Cote n° 72 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Polyèdres réguliers et hyperpolyèdres réguliers (Calculs en dimension quelconque) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

62la page commence au milieu d'un calcul dont le début n'est pas dans ce lot : deux applications linéaires \(\psi\), \(\psi'\) (et \(f'\), lettre en forme de \(f\) allongé, distincte du \(\varphi\) bouclé plus bas), des bases \(a_j\), \(a'_j\), des vecteurs \(\pi\), \(\pi'\) et des scalaires \(\beta_j\), \(\sigma\), \(\sigma'\), \(\gamma\), \(\rho\).

\[ \begin{cases} \psi'(a'_j) = -(\beta_{n-1} \cdots \beta_j)\, a_j \\ \psi'(a'_{n+1}) = -a'^{*}_n = -\Bigl[ a_{n-1} + \uncertain{2}\,a_{n-2} + \rho'_{n-1,n-2} + \cdots + \overbrace{\rho'_{n-1,1}}^{\gamma}\, a_0 + \overbrace{\rho'_{n-2,0}}^{\sigma'}\, a_{-1} \\ f'(a'_j) = \beta_{n-1} \cdots \beta_j \quad (n \geq j \struck{\geq \ill{}}) \\ f'(a'_{n+1}) = 0 \end{cases} \] la crochet ouvert à la deuxième ligne n'est pas refermé sur la page. En regard, en haut à droite : \(n+1 > j > 0\) \(0 \leq j \leq n+1\) \((n \geq j \geq 0)\), et sous cette ligne \(\uncertain{4} - \beta_{n-2} = 2 - \alpha_{n-2}\), relié par une accolade au terme \(\rho'_{n-1,n-2}\). À droite de la troisième ligne : \(f'(a'_n) = 1\), \(f'(a'_{n-1}) = \beta_{n-1}\), …, \(f'(a'_0) = \beta_{n-1} \cdots \beta_0 = \beta\) (la fin débordant sur la marge).

\[ \psi'(\pi') = -\sigma'\pi, \qquad f'(\pi') = -\tilde{\sigma}\tilde{\rho} \] le premier \(\tilde{\ }\) porte peut-être sur une surcharge ; lecture douteuse.

\[ \begin{cases} \psi'\psi(a_i) = \beta a_i \quad \text{si } \uncertain{0 \leq i \leq n} \\ \psi'\psi(\pi) = \sigma\sigma'\pi \end{cases} \qquad (\beta = \beta_0 \cdots \beta_{n-1}) \]

\[ \psi'\psi = \beta\, \mathrm{id}_E + \gamma\, \pi' \otimes \pi, \qquad \psi\psi' = \beta\, \mathrm{id}_{E'} + \gamma\, \pi \otimes \pi', \qquad \boxed{\sigma\sigma' = \beta + \gamma\rho} \]

la suite, jusqu'au trait ondulé, est barrée de deux longues diagonales.

\[ a_{-1} = s_0, \quad a'_{n+1} = s'_0, \qquad \struck{-a'^{*}_n} = t_0 \struck{\psi'(a'_{n+1}) =} \]

\[ \begin{array}{l} s_0 = a_{-1},\ s_1 = \tau_0 s_0 = a_{-1} + a_0,\ s_2 = \tau_1\tau_0 s_0 = s_0 + (a_0 + a_1) = a_{-1} + a_0 + a_1,\ \ldots,\\ \qquad s_{n+1} = (\tau_n \cdots \tau_0) s_0 = s_0 + (a_0 + \cdots + a_n) = a_{-1} + a_0 + \cdots + a_n \\ s'_0 = a'_{n+1},\ s'_1 = \tau_n s'_0 = s'_0 + a_n,\ s'_2 = \tau_{n-1}\tau_n s'_0 = s'_0 + a_n + a_{n-1},\ \ldots,\\ \qquad s'_{n+1} = \tau_0 \cdots \tau_n s'_0 \struck{= s'_0 + (a_n + \cdots + a_0)} \end{array} \] encadré à droite ; les indices de la deuxième ligne sont surchargés (\(s'_{n+1}\) écrit sur un autre indice) et la dernière égalité est barrée. Les \(a_j\) de cette ligne sont sans accent sur la page.

\[ t_0 \overset{\text{df}}{=} \psi'(s'_0) = \psi'(a'_{n+1}) \overset{\text{df}}{=} -a'^{*}_n = -\bigl[ a_{n-1} + a_{n-2} + (\uncertain{4} - \beta_{n-1})\, a_{n-3} + \cdots + \gamma a_0 + \sigma' a_{-1} \bigr] \] au-dessus du premier \(\overset{\text{df}}{=}\), barré : \(a'_{n+1} =\). Les coefficients de cette ligne ne coïncident pas avec ceux de la deuxième ligne du premier système (\(2a_{n-2}\), \(\beta_{n-2}\)) ; lecture douteuse de part et d'autre.

\(t_0\) […] : \(s_0 \cdots s_n\) […] : \(a_{-1}, a_0, \ldots, a_n\) ?

\[ \boxed{\langle s_i, \pi' \rangle = 1 \qquad \langle \pi, s'_i \rangle = 1 \qquad 0 \leq i \leq n+1} \]

\[ \varphi(t_0, s_i) = \langle s_i, \psi(t_0) \rangle = \langle s_i, \psi\psi'(s'_0) \rangle = \langle s_i, \beta \underset{s'_0}{a'_{n+1}} + \gamma \underbrace{\langle \pi, s'_0 \rangle}_{1} \pi' \rangle = \gamma \struck{\ 0 \leq i \leq n} \] \[ = \begin{cases} \gamma & \text{si } 0 \leq i \leq n \\ \beta + \gamma & \text{si } i = n+1 \end{cases} \] sous \(\psi\psi'(s'_0)\), un renvoi \(\beta s'_0\) peu lisible ; devant l'accolade, deux signes barrés illisibles.

\[ \varphi(\pi, s_i) = \langle s_i, \psi(\pi) \rangle = \langle s_i, -\sigma\pi' \rangle = -\sigma. \]

\(\sigma t_0 + \gamma\pi\) orthogonal aux \(s_i\), \(0 \leq i \leq n\) : \[ \begin{array}{r} \gamma a_n + \uncertain{2}\gamma a_{n-1} + \gamma\rho'_{n-1,n-1} a_{n-1} + \cdots + \overbrace{\gamma\rho'_{n-1,1}}^{\sigma} a_0 + \overbrace{\gamma\rho'_{n-1,0}}^{\rho} a_{-1} \\ - \sigma\gamma a_0 - \sigma\sigma' a_{-1} \\ \hline 0 \cdot a_0 \quad - \beta a_{-1} \end{array} \] la deuxième ligne commence par \(-\sigma a_{n-1} \ldots \sigma a_{n-2}\), en partie illisible ; les indices sont incertains. Le report est cohérent avec l'encadré \(\sigma\sigma' = \beta + \gamma\rho\) : \(\gamma\rho - \sigma\sigma' = -\beta\).

Dén. de \(\psi^{-1}\) est \(\beta\sigma\), et \[ \beta\sigma\,\psi^{-1} = \sigma\psi' + \gamma\,\pi \otimes \pi \overset{\text{df}}{=} \Theta', \qquad \beta\sigma'\,\psi'^{-1} = \sigma'\psi + \gamma\,\pi' \otimes \pi' \overset{\text{df}}{=} \Theta \] \[ \Theta\psi = \beta\sigma\,\mathrm{id}, \quad \psi\Theta = \beta\sigma\,\mathrm{id} \qquad \Theta(\pi') = -\beta\pi, \quad \Theta'(\pi) = -\beta\pi' \] « Dén. » : sans doute « dénominateur » ; lecture douteuse. Les \(\otimes\) de ces lignes et les primes de \(\Theta\), \(\Theta'\) sont tels que sur la page, où les deux définitions semblent croisées (l'accolade relie la seconde à l'encadré \(\Theta\psi = \beta\sigma\,\mathrm{id}\)) ; non corrigé.

64\[ \begin{cases} s_0 = a_{-1},\ s_1 = a_{-1} + a_0,\ s_2 = a_{-1} + a_0 + a_1,\ \ldots,\ s_{n+1} = a_{-1} + a_0 + \cdots + a_n \\ s_{i+1} = \tau_i s_i \qquad 0 \leq i \leq n \end{cases} \] \[ \begin{cases} s'_{n+1} = a'_{n+1},\ s'_n = a'_{n+1} \uncertain{+} a'_n,\ s'_{n-1} = a'_{n+1} + a'_n + a'_{n-1},\ \ldots,\ s'_0 = a'_{n+1} + a'_n + \cdots + a'_0 \\ s'_i = \tau_i s'_{i+1} \qquad 0 \leq i \leq n. \end{cases} \] les indices de la seconde accolade sont ceux de la page, où \(s'_{n+1} = a'_{n+1}\) remplace le \(s'_0 = a'_{n+1}\) de la page 62 : la numérotation des \(s'_i\) est renversée d'une page à l'autre.

\[ \langle s_i, \pi' \rangle = 1, \qquad \langle \pi, s'_i \rangle = 1, \qquad \langle s_i, s'_j \rangle = \begin{cases} 0 & \text{si } \struck{j > i}\ 0 \leq i < j \leq n+1 \\ 1 & \text{si } i = j, \quad 0 \leq i \leq n+1 \end{cases} \] \[ \langle s_i, \pi' \rangle = 1 \qquad \langle \pi, s'_i \rangle = 1 \qquad 0 \leq i \leq n+1 \]

\[ \begin{cases} t_i = \Theta(s'_i) & 0 \leq i \leq n+1 \\ \langle t_i, \pi \rangle = -\beta \\ t_i = \tau_i t_{i+1} & 0 \leq i \leq n \end{cases} \]

\[ \boxed{ \begin{aligned} t_{n+1} = \Theta(s'_{n+1}) &= -\sigma a'^{*}_n + \gamma\pi = -\sigma a'^{*}_n + \gamma a'^{*}_{n+1} \\ &= \gamma a_n + (\uncertain{2\gamma} - \sigma)\, a_{n-1} + (\rho'_{n-1,n-1}\gamma - 2\sigma)\, a_{n-2} + \cdots \\ &\quad + (\rho'_{n-1,n-1-j}\gamma - \rho'_{n-2,n-1-j}\sigma)\, a_{n-j-2} + \cdots \\ &\quad + (\rho'_{n-1,2}\gamma - \rho'_{n-2,2}\sigma)\, a_1 + 0 \cdot a_0 - \beta a_{-1} \end{aligned}} \] sous \(0 \cdot a_0\), un point d'exclamation. Dans la troisième ligne, un mot biffé illisible entre \(\gamma\) et \(\rho'_{n-2,n-1-j}\), et l'indice \(n-1-j\) du second \(\rho'\) est surchargé. Les étoiles de la première ligne sont surchargées.

\[ \boxed{\Theta(a'_j) = -\sigma(\beta_{n-1} \cdots \beta_j)\, a_j \qquad 0 \leq j \leq n} \]

\[ t_i = t_{n+1} + \Theta(a'_n + \cdots + a'_i) = t_{n+1} - \sigma \bigl[ a_n + \beta_{n-1} a_{n-1} + \beta_{n-1}\beta_{n-2} a_{n-2} + \cdots + (\beta_{n-1} \cdots \beta_i)\, a_i \bigr] \]

NB \(t_i = 0\) (pour un \(i\) (\(j \geq 0\))) ssi \(\sigma = \gamma = 0\) (et ceci implique que \(\beta = 0\)). Si \(\beta\) inv. (mais sans que néc. \(\sigma\) inv. i.e. \(\psi\) iso) alors on peut définir \(-\frac{1}{\beta}\, t_i \in E \subset X\) …

\[ \begin{array}{ll} \varphi(t_{n+1}, s_i) = 0 & 0 \leq i \leq n \\ \varphi(t_{n+1}, a_i) = 0 & \uncertain{-1} \leq i \leq n-1 \end{array} \qquad \varphi(t_{n+1}, s_{n+1}) = \varphi(t_{n+1}, a_n) = \beta\sigma \] \[ \struck{\langle t_{n+1}, \psi(a_n) \rangle = (-2\gamma + 2\gamma - \sigma)\beta \ldots} \qquad \struck{= \beta a_n\ \psi t_{n+1}}\ \langle a_n, \psi(t_{n+1}) \rangle \] \[ f(t_{n+1}) = \tfrac{1}{2} \langle t_{n+1}, \psi(\underbrace{t_{n+1}}_{\beta\sigma\, s'_{n+1}}) \rangle = \frac{\beta\sigma}{2}\,\gamma = \beta\tilde{\sigma}\tilde{\gamma} \] le bas de la page est en partie biffé et surchargé : la ligne \(\langle t_{n+1}, \psi(a_n) \rangle = \ldots\) est entourée et barrée, et une accolade ramène \(\beta\sigma\) de la ligne précédente sous \(\psi(t_{n+1})\), avec \(\beta\sigma\, s'_{n+1}\) (sur un \(\beta\sigma\) barré). Le passage de \(\frac{\beta\sigma}{2}\gamma\) à \(\beta\tilde{\sigma}\tilde{\gamma}\) suppose une convention sur les tildes qui n'est pas sur ces pages.

66\[ \Theta = (2 - \alpha_1)\rho \] \[ \sigma\sigma' - \beta = (\underbrace{2 - \alpha_1}_{\struck{4} - \beta_1})\rho, \qquad (\struck{4}\ 1 - \beta_1) = L_2(\beta_1) = \] en regard : « \(n = 3\) \(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2\) […] \(\alpha\) ».

\[ \boxed{\sigma\sigma' - \beta = \underbrace{L_{n-1}(\beta_1, \ldots, \beta_{n-2})}_{\overset{\Vert}{\zeta_1} \;=\; L_{n-1}(\ \ }\,\rho^{\ill{}}} \] sous l'accolade, « \(\zeta_1 = L_{n-1}(\) » laissé inachevé, avec « \(i = n-1\) » au-dessous ; l'exposant de \(\rho\) dans l'encadré est surchargé. Le haut de la page (jusqu'à \(\psi'\psi\)) est traversé de longues diagonales au crayon.

\[ \psi'\psi = \beta\,\mathrm{id} + \gamma\,\tilde{\sigma}' \otimes \tilde{\sigma} \qquad \begin{cases} \beta = \beta_0\beta_1 \cdots \beta_{n-1} \\ \gamma = L_{n-1}(\beta_1, \ldots, \beta_{n-2}) \end{cases} \quad ? \]

\[ \Theta(a'_{n+1}) = \sigma\psi'(a'_{n+1}) + \gamma \] \[ \langle \underbrace{\Theta(\overset{s'_{n+1}}{a'_{n+1}})}_{t_{n+1}}, \pi' \rangle = \langle \Theta(\pi'), \underset{a'_{n+1}}{s'_{n+1}} \rangle = -\beta \langle \pi, s'_{n+1} \rangle = -\beta \]

\[ u = s_0 + s_1 = 2a_{-1} + a_0 \qquad \struck{f(u) =}\ \langle u, \pi \rangle = 2 \] \[ v = t_n + t_{n+1} = 2t_{n+1} - \sigma a_n \qquad \langle v, \pi \rangle = -2\beta \] le signe devant \(\sigma a_n\) est une tache ; \(-\) est ce que donne \(t_n = t_{n+1} - \sigma a_n\) (page 64).

\[ \begin{cases} f(u) = \struck{f(s_0) + f} 4 f(\underbrace{a_{-1}}_{0}) + \underset{1}{f(a_0)} + 2\varphi(\underbrace{a_{-1}, a_0}_{-1}) = -1 \\ f(v) = 4 \underbrace{f(t_{n+1})}_{2\beta\sigma\gamma} + \sigma^2 \underbrace{f(a_n)}_{\beta} - 2\sigma \underbrace{\varphi(a_n, t_{n+1})}_{\beta\sigma} = \beta\sigma(2\gamma - \sigma) \\[1ex] \left. \begin{array}{l} f(s_0) = 0 \\ f(t_{n+1}) = \beta\tilde{\gamma}\tilde{\sigma} \end{array} \right|\ \text{pour mémoire} \end{cases} \] le coefficient de \(\varphi(a_{-1}, a_0)\) est surchargé (un \(2\) sur un \(4\) ?). Avec \(2\), les deux calculs se vérifient : \(0 + 1 - 2 = -1\) et \(2\beta\sigma\gamma + \beta\sigma^2 - 2\beta\sigma^2 = \beta\sigma(2\gamma - \sigma)\) ; sous \(4f(t_{n+1})\) il écrit la valeur de \(4f(t_{n+1})\), soit \(2\beta\sigma\gamma\) (page 64 : \(f(t_{n+1}) = \beta\sigma\gamma/2\)). « pour mémoire » : lecture probable.

68Ex \(n = 1\) \(t_2 =\) \(\beta = \beta_0 = 2 + \alpha_0\), \(\rho = 4 - \beta = 2 - \alpha\), \(\sigma = \sigma' = 2\), \(\gamma = 1\). le \(4\) de \(\rho = 4 - \beta\) est écrit sur un mot biffé illisible ; le \(\alpha\) final est sans indice.

\[ \begin{cases} \beta\sigma\,\psi^{-1} = 2\beta\,\psi^{-1} = 2\psi' + \pi \otimes \pi \\ t_2 = a_1 - \beta a_{-1} \\ f(t_2) = \beta \end{cases} \]

\(n = 2\), \(\beta = \beta_0\beta_1 = (\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)\), \(\rho = -2(\alpha_0 + \alpha_1)\), \(\sigma = 2 - \alpha_1\), \(\sigma' = 2 - \alpha_0\), sous \(\beta_0\), biffé : « \(= \alpha_0 + 2\) » ; le \(2\) de \(\sigma = 2 - \alpha_1\) surcharge un autre chiffre. \[ \Theta = \beta\sigma\,\psi^{-1} = (4 - \alpha_1^2)(\alpha_0 + 2)\,\psi^{-1} = (2 - \alpha_1)\,\psi' + 2\,\pi \otimes \pi \] \[ t_3 = 2a_2 + (\underbrace{2 + \alpha_1}_{\beta_1})\,a_1 + \underset{!}{0 \cdot a_0} - \beta_0\beta_1\, a_{-1} \] \[ f(t_3) = (4 - \alpha_1^2)(2 + \alpha_0) \] les valeurs se vérifient sur les formules des pages 62 à 66 : pour \(n = 1\), \(\sigma\sigma' = 4 = \beta + \gamma\rho\) et \(f(t_2) = \beta\sigma\gamma/2 = \beta\) ; pour \(n = 2\), \(\sigma\sigma' - \beta = -4(\alpha_0 + \alpha_1) = \gamma\rho\) avec \(\gamma = 2\) (coefficient de \(\pi \otimes \pi\) dans \(\Theta\)), \(2\gamma - \sigma = 2 + \alpha_1 = \beta_1\), et \(f(t_3) = \beta\sigma\gamma/2 = \beta\sigma\).

70Supposons \(\rho\) inv. donc \(E \simeq V \oplus \Delta_0\). On définit, pour \(\lambda\) inv., \[ \struck{\ill{}}\ p_\lambda : \lambda E \xrightarrow{\ \sim\ } V, \qquad x \longmapsto \frac{1}{\lambda}\, x - \underbrace{\frac{\pi}{\rho}}_{c} \] \(\frac{\pi}{\rho}\) est entouré et nommé \(c\) ; à la suite, « si cela existe », biffé.

Posons \[ \tilde{s}_i = p_1(s_i) = s_i - c = \] \[ \begin{cases} \tilde{s}_0 = \ill{} - \dfrac{1}{\rho} \Bigl[ \overbrace{\rho'_{n-1,1}}^{\sigma} a_0 + \rho'_{n-1,2}\, a_1 + \cdots + \rho'_{n-1,n-1}\, a_{n-2} + 2a_{n-1} + a_n \Bigr] \\ \tilde{s}_i = \tilde{s}_0 - \dfrac{1}{\rho} \bigl[ a_0 + \cdots + a_{i-1} \bigr] \end{cases} \] le début de la ligne de \(\tilde{s}_0\) est noirci par des ratures (on devine « \(a_{-1} + \) » sous elles) ; de même un mot sous \(\overbrace{\rho'_{n-1,1}}^{\sigma}\).

\(2\) inv. \[ \tilde{u} = p_2(u) = \frac{1}{2}\, u - c = a_{-1} + \frac{1}{2}\, a_0 - c = \frac{1}{2}(\tilde{s}_0 + \tilde{s}_1) = \tilde{s}_0 + \frac{1}{2}\, a_0 \] la dernière égalité ne découle pas de la ligne de \(\tilde{s}_i\) : avec \(\tilde{s}_1 = \tilde{s}_0 - \frac{1}{\rho} a_0\) on trouverait \(\tilde{s}_0 - \frac{1}{2\rho} a_0\) ; mais \(\frac{1}{2}u - c = s_0 + \frac{1}{2}a_0 - c\) donne bien \(\tilde{s}_0 + \frac{1}{2}a_0\). Non corrigé.

\[ \boxed{-\rho\,\tilde{s}_0 = \overbrace{\rho'_{n-1,1}}^{\sigma} a_0 + \rho'_{n-1,2}\, a_1 + \cdots + \rho'_{n-1,n-1}\, a_{n-2} + 2a_{n-1} + a_n} \] \[ \left[\; \begin{aligned} -\rho\,\tilde{u} &= -\rho\,\tilde{s}_0 - \tilde{\rho}\, a_0 = (\sigma - \tilde{\rho})\, a_0 + \rho'_{n-1,2}\, a_1 + \cdots + \rho'_{n-1,n-1}\, a_{n-2} + 2a_{n-1} + a_n \\ -2\rho\,\tilde{u} &= (\uncertain{4}\tilde{\sigma} - \rho)\, a_0 + 2\rho'_{n-1,2}\, a_1 + \cdots + 2\rho'_{n-1,n-1}\, a_{n-2} + 4a_{n-1} + 2a_n \end{aligned} \right. \] à droite de la première ligne, souligné : « en vrai (\(\rho = 2\tilde{\rho}\)) » ; de la seconde, « (car d'ailleurs \(\sigma = 2\tilde{\sigma}\)) ». Les deux premiers membres, \(-\rho\tilde{u}\) et \(-2\rho\tilde{u}\), sont écrits sur des lettres surchargées.

\[ \tilde{t}_i = p_\beta(t_i) = -\frac{1}{\beta}\, t_i - c \qquad -\rho\,\tilde{t}_i = +\frac{\rho}{\beta}\, t_i + \pi \] \(p_\beta\) donnerait \(+\frac{1}{\beta}t_i\) ; le signe \(-\) est sur la page, qui applique en fait \(p_{-\beta}\) (cf. le \(-\frac{1}{\beta}t_i\) de la page 64). Non corrigé.

Si \(i = n+1\) :

le calcul attendu pour \(a_{n-1}\) est \(-\frac{(2\gamma - \sigma)\rho + 2\beta}{\beta\rho} = -\frac{2\gamma\rho - \sigma\rho + 2\beta}{\beta\rho} = -\frac{2\sigma\sigma' - \sigma\rho}{\beta\rho} = -\frac{\sigma}{\beta\rho}(2\sigma' - \rho)\) ; les signes devant \(\sigma\rho\), \(2\beta\) et \(\rho\) sont, sur la page, en partie surchargés et ne suivent pas tous ce calcul. Une ligne biffée plus bas porte d'ailleurs « \(2\sigma\sigma' - \rho\sigma = \sigma(2\sigma' - \rho)\) ».

\[ -\rho\beta\,\tilde{t}_i = \rho t_i + \beta\pi \] \[ -\rho\beta\,\tilde{t}_{n+1} = \struck{\rho t_{n+1} + \beta\pi = (\rho\gamma + \beta)a_n + [\rho(2\gamma - \sigma) + 2\beta]\, a_{n-1} + \cdots} = -\rho\sigma\, a'^{*}_n + \underbrace{\rho\gamma\pi + \beta\pi}_{\sigma\sigma'\pi} \] \[ \struck{t_{n+1} = \Theta s'_{n+1}} = \sigma\,[\sigma' \underset{a'^{*}_{n+1}}{\pi} - \rho\, a'^{*}_n]. \] sous la ligne biffée, une seconde ligne biffée et noircie (« \(\rho\sigma a'^{*}_n + \ldots\) »), illisible. \[ \boxed{-\frac{\rho\beta}{\sigma}\,\tilde{t}_{n+1} = \sigma' a'^{*}_{n+1} - \rho\, a'^{*}_n = \cdots} \] \[ -\frac{\rho\beta}{\sigma}\,\tilde{t}_i = -\frac{\rho\beta}{\sigma}\,\tilde{t}_{n+1} + \rho\beta\bigl(a_n + \beta_{n-1} a_{n-1} + \cdots + (\beta_{n-1} \cdots \beta_i)\, a_i\bigr) \] avec \(t_i = t_{n+1} - \sigma[a_n + \cdots + (\beta_{n-1}\cdots\beta_i)a_i]\) (page 64), on attendrait \(-\rho[\ldots]\) au lieu de \(+\rho\beta(\ldots)\) ; tel sur la page, non corrigé.

Calculs centrés en \(\sigma\) (si centre à dist. finie, i.e. \(\rho\) inv.)

titre de sa main, en haut à droite d'une chemise (page 71) placée devant les pages 72 à 77.

72le haut de la page, jusqu'au trait qui précède « On a », est encadré et barré de longues diagonales.

Choisissons (loc.) (section \(s_0\) de \(X\) admissible pour […] syst. des \((\xi_i^x)\)) (déterminé mod homothéties dans \(E = X \smallsetminus C\) moyennant l'origine \(c\))

(car \(c \notin C\) en tt pt (si \(n\) impair et \(\rho'\) inv., i.e. \(\rho\) inv.), \(n\) pair (donc \(\rho = 2\rho'\)) et \(2\) inv.) — Donc on est dans les conditions suivantes (identifiant \(E\) à \(V\) grâce à l'origine \(c = 0\)) :

au-dessus de « Choisissons », « loc. » ; dans la deuxième parenthèse, « donc est » biffé avant « Donc on est ». Après « \(G \to\) », un mot noirci illisible.

On a [dans \(\check{V}\)] : \[ \begin{aligned} a^\vee_0 &= \struck{\ill{}}\ (\lambda_0 - 1)\, a^{*}_0 + \beta_0\, a^{*}_1 \\ a^\vee_i &= a^{*}_{i-1} + (\lambda_i - 1)\, a^{*}_i + \beta_i\, a^{*}_{i+1} \qquad 1 \leq i \leq n-1 \\ a^\vee_n &= a^{*}_{n-1} + (\lambda_n - 1)\, a^{*}_n \end{aligned} \]

NB \(\rho\) inv. exprime […] i.e. que, si \(D_0 = \bigcap_{1 \leq i \leq n} H_i\), i.e. \(a^\vee_0 \mid D_0 \neq 0\) en chaque point [conséquence de deuxième condition dans \(2^\circ\)] la note précédente est écrite en oblique dans la marge gauche.

[…] pour \(a_{-1}\)

([…] notation […] des notations, il n'y a plus de \(a_{-1}\), \(a^{*}_{-1}\), …)

\[ (*) \qquad s_0 - \ill{} = \tilde{s}_0 = -\frac{1}{\rho}\,(\xi_0 a_0 + \xi_1 a_1 + \cdots + \xi_n a_n) \qquad \left[ \begin{array}{ll} \tau^\vee_i(s_0) = s_0 & 1 \leq i \leq n \\ \text{i.e. } \langle s_0, a^\vee_i \rangle = 0 & 1 \leq i \leq n \\ \tau^\vee_0 s_0 = s_0 + a_0 & \text{i.e. } \langle s_0, a^\vee_0 \rangle = 1 \end{array} \right] \] \((*)\) entouré. Entre \(s_0\) et \(\tilde{s}_0\), une expression noircie, illisible.

On suppose pour simplifier maintenant les \(\lambda_i = -1\) (\(\tau_i\) réflexions) \[ \begin{aligned} \xi_n &= 1, \qquad \xi_{n-1} = 2, \qquad \xi_i = L_{\uncertain{n-i}}(\beta_{n-1}, \ldots, \beta_{i+1}) \\ \xi_0 &= L_n(\beta_{n-1}, \ldots, \beta_1) = L_n(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}) = \sigma \end{aligned} \] les deux premières valeurs sont ajoutées au-dessus de la troisième. Avec \(\xi_0 = \sigma\), \(\xi_{n-1} = 2\), \(\xi_n = 1\), la ligne \((*)\) est celle de l'encadré \(-\rho\tilde{s}_0\) de la page 70.

C) Formes quadratiques invariantes : […] ⌜elles forment⌝ un torseur \(G\)-Module ⌜loc.⌝ libre de rg \(1\). On normalise par \[ \begin{cases} f_V(a_0) = 1 \implies f_V(a_i) = \beta_0\beta_1 \cdots \beta_{i-1} \\ \varphi(a_i, a_j) = 0 \text{ si } i, j \text{ non consécutifs} \\ \varphi(a_i, a_{i+1}) = -\beta_0 \cdots \beta_i \end{cases} \] « libre » est peut-être remplacé plutôt que biffé ; « loc. » est ajouté au-dessus de la ligne.

73Reformulation des données lorsque \(c \notin C\) en ts fibres, i.e. \(\rho\) inv. (\(n\) impair, \(\rho'\) inv., ou \(n\) pair, \(\rho'\) inv. et \(2\) inv.)

A) \(\varphi_G : G \to \operatorname{Aut}(X)\) ou encore \((\tau^X_i)_{0 \leq i \leq n}\) est remplacé par \(\varphi_G : G \to \operatorname{Aut}(V)\) ou encore \((\tau^V_i)_{0 \leq i \leq n}\).

Conditions

à gauche de \(2^\circ\)), biffé : « […] ». Sous \(3^\circ\)), une ligne biffée où l'on lit « … \(D_0 = \bigcap_{1 \leq i \leq n} H_i\) … ».

B) La donnée de \(s_0 \in \struck{\Gamma(X)}\) […] […] […] \(\varphi_G\) […] […] […], et […] exprime \[ \tilde{s}_0 \text{ base de } D_0 = \bigcap_{1 \leq i \leq n} H_i \] qui s'exprime […] situation. On […] [[…]] […] […] […] \(n\) […] […] base […] les formes quadratiques \(a'_0\) de \(L'_0\) (\(V\) […] \(D_0 \otimes L'_0 \xrightarrow{\sim} \mathcal{O}_S\)), par \[ \boxed{\langle \tilde{s}_0, a'_0 \rangle = 1} \] ce qui fixe base \(a_0\) de \(L_0\) par \(\tau_0 = \mathrm{id}_V + a'_0 \otimes a_0\), et de proche en proche on détermine les \(a'_i\), \(a_i\) par \[ \bigl[\ \langle a_i, a'_{i+1} \rangle = 1, \qquad \tau_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i\ \bigr] \] le paragraphe B) est d'une écriture rapide ; seules les formules et quelques mots se lisent. Le « \(\mathcal{O}_S\) » est probable (un \(\mathcal{O}\) souscrit d'une lettre).

74Posant \[ \omega_V = a_0 \wedge \cdots \wedge a_n \] […] \[ \delta(f_V) = \underbrace{\beta_0^{\,n}\, \beta_1^{\,n-1} \cdots \beta_{n-1}}_{B}\, \rho\, \omega_V^{\otimes -2} = B\rho\, \omega_V^{\otimes -2} \] les exposants de \(\beta_0\) et \(\beta_1\) sont petits et douteux (\(n\), \(n-1\)). (\(f\) lisse ssi \(B\) inv., i.e. les \(\beta_i\) inv., \(0 \leq i \leq \uncertain{n-1}\))

Considérons alors \[ \lambda = f_V(\tilde{s}_0) = \frac{\sigma'\rho'}{\rho^2} = \begin{cases} (n \text{ pair donc } \rho = 2\rho')\ (2 \text{ inv.}) & \dfrac{\sigma'}{4\rho'} \\[1ex] n \text{ impair } \rho = \rho' & \dfrac{\sigma'}{\rho'} \end{cases} \] devant \(\sigma'\rho'\), un mot noirci. Les deux valeurs se vérifient : \(\sigma'\rho'/(2\rho')^2 = \sigma'/(4\rho')\) et \(\sigma'\rho'/\rho'^2 = \sigma'/\rho'\).

La hypersurface quadrique (sphère) circonscrite au polyèdre régulier est donc donnée par \[ f_V - \lambda = 0. \] Pour qu'elles soient […] ⌜respectivement⌝ lisse, il faut que les \(\beta_i\) et \(\sigma'\) soient inv. (c'est dans le cas singulier)

(D) NB Supposons données \(V\), \(f_V\) et \(\varphi^V_G\), respectivement orth. \[ G \longrightarrow \mathrm{O}(f_V) \] transformant les \(\tau_i\) en réflexions orth., et satisfaisant des conditions \(2^\circ\)), \(3^\circ\)) plus haut. Celle-ci […] […] […] plus \[ \bigl[\ \struck{f \mid (D_0 = \textstyle\bigcap_{1 \leq i \leq n} H_i)}\ \ f \mid L_0\ \bigr] \neq 0 \quad \text{en ts fibres.} \] Alors ça provient donc […] d'une situation comme plus haut. Il suffit de choisir une section \(a_0\) de \(D_0\) telle que \(f_V(a_0) = 1\). (i.e. \(\tau_0\) est une réflexion orth. de \(V\)) \(\leftrightarrow\) […] conditions […] ? la note de marge, en oblique en bas à gauche, est reliée par une double flèche au crochet ; « Celle-ci » est suivi d'un mot entouré et de mots biffés.

75(L'indétermination vient d'une section d'un rev. principal de \(S\) de groupe \(\mu_2\), définie mod élément de \(\mu_2(S)\) …). Donc \(s_0\) est alors donné par la formule \((*)\). (Rien n'empêche d'ailleurs que \(f_V(s_0) = 0\).)

(E) Supposons \(n\) impair Si on a donné une base \[ \varphi^C_G : G \longrightarrow \operatorname{Aut}(C, Q_C) \] [\(C\) fibré proj. de rg \(n\), \(Q_C\) ⌜hyper⌝quadrique] satisfaisant les conditions

Pour \(n \neq 2\) alors loc. (et) ça provient de \((V, f_V, (\tau^\vee_i))\) satisfaisant les conditions de (D), \(V\) déterminé mod \(\otimes L\) (\(L\) inv.), \(f_V\) défini mod unité. On utilise alors […] : \(L_0 \subset V\), […] […] « épingles » i.e. éliminer l'indét. \(\otimes L\), en prenant \(L \simeq \mathcal{O}_S\) i.e. section \(a_0\) de \(L_0\). (Si \(n = 1\), une réflexion de \(C = P(V)\), ne provient pas […] \(f\) […] d'une réfl. de \(V\) …] la note de marge, écrite en oblique en bas à gauche, est en grande partie illisible. L'item 4) est barré d'un grand trait ondulé.

76NB \(n \neq 2\) Et on normalise alors par \(f(a_0) = 1\). On trouve : La catégorie des réal. géom. de \(T_1\) non dég. non centr. à distance finie, est équivalente : celle des triples \((C, Q_C, \varphi^C_G)\) d'un fibré projectif de rg \(n\), d'une hyperquadrique \(Q_C\) de \(C\), d'une rep. de \(G\) dans \((C, Q_C)\) satisfaisant les conditions \(1^\circ\)) à \(3^\circ\)). (NB Si \(n = 2\) donné par \(Q_C\), conique ordinaire, mais […] \(Q_C\) est déduite canoniquement comme unique hyperq. lisse […]. la parenthèse n'est pas refermée ; le reste de la page est blanc.

77la lettre notée ici \(\sigma\) dans \(\tilde{s}_0 = s_0 - \sigma\) est un \(\sigma\) bouclé, ou peut-être un \(c\) à boucle : elle tient la place du centre \(c = \pi/\rho\) de la page 70 (avec \(f(\sigma) = -\sigma'\rho'/\rho^2\)). On garde la lettre de la page. \[ \tilde{s}_0 = s_0 - \sigma \qquad \struck{s'_0 = \rho\,\tilde{s}_0 \quad f_V(s'_0)} \] \[ f_V(\tilde{s}_0) = f(s_0 - \sigma) = \underset{0}{f(s_0)} + \underbrace{f(\sigma)}_{-\frac{\sigma'\rho'}{\rho^2}} - \underbrace{\varphi(s_0, \sigma)}_{-\frac{\sigma}{\rho}} = -\frac{\sigma'\rho'}{\rho^2} + \frac{\sigma}{\rho} \] \[ \begin{cases} n \text{ pair } \rho = 2\rho',\ \sigma^{\uncertain{2}} = \sigma' \\ n \text{ impair } \rho = \rho',\ \sigma = 2\sigma' \end{cases} \qquad \begin{cases} f_V(\tilde{s}_0) = -\dfrac{1}{4}\dfrac{\sigma'}{\rho'} + \dfrac{1}{2}\dfrac{\sigma'}{\rho'} = \dfrac{1}{4}\dfrac{\sigma'}{\rho'} \\[1.5ex] f_V(\tilde{s}_0) = -\dfrac{\sigma'}{\rho'} + 2\dfrac{\sigma'}{\rho'} = \dfrac{\sigma'}{\rho'} \end{cases} \] les deux valeurs retrouvent le \(\lambda\) de la page 74. Pour \(n\) pair, le calcul demande \(\sigma = \sigma'\) ; l'exposant lu sur \(\sigma\) est douteux.

Soit \[ s'_0 = -\rho\,\tilde{s}_0 = \underset{\sigma}{\xi_0} a_0 + \xi_1 a_1 + \cdots + \underset{1}{\xi_n} a_n \qquad f_V(s'_0) = \rho\sigma - \rho'\sigma' = \rho'\sigma' \] \[ \boxed{f_V(s'_0) = \rho'\sigma'} \qquad \varphi_V(\tilde{s}_0, a_i) = \varphi_V(s_0 - \sigma, a_i) = \underbrace{\varphi(s_0, a_i)}_{\substack{0 \text{ si } i \neq 0 \\ -1 \text{ si } i = 0}} - \underbrace{\varphi(\sigma, a_i)}_{0\ \uncertain{\text{tjs}}} = \begin{cases} -1 & i = 0 \\ 0 & 1 \leq i \leq n \end{cases} \] l'égalité \(\rho\sigma - \rho'\sigma' = \rho'\sigma'\) suppose \(\rho\sigma = 2\rho'\sigma'\), ce que donnent ses deux cas (\(\rho = 2\rho'\), \(\sigma = \sigma'\) ou \(\rho = \rho'\), \(\sigma = 2\sigma'\)).

\[ \begin{cases} \tilde{s}_i = s_i - \sigma \\ s'_i = -\rho\,\tilde{s}_i \end{cases} \qquad \begin{cases} \tilde{s}_i = \tau^\vee_{i-1}\,\tilde{s}_{i-1} \\ s'_i = \tau^\vee_{i-1}\, s'_{i-1} \end{cases} (1 \leq i \leq n) \] \[ \varphi_V(s'_0, a_i) = \begin{cases} \rho & i = 0 \\ 0 & 1 \leq i \leq n \end{cases} \qquad \begin{aligned} \langle \tilde{s}_0, a^\vee_i \rangle &= \langle \tilde{s}_0, a'_i \rangle = \langle s_0 - \sigma, a'_i \rangle = \langle s_0, a'_i \rangle \\ &= \begin{cases} 1 & i = 0 \\ 0 & 1 \leq i \leq n \end{cases} \end{aligned} \] \[ \begin{cases} \tilde{s}_i = (s_i - s_0) + (s_0 - \sigma) = \tilde{s}_0 + (a_0 + \cdots + a_{i-1}) \\ s'_i = s'_0 - \rho\,(a_0 + \cdots + a_{i-1}) \end{cases} \] \[ s'_1 = s'_0 - \rho\, a_0, \qquad s'_0 + s'_1 = 2s'_0 - \rho\, a_0 \] \[ f_V(s'_0 + s'_1) = 4\underbrace{f_V(s'_0)}_{\rho'\sigma'} + \rho^2 \underbrace{f_V(a_0)}_{1} - 2\rho \underbrace{\varphi_V(s'_0, a_0)}_{\rho} = 4\rho'\sigma' - \rho^2 = \] \[ f_V(s'_0 + s'_1) = \begin{cases} n \text{ pair} : & 4\rho'(\sigma' - \rho') \\ n \text{ impair} : & \rho'(4\sigma' - \rho') \end{cases} \] le signe entre \(s'_0\) et \(s'_1\) dans les deux premiers membres est mal formé ; c'est la somme \(s'_0 + s'_1\) que le calcul évalue. Les deux cas se vérifient.

Donc pour que l'homothétie de rapport \(\lambda\) transforme la sphère \(\Sigma\) circonscrite aux \(s'_i\) en celle circonscrite aux transformés des \(s'_0 + s'_1\), il faut et suffit que \[ \lambda^2 \rho'\sigma' = \struck{\rho'(4\sigma' - \rho')} \begin{cases} 4\rho'(\sigma' - \rho') & \text{i.e. } \lambda = 2\sqrt{1 - \rho'/\sigma'} \quad n \text{ pair} \\ \rho'(4\sigma' - \rho') & \struck{\text{i.e. } \lambda =}\ \lambda = 2\sqrt{1 - \rho'/4\sigma'} \quad n \text{ impair} \end{cases} \] les deux racines se vérifient : \(\lambda^2 = 4(1 - \rho'/\sigma')\) et \(\lambda^2 = 4 - \rho'/\sigma' = 4(1 - \rho'/4\sigma')\).

Sous-espaces invariants

titre de sa main, en haut à droite d'une chemise (page 78) placée devant les pages 79 et 80.

79On suppose qu'on est sur un corps \(k\). […]

Théorème Soit \(Z \subset X\) sous-espace projectif. Pour que \(Z\) soit invariant par \(G\) i.e. par les \(\tau_i\) (\(0 \leq i \leq n\)), il faut et il suffit qu'on soit dans l'un des cas suivants :

NB \(\beta_i = 0 \iff Z_i \subset Z'_i\) codim \(1\) l'exposant de \(Z^{*}_i\) est un petit signe bouclé, lu ici comme une étoile ; le « \(\beta_i\) (\(= 2 + \alpha_i\)) » est probable.

(NB On pose \[ Z'_n = \underbrace{H_0 \cap \cdots \cap H_n}_{\{c\}} \quad \text{et} \quad Z^{*}_n = \struck{\emptyset}\ \ill{}, \qquad Z^{*}_{-1} = X, \quad Z'_{-1} = C\,) \] les indices \(-1\) surchargent un autre chiffre ; les deux lignes paraissent avoir inversé \(Z^{*}_{-1}\) et \(Z'_{-1}\) par rapport à la chaîne qui suit, où \(Z^{*}_{-1} = C\) et \(Z'_{-1} = X\). Tel sur la page.

On a (sans hyp. sur aucun des \(\beta_i\)) \[ \begin{array}{rcl} Z^{*}_n = \emptyset & \subset & Z'_n = \{c\} \\ \cap & & \cap \\ Z^{*}_{n-1} = \{h_n\} & \subset & Z'_{n-1} = H_0 \cap \cdots \cap H_{n-1} \\ \cap & & \cap \\ Z^{*}_{n-2} = \operatorname{Lin}(h_n, h_{n-1}) & \subset & Z'_{n-2} = H_0 \cap \cdots \cap H_{n-2} \\ \vdots & & \vdots \\ Z^{*}_0 = \operatorname{Lin}(h_n, \ldots, h_1) & \subset & Z'_0 = H_0 \\ \cap & & \cap \\ Z^{*}_{-1} = C & \subset & Z'_{-1} = X \end{array} \] sur la page, les deux chaînes sont écrites en deux lignes sur toute la largeur, \(Z^{*}\) au-dessus de \(Z'\), reliées par des \(\cap\) verticaux ; on les redonne ici en colonnes, transposées : les inclusions de la page qui vont de gauche à droite se lisent ici de haut en bas, et les \(\cap\) verticaux de la page sont les \(\subset\) horizontaux.

Toutes les inclusions, horizontales, sont strictes, de codim. \(1\). Tous Les \(2(n+2)\) espaces \(Z^{*}_i\), \(Z'_i\) (\(-1 \leq i \leq n\)) ⌜ne⌝ sont pas distincts ? on trouve une dimension donnée \(-1 \leq d \leq n+1\), il y a […] […] des \(Z^{*}_i\), \(Z'_i\) de cette dim si \(d = -1\) ou \(d = n+1\) (savoir \(Z^{*}_n\) et \(Z'_{-1}\)), ⌜exactement⌝ deux si \(0 \leq d \leq n\), savoir \(Z'_{n-d} = H_0 \cap \cdots \cap H_{n-d}\) […] et \(Z^{*}_{n-d-1} = \operatorname{Lin}(h_n, \ldots, h_{n-d})\), et ils sont égaux ssi \(h_{n-d}, h_{n-d+1} \in Z'_{n-d}\), i.e. \[ h_{n-d} \in H_{n-d} \cap H_{n-d-1}, \qquad h_{n-d+1} \in H_{n-d} \] NB Si \(c \notin C\) i.e. \(\rho \neq 0\), alors les \(Z_i\), \(Z'_i\) tous distincts, car \(Z_i \not\subset Z'_i\) pour tout \(i\)) pour \(d = -1\) et \(d = n+1\) il n'y a qu'un espace de la liste (\(Z^{*}_n = \emptyset\), \(Z'_{-1} = X\)) ; le mot illisible qui précède « des » est sans doute ce décompte, et les mots biffés au-dessus paraissent une première rédaction. Les dimensions données plus haut (\(Z'_i\) de dim \(n-i\), \(Z^{*}_i\) de dim \(n-i-1\)) donnent bien \(Z'_{n-d}\) et \(Z^{*}_{n-d-1}\) en dimension \(d\).

80i.e. ssi on a simultanément (posant \(i = n-d\)) \[ \begin{cases} \mu_i\ (= \lambda_i - 1) = 0 & (\text{i.e. } 2 \cdot 1_k = 0 \text{ dans le cas des réflexions, i.e. car.\ } k = 2) \\ \beta_i = \beta_{i-1} = 0 & (\text{on vide : la condition } \beta_{i} = 0 \text{ si } i = 0, \text{ et la condition } \beta_{i-1} = 0 \text{ si } i = n) \end{cases} \] « on vide » : lecture douteuse ; le sens est que l'une des deux conditions disparaît aux extrémités \(i = 0\) et \(i = n\). La lettre \(\mu_i\) est lue d'après « \(= \lambda_i - 1\) ».

Cor […] Dém

Cor (b) Il y a au plus \(2(n+2)\) sous-espaces projectifs invariants par \(G\). Pour qu'il y en ait \(2(n+2)\), il faut et il suffit que \(\beta_i = 0\) (\(0 \leq i \leq n-1\)) et \(\mu_i \neq 0\) […] (\(0 \leq i \leq n\)) (cette condition signifie aussi, dans le cas des réflexions, que car. \(k \neq 2\)). « (b) » et plus bas « (c) » sont entourés sur la page.

(c) […] Il y a au moins les ss-espaces invariants \(\emptyset\), \(X\), \(\{c\}\), \(C\). Pour que ce soient les seuls, il faut et suffit que \(\beta_i \neq 0\) \(0 \leq i \leq n-1\) (ce qui implique que les \(2(n+2)\) espaces \(Z_i\), \(Z'_i\) sont distincts). Il faut que ⌜et s.⌝ \[ \beta_i \neq 0 \quad \uncertain{0 \leq i < n-1}, \quad \text{et que } (\beta_0 \struck{= \beta_n} = 0 \implies \mu_0 = 0), \quad (\beta_{n-1} = 0 \implies \mu_n = 0) \] [donc, dans le cas des réflexions, que \[ \begin{cases} \text{si car.\ } k \neq 2 : \text{ les } \beta_i \neq 0 \text{ \uncertain{i.e.} } \beta = \prod_{0 \leq i \leq n-1} \beta_i \neq 0 \\ \text{si car.\ } k = 2 \text{ les } \beta_i \neq 0 \text{ si } 0 < i < n-1. \end{cases} \] la phrase « Pour que ce soient les seuls, il suffit que \(\beta_i \neq 0\) » est suivie de « Il faut et s. » avec une condition plus faible ; les deux énoncés se suivent sur la page sans que le premier soit barré.

d) Pour que […] la représentation projective […] sous-espace […] de \(G\) dans \(C\) soit irréductible, il faut et suffit que \(\rho \neq 0\) et les \(\beta_i \neq 0\), i.e. que

d) Les sous-espaces projectifs stables de \(C\) […] \(\{c\}\) (dans […] \(c \in C\)) \(\neq C\) et \(\neq \emptyset\) sont en corr. \(1\)-\(1\) avec les \(0 \leq i \leq n-1\) tels que \(\beta_i = 0\), à un tel \(i\) correspondant \(Z^{*}_i\) (de dim \(n-1-i\)). Ces sous- si \(c \notin C\) i.e. \(\rho \neq 0\) le d) biffé est barré de plusieurs traits obliques ; la note de marge, entourée, est reliée au second d). La page s'arrête sur « Ces sous- ».