Fonds Grothendieck, cote n° 70, pages 1–20 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-09-29) Opus 5.5 (claude-opus-5-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-30

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 70 Réalisations géométriques de structures combinatoires (n-polyèdres, n-hyperpolyèdres [2-polyèdres réguliers]…) (Vieilles rédactions) : notes manuscrites (s.d.). Pages 1 à 20 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 1 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. [à partir de 1976]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/70.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \supplied devient supplied (restitué par le transcripteur) ; \add devient add (ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \drawing devient note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète est une restitution (supplied), un ajout isolé est de l'auteur (add). Certains add sont donc encore des restitutions du transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Export TEI depuis la source LaTeX. Première passe de transcription.
n-polyèdres et n-hyperpolyèdres

Titre repris de la couverture (p. 1 des archivistes), au crayon, de sa main selon toute apparence ; le feuillet ne porte rien d'autre.

n-polyèdres réguliers en coordonnées affines universelles (vieilles rédactions)

Titre repris de la seconde couverture (p. 2), au crayon ; elle porte aussi la mention « (23 p) ». Les pp. 3–20 de ce lot ne font que dix-huit feuillets : la liasse annoncée se poursuit au-delà du lot.

n-polyèdres réguliers.

Considérons une n-carte régulière, définie par un espace homogène \underline{R} (repères) sous sous le groupe n-cartographique \mathfrak{G}_n = \Bigl\{ \sigma_0,\dots,\sigma_n \Bigm| \sigma_0^2=\dots=\sigma_n^2=1,\quad \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \ \text{si}\ \begin{cases} j\geq i+2 \\ 0\leq i,j\leq n \end{cases} \Bigr\} la notation \mathfrak{G}_n rend un G cursif bouclé, le même d'un bout à l'autre du lot.

tel que le stabilisateur \mathfrak{G}_{n,\underline{r}} de d'un \underline{r}\in\underline{R} soit distingué dans \mathfrak{G}_n, donc indépendant de \underline{r}, soit H, et \mathfrak{G}_n/H=\Gamma. On suppose que pour toute partie I de [0,n]\cap\mathbb{N} ne contenant pas deux entiers consécutifs, le produit de \sigma_I=\prod_{i\in I}\sigma_i\notin H, i.e. le produit \sigma_H sic : \sigma_H pour \sigma_I des \sigma_i dans \Gamma est \neq 1. inutile …

On pose \begin{cases} p_1 = \text{ordre de } \sigma_0\sigma_1 \\ \dots \\ p_n = \text{ordre de } \sigma_{n-1}\sigma_n \end{cases} \qquad \text{\emph{NB} les $p_i$ peuvent être infinis !} et on suppose 3\leq p_i\leq +\infty \qquad \text{pour } 1\leq i\leq n . On suppose ici que \Gamma est le groupe engendré par les \sigma_i, avec (en plus des relations plus haut définissant \mathfrak{G}_n) les relations supplémentaires (\sigma_{i-1}\sigma_i)^{p_i}=1 .

Si p_* = (p_1,\dots,p_n)\in\bigl([3,+\infty]\cap\mathbb{N}\bigr)^n , \Gamma=\Gamma_{p_*} est entièrement déterminé par p_* p_* et, quel que soit p_*, les conditions \sigma_I\neq 1 \ \text{dans}\ \Gamma_{p_*} sont satisfaites dans \Gamma=\Gamma_{p_*}. Tous les \underline{R} sont isom. entre eux, et quand on prend des \underline{R} munis d'un « repère » \underline{r}\in\underline{R}, ils sont canoniquement isom. entre eux, et com. isom. à \underline{R}_{p_*} = \mathfrak{G}_n/\Gamma_{p_*} écrit ainsi ; d'après la p. 3 on attendrait \mathfrak{G}_n/H, c'est-à-dire \Gamma_{p_*} lui-même comme ensemble. muni du repère image de 1\in\mathfrak{G}_n.

Pour toute partie H de \mathfrak{G} [0,n]\cap\mathbb{N}, on désigne par \mathfrak{G}_{n,H} le sous-groupe de \mathfrak{G}_n engendré par les \sigma_i, i\notin H. Donc H\subset K \Longrightarrow \mathfrak{G}_K\subset\mathfrak{G}_H , \qquad \underbrace{\underline{R}/\mathfrak{G}_K}_{=D_K} \longrightarrow \underbrace{\underline{R}/\mathfrak{G}_H}_{=D_H} . Si H=\{i\}, on trouve D_{\{i\}} = D_i = \text{ens. des $i$-facettes \add{du polyèdre régulier $\Pi$ défini par $\underline{R}$}}.

Sauf erreur, on est dans les conditions qu'il faut pour que la polyèdre comb. carte comb. régulière définie par le singulet \underline{R}\simeq\underline{R}_{p_*} soit définie par une géométrie d'incidence ayant D_i comme ens. des facettes \Pi de dim. i (donc soit un polyèdre comb. régulier).

Une réalisation géom. affine régulière (de \Pi sur un anneau comme le ) est la donnée

d'un torseur (espace affine) E sous un k-Module loc. libre de rang n+1 ; d'applications \varphi_i : D_i \longrightarrow \text{ens. des sous-espaces affines de dim.~$i$ dans $E$} \qquad (0\leq i\leq n) respectant les relations d'incidence, d'un homomorphisme de groupes avec condition supplémentaire : pour tout \mathrm{Aut}(\Pi)\to\mathrm{Aut\,aff}(E) compatible avec les \forall g\in\mathrm{Aut}(\Pi),\ \exists!\ \bar g\in\mathrm{Aff}(E)\ \text{tel que}\quad \bar g\circ\varphi_i=\varphi_i\circ g_{D_i}\quad \forall\, 0\leq i\leq n — cette unicité reste vraie fibre par fibre…

: vérifier Il revient au même de se donner une application \varphi_{\underline{R}} : \underline{R} \longrightarrow \struck{\mathrm{Rep\,aff}(E)}\ \mathrm{Drap.aff}_n(E) (drapeaux maximaux de E) et un homo qui un unique et un homo \mathfrak{G} \xrightarrow{\ \varphi_{\mathfrak{G}}\ } \mathrm{Aut\,aff}\,E compatible avec \varphi_{\underline{R}}, tel que les sommets des repères drapeaux de l'image de \underline{R} engendrent affinement E. (Ce qui implique l'unicité de \varphi_{\mathfrak{G}} éliminons éliminant…), et la condition suivante : le sous-groupe \mathfrak{G}_{\underline{r}} de \mathfrak{G} stabilisateur de la composante \underline{r}\in\underline{R}, opérant sur comme \mathfrak{G}, il suffit en fait, étant choisi grâce à l'identification \underline{R}\simeq\underline{R}_{p_*} une origine \underline{r}\in\underline{R}, de se donner \varphi_{\mathfrak{G}} et \varphi_{\underline{R}}(\underline{r})=r\in\mathrm{Drap.aff}_n(E), avec comme seules conditions que

si j\neq i, \sigma_j invarie f_i ; les g\cdot f_0 (g\in\mathfrak{G}=\Gamma) engendrent affinement E fibre par fibre…

E, de \varphi la marge gauche porte, en travers, une addition de quatre lignes que nous ne lisons pas ; « \varphi_{\mathfrak{G}} = \rho », sous \varphi_{\mathfrak{G}}, est une lecture incertaine d'un ajout interlinéaire.

Posons \begin{cases} s_0 = f_0 \\ s_1 = \sigma_0 f_0 \\ s_2 = \sigma_1 s_1 \\ \dots \\ s_i = \sigma_{i-1} s_{i-1} \\ \dots \\ s_{n+1} = \sigma_n s_n \end{cases} Je dis que les (s_i)_{0\leq i\leq n+1} forment une base affine de E fibre par fibre, et que f_i= env. aff. de (s_0,\dots,s_i), 0\leq i\leq n . Supposons prouvé, pour i donné, 0\leq i\leq n, que \{s_0,\dots,s_i\} est affinement libre fibre par fibre, que f_i= env. aff. de \{s_0,\dots,s_i\}, 0\leq i\leq n+1 et que \sigma_k s_j=s_j si j\leq i k>j (pour j\leq i). Prouvons que s_{i+1}=\sigma_i s_i n'est pas dans l'env. aff. f_i de \{s_0,\dots,s_i\}, et que f_{i+1} est l'env. aff. de \{s_0,\dots,s_i,\sigma_i s_i\}, puis que \sigma_k s_{i+1}=s_{i+1} si k>i+1.

D'abord, comme s_i\in f_i\subset f_{i+1} et \sigma_i fixe f_{i+1}, on a s_{i+1}=\sigma_i(s_i)\in f_{i+1}, donc il faut seulement prouver ( sur les fibres) que \sigma_i(s_i)\notin f_i. Mais si Mais si on avait \sigma_i(s_i)\in f_i, comme \sigma_i f_i\ldots f_{i+1}, donc \sigma_i on aurait \sigma_k f_i=f_i pour k\neq i, on aurait on aurait \sigma_i(f_i) = \sigma_i\,\mathrm{Env}(f_{i-1},s_i) = \mathrm{Env}\bigl(\underbrace{\sigma_i f_{i-1}}_{f_{i-1}},\ \underbrace{\sigma_i s_i}_{\in f_i}\bigr)\subset f_i la fin de la première ligne de la formule, raturée, n'est pas lue : . donc \sigma_i(f_i)=f_i, donc comme \sigma_j f_i=f_i pour j\neq i, on aurait \sigma_k f_i=f_i pour 0\leq k\leq n, donc f_i fixé par \Gamma=\mathfrak{G}, donc

(comme s_0\in f_i) \mathfrak{G}\cdot s_0\subset f_i, contrairement à l'hyp. que \mathfrak{G}\cdot s_0 engendre l'espace fibre par fibre. Il reste à prouver que \sigma_k s_{i+1}=s_{i+1}\quad\text{pour } n\geq k>i+1,\ \text{i.e.}\ \sigma_k\sigma_i s_i=\sigma_i s_i , or \sigma_k\sigma_i s_i = \sigma_i\underbrace{\sigma_k s_i}_{=s_i}\ (\text{car } k>i+1) = \sigma_i s_i ,\quad \text{OK.} un double trait souligne ce qui précède ; au-dessous, un mot .

\begin{cases} \{s_i\}_{0\leq i\leq n+1}\ \text{base affine fibre par fibre} \\ f_i=\mathrm{Env}(s_0,\dots,s_i) \quad \text{si } 0\leq i\leq n+1 \quad (\text{posant } f_{n+1}=E) \\ \sigma_k s_i = s_i \quad \text{si } \struck{k}\ 0\leq i<k\leq n \\ \sigma_i s_i = s_{i+1} \quad 0\leq i\leq n \end{cases} impliquent déjà que formellement que \sigma_j f_i = f_i \quad\text{si } j>i , donc il faut encore voir où que (clairement si j>i, et si j<i) \sigma_j f_i = f_i \quad\text{si } j<i . Sont Plus les relations ( ) \begin{cases} \sigma_i^2=1 \quad \struck{\ill{}} & 0\leq i\leq n \\ \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i & \text{si } 0\leq i\ \ill{} \\ (\sigma_{i-1}\sigma_i)^{p_i}=1 & 1\leq i\ \ill{} \end{cases}

e_i = s_i - s_0 \in V, \quad 1\leq i\leq n+1 \ \text{base de } V, \qquad s_0 \ \text{\emph{origine} de } E \begin{cases} \sigma_0 s_0 = s_1 \\ \sigma_0 s_1 = s_0 \\ \sigma_0 s_2 = s_2^0 \in f_2\smallsetminus f_1 \\ \sigma_0 s_3 = s_3^0 \in f_3\smallsetminus f_2 \\ \dots \\ \sigma_0 s_{n+1} = s_{n+1}^0 \in f_{n+1}\smallsetminus f_n \end{cases} \qquad \begin{aligned} s_2^0 &= s_0+\lambda_2^{01}e_1+\lambda_2^{02}e_2 \\ s_3^0 &= s_0+\lambda_3^{01}e_1+\lambda_3^{02}e_2+\lambda_3^{0\,\uncertain{3}}e_3 \\ &\dots \\ s_{n+1}^0 &= s_0+\lambda_{n+1}^{01}e_1+\lambda_{n+1}^{02}e_2+\dots+\lambda_{n+1}^{0,n+1}e_{n+1} \end{aligned} \begin{cases} \sigma_1 s_0 = s_0 \\ \sigma_1 s_1 = s_2 \\ \sigma_1 s_2 = s_1 \\ \sigma_1 s_3 = s_3^1 \in f_3\smallsetminus f_2 \\ \sigma_1 s_4 = s_4^1 \in f_4\smallsetminus f_2 \\ \dots \\ \sigma_1 s_{n+1} = s_{n+1}^1 \in f_{n+1}\smallsetminus f_n \end{cases} \qquad \begin{cases} \sigma_2 s_0 = s_0 \\ \sigma_2 s_1 = s_1 \\ \sigma_2 s_2 = s_3 \\ \sigma_2 s_3 = s_2 \\ \sigma_2 s_4 = s_4^2 \in f_4\smallsetminus f_3 \\ \dots \\ \sigma_2 s_{n+1} = s_{n+1}^2 \in f_{n+1}\smallsetminus f_n \end{cases} « f_4\smallsetminus f_2 » pour \sigma_1 s_4 est écrit ainsi ; le schéma des autres lignes donnerait f_4\smallsetminus f_3. \begin{cases} \sigma_i s_0 = s_0 \\ \sigma_i s_1 = s_1 \\ \dots \\ \sigma_i s_{i-1} = s_{i-1} \\ \sigma_i s_i = s_{i+1} \\ \sigma_i s_{i+1} = s_i \\ \sigma_i s_{i+2} = s_{i+2}^i \in f_{i+2}\smallsetminus f_{i+1} \\ \dots \\ \sigma_i s_{n+1} = s_{n+1}^i \in f_{n+1}\smallsetminus f_n \end{cases} \quad 0\leq i\leq \struck{\ill{}} \qquad \begin{cases} \sigma_n s_0 = s_0 \\ \sigma_n s_1 = s_1 \\ \dots \\ \sigma_n s_{n-1} = s_{n-1} \\ \sigma_n s_n = s_{n+1} \\ \sigma_n s_{n+1} = s_n \end{cases}

Compte tenu des relations de commutation, \sigma_0,\dots,\sigma_n sont déterminés quand on se donne les valeurs critiques \begin{aligned} \sigma_0 s_2 &= s_2^0\ (\in f_2) = s_0+\lambda_{01}e_1+\lambda_{02}e_2 \\ \sigma_1 s_3 &= s_3^1\ (\in f_3) = s_0+\lambda_{11}e_1+\lambda_{12}e_2+\lambda_{13}e_3 \\ &\dots \\ \sigma_{n-1} s_{n+1} &= s_{n+1}^{n-1}\ (\in f_{n+1}) = s_0+\lambda_{n-1,1}e_1+\lambda_{n-1,2}e_2+\dots+\lambda_{n-1,n+1}e_{n+1} \end{aligned} défini par une matrice à n lignes et n+1 colonnes \begin{pmatrix} \lambda_{01} & \lambda_{02} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \lambda_{11} & \lambda_{12} & \lambda_{13} & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & & & & & \\ \lambda_{n-1,1} & \lambda_{n-1,2} & \lambda_{n-1,3} & \lambda_{n-1,4} & \cdots & \lambda_{n-1,n+1} \end{pmatrix} une troisième ligne, commencée puis biffée, s'achevait sur \lambda_{24}. qui dépend a priori de 2+3+\dots+(n+1) = \frac{(n+2)(n+1)}{2}-1 = \frac{n(n+3)}{2} paramètres. En effet, on vérifie les \sigma_i s_j = \sigma_i\bigl(\sigma_{j-1}\,\struck{\sigma_{j-2}\cdots\sigma_{i+2}\,s_{i+2}}\bigr) = (\sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2})\,\sigma_i s_{i+2} \qquad j\geq i+3\ \text{i.e. } j-1\geq i+2 = (\sigma_{j-1}\sigma_{j-2}\cdots\sigma_{i+2})\,\underbrace{s_{i+2}^i}_{\in f_{i+2}} \qquad s_{i+2}^i = s_0+\lambda_{i1}e_1+\lambda_{i2}e_2+\dots+\lambda_{i,i+2}e_{i+2} = s_0+\lambda_{i1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1}+\lambda_{i,i+2}e_j (vrai aussi si j=i+2 donc) \boxed{\ \sigma_i s_j = (s_0+\lambda_{i1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1})+\lambda_{i,i+2}e_j \quad\text{si } j\geq i+2\ }

\sigma_i e_j = \begin{cases} e_j & \text{si } j<i \\ e_{i+1} & \text{si } j=i \\ e_i & \text{si } j=i+1 \\ \lambda_{i1}e_1+\lambda_{i2}e_2+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1}+\lambda_{i,i+2}e_j & \text{si } j\geq i+2 \end{cases} \qquad (i\geq 1) \det(\sigma_i|_V) = -(\lambda_{i,i+2})^{n-i} = \begin{cases} -1 & \text{si } n-i \text{ pair} \quad \text{ok} \\ -\lambda_{i,i+2} & \text{si } n-i \text{ impair} \end{cases} ( donc \lambda_{i,i+2}=+1) \sigma_0 e_j = \begin{cases} -e_1 & \text{si } j=1 \\ (\lambda_{01}-1)e_1+\lambda_{0,2}e_j & \text{si } j\geq 2 \end{cases} \qquad \sigma_0 s_1 \sigma_0 e_j = \sigma_0 s_j-\sigma_0 s_0 = \sigma_0 s_j - s_1, \qquad \det(\sigma_0|_V) = -(\lambda_{0,2})^n \sigma_0^2 s_j = \begin{cases} s_j & \text{si } j\leq 1 \\ \struck{\ill{}}\ \sigma_0(s_0+\lambda_{01}e_1+\lambda_{0,2}e_j) \end{cases} \struck{= s_0+e_1+}\qquad s_0+e_1\ \uncertain{-}\ \lambda_{01}e_1+\lambda_{02}\bigl[(\lambda_{01}-1)e_1+\lambda_{02}e_j\bigr] = s_0+(1-\lambda_{01})(1-\lambda_{02})e_1+\lambda_{02}^2e_j \begin{cases} (1-\lambda_{01})(1-\lambda_{02})=0 \\ (\lambda_{02})^2=1 \end{cases} \boxed{\ \sigma_i s_j = \begin{cases} s_j & \text{si } j<i \\ s_{i+1} & \text{si } j=i \\ s_i & \text{si } j=i+1 \\ s_0+\lambda_i(e_i+e_{i+1})+e_j & \text{si } j\geq i+2 \end{cases} \quad \text{on pose } e_0=0\ } \boxed{\ \begin{aligned} \sigma_0 e_j &= \begin{cases} -e_1 & j=1 \\ (\lambda_0-1)e_1+e_j & \text{si } j\geq 2 \end{cases} \\ \sigma_i e_j &= \begin{cases} e_j & \text{si } j<i \\ e_{i+1} & \text{si } j=i \\ e_i & \text{si } j=i+1 \\ \lambda_i(e_i+e_{i+1})+e_j & \text{autre (si } j\geq i+2) \end{cases} \quad (i\geq 1) \end{aligned}\ } les deux encadrés du bas donnent une forme déjà réduite à un paramètre \lambda_i par réflexion, anticipant ce que les pp. 15–18 établissent.

\boxed{\ \sigma_i s_j = s_j \quad\text{si } j\leq i-1\ } \qquad \boxed{\ \begin{cases} \sigma_i s_i = s_{i+1} \\ \sigma_i s_{i+1} = s_i \end{cases}\ } \sigma_i^2(s_j) = s_j \quad\text{si } j\leq i+1 \sigma_i^2 s_{i+2} = s_{i+2} \overset{?}{\Longrightarrow} \sigma_i^2 s_j = s_j \quad\text{si } j\geq i+3 \begin{aligned} \sigma_i(\sigma_i s_j) &= \sigma_i(s_0+\lambda_{i1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1}+\lambda_{i,i+2}e_j) \\ &= \underbrace{\sigma_i(s_0+\dots+\lambda_{i,i-1}e_{i-1})}_{s_0+\lambda_{i1}e_1+\dots+\lambda_{i,i-1}e_{i-1}} + (\lambda_{i,i}e_{i+1}+\lambda_{i,i+1}e_i) \\ &\quad + \lambda_{i,i+2}\underbrace{\sigma_i e_j}_{(\lambda_{i1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1})+\lambda_{i,i+2}e_j} \qquad (i\geq 1) \\ &= s_0+(\lambda_{i1}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i1})e_1+(\lambda_{i2}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i2})e_2+\dots \\ &\quad +(\lambda_{i,i-1}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i,i-1})e_{i-1} \\ &\quad +(\lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i,i})e_i \\ &\quad +(\lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i,i+1})e_{i+1} \\ &\quad +(\lambda_{i,i+2})^2e_j \end{aligned} \sigma_i^2 s_j = s_j \iff \begin{cases} \lambda_{i1}(1+\lambda_{i,i+2}) = \lambda_{i2}(1+\lambda_{i,i+2}) = \dots = \lambda_{i,i-1}(1+\lambda_{i,i+2}) = 0 \\ \lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{ii} = \lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i,i+1} = 0 \\ (\lambda_{i,i+2})^2 = 1 \end{cases} () pour (n\geq j\geq i+2\geq i\geq 1).

au bas de la page, esquisse d'une matrice par blocs : un bloc identité en haut à gauche (indice i marqué au-dessus), des zéros au-dessous, suivie d'un second bloc à peine indiqué ; précédée d'un mot .

\sigma_i s_j = \begin{cases} s_j & \text{si } j<i \\ s_{i+1} & \text{si } j=i \\ s_i & \text{si } j=i+1 \\ s_0+\lambda_{i,1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1}+\lambda_{i,i+2}e_j & \text{si } i+2\leq j\leq n+1 \\ & (\text{donc } 0\leq i\leq n-1) \end{cases} \begin{pmatrix} 0\leq i\leq n \\ 0\leq j\leq n+1 \end{pmatrix} la parenthèse des bornes est en marge gauche. \sigma_i e_j = \begin{cases} e_j & \text{si } j<i \\ e_{i+1} & \text{si } j=i \\ e_i & \text{si } j=i+1 \\ \lambda_{i,1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1}+\lambda_{i,i+2}e_j & \text{si } i+2\leq j\leq n+1 \\ & (\text{donc } 0\leq i\leq n-1) \end{cases} \qquad 1\leq i\leq n \sigma_0 e_j = \begin{cases} -e_1 & \text{si } j=1 \\ (\lambda_{0,1}-1)e_1+\lambda_{0,2}e_j & \text{si } 2\leq j\leq n+1 \end{cases} \sigma_0^2=\mathrm{id} \iff \begin{cases} (\lambda_{01}-1)(\lambda_{02}-1)=0 \\ \lambda_{02}^2=1 \end{cases} \sigma_i^2=\mathrm{id} \ (1\leq i\leq n-1) \iff \begin{cases} \lambda_{i1}(1+\lambda_{i,i+2}) = \lambda_{i2}(1+\lambda_{i,i+2}) = \dots = \lambda_{i,i-1}(1+\lambda_{i,i+2}) = 0 \\ \lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{ii} = \lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i,i+1} = 0 \\ (\lambda_{i,i+2})^2 = 1 \end{cases} NB ces équations si i\geq 2

\sigma_n^2=\mathrm{id} tjrs vérifié, \sigma_n est une réflexion.

Exprimons que \sigma_0 est une réflexion. en marge droite, une première matrice de \sigma_0, commencée (première ligne -1,\ \lambda_{01}-1,\ \lambda_{01}-1\cdots, première colonne de zéros), est biffée.

\sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = \sigma_0(s_0+x_1e_1+\dots+x_{n+1}e_{n+1}) \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & \lambda_{0,1}-1 & \lambda_{0,1}-1 & \cdots & \lambda_{01}-1 & 1 \\ 0 & \lambda_{0,2} & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{02} & & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & & \lambda_{02} & 0 \\ & & & & 0 & 1 \end{pmatrix} une accolade sous les colonnes porte « n+1 ». \sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = \struck{\ill{}}\ \bigl(1-x_1+(\lambda_{0,1}-1)(x_2+\dots+x_{n+1}),\ \lambda_{0,2}x_2,\ \dots,\ \lambda_{0,2}x_{n+1}\bigr)

Points fixes : H_0 : \begin{cases} (\lambda_{02}-1)x_i = 0 & \text{si } 2\leq i\leq n+1 \\ 2x_1+(1-\lambda_{01})(x_2+\dots+x_{n+1}) = 1 \end{cases} Si \lambda_{0,2}-1 inv. ces équations s'écrivent x_i=0, 2\leq i\leq n+1, \begin{cases} x_i = 0 & 2\leq i\leq n+1 \\ 2x_1\ \struck{\ill{}} = 1 \end{cases} donc c'est une sous-espace linéaire affine de dim. 0 (en \pm 2) si 2 inv. , et c'est vide si 2 nul dans k [ en car. 2, l'hyperplan : l'infini…] — donc ce n'est pas un hyperplan. Donc il faut que \lambda_{02}-1 soit non inv. i.e. nul sur les fibres, donc nilpotent, i.e. \lambda_{02}=1+\nu, \nu nilpotent. Alors les équations deviennent \begin{cases} \nu x_i = 0 & 2\leq i\leq n+1 \\ 2x_1+(1-\lambda_{01})(x_2+\dots+x_{n+1}) = 1 \end{cases} est un hyperplan sur chaque fibre, sauf en en car. 2 si \lambda_{0,1}=1, où c'est vide (mais alors on trouve l'hyperplan : l'infini). introduction de la variable 2 2x_1+(1-\lambda_{01})(x_2+\dots+x_{n+1})=2

Pour que ce soit un hyperplan, il faut (où la car. est \neq 2 ou \lambda_{01}-1 inv.), comme l'hyperplan H_0 H_0 contenu dans H_0' d'équation 2x_1+(1-\lambda_{01})(x_2+\dots+x_{n+1})=\uncertain{2}, il faut qu'il y ait égalité, donc que les équations \nu x_i=0 (2\leq i\leq n+1) soient conséquences de la précédente (vu de base…), d'évidence ceci exige que \nu=0. Si 2 . Mais (1-\lambda_{01}) , cas n=1 doit être traité à part… Si 2 est (1-\lambda_{01}) les trois dernières lignes sont biffées d'un trait ondulé.

inversibles, , (H_0')_t hyperplan : l'infini… deux premières lignes biffées en diagonale.

On exigera donc \lambda_{02} = 1 (ce qui suffit à impliquer \sigma_0^2=\mathrm{id}) et on posera \boxed{\ \lambda_{01} = 1+\alpha_0\ } de sorte que \alpha_0 est l'invariant modulaire du polygone régulier induit par \Pi dans f_2…

Exprimons que \sigma_i est une \begin{cases} \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & \alpha_0 & \alpha_0 & \cdots & \alpha_0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[2ex] \sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(1-x_1+\alpha_0(x_2+\dots+x_{n+1}),\ x_2,\ \dots,\ x_{n+1}\bigr) \\[1ex] H_0 : 2x_1\ \uncertain{-}\ \alpha_0(x_2+\dots+x_{n+1}) = 1 \end{cases}

Exprimons que \sigma_i est une réflexion (1\leq i\leq n-1). matrice par blocs de \sigma_i, (n+2)\times(n+2) : bloc identité d'ordre i-1 en haut à gauche ; bloc 2\times 2 \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} aux places i,i+1 ; à droite, sur les lignes 1 à i+1, les coefficients \lambda_{i1}\ \lambda_{i1}\cdots\lambda_{i1}, …, \lambda_{ii}\cdots\lambda_{ii}, \lambda_{i,i+1}\cdots\lambda_{i,i+1} ; sur les n-i dernières lignes, la diagonale \lambda_{i,i+2} ; dernière colonne de translation nulle, 1 en bas à droite. Les accolades marquent « i-1 », « 2 », « n-i », « i+1 ». \begin{aligned} \sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(&x_1+\lambda_{i1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}),\ x_2+\lambda_{i2}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}),\ \dots, \\ &x_{i-1}+\lambda_{i,i-1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}),\ x_{i+1}+\lambda_{i,i}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}), \\ &x_i+\lambda_{i,i+1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}),\ \lambda_{i,i+2}x_{i+2},\ \dots,\ \lambda_{i,i+2}x_{n+1}\bigr) \end{aligned}

le haut de la page, jusqu'à « \lambda_{i,i+2}=1 », est biffé de longues diagonales ; il est transcrit. \struck{\sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = (x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},x_i,\lambda_{i,i+2}x_{i+2},\lambda_{i,i+2}x_{i+3},\dots,\lambda_{i,i+2}x_{n+1})} \struck{H_i : \begin{cases} x_i = x_{i+1} \\ (\lambda_{i,i+2}-1)x_{i+2} = \dots = (\lambda_{i,i+2}-1)x_{n+1} = 0 \end{cases}} Si H_i' est l'hyperplan d'équation x_i=x_{i+1}, on a H_i\subset H_i', donc H_i n'est un hyperplan que si H_i=H_i', i.e. les équations (\lambda_{i,i+2}-1)x_{i+2}=\dots=(\lambda_{i,i+2}-1)x_{n+1}=0 sont conséquences de x_i=x_{i+1}, ce qui que si \lambda_{i,i+2}=1. (H_i)\quad \begin{cases} \lambda_{i1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}) = \lambda_{i2}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}) = \dots \\ \qquad = \lambda_{i,i-1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}) = 0 \\ \lambda_{i,i}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}) = x_i-x_{i+1} \\ \lambda_{i,i+1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}) = x_{i+1}-x_i \\ (\lambda_{i,i+2}-1)x_{i+2} = \dots = (\lambda_{i,i+2}-1)x_{n+1} = 0 \end{cases} (en plus, les conditions sur les \lambda_{i,j}, 1\leq j\leq i+2, exprimant \sigma_i^2=\mathrm{id}…)

Si par exemple : si on avait \lambda_{i,i+2}\neq 1, comme \lambda_{i,i+2}^2=1, on aurait \lambda_{i,i+2}=-1\neq 1 (car \neq 2), et les équations de H_i deviennent \begin{cases} x_{i+2} = \dots = x_{n+1} = 0 \\ \struck{\ill{} = \lambda_{i,i+1}\Sigma_i(x) = 0 \quad \Sigma_i(x)=x_{i+2}+\dots+x_{n+1}} \\ \struck{\ill{}\ x_i = x_{i+1}} \\ \struck{\ill{}} \end{cases} ce qui fait [n+1-(i+1)]+1 = n-i+1 équations si i\leq n, les premières équations indépendantes et comme i\leq n-1, on trouve une variété linéaire de codim. \geq 2. Donc on doit avoir \lambda_{i,i+2}=1, les équations de H_i deviennent

\begin{cases} \lambda_{i1}\Sigma_i(x) = \dots = \lambda_{i,i-1}\Sigma_i(x) = 0 \\ \lambda_{i,i}\Sigma_i(x) = x_i-x_{i+1} \\ \lambda_{i,i+1}\Sigma_i(x) = x_{i+1}-x_i \end{cases} \qquad \text{où } \Sigma_i(x) = x_{i+2}+\dots+x_{n+1} Si dans les \lambda_{ij}, 1\leq j\leq i-1, un est \neq nul, alors ces équations se réduisent à : \begin{cases} \Sigma_i(x) = 0 \\ x_i-x_{i+1} = 0 \end{cases} ce sont des équations linéaires indépendantes, donc H_i serait de codim. 2, donc pas un hyperplan. On veut donc \lambda_{i1} = \dots = \lambda_{i,i-1} = 0 et les équations se réduisent alors à : \lambda_{ii}\Sigma_i(x) = -\lambda_{i,i+1}\Sigma_i(x) = x_i-x_{i+1} . Si on avait \lambda_{ii}=\lambda_{i,i+1}=0, ces équations Les relations exprimant \sigma_i^2=\mathrm{id} se réduisent ici à : \lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+1}=0, de sorte qu'il reste un seul paramètre \lambda_{i,i+1}=1+\alpha_i, et on trouve matrice par blocs de \sigma_i : identité d'ordre i-1 en haut à gauche ; bloc \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} aux places i,i+1, suivi sur ces deux lignes de -(1+\alpha_i)\ \cdots\ -(1+\alpha_i) et (1+\alpha_i)\ \cdots\ (1+\alpha_i) ; identité sur le reste de la diagonale ; dernière colonne (0,\dots,0,1). Plusieurs entrées retouchées.

\begin{cases} \begin{aligned} \sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(&x_1,\dots,x_{i-1},\ x_{i+1}-(1+\alpha_i)(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}), \\ &x_i+(1+\alpha_i)(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}), \\ &x_{i+2},\dots,x_{n+1}\bigr) \end{aligned} \\[2ex] H_i :\ x_i-x_{i+1}+(1+\alpha_i)(x_{i+2}+\dots+x_{n+2}) = 0 \end{cases} « x_{n+2} » est écrit ainsi, pour x_{n+1}.

Ces résultats marchent aussi sur un anneau réduit. Pour un anneau quelconque [il y a lieu de faire poser] \lambda_{i,i+2} = 1+\nu \qquad \nu \text{ nilpotent} et les relations en car. rés. \neq 2 les relations qui expriment \sigma_i^2=\mathrm{id} deviennent \nu \begin{cases} \nu = 0 \\ \lambda_{i,1} = \dots = \lambda_{i,i-1} = 0 \\ \lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i+1}\ \struck{\ill{}} = \lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+1}\ \struck{\ill{}} = 0 \\ \struck{\nu^2=\ill{}} \end{cases} donc \lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+1} = -\nu\lambda_{ii} = -\nu(\lambda_{i,i+1})

Comme devant. Il reste à examiner ce qui se passe en car. rés. 2 (ou un anneau quelconque, si on veut…), où on trouve : \begin{cases} \underbrace{(2+\nu)}_{\text{nilpot.}}\lambda_{i,1} = (2+\nu)\lambda_{i,2} = \dots = (2+\nu)\lambda_{i,i-1} = 0 \\ \lambda_{ii}+\lambda_{i,i+1} = -\nu\lambda_{ii} = -\nu\lambda_{i,i+1} \\ \struck{\ill{}}\ \nu^2+2\nu = 0 \quad \text{i.e.}\quad \nu(2+\nu) = 0 \end{cases} \Longrightarrow\quad \lambda_{i,i+1} = -(1+\nu)\lambda_{ii} \qquad \struck{-\nu\lambda_{ii}=}\quad \nu\underbrace{\bigl[\lambda_{i,i+1}-\lambda_{ii}\bigr]}_{-(2+\nu)\lambda_{ii}} = 0 la troisième ligne du premier système, en car. rés. \neq 2, se lit \lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i+1} ; on attendrait \lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i}.

\text{II}\qquad \left.\begin{cases} (2+\nu)\lambda_{i,1} = \dots = (2+\nu)\lambda_{i,i-1} = 0 \\ \lambda_{i,i+1} = -(1+\nu)\lambda_{i,i} \\ \nu(2+\nu) = 0 \end{cases}\right] Reprenons les équations de H_i. H_i est contenu dans l'hyperplan H_i' d'équation \lambda_{ii}\Sigma_i(x) = x_i-x_{i+1} . Si on avait Si H_i était un hyperplan, on aurait H_i=H_i', i.e. les autres équations de H_i seraient conséquences de la précédente. Ce n'est possible manifestement que si \lambda_{i,1}=\dots=\lambda_{i,i-1}=0, \lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+1}=0, \lambda_{i,i+1}=1, OK…

NB \sigma_0 ne change que la première coordonnée, \sigma_i (1\leq i\leq n-1) que la i-ième et (i+1)-ième. Ceci implique que \sigma_i et \sigma_j commutent si j\geq i+2. \begin{aligned} \sigma_0\sigma_1(x_1,x_2,x_3,\dots,x_{n+1}) &= \sigma_0\bigl(x_2-(1+\alpha_1)\Sigma_1,\ x_1+(1+\alpha_1)\Sigma_1,\ x_3,\dots\bigr) \\ &= \bigl(1-x_2+(1+\alpha_1)\Sigma_1+\alpha_0(x_1+(1+\alpha_1)\Sigma_1+\Sigma_1), \\ &\qquad x_1+(1+\alpha_1)\Sigma_1,\ x_3,\dots,x_{n+1}\bigr) \\ &= \bigl(1+\alpha_0x_1-x_2+(1+\alpha_1+2\alpha_0+\alpha_0\alpha_1)\Sigma_1,\ x_1+(1+\alpha_1)\Sigma_1, \\ &\qquad x_3,\dots,x_{n+1}\bigr) \end{aligned} dans la dernière ligne, un premier coefficient de \Sigma_1 est biffé et remplacé au-dessous par (1+\alpha_1+2\alpha_0+\alpha_0\alpha_1). (\sigma_0\sigma_1)^p(x_1,x_2,\dots,x_{n+1}) = \bigl(F_p(\alpha_0,\alpha_1;x_1,\dots,x_{n+1}),\ G_p(\alpha_0,\alpha_1;x_1,\dots,x_{n+1}),\ x_3,\dots,x_{n+1}\bigr) Donc (\sigma_0\sigma_1)^p = \mathrm{id} \iff la phrase s'arrête là ; la page suivante reprend sous une autre forme (restrictions aux quotients du drapeau) et le calcul de (\sigma_0\sigma_1)^p n'est pas mené à terme dans ce lot.

(i\geq 1)\quad \begin{cases} \sigma_i|f_{i-1} = \mathrm{id} \\ \sigma_i|(f_{i+1}/f_{i-1}) = \text{échange des coordonnées } x_i,x_{i+1} \\ \sigma_i|E/f_{i+1} = \mathrm{id} \end{cases} \begin{cases} \sigma_0|f_1 = \text{échange de } s_0,s_1 \\ \sigma_0|E/f_1 = \mathrm{id} \end{cases} \struck{\ill{}}\ (i\geq 1)\quad \begin{cases} \sigma_i\sigma_{i+1}|f_{i-1} = \mathrm{id} \\ \sigma_i\sigma_{i+1}|f_{i+2}/f_{i-1} \overset{?}{=} \\ \sigma_i\sigma_{i+1}|E/f_{i+2} = \mathrm{id} \end{cases} \begin{cases} \sigma_0\sigma_1|f_2 \overset{?}{=} \\ \sigma_0\sigma_1|E/f_2 = \mathrm{id} \end{cases} les deux « \overset{?}{=} » restent sans membre de droite ; le reste de la page est blanc. La liasse annoncée « 23 p » sur la couverture se poursuit au-delà de ce lot.