Cote n° 70 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Réalisations géométriques de structures combinatoires (n-polyèdres, n-hyperpolyèdres [2-polyèdres réguliers]…) (Vieilles rédactions) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

21La page ouvre sur un argument commencé avant ce lot : \(G\), \(\Gamma_n\), \(\Pi\) et \(E\) y sont supposés déjà introduits. Soit \(G\) l'image de \(\Gamma_n\) dans \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{aff}}(E)\) (on suppose maintenant que \(k\) est un corps), \(\Pi\) le polyèdre ⌜\(n\)-carte⌝ régulière (partielle) correspondante. On a donc une représentation régulière de \(\Pi\). Correspondant : une représentation fidèle de \(G = \uncertain{\mathrm{Aut}}(\Pi)\) dans \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{aff}}(E)\), […] une application injective de \(\mathrm{Rep}(\Pi)\) dans \(\mathrm{Drap}_{\uncertain{\max}}(E)\). Les applications \(D_i(\Pi) \to \struck{\ill{}}\ \mathrm{Grass}_{\mathrm{aff}_i}(E)\) sont-elles aussi injectives – en d'autres termes, si \(\sigma, \sigma'\) dans \(g, g' \in G \subset \mathrm{Aut}_{\mathrm{aff}}(E)\) (engendré par \(\sigma_0,\dots,\sigma_n\)) […] […] que \(\ill\) produit qu'il coïncide […] dimension \(i\) \(g(f_0, f_1, \dots, f_i)\) ⌜[…]⌝ sont tels que \(g f_i = g' f_i\), \(g^{-1}g'\) est-il dans le groupe engendré par \(\sigma_0, \dots, \sigma_{i-1}, \widehat{\sigma_i}, \sigma_{i+1}, \dots, \sigma_n\) ? Ce n'est pas évident du tout – et c'est quelque chose qui n'est pas clair que des résultats sur les […] ordres des Longueurs associés à la réal. riemannienne ⌜ou non des⌝ \(\Pi\), impliquant quelque chose sur les ordres de \(\sigma_i\sigma_{i+1}\) ! Deux lignes biffées au milieu de la page, surchargées d'interlignes, ne se lisent que par morceaux ; la question qui suit (« \(g^{-1}g'\) est-il dans le groupe … ? ») est nette. « \(\mathrm{Grass}_{\mathrm{aff}_i}\) » et « \(\mathrm{Drap}_{\max}\) » rendent des abréviations lues « Grass.aff\(_i\) » et « Drap.max ».

22\[ \underbrace{\sigma_0\sigma_1}_{\pi}(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n) = \bigl(1 + \alpha_0 x_1 - x_2 + \underset{\substack{\| \\ 1+\alpha_1+2\alpha_0+\alpha_0\alpha_1}}{a}\,\Sigma_1,\ x_1 + \underset{\substack{\| \\ 1+\alpha_1}}{b}\,\Sigma_1,\ x_3, \dots\bigr) \] \(\pi^{2} = \sigma_1\sigma_0(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sigma\). \[ \begin{aligned} \pi^2(x_1, \dots, x_n) = \bigl(&1 + \alpha_0(1 + \alpha_0 x_1 - x_2 + a\Sigma_1) - x_1 - b\Sigma_1 + a\Sigma_1,\\ &1 + \alpha_0 x_1 - x_2 + a\Sigma_1 + b\Sigma_1,\ x_3, \dots\bigr)\\ = \bigl(&(1+\alpha_0) + (\alpha_0^2 - 1)x_1 - \alpha_0 x_2 + (a\alpha_0 + a - b)\Sigma_1,\\ &1 + \alpha_0 x_1 - x_2 + (a+b)\Sigma_1,\ x_3, \dots\bigr) \end{aligned} \] Dans la première ligne de \(\pi^2\), les termes sont soulignés deux à deux, pour le regroupement qui suit. \[ \begin{aligned} \pi^3(x_1, \dots, x_n) = \ &1 + \alpha_0(1+\alpha_0) + \alpha_0(\alpha_0^2 - 1)x_1 - \alpha_0^2 x_2 + \alpha_0(a\alpha_0 + a - b)\Sigma_1\\ &-1\ \struck{\ill{}}\quad - \alpha_0 x_1 \quad + x_2 \quad - (a+b)\Sigma_1 + a\Sigma_1\\ &\uncertain{(1+\alpha_0) + (\alpha_0^2-1)x_1 - \alpha_0 x_2 + [a(\alpha_0 + 1)]\Sigma_1,\ x_3 \ldots}\\ = \ &\struck{(1+}\ \alpha_0(1+\alpha_0) + \alpha_0(\alpha_0^2 - 2)x_1 + (1 - \alpha_0^2)x_2 + \struck{(a\alpha_0^2 + a\alpha_0 \ldots}\\ &(\alpha_0+1)(a\alpha_0 - b)\ \struck{\ill{}}\ \Sigma_1,\ \ldots \end{aligned} \] La troisième ligne, d'une encre plus pâle et en partie barrée d'obliques, est reliée par une accolade et une flèche au crayon à la suite ; la fin du calcul est au crayon.

\(\alpha_0 = -1\) \[ \begin{cases} \alpha_0(1 + \alpha_0) = 0 \qquad \alpha_0(\alpha_0^2 - 2) = \struck{1}\ \uncertain{-1}? \qquad \alpha_0^2 = 1 \quad \big|\ \alpha_0 = -1\\ \struck{\ill{}} \end{cases} \]

23\(u(x,y) = \sigma_0\sigma_1(x,y) =\) \(\sigma_0(x,y) = (1 - (1+\eta_0)x + \alpha_0 y,\ y)\), \(\sigma_1(x,y) = (-\eta_1 y,\ x + (\eta_1+1)y)\)

\(u(x,y) = \sigma_0\sigma_1(x,y) =\) \[ \begin{aligned} \sigma_0(x_1, \dots, x_{n+1}) &= (1 - x_1 + \alpha_0\Sigma_0,\ x_2, \dots, x_{n+1})\\ \sigma_i(x_1, \dots, x_{n+1}) &= (x_1, \dots, x_{i-1},\ x_{i+1} - (1+\alpha_i)\Sigma_i,\\ &\qquad x_i + (1+\alpha_i)\Sigma_i,\ x_{i+2}, \dots, x_{n+1}) \quad (1\le i\le n-1)\\ \sigma_n(x_1, \dots, x_{n+1}) &= (x_1, \dots, x_{n-1},\ x_{n+1},\ x_n) \end{aligned} \] \[ \struck{f(x_1, \dots, x_{n+1}) = \sum_{1\le i\le n} a_{ii}\, x_i^2 + \sum_{1\le i<j\le n+1} a_{ij}\, x_i x_j + \sum_{1\le i\le n+1} c_i x_i} \]

Invariants ? \[ \begin{array}{ll} H_0 : & 2x_1 \struck{=} - \alpha_0(x_2 + \cdots + x_{n+1}) = z\\ D_0 : & x_2 = x_3 = \cdots = x_{n+1} = z = 0 \qquad (\text{pt à l'infini de la } \struck{\ill{}}\ \mathrm{dr}(s_0 s_1))\\[4pt] H_i : & x_i - x_{i+1} + (1+\alpha_i)(\struck{x_{i+2} =}\ x_{i+2} + \cdots + x_{n+1}) = 0\\ D_i : & x_1 = \cdots = x_{i-1} = x_{i+2} = \cdots = x_{n+1} = z = 0 \end{array} \] Tout le cadre \(H_0, D_0, H_i, D_i\) est barré de trois longues obliques ; il est repris proprement p. 24. Le signe entre \(2x_1\) et \(\alpha_0\) est surchargé.

\[ \begin{aligned} \overline{\sigma}_0(\underbrace{x_1, \dots, x_{n+1}, \overset{x_0}{\overset{\|}{z}}}_{\overline{x}}) &= (x_0 - x_1 + \alpha_0(x_2 + \cdots + x_{n+1}),\ x_2, \dots, x_{n+1},\ x_0)\\ &= \overline{x} + \struck{\ill{}}\ [e'_0 - 2e'_1 + \alpha_0(e'_2 + \cdots + e'_{n+1})] \otimes e_1\\ \overrightarrow{\sigma_i}(\overline{x}) &= \overline{x} + [e'_i - e'_{i+1} + (1+\alpha_i)(e'_{i+2} + \cdots + e'_{n+1})] \otimes (-e_i + e_{i+1}) \quad (1\le i\le n)\\ \overrightarrow{\sigma_n}(\overline{x}) &= \overline{x} + (e'_n - e'_{n+1}) \otimes (-e_n + e_{n+1}) \end{aligned} \] Dans la ligne de \(\overline{\sigma}_0\), le coefficient de \(e'_1\) est surchargé : un \(1\) récrit, lu \(2\) d'après \(H_0\) ; le signe \(\otimes\) devant \(e_1\) est de même empâté. Les barres sur \(\sigma_i\), \(\sigma_n\) portent une pointe de flèche.

24\[ \begin{array}{lll} H_0 : & \overset{\substack{z\ \add{\text{variable d'homogénéité}}\\ \|}}{\struck{x_0}} - 2x_1 + \alpha_0(x_2 + \cdots + x_{n+1}) = 0 &\\ \delta_0 : & \text{pt à l'infini dans la direction de } e_1 = s_1 - s_0 &\\[4pt] H_i : & x_i - x_{i+1} + (1+\alpha_i)(x_{i+2} + \cdots + x_{n+1}) = 0 & (1\le i\le n)\\ \delta_i : & \text{pt à l'infini dans la direction de } e_{i+1} - e_i = s_{i+1} - s_i & \end{array} \] La glose « \(z\) variable d'homogénéité », au crayon, est écrite au-dessus de \(x_0\) ; le \(z\) est surchargé en \(2\) ou l'inverse, lu \(z\) d'après la p. 23. Sous ces quatre lignes, un trait ; le reste de la page est blanc.

25\[ \sigma_0 s_i = -(1+\alpha_i)s_0 + (1+\alpha_i)s_1 + s_i \qquad i\ge 2 \] \[ \sigma_0 s_{i+1} = \sigma_0\sigma_i s_i = \sigma_i\sigma_0 s_i = -(1+\alpha_i)s_0 + (1+\alpha_i)s_1 + s_{i+1} \] Ainsi sur la page : les indices de \(\alpha\) dans ces deux lignes ne suivent pas ceux de \(s\). \[ \begin{aligned} \sigma_i s_j &= s_j \quad 0\le j\le i-1\\ \sigma_i s_i &= s_{i+1}\\ \sigma_i s_{i+1} &= s_i\\ \sigma_i s_{i+2} &= (\underbrace{0, \dots, 0}_{i-1},\ -(1+\alpha_i),\ (1+\alpha_i),\ 1,\ 0, 0, \dots) = s_{i+2} + (1+\alpha_i)(s_{i+1} - s_i)\\ &= -(1+\alpha_i)s_i + (1+\alpha_i)s_{i+1} + s_{i+2} \end{aligned} \]

\(\sigma_i s_{i+2}\) […] pour \(0\le i\le n\) \[ \boxed{\sigma_i s_j = \begin{cases} s_j & \text{si } 0\le j\le i-1\\ s_{i+1} & \text{si } j = i\\ s_i & \text{si } j = i+1\\ -(1+\alpha_i)s_i + (1+\alpha_i)s_{i+1} + s_j & \text{si } i+2\le j\le n+1 \end{cases}} \] \[ \struck{\sigma_i s_j - s_j =} \quad \sigma_i - \mathrm{id} = \ell_i \otimes (s_{i+1} - s_i), \qquad \ell_i = s'_i - s'_{i+1} + (1+\alpha_i)(s'_{i+2} + \cdots + s'_{n+1}) \] \(\sigma_i x = x +\) \[ \sigma_i s_j - s_j = \begin{cases} 0 & \text{si } 0\le j\le i-1\\ s_{i+1} - s_i & \text{si } j = i\\ -(s_{i+1} - s_i) & \text{si } j = i+1\\ (1+\alpha_i)(s_{i+1} - s_i) & \text{si } j\ge i+2 \end{cases} \]

\(n\)-quasi-polyèdres (vieilles rédactions)

Titre de sa main, au crayon, sur la feuille de couverture p. 28 : « \(n\)-quasi-polyèdres (vieilles rédactions) ».

29\(n\)-Quasi-polyèdres réguliers en coordonnées […] \[ (1)\quad \begin{cases} \sigma_0,\dots,\sigma_n \in \mathrm{Aff}(E), & E \text{ affine de rang } n+1\\ \sigma_j\sigma_i = \sigma_i\sigma_j & \text{si } 0\le i,\ \struck{i+1}\ i+2\le j\le n \end{cases} \] \[ (2)\quad E_0 = \{s_0\} \subset E_1 \subset \cdots \subset E_n \quad \text{drapeau de } E \] \[ (3)\quad \begin{cases} \sigma_i E_j = E_j & \text{si } j\ne i\\ \sigma_i E_i \ne E_i \end{cases} \qquad (4)\quad \begin{cases} s_0\\ s_1 = \sigma_0 s_0\\ \cdots\\ s_i = \sigma_{i-1} s_{i-1} & (1\le i\le n+1)\\ \cdots\\ s_{n+1} = \sigma_n s_n \end{cases} \]

Prop \((s_0,\dots,s_{n+1})\) est une base affine de \(E\), et \[ \begin{aligned} (5)&\quad E_i = \struck{\ill{}}\ \mathrm{Env}(s_0,\dots,s_i)\\ (6)&\quad \sigma_k s_i = s_i \quad \text{si } 0\le i< k\le \struck{n+1}\ n \end{aligned} \] ⌜pour tout \(i\), \(0\le i\le n+1\),⌝ L'abréviation que nous rendons par \(\mathrm{Env}\) (l'engendré affine, semble-t-il) est lue « Env » à chaque occurrence de la page, sans certitude sur les deux dernières lettres. Dans (1), le « \(0\le i\) » est suivi d'un \(i+1\) biffé.

Par induction ⌜sur \(i\), on prouve que \((s_0,\dots,s_i)\) est affinement libre et⌝ (5)\(_i\) (6)\(_i\). Trivial si \(i=0\). Supposons ⌜\(i\ge 1\) et⌝ prouvé pour \(j<i\). Je dis […] : \[ \begin{cases} s_i \notin E_{i-1} \ (= \mathrm{Env}(s_0,\dots,s_{i-1}) \text{ par hyp.\ réc.})\\ E_i = \mathrm{Env}(E_{i-1}, s_i)\\ \sigma_k s_i = s_i \quad i<k\le n \end{cases} \] Si on avait \(s_i \in E_{i-1}\), i.e. \(\sigma_{i-1}s_{i-1} \in E_{i-1}\), comme \(\sigma_{i-1}s_j = s_j\) pour \(0\le j\le i-2\) et \(E_{i-1} = \mathrm{Env}(s_0,\dots,s_{i-1})\) par réc., on aurait \[ \sigma_{i-1}E_{i-1} = \mathrm{Env}(\underbrace{\sigma_{i-1}s_0}_{=s_0},\dots,\underbrace{\sigma_{i-1}s_{i-2}}_{=s_{i-2}},\underbrace{\sigma_{i-1}s_{i-1}}_{\in E_{i-1}}) \subset E_{i-1} \] donc \(\sigma_{i-1}E_{i-1} = E_{i-1}\), contrairement à (3 b), OK.

On a, comme \(\sigma_{i-1}E_i = E_i\) et \(s_{i-1} \in E_{i-1}\) (hyp. réc.) \(\subset E_i\), \(\sigma_{i-1}(s_{i-1}) \subset E_i\), i.e. \(s_i \in E_i\). Comme \(s_i \notin E_{i-1}\), on a donc \(E_i = \mathrm{Env}(E_{i-1}, s_i)\). Enfin, pour […] \(i<k\le n\), \[ \sigma_k s_i = \sigma_k\sigma_{i-1}s_{i-1} = \sigma_{i-1}(\sigma_k s_{i-1}) \overset{\text{réc}}{=} \sigma_{i-1}(s_{i-1}) = s_i. \] OK.

30On utilise les \(s_i\) (\(0\le i\le n+1\)) comme base de \(E\), […] […] comme origine, et les \[ (7)\quad e_i = s_i - s_0 \qquad 1\le i\le n+1 \] comme base de l'espace des translations \(V\) de \(E\). On va expliciter les matrices (à \(n+2\) lignes et \(n+2\) colonnes) des \(\sigma_i\), \(0\le i\le n\). Revient à la connaissance des \(\sigma_i s_j\), \(0\le i\le n\), \(0\le j\le n+1\). Je dis qu'il suffit de connaître \[ (8)\quad \underset{\textstyle \sigma_i^2 s_i}{\sigma_i s_{i+1}} = \struck{u_{i+1}}\ u_i, \qquad \sigma_i s_{i+2} = v_i \] Car on a \[ (9)\quad \begin{cases} \sigma_i s_j = s_j & \text{si } 0\le j< i\\ \sigma_i s_i = s_{i+1}\\ \sigma_i s_{i+1} = u_i \in E_{i+1} & E_{i+1} = \mathrm{Env}(E_{i-1}, s_{i+1}, u_i)\\ \sigma_i s_{i+2} = v_i \in E_{i+2} & E_{i+2} = \mathrm{Env}(E_{i+1}, v_i) \quad (0\le i\le n-1)\\ \sigma_i s_j = \sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2}(v_i) & \text{si } \uncertain{i+2< j\le n+1} \end{cases} \] Une flèche renvoie la condition « \((0\le i\le n-1)\) » à la ligne de \(v_i\). La condition sur \(j\) dans la dernière ligne est surchargée.

Car \(s_j = \sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2}\,s_{i+2}\), donc \[ \sigma_i s_j = \sigma_i\sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2}\,s_{i+2} = \sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2}\,\underbrace{\sigma_i s_{i+2}}_{v_i} \] Posons […] \(= s_0+\) \[ (\ill)\quad \begin{cases} u_i = (u_{i,1},\dots,u_{i,i+1}) = s_0 + \sum_{1\le k\le i+1} u_{i,k}\,e_k\\ v_i = (v_{i,1},\dots,v_{i,i+2}) = s_0 + \sum_{1\le k\le i+2} v_{i,k}\,e_k \end{cases} \] […] […] obtient si \(j\ge i+3\) \[ \begin{aligned} \sigma_i s_j &= \sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2}\,(s_0 + v_{i,1}e_1 + \cdots + v_{i,i+1}e_{i+1} + v_{i,i+2}e_{i+2})\\ &= s_0 + \sum_{1\le k\le i+1} v_{i,k}\,e_k + v_{i,i+2}\,e_j \end{aligned} \] i.e. \[ (10)\quad \begin{cases} \sigma_i s_j = (v_{i,1},\dots,v_{i,i+1},\ 0,\dots,0,\ \overset{j}{v_{i,i+2}},\ 0,\dots,0)\\ \qquad = s_0 + \sum_{1\le k\le i+1} v_{i,k}\,e_k + v_{i,i+2}\,e_j \end{cases} \quad \text{si } \struck{\ill{}}\ i+2\le j\le n+1 \]

31compte tenu que, pour \(0\le i\le n-1\), \(\sigma_i e_i = e_{i+1}\). On a ⌜plus explicitement⌝ \[ (11)\quad \begin{cases} \sigma_i e_j = e_j & \text{si } 1\le j< i\\ \sigma_i e_i = e_{i+1} \quad \struck{(\text{si } i\ge 1)} & \\ \sigma_i e_{i+1} = \struck{\ldots} \begin{cases} u_0 - s_1 = (u_0-s_0) - e_1 = (u_{01}-1)\,e_1 & \text{si } i=0\\ u_i - s_0 = \sum_{1\le k\le i+1} u_{ik}\, e_k & \text{si } i\ge 1\end{cases}\\ \struck{\sigma_i e_{i+2} = \ldots}\\ \Bigl[\sigma_0 e_{i+2} = \Bigr] \begin{cases} v_0 - s_1 = (v_0-s_0) - e_1 = (v_{01}-1)\,e_1 + v_{0,2}\, e_2 & \text{si } i=0\\ v_i - s_0 = \sum_{1\le k\le i+2} v_{i,k}\, e_k & \text{si } i\ge 1\end{cases}\\ \sigma_i e_j = \begin{cases} (v_{01}-1)\,e_1 + v_{0j}\, e_j & \text{si } i=0\\ \sum_{1\le k\le i+1} v_{ik}\, e_k + v_{i,i+2}\, e_j & \text{si } i\ge 1\end{cases}\\ \qquad \text{si } i+2\le j\le n+1 \end{cases} \] « plus explicitement » est écrit sous « compte tenu », en interligne. La ligne \(\sigma_i e_{i+2}\) est biffée et récrite, entre crochets, en \(\sigma_0 e_{i+2}\) ; les bornes des sommes sont lues sur des indices très petits.

Conditions

Points fixes de \(\sigma_0\)

\(\sigma_0 =\) \[ (12)\quad \sigma_0 = \begin{pmatrix} u_{01}-1 & v_{01}-1 & v_{01}-1 & v_{01}-1 & \cdots & v_{01}-1 & 1\\ 0 & v_{02} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & v_{02} & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & v_{02} & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & v_{02} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Les colonnes sont numérotées \(1, 2, \dots, n+1, n+2\) en tête, les lignes \(1, 2, \dots, n+1, n+2\) en marge gauche ; la dernière colonne est celle de la translation.

\[ (13)\quad \sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(1 + (u_{01}-1)\,x_1 + (v_{01}-1)\,\Sigma_0,\ v_{02}\,x_2,\ \dots,\ v_{02}\,x_{n+1}\bigr), \] \[ \Sigma_0 = x_2 + \cdots + x_{n+1} \] \[ (14)\quad H_0 : \begin{cases} 1 + (u_{01}-2)\,x_1 + (v_{01}-1)\,\Sigma_0 = 0\\ (v_{02}-1)\,x_2 = \cdots = (v_{02}-1)\,x_{n+1} = 0 \end{cases} \] C'est une réflexion projective sss les dernières relations sont conséquences de la première homogénéisée, ou encore sss \(\boxed{v_{02} = 1}\). Je vais prendre […] \(\sigma_0\) les paramètres libres \(u_{01}, v_{01}\), […] \(\lambda_0\) et \(\mu_0\) : \[ (15)\quad \sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(1 + (\lambda_0-1)\,x_1 + (\mu_0-1)\,\Sigma_0,\ x_2,\ \dots,\ x_{n+1}\bigr), \qquad \Sigma_0 = x_2+\cdots+x_{n+1} \]

32\[ (16)\quad \sigma_i = \left(\begin{array}{ccc|c|ccccc|c} 1 & & 0 & 0 & u_{i1} & v_{i1} & v_{i1} & \cdots & v_{i1} & 0\\ & \ddots & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & & 1 & 0 & u_{i,i-1} & v_{i,i-1} & v_{i,i-1} & \cdots & v_{i,i-1} & 0\\ & & & 0 & u_{i,i} & v_{i,i} & v_{i,i} & \cdots & v_{i,i} & 0\\ & 0 & & 1 & u_{i,i+1} & v_{i,i+1} & v_{i,i+1} & \cdots & v_{i,i+1} & 0\\ & & & 0 & 0 & v_{i,i+2} & 0 & \cdots & 0 & 0\\ & & & 0 & 0 & 0 & v_{i,i+2} & & 0 & 0\\ & & & \vdots & \vdots & & & \ddots & & \vdots\\ & & & 0 & 0 & 0 & 0 & & v_{i,i+2} & 0\\ \hline 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) \] Matrice dessinée par blocs : un bloc identité de taille \(i-1\) en haut à gauche, des blocs nuls figurés par de grands zéros ovales ; la disposition ci-dessus suit le dessin sans le reproduire exactement. Plusieurs indices du bloc central sont repassés et incertains.

\[ (17)\quad \begin{aligned} \sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(&x_1 + u_{i1}\,x_{i+1} + v_{i1}\,\Sigma_i,\ x_2 + u_{i2}\,x_{i+1} + v_{i2}\,\Sigma_i,\ \dots\\ &\dots,\ x_{i-1} + u_{i,i-1}\,x_{i+1} + v_{i,i-1}\,\Sigma_i ;\\ &u_{i,i}\,x_{i+1} + v_{i,i}\,\Sigma_i,\ x_i + u_{i,i+1}\,x_{i+1} + v_{i,i+1}\,\Sigma_i ;\\ &v_{i,i+2}\,x_{i+2},\ \dots,\ v_{i,i+2}\,x_{n+1}\bigr), \end{aligned} \] \[ \Sigma_i = x_{i+2} + \cdots + x_{n+1} \] \[ (18)\quad H_i = \begin{cases} u_{i1}\,x_{i+1} + v_{i1}\,\Sigma_i = \uncertain{u_{i2}\,x_{i+1} + v_{i2}\,\Sigma_i} = \cdots = u_{i,i-1}\,x_{i+1} + v_{i,i-1}\,\Sigma_i = 0\\ \add{-x_i+}\ u_{ii}\,x_{i+1} + v_{ii}\,\Sigma_i = 0,\quad x_i + (u_{i,i+1}-1)\,x_{i+1} + v_{i,i+1}\,\Sigma_i = 0\\ (v_{i,i+2}-1)\,x_{i+2} = \cdots = (v_{i,i+2}-1)\,x_{n+1} = 0 \end{cases} \]

\(\sigma_i\) est une réflexion sss ces relations sont conséquences de la \(i\)-ième (qui exprime \(x_i\) comme combinaison linéaire de \(x_{i+1},\dots,x_{n+1}\)). Ceci signifie : \[ (19)\quad \begin{cases} u_{ii} + u_{i,i+1} = 1, & v_{i,i} + v_{i,i+1} = 0\\ v_{i,i+2} = 1\\ u_{i1} = \cdots = u_{i,i-1} = 0, & v_{i1} = \cdots = v_{i,i-1} = 0 \end{cases} \] donc les seuls paramètres qui restent sont \(u_{i,i} = \lambda_i\) et \(v_{i,i} = \mu_i\) (définis pour \(0\le i\le n-1\), pas pour \(\sigma_n\)), ([…]) \[ (20)\quad \begin{aligned} \sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(&x_1,\dots,x_{i-1},\ \lambda_i\,x_{i+1} + \mu_i\,\Sigma_i,\\ &x_i + (1-\lambda_i)\,x_{i+1} - \mu_i\,\Sigma_i,\ x_{i+2},\dots,x_{n+1}\bigr), \end{aligned} \] \[ \Sigma_i = x_{i+2}+\cdots+x_{n+1} \]

33On a (\(1\le i\le n\)) \[ \sigma_i^2(x_1,\dots,x_{n+1}) = (x_1,\dots,x_{i-1};\ X_i,\ X_{i+1},\ x_{i+2},\dots,x_{n+1}) \] \[ \begin{aligned} X_i &= \lambda_i\bigl[x_i + (1-\lambda_i)\,x_{i+1} - \mu_i\,\Sigma_i\bigr] + \mu_i\,\Sigma_i = \lambda_i\,x_i + \lambda_i(1-\lambda_i)\,x_{i+1}\\ X_{i+1} &= \bigl[\lambda_i\,x_{i+1} + \mu_i\,\Sigma_i\bigr] + (1-\lambda_i)\bigl[x_i + (1-\lambda_i)\,x_{i+1} - \mu_i\,\Sigma_i\bigr] - \mu_i\,\Sigma_i\\ &= (1-\lambda_i)\,x_i + x_{i+1} + (1-\lambda_i)\,\mu_i\,\Sigma_i \end{aligned} \] Des traits obliques relient les termes en \(\mu_i\Sigma_i\) qui se compensent. Le coefficient de \(x_{i+1}\) dans \(X_{i+1}\) est écrit \(1\), comme sur la page.

On a \(X_i \equiv x_i\) sss \(\lambda_i = 1\), \(X_{i+1} \equiv x_{i+1}\) sss \(\lambda_i = 1\) \((21)\ \boxed{\sigma_i^2 = \mathrm{id} \text{ sss } \lambda_i = 1}\)

[…] \[ \sigma_0^2(x_1,\dots,x_{n+1}) = (X_1,\ x_2,\ \dots,\ x_{n+1}) \] \[ \begin{aligned} X_1 &= 1 + (\lambda_0-1)\bigl[1 + (\lambda_0-1)\,x_1 + (\mu_0-1)\,\Sigma_0\bigr] + (\mu_0-1)\,\Sigma_0\\ &= \lambda_0 + (\lambda_0-1)^2\,x_1 + \lambda_0(\mu_0-1)\,\Sigma_0 \end{aligned} \] \(X_1 \equiv x_1\) sss \(\lambda_0 = 0\), i.e. \((22)\ \boxed{\sigma_0^2 = \mathrm{id} \text{ sss } \lambda_0 = 0}\)

34\[ \begin{cases} \sigma_0(x,y) = \bigl(1 + (\lambda_0-1)\,x + (\mu_0-1)\,y,\ y\bigr) = \bigl(1 + (\lambda_0-1)\,x + \alpha_0\,y,\ y\bigr)\\ \qquad = (1 + \eta_0\,x + \alpha_0\,y,\ y)\\ \sigma_1(x,y) = \bigl(\lambda_1\,y,\ x + (1-\lambda_1)\,y\bigr) \end{cases} \] \(k\) corps de car. \(p \ge 0\).

Partie homogène de \(\sigma_0\) : \(\begin{pmatrix}\eta_0 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)

\(\det(t\,\mathrm{id} - \sigma_{0v}) =\) valeurs propres : \(1\) et \(\lambda_0 - 1 = \eta_0\).

\(\sigma_0\) \[ \begin{pmatrix}a & c\\ 0 & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a' & c'\\ 0 & b'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}aa' & ac' + b'c\\ 0 & bb'\end{pmatrix} \overset{\text{si } b'=1}{=} \begin{pmatrix}aa' & c + ac'\\ 0 & b\end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix}a & c\\ 0 & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\eta_0 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\eta_0\,a & c + \alpha_0\,a\\ 0 & b\end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix}\eta_0 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}\eta_0^2 & \alpha_0 + \uncertain{\alpha_0\eta_0}\\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}\eta_0 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix}\eta_0^3 & \alpha_0(1 + \eta_0 + \eta_0^2)\\ 0 & 1\end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix}\eta_0 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}\eta_0^n & \alpha_0(1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{n-1})\\ 0 & 1\end{pmatrix} \] Le second coefficient du carré est surchargé et en partie biffé.

\[ \sigma_{0v}^n = 1 \iff \begin{cases} \eta_0^n = 1 & \text{i.e. } (\eta_0 - 1)(1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{n-1}) = 0\\ \struck{\alpha_0 \ldots} & \alpha_0(1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{n-1}) = 0 \end{cases} \] \(\Updownarrow\)

\(\sigma_0^n\) une translation. Deux cas :

Dans a), la parenthèse est très surchargée : « \(\eta_0 \ne 1\) ou \(p\nmid n\) » est une lecture, le signe de non-divisibilité étant un trait épais.

\(\sigma_0^n(0) = {?}\) \(\sigma_0(0) = (1,0)\), \(\sigma_0^2(0) = (1+\eta_0 \ldots\) \[ \begin{aligned} \sigma_0(x,0) &= (1 + \eta_0\,x,\ 0)\\ \sigma_0^2(x,0) &= 1 + \eta_0 + \eta_0^2\,x\\ \sigma_0^3(x,0) &= 1 + \eta_0 + \eta_0^2 + \eta_0^3\,x\\ &\cdots\\ \sigma_0^n(x,0) &= 1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{n-1} + \eta_0^n\,x =\\ &\qquad \begin{cases} (\text{cas a}) & \eta_0^n\,x = x\\ (\text{cas b}) & \text{translation par } (n,0) \text{ (qui est } \ill \text{ par l'} \ill\text{)} \end{cases} \end{aligned} \]

35On trouve donc \[ \sigma_0^{\varepsilon} = \mathrm{id} \iff 1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{\varepsilon-1} = 0 \] donc

ordre de \(\sigma_0\) = ordre de \(\eta_0 \in k^*\) sauf si \(\eta_0 = 1\) ⌜i.e. \(\det\sigma_{0v} = 1\)⌝, auquel cas \(\sigma_{0v}\) est la transvection \(\begin{pmatrix}1 & \alpha_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) (qui est d'ordre \(1\) sss \(\alpha_0 = 0\), sinon d'ordre \(p\)) \[ \eta_0 = 1\ \begin{cases} \text{a)}\ \alpha_0 = \uncertain{1} & \sigma_0 = \mathrm{id}\quad \emph{cas impropre}\\[2pt] \text{b)}\ \alpha_0 \ne 1 & \begin{cases} p = 0 & \sigma_{0v} \text{ d'ordre infini, a fortiori } \sigma_0 \text{ d'ordre inf.}\\ p > 0 & \sigma_{0v} \text{ d'ordre } p,\ \sigma_0^p\ \struck{= \text{translation}}\ \ldots \end{cases} \end{cases} \] Dans a) et b), le chiffre après \(\alpha_0\) est repassé en encre plus foncée et se lit \(1\) ; la ligne précédente dit « d'ordre \(1\) sss \(\alpha_0 = 0\) ». Sous la ligne \(p>0\), un passage biffé de hachures obliques : […] \((p,0)\) […] ; \(p\mid n \Rightarrow \sigma_0^p = \mathrm{id}\) ; \(p\nmid n\) … \(\sigma_0\) d'ordre \(p^2\).

\[ \begin{aligned} \sigma_1^2(x,y) &= \bigl(\lambda_1\,x + \lambda_1(1-\lambda_1)\,y,\ (1-\lambda_1)\,x + (\lambda_1 + (1-\lambda_1)^2)\,y\bigr)\\ &= \bigl(\lambda_1\,x + \lambda_1(1-\lambda_1)\,y,\ (1-\lambda_1)\,x + (\lambda_1^2 - \lambda_1 + 1)\,y\bigr) \end{aligned} \] \[ \sigma_1 = \begin{pmatrix}0 & \lambda_1\\ 1 & 1-\lambda_1\end{pmatrix} \] \[ \det(t\,\mathrm{id} - \sigma_1) = t^2 - (1-\lambda_1)\,t - \lambda_1 = \struck{t^2 - (1+\delta)\,t + \delta} \] Valeurs propres \(\eta, \eta'\) : \(1\), \(-\lambda_1 = \delta_1\).

\(-\lambda_1 = \eta\eta'\), \(1 - \lambda_1 = \eta + \eta'\) ; \(-\lambda_1 = \delta_1 = \delta\) ; \(\eta\eta' = \delta\), \(\eta + \eta' = 1+\delta\) ; donc \(\eta^n = \eta'^n = 1 \Rightarrow \delta^n = 1\) ; \(\eta/\delta\), \(\eta'/\delta\) … ; \(x = \lambda_1 y\) Tout ce bloc est biffé de traits obliques et entouré ; les cadres et flèches qui en relient les morceaux ne sont pas reproduits.

Ordre de \(\sigma_1\) = ordre de \(\delta_1 \in k^*\), sauf si \(\delta = 1\), i.e. \(\lambda_1 = -1\) : \(\sigma_1(x,y) = (-y,\ x + 2y)\) transvection […] identité, d'ordre infini si \(p = 0\), d'ordre \(p\) sinon.

36\[ \begin{cases} \sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = (1 + \eta_0\,x_1 + \alpha_0\,\Sigma_0,\ x_2,\ \dots,\ x_{n+1})\\ \cdots\\ \sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(x_1,\dots,x_{i-1},\ -\eta_i\,x_{i+1} + (1+\alpha_i)\,\Sigma_i, & \\ \qquad x_i + (\eta_i + 1)\,x_{i+1} - (1+\alpha_i)\,\Sigma_i,\ x_{i+2},\dots,x_{n+1}\bigr) & (1\le i\le n-1)\\ \cdots\\ \sigma_n(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(x_1,\ \dots,\ x_{n-1},\ -\eta_n\,x_{n+1},\ x_n + (1+\eta_n)\,x_{n+1}\bigr) \end{cases} \]

Valeurs propres de \(\sigma_i\) : \(1\) de multiplicité \(n-1\), et \(\eta_i\).

Ordre de \(\sigma_i \overset{?}{=}\) ordre de \(\eta_i \in k^*\) si \(\eta_i \ne 1\).

« Étude locale » des \(n\)-polyèdres et des \(n\)-cartes (vieilles rédactions)

Titre de sa main, au crayon, sur la feuille de couverture p. 38 : « […] “étude locale” des \(n\)-polyèdres et des \(n\)-cartes (vieilles rédactions) ». Un premier mot, lourdement biffé, précède.

39Soit […] une variante combinatoire ⌜\(C\)⌝ de \(n\)-quelette \(E\) – un \(\Gamma_n\)-ensemble – où \[ \Gamma_n = \{\sigma_0, \dots, \sigma_n \mid \sigma_0^2 = \cdots = \sigma_n^2 = 1,\ \sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \text{ si } j\ge i+2\} \] Rappelons que les \(i\)-facettes de la carte sont les éléments de l'ens. \[ D_i = E/(\sigma_0, \dots, \widehat{\sigma_i}, \dots, \sigma_n) = E/\Gamma_n^{-}(i)\times\Gamma_n^{+}(i) \] ⌜où \(\Gamma_n^{-}(i) \subset \Gamma_n\), \(\Gamma_n^{+}(i) \subset \Gamma_n\) sont engendrés resp. par \(\sigma_0 \dots \sigma_{i-1}\), et \(\sigma_{i+1}, \dots, \sigma_n\)⌝. Considérons, pour \(f_i \in D_i\) fixé, l'ensemble des facettes ⌜\(f_j\)⌝ de \(C\) qui sont incidentes \(< f_i\), […] i.e. de dim. \(j < i\) et telles que \((f_j, f_i)\) proviennent d'un él. de \(E\). Soit \(E(i)^{+}\) \[ E^{-}(i) = E/\Gamma_n^{-}(i) \longrightarrow D_i \] ⌜« Drapeaux […] »⌝ […]

c'est un ens. où opère \(\Gamma_n^{+}(i) \simeq \Gamma_{i-1}\) […] fibres de \(D_i\) […] compatible […] […], et sauf erreur c'est une \((i-1)\)-quelette, ⌜[…]⌝ i.e. \(\sigma_0, \dots, \sigma_{i-1}\) et les produits ⌜de⌝ tels éléments qui commutent opèrent dans les fibres de \(E^{-}(i) \to D_i\). Ainsi fibre de ⌜\(E^{-}(i)\)⌝ correspond : […] […] \((i-1)\)-cartes combinatoires, dont les comp. connexes correspondent aux él. de \(D_i\) i.e. aux \(i\)-facettes \(f_i\). Soit les \((i-1)\)-cartes combinatoires quotients […] \(\Pi_{f_i}\) la fibre de \(f_i\). Les \(j\)-facettes sont Dans les énoncés de cette page, les signes \(\pm\) en exposant de \(\Gamma_n(i)\) et de \(E(i)\) sont repassés et en partie empâtés ; ils sont lus d'après la définition « engendrés par \(\sigma_0\dots\sigma_{i-1}\), et \(\sigma_{i+1},\dots,\sigma_n\) » et l'isomorphisme \(\Gamma_n^{+}(i)\simeq\Gamma_{i-1}\) tel qu'il est écrit, bien que ce dernier semble appeler \(\Gamma_n^{-}(i)\).

40les él. de \(E^{-}(i)_{f_i} / (\sigma_0, \dots, \widehat{\sigma_j}, \dots, \sigma_{i-1})\), i.e. les él. de \[ E^{-}(i)/(\sigma_0, \dots, \widehat{\sigma_j}, \dots, \sigma_{i-1}) \simeq E/(\sigma_0, \dots, \widehat{\sigma_j}, \dots, \widehat{\sigma_i}, \dots, \sigma_n) \] qui modulo s'envoient dans \(f_i \in D_i\), i.e. les drapeaux de type \((j, i)\) dont la composante de degré dim \(i\) est \(f_i\). Plus gén., les drapeaux de type \((j_1 < \cdots < j_p)\) (où \(0\le j_1 < \cdots < j_p \le i-1\)) sont les drapeaux de type \((j_1, \dots, j_p, i)\) de \(\Pi\) […] dont la composante de degré \(i\) est \(f_i\). On l'appelle ⌜« bord »⌝ le « bord » de la facette \(f_i\), notée \(\partial f_i\).

Dualement, considérons \[ E^{+}(i) = E/\Gamma_n^{+}(i) \longrightarrow D_i \ \overset{\text{\struck{?}}}{=}\ D_{i,i+1,\dots,n} \] La glose « \(= D_{i,i+1,\dots,n}\) », au crayon, est écrite au-dessus de la flèche. sur laquelle \(\Gamma_n^{+}(i) \simeq \struck{\ill{}}\ \Gamma_{n-i-1}\) opère, la projection étant \(D_i\). On trouve une ⌜variante de \((n-i-1)\)-carte⌝ \(n\)-quelette (sauf erreur), dont les facettes de dim. \(j\) (\(0\le j\le n-i-1\)) « sont » ⌜de \(\Pi\)⌝ les drapeaux de type \((i, i+j+1)\) dont la ⌜[…]⌝ composante de dim. \(i\) est un drapeau […] de type \((i, j)\), différent […].

On peut aussi, pour ⌜[…]⌝ ⌜\(j\ge i+2\)⌝ […] \[ f_i < f_j \] considérer \(E(i,j) = E/(\sigma_0 \dots \sigma_{i-1};\ \sigma_{j+1} \dots \sigma_n)\) La page s'arrête sur « considérer » ; la suite, si elle existe, est au-delà du lot. Le bas de la page est très chargé d'interlignes et de ratures, et la syntaxe exacte des deux dernières phrases reste incertaine.