\) ; on attendrait ici \(k(s_0, \dots, s_i)\). L'indice \(i-1\) est bien celui de la page. […]

(15) \(\mathcal{E}_i\) stable par \(\tau_0, \dots, \tau_{i-1}\) (\(\dots i\)) \(\tau_j(\mathcal{E}_i) = \mathcal{E}_i\) \(j \neq i\) \(0 \leq i, j \leq n\)

(16) \(\tau_i(\mathcal{E}_i) \neq \mathcal{E}_i\) \(0 \leq i \leq n\) si \(k \neq 0\)

97Dém.

(1°) Prouvons la formule (5), qui se réduit à \[ s_i \in \mathcal{E}_i \qquad 0 \leq i \leq n+1 \] — procédons par réc. sur \(i\), la formule étant triviale pour \(i = 0\). Et prouvons en même temps (6), (qui est vraie pour \(i = 0\) si on pose \(a_{-1} = s_0\), \(\lambda_{-1} = 1\), \(\mathcal{E}_{-1} = 0\)). On a \[ s_{i+1} = \tau_i s_i = \underset{\substack{\cap \\ \mathcal{E}_i}}{s_i} + \langle s_i, a'_i \rangle a_i \in \mathcal{E}_i + k a_i = \mathcal{E}_{i+1} \] \[ s_{i+1} \equiv \langle s_i, a'_i \rangle a_i \quad (\mathcal{E}_i) \] comme \[ s_i \equiv \struck{\ill{}}\ \lambda_{i-1} a_{i-1} \quad (\mathcal{E}_{i-1}) \] on aura \[ \langle s_i, a'_i \rangle = \lambda_{i-1} \langle a_{i-1}, a'_i \rangle = \lambda_i , \] d'où la formule (6) pour \(i+1\) au lieu de \(i\), si on suppose \(a'_i | \mathcal{E}_{i-1} = 0\), OK. la dernière égalité utilise \(a'_i | \mathcal{E}_{i-1} = 0\) et la définition (4) de \(\lambda_i\) ; elle est juste sous cette hypothèse.

Corollaire. Soient \[ \left\lbrace \begin{aligned} h_i &= k a_i \\ H_i &= \mathrm{Ker}\, a'_i \end{aligned} \right. \qquad 0 \leq i \leq n \ \struck{\ill{}} \] les sous-modules associés à \(\tau_i\), posons aussi \(\lbrace a_{-1} = s_0\), \(h_{-1} = k s_0\) […]. Les conditions ci-dessous équivalentes (A') et (B') sont équivalentes et impliquent la formule (14) (\(\mathcal{E}_i = k(s_0, \dots, s_{i-1})\)) NB \(h_i\), \(H_i\) sont définis en termes des \(\tau_i\), dès que \(a_i\), \(a'_i\) font libres.

(A') On a

[…] (15) \(h_i \subset H_j\) si \(-1 \leq i < j \leq n\), \(j \neq i+1\)

(15') […] \((s_i)_{0 \leq i \leq n+1}\) est libre (ou encore, […] [[…]] les \(h_i\) indépendants […] et \(h_i \not\subset H_{i+1}\) en chaque fibre, pour \(-1 \leq i \leq n-1\)) l'ajout entre parenthèses, dans la marge de droite, est raturé en plusieurs couches ; lecture incertaine.

(B') On a

(17) \(\langle a_i, a'_j \rangle = 0\) pour \(-1 \leq i < j \leq n\), \(j \neq i+1\)

(18) […] \((a_i)_{-1 \leq i \leq n}\) est libre

(19) \(\lambda_n \in k^*\)

Bien sûr, (17) n'est qu'une reformulation de (15), et il reste à prouver, en admettant (15) et (17) vrais, que (15') équivaut à (18) \(+\) (19). Pour […] On […]. On peut supposer que […] (\(S\) ⌜i.e. \(n \geq 0\)⌝) […] dans la marge gauche, en travers : \(a_i \notin \mathcal{E}_{i-1}\) (lecture incertaine : l'appartenance est récrite).

98déjà prouvé pour \(n-1\), et que \(s_0 \dots s_n\) et \((a_{-1}, \dots, a_{n-1})\) sont lin. indép. et \((s_0, \dots, s_n)\) engendrent \(\mathcal{E}_n\). On a donc […] Donc que \((s_0, \dots, s_n, s_{n+1})\) libre […] \(s_{n+1}\) libre mod \(\mathcal{E}_n\) ; \(s_{n+1} \equiv \lambda_n a_n\) mod \(\mathcal{E}_n\), donc \(s_{n+1}\) et \((s_0 \dots s_{n+1})\) libre […] \(s_{n+1}\) or par (6) \[ s_{n+1} \equiv \struck{\ill{}}\ \lambda_n a_n \quad (\mathcal{E}_n) \] donc la condition équivaut à \(\alpha\)) \(a_n\) libre mod \(\mathcal{E}_n\), i.e. (18), et \(\beta\)) […] la condition (19). […] les numéros (18), (19) sont récrits sur d'autres.

Donc on a l'équivalence dite, et de plus ces conditions équiv. impliquent \(\mathcal{E}_n = k(s_0, \dots, s_n)\) \(\mathcal{E}_n\) \[ \mathcal{E}_{n+1} = \mathcal{E}_n + k s_{n+1} = k(s_0, \dots, s_n) + k s_{n+1} = k(s_0, \dots, s_{n+1}) , \] ce qui achève la dém. du corollaire. ici \(\mathcal{E}_{n+1} = k(s_0, \dots, s_{n+1})\), avec le même indice que \(\mathcal{E}\) ; cela confirme que le \(s_{i-1}\) de la formule (14), page 96, est un glissement d'indice.

(2°)le numéro est cerclé. On procède par récurrence sur \(n\), supposant (\(n \geq 0\)) que c'est prouvé déjà pour \(n-1\). Donc on peut supposer que toutes les conditions, écrites dans A, B sont satisfaites pour le système \((s_0, \tau_0, \dots, \tau_{n-1})\), et qui a donc ⌜et de plus⌝ \(\mathcal{E}_n = k(s_0, \dots, s_n)\) (14) pour \(0 \leq i \leq n\), et prouvons que alors les syst. de conditions (A'') :

équivaut au syst. de conditions (B'') :

et que ces conditions impliquent \[ \mathcal{E}_{n+1} = k(s_0, \dots, s_{n+1}) . \] (20) « (20) » est écrit seul au pied de la page. Dans \(\alpha\)) de (B''), le second crochet s'écrit \(\langle a'_i, a_n \rangle\), les arguments dans l'ordre inverse de l'autre.

99Comme \(s_{n+1} = \tau_n s_n = s_n + \langle s_n, a'_n \rangle a_n\), ⌜la condition de (\(\mathrm{A}''\gamma\))⌝ \(s_{n+1}\) libre mod \(\mathcal{E}_n\), implique \(a_n\) libre mod \(\mathcal{E}_n\), donc \((s_0, a_0, \dots, a_n)\) libre. En particulier, \((a_i, a_n)\) est libre si \(0 \leq i \leq n-1\), donc \(\tau_i\) commutant à \(\tau_n\) si \(\langle a'_i, a_n \rangle = \langle a_i, a'_n \rangle = 0\). De même \((s_0, a_n)\) étant libre, la condition \(\tau_n s_0 = s_0\) […] ([…]) […] implique passage encadré et barré de traits obliques. Donc on peut supposer, pour établir l'équivalence de (A'') et (B''), que \((s_0, a_0, \dots, a_n)\) est libre. Mais alors \((a_i, a_n)\) étant libre pour \(0 \leq i \leq n-2\), la condition \(\alpha\)) de (\(\mathrm{A}''\alpha\)) s'interprète par (\(\mathrm{B}''\alpha\)), (\(\mathrm{A}''\beta\)) par (\(\mathrm{B}''\beta\)), il reste à montrer, moyennant les conditions précédentes supposées satisfaites, que (\(\mathrm{A}''\gamma\)) équivaut à (\(\mathrm{B}''\delta\)), Or ⌜Or (\(\mathrm{A}''\gamma\))⌝, par l'hypoth. faite de liberté de \(a_n\) mod \(\mathcal{E}_n\), équivaut à \[ \langle s_n, a'_n \rangle \in k^* , \] or par hyp. de récurrence et 1°) déjà prouvé, on a \[ s_n \equiv \lambda_{n-1} a_{n-1} \quad \text{mod } \mathcal{E}_{n-1} \] et \(a'_n | \mathcal{E}_{n-1} = 0\) par (\(\mathrm{B}''\alpha, \beta\)), donc \[ \langle s_n, a'_n \rangle = \lambda_{n-1} \langle a_{n-1}, a'_n \rangle = \lambda_n \] donc on trouve bien la condition \(\lambda_n \in k^*\) de (\(\mathrm{B}''\delta\)). Enfin il est évident que toutes ces conditions impliquent \(\mathcal{E}_n + k s_{n+1} = \mathcal{E}_n + k a_n = \mathcal{E}_{n+1}\), et comme \(\mathcal{E}_n = k(s_0, \dots, s_n)\) par hyp. de récurrence, on en déduit bien (20),

cqfd.

100(3°)le numéro est cerclé. On a déjà prouvé (14), il faut prouver (15) (16).

Formule (15) : Pour \(j < i\) cela provient de \(\tau_j = \mathrm{id} + a'_j \otimes a_j\), et \(a_j \in \mathcal{E}_i\), pour \(j > i\) cela provient de \(a'_j | \mathcal{E}_i = 0\) ⌜(moyennant les hyp. A) B))⌝, qui implique \(\mathcal{E}_i \subset H_j\) \((\mathcal{E}^{\tau_j})\). sous \(H_j\), un signe d'égalité vertical renvoie à « \(\mathcal{E}^{\tau_j}\) ».

Formule 16. On a \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E}_{i-1} + k a_{i-1} , \] donc \[ \begin{aligned} \tau_i \mathcal{E}_i &= \underbrace{\tau_i \mathcal{E}_{i-1}}_{\mathcal{E}_{i-1}} + k \tau_i a_{i-1} \\ &= \mathcal{E}_{i-1} + k \underbrace{\langle a_{i-1}, a'_i \rangle}_{\in k^*} a_i = \mathcal{E}_{i-1} + k a_i \end{aligned} \] la première égalité omet le terme \(k a_{i-1}\) de \(\tau_i a_{i-1} = a_{i-1} + \langle a_{i-1}, a'_i \rangle a_i\) ; le résultat \(\mathcal{E}_{i-1} + k a_i\) est celui de la page. libre mod \(\mathcal{E}_{i-1}\), cela et comme (\(a_{i-1}\) et \(a_i\)) […] prouve notre assertion. l'ordre des deux dernières lignes sur la page est incertain.

Corollaire 2. Sous les conditions du […]) (équivalentes à les conditions du Th. + 2° corollaire), […] on a, posant \[ \left\lbrace \begin{aligned} \mathcal{E}^{\tau_i} &= \mathrm{Ker}\, a'_i \ (\overset{\mathrm{df}}{=} H_i) \\ k a_i &= \mathrm{Im}(\tau_i - \mathrm{id}) \ (\overset{\mathrm{df}}{=} h_i) \end{aligned} \right. \qquad 0 \leq i \leq n \] devant l'accolade, un premier essai biffé (« \(H_i \overset{\mathrm{df}}{=}\) »).

le numéro (21) est en face de l'accolade de définition ; (24), (25) sont récrits sur d'autres chiffres. Sous (25), biffé : « \(k a_i\) — \(\mathrm{Ker}\, a'_{i+1}\) ».

La formule (22) est déjà prouvée, (21) 1° provient du fait que \(a'_i\) est libre, (21 2°) du fait que \(a'_i : \mathcal{E} \to k\) est surjectif, car \(\langle a_{i-1}, a'_i \rangle \in k^*\) (avec \(a_{-1} = s_0\) !) grâce à (13) (4). Donc La formule (23) provient de \(\mathcal{E}_i = k(a_{-1}, \dots, a_{i-1})\), et que \(H_i = \mathrm{Ker}\, a'_i\), \(a'_i\) nul sur \(a_j\) \((-1 \leq j \leq i-2)\), \(\langle a_{i-1}, a'_i \rangle \in k^*\).