Fonds Grothendieck, cote n° 70, pages 101–120

L'icosaèdre géométrique

la page commence au milieu d'un calcul entamé avant ce lot : v, w, a, b, la forme q et les sommets s_0, s_1, s_2 sont introduits plus haut, dans le lot précédent.

~~w = a + \frac{2\alpha}{\alpha'} b = a - 2\alpha^2 b = a - 2(1-\alpha) b~~

Remplaçons v par sa valeur de la formule précédente, on trouve w = \alpha'\bigl(\alpha' w - (\alpha'-1)a\bigr) - (\alpha'-1)a \underbrace{(1-\alpha'^2)}_{\alpha'} w = \underbrace{(\alpha'-1)\underbrace{(-\alpha'-1)}_{\alpha}}_{} a \qquad \text{i.e. } \alpha' w = \alpha' a \qquad \text{i.e. } \emph{$w = a$} \struck{1-\alpha}\quad \alpha\alpha' - \alpha = -1-\alpha = \alpha' puis v = \bigl(\alpha' - (\alpha'-1)\bigr) a = a, donc \boxed{v = w = a}

~~f(x,y,z) = a x[\ldots]~~ ~~a x(x+y+z-1)~~ +\, b\bigl[y(y-\alpha z-1) + z(z-1)\bigr], l'accolade donnant (y^2+z^2-y-z-\alpha yz) : f(x,y,z) = a x(x+y+z-1) + b(y^2+z^2-y-z-\alpha yz) f(a s_2) = 0 \quad\text{i.e.}\quad a\alpha'(-\alpha') + b\Bigl[\struck{\ill{}}\,\add{\alpha'^2} + (1-\alpha')(-\alpha') - \alpha(-\alpha')(1-\alpha')\Bigr] = 0 deux accolades regroupent les termes du crochet, l'une étiquetée 1, l'autre menant à « =0 » ; en marge, barré : \alpha' = \alpha' + \alpha'^2. -\alpha'^2 a + \alpha'^2 b = 0 \qquad \boxed{b = a} f(x,y,z) = a\, q(x,y,z) Il reste : vérifier q(a s_0) = q(a s_1) = q(a s_2) = 0.

Mais c'est clair car q s'annulant…

La forme homogène de q est q_0(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - \alpha yz + zx + xy \tag{19} dont la matrice est \struck{\ill{}}\; \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\alpha \\ 1 & -\alpha & 2 \end{pmatrix} \tag{20} de discriminant \delta = 8 - 2\alpha - 2 - 2\alpha^2 - 2 = 4 - 2\underbrace{(\alpha^2+\alpha)}_{1} = 2 \delta = 2 \quad\text{donc}\quad \emph{$\delta' = 1$} \tag{21} Forme quadratique très parfaite, merveille !

Quant au discriminant de q homogénéisée par une variable t q(x,y,z,t) = x^2 + y^2 + z^2 - \alpha yz + zx + xy - t(x+y+z) c'est le déterminant de la matrice \struck{\ill{}}\; \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -\alpha & -1 \\ -\alpha & -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \tag{22} la troisième ligne est écrite (-\alpha, -1, 2, -1), non symétrique de la deuxième colonne ; transcrit tel quel. dont le discriminant ~~(à un facteur essentiel près du calcul)~~ est ~~\boxed{\alpha'}~~ -\alpha-3, N(-\alpha-3) = 5, ~~2 anneau .~~ sauf erreur de calcul.

sauf en car. 5 (NB en car. 5, l'icosaèdre est 5- ~~Vérifier ! Donc l'icosaèdre est inscrit~~ dans une orbite de rayon nul, des quadriques sing. !) les ajouts de cette fin de page sont d'une encre noire, par-dessus le texte bleu ; la phrase bleue biffée se poursuit en tête de la p. 106.

feuille d'un autre papier (ligné en biais), à l'encre noire ; sans lien apparent de notation avec les pages voisines, sinon le module quadratique de rang 2 que reprend la p. 105. W^+_T \simeq \mu_{n\,T} \qquad V_T \simeq D \oplus D^{-1} \zeta \in \Gamma(\mu_{n\,T}) opère sur V_T par \zeta.(x,y) = (\zeta x, \zeta^{-1} y)

\begin{tikzcd} T \arrow[r, no head] \arrow[d] & T\times_S\Omega \arrow[d, no head] \\ S & \Omega \arrow[l] \end{tikzcd}

\mu^{*}_{n\,T\times_S\Omega} \ni \zeta \qquad \sigma_T\sigma_\omega \qquad \sigma_T\zeta = \zeta^{-1}, \quad \sigma_\omega\zeta = \zeta^{-1}, \quad \sigma_T\sigma_\omega\zeta = \zeta \mu^{*}_{n\,T\wedge\Omega}

Module quadratique de rang 2 non dég (V, q) Section de \Sigma^{(q)}/\mu_n^{(q)} rev. étale quadratique \Omega de S et iso \mu^{(q)}_{n\,\Omega} \simeq (\struck{\ill{}})_\Omega 4)(i.e. section de \mu^{(q)*}_{n\,\Omega}

petit croquis biffé : T, S, \Omega reliés par des traits. \begin{array}{c} T \\ | \\ S \end{array} \quad \begin{array}{c} A \\ | \\ \mathcal{O}_S \end{array} \quad 1 \qquad \zeta + \zeta^{-1} = c, \qquad \zeta^2 - c\zeta + 1 = 0, \qquad \zeta = \frac{c \pm \sqrt{c^2-4}}{2} \qquad c^2 = 4,\ c = \pm 2 ~~1) c satis~~

1) c \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S) satisfaisant \Phi_n(c) = 0 — \zeta = \zeta^{-1}, \zeta^2 \neq 1

\bigl[\Rightarrow rev. quadratique R de S \bigl[\operatorname{Spec} \mathcal{O}_S[X]/(X^2 - cX + 1)\bigr]\bigr) avec \zeta \in \Gamma(R, \mu^{*}_{n\,R}), \sigma_R\zeta = \zeta^{-1} \bigr]

~~2) Rev~~

\mathcal{O}_S^2 \mu_n opère par \lambda x, \lambda^{-1} x \mu_n.(1,1) \begin{array}{c} R \\ | \\ S \end{array} A = \mathcal{O}_S[X]/(X^2 - cX + 1) au-dessus de \mathcal{O}_S

\Delta_1 = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -\alpha & -1 \\ -\alpha & 2 & -1 \end{pmatrix} = \alpha + \alpha - 4 - (-\alpha^2) \struck{-(-1) - (-2)} = 2\alpha + \alpha^2 = \alpha + 1 = -\alpha' la première ligne de la matrice de \Delta_1 est écrite petit, au-dessus des deux autres. \Delta_2 = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -\alpha & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} = 2\alpha - 2 \struck{-1} - \alpha \struck{-(-1)} - (-4) = \alpha + 2 \Delta_3 = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & \struck{2} & -1 \\ 1 & -\alpha & -1 \end{pmatrix} = -4 + \alpha \struck{-1} - (-2) - 2\alpha \struck{-(-1)} = -2 - \alpha \det(\ ) = \Delta_1 - \Delta_2 + \Delta_3 = \underbrace{-\alpha' - \alpha}_{1} - 2 - \alpha = -1 - \alpha = \alpha' calcul des mineurs du déterminant (22) de la p. 102 ; le résultat \alpha' n'est pas celui, -\alpha-3, retenu là-bas. Un petit quadrillage est griffonné à gauche de \Delta_3. au crayon, le long du bord gauche : X contractible

feuille de listing à perforations, encre bleu sombre ; plusieurs lignes barrées de traits obliques. On donne ce qui se lit. Mod. loc. libre de rang 2 F \mathbb{V} \mathbb{V} \simeq \struck{\ill{}} \add{\operatorname{Sym}^2(F) \otimes (\det F)^{-1}} \simeq \operatorname{Sym}^2 \check F \otimes (\det \check F)^{-1} \quad \struck{\simeq \ill{} \otimes (\det F)^{\ill{}}} ~~X \subset P(\mathbb{V}) = P(\check\Omega) ) avec le crochet habituel [x,y] = xy - yx. La forme bilinéaire dite sur \emph{End}(F)~~ \Omega = \check{\mathbb{V}} = \Gamma^2(\check F) \otimes (\det F)^{\ill{}} = \operatorname{Bilsym}(F, F; \det F^{\ill{}}) forme quadratique canonique (le discriminant) (du premier ) \struck{\operatorname{Sym}^2(F)} \xrightarrow{\ \delta\ } (\struck{\det F})^{\otimes 2}\ \mathcal{O}_S donc \mathbb{V} = \operatorname{Sym}^2(F)(\det F)^{-1} \xrightarrow{\ Q\ } \mathcal{O}_S , à ce prix, l'inverse de (discriminant ). Si une base de F, F \simeq \mathcal{O}_S^2, d'où base de \det F, \operatorname{Sym}^2 F … dans \mathbb{V} bil. sym. \mathbb{V} s'identifie au Module des formes -x x' + b(xy' + x'y) + c\,yy' et \delta est la forme b^2 - ac , \struck{\det\Omega \simeq \det\Gamma^2\check F\,(\det F)^{3} \simeq \ill{}\,(\det F)^{-3} \det F^{3} \simeq \mathcal{O}_S} le long du bord gauche : \delta'(Q)

~~dans une~~ quadrique lisse en toute dimension ! fin de la phrase bleue biffée au bas de la p. 102 (« Donc l'icosaèdre est inscrit… ») ; le reste de la feuille est vide.

NB Est-il clair que la condition \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 est suffisante pour avoir une représentation de l'icosaèdre ? On aura une représentation affine du groupe \Gamma' = \bigl\{\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \bigm| \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = (\sigma_0\sigma_1)^3 = (\sigma_1\sigma_2)^5 = (\sigma_0\sigma_2)^2 = 1\bigr\} la condition est écrite ici \alpha^2 + \alpha - 1 = 0, comme à la p. 108 ; aux pp. 101-102 il utilise \alpha^2 + \alpha = 1. Le groupe admet \Gamma comme un groupe quotient. Si on ~~savait~~ utilisait \Gamma' \simeq \Gamma .. ça marcherait. Sinon il faut des vérifications un peu surabondantes (mais de pure routine) que l'ens. des six points s_0, s_1, s_2, s_3, s'_3, s''_3 et de leurs « antipodiques » définis « a priori » ~~est~~ stables sous \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 (i.e. sous \Gamma') et ~~que~~ plus précisément que les op. de \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 sur l'ens. de ces 12 pts « est la même » que l'op. de ceux-ci sur les 12 pts de l'icos. comb. \Pi…

Ici \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 sont des réflexions. Les hyperplans correspondants sont \begin{cases} H_0 : & 2x + y + z - 1 = 0 \\ H_1 : & -x + y + \alpha' z = 0 \\ H_2 : & \struck{\ill{}}\ y - z = 0 \end{cases}

comme coordonnées affines et exprimons \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 p.r. à ces coordonnées — pour \sigma_0, \sigma_2 les coefficients sont des entiers bien déterminés (tous égaux à 0 ou \pm 1) ; pour \sigma_1 il y a des « modules » indéterminés \lambda, \mu, \nu satisfaisant \text{soit}\ \begin{cases} \nu^2 = 1 \\ \mu = -\nu\lambda \end{cases} \quad \Bigl|\ \text{exprimant } \sigma_1^2 = 1 puis \nu = 1 (exprimant u^3 = \mathrm{id}) et \lambda^2 + \lambda - 1 = 0 ~~(où u = \sigma_1\sigma_2 )~~ ~~On a fait les calculs dans le cas \nu = 1~~ exprimant que u^3 = \mathrm{id}. ~~\mu = -\lambda ( )~~ — où l'on de \lambda on écrit aussi \alpha' … et on a trouvé, exprimant (\sigma_1\sigma_2)^5 = \mathrm{id}, l'équation en \alpha, ou \alpha', on donne) \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 on termine en vérifie la fidélité. les notations u, \lambda, \mu, \nu et les « coordonnées affines » renvoient à ce qui précède ; le début de la phrase n'est pas sur la p. 107, qui s'achève sur les hyperplans.

Pour bien faire, il faudrait aussi traiter le cas où l'on n'a pas \nu = 1, i.e. où u n'est unimodulaire i.e. \sigma_1 une réflexion ( cas où \neq ?, cas revient à prendre \nu = -1) Considérons le ~~plan~~ d'équation x+y+z=0 ~~des s_1, s_2, s_3, soit P,~~ ~~je dis qu'il~~ montrons qu'il ~~contient s'_3 = (\lambda, \mu, \nu) i.e.~~ ~~que \lambda + \mu + \nu = 0~~ \struck{\lambda + \mu + \nu = 1 \quad\text{i.e.}\quad \lambda - \nu\lambda + \nu = 1 \quad\text{i.e.}} \quad \struck{\ill{}}\quad \struck{(\lambda - 1)(1 - \nu) = 0 \quad ?} ~~Mais on a, \nu \neq 1~~ tout ce dernier paragraphe est barré de grandes diagonales croisées.

Si une réalisation est acceptable, ~~les quatre~~ quatre pts distincts s_0, s_1, s_2, s_3 dont les trois premiers sont sur une même face, leurs réal. géom. sont affinement indépendantes.

~~Considérons~~ Une représentation est dite ~~acceptable~~ régulière si elle est acceptable et si ~~Pour tout~~ g \in \Gamma \exists\, g_E automorphisme affine de E qui le prolonge. ~~Prenons pour~~ C'est une ~~les repr. acceptables~~ propriété de l'application \rho_S en fait, et implique que \rho_S(S) engendre affinement E.

NB la condition « acceptable » revient à exiger que \rho_S soit , \rho_S(S) , que \rho_S droites…

Prop. Une représentation régulière est fidèle.

Soit ~~(s_0, s_1, s_2)~~ (\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2) \in \Gamma les symétries fond. associées au repère, s_0 le sommet origine, s_1 = \sigma_0 s_0, \quad s_2 = \sigma_1 s_1, \quad s_3 = \sigma_2 s_2 ~~Je dis que~~ Je dis que s_0, s_1, s_2, s_3 sont affinement indép. On sait déjà par hyp. que s_0, s_1, s_2 le sont. Si on avait s_3 \in P := \operatorname{Pl}(s_0, s_1, s_2), il en résulterait que P — qui est déjà invariant par \sigma_0, \sigma_1 — serait invariant par \sigma_2 ~~(\sigma_2 P)~~ puisque \sigma_2(P) = \operatorname{Pl}\bigl(\sigma_2(s_0) = s_0,\ \sigma_2(s_1) = s_1,\ \sigma_2(s_2) = s_3\bigr) = P Ceci étant, on peut choisir s_0, s_1, s_2, s_3 la démonstration s'interrompt au bas de la page ; la p. 110 commence une nouvelle rédaction, sous un titre.

Icosaèdre géométrique et représentations du groupe \Gamma

titre de sa main, en tête de la p. 110.

Soit \Pi = (S, A, F; r) l'icosaèdre combinatoire-type, épinglé par le repère r = (\struck{\ill{}}\ s_0, \operatorname{Dr}(s_0, s_1), \operatorname{Pl}(s_0, s_1, s_2)), \Gamma son groupe des automorphismes. Une représentation ou réalisation affine ~~régulière~~ de \Pi dans un fibré affine E (sur schéma S) de dim. 3 est la donnée d'applications \begin{aligned} S &\xrightarrow{\ \rho_S\ } \text{ens.\ des sections de } E \text{ sur } S \\ A &\xrightarrow{\ \rho_A\ } \text{ens.\ des \add{sous-}fibrés en droites affines de } E \\ F &\xrightarrow{\ \rho_F\ } \text{ens.\ des sous-fibrés en plans affines} \end{aligned} respectant les relations d'incidence ~~et telle~~. On dit qu'elle est ~~quasi-acceptable~~ ~~non dégénérée~~ « acceptable » si les sommets d'une face ont des images distinctes deux à deux — ce qui implique que \rho_A, \rho_F sont connus quand on connaît \rho_S ! ~~On dit que \rho est fidèle~~ ~~fidèle~~ ~~si deux facettes de \Pi non incidentes ont leurs images réalisations géom.~~ peut être donnée arbitrairement. On dit que \rho est fidèle, si ~~elle est aussi injective~~ ~~elle est acceptable, et si~~ sur une fibre ~~S, A, F~~ deux facettes dont les réalisations sur une fibre sont incidentes, sont incidentes (Je m'en réfère à l'exigence dans le cas des sommets et arêtes, et sommets et faces ). Ceci implique qu'elles sont acceptables (car si les trois les trois s, s', s'' d'une face étaient sur une droite, ceux-ci seraient incidents : \rho(\{s', s''\}) \{s', s''\}), et \rho_S, \rho_A, \rho_F sont injectives (si p.ex. s \neq s' et avaient même image s et s' non incidents, si on avait r(s) = r(s') on aurait r(s') incident à r(s) et …)

D_0 = H_1 \cap H_2 : \quad y = z,\ x = \alpha' y \quad\text{i.e.}\quad y = z = \alpha x c'est la droite homogène de vecteur directeur (1, \alpha, \alpha) ou (-\alpha', 1, 1). D_1 = H_2 \cap H_0 \quad \begin{cases} \struck{\ill{}} : & D_1 = \varnothing,\ (\text{i.e. } H_0 /\!/ H_2) \\ 2 \text{ inv.} & \struck{\ill{}}\ y = z = \tfrac{1}{2} - x \end{cases} D_2 = H_0 \cap H_1 \quad \begin{cases} y = \alpha + (1 - 3\alpha)x \\ z = (1 - \alpha) - 3(1 - \alpha)x \end{cases} les hyperplans H_0, H_1, H_2 sont ceux de la fin de la p. 107.

Se donner une réal. géom. régulière de \Pi revient au même que se donner une représentation affine de rang 3 de \Gamma, (dans E l'espace affine) et un point ~~élément~~ s_0 de E telle que \sigma_1 s_0 = \sigma_2 s_0 = s_0 \quad\text{i.e.}\quad s_0 \in E^{\sigma_1} \cap E^{\sigma_2} et telle que de plus les quatre pts s_0,\ s_1 = \sigma_0 s_0,\ s_2 = \sigma_1 s_1 = \sigma_1\sigma_0 s_0,\ s_3 = \sigma_2 s_2 = \sigma_2\sigma_1\sigma_0 s_0 soient affinement indépendants.

~~points~~ deux tels s_0, s'_0, il y a un automorphisme unique de E commutant à \Gamma qui transforme s_0 en s'_0.

P. représentations affines fidèles (i.e. antipodiques ) le groupe des conditions d'existence 2. classification des représentations affines des formes de l'icosaèdre…

Position du pb des 2-polyèdres réguliers — vieille rédaction

titre de sa main, sur la feuille de couverture rose (p. 113), avec l'indication « (10 p) » ; la p. 112, rose et vide, la précède. Les dix pages annoncées vont au-delà de ce lot (pp. 114-123).

Considérons le groupe cartographique \Gamma = \bigl\{\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \bigm| \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = (\sigma_0\sigma_2)^2 = 1\bigr\} \tag{1} donc engendré par des gén. \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 satisfaisant \begin{cases} \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = 1 \\ \sigma_0\sigma_2 = \sigma_2\sigma_0 \end{cases} \tag{2} ~~On pose~~ Pour toute partie non vide H de \{0, 1, 2\} (H \neq \varnothing,\ H \subset \{0,1,2\}) on pose \begin{cases} \Gamma_H = \text{ss-groupe engendré par les } \sigma_i \text{ avec } i \notin H \\ \mathfrak{F}_H = \Gamma/\Gamma_H \quad (\text{espace homogène}) \end{cases} \tag{3} ~~donc~~ donc H \subset K \Rightarrow \Gamma_K \subset \Gamma_H \Rightarrow \mathfrak{F}_K \xrightarrow{\ \varphi_{HK}\ } \mathfrak{F}_H \tag{4} On appelle drapeaux universels de type H les él. de \mathfrak{F}_H, et \mathfrak{F}_H ens. l' ens. des drap. univ. de type H. L'ens. \mathfrak{F}_{**} = \coprod_{H} \mathfrak{F}_H \tag{5} ou l'ens. des drapeaux, il est ordonné par la relation x \in \mathfrak{F}_H,\ y \in \mathfrak{F}_K \qquad x \preccurlyeq y \iff H \subset K,\ x = \varphi_{HK}\, y \tag{6} ce qui est bien une relation d'ordre. Les él. minimaux sont les éléments de \mathfrak{F}_{\{0\}} \overset{\text{df}}{=} \mathfrak{F}_0, \quad \mathfrak{F}_{\{1\}} \overset{\text{df}}{=} \mathfrak{F}_1, \quad \mathfrak{F}_{\{2\}} \overset{\text{df}}{=} \mathfrak{F}_2 \tag{7} appelés sommets, arêtes et faces universelles. Sur l'ens. des drapeaux minimaux, on a la fonction dim \mathfrak{F}_* = \coprod_{i \in \{0,1,2\}} \mathfrak{F}_i \xrightarrow{\ \dim\ } [0, 2] \qquad \dim(\mathfrak{F}_i) \in \{i\} \tag{8}

et on introduit sur l'ens. \coprod_{i \in \{0,1,2\}} \mathfrak{F}_i ~~des~~ facettes universelles une relation d'ordre (dite d'incidence) par x \leqslant y \iff \begin{cases} \text{a) } \dim(x) \leqslant \dim(y) \\ \text{b) } \exists\, z \in \mathfrak{F}_*, \text{ avec } \struck{x, y \preccurlyeq z}\ x, y \preccurlyeq z \end{cases} \tag{9} au b) il écrit \mathfrak{F}_* ; le contexte (drapeaux contenant x et y) demanderait plutôt \mathfrak{F}_{**}. Transcrit tel quel.

Si X est un affine quasi-projectif ~~projectif~~ (sur une base quelconque, de dim. {} \geqslant ), on (H \subset \{0,1,2\},\ H \neq \varnothing) définit les drapeaux de type H de X de façon habituelle, ~~Une représentation~~ \mathfrak{F}_H(X/S) \mathfrak{F}_{**}(X/S), \quad \mathfrak{F}_*(X/S) \ \ldots Une P polyèdre régulier ~~splitting~~ scindé dans X est la donnée, d'abord, des trois ens. (finis) \begin{cases} S = S_P \subset \mathfrak{F}_0(X/S) = \Gamma(X/S) & \text{ens.\ des sommets} \\ A = A_P \subset \mathfrak{F}_1(X/S) & \ldots \text{arêtes} \\ F = F_P \subset \mathfrak{F}_2(X/S) & \ldots \text{faces} \end{cases} \tag{10} satisfaisant les conditions \boxed{11}\quad \begin{cases} \text{(a) } \forall a \in A, \struck{\text{il y a } \ill{} \text{ exactement}} \text{ l'ens.\ des } s \in S \text{ incidents à } a \\ \quad \text{est de cardinal 2 exactement —} \\ \quad \text{et ceci reste vrai après tt chgt de base } S' \to S,\ S' \text{ non vide} \\ \text{(b) } \forall s \in S,\ f \in F, \text{ l'ens.\ des } a \text{ incidents à } s \text{ et } f \text{ est \add{loc.} de cardinal égal à } 2, \\ \quad \text{et ceci reste vrai après tt chgt de base } S' \to S,\ S' \neq \varnothing \\ \text{(c) } \forall a \in A, \text{ l'ens.\ des } f \in F \text{ incidents \struck{\ill{}} est de cardinal } = 2, \\ \quad \text{et ceci reste vrai après tt chgt de base } S' \to S,\ S' \neq \varnothing \end{cases} la condition de finitude de potentielles…

Ainsi \boxed{\Psi_* \overset{\text{df}}{=} \Psi_{*P} = S \amalg A \amalg F} \tag{12} devient un ens. ordonné du type précis, permettant de construire des ens. de drapeaux de tt type H \subset \{0,1,2\}, H \neq \varnothing, d'où \boxed{\Psi_H := \Psi_{H P}} \tag{12 bis} s'identifiant à une partie de \mathfrak{F}_{**}(X), L'ens. des drapeaux de type maximum ~~i.e. de type~~ \{0,1,2\} ~~une opération de \Gamma sur \Psi_{**P}~~, s'appelle l'ens. des repères de ~~\mathfrak{F}_{**}(X),~~ ~~les conditions, i.e.~~ P \operatorname{Rep}(P) = \Psi_{\{0,1,2\}\,P} \tag{13} et \Gamma y opère par \begin{cases} \sigma_0(s, a, f) = (s', a, f) & s' \neq s \\ \sigma_1(s, a, f) = (s, a', f) & a' \neq a \\ \sigma_2(s, a, f) = (s, a, f') & f' \neq f \end{cases} \tag{14} ~~Ainsi~~ D'ailleurs les applications de restriction \operatorname{Rep}(P) \longrightarrow \Psi_H(P) \tag{15} se factorisent en une application canon. \operatorname{Rep}(P)/\Gamma_H \longrightarrow \Psi_H(P) \tag{16} ~~Ceci fixé~~ On a besoin de plus :

\boxed{17} Les applications (15) sont surjectives (donc (16) aussi) — ce qui revient au même, pour () ( les facettes de dim. 0 de dim. 2) de dim. . les trois dernières lignes sont surchargées et barrées en partie ; on n'en donne que ce qui se lit.

\boxed{18} L'ens. S engendre affinement X fibre par fibre

\bigl[\ \boxed{19} condition de connexité pour l'ens. ordonné \Psi_*(P), impliquant que \Gamma_{\ill{}} opère transitivement sur \operatorname{Rep}(P) (grâce à (18), (17)) et que tt automorphisme de P — et a fortiori tt autre combinatoire de P — qui fixe un repère est l'identité \bigr]

redondant ? On a certainement si on exige que \Psi_*(P)/\Gamma_H \xrightarrow{\sim} \Psi_H(P) \forall H \subset \{0,1,2\}, H \neq \varnothing ?

\boxed{20} \operatorname{Aut}(X, P) opère transitivement sur \operatorname{Rep}(P). du \Gamma

On trouve alors que le stabilisateur d'un repère r est un ss-groupe invariant N de \Gamma, donc \Psi(P) est un torseur sous \boxed{\Gamma/N = \Gamma_P} \tag{21} et par \boxed{\operatorname{Aut}(X, P) \simeq \operatorname{Aut}_{\mathrm{comb}}(P)} \tag{22} le signe « \simeq » et l'indice « comb » sont écrits par-dessus un mot barré. ces deux commutant. Donc le choix d'un repère r définit un isomorphisme \struck{\ill{}}\quad \Gamma_P \xrightarrow{\ \sim\ } G = \operatorname{Aut}(X, P) \tag{23} par \struck{r}\ \gamma \in \Gamma \mapsto \varphi(\gamma) \text{ est l'unique automorphisme de } (X, P) \text{ tel que } \varphi(\gamma)(r) = \gamma.r \tag{24}

Questions ~~Pour application~~ r \in \operatorname{Rep}(P) fixé, l'application \Gamma \longrightarrow \operatorname{Rep}(P) \qquad \gamma \mapsto \gamma.r \tag{25} est surjective (par [19]), et par passage aux quotients des N\backslash\mathfrak{F}_H \struck{\ill{}} = \Gamma_P/\Gamma_H = \Gamma/N.\Gamma_H \longrightarrow \Psi_H(P) \tag{26}

surjections, sont-elles en fait bijectives ?? Que peut-on dire des ss-groupes inv N de \Gamma, et de l'espace homogène correspondant \Gamma/N \simeq \Psi_{**}(P) ?

On voudrait que ce soit l'ens. des 5 cartes correspondant aux polyèdres réguliers connus — en particulier, on voudrait que ce soit orientable ! Et il faudrait, pour une carte combinatoire donnée (disons de ces cinq types ?) déterminer les polyèdres réguliers épinglés par ce \mathfrak{F} — ce qui est un pb modulaire…

NB Si les réponses à la question précédente (26) étaient positives (et sinon, il faudrait renforcer la définition pour qu'elles le deviennent) on récupérerait P par la donnée de \Gamma \xrightarrow{\ \varphi\ } \operatorname{Aut}(X) \tag{27} et de r \struck{=}\ (s_0, a_0, f_0) \in \operatorname{Rep}(X) \tag{28} satisfaisant \struck{\sigma_0(a_0)}\quad \begin{cases} \sigma_0 a_0 = a_0, & \sigma_0 f_0 = f_0 \\ \sigma_1 s_0 = s_0, & \sigma_1 f_0 = f_0 \\ \sigma_2 a_0 = a_0, & \sigma_2(f_0) = f_0 \end{cases} \tag{29} en prenant pour S, A, F l'ens. des transformés de s_0, a_0, f_0 sous \Gamma.

Plus précisément, pour fixer les idées sur un corps de base, et voyons sous quelles conditions de telles données définissent bien un polyèdre régulier. Tout d'abord il faut que le ss-groupe invariant N = \operatorname{Ker} \varphi \subset \Gamma \tag{30} soit d'indice fini. Ceci étant, la condition ~~La cond~~ (17) est triviale par construction, mais la condition \boxed{11} semble plus sérieuse, et signifie ceci ; on pose s'_0 = \sigma_0(s_0), \quad \struck{\ill{}}\ a'_0 = \sigma_1(a_0), \quad f'_0 = \sigma_2(f_0) \tag{31} on a s'_0 \neq s_0, a'_0 \neq a_0, f'_0 \neq f_0, et

\boxed{32}

a)Si \gamma \in \Gamma est tel que \gamma s_0 \prec a_0, alors \gamma s_0 \in \{s_0, s'_0\} b)Si \gamma \in \Gamma est tel que s_0 \prec \gamma a_0 \prec f_0, alors \gamma a_0 \in \{a_0, a'_0\} c)Si \gamma \in \Gamma ——— ~~\gamma~~ a_0 \prec \gamma f_0, alors \gamma f_0 \in \{f_0, f'_0\}

[De plus \boxed{12} s'écrit :

\boxed{33} Les \gamma s_0 engendrent affinement X (qui est ordinaire !)] le numéro encadré est surchargé ; il se lit « 33 », comme le suivant.

\boxed{33'} \gamma s_0 \prec \gamma' a_0 \prec \gamma'' \struck{f_0 \Rightarrow}\, f_0 \Longrightarrow \exists\, \gamma''' \in \Gamma, \text{ tel que } \gamma''' s_0 = \gamma s_0,\ \gamma''' a_0 = \gamma' a_0,\ \gamma''' f_0 = \gamma'' f_0 (exprime \boxed{19}) une flèche relie le crochet de « De plus [12] s'écrit » au bas de la page, restée vide.

encre noire, écriture posée ; un autre objet que ce qui précède : les « cocubes ». \begin{array}{c} B \\ | \\ I \end{array} \qquad \begin{array}{c} k^B \\ \big\downarrow{\scriptstyle t = \operatorname{Tr}} \\ k^I \end{array} \xleftarrow{\ \varphi = (\varphi_b)_{b \in B}\ } E = t^{-1}(\{1\}) \qquad H_b = \varphi_b^{-1}(\{1\}) \begin{array}{c} B' \subset B \\ \big\downarrow \\ I \end{array} \qquad \struck{\ill{}}\ F_{B'} = \bigcap_{b \in B'} H_b \mathfrak{F} = \{F_{B'}\}_{B' \in \Gamma_p(B/I)} \cup \{\varnothing\}

N \hookrightarrow k^B \longrightarrow k N = sous-module (facteur direct de rang n-1) engendré par les (b + \sigma b) - (b' + \sigma b'), b, b' \in B 0 \to W \longrightarrow V \longrightarrow k \to 0 \qquad V = k^B/N, \qquad n\ (\text{sous } W)

Caractérisation des cocubes \mathfrak{F} \subset E ens. de sous-var. linéaires affines de dim. n

a)\forall s \in \mathfrak{F}_0 (él. de \mathfrak{F} qui est un sous-espace de E de dim. 0, i.e. réduit à un point) \exists!\, s' \in \mathfrak{F}_0, s' \neq s, tel que la droite joignant s, s' soit \notin \mathfrak{F} (s \mapsto s' est donc une involution sans pt fixe sur \mathfrak{F}_0) b)Pour tte partie B' \subset B \overset{(\text{df})}{=} \mathfrak{F}_0, telle que B' \in \Gamma_p(B/I) (où I = B/\sigma), le sous-espace linéaire affine engendré par B' et de dim. égale à (\operatorname{card} B') - 1 (i.e. B' est affinement libre) est \in \mathfrak{F} — et on trouve ainsi tous les \in \mathfrak{F}, ~~sous-espaces affines~~ à l'exception de E (l'élément maximal), qui est \in \mathfrak{F} c)Pour toute B' \in \Gamma(B/I) et b \in B \smallsetminus B', B' \cup \{b\} est affinement libre et engendre affinement E d)Si b, b' \in B, on a b + \sigma b = b' + \sigma b'.

« (10 p) » sur la couverture : la rédaction se poursuit au-delà de ce lot.