Cote n° 70 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Réalisations géométriques de structures combinatoires (n-polyèdres, n-hyperpolyèdres [2-polyèdres réguliers]…) (Vieilles rédactions) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

Le groupe cartographique et \(\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})\)

61la page s'ouvre au milieu d'un calcul : \(\sigma\), \(\rho_s\), \(\rho_f\) et \(\Gamma^0_{\infty,3}\) sont déjà en usage, l'argument vient donc des pages qui précèdent ce lot.

\[ 1 \to R_n \to \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})/\pm 1 \to \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}_2) \to 0 \] l'indice de \(R\) est douteux (\(n\) ou \(2\)) ; le « \(/\pm 1\) » est écrit par-dessus une rature. avec \(R_n = R(\infty,3;2,3)\) engendré par \(\rho_s^2 = (\sigma\rho_f^{-1})^2\) ; \(\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})/\pm 1 \simeq \Gamma^0_{\infty,3}\), \(\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}_2) \simeq \mathfrak{S}_3 \simeq \Gamma_{2,3}\).

\[ \begin{cases} \rho_s = \sigma_0\sigma_1 \\ \rho_f = \sigma_1\sigma_2 \\ \rho_s\rho_f = \sigma_0\sigma_2 = \sigma \end{cases} \qquad \rho_s = \sigma\rho_f^{-1}, \qquad \boxed{\rho_f^3 = 1,\ \ \sigma^2 = 1} \]

\[ \frac{az+b}{cz+d} = z, \qquad cz^2 + (d-a)z - b = 0, \qquad z = x+iy \ (y \neq 0) \] \[ \begin{cases} c(x^2-y^2) + (d-a)x - b = 0 \\ \bigl[2cx + (d-a)\bigr]y = 0 \iff 2cx + (d-a) = 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} d-a = -2cx \\ c(x^2+y^2) + b = 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} d = a - c\,\mathrm{Tr}(z) \\ b = -c\,N(z) \end{cases} \] \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -cN(z) \\ c & a - c\,\mathrm{Tr}\,z \end{pmatrix} \] \[ \det = a^2 - ac\,\mathrm{Tr}\,z + c^2N(z) = (a-cz)(a-c\bar z) = N(a-cz) = 1 \]

1°) \(z = i\), \(\mathrm{Tr}\,z = 0\), \(N(z) = 1\) (\(z\) racine primitive 4[e] de 1) \[ G_z = G_i = \left\{ \begin{pmatrix} a & -c \\ c & a \end{pmatrix} \,\middle|\, a^2+c^2 = 1 \right\} \] élément d'ordre 4 : \[ \boxed{\sigma = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} \qquad \sigma^4 = \mathrm{id}, \qquad \boxed{\sigma^2 = -1} \]

2°) \(z = \frac12 + i\frac{\sqrt3}{2} = \zeta\) (\(z\) racine primitive 6[e] de 1), \(\mathrm{Tr}\,z = 1\), \(Nz = 1\) \[ G_z = G_\zeta = \left\{ \begin{pmatrix} a & -c \\ c & a-c \end{pmatrix} \,\middle|\, a^2 - ac + c^2 = 1 \right\}, \qquad N(a - c\zeta) = 1 \] \[ \boxed{\rho_f = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}} \qquad \rho^6 = \mathrm{id}, \qquad \boxed{\rho^3 = -1} \] les signes des deux coefficients de droite de \(\rho_f\) sont repassés et en partie noyés d'encre ; un symbole biffé précède \(\rho_f\). \[ \boxed{\rho'_s = \sigma\rho_f = \sigma_2\rho_f\sigma_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} \qquad \rho'^{\,n}_s = \begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

62\[ \Gamma^0_{\infty,3} \simeq \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})/\pm 1 \] \[ \Gamma^0_{n,3} \xrightarrow{\ \text{épi}\ } \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}_n)/\pm 1 \quad (n \geq 2) \quad (\text{iso \emph{ssi} } n \leq 5) \] i.e. ssi \(\Gamma^0_n\) fini \(\simeq \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z}_n)\)

l'étudier pour \(n = 2, 3, 4, 5, 6\)

\[ \begin{array}{c|c|c|l} n & \text{ordre } \Gamma^0_{n,3} & \text{ordre } \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}_n)/\pm 1 & \\ \hline 2 & (\mathfrak{S}_3)\ 6 & 6 & \text{cas 3-diédral} \\ 3 & (\mathfrak{A}_4)\ 12 & 12 & \text{tétraèdre} \\ 4 & (\mathfrak{S}_4)\ 24 & 24 & \text{cube orienté} \\ 5 & (\mathfrak{A}_5)\ 60 & 60 & \text{icos. orienté} \\ 6 & (\mathbb{Z}_6\cdot\mathbb{Z}^2)\ \infty & 72 & \text{pavage par triangles orienté du plan} \end{array} \] la dernière case (« pavage par triangles orienté du plan ») est très serrée ; « cas 3-diédral » est aussi une lecture probable plutôt que sûre. Un mot biffé […] précède le tableau.

\[ \mathrm{card}\,\mathrm{Sl}(2,\mathbb{F}_q) = (q+1)q(q-1) = q(q^2-1) \] \[ \mathrm{card}\,\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/p^\nu\mathbb{Z}) = \bigl(\mathrm{card}\,\mathrm{Sl}(2,\mathbb{F}_p)\bigr)\,p^{3(\nu-1)} \]

Les trois réflexions en coordonnées

64\(\sigma_0\ \sigma_1\ \sigma_2\), \(r = (s_0, a_0, f_0)\)

\[ \begin{array}{lll} \sigma_0 s_0 = s_1 & \sigma_0 a_0 = a_0 & \sigma_0 f_0 = f_0 \\ \sigma_1 s_0 = s_0 & \sigma_1 a_0 = \{s_0, s_2\} & \sigma_1 f_0 = f_0 \\ \sigma_2 s_0 = s_0 & \sigma_2 a_0 = a_0 & \sigma_2 f_0 = \{s_0, s_1, s_3, \ldots\} \end{array} \qquad \begin{array}{l} a_0 = \{s_0, s_1\} \\ f_0 = \{s_0, s_1, s_2, \ldots\} \end{array} \]

\[ \sigma_0 s_0 = s_1, \qquad \sigma_1 s_1 = s_2, \qquad \sigma_2 s_2 = s_3 \]

Figure autour du drapeau \((s_0, a_0)\) : l'arête \(s_0 s_1\) (marquée \(a_0\)), le triangle \(s_0 s_1 s_2\) et ses images ; les sommets \(s_2\), \(s_3\), \(s'_2\), \(s'_3\) et, en pointillé à gauche, \(s''_3\) ; les réflexions \(\sigma_0\), \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) sont marquées sur les droites qu'elles fixent.

\[ \begin{cases} e_1 = s_1 - s_0 \\ e_2 = s_2 - s_0 \\ e_3 = s_3 - s_0 \end{cases} \]

\[ \sigma_1 \begin{cases} s_0 \mapsto s_0 \\ s_1 \mapsto s_2 \\ s_2 \mapsto s_1 \\ s_3 \mapsto s''_3 \end{cases} \qquad \sigma_2 \begin{cases} s_0 \mapsto s_0 \\ s_1 \mapsto s_1 \\ s_2 \mapsto s_3 \\ s_3 \mapsto s_2 \end{cases} \qquad \sigma_0 \begin{cases} s_0 \mapsto s_1 \\ s_1 \mapsto s_0 \\ s_2 \mapsto s'_2 \\ s_3 \mapsto s'_3 \end{cases} \]

\[ \boxed{\mathrm{Pl}(s_0, s_1, s_2) = \mathrm{Pl}(s_0, s_1, s'_2)} \qquad \boxed{\mathrm{Pl}(s_0, s_1, s_3) = \mathrm{Pl}(s_0, s_1, s'_3)} \] dans le premier cadre, une première écriture \((s_0, s_1, s_2)\) est biffée.

Tableau de \(\sigma_0\sigma_2 = \sigma_2\sigma_0\) (encadré) : \[ \begin{array}{l|ll} s_0 \mapsto & s_1 & s_1 \\ s_1 \mapsto & s_0 & s_0 \\ s_2 \mapsto & s'_3 & \sigma_2 s'_2 \\ s_3 \mapsto & s'_2 & \sigma_2 s'_3 \end{array} \] \[ \boxed{\sigma_0^2 = 1} \quad \boxed{\sigma_1^2 = 1} \quad \sigma_2^2 = 1 \text{ automatique} \] \[ \boxed{\begin{array}{l} \sigma_0 s'_2 = s_2 \\ \sigma_0 s'_3 = s_3 \end{array}} \qquad \boxed{\sigma_1 s''_3 = s_3} \qquad \boxed{\sigma_2 s'_2 = s'_3}, \quad \sigma_2 s'_3 = s'_2 \] des flèches doubles relient chacune de ces relations encadrées à la relation d'involution ou de commutation qu'elle exprime.

\[ s'_2 = s_0 + \lambda e_1 + \mu e_2 = (\lambda, \mu, 0), \qquad s'_3 = s_0 + \lambda e_1 + \mu e_3 = (\lambda, 0, \mu) \] \[ \Bigl[\ \underbrace{\mu = 1}_{?},\ \lambda = 1 + \beta \ldots\ \Bigr] \] \[ s''_3 = s_3 + \xi e_1 + \eta e_2 + \zeta e_3 = s_0 + \xi e_1 + \eta e_2 + (1+\zeta)e_3 = (\xi, \eta, 1-\zeta) \] \[ \Bigl[\ \underbrace{\xi = -\eta}_{?},\ \eta = 1 + \alpha,\ \underbrace{\zeta = 0}_{?}\ \Bigr] \] « \(1-\zeta\) » dans la dernière coordonnée, contre « \(1+\zeta\) » dans le membre du milieu : tel quel sur la page.

Petit schéma : le carré \(s_0 s_1 s'_2 s_2\) vu de face, avec \(s_3\), \(s'_3\) en dessous et \(s''_3\) à gauche relié en pointillé.

\[ \begin{cases} \sigma_0 s_0 = s_1 = (1,0,0) \\ \sigma_0 e_1 = -e_1 \\ \sigma_0 e_2 = (\lambda-1)e_1 + \mu e_2 \\ \sigma_0 e_3 = (\lambda-1)e_1 + \mu e_3 \end{cases} \qquad \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & \lambda-1 & \lambda-1 & 1 \\ 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

65\[ \boxed{\sigma_0(x,y,z) = \bigl(1 - x + (\lambda-1)y + (\lambda-1)z,\ \mu y,\ \mu z\bigr)} \] \[ \sigma_0(s'_2) = \sigma_0(\lambda,\mu,0) = \bigl(1-\lambda+(\lambda-1)\mu,\ \mu^2,\ 0\bigr) \overset{?}{=} s_2 = (0,1,0) \] i.e. \[ \boxed{\mu^2 = 1 \qquad (\lambda-1)(\mu-1) = 0} \] \(\sigma_0(s'_3) = s_3\) i.e. \(\sigma_2\sigma_0(s'_3) = \sigma_2 s_3\), où \(\sigma_2\sigma_0 = \sigma_0\sigma_2\), \(\sigma_0\sigma_2 s'_3 = \sigma_0 s'_2\) et \(\sigma_2 s_3 = s_2\).

\[ \begin{cases} \sigma_1 s_0 = s_0 = (0,0,0) \\ \sigma_1 e_1 = e_2 \\ \sigma_1 e_2 = e_1 \\ \sigma_1 e_3 = \xi e_1 + \eta e_2 + (1+\zeta)e_3 \end{cases} \qquad \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \xi & 0 \\ 1 & 0 & \eta & 0 \\ 0 & 0 & 1+\zeta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] un mot biffé […] précède l'accolade. \[ \boxed{\sigma_1(x,y,z) = \bigl(y + \xi z,\ x + \eta z,\ (1+\zeta)z\bigr)} \] \[ \sigma_1(s''_3) = \sigma_1(\xi, \eta, 1-\zeta) = \Bigl(\eta + \xi(1-\zeta),\ \xi + \eta(1-\zeta),\ \underbrace{(1+\zeta)(1-\zeta)}_{1-\zeta^2}\Bigr) \overset{?}{=} s_3 = (0,0,1) \] \[ \zeta^2 = 0, \qquad \eta + \xi - \xi\zeta = \eta + \xi - \eta\zeta = 0 \] \[ \boxed{\zeta^2 = 0 \qquad \eta + \xi = \xi\zeta = \eta\zeta} \]

NB \[ \det\sigma_{0V} = -\mu^2 = -1, \qquad \det\sigma_{1V} = -(1+\zeta), \qquad \det\sigma_{2V} = -1 \] donc \[ \boxed{(\det\sigma_{1V} = -1) \iff \zeta = 0} \ \Longrightarrow\ \xi = -\eta \]

66\(\sigma_0\) est une symétrie par rapport à un hyperplan sauf si \(\mu = 1\) (cas d'un groupe de […]) le début de la ligne est biffé ; la ligne est d'une écriture rapide et le complément entre parenthèses est à peine lisible.

\[ \sigma_1(x,y,z) = (x,y,z) \iff -x + y + \xi z = 0,\ -x + y - \eta z = 0,\ \struck{(1+\zeta)}\,\zeta z = 0 \] i.e. un hyperplan ssi \(\zeta = 0\), \(\xi = -\eta\).

\(s_1, s_2, s_3, s''_3\) coplanaires ssi somme des coord. de \(s''_3\) \(= 1\) \[ \Updownarrow \] \[ \xi + \eta \struck{+1+\zeta = 0} = \zeta \qquad (= \xi\zeta = \eta\zeta) \] il suffit \(\zeta = 0\)

On suppose par la suite \(\boxed{\zeta = 0,\ \mu = 1}\) et on pose \[ \begin{cases} \lambda = 1 + \beta \\ \eta = 1 + \alpha \end{cases} \]

\[ \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & \beta & \beta & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \sigma_0(x,y,z) = \bigl(1 - x + \beta(y+z),\ y,\ z\bigr) \] \[ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -(1+\alpha) & 0 \\ 1 & 0 & 1+\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \sigma_1(x,y,z) = \bigl(y - (1+\alpha)z,\ x + (1+\alpha)z,\ z\bigr) \] \[ \sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \sigma_2(x,y,z) = (x, z, y) \]

Formes quadratiques invariantes

67\[ \rho_s = \sigma_1\sigma_2 \qquad \rho_f = \sigma_0\sigma_1 \] ici \(\rho_s\) et \(\rho_f\) sont définis à l'inverse de la p. 61 (\(\rho_s = \sigma_0\sigma_1\), \(\rho_f = \sigma_1\sigma_2\)) ; les indices sont repassés et c'est la lecture finale qui est donnée. \[ \rho_s^p = \mathrm{id} \iff F_p(\alpha) = 0 \qquad (\rho_s^d \neq \mathrm{id} \text{ si } 0 < d < p) \] \[ \rho_f^q = \mathrm{id} \iff F_q(\beta) = 0 \qquad (\rho_f^d \neq \mathrm{id} \text{ si } 0 < d < q) \] \(F_p\) polynôme semi-cyclotomique, \(F_q\) id.

Formes quadratiques invariantes en \(x,y,z,t\) \[ ax^2 + by^2 + cz^2 + uyz + vzx + wxy + px + qy + rz + d \] Conditions sur les coeff. ? Comme les éléments fixent \(s_0\) […], OPS \(d = 0\).

L'invariance par \(\sigma_0, \sigma_1\) dans le plan des \(xy\) (\(z = 0\)) donne \(a = b = -p = -q\), \(w = -\beta a\), d'autre part l'inv. par \(\sigma_2\) i.e. symétrie en \(y, z\) donne \(c = b\), \(v = w\), \(r = q\), de sorte que l'on doit avoir \[ f(x,y,z) = a\bigl[x^2 + y^2 + z^2 \struck{\ill{}} - \beta x(y+z) - x - y - z\bigr] + uyz \] On va exprimer l'invariance par \(\sigma_0\) puis \(\sigma_1\), […] qui va dire que \(f\) laisse \(uyz\) invariant par \(\sigma_0\), […] il faudra […] exprimer que

\(a\bigl[x^2 + y^2 - \beta xy - x - y\bigr]\) est invariant, c'est le cas. Remarque : ([…] fonction […] \(z = 0\)) […] il faut exprimer l'invariance par \(\sigma_1\), […] invariante par \(\sigma_0, \sigma_1\)

la condition \(u =\) \[ \struck{u = -a(\beta + 2(1+\alpha) + {}} \] \[ u = -a\bigl(2 + 2(\alpha+\beta) + \alpha\beta\bigr) \] d'où la forme de la fonction quadratique fondamentale fin de page : la ligne « d'où la forme … » et le dernier mot sont d'une écriture très rapide.

68\[ f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - \underbrace{\bigl(2 + 2(\alpha+\beta) + \alpha\beta\bigr)}_{\gamma = (\alpha+2)(\beta+2) - 2} yz - \beta zx - \beta xy - (x+y+z) \] Les fonctions semi-quadratiques inv. par \(\Gamma\) sont donc les combinaisons linéaires de \(f\) et de la constante 1. Celles qui s'annulent sur les sommets du polyèdre, i.e. en \(s_0 = (0,0,0)\), sont les multiples de \(f\).

\[ \begin{cases} \text{Matrice de } f_0 \ (\text{quadratique}) = \begin{pmatrix} 2 & -\beta & -\beta \\ -\beta & 2 & -\gamma \\ -\beta & -\gamma & 2 \end{pmatrix} \\[4ex] \delta'\ (\text{discrim.\ divisé}) = 4 - \beta^2(\gamma+2) - \gamma^2 = -(\alpha+2)(\beta+2)^2(\alpha-\beta) \\[1ex] \gamma = 2(1+\alpha+\beta) + \alpha\beta \end{cases} \] Dans cas icos. \(\alpha^2+\alpha-1 = 0\), \(\beta = -1\), \(\gamma = \alpha\), \(\delta' = \emph{1}\) ok ! la parenthèse \((\alpha-\beta)\) est une lecture douteuse : le signe peut être \(\alpha+\beta\). [inv. ssi \(\alpha\) pas \(\neq \pm 2\), \(\beta\) pas \(= -2\), \(\alpha+\beta\) pas \(\neq 0\) ] 2 cas. \(\uparrow\beta, q\) […]

\[ \text{Matrice de } f = \begin{pmatrix} 2 & -\beta & -\beta & -1 \\ -\beta & 2 & -\gamma & -1 \\ -\beta & -\gamma & 2 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] \[ \delta(f) = (\gamma+2)(\gamma - 4\beta - 6) = (\alpha+2)(\alpha-2)(\beta+2)^2 \] il est […] ssi \(\alpha\) pas \(\neq \pm 2\) i.e. car \(\neq p\), \(\beta\) pas \(\neq -2\), \(2\cdot\text{car} \neq q\) i.e. \(p\) = ordre des sommets, \(q\) […] faces […]

encerclé : \(\delta(f) = -\alpha - 3\), \(N_{\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}}\,\delta(f) = 5\) ! note au crayon dans la marge gauche, montant le long du bord : […]

Linéaire et invariant par \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2\), i.e. par \(\Gamma\) […] \[ \sigma = \Bigl(\frac{\alpha}{2(\alpha+\beta)},\ \frac{-1}{2(\alpha+\beta)},\ \frac{-1}{2(\alpha+\beta)}\Bigr) \] si \(2(\alpha+\beta) \neq 0\) ; si \(\alpha+\beta\) inv. l'antipodisme est donné par \[ \mathbf{a}(x,y,z) = \Bigl(\frac{\alpha}{\alpha+\beta} - x,\ \frac{-1}{\alpha+\beta} - y,\ \frac{-1}{\alpha+\beta} - z\Bigr) \] la première coordonnée de \(\sigma\) est écrite \(\alpha\) par-dessus un premier \(\alpha\) ; le « \(\mathbf{a}\) » transcrit la lettre qu'il souligne.

69On vérifie que \(f\) est invariant par \(\mathbf{a}\), et […] : \[ \struck{f(\sigma) = \frac{-\alpha^2 - \alpha\beta + 2(\alpha+\beta)}{4(\alpha+\beta)^2}} \qquad \boxed{f(\sigma) = \frac{2-\alpha}{4(\alpha+\beta)}} \] C'est nul ssi \(\alpha = 2\) (i.e., ⌜en car. \(p > 0\),⌝ ssi la car. est égale à […] l'ordre […] des […] […], dans le cas réel, la quadrique circonscrite est singulière…)

dans le cas tétraédral, « car. \(\neq 2,3\) » pour \(Q_E\) est lu tel quel ; dans le cas pentagrammes, le \(\delta'\) est écrit par-dessus une première valeur.

un gros « ? » en marge gauche Il y a […] un […] cas ⌜fini⌝ où r.l. rég. est bisingulier, mais je ne […] pas […] […] en car. 3 […] (cube), 3 (icos.), 5 (dodéc.).

70\[ \boxed{F(X,Y,Z) = (-X+Y+Z)^2 - 4(\alpha+2)YZ + \underbrace{\frac{2-\alpha}{4(\alpha+2)}}_{\lambda > 0}} \] (origine […]) \[ -2 < \alpha < 2, \qquad 0 < 4(\alpha+2) < 16 \] \[ 4YZ = (Y+Z)^2 - (Y-Z)^2 \qquad \begin{cases} -X + Y + Z = U\sqrt{\lambda} \\ \sqrt{\alpha+2}\,(Y+Z) = W\sqrt{\lambda} \\ \sqrt{\alpha+2}\,(Y-Z) = V\sqrt{\lambda} \end{cases} \] les lettres de droite sont surchargées (les \(U\), \(V\), \(W\) ont été réattribués) ; le système est donné dans son état final probable. \[ F_1(U,V,W) = U^2 \struck{+ \ldots}\ (V^2 - W^2) + \ldots\ 1 \] une ligne largement raturée, que l'on ne peut rétablir en entier.

\[ U^2 + V^2 - W^2 + \struck{\lambda} = 0, \qquad U^2 = V^2 + W^2 + \struck{\lambda} \] \[ \struck{W^2 - \rho UV + \sigma = 0} \qquad \struck{\rho UV = W^2 + \sigma} \] \[ \struck{W^2 - \rho YZ + \sigma = 0} \qquad \struck{\rho YZ = W^2 + \sigma} \] \[ W^2 = U^2 + V^2 + 1 \] Deux croquis d'axes : à gauche, un trièdre \(U, V, W\) avec un plan hachuré et des traces de la quadrique ; à droite, un trièdre \(u, V, W\) seul. Des courbes (hyperboles, une sinusoïde tracée à travers les formules biffées) accompagnent.

71la moitié supérieure de la page est barrée de grandes croix. Nous allons examiner de plus près le cas où \(\alpha, \beta\) sont des racines de polynômes semi-cyclotomiques \(F_p(\alpha) = 0\), \(F_q(\beta) = 0\) (\(p, q \geq 1\), sans exclure les cas 1, 2 qui correspondent ⌜resp.⌝ aux valeurs \(2, -2\) pour \(\alpha, \beta\)…), […] le cas réel \(k = \mathbb{R}\). Si on veut obtenir une […] […] de la réalisation topologique de la cette combinatoire \(C_{p,q}\), il faut prendre (pour \(p\) resp. \(q\) fini \(\geq 3\)) des valeurs de \(\alpha\) resp. \(\beta\) de la forme \(\zeta + \zeta^{-1}\), avec \(\zeta = \exp 2i\pi/n\) (\(n = p\) resp. \(q\)) ; d'autre part, \(\alpha = -2\) ⌜ou \(\beta = -2\)⌝ donne des croisements, donc si \(p = \infty\) il faut \(\alpha = 2\), et \(q = \infty\) il faut \(\beta = 2\).

\[ \beta = 2 \qquad \alpha \neq -2 \] \[ \gamma = 2(3+\alpha) + 2\alpha = 2(2\alpha+3) \qquad \gamma + 2 = 2(2\alpha+4) = 4(\alpha+2) \] \[ \delta' = 4 - 4(\gamma+2) - \gamma^2 = -(\gamma^2 + 4\gamma + 4) = -(\gamma+2)^2 = -16(\alpha+2)^2 \] qui s'annule que si \(\alpha = -2\), cas que nous avons exclu… \[ f_0(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2(2\alpha+3)yz - 2zx - 2xy = (-x+y+z)^2 - 2(2\alpha+4)yz \] \[ f_0(x,y,z) = (-x+y+z)^2 - 4(\alpha+2)yz \] les formules en \(x^2+y^2+z^2 - 2(2\alpha+3)yz - 2zx - 2xy\) supposent \(\beta = 2\) dans la forme de la p. 68 ; le coefficient de \(yz\) y est écrit \(-2(2\alpha+3)\), alors que \(\gamma = 2(2\alpha+3)\) : tel quel.

Calculs en coordonnées universelles (icosaèdre)

titre pris de la chemise p. 73, de sa main : « (32) Calculs en coordonnées universelles (icosaèdre) — vieilles rédactions ».

74Icosaèdre en perspective : au centre le triangle \(s_0 s_1 s_2\) (avec \(\sigma_1\), \(\sigma_0\), \(\sigma_2\) marqués sur ses droites), autour les sommets \(s_3\), \(s'_3\), \(s''_3\) et les antipodes \(\mathbf{a}s_0\), \(\mathbf{a}s_1\), \(\mathbf{a}s_2\), \(\mathbf{a}s_3\), \(\mathbf{a}s'_3\), \(\mathbf{a}s''_3\) ; arêtes cachées en pointillé.

\[ \sigma_0 : \begin{cases} s_0 \leftrightarrow s_1 \\ s_2 \mapsto s_2 \\ s_3 \mapsto s_3 \end{cases} \qquad \begin{cases} e_1 \mapsto -e_1 \\ e_2 \mapsto -e_1 + e_2 \\ e_3 \mapsto -e_1 + e_3 \end{cases} \qquad \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & +1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & +1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ \boxed{\sigma_0(x,y,z) = \bigl(1 - (x+y+z),\ y,\ z\bigr)} \]

\[ \sigma_1 : \begin{cases} s_0 \mapsto s_0 \\ s_1 \mapsto s_2 \\ s_2 \mapsto s_1 \\ s_3 \mapsto s'_3 = s_0 + (1+\alpha)(e_2 - e_1) + e_3 \end{cases} \] \[ \begin{cases} e_1 \mapsto e_2 \\ e_2 \mapsto e_1 \\ e_3 \mapsto (1+\alpha)(e_2 - e_1) + e_3 = \alpha' e_1 - \alpha' e_2 + e_3 \end{cases} \] \[ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \alpha' & 0 \\ 1 & 0 & -\alpha' & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \boxed{\sigma_1(x,y,z) = (y + \alpha' z,\ x - \alpha' z,\ z)} \] \((1+\alpha)(e_2 - e_1) = \alpha' e_1 - \alpha' e_2\) suppose \(\alpha' = -(1+\alpha)\), ce que la p. 80 écrit \(\alpha + \alpha' = -1\).

Seconde figure : l'icosaèdre projeté dans le triangle \(\bar s_1, \bar s_0, \bar s_2\), avec au centre \(s_0, s_1, s_2, s_3, s'_3, s''_3\), \(\bar s_3\), \(\bar s'_3\), \(\bar s''_3\) ; esquisse au crayon dessous.

\[ \sigma_2 : \begin{cases} s_0 \mapsto s_0 \\ s_1 \mapsto s_1 \\ s_2 \mapsto s_3 \\ s_3 \mapsto s_2 \end{cases} \qquad \begin{cases} e_1 \mapsto e_1 \\ e_2 \mapsto e_3 \\ e_3 \mapsto e_2 \end{cases} \qquad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \boxed{\sigma_2(x,y,z) = (x, z, y)} \]

\[ \begin{cases} H_0 : 2x + y + z - 1 = 0 \\ H_1 : x - y - \alpha' z = 0 \\ H_2 : y - z = 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} \Delta_0 : y = z = 0 & \text{i.e. } \Delta_0 = \mathcal{O}_S\cdot e_1 \\ \Delta_1 : z = 0,\ x + y = 0 & \text{i.e. } \Delta_1 = \mathcal{O}_S(e_1 - e_2) \\ \Delta_2 : x = 0,\ y + z = 0 & \text{i.e. } \Delta_2 = \mathcal{O}_S(e_2 - e_3) \end{cases} \] en car. 2, \(H_2 \parallel H_0\). l'équation de \(H_0\) porte une surcharge devant le « \(1\) » ; \(H_2 \parallel H_0\) en car. 2 ne se lit pas sur les équations transcrites, qui sont peut-être inexactes à cet endroit.

\[ \begin{cases} D_0 = H_1 \cap H_2 : y = z = \alpha' x \\ \qquad D_0 = \mathcal{O}_S(1, \alpha', \alpha') = \mathcal{O}_S(-\alpha, 1, 1) \\ D_1 = H_2 \cap H_0 : y = z = \tfrac12 - x \ (\text{car.} \neq 2) \\ \qquad \mathrm{hom}\,D_1 : (y = z = -x) = \mathcal{O}_S(1, -1, -1) \\ D_2 = H_0 \cap H_1 : y = (1-3\alpha)x + \alpha,\ z = \ldots(1-\alpha)x + (1-\alpha) \\ \qquad \mathrm{hom}(D_2) = \mathcal{O}_S\bigl(1, 1-3\alpha, \ldots(1-\alpha)\bigr) \end{cases} \] les coefficients de \(D_2\) sont surchargés ; ce qui est donné est la lecture la plus probable, avec des facteurs initiaux illisibles marqués « \(\ldots\) ».

centre \(c = \tfrac12(\alpha', 1-\alpha', 1-\alpha') = \struck{\ill{}}\)

Antipodisme \(\mathbf{a}(x,y,z) = \bigl(\alpha' - x,\ (1-\alpha') - y,\ (1-\alpha') - z\bigr)\) sous cette ligne, deux restes de calcul : « \(\tfrac12(-1+\sqrt5)\) » et « \(\lambda = -2 + \sqrt8\) » ; le premier \(\tfrac12\) est lu \(\tfrac12\).

75\[ \begin{array}{ll} s_0 = (0,0,0) & \mathbf{a}s_0 = (\alpha', 1-\alpha', 1-\alpha') \\ s_1 = (1,0,0) & \mathbf{a}s_1 = (\alpha'-1, 1-\alpha', 1-\alpha') \\ s_2 = (0,1,0) & \mathbf{a}s_2 = (\alpha', -\alpha', 1-\alpha') \\ s_3 = (0,0,1) & \mathbf{a}s_3 = (\alpha', 1-\alpha', -\alpha') \\ s'_3 = (\alpha', -\alpha', 1) & \mathbf{a}s'_3 = (0, 1, -\alpha') \\ s''_3 = (0, -\alpha', 1) & \mathbf{a}s''_3 = (\alpha', 1-2\alpha', -\alpha') \end{array} \] \[ \begin{array}{l} \mathbf{a}(x,y,z) = \bigl(\alpha' - x,\ (1-\alpha') - y,\ (1-\alpha') - z\bigr) \\[1ex] c = \tfrac12(\alpha', 1-\alpha', 1-\alpha') \quad (\text{centre}) \\[1ex] u = 2c = (\alpha', 1-\alpha', 1-\alpha', 2) \end{array} \] dans \(\mathbf{a}s'_3\), la deuxième coordonnée est écrite « \(1\) » après une rature ; le calcul direct donnerait \(1-\alpha'+\alpha'\).

\[ q_0(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - \alpha yz + x(y+z) - (x+y+z) \] \[ \Bigl[\ = (\text{en car.} \neq 2)\ \alpha\bigl[(x - \alpha y)^2 + \alpha'(x-\alpha y)(x - \alpha z) + (x - \alpha z)^2\bigr] - (x+y+z)\ \Bigr] \] Si \(e\) est un vecteur arête (tel que \(s_1 - s_0 = e_1\)), \(f\) un vecteur coarête (tel que \(s_3 - s_2 = e_3 - e_2\)) \[ \begin{cases} q(e) = 1 \quad (\text{c'est la normalisation de } q\,!) \\ q(f) = \alpha + 2 \\ q(f)/q(e) = \alpha + 2 = (\alpha+1)^2 = \alpha'^2 \end{cases} \]

En coordonnées distinguées, si \((\pm x, \pm y, 0)\), \((\pm y, 0, \pm x)\), \((0, \pm x, \pm y)\) sont les 12 sommets de l'icosaèdre, on aura (si \((x,y,0)\) et \((-x,y,0)\) sont les sommets d'une arête, donc \((x,y,0)\) et \((x,-y,0)\) ceux d'une coarête) \[ \struck{\ldots} = \frac{q(f)}{q(e)} = \frac{4y^2}{4x^2} = \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2 = \alpha'^2 \quad \text{donc} \quad \frac{y}{x} = \pm\alpha' \] (dans le cas réel, icosaèdre convexe, \(\alpha = \tfrac12(-1+\sqrt5)\), \(\alpha' = \tfrac12(-1-\sqrt5)\) et si on prend \(x, y > 0\), on trouve \(y/x = -\alpha' = \tfrac12(1+\sqrt5)\)) Petit croquis en marge : le rectangle d'or de sommets \(s_1\), \(s_0\), \(-s_0\), \(-s_1\), côtés \(x\) et \(y\).

\[ \delta'(q_0) = 1 \qquad \text{Matrice } \varphi_{q_0} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\alpha \\ 1 & -\alpha & 2 \end{pmatrix} \] Matrice non singulière sauf en car. 2, où le noyau de \(\varphi_{q_0}\) est engendré par le vecteur \(u = (\alpha', 1-\alpha', 1-\alpha') = (\alpha', \alpha, \alpha) = (1+\alpha, \alpha, \alpha)\) (NB \(q_0(u) = \alpha' \neq 0\), ce qui exprime la non-singularité de \(q_0\) en car. 2) « \((\alpha', \alpha, \alpha) = (1+\alpha, \alpha, \alpha)\) » vaut en car. 2 seulement, où \(\alpha' = 1+\alpha\).

76Vecteurs remarquables ⌜et directions remarquables⌝ (cas car. \(\neq 2\))

On suppose l'icosaèdre à centre \(= 0\), identifiant \(E\) à l'espace des translations \(V\). Utilisant la forme quadratique, on identifie aussi \(V\) et \(\check V\) — donc \(\check{\mathbb{P}}(V)\) (directions de droites dans \(E\)) et \(\mathbb{P}(V)\) (directions de plans dans \(E\)).

page d'une écriture très rapide : les listes de vecteurs sont sûres dans leur structure (lettres de gauche, cardinaux, relations \(\Delta' = \alpha'\Delta\), \(\Phi' = \lambda\Phi\), \(\Psi = \mu\Phi\), \(\Sigma = \rho S\)), beaucoup moins dans leurs légendes.

78Directions remarquables \[ \begin{array}{rl} 6 & \text{directions de sommets} \\ 15 & \text{directions d'arêtes} \\ 10 & \text{directions de plans} \\ \hline 31 & = 5^2 + 5 + 1 \text{ nb de pts du plan projectif sur } \mathbb{F}_5 \end{array} \] Les 6 directions de sommets correspondent à la conique, les ⌜15⌝ directions d'⌜arêtes⌝ plans correspondent aux sécantes divisant un diviseur ⌜discriminant⌝ \(/\mathbb{F}_5\), les ⌜10⌝ directions de plans correspondent aux diviseurs conjugués \(/\mathbb{F}_5\).

vecteurs remarquables en car. 5 \[ 1 + 12 + 60 + 40 = 113 \qquad 125 = 1 + \underbrace{24}_{\substack{\text{pts sur la conique}\\ = 2\times 12\\ (\text{deux icos.})}} + 60 + 40 \] les ⌜25⌝ directions non isotropes […] associées aux […] […] des tridièdres dist. […]

20 aux […] […] dans […] « \(113\) » est surchargé (peut-être écrit par-dessus un premier total).

Croquis : un parallélogramme de sommets \(s_0\), \(s'_1\), \(s_1\), \(s_0\) autour d'un point \(c\), deux vecteurs issus de \(c\) ; à côté, « \(x^2+y^2\) » biffé.

80la page est coupée sur sa droite dans la numérisation : les fins des lignes de la colonne de droite manquent. \[ y = z \qquad x = (1+\alpha')y = -\alpha y \qquad y = \alpha' x \] \[ (-\alpha y, y, y) \text{ ou } (x, \alpha' x, \alpha' x), \qquad (-\alpha, 1, 1) \qquad (1, \alpha', \alpha') \] \[ -\alpha = \alpha'(1-\alpha') = \alpha' - \alpha'^2 \qquad \alpha' = -\alpha(1-\alpha') = -\alpha - 1 \ \text{ok} \] \[ \mathcal{O}_S(-\alpha, 1, 1) \qquad \begin{array}{l} y + z + 1 = 0 \\ x + y + \alpha z = 0 \\ y = z \end{array} \] \(e_1 \mapsto \ldots\) \[ \begin{cases} \bar s_0 = (-\alpha, 1, 1) \\ \bar s_1 = \sigma_0 \bar s_0 = (\alpha - 1, 1, 1) \\ \text{d'où } \bar s_1 - \bar s_0 = (2\alpha - 1, 0, 0), \quad \alpha' = 1 - \alpha' \end{cases} \qquad \alpha + \alpha' = -1 \] colonne de droite, tronquée : « \(1 - (2 - \ldots\) », « \(\alpha - 1\) », « \(\alpha = \tfrac12 \ldots\) », « \(\tfrac14 + \ldots\) », « \(2\alpha - 1 = 2\alpha + \ldots\) ».

\[ f(0) = f(\sigma_1\sigma_2) = 0 \qquad f(\sigma_0^2) = f(\sigma_0) + \sigma_0 f(\sigma_0) \ldots \qquad e + \sigma_0 e = 0, \quad \boxed{\sigma_0 e = -e} \] \[ \begin{cases} \Gamma \to SO(q) \\ + \text{ 1-cocycle } \Gamma \xrightarrow{\ f\ } E \end{cases} \qquad f(gg') = f(g) + g f(g') \] Il suffit de déterminer \[ f(\sigma_1) = f(\sigma_2) = 0 \qquad f(\sigma_0) = \struck{\ldots} \] \[ \sigma_0\sigma_2\sigma_0\sigma_2 \qquad f(\sigma_0\sigma_2) = \struck{\ldots}\, e \qquad e + (\sigma_0\sigma_2)e = \ldots \qquad \struck{\sigma_0\sigma_2 e = \ldots} \qquad \sigma_0(\sigma_2 e - e) \ldots \] \[ \sigma_0\sigma_1 = u \qquad f(u) = e,\ f(u^2) = e + ue,\ \ldots \qquad \frac{e_1 \wedge e_2 \wedge e_3}{q} \] \[ f(u^3) = f(u \cdot u^2) = e + u(e + ue) = e + ue + u^2 e \] \[ s_0 \mapsto s_1, \qquad s_2 - s_0 = e_2 - e_3 = (0, 1, -1) \qquad \boxed{q_0(e) = 1} \] \[ 1 + 1 + \alpha = 2 + \alpha = \struck{\ldots}\ 1 - \alpha' = \boxed{\alpha'^2} \] \[ \boxed{\begin{cases} \sigma_0 e = -e \\ \sigma_2 e = e \end{cases}} \iff (1 + \sigma_0)e = 0 \iff (1 + \sigma_0\sigma_2)e = 0 \qquad \boxed{(1 + u + u^2)e = 0}\ \struck{\ldots} \] « \(s_2 - s_0 = e_2 - e_3\) » est tel quel sur la page (le \(s_2\) est peut-être \(s_3 - s_2\)). Le calcul du 1-cocycle se poursuit vraisemblablement au-delà de ce lot.