La page s'ouvre sans titre sur un drapeau et trois générateurs ; l'argument vient vraisemblablement de pages antérieures à ce lot.
en haut à gauche, un polyèdre (icosaèdre ?) dont une face triangulaire porte les sommets s_0, s_1, s_2 ; au-dessous, un triangle s_0 s_1 s_2 avec sa hauteur issue de s_2 et les médianes, les régions marquées \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 ; en tirets, les sommets voisins s_3 (sous s_0 s_1), s'_3 (à gauche) et s''_3 (à droite)
R = (f_0, f_1, f_2) \qquad
\begin{cases}
\sigma_0 f_0 \neq f_0, & \sigma_0 f_1 = f_1, \quad \sigma_0 f_2 = f_2 \\
\sigma_1 f_0 = f_0, & \sigma_1 f_1 \neq f_1, \quad \sigma_1 f_2 = f_2 \\
\sigma_2 f_0 = f_0, & \sigma_2 f_1 = f_1
\end{cases}
s_0, s_1 = \sigma_0 s_0, s_2 = \sigma_1 s_1, s_3 = \sigma_2 s_2 ; f_1 = \mathrm{Dr}(s_0, s_1), f_2 = \mathrm{Pl}(s_0, s_1, s_2).
\sigma_0 : \begin{cases} s_0 \mapsto s_1 \\ s_1 \mapsto s_0 \\ s_2 \mapsto s_2 \\ s_3 \mapsto s_3 \end{cases}
\qquad
\sigma_1 : \begin{cases} s_0 \mapsto s_0 \\ s_1 \mapsto s_2 \\ s_2 \mapsto s_1 \\ s_3 \mapsto s'_3 \overset{?}{=} \struck{s''_3} \end{cases}
\qquad
\sigma_2 : \begin{cases} s_0 \mapsto s_0 \\ s_1 \mapsto s_1 \\ s_2 \mapsto s_3 \\ s_3 \mapsto s_2 \end{cases}
\begin{cases} e_1 = s_1 - s_0 \\ e_2 = s_2 - s_0 \\ e_3 = s_3 - s_0 \end{cases}
s'_3 = s_0 + \lambda e_1 + \mu e_2 + \nu e_3 \quad \bigl(= s_0 + \lambda e_1 - \nu\lambda e_2 + \nu e_3\bigr)
la parenthèse est lue avec doute : -\nu\lambda e_2.
\sigma_0 : \begin{cases} e_1 \mapsto -e_1 \\ e_2 \mapsto -e_1 + e_2 \\ e_3 \mapsto -e_1 + e_3 \end{cases}
\qquad \struck{\uncertain{\text{matrice}}} \quad
\sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 & \ill{} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
le quatrième coefficient de la première ligne est couvert d'une tache d'encre ; la dernière ligne est écrite en surcharge.
\sigma_1 : \begin{cases} e_1 \mapsto \struck{e_0}\ e_2 \\ e_2 \mapsto e_1 \\ e_3 \mapsto \lambda e_1 + \mu e_2 + \nu e_3 \quad (= \lambda e_1 - \lambda e_2 + e_3) \end{cases}
\qquad \struck{\uncertain{\text{matrice}}} \quad
\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \lambda & 0 \\ 1 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & \nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\sigma_2 : \begin{cases} e_1 \mapsto e_1 \\ e_2 \mapsto e_3 \\ e_3 \mapsto e_2 \end{cases}
\qquad
\sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Écrivons les relations
\sigma_1^2 = \mathrm{id}
(les relations \sigma_0^2 = \sigma_2^2 = \mathrm{id} et \sigma_0\sigma_2 = \sigma_2\sigma_0 étant évidentes). Il suffit d'écrire
\sigma_1^2(s_3) = s_3 \quad \text{i.e.} \quad \sigma_1(s'_3) = s_3 \quad \text{or}
l'exposant de s_3 dans le premier membre de droite ressemble à un 4 : s_3.
\begin{align*}
\sigma_1(s'_3) &= \sigma_1 s_0 + \struck{\sigma_1 e_3 = s_0 +} \lambda\sigma_1 e_1 + \mu\sigma_1 e_2 + \nu\sigma_1 e_3 \\
&= s_0 + \lambda e_2 + \mu e_1 + \nu(\lambda e_1 + \mu e_2 + \nu e_3) \\
&= s_0 + (\mu + \nu\lambda) e_1 + (\lambda + \nu\mu) e_2 + \nu^2 e_3 .
\end{align*}
Les conditions sont
\begin{cases} \nu^2 = 1 \quad \struck{\mu + \nu\lambda} & (1^\circ) \\ \mu = -\nu\lambda & (2^\circ) \\ \lambda = -\nu\mu \end{cases}
ou encore \lambda = \nu^2\lambda (conséquence de 2^\circ), qui résulte de 1^\circ.
Sur un corps, ces conditions se décomposent en deux possibilités
\begin{cases} \nu = 1, & \mu = -\lambda \\ \nu = -1, & \mu = \lambda \end{cases}
Notons que
\det \sigma_1 = \struck{\det} -\nu
donc si on veut \det \sigma_1 = -1 (i.e. si on veut \sigma_1 une réflexion) on doit avoir \nu = 1, \mu = -\lambda.
écrit en oblique dans la marge gauche, à hauteur des deux possibilités : « On \nu = 1, \sigma_0(s'_3) = \ill{}, s''_3 = \ill{} … i.e. \sigma_1\sigma_0\sigma_1\sigma_0(s_3) … »
la note marginale oblique n'est lue qu'en fragments ; elle semble exprimer s''_3 au moyen de \sigma_0 et \sigma_1.
On aura donc
s'_3 - s_3 = \struck{\lambda e_1 + \ldots} (s'_3 - s_0) - (s_3 - s_0) = \lambda(e_2 - e_1) = -\lambda(s_2 - s_1)
sous (s'_3 - s_0) il écrit u(e_3), sous (s_3 - s_0) il écrit e_3. Le signe de \lambda(e_2 - e_1) est lu tel quel : d'après la page 82 on attendrait \lambda(e_1 - e_2), ce qui donne bien -\lambda(s_2 - s_1).
On posera
(1) \qquad -\lambda = (1 + \alpha), \qquad \lambda = -(1+\alpha) = \alpha'
de sorte qu'on aura
(2) \qquad s'_3 - s_3 = (1 + \alpha)(s_2 - s_1)
et la matrice de \sigma_1 sera
(3) \qquad \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -(1+\alpha) & 0 \\ 1 & 0 & 1+\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & 1 & \uncertain{-\alpha'} & 0 \\ 1 & 0 & -\alpha' & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
avec \alpha' = -(1+\alpha) (page 83), la seconde matrice devrait porter \alpha' puis -\alpha' dans la troisième colonne ; le premier signe est lu avec doute.
Posons
(4) \qquad \begin{cases} u = \sigma_0\sigma_1 & \quad s_0 \mapsto s_1 \mapsto s_2 \mapsto s_1\uncertain{\text{ ?}},\quad s_3 \mapsto s''_3 \ \text{(à calculer)} \\ v = \sigma_1\sigma_2 & \quad s_0 \mapsto s_0,\quad s_3 \mapsto s_1 \mapsto s_2 \mapsto s'_3 \end{cases}
les lettres u et v sont écrites en surcharge d'autres, noircies. Dans la première ligne, le dernier terme du cycle se lit s_1 ; on attendrait s_0.
Notons que s_0, s_1, s_2, s_3
On aura
\begin{align*}
s''_3 = u s_0 + u e_3 &= s_{\uncertain{1}} + \sigma_0(\sigma_1(e_3)) = s_0 + e_1 + \sigma_0\bigl[(1+\alpha)(e_2 - e_1) + e_3\bigr] \\
&= s_0 + e_1 + (1+\alpha)\, e_2 \struck{\ill{}} + e_3 - e_1
\end{align*}
donc
(5) \qquad s''_3 = s_0 + (1+\alpha)\, e_2 \struck{\ill{}} + e_3 = s_3 + (1+\alpha)\, e_2
ou encore
(6) \qquad s''_3 - s_3 = (1+\alpha)(s_2 - s_0)
Calculons u(s'_3) utilisant (2)
\struck{u s'_3 = u s_0 + u e_3 = s_1 + \sigma_0\sigma_1\bigl((1+\alpha)(e_2 - e_1) + e_3\bigr)} = s_1 + (1+\alpha)\, u(s_2 - s_1)
le = s_1 + (1+\alpha)u(s_2 - s_1) final est lui aussi traversé par le trait.
u(s'_3) = u(s_3) + (1+\alpha)\underbrace{u(s_2 - s_1)}_{s_0 - s_2 = -e_2} = s''_3 - (1+\alpha)\, e_2 \underset{(5)}{=} s_3
, on trouve de même par (6)
\struck{(7) \quad u(s_3) \longmapsto s'}
\struck{(7)}\ \ u(s''_3) = u(s_3) + (1+\alpha)\underbrace{u(s_2 - s_3)}_{s_0 - s_1 = -e_1} = s''_3 - (1+\alpha)\, e_1
sous la dernière ligne, coupée par le bord de la feuille : « = s_0 + (1+\alpha)(e_2 - e_1) + e_3 ».
donc
(7) \qquad u : s_3 \longmapsto s''_3 \longmapsto s'_3 \longmapsto s_3
Donc on trouve
(8) \qquad u^3 = \mathrm{id}
Notons que s_3, s_1, s_2, s'_3 sont dans un même plan (celui d'équation x + y + z = 1 !) et ce plan est stable par \sigma_1 et \sigma_2 (donc par v = \sigma_1\sigma_2), ainsi donc par v = \sigma_1\sigma_2. Un calcul commode montre que
(9) \qquad v^5 = \mathrm{id} \iff \boxed{\alpha^2 + \alpha - 1 = 0}
Donc si G est le groupe
(10) \qquad G = \Bigl\{ \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \Bigm| \sigma_0^2 = \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = 1,\ \sigma_0\sigma_2 = \sigma_2\sigma_{\uncertain{1}},\ (\sigma_0\sigma_1)^3 = 1,\ (\sigma_1\sigma_2)^5 = 1 \Bigr\}
= \mathrm{Aut}(\text{icosaèdre comb. épinglé} \ldots)
dans la relation de commutation, le dernier indice se lit 1 ; le contexte (page 83) demande \sigma_0\sigma_2 = \sigma_2\sigma_0.
alors sous réserve que \alpha^2 + \alpha - 1 = 0, ce groupe G opère effectivement sur \mathbb{E}^3. Montrons que l'ensemble des transformés de s_0, \mathrm{Dr}(s_0, s_1) et \mathrm{Pl}(s_0, s_1, s_2) forme un icosaèdre géométrique ? Cela signifie que sur tout corps, les seules relations d'incidence entre ces droites sommets, droites et plans sont celles
de l'icosaèdre.
le reste de la feuille est blanc ; la question posée à la page 85 n'est pas poursuivie ici.
la page s'ouvre, comme la page 86, sur la fin de la phrase interrompue au bas de la page 85.
de de l'icosaèdre combinatoire.
Si nous admettons que G est fini d'ordre 120, comme le stabilisateur de s_0 contient le groupe Z engendré par v (cyclique d'ordre 5) en plus de \sigma_1 — donc le groupe diédral \{1, \sigma_1\}\cdot Z (produit semi-direct), on voit que le nombre de sommets est un diviseur de 120/10 = 12. Notons que les six points déjà écrits s_0, s_1, s_2, s_3, s'_3, s''_3 sont distincts, or les coordonnées sont
(11) \qquad \begin{cases}
s_0 = (0, 0, 0) \\
s_1 = (1, 0, 0) \\
s_2 = (0, 1, 0) \\
s_3 = (0, 0, 1) \\
s'_3 = \bigl(-(1+\alpha), 1+\alpha, 1\bigr) = (\alpha', -\alpha', 1) \\
s''_3 = (0, 1+\alpha, 1) = (0, -\alpha', 1)
\end{cases}
dans l'expression de droite de s'_3, le premier signe est noirci : \alpha'. En marge droite des coordonnées : \alpha' = -(\alpha+1) = -\alpha^{-1} (« l'antiracine » de \alpha^2 + \alpha - 1 = 0) ; le mot entre guillemets est lu avec doute. Des accolades au crayon relient s_0, s_1 et s_2, s_3.
voir les comparer à s'_3, s''_3 et comparer ceux-ci entre eux. Comme la dernière coordonnée de s'_3, s''_3 1+\alpha si \alpha = -1
les deux dernières phrases sont rapides et chargées de surcharges ; leur lecture est incertaine dans le détail. La phrase se poursuit au-delà du bas de la page.
l'équation \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 devient -1 = 0, qui n'est jamais vérifiée (sur une base non vide !). Cela signifie implique que le nombre de douze six, le stabilisateur de
On va d'abord déterminer le centre de l'icosaèdre, défini (s'il existe) comme l'unique (?) pt fixe sous G.
la feuille est vide sauf un calcul isolé dans le quart inférieur droit, relations entre \alpha et son conjugué \alpha'.
\alpha + \alpha' = -1 \qquad \begin{cases} \alpha = -(\alpha' + 1) \\ \alpha' = -(\alpha + 1) \end{cases}
\alpha\alpha' = -1 \qquad \begin{cases} \alpha = -1/\alpha' \\ \alpha' = -1/\alpha \end{cases}
\begin{gather*}
(1 - \alpha)(1 - \alpha') = 1 \\
(1 + \alpha)\alpha = (1 + \alpha')\alpha' = 1 \qquad (1 + \alpha)(1 + \alpha') = -1 \\
(\alpha + 2)(\alpha' + 2) = 1 \\
(2\alpha - 1)(2\alpha' - 1) = -1
\end{gather*}
(2\alpha-1)(2\alpha'-1) = 4\alpha\alpha' - 2(\alpha+\alpha') + 1 = -1 ; la relation est transcrite telle quelle.
(12) \quad \begin{cases} \sigma_0(x, y, z) = \bigl(1 - (x + y + z), y, z\bigr) \\ \text{pts fixes définis par } 2x + y + z - 1 = 0 \quad \struck{\ill{}} \quad (\text{si } 2 \text{ inv.}) \end{cases}
à droite de (12), deux lignes biffées : car. 2, l'hyperplan : l'infini….
(13) \quad \begin{cases} \sigma_1(x, y, z) = \bigl(y - (1+\alpha)z,\ x + (1+\alpha)z,\ z\bigr) = (y + \alpha' z,\ x - \alpha' z,\ z) \\ \text{pts fixes définis par } x + (1+\alpha)z = y \quad (\text{vis. en } x, y, z) \\ \phantom{\text{pts fixes définis par }} \struck{x + \alpha' z = y} \quad x - y - \alpha' z = 0 \end{cases}
(14) \quad \begin{cases} \sigma_2(x, y, z) = (x, z, y) \\ \text{pts fixes définis par } y = z \end{cases}
« vis. » (sans doute « visiblement ») est lu avec doute. Dans (13), les signes devant \alpha' z sont noircis et lus d'après \alpha' = -(1+\alpha).
Centre o de coordonnées
x = \tfrac{1}{2}\alpha', \quad y = \alpha' x = \struck{\ill{}}\ \tfrac{1 - \alpha'}{2}, \quad z = y \qquad \struck{x = \tfrac{\ill{}}{2},\ y = z = -\tfrac{\ill{}}{2\alpha}}
la valeur intermédiaire de y est noircie ; « \frac{1-\alpha'}{2} » est écrit au-dessus. La relation « y = \alpha' x » est transcrite telle que lue.
(15) \qquad \struck{o = \tfrac{1}{2}(\ill{}) = -\tfrac{1}{2}\Bigl(-1, \tfrac{1}{\alpha}, \tfrac{1}{\alpha}\Bigr)}
o = \tfrac{1}{2}(\alpha', 1 - \alpha', 1 - \alpha') = \tfrac{1}{2}\bigl(-(1+\alpha), 2 + \alpha, 2 + \alpha\bigr)
NB L'équation \alpha^2 + \alpha - 1 implique \alpha inv. et en fait elle s'écrit
(16) \qquad \boxed{\alpha(\alpha + 1) = 1} \quad \text{ou}
\alpha + 2 [en fait, \alpha(\alpha+1)(\alpha-1)(\alpha+2) (2\alpha - 1) sont inv. … \}, et (\alpha - 2) sera inv. ssi 5 est inv. …]
Ainsi, en car. \neq 2 le centre est donné par les coordonnées (15), et en car. 2 sans doute c'est le pt à l'infini dans la direction \bigl(-1, \frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\alpha}\bigr) …].
« sera inv. ssi 5 est inv. » : (\alpha-2)(\alpha+3) = \alpha^2+\alpha-6 = -5 ; lecture probable mais le mot « ssi » est très abrégé.
Ceci dit, on doit pouvoir sans mal simplifier ceci.
Prop. L'antipodisme \underline{a} est la symétrie par rapport au pt o donné par (15) si 2 inv., et dans tous les cas il est donné par la formule
(17) \qquad \underline{a}(x, y, z) = \bigl(\alpha' - x,\ (1 - \alpha') - y,\ (1 - \alpha') - z\bigr)
sous (17), une première version biffée et illisible :
Si 2 est inv., \underline{a} s_3 s'_3, s''_3 sont \neq o (n'étant pas fixes sous G). En car.
NB En car. 2, les solutions de l'équation \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 sur une ext. alg. close K de \mathbb{F}_2 sont les deux éléments de autre él. de \mathbb{F}_4 \smallsetminus \mathbb{F}_2.
la phrase sur \widetilde{K} \smallsetminus K est lue telle quelle ; les deux K désignent manifestement la clôture algébrique et l'extension quadratique, que la page note de la même lettre.
(18) \qquad \begin{cases}
\underline{a}\, s_0 = (\alpha', 1 - \alpha', 1 - \alpha') \\
\underline{a}\, s_1 = (\alpha' - 1, 1 - \alpha', 1 - \alpha') \\
\underline{a}\, s_2 = (\alpha', -\alpha', 1 - \alpha') \\
\underline{a}\, s_3 = (\alpha', 1 - \alpha', -\alpha') \\
\underline{a}\, s'_3 = (0, 1 \ill{}, -\alpha') \\
\underline{a}\, s''_3 = (\alpha', 1 \ill{}, -\alpha')
\end{cases}
dans les deux dernières lignes, la deuxième coordonnée est noircie après le « 1 » ; sous \underline{a}\,s'_3, une correction également noircie, où l'on devine 2\alpha + 3. D'après (11) et (17) on attendrait \underline{a}\,s'_3 = (0, 1 - 2\alpha', -\alpha') et \underline{a}\,s''_3 = (\alpha', 1, -\alpha'). Le reste de la feuille (papier à musique) est blanc.
le haut de la page (titre et tableau (18)) est barré de deux longs traits obliques ; c'est une autre version de (18), avec d'autres valeurs, transcrite ici sous le trait.
Écrivons les antipodiques des s_i, s'_3, s''_3
\struck{(18)} \quad \begin{cases}
\underline{a}\, s_0 = \bigl(1, -\frac{1}{\alpha}, -\frac{1}{\alpha}\bigr) = (1, -1-\alpha, -1-\alpha) = (1, \alpha', \alpha') \\
\underline{a}\, s_1 = \bigl(0, -\frac{1}{\alpha}, -\frac{1}{\alpha}\bigr) = (0, -1-\alpha, -1-\alpha) = (0, \alpha', \alpha') \\
\underline{a}\, s_2 = \bigl(1, -\frac{1}{\alpha} - 1, -\frac{1}{\alpha}\bigr) = (1, -2-\alpha, -1-\alpha) = (1, \alpha' - 1, \alpha') \\
\underline{a}\, s_3 = \bigl(1, -\frac{1}{\alpha}, -\frac{1}{\alpha} - 1\bigr) = (1, \uncertain{-1-\alpha}, -2-\alpha) = (1, \alpha', \alpha' - 1) \\
\underline{a}\, s'_3 = \bigl(2 + \alpha, -2(1+\alpha), -(2+\alpha)\bigr) = (1 - \alpha', -2\alpha', \alpha' - 1) \\
\underline{a}\, s''_3 = \bigl(1, -2(1+\alpha), -(2+\alpha)\bigr) = (1, 2\alpha', \alpha' - 1)
\end{cases}
On aimerait prouver que (sur un corps de base quelconque) trois sommets des un même plan sauf s'ils faux en car. 2 ! »
les ajouts interlinéaires au-dessus des deux premières lignes du paragraphe sont serrés et en partie illisibles.
Pour le premier point, il y a trois vérifications à faire :
\bullet) La droite qui joint s_0 à son antipodique \underline{a}\,s_0 ne contient aucun autre sommet. On constate que les 10 vecteurs = (\ill{}, -1-\alpha, -1-\alpha) ou encore à \frac{1}{\alpha'}\,\underline{a}\,s_0 = (1, \alpha', \alpha')
la dernière ligne est serrée contre le bord inférieur ; « de Coxeter » est une lecture très douteuse d'un mot abrégé. La phrase se poursuit en haut de la page 94.
Ok C'est vrai.
\ast b) La droite joignant s_0 à s_1 ne contient pas d'autre sommet, i.e. les 10 vecteurs-sommets distincts de s_0, s_1 sont non prop. à s_1 = (1, 0, 0). C'est vrai.
c) La droite joignant s_0 à s''_3 ne contient pas d'autre sommet, i.e. les 10 vect.-sommets distincts de s_0, s''_3 sont non prop. à s''_3 = (0, 1 + \alpha, 1) = (0, -\alpha', 1). C'est vrai.
Le deuxième pt semble plus fastidieux. Mais si on s'est seulement restreint au cas de 4 pts distincts dont trois forment face, on est ramené à ceci :
Aucun des 9 vecteurs-sommets distincts de s_0, s_1, s_2 n'est dans le plan qu'ils engendrent, i.e. n'a de coordonnée z nulle. Or c'est vrai — et on est heureux !
le reste de la feuille est blanc.
Fonctions
d'où
\begin{gather*}
\boxed{v = a} \\
2v = 2a \quad \text{ok} \\
2a - v = v \quad \text{ok} \\
-2a - \lambda = \lambda \quad \text{i.e.} \quad \boxed{2(\lambda + a) = 0} \\
\mu = -2a - \lambda + v + \mu \quad \text{i.e.\ (connu)} \quad \boxed{\lambda = -a}
\end{gather*}
la première égalité encadrée a sa lettre de gauche noircie ; d'après les deux lignes suivantes c'est v = a. De « 2(\lambda + a) = 0 » part une flèche vers une expression biffée et encadrée, « 2\lambda + 2a = 0 ».
a + v + \lambda = 0 \quad \lambda = 2a \quad \text{ok}
f(x, y, z) = ax^2 + b(y^2 + z^2) + uyz + ax(y + z) \add{- ax} \struck{+ \mu(y + z)} \qquad \boxed{\uncertain{2a = 0}}
\struck{= ax(x + y + z) + b(y^2 + z^2) + uyz + \mu(y + z)}
\struck{= a\bigl[x^2 + x(y + z) - x\bigr]}
f(x, y, z) = ax(x + y + z - 1) + b(y^2 + z^2) + uyz + \mu(y + z)
l'encadré à droite de l'avant-dernière ligne est lu avec doute ; la dernière ligne garde le terme \mu(y+z) que la précédente biffe.
toute la page est barrée de deux longs traits obliques.
Fonction ss-quadratique nulles sur les sommets de l'icosaèdre :
\begin{array}{lcll}
f(s_0) = 0 & \Longrightarrow & d = 0 & \\
f(s_1) = 0 & \Longrightarrow & a + \lambda = 0 & \text{i.e.}\ \lambda = -a \\
f(s_2) = 0 & \Longrightarrow & b + \mu = 0 & \phantom{\text{i.e.}}\ \mu = -b \\
f(s_3) = 0 & \Longrightarrow & c + \nu = 0 & \phantom{\text{i.e.}}\ \nu = -c
\end{array}
f(x, y, z) = a(x^2 - x) + b(y^2 - y) + c(z^2 - z) + uyz + vzx + wxy
f(s''_3) = b(1+\alpha)\alpha + u(1+\alpha) = 0 \qquad \underline{u = -\alpha b}
\begin{align*}
f(\underline{a}\,s_1) &= \uncertain{\alpha}(\alpha+1)(\alpha+2)(b + c) - b(\alpha + 2) = 0 \\
\text{\uncertain{d'où}}\quad & (\alpha+1)(b + c) - b = 0 \quad \text{i.e.} \quad \alpha b + (\alpha+1)c = 0 \\
\text{i.e.}\quad & b = -\Bigl(1 + \frac{1}{\alpha}\Bigr)c = -(2 + \alpha)c
\end{align*}
le mot « ss-quadratique » (sans doute « sous-quadratique » ou « ss.-quadr. ») est lu avec doute. Le premier facteur de f(\underline{a}\,s_1) et le signe devant b(\alpha+2) sont écrits en surcharge.
la page reprend la forme de f obtenue à la fin de la page 95 et lui applique \sigma_1 (formule (13)).
\begin{align*}
f\sigma_1(x, y, z) &= a(y + \alpha' z)(x + y + z - 1) + b\bigl(x^2 + (\alpha'^2 + 1)z^2 - 2\alpha' xz\bigr) \\
&\quad + u(x - \alpha' z)z + \mu\bigl(x + (1 - \alpha')z\bigr) \\
&= bx^2 + ay^2 + \bigl(a\alpha' + b(1 + \alpha'^2) \add{- u\alpha'}\bigr)z^2 \\
&\quad + (\uncertain{-a\alpha})yz + (a\alpha' - 2b\alpha' + u)zx + axy \\
&\quad + \mu x + (-a)y + \bigl(-a\alpha' + \mu(1 - \alpha')\bigr)z
\end{align*}
les produits développés sont reliés par des accolades et des flèches ; le « - u\alpha' » est inséré au-dessus de la ligne, entouré. Le coefficient de yz est écrit en surcharge.
d'où \boxed{b = a}
\begin{gather*}
a\alpha' + b(1 + \alpha'^2) - u\alpha' = b \\
\text{i.e.} \quad a(\underbrace{\alpha'^2 + \alpha'}_{1} + \struck{\ill{}}\,\uncertain{1}) = u\alpha' \quad \text{i.e.} \quad \boxed{u = -\alpha a} \\
-a\alpha = u \quad \text{ok} \\
a\alpha' - 2b\alpha' + u = a \quad \text{i.e.} \quad a(\uncertain{-}\alpha' - 2\alpha' \struck{\ill{}}\,\underbrace{-\alpha}_{\alpha'} - 1) = 0 \quad \text{ok} \\
a = a \quad \text{ok} \\
\boxed{\mu = -a} \\
-a = \mu \quad \text{ok} \\
-a\alpha' + \mu(\struck{1} - \alpha') = \struck{\mu} \quad \text{i.e.} \quad \struck{a(-\alpha' - a\alpha')}\ -\alpha'(a + \mu) = 0 \quad \text{ok}
\end{gather*}
les signes dans le « i.e. » de la ligne a\alpha' - 2b\alpha' + u = a sont noircis ; le 1 et le \mu biffés de l'avant-dernière ligne le sont d'un trait fin.
f(x, y, z) = a\, q(x, y, z)
(19) \qquad \boxed{\begin{aligned} q(x, y, z) &= x(x + y + z - 1) + (y^2 + z^2) - \alpha yz - (y + z) \\ &= x^2 + y^2 + z^2 - \alpha yz + zx + xy - (x + y + z) \end{aligned}}
Les fonctions quadr. invariantes sont donc celles de la forme a\,q(x, y, z) + d, celles qui sont nulles sur S sont celles de la forme a\,q(x, y, z).
toute la page est barrée d'un long trait oblique. Elle s'ouvre sur « = » : c'est la fin d'un développement de f\sigma_1 dont le début n'est pas sur la page 97 telle qu'elle se présente, sans doute une première version écrite avec \alpha au lieu de \alpha'.
\begin{align*}
&= bx^2 + ay^2 + \bigl[a(\alpha + 2) + b(\alpha + 3) + u(1 + \alpha)\bigr]z^2 \\
&\quad + \bigl(-2a(1 + \alpha)\bigr)yz + \bigl[2b(1 + \alpha) + u\bigr]zx \\
&\quad + \mu x + (-a)y + \bigl[a(1 + \alpha) + \mu(2 + \alpha)\bigr]z
\end{align*}
le coefficient de b dans le crochet de z^2 est écrit en surcharge : (\alpha + 3) ; celui de yz se lit -2a(1+\alpha) avec un premier chiffre surchargé.
les conditions deviennent
\begin{cases}
a = b \\
a(2\alpha + 5) + u(1 + \alpha) = \underset{a}{b} \\
-2a(1 + \alpha) = u & \text{déjà vu} \\
2b(1 + \alpha) + u = 0 & \text{déjà vu } (b = a) \\
\mu = -a \\
-a = \mu & \text{déjà vu} \\
a(1 + \alpha) + \mu(2 + \alpha) = \mu \\
\quad \text{i.e.}\ (\mu + a)(1 + \alpha) = 0
\end{cases}
\text{i.e.} \qquad
\begin{cases}
b = a \\
u = -2a\,\dfrac{\alpha + 2}{1 + \alpha} = -2a\alpha(\alpha + 2) = -2a(\alpha + 1) \\
\mu = -a
\end{cases}
dans la fraction, le numérateur « \alpha + 2 » est surchargé. Les égalités de la deuxième accolade sont transcrites telles quelles.
f(x, y, z) = a\, q(x, y, z) \quad \text{où}
\boxed{q(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \struck{\ill{}} - 2(1 + \alpha)yz - (x + y + z)}
la dernière parenthèse commence par une lettre surchargée, lue x.
Ainsi q et le ch. +1 forment une base des fonctions sous-quadratiques invariantes. Parmi celles-ci, les multiples de q sont celles qui s'annulent sur les sommets de l'icosaèdre.
« ch. » est lu d'après la lettre ; on attend « la cste » (la constante). La lecture est incertaine.
nouvelle reprise, sur papier à musique, du calcul des quadriques passant par les sommets, sans supposer d'abord l'invariance.
Quadriques circonscrites
f(x, y, z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + uyz + vzx + wxy + \lambda x + \mu y + \nu z + d
\begin{array}{lll|l}
f(s_0) = 0 & \boxed{d = 0} & & f(x, y, z) = \\
f(s_1) = 0 & a + \lambda = 0 & \boxed{\lambda = -a} & a(x^2 - x) + b(y^2 - y) + c(z^2 - z) \\
f(s_2) = 0 & b + \mu = 0 & \boxed{\mu = -b} & \quad + uyz + vzx + wxy \\
f(s_3) = 0 & c + \nu = 0 & \boxed{\nu = -c} &
\end{array}
f(s''_3) = 0 \qquad b(\alpha'^2 + \alpha') \struck{\ill{}} + u\alpha' = 0 \qquad \boxed{u = \struck{\ill{}} -\alpha b}
u = -(\alpha' + 1)b = -\alpha b
« circonscrites » est lu avec doute. Le signe entre b(\alpha'^2+\alpha') et u\alpha' est une tache.
\struck{f = a(x^2 - x) + b\bigl(y^2 - \ill{}\bigr) + c(z^2 - z)}
f(x, y, z) = a(x^2 - x) + by(y - \alpha z - 1) + c(z^2 - z) + \struck{\ill{}} \add{x(vz + wy)}
f(\struck{\ill{}}\,s'_3) = 0 \qquad b\bigl(\underbrace{1 - \underbrace{\alpha(-\alpha')}_{1} - 1}_{-1}\bigr) + c(\underbrace{\alpha'^2 + \alpha'}_{1}) = 0 \qquad \boxed{b = c}
f(x, y, z) = a(x^2 - x) + b\bigl(\struck{y(y - \alpha z - 1) + z(z - 1)}\ \add{y^2 + z^2 - \alpha yz - (y + z)}\bigr) + x(vz + wy)
\begin{align*}
f(s'_3) = 0 \qquad & a(\alpha'^2 - \alpha') + b\bigl(-\alpha'(\underbrace{-\alpha' - \alpha - 1}_{0}) + 0\bigr) \\
& \struck{+ \alpha'(}\ v\alpha' - \alpha'^2 w = 0 \\
& a(\alpha' - 1) + v - \alpha' w = 0 \qquad \boxed{v = \alpha' w - (\alpha' - 1)a}
\end{align*}
\begin{align*}
f(\underline{a}\,s''_3) = 0 \qquad & a(\alpha'^2 - \alpha') + b\Bigl(\underbrace{\struck{1} + \underbrace{\alpha\alpha'}_{-1} \struck{- 1} + \underbrace{(-\alpha')(-\alpha' - 1)}_{\alpha'^2 + \alpha' = 1}}_{0}\Bigr) \\
& + (-\alpha'^2)v + \alpha' w = 0 \\
& (\alpha' - 1)a \struck{\ill{}} - \alpha' v + w = 0 \qquad \text{ou encore, \uncertain{tout} \uncertain{court}} \quad \boxed{w = \alpha' v - (\alpha' - 1)a}
\end{align*}
sous l'accolade du « 0 », une ligne biffée illisible. Le « -\alpha' v + w » est écrit en surcharge d'une première version biffée, où l'on devine \alpha(\alpha' - 1).
Compte tenu des ci-dessus …
\struck{(\alpha' - 1)a - 2\alpha b + (1 - \alpha'^2)w + (\alpha'^2 - \alpha')a = 0}
\struck{(\alpha'^2 - 1)a - 2\alpha b + \underbrace{(1 - \alpha'^2)}_{\alpha'}w = 0}
les trois dernières lignes sont barrées de traits obliques ; sous (\alpha'^2 - 1) il note « -\alpha' ». Le calcul s'interrompt ici ; la page 100 traite d'autre chose, et la suite éventuelle de ce calcul n'est pas dans ce lot.
feuille d'un tout autre sujet (topologie générale : prolongement d'homotopies), au crayon puis à l'encre bleue, barrée de deux longs traits obliques. Sans lien visible avec l'icosaèdre ; elle est transcrite parce qu'elle est de sa main et mathématique.
f constante dans un voisinage fermé
\alpha fonction X \to I égale à 1 en x, à 0 dans \complement \overset{\circ}{F} \dfrac{\complement\overset{\circ}{F}}{F'}
c(t
h : X \times I \longrightarrow Y
h \mid F' \times I = (f \mid F') \circ \mathrm{pr}_1
h \mid F \times I = \struck{\ill{}}\bigl[(b, t) \longmapsto c\bigl(t\varphi(b)\bigr)\bigr]
f(x) = c(0)
les lignes qui précèdent sont au crayon ; la suite est à l'encre. Le « c » de c(t\varphi(b)) porte un point au-dessus, lu comme une lettre simple.
C \supset C' f_t
X \supset F \supset \overset{\circ}{F}
f_t(x) = x \quad \text{si}\ x \in \complement\overset{\circ}{F}
\struck{g_t(x) = x}
F \times I \longrightarrow F
\begin{cases} g_t(x) = x & x \in B = F - \overset{\circ}{F} \\ g_{\struck{t}}(s) = s \\ g_1(s) \end{cases}
X = F' \cup F, F \cap F' = B, x \in F - B
a) \exists fonction numérique continue sur F égale à 1 sur x, à 0 sur B (p. ex. si F compact régulier).
la dernière parenthèse est très abrégée ; « compact régulier » est une lecture douteuse. Le mot inséré au-dessus de « continue » est lu « numérique » avec doute.