Cote n° 72 · pages 1–112 · Lecture modernisée · Polyèdres réguliers et hyperpolyèdres réguliers (Calculs en dimension quelconque) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Un kaléidoscope fabrique, avec deux ou trois miroirs et un seul objet, une figure parfaitement symétrique. Les polyèdres réguliers — le cube, l'icosaèdre, et leurs analogues en dimension quelconque — s'obtiennent de la même façon : on part d'un sommet, on applique des réflexions dans un petit nombre de miroirs, et les images successives du sommet sont tous les sommets. Le dossier traite cette fabrication comme un problème d'algèbre linéaire, et le traite en grand : les miroirs ne vivent plus dans l'espace usuel mais au-dessus d'une base quelconque, comme si chaque coefficient était une fonction et non un nombre, de sorte qu'on voit d'un coup tous les polyèdres réguliers d'un même type et la façon dont ils dégénèrent les uns dans les autres.

La donnée de départ est minimale : \(n + 1\) réflexions \(\tau_0, \ldots, \tau_n\), dont deux commutent dès qu'elles ne sont pas voisines dans la liste, et un point de départ. Le résultat central est qu'une telle configuration, pourvu qu'elle ne soit pas dégénérée, est décrite exactement par une poignée de nombres : pour chaque paire de miroirs voisins, un nombre \(\beta_i\) qui mesure leur angle — pour un cube, \(2\) et \(1\), parce que les faces sont des carrés et que trois faces se rencontrent en chaque sommet. Tout le reste en découle par des formules explicites : la forme quadratique invariante, qui est la distance euclidienne ; le centre du polyèdre ; la sphère circonscrite et son rayon ; le polyèdre dual ; le déterminant de la forme. Ces formules sont des polynômes d'un type que les algébristes du dix-huitième siècle connaissaient déjà, les continuants, déterminants des matrices qui n'ont de coefficients que sur trois diagonales.

Un de ces nombres, \(\rho\), joue un rôle à part : il dit si le centre est à distance finie. Quand \(\rho\) s'annule, le centre part à l'infini, le polyèdre devient un pavage du plan ou de l'espace — le carrelage en carrés, le pavage en hexagones —, et le groupe des symétries qui fixent la figure « à l'infini » passe d'un groupe de rotations-homothéties à un groupe de translations. Le dossier suit cette dégénérescence pas à pas, ainsi que celles qui n'ont lieu qu'en caractéristique \(2\), où la symétrie par rapport au centre — l'« antipodisme » — peut devenir l'identité.

Les dernières pages passent de la géométrie à la topologie : la forme invariante a des invariants cohomologiques, ses classes de Stiefel-Whitney, et il les calcule, avec une erreur que ses propres pages permettent de corriger. Pour les polyèdres de l'espace, la question devient : la conique invariante est-elle une vraie droite projective tordue, et la réponse est une classe de Brauer.

Le dossier n'est pas rédigé ; il est fait de calculs, de recommencements et de quelques énoncés nets — un théorème sur les sous-espaces invariants, un théorème de structure pour les familles de pseudo-réflexions. Les noms modernes à chercher sont ceux des polytopes réguliers abstraits, des groupes de Coxeter « en chaîne » et de leurs représentations par réflexions, des continuants, des sphères circonscrites, et des invariants des formes quadratiques.

Keywords — abstract regular polytope, Schläfli symbol, string Coxeter group, reflection representation, Tits representation, linear Coxeter group, pseudo-reflection, generalized Cartan matrix, Gram matrix, continuant, Desnanot-Jacobi identity, Schläfli determinant, circumscribed sphere, midsphere, dual polytope, antipodal map, unitary reflection group, group scheme deforming Gm to Ga, torsor of flags, invariant subspace, half-discriminant, Stiefel-Whitney class, Hasse-Witt invariant, Clifford invariant, Brauer class, conic bundle, Steinberg relation

2–112

Le fil du dossier, et les conventions

Les feuillets

Le dossier compte cent douze pages, sans pagination de sa main ; il numérote seulement ses formules et ses conditions, par séries. Onze feuillets de garde portent un titre de sa main en haut à droite et rien d'autre (pages 1, 26, 31, 36, 43, 55, 71, 78, 83, 95, 106) ; leurs titres sont repris ici comme titres de sections. La page 21 est une garde blanche. Les pages 59, 61, 63, 65, 67 et 69 sont des pièces dactylographiées de l'université de Montpellier — des avis de soutenance de juin et juillet 1978, un recueil de décisions du Conseil de l'Université de mai 1978 —, sans rien de sa main ; elles s'accordent avec la datation « à partir de 1978 » et n'en disent pas plus. La page 30 n'a pas de marque dans la transcription, et l'en-tête de celle-ci n'en rend pas compte ; cette lecture ne peut pas dire ce qu'elle porte.

Les stations

L'ordre des feuillets est celui des archivistes. Logiquement, les pages 84 à 105 viennent d'abord : elles posent ce que les autres calculent. On les cite comme telles.

Conventions, valables pour tout le dossier

La donnée. \(S\) est un schéma de base et \(n \geqslant 1\) un entier. \(\mathfrak{G}_n\) est le groupe engendré par \(\tau_0, \ldots, \tau_n\) soumis aux seules relations \(\tau_i\tau_j = \tau_j\tau_i\) pour \(i, j\) non consécutifs ; ajouter \(\tau_i^2 = 1\) donne le groupe de Coxeter « en chaîne » dont tous les ordres \(\tau_i\tau_{i+1}\) sont libres, groupe d'automorphismes du polytope régulier universel de rang \(n+1\)1 . L'indice \(n\) est celui des \(n\)-cartes du dossier 76 : la carte est de dimension \(n\), le polytope convexe qui la borde de dimension \(n+1\) ; pour les polyèdres de l'espace usuel, \(n = 2\).

\(\mathcal{E}\) (on écrit \(E\) quand rien n'est ambigu) est un fibré vectoriel de rang \(n+2\) sur \(S\), \(\pi \in E^\vee\) une forme linéaire partout non nulle, \(V = \operatorname{Ker} \pi\) de rang \(n+1\). \(X = \mathbb{P}(E)\) est le fibré projectif dont les points sont les droites de \(E\)2 , \(C = \mathbb{P}(V) \subset X\) l'hyperplan à l'infini, \(X \smallsetminus C\) le fibré affine des \(x\) tels que \(\pi(x) = 1\). Une pseudo-réflexion de \(E\) s'écrit \[ \tau = \mathrm{id} + a' \otimes a, \qquad \tau(x) = x + \langle x, a' \rangle\, a , \] avec \(a \in E\), \(a' \in E^\vee\) ; son centre est \(h = \) la droite de \(a\), son cocentre l'hyperplan \(H = \operatorname{Ker} a'\), sa valeur propre \(\lambda = 1 + \langle a, a' \rangle\) (inversible). C'est une réflexion quand \(\lambda = -1\).

Les vecteurs. Le point de départ est \(s_0 \in E\), \(\pi(s_0) = 1\) ; on pose \(s_{i+1} = \tau_i s_i\), \(a_i = s_{i+1} - s_i\) (\(0 \leqslant i \leqslant n\)), \(a_{-1} = s_0\) ; on normalise \(\tau_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i\). Les accouplements sont \[ \langle a_{i-1}, a'_i \rangle = 1, \qquad \langle a_i, a'_i \rangle = \lambda_i - 1 = \mu_i, \qquad \langle a_{i+1}, a'_i \rangle = \beta_i, \qquad \langle a_j, a'_i \rangle = 0 \ \text{sinon}, \] et l'on pose \(\alpha_i = \beta_i - 2\). Dans le cas des réflexions (\(\lambda_i = -1\)), \(\alpha_i\) est la trace de la « rotation » \(\tau_i\tau_{i+1}\) sur le plan qu'elle fait tourner, et, dans le cas euclidien, si \(\tau_i\tau_{i+1}\) est d'ordre \(p\), \[ \beta_i = 4\cos^2\frac{\pi}{p}, \qquad \alpha_i = 2\cos\frac{2\pi}{p}. \] Pour le cube, de symbole de Schläfli \(\{4, 3\}\), \((\beta_0, \beta_1) = (2, 1)\)3 .

Les continuants. Pour \(k \geqslant 0\), \(L_k(B_1, \ldots, B_{k-1})\) est le déterminant d'ordre \(k\) de la matrice tridiagonale de diagonale \(2\) dont les coefficients sous- et sur-diagonaux ont pour produits \(B_1, \ldots, B_{k-1}\) : \[ L_0 = 1, \quad L_1 = 2, \quad L_2(B_1) = 4 - B_1, \quad L_k(B_1, \ldots, B_{k-1}) = 2L_{k-1}(B_2, \ldots) - B_1 L_{k-2}(B_3, \ldots). \] \(L_k\) est symétrique (\(L_k(B_1, \ldots, B_{k-1}) = L_k(B_{k-1}, \ldots, B_1)\)), pair pour \(k\) impair, et l'on note \(L'_k = L_k\) si \(k\) est pair, \(L_k/2\) si \(k\) est impair. On pose \(\rho_{ij} = L_{j-i+2}(\beta_i, \ldots, \beta_j)\) (avec \(\rho_{i,i-1} = 2\), \(\rho_{i,i-2} = 1\)) et, pour tout le dossier, \[ \rho = L_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) = \rho_{0,n-1}, \qquad \sigma = L_n(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}) = \rho_{1,n-1}, \] \(\tilde\rho = L'_{n+1}(\ldots)\), \(\tilde\sigma = L'_n(\ldots)\) : l'un des deux seulement est divisé par \(2\), de sorte que \(\rho\sigma = 2\tilde\rho\tilde\sigma\) toujours, \(\rho = 2\tilde\rho\), \(\sigma = \tilde\sigma\) si \(n\) est pair, \(\rho = \tilde\rho\), \(\sigma = 2\tilde\sigma\) si \(n\) est impair. Enfin \(\beta = \beta_0 \cdots \beta_{n-1}\), \(B = \beta_0^n \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1}\), \(\sigma^\vee = L_n(\beta_0, \ldots, \beta_{n-2}) = \rho_{0,n-2}\) et \(\gamma = L_{n-1}(\beta_1, \ldots, \beta_{n-2}) = \rho_{1,n-2}\)4 .

Le centre. Le vecteur \(\tilde c \in E\) est l'unique vecteur annulé par tous les \(a'_i\) dont la coordonnée sur \(a_n\) vaut \(1\) ; on montrera (pages 47 et 51) que \(\pi(\tilde c) = \rho\). Le centre du polytope est le point \(c\) de \(X\) qu'il définit ; il est à distance finie si et seulement si \(\rho\) est inversible, et alors \(c = \tilde c/\rho\) dans l'espace affine ; on pose \(c' = 2c\)5 .

La forme. \(f\) est une forme quadratique, \(\varphi(x, y) = f(x+y) - f(x) - f(y)\) sa forme polaire, \(\psi \colon E \to E^\vee\), \(x \mapsto \varphi(x, \cdot)\). On note \(f_V\) la forme invariante sur \(V\) normalisée par \(f_V(a_0) = 1\), \(f_E\) son extension à \(E\) normalisée par \(f_E(s_0) = 0\), et \(c_i = f(a_i)\)6 .

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Les pages 84 à 105 donnent la raison pour laquelle le reste du dossier peut calculer comme il le fait. Le théorème des pages 96 à 100, appliqué dans les « coordonnées universelles » de la page 91, montre qu'une réalisation projective non dégénérée et épinglée est rigide et entièrement déterminée par ses \(2n+1\) invariants \((\lambda_0, \beta_0, \lambda_1, \ldots, \beta_{n-1}, \lambda_n)\), les \(\lambda_i\) inversibles et les \(\beta_i\) quelconques — c'est l'affirmation, sans démonstration, de la note de marge de la page 13. Le groupe \(\mathcal{U}_\rho\) des pages 37 à 39 et le groupe \(\underline{\mathrm{Aut}}(D_0, c + d)\) des pages 87 et 88 sont le même objet vu deux fois : le second est le groupe des automorphismes du système des \(\tau_i\), le premier en est la description explicite, et la dégénérescence de \(\mathbb{G}_m\) en \(\mathbb{G}_a\) y est le passage du centre à l'infini, \(\rho \to 0\). La reconnaissance du symbole de Schläfli dans les \(\beta_i\), et celle de \(\rho\) comme un multiple du déterminant de Schläfli, sont de cette lecture.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

La proposition marquée « ?? » de la page 33, et sa suite de la page 34 ; le « Théorème » de la page 38, énoncé sans preuve ; l'équivalence de catégories de la page 76, énoncée sans preuve ; l'indépendance des dix classes de la page 111 et le « Problème » de la page 112 ; la fin des pages 25, 70 et 82.

2–4

I. Le dictionnaire (pages 1 à 4)

La garde porte : « \(n\)-polyèdres réguliers et représentations de \(\mathfrak{G}_n\) dans \(\mathrm{O}(n+1)\) (dictionnaire) »7 . Le dictionnaire est une liste de catégories, toutes équivalentes, qui décrivent la même chose — les réalisations géométriques régulières non dégénérées du polytope universel épinglé \(\Pi\) — en mettant l'accent sur des structures différentes :

Il note lesquelles sont autoduales (les projectives et vectorielles) et lesquelles ne le sont pas « sauf si \(\rho\) inversible » (les données à l'infini). La chaîne des équivalences s'écrit \[ C_{\mathrm{pr}} \simeq C'_{\mathrm{pr}} \simeq C_{\mathrm{aff}} \simeq C'_{\mathrm{aff}} \simeq C_{\mathrm{vect}} \simeq C'_{\mathrm{vect}} \simeq C^\infty_{\mathrm{pr}} \simeq C^\infty_{\mathrm{vect}} \simeq C^\infty_{\mathrm{pr.orth}} \simeq C^\infty_{\mathrm{vect.orth}}, \] où le passage aux données à l'infini demande \(n \geqslant 2\), et le passage aux données orthogonales que les \(\tau_i\) soient des réflexions (\(\lambda_i = -1\))8 .

Trois remarques l'accompagnent. Les catégories \(C\) proviennent par rigidification de catégories \(\widetilde{C}\) de représentations projectives de \(\mathfrak{G}_n\) « sans plus » : rigidifier, c'est se donner le point de départ (ou une base de la droite \(L\) commune aux isomorphismes \(L_0 \simeq L_1^\vee \simeq L_1 \simeq \cdots \simeq L_n\)), ce qui tue le groupe \(\mathbb{G}_m\) des automorphismes. Dans la variante affine, \(\tau_0\) n'est plus forcément une pseudo-réflexion affine, mais son prolongement projectif l'est, son hyperplan pouvant être l'hyperplan à l'infini. Dans le cas orthogonal, si \(\tau_i\) et \(\tau_{i+1}\) sont des réflexions orthogonales strictes, la condition \(h_i \notin H_{i+1}\) équivaut à ce que \(\tau_i\) et \(\tau_{i+1}\) ne commutent sur aucune fibre, c'est-à-dire à \((\tau_i\tau_{i+1})^2 \neq \mathrm{id}\) sur chaque fibre. Dans \(C^\infty_{\mathrm{vect.orth}}\) la rigidification \(f(a_0) = 1\) n'est définie qu'au signe près : les sections possibles forment un torseur sous \(\mu_2\).

5–9

II. Noyaux et antipodisme, premier état (pages 5 à 9)

Soit \(G_0\) l'image de \(\mathfrak{G}_n\) dans le groupe des automorphismes de \((E, f, \pi, \tilde c)\). Il cherche les noyaux des flèches \[ \operatorname{Aut}(E, f, \pi, \tilde c) \longrightarrow \operatorname{Aut}(X), \quad \operatorname{GL}(V), \quad \operatorname{PGL}(V) = \operatorname{Aut}(C). \]

Vers \(\operatorname{Aut}(X)\). Le noyau de \(\operatorname{Aut}(E, f) \to \operatorname{Aut}(X)\) est formé des homothéties qui conservent \(f\), soit \(\mu_2\) ; une homothétie qui fixe en plus \(\tilde c\) (ou \(\pi\)) est l'identité. Donc \(G_0\) opère fidèlement sur \(X\).

Vers \(\operatorname{GL}(V)\). Un automorphisme qui est l'identité sur \(V\) s'écrit \(u = \mathrm{id} + \pi \otimes a\), \(u(x) = x + \pi(x)\, a\). Il conserve \(\pi\) si et seulement si \(\pi(a) = 0\), et fixe \(\tilde c\) si et seulement si \(\rho a = 0\) ; si \(\rho\) n'est pas diviseur de zéro, \(u = \mathrm{id}\). La Proposition de la page 6 traite le reste : sur un anneau intègre, la seule exception est celle où l'antipodisme (section VI) fixe \(\tilde c\). Or l'antipodisme \(u = \mathrm{id} - 2\pi \otimes c\) est l'identité sur \(V\) et envoie \(\tilde c\) sur \(-\tilde c\) ; il fixe donc \(\tilde c\) exactement en caractéristique \(2\), et il n'y est pas l'identité exactement quand \(n\) est pair — ce sont les conditions « \(n\) pair, car. \(2\), \(\tilde\rho\) inversible » de l'énoncé9 .

Vers \(\operatorname{PGL}(V)\). Un automorphisme qui induit l'identité sur \(C = \mathbb{P}(V)\) induit sur \(V\) une homothétie \(\varepsilon\) qui conserve \(f|_V\), donc \(\varepsilon \in \mu_2\), et \(\varepsilon u\) est du cas précédent. Sur un corps, \(\varepsilon = 1\) ramène au cas déjà traité ; \(\varepsilon = -1 \neq 1\) (caractéristique \(\neq 2\)) force \(\rho a = 2\tilde c\), donc \(\rho\) inversible et \(\varepsilon u = -\mathrm{id} + \pi \otimes (2/\rho)\tilde c = -\mathrm{id} + \pi \otimes c'\) : c'est l'antipodisme, dont on vérifie qu'il conserve \(f\), \(\pi\) et la droite de \(\tilde c\). D'où la Proposition des pages 8 et 9 : sur un corps, sous l'hypothèse « \(\beta\) ou \(\rho\) inversible » de la page — où \(\beta\) mesure la non-dégénérescence de \(f|_V\) —, le seul automorphisme non trivial de \((E, f, \pi, \pm\tilde c)\) qui induise l'identité sur \(C\) est l'antipodisme, défini dès que \(\tilde\rho\) est inversible, par \[ u = \mathrm{id} - \frac{1}{\tilde\rho}\, \pi \otimes \tilde c \quad (n \text{ pair}), \qquad u = \mathrm{id} - \frac{2}{\rho}\, \pi \otimes \tilde c \quad (n \text{ impair}), \] le second étant l'identité en caractéristique \(2\)10 . Projectivement, \(u\) est la symétrie \(x \mapsto 2c - x\) par rapport au centre.

10–12

III. Dualité et torsion (pages 10 à 12)

Dualité (page 10). Si \(\rho\) est inversible, l'accouplement naturel entre \(V\) et le \(V'\) du système dual est parfait, donc \(C\) et \(C'\) sont en dualité. Si de plus \(f|_V\) est non dégénérée, \(\psi_V \colon V \simeq V'\) donne un isomorphisme \(C \simeq C'\) qui commute à \(\mathfrak{G}_n\) et transforme \(Q_C\) en \(Q_{C'}\). Le passage au polytope dual s'exprime alors, dans \(C^\infty_{\mathrm{pr.orth}}\), par la conservation de \((C, Q_C)\) et le renversement \(\tau_i \mapsto \tau_{n-i}\), c'est-à-dire en composant \(\varphi^C\) avec l'automorphisme \(\theta\) de \(\mathfrak{G}_n\) qui échange \(\tau_i\) et \(\tau_{n-i}\) ; il n'y a plus besoin de point de départ rigidifié puisque \(\beta_0\) et \(\beta_{n-1}\) sont inversibles11 . C'est la dualité polaire des polytopes convexes (dossier 87), lue sur les réflexions.

Torsion (pages 11 et 12). Soit maintenant \(\Pi\) un polytope régulier combinatoire de dimension \(n\), \(G\) son groupe d'automorphismes et \(R_\Pi\) le torseur de ses repères (ses drapeaux) ; le commutant de \(G\) dans les permutations de \(R_\Pi\) est un quotient \(\mathfrak{G}_\Pi\) de \(\mathfrak{G}_n\). Chaque repère \(r\) donne un objet de \(C_{\mathrm{pr}}\), et ces objets sont reliés par un système transitif d'isomorphismes ; donc les réalisations de \(\Pi\) forment la sous-catégorie pleine de \(C_{\mathrm{pr}}\) des objets dont la représentation se factorise par \(\mathfrak{G}_\Pi\). On retrouve la réalisation de \(\Pi\) par le produit contracté \[ R_\Pi \wedge^{\mathfrak{G}_\Pi} X , \] \(\mathfrak{G}_\Pi\) opérant à droite sur \(R_\Pi\)12 . Autre point de vue : on se donne seulement le quotient \(\mathfrak{G}_0\) de \(\mathfrak{G}_n\) correspondant à un polytope régulier épinglé \(\Pi_0\) ; un polytope régulier combinatoire « de type \(\mathfrak{G}_0\) » sur \(S\) est un tordu de \(\Pi_0\) par un torseur sous \(\mathfrak{G}_0\), et la catégorie de ses réalisations projectives est équivalente au produit de la catégorie des réalisations de type \(\mathfrak{G}_0\) par celle des \(\mathfrak{G}_0\)-torseurs13 .

13–18

IV. Nouveau départ : les catégories \(C_0\) à \(C'''_0\) et la forme invariante (pages 13 à 18)

\(C_0\) (page 13) est le groupoïde des réalisations projectives non dégénérées : triples \((X, (\tau_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}, s_0)\), \(X\) fibré projectif de dimension relative \(n+1\), \(\tau_i\) pseudo-réflexions strictes de centres \(h_i\) et cocentres \(H_i\), \(s_0\) une section, avec

  1. 1)les \(h_i\) linéairement indépendants sur chaque fibre (ils engendrent donc un hyperplan \(C\)) ;
  2. 1')les \(H_i\) indépendants sur chaque fibre (leur intersection est donc une section \(c\)) ;
  3. 2)\(\tau_i\tau_j = \tau_j\tau_i\) pour \(i, j\) non consécutifs ;
  4. 3)\(h_i \notin H_{i+1}\) sur chaque fibre (\(0 \leqslant i \leqslant n-1\)) ;
  5. 4)\(s_0 \in H_i\) pour \(1 \leqslant i \leqslant n\) ;
  6. 5)\(s_0 \notin H_0\) sur chaque fibre.

Il note que 1') suit des autres conditions en présence de \(s_0\), mais qu'il faut l'imposer sans lui. Et, en marge : \(C_0\) est une catégorie rigide, dont les classes d'isomorphie correspondent aux suites \((\lambda_0, \alpha_0, \lambda_1, \ldots, \alpha_{n-1}, \lambda_n)\) de sections de \(\mathcal{O}_S\)14 .

\(C'_0\) (pages 13 et 14) est la catégorie des triples \((V, \varphi^V, a_0)\) : \(V\) fibré vectoriel de rang \(n+1\), \(\varphi^V \colon \mathfrak{G}_n \to \operatorname{GL}(V)\), \(a_0\) une section partout non nulle, avec : 1) \(\tau_i^V\) est une pseudo-réflexion, stricte pour \(i \geqslant 1\), de centre \(\mathcal{O}_S a_0\) pour \(i = 0\) ; d'où des droites \(L_i \subset V\), \(L'_i \subset V^\vee\) ; 2) \(V = \bigoplus L_i\) ; 4) \(L_i \not\subset H_{i+1}\) sur chaque fibre, c'est-à-dire \(L_i \otimes L'_{i+1} \simeq \mathcal{O}_S\) par l'accouplement. De 1), \(L'_i \otimes L_i \simeq \mathcal{O}_S\) (\(\tau_i - \mathrm{id} \mapsto 1\)), donc \(L'_i \simeq L_i^\vee\), et de proche en proche \[ L_0 \simeq L_1 \simeq \cdots \simeq L_n =: L, \qquad V \simeq L \otimes \mathcal{O}_S^{n+1}, \] de sorte que \(V\) a une base canonique \((a_0, \ldots, a_n)\) déterminée par \(a_0\), avec \(\tau_i = \mathrm{id} + a_i^\vee \otimes a_i\) et \(\langle a_i, a_{i+1}^\vee \rangle = 1\). La commutation des \(\tau_i\) non consécutifs se traduit par \(L_i \subset \operatorname{Ker} a_j^\vee\) pour \(i, j\) non consécutifs, d'où, dans la base duale \((a_i^*)\), \[ a_0^\vee = \mu_0\, a_0^* + \beta_0\, a_1^*, \qquad a_i^\vee = a_{i-1}^* + \mu_i\, a_i^* + \beta_i\, a_{i+1}^*, \qquad a_n^\vee = a_{n-1}^* + \mu_n\, a_n^* \] 15 . En marge : \(\tau_0\) est stricte si et seulement si \(\mu_0\mathcal{O}_S + \beta_0\mathcal{O}_S = \mathcal{O}_S\). La Scholie de la page 15 affirme que le foncteur évident \(C_0 \to C'_0\) est une équivalence.

\(C''_0\) (pages 15 et 16) est la catégorie des triples \((C, \varphi^C, h_0)\) à l'infini : \(C\) de dimension relative \(n\), les \(\tau_i^C\) pseudo-réflexions, strictes pour \(i \geqslant 1\), de centre \(h_0\) pour \(i = 0\), les \(h_i\) indépendants, \(h_i \notin H_{i+1}\). Le foncteur \(C'_0 \to C''_0\), \(V \mapsto \mathbb{P}(V)\), est une équivalence si \(n \geqslant 2\) : localement \(C = \mathbb{P}(V)\), et chaque pseudo-réflexion de \(\mathbb{P}(V)\) se relève de façon unique en une pseudo-réflexion de \(V\) dès que \(\operatorname{rg} V \geqslant 3\) ; \(V\) n'est déterminé qu'à un \(\otimes L\) près, et la rigidification lève l'indétermination. D'où la Rescholie : pour \(n \geqslant 2\), \(C_0 \simeq C'_0 \simeq C''_0\)16 .

La forme invariante (pages 16 et 17). Les formes quadratiques invariantes sur \(V\) partout non nulles correspondent aux hyperquadriques invariantes \(Q_C\) de \(C\). Pour qu'une forme \(f\) soit invariante par la pseudo-réflexion \(\tau = \mathrm{id} + a' \otimes a\), il faut et il suffit (sur une base intègre, \(a' \neq 0\)) que \[ f(a)\, a' + \psi(a) = 0 , \] car \(f(\tau x) - f(x) = \langle x, a' \rangle\bigl(\varphi(x, a) + \langle x, a' \rangle f(a)\bigr)\). Appliqué aux \(\tau_i\), cela donne \(\varphi(a_j, a_i) = -c_i \langle a_j, a'_i \rangle\), donc \(\varphi(a_i, a_j) = 0\) pour \(i, j\) non consécutifs, \(\varphi(a_i, a_i) = -c_i\mu_i\), et, en écrivant la symétrie de \(\varphi\) sur \((a_i, a_{i+1})\), \[ c_{i+1} = \beta_i c_i , \qquad \varphi(a_i, a_{i+1}) = -c_{i+1}. \] Comme \(\varphi(a_i, a_i) = 2c_i\), la condition \(c_i(\lambda_i + 1) = 0\) force \(\lambda_i = -1\) dès qu'on veut \(f(a_i)\) inversible : il faut des réflexions, et dans le groupe on peut alors ajouter les relations \(\tau_i^2 = 1\). Sous \(\lambda_i = -1\), les formes invariantes forment un module libre de rang \(1\), engendré par \[ f_V\Bigl(\sum_{i=0}^n x_i a_i\Bigr) = \sum_{i=0}^{n} (\beta_0 \cdots \beta_{i-1})\, x_i^2 \;-\; \sum_{i=0}^{n-1} (\beta_0 \cdots \beta_i)\, x_i x_{i+1} \] 17 : \(f_V(a_i) = c_i = \beta_0 \cdots \beta_{i-1}\). Sur un corps, il y a donc une seule hyperquadrique invariante \(Q_C\), et \(\mathfrak{G}_n\) opère sur \((C, Q_C)\). Pour le cube, \(f_V\) est le carré de la longueur euclidienne quand l'arête \(a_0\) est de longueur \(1\) : \(f(a_1) = 2\) est le carré de la diagonale d'une face.

\(C'''_0\) (page 18) est la catégorie des quadruples \((C, Q_C, \varphi^C, h_0)\), avec les conditions a) à c) de \(C''_0\) et \(\varphi^C\) à valeurs dans \(\operatorname{Aut}(C, Q_C)\). Il note que \(\tau_0^C\) est une réflexion orthogonale stricte si et seulement si, en chaque point, \(\beta_0 \neq 0\) ou la caractéristique résiduelle est \(\neq 2\). Si les \(\tau_i\) sont des réflexions orthogonales strictes (les \(\beta_i\) inversibles, ce qui est le cas si \(Q_C\) est lisse), la condition c) équivaut à

c') \((\tau_i\tau_{i+1})^2 \neq \mathrm{id}\) sur chaque fibre, c'est-à-dire que \(\tau_i\) ne commute à \(\tau_{i+1}\) sur aucune fibre18 .

Et la condition b) s'énoncerait :

b') pour tout \(s \in S\), la représentation induite sur \(C_s\) est irréductible.

Il ajoute : « suffisance claire, pour la nécessité il faut travailler un peu », avec un point d'interrogation en marge. De fait b') entraîne b) aussitôt, le sous-espace engendré par les \(h_i\) étant invariant ; mais la réciproque est fausse en général. Par le théorème des pages 79 à 82 (section XIV), la représentation sur \(C_s\) est irréductible si et seulement si tous les \(\beta_i(s)\) et \(\rho(s)\) sont non nuls ; sous les hypothèses de la remarque (\(\beta_i\) inversibles), b) et b') sont donc équivalentes exactement quand le centre n'est à l'infini sur aucune fibre19 .

19–20

V. Le cas \(n\) pair, et l'exemple des polyèdres de l'espace (pages 19 et 20)

Pour \(n\) pair, \(V\) est de rang impair, donc, \(f_V\) étant lisse, \(\mathrm{O}(f_V) = \mathrm{SO}(f_V) \times \mu_2\) et \(\mathrm{SO}(f_V) \hookrightarrow \operatorname{Aut}(C, Q_C)\). L'homomorphisme \(\varphi^C \colon \mathfrak{G}_n \to \operatorname{Aut}(C, Q_C)\) se relève alors à \(\mathrm{SO}(f_V)\) par \[ \psi^V(\tau_i) = -\tau_i^V , \] qui est de déterminant \(+1\) puisque \(\tau_i^V\) est une réflexion en rang impair.

L'exemple \(n = 2\) (polyèdres de l'espace). \(f_V\) est lisse si et seulement si \(\beta_0\), \(\beta_1\) et \(\tilde\rho = 4 - \beta_0 - \beta_1 = -(\alpha_0 + \alpha_1)\) sont inversibles20 . Alors \(Y = Q_C\) est une conique lisse dans le plan projectif \(C\), un fibré en droites projectives sur \(S\), et \(\mathrm{SO}(f_V) \simeq \underline{\operatorname{Aut}}(Y)\) : c'est l'isomorphisme exceptionnel \(\mathrm{SO}_3 \simeq \mathrm{PGL}_2\) sous sa forme tordue, objet du dossier 82. Se donner \(\varphi^C\) revient donc à se donner la conique \(Y\) et l'action de \(\mathfrak{G}_2\) sur elle par \(\tau^Y_0, \tau^Y_1, \tau^Y_2\), et les conditions deviennent : 1) chaque \(\tau_i^C\) est \(\neq \mathrm{id}\) sur chaque fibre ; 2) \(h_0, h_1, h_2\) sont indépendants sur chaque fibre, ce qu'il traduit par : il n'y a sur aucune fibre géométrique de \(Y\) de diviseur de degré \(2\) invariant, c'est-à-dire pas de réduction de la structure à une droite affine ou à un torseur sous \(\mathbb{G}_m\) — « c'est sans doute ce qui exclut le cas diédral » ; 3) les rotations \(\rho_f = \tau_0\tau_1\) et \(\rho_s = \tau_1\tau_2\) vérifient \(\rho_f^2 \neq \mathrm{id}\), \(\rho_s^2 \neq \mathrm{id}\) sur chaque fibre21 .

22–25

VI. L'antipodisme, second état (pages 22 à 25)

La page 22 reprend la question des pages 5 à 9 avec les notations définitives : quels automorphismes de \(X\) sont l'identité sur \(C\) et commutent aux \(\tau_i\) ? Ce sont les \(u = \mathrm{id} + \pi \otimes a\) avec \(\tau_i a = a\) pour tout \(i\), donc \(a\) multiple de \(\tilde c\) : \[ u_\lambda = \mathrm{id} + \lambda\, \pi \otimes \tilde c . \] Un calcul direct donne \(f_E(u_\lambda x) = f_E(x) - \lambda\,\pi(x)^2(\sigma + \lambda\tilde\sigma\tilde\rho)\), en utilisant \(\psi(\tilde c) = -\sigma\pi\) et \(f_E(\tilde c) = -\tilde\sigma\tilde\rho\) (pages 47 et 52). Donc \(u_\lambda\) est orthogonal si et seulement si \[ \lambda(\sigma + \lambda\tilde\sigma\tilde\rho) = 0, \quad \text{soit} \quad \lambda\tilde\sigma(1 + \lambda\tilde\rho) = 0 \ (n \text{ pair}), \qquad \lambda\tilde\sigma(2 + \lambda\tilde\rho) = 0 \ (n \text{ impair}). \] C'est la Proposition de la page 22, complétée page 23 : si \(\tilde\sigma = 0\), toutes les \(u_\lambda\) sont orthogonales22 ; si \(\tilde\sigma\) est inversible, pour \(n\) pair, il existe un tel \(u\) non trivial sur chaque fibre si et seulement si \(\tilde\rho\) est inversible, et alors \(\lambda = -1/\tilde\rho\) ; pour \(n\) impair, il faut et il suffit que \(\tilde\rho\) et \(2\) soient inversibles, et \(\lambda = -2/\rho\). Dans les deux cas \(u = \mathrm{id} - \pi \otimes c'\) est l'antipodisme23 .

Corollaire (page 23). Supposons \(\tilde\sigma\tilde\rho\) inversible, c'est-à-dire \(f_E(\tilde c)\) inversible, c'est-à-dire \(c \notin Q_X\) sur chaque fibre, et \(2\) inversible si \(n\) est impair. Alors il existe un unique \(\mathfrak{G}_n\)-automorphisme de \(X\), non trivial sur chaque fibre, au-dessus de l'identité de \(C\) et conservant \(Q_X\) : l'antipodisme.

NB (page 24). L'antipodisme est défini intrinsèquement dès que \(\tilde\rho\) est inversible ; il est l'identité exactement quand \(n\) est impair et la caractéristique \(2\) ; il est donc non trivial sur chaque fibre si et seulement si \(n\) est pair ou \(2\) inversible.

Reconstruction des bases (pages 24 et 25). Inversement, partant de \(\varphi_G \colon \mathfrak{G}_n \to \operatorname{Aut}(X)\) avec les conditions habituelles, on a \(C \subset X\), l'extension \(0 \to V \to E \to \mathcal{O}_S \to 0\), des droites \(L_i \subset V\), \(L'_i \subset V^\vee\) avec \(V = \bigoplus L_i\) et \(L_i \otimes L'_{i+1} \simeq \mathcal{O}_S\). La donnée de \(s_0\), section de \(E\) au-dessus de \(1\), fixe \(a'_0\) par \(\langle s_0, a'_0 \rangle = 1\), puis de proche en proche les bases \(a_0, a'_1, a_1, \ldots, a'_n, a_n\) par \[ \tau_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i , \qquad \langle a_i, a'_{i+1} \rangle = 1 . \] Réciproquement, \(a'_0\) étant donné, le plan \(F = \bigcap_{i \geqslant 1} H_i\) n'est contenu dans \(H_0\) sur aucune fibre, \(F \cap H_0\) est la droite de \(\tilde c\), et l'équation \(\langle s, a'_0 \rangle = 1\) définit dans \(F\) une droite affine parallèle à celle-ci, lieu des points de départ possibles. La page s'arrête là, sur la projection \(\pi|_F\) ; la section XV en donnera la suite (le torseur \(D_0^{**}\)).

27–29

VII. Forme hermitienne invariante pour un hyperpolyèdre régulier (pages 26 à 29)

Le titre de la garde annonce une variante complexe : les \(\tau_i\) sont des pseudo-réflexions unitaires de valeurs propres \(\lambda_i\) de module \(1\) (ou, sur une extension quadratique \(k/k_0\), de norme \(1\)), et l'on cherche une forme hermitienne \(h\) invariante. Une pseudo-réflexion unitaire de vecteur \(a\) et de valeur propre \(\lambda\) s'écrit \(x \mapsto x + (\mu/h(a, a))\, h(x, a)\, a\), \(\mu = \lambda - 1\) ; l'invariance relie \(h\) aux \(a'_i\) par \(c_i \langle x, a'_i \rangle = \mu_i h(x, a_i)\), \(c_i = h(a_i, a_i)\) réel. En posant \(d_i = h(a_{i-1}, a_i) = c_i/\mu_i\), la symétrie hermitienne donne la récurrence \[ d_{i+1} = \bar\beta_i\, \bar d_i , \] d'où \(d_i\) comme produit alterné des \(\beta_j\) et de leurs conjugués24 . La normalisation \(c_0 = 1\) et la réalité des \(c_i\) imposent des conditions de rationalité : si les \(\beta_i\) sont dans \(k_0\), les \(\mu_i/\mu_0\) (\(i\) pair) et \(\mu_i/\bar\mu_0\) (\(i\) impair) doivent y être. Page 29, en écrivant \(\beta_i = \xi_i\mu_i\bar\mu_{i+1}\), il obtient \(c_{i+1} = N(\mu_{i+1})\,\xi_i\, c_i\) avec \(\xi_i\) réel, d'où \(c_n = N(\mu_1 \cdots \mu_n) \xi_0 \cdots \xi_{n-1}\)25 .

La page 28 calcule en rang \(2\) : \(\tau_0\tau_1\) a pour trace \(\lambda_0 + \lambda_1 + \beta\) et pour déterminant \(\lambda_0\lambda_1\), et l'invariant de conjugaison \[ A(u) = \frac{(\operatorname{Tr} u)^2}{\det u} - 2 \] vaut, pour \(u\) de valeurs propres \(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}\), \(2\cos(\theta_1 - \theta_2)\). Il en dresse la liste des valeurs \(-2, -1, 0, 1, \alpha, \alpha'\), c'est-à-dire les \(2\cos(2\pi k/p)\) pour \(p = 2, 3, 4, 6\) et, avec \(\alpha, \alpha' = (-1 \pm \sqrt 5)/2\), pour \(p = 5\) : les ordres de rotation dont la trace est rationnelle ou dans \(\mathbb{Q}(\sqrt 5)\)26 . La condition \(A(\tau_0\tau_1) = k\) donne une équation du second degré en \(c/(2 - k_1)\), dont il cherche les solutions réelles, et la positivité de la forme s'écrit \(0 < c < N(\mu_1) = 2 - k_1\), \(k_1 = 2\cos(2\pi/\nu_1)\).

32–35

VIII. Détermination des \(\tau_i\) par les rotations (pages 31 à 35)

La garde porte « détermination de \((\tau_i)\) par \((\rho_i)\), i.e. d'une représentation de \(G_n\) via celle de \(G_n^+\) ». Ici \(\rho_i = \tau_i\tau_{i+1}\) désigne une rotation, non le continuant \(\rho\)27 .

La donnée pseudo-sphérique (page 32) : \((V, f_V, (L_i), a_0)\), \(V\) de rang \(n+1\), \(f_V\) quadratique, \(L_i\) des droites et \(a_0\) une base de \(L_0\), avec a) \(f_V|_{L_i}\) lisse ; b) \(L_i \perp L_j\) pour \(i, j\) non consécutifs ; c) \(L_i \not\perp L_{i+1}\) sur chaque fibre ; d) \(f_V(a_0) = 1\). Cela correspond aux polytopes réguliers dont \(\beta\) est inversible, sans que \(f_V\) soit nécessairement lisse. La normalisation \(\varphi(a_i, a_{i+1}) = -f(a_{i+1})\) définit de proche en proche les bases \(a_i\), et \(a'_i = -\psi(a_i)/f(a_i)\) ; on retrouve \(f(a_i) = \beta_0 \cdots \beta_{i-1}\), \(\varphi(a_i, a_{i+1}) = -\beta_0 \cdots \beta_i\), et \[ \frac{\varphi(a_i, a_{i+1})^2}{f(a_i)\, f(a_{i+1})} = \beta_i = 4\cos^2\theta_i, \qquad \alpha_i = \beta_i - 2 = 2\cos 2\theta_i , \] où \(\theta_i\) est l'angle des droites de \(a_i\) et \(a_{i+1}\) ; \(\alpha_i\) est la trace de la rotation \(\tau_i\tau_{i+1}\) sur son plan.

La proposition marquée « ?? » (page 33). Soient \(G_2 = \langle \tau_0, \tau_1, \tau_2 \mid \tau_i^2 = (\tau_0\tau_2)^2 = 1 \rangle\) et \(G_2^+ = \langle \rho_0, \rho_1 \mid (\rho_0\rho_1)^2 = 1 \rangle\) son sous-groupe des rotations, \(\rho_0 = \tau_0\tau_1\), \(\rho_1 = \tau_1\tau_2\) (on a bien \(\tau_0 = \rho_0\tau_1\), \(\tau_2 = \tau_1\rho_1\), \(\tau_0\tau_2 = \rho_0\rho_1\)). Pour \(X\) fibré projectif de dimension relative \(N \geqslant 1\), soit \(\operatorname{Hom}^!(G_2, \operatorname{Aut} X)\) l'ensemble des représentations où les \(\tau_i\) sont des réflexions et où \(\rho_0^2\), \(\rho_1^2\) et le commutateur de \(\rho_0, \rho_1\) sont non triviaux sur chaque fibre, et \(\operatorname{Hom}^!(G_2^+, \operatorname{Aut} X)\) celui des représentations des rotations satisfaisant les mêmes conditions et, si \(N \geqslant 2\), l'existence locale de sous-fibrés \(X_0, X_1, X_2\) de codimension \(2\), d'intersection de codimension \(3\), sur lesquels \(\rho_0, \rho_1, \rho_0\rho_1\) induisent l'identité. Alors la restriction \(\varphi \mapsto \varphi|_{G_2^+}\) serait bijective. Il marque l'énoncé « ?? » et « (?) », et ajoute page 34 : si \(N = 2\), il y a une unique conique invariante par \(\varphi^+\), et elle l'est par \(\varphi\) — « peut-être faut-il se donner en plus l'hypothèse conique lisse invariante ». L'énoncé reste conjectural sur ces pages.

Ce qui est démontré (page 35), dans le cadre orthogonal : si les \(\beta_i\), \(2(\alpha_{i-1} + \alpha_i)\), \(\alpha_{i-1} - 2\) et \(\alpha_i - 2\) sont inversibles, alors \(\tau_i\) se reconstruit à partir de \(\rho_{i-1} = \tau_{i-1}\tau_i\) et \(\rho_i = \tau_i\tau_{i+1}\) (\(1 \leqslant i \leqslant n-1\)), et donc aussi \(\tau_{i-1} = \rho_{i-1}\tau_i\), \(\tau_{i+1} = \tau_i\rho_i\). En effet \(\rho_{i-1}\) fixe point par point \(\{a_{i-1}, a_i\}^\perp\) et \(\rho_i\) fixe \(\{a_i, a_{i+1}\}^\perp\) ; les hypothèses disent que \(f\) est lisse sur les plans \(\langle a_{i-1}, a_i \rangle\) (discriminant proportionnel à \(\beta_{i-1}(2 - \alpha_{i-1})\)), \(\langle a_i, a_{i+1} \rangle\) et sur l'espace \(\langle a_{i-1}, a_i, a_{i+1} \rangle\) (demi-discriminant proportionnel à \(\alpha_{i-1} + \alpha_i\)), et alors \[ \bigl(V^{\rho_{i-1}} + V^{\rho_i}\bigr)^\perp = \langle a_{i-1}, a_i \rangle \cap \langle a_i, a_{i+1} \rangle = \mathcal{O}_S\, a_i , \] de sorte que \(\tau_i\) est la réflexion orthogonale de direction cette droite28 .

37–42

IX. \(\mathcal{U}_\rho \simeq \operatorname{Aut}(X, (\tau_i))\) (pages 36 à 42)

Le schéma en groupes (page 37). Pour \(\rho \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\), soit \[ \mathcal{U}_\rho = \underline{\operatorname{Spec}}\, \mathcal{O}_S[T]_{(1 + \rho T)}, \qquad \lambda *_\rho \lambda' = \lambda + \lambda' + \rho\lambda\lambda' . \] C'est un schéma en groupes commutatif lisse de dimension relative \(1\), et \(\lambda \mapsto 1 + \rho\lambda\) est un homomorphisme \(\mathcal{U}_\rho \to \mathbb{G}_m\), isomorphisme si et seulement si \(\rho\) est inversible ; pour \(\rho = 0\), \(\mathcal{U}_0 = \mathbb{G}_a\). C'est une famille qui déforme \(\mathbb{G}_m\) en \(\mathbb{G}_a\)29 .

Pour un polytope régulier pseudo-sphérique d'invariants \(\mu_i\) et \(\beta_i\), \(\rho = \pi(\tilde c)\) est le continuant de la convention30 , et \(\mathcal{U}_\rho\) opère fidèlement sur \(E\) par \(u_\lambda = \mathrm{id} + \lambda\, \pi \otimes \tilde c\) (et sur le dual par la transposée), en fixant \(\pi\), \(\tilde c\) et en commutant aux \(\tau_i\) : la composition donne bien \(u_\lambda u_{\lambda'} = u_{\lambda *_\rho \lambda'}\) puisque \(\pi(\tilde c) = \rho\), et \(\det u_\lambda = 1 + \rho\lambda\). D'où \[ \mathbb{G}_m \times \mathcal{U}_\rho \longrightarrow \underline{\operatorname{Aut}}(E, \varphi^E), \qquad \mathcal{U}_\rho \longrightarrow \underline{\operatorname{Aut}}(X, \varphi^X), \] et le Théorème de la page 38 : ces flèches sont des isomorphismes. De plus, si \(D_0 = H_1 \cap \cdots \cap H_n\) est la droite projective des points de départ possibles, \(d\) son point à l'infini (\(D_0 \cap C\)) et \(D_0^{**} = D_0 \smallsetminus \{c, d\}\), alors \(\mathcal{U}_\rho\) opère sur \(D_0\) et \(D_0^{**}\) est un torseur sous \(\mathcal{U}_\rho\), trivialisé par \(s_0\)31 .

La forme (pages 39 à 42). Supposons les \(\lambda_i = -1\) : il y a sur \(E\) une forme invariante canonique \(f_E\), unique par \(f_E(s_0) = 0\), \(f_E(a_0) = 1\), d'où une quadrique \(Q_X \subset X\). Le calcul de la section VI donne que \(u_\lambda\) conserve \(f_E\) si et seulement si \(\lambda(\sigma + \lambda\tilde\sigma\tilde\rho) = 0\). D'où la Proposition de la page 42 :

  1. 1)si \(\sigma\tilde\rho\) est inversible, il existe une unique section de \(\mathcal{U}_\rho\), partout \(\neq 1\), qui respecte \(f_E\) — ou, ce qui revient au même, \(Q_X\) : l'antipodisme ;
  2. 2)sont équivalentes : a) \(\sigma = 0\) et \(\tilde\sigma\tilde\rho = 0\) (la seconde condition suit de la première si \(2\) est inversible) ; b) \(\mathcal{U}_\rho\) respecte \(f_E\) ; c) \(\mathcal{U}_\rho\) respecte \(Q_X\) ; et, si \(\tilde\sigma\tilde\rho = 0\), d) il existe localement une section de \(\mathcal{U}_\rho\) partout \(\neq 1\) qui respecte \(f_E\).

Dans 1), « \(\sigma\tilde\rho\) inversible » est exactement ce qu'il faut : pour \(n\) impair, \(\sigma = 2\tilde\sigma\) contient l'inversibilité de \(2\), sans laquelle l'antipodisme est trivial (section VI)32 .

44–54

X. Calculs de discriminants (pages 43 à 54)

La matrice de la forme (pages 44 et 45)

On suppose les \(\lambda_i = -1\). La forme \(f_E\) est caractérisée par : a) elle est invariante par les \(\tau_i\) ; b) \(f_E(s_0) = 0\), donc \(f_E\) s'annule sur tous les sommets \(s_i\) ; c) \(f_E(a_0) = 1\). La quadrique \(f_E = 0\) passe par les sommets : c'est la sphère circonscrite, prolongée à l'espace projectif. Dans la base \((a_{-1}, a_0, \ldots, a_n)\), \[ f_E(a_i) = c_i = \beta_0 \cdots \beta_{i-1}, \quad \varphi(a_i, a_{i+1}) = -c_{i+1}, \quad \varphi(s_0, a_0) = -1, \quad \varphi(s_0, a_i) = 0 \ (i \geqslant 1), \] les autres \(\varphi(a_i, a_j)\) nuls, et \(\varphi(s_i, s_j) = -c_i\) pour \(i < j\). La réflexion \(\tau_i\) est orthogonale stricte si et seulement si \(c_i\) est inversible, et toutes le sont si et seulement si les \(\beta_i\) le sont33 .

Les déterminants tridiagonaux (pages 45, 46, 48 et 49)

Les matrices de \(\varphi\) sont tridiagonales. Notons \(\Delta_m(C_0, \ldots, C_{m-1})\) le déterminant de la matrice d'ordre \(m\) de diagonale \((2C_0, \ldots, 2C_{m-1})\) et de coefficients voisins \(-C_1, \ldots, -C_{m-1}\) ; il obéit à la récurrence (encadrée page 48, déjà page 45) \[ \Delta_m(C_0, \ldots, C_{m-1}) = 2C_0\, \Delta_{m-1}(C_1, \ldots, C_{m-1}) - C_1^2\, \Delta_{m-2}(C_2, \ldots, C_{m-1}), \] avec \(\Delta_1 = 2c_0\), \(\Delta_2 = c_1(4c_0 - c_1)\), \(\Delta_3 = 2c_2(4c_0c_1 - c_0c_2 - c_1^2)\), valeurs justes34 . Pour un déterminant tridiagonal quelconque (page 46), seules contribuent les permutations \(\sigma\) telles que \(\sigma(i) \in \{i - 1, i, i + 1\}\), c'est-à-dire les produits de transpositions \((i, i+1)\) deux à deux disjointes. En substituant \(c_i = \beta_0 \cdots \beta_i\), tout se factorise : \[ \delta_n(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) = \Delta_n(\beta_0, \beta_0\beta_1, \ldots, \beta_0 \cdots \beta_{n-1}) = \beta_0^n \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1}\, L_n(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}), \] où \(L_k\) est le continuant des conventions, qui se développe sans simplification (« il n'y a pas de cancellation de termes ») : \[ L_k(B_1, \ldots, B_{k-1}) = \sum_{p \geqslant 0} (-1)^p\, 2^{k - 2p} \sum_{J} B_J , \] la seconde somme portant sur les parties \(J \subset \{1, \ldots, k-1\}\) de cardinal \(p\) sans deux entiers consécutifs35 : \[ L_2 = 4 - B_1, \qquad L_3 = 8 - 2(B_1 + B_2), \qquad L_4 = 16 - 4(B_1 + B_2 + B_3) + B_1B_3 . \] Il note la symétrie \(L_k(B_1, \ldots, B_{k-1}) = L_k(B_{k-1}, \ldots, B_1)\) et, en bordant la matrice d'une ligne, \(\delta_{n+1}(1, B_0, \ldots, B_{n-1}) = B_0^n \cdots B_{n-1}\, L_{n+1}(B_0, \ldots, B_{n-1})\), avec les exemples justes \(\delta_2(1, B_0) = 4 - \alpha_0^2\), \(\delta'_3(1, B_0, B_1) = -B_0^2B_1(\alpha_0 + \alpha_1)\). La récurrence se transporte aux \(L\) (page 51) : \[ L_n(B_1, \ldots, B_{n-1}) = 2L_{n-1}(B_2, \ldots, B_{n-1}) - B_1\, L_{n-2}(B_3, \ldots, B_{n-1}), \] et aux moitiés : \(L'_{2m+1}(B_1, \ldots) = L_{2m}(B_2, \ldots) - B_1 L'_{2m-1}(B_3, \ldots)\), \(L_{2m} = 4L'_{2m-1}(B_2, \ldots) - B_1 L_{2m-2}(B_3, \ldots)\).

Modulo \(2\) (page 50). La récurrence donne \(L_k \equiv B_1 L_{k-2}(B_3, \ldots) \pmod 2\), donc \[ L_{2m}(B_1, \ldots, B_{2m-1}) \equiv B_1 B_3 \cdots B_{2m-1}, \] \[ L'_{2m+1}(B_1, \ldots, B_{2m}) \equiv \sum_{j=0}^{m} (B_1 B_3 \cdots B_{2j-1})(B_{2j+2} B_{2j+4} \cdots B_{2m}), \] chaque terme étant un produit d'indices impairs suivi d'un produit d'indices pairs ; les termes \(j = 0\) et \(j = m\) sont \(B_2B_4 \cdots B_{2m}\) et \(B_1 B_3 \cdots B_{2m-1}\). Il en déduit les discriminants modulo \(2\) ; celui de rang pair est un carré.

Le centre, \(\rho\) et \(\sigma\) (pages 47 et 51)

Le centre est le point fixe commun des \(\tau_i\). On cherche \(\tilde c = \sum_{i=-1}^{n} \xi_i a_i\) avec \(\langle \tilde c, a'_i \rangle = 0\) pour \(0 \leqslant i \leqslant n\) et \(\xi_n = 1\) ; les accouplements des conventions donnent \[ \xi_{n-1} = 2, \qquad \xi_{i-1} = 2\xi_i - \beta_i\, \xi_{i+1} , \] d'où, par la récurrence des continuants et leur symétrie, \[ \xi_{n-i} = L_i(\beta_{n-1}, \ldots, \beta_{n-i+1}) \quad (1 \leqslant i \leqslant n+1), \] \[ \rho = \xi_{-1} = \pi(\tilde c) = L_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}), \qquad \sigma = \xi_0 = L_n(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}). \] Les premières valeurs, calculées page 47 en \(\alpha\), sont justes : \(\xi_{n-2} = 2 - \alpha_{n-1}\), \(\xi_{n-3} = -2(\alpha_{n-1} + \alpha_{n-2})\), \(\xi_{n-4} = -4 - 2(\alpha_{n-1} + 2\alpha_{n-2} + \alpha_{n-3}) + \alpha_{n-1}\alpha_{n-3}\).

On a \(\varphi(a_i, \tilde c) = -c_i\langle \tilde c, a'_i \rangle = 0\) pour \(i \geqslant 0\) et \(\varphi(s_0, \tilde c) = -\xi_0\), donc \[ \psi(\tilde c) = -\sigma\pi, \qquad f_E(\tilde c) = \tfrac12 \langle \tilde c, \psi(\tilde c) \rangle = -\tfrac12\sigma\rho = -\tilde\sigma\tilde\rho , \] la dernière égalité ayant un sens sans diviser par \(2\), puisque \(\sigma\rho = 2\tilde\sigma\tilde\rho\) est une identité dans \(\mathbb{Z}[\beta]\). Le centre est à distance finie si et seulement si \(\rho\) est inversible ; alors \(c = \tilde c/\rho\) et \(f_E(c) = -\tilde\sigma\tilde\rho/\rho^2\).

On reconnaît dans \(\rho\), à un facteur \(2^{n+1}\) près, le déterminant de la matrice de Gram \((-\cos(\pi/p_{ij}))\) du groupe de Coxeter : \(\rho > 0\) pour un polytope convexe (groupe fini), \(\rho = 0\) pour un pavage euclidien, \(\rho < 0\) dans le cas hyperbolique. Pour le carré, \(\rho = 4 - 2 = 2\) ; pour le pavage \(\{4, 4\}\) du plan, \(n = 2\), \(\rho = 8 - 2(2 + 2) = 0\) ; pour \(\{3, 6\}\), \(\rho = 8 - 2(1 + 3) = 0\)36 .

Discriminants et lissité (pages 51 et 52)

La matrice de \(\varphi\) dans la base \((a_i)\) de \(V\) est le produit de la matrice \((\langle a_j, a'_i \rangle)\), de déterminant \((-1)^{n+1}\rho\), par \(\operatorname{diag}(-c_i)\) ; d'où \[ \delta(f_V) = \det \varphi_V = B\rho, \qquad \delta(f_E) = -B\sigma, \qquad B = \beta_0^n \beta_1^{n-1} \cdots \beta_{n-1}, \] et, pour les rangs impairs, les demi-discriminants \(B\tilde\rho\), \(B\tilde\sigma\). Donc :

L'antipodisme et le plan \(\langle s_0, \tilde c \rangle\) (pages 53 et 54)

L'antipodisme est \(\underline a = -\mathrm{id} + \pi \otimes c'\), défini si et seulement si \(\tilde\rho\) est inversible (c'est le cas si \(f_V\) est lisse) ; on a \(\langle c', \pi \rangle = 2\), donc \(-\underline a\) est une réflexion, sauf aux points de caractéristique \(2\) quand \(n\) est impair, où \(\underline a\) est l'identité. Il commute aux \(\tau_i\) et fixe \(c'\). Dans \(E\), ses points fixes forment la droite de \(c'\) si \(2\) est inversible, et \(V\) en caractéristique \(2\) ; dans \(X\), \(\mathbb{P}(V) \cup \{c\}\), réduit à \(\mathbb{P}(V)\) en caractéristique \(2\). Il envoie \(s_0\) sur \(\tilde s_0 = c' - s_0\), le sommet antipode.

Sur le plan engendré par \(s_0\) et \(\tilde c\), qui est la droite projective \(D_0\) des points de départ, \[ g(\lambda, \mu) = f_E(\lambda s_0 + \mu\tilde c) = -\sigma\lambda\mu - \tilde\sigma\tilde\rho\,\mu^2 . \]

56–60

XI. Calculs antérieurs (pages 55 à 60)

La garde rose de la page 55 porte « Calculs antérieurs » (second mot lu avec doute) ; les feuillets qui suivent reprennent en effet, sous une forme plus brute, des calculs des sections précédentes.

Page 56. Le composé \(V \xrightarrow{\psi} V^\vee\) envoie \(a_i\) sur \(-c_i a'_i\), et \(a'_i = a^*_{i-1} - 2a^*_i + \beta_i a^*_{i+1}\) ; le déterminant de la matrice tridiagonale d'ordre \(n+1\) de diagonale \(-2\) vaut \((-1)^{n+1}\rho\), le facteur \(B\) venant des \(c_i\)39 .

Page 57, barrée d'une grande croix : un premier essai sur les sous-variétés invariantes par les réflexions, en termes des \(h_i\) et \(H_i\) — contenues dans aucun \(H_i\), dans un seul, la remarque que \(Z \subset H_i\) entraîne \(Z \subset H_{i-1}\). C'est l'ébauche du théorème des pages 79 à 82.

Page 58, un demi-feuillet au crayon : la table des accouplements \(\langle a_i, a'_j \rangle\) (\(1\) pour \(j = i+1\), \(\mu_i\) pour \(j = i\), \(\beta_j\) pour \(j = i-1\), \(0\) sinon), dessinée en graphe à deux rangées, et les trivialisations \(V \simeq \mathcal{O}_S^{n+1} \simeq V'\).

Page 60 : les bases duales. Soit \(a'_{n+1} \in E^\vee\) la forme de noyau \(\langle a_{-1}, \ldots, a_{n-1} \rangle\) normalisée par \(\langle a_n, a'_{n+1} \rangle = 1\), de sorte que \((a'_0, \ldots, a'_{n+1})\) est une base de \(E^\vee\). La base duale \((a^*_i)\) de \((a_i)_{-1 \leqslant i \leqslant n}\) s'exprime dans celle-ci par \[ a^*_i = a'_{i+1} + 2a'_{i+2} + \rho_{i+1,i+1}\, a'_{i+3} + \cdots + \rho_{i+1,n-1}\, a'_{n+1} \qquad (-1 \leqslant i \leqslant n), \] en particulier \[ \pi = a^*_{-1} = a'_0 + 2a'_1 + \rho_{0,0}\, a'_2 + \cdots + \sigma^\vee a'_n + \rho\, a'_{n+1}, \qquad a^*_0 = -\psi(s_0) = a'_1 + 2a'_2 + \cdots + \gamma\, a'_n + \sigma\, a'_{n+1}, \] avec \(\rho_{0,0} = 4 - \beta_0 = 2 - \alpha_0\)40 . Dualement, \(\tilde c = a'^*_{n+1} = a_n + 2a_{n-1} + \cdots + \sigma a_0 + \rho a_{-1}\), et \(\langle \tilde c, \pi \rangle = \rho\). La page rassemble enfin : \(\psi(a_i) = -(\beta_0 \cdots \beta_{i-1})\, a'_i\), \(f(a_i) = \beta_0 \cdots \beta_{i-1}\), \(f(s_0) = 0\), \(\varphi(a_i, a_{i+1}) = -\beta_0 \cdots \beta_i\), \(f(\tilde c) = -\tilde\sigma\tilde\rho\).

62–70

XII. Le système dual (pages 61 à 70)

Les pages paires 62 à 70 sont de sa main ; les pages impaires 61 à 69 sont des pièces dactylographiées sans rapport.

La forme duale et l'identité des continuants (page 62). Le système dual, sur \(E^\vee\), a ses propres pseudo-réflexions, numérotées à rebours, et sa forme invariante \(f'\), avec \(\psi'(a'_j) = -(\beta_{n-1} \cdots \beta_j)\, a_j\), \(f'(a'_j) = \beta_{n-1} \cdots \beta_j\), \(f'(a'_{n+1}) = 0\), \(\psi'(\pi) = -\sigma^\vee \tilde c\). Alors \[ \psi'\psi = \beta\,\mathrm{id}_E + \gamma\, \pi \otimes \tilde c, \qquad \boxed{\sigma\sigma^\vee = \beta + \gamma\rho}. \] La première se vérifie sur la base : \(\psi'\psi(a_i) = c_i (\beta_{n-1} \cdots \beta_i)\, a_i = \beta a_i\), et \(\psi'\psi(\tilde c) = \sigma\sigma^\vee \tilde c\) ; la seconde en découle. C'est l'identité de Desnanot-Jacobi pour la matrice tridiagonale qui définit \(\rho\) : le produit des déterminants « coin supérieur » et « coin inférieur » moins le produit du déterminant entier et du déterminant central vaut le produit des coefficients hors diagonale41 .

L'inverse de \(\psi\). Posant \(\Theta = \sigma\psi' + \gamma\,(\ell \mapsto \ell(\tilde c)\,\tilde c)\), on a \[ \Theta\psi = \beta\sigma\, \mathrm{id}_E , \] puisque \(\Theta\psi(x) = \sigma\beta x + \sigma\gamma\pi(x)\tilde c + \gamma\varphi(x, \tilde c)\tilde c\) et \(\varphi(x, \tilde c) = -\sigma\pi(x)\) : \(\beta\sigma\) est le « dénominateur » de \(\psi^{-1}\)42 .

Les sommets du dual (pages 62 à 66). Les vecteurs \(s'_i\) du système dual (sommets du polytope dual dans \(E^\vee\)) sont transportés dans \(E\) par \(t_i = \Theta(s'_i)\) ; on a \(t_i = \tau_i t_{i+1}\), \(\langle t_i, \pi \rangle = -\beta\), et \[ t_{n+1} = \sigma\psi'(a'_{n+1}) + \gamma\,\tilde c, \qquad t_i = t_{n+1} - \sigma\bigl[a_n + \beta_{n-1} a_{n-1} + \cdots + (\beta_{n-1} \cdots \beta_i)\, a_i\bigr], \] \(t_{n+1}\) n'ayant pas de composante sur \(a_0\) (« \(0 \cdot a_0\) ! ») et la composante \(-\beta\) sur \(a_{-1}\). Comme \(\psi(t_{n+1}) = \beta\sigma\, a'_{n+1}\) et \(\langle t_{n+1}, a'_{n+1} \rangle = \gamma\), \[ f_E(t_{n+1}) = \tfrac12\beta\sigma\gamma = \beta\tilde\sigma\tilde\gamma , \qquad \varphi(t_{n+1}, a_n) = \beta\sigma. \] Si \(\beta\) est inversible, \(-t_i/\beta\) est un point de l'espace affine. Page 66, avec \(u = s_0 + s_1\) et \(v = t_n + t_{n+1} = 2t_{n+1} - \sigma a_n\), il trouve \(f_E(u) = -1\) et \(f_E(v) = \beta\sigma(2\gamma - \sigma)\), valeurs justes43 .

Exemples (page 68), qui vérifient tout ce qui précède. Pour \(n = 1\) : \(\beta = \beta_0\), \(\rho = 4 - \beta\), \(\sigma = \sigma^\vee = 2\), \(\gamma = 1\), \(t_2 = a_1 - \beta a_{-1}\), \(f(t_2) = \beta\). Pour \(n = 2\) : \(\rho = -2(\alpha_0 + \alpha_1)\), \(\sigma = 2 - \alpha_1\), \(\sigma^\vee = 2 - \alpha_0\), \(\gamma = 2\), \(\Theta = (2 - \alpha_1)\psi' + 2\,\tilde c \otimes \tilde c\), \(t_3 = 2a_2 + \beta_1 a_1 - \beta_0\beta_1 a_{-1}\), \(f(t_3) = (4 - \alpha_1^2)(2 + \alpha_0)\).

Le centre à distance finie (page 70). Si \(\rho\) est inversible, \(E \simeq V \oplus \mathcal{O}_S \tilde c\), et les projections \(p_\lambda(x) = x/\lambda - c\) ramènent les points de l'hyperplan \(\pi = \lambda\) dans \(V\), l'origine au centre. Le sommet recentré est \[ -\rho\,\tilde s_0 = \sigma a_0 + \rho_{n-1,2}\, a_1 + \cdots + \rho_{n-1,n-1}\, a_{n-2} + 2a_{n-1} + a_n , \] c'est-à-dire \(-\rho\tilde s_0 = \sum_{i \geqslant 0}\xi_i a_i\) ; il calcule de même \(\tilde u = \tfrac12 u - c = \tilde s_0 + \tfrac12 a_0\) et les \(\tilde t_i\), et obtient \[ -\frac{\rho\beta}{\sigma}\,\tilde t_{n+1} = \sigma^\vee \pi - \rho\, a^*_n \] dans ses notations44 .

72–77

XIII. Calculs centrés au centre, si celui-ci est à distance finie (pages 71 à 77)

La garde porte « Calculs centrés en \(\sigma\) (si centre à dist. finie, i.e. \(\rho\) inv.) », la lettre \(\sigma\) y désignant le centre.

Reformulation (pages 72 et 73). Si \(\rho\) est inversible — \(n\) impair et \(\tilde\rho\) inversible, ou \(n\) pair, \(\tilde\rho\) et \(2\) inversibles —, on prend le centre pour origine et l'on identifie l'espace affine à \(V\). La donnée devient : A) \(\varphi_G \colon \mathfrak{G}_n \to \operatorname{GL}(V)\) avec \(1^\circ)\) les \(\tau_i^V\) pseudo-réflexions, \(2^\circ)\) \(V = \bigoplus L_i\), ou encore \(\bigcap H_i = 0\) sur chaque fibre, \(3^\circ)\) \(L_i \not\subset H_{i+1}\) sur chaque fibre45 ; B) le sommet recentré \(\tilde s_0\), base de \(D_0 = \bigcap_{i \geqslant 1} H_i\), qui fixe une base \(a'_0\) de \(L'_0\) par \(\langle \tilde s_0, a'_0 \rangle = 1\), puis \(a_0\) par \(\tau_0 = \mathrm{id} + a'_0 \otimes a_0\), puis les \(a_i, a'_i\) de proche en proche. Pour des réflexions, le sommet est \[ \tilde s_0 = -\frac{1}{\rho}\,(\xi_0 a_0 + \xi_1 a_1 + \cdots + \xi_n a_n), \qquad \xi_n = 1,\ \xi_{n-1} = 2,\ \xi_i = L_{n-i}(\beta_{i+1}, \ldots, \beta_{n-1}),\ \xi_0 = \sigma. \quad (*) \] C) Les formes quadratiques invariantes forment un module localement libre de rang \(1\), normalisé par \(f_V(a_0) = 1\).

Discriminant et sphère circonscrite (page 74). Avec \(\omega_V = a_0 \wedge \cdots \wedge a_n\), \[ \delta(f_V) = B\rho\; \omega_V^{\otimes -2}, \] et, \(\rho\) étant ici inversible, \(f_V\) est lisse si et seulement si les \(\beta_i\) le sont. Posant \[ \lambda = f_V(\tilde s_0) = \frac{\tilde\sigma\tilde\rho}{\rho^2} = \begin{cases} \dfrac{\tilde\sigma}{4\tilde\rho} & n \text{ pair}, \\[1.5ex] \dfrac{\tilde\sigma}{\tilde\rho} & n \text{ impair}, \end{cases} \] la sphère circonscrite au polytope est la quadrique \(f_V = \lambda\) ; elle est lisse si de plus \(\tilde\sigma\) est inversible. Le calcul de la page 77 retrouve \(\lambda\) : \(f_V(\tilde s_0) = f(s_0) + f(c) - \varphi(s_0, c) = -\tilde\sigma\tilde\rho/\rho^2 + \sigma/\rho\). Vérification sur deux cas : pour le \(p\)-gone régulier d'arête \(1\) (\(n = 1\)), \(\lambda = 1/(4 - \beta_0) = 1/(4\sin^2(\pi/p))\), le carré du rayon circonscrit ; pour le cube d'arête \(1\) (\(n = 2\), \(\beta = (2, 1)\), \(\tilde\sigma = 3\), \(\tilde\rho = 1\)), \(\lambda = 3/4\)46 .

Partir des réflexions orthogonales (pages 74 à 76). (D) Soient donnés \(V\), \(f_V\) et \(\varphi^V \colon \mathfrak{G}_n \to \mathrm{O}(f_V)\) envoyant les \(\tau_i\) sur des réflexions orthogonales et satisfaisant \(2^\circ)\), \(3^\circ)\), avec \(f|_{L_0}\) partout non nulle. Cela provient d'une situation comme ci-dessus : il suffit de choisir \(a_0 \in L_0\) avec \(f_V(a_0) = 1\), ce qui n'est possible que localement pour une topologie où l'on peut extraire des racines carrées, le choix étant fixé au signe près — l'indétermination est un torseur sous \(\mu_2\), comme il le dit page 7547 . (E) Si l'on se donne seulement \(\varphi^C \colon \mathfrak{G}_n \to \operatorname{Aut}(C, Q_C)\) avec les conditions 1) à 3), cela provient localement d'un \((V, f_V, (\tau_i^V))\) comme en (D), \(V\) déterminé à un \(\otimes L\) près, \(f_V\) à une unité près, et l'on rigidifie par \(a_0\). D'où l'énoncé de la page 76 : la catégorie des réalisations géométriques non dégénérées à centre à distance finie est équivalente à celle des triples \((C, Q_C, \varphi^C)\) d'un fibré projectif de dimension relative \(n\), d'une hyperquadrique et d'une représentation satisfaisant \(1^\circ)\) à \(3^\circ)\) — énoncé sans démonstration, et entendu aux rigidifications près qu'on vient de dire. Pour \(n = 2\), \(Q_C\) est redondante : c'est l'unique conique lisse invariante48 .

La sphère médiane (page 77). Avec \(s'_i = -\rho\tilde s_i\), on a \(f_V(s'_0) = \tilde\rho\tilde\sigma\), \(\varphi_V(s'_0, a_0) = \rho\), \(\varphi_V(s'_0, a_i) = 0\) pour \(i \geqslant 1\), \(s'_1 = s'_0 - \rho a_0\), et \[ f_V(s'_0 + s'_1) = 4\tilde\rho\tilde\sigma - \rho^2 = \begin{cases} 4\tilde\rho(\tilde\sigma - \tilde\rho) & n \text{ pair}, \\ \tilde\rho(4\tilde\sigma - \tilde\rho) & n \text{ impair}. \end{cases} \] Le point \((s'_0 + s'_1)/2\) est le milieu d'une arête. L'homothétie de rapport \(\lambda\) qui envoie la sphère circonscrite sur la sphère passant par les \(s'_0 + s'_1\) est donc donnée par \[ \lambda = 2\sqrt{1 - \tilde\rho/\tilde\sigma} \quad (n \text{ pair}), \qquad \lambda = 2\sqrt{1 - \tilde\rho/4\tilde\sigma} \quad (n \text{ impair}), \] et \(\lambda/2\) est le rapport du rayon de la sphère médiane — tangente aux arêtes en leurs milieux — au rayon circonscrit. Pour le cube, \((\lambda/2)^2 = 2/3\), ce qui est juste49 .

79–82

XIV. Sous-espaces invariants (pages 78 à 82)

On est sur un corps \(k\), dans une réalisation projective non dégénérée : \(c\) est l'intersection des \(H_i\), \(C\) l'hyperplan engendré par les \(h_i\). Pour \(-1 \leqslant i \leqslant n\), posons \[ Z'_i = H_0 \cap \cdots \cap H_i \ (\dim n - i), \qquad Z^*_i = \operatorname{Lin}(h_{i+1}, \ldots, h_n) \ (\dim n - i - 1), \] avec \(Z'_{-1} = X\), \(Z^*_{-1} = C\), \(Z'_n = \{c\}\), \(Z^*_n = \emptyset\). On a toujours les deux chaînes \(Z^*_n \subset \cdots \subset Z^*_{-1}\) et \(Z'_n \subset \cdots \subset Z'_{-1}\), et, pour \(0 \leqslant i \leqslant n-1\), \(Z^*_i \subset Z'_i\), alors de codimension \(1\), si et seulement si \(h_{i+1} \in H_i\), c'est-à-dire \(\beta_i = 0\) — les autres \(h_j\) (\(j \geqslant i + 2\)) étant dans \(H_0, \ldots, H_i\) par la commutation50 .

Théorème (page 79). Un sous-espace projectif \(Z \subset X\) est invariant par \(\mathfrak{G}_n\) si et seulement si ou bien \(Z\) est l'un de \(\emptyset\), \(X\), \(\{c\}\), \(C\) ; ou bien il existe \(0 \leqslant i \leqslant n-1\) avec \(\beta_i = 0\), et \(Z = Z'_i\) ou \(Z = Z^*_i\).

Démonstration (pages 81 et 82). \(Z\) est invariant par une pseudo-réflexion de centre \(h\) et cocentre \(H\) si et seulement si \(h \in Z\) ou \(Z \subset H\). Si \(Z \subset H_i\) avec \(i > 0\), alors \(Z \subset H_{i-1}\) : sinon \(h_{i-1} \in Z \subset H_i\), contre \(h_{i-1} \notin H_i\). De même, si \(h_j \in Z\) avec \(j < n\), alors \(h_{j+1} \in Z\) : sinon \(Z \subset H_{j+1}\) et \(h_j \in H_{j+1}\). L'ensemble des \(i\) tels que \(Z \subset H_i\) est donc un segment initial \([0, i_0]\), et pour \(j > i_0\) on a \(h_j \in Z\). Si \(i_0 = n\), \(Z \subset \{c\}\) ; si aucun, \(Z \supset C\) et \(Z = C\) ou \(X\) ; sinon \(Z^*_{i_0} \subset Z \subset Z'_{i_0}\), ce qui force \(\beta_{i_0} = 0\) et, pour une raison de dimension, \(Z = Z^*_{i_0}\) ou \(Z'_{i_0}\). La réciproque est claire. La marge de la page 81 en tire, pour \(i\) fixé, l'équivalence de : a) \(Z^*_i \subset Z'_i\) ; b) \(Z^*_i\) invariant ; c) \(Z'_i\) invariant ; d) \(\beta_i = 0\).

Comptes (pages 79 et 80). Pour chaque dimension \(0 \leqslant d \leqslant n\), il y a exactement deux espaces des chaînes, \(Z'_{n-d}\) et \(Z^*_{n-d-1}\), et il note qu'ils coïncident exactement quand, pour \(i = n - d\), \(\mu_i = 0\) (ce qui, pour des réflexions, est la caractéristique \(2\)) et \(\beta_i = \beta_{i-1} = 0\), la condition sur \(\beta_i\) disparaissant pour \(i = n\) et celle sur \(\beta_{i-1}\) pour \(i = 0\) ; si \(\rho \neq 0\) ils sont tous distincts. D'où les corollaires :

  1. (b)il y a au plus \(2(n+2)\) sous-espaces invariants, et exactement \(2(n+2)\) si et seulement si tous les \(\beta_i\) sont nuls et tous les \(\mu_i\) non nuls ;
  2. (c)il y a toujours \(\emptyset\), \(X\), \(\{c\}\), \(C\) ; pour que ce soient les seuls, il suffit que tous les \(\beta_i\) soient non nuls51 .

Irréductibilité sur \(C\) (pages 80 à 82). Les sous-espaces invariants contenus dans \(C\) sont \(\emptyset\), \(C\), les \(Z^*_i\) pour \(\beta_i = 0\), et \(\{c\}\) si \(c \in C\), c'est-à-dire si \(\rho = 0\). Donc \(\mathfrak{G}_n\) opère irréductiblement sur \(C\) si et seulement si tous les \(\beta_i\) sont non nuls et \(\rho \neq 0\), c'est-à-dire si et seulement si la forme bilinéaire \(\varphi_V\) est non dégénérée, puisque \(\det \varphi_V = B\rho\) ; pour \(n\) pair cela exige la caractéristique \(\neq 2\), \(\rho = 2\tilde\rho\) étant alors nul52 . La Remarque de la page 81 précise, pour \(n \geqslant 2\) : il n'y a pas d'hyperplan de \(C\) invariant si et seulement si \(\beta_0 \neq 0\) et l'on n'a pas à la fois \(\beta_1 = 0\) et \(H_0 \cap H_1 \subset C\).

84–94

XV. Groupes engendrés par des pseudo-réflexions projectives, et réalisations géométriques (pages 83 à 94)

Réalisations d'une carte régulière (pages 84 à 86)

Soit \(C\) une \(n\)-carte régulière combinatoire, \(R\) l'ensemble de ses repères, torseur à gauche sous \(G = \operatorname{Aut} C\), le commutant de \(G\) étant formé des opérations du groupe cartographique, engendré par \(\sigma_0, \ldots, \sigma_n\)53 . Un repère \(r\) définit des générateurs \(\tau_i^{(r)}\) de \(G\) par \(\tau_i^{(r)} r = \sigma_i r\). Une réalisation géométrique projective de \(C\) dans un fibré projectif \(X\) de dimension relative \(n+1\) est la donnée d'une action \(\varphi_X \colon G \to \operatorname{Aut}_S X\) et d'un drapeau \(X_0 \subset X_1 \subset \cdots \subset X_n\) avec \(\tau_i X_j = X_j\) pour \(i \neq j\), les \(\tau_i\) étant des réflexions ; cela définit \(R \to \mathrm{Drapeaux}(X)\).

Proposition (pages 84 et 85, reprise page 87). Sur un corps, sont équivalentes :

Les implications a) \(\Rightarrow\) b), a') \(\Rightarrow\) b), b) \(\Leftrightarrow\) c) \(\Leftrightarrow\) d), e) \(\Rightarrow\) a), e) \(\Rightarrow\) a') sont triviales ; la seule qui ne le soit pas est c) \(\Rightarrow\) e), et la preuve en donne davantage :

Corollaire (F). \(X_i = \operatorname{Lin}(s_0, \ldots, s_i)\) pour \(0 \leqslant i \leqslant n+1\) (\(X_{n+1} = X\)). Par récurrence : \(s_i \in X_i \subset X_{i+1}\) et \(\tau_i X_{i+1} = X_{i+1}\) donnent \(s_{i+1} \in X_{i+1}\) ; si l'on avait \(s_{i+1} \in X_i\), alors \(\tau_i X_i = \operatorname{Lin}(\tau_i X_{i-1}, \tau_i s_i) = \operatorname{Lin}(X_{i-1}, s_{i+1}) \subset X_i\), contre c). Donc \(s_{i+1} \notin X_i\), et \(X_{i+1} = \operatorname{Lin}(X_i, s_{i+1})\)55 . On note aussi (5) : \(\tau_j s_i = s_i\) pour \(j > i\), puisque \(\tau_j\) commute à \(\tau_{i-1}, \ldots, \tau_0\) et fixe \(s_0\).

La page 86, sans phrases, dresse le treillis de la situation : \(c = \bigwedge H_i\), \(C = \bigvee h_i\), \(Y_{i-1} = \bigvee_{j < i} h_j\), \(Z_{i+1} = \bigwedge_{j > i} H_j\), \(d = Z_1 \wedge C\), \(D = Y_{n-1} \vee c\), et les formules \[ X_i = X_n \wedge Z_{i+1} = X_0 \vee Y_{i-1}, \qquad X'_i = Y_{i-1} \vee c = Z_{i+1} \wedge C, \qquad X''_i = Y_{i-1} \vee d = Z_{i+1} \wedge D , \] avec la dualité \(h_i \leftrightarrow H_i\), \(c \leftrightarrow C\), \(d \leftrightarrow D\).

Le torseur des drapeaux (pages 87 à 90)

B) Pour \((\tau_i)\) donné, il existe localement un drapeau satisfaisant les conditions équivalentes si et seulement si les \(\tau_i\) vérifient \(\alpha\)), \(\alpha'\)), \(\beta\)). C) Sous ces conditions, \((X_i) \mapsto s_0\) est une bijection de l'ensemble des drapeaux non dégénérés adaptés aux \(\tau_i\) sur l'ensemble des sections de \(D_0^{**} = D_0 \smallsetminus \{c, d\}\) ; plus généralement \((X_*) \mapsto X_{i_0}\) est une bijection sur les sections de \(D_{i_0}^{**}\), où \(D_i\) est le fibré des sous-espaces de dimension \(i\) compris entre \(Y_{i-1}\) et \(Z_{i+1}\), privé des deux sections \(X'_i\), \(X''_i\). En marge : les \(X_i\) se déterminent les uns les autres, \(X_i = X_j \wedge H_j \wedge \cdots \wedge H_{i+1}\) et \(X_j = X_i \vee h_i \vee \cdots \vee h_{j-1}\) pour \(i < j\).

D) Soit \(\underline{g}\) le schéma en groupes des automorphismes de \((X, (\tau_i))\). Il opère sur \((D_0, c, d)\), et l'homomorphisme \[ \underline{g} \longrightarrow \underline{\operatorname{Aut}}(D_0;\, c + d), \] vers les automorphismes de la droite \(D_0\) qui induisent l'identité sur le diviseur \(c + d\), est un isomorphisme ; \(D_0^{**}\) est un torseur sous \(\underline{g}\), et le schéma des drapeaux non dégénérés aussi. \(\underline g\) est lisse, commutatif, de dimension relative \(1\), de fibres \(\mathbb{G}_m\) là où \(c \neq d\) et \(\mathbb{G}_a\) là où \(c = d\)56 .

Scholie (page 88). Un système \((\tau_*, X_*)\) non dégénéré est une rigidification du système \((\tau_*)\). La catégorie des \((\tau_*)\) non dégénérés équivaut à celle des \((\tau_*, X_*)\) munis d'un torseur sous \(\underline{g}\). Si le centre est partout à distance finie, en prenant \(s_0\) comme \(1\), \(c\) comme \(0\) et \(d\) comme \(\infty\) sur \(D_0\), ce groupe est \(\mathbb{G}_m\), et la catégorie des \((\tau_*)\) non dégénérés équivaut au produit de celle des \((\tau_*, X_*)\) par celle des modules inversibles sur \(S\).

E) (pages 88 à 90). Pour un quasi-polyèdre combinatoire régulier \(\Pi\), de groupe \(G\) et de torseur des repères \(R\), le choix de \(r \in R\) définit un épimorphisme \(\mathfrak{G}_n \to G\) ; changer \(r\) en \(gr\) conjugue le système par \(\operatorname{int}(g)\). Les conditions (être formé de pseudo-réflexions, être non dégénéré) ne dépendent pas de \(r\), et, \(G\) étant simplement transitif sur \(R\), tout objet attaché intrinsèquement à un système non dégénéré — \(D_0\), \(c\), \(d\) — l'est à \(\varphi_G\). On trouve \(\underline{\operatorname{Aut}}(X, \varphi_G) \simeq \underline{\operatorname{Aut}}(D_0;\, c + d)\), et la catégorie des \(\varphi_G\) quasi-polyédrales non dégénérées équivaut à celle des couples formés d'une réalisation géométrique projective non dégénérée de \(\Pi\) et d'un torseur sous \(\underline{\operatorname{Aut}}(D_0;\, c + d)\). Si \(c = d\), \(D_0 \smallsetminus \{c\}\) est un fibré affine de rang \(1\) trivialisé par \(s_0\), et le groupe est le fibré vectoriel de ses translations.

Coordonnées universelles (pages 91 à 93)

On prend \(C\) pour hyperplan à l'infini ; \(s_0, \ldots, s_{n+1}\) forment une base affine de \(X \smallsetminus C\), et l'enveloppe vectorielle s'identifie à \[ \mathcal{E} = \mathcal{O}_S s_0 \oplus \cdots \oplus \mathcal{O}_S s_{n+1} \xrightarrow{\ \pi\ } \mathcal{O}_S, \qquad \textstyle\sum \lambda_i s_i \mapsto \sum \lambda_i . \] Les pseudo-réflexions \(\tau_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i\) doivent fixer les \(s_k\) pour \(k < i\) (la remarque (5) de la page 85), ce qui donne à \(a'_i\) la forme triangulaire \(a'_i = \sum_{k \geqslant i} \lambda_{ik} s'_k\) dans la base duale \((s'_k)\) ; vérifier (2) \(s_{i+1} = \tau_i s_i\) ; et (1) la moitié restante des conditions de commutation, \(\langle a_j, a'_i \rangle = 0\) pour \(j \geqslant i + 2\)57 . (2) donne \(\lambda_{ii} a_i = s_{i+1} - s_i\), et l'on normalise \(\lambda_{ii} = 1\) : \[ a_i = s_{i+1} - s_i, \qquad a'_i = s'_i + \lambda_i s'_{i+1} + \mu'_i(s'_{i+2} + \cdots + s'_{n+1}) \quad (i < n), \qquad a'_n = s'_n + \lambda_n s'_{n+1} , \] la condition (1) imposant l'égalité des coefficients au-delà de \(s'_{i+1}\)58 . Alors \(\langle a_{i-1}, a'_i \rangle = 1\), \(\langle a_i, a'_i \rangle = \lambda_i - 1\) : \(\lambda_i\) est la valeur propre de \(\tau_i\), et \(\tau_i^2 = 1\) si et seulement si \(\lambda_i = -1\) (page 93, juste). Les \(2n+1\) paramètres \((\lambda_i, \beta_i)\) sont les coordonnées universelles ; avec le théorème de la section suivante, ils donnent la classification annoncée à la page 1359 .

La page 92, barrée et dont la place dans la suite des feuillets n'est pas sûre, renvoie à des formules (5), (8), (9) et à des sous-modules \(F_n\) qui sont ceux du théorème des pages 96 à 99 : c'en est un premier état. Elle esquisse un « Corollaire » et un « Re Corollaire » pour un fibré vectoriel et des conditions fibre à fibre. La page 93 calcule \(\tau_i\tau_{i+1} = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i + a'_{i+1} \otimes a_{i+1} + \langle a_{i+1}, a'_i \rangle\, a'_{i+1} \otimes a_i\) et la matrice \(2 \times 2\) des accouplements de \((a_i, a_{i+1})\) avec \((a'_i, a'_{i+1})\).

Le lemme de relèvement (page 94)

Lemme. Soit \(\mathcal{E}\) un fibré vectoriel de rang \(N \geqslant 3\), \(X = \mathbb{P}(\mathcal{E})\). a) Toute pseudo-réflexion \(\tau_X\) de \(X\) provient d'une unique pseudo-réflexion \(\tau_\mathcal{E}\) de \(\mathcal{E}\), propre si \(\tau_X\) l'est. b) Si \(C = \mathbb{P}(V)\) est un sous-fibré projectif et \(\tau_X\) propre de centre dans \(C\), \(\tau_\mathcal{E}\) induit l'identité sur \(\mathcal{E}/V\) ; si \(C\) est un hyperplan et \(\mathcal{E}\) l'enveloppe vectorielle canonique de \(X \smallsetminus C\), l'action de \(\tau_X\) sur \(X \smallsetminus C\) s'identifie à celle de \(\tau_\mathcal{E}\) sur \(\pi^{-1}(1)\).

Le lemme est énoncé sans preuve ; l'unicité vient de ce que, en rang \(\geqslant 3\), l'hyperplan fixé point par point est déterminé par l'automorphisme projectif, et que le relèvement qui y vaut l'identité est unique. Suit un programme : « Dégager » les conditions de stabilité d'un sous-fibré projectif par des pseudo-réflexions, les conditions de commutation de deux pseudo-réflexions, l'ordre d'une pseudo-réflexion et celui du produit de deux.

96–105

XVI. Groupes engendrés par des pseudo-réflexions vectorielles (pages 95 à 105)

Le théorème (pages 96 à 100)

Dans cette section « libre » s'entend au sens fort : une famille est libre si elle est la base d'un sous-module facteur direct, comme le précise la page 10360 . Les pseudo-réflexions sont strictes : \(a\) et \(a'\) partout non nuls.

Théorème. Soient \(k\) un anneau, \(\mathcal{E}\) un \(k\)-module, \(\tau_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i\) (\(0 \leqslant i \leqslant n\)) des pseudo-réflexions, \(s_0 \in \mathcal{E}\), \(s_{i+1} = \tau_i s_i\), \[ \mathcal{E}_i = k(s_0, a_0, \ldots, a_{i-1}), \qquad \nu_i = \langle s_0, a'_0 \rangle \langle a_0, a'_1 \rangle \cdots \langle a_{i-1}, a'_i \rangle \] 61 .

  1. 1°)(5) \(s_i \in \mathcal{E}_i\) pour tout \(i\) ; et (6) si \(a'_j\) est nulle sur \(\mathcal{E}_{j-1}\) pour \(j \leqslant i\), alors \(s_{i+1} \equiv \nu_i a_i \bmod \mathcal{E}_i\).
  2. 2°)Les conditions (A) : (7) \(\tau_i\tau_j = \tau_j\tau_i\) pour \(i, j\) non consécutifs ; (8) \(\tau_i s_0 = s_0\) pour \(i \geqslant 1\) ; (9) \((s_i)_{0 \leqslant i \leqslant n+1}\) libre ; sont équivalentes aux conditions (B) : (10) \(\langle a_i, a'_j \rangle = 0\) pour \(i, j\) non consécutifs ; (11) \(\langle s_0, a'_i \rangle = 0\) pour \(i \geqslant 1\) ; (12) \((s_0, a_0, \ldots, a_n)\) libre ; (13) \(\nu_n \in k^*\).
  3. 3°)Elles entraînent (14) \(\mathcal{E}_i = k(s_0, \ldots, s_i)\) ; (15) \(\tau_j \mathcal{E}_i = \mathcal{E}_i\) pour \(j \neq i\) ; (16) \(\tau_i \mathcal{E}_i \neq \mathcal{E}_i\) si \(k \neq 0\)62 .

Les \(\mathcal{E}_i\) sont donc le drapeau vectoriel qui relève le drapeau \(X_*\) de la section XV.

Démonstration. 1°) Par récurrence, avec \(a_{-1} = s_0\), \(\nu_{-1} = 1\) : \(s_{i+1} = s_i + \langle s_i, a'_i \rangle a_i \in \mathcal{E}_i + ka_i = \mathcal{E}_{i+1}\) ; et si \(s_i \equiv \nu_{i-1} a_{i-1} \bmod \mathcal{E}_{i-1}\) et \(a'_i|_{\mathcal{E}_{i-1}} = 0\), alors \(\langle s_i, a'_i \rangle = \nu_{i-1}\langle a_{i-1}, a'_i \rangle = \nu_i\).

2°) Rappelons que \(\tau_i\tau_j(x) = x + \langle x, a'_j \rangle a_j + \langle x, a'_i \rangle a_i + \langle x, a'_j \rangle\langle a_j, a'_i \rangle a_i\) ; la commutation équivaut donc à \(\langle x, a'_j \rangle\langle a_j, a'_i \rangle a_i = \langle x, a'_i \rangle\langle a_i, a'_j \rangle a_j\) pour tout \(x\). (B) \(\Rightarrow\) (A) : (10) donne (7), (11) donne (8) ; (10) et (11) disent que \(a'_j\) est nulle sur \(\mathcal{E}_{j-1}\), donc, par 1°), la matrice qui exprime \((s_0, \ldots, s_{n+1})\) dans \((s_0, a_0, \ldots, a_n)\) est triangulaire de diagonale \((1, \nu_0, \ldots, \nu_n)\) ; comme \(\nu_n\) est inversible, tous les \(\nu_i\) le sont, et (12) donne (9). (A) \(\Rightarrow\) (B), par récurrence sur \(n\) (pages 98 et 99) : on suppose tout établi pour \((s_0, \tau_0, \ldots, \tau_{n-1})\), avec \(\mathcal{E}_n = k(s_0, \ldots, s_n)\). Comme \(s_{n+1} = s_n + \langle s_n, a'_n \rangle a_n\) avec \(s_n \in \mathcal{E}_n\), la liberté de \(s_{n+1}\) modulo \(\mathcal{E}_n\) entraîne celle de \(a_n\), donc (12). Alors \((a_i, a_n)\) est libre pour \(i \leqslant n-2\), et la commutation, avec \(a'_i\) et \(a'_n\) partout non nulles, donne \(\langle a_i, a'_n \rangle = \langle a_n, a'_i \rangle = 0\) ; de même (8) donne \(\langle s_0, a'_n \rangle = 0\). Enfin \(s_n \equiv \nu_{n-1}a_{n-1} \bmod \mathcal{E}_{n-1}\) et \(a'_n\) nulle sur \(\mathcal{E}_{n-1}\) donnent \(\langle s_n, a'_n \rangle = \nu_n\), et la liberté de \(s_{n+1}\) modulo \(\mathcal{E}_n\) équivaut à \(\nu_n \in k^*\) ; d'où (13) et \(\mathcal{E}_{n+1} = k(s_0, \ldots, s_{n+1})\). « cqfd ».

3°) (15) : pour \(j < i\), \(a_j \in \mathcal{E}_i\) ; pour \(j > i\), \(a'_j\) est nulle sur \(\mathcal{E}_i\), donc \(\tau_j\) y est l'identité. (16) : \(\tau_i\) est l'identité sur \(\mathcal{E}_{i-1}\) et \(\tau_i a_{i-1} = a_{i-1} + \langle a_{i-1}, a'_i \rangle a_i\) avec \(\langle a_{i-1}, a'_i \rangle\) inversible, donc \(\tau_i \mathcal{E}_i = \mathcal{E}_{i-1} + k(a_{i-1} + \langle a_{i-1}, a'_i \rangle a_i) \neq \mathcal{E}_i\), \(a_i\) étant libre modulo \(\mathcal{E}_i\)63 .

Corollaire (pages 97 et 98). Posons \(h_i = ka_i\), \(H_i = \operatorname{Ker} a'_i\), \(h_{-1} = ks_0\). Les conditions (A') : (15) \(h_i \subset H_j\) pour \(-1 \leqslant i < j \leqslant n\), \(j \neq i+1\), et (15') \((s_i)\) libre — ou encore les \(h_i\) indépendants et \(h_i \not\subset H_{i+1}\) sur chaque fibre —, et (B') : (17) \(\langle a_i, a'_j \rangle = 0\) pour \(-1 \leqslant i < j \leqslant n\), \(j \neq i+1\), (18) \((a_i)_{-1 \leqslant i \leqslant n}\) libre, (19) \(\nu_n \in k^*\), sont équivalentes et entraînent (14). (17) n'est que la traduction de (15) ; le reste est l'argument de 2°)64 .

Corollaire 2 (page 100). Sous les conditions du théorème, avec \(H_i = \mathcal{E}^{\tau_i} = \operatorname{Ker} a'_i\) et \(h_i = \operatorname{Im}(\tau_i - \mathrm{id}) = ka_i\) (21), on a : (22) \(\mathcal{E}_i \subset H_j\) pour \(i < j\) ; (23) \(\mathcal{E}_i \cap H_i = \mathcal{E}_{i-1}\) ; (24) \(\tau_i\tau_{i+1} \neq \tau_{i+1}\tau_i\), même modulo \(k^*\), si \(k \neq 0\) ; (25) \(\langle a_i, a'_{i+1} \rangle \in k^*\) pour \(-1 \leqslant i \leqslant n-1\) ; (25') \(h_i \not\subset H_{i+1}\) si \(k \neq 0\). (21) vient de la liberté de \(a'_i\) et de sa surjectivité, \(\langle a_{i-1}, a'_i \rangle\) étant inversible ; (25) vient de (13), \(\nu_n\) étant le produit de ces accouplements ; (23) de ce que \(a'_i\) est nulle sur \(a_{-1}, \ldots, a_{i-2}\) et inversible sur \(a_{i-1}\).

Pour (24) (page 101) : si \(\tau_i\tau_{i+1} = r\,\tau_{i+1}\tau_i\) avec \(r \in k^*\), l'égalité sur \(H_i \cap H_{i+1}\), non nul en rang \(\geqslant 3\), force \(r = 1\) ; et le commutateur vaut \[ \tau_i\tau_{i+1} - \tau_{i+1}\tau_i = \beta_i\, a'_{i+1} \otimes a_i - \langle a_i, a'_{i+1} \rangle\, a'_i \otimes a_{i+1}, \] qui envoie \(a_{i-1}\) sur \(-\langle a_{i-1}, a'_i \rangle\langle a_i, a'_{i+1} \rangle\, a_{i+1} \neq 0\), puisque \(\langle a_{i-1}, a'_{i+1} \rangle = 0\). Donc \(\tau_i\) et \(\tau_{i+1}\) ne commutent sur aucune fibre, quel que soit \(\beta_i\)65 . Enfin (25') suit de (25).

L'existence du point de départ (pages 102 à 105)

Remarque (page 102). Si \(\mathcal{E}\) est localement libre de rang \(n+2\), on obtient des conditions équivalentes \((\bar A)\), \((\bar B)\) en renforçant (9) en « \((s_i)_{0 \leqslant i \leqslant n+1}\) est une base de \(\mathcal{E}\) » et (12) en « \((s_0, a_0, \ldots, a_n)\) est une base » ; elles équivalent aussi à (A), (B) et (26) \(\mathcal{E}_{n+1} = \mathcal{E}\). De même pour le corollaire66 .

Proposition (pages 102 et 103). Soient \(\mathcal{E}\) localement libre de rang \(n+2\) et \(z_i = \mathrm{id} + a'_i \otimes a_i\) (\(0 \leqslant i \leqslant n\)) des pseudo-réflexions. Pour qu'il existe localement \(s_0 \in \mathcal{E}\) satisfaisant \((\bar A)\), \((\bar B)\) — conditions de commutation et de non-dégénérescence —, il faut et il suffit que : a) \((a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}\) soit strictement libre ; a') \((a'_i)\) soit strictement libre dans \(\mathcal{E}^\vee\) ; b) \(\langle a_i, a'_j \rangle = 0\) pour \(i < j\), \(j \neq i+1\) ; c) \(\langle a_i, a'_{i+1} \rangle \in k^*\) (\(0 \leqslant i \leqslant n-1\)), c'est-à-dire \(h_i \not\subset H_{i+1}\) sur chaque fibre.

Démonstration. La nécessité de a), b), c) est claire. Pour a'), soit \(a'_{n+1}\) la forme de noyau \(k(a_{-1}, \ldots, a_{n-1})\) ; la matrice des \(\langle a_i, a'_{j} \rangle\) (\(-1 \leqslant i \leqslant n\), \(0 \leqslant j \leqslant n+1\)) est triangulaire, de diagonale \(c_{-1} = \langle s_0, a'_0 \rangle, c_0 = \langle a_0, a'_1 \rangle, \ldots, c_n = \langle a_n, a'_{n+1} \rangle\), et son déterminant \(\nu_n c_n\) est inversible ; donc \((a'_0, \ldots, a'_{n+1})\) est une base de \(\mathcal{E}^\vee\). Inversement (pages 104 et 105), sous a), a'), b), c), les \(s\) tels que \(\langle s, a'_i \rangle = 0\) pour \(i \geqslant 1\) forment, par a'), un facteur direct \(F\) de rang \(2\). Dans \(F\), la condition (19) devient \(\langle s_0, a'_0 \rangle \in k^*\), c'est-à-dire \(s_0 \notin D = F \cap \operatorname{Ker} a'_0\), une droite. Reste (18), la liberté de \((s_0, a_0, \ldots, a_n)\) : soit \(L = \mathcal{E}/k(a_0, \ldots, a_n)\), de rang \(1\) ; \(F \to L\) est surjectif, car sur un corps \(F \cap k(a_0, \ldots, a_{n-1}) = 0\) — les formes \(a'_1, \ldots, a'_n\) ont sur \(k(a_0, \ldots, a_{n-1})\) une matrice triangulaire de diagonale \(c_0, \ldots, c_{n-1}\) inversible — et \(k(a_0, \ldots, a_{n-1})\) est de codimension \(1\) dans \(k(a_0, \ldots, a_n)\) alors que \(F\) est de dimension \(2\). Avec \(\Delta = \operatorname{Ker}(F \to L)\), (18) dit \(s_0 \notin \Delta\). Donc les \(s_0\) cherchés sont les sections du fibré \(F\) de rang \(2\) qui ne sont, sur aucune fibre, ni dans \(D\) ni dans \(\Delta\) : il en existe toujours localement — même sur un corps à deux éléments, un plan ayant trois droites67 .

107–112

XVII. Classes de Stiefel-Whitney et classe de Brauer de la forme invariante (pages 106 à 112)

On suppose \(2\), les \(\beta_i\) et \(\delta(f_V) = B\rho\) inversibles ; \(\partial \colon H^0(-, \mathbb{G}_m) \to H^1(-, \mu_2) = H^1(-, \mathbb{Z}/2)\) est le cobord de Kummer, et \(w_*\) la classe de Stiefel-Whitney totale d'une forme quadratique, de sorte que \(w_*(\langle d_1, \ldots, d_r \rangle) = \prod (1 + \partial d_i)\)68 .

La décomposition (page 107). L'orthogonal dans \(V\) de \(\mathcal{O}_S(a_1, \ldots, a_n)\) est, puisque \(\psi(a_i) = -c_i a'_i\), le noyau commun des \(a'_i\) (\(i \geqslant 1\)) dans \(V\) : il est engendré par \[ w = \tilde c - \rho s_0 = -\rho\,\tilde s_0 = \sum_{i \geqslant 0} \xi_i a_i, \qquad f_V(w) = \rho^2 f_V(\tilde s_0) = \tilde\rho\tilde\sigma , \] où \(\tilde s_0 = s_0 - c\) est la projection orthogonale de \(s_0\) sur \(V\) ; il retrouve \(f_V(\tilde s_0) = \tilde\rho\tilde\sigma/\rho^2\) comme à la page 74. Or la forme induite sur \(\mathcal{O}_S(a_1, \ldots, a_n)\) est \(\beta_0\) fois la forme \(f_V(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1})\) du polytope de rang inférieur, puisque \(f(a_i) = \beta_0 \cdot (\beta_1 \cdots \beta_{i-1})\). Si de plus \(\sigma\) est inversible — le réseau \(\mathcal{O}_S w \oplus \mathcal{O}_S(a_1, \ldots, a_n)\) est d'indice \(\xi_0 = \sigma\) dans \(V\) —, on a donc la décomposition orthogonale \[ f_V(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) \simeq \langle \tilde\rho\tilde\sigma \rangle \perp \beta_0 \cdot f_V(\beta_1, \ldots, \beta_{n-1}) . \] En l'itérant, avec \(\tilde\rho_i = \tilde\rho_{i,n-1} = L'_{n-i+1}(\beta_i, \ldots, \beta_{n-1})\) (\(\tilde\rho_0 = \tilde\rho\), \(\tilde\rho_1 = \tilde\sigma\), \(\tilde\rho_n = \tilde\rho_{n+1} = 1\)), on trouve, si tous les \(\tilde\rho_i\) sont inversibles, \[ f_V \simeq \mathop{\perp}_{i=0}^{n} \bigl\langle (\beta_0 \cdots \beta_{i-1})\, \tilde\rho_i\,\tilde\rho_{i+1} \bigr\rangle , \qquad w_*(f_V) = \prod_{i=0}^{n} \bigl(1 + \partial(\beta_0 \cdots \beta_{i-1}) + \eta_i + \eta_{i+1}\bigr), \quad \eta_i = \partial\tilde\rho_i . \] Le produit des coefficients est \(B\tilde\rho\) à un carré près, comme il se doit69 . La décomposition est valable sous l'hypothèse que tous les \(\tilde\rho_i\) sont inversibles, hypothèse qu'il juge lui-même « parasite » page 110. Comme \(f_V(a_0) = 1\), on a \(f_V \simeq \langle 1 \rangle \perp q'\), donc \[ w_{n+1}(f_V) = 0 , \] ce que dit son « NB » de la page 109. Pour \(f_E\), comme \(V^\perp = \mathcal{O}_S\tilde c\) avec \(f_E(\tilde c) = -\tilde\rho\tilde\sigma\) (et \(\rho\) inversible), \(w_*(f_E) = (1 + \varepsilon + \eta_0 + \eta_1)\, w_*(f_V)\), avec \(\varepsilon = \partial(-1)\). Il se demande enfin si, en menant le calcul dans l'autre sens, on trouverait « d'autres expressions remarquables ».

Le cas \(n = 2\) (pages 110 et 111). Sans l'hypothèse parasite, il prend pour base orthogonale \(a_0\), \(a_2\) et \(u = \beta_0 a_0 + 2a_1 + a_2\), orthogonal aux deux, avec \(f(a_0) = 1\), \(f(a_2) = \beta_0\beta_1\), \(f(u) = -\beta_0(\alpha_0 + \alpha_1) = \beta_0\tilde\rho\) ; d'où, avec \[ \varepsilon = \partial(-1), \quad \eta_0 = \partial\beta_0, \quad \eta_1 = \partial\beta_1, \quad \eta_2 = \partial(-(\alpha_0 + \alpha_1)) = \partial\tilde\rho , \] \[ w_*(f_V) = (1 + \eta_0 + \eta_1)(1 + \eta_0 + \eta_2), \qquad w_1 = \eta_1 + \eta_2, \qquad w_2 = \eta_0^2 + \eta_0\eta_1 + \eta_1\eta_2 + \eta_2\eta_0 . \] C'est juste, et s'accorde avec la formule générale ci-dessus grâce à la relation de Steinberg \(\partial a \cdot \partial b = 0\) pour \(a + b = 1\), appliquée à \(\tilde\rho/\tilde\sigma + \beta_0/\tilde\sigma = 1\)70 . Il pose ensuite \[ c(f_V) = w_2(f_V) + w_1(f_V)^2 = (\eta_0 + \eta_1 + \eta_2)^2 + (\eta_0\eta_1 + \eta_1\eta_2 + \eta_2\eta_0), \] nul si et seulement si la conique \(Q_C\) est isomorphe à celle de \(x^2 + y^2 + z^2\), et \[ \operatorname{Br}(f_V) = c(f_V) - c(X^2 + YZ) = (\varepsilon + \eta_0 + \eta_1 + \eta_2)^2 + (\eta_0\eta_1 + \eta_1\eta_2 + \eta_2\eta_0), \] puisque \(c(X^2 + YZ) = \varepsilon^2\). Pour une forme ternaire \(\langle a, b, c \rangle\), la classe de la conique est celle de l'algèbre de quaternions \((-ab, -ac)\), et un calcul bilinéaire donne \((-ab, -ac) = w_2 + w_1^2 + (-1, -1)\) : \(\operatorname{Br}(f_V)\) est donc bien, comme il le dit, la classe de Brauer du fibré en coniques \(Q_C\), dont l'annulation signifie que ce fibré est le projectivisé d'un fibré vectoriel de rang \(2\)71 .

La base universelle (pages 111 et 112). Le calcul universel se fait sur \[ S_0 = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[\beta_0, \beta_1][1/2\beta_0\beta_1(4 - \beta_0 - \beta_1)]. \] Il affirme que \(\varepsilon, \eta_0, \eta_1, \eta_2\) forment une base de \(H^1(S_0, \mathbb{Z}/2)\), et qu'il est « plausible » que les dix produits \(\varepsilon^2, \eta_i^2, \varepsilon\eta_i, \eta_i\eta_j\) soient linéairement indépendants dans \(H^2(S_0, \mathbb{Z}/2)\), avec un point d'interrogation. Les deux points demandent correction. Les unités de l'anneau de \(S_0\) sont, au signe près, les monômes en \(2, \beta_0, \beta_1, \tilde\rho\), et son groupe de Picard est nul : \(H^1(S_0, \mathbb{Z}/2)\) est de dimension \(5\), de base \(\varepsilon, \partial 2, \eta_0, \eta_1, \eta_2\). Et comme \(S_0\) est régulier de Picard nul, \(H^2(S_0, \mu_2)\) s'injecte dans le groupe de Brauer de son corps des fractions, où vaut la relation \(\partial a \cdot \partial a = \partial a \cdot \partial(-1)\) ; donc \(\eta_i^2 = \varepsilon\eta_i\), et les dix produits ne sont pas indépendants. L'indépendance des sept qui restent n'est pas établie ici72 .

Le problème (page 112) : calculer les classes de Stiefel-Whitney totales de la forme quadratique lisse « à coefficients indéterminés » sur \(\mathbb{Z}[(c_{ij})_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}][1/2\delta']\). Le \(H^1\) de cette base est engendré par \(\varepsilon = \partial(-1)\), \(\partial 2\) et \(\eta = \partial\delta' = w_1(f)\) ; les deux premiers s'annulent sur \(\mathbb{Q}(\sqrt{-1}, \sqrt 2)\), a fortiori sur \(\mathbb{C}\), et il conclut qu'on ne peut exprimer multiplicativement à partir de ces éléments aucune des classes \(w_2, w_3, \ldots\) Le raisonnement suppose que, sur \(\mathbb{C}\), \(w_2\) n'est pas un multiple de \(w_1^2\), ce que la page ne montre pas ; la conclusion reste un constat à étayer73 .

Notes

  1. Ce sont les noms d'aujourd'hui : polytopes réguliers abstraits, groupes de Coxeter linéaires (« string Coxeter groups ») de symbole de Schläfli \(\{\infty, \ldots, \infty\}\) ; voir P. McMullen et E. Schulte, Abstract Regular Polytopes (2002). Les feuillets disent « \(n\)-hyperpolyèdre combinatoire épinglé universel », « \(n\)-carte régulière », « quasi-polyèdre » ; le « groupe cartographique » engendré par \(\sigma_0, \ldots, \sigma_n\) de la page 84 est celui des dossiers 76 et 88. ↩
  2. Il écrit tantôt \(\mathbb{P}(E)\), tantôt \(\check{\mathbb{P}}(E)\), selon la convention ; on fixe celle-ci une fois pour toutes. « Rang » d'un fibré projectif, chez lui, est la dimension relative : \(X\) est « de rang \(n+1\) ». ↩
  3. Le lien avec le symbole de Schläfli est de cette lecture ; la page 33 a \(\beta_i = 4\cos^2\theta_i\) et appelle \(\alpha_i\) « l'invariant de \(\tau_i\tau_{i+1}\) (rotation) ». La matrice \((\langle a_j, a'_i \rangle)\) est, au signe des \(a'_i\) près, une matrice de Cartan généralisée de type « chaîne », et le produit de ses deux coefficients non diagonaux vaut \(\beta_i\) : c'est la représentation géométrique de Tits (Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, ch. V, \S 4, 1968), sous la forme plus libre des groupes de Coxeter linéaires de Vinberg (1971). Il pouvait connaître Bourbaki et le livre de Coxeter, Regular Polytopes ; aucune page ne les cite. ↩
  4. Les lettres bougent d'une page à l'autre. Les « moitiés » \(\tilde\rho, \tilde\sigma\) sont ses \(\rho', \sigma'\) aux pages 22 à 24, 52 à 54 et 74 à 77, ses \(\tilde\rho, \tilde\sigma\) aux pages 39 à 42, 62 à 66 et 107 ; mais aux pages 60 à 70 son \(\sigma'\) est \(\rho_{0,n-2}\), qu'on note ici \(\sigma^\vee\). On garde une lettre par objet. ↩
  5. Sa lettre pour ce vecteur varie : \(\tilde\sigma\) (page 22), \(c'\), \(\tilde c\) (pages 47 à 53), \(\pi\) (pages 5 à 9, 38 à 40, 60 à 70, 107), et une sorte de \(\sigma\) bouclé (page 77). Réciproquement, la forme \(\pi\) de cette lecture est son \(\pi\) aux pages 22 à 25 et son \(\pi'\) ailleurs. ↩
  6. Son indice « \(\varepsilon\) » (\(f^\varepsilon\), \(f_\varepsilon\), \(\delta_\varepsilon\), pages 41, 42 et 52) est lu ici comme un \(\mathcal{E}\) cursif : c'est la forme sur \(\mathcal{E}\), ce que confirment les discriminants de la page 52. ↩
  7. Le signe de « \(n+1\) » est d'une lecture incertaine ; à gauche, au crayon, « (23 p) », d'une main non établie. ↩
  8. Sur la page, deux traits verticaux coupent la chaîne ; au premier est accrochée la mention « \(n \geqslant 2\) (explicités variante si \(n = 1\) !) », au second « si de plus les \(\lambda_i = -1\) i.e. les \(\tau_i\) des réflexions ». La raison de la première restriction est le lemme de relèvement de la page 94 : voir la section IV. ↩
  9. L'énoncé de la page 6 s'écrit « Sur un anneau intègre, si \(\beta\) ou \(\rho \neq 0\), alors le seul \(u\) … induisant l'identité dans \(V\) est l'identité, sauf dans le cas \(\beta \neq 0\), \(n\) pair, car. 2 (\(\rho = 2\rho' = 0\)), \(\rho'\) inv. » La lecture ci-dessus en donne la raison ; les calculs des pages 5 à 8 sont menés dans des notations provisoires (\(\beta\), \(\sigma\), \(\sigma'\), \(\psi'\)) qui ne sont pas celles des pages suivantes, et en partie barrés (la moitié supérieure de la page 8 l'est, et l'alinéa entre crochets des pages 7 à 9 est un calcul abandonné en coordonnées). ↩
  10. Sur la page, le premier cas porte \(\pi' \otimes \pi\) dans ses notations, où \(\pi'\) est notre forme \(\pi\) et \(\pi\) notre vecteur \(\tilde c\). Les deux formules sont la même, \(u = \mathrm{id} - \pi \otimes c'\), puisque \(c' = \tilde c/\tilde\rho\) pour \(n\) pair et \(2\tilde c/\rho\) pour \(n\) impair. ↩
  11. La page écrit « \(\beta_0, \beta_n\) » ; dans les conventions de cette lecture le dernier paramètre est \(\beta_{n-1}\). ↩
  12. Le produit contracté est celui du dossier 75. La page parle de « tordre » ; le mot « commutant » est lu avec doute. ↩
  13. La page dit « produit de \(C_{\mathrm{pr}}\) (ou d'une de ses variantes) et de la cat. des \(\mathfrak{G}_0\)-torseurs » ; c'est la sous-catégorie pleine de type \(\mathfrak{G}_0\) de la page 11 qui convient. La lettre \(\mathfrak{G}_S\) de la page 12 est lue avec doute. ↩
  14. La page écrit l'exposant « \(2n-1\) » (lecture incertaine) ; la liste qu'il compte a \(2n+1\) termes. Les \(\lambda_i\), valeurs propres de pseudo-réflexions, sont des unités. La démonstration de cette assertion n'est pas sur la page ; elle découle du théorème des pages 96 à 100 lu dans les coordonnées universelles de la page 91 (section XV). ↩
  15. Le coefficient de \(a_{i-1}^*\) dans la ligne médiane est un signe douteux sur la page ; c'est \(1\), par \(\langle a_{i-1}, a_i^\vee \rangle = 1\), et la dernière ligne l'écrit sans coefficient. ↩
  16. La page écrit « si \(n \geqslant 2\) (mais non si \(n = 2\)) », l'un des deux portant peut-être un \(1\). La restriction juste est \(n \geqslant 2\) : le relèvement unique est le lemme de la page 94 (rang \(\geqslant 3\)), et il échoue sur la droite projective, où une involution à deux points fixes se relève en deux pseudo-réflexions différentes, selon le point fixe qu'on déclare « hyperplan ». ↩
  17. La page écrit les termes rectangles avec le signe \(+\) ; ses propres relations \(\varphi(a_i, a_{i+1}) = -c_{i+1}\) donnent \(-\), comme les pages 44 et 60, qui l'écrivent ainsi. On vérifie directement que cette \(f_V\) satisfait \(f(a_i)a'_i + \psi(a_i) = 0\) pour tout \(i\), sans aucune hypothèse d'inversibilité. ↩
  18. La page écrit « \((\tau_i\tau_{i+1})^2 = \mathrm{id}\) dans chaque fibre, i.e. \(\tau_i\) ne commute pas à \(\tau_{i+1}\) » : le signe est un lapsus, que la paraphrase et la page 3 (« \(\rho_i^2 \neq \mathrm{id}\) en tte fibre ») corrigent. ↩
  19. Le rapprochement est de cette lecture ; le point d'interrogation de la page est justifié. ↩
  20. La page écrit « \(\beta_0, \beta_1\) et \(\beta_0 + \beta_1 - 4 = \alpha_0 + \alpha_1\) inv. », ce qui est la même condition. ↩
  21. Les indices \(f\) (face) et \(s\) (sommet) sont lus avec doute. La traduction de 2) est la sienne et n'est pas démontrée ; une direction au moins est claire par la polarité relative à la conique, qui échange points et droites de \(C\) : si les \(h_i\) sont alignés sur une droite \(\ell\), celle-ci est invariante et \(\ell \cap Y\) est un diviseur invariant de degré \(2\). ↩
  22. La fin de l'alinéa 1) de la Proposition se lit « sont nulles », avec doute ; l'équation ne laisse que la lecture donnée. ↩
  23. Les équations (3), (4), (6), (7) de la page sont celles-ci, à la notation près (\(\tilde\sigma\) y désigne le vecteur centre, et \(\rho', \sigma'\) les moitiés). Le cas c) de la page 23, sur la caractéristique \(2\), est trop surchargé pour être lu ; la condition « \(u\) réflexion » de l'équation (5), \(\lambda\rho = -2\), est la même que celle de l'antipodisme. ↩
  24. La ligne \(d_3\) de la page 27 porte \(d_0\) là où la récurrence donne \(\bar d_0\) ; la ligne générale \(d_{2i+1}\) a bien \(\bar d_0\). Les conventions de linéarité de \(h\) ne sont pas fixées sur la page ; les formules sont données ici à cette réserve près. ↩
  25. Les indices de \(N(\cdot)\) dans les deux formules de droite de la page 29 semblent décalés d'un cran par rapport à la liste de gauche ; la moitié supérieure de la page est barrée. ↩
  26. L'identification des valeurs est de cette lecture. Un petit tableau de chiffres en marge (\(1\,2\,2 / 3\,3\,3 / 4\,4\,4 / 5\,5\,5\)) et la ligne « \(\tau_0\ \tau_1\ \tau_\infty\) / \(p\ q\ r\) », avec « un des trois \(= 2\) déjà traité ; \(p, q, r \geqslant 3\) », suggèrent une liste de triplets d'ordres, à la manière des groupes de réflexions unitaires de rang \(2\) ; la page n'en dit pas plus. ↩
  27. On garde la lettre de la page dans cette seule section ; ailleurs \(\rho\) est toujours \(L_{n+1}\). ↩
  28. En tête de page, les mêmes conditions de lissité ; ensuite la page échange les noms : elle appelle \(\alpha_i\) le quotient \(\varphi(a_i, a_{i+1})^2/f(a_i)f(a_{i+1}) = 4\cos^2\theta_i\), que la page 33 appelait \(\beta_i\), et écrit \(\beta_i = \alpha_i + 2 = 2(2\cos^2\theta_i + 1) = 4\cos 2\theta_i\), qui est faux : \(2\cos^2\theta_i + 1 = \cos 2\theta_i + 2\). On garde les noms de la page 33. ↩
  29. Ces schémas en groupes sont aujourd'hui ceux de T. Sekiguchi, F. Oort et N. Suwa (fin des années 1980), qui les notent \(\mathcal{G}^{(\lambda)}\) et en font le pont entre théorie de Kummer et théorie d'Artin-Schreier ; les feuillets sont antérieurs. Cité de mémoire. ↩
  30. La page écrit \(\rho = L_{n+1}(\mu_0, \lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1}, \mu_n)\), les arguments médians pouvant être des \(\beta\) ; dans le cas des réflexions c'est \(L_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1})\), comme on le montre aux pages 47 et 51 (section X). ↩
  31. Le théorème est énoncé sans preuve. Le torseur se voit directement : les points de \(D_0\) sont les \(s_0 + \lambda\tilde c\) et \(\tilde c\), \(d\) est le point où \(\pi(s_0 + \lambda\tilde c) = 1 + \rho\lambda\) s'annule, et \(D_0^{**}\) est exactement \(\{s_0 + \lambda\tilde c : 1 + \rho\lambda \text{ inversible}\} = \mathcal{U}_\rho \cdot s_0\). L'isomorphisme est repris, sous forme projective et avec la même absence de preuve, aux pages 87 et 88. ↩
  32. Les pages 40 à 42 traitent séparément \(n\) pair (\(\lambda = -1/\tilde\rho\)), \(n\) impair (\(\tilde\sigma(2 + \lambda\rho) = 0\), \(u = \mathrm{id} - (2/\rho)\pi \otimes \tilde c\)) et l'exemple \(n = 1\), où \(\rho = 4 - \beta = 2 - \alpha\), \(\sigma = 2\), \(\tilde\sigma = 1\) : si \(\rho\) est inversible, \(\mathcal{U}_\rho = \mathbb{G}_m\) et l'antipodisme est l'unique \(u \neq 1\) respectant la conique \(Q_X\) ; \(\mathcal{U}_\rho\) entier la respecte si et seulement si \(\rho = 0\) en caractéristique \(2\). La prose de la page 41 est en bonne partie illisible. ↩
  33. La page indexe \(f(a_i) = c_{i-1}\), avec en marge « attention au décalage des notations » ; on garde ici \(c_i = f(a_i)\), comme les pages 15 à 17. Elle écrit « \(\tau_i\) str. orth. \(\Leftrightarrow (\alpha_0 + 2), \ldots, (\alpha_{i-1} + 2) \in k^*\) », ce qui est la même chose. ↩
  34. La page 48 écrit \(\Delta_{n+2}(0, 1, c_0, \ldots)\), déterminant de la forme sur \(E\), égal au déterminant d'ordre \(n\) ; avec la tache qui peut couvrir un signe, c'est \(-\Delta_n\), comme à la page 45 où \(\delta(f) = -F_n\). ↩
  35. Ce sont, à la normalisation près, les continuants d'Euler (le mot est de Sylvester), et le développement est leur règle classique « des paires non adjacentes ». La page écrit des bornes flottantes (\(n\) au lieu de \(n-1\) dans la dernière somme). Page 49, \(L_4\) est écrit avec un terme « \(B_3B_4\) » qui n'existe pas pour trois arguments ; le calcul qui suit garde exactement \(B_1B_3\) et donne le résultat juste, \(L_4 = 16 - 4(B_1 + B_2 + B_3) + B_1B_3 = (\alpha_1 - 2)(\alpha_3 - 2) - 4(\alpha_2 + 2)\). Les deux premières lignes de la page 49 (\(B_i = B'_i + 4\), un produit de facteurs \(2 - B_i/2\)) sont des essais sans suite. ↩
  36. C'est le critère de Schläfli ; le rapprochement est de cette lecture. Le centre à l'infini quand \(\rho = 0\) est le centre d'un pavage euclidien, qui n'en a pas. ↩
  37. Les discriminants de la page 52 sont notés \(\delta_\varepsilon = B\sigma\), \(\delta_V = B\rho\) (et \(\delta'\) pour les moitiés), au signe près. Le mot « birégulier » est lu avec doute. ↩
  38. La page écrit ce cas « B) \(2 \cdot 1_S = 0\) » sans préciser la parité ; pour \(n\) pair, la formule du cas pair vaut en toute caractéristique, et c'est pour \(n\) impair que \(\sigma = 2\tilde\sigma\) s'annule. Le dernier alinéa de la page 54, sur les systèmes avec \(n = 2m\) et \(\sigma\) inversible, est barré. ↩
  39. La page écrit ce déterminant « \(= L_{n+1}(\beta_0, \ldots, \beta_{n-1}) = \rho\) », en omettant le signe \((-1)^{n+1}\), qui vaut \(1\) pour \(n\) impair. ↩
  40. On vérifie la formule encadrée en l'évaluant sur les \(a_k\) : le coefficient obtenu est \(L_{k+1} - 2L_k + \beta_{k-1}L_{k-1}\), nul par la récurrence des continuants. La page a deux glissements d'indice (\(\rho_{2,2}\, a'_3\) pour \(a'_4\) dans la ligne de \(a^*_1\), \(2a_2\) pour \(2a_0\) dans celle de \(a'^*_2\)) et écrit \(\rho_{ij} = L_{j-i+1}(\beta_j, \ldots, \beta_i)\) là où la symétrie demande \(L_{j-i+2}\). Sa lettre \(\sigma'\) y est notre \(\sigma^\vee\). ↩
  41. Le nom est de cette lecture (on dit aussi « condensation de Dodgson »). La page 66 l'encadre sous la forme \(\sigma\sigma' - \beta = L_{n-1}(\beta_1, \ldots, \beta_{n-2})\rho\), avec son \(\sigma'\) pour notre \(\sigma^\vee\) ; pour \(n = 1\), \(4 - (4 - \beta_0) = \beta_0\). ↩
  42. Les primes de \(\Theta, \Theta'\) sont croisées sur la page ; on nomme \(\Theta\) l'opérateur vérifié. Le bas de la page 62 est barré. ↩
  43. Sur la page, \(\gamma\) et \(\sigma'\) sont ceux des pages 60 à 70 (\(\gamma = \rho_{1,n-2}\), \(\sigma' = \sigma^\vee\)). Le haut des pages 62 et 66 est barré ; les coefficients de \(t_0\) à la page 62 ne s'accordent pas avec ceux de la ligne voisine, lus avec doute de part et d'autre. ↩
  44. Cette page est la moins sûre de la section : ses coefficients de \(a_{n-1}\) et \(a_n\) ont des signes surchargés qui ne suivent pas tous le calcul (le calcul juste donne \(-\sigma(2\sigma^\vee - \rho)/\beta\rho\) pour \(a_{n-1}\)), elle applique \(p_{-\beta}\) en l'appelant \(p_\beta\), et la dernière ligne porte \(+\rho\beta(\ldots)\) là où \(t_i = t_{n+1} - \sigma[\ldots]\) donne \(-\rho[\ldots]\). On ne reproduit que ce qui se vérifie. ↩
  45. La page écrit « \(L_i \subset H_{i+1}\) chaque fibre » ; c'est la condition de non-dégénérescence 4) de la page 14, \(L_i \not\subset H_{i+1}\), qui est entendue. ↩
  46. Ces deux vérifications sont de cette lecture. ↩
  47. La page dit « il suffit de choisir une section \(a_0\) de \(D_0\) telle que \(f_V(a_0) = 1\) », puis précise l'indétermination ; la remarque sur la topologie (étale si \(2\) est inversible, plate en général) est de cette lecture. « Rien n'empêche d'ailleurs que \(f_V(s_0) = 0\) », ajoute-t-il : le sommet peut être sur le cône isotrope. ↩
  48. La page écrit « Pour \(n \neq 2\) » et met « NB \(n \neq 2\) » en marge de l'énoncé ; la marge de la page 75 explique que pour \(n = 1\) une réflexion de \(C = \mathbb{P}(V)\) ne provient pas d'une réflexion de \(V\), et la parenthèse finale de la page 76 dit que pour \(n = 2\) la conique se déduit canoniquement. Le relèvement exige \(n \geqslant 2\) (section IV) ; le cas \(n = 2\) n'est pas exclu, il est seulement plus simple. ↩
  49. L'interprétation par la sphère médiane et la vérification sont de cette lecture ; la page parle de « la sphère circonscrite aux transformés des \(s'_0 + s'_1\) ». ↩
  50. La page 81 écrit « \(Z_i \subset Z'_i\), ce qui équivaut aussi à \(h_{i+1} \notin H_i\) i.e. \(\beta_i = 0\) » ; c'est \(\in\) qu'il faut, \(\beta_i = \langle a_{i+1}, a'_i \rangle\) mesurant précisément l'appartenance de \(h_{i+1}\) à \(H_i\). La note de marge de la page 79 a la bonne équivalence. Les deux définitions de la page 79 échangent \(Z^*_{-1}\) et \(Z'_{-1}\) par rapport à la chaîne qui suit ; on suit la chaîne. ↩
  51. La page poursuit par « il faut et suffit » avec une condition plus faible, qui épargne \(\beta_0\) quand \(\mu_0 = 0\) et \(\beta_{n-1}\) quand \(\mu_n = 0\) (en caractéristique \(2\), seuls les \(\beta_i\) intérieurs seraient requis). Les deux énoncés se suivent sans que le premier soit barré. Tel que le théorème est écrit, \(\beta_{n-1} = 0\) fournit l'espace invariant \(Z'_{n-1}\), droite passant par \(c\), qui n'est aucun des quatre dès que \(n \geqslant 2\) ; la condition faible ne suit donc pas de l'énoncé, et cette lecture ne la tranche pas. ↩
  52. Le d) barré de la page 80 dit exactement cela (« il faut et suffit que \(\rho \neq 0\) et les \(\beta_i \neq 0\) ») ; le c) de la page 82 omet \(\rho \neq 0\), et attache la condition de caractéristique à \(n\) impair. Le d) repris page 80, qui décrit les sous-espaces stables de \(C\) comme les \(Z^*_i\) pour \(\beta_i = 0\), porte en marge « si \(c \notin C\) i.e. \(\rho \neq 0\) », et s'arrête sur « Ces sous- ». ↩
  53. Ici \(C\) désigne la carte, comme sur la page, et non l'hyperplan à l'infini ; \(\sigma_i\) sont les générateurs du groupe cartographique, comme dans les dossiers 76 et 88, non le continuant. ↩
  54. La page écrit « \(\mathrm{Gram}_i(X)\) » ; on attend une grassmannienne. ↩
  55. La page écrit deux fois « \(\in\) » (« Reste à prouver que \(s_{i+1} \in X_i\), i.e. \(\tau_i s_i \in X_i\) ») là où le raisonnement demande \(\notin\). ↩
  56. « Induisent l'identité sur \(c + d\) » rend ses annotations « id sur », « produit de div. relatifs ». Quand \(c = d\), fixer seulement le point donnerait le groupe affine, de dimension \(2\) ; c'est l'identité sur le diviseur double qui donne \(\mathbb{G}_a\). Ce groupe est le \(\mathcal{U}_\rho\) de la section IX, \(c = d\) correspondant à \(\rho = 0\) ; le rapprochement est de cette lecture. ↩
  57. Les indices de la condition (1), entre crochets sur la page, sont surchargés ; on donne la condition que le calcul utilise. ↩
  58. La lettre devant la dernière parenthèse est surchargée et lue \(\mu_i\) ; on la note \(\mu'_i\) pour ne pas la confondre avec \(\mu_i = \lambda_i - 1\). Les deux formules de \(\langle a_{i+1}, a'_i \rangle\) de la page 93 (\(1 + \alpha_i - \lambda_i\) dans la matrice, \(\alpha_i - \lambda_i\) sous l'accolade) ne s'accordent pas, et la lettre \(\alpha_i\) n'y est pas définie ; avec les formules ci-dessus, \(\langle a_{i+1}, a'_i \rangle = \mu'_i - \lambda_i\) et \(\beta_i = \mu'_i - \lambda_i\). ↩
  59. Cette conséquence est de cette lecture : dans ces coordonnées les conditions (B) du théorème sont satisfaites pour tous paramètres (\(\nu_n = 1\)), et l'on obtient une réalisation non dégénérée pour toute valeur des \(\beta_i\) et toute valeur inversible des \(\lambda_i\). ↩
  60. Sur un corps, c'est l'indépendance linéaire. Sur un anneau, c'est ce sens fort qui rend (9) équivalente à (12) et (13) ; la page ne le dit qu'à la page 103 (« strictement libre »). ↩
  61. La page note \(\lambda_i\) ces produits ; ce ne sont pas les valeurs propres des sections précédentes, d'où la lettre \(\nu_i\). ↩
  62. La page écrit (14) \(\mathcal{E}_i = k(s_0, \ldots, s_{i-1})\) ; \(\mathcal{E}_i\) a \(i+1\) générateurs, et la page 98 écrit \(\mathcal{E}_{n+1} = k(s_0, \ldots, s_{n+1})\) : glissement d'indice. ↩
  63. La page écrit \(\tau_i\mathcal{E}_i = \mathcal{E}_{i-1} + ka_i\), en omettant le terme \(a_{i-1}\) ; la conclusion est la même. ↩
  64. Ces conditions ne portent que sur les \(i < j\) : c'est la moitié « triangulaire » des conditions de commutation, celle qui suffit à construire le drapeau. Le numéro (15) sert deux fois sur la page. ↩
  65. La page écrit le commutateur à \(r\) près sans le terme en \((1-r)\), et marque « \(\in k^*\) » sous \(\langle a_{i+1}, a'_i \rangle\), qui est \(\beta_i\) et n'est pas supposé inversible ; elle conclut par la surjectivité de \((a'_i, a'_{i+1}) \colon \mathcal{E} \to k^2\), de matrice triangulaire à diagonale inversible. Ni l'inversibilité de \(\beta_i\) ni toute la surjectivité ne sont nécessaires : l'évaluation en \(a_{i-1}\) suffit. On a rédigé l'argument ainsi. ↩
  66. La page écrit (9') « \((a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n+1}\) forment une base de \(E\) » et (12') « \((a'_i)_{-1 \leqslant i \leqslant n}\) forment une base de \(E\) » ; les indices et le module (les \(a'_i\) sont des formes) indiquent la lecture ci-dessus, qui est celle de (26). ↩
  67. Cette précision est de cette lecture ; la page dit « il en existe toujours localement, ok ». ↩
  68. Ce sont les classes de Stiefel-Whitney des formes quadratiques au sens de Delzant (1962), que Grothendieck pouvait connaître ; la page n'en cite pas la source. ↩
  69. La décomposition et la formule sont de cette lecture. La page écrit la récurrence \(w_*(f_{V_{n+1}}(\beta_0, \ldots)) = [1 + \partial(\tilde\rho_0 \tilde\rho_1)]\, w_*(f_{V_n}(\beta_1, \ldots))\), qui omet le facteur \(\beta_0\) de la forme induite, et en tire (page 109) \(w_*(f_V) = \prod_{i=0}^{n-1} (1 + \eta_i + \eta_{i+1})\) avec \(\eta_n = \partial\beta_{n-1}\). Cette formule est fausse en général : pour \(n = 2\), \(\beta_0 = -1\), \(\beta_1 = 1\) sur \(\mathbb{R}\), on a \(\tilde\rho = 4\), \(\tilde\sigma = 3\), \(f_V = x_0^2 - x_1^2 - x_2^2 + x_0x_1 + x_1x_2\) est de signature \((1, 2)\) et \(w_2(f_V) = \partial(-1)^2 \neq 0\), alors que la formule de la page donne \(w_* = 1\). Pour \(n = 1\) elle est juste. Le calcul de rang \(2\) de la page 108, \(f(\beta a_0 + 2a_1) = \beta(4 - \beta)\), d'où \(w_*(f_V(\beta)) = 1 + \partial(\beta(4 - \beta))\), est juste. ↩
  70. Vérification de cette lecture. ↩
  71. C'est aujourd'hui l'invariant de Clifford, ou de Hasse-Witt selon la normalisation ; la conique est le schéma de Severi-Brauer de l'algèbre de Clifford paire, comme dans le dossier 82. ↩
  72. Les deux corrections sont de cette lecture. La page 112 sait que \(\partial 2\) compte : elle le met dans la liste du « NB » qui suit. ↩
  73. La lettre du corps de base est surchargée (un \(\mathbb{Z}\) barré ?) et lue \(\mathbb{Q}\). ↩