Fonds Grothendieck, cote n° 72, pages 41–60

la page commence au point « \beta) » d'un raisonnement dont le début précède cette page ; écriture très rapide, dont une bonne part de la prose ne se lit pas

\beta) Car on voit que \rho = \tilde{\rho}, \sigma = 2\tilde{\sigma}, l'équation s'écrit \tilde{\sigma}\,(2 + \lambda\rho) = 0 . Donc si \sigma (= 2\tilde{\sigma}) et \rho (= \tilde{\rho}) sont , \exists ! u de U_\rho, \neq 1, qui respecte f, qui revient Q u = \mathrm{id} - \frac{2}{\rho}\, \pi' \otimes \pi sous la formule, une accolade et deux ou trois mots illisibles (antipodisme ?)

D'autres pas équivalentes (\Leftarrow \sigma\rho) : « (\Leftarrow \sigma\rho) » est écrit au-dessus de la ligne ; la lecture en est incertaine

a) 2\tilde{\sigma} = \sigma = 0 et \tilde{\sigma}\rho = 0

[NB si 2 inv., équivaut à : \sigma = 0 ; si 2 , équivaut à : \tilde{\sigma}\rho = 0]

b) U_\rho respecte f^{\varepsilon}

c) U_\rho — Q_X le tiret est le sien : il répète le verbe de la ligne précédente

Si ~~de plus~~ \rho = 0, ces conditions équivalent aussi à :

d) \exists loc. section de U_\rho partout \neq 1 qui respecte f^{\varepsilon} (ou encore, Q_X)

NB si \tilde{\sigma} inv. \sigma (car 2) on a unique solution \lambda, savoir \lambda = -\frac{2}{\rho}, mais, pour celle-ci . Donc 1°) et 2°) [\sigma\rho inversible] note écrite en diagonale dans la marge gauche, montant vers la droite ; les derniers mots sont encadrés. Plus bas dans la marge, « i.e. »

[Ex. n = 1, \rho = 4 - \beta = 2 - \alpha, \sigma = \struck{\ill{}}\ 2, \tilde{\sigma} = 1. Donc

~~Par~~ 1°) si \rho inv. i.e. U_\rho = \mathbb{G}_m, ~~alors~~ \exists ! u \in U_{\rho = 2 - \alpha} \neq 1, telle que u respecte f^{\varepsilon} (ou ce qui revient au même, ~~Q_X~~ la conique Q_X) savoir l'antipodisme, qui est l'unique solution telle que u^2 = 1, u_\rho \neq 1 . « U_\rho = \mathbb{G}_m » : lecture incertaine du second membre

2°) Conditions équivalentes

a) \rho = 0 et ~~car~~ S de car 2 (2 \cdot 1_S = 0)

b) U_\rho respecte f^{\varepsilon}

c) U_\rho — Q_X

d) \rho = 0 et \exists loc. section partout \neq 1, qui respecte f^{\varepsilon} (ou encore, Q_X).]

Proposition 1) Si \sigma\tilde{\rho} inversible, \exists ! section u de U_\rho, partout \neq 1, qui respecte f^{\varepsilon} i.e. Q_X, savoir l'antipodisme.

2) Conditions équivalentes

a) \sigma = 0 et \tilde{\sigma}\tilde{\rho} = 0 (cette dernière condition conséquence de la première 2 inv.)

b) U_\rho respecte f^{\varepsilon}

c) U_\rho respecte Q_X

d) (si \tilde{\sigma}\tilde{\rho} = 0) \exists loc. section de U_\rho partout \neq 1, qui respecte f^{\varepsilon} (ou Q_X) un grand « 2 », tracé plus appuyé, à gauche de d) ; la condition « si \tilde{\sigma}\tilde{\rho} = 0 » est doublement soulignée

Calculs de discriminants etc.

inscrit à l'encre en haut à droite d'un feuillet de garde (page 43), qui ne porte rien d'autre ; ces mots sont de sa main et donnent sans doute le titre des feuillets qui suivent

\begin{cases} f(s_i) = 0 \\ \varphi(s_i, s_j) = -(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{i-1} + 2) & 0 \leqslant i < j \leqslant n+1 \end{cases}

f caractérisée par les conditions a) f inv. par les \tau_i ; b) f(s_0) = 0 (\Leftrightarrow f nulle sur les sommets fixés au \tau_i) ; c) f(a_0) = 1 (\Leftrightarrow vecteurs cités sont unitaires).

\begin{aligned} & f(a_i) = (\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{i-1} + 2) && 0 \leqslant i \leqslant n \\ & \varphi(a_i, a_j) = 0 && 0 \leqslant i < j \leqslant n,\ i, j \text{ non consécutifs} \\ & \varphi(a_i, a_{i+1}) = -(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_i + 2) \\ & \varphi(s_0, a_i) = 0 && 1 \leqslant i \leqslant n \\ & \varphi(s_0, a_0) = -1 \\ & \varphi(s_j, a_i) = 0 && 0 \leqslant j < i \leqslant n \\ & \varphi(s_j, a_j) = -(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{j-1} + 2) && 0 \leqslant j \leqslant n \\ & \varphi(s_j, a_{j-1}) = +(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{j-2} + 2) && 1 \leqslant j \leqslant n+1 \\ & \varphi(s_j, a_i) = 0 && 0 \leqslant i < j-1 \leqslant n \end{aligned} après « 0 \leqslant j < i \leqslant n, » un mot biffé, illisible ; entre les deux dernières lignes, une ligne biffée : « ~~\alpha_i + 2 inversibles 0 \leqslant i \leqslant n-1 \Leftrightarrow~~ »

À droite : \begin{cases} \varphi(s_0, s_1) = \varphi(s_0, a_1) = -1 \\ \varphi(s_1, a_0) = f(a_0) = 1 \\ \tau_0 \text{ str. orth.} \end{cases} au-dessus de « -1 », qui est encadré, il écrit « = \varphi(s_0, a_0) = », qui semble corriger le second membre : la liste de gauche donne \varphi(s_0, a_1) = 0 et \varphi(s_0, a_0) = -1

\tau_i réflexion strictement orthogonale \Longleftrightarrow (\alpha_0 + 2), \ldots, (\alpha_{i-1} + 2) \in k^{*}

(\tau_i str. orth. \forall\, 0 \leqslant i \leqslant n) \Longleftrightarrow (\alpha_i + 2) \in k^{*} \forall\, 0 \leqslant i \leqslant n-1

\begin{cases} f(s_i) = 0 \qquad \varphi(s_i, s_i) = 0 \\ \varphi(s_i, s_j) = -(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{i-1} + 2) & 0 \leqslant i < j \leqslant n+1 \end{cases}

\begin{cases} f(a_{-1}) = 0, \quad f(a_i) = (\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{i-1} + 2) = c_{i-1} \\ \varphi(a_i, a_i) = 2 f(a_i) = 2(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{i-1} + 2) \quad (0 \leqslant i \leqslant n) \\ \varphi(a_i, a_j) = 0 \qquad -1 \leqslant i < j \leqslant n,\ i, j \text{ non consécutifs} \\ \varphi(a_i, a_{i+1}) = -(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_i + 2) = -c_i \qquad -1 \leqslant i \leqslant n-1 \end{cases} à gauche de l'accolade, « f(a_0) » biffé ; au-dessus de la première ligne, un début biffé et « = c_{-2} » (lecture incertaine). Au-dessus de « = c_{i-1} », une remarque : « attention au décalage des notations ». Un mot biffé et souligné avant « i, j non consécutifs »

Matrice de f pour la base (a_i)_{-1 \leqslant i \leqslant n} un premier départ de la matrice, à gauche, est biffé de traits ondulés ; seule la matrice de droite est donnée f = \begin{pmatrix} 0 & -1 & & & & & \\ -1 & 2 & -c_0 & & & & \\ & -c_0 & 2c_0 & -c_1 & & & \\ & & -c_1 & 2c_1 & -c_2 & & \\ & & & -c_2 & 2c_2 & -c_3 & \\ & & & & -c_3 & 2c_3 & \ddots \\ & & & & & \ddots & \ddots \\ & & & & & & 2c_{n-2} \quad -c_{n-1} \\ & & & & & & -c_{n-1} \quad 2c_{n-1} \end{pmatrix}

\quad \delta(f) = \det \begin{pmatrix} -1 & -c_0 & 0 & 0 & \\ 0 & 2c_0 & -c_1 & 0 & \\ 0 & -c_1 & 2c_1 & -c_2 & \\ & 0 & -c_2 & 2c_2 & \ddots \\ & & & -c_3 & \ddots \quad 2c_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & & \end{pmatrix} = -1 \det \begin{pmatrix} 2c_0 & -c_1 & & \\ -c_1 & 2c_1 & -c_2 & \\ & -c_2 & \ddots & -c_{n-1} \\ & & -c_{n-1} & 2c_{n-1} \end{pmatrix} + c_0 \det \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & \cdots \\ 0 & \cdots \\ \vdots & \\ 0 & \cdots \end{pmatrix}}_{0} dans la formule précédente, biffé : « ~~\det M_f~~ » matrices recopiées dans leur forme ; les entrées de la première, écrites en escalier, sont partiellement surchargées

\det \begin{pmatrix} 2c_{-1} & -c_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -c_0 & 2c_0 & -c_1 & & & \\ 0 & -c_1 & 2c_1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & & 0 \\ & & & & & -c_{n-1} \\ 0 & \cdots & & 0 & -c_{n-1} & 2c_{n-1} \end{pmatrix} = F_{n+1}(\underbrace{c_{-1}, \ldots, c_{n-1}}_{n+1 \text{ arguments}})

-\delta(f) = F_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) = 2c_0\, F_{n-1}(c_1, \ldots, c_{n-1}) + c_1 \det \begin{pmatrix} -c_1 & -c_2 & 0 & 0 & \\ 0 & 2c_2 & -c_3 & 0 & \\ \vdots & -c_3 & 2c_3 & -c_4 & \\ 0 & & -c_4 & 2c_4 & -c_5 \\ 0 & 0 & & \ddots & c_{n-1} \end{pmatrix} = 2c_0\, F_{n-1}(c_1, \ldots, c_{n-1}) - c_1^2\, F_{n-2}(c_2, \ldots, c_{n-1}) il écrit d'abord « = 2c_0 ( », une tache, puis « c_1^2 F_{n-2}(c_2, \ldots, c_{n-1}) », et reporte « F_{n-1}(c_1 - c_{n-1}) » au-dessus avec un trait de renvoi ; le signe moins est sous la tache. La récurrence F_n = 2c_0 F_{n-1} - c_1^2 F_{n-2} est exacte

0 \to 1 \to 2 \to 3 \cdots \to n-1 \to 0 permutation circulaire les derniers mots sont soulignés

F_1(c_0) = 2c_0 \qquad F_2(c_0, c_1) = 4c_0c_1 - c_1^2 = c_1(4c_0 - c_1) F_3(c_0, c_1, c_2) = 2c_0(4c_1c_2 - c_2^2) - 2c_1^2 c_2 \;\; = 2c_2(4c_0c_1 - c_0c_2 - c_1^2) dans la formule précédente, biffé : « ~~= 8c_0c_1c_2~~ » les coefficients de la dernière parenthèse sont écrits sur d'autres, biffés. Les trois valeurs sont exactes : F_3 = 2c_0 F_2(c_1, c_2) - c_1^2 F_1(c_2)

\det\bigl((c_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\bigr) \overset{?}{=} \qquad [c_{ij} = 0 \text{ si } i \neq j,\ i, j \text{ non consécutifs}] \Vert \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon_\sigma \prod_i c_{i\sigma(i)} nulle, sauf si \sigma est tel que \forall\, i \in [1, n], \sigma i \in \lbrace i-1, i, i+1 \rbrace au-dessus de cette condition, soulignée : « \sigma admissible »

Supposons n \geqslant 2, alors les cycles de \sigma sont de longueur 1 ou 2, et les cycles de long. 2 sont formés d'entiers consécutifs, donc \sigma est de la forme \tau_{i_1} \tau_{i_2} \cdots \tau_{i_p} \qquad 1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_p \leqslant n-1 (\tau_i est la transposition de i, i+1) où i_1, i_2, \ldots, i_p sont non consécutifs. dans la marge gauche, un petit segment gradué « i \geqslant 2, i-1, i », deux arcs joignant les points voisins

\underbrace{1 + \alpha_0}_{i_1} \qquad \underbrace{3 + \alpha_0 + \alpha_1}_{i_2} \qquad \underbrace{5 + \alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2}_{i_3} \qquad \cdots \qquad \underbrace{(2p-1) + \alpha_0 + \cdots + \alpha_{p-1}}_{i_p} les constantes 3 et 5 sont écrites sur d'autres chiffres biffés, et la troisième expression commence par « i_1 + » ; lecture incertaine des surcharges

~~\displaystyle\sum_{\substack{i_1, i_2, \ldots, i_p \\ \text{strict. cr.} \\ \text{distincts}}}~~ cette somme, à gauche, est barrée d'un trait oblique

~~1 \leqslant i_1 \quad 1 + \alpha_1 + \cdots + \alpha_{p-1} \leqslant~~

\alpha_i \in \mathbb{N} \qquad \alpha_0 + \cdots + \alpha_{p-1} \leqslant n - 2p

\sum_{1 \leqslant p \leqslant [\frac{n}{2}]} (-1)^p \sum_{\substack{(\alpha_0, \ldots, \alpha_p) \in \mathbb{N}^p \\ \sum \alpha_i = n - 2p}} \prod_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ \text{non de la forme}}} c_{ii} \prod_{1 \leqslant r \leqslant p} \bigl(c_{2r-1+(\alpha_1 + \cdots + \alpha_r),\, 2r+(\alpha_1 + \cdots + \alpha_r)}\, c_{2r+(\alpha_1 + \cdots + \alpha_r),\, 2r-1+(\alpha_1 + \cdots + \alpha_r)}\bigr) dans la formule précédente, un terme biffé, illisible avec, sous le premier produit : \begin{cases} (2r-1) + (\alpha_p + \cdots + \alpha_r) & 1 \leqslant r \leqslant p+1 \\ 2r + (\alpha_p + \cdots + \alpha_n) \end{cases} les indices sont reproduits comme écrits ; ils passent de \alpha_0, \ldots, \alpha_{p-1} à \alpha_1, \ldots, \alpha_r d'une ligne à l'autre, et plusieurs sont surchargés. La lecture des bornes sous le premier produit est incertaine

Si la matrice est symétrique, et c_{i\,i+1} = -c_{i+1}, c_{ii} = 2c_i, on trouve \det\bigl((c_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\bigr) = \sum_{1 \leqslant p \leqslant [\frac{n}{2}]} (-1)^p\, 2^{n-2p} \sum_{\substack{\alpha_* \in \mathbb{N}^p \\ \alpha_1 + \cdots + \alpha_p \leqslant n - 2p}} \prod_i c_i \prod_{1 \leqslant r \leqslant p} \bigl(c_{2r + \alpha_1 + \cdots + \alpha_r}\bigr)^2 l'exposant n - 2p de 2 est entouré. La somme part de p = 1 : le terme p = 0 (la permutation identique, 2^n \prod c_i) n'est pas écrit ; le produit \prod_i c_i n'a pas de bornes sur la page

un segment horizontal gradué, des points et de petits traits, les premiers repères notés c_1, c_2, c_3, le dernier c_n ; en dessous, un « C » isolé

\langle a_i, a'_j \rangle = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq j,\ i \text{ et } j \text{ non consécutifs} \\ 1 & \text{si } i = j-1 \\ \lambda_j - 1 & \text{si } i = j \\ -\lambda_j + 1 + \alpha_j & i = j+1 \end{cases} dans les trois dernières lignes, un mot biffé devant chaque condition, et un début biffé devant « \lambda_j - 1 » (2\lambda_j)

a_i = s_{i+1} - s_i.

a'_j = s^{*}_j + \lambda_j s^{*}_{j+1} + (1 + \alpha_j)(s^{*}_{j+2} + \cdots + s^{*}_{n+1}) 0 \leqslant j \leqslant n lecture incertaine des indices de la dernière parenthèse ; la ligne suivante, « a'_n = », est laissée sans second membre

\begin{cases} a'_j = a^{*}_{j-1} + \underbrace{(\lambda_j - 1)}_{-2 \text{ si } \lambda_j = -1} a^{*}_j + \underbrace{(1 - \lambda_j + \alpha_j)}_{\beta_j = 2 + \alpha_j \text{ si } \lambda_j = -1} a^{*}_{j+1} & 0 \leqslant j \leqslant n-1 \\ a'_n = a^{*}_{n-1} + (\lambda_n - 1) a^{*}_n \\ \pi = a^{*}_{-1} \\ s_j = a_{-1} + \cdots + a_{j-1} & 0 \leqslant j \leqslant n+1 \end{cases}

en haut à droite, un cadre dont le contenu est barré de traits obliques : ~~\psi(a_{-1}) = -a^{*}_0 ; \psi(a_n) = -c_{n-2} a^{*}_{n-1} + 2c_{n-1} a^{*}_n~~

f(a_i) + \psi(a'_i) = 0 lecture très incertaine

f\Bigl(\sum_{-1}^{n} \xi_i a_i\Bigr) = \sum_{i=0}^{n} c_{i-1} \xi_i^2 - \sum_{-1 \leqslant i \leqslant n-1} c_i \xi_i \xi_{i+1}

~~\psi(a_i) = -c_{i-1} a^{*}_{i-1} + 2c_{i-1} a^{*}_i - c_i a^{*}_{i+1}~~ 0 \leqslant i \leqslant n-1

Cas du bon : c_{-1} = 1, \quad c_0 = (\alpha_0 + 2), \ldots\quad c_i = (2 + \alpha_0) \cdots (2 + \alpha_i) \quad (0 \leqslant i \leqslant n-1), \quad c_n = c_{n+1} = 0

Coordonnées ~~projectives~~ du c, orth. aux a'_i (en fait \lambda_i = -1 pour 0 \leqslant i \leqslant n) c' = \sum_{-1}^{n} \xi_i a_i \quad (\xi_n = 1) \begin{aligned} &\xi_{n-1} - 2\xi_n = 0 && \boxed{\xi_n = 1,\ \xi_{n-1} = 2} \\ &\xi_{n-2} - 2\xi_{n-1} + (\alpha_{n-1} + 2)\xi_n = 0 && \boxed{\xi_{n-2} = -(\alpha_{n-1} - 2)} \\ &\xi_{n-3} - 2\xi_{n-2} + (\alpha_{n-2} + 2)\xi_{n-1} = 0 && \boxed{\xi_{n-3} = -2(\alpha_{n-1} + \alpha_{n-2})} \\ &\qquad 2(\alpha_{n-1} - 2) + (\alpha_{n-2} + 2)2 = 2(\alpha_{n-1} + \alpha_{n-2}) \\ &\xi_{n-4} - 2\xi_{n-3} + (\alpha_{n-3} + 2)\xi_{n-2} = 0 \\ &\qquad \boxed{\xi_{n-4} = -4 - 2(\alpha_{n-1} + 2\alpha_{n-2} + \alpha_{n-3}) + \alpha_{n-1}\alpha_{n-3}} \\ &\qquad 4(\alpha_{n-1} + \alpha_{n-2}) - (\alpha_{n-3} + 2)(\alpha_{n-1} - 2) \\ &\qquad 2\alpha_{n-1} + 4\alpha_{n-2} + 4 - \alpha_{n-1}\alpha_{n-3} + 2\alpha_{n-3} \\ &\xi_{n-5} = \cdots \end{aligned} les lignes en retrait sont écrites sous des accolades et calculent l'opposé de la valeur encadrée ; « \xi_{n-1} = 2 » est d'abord écrit puis biffé à gauche du premier cadre ; dans le dernier cadre, un premier second membre est biffé. Le signe devant (\alpha_{n-3} + 2) est sous une tache. Les quatre valeurs encadrées sont exactes

\pi = a^{*}_{-1} \pi(c') = \underbrace{\rho(\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1})}_{A} = \rho = \xi_{-1} \qquad \rho \in \mathbb{Z}[A_0, \ldots, A_{n-1}] c = \frac{c'}{\rho} f(c') = \sigma(\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}) = \sigma, \qquad \sigma \in \mathbb{Z}[A_0, \ldots, A_{n-1}] f(c) = \sigma / \rho^2 \qquad 2\sigma = -\xi_0 \xi_{-1} = -\rho\,\xi_0

À droite : 2f(c') = \langle c', \psi(c') \rangle \overset{?}{=} ~~\lambda\pi = \psi(c') = \lambda a^{*}_{-1} \lambda = \langle a_{-1}, \psi(c') \rangle = \varphi(a_{-1}, c')~~ \langle a_i, \psi(c') \rangle = \varphi(a_i, c') = \langle c', \psi(a_i) \rangle = -f(a_i) \langle c', a'_i \rangle = 0 sous « \psi(a_i) » : « = -f(a_i)\, a'_i si 0 \leqslant i \leqslant n » ; quelques signes biffés en fin de ligne \langle a_{-1}, \psi(c') \rangle = \langle c', \psi(a_{-1}) \rangle = -\xi_0 \qquad (\psi(a_{-1}) = -a^{*}_0) \psi(c') = -\xi_0 a^{*}_{-1} \qquad 2f(c') = \langle c', -\xi_0 a^{*}_{-1} \rangle = -\xi_0 \xi_{-1}

page très chargée, écrite serrée ; les matrices sont recopiées dans leur forme, les annotations de marge regroupées là où elles se rattachent

\Delta_{n+2}(0, 1, c_0, \ldots, c_{n-1}) \ \Delta_n(\underbrace{c_0, \ldots, c_{n-1}}_{n \text{ arg.}}) = \det \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 2 & -c_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -c_0 & 2c_0 & -c_1 & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & -c_1 & 2c_1 & -c_2 \ \cdots & \\ \vdots & & & & \ddots & -c_{n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -c_{n-1} & 2c_{n-1} \end{pmatrix}}_{\text{ordre } n+2} = \det \underbrace{\begin{pmatrix} 2c_0 & -c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -c_1 & 2c_1 & -c_2 & 0 & & \\ 0 & -c_2 & 2c_2 & -c_3 & & \vdots \\ 0 & 0 & -c_3 & 2c_3 & -c_4 & \\ & & & & \ddots & -c_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -c_{n-1} & 2c_{n-1} \end{pmatrix}}_{\text{ordre } n} dans la formule précédente, un terme biffé, illisible « \Delta_{n+2}(0, 1, c_0, \ldots, c_{n-1}) » est écrit au-dessus de \Delta_n avec un signe « \Vert » ; devant « \det », une tache qui peut couvrir un signe. Par la récurrence encadrée ci-dessous, le déterminant d'ordre n+2 vaut -\Delta_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) (cf. page 45, où \delta(f) = -F_n). Les entrées de la troisième ligne de la première matrice sont surchargées ; la page porte « 2c_2 » là où l'on attend 2c_1

\boxed{\Delta_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) = 2c_0\, \Delta_{n-1}(c_1, \ldots, c_{n-1}) - c_1^2\, \Delta_{n-2}(c_2, \ldots, c_{n-1})} le signe moins est sous une tache ; l'indice du dernier \Delta est d'une lecture incertaine (n-2 ou n-1)

\Delta'_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) = \begin{cases} \Delta_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) & \text{si } n \text{ pair} \\ \frac{1}{2} \Delta_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) & \text{si } n \text{ impair} \end{cases} « pair » est écrit sur un mot biffé ; les valeurs de \Delta'_1 et \Delta'_3 plus bas confirment que le facteur \frac{1}{2} va aux n impairs

Posons \left. \begin{aligned} c_0 &= \beta_0 \\ c_1 &= \beta_0 \beta_1 \\ &\cdots \\ c_{n-1} &= \beta_0 \beta_1 \cdots \beta_{n-1} \end{aligned} \right\rbrace \ n \text{ arguments } \beta_i le nombre d'arguments, « n », est d'une lecture incertaine \delta_n(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) = \Delta_n(\beta_0, \beta_0\beta_1, \ldots, \beta_0\beta_1 \cdots \beta_{n-1}) \delta'_n(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) = \Delta'_n(\cdots) = \begin{cases} \delta_n(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) & \text{si } n \text{ pair} \\ \frac{1}{2} \delta_n(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) & \text{si } n \text{ impair} \end{cases}

\begin{aligned} &\Delta_n,\ \Delta'_n,\ \overline{\Delta'_n} \in \mathbb{Z}[C_0, \ldots, C_{n-1}] &\qquad& \Delta'_n[C_0, \ldots, C_{n-1}] = C_{n-1}\, \overline{\Delta'_{n}}(C_0, \ldots, C_{n-2}) \\ &\delta_n,\ \delta'_n,\ \overline{\delta'_n} \in \mathbb{Z}[B_0, \ldots, B_{n-1}] && \delta'_n[B_0, \ldots, B_{n-1}] = B_{n-1}\, \overline{\delta'_n}(B_0, \ldots, B_{n-2}) \end{aligned} dans la première ligne, un premier \overline{\Delta'_n} est biffé et récrit au-dessus ; les indices des seconds membres sont d'une lecture incertaine

\begin{aligned} &\Delta_1(c_0) = 2c_0, \quad \Delta'_1(c_0) = c_0 \quad \overline{\Delta'_1}(c_0) = 1 \\ &\Delta_2(c_0, c_1) = 4c_0c_1 - c_1^2 = c_1(4c_0 - c_1) \quad \overline{\Delta'_2}(c_0, c_1) = 4c_0 - c_1 \\ &\Delta_3(c_0, c_1, c_2) = 2c_2(4c_0c_1 - c_0c_2 - c_1^2), \quad \Delta'_3 = c_2(4c_0c_1 - c_0c_2 - c_1^2), \\ &\qquad \overline{\Delta'_3}(c_0, c_1, c_2) = 4c_0c_1 - c_0c_2 - c_1^2 \\ &\cdots \end{aligned} dans « \Delta'_3 = c_2(\ldots) », un « 2 » est biffé devant c_2. Valeurs conformes à celles de la page 45

\Delta_n(C_0, \ldots, C_{n-1}) = \sum_{0 \leqslant p \leqslant [\frac{n}{2}]} (-1)^p\, 2^{n-2p} \sum \ \prod_{i \in J'} C_i \prod_{j \in J''} C_j^2 la seconde somme portant sur les suites de p él. de \mathfrak{P}_2[0, n-1] disjointes J_1, \ldots, J_p , J = \bigcup_{1 \leqslant i \leqslant p} J_i, \qquad J' = [0, n-1] \smallsetminus J, J'' = ens. des derniers éléments des J_i (J'' \in \mathfrak{P}_p[0, \ldots, n-1]). dans la marge gauche, une flèche vers \Delta_n(C_0, \ldots) et « décalage notations », puis trois mots illisibles (en origine des paires)

NB Il n'y a pas de cancellation de termes

Le monôme M = \prod_{i \in J'} C_i \prod_{j \in J''} C_j^2 s'écrit aussi \qquad B_0^n\, B_1^{n-1+\varepsilon_2}\, B_3^{n-3+\varepsilon_3} \cdots B_{n-1}^{\varepsilon_n} \qquad \varepsilon_k \in \lbrace 0, 1 \rbrace \quad 2 \leqslant k \leqslant n dans la formule précédente, biffé : « ~~\delta_n(c_1, \ldots, c_n) = B_0^n~~ » \varepsilon_k = 1 ssi k \in J''' (il y a p tels k) indices et exposants tels qu'on les lit, sans le B_2 attendu entre B_1 et B_3 ; lecture incertaine M = \prod_{1 \leqslant i \leqslant n} C'_i \qquad C'_i = \begin{cases} C_i & \text{si } i \in J' \\ C_j & \text{si } j \in J'' \\ C_{j-1} & \text{si } j \in \ldots \end{cases} la fin de la troisième ligne, après « j \in », est illisible C'_i contient en facteur B_k (et : il y a 1 ) ssi i \geqslant k, ou i = k - 1 et i \in J'' i.e. k \in \overline{J} un segment gradué de 1 à n, le point k marqué

\delta_n(B_0, \ldots, B_n) = B_0^n\, B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}^{\,\cdot}\; L_{n-1}(B_1, \ldots, B_{n-1}) l'exposant de B_{n-1} est illisible (marqué ici d'un point). « L_{n-1}(B_1, \ldots, B_{n-1}) » et son dernier argument sont entourés, avec une bulle « attention p \geqslant 0 ! » et une annotation biffée ; sous la formule, une ligne biffée illisible

L_{n-1}(B_1, \ldots, B_{n-1}) = \sum_{0 \leqslant p \leqslant [\frac{n}{2}]} (-1)^p\, 2^{n-2p} \sum_{\substack{J \in \mathfrak{P}_p([1, n-1]) \\ J \text{ ne contenant pas 2} \\ \text{entiers consécutifs}}} B_J = 2^n - 2^{n-2} \sum_{1 \leqslant i \leqslant n-1} B_i + 2^{n-4} \sum_{\substack{1 \leqslant i < j \leqslant n-1 \\ j \neq i+1}} B_i B_j - 2^{n-6} \sum_{1 \leqslant i < j < k \leqslant n} B_i B_j B_k + \cdots sous la seconde somme, plusieurs essais d'indexation biffés ; la condition de la dernière somme est pointée de deux « ! », avec un renvoi : « les » ; la borne n (au lieu de n-1) est telle qu'on la lit

~~\displaystyle \Pi_p(B_1, \ldots, B_n) = \sum_{J \in \mathfrak{P}_p[1, n]}~~ B_i = B'_i + 4

~~\Sigma~~ B'_1 B'_2 = B'_2 B'_3 = \cdots = B'_n B'_{n+1} = 0 lecture incertaine des derniers indices

\Bigl(2 - \frac{B_1}{2}\Bigr)\Bigl(2 - \frac{B_2}{2}\Bigr) \cdots \Bigl(2 - \frac{B_n}{2}\Bigr) = \frac{(-1)^n}{2^n} .

\begin{aligned} L_1 &= 2 \qquad L'_1 = 1 \\ L_2 &= 4 - B_1 = -(\alpha_1 - 2) \\ L_3 &= 8 - 2(B_1 + B_2 ) = -2\bigl[(\alpha_1 + \alpha_2) \bigr] \\ L_4 &= 16 - 4(B_1 + B_2 + B_3 ) + \Bigl(\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 3} B_i B_j - (B_1 B_2 + B_2 B_3 + B_3 B_4)\Bigr) \end{aligned} dans la formule précédente, un terme biffé, illisible ; un terme biffé, illisible ; un terme biffé, illisible ; un terme biffé, illisible la ligne de L_2 porte après 4 - B_1 un calcul biffé en \alpha_0 ; l'indice de \alpha dans le résultat est d'une lecture incertaine. Dans L_4 le dernier terme soustrait est lu « B_3 B_4 » : avec trois arguments B_1, B_2, B_3 il n'existe pas, et la formule de la page 48 ne retire que B_1 B_2 et B_2 B_3, ce qui laisse B_1 B_3 ; le calcul qui suit, lui, garde exactement B_1 B_3

~~\Bigl(2 - \frac{B_1}{2}\Bigr)\Bigl(2 - \frac{B_2}{2}\Bigr)~~

-4(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 ) - + \bigl[ + (\alpha_0 + 2)(\alpha_2 + 2) \bigr] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible ; un terme biffé, illisible ; biffé : « ~~(\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)~~ » ; un terme biffé, illisible suit une ligne entièrement biffée, « ~~= -4 - 4(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2) + 2(\ldots) + \alpha_0\alpha_2 + \alpha_0\alpha_3 + \alpha_1\alpha_3~~ », avec au-dessous « 2\alpha_0 + 2\alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_3 »

= -4 - 2(\alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_3) + \alpha_1\alpha_3 = (\alpha_1 - 2)(\alpha_3 - 2) - 4(\alpha_2 + 2) dans la formule précédente, un terme biffé, illisible « 2\alpha_2 + » est ajouté au-dessus, entouré ; l'indice du premier \alpha ressemble à un p et se lit 1 par le calcul. Le résultat est exact : avec B_i = \alpha_i + 2, 16 - 4(B_1 + B_2 + B_3) + B_1 B_3 = (\alpha_1 - 2)(\alpha_3 - 2) - 4(\alpha_2 + 2) ; c'est la forme de \xi_{n-4} page 47

NB L_{n-1}(B_1, \ldots, B_{n-1}) = L_{n-1}(B_{n-1}, \ldots, B_1)

\det \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & -c_0 & 0 & & & \\ -c_0 & 2c_0 & -c_1 & 0 & & \\ 0 & -c_1 & 2c_1 & & & \\ 0 & 0 & -c_2 & \ddots & & 0 \\ & & & & c_{n-3} & -c_{n-1} \\ & \cdots & & 0 & -c_{n-1} & 2c_{n-1} \end{pmatrix}}_{\text{ordre } n+1} = \Delta_{n+1}(\underbrace{1, c_0, \ldots, c_{n-1}}_{n+1 \text{ arg}}) = 2\Delta_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) - c_0^2\, \Delta_{n-1}(c_1, \ldots, c_{n-1}) la première entrée, « 2 », est écrite sur un autre signe ; l'entrée « c_{n-3} » de l'avant-dernière ligne est telle qu'on la lit

= \delta_{n+1}(1, B_0, \ldots, B_{n-1}) = B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, L_{n+1}(B_0, \ldots, B_{n-1}) ~~L_2(1, B_0) = 4 -~~

~~\delta_{n+1}(1, B_0, \ldots, B_{n-1})~~ L_3(1, B_0,

\begin{aligned} \delta_2(1, B_0) &= B_0 L_2(1, B_0) = B_0(4 - B_0) = -(\alpha_0 + 2)(\alpha_0 - 2) = 4 - \alpha_0^2 \\ \delta'_3(1, B_0, B_1) &= B_0^2 B_1\, L'_3(B_0, B_1) = - B_0^2 B_1 (\alpha_0 + \alpha_1) \\ \delta_4(1, B_0, B_1, B_2) &= B_0^3 B_1^2 B_2\, \underbrace{L_4(B_0, B_1, B_2)}_{(\alpha_0 - 2)(\alpha_2 - 2) - 4(\alpha_1 + 2)} \end{aligned} dans la formule précédente, un terme biffé, illisible ; un terme biffé, illisible les valeurs de \delta_2 et \delta'_3 sont exactes (avec \Delta_3 de la page 48, \delta_3(1, B_0, B_1) = 2B_0^2 B_1(4 - B_0 - B_1)). Dans l'angle inférieur droit, un calcul serré biffé de hachures et d'une longue diagonale, qui se termine par « = B_0^2 B_1 (4 - B_1) »

\begin{cases} \delta_n(B_0, \ldots, B_{n-1}) = B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, L_n(B_1, \ldots, B_{n-1}) \\ \delta_{n+1}(1, B_0, \ldots, B_{n-1}) = B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, L_{n+1}(B_0, B_1, \ldots, B_{n-1}) \end{cases} \begin{cases} \delta'_n(B_0, \ldots, B_{n-1}) = B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, L'_n(B_1, \ldots, B_{n-1}) \\ \delta'_{n+1}(1, B_0, \ldots, B_{n-1}) = B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, L'_{n+1}(B_0, B_1, \ldots, B_{n-1}) \end{cases}

~~n pair~~ ~~L_n(B_1, \ldots, B_{n-1}) \equiv B_1 B_3 \cdots B_{n-1}~~ ~~\delta_n~~ à la suite de la ligne biffée, une rangée de points et de chiffres (« 1, 2, 3, 4, …, 2m »)

L_{2m}(B_1, \ldots, B_{2m-1}) \equiv B_1 B_3 \cdots B_{2m-1} \qquad \underline{\underline{\bmod 2}} L'_{2m+1}(B_1, \ldots, B_{2m}) \equiv (B_2 B_4 \cdots B_{2m} + B_1 B_3 \cdots B_{2m-1}) + \sum_{1 \leqslant i \leqslant m-1} (B_1 \cdots B_{2i-1})(B_{2i+2} \cdots B_{2m})

\begin{cases} \delta'_{2m}(B_0, \ldots, B_{2m-1}) \equiv \; \underbrace{(B_0 B_1)^{2m} (B_2 B_3)^{2(m-1)} \cdots (B_{2m-2} B_{2m-1})}_{[(B_0 B_1)^m (B_2 B_3)^{m-1} \cdots (B_{2m-2} B_{2m-1})]^2} \\[2ex] \delta'_{2m+1}(B_0, \ldots, B_{2m-1}) \equiv B_0^{2m} B_1^{2m-1} \cdots B_{2m-1} \bigl[B_0 B_2 \cdots B_{2m-2} + B_1 B_3 \cdots B_{2m-1} \\ \qquad\qquad + \sum_{1 \leqslant i \leqslant m-1} (B_0 \cdots B_{2i-2})(B_{2i+1} \cdots B_{2m-1})\bigr] \end{cases} dans la formule précédente, biffé : « ~~B_0^{2m} B_1^{2m-1} \cdots 2B_{2m-1}~~ » l'exposant de (B_2 B_3) est d'une lecture incertaine ; « 2(m-1) » est ce que demande le crochet au carré sous l'accolade, et ce que donne la congruence de L_{2m}. La seconde ligne a pour arguments « (B_0, \ldots, B_{2m-1}) » sur la page ; par la forme du second membre, c'est \delta'_{2m+1}(1, B_0, \ldots, B_{2m-1}) qu'elle calcule

\begin{cases} \delta'_{2m+1}(B_0, \ldots, B_{2m}) \equiv B_0^{2m+1} B_1^{2m} \cdots B_{2m} \bigl[B_2 B_4 \cdots B_{2m} + B_1 B_3 \cdots B_{2m-1} \\ \qquad\qquad + \sum_{1 \leqslant i \leqslant m-1} (B_1 \cdots B_{2i-1})(B_{2i+1} \cdots B_{2m})\bigr] \\[1ex] \delta_{2m+2}(1, B_0, \ldots, B_{2m}) \equiv \; \bigl[B_0^{m+1} (B_1 B_2)^m \cdots (B_{2m-1} B_{2m})\bigr]^2 \end{cases} dans la formule précédente, un terme biffé, illisible le bas de la page est blanc

\Delta_n(C_0, \ldots, C_{n-1}) = 2C_0\, \Delta_{n-1}(C_1, \ldots, C_{n-1}) - C_1^2\, \Delta_{n-2}(C_2, \ldots, C_{n-1}) les lettres de cette ligne sont surchargées (B et C l'une sur l'autre) ; « \Vert » la relie à la ligne suivante \begin{aligned} \delta_n(B_0, \ldots, B_{n-1}) &= 2B_0\, \delta_{n-1}(B_0B_1, B_2, \ldots, B_{n-1}) - (B_0B_1)^2\, \delta_{n-2}(B_0B_1B_2, B_3, \ldots, B_{n-1}) \\ &= 2B_0 (B_0B_1)^{n-1} B_2^{n-2} B_3^{n-3} \cdots B_{n-1}\, L_{n-1}(B_2, B_3, \ldots, B_{n-1}) \\ &\qquad - B_0^2 B_1^2 (B_0B_1B_2)^{n-2} B_3^{n-3} \cdots B_{n-1}\, L_{n-2}(B_3, \ldots, B_{n-1}) \\ &= B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, \bigl[2L_{n-1}(B_2, \ldots, B_{n-1}) - B_1 L_{n-2}(B_3, \ldots, B_{n-1})\bigr] \end{aligned} dans la formule précédente, biffé : « ~~B_0~~ » dans la marge gauche, relié au premier membre par « \Vert » : « B_0^n \cdots B_{n-1} L_n[B_1, \ldots, B_{n-1}] »

\boxed{L_n(B_1, \ldots, B_{n-1}) = 2L_{n-1}(B_2, \ldots, B_{n-1}) - B_1 L_{n-2}(B_3, \ldots, B_{n-1})}

\begin{cases} L'_{2m}(B_1, \ldots, B_{2m-1}) = 4L'_{2m-1}(B_2, \ldots, B_{2m-1}) - B_1 L_{2m-2}(B_3, \ldots, B_{2m-1}) \\ L'_{2m+1}(B_1, \ldots, B_{2m}) = \, L_{2m}(B_2, \ldots, B_{2m}) - B_1 L'_{2m-1}(B_3, \ldots, B_{2m}) \end{cases} dans la formule précédente, biffé : « 2 » l'accent du premier L'_{2m} est surchargé. Les deux relations suivent de la récurrence encadrée et de la définition de \Delta'_n (page 48), qui double le coefficient pour n impair

Calcul du \tilde{c} défini par \begin{cases} \xi_n = 1 \\ \langle \tilde{c}, a'_i \rangle = 0 & 0 \leqslant i \leqslant n \end{cases} \qquad \tilde{c} = \xi_{-1} a_{-1} + \xi_0 a_0 + \cdots + \xi_n a_n la seconde expression est écrite sous « \tilde{c} », reliée par « \Vert »

i.e. \begin{cases} \xi_n = 1 \\ \xi_{n-1} = 2 \\ \xi_{i-1} - 2\xi_i + \beta_i \xi_{i+1} = 0 & 0 \leqslant i \leqslant n-1 \\ \xi_{i-1} = 2\xi_i - \beta_i \xi_{i+1} \end{cases}

\xi_n = 1, \quad \xi_{n-1} = 2, \quad \xi_{n-2} = 4 - \beta_{n-1}, \quad \xi_{n-3} = 2(4 - \beta_{n-1}) - 2\beta_{n-2} = 8 - 2(\beta_{n-1} + \beta_{n-2})

\boxed{\xi_{n-i} = L_i(\underbrace{\beta_{n-1}, \ldots, \beta_{n-i+1}}_{i-1 \text{ arguments}})} \qquad 1 \leqslant i \leqslant n+1 en particulier \rho = \xi_{-1} = \pi(\tilde{c}) = L_{n+1}(\beta_{n-1}, \ldots, \beta_0) = L_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) \sigma = \xi_0 = \langle \tilde{c}, a^{*}_0 \rangle \Bigl[= -\langle \tilde{c}, \psi(a_{-1}) \rangle = -\varphi(\tilde{c}, a_{-1}) \Bigr] = L_n(\beta_{n-1}, \ldots, \beta_1) = L_n(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}) dans la formule précédente, un terme biffé, illisible au-dessus du crochet : « = -\langle a_{-1}, \psi(\tilde{c}) \rangle » ; sous \psi(a_{-1}), un renvoi illisible. Le « = » final est écrit « \equiv » ; les deux dernières égalités sont superposées en fin de ligne

\begin{aligned} \rho &= L_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) &\qquad \rho' &= L'_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) \\ \sigma &= L_n(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}) & \sigma' &= L'_n(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}) \end{aligned} \begin{cases} \delta_\varepsilon = (\overbrace{\beta_0^n \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1}}^{B})\,\sigma \\ \delta_V = (\underbrace{\beta_0^n \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1}}_{B})\,\rho \end{cases} \qquad \begin{cases} \delta'_\varepsilon = (\overbrace{\beta_0^n \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1}}^{B})\,\sigma' \\ \delta'_V = (\underbrace{\beta_0^n \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1}}_{B})\,\rho' \end{cases} l'indice de \delta_\varepsilon peut se lire \Sigma ; on le lit \varepsilon, comme le f^{\varepsilon} des pages 41-42 et le f_\varepsilon plus bas

\tilde{c} = \rho\, a_{-1} + \sigma a_0 + \xi_1 a_1 + \cdots + \xi_n a_n \qquad (\xi_n = 1,\ \xi_{n-1} = 2 \ldots) la lettre notée ici \tilde{c} (comme à la page 51) est une petite boucle fermée surmontée d'un tilde, qu'on pourrait lire \tilde{\sigma} ; on la lit c d'après la page 47, où le vecteur est c' et c = c'/\rho, et d'après la ligne suivante

\rho = \xi_{-1} = \pi(\tilde{c}) = \langle \tilde{c}, a^{*}_{-1} \rangle \quad\Big|\quad c = \tilde{c}/\rho \qquad c' = 2c = \begin{cases} \,\tilde{c}/\rho' & n \text{ pair} \\ 2\tilde{c}/\rho = 2\tilde{c}/\rho' & n \text{ impair} \end{cases} dans la formule précédente, un terme biffé, illisible \sigma = \xi_0 = \langle \tilde{c}, a^{*}_0 \rangle = -\varphi(s_0, \tilde{c}) \quad\Big|\quad \psi(\tilde{c}) = -\sigma a^{*}_{-1} = -\sigma\pi f(\tilde{c}) = \Bigl[\tfrac{1}{2} \langle \tilde{c}, \psi(\tilde{c}) \rangle = -\tfrac{1}{2} \langle \tilde{c}, \sigma\pi \rangle = -\tfrac{1}{2} \sigma\, \pi(\tilde{c}) = -\tfrac{1}{2} \sigma\rho\Bigr] = -\sigma'\rho' \Bigl[f(c') = f(\tilde{c}/\rho') = -\frac{\sigma'\rho'}{\rho'^2} = -\frac{\sigma'}{\rho'}\Bigr] \qquad (n \text{ pair}) « (n pair) » est écrit sous f(c') ; quelques chiffres surchargés dans les deux lignes. L'égalité \frac{1}{2}\sigma\rho = \sigma'\rho' tient parce que, de L_n et L_{n+1}, un seul est divisé par 2 dans le passage à L'

f_\varepsilon lisse \Longleftrightarrow les \beta_i (0 \leqslant i \leqslant n-1) inversibles, et \sigma' inv.

\Longleftrightarrow (si 2 inv. ou n pair) les \beta_i inv. et \psi(\tilde{c}) \neq 0

f_V lisse \Longleftrightarrow les \beta_i (0 \leqslant i \leqslant n-1) inversibles et \rho' inv.

\Longleftrightarrow (si 2 inv. ou n impair) les \beta_i inv. et \pi(\tilde{c}) \neq \struck{\ill{}} sous « \pi(\tilde{c}) \neq », une accolade : « condition à dist. finie sur la fibre »

(\mathcal{E}, V, f) birégulier \Longleftrightarrow les \beta_i (0 \leqslant i \leqslant n-1) inv. et f(\tilde{c}) inv.

~~NB (si n impair) \pi(c') = \pi(\tilde{c}/\rho') = \rho/\rho' = 2~~ ligne couverte de hachures

Antipodisme dans la formule précédente, biffé : « ~~x \longmapsto 2c\,\pi(x) - x~~ » \underline{a} = -\mathrm{id} + \ 2\pi \otimes c = -\mathrm{id} + \pi \otimes c' dans la formule précédente, un terme biffé, illisible -\underline{a} = \mathrm{id} - \pi \otimes c' son \underline{a} souligné est gardé tel quel. Ici encore la lettre c est tracée comme un \sigma ; « 2\pi \otimes c = \pi \otimes c' » confirme la lecture c' = 2c (page 52)

NB \underline{a} défini ssi c' défini i.e. ssi \rho' inversible (c'est le cas si f_V lisse). Notons que \rho' c' = \tilde{c} , \langle c', \pi \rangle = 2, donc -\underline{a} est une réflexion, sauf si en certains pts on a car. = 2, et n impair. au-dessus de « \rho' c' = \tilde{c} » : « si n pair »

\underline{a} commute aux \tau_i, il invarie c', c'est clair.

\underline{a}(s_0) = \underline{a}(a_{-1}) = \ c' - s_0 = \tilde{s}_0 dans la formule précédente, un terme biffé, illisible

Attention il n'y a pas que c' à dist. finie, mais c'est … \rho' c' = \tilde{c} \neq 0 donc c' \neq 0 donc c' = \tilde{c} ; conditions pour les parties si 2 inv. Mais en car 2 pour n impair, \sigma' = 0 d'où \underline{a} = \mathrm{id} NB Si n pair ou 2 inv., alors : \underline{a} défini et une réflexion orth. \Longleftrightarrow i.e. \sigma'\rho' inv. la première note est en haut à droite, soulignée « Attention » ; la deuxième, à droite, derrière une accolade ; la troisième, écrite en diagonale dans la marge gauche

NB Dans \mathcal{E}, l'ens. des pts fixes de \underline{a} est la droite engendrée par c' si 2 inv. — si 2 \cdot 1_S = 0 i.e. S de car. 2, alors c'est l'ens. des pts fixes est V.

Dans \mathbb{P}(\mathcal{E}), l'ens. des pts fixes est \mathbb{P}(V) \cup \lbrace c' \rbrace — qui se réduit à \mathbb{P}(V) en car. 2.

Donc s_0 \neq \tilde{s}_0 = \underline{a}\, s_0 dans \mathbb{P}(\mathcal{E}) = X.

Considérons le ~~droite~~ plan engendré par s_0 et \tilde{c} g(\lambda, \mu) = f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = \ \lambda\mu \underbrace{\varphi(s_0, \tilde{c})}_{-\xi_0 = -\sigma} + \mu^2 f(\tilde{c}) = -\sigma\lambda\mu - \sigma'\rho'\mu^2 = -\mu(\sigma\lambda + \sigma'\rho'\mu) dans la formule précédente, un terme biffé, illisible

1) n pair : \sigma = \sigma', \rho = 2\rho' f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = -\mu\sigma(\lambda + \rho'\mu)

c'est = 0 ssi \sigma = 0

c'est \neq 0 en chaque fibre \Longleftrightarrow ~~ssi~~ \sigma inv. i.e. \sigma' inv.

\Longleftrightarrow ~~dans le cas~~, Q_X \cap D_0 est un rev. étale de degré 2 de S, dont s_0 est une section, [\underline{a}_X s_0 \to la section complémentaire, quand \underline{a}_X est défini]

\Longleftrightarrow Q_X \not\supset D_0 en ch. fibre (c'est le cas si f_\varepsilon lisse)

\Longleftrightarrow \psi(\tilde{c}) \neq 0 chaque fibre \Longleftrightarrow (\tilde{c})^{\perp} \neq V chaque fibre le dernier signe peut se lire = ou \neq

Si \sigma inv. NB f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = 0, \mu inv. ssi \lambda + \rho'\mu = 0 i.e. \lambda = -\rho'\mu i.e. (\lambda, \mu) \parallel (-\rho', 1) donc \lambda s_0 + \mu\tilde{c} multiple de -\rho' s_0 + \tilde{c} ou encore (si \rho' inv.) de -s_0 + \frac{\tilde{c}}{\rho'} = -s_0 + c' = \tilde{s}_0 écrit dans la colonne de gauche, en regard des équivalences précédentes

2) n impair \sigma = 2\sigma', \rho = \rho', f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = -\mu\sigma'(2\lambda + \rho'\mu)

A) 2 inv. ~~Alors f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = 0 \forall \lambda, \mu ssi \sigma~~ Alors, indépendamment de la parité de n, on peut écrire g(\lambda, \mu) = -\sigma\mu(\lambda + \frac{\rho}{2}\mu), et les équivalences décrites dans 1°) sont valables, en y remplaçant \rho' par \rho/2. Les solutions de g(\lambda, \mu) = 0, avec \mu inv., sont multiples de (-\frac{\rho}{2}, 1) et correspondent à -\frac{\rho}{2} s_0 + \tilde{c} \quad \text{ou encore}\quad \quad (\text{si } \rho \text{ inv. i.e. } \underline{a} \text{ défini}) dans la formule précédente, un terme biffé, illisible -s_0 + 2\frac{\tilde{c}}{\rho} = c' - s_0 = \underline{a}\, s_0 au-dessus de la phrase biffée, un autre début biffé : « ~~g(\lambda, \mu) id. nul~~ »

~~B) S de car. 2~~

B) 2 \cdot 1_S = 0 i.e. S de car. 2. On trouve alors ~~f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c})~~ g(\lambda, \mu) = f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = \,(\sigma'\rho')\mu^2 dans la formule précédente, biffé : « - » c'est \equiv 0 ssi \sigma'\rho' = 0

c'est \neq 0 en toute fibre ssi \sigma'\rho' inv. i.e. \sigma' et \rho' inv.

i.e. \sigma' inv. et \underline{a} défini (c'est le cas si (\mathcal{E}, V, f) birégulier). Cela signifie aussi D_0 \not\subset Q_X en ch. fibre, et implique que D_0 est tangent à Q_X

\underline{a}\, x = x + c' = x ~~f(x + c') = f(x) + f(c') + \langle x, \psi(c') \rangle~~ \rho = \rho' ; à gauche, en regard de B) ; la lecture de la première formule est incertaine

Supposons n pair, n = 2m. On s'intéresse aux systèmes (X, \tau_{*} = (\tau_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}, s_0) non dégénérés, et tels que \sigma (= \sigma') soit inv. [Si on suppose déjà les \beta_i (0 \leqslant i \leqslant n-1) inv., cela signifie f_\varepsilon lisse.] Ceci définit donc (X, Q_X, \tau^X_{*}), où maintenant les \tau_i (0 \leqslant i \leqslant n) sont des automorphismes involutifs de (X, Q_X). Considérons la restriction : (C, Q_C, \tau^C_{*}) — ce dernier alinéa, séparé du précédent par un double trait, est barré de deux longues diagonales ; il est lisible et donné entier. On y lit aussi « ~~Ceci définit donc~~ », biffé à part, et au-dessus de « sont des automorphismes » une insertion : « bien que dégénérés »

Calculs antérieurs

inscrit à l'encre en haut à droite d'un feuillet de garde rose (page 55), qui ne porte rien d'autre ; ces mots sont de sa main et donnent sans doute le titre des feuillets qui suivent

\begin{array}{ll} V & a_0 \quad a_1 \ \cdots\ a_{n-1} \quad a_n \\ V' & a'_0 \quad a'_1 \ \cdots\ a'_n \end{array} \qquad a'_0 \text{ défini } -2a^{*}_0 + \beta_0 a^{*}_1 entre les deux lignes, des traits obliques marqués « 1 » joignent chaque a_i au a' voisin

à gauche, une petite matrice biffée de traits ondulés ; puis une matrice écrite en esquisse, dont on lit la première ligne 1, 0, 0, \ldots, 0, 0, -2 (le -2 sur un 1), la dernière colonne -2, \beta_0, 0, \ldots, la première colonne 1, -2, \beta_1, 0, \ldots, 0, la deuxième 0, 1, -2, \beta_2, 0, \ldots, et en bas à droite les entrées 1, -\beta_{n-1} (surchargé), \beta_{n-2}, -2 ; elle n'est pas recomposée

\begin{tikzcd} V \arrow[r] \arrow[rr, bend left=30, "f"] & V' \arrow[r, "c_i"'] & \check{V} \end{tikzcd}

la flèche courbe f va de V à \check{V} au-dessus des deux autres ; au-dessus de V', « \psi » et un signe illisible. L'étiquette c_i est sous la seconde flèche

a_i \longmapsto (\beta_0 \cdots \beta_{i-1})\, a'_i \longmapsto c_i\,(a^{*}_{i-1} - 2a^{*}_i + \beta_i a^{*}_{i+1}) a_1 \longmapsto c_1(a^{*}_0 - 2a^{*}_1 + \beta_1 a^{*}_2) a_2 \longmapsto c_2(a^{*}_1 - les deux signes moins devant 2a^{*} sont écrits sur des taches ; la ligne de a_2 s'arrête là

À droite : \begin{cases} a_0 \longmapsto a'_0 \\ a_1 \longmapsto \beta_0 a'_1 \\ a_n \longmapsto (\beta_0 \cdots \beta_{n-1})\, a'_n \end{cases} \qquad \beta_0^{n} \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1} les exposants de \beta_0 et \beta_1 sont écrits sur d'autres, biffés

\det \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \beta_0 & -2 & 1 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & \beta_1 & -2 & 1 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta_2 & -2 & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \beta_3 & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & & & & \ddots & 1 & 0 \\ & & & & & -2 & 1 \\ 0 & & & & & \beta_{n-1} & -2 \end{pmatrix} = L_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) = \rho matrice d'ordre n+1. Par la récurrence de la page 51, son déterminant est (-1)^{n+1} \rho ; l'égalité écrite omet ce signe, qui vaut 1 pour n impair. En bas à gauche, une petite marque hachurée

toute la page est barrée d'une grande croix (deux longues diagonales), et une troisième diagonale fine la traverse ; elle est lisible pour l'essentiel et donnée ici

en haut à gauche, trois droites : H_0 et H_1, et une troisième qui les coupe ; un point h_0 sur celle-ci, un point h_1 à l'intersection de H_0 et de cette droite

~~h_0 \notin H_1 \qquad \alpha = -2~~

~~h_0 — H_0~~ « h_0 » et « H_0 » sont reliés par un trait qui les barre

~~h_i \in \struck{\ill{}}\ L (dernier) h_j \notin L si j > i donc L \subset H_j si j > i~~ dans la formule précédente, biffé : « ~~L \subset \underbrace{H_{i+1} \cap H_{i+2} \cap \cdots \cap H_{n-1}}_{Z}~~ »

~~h_0 \ h_1 \ h_2 H_0 \ H_1 \ H_2~~ ~~pts invariants~~ X

~~Variétés invariantes a) Contenues dans aucun des H_i : X doit contenir les h_i, c'est X~~

~~b) Contenues dans un et un seul des H_i.~~

1) Contenue dans H_0, pas H_1, H_2, donc contient h_1, h_2 ; il faut donc \underline{h_1, h_2 \in H_0} i.e. \boxed{\beta_0 = 0} ; on trouve \mathrm{dr}(h_1, h_2) [~~2, \beta_1~~ mais les plus nuls Z \subset H_1] à droite du crochet, un mot entouré, illisible

~~2) Contenue dans H_1, pas dans H_0, H_2 .~~

~~Z \subset H_i \Longrightarrow Z \subset H_{j-1} ou encore, car si Z \not\subset H_{j-1}, … Z \ni h_{j-1} donc h_{i-1} \in H_i, absurde~~

~~\displaystyle Z \subset \underbrace{H_0 \cap \cdots \cap H_i}_{\dim\, n+1-(i+1) = n-i} Z \ni h_i \Longrightarrow Z \not\ni h_{i+1} (sinon Z \subset H_{i+1}, d'où h_i )~~

~~\cup V(h_{i+1}, \ldots, h_{n-1}) \dim\, (n-i) - 1 = n-i-1~~ dans cette dernière ligne, deux chiffres sont écrits sur d'autres

demi-feuillet, au crayon

~~\langle s_0, a'_0 \rangle~~ ~~s_i, a_i~~ \rho_{ij} = \rho'_{ji}

\langle a_i, a'_j \rangle = \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i-1, i, i+1 \\ 1 & \text{si } j = i+1 \\ \mu_i = \lambda_i - 1 & \text{si } j = i \\ \beta_j & \text{si } j = i-1 \end{cases} même table qu'à la page 47, où \beta_j = 1 - \lambda_j + \alpha_j

À droite : \underbrace{\begin{array}{cccc} b_0 & b_1 & b_n & b_{n+1} \\ \Vert & \Vert & \vert & \Vert \\ a'_0 & a'_1 & b'_n & a'_{n+1} \end{array}}

deux rangées de sommets : en haut a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n (une accolade V au-dessus de a_0, \ldots, a_n ; un astérisque sur a_1), en bas a'_0, a'_1, a'_2, \ldots, a'_{n-1}, a'_n, a'_{n+1} ; chaque a_i est joint verticalement à a'_i par un trait marqué \lambda_i - 1 (\lambda_0 - 1, \lambda_1 - 1, \lambda_2 - 1, \ldots, \lambda_{n-1} - 1, \lambda_n - 1), et en diagonale à a'_{i+1} par un trait marqué 1 (de a_{-1} à a'_0, …, de a_n à a'_{n+1}) ; une accolade sous a'_0, \ldots, a'_n, prolongée d'un trait ondulé jusqu'à a'_{n+1}, avec un mot biffé

au-dessous, la même rangée a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n et, décalée, a'_0, a'_1, …, a'_{n-1}, a'_n, a'_{n+1} ; seuls sont tracés les traits montant de a'_i à a_{i+1}, marqués \beta_0, \beta_1, …, \beta_{n-1} ; un signe biffé après a'_n

\mathcal{E} \supset V \qquad \mathcal{E}' \supset V' \qquad \underline{\mathcal{O}_S} \to \mathcal{E} \to \underline{\mathcal{O}_S} V \simeq \underline{\mathcal{O}_S}^{\,n+1} \qquad b_0 \ b_1 \ \text{---}\ b_{n+2} V' \simeq \underline{\mathcal{O}_S}^{\,n+1} \qquad b' \ \text{---}\ b'_0 l'exposant de la dernière ligne est d'une lecture incertaine (n+1 ou n-1)

0 \leqslant i \leqslant j \leqslant n-1 \qquad \rho_{ij} = L_{j-i+2}(\beta_i, \beta_{i+1}, \ldots, \beta_j) = L_{j-i+1}(\beta_j, \beta_{j-1}, \ldots, \beta_i) « i \leqslant j » est écrit sur « i < j ». L'indice du second L se lit j - i + 1 ; la symétrie de L (page 49) demande le même indice j - i + 2 des deux côtés. En haut à droite, un début biffé : « ~~\tilde{\rho}_{ij} =~~ »

\rho = \rho_{0,n-1}, \quad \sigma = \rho_{1,n-1}, \quad \sigma' = \rho_{0,n-2}, \quad \gamma = \rho_{1,n-2} les accents de cette ligne ne sont pas ceux de la page 52 : ici \sigma' est \rho_{0,n-2}. La lettre notée \gamma pourrait être un \nu

On pose aussi \rho_{i,i-1} = 2, \rho_{i,i-2} = 1 \rho'_{ji} = \rho_{ij} (j \geqslant i) les indices de \rho'_{ji} et \rho_{ij} sont écrits sur d'autres

\boxed{a^{*}_i = a'_{i+1} + 2a'_{i+2} + \cdots + \rho_{i+1,i+j}\, a'_{i+j+2} + \cdots + \rho_{i+1,n-1}\, a'_{n+1}} \qquad -1 \leqslant i \leqslant n

~~a^{*}_j =~~ en particulier pour i = -1, i = 0 \begin{cases} a^{*}_{-1} = \pi' = a'_0 + 2a'_1 + \overbrace{\rho_{0,0}}^{4 - \beta_0 = 2 - \alpha_0} a'_2 + \rho_{0,1} a'_3 + \cdots + \overbrace{\rho_{0,n-2}}^{\sigma'} a'_n + \overbrace{\rho_{0,n-1}}^{\rho} a'_{n+1} \\ a^{*}_0 = -\psi(a_{-1}) = -\psi(s_0) = a'_1 + 2a'_2 + \rho_{1,1} a'_3 + \cdots + \overbrace{\rho_{1,n-2}}^{\gamma} a'_n + \overbrace{\rho_{1,n-1}}^{\sigma} a'_{n+1} \\ \bigl[\, a^{*}_1 = a'_2 + 2a'_3 + \rho_{2,2} a'_3 + \cdots + \rho_{2,n-2} a'_n + \rho_{2,n-1} a'_{n+1} \\ \cdots \\ a^{*}_{n-2} = a'_{n-1} + 2a'_n + \underbrace{\rho_{n-1,n-1}}_{4 - \beta_{n-1} = 2 - \alpha_{n-1}} a'_{n+1} \\ a^{*}_{n-1} = a'_n + 2a'_{n+1} \\ a^{*}_n = a'_{n+1} \end{cases} dans la ligne de a^{*}_1 on lit « \rho_{2,2}\, a'_3 », où la formule encadrée donne \rho_{2,2}\, a'_4 ; l'indice de a^{*}_{n-2} est écrit sur un autre. Un long trait relie ce bloc à la formule encadrée

\tilde{\rho}_{ij} = \begin{cases} \rho_{ij} & \text{si } j - i \text{ pair} \\ \frac{1}{2} \rho_{ij} & \text{si } j - i \text{ impair} \end{cases} formule entourée ; les mots « pair » et « impair » sont écrits sur d'autres, biffés

Dualement \boxed{a'^{*}_j = a_{j-1} + 2a_{j-2} + \rho'_{j-2,j-2}\, a_{j-3} + \cdots + \rho'_{j-2,j-i}\, a_{j-i-1} + \cdots + \rho'_{j-2,0}\, a_{-1}} de petits astérisques paraissent sur les a du second membre ; les indices du terme général sont surchargés et d'une lecture incertaine

\begin{cases} a'^{*}_{n+1} = \pi = a_n + 2a_{n-1} + \underbrace{\rho'_{n-1,n-1}}_{4 - \beta_{n-1} = 2 - \alpha_{n-1}} a_{n-2} + \cdots + \overbrace{\rho'_{n-1,1}}^{\sigma} a_0 + \overbrace{\rho'_{n-1,0}}^{\rho} a_{-1} \\ a'^{*}_n = -\psi'(a'_{n+1}) = a_{n-1} + 2a_{n-2} + \underbrace{\rho'_{n-2,n-2}}_{4 - \beta_{n-2} = 2 - \alpha_{n-2}} a_{n-3} + \cdots + \overbrace{\rho'_{n-2,1}}^{\gamma} a_0 + \overbrace{\rho'_{n-2,0}}^{\sigma'} a_{-1} \\ \cdots \\ a'^{*}_2 = a_1 + 2a_2 + \underbrace{\rho'_{0,0}}_{4 - \beta_0 = 2 - \alpha_0} a_{-1} \\ a'^{*}_1 = a_0 + 2a_{-1} \\ a'^{*}_0 = a_{-1} \end{cases} \boxed{\langle \pi, \pi' \rangle = \rho} dans la ligne de a'^{*}_2 on lit « 2a_2 », là où la formule encadrée donne 2a_0

\begin{cases} \psi(a_i) = -(\beta_0 \cdots \beta_{i-1})\, a'_i & 0 \leqslant i \leqslant n \\ \psi(a_{-1}) = -a^{*}_0 = -\bigl[a'_1 + 2a'_2 + \rho_{11} a'_3 + \cdots + \overbrace{\rho_{1,n-2}}^{\gamma} a'_n + \overbrace{\rho_{1,n-1}}^{\sigma} a'_{n+1}\bigr] \\ f(a_i) = \beta_0 \cdots \beta_{i-1} & 0 \leqslant i \leqslant n \\ \qquad f(a_0) = 1,\ f(a_1) = \beta_0, \ldots, f(a_n) = \beta_0 \cdots \beta_{n-1} = \beta \\ f(a_{-1}) = 0 \qquad \varphi(a_i, a_{i+1}) = -\beta_0 \cdots \beta_i & 0 \leqslant i \leqslant n-1 \\ \psi'(\pi) = -\sigma\pi' \qquad f(\pi) = -\tilde{\sigma}\tilde{\rho} & (0 \end{cases} dans \varphi(a_i, a_{i+1}), un exposant est biffé sur \beta_0 ; la dernière ligne s'interrompt sur « (0 »