Cote n° 71, pages 1–47 — Lecture modernisée

Cote n° 71 · pages 1–47 · Lecture modernisée · Théorème de Jordan : notes manuscrites (1976, s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Une ficelle fermée posée sur une table, sans se croiser elle-même, sépare la table en deux : un dedans et un dehors. C'est le théorème de Jordan, l'un des énoncés les plus évidents de la géométrie et l'un des plus difficiles à démontrer proprement. Le dossier en garde deux approches. L'une est de sa main, éparse, sur une douzaine de feuillets ; l'autre est un mémoire soigné d'une autre main, daté de Montpellier le 15 juillet 1976, qui démontre le théorème pour les polygones, et qu'il a lu plume en main.

Sa propre approche commence par une figure plus riche que la ficelle : deux points reliés par trois chemins qui ne se croisent pas, comme la lettre grecque thêta. Trois chemins font trois boucles, en en prenant deux à la fois, et trois régions du plan. Il montre que si deux des trois boucles séparent le plan comme il faut, la troisième aussi. C'est un mécanisme de récurrence : un polygone qu'on coupe par une diagonale devient un thêta dont les deux autres boucles ont moins de sommets, et le théorème se transmet de proche en proche. Les pages ne le disent pas en ces termes ; c'est ce que leurs pièces, mises bout à bout, permettent de dire.

À côté, il prépare un cadre général, de la topologie la plus élémentaire : deux ouverts dont chacun est exactement l'extérieur de l'autre, trois régions qui se touchent deux à deux le long de trois murs, et l'opération qui consiste à découper un espace le long de murs intérieurs puis à recoller les morceaux. C'est la langue du découpage, qu'on retrouve ailleurs dans ce groupe de dossiers (le dossier 81 découpe des espaces par des coupures). Un calcul abandonné fait la même chose pour des complexes simpliciaux, sommet par sommet.

Le mémoire, enfin, est l'occasion de voir Grothendieck lecteur. Ses marges disent « style », « vague », « jargon ? », « C'est une salade… », mais aussi, précisément, ce qui manque : un « non vides ! » dans une définition, un « faux pour $n = 3$ ! » sous un lemme, la remarque que c'est la paire de deux arcs et non le couple qui est déterminée. Sur des feuillets séparés, il refait à sa façon deux étapes du mémoire, en enlevant une hypothèse inutile. On y voit une exigence qui ne tient pas à la difficulté de l'énoncé : le théorème est élémentaire, et c'est justement pour cela que chaque hypothèse doit être à sa place.

Les noms modernes à chercher sont ceux du théorème de Jordan polygonal, du théorème du thêta, des ouverts réguliers et du recollement, et, pour le second théorème du mémoire, ceux des « oreilles » d'un polygone.

Keywords — Jordan curve theorem, polygonal Jordan theorem, theta-curve theorem, regular open set, locally closed set, cutting and gluing, local homeomorphism, polygon diagonal, convex hull, two ears theorem, Hurwitz action

2–47

Le fil du dossier, et les conventions

Les feuillets

Le dossier compte quarante-sept pages, sans pagination de sa main. Les pages 1, 4, 15, 17 et 19 sont des intercalaires blancs ; les pages 3 et 14 des avis de soutenance dactylographiés de l'université de Montpellier (19 avril 1977), la page 8 un dépliant bancaire imprimé (janvier 1978), sans rien de sa main : ces versos s'accordent avec la datation « à partir de 1976 » et n'en disent pas plus. Les feuillets de sa main sont les pages 2, 5 à 7, 9 à 13, 16, 18, 21, 23, 27, 29 et 31. Les pages 20 à 47 sont, pour le reste, un mémoire d'une autre main, paginé de I à XIX ; ses versos 25, 34, 40 et 45 ne portent que des faux départs et, page 45, deux croquis au crayon.

Les stations

Pages 2, 13 et 16 : le thêta. Trois arcs joignant deux points, trois courbes fermées, trois régions ; l'équivalence de la page 13 et sa démonstration partielle ; page 16, le même dispositif indexé par un ensemble quelconque, et trois formes équivalentes de « $C$ sépare la surface ».
Pages 9, 11, 7, 5 : une suite numérotée 1) à 6), dans cet ordre (le 2) manque). Ouverts complémentaires ; un fermé $K$ partagé en deux pièces ; pseudo-partitions ; découpage le long de murs intérieurs et recollement ; un « lemme d'immersion » annoncé.
Pages 6 et 12 : un calcul barré, sur une filtration d'un ensemble ordonné réalisé et sur le découpage d'un complexe simplicial le long d'un sous-complexe.
Page 10 : une page d'algèbre sans rapport avec le reste.
Page 18 : recoller deux J-polygones le long d'un arc commun.
Pages 20 à 47 : le mémoire, avec ses notes à lui sur des feuillets séparés (21, 29, 31) et ses marques en marge.

Conventions

$E$ désigne le plan $\mathbb{R}^2$ (page 16 : une surface connexe). Pour un ouvert $U$ d'un espace $X$, $\dot{U} = \overline{U} \smallsetminus U$ est sa frontière, la lettre pointée des pages ; pour un fermé $K$, $\dot{K} = K \smallsetminus \operatorname{int} K$. Le complémentaire est noté $\complement$.

Les pages disent « courbe de Jordan » pour une courbe fermée simple qui vérifie la conclusion du théorème de Jordan ; aujourd'hui l'expression désigne n'importe quelle courbe fermée simple. On écrit donc J-courbe : une courbe fermée simple $C \subset E$ est une J-courbe si $E \smallsetminus C$ a exactement deux composantes connexes et si, en chaque point de $C$, les deux côtés locaux de $C$ sont dans des composantes différentes¹ . Le mémoire dit J-polygone, et l'on garde son mot.

Pour le thêta, on fixe : deux points $x \neq y$, $\partial = \{x, y\}$ ; trois arcs simples $\Gamma'_1, \Gamma'_2, \Gamma'_3$ de $x$ à $y$, deux à deux disjoints hors de $\partial$ ; leurs intérieurs $\Gamma''_i = \Gamma'_i \smallsetminus \partial$ ; pour $\{i, j, k\} = \{1, 2, 3\}$, la courbe fermée $\Gamma_k = \Gamma'_i \cup \Gamma'_j$ ; $\Gamma = \Gamma'_1 \cup \Gamma'_2 \cup \Gamma'_3$ ; en $x$, le secteur $v_k$ compris entre $\Gamma'_i$ et $\Gamma'_j$, et, quand elles existent, les régions $V_k \supset v_k$ de $E \smallsetminus \Gamma$.

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Les pièces de sa main s'emboîtent en une démonstration du théorème de Jordan pour les polygones, qu'aucune page n'écrit d'un tenant. Si $[s, s']$ est une diagonale d'un polygone $\Gamma$ — un segment joignant deux sommets non adjacents et ne rencontrant $\Gamma$ qu'en ses extrémités, qu'il passe à l'intérieur ou à l'extérieur —, alors $\Gamma \cup [s, s']$ est un thêta, dont les deux autres courbes fermées $\Lambda^1, \Lambda^2$ ont moins de sommets que $\Gamma$. Par la page 13, si $\Lambda^1$ et $\Lambda^2$ sont des J-courbes, $\Gamma$ en est une. La page 31 fournit une diagonale extérieure à tout polygone non convexe, sans rien supposer de lui ; un polygone convexe a des diagonales évidentes ; le triangle est le cas de départ. La page 18 dit ensuite qui est l'intérieur de $\Gamma$, selon que la diagonale passe dehors (cas b) : $\Lambda^1, \Lambda^2$ emboîtés) ou dedans (cas a) : extérieurs l'un à l'autre). C'est, dans un autre ordre, la structure du mémoire, dont le § 3 coupe selon une diagonale extérieure et le § 4 selon une diagonale intérieure ; et c'est ce qui donne sens aux deux marques de la page 32, où il met entre parenthèses le « J- » de l'énoncé du lemme VIII et qualifie ce lemme d'« inutile ». Le rapprochement est de cette lecture.

Deux autres liens, de cette lecture aussi. La pseudo-partition de la page 11 — trois ouverts deux à deux adjacents le long de trois murs sans point triple — est exactement ce que devient le thêta quand on lui retire ses deux sommets. Et l'espace $\mathcal{X}$ des pages 7 et 5, obtenu en découpant $X$ le long de murs intérieurs, est la version topologique de l'opération combinatoire $\Sigma(K, L)$ de la page 12.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

L'implication a) $\Rightarrow$ b) de la page 13, commencée (« Prouvons que $\Gamma_3$… ») ; le rôle de l'ensemble d'indices de la page 16 ; la fin de la page 7 ; le « lemme d'immersion » 6) de la page 5 ; ce que sont les espaces $\Sigma_d$ et la bijection $\alpha_d$ des pages 6 et 12, barrées ; la question « $|\tilde{K}| \simeq \Sigma(|K|, |L|)$ ? » de la page 12, barrée ; le cas (ii) du lemme de la page 29.

2–16

I. Le thêta (pages 2, 13 et 16)

2–2

Trois arcs, trois courbes, trois régions (page 2)

La page 2 dresse l'inventaire du thêta. Chaque région $V_k$ est bordée par les deux arcs $\Gamma'_i, \Gamma'_j$ qui l'enserrent, et chaque arc ouvert $\Gamma''_i$ borde les deux régions $V_j, V_k$ : \[ \Gamma_k = \Gamma'_i \cup \Gamma'_j = \Gamma''_i \cup \Gamma''_j \cup \partial, \qquad U_k = V_i \cup V_j \cup \Gamma''_k, \qquad \dot{U}_k = \Gamma_k , \] pour $\{i, j, k\} = \{1, 2, 3\}$² . Ces formules disent ce qu'on attend : $E \smallsetminus \Gamma_k$ a deux composantes, $V_k$ d'un côté, $U_k$ de l'autre, cette dernière formée des deux autres régions soudées le long de l'arc $\Gamma''_k$ qui les sépare. Un croquis de deux cercles sécants et les lettres « $U, C, V$ » rappellent la situation de la courbe seule.

13–13

L'équivalence de la page 13

On suppose les arcs polygonaux³ . Les conditions suivantes sont équivalentes :

a)les trois secteurs $v_1, v_2, v_3$ en $x$ sont dans trois composantes distinctes de $E \smallsetminus \Gamma$ ;
a')$E \smallsetminus \Gamma$ a trois composantes ;
b)$\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3$ sont des J-courbes ;
c)$\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ sont des J-courbes.

a) $\Leftrightarrow$ a'). Le côté d'un arc se transporte le long de l'arc : les deux côtés de $\Gamma''_k$ sont, près de $x$, les secteurs $v_i$ et $v_j$, et restent dans la même composante tout le long. Toute composante de $E \smallsetminus \Gamma$ a un point adhérent à $\Gamma$, donc contient un côté d'un arc, donc l'un des trois secteurs. Il y a ainsi au plus trois composantes, et exactement trois si et seulement si les secteurs sont dans des composantes deux à deux distinctes.

b) $\Rightarrow$ c) est trivial.

c) $\Rightarrow$ a). Deux points proches de $x$, de part et d'autre de $\Gamma'_3$, sont dans $v_1$ et $v_2$. Comme $\Gamma'_3 \subset \Gamma_1$ et que $\Gamma_1$ est une J-courbe, ils sont dans des composantes distinctes de $E \smallsetminus \Gamma_1$, et a fortiori de $E \smallsetminus \Gamma$, dont les composantes sont plus fines. De même $\Gamma'_1 \subset \Gamma_2$ sépare $v_2$ de $v_3$, et $\Gamma'_2 \subset \Gamma_1$ sépare $v_1$ de $v_3$⁴ .

a) $\Rightarrow$ b). La page s'arrête sur « Prouvons que $\Gamma_3$ (p. ex.) est courbe de Jordan » ; les formules de la page 2 contiennent la suite⁵ . Sous a), soient $V_1, V_2, V_3$ les trois composantes, $V_k \supset v_k$. Chaque $\Gamma''_k$ a $V_i$ d'un côté et $V_j$ de l'autre, donc $U_k = V_i \cup \Gamma''_k \cup V_j$ est un ouvert connexe, et \[ E \smallsetminus \Gamma_k = U_k \sqcup V_k \] est la réunion disjointe de deux ouverts connexes non vides : ce sont ses deux composantes. En tout point de $\Gamma''_i$ ($i \neq k$), les deux côtés sont dans $V_k$ et dans $V_j \subset U_k$ ; en $x$ et $y$ de même. Donc $\Gamma_k$ est une J-courbe, et l'on a les relations de la page 16⁶ : \[ V_k = U_i \cap U_j, \qquad U_k = V_i \cup V_j \cup \Gamma''_k \qquad (\{i, j, k\} = \{1, 2, 3\}). \]

Lue dans le plan, l'équivalence est une forme du théorème du thêta : le complémentaire d'un thêta plan a trois composantes, de frontières les trois courbes $\Gamma_k$⁷ . Mais elle est écrite pour servir de pas : elle transmet la propriété de deux courbes à la troisième. Sur la façon dont ce pas démontre le théorème de Jordan pour les polygones, voir la section sur le fil du dossier et la page 18.

16–16

Un ensemble d'indices, et une courbe dans une surface (page 16)

Le haut de la page reprend le thêta avec des arcs $\Gamma'_\alpha$ indexés par un ensemble $I$, tous joignant les deux points de $\partial$, un ensemble $B_\alpha$ à deux éléments attaché à chaque arc, $B = \coprod_i B_i \simeq I \times \{0, 1\}$, et, pour chaque $i$, $U_i$ la région de $\Gamma_i$ qui contient $\Gamma''_i$, avec⁸ \[ U_i = \Gamma''_i \cup \bigcup_{j \neq i} V_j, \qquad V_i = \bigcap_{j \neq i} U_j . \]

Pour plus de trois arcs, $\Gamma_i$ n'est plus une courbe fermée, et la page ne dit pas ce qu'elle désigne ; elle revient aussitôt au cas $I = \{1, 2, 3\}$. Les lettres $B_i$, $U_i$, $V_i$ sont celles du cadre général des pages 7 et 5, où $\dot{K} = \coprod_i B_i$ ; c'est sans doute pour ce cas que le cadre est fait, mais la page ne le dit pas.

Le bas de la page énonce, pour une courbe fermée simple $C$ dans une surface connexe $E$, l'équivalence de :

a)$\operatorname{card} \pi_0(E \smallsetminus C) = 2$ ;
b)il existe un ouvert $U \subset E$ tel que $\dot{U} = C$ et $V = E \smallsetminus \overline{U} \neq \emptyset$, c'est-à-dire $U \neq E \smallsetminus C$ ;
c)pour un petit disque $D_x$ centré en un point $x \in C$, et deux points $x', x''$ de $D_x \smallsetminus C$ de part et d'autre de $C$, $x'$ et $x''$ ne sont pas dans la même composante de $E \smallsetminus C$⁹ .

La page note qu'on a toujours $\operatorname{card} \pi_0(E \smallsetminus C) \leq 2$, et en marge qu'alors $U$ est une composante de $E \smallsetminus C$. Tout cela est juste, par l'argument de la page 13 : $C$ a localement deux côtés¹⁰ ; un côté se transporte le long de $C$ ; toute composante contient un côté. D'où au plus deux composantes, et deux exactement si et seulement si les deux côtés en un point sont séparés, ce qui est c). Sous b), $U$ et $V$ sont deux ouverts disjoints non vides recouvrant $E \smallsetminus C$, d'où a) ; sous a), l'une des composantes convient pour $U$. Sur une bande de Möbius, l'âme est une courbe à un seul côté global, et $E \smallsetminus C$ est connexe : la majoration est atteinte ou non selon la courbe¹¹ .

5–11

II. Ouverts complémentaires, pseudo-partitions, recollement (pages 9, 11, 7, 5)

Ces quatre feuillets portent une suite numérotée de sa main, 1) et 3) page 9, la suite de 3) et 4) page 11, 5) page 7, la fin de 5) et 6) page 5 ; le 2) n'est pas dans le dossier. On suit ses numéros. Dans toute la section, $X$ est un espace topologique.

9–9

1) Deux ouverts dont chacun est l'extérieur de l'autre (page 9)

Pour deux ouverts $U, V$ de $X$, les conditions suivantes sont équivalentes :

a)$U = \complement \overline{V}$ et $V = \complement \overline{U}$ ;
b)$U \cap V = \emptyset$ et $\complement(U \cup V) \subset \overline{U} \cap \overline{V}$, avec alors égalité ;
c)$U \cap V = \emptyset$, $\overline{U \cup V} = X$ et $\dot{U} = \dot{V}$ ;
d)$\overline{U} \cap \overline{V} = \dot{U} = \dot{V}$ et $U \cup V$ est dense dans $X$¹² .

Deux ouverts disjoints sont disjoints de leurs adhérences mutuelles, ce qui donne l'égalité de b) et, de proche en proche, les équivalences. Sous ces conditions $U$ et $V$ se déterminent l'un l'autre ; et, $U$ étant donné, un tel $V$ existe si et seulement si $\complement \overline{U}$ est dense dans $\complement U$, c'est-à-dire si et seulement si $U = \operatorname{int} \overline{U}$. Ce sont les ouverts réguliers, et $V$ est le pseudo-complément de $U$ dans l'algèbre de Boole qu'ils forment¹³ . Le modèle est celui d'une courbe de Jordan : $U$ et $V$ sont le dedans et le dehors, et $\dot{U} = \dot{V}$ est la courbe.

3) Un fermé partagé en deux pièces (page 9)

Soient $K$ un fermé de $X$ et $U_K, U'_K$ deux ouverts relatifs de $K$ formant dans $K$ une paire comme en 1) : \[ \overline{U_K} = K \smallsetminus U'_K, \qquad \overline{U'_K} = K \smallsetminus U_K, \qquad C = \overline{U_K} \cap \overline{U'_K} \] (les adhérences dans $K$ et dans $X$ coïncident, $K$ étant fermé), de sorte que $K = U_K \sqcup C \sqcup U'_K$ et que $C$, fermé, est la frontière commune des deux pièces dans $K$. Soit $B = U_K \cap \dot{K}$ la partie de la pièce $U_K$ qui est sur le bord de $K$ ; elle est ouverte dans $\dot{K}$ et disjointe de $C$. Posons \[ U = U_K \smallsetminus B = \operatorname{Int}(U_K), \qquad V = X \smallsetminus \overline{U_K} = \operatorname{Int}(X_1), \quad X_1 = X \smallsetminus U_K . \] On a toujours $U = \complement \overline{V}$ : un point de $C$ ou de $B$ n'est pas intérieur à $\overline{U_K}$, puisqu'il adhère à $U'_K$ ou à $\complement K$. Pour avoir la paire complète, il faut de plus que tout point de $B$ soit adhérent à $U$ — ce qui a lieu si $K$ est l'adhérence de son intérieur¹⁴ . Alors \[ V = \complement \overline{U}, \qquad \dot{U} = \dot{V} = \overline{U} \cap \overline{V} = \complement(U \cup V) = B \sqcup C, \qquad V \subset X_1 \subset \overline{V} , \] et $(U, V)$ est une paire au sens de 1).

Corollaire. $X_1 = \complement U_K$ est localement fermé si et seulement si $B$ est fermé dans $X$, c'est-à-dire $\overline{B} \cap C = \emptyset$ ; il suffit pour cela que $\dot{K} \cap C = \emptyset$, autrement dit que $\dot{K} \subset U_K \cup U'_K$. En effet $\overline{X_1} \smallsetminus X_1 = B$, et une partie est localement fermée si et seulement si son adhérence moins elle-même est fermée ; et $\overline{B} \subset \dot{K} \cap (B \cup C)$¹⁵ .

11–11

3, suite) et 4) Trois ouverts et trois murs (page 11)

Supposons $\dot{K} \cap C = \emptyset$, faisons de même pour l'autre pièce, $B' = U'_K \cap \dot{K}$, $U' = \operatorname{Int}(U'_K)$, $V' = X \smallsetminus \overline{U'_K}$, et supposons $B' \subset \overline{U'}$ comme $B \subset \overline{U}$. Soit $W = V \cap V' = \complement K$. Alors $X$ est réunion disjointe \[ X = U \sqcup U' \sqcup W \sqcup B \sqcup B' \sqcup C , \] de trois ouverts et de trois fermés, avec¹⁶ \[ \left\{ \begin{array}{l} \overline{U} \cap \overline{U'} = C, \quad \overline{U} \cap \overline{W} = B, \quad \overline{W} \cap \overline{U'} = B', \\ \dot{U} = B \cup C, \quad \dot{U}' = B' \cup C, \quad \dot{W} = B \cup B', \\ K = \overline{U \cup U'} = \complement W, \quad \operatorname{int} K = U \cup U' \cup C. \end{array} \right. \] La figure de la page est celle d'un disque $K$ coupé en deux par un mur intérieur $C$ qui ne touche pas le bord, dans une couronne : on peut penser à $X$ privé de quelques points, le mur $C$ allant d'un trou à l'autre.

La page appelle cela une pseudo-partition sans définir le mot. On le définit ainsi¹⁷ : six parties $U, U', W, B, B', C$ forment une pseudo-partition de $X$ si elles le partagent, si $U, U', W$ sont ouverts, et si \[ \overline{U} = U \sqcup B \sqcup C, \qquad \overline{U'} = U' \sqcup B' \sqcup C, \qquad \overline{W} = W \sqcup B \sqcup B' . \]

4). Pour trois ouverts $U, U', W$ de $X$, sont équivalentes :

a)ils sont deux à deux disjoints, de réunion dense, $\dot{U} \subset \overline{U' \cup W}$, $\dot{U}' \subset \overline{U \cup W}$, $\dot{W} \subset \overline{U \cup U'}$, et $\overline{U} \cap \overline{U'} \cap \overline{W} = \emptyset$ ;
b)avec $C = \overline{U} \cap \overline{U'}$, $B = \overline{U} \cap \overline{W}$, $B' = \overline{W} \cap \overline{U'}$, les six parties forment une pseudo-partition de $X$.

Sous a), les trois murs sont deux à deux disjoints (leurs intersections sont dans le point triple, vide), disjoints des trois ouverts, et ils recouvrent le reste : un point de $\overline{U} \smallsetminus U$ est dans $\overline{U'}$ ou dans $\overline{W}$. Réciproquement b) donne a) en lisant les adhérences. C'est le dessin de trois pays deux à deux voisins dont les trois frontières ne se rencontrent pas.

Le thêta de la page 2, privé de ses deux sommets, en est l'exemple : dans $X = E \smallsetminus \partial$, les trois régions $V_1, V_2, V_3$ et les trois arcs ouverts $\Gamma''_1, \Gamma''_2, \Gamma''_3$ forment une pseudo-partition, le point triple $\partial$ ayant été retiré¹⁸ .

La page revient enfin (« Je reviens aux données ») sur le lien entre les deux situations. Elles se déterminent l'une l'autre : d'une pseudo-partition on tire $K = \complement W$, $U_K = U \cup B$, $U'_K = U' \cup B'$, qui vérifient les hypothèses de 3), avec $C \cap \dot{K} = \emptyset$ puisque $\dot{K} = \dot{W} = B \cup B'$, et la page le note sous la forme $C = K \smallsetminus (U_K \cup U'_K)$¹⁹ .

7–7

5) Découper le long des murs intérieurs (page 7)

On généralise à un nombre quelconque de pièces. Soient $K$ un fermé de $X$ et $(U_i)_{i \in I}$ une famille d'ouverts relatifs de $K$, deux à deux disjoints, tels que $\dot{K} \subset \bigcup_i U_i$. Posons $B_i = \dot{K} \cap U_i$, de sorte que $\dot{K} = \coprod_i B_i$ est une somme topologique, chaque $B_i$ étant ouvert, donc aussi fermé, dans $\dot{K}$. Soit $C_i = \overline{U_i} \smallsetminus U_i$ la frontière relative de $U_i$ dans $K$ ; on suppose $C_i \subset \overline{K \smallsetminus \overline{U_i}}$ (le mur $C_i$ est adhérent à ce qui est de l'autre côté), et, comme en 3), que $B_i$ est adhérent à $U_i \smallsetminus B_i$²⁰ . Enfin $W = X \smallsetminus K$.

Le complémentaire d'une pièce. $X \smallsetminus U_i$ est localement fermé, et \[ \operatorname{Int}(X \smallsetminus U_i) = X \smallsetminus \overline{U_i} = (X \smallsetminus U_i) \smallsetminus C_i, \qquad \overline{X \smallsetminus U_i} = (X \smallsetminus U_i) \sqcup B_i ; \] les deux ouverts $\operatorname{Int}(X \smallsetminus U_i)$ et $\operatorname{Int}(U_i) = U_i \smallsetminus B_i$ forment une paire au sens de 1)²¹ .

La pièce recollée. Posons maintenant $X_i = W \cup \overline{U_i}$ : l'extérieur de $K$ et la seule pièce $i$, avec son mur. L'inclusion $W \subset X_i$ est une immersion ouverte, la frontière de $W$ dans $X_i$ est $B_i$, et $X_i$ est la somme amalgamée de deux fermés le long de leur intersection²² : \[ X_i = (W \cup B_i) \amalg_{B_i} \overline{U_i} . \]

5–5

5, suite) L'espace découpé, et 6) un lemme annoncé (page 5)

On recolle alors toutes les pièces le long de l'extérieur, sans les recoller entre elles : soit \[ \mathcal{X} = \overline{W} \amalg_{\coprod_i B_i} \Bigl(\coprod_i \overline{U_i}\Bigr) \simeq \coprod_{i\,(W)} X_i , \] somme amalgamée des $X_i$ au-dessus de $W$²³ . C'est $X$ découpé le long des murs intérieurs $C_i$ : deux pièces qui se touchent dans $X$ le long d'un mur sont séparées dans $\mathcal{X}$. La flèche évidente $\pi : \mathcal{X} \to X$ est l'identité sur chaque morceau. L'image $\mathcal{X}_i$ de $X_i$ est ouverte dans $\mathcal{X}$, et $X_i \to \mathcal{X}_i$ est un homéomorphisme. On en tire :

$\pi$ est un homéomorphisme local en tout point de $\mathcal{X} \smallsetminus \coprod_i C_i$ : un point de $B_i$ a dans $X$ un voisinage contenu dans $W \cup U_i$ ;
en un point de $C_i$, $\pi$ est localement un plongement fermé, $X_i$ coïncidant près de ce point avec $\overline{U_i}$²⁴ .

La page se clôt sur une inquiétude : « vérifier si dans les développements précédents, il n'y avait pas lieu d'exiger $\bigcup C_i \subset \operatorname{int} K$, i.e. $C_i \cap \dot{K} = \emptyset$ ». L'hypothèse est bien nécessaire — c'est elle qui fait de $B_i$ la frontière de $W$ dans $X_i$ — mais elle est déjà contenue dans $\dot{K} \subset \bigcup_i U_i$ : un point de $\dot{K}$ est dans un $U_j$, et $U_j$, ouvert relatif disjoint de $U_i$, est disjoint de $\overline{U_i}$ et donc de $C_i$²⁵ .

6) Lemme d'immersion de $\mathcal{X}$. La page annonce un lemme sous ce titre, puis remplace $K$, près de son bord, par un fermé plus petit $K^{*} \subset K$, avec $U^{*}_i = U_i \cap K^{*}$, $U'^{*}_i = U'_i \cap K^{*}$, en demandant que $\dot{K}^{*}$ soit dans les $U_i$ et que $C_i \subset \overline{U^{*}_i} \cap \overline{U'^{*}_i}$, ce qui a lieu si $\operatorname{int} K^{*} \supset \bigcup C_i$. Plusieurs conditions sont barrées, le lemme n'est pas énoncé²⁶ .

Tout ce cadre est celui du « découpage », qu'on retrouve dans le dossier 81 : la Version I de ce dossier (pages 13 à 24) découpe un espace connexe par des coupures fermées à deux côtés et compte les morceaux, et elle observe que l'exemple du disque coupé par des arcs est une forme du théorème de Jordan.

6–12

III. Un calcul abandonné : filtrations et découpage d'un complexe (pages 6 et 12)

6–6

Une filtration indexée par un ensemble ordonné (page 6)

Les deux pages sont barrées. Soit $E$ un ensemble ordonné, $E_0 = M(E)$ l'ensemble de ses éléments minimaux (les sommets), et pour $e \in E$, $E_e = \{x \in E \mid x \leq e\}$, $M(e) = M(E_e)$ les sommets de $e$ ; $X = |E|$ est la réalisation géométrique, réunion des cellules fermées $|E_e|$. On se donne une application $\varphi : E_0 \to I$ dans un ensemble ordonné, et l'on filtre $X$ par \[ X_i = \bigcup_{\max \varphi(M(e)) \leq i} |E_e|, \qquad \partial X_i = \bigcup_{j < i} X_j\footnote{La page 6 écrit « $\varphi(M(e)) \leq i$ » ; la page 12 précise $\mu(\varphi(M(e)))$, qu'on lit comme le plus grand élément.}. \] Pour un drapeau $d = (i_0 > \cdots > i_k)$ de $I$, la page considère des espaces $\Sigma_d(\mathcal{X})$, avec $\Sigma_{\{i\}} = \Sigma(X_i, \partial X_i)$, des flèches $\Sigma_d \to \Sigma_{d'}$ pour $d' \subset d$, et l'ensemble $D(d) = \pi_0 \Sigma_d$ de leurs composantes connexes.

12–12

Les composantes, et le découpage d'un complexe (page 12)

La page 12 énonce, pour $d' \subset d$, un carré commutatif de bijections \[ \alpha_d : D(d) = \pi_0 \Sigma_d(\mathcal{X}) \xrightarrow{\ \sim\ } E(d) = \{e \in E \mid \varphi(M(e)) = d\}, \] compatibles aux restrictions $D(d) \to D(d')$ et $E(d) \to E(d')$. Ce que sont $\Sigma$ et $\Sigma_d$, aucune des deux pages ne le dit ; la bijection ne peut donc pas être vérifiée ici²⁷ .

Le bas de la page donne en revanche une définition, qui éclaire sans doute ce que $\Sigma$ veut dire. Pour un complexe simplicial $K$, vu comme un ensemble de sommets $K_0$ et un ensemble de simplexes, et un sous-complexe $L$, on pose \[ \tilde{K} = \Sigma(K, L), \qquad \tilde{K}_0 = \varinjlim_{\sigma \in K \smallsetminus L} \sigma \xrightarrow{\ \pi\ } K_0 , \] la limite inductive des ensembles de sommets des simplexes qui ne sont pas dans $L$, indexée par l'ensemble ordonné $K \smallsetminus L$ (stable par passage à un simplexe plus grand). Deux simplexes hors de $L$ ne sont recollés que le long de faces qui sont elles aussi hors de $L$ : c'est $K$ découpé le long de $L$. Par exemple, si $K$ est formé de deux arêtes $ab$ et $bc$ et $L = \{b\}$, le sommet $b$ se dédouble et $\tilde{K}$ est formé de deux arêtes disjointes²⁸ . La page se demande, sur une ligne barrée et avec un « ? » au-dessus du signe $\sim$, si la réalisation de $\tilde{K}$ est le découpage topologique $\Sigma(|K|, |L|)$, présenté comme une limite inductive de simplexes. C'est l'analogue combinatoire de l'espace $\mathcal{X}$ des pages 7 et 5.

10–10

IV. Une page d'algèbre (page 10)

Feuillet plié, sans rapport avec le reste du dossier, écrit tête-bêche. Dans un groupe engendré par $\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2$, on considère l'automorphisme \[ t(\lambda_0) = \lambda_0, \qquad t(\lambda_1) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1^{-1}, \qquad t(\lambda_2) = \lambda_1 . \] La page écrit aussi $t(\lambda_1) = \lambda_0^{-1}\lambda_2\lambda_0$, ce qui vaut si $\lambda_0 \lambda_1 \lambda_2 = 1$, relation qu'on suppose désormais²⁹ . Alors $t$ préserve le produit $\lambda_1 \lambda_2$, et \[ t^2(\lambda_1) = \operatorname{int}(\lambda_1 \lambda_2)(\lambda_1), \qquad t^2(\lambda_2) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1^{-1} = \operatorname{int}(\lambda_1 \lambda_2)(\lambda_2), \] d'où $t^2 = \operatorname{int}(\lambda_1\lambda_2) = \operatorname{int}(\lambda_0^{-1})$, où $\operatorname{int}(g)(h) = g h g^{-1}$³⁰ . C'est l'action d'un générateur du groupe de tresses à deux brins (l'action de Hurwitz), dont le carré, le « tour complet », agit par conjugaison³¹ . À droite, un croquis au crayon pâle évoque l'induction $G \times_H E$ d'un $H$-espace et une flèche $B_H \to B_G$ d'espaces classifiants, avec $f^{*}$ et $f_{!}$ ; la lecture en est incertaine dans le détail.

18–18

V. Recoller deux J-polygones (page 18)

Proposition. Soient $\Gamma, \Gamma'$ deux J-polygones distincts du plan $E$ tels que $\Gamma \cap \Gamma' = I$ soit un arc polygonal non réduit à un point³² . On est dans l'un des deux cas suivants, qui s'excluent :

a)$\Gamma \smallsetminus I \subset \operatorname{Ext}\Gamma'$ et $\Gamma' \smallsetminus I \subset \operatorname{Ext}\Gamma$ ; de façon équivalente $\operatorname{Int}\Gamma' \subset \operatorname{Ext}\Gamma$ et $\operatorname{Int}\Gamma \subset \operatorname{Ext}\Gamma'$ ;
b)$\Gamma \smallsetminus I \subset \operatorname{Ext}\Gamma'$ et $\Gamma' \smallsetminus I \subset \operatorname{Int}\Gamma$, ou l'inverse ; de façon équivalente $\operatorname{Int}\Gamma' \subset \operatorname{Int}\Gamma$ et $\operatorname{Ext}\Gamma \subset \operatorname{Ext}\Gamma'$, ou l'inverse.

Soit $\Gamma'' = (\Gamma \cup \Gamma') \smallsetminus (I \smallsetminus \partial I) = \overline{\Gamma \smallsetminus I} \cup \overline{\Gamma' \smallsetminus I}$, réunion de deux arcs qui ne se rencontrent qu'en leurs extrémités $\partial I$ : c'est un polygone. C'est un J-polygone, et :

dans le cas a), $\operatorname{Int}\Gamma'' = \operatorname{Int}\Gamma \cup \operatorname{Int}\Gamma' \cup (I \smallsetminus \partial I)$ et $\operatorname{Ext}\Gamma'' = \operatorname{Ext}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma'$ ;
dans le cas b), $\operatorname{Int}\Gamma'' = \operatorname{Int}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma'$ et $\operatorname{Ext}\Gamma'' = \operatorname{Ext}\Gamma \cup \operatorname{Int}\Gamma' \cup (I \smallsetminus \partial I)$.

Chaque fois, la page écrit la partition de $E$ en sept parties qui le justifie : dans le cas a), $\operatorname{Int}\Gamma$, $\operatorname{Int}\Gamma'$, $\Gamma \smallsetminus I$, $\Gamma' \smallsetminus I$, $I \smallsetminus \partial I$, $\partial I$ et $\operatorname{Ext}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma'$ ; dans le cas b), la même avec $\operatorname{Ext}\Gamma$ et $\operatorname{Int}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma'$ à la place des deux parties qui changent. Les deux ouverts proposés pour $\operatorname{Int}\Gamma''$ et $\operatorname{Ext}\Gamma''$ sont connexes, la partie $I \smallsetminus \partial I$ soudant les deux régions qu'elle sépare.

La dichotomie, que la page énonce sans la démontrer, vient de ce que $\Gamma \smallsetminus I$ est connexe et disjoint de $\Gamma'$, donc dans $\operatorname{Int}\Gamma'$ ou dans $\operatorname{Ext}\Gamma'$, et de même pour $\Gamma' \smallsetminus I$ ; le quatrième cas est impossible, car si $\Gamma' \smallsetminus I \subset \operatorname{Int}\Gamma$, alors $\operatorname{Ext}\Gamma$, connexe, non borné et disjoint de $\Gamma'$, est dans $\operatorname{Ext}\Gamma'$, et $\Gamma \smallsetminus I$, adhérent à $\operatorname{Ext}\Gamma$, y est aussi³³ .

C'est l'énoncé qu'il faut pour achever la récurrence décrite dans le fil du dossier : si l'on coupe un polygone $\Gamma$ par une diagonale $[s, s']$ en deux polygones $\Lambda^1, \Lambda^2$ qui se rencontrent le long de $I = [s, s']$, alors $\Gamma = \Lambda''$, et la proposition dit qui sont son intérieur et son extérieur. Le cas b) est celui d'une diagonale extérieure — l'un des deux polygones contient l'autre —, le cas a) celui d'une diagonale intérieure. Ce sont exactement les deux situations des §§ 3 et 4 du mémoire (lemmes XIV et XV, lemmes XVIII et XIX, ci-dessous)³⁴ .

20–47

VI. Le mémoire du 15 juillet 1976, et sa lecture (pages 20 à 47)

Les pages 20 à 47 sont, pour l'essentiel, un mémoire d'une autre main, à l'encre bleue, paginé de I à XIX, signé et daté « le 15 juillet 1976, Montpellier » à sa dernière page. Il n'est pas recomposé dans cette édition, et cette lecture n'en dit pas plus que les notes de la transcription : ses énoncés sont nommés comme elles les nomment, ses démonstrations ne sont pas données, son auteur n'est pas nommé³⁵ . Ce qui est lu ici, ce sont les marques de Grothendieck, ses feuillets intercalés, et la mathématique des énoncés.

20–22

Les deux théorèmes, et les définitions (pages 20 à 22)

Le titre est « Le théorème de Jordan et l'existence de trois bons sommets pour un polygone de $\mathbb{R}^2$ ». Théorème 1 (Jordan) : tout polygone est un J-polygone. Théorème 2, attribué avec un point d'interrogation à Dehn, « non publié » : tout polygone a au moins trois bons sommets, dont deux au moins à triangle intérieur. Un polygone est la réalisation dans le plan d'un polygone abstrait connexe, de sommets $S(\Gamma)$ et d'arêtes $A(\Gamma)$ — ce que le dossier 89 (pages 19 et 20) appelle un polygone combinatoire, réalisé. La définition 1 (page 22) dit ce qu'est un J-polygone : $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \Gamma$ est réunion de deux ouverts connexes, l'un relativement compact, l'autre non ; et un petit disque centré sur $\Gamma$ est coupé en deux parties connexes, l'une à l'intérieur, l'autre à l'extérieur. La définition 2 : un bon sommet est un sommet non aligné avec ses deux voisins, dont le triangle ne contient aucun autre sommet de $\Gamma$.

Aujourd'hui, un sommet dont le triangle est intérieur au polygone et ne contient pas d'autre sommet est une oreille, et un sommet dont le triangle est extérieur une bouche. Le théorème des deux oreilles est de G. Meisters (1975) ; l'existence d'une bouche pour un polygone non convexe est attribuée à G. Toussaint (1991). Le théorème 2 du mémoire est la conjonction des deux, un polygone convexe ayant au moins trois oreilles. Un manuscrit inédit de Max Dehn sur le théorème de Jordan pour les polygones a été publié par H. Guggenheimer en 1977³⁶ .

Ses marques sur ces pages sont des exigences de précision. Dans la définition 1, il ajoute « non vides ! » aux deux parties du disque — sans quoi la condition ne dirait rien — et note que l'extérieur est « non rel. compact ». Il ajoute « et non vide » à la définition du polygone, « de $\mathbb{R}^2$ » où l'ambiant manquait. À la remarque 2 (il suffit qu'un tel disque vérifie la condition), il donne la raison : si $D_x \subset D'_x$, l'application $\pi_0(D_x \smallsetminus D_x \cap \Gamma) \to \pi_0(D'_x \smallsetminus D'_x \cap \Gamma)$ est bijective. Au pied de la page 20, il écrit « faux » en face de la fin de la remarque 1, qui affirme que deux points $x, y$ d'un polygone le coupent en « un seul couple d'arcs » ; la feuille suivante dit pourquoi³⁷ .

Ses notes, page 21. Pour $x \neq y$ sur $\Gamma$, les deux arcs $\Gamma^1_{xy}, \Gamma^2_{xy}$ vérifient \[ \Gamma^1_{xy} \cap \Gamma^2_{xy} = \{x, y\}, \qquad \Gamma^1_{xy} \cup \Gamma^2_{xy} = \Gamma, \qquad S'(\Gamma^1_{xy}) \sqcup S'(\Gamma^2_{xy}) = S(\Gamma) \smallsetminus \{x, y\}, \] où $S'$ désigne les sommets intérieurs d'un arc³⁸ . NB : ce n'est pas le couple $(\Gamma^1_{xy}, \Gamma^2_{xy})$ qui est déterminé, mais la paire $\{\Gamma^1_{xy}, \Gamma^2_{xy}\}$. Suivent les deux opérations dont tout le reste est fait : a) ajouter des sommets ; b) diviser un polygone par deux sommets distincts en deux lignes polygonales, l'opération inverse étant de recoller deux lignes polygonales de mêmes extrémités³⁹ .

23–28

Voisinages d'un arc, ensembles convexes (pages 23 à 28)

Le lemme I (page 24) donne, pour un arc d'un J-polygone, un système fondamental de voisinages ouverts $V$ tels que $V \cap \operatorname{int}\Gamma$ et $V \cap \operatorname{ext}\Gamma$ soient connexes. Il précise l'énoncé (« $x \neq y$ », « ouverts »), relève d'un « ! » l'appel à l'axiome du choix, et d'un « ? » l'aveu « on utilise le fait, sans le dire, que deux points d'un ouvert connexe du plan peuvent être reliés par un arc de polygone ».

Le § 2 (pages 26 et 28) rappelle les ensembles convexes : le lemme II sur le bord de l'enveloppe convexe d'une partie (il ajoute « finie »), une convention qui réserve le mot « ensemble convexe » à l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points, les lemmes III, IV, V sur les droites d'appui et la visibilité, la définition 3 (un polygone convexe est le bord d'un ensemble convexe) et le lemme VI (un polygone convexe est un J-polygone, et tout sommet non aligné avec ses voisins y est un bon sommet). Ses marges : « jargon ? », « !!! » devant la convention, « C'est une salade… » sur l'intervention du lemme II dans la compacité, « vis. ? », et, au lemme V, la précision que $s, s'$ sont sur une arête de $C$ et que $x$ et $C$ sont de part et d'autre de leur droite. Les pages 23 et 27 ne portent que des dessins de sa main : un polygone étoilé doublé d'un contour parallèle, et un croquis qui paraît illustrer la démonstration du lemme IV.

29–36

Diagonales extérieure et intérieure (pages 29 à 36)

La démonstration du théorème 1 repose sur l'existence d'une diagonale. Il y a deux façons d'en trouver une, et le mémoire et ses feuillets à lui les traitent toutes deux.

Une diagonale extérieure, sans hypothèse (page 31). Le mémoire établit (page 30) que l'enveloppe convexe $E(\Gamma)$ d'un polygone est celle de ses sommets et que les sommets de son bord $\partial E(\Gamma)$ sont des sommets de $\Gamma$ ; puis (page 32) le lemme VII, $\operatorname{ext}\partial E(\Gamma) \subset \operatorname{ext}\Gamma$ pour un J-polygone, et le lemme VIII : un J-polygone non convexe a deux sommets $s, s'$ avec $s'$ visible de $s$ par l'extérieur. Grothendieck met le « J- » entre parenthèses et écrit « inutile » en face. Sa page 31 dit pourquoi.

Lemme. Deux polygones distincts $\Gamma, \Gamma'$ ne sont pas contenus l'un dans l'autre, et $\Gamma \cap \Gamma'$ est une réunion finie d'arcs disjoints, éventuellement réduits à un point. Si $\Gamma$ n'est pas convexe et $\Gamma' = \partial E(\Gamma)$, l'ensemble $\Phi$ des extrémités des composantes de $\Gamma \cap \Gamma'$ est contenu dans $S(\Gamma)$, et pour tout $s \in \Phi$ il existe $t \in \Phi$, $t \neq s$, tel que $]s, t[\, \subset \Gamma' \smallsetminus \Gamma$ ; alors $]s, t[\, \subset \operatorname{Ext}\Gamma$. Un tel $t$ est unique, sauf si $s$ est un point isolé de $\Gamma \cap \Gamma'$, auquel cas il y en a exactement deux.

Corollaire. Un polygone non convexe a deux sommets distincts $s, s'$ tels que $]s, s'[\, \subset \operatorname{Ext}\Gamma \cap \partial E(\Gamma)$.

NB : $\operatorname{Ext}\Gamma$, la composante non bornée de $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \Gamma$, est défini pour tout polygone, et pas seulement pour un J-polygone.

Tout cela est juste, et se voit ainsi. Un point de $\Gamma \cap \Gamma'$ qui n'est pas un sommet de $\Gamma$ est sur un segment de $\Gamma$ contenu dans $E(\Gamma)$ et passant par un point de son bord : ce segment est dans une droite d'appui, donc dans $\Gamma'$ de part et d'autre du point, qui n'est pas une extrémité. Une composante de $\Gamma' \smallsetminus \Gamma$ est un arc ouvert de $\Gamma'$ ; elle ne contient aucun sommet de $\Gamma'$, puisque ceux-ci sont des sommets de $\Gamma$, et c'est donc un segment ouvert $]s, t[$, dont les extrémités sont dans $\Phi$. Enfin $]s, t[$ est connexe, disjoint de $\Gamma$, et adhérent au complémentaire de $E(\Gamma)$, qui est connexe, non borné et disjoint de $\Gamma$ : il est dans $\operatorname{Ext}\Gamma$. Rien n'y fait appel au théorème de Jordan⁴⁰ . C'est aussi ce que le mémoire, page 36, énonce comme « corollaire à la démonstration du lemme VIII », pour tout polygone ; ses marges en face disent « !! ».

Combinée avec le pas du thêta de la page 13, cette diagonale suffit au théorème 1 : si $[s, s']$ est une diagonale extérieure, $\Gamma \cup [s, s']$ est un thêta dont les deux autres courbes fermées ont moins de sommets que $\Gamma$⁴¹ .

Une diagonale intérieure (pages 29, 33, 35 et 36). Le mémoire, page 33, établit qu'en un sommet d'un polygone convexe l'angle intérieur est au plus $\pi$ (lemme IX, « l'analogue de la positivité de la courbure »), et qu'un J-polygone a au moins trois sommets d'angle intérieur $< \pi$ (lemme X) — les sommets de $\partial E(\Gamma)$ en fournissent. Le lemme XI (page 35) affirme qu'un J-polygone a deux sommets $s, s'$ avec $s'$ visible de $s$ par l'intérieur ; on prend un sommet $s$, ses voisins $s', s''$ et le triangle $T$ de sommets $s, s', s''$.

Ses objections sont précises, et toutes fondées. Au crayon : « faux pour $n = 3$ ! » — un triangle n'a pas de diagonale. À l'encre : il ajoute « à $n \geq 3$ côtés », « OPS $\Gamma$ non convexe (sinon c'est clair) ». En face de « soit $s$ un sommet satisfaisant la propriété énoncée au lemme VIII », il écrit « Lemme X », et au crayon : « il faut prendre $s$ comme dans la dém. du lemme VIII (pas son énoncé !) » — il faut que l'angle intérieur en $s$ soit $< \pi$, ce que l'énoncé du lemme VIII ne donne pas. Il marque « faux » la conclusion $]s', s''[\, \subset \operatorname{int}\Gamma$, et « ambigu » la condition qui la précède. Page 36, au crayon, en face de « l'enveloppe convexe $C$ de $(\mathring{T} \cup\, ]s', s''[) \cap \Gamma$ » : « ce n'est pas un “ens. convexe” ! » ; en effet cette partie de $\Gamma$ est infinie, et la convention du § 2 réserve le mot aux enveloppes d'ensembles finis, de sorte que les lemmes IV et V ne s'appliquent pas tels quels⁴² .

Sa page 29, au crayon, au verso du feuillet de la page 28, esquisse la bonne version. Soit $s$ un sommet en lequel le secteur d'angle $> \pi$ découpé par les deux arêtes est extérieur à $\Gamma$ — un sommet d'angle intérieur $< \pi$, qui existe toujours —, $s', s''$ ses voisins, $T$ leur triangle, et supposons $n \geq 4$.

(i)Si $\Gamma \cap T = [s, s'] \cup [s, s'']$, alors $]s', s''[\, \subset \operatorname{Int}\Gamma$, et $[s', s'']$ est une diagonale.
(ii)Sinon, soit $\Phi$ l'ensemble des sommets de $\Gamma$ dans $\mathring{T}$ ; s'il n'est pas vide et si $t \in \Phi$ est à distance maximale de la droite $s's''$, alors $]s, t[\, \subset \operatorname{Int}\Gamma$.

Cor Main. Ou bien $]s', s''[\, \subset \operatorname{Int}\Gamma$, ou bien il existe un sommet $t$, non voisin de $s$, tel que $]s, t[\, \subset \operatorname{Int}\Gamma$ : tout polygone à au moins quatre côtés a une diagonale intérieure⁴³ . La raison de (ii) est qu'aucune arête ne peut traverser $]s, t[$ sans avoir une extrémité dans le petit triangle découpé dans $T$ par la parallèle à $s's''$ menée par $t$, où il n'y a pas de sommet. C'est le lemme classique qui sert à trianguler les polygones, et dont on tire le théorème des deux oreilles⁴⁴ .

37–47

La récurrence, et le second théorème (pages 37 à 47)

Le § 3 du mémoire, « Preuve du théorème 1 » (pages 37 à 43), prend $s, s'$ comme au corollaire de la page 36 — une diagonale extérieure, portée par $\partial E(\Gamma)$ —, coupe $\Gamma$ en deux arcs $\Gamma^1_{ss'}, \Gamma^2_{ss'}$, et forme les polygones $\Lambda^1, \Lambda^2$ en leur recollant $[s, s']$. Par récurrence sur $\operatorname{card} S(\Gamma) - 2$, $\Lambda^1$ et $\Lambda^2$ sont des J-polygones ; les lemmes XII à XV établissent que l'un contient l'autre ($\operatorname{int}\Lambda^2 \subset \operatorname{int}\Lambda^1$), et les lemmes XVI et XVII construisent les deux composantes de $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \Gamma$ et vérifient la condition locale. C'est le cas b) de la page 18. Ses marques : « $a = s$ ? $b = s'$ » sur une notation flottante du lemme XII, et, au lemme XIII, la simplification $\operatorname{Ext}(\partial E(\Gamma)) = \mathbb{R}^2 \smallsetminus E(\Gamma) \subset \operatorname{Ext}(\Lambda^i)$ — juste, et sans disque : le complémentaire de $E(\Gamma)$ est connexe, non borné, disjoint de $\Lambda^i$⁴⁵ .

Le § 4, « Preuve du théorème 2 » (pages 43 à 47), coupe cette fois selon une diagonale intérieure (lemme XI) ; les lemmes XVIII et XIX établissent que $\Lambda^1$ et $\Lambda^2$ sont extérieurs l'un à l'autre — le cas a) de la page 18 —, le lemme XX donne deux bons sommets à triangle intérieur, le lemme XXI un bon sommet à triangle extérieur pour un polygone non convexe, et le théorème 2 en résulte⁴⁶ . Les pages 46 et 47 portent des annotations au crayon d'une main que la transcription n'établit pas : au lemme XX, l'insertion « (non consécutifs si $n \geq 4$ » — deux oreilles d'un polygone à au moins quatre côtés peuvent en effet être choisies non adjacentes, ce qui est la forme « sans chevauchement » du théorème de Meisters —, un « ? » sur un $s''$ que le texte ne définit pas, « so what », « ou bien, », et une note en biais lue en partie, « faux, si on … choisit … »⁴⁷ .

Ce que la lecture de Grothendieck dégage du mémoire tient en peu de mots : le lemme VIII n'a pas besoin de son hypothèse, le lemme XI est faux tel qu'il est énoncé et vrai pour un sommet bien choisi et $n \geq 4$, et le sommet choisi doit l'être par la démonstration, non par l'énoncé, d'un lemme antérieur. Ses feuillets 29 et 31 en donnent les versions justes.

Notes

Le terme est de cette lecture ; il est calqué sur le « J-polygone » de la définition 1 du mémoire (page 22), qui demande exactement cela, plus l'assertion qu'une composante est bornée et l'autre non — ce qui, dans le plan, est automatique dès qu'il y a deux composantes, le complémentaire d'un grand disque étant connexe. ↩
La page écrit d'abord $\Gamma_1 = \Gamma_2 \cup \Gamma_3$, sans accents, ce qui n'a pas de sens pour des courbes fermées ; la page 13 écrit $\Gamma_1 = \Gamma'_2 \cup \Gamma'_3$, qu'on suit. Le dernier membre de la première ligne, $\Gamma''_1 \cup \Gamma''_2 \cup \partial$, d'indices de lecture incertaine, doit être $\Gamma''_2 \cup \Gamma''_3 \cup \partial$ ; la troisième ligne, et le $\Gamma^{*}_3 = \Gamma''_1 \cup \Gamma''_2 \cup \partial$ qui suit, sont justes. Les lettres $\Gamma''_i$ de la page 2 sont les $\Gamma^{\circ}_i$ de la page 16. ↩
La page ne dit rien de la nature des arcs. L'énoncé a) parle de trois secteurs en $x$, ce qui demande qu'un petit disque centré en $x$ soit coupé par $\Gamma$ en trois secteurs, et la démonstration fait passer un côté d'un arc d'un point à un autre le long de l'arc : les deux sont immédiats pour des arcs polygonaux, comme ceux du mémoire. Pour des arcs quelconques du plan, ils le sont encore, mais par le théorème de Schoenflies, qui est plus fort que ce qu'on cherche à démontrer. ↩
C'est l'argument de la page, dont plusieurs mots sont illisibles ; l'indice de « $E - \Gamma_2$ » dans la première phrase est d'une lecture incertaine. La page dit « régions » pour composantes connexes. ↩
La rédaction de cette implication est de cette lecture ; elle n'utilise que les formules des pages 2 et 16. ↩
La page 16 écrit $V_1 = U_1 \cap U_2$, comme pour $V_3$ ; c'est $U_2 \cap U_3$. ↩
Le nom est d'usage dans les exposés du théorème de Jordan et dans la littérature sur les graphes plongés (« theta-curve theorem ») ; les pages ne l'emploient pas. ↩
La page écrit $U_j$ sous la réunion et $V_j$ sous l'intersection ; on lit $V_j$ et $U_j$, ce qui redonne pour $I = \{1, 2, 3\}$ les formules qui suivent sur la même page. Les mots qui disent ce qu'est $B_\alpha$ sont en partie illisibles (« l'une des 2 origines, des pts $x$ ») ; « ensemble » et « déterminent » sont d'une lecture incertaine. ↩
La page écrit « $U \subset C$ », « $V = U - \overline{U}$ », « $\overline{U} \neq E \smallsetminus C$ » et, dans c), « $x'$ et $y$ » ; on lit $U \subset E$, $V = E \smallsetminus \overline{U}$, $U \neq E \smallsetminus C$ et $x''$. La parenthèse « $\{x, y\} \to \pi_0(X - C)$ est surjectif » dit c) sous la forme : les deux côtés locaux atteignent toutes les composantes. La page écrit aussi $X$ pour $E$. ↩
Pour une courbe polygonale c'est immédiat ; pour une courbe fermée simple quelconque dans une surface, c'est le théorème de Schoenflies, local. ↩
L'exemple est de cette lecture. ↩
La page ne demande pas la densité dans d), et sans elle d) n'équivaut pas aux autres : dans la somme disjointe de $\mathbb{R}$ et d'un point isolé $p$, les ouverts $U = \left]-\infty, 0\right[$ et $V = \left]0, +\infty\right[$ vérifient $\overline{U} \cap \overline{V} = \dot{U} = \dot{V} = \{0\}$, mais $\complement\overline{V}$ contient $p$. L'exemple est de cette lecture. ↩
Les noms (ouvert régulier, algèbre de Boole des ouverts réguliers) sont classiques bien avant 1976 ; la page n'en emploie aucun. ↩
L'hypothèse n'est pas sur la page, et sans elle la conclusion est fausse. Dans le plan, soit $K$ le disque unité fermé augmenté du segment $[1, 2] \times \{0\}$, $U_K$ la partie de $K$ où $y > 0$ ou $x > 1$, $U'_K$ celle où $y < 0$ ; alors $C = [-1, 1] \times \{0\}$, $B$ contient le segment $\left]1, 2\right] \times \{0\}$, qui est dans $\complement \overline{U}$ mais pas dans $V$. L'exemple est de cette lecture. ↩
La page dit d'abord $B$ « relativement fermé dans $X$ », lecture incertaine, puis, après plusieurs ratures, que $B$ doit être fermé dans $B \cup C$, et suppose $\overline{B} \cap C = \emptyset$ ; la fin de la page, très raturée, n'est lue qu'en partie. Le « $V_K$ » de sa dernière ligne est $U'_K$. ↩
La première égalité de la deuxième ligne commence sur la page par $\overline{U^{*}} \cap \overline{W}$, lapsus probable. ↩
La définition est de cette lecture, tirée des relations que la page vient d'écrire ; c'est sous elle que l'équivalence 4) est vérifiée. ↩
Le rapprochement est de cette lecture ; il suppose a) de la page 13. ↩
La première phrase de ce paragraphe est en partie illisible ; la réciprocité est rédigée ici par cette lecture. ↩
Cette seconde hypothèse n'est pas sur la page ; c'est celle qui manquait déjà en 3). ↩
La page écrit $\overline{X_i} = X_i \cup B'_i$ avec $B'_i = \dot{K} \smallsetminus B_i$ : mais $B'_i$ est déjà dans $X \smallsetminus U_i$, et ce que l'adhérence ajoute est $B_i$. Elle écrit aussi « $U_i \smallsetminus C_i$ », qui est $U_i$ et n'est pas ouvert dans $X$ ; on lit $U_i \smallsetminus B_i$. L'indice de $U_i$ est surchargé à chaque occurrence de la page, un accent ($U'_i$) étant lisible par endroits. ↩
La page désigne par la même lettre $X_i$ le complémentaire $X \smallsetminus U_i$ et cette pièce recollée ; les deux ne coïncident pas en général. Quand il n'y a que deux pièces, $K = U_1 \sqcup C \sqcup U_2$ comme en 3), on a $X \smallsetminus U_1 = W \cup \overline{U_2}$ : la double notation est un échange des deux indices. L'égalité $\overline{W} \cap X_i = W \cup B_i$ demande que $C_i \cap \dot{K} = \emptyset$, voir plus bas. La dernière ligne de la page n'est lue qu'en partie. ↩
« peut aussi s'identifier à » et « somme amalgamée » sont des lectures incertaines ; la formule, elle, est nette. ↩
La page dit : « $\mathcal{X} \to X$ est étale en les pts de $\mathcal{X} - \coprod_i C_i$, i.e. une [illisible] fermée en les pts de $\coprod C_i$ », ce dernier mot étant d'une lecture incertaine. Le « i.e. » ne relie pas deux énoncés équivalents ; on rédige les deux. Les vérifications sont de cette lecture. ↩
La réponse est de cette lecture. La marge porte « vérifier », suivi de deux mots illisibles. ↩
« Lemme », « remplaçant » et « on suppose » sont des lectures incertaines ; un mot illisible suit « de $\mathcal{X}$ ». La parenthèse ouverte avant « $\operatorname{int} K'$ » n'est pas fermée, et le $K'$ y est probablement le $K^{*}$ des lignes précédentes. ↩
La flèche verticale de gauche porte une étiquette surchargée, lue $\mathrm{P}_{d',d}$ ; le sens d'une flèche du diagramme de la page 6 est incertain. ↩
L'exemple est de cette lecture. ↩
La relation n'est pas écrite ; on la déduit de cette égalité et de « $\operatorname{int}(\lambda_1\lambda_2) = \operatorname{int}(\lambda_0^{-1})$ ». C'est la présentation du groupe fondamental du plan privé de deux points, libre sur $\lambda_1, \lambda_2$. ↩
La page intitule ce calcul $t^3$ et écrit « $t^3 = \operatorname{int}(\lambda_0)$ » ; mais la ligne « $t^3(\lambda_2) = t(\lambda_1)$ » montre que c'est $t \circ t$ qui est calculé, et le résultat de la page est $\operatorname{int}(\lambda_0^{-1})$. Le premier facteur de la deuxième ligne de la page, lu $t(q_\nu)$, est incertain. ↩
Les noms sont de cette lecture. ↩
« Distincts » n'est pas sur la page ; si $\Gamma = \Gamma'$, l'arc $I$ n'en est pas un et $\Gamma''$ ci-dessous est vide. Deux polygones distincts ne sont jamais contenus l'un dans l'autre (lemme de la page 31). Le mot « du » devant « plan » est d'une lecture incertaine. ↩
L'argument est de cette lecture. ↩
Le rapprochement est de cette lecture. ↩
C'est la règle de la transcription pour le texte d'autrui, reprise du dossier 100, et celle de RIGHTS.md. ↩
G. Meisters, « Polygons have ears », Amer. Math. Monthly 82 (1975) ; G. Toussaint, « Anthropomorphic polygons », Amer. Math. Monthly 98 (1991) ; H. Guggenheimer, « The Jordan curve theorem and an unpublished manuscript by Max Dehn », Arch. Hist. Exact Sci. 17 (1977). Références de mémoire, non vérifiées. Ni le mémoire ni ses marges ne citent Meisters ; on n'a pas vérifié si le manuscrit de Dehn contient l'énoncé que le mémoire lui attribue. ↩
La remarque 1 se poursuit page 22, que la transcription résume sans en citer la fin ; que le « faux » vise l'unicité du couple est une lecture, appuyée sur le NB de la page 21. Les marques en pointillé et le mot « plan » au crayon, page 20, sont d'une main non identifiée ; le « or. ? » à l'encre noire, en face de « 1-complexe connexe », peut demander si les arcs sont orientés. ↩
La troisième égalité suppose $x, y$ sommets, ou rendus tels par l'opération a) ; quelques signes serrés au bout de la ligne ne sont pas déchiffrés. ↩
« rajouter » et « mêmes » sont des lectures incertaines. ↩
Les vérifications sont de cette lecture. Sur la page, « non convexe » et « l'ens. $\Phi$ des » sont d'une lecture incertaine, et « tt » et « néc. » dans le NB aussi. La formule de la transcription « $s$ $]s, s'[$ » du corollaire porte un mot illisible barré. ↩
Le rapprochement est de cette lecture ; voir le fil du dossier. ↩
Les marques au crayon des pages 35 et 36 sont d'une main que la transcription ne distingue pas avec certitude de celle de l'encre noire. ↩
Sur la page, (i) écrit « $\Gamma \cap \mathring{T} = [s, s'] \cup [s, s'']$ », le $\mathring{T}$ récrit sur un mot noirci ; c'est $\Gamma \cap T$ qui est visé, comme dans (ii). Le Cor Main dit « $t \neq s$ » ; il faut $t$ non voisin de $s$, puisque $]s, s'[$ est une arête. Enfin, il manque un cas : si $\Phi = \emptyset$ mais que $\Gamma$ touche $]s', s''[$, on prend pour $t$ un sommet de $\Gamma$ sur $]s', s''[$ (il y en a, une arête ne pouvant traverser ni $[s, s']$ ni $[s, s'']$), et la conclusion tient. Le complément est de cette lecture ; la page s'arrête au début de (ii), et le passage barré du haut n'est lu qu'en partie. ↩
Sous cette forme on le trouve par exemple chez N. J. Lennes (1911) pour la triangulation, et dans la démonstration de Meisters ; références de mémoire. ↩
Ces deux marques sont au crayon. Les pages 38, 39, 41, 42 et 44 ne portent aucune annotation en mots. ↩
La note de la transcription sur la page 43 glose le § 4 par « tout polygone est un J-polygone », qui est le théorème 1 ; on suit la page 20 et l'en-tête de la transcription, pour lesquels le § 4 démontre le théorème 2. ↩
La page 45, verso de la page 44, porte deux croquis au crayon de polygones non convexes, de sommets $s', s, s''$, sans texte ; elle n'a pas de marqueur de page dans la transcription. ↩