Cote n° 72 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Polyèdres réguliers et hyperpolyèdres réguliers (Calculs en dimension quelconque) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

41la page commence au point « \(\beta\)) » d'un raisonnement dont le début précède cette page ; écriture très rapide, dont une bonne part de la prose ne se lit pas

\(\beta\)) Car on voit que \(\rho = \tilde{\rho}\), \(\sigma = 2\tilde{\sigma}\), l'équation s'écrit \[ \tilde{\sigma}\,(2 + \lambda\rho) = 0 . \] Donc si \(\sigma\) \((= 2\tilde{\sigma})\) et \(\rho\) \((= \tilde{\rho})\) sont […], […] \(\exists !\) […] \(u\) de \(U_\rho\), […] \(\neq 1\), […] qui respecte \(f\), […] qui revient […] \(Q\) […] \[ u = \mathrm{id} - \frac{2}{\rho}\, \pi' \otimes \pi \] sous la formule, une accolade et deux ou trois mots illisibles (antipodisme ?)

D'autres pas […] équivalentes[…] \((\Leftarrow \sigma\rho)\) : « \((\Leftarrow \sigma\rho)\) » est écrit au-dessus de la ligne ; la lecture en est incertaine

a) \(2\tilde{\sigma} = \sigma = 0\) et \(\tilde{\sigma}\rho = 0\)

[NB si 2 inv., équivaut à : \(\sigma = 0\) ; si \(2\) […], équivaut à : \(\tilde{\sigma}\rho = 0\)]

b) \(U_\rho\) respecte \(f^{\varepsilon}\)

c) \(U_\rho\) — \(Q_X\) le tiret est le sien : il répète le verbe de la ligne précédente

Si de plus \(\rho = 0\), ces conditions équivalent aussi à :

d) \(\exists\) loc. section de \(U_\rho\) partout \(\neq 1\) qui respecte \(f^{\varepsilon}\) (ou encore, \(Q_X\))

NB si \(\tilde{\sigma}\) inv. […] \(\sigma\) […] […] (car 2) on a […] unique solution […] \(\lambda\), savoir \(\lambda = -\frac{2}{\rho}\), mais, pour celle-ci […] […] […] […]. Donc […] […] 1°) et 2°) […] […] [\(\sigma\rho\) inversible] note écrite en diagonale dans la marge gauche, montant vers la droite ; les derniers mots sont encadrés. Plus bas dans la marge, « i.e. »

42[Ex. \(n = 1\), \(\rho = 4 - \beta = 2 - \alpha\), \(\sigma = \struck{\ill{}}\ 2\), \(\tilde{\sigma} = 1\). Donc

Par 1°) si […]\(\rho\) inv. ⌜i.e. \(U_\rho = \mathbb{G}_m\),⌝ alors \(\exists !\) \(u \in U_{\rho = 2 - \alpha}\) […] \(\neq 1\), telle que \(u\) respecte \(f^{\varepsilon}\) (ou ce qui revient au même, \(Q_X\) la conique \(Q_X\)) savoir l'antipodisme, qui est l'unique solution […] telle que \(u^2 = 1\), \(u_\rho \neq 1\) […]. « \(U_\rho = \mathbb{G}_m\) » : lecture incertaine du second membre

2°) Conditions équivalentes

a) \(\rho = 0\) et car \(S\) de car \(2\) \((2 \cdot 1_S = 0)\)

b) \(U_\rho\) respecte \(f^{\varepsilon}\)

c) \(U_\rho\) — \(Q_X\)

d) \(\rho = 0\) et \(\exists\) loc. section partout \(\neq 1\), qui respecte \(f^{\varepsilon}\) (ou encore, \(Q_X\)).]

Proposition 1) Si \(\sigma\tilde{\rho}\) inversible, \(\exists !\) section \(u\) de \(U_\rho\), partout \(\neq 1\), qui respecte \(f^{\varepsilon}\) i.e. \(Q_X\), savoir l'antipodisme.

2) Conditions équivalentes

a) \(\sigma = 0\) et \(\tilde{\sigma}\tilde{\rho} = 0\) (cette dernière condition conséquence de la première […] […] 2 inv.)

b) \(U_\rho\) respecte \(f^{\varepsilon}\)

c) \(U_\rho\) respecte \(Q_X\)

d) (si \(\tilde{\sigma}\tilde{\rho} = 0\)) \(\exists\) loc. section de \(U_\rho\) partout \(\neq 1\), qui respecte \(f^{\varepsilon}\) (ou \(Q_X\)) un grand « 2 », tracé plus appuyé, à gauche de d) ; la condition « si \(\tilde{\sigma}\tilde{\rho} = 0\) » est doublement soulignée

Calculs de discriminants etc.

inscrit à l'encre en haut à droite d'un feuillet de garde (page 43), qui ne porte rien d'autre ; ces mots sont de sa main et donnent sans doute le titre des feuillets qui suivent

44\[ \begin{cases} f(s_i) = 0 \\ \varphi(s_i, s_j) = -(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{i-1} + 2) & 0 \leqslant i < j \leqslant n+1 \end{cases} \]

\(f\) caractérisée par les conditions a) \(f\) inv. par les \(\tau_i\) ; b) \(f(s_0) = 0\) (\(\Leftrightarrow\) \(f\) nulle sur les sommets fixés au \(\tau_i\)) ; c) \(f(a_0) = 1\) (\(\Leftrightarrow\) […] vecteurs cités sont unitaires).

\[ \begin{aligned} & f(a_i) = (\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{i-1} + 2) && 0 \leqslant i \leqslant n \\ & \varphi(a_i, a_j) = 0 && 0 \leqslant i < j \leqslant n,\ i, j \text{ non consécutifs} \\ & \varphi(a_i, a_{i+1}) = -(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_i + 2) \\ & \varphi(s_0, a_i) = 0 && 1 \leqslant i \leqslant n \\ & \varphi(s_0, a_0) = -1 \\ & \varphi(s_j, a_i) = 0 && 0 \leqslant j < i \leqslant n \\ & \varphi(s_j, a_j) = -(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{j-1} + 2) && 0 \leqslant j \leqslant n \\ & \varphi(s_j, a_{j-1}) = +(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{j-2} + 2) && 1 \leqslant j \leqslant n+1 \\ & \varphi(s_j, a_i) = 0 && 0 \leqslant i < j-1 \leqslant n \end{aligned} \] après « \(0 \leqslant j < i \leqslant n\), » un mot biffé, illisible ; entre les deux dernières lignes, une ligne biffée : « \(\alpha_i + 2\) inversibles \(0 \leqslant i \leqslant n-1\) \(\Leftrightarrow\) »

À droite : \[ \begin{cases} \varphi(s_0, s_1) = \varphi(s_0, a_1) = -1 \\ \varphi(s_1, a_0) = f(a_0) = 1 \\ \tau_0 \text{ str. orth.} \end{cases} \] au-dessus de « \(-1\) », qui est encadré, il écrit « \(= \varphi(s_0, a_0) =\) », qui semble corriger le second membre : la liste de gauche donne \(\varphi(s_0, a_1) = 0\) et \(\varphi(s_0, a_0) = -1\)

\(\tau_i\) réflexion strictement orthogonale \(\Longleftrightarrow\) \((\alpha_0 + 2), \ldots, (\alpha_{i-1} + 2) \in k^{*}\)

\((\tau_i\) str. orth. \(\forall\, 0 \leqslant i \leqslant n)\) \(\Longleftrightarrow\) \((\alpha_i + 2) \in k^{*}\) \(\forall\, 0 \leqslant i \leqslant n-1\)

45\[ \begin{cases} f(s_i) = 0 \qquad \varphi(s_i, s_i) = 0 \\ \varphi(s_i, s_j) = -(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{i-1} + 2) & 0 \leqslant i < j \leqslant n+1 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} f(a_{-1}) = 0, \quad f(a_i) = (\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{i-1} + 2) = c_{i-1} \\ \varphi(a_i, a_i) = 2 f(a_i) = 2(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_{i-1} + 2) \quad (0 \leqslant i \leqslant n) \\ \varphi(a_i, a_j) = 0 \qquad -1 \leqslant i < j \leqslant n,\ i, j \text{ non consécutifs} \\ \varphi(a_i, a_{i+1}) = -(\alpha_0 + 2) \cdots (\alpha_i + 2) = -c_i \qquad -1 \leqslant i \leqslant n-1 \end{cases} \] à gauche de l'accolade, « \(f(a_0)\) » biffé ; au-dessus de la première ligne, un début biffé et « \(= c_{-2}\) » (lecture incertaine). Au-dessus de « \(= c_{i-1}\) », une remarque : « attention au décalage des notations ». Un mot biffé et souligné avant « \(i, j\) non consécutifs »

Matrice de \(f\) pour la base \((a_i)_{-1 \leqslant i \leqslant n}\) un premier départ de la matrice, à gauche, est biffé de traits ondulés ; seule la matrice de droite est donnée \[ f = \begin{pmatrix} 0 & -1 & & & & & \\ -1 & 2 & -c_0 & & & & \\ & -c_0 & 2c_0 & -c_1 & & & \\ & & -c_1 & 2c_1 & -c_2 & & \\ & & & -c_2 & 2c_2 & -c_3 & \\ & & & & -c_3 & 2c_3 & \ddots \\ & & & & & \ddots & \ddots \\ & & & & & & 2c_{n-2} \quad -c_{n-1} \\ & & & & & & -c_{n-1} \quad 2c_{n-1} \end{pmatrix} \]

\[ \quad \delta(f) = \det \begin{pmatrix} -1 & -c_0 & 0 & 0 & \\ 0 & 2c_0 & -c_1 & 0 & \\ 0 & -c_1 & 2c_1 & -c_2 & \\ & 0 & -c_2 & 2c_2 & \ddots \\ & & & -c_3 & \ddots \quad 2c_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & & \end{pmatrix} \] \[ = -1 \det \begin{pmatrix} 2c_0 & -c_1 & & \\ -c_1 & 2c_1 & -c_2 & \\ & -c_2 & \ddots & -c_{n-1} \\ & & -c_{n-1} & 2c_{n-1} \end{pmatrix} + c_0 \det \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & \cdots \\ 0 & \cdots \\ \vdots & \\ 0 & \cdots \end{pmatrix}}_{0} \] dans la formule précédente, biffé : « \(\det M_f\) » matrices recopiées dans leur forme ; les entrées de la première, écrites en escalier, sont partiellement surchargées

\[ \det \begin{pmatrix} 2c_{-1} & -c_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -c_0 & 2c_0 & -c_1 & & & \\ 0 & -c_1 & 2c_1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & & 0 \\ & & & & & -c_{n-1} \\ 0 & \cdots & & 0 & -c_{n-1} & 2c_{n-1} \end{pmatrix} = F_{n+1}(\underbrace{c_{-1}, \ldots, c_{n-1}}_{n+1 \text{ arguments}}) \]

\[ -\delta(f) = F_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) = 2c_0\, F_{n-1}(c_1, \ldots, c_{n-1}) + c_1 \det \begin{pmatrix} -c_1 & -c_2 & 0 & 0 & \\ 0 & 2c_2 & -c_3 & 0 & \\ \vdots & -c_3 & 2c_3 & -c_4 & \\ 0 & & -c_4 & 2c_4 & -c_5 \\ 0 & 0 & & \ddots & c_{n-1} \end{pmatrix} \] \[ = 2c_0\, F_{n-1}(c_1, \ldots, c_{n-1}) - c_1^2\, F_{n-2}(c_2, \ldots, c_{n-1}) \] il écrit d'abord « \(= 2c_0\) ( », une tache, puis « \(c_1^2 F_{n-2}(c_2, \ldots, c_{n-1})\) », et reporte « \(F_{n-1}(c_1 - c_{n-1})\) » au-dessus avec un trait de renvoi ; le signe moins est sous la tache. La récurrence \(F_n = 2c_0 F_{n-1} - c_1^2 F_{n-2}\) est exacte

\[ 0 \to 1 \to 2 \to 3 \cdots \to n-1 \to 0 \] permutation circulaire […] […] les derniers mots sont soulignés

\[ F_1(c_0) = 2c_0 \qquad F_2(c_0, c_1) = 4c_0c_1 - c_1^2 = c_1(4c_0 - c_1) \] \[ F_3(c_0, c_1, c_2) = 2c_0(4c_1c_2 - c_2^2) - 2c_1^2 c_2 \;\; = 2c_2(4c_0c_1 - c_0c_2 - c_1^2) \] dans la formule précédente, biffé : « \(= 8c_0c_1c_2\) » les coefficients de la dernière parenthèse sont écrits sur d'autres, biffés. Les trois valeurs sont exactes : \(F_3 = 2c_0 F_2(c_1, c_2) - c_1^2 F_1(c_2)\)

46\[ \det\bigl((c_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\bigr) \overset{?}{=} \qquad [c_{ij} = 0 \text{ si } i \neq j,\ i, j \text{ non consécutifs}] \] \[ \Vert \] \[ \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon_\sigma \prod_i c_{i\sigma(i)} \] nulle, sauf si \(\sigma\) est tel que \(\forall\, i \in [1, n]\), \(\sigma i \in \lbrace i-1, i, i+1 \rbrace\) au-dessus de cette condition, soulignée : « \(\sigma\) admissible »

Supposons \(n \geqslant 2\), alors les cycles de \(\sigma\) sont de longueur 1 ou 2, et les cycles de long. 2 sont formés d'entiers consécutifs, donc \(\sigma\) est de la forme \[ \tau_{i_1} \tau_{i_2} \cdots \tau_{i_p} \qquad 1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_p \leqslant n-1 \] (\(\tau_i\) est la transposition de \(i, i+1\)) où \(i_1, i_2, \ldots, i_p\) sont […] non consécutifs. dans la marge gauche, un petit segment gradué « \(i \geqslant 2\), \(i-1\), \(i\) », deux arcs joignant les points voisins

\[ \underbrace{1 + \alpha_0}_{i_1} \qquad \underbrace{3 + \alpha_0 + \alpha_1}_{i_2} \qquad \underbrace{5 + \alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2}_{i_3} \qquad \cdots \qquad \underbrace{(2p-1) + \alpha_0 + \cdots + \alpha_{p-1}}_{i_p} \] les constantes 3 et 5 sont écrites sur d'autres chiffres biffés, et la troisième expression commence par « \(i_1 +\) » ; lecture incertaine des surcharges

\(\displaystyle\sum_{\substack{i_1, i_2, \ldots, i_p \\ \text{strict. cr.} \\ \text{distincts}}}\) cette somme, à gauche, est barrée d'un trait oblique

\(1 \leqslant i_1 \quad 1 + \alpha_1 + \cdots + \alpha_{p-1} \leqslant\)

\[ \alpha_i \in \mathbb{N} \qquad \alpha_0 + \cdots + \alpha_{p-1} \leqslant n - 2p \]

\[ \sum_{1 \leqslant p \leqslant [\frac{n}{2}]} (-1)^p \sum_{\substack{(\alpha_0, \ldots, \alpha_p) \in \mathbb{N}^p \\ \sum \alpha_i = n - 2p}} \prod_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n \\ \text{non de la forme}}} c_{ii} \] \[ \prod_{1 \leqslant r \leqslant p} \bigl(c_{2r-1+(\alpha_1 + \cdots + \alpha_r),\, 2r+(\alpha_1 + \cdots + \alpha_r)}\, c_{2r+(\alpha_1 + \cdots + \alpha_r),\, 2r-1+(\alpha_1 + \cdots + \alpha_r)}\bigr) \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible avec, sous le premier produit : \[ \begin{cases} (2r-1) + (\alpha_p + \cdots + \alpha_r) & 1 \leqslant r \leqslant p+1 \\ 2r + (\alpha_p + \cdots + \alpha_n) \end{cases} \] les indices sont reproduits comme écrits ; ils passent de \(\alpha_0, \ldots, \alpha_{p-1}\) à \(\alpha_1, \ldots, \alpha_r\) d'une ligne à l'autre, et plusieurs sont surchargés. La lecture des bornes sous le premier produit est incertaine

Si la matrice est symétrique, et \(c_{i\,i+1} = -c_{i+1}\), \(c_{ii} = 2c_i\), on trouve \[ \det\bigl((c_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\bigr) = \sum_{1 \leqslant p \leqslant [\frac{n}{2}]} (-1)^p\, 2^{n-2p} \sum_{\substack{\alpha_* \in \mathbb{N}^p \\ \alpha_1 + \cdots + \alpha_p \leqslant n - 2p}} \prod_i c_i \prod_{1 \leqslant r \leqslant p} \bigl(c_{2r + \alpha_1 + \cdots + \alpha_r}\bigr)^2 \] l'exposant \(n - 2p\) de \(2\) est entouré. La somme part de \(p = 1\) : le terme \(p = 0\) (la permutation identique, \(2^n \prod c_i\)) n'est pas écrit ; le produit \(\prod_i c_i\) n'a pas de bornes sur la page

un segment horizontal gradué, des points et de petits traits, les premiers repères notés \(c_1, c_2, c_3\), le dernier \(c_n\) ; en dessous, un « C » isolé

47\[ \langle a_i, a'_j \rangle = \begin{cases} 0 & \text{si } i \neq j,\ i \text{ et } j \text{ non consécutifs} \\ 1 & \text{si } i = j-1 \\ \lambda_j - 1 & \text{si } i = j \\ -\lambda_j + 1 + \alpha_j & i = j+1 \end{cases} \] dans les trois dernières lignes, un mot biffé devant chaque condition, et un début biffé devant « \(\lambda_j - 1\) » (\(2\lambda_j\))

\(a_i = s_{i+1} - s_i\).

\(a'_j = s^{*}_j + \lambda_j s^{*}_{j+1} + (1 + \alpha_j)(s^{*}_{j+2} + \cdots + s^{*}_{n+1})\) \(0 \leqslant j \leqslant n\) lecture incertaine des indices de la dernière parenthèse ; la ligne suivante, « \(a'_n =\) », est laissée sans second membre

\[ \begin{cases} a'_j = a^{*}_{j-1} + \underbrace{(\lambda_j - 1)}_{-2 \text{ si } \lambda_j = -1} a^{*}_j + \underbrace{(1 - \lambda_j + \alpha_j)}_{\beta_j = 2 + \alpha_j \text{ si } \lambda_j = -1} a^{*}_{j+1} & 0 \leqslant j \leqslant n-1 \\ a'_n = a^{*}_{n-1} + (\lambda_n - 1) a^{*}_n \\ \pi = a^{*}_{-1} \\ s_j = a_{-1} + \cdots + a_{j-1} & 0 \leqslant j \leqslant n+1 \end{cases} \]

en haut à droite, un cadre dont le contenu est barré de traits obliques : \(\psi(a_{-1}) = -a^{*}_0\) ; \(\psi(a_n) = -c_{n-2} a^{*}_{n-1} + 2c_{n-1} a^{*}_n\)

\(f(a_i)\)[…][…] \(+ \psi(a'_i) = 0\) lecture très incertaine

\[ f\Bigl(\sum_{-1}^{n} \xi_i a_i\Bigr) = \sum_{i=0}^{n} c_{i-1} \xi_i^2 - \sum_{-1 \leqslant i \leqslant n-1} c_i \xi_i \xi_{i+1} \]

\(\psi(a_i) = -c_{i-1} a^{*}_{i-1} + 2c_{i-1} a^{*}_i - c_i a^{*}_{i+1}\) \(0 \leqslant i \leqslant n-1\)

Cas du bon […] : \[ c_{-1} = 1, \quad c_0 = (\alpha_0 + 2), \ldots\quad c_i = (2 + \alpha_0) \cdots (2 + \alpha_i) \quad (0 \leqslant i \leqslant n-1), \quad c_n = c_{n+1} = 0 \]

Coordonnées projectives du \(c\), orth. aux \(a'_i\) (en fait \(\lambda_i = -1\) pour \(0 \leqslant i \leqslant n\)) \[ c' = \sum_{-1}^{n} \xi_i a_i \quad (\xi_n = 1) \] \[ \begin{aligned} &\xi_{n-1} - 2\xi_n = 0 && \boxed{\xi_n = 1,\ \xi_{n-1} = 2} \\ &\xi_{n-2} - 2\xi_{n-1} + (\alpha_{n-1} + 2)\xi_n = 0 && \boxed{\xi_{n-2} = -(\alpha_{n-1} - 2)} \\ &\xi_{n-3} - 2\xi_{n-2} + (\alpha_{n-2} + 2)\xi_{n-1} = 0 && \boxed{\xi_{n-3} = -2(\alpha_{n-1} + \alpha_{n-2})} \\ &\qquad 2(\alpha_{n-1} - 2) + (\alpha_{n-2} + 2)2 = 2(\alpha_{n-1} + \alpha_{n-2}) \\ &\xi_{n-4} - 2\xi_{n-3} + (\alpha_{n-3} + 2)\xi_{n-2} = 0 \\ &\qquad \boxed{\xi_{n-4} = -4 - 2(\alpha_{n-1} + 2\alpha_{n-2} + \alpha_{n-3}) + \alpha_{n-1}\alpha_{n-3}} \\ &\qquad 4(\alpha_{n-1} + \alpha_{n-2}) - (\alpha_{n-3} + 2)(\alpha_{n-1} - 2) \\ &\qquad 2\alpha_{n-1} + 4\alpha_{n-2} + 4 - \alpha_{n-1}\alpha_{n-3} + 2\alpha_{n-3} \\ &\xi_{n-5} = \cdots \end{aligned} \] les lignes en retrait sont écrites sous des accolades et calculent l'opposé de la valeur encadrée ; « \(\xi_{n-1} = 2\) » est d'abord écrit puis biffé à gauche du premier cadre ; dans le dernier cadre, un premier second membre est biffé. Le signe devant \((\alpha_{n-3} + 2)\) est sous une tache. Les quatre valeurs encadrées sont exactes

\[ \pi = a^{*}_{-1} \] \[ \pi(c') = \underbrace{\rho(\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1})}_{A} = \rho = \xi_{-1} \qquad \rho \in \mathbb{Z}[A_0, \ldots, A_{n-1}] \] \[ c = \frac{c'}{\rho} \] \[ f(c') = \sigma(\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}) = \sigma, \qquad \sigma \in \mathbb{Z}[A_0, \ldots, A_{n-1}] \] \[ f(c) = \sigma / \rho^2 \qquad 2\sigma = -\xi_0 \xi_{-1} = -\rho\,\xi_0 \]

À droite : \[ 2f(c') = \langle c', \psi(c') \rangle \overset{?}{=} \] \(\lambda\pi = \psi(c') = \lambda a^{*}_{-1}\) \(\lambda = \langle a_{-1}, \psi(c') \rangle = \varphi(a_{-1}, c')\) \[ \langle a_i, \psi(c') \rangle = \varphi(a_i, c') = \langle c', \psi(a_i) \rangle = -f(a_i) \langle c', a'_i \rangle = 0 \] sous « \(\psi(a_i)\) » : « \(= -f(a_i)\, a'_i\) si \(0 \leqslant i \leqslant n\) » ; quelques signes biffés en fin de ligne \[ \langle a_{-1}, \psi(c') \rangle = \langle c', \psi(a_{-1}) \rangle = -\xi_0 \qquad (\psi(a_{-1}) = -a^{*}_0) \] \[ \psi(c') = -\xi_0 a^{*}_{-1} \qquad 2f(c') = \langle c', -\xi_0 a^{*}_{-1} \rangle = -\xi_0 \xi_{-1} \]

48page très chargée, écrite serrée ; les matrices sont recopiées dans leur forme, les annotations de marge regroupées là où elles se rattachent

\[ \Delta_{n+2}(0, 1, c_0, \ldots, c_{n-1}) \] \[ \ \Delta_n(\underbrace{c_0, \ldots, c_{n-1}}_{n \text{ arg.}}) = \det \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 2 & -c_0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -c_0 & 2c_0 & -c_1 & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & -c_1 & 2c_1 & -c_2 \ \cdots & \\ \vdots & & & & \ddots & -c_{n-1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -c_{n-1} & 2c_{n-1} \end{pmatrix}}_{\text{ordre } n+2} \] \[ = \det \underbrace{\begin{pmatrix} 2c_0 & -c_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -c_1 & 2c_1 & -c_2 & 0 & & \\ 0 & -c_2 & 2c_2 & -c_3 & & \vdots \\ 0 & 0 & -c_3 & 2c_3 & -c_4 & \\ & & & & \ddots & -c_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -c_{n-1} & 2c_{n-1} \end{pmatrix}}_{\text{ordre } n} \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible « \(\Delta_{n+2}(0, 1, c_0, \ldots, c_{n-1})\) » est écrit au-dessus de \(\Delta_n\) avec un signe « \(\Vert\) » ; devant « \(\det\) », une tache qui peut couvrir un signe. Par la récurrence encadrée ci-dessous, le déterminant d'ordre \(n+2\) vaut \(-\Delta_n(c_0, \ldots, c_{n-1})\) (cf. page 45, où \(\delta(f) = -F_n\)). Les entrées de la troisième ligne de la première matrice sont surchargées ; la page porte « \(2c_2\) » là où l'on attend \(2c_1\)

\[ \boxed{\Delta_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) = 2c_0\, \Delta_{n-1}(c_1, \ldots, c_{n-1}) - c_1^2\, \Delta_{n-2}(c_2, \ldots, c_{n-1})} \] le signe moins est sous une tache ; l'indice du dernier \(\Delta\) est d'une lecture incertaine (\(n-2\) ou \(n-1\))

\[ \Delta'_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) = \begin{cases} \Delta_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) & \text{si } n \text{ pair} \\ \frac{1}{2} \Delta_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) & \text{si } n \text{ impair} \end{cases} \] « pair » est écrit sur un mot biffé ; les valeurs de \(\Delta'_1\) et \(\Delta'_3\) plus bas confirment que le facteur \(\frac{1}{2}\) va aux \(n\) impairs

Posons \[ \left. \begin{aligned} c_0 &= \beta_0 \\ c_1 &= \beta_0 \beta_1 \\ &\cdots \\ c_{n-1} &= \beta_0 \beta_1 \cdots \beta_{n-1} \end{aligned} \right\rbrace \ n \text{ arguments } \beta_i \] le nombre d'arguments, « \(n\) », est d'une lecture incertaine \[ \delta_n(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) = \Delta_n(\beta_0, \beta_0\beta_1, \ldots, \beta_0\beta_1 \cdots \beta_{n-1}) \] \[ \delta'_n(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) = \Delta'_n(\cdots) = \begin{cases} \delta_n(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) & \text{si } n \text{ pair} \\ \frac{1}{2} \delta_n(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) & \text{si } n \text{ impair} \end{cases} \]

\[ \begin{aligned} &\Delta_n,\ \Delta'_n,\ \overline{\Delta'_n} \in \mathbb{Z}[C_0, \ldots, C_{n-1}] &\qquad& \Delta'_n[C_0, \ldots, C_{n-1}] = C_{n-1}\, \overline{\Delta'_{n}}(C_0, \ldots, C_{n-2}) \\ &\delta_n,\ \delta'_n,\ \overline{\delta'_n} \in \mathbb{Z}[B_0, \ldots, B_{n-1}] && \delta'_n[B_0, \ldots, B_{n-1}] = B_{n-1}\, \overline{\delta'_n}(B_0, \ldots, B_{n-2}) \end{aligned} \] dans la première ligne, un premier \(\overline{\Delta'_n}\) est biffé et récrit au-dessus ; les indices des seconds membres sont d'une lecture incertaine

\[ \begin{aligned} &\Delta_1(c_0) = 2c_0, \quad \Delta'_1(c_0) = c_0 \quad \overline{\Delta'_1}(c_0) = 1 \\ &\Delta_2(c_0, c_1) = 4c_0c_1 - c_1^2 = c_1(4c_0 - c_1) \quad \overline{\Delta'_2}(c_0, c_1) = 4c_0 - c_1 \\ &\Delta_3(c_0, c_1, c_2) = 2c_2(4c_0c_1 - c_0c_2 - c_1^2), \quad \Delta'_3 = c_2(4c_0c_1 - c_0c_2 - c_1^2), \\ &\qquad \overline{\Delta'_3}(c_0, c_1, c_2) = 4c_0c_1 - c_0c_2 - c_1^2 \\ &\cdots \end{aligned} \] dans « \(\Delta'_3 = c_2(\ldots)\) », un « 2 » est biffé devant \(c_2\). Valeurs conformes à celles de la page 45

\[ \Delta_n(C_0, \ldots, C_{n-1}) = \sum_{0 \leqslant p \leqslant [\frac{n}{2}]} (-1)^p\, 2^{n-2p} \sum \ \prod_{i \in J'} C_i \prod_{j \in J''} C_j^2 \] la seconde somme portant sur les suites de \(p\) […] él. de \(\mathfrak{P}_2[0, n-1]\) disjointes \(J_1, \ldots, J_p\) […], \[ J = \bigcup_{1 \leqslant i \leqslant p} J_i, \qquad J' = [0, n-1] \smallsetminus J, \] \(J''\) = ens. des derniers éléments des \(J_i\) \((J'' \in \mathfrak{P}_p[0, \ldots, n-1])\). dans la marge gauche, une flèche vers \(\Delta_n(C_0, \ldots)\) et « décalage notations », puis trois mots illisibles (en origine des paires)

NB Il n'y a pas de cancellation de termes

[…] Le monôme \(M = \prod_{i \in J'} C_i \prod_{j \in J''} C_j^2\) s'écrit aussi \[ \qquad B_0^n\, B_1^{n-1+\varepsilon_2}\, B_3^{n-3+\varepsilon_3} \cdots B_{n-1}^{\varepsilon_n} \qquad \varepsilon_k \in \lbrace 0, 1 \rbrace \quad 2 \leqslant k \leqslant n \] dans la formule précédente, biffé : « \(\delta_n(c_1, \ldots, c_n) = B_0^n\) » \(\varepsilon_k = 1\) ssi \(k \in J'''\) (il y a \(p\) tels \(k\)) indices et exposants tels qu'on les lit, sans le \(B_2\) attendu entre \(B_1\) et \(B_3\) ; lecture incertaine \[ M = \prod_{1 \leqslant i \leqslant n} C'_i \qquad C'_i = \begin{cases} C_i & \text{si } i \in J' \\ C_j & \text{si } j \in J'' \\ C_{j-1} & \text{si } j \in \ldots \end{cases} \] la fin de la troisième ligne, après « \(j \in\) », est illisible \(C'_i\) contient en facteur \(B_k\) (et […] […] : il y a […] 1 […]) ssi […] \(i \geqslant k\), ou \(i = k - 1\) et \(i \in J''\) i.e. \(k \in \overline{J}\) un segment gradué de \(1\) à \(n\), le point \(k\) marqué

\[ \delta_n(B_0, \ldots, B_n) = B_0^n\, B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}^{\,\cdot}\; L_{n-1}(B_1, \ldots, B_{n-1}) \] l'exposant de \(B_{n-1}\) est illisible (marqué ici d'un point). « \(L_{n-1}(B_1, \ldots, B_{n-1})\) » et son dernier argument sont entourés, avec une bulle « attention \(p \geqslant 0\) ! » et une annotation biffée ; sous la formule, une ligne biffée illisible

\[ L_{n-1}(B_1, \ldots, B_{n-1}) = \sum_{0 \leqslant p \leqslant [\frac{n}{2}]} (-1)^p\, 2^{n-2p} \sum_{\substack{J \in \mathfrak{P}_p([1, n-1]) \\ J \text{ ne contenant pas 2} \\ \text{entiers consécutifs}}} B_J \] \[ = 2^n - 2^{n-2} \sum_{1 \leqslant i \leqslant n-1} B_i + 2^{n-4} \sum_{\substack{1 \leqslant i < j \leqslant n-1 \\ j \neq i+1}} B_i B_j - 2^{n-6} \sum_{1 \leqslant i < j < k \leqslant n} B_i B_j B_k + \cdots \] sous la seconde somme, plusieurs essais d'indexation biffés ; la condition de la dernière somme est pointée de deux « ! », avec un renvoi : « les […] […] […] » ; la borne \(n\) (au lieu de \(n-1\)) est telle qu'on la lit

49\(\displaystyle \Pi_p(B_1, \ldots, B_n) = \sum_{J \in \mathfrak{P}_p[1, n]}\) \(B_i = B'_i + 4\)

\(\Sigma\) \(B'_1 B'_2 = B'_2 B'_3 = \cdots = B'_n B'_{n+1} = 0\) lecture incertaine des derniers indices

\[ \Bigl(2 - \frac{B_1}{2}\Bigr)\Bigl(2 - \frac{B_2}{2}\Bigr) \cdots \Bigl(2 - \frac{B_n}{2}\Bigr) = \frac{(-1)^n}{2^n} . \]

\[ \begin{aligned} L_1 &= 2 \qquad L'_1 = 1 \\ L_2 &= 4 - B_1 = -(\alpha_1 - 2) \\ L_3 &= 8 - 2(B_1 + B_2 ) = -2\bigl[(\alpha_1 + \alpha_2) \bigr] \\ L_4 &= 16 - 4(B_1 + B_2 + B_3 ) + \Bigl(\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 3} B_i B_j - (B_1 B_2 + B_2 B_3 + B_3 B_4)\Bigr) \end{aligned} \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible ; un terme biffé, illisible ; un terme biffé, illisible ; un terme biffé, illisible la ligne de \(L_2\) porte après \(4 - B_1\) un calcul biffé en \(\alpha_0\) ; l'indice de \(\alpha\) dans le résultat est d'une lecture incertaine. Dans \(L_4\) le dernier terme soustrait est lu « \(B_3 B_4\) » : avec trois arguments \(B_1, B_2, B_3\) il n'existe pas, et la formule de la page 48 ne retire que \(B_1 B_2\) et \(B_2 B_3\), ce qui laisse \(B_1 B_3\) ; le calcul qui suit, lui, garde exactement \(B_1 B_3\)

\(\Bigl(2 - \frac{B_1}{2}\Bigr)\Bigl(2 - \frac{B_2}{2}\Bigr)\)

\[ -4(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 ) - + \bigl[ + (\alpha_0 + 2)(\alpha_2 + 2) \bigr] \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible ; un terme biffé, illisible ; biffé : « \((\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)\) » ; un terme biffé, illisible suit une ligne entièrement biffée, « \(= -4 - 4(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2) + 2(\ldots) + \alpha_0\alpha_2 + \alpha_0\alpha_3 + \alpha_1\alpha_3\) », avec au-dessous « \(2\alpha_0 + 2\alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_3\) »

\[ = -4 - 2(\alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_3) + \alpha_1\alpha_3 = (\alpha_1 - 2)(\alpha_3 - 2) - 4(\alpha_2 + 2) \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible « \(2\alpha_2 +\) » est ajouté au-dessus, entouré ; l'indice du premier \(\alpha\) ressemble à un \(p\) et se lit \(1\) par le calcul. Le résultat est exact : avec \(B_i = \alpha_i + 2\), \(16 - 4(B_1 + B_2 + B_3) + B_1 B_3 = (\alpha_1 - 2)(\alpha_3 - 2) - 4(\alpha_2 + 2)\) ; c'est la forme de \(\xi_{n-4}\) page 47

NB \(L_{n-1}(B_1, \ldots, B_{n-1}) = L_{n-1}(B_{n-1}, \ldots, B_1)\)

\[ \det \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & -c_0 & 0 & & & \\ -c_0 & 2c_0 & -c_1 & 0 & & \\ 0 & -c_1 & 2c_1 & & & \\ 0 & 0 & -c_2 & \ddots & & 0 \\ & & & & c_{n-3} & -c_{n-1} \\ & \cdots & & 0 & -c_{n-1} & 2c_{n-1} \end{pmatrix}}_{\text{ordre } n+1} \] \[ = \Delta_{n+1}(\underbrace{1, c_0, \ldots, c_{n-1}}_{n+1 \text{ arg}}) = 2\Delta_n(c_0, \ldots, c_{n-1}) - c_0^2\, \Delta_{n-1}(c_1, \ldots, c_{n-1}) \] la première entrée, « 2 », est écrite sur un autre signe ; l'entrée « \(c_{n-3}\) » de l'avant-dernière ligne est telle qu'on la lit

\[ = \delta_{n+1}(1, B_0, \ldots, B_{n-1}) = B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, L_{n+1}(B_0, \ldots, B_{n-1}) \] \(L_2(1, B_0) = 4 -\)

[…] \(\delta_{n+1}(1, B_0, \ldots, B_{n-1})\) \(L_3(1, B_0,\)

\[ \begin{aligned} \delta_2(1, B_0) &= B_0 L_2(1, B_0) = B_0(4 - B_0) = -(\alpha_0 + 2)(\alpha_0 - 2) = 4 - \alpha_0^2 \\ \delta'_3(1, B_0, B_1) &= B_0^2 B_1\, L'_3(B_0, B_1) = - B_0^2 B_1 (\alpha_0 + \alpha_1) \\ \delta_4(1, B_0, B_1, B_2) &= B_0^3 B_1^2 B_2\, \underbrace{L_4(B_0, B_1, B_2)}_{(\alpha_0 - 2)(\alpha_2 - 2) - 4(\alpha_1 + 2)} \end{aligned} \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible ; un terme biffé, illisible les valeurs de \(\delta_2\) et \(\delta'_3\) sont exactes (avec \(\Delta_3\) de la page 48, \(\delta_3(1, B_0, B_1) = 2B_0^2 B_1(4 - B_0 - B_1)\)). Dans l'angle inférieur droit, un calcul serré biffé de hachures et d'une longue diagonale, qui se termine par « \(= B_0^2 B_1 (4 - B_1)\) »

50\[ \begin{cases} \delta_n(B_0, \ldots, B_{n-1}) = B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, L_n(B_1, \ldots, B_{n-1}) \\ \delta_{n+1}(1, B_0, \ldots, B_{n-1}) = B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, L_{n+1}(B_0, B_1, \ldots, B_{n-1}) \end{cases} \] \[ \begin{cases} \delta'_n(B_0, \ldots, B_{n-1}) = B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, L'_n(B_1, \ldots, B_{n-1}) \\ \delta'_{n+1}(1, B_0, \ldots, B_{n-1}) = B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, L'_{n+1}(B_0, B_1, \ldots, B_{n-1}) \end{cases} \]

\(n\) pair \(L_n(B_1, \ldots, B_{n-1}) \equiv B_1 B_3 \cdots B_{n-1}\) \(\delta_n\) à la suite de la ligne biffée, une rangée de points et de chiffres (« \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), …, \(2m\) »)

\[ L_{2m}(B_1, \ldots, B_{2m-1}) \equiv B_1 B_3 \cdots B_{2m-1} \qquad \underline{\underline{\bmod 2}} \] \[ L'_{2m+1}(B_1, \ldots, B_{2m}) \equiv (B_2 B_4 \cdots B_{2m} + B_1 B_3 \cdots B_{2m-1}) + \sum_{1 \leqslant i \leqslant m-1} (B_1 \cdots B_{2i-1})(B_{2i+2} \cdots B_{2m}) \]

\[ \begin{cases} \delta'_{2m}(B_0, \ldots, B_{2m-1}) \equiv \; \underbrace{(B_0 B_1)^{2m} (B_2 B_3)^{2(m-1)} \cdots (B_{2m-2} B_{2m-1})}_{[(B_0 B_1)^m (B_2 B_3)^{m-1} \cdots (B_{2m-2} B_{2m-1})]^2} \\[2ex] \delta'_{2m+1}(B_0, \ldots, B_{2m-1}) \equiv B_0^{2m} B_1^{2m-1} \cdots B_{2m-1} \bigl[B_0 B_2 \cdots B_{2m-2} + B_1 B_3 \cdots B_{2m-1} \\ \qquad\qquad + \sum_{1 \leqslant i \leqslant m-1} (B_0 \cdots B_{2i-2})(B_{2i+1} \cdots B_{2m-1})\bigr] \end{cases} \] dans la formule précédente, biffé : « \(B_0^{2m} B_1^{2m-1} \cdots 2B_{2m-1}\) » l'exposant de \((B_2 B_3)\) est d'une lecture incertaine ; « \(2(m-1)\) » est ce que demande le crochet au carré sous l'accolade, et ce que donne la congruence de \(L_{2m}\). La seconde ligne a pour arguments « \((B_0, \ldots, B_{2m-1})\) » sur la page ; par la forme du second membre, c'est \(\delta'_{2m+1}(1, B_0, \ldots, B_{2m-1})\) qu'elle calcule

\[ \begin{cases} \delta'_{2m+1}(B_0, \ldots, B_{2m}) \equiv B_0^{2m+1} B_1^{2m} \cdots B_{2m} \bigl[B_2 B_4 \cdots B_{2m} + B_1 B_3 \cdots B_{2m-1} \\ \qquad\qquad + \sum_{1 \leqslant i \leqslant m-1} (B_1 \cdots B_{2i-1})(B_{2i+1} \cdots B_{2m})\bigr] \\[1ex] \delta_{2m+2}(1, B_0, \ldots, B_{2m}) \equiv \; \bigl[B_0^{m+1} (B_1 B_2)^m \cdots (B_{2m-1} B_{2m})\bigr]^2 \end{cases} \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible le bas de la page est blanc

51\[ \Delta_n(C_0, \ldots, C_{n-1}) = 2C_0\, \Delta_{n-1}(C_1, \ldots, C_{n-1}) - C_1^2\, \Delta_{n-2}(C_2, \ldots, C_{n-1}) \] les lettres de cette ligne sont surchargées (\(B\) et \(C\) l'une sur l'autre) ; « \(\Vert\) » la relie à la ligne suivante \[ \begin{aligned} \delta_n(B_0, \ldots, B_{n-1}) &= 2B_0\, \delta_{n-1}(B_0B_1, B_2, \ldots, B_{n-1}) - (B_0B_1)^2\, \delta_{n-2}(B_0B_1B_2, B_3, \ldots, B_{n-1}) \\ &= 2B_0 (B_0B_1)^{n-1} B_2^{n-2} B_3^{n-3} \cdots B_{n-1}\, L_{n-1}(B_2, B_3, \ldots, B_{n-1}) \\ &\qquad - B_0^2 B_1^2 (B_0B_1B_2)^{n-2} B_3^{n-3} \cdots B_{n-1}\, L_{n-2}(B_3, \ldots, B_{n-1}) \\ &= B_0^n B_1^{n-1} \cdots B_{n-1}\, \bigl[2L_{n-1}(B_2, \ldots, B_{n-1}) - B_1 L_{n-2}(B_3, \ldots, B_{n-1})\bigr] \end{aligned} \] dans la formule précédente, biffé : « \(B_0\) » dans la marge gauche, relié au premier membre par « \(\Vert\) » : « \(B_0^n \cdots B_{n-1} L_n[B_1, \ldots, B_{n-1}]\) »

\[ \boxed{L_n(B_1, \ldots, B_{n-1}) = 2L_{n-1}(B_2, \ldots, B_{n-1}) - B_1 L_{n-2}(B_3, \ldots, B_{n-1})} \]

\[ \begin{cases} L'_{2m}(B_1, \ldots, B_{2m-1}) = 4L'_{2m-1}(B_2, \ldots, B_{2m-1}) - B_1 L_{2m-2}(B_3, \ldots, B_{2m-1}) \\ L'_{2m+1}(B_1, \ldots, B_{2m}) = \, L_{2m}(B_2, \ldots, B_{2m}) - B_1 L'_{2m-1}(B_3, \ldots, B_{2m}) \end{cases} \] dans la formule précédente, biffé : « \(2\) » l'accent du premier \(L'_{2m}\) est surchargé. Les deux relations suivent de la récurrence encadrée et de la définition de \(\Delta'_n\) (page 48), qui double le coefficient pour \(n\) impair

Calcul du \(\tilde{c}\) défini par \[ \begin{cases} \xi_n = 1 \\ \langle \tilde{c}, a'_i \rangle = 0 & 0 \leqslant i \leqslant n \end{cases} \qquad \tilde{c} = \xi_{-1} a_{-1} + \xi_0 a_0 + \cdots + \xi_n a_n \] la seconde expression est écrite sous « \(\tilde{c}\) », reliée par « \(\Vert\) »

i.e. \[ \begin{cases} \xi_n = 1 \\ \xi_{n-1} = 2 \\ \xi_{i-1} - 2\xi_i + \beta_i \xi_{i+1} = 0 & 0 \leqslant i \leqslant n-1 \\ \xi_{i-1} = 2\xi_i - \beta_i \xi_{i+1} \end{cases} \]

\[ \xi_n = 1, \quad \xi_{n-1} = 2, \quad \xi_{n-2} = 4 - \beta_{n-1}, \quad \xi_{n-3} = 2(4 - \beta_{n-1}) - 2\beta_{n-2} = 8 - 2(\beta_{n-1} + \beta_{n-2}) \]

\[ \boxed{\xi_{n-i} = L_i(\underbrace{\beta_{n-1}, \ldots, \beta_{n-i+1}}_{i-1 \text{ arguments}})} \qquad 1 \leqslant i \leqslant n+1 \] en particulier \[ \rho = \xi_{-1} = \pi(\tilde{c}) = L_{n+1}(\beta_{n-1}, \ldots, \beta_0) = L_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) \] \[ \sigma = \xi_0 = \langle \tilde{c}, a^{*}_0 \rangle \Bigl[= -\langle \tilde{c}, \psi(a_{-1}) \rangle = -\varphi(\tilde{c}, a_{-1}) \Bigr] = L_n(\beta_{n-1}, \ldots, \beta_1) = L_n(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}) \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible au-dessus du crochet : « \(= -\langle a_{-1}, \psi(\tilde{c}) \rangle\) » ; sous \(\psi(a_{-1})\), un renvoi illisible. Le « \(=\) » final est écrit « \(\equiv\) » ; les deux dernières égalités sont superposées en fin de ligne

52\[ \begin{aligned} \rho &= L_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) &\qquad \rho' &= L'_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) \\ \sigma &= L_n(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}) & \sigma' &= L'_n(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}) \end{aligned} \] \[ \begin{cases} \delta_\varepsilon = (\overbrace{\beta_0^n \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1}}^{B})\,\sigma \\ \delta_V = (\underbrace{\beta_0^n \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1}}_{B})\,\rho \end{cases} \qquad \begin{cases} \delta'_\varepsilon = (\overbrace{\beta_0^n \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1}}^{B})\,\sigma' \\ \delta'_V = (\underbrace{\beta_0^n \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1}}_{B})\,\rho' \end{cases} \] l'indice de \(\delta_\varepsilon\) peut se lire \(\Sigma\) ; on le lit \(\varepsilon\), comme le \(f^{\varepsilon}\) des pages 41-42 et le \(f_\varepsilon\) plus bas

\[ \tilde{c} = \rho\, a_{-1} + \sigma a_0 + \xi_1 a_1 + \cdots + \xi_n a_n \qquad (\xi_n = 1,\ \xi_{n-1} = 2 \ldots) \] la lettre notée ici \(\tilde{c}\) (comme à la page 51) est une petite boucle fermée surmontée d'un tilde, qu'on pourrait lire \(\tilde{\sigma}\) ; on la lit \(c\) d'après la page 47, où le vecteur est \(c'\) et \(c = c'/\rho\), et d'après la ligne suivante

\[ \rho = \xi_{-1} = \pi(\tilde{c}) = \langle \tilde{c}, a^{*}_{-1} \rangle \quad\Big|\quad c = \tilde{c}/\rho \qquad c' = 2c = \begin{cases} \,\tilde{c}/\rho' & n \text{ pair} \\ 2\tilde{c}/\rho = 2\tilde{c}/\rho' & n \text{ impair} \end{cases} \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible \[ \sigma = \xi_0 = \langle \tilde{c}, a^{*}_0 \rangle = -\varphi(s_0, \tilde{c}) \quad\Big|\quad \psi(\tilde{c}) = -\sigma a^{*}_{-1} = -\sigma\pi \] \[ f(\tilde{c}) = \Bigl[\tfrac{1}{2} \langle \tilde{c}, \psi(\tilde{c}) \rangle = -\tfrac{1}{2} \langle \tilde{c}, \sigma\pi \rangle = -\tfrac{1}{2} \sigma\, \pi(\tilde{c}) = -\tfrac{1}{2} \sigma\rho\Bigr] = -\sigma'\rho' \] \[ \Bigl[f(c') = f(\tilde{c}/\rho') = -\frac{\sigma'\rho'}{\rho'^2} = -\frac{\sigma'}{\rho'}\Bigr] \qquad (n \text{ pair}) \] « (\(n\) pair) » est écrit sous \(f(c')\) ; quelques chiffres surchargés dans les deux lignes. L'égalité \(\frac{1}{2}\sigma\rho = \sigma'\rho'\) tient parce que, de \(L_n\) et \(L_{n+1}\), un seul est divisé par 2 dans le passage à \(L'\)

\(f_\varepsilon\) lisse \(\Longleftrightarrow\) les \(\beta_i\) \((0 \leqslant i \leqslant n-1)\) inversibles, et \(\sigma'\) inv.

\(\Longleftrightarrow\) (si 2 inv. ou \(n\) pair) les \(\beta_i\) inv. et \(\psi(\tilde{c}) \neq 0\)

\(f_V\) lisse \(\Longleftrightarrow\) les \(\beta_i\) \((0 \leqslant i \leqslant n-1)\) inversibles et \(\rho'\) inv.

\(\Longleftrightarrow\) (si 2 inv. ou \(n\) impair) les \(\beta_i\) inv. et \(\pi(\tilde{c}) \neq \struck{\ill{}}\) sous « \(\pi(\tilde{c}) \neq\) », une accolade : « condition à dist. finie sur la fibre »

\((\mathcal{E}, V, f)\) birégulier \(\Longleftrightarrow\) les \(\beta_i\) \((0 \leqslant i \leqslant n-1)\) inv. et \(f(\tilde{c})\) inv.

NB (si \(n\) impair) \(\pi(c') = \pi(\tilde{c}/\rho') = \rho/\rho' = 2\) ligne couverte de hachures

53Antipodisme \[ \] dans la formule précédente, biffé : « \(x \longmapsto 2c\,\pi(x) - x\) » \[ \underline{a} = -\mathrm{id} + \ 2\pi \otimes c = -\mathrm{id} + \pi \otimes c' \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible \[ -\underline{a} = \mathrm{id} - \pi \otimes c' \] son \(\underline{a}\) souligné est gardé tel quel. Ici encore la lettre \(c\) est tracée comme un \(\sigma\) ; « \(2\pi \otimes c = \pi \otimes c'\) » confirme la lecture \(c' = 2c\) (page 52)

NB \(\underline{a}\) défini ssi \(c'\) défini i.e. ssi \(\rho'\) inversible (c'est le cas si \(f_V\) lisse). Notons que \(\rho' c' = \tilde{c}\) […] […], \[ \langle c', \pi \rangle = 2, \] donc \(-\underline{a}\) est une réflexion, sauf si en certains pts on a car. \(= 2\), et […] […] \(n\) impair. au-dessus de « \(\rho' c' = \tilde{c}\) » : « si \(n\) pair »

\(\underline{a}\) commute aux \(\tau_i\), il invarie \(c'\), c'est clair.

\[ \underline{a}(s_0) = \underline{a}(a_{-1}) = \ c' - s_0 = \tilde{s}_0 \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible

Attention il n'y a pas que \(c'\) […] à dist. finie, mais c'est … \(\rho' c' = \tilde{c}\) […] \(\neq 0\) donc \(c'\) […] \(\neq 0\) donc […] \(c' =\) […] \(\tilde{c}\) ; […] conditions pour les parties si 2 inv. Mais en car 2 pour \(n\) impair, […] \(\sigma' = 0\) d'où \(\underline{a} = \mathrm{id}\) NB Si \(n\) pair ou \(2\) inv., alors : \(\underline{a}\) défini et une réflexion orth. \(\Longleftrightarrow\) […] i.e. \(\sigma'\rho'\) inv. la première note est en haut à droite, soulignée « Attention » ; la deuxième, à droite, derrière une accolade ; la troisième, écrite en diagonale dans la marge gauche

NB Dans \(\mathcal{E}\), l'ens. des pts fixes de \(\underline{a}\) est […] la droite engendrée par \(c'\) si 2 inv. — si \(2 \cdot 1_S = 0\) i.e. \(S\) de car. 2, alors c'est l'ens. des pts fixes est \(V\).

Dans \(\mathbb{P}(\mathcal{E})\), l'ens. des pts fixes est \(\mathbb{P}(V) \cup \lbrace c' \rbrace\) — qui se réduit à \(\mathbb{P}(V)\) en car. 2.

Donc \(s_0 \neq \tilde{s}_0 = \underline{a}\, s_0\) dans \(\mathbb{P}(\mathcal{E}) = X\).

Considérons le droite plan engendré par \(s_0\) et \(\tilde{c}\) […] \[ g(\lambda, \mu) = f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = \ \lambda\mu \underbrace{\varphi(s_0, \tilde{c})}_{-\xi_0 = -\sigma} + \mu^2 f(\tilde{c}) = -\sigma\lambda\mu - \sigma'\rho'\mu^2 = -\mu(\sigma\lambda + \sigma'\rho'\mu) \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible

1) \(n\) pair : \(\sigma = \sigma'\), \(\rho = 2\rho'\) \(f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = -\mu\sigma(\lambda + \rho'\mu)\)

c'est \(= 0\) ssi \(\sigma = 0\)

c'est \(\neq 0\) en chaque fibre \(\Longleftrightarrow\) ssi \(\sigma\) inv. i.e. \(\sigma'\) inv.

\(\Longleftrightarrow\) dans le cas, \(Q_X \cap D_0\) est un rev. étale de degré 2 de \(S\), dont \(s_0\) est une section, [\(\underline{a}_X s_0\) \(\to\) la section complémentaire, quand \(\underline{a}_X\) est défini]

\(\Longleftrightarrow\) \(Q_X \not\supset D_0\) en ch. fibre (c'est le cas si \(f_\varepsilon\) lisse)

\(\Longleftrightarrow\) \(\psi(\tilde{c}) \neq 0\) chaque fibre \(\Longleftrightarrow\) \((\tilde{c})^{\perp} \neq V\) chaque fibre le dernier signe peut se lire \(=\) ou \(\neq\)

Si \(\sigma\) inv. […] NB \(f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = 0\), […] \(\mu\) inv. ssi \(\lambda + \rho'\mu = 0\) i.e. \(\lambda = -\rho'\mu\) i.e. \((\lambda, \mu) \parallel (-\rho', 1)\) donc \(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}\) multiple de \(-\rho' s_0 + \tilde{c}\) ou encore (si \(\rho'\) inv.) de \(-s_0 + \frac{\tilde{c}}{\rho'} = -s_0 + c' = \tilde{s}_0\) écrit dans la colonne de gauche, en regard des équivalences précédentes

2) \(n\) impair \(\sigma = 2\sigma'\), \(\rho = \rho'\), \(f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = -\mu\sigma'(2\lambda + \rho'\mu)\)

54A) 2 inv. Alors \(f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = 0\) \(\forall \lambda, \mu\) ssi \(\sigma\) Alors, indépendamment de la parité de \(n\), on peut écrire \(g(\lambda, \mu) = -\sigma\mu(\lambda + \frac{\rho}{2}\mu)\), et les équivalences décrites dans 1°) sont valables, en y remplaçant \(\rho'\) par \(\rho/2\). Les solutions de \(g(\lambda, \mu) = 0\), avec \(\mu\) inv., sont multiples de \((-\frac{\rho}{2}, 1)\) et correspondent à \[ -\frac{\rho}{2} s_0 + \tilde{c} \quad \text{ou encore}\quad \quad (\text{si } \rho \text{ inv. i.e. } \underline{a} \text{ défini}) \] dans la formule précédente, un terme biffé, illisible \[ -s_0 + 2\frac{\tilde{c}}{\rho} = c' - s_0 = \underline{a}\, s_0 \] au-dessus de la phrase biffée, un autre début biffé : « \(g(\lambda, \mu)\) […] id. nul »

B) \(S\) de car. 2

B) \(2 \cdot 1_S = 0\) i.e. \(S\) de car. 2. On trouve alors \(f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c})\) \[ g(\lambda, \mu) = f(\lambda s_0 + \mu\tilde{c}) = \,(\sigma'\rho')\mu^2 \] dans la formule précédente, biffé : « \(-\) » c'est \(\equiv 0\) ssi \(\sigma'\rho' = 0\)

c'est \(\neq 0\) en toute fibre ssi \(\sigma'\rho'\) inv. i.e. \(\sigma'\) et \(\rho'\) inv.

i.e. \(\sigma'\) inv. et \(\underline{a}\) défini (c'est le cas si \((\mathcal{E}, V, f)\) birégulier). […] Cela signifie aussi \(D_0 \not\subset Q_X\) en ch. fibre, et implique que \(D_0\) est tangent à \(Q_X\)

\(\underline{a}\, x = x + c' = x\) \(f(x + c') = f(x) + f(c') + \langle x, \psi(c') \rangle\) […] […] \(\rho = \rho'\) ; […] à gauche, en regard de B) ; la lecture de la première formule est incertaine

Supposons \(n\) pair, \(n = 2m\). On s'intéresse aux systèmes \((X, \tau_{*} = (\tau_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}, s_0)\) […] non dégénérés, et tels que \(\sigma\) \((= \sigma')\) soit inv. [Si on suppose déjà les \(\beta_i\) \((0 \leqslant i \leqslant n-1)\) inv., cela signifie \(f_\varepsilon\) lisse.] Ceci définit donc \((X, Q_X, \tau^X_{*})\), où maintenant les \(\tau_i\) \((0 \leqslant i \leqslant n)\) sont des automorphismes […] involutifs de \((X, Q_X)\). Considérons la restriction : \((C, Q_C, \tau^C_{*})\) — ce dernier alinéa, séparé du précédent par un double trait, est barré de deux longues diagonales ; il est lisible et donné entier. On y lit aussi « Ceci définit donc », biffé à part, et au-dessus de « sont des automorphismes » une insertion : « bien que dégénérés »

Calculs antérieurs

inscrit à l'encre en haut à droite d'un feuillet de garde rose (page 55), qui ne porte rien d'autre ; ces mots sont de sa main et donnent sans doute le titre des feuillets qui suivent

56\[ \begin{array}{ll} V & a_0 \quad a_1 \ \cdots\ a_{n-1} \quad a_n \\ V' & a'_0 \quad a'_1 \ \cdots\ a'_n \end{array} \qquad a'_0 \text{ défini } -2a^{*}_0 + \beta_0 a^{*}_1 \] entre les deux lignes, des traits obliques marqués « 1 » joignent chaque \(a_i\) au \(a'\) voisin

à gauche, une petite matrice biffée de traits ondulés ; puis une matrice écrite en esquisse, dont on lit la première ligne \(1, 0, 0, \ldots, 0, 0, -2\) (le \(-2\) sur un \(1\)), la dernière colonne \(-2, \beta_0, 0, \ldots\), la première colonne \(1, -2, \beta_1, 0, \ldots, 0\), la deuxième \(0, 1, -2, \beta_2, 0, \ldots\), et en bas à droite les entrées \(1, -\beta_{n-1}\) (surchargé), \(\beta_{n-2}, -2\) ; elle n'est pas recomposée

\begin{tikzcd}
V \arrow[r] \arrow[rr, bend left=30, "f"] & V' \arrow[r, "c_i"'] & \check{V}
\end{tikzcd}

la flèche courbe \(f\) va de \(V\) à \(\check{V}\) au-dessus des deux autres ; au-dessus de \(V'\), « \(\psi\) » et un signe illisible. L'étiquette \(c_i\) est sous la seconde flèche

\[ a_i \longmapsto (\beta_0 \cdots \beta_{i-1})\, a'_i \longmapsto c_i\,(a^{*}_{i-1} - 2a^{*}_i + \beta_i a^{*}_{i+1}) \] \[ a_1 \longmapsto c_1(a^{*}_0 - 2a^{*}_1 + \beta_1 a^{*}_2) \] \[ a_2 \longmapsto c_2(a^{*}_1 - \] les deux signes moins devant \(2a^{*}\) sont écrits sur des taches ; la ligne de \(a_2\) s'arrête là

À droite : \[ \begin{cases} a_0 \longmapsto a'_0 \\ a_1 \longmapsto \beta_0 a'_1 \\ a_n \longmapsto (\beta_0 \cdots \beta_{n-1})\, a'_n \end{cases} \qquad \beta_0^{n} \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1} \] les exposants de \(\beta_0\) et \(\beta_1\) sont écrits sur d'autres, biffés

\[ \det \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \beta_0 & -2 & 1 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & \beta_1 & -2 & 1 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta_2 & -2 & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \beta_3 & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & & & & \ddots & 1 & 0 \\ & & & & & -2 & 1 \\ 0 & & & & & \beta_{n-1} & -2 \end{pmatrix} = L_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) = \rho \] matrice d'ordre \(n+1\). Par la récurrence de la page 51, son déterminant est \((-1)^{n+1} \rho\) ; l'égalité écrite omet ce signe, qui vaut \(1\) pour \(n\) impair. En bas à gauche, une petite marque hachurée

57toute la page est barrée d'une grande croix (deux longues diagonales), et une troisième diagonale fine la traverse ; elle est lisible pour l'essentiel et donnée ici

en haut à gauche, trois droites : \(H_0\) et \(H_1\), et une troisième qui les coupe ; un point \(h_0\) sur celle-ci, un point \(h_1\) à l'intersection de \(H_0\) et de cette droite

\(h_0 \notin H_1 \qquad \alpha = -2\)

\(h_0\) — \(H_0\) « \(h_0\) » et « \(H_0\) » sont reliés par un trait qui les barre

\(h_i \in \struck{\ill{}}\ L\) (dernier) \(h_j \notin L\) si \(j > i\) donc \(L \subset H_j\) si \(j > i\) \[ \] dans la formule précédente, biffé : « \(L \subset \underbrace{H_{i+1} \cap H_{i+2} \cap \cdots \cap H_{n-1}}_{Z}\) »

\(h_0 \ h_1 \ h_2\) \(H_0 \ H_1 \ H_2\) pts invariants […] \(X\)

Variétés invariantes a) Contenues dans aucun des \(H_i\) : \(X\) doit contenir les \(h_i\), c'est \(X\)

b) Contenues dans […] un et un seul des \(H_i\).

1) Contenue dans \(H_0\), pas \(H_1\), \(H_2\), donc contient \(h_1\), \(h_2\) ; il faut donc \(\underline{h_1, h_2 \in H_0}\) i.e. \(\boxed{\beta_0 = 0}\) ; on trouve […] \(\mathrm{dr}(h_1, h_2)\) [\(2, \beta_1\) […] mais les […] plus nuls […] \(Z \subset H_1\)] à droite du crochet, un mot entouré, illisible

2) Contenue dans \(H_1\), pas dans \(H_0\), \(H_2\) […].

\(Z \subset H_i \Longrightarrow Z \subset H_{j-1}\) ou encore, car si \(Z \not\subset H_{j-1}\), … \(Z \ni h_{j-1}\) donc \(h_{i-1} \in H_i\), absurde

\(\displaystyle Z \subset \underbrace{H_0 \cap \cdots \cap H_i}_{\dim\, n+1-(i+1) = n-i}\) \(Z \ni h_i \Longrightarrow Z \not\ni h_{i+1}\) (sinon \(Z \subset H_{i+1}\), d'où \(h_i\) […])

\(\cup\) \(V(h_{i+1}, \ldots, h_{n-1})\) \(\dim\, (n-i) - 1 = n-i-1\) dans cette dernière ligne, deux chiffres sont écrits sur d'autres

58demi-feuillet, au crayon

\(\langle s_0, a'_0 \rangle\) \(s_i, a_i\) \(\rho_{ij} = \rho'_{ji}\)

\[ \langle a_i, a'_j \rangle = \begin{cases} 0 & \text{si } j \neq i-1, i, i+1 \\ 1 & \text{si } j = i+1 \\ \mu_i = \lambda_i - 1 & \text{si } j = i \\ \beta_j & \text{si } j = i-1 \end{cases} \] même table qu'à la page 47, où \(\beta_j = 1 - \lambda_j + \alpha_j\)

À droite : \[ \underbrace{\begin{array}{cccc} b_0 & b_1 & b_n & b_{n+1} \\ \Vert & \Vert & \vert & \Vert \\ a'_0 & a'_1 & b'_n & a'_{n+1} \end{array}} \]

deux rangées de sommets : en haut \(a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n\) (une accolade \(V\) au-dessus de \(a_0, \ldots, a_n\) ; un astérisque sur \(a_1\)), en bas \(a'_0, a'_1, a'_2, \ldots, a'_{n-1}, a'_n, a'_{n+1}\) ; chaque \(a_i\) est joint verticalement à \(a'_i\) par un trait marqué \(\lambda_i - 1\) (\(\lambda_0 - 1, \lambda_1 - 1, \lambda_2 - 1, \ldots, \lambda_{n-1} - 1, \lambda_n - 1\)), et en diagonale à \(a'_{i+1}\) par un trait marqué \(1\) (de \(a_{-1}\) à \(a'_0\), …, de \(a_n\) à \(a'_{n+1}\)) ; une accolade sous \(a'_0, \ldots, a'_n\), prolongée d'un trait ondulé jusqu'à \(a'_{n+1}\), avec un mot biffé

au-dessous, la même rangée \(a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, a_n\) et, décalée, \(a'_0\), \(a'_1\), …, \(a'_{n-1}\), \(a'_n\), \(a'_{n+1}\) ; seuls sont tracés les traits montant de \(a'_i\) à \(a_{i+1}\), marqués \(\beta_0\), \(\beta_1\), …, \(\beta_{n-1}\) ; un signe biffé après \(a'_n\)

\[ \mathcal{E} \supset V \qquad \mathcal{E}' \supset V' \qquad \underline{\mathcal{O}_S} \to \mathcal{E} \to \underline{\mathcal{O}_S} \] \[ V \simeq \underline{\mathcal{O}_S}^{\,n+1} \qquad b_0 \ b_1 \ \text{---}\ b_{n+2} \] \[ V' \simeq \underline{\mathcal{O}_S}^{\,n+1} \qquad b' \ \text{---}\ b'_0 \] l'exposant de la dernière ligne est d'une lecture incertaine (\(n+1\) ou \(n-1\))

60\[ 0 \leqslant i \leqslant j \leqslant n-1 \qquad \rho_{ij} = L_{j-i+2}(\beta_i, \beta_{i+1}, \ldots, \beta_j) = L_{j-i+1}(\beta_j, \beta_{j-1}, \ldots, \beta_i) \] « \(i \leqslant j\) » est écrit sur « \(i < j\) ». L'indice du second \(L\) se lit \(j - i + 1\) ; la symétrie de \(L\) (page 49) demande le même indice \(j - i + 2\) des deux côtés. En haut à droite, un début biffé : « \(\tilde{\rho}_{ij} =\) […] »

\[ \rho = \rho_{0,n-1}, \quad \sigma = \rho_{1,n-1}, \quad \sigma' = \rho_{0,n-2}, \quad \gamma = \rho_{1,n-2} \] les accents de cette ligne ne sont pas ceux de la page 52 : ici \(\sigma'\) est \(\rho_{0,n-2}\). La lettre notée \(\gamma\) pourrait être un \(\nu\)

On pose aussi \(\rho_{i,i-1} = 2\), \(\rho_{i,i-2} = 1\) \(\rho'_{ji} = \rho_{ij}\) \((j \geqslant i)\) les indices de \(\rho'_{ji}\) et \(\rho_{ij}\) sont écrits sur d'autres

\[ \boxed{a^{*}_i = a'_{i+1} + 2a'_{i+2} + \cdots + \rho_{i+1,i+j}\, a'_{i+j+2} + \cdots + \rho_{i+1,n-1}\, a'_{n+1}} \qquad -1 \leqslant i \leqslant n \]

\(a^{*}_j =\) en particulier pour \(i = -1\), \(i = 0\) \[ \begin{cases} a^{*}_{-1} = \pi' = a'_0 + 2a'_1 + \overbrace{\rho_{0,0}}^{4 - \beta_0 = 2 - \alpha_0} a'_2 + \rho_{0,1} a'_3 + \cdots + \overbrace{\rho_{0,n-2}}^{\sigma'} a'_n + \overbrace{\rho_{0,n-1}}^{\rho} a'_{n+1} \\ a^{*}_0 = -\psi(a_{-1}) = -\psi(s_0) = a'_1 + 2a'_2 + \rho_{1,1} a'_3 + \cdots + \overbrace{\rho_{1,n-2}}^{\gamma} a'_n + \overbrace{\rho_{1,n-1}}^{\sigma} a'_{n+1} \\ \bigl[\, a^{*}_1 = a'_2 + 2a'_3 + \rho_{2,2} a'_3 + \cdots + \rho_{2,n-2} a'_n + \rho_{2,n-1} a'_{n+1} \\ \cdots \\ a^{*}_{n-2} = a'_{n-1} + 2a'_n + \underbrace{\rho_{n-1,n-1}}_{4 - \beta_{n-1} = 2 - \alpha_{n-1}} a'_{n+1} \\ a^{*}_{n-1} = a'_n + 2a'_{n+1} \\ a^{*}_n = a'_{n+1} \end{cases} \] dans la ligne de \(a^{*}_1\) on lit « \(\rho_{2,2}\, a'_3\) », où la formule encadrée donne \(\rho_{2,2}\, a'_4\) ; l'indice de \(a^{*}_{n-2}\) est écrit sur un autre. Un long trait relie ce bloc à la formule encadrée

\[ \tilde{\rho}_{ij} = \begin{cases} \rho_{ij} & \text{si } j - i \text{ pair} \\ \frac{1}{2} \rho_{ij} & \text{si } j - i \text{ impair} \end{cases} \] formule entourée ; les mots « pair » et « impair » sont écrits sur d'autres, biffés

Dualement \[ \boxed{a'^{*}_j = a_{j-1} + 2a_{j-2} + \rho'_{j-2,j-2}\, a_{j-3} + \cdots + \rho'_{j-2,j-i}\, a_{j-i-1} + \cdots + \rho'_{j-2,0}\, a_{-1}} \] de petits astérisques paraissent sur les \(a\) du second membre ; les indices du terme général sont surchargés et d'une lecture incertaine

\[ \begin{cases} a'^{*}_{n+1} = \pi = a_n + 2a_{n-1} + \underbrace{\rho'_{n-1,n-1}}_{4 - \beta_{n-1} = 2 - \alpha_{n-1}} a_{n-2} + \cdots + \overbrace{\rho'_{n-1,1}}^{\sigma} a_0 + \overbrace{\rho'_{n-1,0}}^{\rho} a_{-1} \\ a'^{*}_n = -\psi'(a'_{n+1}) = a_{n-1} + 2a_{n-2} + \underbrace{\rho'_{n-2,n-2}}_{4 - \beta_{n-2} = 2 - \alpha_{n-2}} a_{n-3} + \cdots + \overbrace{\rho'_{n-2,1}}^{\gamma} a_0 + \overbrace{\rho'_{n-2,0}}^{\sigma'} a_{-1} \\ \cdots \\ a'^{*}_2 = a_1 + 2a_2 + \underbrace{\rho'_{0,0}}_{4 - \beta_0 = 2 - \alpha_0} a_{-1} \\ a'^{*}_1 = a_0 + 2a_{-1} \\ a'^{*}_0 = a_{-1} \end{cases} \] \[ \boxed{\langle \pi, \pi' \rangle = \rho} \] dans la ligne de \(a'^{*}_2\) on lit « \(2a_2\) », là où la formule encadrée donne \(2a_0\)

\[ \begin{cases} \psi(a_i) = -(\beta_0 \cdots \beta_{i-1})\, a'_i & 0 \leqslant i \leqslant n \\ \psi(a_{-1}) = -a^{*}_0 = -\bigl[a'_1 + 2a'_2 + \rho_{11} a'_3 + \cdots + \overbrace{\rho_{1,n-2}}^{\gamma} a'_n + \overbrace{\rho_{1,n-1}}^{\sigma} a'_{n+1}\bigr] \\ f(a_i) = \beta_0 \cdots \beta_{i-1} & 0 \leqslant i \leqslant n \\ \qquad f(a_0) = 1,\ f(a_1) = \beta_0, \ldots, f(a_n) = \beta_0 \cdots \beta_{n-1} = \beta \\ f(a_{-1}) = 0 \qquad \varphi(a_i, a_{i+1}) = -\beta_0 \cdots \beta_i & 0 \leqslant i \leqslant n-1 \\ \psi'(\pi) = -\sigma\pi' \qquad f(\pi) = -\tilde{\sigma}\tilde{\rho} & (0 \end{cases} \] dans \(\varphi(a_i, a_{i+1})\), un exposant est biffé sur \(\beta_0\) ; la dernière ligne s'interrompt sur « (0 »