Fonds Grothendieck, cote n° 70, pages 121–125 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-29) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-30

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 70 Réalisations géométriques de structures combinatoires (n-polyèdres, n-hyperpolyèdres [2-polyèdres réguliers]…) (Vieilles rédactions) : notes manuscrites (s.d.). Pages 121 à 125 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 7 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [à partir de 1976]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/70.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \supplied devient supplied (restitué par le transcripteur) ; \add devient add (ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \drawing devient note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète est une restitution (supplied), un ajout isolé est de l'auteur (add). Certains add sont donc encore des restitutions du transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Export TEI depuis la source LaTeX. Première passe de transcription.
Programme provisoire d'une théorie arithmétique des polyèdres réguliers

Le titre de la section est le sien : il ouvre la page, souligné. La page commence un texte neuf ; rien n'y reprend une page antérieure.

Soit un type \tau de polyèdre régulier, dans l'esp. affine de dim n (sur \mathbb{R}). Il y a un représentant X_\tau « canonique » de \tau, défini à isom. can. près, par le choix d'un « repère » R_\tau de X_\tau. L'espace affine E_\tau qui le porte est muni d'une origine (le centre barycentre de gravité de l'ens. des pts extrémaux), donc c'est un vectoriel.

On désigne par \mathcal{F}_\tau l'ensemble ordonné des facettes (y compris celles de dim -1 et n) de X_\tau, par G_\tau le groupe G_\tau \simeq \mathrm{Aut}_{\mathrm{aff}}(X_\tau) \simeq \mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}}(\mathcal{F}_\tau) La lettre qu'il emploie pour l'ensemble des facettes est une capitale cursive bouclée, entre \Phi et un \mathcal{F} ; on la rend partout par \mathcal{F}. L'indice du second \mathrm{Aut} se lit « ord » ou « ad » ; « ord » est retenu d'après le contexte.

La catégorie des polyèdres réguliers de type \tau équivaut à celle des torseurs sous G_\tau.

Soit k un anneau commutatif (plus gén., on pourrait se placer sur un schéma, ou sur un topos loc. annelé – ici on est sur \operatorname{Spec} k). Une k-réalisation (de plongée déf. ci-dessous) de X \tau (ou de X_\tau) est par définition la donnée de raisonnable si \operatorname{Spec} k connexe…

a) Un k-espace projectif P de dim n (splitté, donc associé à un module projectif de rg. f. défini tensorisation près par un module inversible) [muni d'une section s_0 et d'un hyperplan (« à l'infini ») H_\infty]

b) Un ensemble \mathcal{F} de sous-espaces projectifs P de P, donnés soumis aux conditions suivantes :

1) \mathcal{F}, pour la relation d'ordre induite par l'inclusion, est isomorphe à \mathcal{F}_\tau.

[2) Pour Pour tout V \in \mathcal{F}, on a s_0 \notin V et V \not\subset H_\infty fibre par fibre] Le passage entre crochets porte un « 2) » noirci ; une flèche le contourne et rattache la suite directement à 1).

et pour V \in \mathcal{F}, la dimension combinatoire de \mathcal{F} dans l'ens. ordonné \mathcal{F} (en prenant -1 comme dim du plus petit élt) est égale à la dim. projective de V. Enfin P \in \mathcal{F} (donc \dim P = n) « la dimension combinatoire de \mathcal{F} » : on attendrait V ; la page porte la lettre de l'ensemble.

3) Tout Les éléments de \mathcal{F}_0 engendrent P projectivement (fibre par fibre), et ceux de \mathcal{F}_{n-1} engendrent \check{P}. (Ceci implique qu'un automorphisme de P qui induise \mathcal{F} est connu quand on connaît sa restriction à \mathcal{F} comme automorphisme permutation de l'ens. ordonné \mathcal{F}…) La parenthèse est encadrée et barrée de traits obliques ; un trait la relie à la note marginale qui suit, qui la remplace.

Plus précisément, on veut que pour tout V \subset W, V, W \in \mathcal{F}, W \neq V, soit égal le sous-espace projectif de P engendré par les V' \in \mathcal{F} tels que V \subset V' \subset W, \dim V' = \dim V + 1 – et dual

4) Tout automorphisme de l'ens. ordonné \mathcal{F} est induit par un automorph. de P invariant \mathcal{F}.

Feuille de notations, sans texte suivi ; les symboles s_i, s'_i, \delta_i, f_i ne sont définis sur aucune page de ce lot.

\begin{array}{lll} (s_i)_{0 \leq i \leq n-1} & s_{n-1} = 2 & s_n = 1 \\ (s'_i)_{0 \leq i \leq n-1} & s'_0 = 2 & s'_{-1} = 1 \\ (\delta_i)_{0 \leq i \leq n-2} & & \\ (f_i)_{0 \leq i \leq n-1} & f_{-1} = f_n = 1 & \end{array} N = \prod_{1}^{n-1} s_i = \prod_{1}^{n-1} s'_i = \operatorname{card} G \begin{cases} s'_i f_{i+1} = f_i s_{i+1} \quad (0 \leq i \leq n-1) \\ s \end{cases} \qquad \frac{f_i}{s'_i} = \frac{f_{i+1}}{s_{i+1}} = f La seconde ligne de l'accolade s'arrête sur « s ». Au numérateur de la fraction, l'indice de f est peu net.

x_{i-1} \;\bullet\; \bullet\; x_{i+2} \qquad \sigma_i \sigma_{i+1} \sigma_0\sigma_1,\ \sigma_1\sigma_2,\ \dots,\ \sigma_{n-2}\sigma_{n-1} \qquad G \ni \sigma_0, \dots, \sigma_{n-1} Le symbole entre G et \sigma_0 peut aussi se lire \supset.

À droite, un polygone régulier (hexagone ou heptagone) dont un sommet et les deux arêtes qui en partent sont repassés en gras, avec un rayon vers le centre ; au-dessous, un cube en perspective où un drapeau (sommet, arête, face) est marqué en gras, avec trois droites étiquetées \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2. À côté, la chaîne

\begin{array}{cccccccc} x_0 & x_1 & & x_{i-1} & x_i & & & x_{n-1} \\ F_0 & F_1 & - & F_{i-1} & F_i & F_{i+1} & - & F_{n-1} \end{array} Une accolade sous F_0,\dots,F_{i-1} est marquée V_{i-1}, une autre sous F_{i+1},\dots,F_{n-1} est marquée V_i. La lettre des F est la même capitale cursive que ci-dessus ; le premier est surchargé par le \sigma_2 du dessin.

Plus bas, « x_0 — x_{n-1} » au-dessus d'un segment gradué fléché, dont les deux premiers intervalles sont repassés en gras.