Cote n° 70 · batch 7 · pages 121–125 · Transcription · Réalisations géométriques de structures combinatoires (n-polyèdres, n-hyperpolyèdres [2-polyèdres réguliers]…) (Vieilles rédactions) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

Programme provisoire d'une théorie arithmétique des polyèdres réguliers

121Le titre de la section est le sien : il ouvre la page, souligné. La page commence un texte neuf ; rien n'y reprend une page antérieure.

Soit un type ⌜\(\tau\)⌝ de polyèdre régulier, dans l'esp. affine de dim \(n\) (sur \(\mathbb{R}\)). Il y a un représentant \(X_\tau\) « canonique » de \(\tau\), défini à isom. can. près, par le choix d'un « repère » \(R_\tau\) de \(X_\tau\). L'espace affine \(E_\tau\) qui le porte est muni d'une origine (le centre ⌜bary⌝centre de gravité de l'ens. des pts extrémaux), donc c'est un vectoriel.

On désigne par \(\mathcal{F}_\tau\) l'ensemble ordonné des facettes (y compris celles de dim \(-1\) et \(n\)) de \(X_\tau\), par \(G_\tau\) le groupe \[ G_\tau \simeq \mathrm{Aut}_{\mathrm{aff}}(X_\tau) \simeq \mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}}(\mathcal{F}_\tau) \] La lettre qu'il emploie pour l'ensemble des facettes est une capitale cursive bouclée, entre \(\Phi\) et un \(\mathcal{F}\) ; on la rend partout par \(\mathcal{F}\). L'indice du second \(\mathrm{Aut}\) se lit « ord » ou « ad » ; « ord » est retenu d'après le contexte.

La catégorie des polyèdres réguliers de type \(\tau\) équivaut à celle des torseurs sous \(G_\tau\).

Soit \(k\) un anneau commutatif (plus gén., on pourrait se placer sur un schéma, ou sur un topos loc. annelé – ici on est sur \(\operatorname{Spec} k\)). Une \(k\)-réalisation (de plongée ⌜déf. ci-dessous⌝) de \(X\) \(\tau\) (ou de \(X_\tau\)) est par définition la donnée de raisonnable si \(\operatorname{Spec} k\) connexe…

a) Un \(k\)-espace projectif ⌜\(P\)⌝ de dim \(n\) (splitté, donc associé à un module projectif de rg. f. défini […] tensorisation près par un […] module inversible) [muni d'une section \(s_0\) et d'un hyperplan (« à l'infini ») \(H_\infty\)]

b) Un ensemble \(\mathcal{F}\) de sous-espaces projectifs \(P\) de \(P\), donnés soumis aux conditions suivantes :

1221) \(\mathcal{F}\), pour la relation d'ordre induite par l'inclusion, est isomorphe à \(\mathcal{F}_\tau\).

[2) Pour Pour tout \(V \in \mathcal{F}\), on a \(s_0 \notin V\) et \(V \not\subset H_\infty\) fibre par fibre] Le passage entre crochets porte un « 2) » noirci ; une flèche le contourne et rattache la suite directement à 1).

et pour \(V \in \mathcal{F}\), la dimension combinatoire de \(\mathcal{F}\) dans l'ens. ordonné \(\mathcal{F}\) (en prenant \(-1\) comme dim du plus petit élt) est égale à la dim. projective de \(V\). […] Enfin \(P \in \mathcal{F}\) (donc \(\dim P = n\)) « la dimension combinatoire de \(\mathcal{F}\) » : on attendrait \(V\) ; la page porte la lettre de l'ensemble.

3) Tout Les éléments de \(\mathcal{F}_0\) engendrent \(P\) projectivement (fibre par fibre), et ceux de \(\mathcal{F}_{n-1}\) engendrent \(\check{P}\). (Ceci implique qu'un automorphisme de \(P\) qui induise \(\mathcal{F}\) est connu quand on connaît sa restriction à \(\mathcal{F}\) comme automorphisme ⌜permutation⌝ de l'ens. ordonné \(\mathcal{F}\)…) La parenthèse est encadrée et barrée de traits obliques ; un trait la relie à la note marginale qui suit, qui la remplace.

Plus précisément, on veut que pour tout \(V \subset W\), \(V, W \in \mathcal{F}\), \(W \neq V\), soit égal le sous-espace projectif de \(P\) engendré par les \(V' \in \mathcal{F}\) tels que \(V \subset V' \subset W\), \(\dim V' = \dim V + 1\) – et […] dual

4) Tout automorphisme de l'ens. ordonné \(\mathcal{F}\) est induit par un automorph. de \(P\) invariant \(\mathcal{F}\).

123Feuille de notations, sans texte suivi ; les symboles \(s_i\), \(s'_i\), \(\delta_i\), \(f_i\) ne sont définis sur aucune page de ce lot.

\[ \begin{array}{lll} (s_i)_{0 \leq i \leq n-1} & s_{n-1} = 2 & s_n = 1 \\ (s'_i)_{0 \leq i \leq n-1} & s'_0 = 2 & s'_{-1} = 1 \\ (\delta_i)_{0 \leq i \leq n-2} & & \\ (f_i)_{0 \leq i \leq n-1} & f_{-1} = f_n = 1 & \end{array} \] \[ N = \prod_{1}^{n-1} s_i = \prod_{1}^{n-1} s'_i = \operatorname{card} G \] \[ \begin{cases} s'_i f_{i+1} = f_i s_{i+1} \quad (0 \leq i \leq n-1) \\ s \end{cases} \qquad \frac{f_i}{s'_i} = \frac{f_{i+1}}{s_{i+1}} = f \] La seconde ligne de l'accolade s'arrête sur « \(s\) ». Au numérateur de la fraction, l'indice de \(f\) est peu net.

\[ x_{i-1} \;\bullet\; \bullet\; x_{i+2} \qquad \sigma_i \sigma_{i+1} \] \[ \sigma_0\sigma_1,\ \sigma_1\sigma_2,\ \dots,\ \sigma_{n-2}\sigma_{n-1} \qquad G \ni \sigma_0, \dots, \sigma_{n-1} \] Le symbole entre \(G\) et \(\sigma_0\) peut aussi se lire \(\supset\).

À droite, un polygone régulier (hexagone ou heptagone) dont un sommet et les deux arêtes qui en partent sont repassés en gras, avec un rayon vers le centre ; au-dessous, un cube en perspective où un drapeau (sommet, arête, face) est marqué en gras, avec trois droites étiquetées \(\sigma_0\), \(\sigma_1\), \(\sigma_2\). À côté, la chaîne

\[ \begin{array}{cccccccc} x_0 & x_1 & & x_{i-1} & x_i & & & x_{n-1} \\ F_0 & F_1 & - & F_{i-1} & F_i & F_{i+1} & - & F_{n-1} \end{array} \] Une accolade sous \(F_0,\dots,F_{i-1}\) est marquée \(V_{i-1}\), une autre sous \(F_{i+1},\dots,F_{n-1}\) est marquée \(V_i\). La lettre des \(F\) est la même capitale cursive que ci-dessus ; le premier est surchargé par le \(\sigma_2\) du dessin.

Plus bas, « \(x_0\) — \(x_{n-1}\) » au-dessus d'un segment gradué fléché, dont les deux premiers intervalles sont repassés en gras.