Fonds Grothendieck, cote n° 72, pages 61–80

la page commence au milieu d'un calcul dont le début n'est pas dans ce lot : deux applications linéaires \psi, \psi' (et f', lettre en forme de f allongé, distincte du \varphi bouclé plus bas), des bases a_j, a'_j, des vecteurs \pi, \pi' et des scalaires \beta_j, \sigma, \sigma', \gamma, \rho.

\begin{cases} \psi'(a'_j) = -(\beta_{n-1} \cdots \beta_j)\, a_j \\ \psi'(a'_{n+1}) = -a'^{*}_n = -\Bigl[ a_{n-1} + \uncertain{2}\,a_{n-2} + \rho'_{n-1,n-2} + \cdots + \overbrace{\rho'_{n-1,1}}^{\gamma}\, a_0 + \overbrace{\rho'_{n-2,0}}^{\sigma'}\, a_{-1} \\ f'(a'_j) = \beta_{n-1} \cdots \beta_j \quad (n \geq j \struck{\geq \ill{}}) \\ f'(a'_{n+1}) = 0 \end{cases} la crochet ouvert à la deuxième ligne n'est pas refermé sur la page. En regard, en haut à droite : ~~n+1 > j > 0~~ ~~0 \leq j \leq n+1~~ (n \geq j \geq 0), et sous cette ligne \uncertain{4} - \beta_{n-2} = 2 - \alpha_{n-2}, relié par une accolade au terme \rho'_{n-1,n-2}. À droite de la troisième ligne : f'(a'_n) = 1, f'(a'_{n-1}) = \beta_{n-1}, …, f'(a'_0) = \beta_{n-1} \cdots \beta_0 = \beta (la fin débordant sur la marge).

\psi'(\pi') = -\sigma'\pi, \qquad f'(\pi') = -\tilde{\sigma}\tilde{\rho} le premier \tilde{\ } porte peut-être sur une surcharge ; lecture douteuse.

\begin{cases} \psi'\psi(a_i) = \beta a_i \quad \text{si } \uncertain{0 \leq i \leq n} \\ \psi'\psi(\pi) = \sigma\sigma'\pi \end{cases} \qquad (\beta = \beta_0 \cdots \beta_{n-1})

\psi'\psi = \beta\, \mathrm{id}_E + \gamma\, \pi' \otimes \pi, \qquad \psi\psi' = \beta\, \mathrm{id}_{E'} + \gamma\, \pi \otimes \pi', \qquad \boxed{\sigma\sigma' = \beta + \gamma\rho}

la suite, jusqu'au trait ondulé, est barrée de deux longues diagonales.

a_{-1} = s_0, \quad a'_{n+1} = s'_0, \qquad \struck{-a'^{*}_n} = t_0 \struck{\psi'(a'_{n+1}) =}

\begin{array}{l} s_0 = a_{-1},\ s_1 = \tau_0 s_0 = a_{-1} + a_0,\ s_2 = \tau_1\tau_0 s_0 = s_0 + (a_0 + a_1) = a_{-1} + a_0 + a_1,\ \ldots,\\ \qquad s_{n+1} = (\tau_n \cdots \tau_0) s_0 = s_0 + (a_0 + \cdots + a_n) = a_{-1} + a_0 + \cdots + a_n \\ s'_0 = a'_{n+1},\ s'_1 = \tau_n s'_0 = s'_0 + a_n,\ s'_2 = \tau_{n-1}\tau_n s'_0 = s'_0 + a_n + a_{n-1},\ \ldots,\\ \qquad s'_{n+1} = \tau_0 \cdots \tau_n s'_0 \struck{= s'_0 + (a_n + \cdots + a_0)} \end{array} encadré à droite ; les indices de la deuxième ligne sont surchargés (s'_{n+1} écrit sur un autre indice) et la dernière égalité est barrée. Les a_j de cette ligne sont sans accent sur la page.

t_0 \overset{\text{df}}{=} \psi'(s'_0) = \psi'(a'_{n+1}) \overset{\text{df}}{=} -a'^{*}_n = -\bigl[ a_{n-1} + a_{n-2} + (\uncertain{4} - \beta_{n-1})\, a_{n-3} + \cdots + \gamma a_0 + \sigma' a_{-1} \bigr] au-dessus du premier \overset{\text{df}}{=}, barré : ~~a'_{n+1} =~~. Les coefficients de cette ligne ne coïncident pas avec ceux de la deuxième ligne du premier système (2a_{n-2}, \beta_{n-2}) ; lecture douteuse de part et d'autre.

t_0 : s_0 \cdots s_n : a_{-1}, a_0, \ldots, a_n ?

\boxed{\langle s_i, \pi' \rangle = 1 \qquad \langle \pi, s'_i \rangle = 1 \qquad 0 \leq i \leq n+1}

\varphi(t_0, s_i) = \langle s_i, \psi(t_0) \rangle = \langle s_i, \psi\psi'(s'_0) \rangle = \langle s_i, \beta \underset{s'_0}{a'_{n+1}} + \gamma \underbrace{\langle \pi, s'_0 \rangle}_{1} \pi' \rangle = \gamma \struck{\ 0 \leq i \leq n} = \begin{cases} \gamma & \text{si } 0 \leq i \leq n \\ \beta + \gamma & \text{si } i = n+1 \end{cases} sous \psi\psi'(s'_0), un renvoi \beta s'_0 peu lisible ; devant l'accolade, deux signes barrés illisibles.

\varphi(\pi, s_i) = \langle s_i, \psi(\pi) \rangle = \langle s_i, -\sigma\pi' \rangle = -\sigma.

\sigma t_0 + \gamma\pi orthogonal aux s_i, 0 \leq i \leq n : \begin{array}{r} \gamma a_n + \uncertain{2}\gamma a_{n-1} + \gamma\rho'_{n-1,n-1} a_{n-1} + \cdots + \overbrace{\gamma\rho'_{n-1,1}}^{\sigma} a_0 + \overbrace{\gamma\rho'_{n-1,0}}^{\rho} a_{-1} \\ - \sigma\gamma a_0 - \sigma\sigma' a_{-1} \\ \hline 0 \cdot a_0 \quad - \beta a_{-1} \end{array} la deuxième ligne commence par -\sigma a_{n-1} \ldots \sigma a_{n-2}, en partie illisible ; les indices sont incertains. Le report est cohérent avec l'encadré \sigma\sigma' = \beta + \gamma\rho : \gamma\rho - \sigma\sigma' = -\beta.

Dén. de \psi^{-1} est \beta\sigma, et \beta\sigma\,\psi^{-1} = \sigma\psi' + \gamma\,\pi \otimes \pi \overset{\text{df}}{=} \Theta', \qquad \beta\sigma'\,\psi'^{-1} = \sigma'\psi + \gamma\,\pi' \otimes \pi' \overset{\text{df}}{=} \Theta \Theta\psi = \beta\sigma\,\mathrm{id}, \quad \psi\Theta = \beta\sigma\,\mathrm{id} \qquad \Theta(\pi') = -\beta\pi, \quad \Theta'(\pi) = -\beta\pi' « Dén. » : sans doute « dénominateur » ; lecture douteuse. Les \otimes de ces lignes et les primes de \Theta, \Theta' sont tels que sur la page, où les deux définitions semblent croisées (l'accolade relie la seconde à l'encadré \Theta\psi = \beta\sigma\,\mathrm{id}) ; non corrigé.

\begin{cases} s_0 = a_{-1},\ s_1 = a_{-1} + a_0,\ s_2 = a_{-1} + a_0 + a_1,\ \ldots,\ s_{n+1} = a_{-1} + a_0 + \cdots + a_n \\ s_{i+1} = \tau_i s_i \qquad 0 \leq i \leq n \end{cases} \begin{cases} s'_{n+1} = a'_{n+1},\ s'_n = a'_{n+1} \uncertain{+} a'_n,\ s'_{n-1} = a'_{n+1} + a'_n + a'_{n-1},\ \ldots,\ s'_0 = a'_{n+1} + a'_n + \cdots + a'_0 \\ s'_i = \tau_i s'_{i+1} \qquad 0 \leq i \leq n. \end{cases} les indices de la seconde accolade sont ceux de la page, où s'_{n+1} = a'_{n+1} remplace le s'_0 = a'_{n+1} de la page 62 : la numérotation des s'_i est renversée d'une page à l'autre.

\langle s_i, \pi' \rangle = 1, \qquad \langle \pi, s'_i \rangle = 1, \qquad \langle s_i, s'_j \rangle = \begin{cases} 0 & \text{si } \struck{j > i}\ 0 \leq i < j \leq n+1 \\ 1 & \text{si } i = j, \quad 0 \leq i \leq n+1 \end{cases} \langle s_i, \pi' \rangle = 1 \qquad \langle \pi, s'_i \rangle = 1 \qquad 0 \leq i \leq n+1

\begin{cases} t_i = \Theta(s'_i) & 0 \leq i \leq n+1 \\ \langle t_i, \pi \rangle = -\beta \\ t_i = \tau_i t_{i+1} & 0 \leq i \leq n \end{cases}

\boxed{ \begin{aligned} t_{n+1} = \Theta(s'_{n+1}) &= -\sigma a'^{*}_n + \gamma\pi = -\sigma a'^{*}_n + \gamma a'^{*}_{n+1} \\ &= \gamma a_n + (\uncertain{2\gamma} - \sigma)\, a_{n-1} + (\rho'_{n-1,n-1}\gamma - 2\sigma)\, a_{n-2} + \cdots \\ &\quad + (\rho'_{n-1,n-1-j}\gamma - \rho'_{n-2,n-1-j}\sigma)\, a_{n-j-2} + \cdots \\ &\quad + (\rho'_{n-1,2}\gamma - \rho'_{n-2,2}\sigma)\, a_1 + 0 \cdot a_0 - \beta a_{-1} \end{aligned}} sous 0 \cdot a_0, un point d'exclamation. Dans la troisième ligne, un mot biffé illisible entre \gamma et \rho'_{n-2,n-1-j}, et l'indice n-1-j du second \rho' est surchargé. Les étoiles de la première ligne sont surchargées.

\boxed{\Theta(a'_j) = -\sigma(\beta_{n-1} \cdots \beta_j)\, a_j \qquad 0 \leq j \leq n}

t_i = t_{n+1} + \Theta(a'_n + \cdots + a'_i) = t_{n+1} - \sigma \bigl[ a_n + \beta_{n-1} a_{n-1} + \beta_{n-1}\beta_{n-2} a_{n-2} + \cdots + (\beta_{n-1} \cdots \beta_i)\, a_i \bigr]

NB t_i = 0 (pour un i (j \geq 0)) ssi \sigma = \gamma = 0 (et ceci implique que \beta = 0). Si \beta inv. (mais sans que néc. \sigma inv. i.e. \psi iso) alors on peut définir -\frac{1}{\beta}\, t_i \in E \subset X …

\begin{array}{ll} \varphi(t_{n+1}, s_i) = 0 & 0 \leq i \leq n \\ \varphi(t_{n+1}, a_i) = 0 & \uncertain{-1} \leq i \leq n-1 \end{array} \qquad \varphi(t_{n+1}, s_{n+1}) = \varphi(t_{n+1}, a_n) = \beta\sigma \struck{\langle t_{n+1}, \psi(a_n) \rangle = (-2\gamma + 2\gamma - \sigma)\beta \ldots} \qquad \struck{= \beta a_n\ \psi t_{n+1}}\ \langle a_n, \psi(t_{n+1}) \rangle f(t_{n+1}) = \tfrac{1}{2} \langle t_{n+1}, \psi(\underbrace{t_{n+1}}_{\beta\sigma\, s'_{n+1}}) \rangle = \frac{\beta\sigma}{2}\,\gamma = \beta\tilde{\sigma}\tilde{\gamma} le bas de la page est en partie biffé et surchargé : la ligne \langle t_{n+1}, \psi(a_n) \rangle = \ldots est entourée et barrée, et une accolade ramène \beta\sigma de la ligne précédente sous \psi(t_{n+1}), avec \beta\sigma\, s'_{n+1} (sur un \beta\sigma barré). Le passage de \frac{\beta\sigma}{2}\gamma à \beta\tilde{\sigma}\tilde{\gamma} suppose une convention sur les tildes qui n'est pas sur ces pages.

\Theta = (2 - \alpha_1)\rho \sigma\sigma' - \beta = (\underbrace{2 - \alpha_1}_{\struck{4} - \beta_1})\rho, \qquad (\struck{4}\ 1 - \beta_1) = L_2(\beta_1) = en regard : « n = 3 \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2 \alpha ».

\boxed{\sigma\sigma' - \beta = \underbrace{L_{n-1}(\beta_1, \ldots, \beta_{n-2})}_{\overset{\Vert}{\zeta_1} \;=\; L_{n-1}(\ \ }\,\rho^{\ill{}}} sous l'accolade, « \zeta_1 = L_{n-1}( » laissé inachevé, avec « i = n-1 » au-dessous ; l'exposant de \rho dans l'encadré est surchargé. Le haut de la page (jusqu'à \psi'\psi) est traversé de longues diagonales au crayon.

\psi'\psi = \beta\,\mathrm{id} + \gamma\,\tilde{\sigma}' \otimes \tilde{\sigma} \qquad \begin{cases} \beta = \beta_0\beta_1 \cdots \beta_{n-1} \\ \gamma = L_{n-1}(\beta_1, \ldots, \beta_{n-2}) \end{cases} \quad ?

\Theta(a'_{n+1}) = \sigma\psi'(a'_{n+1}) + \gamma \langle \underbrace{\Theta(\overset{s'_{n+1}}{a'_{n+1}})}_{t_{n+1}}, \pi' \rangle = \langle \Theta(\pi'), \underset{a'_{n+1}}{s'_{n+1}} \rangle = -\beta \langle \pi, s'_{n+1} \rangle = -\beta

u = s_0 + s_1 = 2a_{-1} + a_0 \qquad \struck{f(u) =}\ \langle u, \pi \rangle = 2 v = t_n + t_{n+1} = 2t_{n+1} - \sigma a_n \qquad \langle v, \pi \rangle = -2\beta le signe devant \sigma a_n est une tache ; - est ce que donne t_n = t_{n+1} - \sigma a_n (page 64).

\begin{cases} f(u) = \struck{f(s_0) + f} 4 f(\underbrace{a_{-1}}_{0}) + \underset{1}{f(a_0)} + 2\varphi(\underbrace{a_{-1}, a_0}_{-1}) = -1 \\ f(v) = 4 \underbrace{f(t_{n+1})}_{2\beta\sigma\gamma} + \sigma^2 \underbrace{f(a_n)}_{\beta} - 2\sigma \underbrace{\varphi(a_n, t_{n+1})}_{\beta\sigma} = \beta\sigma(2\gamma - \sigma) \\[1ex] \left. \begin{array}{l} f(s_0) = 0 \\ f(t_{n+1}) = \beta\tilde{\gamma}\tilde{\sigma} \end{array} \right|\ \text{pour mémoire} \end{cases} le coefficient de \varphi(a_{-1}, a_0) est surchargé (un 2 sur un 4 ?). Avec 2, les deux calculs se vérifient : 0 + 1 - 2 = -1 et 2\beta\sigma\gamma + \beta\sigma^2 - 2\beta\sigma^2 = \beta\sigma(2\gamma - \sigma) ; sous 4f(t_{n+1}) il écrit la valeur de 4f(t_{n+1}), soit 2\beta\sigma\gamma (page 64 : f(t_{n+1}) = \beta\sigma\gamma/2). « pour mémoire » : lecture probable.

Ex n = 1 ~~t_2 =~~ \beta = \beta_0 = 2 + \alpha_0, \rho = 4 - \beta = 2 - \alpha, \sigma = \sigma' = 2, \gamma = 1. le 4 de \rho = 4 - \beta est écrit sur un mot biffé illisible ; le \alpha final est sans indice.

\begin{cases} \beta\sigma\,\psi^{-1} = 2\beta\,\psi^{-1} = 2\psi' + \pi \otimes \pi \\ t_2 = a_1 - \beta a_{-1} \\ f(t_2) = \beta \end{cases}

n = 2, \beta = \beta_0\beta_1 = (\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2), \rho = -2(\alpha_0 + \alpha_1), \sigma = 2 - \alpha_1, \sigma' = 2 - \alpha_0, sous \beta_0, biffé : « = \alpha_0 + 2 » ; le 2 de \sigma = 2 - \alpha_1 surcharge un autre chiffre. \Theta = \beta\sigma\,\psi^{-1} = (4 - \alpha_1^2)(\alpha_0 + 2)\,\psi^{-1} = (2 - \alpha_1)\,\psi' + 2\,\pi \otimes \pi t_3 = 2a_2 + (\underbrace{2 + \alpha_1}_{\beta_1})\,a_1 + \underset{!}{0 \cdot a_0} - \beta_0\beta_1\, a_{-1} f(t_3) = (4 - \alpha_1^2)(2 + \alpha_0) les valeurs se vérifient sur les formules des pages 62 à 66 : pour n = 1, \sigma\sigma' = 4 = \beta + \gamma\rho et f(t_2) = \beta\sigma\gamma/2 = \beta ; pour n = 2, \sigma\sigma' - \beta = -4(\alpha_0 + \alpha_1) = \gamma\rho avec \gamma = 2 (coefficient de \pi \otimes \pi dans \Theta), 2\gamma - \sigma = 2 + \alpha_1 = \beta_1, et f(t_3) = \beta\sigma\gamma/2 = \beta\sigma.

Supposons \rho inv. donc E \simeq V \oplus \Delta_0. On définit, pour \lambda inv., \struck{\ill{}}\ p_\lambda : \lambda E \xrightarrow{\ \sim\ } V, \qquad x \longmapsto \frac{1}{\lambda}\, x - \underbrace{\frac{\pi}{\rho}}_{c} \frac{\pi}{\rho} est entouré et nommé c ; à la suite, « si ~~cela existe~~ », biffé.

Posons \tilde{s}_i = p_1(s_i) = s_i - c = \begin{cases} \tilde{s}_0 = \ill{} - \dfrac{1}{\rho} \Bigl[ \overbrace{\rho'_{n-1,1}}^{\sigma} a_0 + \rho'_{n-1,2}\, a_1 + \cdots + \rho'_{n-1,n-1}\, a_{n-2} + 2a_{n-1} + a_n \Bigr] \\ \tilde{s}_i = \tilde{s}_0 - \dfrac{1}{\rho} \bigl[ a_0 + \cdots + a_{i-1} \bigr] \end{cases} le début de la ligne de \tilde{s}_0 est noirci par des ratures (on devine « a_{-1} + » sous elles) ; de même un mot sous \overbrace{\rho'_{n-1,1}}^{\sigma}.

2 inv. \tilde{u} = p_2(u) = \frac{1}{2}\, u - c = a_{-1} + \frac{1}{2}\, a_0 - c = \frac{1}{2}(\tilde{s}_0 + \tilde{s}_1) = \tilde{s}_0 + \frac{1}{2}\, a_0 la dernière égalité ne découle pas de la ligne de \tilde{s}_i : avec \tilde{s}_1 = \tilde{s}_0 - \frac{1}{\rho} a_0 on trouverait \tilde{s}_0 - \frac{1}{2\rho} a_0 ; mais \frac{1}{2}u - c = s_0 + \frac{1}{2}a_0 - c donne bien \tilde{s}_0 + \frac{1}{2}a_0. Non corrigé.

\boxed{-\rho\,\tilde{s}_0 = \overbrace{\rho'_{n-1,1}}^{\sigma} a_0 + \rho'_{n-1,2}\, a_1 + \cdots + \rho'_{n-1,n-1}\, a_{n-2} + 2a_{n-1} + a_n} \left[\; \begin{aligned} -\rho\,\tilde{u} &= -\rho\,\tilde{s}_0 - \tilde{\rho}\, a_0 = (\sigma - \tilde{\rho})\, a_0 + \rho'_{n-1,2}\, a_1 + \cdots + \rho'_{n-1,n-1}\, a_{n-2} + 2a_{n-1} + a_n \\ -2\rho\,\tilde{u} &= (\uncertain{4}\tilde{\sigma} - \rho)\, a_0 + 2\rho'_{n-1,2}\, a_1 + \cdots + 2\rho'_{n-1,n-1}\, a_{n-2} + 4a_{n-1} + 2a_n \end{aligned} \right. à droite de la première ligne, souligné : « en vrai (\rho = 2\tilde{\rho}) » ; de la seconde, « (car d'ailleurs \sigma = 2\tilde{\sigma}) ». Les deux premiers membres, -\rho\tilde{u} et -2\rho\tilde{u}, sont écrits sur des lettres surchargées.

\tilde{t}_i = p_\beta(t_i) = -\frac{1}{\beta}\, t_i - c \qquad -\rho\,\tilde{t}_i = +\frac{\rho}{\beta}\, t_i + \pi p_\beta donnerait +\frac{1}{\beta}t_i ; le signe - est sur la page, qui applique en fait p_{-\beta} (cf. le -\frac{1}{\beta}t_i de la page 64). Non corrigé.

Si i = n+1 :

coeff. de a_0 \rightsquigarrow \struck{4}\ \uncertain{1} - \dfrac{1}{\rho} ; coeff. de a_n \rightsquigarrow -\dfrac{\gamma}{\beta} - \dfrac{1}{\rho} = -\dfrac{\beta + \gamma\rho}{\beta\rho} = -\dfrac{\sigma\sigma'}{\beta\rho} ; coeff. de a_{n-1} : -\dfrac{2\gamma - \sigma}{\beta} - \dfrac{2}{\rho} = -\dfrac{2\gamma\rho - \sigma\rho - 2\beta}{\beta\rho} = \dfrac{-2\sigma\sigma' \uncertain{-} \sigma\rho}{\beta\rho} = -\dfrac{\sigma}{\beta\rho}\,[2\sigma' \uncertain{+} \rho].

le calcul attendu pour a_{n-1} est -\frac{(2\gamma - \sigma)\rho + 2\beta}{\beta\rho} = -\frac{2\gamma\rho - \sigma\rho + 2\beta}{\beta\rho} = -\frac{2\sigma\sigma' - \sigma\rho}{\beta\rho} = -\frac{\sigma}{\beta\rho}(2\sigma' - \rho) ; les signes devant \sigma\rho, 2\beta et \rho sont, sur la page, en partie surchargés et ne suivent pas tous ce calcul. Une ligne biffée plus bas porte d'ailleurs « 2\sigma\sigma' - \rho\sigma = \sigma(2\sigma' - \rho) ».

-\rho\beta\,\tilde{t}_i = \rho t_i + \beta\pi -\rho\beta\,\tilde{t}_{n+1} = \struck{\rho t_{n+1} + \beta\pi = (\rho\gamma + \beta)a_n + [\rho(2\gamma - \sigma) + 2\beta]\, a_{n-1} + \cdots} = -\rho\sigma\, a'^{*}_n + \underbrace{\rho\gamma\pi + \beta\pi}_{\sigma\sigma'\pi} \struck{t_{n+1} = \Theta s'_{n+1}} = \sigma\,[\sigma' \underset{a'^{*}_{n+1}}{\pi} - \rho\, a'^{*}_n]. sous la ligne biffée, une seconde ligne biffée et noircie (« \rho\sigma a'^{*}_n + \ldots »), illisible. \boxed{-\frac{\rho\beta}{\sigma}\,\tilde{t}_{n+1} = \sigma' a'^{*}_{n+1} - \rho\, a'^{*}_n = \cdots} -\frac{\rho\beta}{\sigma}\,\tilde{t}_i = -\frac{\rho\beta}{\sigma}\,\tilde{t}_{n+1} + \rho\beta\bigl(a_n + \beta_{n-1} a_{n-1} + \cdots + (\beta_{n-1} \cdots \beta_i)\, a_i\bigr) avec t_i = t_{n+1} - \sigma[a_n + \cdots + (\beta_{n-1}\cdots\beta_i)a_i] (page 64), on attendrait -\rho[\ldots] au lieu de +\rho\beta(\ldots) ; tel sur la page, non corrigé.

Calculs centrés en \sigma (si centre à dist. finie, i.e. \rho inv.)

titre de sa main, en haut à droite d'une chemise (page 71) placée devant les pages 72 à 77.

le haut de la page, jusqu'au trait qui précède « On a », est encadré et barré de longues diagonales.

~~Choisissons (loc.) (section s_0 de X admissible pour syst. des (\xi_i^x)) (déterminé mod homothéties dans E = X \smallsetminus C moyennant l'origine c)~~

(car c \notin C en tt pt (si n impair et \rho' inv., i.e. \rho inv.), n pair (donc \rho = 2\rho') et 2 inv.) — Donc on est dans les conditions suivantes (identifiant E à V grâce à l'origine c = 0) :

a)~~\varphi^V_G : G \to \ill{}\, \mathrm{O}(f))~~ b)~~base s_0 de D_0^{*} = \bigcap_{1 \leq i \leq n} H^!_i (H^!_i = H_i \smallsetminus H_i \cap C~~

au-dessus de « Choisissons », « loc. » ; dans la deuxième parenthèse, « donc est » biffé avant « Donc on est ». Après « G \to », un mot noirci illisible.

On a [dans \check{V}] : \begin{aligned} a^\vee_0 &= \struck{\ill{}}\ (\lambda_0 - 1)\, a^{*}_0 + \beta_0\, a^{*}_1 \\ a^\vee_i &= a^{*}_{i-1} + (\lambda_i - 1)\, a^{*}_i + \beta_i\, a^{*}_{i+1} \qquad 1 \leq i \leq n-1 \\ a^\vee_n &= a^{*}_{n-1} + (\lambda_n - 1)\, a^{*}_n \end{aligned}

NB \rho inv. exprime i.e. que, si D_0 = \bigcap_{1 \leq i \leq n} H_i, i.e. a^\vee_0 \mid D_0 \neq 0 en chaque point [conséquence de deuxième condition dans 2^\circ] la note précédente est écrite en oblique dans la marge gauche.

~~pour a_{-1}~~

( notation des notations, il n'y a plus de a_{-1}, a^{*}_{-1}, …)

(*) \qquad s_0 - \ill{} = \tilde{s}_0 = -\frac{1}{\rho}\,(\xi_0 a_0 + \xi_1 a_1 + \cdots + \xi_n a_n) \qquad \left[ \begin{array}{ll} \tau^\vee_i(s_0) = s_0 & 1 \leq i \leq n \\ \text{i.e. } \langle s_0, a^\vee_i \rangle = 0 & 1 \leq i \leq n \\ \tau^\vee_0 s_0 = s_0 + a_0 & \text{i.e. } \langle s_0, a^\vee_0 \rangle = 1 \end{array} \right] (*) entouré. Entre s_0 et \tilde{s}_0, une expression noircie, illisible.

On suppose pour simplifier maintenant les \lambda_i = -1 (\tau_i réflexions) \begin{aligned} \xi_n &= 1, \qquad \xi_{n-1} = 2, \qquad \xi_i = L_{\uncertain{n-i}}(\beta_{n-1}, \ldots, \beta_{i+1}) \\ \xi_0 &= L_n(\beta_{n-1}, \ldots, \beta_1) = L_n(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}) = \sigma \end{aligned} les deux premières valeurs sont ajoutées au-dessus de la troisième. Avec \xi_0 = \sigma, \xi_{n-1} = 2, \xi_n = 1, la ligne (*) est celle de l'encadré -\rho\tilde{s}_0 de la page 70.

C) Formes quadratiques invariantes : elles forment un ~~torseur~~ G-Module loc. ~~libre~~ de rg 1. On normalise par \begin{cases} f_V(a_0) = 1 \implies f_V(a_i) = \beta_0\beta_1 \cdots \beta_{i-1} \\ \varphi(a_i, a_j) = 0 \text{ si } i, j \text{ non consécutifs} \\ \varphi(a_i, a_{i+1}) = -\beta_0 \cdots \beta_i \end{cases} « libre » est peut-être remplacé plutôt que biffé ; « loc. » est ajouté au-dessus de la ligne.

Reformulation des données lorsque c \notin C en ts fibres, i.e. \rho inv. (n impair, \rho' inv., ou n pair, \rho' inv. et 2 inv.)

A) \varphi_G : G \to \operatorname{Aut}(X) ou encore (\tau^X_i)_{0 \leq i \leq n} est remplacé par \varphi_G : G \to \operatorname{Aut}(V) ou encore (\tau^V_i)_{0 \leq i \leq n}.

Conditions

1^\circ)Les \tau^\vee_i pseudo-réflexions (c.à.d. L_i \subset V_{\ill{}}, H_i \subset V_i) 2^\circ)V = \bigoplus_{0 \leq i \leq n} L_i, \check{V} \simeq \bigoplus \underbrace{H^\circ_i}_{L'_i} i.e. \bigcap_{0 \leq i \leq n} H_i = 0 chaque fibre 3^\circ)L_i \subset H_{i+1} chaque fibre, 0 \leq i \leq n-1

à gauche de 2^\circ), biffé : « ». Sous 3^\circ), une ligne biffée où l'on lit « ~~… D_0 = \bigcap_{1 \leq i \leq n} H_i …~~ ».

B) La donnée de s_0 \in \struck{\Gamma(X)} \varphi_G , et exprime \tilde{s}_0 \text{ base de } D_0 = \bigcap_{1 \leq i \leq n} H_i qui s'exprime situation. On [] n base ~~les formes quadratiques~~ a'_0 de L'_0 (V D_0 \otimes L'_0 \xrightarrow{\sim} \mathcal{O}_S), par \boxed{\langle \tilde{s}_0, a'_0 \rangle = 1} ce qui fixe base a_0 de L_0 par \tau_0 = \mathrm{id}_V + a'_0 \otimes a_0, et de proche en proche on détermine les a'_i, a_i par \bigl[\ \langle a_i, a'_{i+1} \rangle = 1, \qquad \tau_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i\ \bigr] le paragraphe B) est d'une écriture rapide ; seules les formules et quelques mots se lisent. Le « \mathcal{O}_S » est probable (un \mathcal{O} souscrit d'une lettre).

Posant \omega_V = a_0 \wedge \cdots \wedge a_n \delta(f_V) = \underbrace{\beta_0^{\,n}\, \beta_1^{\,n-1} \cdots \beta_{n-1}}_{B}\, \rho\, \omega_V^{\otimes -2} = B\rho\, \omega_V^{\otimes -2} les exposants de \beta_0 et \beta_1 sont petits et douteux (n, n-1). (f lisse ssi B inv., i.e. les \beta_i inv., 0 \leq i \leq \uncertain{n-1})

Considérons alors \lambda = f_V(\tilde{s}_0) = \frac{\sigma'\rho'}{\rho^2} = \begin{cases} (n \text{ pair donc } \rho = 2\rho')\ (2 \text{ inv.}) & \dfrac{\sigma'}{4\rho'} \\[1ex] n \text{ impair } \rho = \rho' & \dfrac{\sigma'}{\rho'} \end{cases} devant \sigma'\rho', un mot noirci. Les deux valeurs se vérifient : \sigma'\rho'/(2\rho')^2 = \sigma'/(4\rho') et \sigma'\rho'/\rho'^2 = \sigma'/\rho'.

La hypersurface quadrique (sphère) circonscrite au polyèdre régulier est donc donnée par f_V - \lambda = 0. Pour qu'elles soient respectivement lisse, il faut que les \beta_i et \sigma' soient inv. (c'est dans le cas singulier)

(D) NB Supposons données V, f_V et \varphi^V_G, respectivement ~~orth.~~ G \longrightarrow \mathrm{O}(f_V) transformant les \tau_i en réflexions orth., et satisfaisant des conditions 2^\circ), 3^\circ) plus haut. Celle-ci ~~plus~~ \bigl[\ \struck{f \mid (D_0 = \textstyle\bigcap_{1 \leq i \leq n} H_i)}\ \ f \mid L_0\ \bigr] \neq 0 \quad \text{en ts fibres.} Alors ça provient donc d'une situation comme plus haut. Il suffit de choisir une section a_0 de D_0 telle que f_V(a_0) = 1. (i.e. \tau_0 est une réflexion orth. de V) \leftrightarrow conditions ? la note de marge, en oblique en bas à gauche, est reliée par une double flèche au crochet ; « Celle-ci » est suivi d'un mot entouré et de mots biffés.

(L'indétermination vient d'une section d'un rev. principal de S de groupe \mu_2, définie mod élément de \mu_2(S) …). Donc s_0 est alors donné par la formule (*). (Rien n'empêche d'ailleurs que f_V(s_0) = 0.)

~~(E) Supposons n impair~~ Si on a donné une base \varphi^C_G : G \longrightarrow \operatorname{Aut}(C, Q_C) [C fibré proj. de rg n, Q_C hyperquadrique] satisfaisant les conditions

1)Les \tau^X_i réflexions ~~orth.~~ (0 \leq i \leq n) (définies par h_i \in \Gamma C, H_i hyperplans) 2)Les h_i engendrent C, i.e. \bigcap_{0 \leq i \leq n} H_i = \emptyset 3) h_i \notin H_{i+1} 0 \leq i \leq n-1 4)~~L_0 \notin Q_C en chaque fibre~~

Pour n \neq 2 alors loc. (et) ça provient de (V, f_V, (\tau^\vee_i)) satisfaisant les conditions de (D), V déterminé mod \otimes L (L inv.), f_V défini mod unité. On utilise alors : L_0 \subset V, « épingles » i.e. éliminer l'indét. \otimes L, en prenant L \simeq \mathcal{O}_S i.e. section a_0 de L_0. (Si n = 1, une réflexion de C = P(V), ne provient pas f d'une réfl. de V …] la note de marge, écrite en oblique en bas à gauche, est en grande partie illisible. L'item 4) est barré d'un grand trait ondulé.

NB n \neq 2 Et on normalise alors par f(a_0) = 1. On trouve : La catégorie des réal. géom. de T_1 non dég. non centr. à distance finie, est équivalente : celle des triples (C, Q_C, \varphi^C_G) d'un fibré projectif de rg n, d'une hyperquadrique Q_C de C, d'une rep. de G dans (C, Q_C) satisfaisant les conditions 1^\circ) à 3^\circ). (NB Si n = 2 donné par Q_C, conique ordinaire, mais Q_C est déduite canoniquement comme unique hyperq. lisse . la parenthèse n'est pas refermée ; le reste de la page est blanc.

la lettre notée ici \sigma dans \tilde{s}_0 = s_0 - \sigma est un \sigma bouclé, ou peut-être un c à boucle : elle tient la place du centre c = \pi/\rho de la page 70 (avec f(\sigma) = -\sigma'\rho'/\rho^2). On garde la lettre de la page. \tilde{s}_0 = s_0 - \sigma \qquad \struck{s'_0 = \rho\,\tilde{s}_0 \quad f_V(s'_0)} f_V(\tilde{s}_0) = f(s_0 - \sigma) = \underset{0}{f(s_0)} + \underbrace{f(\sigma)}_{-\frac{\sigma'\rho'}{\rho^2}} - \underbrace{\varphi(s_0, \sigma)}_{-\frac{\sigma}{\rho}} = -\frac{\sigma'\rho'}{\rho^2} + \frac{\sigma}{\rho} \begin{cases} n \text{ pair } \rho = 2\rho',\ \sigma^{\uncertain{2}} = \sigma' \\ n \text{ impair } \rho = \rho',\ \sigma = 2\sigma' \end{cases} \qquad \begin{cases} f_V(\tilde{s}_0) = -\dfrac{1}{4}\dfrac{\sigma'}{\rho'} + \dfrac{1}{2}\dfrac{\sigma'}{\rho'} = \dfrac{1}{4}\dfrac{\sigma'}{\rho'} \\[1.5ex] f_V(\tilde{s}_0) = -\dfrac{\sigma'}{\rho'} + 2\dfrac{\sigma'}{\rho'} = \dfrac{\sigma'}{\rho'} \end{cases} les deux valeurs retrouvent le \lambda de la page 74. Pour n pair, le calcul demande \sigma = \sigma' ; l'exposant lu sur \sigma est douteux.

Soit s'_0 = -\rho\,\tilde{s}_0 = \underset{\sigma}{\xi_0} a_0 + \xi_1 a_1 + \cdots + \underset{1}{\xi_n} a_n \qquad f_V(s'_0) = \rho\sigma - \rho'\sigma' = \rho'\sigma' \boxed{f_V(s'_0) = \rho'\sigma'} \qquad \varphi_V(\tilde{s}_0, a_i) = \varphi_V(s_0 - \sigma, a_i) = \underbrace{\varphi(s_0, a_i)}_{\substack{0 \text{ si } i \neq 0 \\ -1 \text{ si } i = 0}} - \underbrace{\varphi(\sigma, a_i)}_{0\ \uncertain{\text{tjs}}} = \begin{cases} -1 & i = 0 \\ 0 & 1 \leq i \leq n \end{cases} l'égalité \rho\sigma - \rho'\sigma' = \rho'\sigma' suppose \rho\sigma = 2\rho'\sigma', ce que donnent ses deux cas (\rho = 2\rho', \sigma = \sigma' ou \rho = \rho', \sigma = 2\sigma').

\begin{cases} \tilde{s}_i = s_i - \sigma \\ s'_i = -\rho\,\tilde{s}_i \end{cases} \qquad \begin{cases} \tilde{s}_i = \tau^\vee_{i-1}\,\tilde{s}_{i-1} \\ s'_i = \tau^\vee_{i-1}\, s'_{i-1} \end{cases} (1 \leq i \leq n) \varphi_V(s'_0, a_i) = \begin{cases} \rho & i = 0 \\ 0 & 1 \leq i \leq n \end{cases} \qquad \begin{aligned} \langle \tilde{s}_0, a^\vee_i \rangle &= \langle \tilde{s}_0, a'_i \rangle = \langle s_0 - \sigma, a'_i \rangle = \langle s_0, a'_i \rangle \\ &= \begin{cases} 1 & i = 0 \\ 0 & 1 \leq i \leq n \end{cases} \end{aligned} \begin{cases} \tilde{s}_i = (s_i - s_0) + (s_0 - \sigma) = \tilde{s}_0 + (a_0 + \cdots + a_{i-1}) \\ s'_i = s'_0 - \rho\,(a_0 + \cdots + a_{i-1}) \end{cases} s'_1 = s'_0 - \rho\, a_0, \qquad s'_0 + s'_1 = 2s'_0 - \rho\, a_0 f_V(s'_0 + s'_1) = 4\underbrace{f_V(s'_0)}_{\rho'\sigma'} + \rho^2 \underbrace{f_V(a_0)}_{1} - 2\rho \underbrace{\varphi_V(s'_0, a_0)}_{\rho} = 4\rho'\sigma' - \rho^2 = f_V(s'_0 + s'_1) = \begin{cases} n \text{ pair} : & 4\rho'(\sigma' - \rho') \\ n \text{ impair} : & \rho'(4\sigma' - \rho') \end{cases} le signe entre s'_0 et s'_1 dans les deux premiers membres est mal formé ; c'est la somme s'_0 + s'_1 que le calcul évalue. Les deux cas se vérifient.

Donc pour que l'homothétie de rapport \lambda transforme la sphère \Sigma circonscrite aux s'_i en celle circonscrite aux transformés des s'_0 + s'_1, il faut et suffit que \lambda^2 \rho'\sigma' = \struck{\rho'(4\sigma' - \rho')} \begin{cases} 4\rho'(\sigma' - \rho') & \text{i.e. } \lambda = 2\sqrt{1 - \rho'/\sigma'} \quad n \text{ pair} \\ \rho'(4\sigma' - \rho') & \struck{\text{i.e. } \lambda =}\ \lambda = 2\sqrt{1 - \rho'/4\sigma'} \quad n \text{ impair} \end{cases} les deux racines se vérifient : \lambda^2 = 4(1 - \rho'/\sigma') et \lambda^2 = 4 - \rho'/\sigma' = 4(1 - \rho'/4\sigma').

Sous-espaces invariants

titre de sa main, en haut à droite d'une chemise (page 78) placée devant les pages 79 et 80.

On suppose qu'on est sur un corps k.

Théorème Soit Z \subset X sous-espace projectif. Pour que Z soit invariant par G i.e. par les \tau_i (0 \leq i \leq n), il faut et il suffit qu'on soit dans l'un des cas suivants :

a)Z est égal à l'un des ss-espaces \emptyset, X, \{c\}, C. b)\exists\ 0 \leq i \leq n-1 tel que \beta_i (= 2 + \alpha_i) = 0, et on a Z = \underbrace{H_0 \cap H_1 \cap \cdots \cap H_i}_{Z'_i\ (\text{de dim } n-i)} \quad \text{ou} \quad Z = \underbrace{\struck{\ill{}}\operatorname{Lin}(h_{i+1}, \ldots, h_n)}_{\substack{Z^{*}_i \\ (\text{dim } n-i-1)}}

NB \beta_i = 0 \iff Z_i \subset Z'_i codim 1 l'exposant de Z^{*}_i est un petit signe bouclé, lu ici comme une étoile ; le « \beta_i (= 2 + \alpha_i) » est probable.

(NB On pose Z'_n = \underbrace{H_0 \cap \cdots \cap H_n}_{\{c\}} \quad \text{et} \quad Z^{*}_n = \struck{\emptyset}\ \ill{}, \qquad Z^{*}_{-1} = X, \quad Z'_{-1} = C\,) les indices -1 surchargent un autre chiffre ; les deux lignes paraissent avoir inversé Z^{*}_{-1} et Z'_{-1} par rapport à la chaîne qui suit, où Z^{*}_{-1} = C et Z'_{-1} = X. Tel sur la page.

On a (sans hyp. sur aucun des \beta_i) \begin{array}{rcl} Z^{*}_n = \emptyset & \subset & Z'_n = \{c\} \\ \cap & & \cap \\ Z^{*}_{n-1} = \{h_n\} & \subset & Z'_{n-1} = H_0 \cap \cdots \cap H_{n-1} \\ \cap & & \cap \\ Z^{*}_{n-2} = \operatorname{Lin}(h_n, h_{n-1}) & \subset & Z'_{n-2} = H_0 \cap \cdots \cap H_{n-2} \\ \vdots & & \vdots \\ Z^{*}_0 = \operatorname{Lin}(h_n, \ldots, h_1) & \subset & Z'_0 = H_0 \\ \cap & & \cap \\ Z^{*}_{-1} = C & \subset & Z'_{-1} = X \end{array} sur la page, les deux chaînes sont écrites en deux lignes sur toute la largeur, Z^{*} au-dessus de Z', reliées par des \cap verticaux ; on les redonne ici en colonnes, transposées : les inclusions de la page qui vont de gauche à droite se lisent ici de haut en bas, et les \cap verticaux de la page sont les \subset horizontaux.

Toutes les inclusions, horizontales, sont strictes, de codim. 1. ~~Tous~~ Les 2(n+2) espaces Z^{*}_i, Z'_i (-1 \leq i \leq n) ne sont pas distincts ? on trouve une dimension donnée -1 \leq d \leq n+1, il y a des Z^{*}_i, Z'_i de cette dim si d = -1 ou d = n+1 (savoir Z^{*}_n et Z'_{-1}), exactement deux si 0 \leq d \leq n, savoir Z'_{n-d} = H_0 \cap \cdots \cap H_{n-d} et Z^{*}_{n-d-1} = \operatorname{Lin}(h_n, \ldots, h_{n-d}), et ils sont égaux ssi h_{n-d}, h_{n-d+1} \in Z'_{n-d}, i.e. h_{n-d} \in H_{n-d} \cap H_{n-d-1}, \qquad h_{n-d+1} \in H_{n-d} NB Si c \notin C i.e. \rho \neq 0, alors les Z_i, Z'_i tous distincts, car Z_i \not\subset Z'_i pour tout i) pour d = -1 et d = n+1 il n'y a qu'un espace de la liste (Z^{*}_n = \emptyset, Z'_{-1} = X) ; le mot illisible qui précède « des » est sans doute ce décompte, et les mots biffés au-dessus paraissent une première rédaction. Les dimensions données plus haut (Z'_i de dim n-i, Z^{*}_i de dim n-i-1) donnent bien Z'_{n-d} et Z^{*}_{n-d-1} en dimension d.

i.e. ssi on a simultanément (posant i = n-d) \begin{cases} \mu_i\ (= \lambda_i - 1) = 0 & (\text{i.e. } 2 \cdot 1_k = 0 \text{ dans le cas des réflexions, i.e. car.\ } k = 2) \\ \beta_i = \beta_{i-1} = 0 & (\text{on vide : la condition } \beta_{i} = 0 \text{ si } i = 0, \text{ et la condition } \beta_{i-1} = 0 \text{ si } i = n) \end{cases} « on vide » : lecture douteuse ; le sens est que l'une des deux conditions disparaît aux extrémités i = 0 et i = n. La lettre \mu_i est lue d'après « = \lambda_i - 1 ».

~~Cor~~ ~~Dém~~

Cor (b) Il y a au plus 2(n+2) sous-espaces projectifs invariants par G. Pour qu'il y en ait 2(n+2), il faut et il suffit que \beta_i = 0 (0 \leq i \leq n-1) et \mu_i \neq 0 (0 \leq i \leq n) (cette condition signifie aussi, dans le cas des réflexions, que car. k \neq 2). « (b) » et plus bas « (c) » sont entourés sur la page.

(c) Il y a au moins les ss-espaces invariants \emptyset, X, \{c\}, C. Pour que ce soient les seuls, il ~~faut et~~ suffit que \beta_i \neq 0 0 \leq i \leq n-1 (ce qui implique que les 2(n+2) espaces Z_i, Z'_i sont distincts). Il faut ~~que~~ et s. \beta_i \neq 0 \quad \uncertain{0 \leq i < n-1}, \quad \text{et que } (\beta_0 \struck{= \beta_n} = 0 \implies \mu_0 = 0), \quad (\beta_{n-1} = 0 \implies \mu_n = 0) [donc, dans le cas des réflexions, que \begin{cases} \text{si car.\ } k \neq 2 : \text{ les } \beta_i \neq 0 \text{ \uncertain{i.e.} } \beta = \prod_{0 \leq i \leq n-1} \beta_i \neq 0 \\ \text{si car.\ } k = 2 \text{ les } \beta_i \neq 0 \text{ si } 0 < i < n-1. \end{cases} la phrase « Pour que ce soient les seuls, il suffit que \beta_i \neq 0 » est suivie de « Il faut et s. » avec une condition plus faible ; les deux énoncés se suivent sur la page sans que le premier soit barré.

~~d) Pour que la représentation projective sous-espace de G dans C soit irréductible, il faut et suffit que \rho \neq 0 et les \beta_i \neq 0, i.e. que~~

d) Les sous-espaces projectifs stables de C ~~\{c\} (dans c \in C)~~ \neq C et \neq \emptyset sont en corr. 1-1 avec les 0 \leq i \leq n-1 tels que \beta_i = 0, à un tel i correspondant Z^{*}_i (de dim n-1-i). Ces sous- si c \notin C i.e. \rho \neq 0 le d) biffé est barré de plusieurs traits obliques ; la note de marge, entourée, est reliée au second d). La page s'arrête sur « Ces sous- ».