Fonds Grothendieck, cote n° 70, pages 21–40 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-29) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-30

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 70 Réalisations géométriques de structures combinatoires (n-polyèdres, n-hyperpolyèdres [2-polyèdres réguliers]…) (Vieilles rédactions) : notes manuscrites (s.d.). Pages 21 à 40 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 2 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [à partir de 1976]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/70.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \supplied devient supplied (restitué par le transcripteur) ; \add devient add (ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \drawing devient note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète est une restitution (supplied), un ajout isolé est de l'auteur (add). Certains add sont donc encore des restitutions du transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Export TEI depuis la source LaTeX. Première passe de transcription.

La page ouvre sur un argument commencé avant ce lot : G, \Gamma_n, \Pi et E y sont supposés déjà introduits. Soit G l'image de \Gamma_n dans \mathrm{Aut}_{\mathrm{aff}}(E) (on suppose maintenant que k est un corps), \Pi le polyèdre n-carte régulière (partielle) correspondante. On a donc une représentation régulière de \Pi. Correspondant : une représentation fidèle de G = \uncertain{\mathrm{Aut}}(\Pi) dans \mathrm{Aut}_{\mathrm{aff}}(E), une application injective de \mathrm{Rep}(\Pi) dans \mathrm{Drap}_{\uncertain{\max}}(E). Les applications D_i(\Pi) \to \struck{\ill{}}\ \mathrm{Grass}_{\mathrm{aff}_i}(E) sont-elles aussi injectives – en d'autres termes, si \sigma, \sigma' dans g, g' \in G \subset \mathrm{Aut}_{\mathrm{aff}}(E) (engendré par \sigma_0,\dots,\sigma_n) que \ill produit qu'il coïncide dimension i g(f_0, f_1, \dots, f_i) sont tels que g f_i = g' f_i, g^{-1}g' est-il dans le groupe engendré par \sigma_0, \dots, \sigma_{i-1}, \widehat{\sigma_i}, \sigma_{i+1}, \dots, \sigma_n ? Ce n'est pas évident du tout – et c'est quelque chose qui n'est pas clair que des résultats sur les ordres des Longueurs associés à la réal. riemannienne ou non des \Pi, impliquant quelque chose sur les ordres de \sigma_i\sigma_{i+1} ! Deux lignes biffées au milieu de la page, surchargées d'interlignes, ne se lisent que par morceaux ; la question qui suit (« g^{-1}g' est-il dans le groupe … ? ») est nette. « \mathrm{Grass}_{\mathrm{aff}_i} » et « \mathrm{Drap}_{\max} » rendent des abréviations lues « Grass.aff_i » et « Drap.max ».

\underbrace{\sigma_0\sigma_1}_{\pi}(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n) = \bigl(1 + \alpha_0 x_1 - x_2 + \underset{\substack{\| \\ 1+\alpha_1+2\alpha_0+\alpha_0\alpha_1}}{a}\,\Sigma_1,\ x_1 + \underset{\substack{\| \\ 1+\alpha_1}}{b}\,\Sigma_1,\ x_3, \dots\bigr) \pi^{2} = \sigma_1\sigma_0(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sigma. \begin{aligned} \pi^2(x_1, \dots, x_n) = \bigl(&1 + \alpha_0(1 + \alpha_0 x_1 - x_2 + a\Sigma_1) - x_1 - b\Sigma_1 + a\Sigma_1,\\ &1 + \alpha_0 x_1 - x_2 + a\Sigma_1 + b\Sigma_1,\ x_3, \dots\bigr)\\ = \bigl(&(1+\alpha_0) + (\alpha_0^2 - 1)x_1 - \alpha_0 x_2 + (a\alpha_0 + a - b)\Sigma_1,\\ &1 + \alpha_0 x_1 - x_2 + (a+b)\Sigma_1,\ x_3, \dots\bigr) \end{aligned} Dans la première ligne de \pi^2, les termes sont soulignés deux à deux, pour le regroupement qui suit. \begin{aligned} \pi^3(x_1, \dots, x_n) = \ &1 + \alpha_0(1+\alpha_0) + \alpha_0(\alpha_0^2 - 1)x_1 - \alpha_0^2 x_2 + \alpha_0(a\alpha_0 + a - b)\Sigma_1\\ &-1\ \struck{\ill{}}\quad - \alpha_0 x_1 \quad + x_2 \quad - (a+b)\Sigma_1 + a\Sigma_1\\ &\uncertain{(1+\alpha_0) + (\alpha_0^2-1)x_1 - \alpha_0 x_2 + [a(\alpha_0 + 1)]\Sigma_1,\ x_3 \ldots}\\ = \ &\struck{(1+}\ \alpha_0(1+\alpha_0) + \alpha_0(\alpha_0^2 - 2)x_1 + (1 - \alpha_0^2)x_2 + \struck{(a\alpha_0^2 + a\alpha_0 \ldots}\\ &(\alpha_0+1)(a\alpha_0 - b)\ \struck{\ill{}}\ \Sigma_1,\ \ldots \end{aligned} La troisième ligne, d'une encre plus pâle et en partie barrée d'obliques, est reliée par une accolade et une flèche au crayon à la suite ; la fin du calcul est au crayon.

\alpha_0 = -1 \begin{cases} \alpha_0(1 + \alpha_0) = 0 \qquad \alpha_0(\alpha_0^2 - 2) = \struck{1}\ \uncertain{-1}? \qquad \alpha_0^2 = 1 \quad \big|\ \alpha_0 = -1\\ \struck{\ill{}} \end{cases}

u(x,y) = \sigma_0\sigma_1(x,y) = \sigma_0(x,y) = (1 - (1+\eta_0)x + \alpha_0 y,\ y), \sigma_1(x,y) = (-\eta_1 y,\ x + (\eta_1+1)y)

u(x,y) = \sigma_0\sigma_1(x,y) = \begin{aligned} \sigma_0(x_1, \dots, x_{n+1}) &= (1 - x_1 + \alpha_0\Sigma_0,\ x_2, \dots, x_{n+1})\\ \sigma_i(x_1, \dots, x_{n+1}) &= (x_1, \dots, x_{i-1},\ x_{i+1} - (1+\alpha_i)\Sigma_i,\\ &\qquad x_i + (1+\alpha_i)\Sigma_i,\ x_{i+2}, \dots, x_{n+1}) \quad (1\le i\le n-1)\\ \sigma_n(x_1, \dots, x_{n+1}) &= (x_1, \dots, x_{n-1},\ x_{n+1},\ x_n) \end{aligned} \struck{f(x_1, \dots, x_{n+1}) = \sum_{1\le i\le n} a_{ii}\, x_i^2 + \sum_{1\le i<j\le n+1} a_{ij}\, x_i x_j + \sum_{1\le i\le n+1} c_i x_i}

Invariants ? \begin{array}{ll} H_0 : & 2x_1 \struck{=} - \alpha_0(x_2 + \cdots + x_{n+1}) = z\\ D_0 : & x_2 = x_3 = \cdots = x_{n+1} = z = 0 \qquad (\text{pt à l'infini de la } \struck{\ill{}}\ \mathrm{dr}(s_0 s_1))\\[4pt] H_i : & x_i - x_{i+1} + (1+\alpha_i)(\struck{x_{i+2} =}\ x_{i+2} + \cdots + x_{n+1}) = 0\\ D_i : & x_1 = \cdots = x_{i-1} = x_{i+2} = \cdots = x_{n+1} = z = 0 \end{array} Tout le cadre H_0, D_0, H_i, D_i est barré de trois longues obliques ; il est repris proprement p. 24. Le signe entre 2x_1 et \alpha_0 est surchargé.

\begin{aligned} \overline{\sigma}_0(\underbrace{x_1, \dots, x_{n+1}, \overset{x_0}{\overset{\|}{z}}}_{\overline{x}}) &= (x_0 - x_1 + \alpha_0(x_2 + \cdots + x_{n+1}),\ x_2, \dots, x_{n+1},\ x_0)\\ &= \overline{x} + \struck{\ill{}}\ [e'_0 - 2e'_1 + \alpha_0(e'_2 + \cdots + e'_{n+1})] \otimes e_1\\ \overrightarrow{\sigma_i}(\overline{x}) &= \overline{x} + [e'_i - e'_{i+1} + (1+\alpha_i)(e'_{i+2} + \cdots + e'_{n+1})] \otimes (-e_i + e_{i+1}) \quad (1\le i\le n)\\ \overrightarrow{\sigma_n}(\overline{x}) &= \overline{x} + (e'_n - e'_{n+1}) \otimes (-e_n + e_{n+1}) \end{aligned} Dans la ligne de \overline{\sigma}_0, le coefficient de e'_1 est surchargé : un 1 récrit, lu 2 d'après H_0 ; le signe \otimes devant e_1 est de même empâté. Les barres sur \sigma_i, \sigma_n portent une pointe de flèche.

\begin{array}{lll} H_0 : & \overset{\substack{z\ \add{\text{variable d'homogénéité}}\\ \|}}{\struck{x_0}} - 2x_1 + \alpha_0(x_2 + \cdots + x_{n+1}) = 0 &\\ \delta_0 : & \text{pt à l'infini dans la direction de } e_1 = s_1 - s_0 &\\[4pt] H_i : & x_i - x_{i+1} + (1+\alpha_i)(x_{i+2} + \cdots + x_{n+1}) = 0 & (1\le i\le n)\\ \delta_i : & \text{pt à l'infini dans la direction de } e_{i+1} - e_i = s_{i+1} - s_i & \end{array} La glose « z variable d'homogénéité », au crayon, est écrite au-dessus de x_0 ; le z est surchargé en 2 ou l'inverse, lu z d'après la p. 23. Sous ces quatre lignes, un trait ; le reste de la page est blanc.

\sigma_0 s_i = -(1+\alpha_i)s_0 + (1+\alpha_i)s_1 + s_i \qquad i\ge 2 \sigma_0 s_{i+1} = \sigma_0\sigma_i s_i = \sigma_i\sigma_0 s_i = -(1+\alpha_i)s_0 + (1+\alpha_i)s_1 + s_{i+1} Ainsi sur la page : les indices de \alpha dans ces deux lignes ne suivent pas ceux de s. \begin{aligned} \sigma_i s_j &= s_j \quad 0\le j\le i-1\\ \sigma_i s_i &= s_{i+1}\\ \sigma_i s_{i+1} &= s_i\\ \sigma_i s_{i+2} &= (\underbrace{0, \dots, 0}_{i-1},\ -(1+\alpha_i),\ (1+\alpha_i),\ 1,\ 0, 0, \dots) = s_{i+2} + (1+\alpha_i)(s_{i+1} - s_i)\\ &= -(1+\alpha_i)s_i + (1+\alpha_i)s_{i+1} + s_{i+2} \end{aligned}

\sigma_i s_{i+2} pour 0\le i\le n \boxed{\sigma_i s_j = \begin{cases} s_j & \text{si } 0\le j\le i-1\\ s_{i+1} & \text{si } j = i\\ s_i & \text{si } j = i+1\\ -(1+\alpha_i)s_i + (1+\alpha_i)s_{i+1} + s_j & \text{si } i+2\le j\le n+1 \end{cases}} \struck{\sigma_i s_j - s_j =} \quad \sigma_i - \mathrm{id} = \ell_i \otimes (s_{i+1} - s_i), \qquad \ell_i = s'_i - s'_{i+1} + (1+\alpha_i)(s'_{i+2} + \cdots + s'_{n+1}) \sigma_i x = x + \sigma_i s_j - s_j = \begin{cases} 0 & \text{si } 0\le j\le i-1\\ s_{i+1} - s_i & \text{si } j = i\\ -(s_{i+1} - s_i) & \text{si } j = i+1\\ (1+\alpha_i)(s_{i+1} - s_i) & \text{si } j\ge i+2 \end{cases}

n-quasi-polyèdres (vieilles rédactions)

Titre de sa main, au crayon, sur la feuille de couverture p. 28 : « n-quasi-polyèdres (vieilles rédactions) ».

n-Quasi-polyèdres réguliers en coordonnées (1)\quad \begin{cases} \sigma_0,\dots,\sigma_n \in \mathrm{Aff}(E), & E \text{ affine de rang } n+1\\ \sigma_j\sigma_i = \sigma_i\sigma_j & \text{si } 0\le i,\ \struck{i+1}\ i+2\le j\le n \end{cases} (2)\quad E_0 = \{s_0\} \subset E_1 \subset \cdots \subset E_n \quad \text{drapeau de } E (3)\quad \begin{cases} \sigma_i E_j = E_j & \text{si } j\ne i\\ \sigma_i E_i \ne E_i \end{cases} \qquad (4)\quad \begin{cases} s_0\\ s_1 = \sigma_0 s_0\\ \cdots\\ s_i = \sigma_{i-1} s_{i-1} & (1\le i\le n+1)\\ \cdots\\ s_{n+1} = \sigma_n s_n \end{cases}

Prop (s_0,\dots,s_{n+1}) est une base affine de E, et \begin{aligned} (5)&\quad E_i = \struck{\ill{}}\ \mathrm{Env}(s_0,\dots,s_i)\\ (6)&\quad \sigma_k s_i = s_i \quad \text{si } 0\le i< k\le \struck{n+1}\ n \end{aligned} pour tout i, 0\le i\le n+1, L'abréviation que nous rendons par \mathrm{Env} (l'engendré affine, semble-t-il) est lue « Env » à chaque occurrence de la page, sans certitude sur les deux dernières lettres. Dans (1), le « 0\le i » est suivi d'un i+1 biffé.

Par induction sur i, on prouve que (s_0,\dots,s_i) est affinement libre et (5)_i (6)_i. Trivial si i=0. Supposons i\ge 1 et prouvé pour j<i. Je dis : \begin{cases} s_i \notin E_{i-1} \ (= \mathrm{Env}(s_0,\dots,s_{i-1}) \text{ par hyp.\ réc.})\\ E_i = \mathrm{Env}(E_{i-1}, s_i)\\ \sigma_k s_i = s_i \quad i<k\le n \end{cases} Si on avait s_i \in E_{i-1}, i.e. \sigma_{i-1}s_{i-1} \in E_{i-1}, comme \sigma_{i-1}s_j = s_j pour 0\le j\le i-2 et E_{i-1} = \mathrm{Env}(s_0,\dots,s_{i-1}) par réc., on aurait \sigma_{i-1}E_{i-1} = \mathrm{Env}(\underbrace{\sigma_{i-1}s_0}_{=s_0},\dots,\underbrace{\sigma_{i-1}s_{i-2}}_{=s_{i-2}},\underbrace{\sigma_{i-1}s_{i-1}}_{\in E_{i-1}}) \subset E_{i-1} donc \sigma_{i-1}E_{i-1} = E_{i-1}, contrairement à (3 b), OK.

On a, comme \sigma_{i-1}E_i = E_i et s_{i-1} \in E_{i-1} (hyp. réc.) \subset E_i, \sigma_{i-1}(s_{i-1}) \subset E_i, i.e. s_i \in E_i. Comme s_i \notin E_{i-1}, on a donc E_i = \mathrm{Env}(E_{i-1}, s_i). Enfin, pour i<k\le n, \sigma_k s_i = \sigma_k\sigma_{i-1}s_{i-1} = \sigma_{i-1}(\sigma_k s_{i-1}) \overset{\text{réc}}{=} \sigma_{i-1}(s_{i-1}) = s_i. OK.

On utilise les s_i (0\le i\le n+1) comme base de E, comme origine, et les (7)\quad e_i = s_i - s_0 \qquad 1\le i\le n+1 comme base de l'espace des translations V de E. On va expliciter les matrices (à n+2 lignes et n+2 colonnes) des \sigma_i, 0\le i\le n. Revient à la connaissance des \sigma_i s_j, 0\le i\le n, 0\le j\le n+1. Je dis qu'il suffit de connaître (8)\quad \underset{\textstyle \sigma_i^2 s_i}{\sigma_i s_{i+1}} = \struck{u_{i+1}}\ u_i, \qquad \sigma_i s_{i+2} = v_i Car on a (9)\quad \begin{cases} \sigma_i s_j = s_j & \text{si } 0\le j< i\\ \sigma_i s_i = s_{i+1}\\ \sigma_i s_{i+1} = u_i \in E_{i+1} & E_{i+1} = \mathrm{Env}(E_{i-1}, s_{i+1}, u_i)\\ \sigma_i s_{i+2} = v_i \in E_{i+2} & E_{i+2} = \mathrm{Env}(E_{i+1}, v_i) \quad (0\le i\le n-1)\\ \sigma_i s_j = \sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2}(v_i) & \text{si } \uncertain{i+2< j\le n+1} \end{cases} Une flèche renvoie la condition « (0\le i\le n-1) » à la ligne de v_i. La condition sur j dans la dernière ligne est surchargée.

Car s_j = \sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2}\,s_{i+2}, donc \sigma_i s_j = \sigma_i\sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2}\,s_{i+2} = \sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2}\,\underbrace{\sigma_i s_{i+2}}_{v_i} Posons = s_0+ (\ill)\quad \begin{cases} u_i = (u_{i,1},\dots,u_{i,i+1}) = s_0 + \sum_{1\le k\le i+1} u_{i,k}\,e_k\\ v_i = (v_{i,1},\dots,v_{i,i+2}) = s_0 + \sum_{1\le k\le i+2} v_{i,k}\,e_k \end{cases} obtient si j\ge i+3 \begin{aligned} \sigma_i s_j &= \sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2}\,(s_0 + v_{i,1}e_1 + \cdots + v_{i,i+1}e_{i+1} + v_{i,i+2}e_{i+2})\\ &= s_0 + \sum_{1\le k\le i+1} v_{i,k}\,e_k + v_{i,i+2}\,e_j \end{aligned} i.e. (10)\quad \begin{cases} \sigma_i s_j = (v_{i,1},\dots,v_{i,i+1},\ 0,\dots,0,\ \overset{j}{v_{i,i+2}},\ 0,\dots,0)\\ \qquad = s_0 + \sum_{1\le k\le i+1} v_{i,k}\,e_k + v_{i,i+2}\,e_j \end{cases} \quad \text{si } \struck{\ill{}}\ i+2\le j\le n+1

compte tenu que, pour 0\le i\le n-1, \sigma_i e_i = e_{i+1}. On a plus explicitement (11)\quad \begin{cases} \sigma_i e_j = e_j & \text{si } 1\le j< i\\ \sigma_i e_i = e_{i+1} \quad \struck{(\text{si } i\ge 1)} & \\ \sigma_i e_{i+1} = \struck{\ldots} \begin{cases} u_0 - s_1 = (u_0-s_0) - e_1 = (u_{01}-1)\,e_1 & \text{si } i=0\\ u_i - s_0 = \sum_{1\le k\le i+1} u_{ik}\, e_k & \text{si } i\ge 1\end{cases}\\ \struck{\sigma_i e_{i+2} = \ldots}\\ \Bigl[\sigma_0 e_{i+2} = \Bigr] \begin{cases} v_0 - s_1 = (v_0-s_0) - e_1 = (v_{01}-1)\,e_1 + v_{0,2}\, e_2 & \text{si } i=0\\ v_i - s_0 = \sum_{1\le k\le i+2} v_{i,k}\, e_k & \text{si } i\ge 1\end{cases}\\ \sigma_i e_j = \begin{cases} (v_{01}-1)\,e_1 + v_{0j}\, e_j & \text{si } i=0\\ \sum_{1\le k\le i+1} v_{ik}\, e_k + v_{i,i+2}\, e_j & \text{si } i\ge 1\end{cases}\\ \qquad \text{si } i+2\le j\le n+1 \end{cases} « plus explicitement » est écrit sous « compte tenu », en interligne. La ligne \sigma_i e_{i+2} est biffée et récrite, entre crochets, en \sigma_0 e_{i+2} ; les bornes des sommes sont lues sur des indices très petits.

Conditions

Points fixes de \sigma_0

\sigma_0 = (12)\quad \sigma_0 = \begin{pmatrix} u_{01}-1 & v_{01}-1 & v_{01}-1 & v_{01}-1 & \cdots & v_{01}-1 & 1\\ 0 & v_{02} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & v_{02} & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & v_{02} & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & v_{02} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} Les colonnes sont numérotées 1, 2, \dots, n+1, n+2 en tête, les lignes 1, 2, \dots, n+1, n+2 en marge gauche ; la dernière colonne est celle de la translation.

(13)\quad \sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(1 + (u_{01}-1)\,x_1 + (v_{01}-1)\,\Sigma_0,\ v_{02}\,x_2,\ \dots,\ v_{02}\,x_{n+1}\bigr), \Sigma_0 = x_2 + \cdots + x_{n+1} (14)\quad H_0 : \begin{cases} 1 + (u_{01}-2)\,x_1 + (v_{01}-1)\,\Sigma_0 = 0\\ (v_{02}-1)\,x_2 = \cdots = (v_{02}-1)\,x_{n+1} = 0 \end{cases} C'est une réflexion projective sss les dernières relations sont conséquences de la première homogénéisée, ou encore sss \boxed{v_{02} = 1}. Je vais prendre \sigma_0 les paramètres libres u_{01}, v_{01}, \lambda_0 et \mu_0 : (15)\quad \sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(1 + (\lambda_0-1)\,x_1 + (\mu_0-1)\,\Sigma_0,\ x_2,\ \dots,\ x_{n+1}\bigr), \qquad \Sigma_0 = x_2+\cdots+x_{n+1}

(16)\quad \sigma_i = \left(\begin{array}{ccc|c|ccccc|c} 1 & & 0 & 0 & u_{i1} & v_{i1} & v_{i1} & \cdots & v_{i1} & 0\\ & \ddots & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & & 1 & 0 & u_{i,i-1} & v_{i,i-1} & v_{i,i-1} & \cdots & v_{i,i-1} & 0\\ & & & 0 & u_{i,i} & v_{i,i} & v_{i,i} & \cdots & v_{i,i} & 0\\ & 0 & & 1 & u_{i,i+1} & v_{i,i+1} & v_{i,i+1} & \cdots & v_{i,i+1} & 0\\ & & & 0 & 0 & v_{i,i+2} & 0 & \cdots & 0 & 0\\ & & & 0 & 0 & 0 & v_{i,i+2} & & 0 & 0\\ & & & \vdots & \vdots & & & \ddots & & \vdots\\ & & & 0 & 0 & 0 & 0 & & v_{i,i+2} & 0\\ \hline 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) Matrice dessinée par blocs : un bloc identité de taille i-1 en haut à gauche, des blocs nuls figurés par de grands zéros ovales ; la disposition ci-dessus suit le dessin sans le reproduire exactement. Plusieurs indices du bloc central sont repassés et incertains.

(17)\quad \begin{aligned} \sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(&x_1 + u_{i1}\,x_{i+1} + v_{i1}\,\Sigma_i,\ x_2 + u_{i2}\,x_{i+1} + v_{i2}\,\Sigma_i,\ \dots\\ &\dots,\ x_{i-1} + u_{i,i-1}\,x_{i+1} + v_{i,i-1}\,\Sigma_i ;\\ &u_{i,i}\,x_{i+1} + v_{i,i}\,\Sigma_i,\ x_i + u_{i,i+1}\,x_{i+1} + v_{i,i+1}\,\Sigma_i ;\\ &v_{i,i+2}\,x_{i+2},\ \dots,\ v_{i,i+2}\,x_{n+1}\bigr), \end{aligned} \Sigma_i = x_{i+2} + \cdots + x_{n+1} (18)\quad H_i = \begin{cases} u_{i1}\,x_{i+1} + v_{i1}\,\Sigma_i = \uncertain{u_{i2}\,x_{i+1} + v_{i2}\,\Sigma_i} = \cdots = u_{i,i-1}\,x_{i+1} + v_{i,i-1}\,\Sigma_i = 0\\ \add{-x_i+}\ u_{ii}\,x_{i+1} + v_{ii}\,\Sigma_i = 0,\quad x_i + (u_{i,i+1}-1)\,x_{i+1} + v_{i,i+1}\,\Sigma_i = 0\\ (v_{i,i+2}-1)\,x_{i+2} = \cdots = (v_{i,i+2}-1)\,x_{n+1} = 0 \end{cases}

\sigma_i est une réflexion sss ces relations sont conséquences de la i-ième (qui exprime x_i comme combinaison linéaire de x_{i+1},\dots,x_{n+1}). Ceci signifie : (19)\quad \begin{cases} u_{ii} + u_{i,i+1} = 1, & v_{i,i} + v_{i,i+1} = 0\\ v_{i,i+2} = 1\\ u_{i1} = \cdots = u_{i,i-1} = 0, & v_{i1} = \cdots = v_{i,i-1} = 0 \end{cases} donc les seuls paramètres qui restent sont u_{i,i} = \lambda_i et v_{i,i} = \mu_i (définis pour 0\le i\le n-1, pas pour \sigma_n), () (20)\quad \begin{aligned} \sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(&x_1,\dots,x_{i-1},\ \lambda_i\,x_{i+1} + \mu_i\,\Sigma_i,\\ &x_i + (1-\lambda_i)\,x_{i+1} - \mu_i\,\Sigma_i,\ x_{i+2},\dots,x_{n+1}\bigr), \end{aligned} \Sigma_i = x_{i+2}+\cdots+x_{n+1}

On a (1\le i\le n) \sigma_i^2(x_1,\dots,x_{n+1}) = (x_1,\dots,x_{i-1};\ X_i,\ X_{i+1},\ x_{i+2},\dots,x_{n+1}) \begin{aligned} X_i &= \lambda_i\bigl[x_i + (1-\lambda_i)\,x_{i+1} - \mu_i\,\Sigma_i\bigr] + \mu_i\,\Sigma_i = \lambda_i\,x_i + \lambda_i(1-\lambda_i)\,x_{i+1}\\ X_{i+1} &= \bigl[\lambda_i\,x_{i+1} + \mu_i\,\Sigma_i\bigr] + (1-\lambda_i)\bigl[x_i + (1-\lambda_i)\,x_{i+1} - \mu_i\,\Sigma_i\bigr] - \mu_i\,\Sigma_i\\ &= (1-\lambda_i)\,x_i + x_{i+1} + (1-\lambda_i)\,\mu_i\,\Sigma_i \end{aligned} Des traits obliques relient les termes en \mu_i\Sigma_i qui se compensent. Le coefficient de x_{i+1} dans X_{i+1} est écrit 1, comme sur la page.

On a X_i \equiv x_i sss \lambda_i = 1, X_{i+1} \equiv x_{i+1} sss \lambda_i = 1 (21)\ \boxed{\sigma_i^2 = \mathrm{id} \text{ sss } \lambda_i = 1}

\sigma_0^2(x_1,\dots,x_{n+1}) = (X_1,\ x_2,\ \dots,\ x_{n+1}) \begin{aligned} X_1 &= 1 + (\lambda_0-1)\bigl[1 + (\lambda_0-1)\,x_1 + (\mu_0-1)\,\Sigma_0\bigr] + (\mu_0-1)\,\Sigma_0\\ &= \lambda_0 + (\lambda_0-1)^2\,x_1 + \lambda_0(\mu_0-1)\,\Sigma_0 \end{aligned} X_1 \equiv x_1 sss \lambda_0 = 0, i.e. (22)\ \boxed{\sigma_0^2 = \mathrm{id} \text{ sss } \lambda_0 = 0}

Cas général : paramètres \lambda_i (0\le i\le n), \mu_i (0\le i\le n-1), donc 2n+1 paramètres. Cas n-polyèdral (\sigma_i^2 = 1 pour 0\le i\le n) : \lambda_0 = 0, \lambda_i = 1 (1\le i\le n) ; il reste n paramètres \mu_i …

\begin{cases} \sigma_0(x,y) = \bigl(1 + (\lambda_0-1)\,x + (\mu_0-1)\,y,\ y\bigr) = \bigl(1 + (\lambda_0-1)\,x + \alpha_0\,y,\ y\bigr)\\ \qquad = (1 + \eta_0\,x + \alpha_0\,y,\ y)\\ \sigma_1(x,y) = \bigl(\lambda_1\,y,\ x + (1-\lambda_1)\,y\bigr) \end{cases} k corps de car. p \ge 0.

Partie homogène de \sigma_0 : \begin{pmatrix}\eta_0 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

\det(t\,\mathrm{id} - \sigma_{0v}) = valeurs propres : 1 et \lambda_0 - 1 = \eta_0.

\sigma_0 \begin{pmatrix}a & c\\ 0 & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a' & c'\\ 0 & b'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}aa' & ac' + b'c\\ 0 & bb'\end{pmatrix} \overset{\text{si } b'=1}{=} \begin{pmatrix}aa' & c + ac'\\ 0 & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & c\\ 0 & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\eta_0 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\eta_0\,a & c + \alpha_0\,a\\ 0 & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\eta_0 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}\eta_0^2 & \alpha_0 + \uncertain{\alpha_0\eta_0}\\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}\eta_0 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix}\eta_0^3 & \alpha_0(1 + \eta_0 + \eta_0^2)\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\eta_0 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}\eta_0^n & \alpha_0(1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{n-1})\\ 0 & 1\end{pmatrix} Le second coefficient du carré est surchargé et en partie biffé.

\sigma_{0v}^n = 1 \iff \begin{cases} \eta_0^n = 1 & \text{i.e. } (\eta_0 - 1)(1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{n-1}) = 0\\ \struck{\alpha_0 \ldots} & \alpha_0(1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{n-1}) = 0 \end{cases} \Updownarrow

\sigma_0^n une translation. Deux cas :

1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{n-1} = 0, i.e. \eta_0^n = 1 et (\eta_0 \ne 1 ou p \nmid n) ; \eta_0 = 1, \alpha_0 = 0 [i.e. \sigma_{0v} = \mathrm{id}, i.e. \sigma_0 est la translation par (1,0)] et p \mid n.

Dans a), la parenthèse est très surchargée : « \eta_0 \ne 1 ou p\nmid n » est une lecture, le signe de non-divisibilité étant un trait épais.

\sigma_0^n(0) = {?} \sigma_0(0) = (1,0), \sigma_0^2(0) = (1+\eta_0 \ldots \begin{aligned} \sigma_0(x,0) &= (1 + \eta_0\,x,\ 0)\\ \sigma_0^2(x,0) &= 1 + \eta_0 + \eta_0^2\,x\\ \sigma_0^3(x,0) &= 1 + \eta_0 + \eta_0^2 + \eta_0^3\,x\\ &\cdots\\ \sigma_0^n(x,0) &= 1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{n-1} + \eta_0^n\,x =\\ &\qquad \begin{cases} (\text{cas a}) & \eta_0^n\,x = x\\ (\text{cas b}) & \text{translation par } (n,0) \text{ (qui est } \ill \text{ par l'} \ill\text{)} \end{cases} \end{aligned}

On trouve donc \sigma_0^{\varepsilon} = \mathrm{id} \iff 1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{\varepsilon-1} = 0 donc

ordre de \sigma_0 = ordre de \eta_0 \in k^* sauf si \eta_0 = 1 i.e. \det\sigma_{0v} = 1, auquel cas \sigma_{0v} est la transvection \begin{pmatrix}1 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix} (qui est d'ordre 1 sss \alpha_0 = 0, sinon d'ordre p) \eta_0 = 1\ \begin{cases} \text{a)}\ \alpha_0 = \uncertain{1} & \sigma_0 = \mathrm{id}\quad \emph{cas impropre}\\[2pt] \text{b)}\ \alpha_0 \ne 1 & \begin{cases} p = 0 & \sigma_{0v} \text{ d'ordre infini, a fortiori } \sigma_0 \text{ d'ordre inf.}\\ p > 0 & \sigma_{0v} \text{ d'ordre } p,\ \sigma_0^p\ \struck{= \text{translation}}\ \ldots \end{cases} \end{cases} Dans a) et b), le chiffre après \alpha_0 est repassé en encre plus foncée et se lit 1 ; la ligne précédente dit « d'ordre 1 sss \alpha_0 = 0 ». Sous la ligne p>0, un passage biffé de hachures obliques : (p,0) ; p\mid n \Rightarrow \sigma_0^p = \mathrm{id} ; p\nmid n … \sigma_0 d'ordre p^2.

\begin{aligned} \sigma_1^2(x,y) &= \bigl(\lambda_1\,x + \lambda_1(1-\lambda_1)\,y,\ (1-\lambda_1)\,x + (\lambda_1 + (1-\lambda_1)^2)\,y\bigr)\\ &= \bigl(\lambda_1\,x + \lambda_1(1-\lambda_1)\,y,\ (1-\lambda_1)\,x + (\lambda_1^2 - \lambda_1 + 1)\,y\bigr) \end{aligned} \sigma_1 = \begin{pmatrix}0 & \lambda_1\\ 1 & 1-\lambda_1\end{pmatrix} \det(t\,\mathrm{id} - \sigma_1) = t^2 - (1-\lambda_1)\,t - \lambda_1 = \struck{t^2 - (1+\delta)\,t + \delta} Valeurs propres \eta, \eta' : 1, -\lambda_1 = \delta_1.

-\lambda_1 = \eta\eta', 1 - \lambda_1 = \eta + \eta' ; -\lambda_1 = \delta_1 = \delta ; \eta\eta' = \delta, \eta + \eta' = 1+\delta ; donc \eta^n = \eta'^n = 1 \Rightarrow \delta^n = 1 ; \eta/\delta, \eta'/\delta … ; x = \lambda_1 y Tout ce bloc est biffé de traits obliques et entouré ; les cadres et flèches qui en relient les morceaux ne sont pas reproduits.

Ordre de \sigma_1 = ordre de \delta_1 \in k^*, sauf si \delta = 1, i.e. \lambda_1 = -1 : \sigma_1(x,y) = (-y,\ x + 2y) transvection identité, d'ordre infini si p = 0, d'ordre p sinon.

\begin{cases} \sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = (1 + \eta_0\,x_1 + \alpha_0\,\Sigma_0,\ x_2,\ \dots,\ x_{n+1})\\ \cdots\\ \sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(x_1,\dots,x_{i-1},\ -\eta_i\,x_{i+1} + (1+\alpha_i)\,\Sigma_i, & \\ \qquad x_i + (\eta_i + 1)\,x_{i+1} - (1+\alpha_i)\,\Sigma_i,\ x_{i+2},\dots,x_{n+1}\bigr) & (1\le i\le n-1)\\ \cdots\\ \sigma_n(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(x_1,\ \dots,\ x_{n-1},\ -\eta_n\,x_{n+1},\ x_n + (1+\eta_n)\,x_{n+1}\bigr) \end{cases}

Valeurs propres de \sigma_i : 1 de multiplicité n-1, et \eta_i.

Ordre de \sigma_i \overset{?}{=} ordre de \eta_i \in k^* si \eta_i \ne 1.

« Étude locale » des n-polyèdres et des n-cartes (vieilles rédactions)

Titre de sa main, au crayon, sur la feuille de couverture p. 38 : « “étude locale” des n-polyèdres et des n-cartes (vieilles rédactions) ». Un premier mot, lourdement biffé, précède.

Soit une variante combinatoire C de n-quelette E – un \Gamma_n-ensemble – où \Gamma_n = \{\sigma_0, \dots, \sigma_n \mid \sigma_0^2 = \cdots = \sigma_n^2 = 1,\ \sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \text{ si } j\ge i+2\} Rappelons que les i-facettes de la carte sont les éléments de l'ens. D_i = E/(\sigma_0, \dots, \widehat{\sigma_i}, \dots, \sigma_n) = E/\Gamma_n^{-}(i)\times\Gamma_n^{+}(i) où \Gamma_n^{-}(i) \subset \Gamma_n, \Gamma_n^{+}(i) \subset \Gamma_n sont engendrés resp. par \sigma_0 \dots \sigma_{i-1}, et \sigma_{i+1}, \dots, \sigma_n. Considérons, pour f_i \in D_i fixé, l'ensemble des facettes f_j de C qui sont incidentes < f_i, i.e. de dim. j < i et telles que (f_j, f_i) proviennent d'un él. de E. Soit E(i)^{+} E^{-}(i) = E/\Gamma_n^{-}(i) \longrightarrow D_i « Drapeaux »

c'est un ens. où opère \Gamma_n^{+}(i) \simeq \Gamma_{i-1} fibres de D_i compatible , et sauf erreur c'est une (i-1)-quelette, i.e. \sigma_0, \dots, \sigma_{i-1} et les produits de tels éléments qui commutent opèrent dans les fibres de E^{-}(i) \to D_i. Ainsi fibre de E^{-}(i) correspond : (i-1)-cartes combinatoires, dont les comp. connexes correspondent aux él. de D_i i.e. aux i-facettes f_i. Soit les (i-1)-cartes combinatoires quotients \Pi_{f_i} la fibre de f_i. Les j-facettes sont Dans les énoncés de cette page, les signes \pm en exposant de \Gamma_n(i) et de E(i) sont repassés et en partie empâtés ; ils sont lus d'après la définition « engendrés par \sigma_0\dots\sigma_{i-1}, et \sigma_{i+1},\dots,\sigma_n » et l'isomorphisme \Gamma_n^{+}(i)\simeq\Gamma_{i-1} tel qu'il est écrit, bien que ce dernier semble appeler \Gamma_n^{-}(i).

les él. de E^{-}(i)_{f_i} / (\sigma_0, \dots, \widehat{\sigma_j}, \dots, \sigma_{i-1}), i.e. les él. de E^{-}(i)/(\sigma_0, \dots, \widehat{\sigma_j}, \dots, \sigma_{i-1}) \simeq E/(\sigma_0, \dots, \widehat{\sigma_j}, \dots, \widehat{\sigma_i}, \dots, \sigma_n) qui modulo s'envoient dans f_i \in D_i, i.e. les drapeaux de type (j, i) dont la composante de degré dim i est f_i. Plus gén., les drapeaux de type (j_1 < \cdots < j_p) (où 0\le j_1 < \cdots < j_p \le i-1) sont les drapeaux de type (j_1, \dots, j_p, i) de \Pi dont la composante de degré i est f_i. On l'appelle « bord » le « bord » de la facette f_i, notée \partial f_i.

Dualement, considérons E^{+}(i) = E/\Gamma_n^{+}(i) \longrightarrow D_i \ \overset{\text{\struck{?}}}{=}\ D_{i,i+1,\dots,n} La glose « = D_{i,i+1,\dots,n} », au crayon, est écrite au-dessus de la flèche. sur laquelle \Gamma_n^{+}(i) \simeq \struck{\ill{}}\ \Gamma_{n-i-1} opère, la projection étant D_i. On trouve une variante de (n-i-1)-carte n-quelette (sauf erreur), dont les facettes de dim. j (0\le j\le n-i-1) « sont » de \Pi les drapeaux de type (i, i+j+1) dont la composante de dim. i est un drapeau de type (i, j), différent .

On peut aussi, pour j\ge i+2 f_i < f_j considérer E(i,j) = E/(\sigma_0 \dots \sigma_{i-1};\ \sigma_{j+1} \dots \sigma_n) La page s'arrête sur « considérer » ; la suite, si elle existe, est au-delà du lot. Le bas de la page est très chargé d'interlignes et de ratures, et la syntaxe exacte des deux dernières phrases reste incertaine.