Le groupe cartographique et
\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})
la page s'ouvre au milieu d'un calcul : \sigma, \rho_s, \rho_f et \Gamma^0_{\infty,3} sont déjà en usage, l'argument vient donc des pages qui précèdent ce lot.
1 \to R_n \to \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})/\pm 1 \to \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}_2) \to 0
l'indice de R est douteux (n ou 2) ; le « /\pm 1 » est écrit par-dessus une rature.
avec R_n = R(\infty,3;2,3) engendré par \rho_s^2 = (\sigma\rho_f^{-1})^2 ; \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})/\pm 1 \simeq \Gamma^0_{\infty,3}, \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}_2) \simeq \mathfrak{S}_3 \simeq \Gamma_{2,3}.
\begin{cases}
\rho_s = \sigma_0\sigma_1 \\
\rho_f = \sigma_1\sigma_2 \\
\rho_s\rho_f = \sigma_0\sigma_2 = \sigma
\end{cases}
\qquad \rho_s = \sigma\rho_f^{-1},
\qquad \boxed{\rho_f^3 = 1,\ \ \sigma^2 = 1}
\frac{az+b}{cz+d} = z, \qquad cz^2 + (d-a)z - b = 0, \qquad z = x+iy \ (y \neq 0)
\begin{cases}
c(x^2-y^2) + (d-a)x - b = 0 \\
\bigl[2cx + (d-a)\bigr]y = 0 \iff 2cx + (d-a) = 0
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
d-a = -2cx \\
c(x^2+y^2) + b = 0
\end{cases}
\begin{cases}
d = a - c\,\mathrm{Tr}(z) \\
b = -c\,N(z)
\end{cases}
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} a & -cN(z) \\ c & a - c\,\mathrm{Tr}\,z \end{pmatrix}
\det = a^2 - ac\,\mathrm{Tr}\,z + c^2N(z) = (a-cz)(a-c\bar z) = N(a-cz) = 1
1°) z = i, \mathrm{Tr}\,z = 0, N(z) = 1 (z racine primitive 4e de 1)
G_z = G_i = \left\{ \begin{pmatrix} a & -c \\ c & a \end{pmatrix} \,\middle|\, a^2+c^2 = 1 \right\}
élément d'ordre 4 :
\boxed{\sigma = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}
\qquad \sigma^4 = \mathrm{id}, \qquad \boxed{\sigma^2 = -1}
2°) z = \frac12 + i\frac{\sqrt3}{2} = \zeta (z racine primitive 6e de 1), \mathrm{Tr}\,z = 1, Nz = 1
G_z = G_\zeta = \left\{ \begin{pmatrix} a & -c \\ c & a-c \end{pmatrix} \,\middle|\, a^2 - ac + c^2 = 1 \right\},
\qquad N(a - c\zeta) = 1
\boxed{\rho_f = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}}
\qquad \rho^6 = \mathrm{id}, \qquad \boxed{\rho^3 = -1}
les signes des deux coefficients de droite de \rho_f sont repassés et en partie noyés d'encre ; un symbole biffé précède \rho_f.
\boxed{\rho'_s = \sigma\rho_f = \sigma_2\rho_f\sigma_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}
\qquad \rho'^{\,n}_s = \begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\Gamma^0_{\infty,3} \simeq \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})/\pm 1
\Gamma^0_{n,3} \xrightarrow{\ \text{épi}\ } \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}_n)/\pm 1 \quad (n \geq 2) \quad (\text{iso \emph{ssi} } n \leq 5)
i.e. ssi \Gamma^0_n fini
\simeq \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}_n)
l'étudier pour n = 2, 3, 4, 5, 6
\begin{array}{c|c|c|l}
n & \text{ordre } \Gamma^0_{n,3} & \text{ordre } \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}_n)/\pm 1 & \\ \hline
2 & (\mathfrak{S}_3)\ 6 & 6 & \text{cas 3-diédral} \\
3 & (\mathfrak{A}_4)\ 12 & 12 & \text{tétraèdre} \\
4 & (\mathfrak{S}_4)\ 24 & 24 & \text{cube orienté} \\
5 & (\mathfrak{A}_5)\ 60 & 60 & \text{icos. orienté} \\
6 & (\mathbb{Z}_6\cdot\mathbb{Z}^2)\ \infty & 72 & \text{pavage par triangles orienté du plan}
\end{array}
la dernière case (« pavage par triangles orienté du plan ») est très serrée ; « cas 3-diédral » est aussi une lecture probable plutôt que sûre. Un mot biffé
\mathrm{card}\,\mathrm{Sl}(2,\mathbb{F}_q) = (q+1)q(q-1) = q(q^2-1)
\mathrm{card}\,\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/p^\nu\mathbb{Z}) = \bigl(\mathrm{card}\,\mathrm{Sl}(2,\mathbb{F}_p)\bigr)\,p^{3(\nu-1)}
Les trois réflexions en coordonnées
\sigma_0\ \sigma_1\ \sigma_2, r = (s_0, a_0, f_0)
\begin{array}{lll}
\sigma_0 s_0 = s_1 & \sigma_0 a_0 = a_0 & \sigma_0 f_0 = f_0 \\
\sigma_1 s_0 = s_0 & \sigma_1 a_0 = \{s_0, s_2\} & \sigma_1 f_0 = f_0 \\
\sigma_2 s_0 = s_0 & \sigma_2 a_0 = a_0 & \sigma_2 f_0 = \{s_0, s_1, s_3, \ldots\}
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
a_0 = \{s_0, s_1\} \\
f_0 = \{s_0, s_1, s_2, \ldots\}
\end{array}
\sigma_0 s_0 = s_1, \qquad \sigma_1 s_1 = s_2, \qquad \sigma_2 s_2 = s_3
Figure autour du drapeau (s_0, a_0) : l'arête s_0 s_1 (marquée a_0), le triangle s_0 s_1 s_2 et ses images ; les sommets s_2, s_3, s'_2, s'_3 et, en pointillé à gauche, s''_3 ; les réflexions \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 sont marquées sur les droites qu'elles fixent.
\begin{cases}
e_1 = s_1 - s_0 \\
e_2 = s_2 - s_0 \\
e_3 = s_3 - s_0
\end{cases}
\sigma_1 \begin{cases} s_0 \mapsto s_0 \\ s_1 \mapsto s_2 \\ s_2 \mapsto s_1 \\ s_3 \mapsto s''_3 \end{cases}
\qquad
\sigma_2 \begin{cases} s_0 \mapsto s_0 \\ s_1 \mapsto s_1 \\ s_2 \mapsto s_3 \\ s_3 \mapsto s_2 \end{cases}
\qquad
\sigma_0 \begin{cases} s_0 \mapsto s_1 \\ s_1 \mapsto s_0 \\ s_2 \mapsto s'_2 \\ s_3 \mapsto s'_3 \end{cases}
\boxed{\mathrm{Pl}(s_0, s_1, s_2) = \mathrm{Pl}(s_0, s_1, s'_2)}
\qquad
\boxed{\mathrm{Pl}(s_0, s_1, s_3) = \mathrm{Pl}(s_0, s_1, s'_3)}
dans le premier cadre, une première écriture (s_0, s_1, s_2) est biffée.
Tableau de \sigma_0\sigma_2 = \sigma_2\sigma_0 (encadré) :
\begin{array}{l|ll}
s_0 \mapsto & s_1 & s_1 \\
s_1 \mapsto & s_0 & s_0 \\
s_2 \mapsto & s'_3 & \sigma_2 s'_2 \\
s_3 \mapsto & s'_2 & \sigma_2 s'_3
\end{array}
\boxed{\sigma_0^2 = 1} \quad \boxed{\sigma_1^2 = 1} \quad \sigma_2^2 = 1 \text{ automatique}
\boxed{\begin{array}{l} \sigma_0 s'_2 = s_2 \\ \sigma_0 s'_3 = s_3 \end{array}}
\qquad
\boxed{\sigma_1 s''_3 = s_3}
\qquad
\boxed{\sigma_2 s'_2 = s'_3}, \quad \sigma_2 s'_3 = s'_2
des flèches doubles relient chacune de ces relations encadrées à la relation d'involution ou de commutation qu'elle exprime.
s'_2 = s_0 + \lambda e_1 + \mu e_2 = (\lambda, \mu, 0),
\qquad
s'_3 = s_0 + \lambda e_1 + \mu e_3 = (\lambda, 0, \mu)
\Bigl[\ \underbrace{\mu = 1}_{?},\ \lambda = 1 + \beta \ldots\ \Bigr]
s''_3 = s_3 + \xi e_1 + \eta e_2 + \zeta e_3 = s_0 + \xi e_1 + \eta e_2 + (1+\zeta)e_3 = (\xi, \eta, 1-\zeta)
\Bigl[\ \underbrace{\xi = -\eta}_{?},\ \eta = 1 + \alpha,\ \underbrace{\zeta = 0}_{?}\ \Bigr]
« 1-\zeta » dans la dernière coordonnée, contre « 1+\zeta » dans le membre du milieu : tel quel sur la page.
Petit schéma : le carré s_0 s_1 s'_2 s_2 vu de face, avec s_3, s'_3 en dessous et s''_3 à gauche relié en pointillé.
\begin{cases}
\sigma_0 s_0 = s_1 = (1,0,0) \\
\sigma_0 e_1 = -e_1 \\
\sigma_0 e_2 = (\lambda-1)e_1 + \mu e_2 \\
\sigma_0 e_3 = (\lambda-1)e_1 + \mu e_3
\end{cases}
\qquad
\sigma_0 = \begin{pmatrix}
-1 & \lambda-1 & \lambda-1 & 1 \\
0 & \mu & 0 & 0 \\
0 & 0 & \mu & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\boxed{\sigma_0(x,y,z) = \bigl(1 - x + (\lambda-1)y + (\lambda-1)z,\ \mu y,\ \mu z\bigr)}
\sigma_0(s'_2) = \sigma_0(\lambda,\mu,0) = \bigl(1-\lambda+(\lambda-1)\mu,\ \mu^2,\ 0\bigr) \overset{?}{=} s_2 = (0,1,0)
i.e.
\boxed{\mu^2 = 1 \qquad (\lambda-1)(\mu-1) = 0}
\sigma_0(s'_3) = s_3 i.e. \sigma_2\sigma_0(s'_3) = \sigma_2 s_3, où \sigma_2\sigma_0 = \sigma_0\sigma_2, \sigma_0\sigma_2 s'_3 = \sigma_0 s'_2 et \sigma_2 s_3 = s_2.
\begin{cases}
\sigma_1 s_0 = s_0 = (0,0,0) \\
\sigma_1 e_1 = e_2 \\
\sigma_1 e_2 = e_1 \\
\sigma_1 e_3 = \xi e_1 + \eta e_2 + (1+\zeta)e_3
\end{cases}
\qquad
\sigma_1 = \begin{pmatrix}
0 & 1 & \xi & 0 \\
1 & 0 & \eta & 0 \\
0 & 0 & 1+\zeta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
un mot biffé
NB
\det\sigma_{0V} = -\mu^2 = -1, \qquad
\det\sigma_{1V} = -(1+\zeta), \qquad
\det\sigma_{2V} = -1
donc
\boxed{(\det\sigma_{1V} = -1) \iff \zeta = 0} \ \Longrightarrow\ \xi = -\eta
\sigma_0 est une symétrie par rapport à un hyperplan sauf si \mu = 1 (cas d'un groupe de )
le début de la ligne est biffé ; la ligne est d'une écriture rapide et le complément entre parenthèses est à peine lisible.
\sigma_1(x,y,z) = (x,y,z) \iff -x + y + \xi z = 0,\ -x + y - \eta z = 0,\ \struck{(1+\zeta)}\,\zeta z = 0
i.e. un hyperplan ssi \zeta = 0, \xi = -\eta.
s_1, s_2, s_3, s''_3 coplanaires ssi somme des coord. de s''_3 = 1
\Updownarrow
\xi + \eta \struck{+1+\zeta = 0} = \zeta \qquad (= \xi\zeta = \eta\zeta)
il suffit \zeta = 0
On suppose par la suite \boxed{\zeta = 0,\ \mu = 1} et on pose
\begin{cases}
\lambda = 1 + \beta \\
\eta = 1 + \alpha
\end{cases}
\sigma_0 = \begin{pmatrix}
-1 & \beta & \beta & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\qquad
\sigma_0(x,y,z) = \bigl(1 - x + \beta(y+z),\ y,\ z\bigr)
\sigma_1 = \begin{pmatrix}
0 & 1 & -(1+\alpha) & 0 \\
1 & 0 & 1+\alpha & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\qquad
\sigma_1(x,y,z) = \bigl(y - (1+\alpha)z,\ x + (1+\alpha)z,\ z\bigr)
\sigma_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\qquad
\sigma_2(x,y,z) = (x, z, y)
Formes quadratiques invariantes
\rho_s = \sigma_1\sigma_2 \qquad \rho_f = \sigma_0\sigma_1
ici \rho_s et \rho_f sont définis à l'inverse de la p. 61 (\rho_s = \sigma_0\sigma_1, \rho_f = \sigma_1\sigma_2) ; les indices sont repassés et c'est la lecture finale qui est donnée.
\rho_s^p = \mathrm{id} \iff F_p(\alpha) = 0 \qquad (\rho_s^d \neq \mathrm{id} \text{ si } 0 < d < p)
\rho_f^q = \mathrm{id} \iff F_q(\beta) = 0 \qquad (\rho_f^d \neq \mathrm{id} \text{ si } 0 < d < q)
F_p polynôme semi-cyclotomique, F_q id.
Formes quadratiques invariantes en x,y,z,t
ax^2 + by^2 + cz^2 + uyz + vzx + wxy + px + qy + rz + d
Conditions sur les coeff. ? Comme les éléments fixent s_0 , OPS d = 0.
L'invariance par \sigma_0, \sigma_1 dans le plan des xy (z = 0) donne a = b = -p = -q, w = -\beta a, d'autre part l'inv. par \sigma_2 i.e. symétrie en y, z donne c = b, v = w, r = q, de sorte que l'on doit avoir
f(x,y,z) = a\bigl[x^2 + y^2 + z^2 \struck{\ill{}} - \beta x(y+z) - x - y - z\bigr] + uyz
On va exprimer l'invariance par \sigma_0 puis \sigma_1, qui va dire que f laisse uyz invariant par \sigma_0, il faudra
a\bigl[x^2 + y^2 - \beta xy - x - y\bigr] est invariant, c'est le cas. Remarque : ( fonction z = 0)
il faut exprimer l'invariance par \sigma_1, invariante par \sigma_0, \sigma_1
la condition u =
\struck{u = -a(\beta + 2(1+\alpha) + {}}
u = -a\bigl(2 + 2(\alpha+\beta) + \alpha\beta\bigr)
d'où la forme de la fonction quadratique fondamentale
fin de page : la ligne « d'où la forme … » et le dernier mot sont d'une écriture très rapide.
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - \underbrace{\bigl(2 + 2(\alpha+\beta) + \alpha\beta\bigr)}_{\gamma = (\alpha+2)(\beta+2) - 2} yz - \beta zx - \beta xy - (x+y+z)
Les fonctions semi-quadratiques inv. par \Gamma sont donc les combinaisons linéaires de f et de la constante 1. Celles qui s'annulent sur les sommets du polyèdre, i.e. en s_0 = (0,0,0), sont les multiples de f.
\begin{cases}
\text{Matrice de } f_0 \ (\text{quadratique}) = \begin{pmatrix} 2 & -\beta & -\beta \\ -\beta & 2 & -\gamma \\ -\beta & -\gamma & 2 \end{pmatrix} \\[4ex]
\delta'\ (\text{discrim.\ divisé}) = 4 - \beta^2(\gamma+2) - \gamma^2 = -(\alpha+2)(\beta+2)^2(\alpha-\beta) \\[1ex]
\gamma = 2(1+\alpha+\beta) + \alpha\beta
\end{cases}
Dans cas icos. \alpha^2+\alpha-1 = 0, \beta = -1, \gamma = \alpha, \delta' = \emph{1} ok !
la parenthèse (\alpha-\beta) est une lecture douteuse : le signe peut être \alpha+\beta.
[inv. ssi \alpha pas \neq \pm 2, \beta pas = -2, \alpha+\beta pas \neq 0 ]
2 cas. \uparrow\beta, q
\text{Matrice de } f = \begin{pmatrix}
2 & -\beta & -\beta & -1 \\
-\beta & 2 & -\gamma & -1 \\
-\beta & -\gamma & 2 & -1 \\
-1 & -1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\delta(f) = (\gamma+2)(\gamma - 4\beta - 6) = (\alpha+2)(\alpha-2)(\beta+2)^2
il est
encerclé : \delta(f) = -\alpha - 3, N_{\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}}\,\delta(f) = 5 !
note au crayon dans la marge gauche, montant le long du bord :
Linéaire et invariant par \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, i.e. par \Gamma
\sigma = \Bigl(\frac{\alpha}{2(\alpha+\beta)},\ \frac{-1}{2(\alpha+\beta)},\ \frac{-1}{2(\alpha+\beta)}\Bigr)
si 2(\alpha+\beta) \neq 0 ; si \alpha+\beta inv.
l'antipodisme est donné par
\mathbf{a}(x,y,z) = \Bigl(\frac{\alpha}{\alpha+\beta} - x,\ \frac{-1}{\alpha+\beta} - y,\ \frac{-1}{\alpha+\beta} - z\Bigr)
la première coordonnée de \sigma est écrite \alpha par-dessus un premier \alpha ; le « \mathbf{a} » transcrit la lettre qu'il souligne.
On vérifie que f est invariant par \mathbf{a}, et :
\struck{f(\sigma) = \frac{-\alpha^2 - \alpha\beta + 2(\alpha+\beta)}{4(\alpha+\beta)^2}}
\qquad
\boxed{f(\sigma) = \frac{2-\alpha}{4(\alpha+\beta)}}
C'est nul ssi \alpha = 2 (i.e., en car. p > 0, ssi la car. est égale à
Cas tétraédral \alpha = \beta = -1, \delta' = 2, \delta = -3.
centre à l'\infty ssi car. 2 ; f_0 singulière ssi car. 2 ; f singulière ssi car. 3
Q_E bisingulière ssi car. \neq 2, 3 (alors le centre est à dist. finie)
cube cas octaédral \alpha = -1, \beta = 0, \delta' = +4, \delta = -12.
centre à l'\infty ssi car. 2 ; f_0 singulière ssi car. 2 ; f singulière ssi car. 2, 3
Q_E bising. ssi car. \neq 2, 3 (alors centre à dist. finie)
octaèdre
centre à l'\infty ssi car. 2 ; f_0 sing. ssi car. 2 ; f sing. ssi car. 2
Q_E bising. ssi car. \neq 2 (alors centre à dist. finie)
icosaèdre \alpha satisfait \alpha^2 + \alpha - 1 = 0, \beta = -1, \delta' = 1
centre à l'\infty ssi car. 2 ; f_0 tjrs régulière ; f sing. ssi car. 5
Q_E bising. ssi car. \neq 5 (le centre jamais à l'\infty !)
dodécaèdre \alpha = -1, \beta satisfait
\delta' = \ldots\ N(\delta') = \ldots !
\delta' = \beta + 2, N(\delta') = 1, \delta = -3(\beta+2)^2 = -9\beta - 15, N(\delta) = 9.
centre à l'\infty ssi car. 2 ; f_0 tjrs régulière ; f sing. ssi car. 3
Q_E bising. ssi car. \neq 3 (le centre jamais à l'\infty)
pentagrammes \alpha \neq \beta solutions de \alpha^2 + \alpha - 1 = 0, \alpha\beta = -1, \beta = -1/\alpha = -1-\alpha,
\delta' = \beta + 2, N(\delta') = 1, \delta = 4\alpha - 3, N(\delta) = 5.
centre à l'\infty ssi car. 2 ; f_0 tjrs régulière ; f bisingulière ssi car. 5
Q_E bising. ssi car. \neq 5 (le centre jamais à l'\infty)
dans le cas tétraédral, « car. \neq 2,3 » pour Q_E est lu tel quel ; dans le cas pentagrammes, le \delta' est écrit par-dessus une première valeur.
un gros « ? » en marge gauche
Il y a bisingulier, mais je ne pas en car. 3
\boxed{F(X,Y,Z) = (-X+Y+Z)^2 - 4(\alpha+2)YZ + \underbrace{\frac{2-\alpha}{4(\alpha+2)}}_{\lambda > 0}}
(origine )
-2 < \alpha < 2, \qquad 0 < 4(\alpha+2) < 16
4YZ = (Y+Z)^2 - (Y-Z)^2
\qquad
\begin{cases}
-X + Y + Z = U\sqrt{\lambda} \\
\sqrt{\alpha+2}\,(Y+Z) = W\sqrt{\lambda} \\
\sqrt{\alpha+2}\,(Y-Z) = V\sqrt{\lambda}
\end{cases}
les lettres de droite sont surchargées (les U, V, W ont été réattribués) ; le système est donné dans son état final probable.
F_1(U,V,W) = U^2 \struck{+ \ldots}\ (V^2 - W^2) + \ldots\ 1
une ligne largement raturée, que l'on ne peut rétablir en entier.
U^2 + V^2 - W^2 + \struck{\lambda} = 0, \qquad U^2 = V^2 + W^2 + \struck{\lambda}
\struck{W^2 - \rho UV + \sigma = 0} \qquad \struck{\rho UV = W^2 + \sigma}
\struck{W^2 - \rho YZ + \sigma = 0} \qquad \struck{\rho YZ = W^2 + \sigma}
W^2 = U^2 + V^2 + 1
Deux croquis d'axes : à gauche, un trièdre U, V, W avec un plan hachuré et des traces de la quadrique ; à droite, un trièdre u, V, W seul. Des courbes (hyperboles, une sinusoïde tracée à travers les formules biffées) accompagnent.
la moitié supérieure de la page est barrée de grandes croix.
Nous allons examiner de plus près le cas où \alpha, \beta sont des racines de polynômes semi-cyclotomiques F_p(\alpha) = 0, F_q(\beta) = 0 (p, q \geq 1, sans exclure les cas 1, 2 qui correspondent resp. aux valeurs 2, -2 pour \alpha, \beta…), le cas réel k = \mathbb{R}. Si on veut obtenir une
\beta = 2 \qquad \alpha \neq -2
\gamma = 2(3+\alpha) + 2\alpha = 2(2\alpha+3) \qquad \gamma + 2 = 2(2\alpha+4) = 4(\alpha+2)
\delta' = 4 - 4(\gamma+2) - \gamma^2 = -(\gamma^2 + 4\gamma + 4) = -(\gamma+2)^2 = -16(\alpha+2)^2
qui s'annule que si \alpha = -2, cas que nous avons exclu…
f_0(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2(2\alpha+3)yz - 2zx - 2xy = (-x+y+z)^2 - 2(2\alpha+4)yz
f_0(x,y,z) = (-x+y+z)^2 - 4(\alpha+2)yz
les formules en x^2+y^2+z^2 - 2(2\alpha+3)yz - 2zx - 2xy supposent \beta = 2 dans la forme de la p. 68 ; le coefficient de yz y est écrit -2(2\alpha+3), alors que \gamma = 2(2\alpha+3) : tel quel.
Calculs en coordonnées universelles (icosaèdre)
titre pris de la chemise p. 73, de sa main : « (32) Calculs en coordonnées universelles (icosaèdre) — vieilles rédactions ».
Icosaèdre en perspective : au centre le triangle s_0 s_1 s_2 (avec \sigma_1, \sigma_0, \sigma_2 marqués sur ses droites), autour les sommets s_3, s'_3, s''_3 et les antipodes \mathbf{a}s_0, \mathbf{a}s_1, \mathbf{a}s_2, \mathbf{a}s_3, \mathbf{a}s'_3, \mathbf{a}s''_3 ; arêtes cachées en pointillé.
\sigma_0 : \begin{cases} s_0 \leftrightarrow s_1 \\ s_2 \mapsto s_2 \\ s_3 \mapsto s_3 \end{cases}
\qquad
\begin{cases} e_1 \mapsto -e_1 \\ e_2 \mapsto -e_1 + e_2 \\ e_3 \mapsto -e_1 + e_3 \end{cases}
\qquad
\sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & +1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & +1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\boxed{\sigma_0(x,y,z) = \bigl(1 - (x+y+z),\ y,\ z\bigr)}
\sigma_1 : \begin{cases} s_0 \mapsto s_0 \\ s_1 \mapsto s_2 \\ s_2 \mapsto s_1 \\ s_3 \mapsto s'_3 = s_0 + (1+\alpha)(e_2 - e_1) + e_3 \end{cases}
\begin{cases} e_1 \mapsto e_2 \\ e_2 \mapsto e_1 \\ e_3 \mapsto (1+\alpha)(e_2 - e_1) + e_3 = \alpha' e_1 - \alpha' e_2 + e_3 \end{cases}
\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \alpha' & 0 \\ 1 & 0 & -\alpha' & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\qquad
\boxed{\sigma_1(x,y,z) = (y + \alpha' z,\ x - \alpha' z,\ z)}
(1+\alpha)(e_2 - e_1) = \alpha' e_1 - \alpha' e_2 suppose \alpha' = -(1+\alpha), ce que la p. 80 écrit \alpha + \alpha' = -1.
Seconde figure : l'icosaèdre projeté dans le triangle \bar s_1, \bar s_0, \bar s_2, avec au centre s_0, s_1, s_2, s_3, s'_3, s''_3, \bar s_3, \bar s'_3, \bar s''_3 ; esquisse au crayon dessous.
\sigma_2 : \begin{cases} s_0 \mapsto s_0 \\ s_1 \mapsto s_1 \\ s_2 \mapsto s_3 \\ s_3 \mapsto s_2 \end{cases}
\qquad
\begin{cases} e_1 \mapsto e_1 \\ e_2 \mapsto e_3 \\ e_3 \mapsto e_2 \end{cases}
\qquad
\sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\qquad
\boxed{\sigma_2(x,y,z) = (x, z, y)}
\begin{cases}
H_0 : 2x + y + z - 1 = 0 \\
H_1 : x - y - \alpha' z = 0 \\
H_2 : y - z = 0
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
\Delta_0 : y = z = 0 & \text{i.e. } \Delta_0 = \mathcal{O}_S\cdot e_1 \\
\Delta_1 : z = 0,\ x + y = 0 & \text{i.e. } \Delta_1 = \mathcal{O}_S(e_1 - e_2) \\
\Delta_2 : x = 0,\ y + z = 0 & \text{i.e. } \Delta_2 = \mathcal{O}_S(e_2 - e_3)
\end{cases}
en car. 2, H_2 \parallel H_0.
l'équation de H_0 porte une surcharge devant le « 1 » ; H_2 \parallel H_0 en car. 2 ne se lit pas sur les équations transcrites, qui sont peut-être inexactes à cet endroit.
\begin{cases}
D_0 = H_1 \cap H_2 : y = z = \alpha' x \\ \qquad D_0 = \mathcal{O}_S(1, \alpha', \alpha') = \mathcal{O}_S(-\alpha, 1, 1) \\
D_1 = H_2 \cap H_0 : y = z = \tfrac12 - x \ (\text{car.} \neq 2) \\ \qquad \mathrm{hom}\,D_1 : (y = z = -x) = \mathcal{O}_S(1, -1, -1) \\
D_2 = H_0 \cap H_1 : y = (1-3\alpha)x + \alpha,\ z = \ldots(1-\alpha)x + (1-\alpha) \\ \qquad \mathrm{hom}(D_2) = \mathcal{O}_S\bigl(1, 1-3\alpha, \ldots(1-\alpha)\bigr)
\end{cases}
les coefficients de D_2 sont surchargés ; ce qui est donné est la lecture la plus probable, avec des facteurs initiaux illisibles marqués « \ldots ».
centre c = \tfrac12(\alpha', 1-\alpha', 1-\alpha') = \struck{\ill{}}
Antipodisme \mathbf{a}(x,y,z) = \bigl(\alpha' - x,\ (1-\alpha') - y,\ (1-\alpha') - z\bigr)
sous cette ligne, deux restes de calcul : « \tfrac12(-1+\sqrt5) » et « \lambda = -2 + \sqrt8 » ; le premier \tfrac12 est lu \tfrac12.
\begin{array}{ll}
s_0 = (0,0,0) & \mathbf{a}s_0 = (\alpha', 1-\alpha', 1-\alpha') \\
s_1 = (1,0,0) & \mathbf{a}s_1 = (\alpha'-1, 1-\alpha', 1-\alpha') \\
s_2 = (0,1,0) & \mathbf{a}s_2 = (\alpha', -\alpha', 1-\alpha') \\
s_3 = (0,0,1) & \mathbf{a}s_3 = (\alpha', 1-\alpha', -\alpha') \\
s'_3 = (\alpha', -\alpha', 1) & \mathbf{a}s'_3 = (0, 1, -\alpha') \\
s''_3 = (0, -\alpha', 1) & \mathbf{a}s''_3 = (\alpha', 1-2\alpha', -\alpha')
\end{array}
\begin{array}{l}
\mathbf{a}(x,y,z) = \bigl(\alpha' - x,\ (1-\alpha') - y,\ (1-\alpha') - z\bigr) \\[1ex]
c = \tfrac12(\alpha', 1-\alpha', 1-\alpha') \quad (\text{centre}) \\[1ex]
u = 2c = (\alpha', 1-\alpha', 1-\alpha', 2)
\end{array}
dans \mathbf{a}s'_3, la deuxième coordonnée est écrite « 1 » après une rature ; le calcul direct donnerait 1-\alpha'+\alpha'.
q_0(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - \alpha yz + x(y+z) - (x+y+z)
\Bigl[\ = (\text{en car.} \neq 2)\ \alpha\bigl[(x - \alpha y)^2 + \alpha'(x-\alpha y)(x - \alpha z) + (x - \alpha z)^2\bigr] - (x+y+z)\ \Bigr]
Si e est un vecteur arête (tel que s_1 - s_0 = e_1), f un vecteur coarête (tel que s_3 - s_2 = e_3 - e_2)
\begin{cases}
q(e) = 1 \quad (\text{c'est la normalisation de } q\,!) \\
q(f) = \alpha + 2 \\
q(f)/q(e) = \alpha + 2 = (\alpha+1)^2 = \alpha'^2
\end{cases}
En coordonnées distinguées, si (\pm x, \pm y, 0), (\pm y, 0, \pm x), (0, \pm x, \pm y) sont les 12 sommets de l'icosaèdre, on aura (si (x,y,0) et (-x,y,0) sont les sommets d'une arête, donc (x,y,0) et (x,-y,0) ceux d'une coarête)
\struck{\ldots} = \frac{q(f)}{q(e)} = \frac{4y^2}{4x^2} = \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2 = \alpha'^2 \quad \text{donc} \quad \frac{y}{x} = \pm\alpha'
(dans le cas réel, icosaèdre convexe, \alpha = \tfrac12(-1+\sqrt5), \alpha' = \tfrac12(-1-\sqrt5) et si on prend x, y > 0, on trouve y/x = -\alpha' = \tfrac12(1+\sqrt5))
Petit croquis en marge : le rectangle d'or de sommets s_1, s_0, -s_0, -s_1, côtés x et y.
\delta'(q_0) = 1 \qquad \text{Matrice } \varphi_{q_0} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\alpha \\ 1 & -\alpha & 2 \end{pmatrix}
Matrice non singulière sauf en car. 2, où le noyau de \varphi_{q_0} est engendré par le vecteur u = (\alpha', 1-\alpha', 1-\alpha') = (\alpha', \alpha, \alpha) = (1+\alpha, \alpha, \alpha)
(NB q_0(u) = \alpha' \neq 0, ce qui exprime la non-singularité de q_0 en car. 2)
« (\alpha', \alpha, \alpha) = (1+\alpha, \alpha, \alpha) » vaut en car. 2 seulement, où \alpha' = 1+\alpha.
Vecteurs remarquables et directions remarquables (cas car. \neq 2)
On suppose l'icosaèdre à centre = 0, identifiant E à l'espace des translations V. Utilisant la forme quadratique, on identifie aussi V et \check V — donc \check{\mathbb{P}}(V) (directions de droites dans E) et \mathbb{P}(V) (directions de plans dans E).
- S — 12 vecteurs « doubles sommets » s_i - \mathbf{a}s_i
- \Delta — 30 vecteurs arêtes
NB chaque arête un vecteur, mais deux arêtes doivent définir le même les vecteurs
- \Delta' — 30 vecteurs coarêtes s_i - s_j (\{i,j\} \in A'), ce sont les (a \in \Delta')
\struck{\ldots} \qquad \boxed{\Delta' = \alpha'\Delta, \quad \Delta = \alpha\Delta'}
petit rectangle à flèches, figurant une arête et une coarête.
- \mathcal{A} — Les positions 30 d'arêtes \tfrac12(s_i + s_j) - 2c (\{i,j\} \in A)
- \mathcal{A}' — 30 de coarêtes \tfrac12(s_i + s_j) (\{i,j\} \in A')
\Delta = \struck{\ldots}\,\mathcal{A}', \quad \Delta' = \struck{\ldots}\,\mathcal{A}
\qquad
\begin{cases} \mathcal{A} = \alpha'\mathcal{A}' \\ \mathcal{A}' = \alpha\mathcal{A} \end{cases}
i.e. \Delta est aussi formé des s_i + s_j (\{i,j\} \in A'), \Delta' des mêmes (\{i,j\} \in A)
- \Phi — Les 20, triples barycentres des faces \uncertain{\tfrac13}(s_i + s_j + s_k) - \ldots c (\{i,j,k\} \in F)
- \Phi' — Les 20, triples barycentres des cofaces (\{i,j,k\} \in F')
\Phi' = \lambda\Phi, \quad \Phi = \lambda'\Phi' \qquad (\lambda\lambda' = \mathrm{Norm}(\lambda) = 1) \qquad \lambda = 2\alpha - 1
(\Phi et \Phi' sont respectivement les sommets des dodécaèdres inscrits dans \Pi et dans le cofacettoïde associé \Pi')
- \Psi — Les 20 sommets multiplicité un 10 des dodécaèdres circonscrits à \Pi, intersections des plans des faces adjacentes :
- \Psi' — item pour \Pi'
\boxed{\Psi' = \mu\Psi, \ \ \Psi = \mu'\Psi'} \qquad \struck{\mu\mu' = \mathrm{Norm}(\mu) = 1} \quad \gamma = -\lambda
\boxed{\Psi = \mu\Phi, \ \ \Psi' = \mu'\Phi'} \qquad \mu = 1 + 2\alpha = -(1+2\alpha') \quad (\mu\mu' = -5),\ \mu^2 = 5 \text{ i.e. } \mu = \sqrt5
- \Sigma — Les 12 multiples barycentres des pentagones inscrits aux sommets 2(s_1 + s_2 + s_3 + s_4 + s_5) - 2c
\Sigma = \rho S = \rho' S \qquad \rho' = -\rho \quad \text{i.e. } \mathrm{Tr}\,\rho = 0 \quad \struck{\ldots} \qquad \rho = \mu = 1 + 2\alpha\ldots
page d'une écriture très rapide : les listes de vecteurs sont sûres dans leur structure (lettres de gauche, cardinaux, relations \Delta' = \alpha'\Delta, \Phi' = \lambda\Phi, \Psi = \mu\Phi, \Sigma = \rho S), beaucoup moins dans leurs légendes.
Directions remarquables
\begin{array}{rl}
6 & \text{directions de sommets} \\
15 & \text{directions d'arêtes} \\
10 & \text{directions de plans} \\ \hline
31 & = 5^2 + 5 + 1 \text{ nb de pts du plan projectif sur } \mathbb{F}_5
\end{array}
Les 6 directions de sommets correspondent à la conique, les 15 directions d'arêtes plans correspondent aux sécantes divisant un diviseur discriminant /\mathbb{F}_5, les 10 directions de plans correspondent aux diviseurs conjugués /\mathbb{F}_5.
vecteurs remarquables en car. 5
1 + 12 + 60 + 40 = 113 \qquad 125 = 1 + \underbrace{24}_{\substack{\text{pts sur la conique}\\ = 2\times 12\\ (\text{deux icos.})}} + 60 + 40
les 25 directions non isotropes associées aux des tridièdres dist.
20 aux dans
« 113 » est surchargé (peut-être écrit par-dessus un premier total).
Croquis : un parallélogramme de sommets s_0, s'_1, s_1, s_0 autour d'un point c, deux vecteurs issus de c ; à côté, « x^2+y^2 » biffé.
la page est coupée sur sa droite dans la numérisation : les fins des lignes de la colonne de droite manquent.
y = z \qquad x = (1+\alpha')y = -\alpha y \qquad y = \alpha' x
(-\alpha y, y, y) \text{ ou } (x, \alpha' x, \alpha' x), \qquad (-\alpha, 1, 1) \qquad (1, \alpha', \alpha')
-\alpha = \alpha'(1-\alpha') = \alpha' - \alpha'^2 \qquad \alpha' = -\alpha(1-\alpha') = -\alpha - 1 \ \text{ok}
\mathcal{O}_S(-\alpha, 1, 1)
\qquad
\begin{array}{l} y + z + 1 = 0 \\ x + y + \alpha z = 0 \\ y = z \end{array}
e_1 \mapsto \ldots
\begin{cases}
\bar s_0 = (-\alpha, 1, 1) \\
\bar s_1 = \sigma_0 \bar s_0 = (\alpha - 1, 1, 1) \\
\text{d'où } \bar s_1 - \bar s_0 = (2\alpha - 1, 0, 0), \quad \alpha' = 1 - \alpha'
\end{cases}
\qquad \alpha + \alpha' = -1
colonne de droite, tronquée : « 1 - (2 - \ldots », « \alpha - 1 », « \alpha = \tfrac12 \ldots », « \tfrac14 + \ldots », « 2\alpha - 1 = 2\alpha + \ldots ».
f(0) = f(\sigma_1\sigma_2) = 0
\qquad
f(\sigma_0^2) = f(\sigma_0) + \sigma_0 f(\sigma_0) \ldots
\qquad e + \sigma_0 e = 0, \quad \boxed{\sigma_0 e = -e}
\begin{cases}
\Gamma \to SO(q) \\
+ \text{ 1-cocycle } \Gamma \xrightarrow{\ f\ } E
\end{cases}
\qquad
f(gg') = f(g) + g f(g')
Il suffit de déterminer
f(\sigma_1) = f(\sigma_2) = 0 \qquad f(\sigma_0) = \struck{\ldots}
\sigma_0\sigma_2\sigma_0\sigma_2 \qquad f(\sigma_0\sigma_2) = \struck{\ldots}\, e \qquad e + (\sigma_0\sigma_2)e = \ldots \qquad \struck{\sigma_0\sigma_2 e = \ldots} \qquad \sigma_0(\sigma_2 e - e) \ldots
\sigma_0\sigma_1 = u \qquad f(u) = e,\ f(u^2) = e + ue,\ \ldots
\qquad
\frac{e_1 \wedge e_2 \wedge e_3}{q}
f(u^3) = f(u \cdot u^2) = e + u(e + ue) = e + ue + u^2 e
s_0 \mapsto s_1, \qquad s_2 - s_0 = e_2 - e_3 = (0, 1, -1)
\qquad
\boxed{q_0(e) = 1}
1 + 1 + \alpha = 2 + \alpha = \struck{\ldots}\ 1 - \alpha' = \boxed{\alpha'^2}
\boxed{\begin{cases} \sigma_0 e = -e \\ \sigma_2 e = e \end{cases}}
\iff (1 + \sigma_0)e = 0
\iff (1 + \sigma_0\sigma_2)e = 0
\qquad
\boxed{(1 + u + u^2)e = 0}\ \struck{\ldots}
« s_2 - s_0 = e_2 - e_3 » est tel quel sur la page (le s_2 est peut-être s_3 - s_2). Le calcul du 1-cocycle se poursuit vraisemblablement au-delà de ce lot.