Cote n° 70, pages 1–20

Cote n° 70 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Réalisations géométriques de structures combinatoires (n-polyèdres, n-hyperpolyèdres [2-polyèdres réguliers]…) (Vieilles rédactions) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

$n$-polyèdres et $n$-hyperpolyèdres

Titre repris de la couverture (p. 1 des archivistes), au crayon, de sa main selon toute apparence ; le feuillet ne porte rien d'autre.

$n$-polyèdres réguliers en coordonnées affines universelles (vieilles rédactions)

Titre repris de la seconde couverture (p. 2), au crayon ; elle porte aussi la mention « (23 p) ». Les pp. 3–20 de ce lot ne font que dix-huit feuillets : la liasse annoncée se poursuit au-delà du lot.

3$n$-polyèdres réguliers.

Considérons […] une $n$-carte régulière, définie par un espace homogène $\underline{R}$ ⌜(repères)⌝ sous sous le groupe $n$-cartographique \[ \mathfrak{G}_n = \Bigl\{ \sigma_0,\dots,\sigma_n \Bigm| \sigma_0^2=\dots=\sigma_n^2=1,\quad \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \ \text{si}\ \begin{cases} j\geq i+2 \\ 0\leq i,j\leq n \end{cases} \Bigr\} \] la notation $\mathfrak{G}_n$ rend un G cursif bouclé, le même d'un bout à l'autre du lot.

tel que le stabilisateur ⌜$\mathfrak{G}_{n,\underline{r}}$⌝ de d'un $\underline{r}\in\underline{R}$ soit distingué dans $\mathfrak{G}_n$, donc indépendant de $\underline{r}$, soit $H$, ⌜et $\mathfrak{G}_n/H=\Gamma$⌝. On suppose que pour toute partie $I$ de $[0,n]\cap\mathbb{N}$ ne contenant pas deux entiers consécutifs, le produit de $\sigma_I=\prod_{i\in I}\sigma_i\notin H$, i.e. le produit $\sigma_H$ sic : $\sigma_H$ pour $\sigma_I$ des $\sigma_i$ dans $\Gamma$ est $\neq 1$. inutile …

On pose \[ \begin{cases} p_1 = \text{ordre de } \sigma_0\sigma_1 \\ \dots \\ p_n = \text{ordre de } \sigma_{n-1}\sigma_n \end{cases} \qquad \text{\emph{NB} les $p_i$ peuvent être infinis !} \] et on suppose \[ 3\leq p_i\leq +\infty \qquad \text{pour } 1\leq i\leq n . \] On suppose ici que $\Gamma$ est le groupe engendré par les $\sigma_i$, avec (en plus des relations plus haut définissant $\mathfrak{G}_n$) les relations supplémentaires \[ (\sigma_{i-1}\sigma_i)^{p_i}=1 . \]

4Si \[ p_* = (p_1,\dots,p_n)\in\bigl([3,+\infty]\cap\mathbb{N}\bigr)^n , \] […] $\Gamma=\Gamma_{p_*}$ est entièrement déterminé par $p_*$ $p_*$ et, quel que soit $p_*$, les conditions […] \[ \sigma_I\neq 1 \ \text{dans}\ \Gamma_{p_*} \] sont satisfaites dans $\Gamma=\Gamma_{p_*}$. Tous les $\underline{R}$ sont isom. entre eux, et quand on prend des $\underline{R}$ munis d'un « repère » $\underline{r}\in\underline{R}$, ils sont canoniquement isom. entre eux, et ⌜com.⌝ isom. à \[ \underline{R}_{p_*} = \mathfrak{G}_n/\Gamma_{p_*} \] écrit ainsi ; d'après la p. 3 on attendrait $\mathfrak{G}_n/H$, c'est-à-dire $\Gamma_{p_*}$ lui-même comme ensemble. muni du repère image de $1\in\mathfrak{G}_n$.

Pour toute partie $H$ de $\mathfrak{G}$ $[0,n]\cap\mathbb{N}$, on désigne par $\mathfrak{G}_{n,H}$ le sous-groupe de $\mathfrak{G}_n$ engendré par les $\sigma_i$, $i\notin H$. Donc \[ H\subset K \Longrightarrow \mathfrak{G}_K\subset\mathfrak{G}_H , \qquad \underbrace{\underline{R}/\mathfrak{G}_K}_{=D_K} \longrightarrow \underbrace{\underline{R}/\mathfrak{G}_H}_{=D_H} . \] Si $H=\{i\}$, on trouve \[ D_{\{i\}} = D_i = \text{ens. des $i$-facettes \add{du polyèdre régulier $\Pi$ défini par $\underline{R}$}}. \]

5Sauf erreur, on est dans les conditions qu'il faut pour que la polyèdre comb. ⌜carte comb.⌝ régulière définie par le singulet $\underline{R}\simeq\underline{R}_{p_*}$ soit définie par une géométrie d'incidence ayant […] $D_i$ comme ens. des facettes ⌜$\Pi$⌝ de dim. $i$ (donc soit un polyèdre comb. régulier).

Une réalisation géom. ⌜affine régulière⌝ (de $\Pi$ […] sur un […] anneau […] comme le […]) est la donnée

a)d'un torseur (espace affine) ⌜$E$⌝ sous un $k$-Module loc. libre de rang $n+1$ ;
b)d'applications \[ \varphi_i : D_i \longrightarrow \text{ens. des sous-espaces affines de dim.~$i$ dans $E$} \qquad (0\leq i\leq n) \] respectant les relations d'incidence,
c)d'un homomorphisme de groupes avec condition supplémentaire […] : pour tout […] $\mathrm{Aut}(\Pi)\to\mathrm{Aut\,aff}(E)$ compatible avec les \[ \forall g\in\mathrm{Aut}(\Pi),\ \exists!\ \bar g\in\mathrm{Aff}(E)\ \text{tel que}\quad \bar g\circ\varphi_i=\varphi_i\circ g_{D_i}\quad \forall\, 0\leq i\leq n \] — cette unicité reste vraie fibre par fibre…

6: vérifier Il revient au même de se donner une application \[ \varphi_{\underline{R}} : \underline{R} \longrightarrow \struck{\mathrm{Rep\,aff}(E)}\ \mathrm{Drap.aff}_n(E) \] ⌜(drapeaux maximaux de $E$)⌝ et un homo […] qui […] un unique et un homo \[ \mathfrak{G} \xrightarrow{\ \varphi_{\mathfrak{G}}\ } \mathrm{Aut\,aff}\,E \] compatible avec $\varphi_{\underline{R}}$, tel que les sommets des repères drapeaux de l'image de $\underline{R}$ engendrent affinement $E$. (Ce qui implique l'unicité de $\varphi_{\mathfrak{G}}$ ⌜éliminons⌝ […] éliminant…), et la condition suivante : […] le sous-groupe $\mathfrak{G}_{\underline{r}}$ de $\mathfrak{G}$ stabilisateur de la composante $\underline{r}\in\underline{R}$, opérant sur […] comme […] […] $\mathfrak{G}$, il suffit en fait, étant choisi ⌜grâce à l'identification $\underline{R}\simeq\underline{R}_{p_*}$⌝ une origine $\underline{r}\in\underline{R}$, de se donner $\varphi_{\mathfrak{G}}$ et $\varphi_{\underline{R}}(\underline{r})=r\in\mathrm{Drap.aff}_n(E)$, avec comme seules conditions que

a)si $j\neq i$, $\sigma_j$ invarie $f_i$ ;
b)les $g\cdot f_0$ ($g\in\mathfrak{G}=\Gamma$) engendrent affinement $E$ fibre par fibre…

$E$, […] […] […] de $\varphi$ la marge gauche porte, en travers, une addition de quatre lignes que nous ne lisons pas ; « $\varphi_{\mathfrak{G}} = \rho$ », sous $\varphi_{\mathfrak{G}}$, est une lecture incertaine d'un ajout interlinéaire.

7Posons \[ \begin{cases} s_0 = f_0 \\ s_1 = \sigma_0 f_0 \\ s_2 = \sigma_1 s_1 \\ \dots \\ s_i = \sigma_{i-1} s_{i-1} \\ \dots \\ s_{n+1} = \sigma_n s_n \end{cases} \] Je dis que les $(s_i)_{0\leq i\leq n+1}$ forment une base affine de $E$ fibre par fibre, ⌜et que $f_i=$ env. aff. de $(s_0,\dots,s_i)$, $0\leq i\leq n$⌝ […]. Supposons prouvé, pour $i$ donné, ⌜$0\leq i\leq n$,⌝ que $\{s_0,\dots,s_i\}$ ⌜est⌝ affinement libre fibre par fibre, ⌜que $f_i=$ env. aff. de $\{s_0,\dots,s_i\}$⌝, $0\leq i\leq n+1$ […] et que $\sigma_k s_j=s_j$ si $j\leq i$ $k>j$ ⌜(pour $j\leq i$)⌝. Prouvons que $s_{i+1}=\sigma_i s_i$ n'est pas dans ⌜l'env. aff.⌝ $f_i$ de $\{s_0,\dots,s_i\}$, et que $f_{i+1}$ est l'env. aff. de $\{s_0,\dots,s_i,\sigma_i s_i\}$, puis que $\sigma_k s_{i+1}=s_{i+1}$ si $k>i+1$.

D'abord, comme $s_i\in f_i\subset f_{i+1}$ et $\sigma_i$ fixe $f_{i+1}$, on a $s_{i+1}=\sigma_i(s_i)\in f_{i+1}$, donc il faut seulement prouver ⌜([…] […] sur les fibres)⌝ que $\sigma_i(s_i)\notin f_i$. Mais si Mais si on avait $\sigma_i(s_i)\in f_i$, comme $\sigma_i f_i\ldots f_{i+1}$, donc $\sigma_i$ […] on aurait $\sigma_k f_i=f_i$ pour $k\neq i$, on aurait on aurait \[ \sigma_i(f_i) = \sigma_i\,\mathrm{Env}(f_{i-1},s_i) = \mathrm{Env}\bigl(\underbrace{\sigma_i f_{i-1}}_{f_{i-1}},\ \underbrace{\sigma_i s_i}_{\in f_i}\bigr)\subset f_i \] la fin de la première ligne de la formule, raturée, n'est pas lue : […]. donc $\sigma_i(f_i)=f_i$, donc comme $\sigma_j f_i=f_i$ pour $j\neq i$, on aurait $\sigma_k f_i=f_i$ pour $0\leq k\leq n$, donc $f_i$ fixé par $\Gamma=\mathfrak{G}$, donc

8(comme $s_0\in f_i$) $\mathfrak{G}\cdot s_0\subset f_i$, contrairement à l'hyp. que $\mathfrak{G}\cdot s_0$ engendre l'espace fibre par fibre. Il reste à prouver que \[ \sigma_k s_{i+1}=s_{i+1}\quad\text{pour } n\geq k>i+1,\ \text{i.e.}\ \sigma_k\sigma_i s_i=\sigma_i s_i , \] or \[ \sigma_k\sigma_i s_i = \sigma_i\underbrace{\sigma_k s_i}_{=s_i}\ (\text{car } k>i+1) = \sigma_i s_i ,\quad \text{OK.} \] un double trait souligne ce qui précède ; au-dessous, un mot […].

\[ \begin{cases} \{s_i\}_{0\leq i\leq n+1}\ \text{base affine fibre par fibre} \\ f_i=\mathrm{Env}(s_0,\dots,s_i) \quad \text{si } 0\leq i\leq n+1 \quad (\text{posant } f_{n+1}=E) \\ \sigma_k s_i = s_i \quad \text{si } \struck{k}\ 0\leq i<k\leq n \\ \sigma_i s_i = s_{i+1} \quad 0\leq i\leq n \end{cases} \] impliquent déjà que formellement que \[ \sigma_j f_i = f_i \quad\text{si } j>i , \] donc il faut encore voir où […] que (clairement si $j>i$, et si $j<i$) \[ \sigma_j f_i = f_i \quad\text{si } j<i . \] Sont Plus les relations ([…] […]) \[ \begin{cases} \sigma_i^2=1 \quad \struck{\ill{}} & 0\leq i\leq n \\ \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i & \text{si } 0\leq i\ \ill{} \\ (\sigma_{i-1}\sigma_i)^{p_i}=1 & 1\leq i\ \ill{} \end{cases} \]

9\[ e_i = s_i - s_0 \in V, \quad 1\leq i\leq n+1 \ \text{base de } V, \qquad s_0 \ \text{\emph{origine} de } E \] \[ \begin{cases} \sigma_0 s_0 = s_1 \\ \sigma_0 s_1 = s_0 \\ \sigma_0 s_2 = s_2^0 \in f_2\smallsetminus f_1 \\ \sigma_0 s_3 = s_3^0 \in f_3\smallsetminus f_2 \\ \dots \\ \sigma_0 s_{n+1} = s_{n+1}^0 \in f_{n+1}\smallsetminus f_n \end{cases} \qquad \begin{aligned} s_2^0 &= s_0+\lambda_2^{01}e_1+\lambda_2^{02}e_2 \\ s_3^0 &= s_0+\lambda_3^{01}e_1+\lambda_3^{02}e_2+\lambda_3^{0\,\uncertain{3}}e_3 \\ &\dots \\ s_{n+1}^0 &= s_0+\lambda_{n+1}^{01}e_1+\lambda_{n+1}^{02}e_2+\dots+\lambda_{n+1}^{0,n+1}e_{n+1} \end{aligned} \] \[ \begin{cases} \sigma_1 s_0 = s_0 \\ \sigma_1 s_1 = s_2 \\ \sigma_1 s_2 = s_1 \\ \sigma_1 s_3 = s_3^1 \in f_3\smallsetminus f_2 \\ \sigma_1 s_4 = s_4^1 \in f_4\smallsetminus f_2 \\ \dots \\ \sigma_1 s_{n+1} = s_{n+1}^1 \in f_{n+1}\smallsetminus f_n \end{cases} \qquad \begin{cases} \sigma_2 s_0 = s_0 \\ \sigma_2 s_1 = s_1 \\ \sigma_2 s_2 = s_3 \\ \sigma_2 s_3 = s_2 \\ \sigma_2 s_4 = s_4^2 \in f_4\smallsetminus f_3 \\ \dots \\ \sigma_2 s_{n+1} = s_{n+1}^2 \in f_{n+1}\smallsetminus f_n \end{cases} \] « $f_4\smallsetminus f_2$ » pour $\sigma_1 s_4$ est écrit ainsi ; le schéma des autres lignes donnerait $f_4\smallsetminus f_3$. \[ \begin{cases} \sigma_i s_0 = s_0 \\ \sigma_i s_1 = s_1 \\ \dots \\ \sigma_i s_{i-1} = s_{i-1} \\ \sigma_i s_i = s_{i+1} \\ \sigma_i s_{i+1} = s_i \\ \sigma_i s_{i+2} = s_{i+2}^i \in f_{i+2}\smallsetminus f_{i+1} \\ \dots \\ \sigma_i s_{n+1} = s_{n+1}^i \in f_{n+1}\smallsetminus f_n \end{cases} \quad 0\leq i\leq \struck{\ill{}} \qquad \begin{cases} \sigma_n s_0 = s_0 \\ \sigma_n s_1 = s_1 \\ \dots \\ \sigma_n s_{n-1} = s_{n-1} \\ \sigma_n s_n = s_{n+1} \\ \sigma_n s_{n+1} = s_n \end{cases} \]

10Compte tenu des relations de commutation, $\sigma_0,\dots,\sigma_n$ sont déterminés quand on se donne les […] valeurs critiques […] \[ \begin{aligned} \sigma_0 s_2 &= s_2^0\ (\in f_2) = s_0+\lambda_{01}e_1+\lambda_{02}e_2 \\ \sigma_1 s_3 &= s_3^1\ (\in f_3) = s_0+\lambda_{11}e_1+\lambda_{12}e_2+\lambda_{13}e_3 \\ &\dots \\ \sigma_{n-1} s_{n+1} &= s_{n+1}^{n-1}\ (\in f_{n+1}) = s_0+\lambda_{n-1,1}e_1+\lambda_{n-1,2}e_2+\dots+\lambda_{n-1,n+1}e_{n+1} \end{aligned} \] défini par une matrice à $n$ lignes et $n+1$ colonnes \[ \begin{pmatrix} \lambda_{01} & \lambda_{02} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \lambda_{11} & \lambda_{12} & \lambda_{13} & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & & & & & \\ \lambda_{n-1,1} & \lambda_{n-1,2} & \lambda_{n-1,3} & \lambda_{n-1,4} & \cdots & \lambda_{n-1,n+1} \end{pmatrix} \] une troisième ligne, commencée puis biffée, s'achevait sur $\lambda_{24}$. qui dépend a priori de \[ 2+3+\dots+(n+1) = \frac{(n+2)(n+1)}{2}-1 = \frac{n(n+3)}{2} \] paramètres. En effet, on vérifie les \[ \sigma_i s_j = \sigma_i\bigl(\sigma_{j-1}\,\struck{\sigma_{j-2}\cdots\sigma_{i+2}\,s_{i+2}}\bigr) = (\sigma_{j-1}\cdots\sigma_{i+2})\,\sigma_i s_{i+2} \qquad j\geq i+3\ \text{i.e. } j-1\geq i+2 \] \[ = (\sigma_{j-1}\sigma_{j-2}\cdots\sigma_{i+2})\,\underbrace{s_{i+2}^i}_{\in f_{i+2}} \qquad s_{i+2}^i = s_0+\lambda_{i1}e_1+\lambda_{i2}e_2+\dots+\lambda_{i,i+2}e_{i+2} \] \[ = s_0+\lambda_{i1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1}+\lambda_{i,i+2}e_j \] (vrai aussi si $j=i+2$ donc) \[ \boxed{\ \sigma_i s_j = (s_0+\lambda_{i1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1})+\lambda_{i,i+2}e_j \quad\text{si } j\geq i+2\ } \]

11\[ \sigma_i e_j = \begin{cases} e_j & \text{si } j<i \\ e_{i+1} & \text{si } j=i \\ e_i & \text{si } j=i+1 \\ \lambda_{i1}e_1+\lambda_{i2}e_2+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1}+\lambda_{i,i+2}e_j & \text{si } j\geq i+2 \end{cases} \qquad (i\geq 1) \] \[ \det(\sigma_i|_V) = -(\lambda_{i,i+2})^{n-i} = \begin{cases} -1 & \text{si } n-i \text{ pair} \quad \text{ok} \\ -\lambda_{i,i+2} & \text{si } n-i \text{ impair} \end{cases} \] ([…] ⌜donc⌝ $\lambda_{i,i+2}=+1$) \[ \sigma_0 e_j = \begin{cases} -e_1 & \text{si } j=1 \\ (\lambda_{01}-1)e_1+\lambda_{0,2}e_j & \text{si } j\geq 2 \end{cases} \qquad \sigma_0 s_1 \] \[ \sigma_0 e_j = \sigma_0 s_j-\sigma_0 s_0 = \sigma_0 s_j - s_1, \qquad \det(\sigma_0|_V) = -(\lambda_{0,2})^n \] \[ \sigma_0^2 s_j = \begin{cases} s_j & \text{si } j\leq 1 \\ \struck{\ill{}}\ \sigma_0(s_0+\lambda_{01}e_1+\lambda_{0,2}e_j) \end{cases} \] \[ \struck{= s_0+e_1+}\qquad s_0+e_1\ \uncertain{-}\ \lambda_{01}e_1+\lambda_{02}\bigl[(\lambda_{01}-1)e_1+\lambda_{02}e_j\bigr] = s_0+(1-\lambda_{01})(1-\lambda_{02})e_1+\lambda_{02}^2e_j \] \[ \begin{cases} (1-\lambda_{01})(1-\lambda_{02})=0 \\ (\lambda_{02})^2=1 \end{cases} \] \[ \boxed{\ \sigma_i s_j = \begin{cases} s_j & \text{si } j<i \\ s_{i+1} & \text{si } j=i \\ s_i & \text{si } j=i+1 \\ s_0+\lambda_i(e_i+e_{i+1})+e_j & \text{si } j\geq i+2 \end{cases} \quad \text{on pose } e_0=0\ } \] \[ \boxed{\ \begin{aligned} \sigma_0 e_j &= \begin{cases} -e_1 & j=1 \\ (\lambda_0-1)e_1+e_j & \text{si } j\geq 2 \end{cases} \\ \sigma_i e_j &= \begin{cases} e_j & \text{si } j<i \\ e_{i+1} & \text{si } j=i \\ e_i & \text{si } j=i+1 \\ \lambda_i(e_i+e_{i+1})+e_j & \text{autre (si } j\geq i+2) \end{cases} \quad (i\geq 1) \end{aligned}\ } \] les deux encadrés du bas donnent une forme déjà réduite à un paramètre $\lambda_i$ par réflexion, anticipant ce que les pp. 15–18 établissent.

12\[ \boxed{\ \sigma_i s_j = s_j \quad\text{si } j\leq i-1\ } \qquad \boxed{\ \begin{cases} \sigma_i s_i = s_{i+1} \\ \sigma_i s_{i+1} = s_i \end{cases}\ } \] \[ \sigma_i^2(s_j) = s_j \quad\text{si } j\leq i+1 \] \[ \sigma_i^2 s_{i+2} = s_{i+2} \overset{?}{\Longrightarrow} \sigma_i^2 s_j = s_j \quad\text{si } j\geq i+3 \] \[ \begin{aligned} \sigma_i(\sigma_i s_j) &= \sigma_i(s_0+\lambda_{i1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1}+\lambda_{i,i+2}e_j) \\ &= \underbrace{\sigma_i(s_0+\dots+\lambda_{i,i-1}e_{i-1})}_{s_0+\lambda_{i1}e_1+\dots+\lambda_{i,i-1}e_{i-1}} + (\lambda_{i,i}e_{i+1}+\lambda_{i,i+1}e_i) \\ &\quad + \lambda_{i,i+2}\underbrace{\sigma_i e_j}_{(\lambda_{i1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1})+\lambda_{i,i+2}e_j} \qquad (i\geq 1) \\ &= s_0+(\lambda_{i1}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i1})e_1+(\lambda_{i2}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i2})e_2+\dots \\ &\quad +(\lambda_{i,i-1}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i,i-1})e_{i-1} \\ &\quad +(\lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i,i})e_i \\ &\quad +(\lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i,i+1})e_{i+1} \\ &\quad +(\lambda_{i,i+2})^2e_j \end{aligned} \] \[ \sigma_i^2 s_j = s_j \iff \begin{cases} \lambda_{i1}(1+\lambda_{i,i+2}) = \lambda_{i2}(1+\lambda_{i,i+2}) = \dots = \lambda_{i,i-1}(1+\lambda_{i,i+2}) = 0 \\ \lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{ii} = \lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i,i+1} = 0 \\ (\lambda_{i,i+2})^2 = 1 \end{cases} \] ([…]) pour $(n\geq j\geq i+2\geq i\geq 1)$.

au bas de la page, esquisse d'une matrice par blocs : un bloc identité en haut à gauche (indice $i$ marqué au-dessus), des zéros au-dessous, suivie d'un second bloc à peine indiqué ; précédée d'un mot […].

13\[ \sigma_i s_j = \begin{cases} s_j & \text{si } j<i \\ s_{i+1} & \text{si } j=i \\ s_i & \text{si } j=i+1 \\ s_0+\lambda_{i,1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1}+\lambda_{i,i+2}e_j & \text{si } i+2\leq j\leq n+1 \\ & (\text{donc } 0\leq i\leq n-1) \end{cases} \] $\begin{pmatrix} 0\leq i\leq n \\ 0\leq j\leq n+1 \end{pmatrix}$ la parenthèse des bornes est en marge gauche. \[ \sigma_i e_j = \begin{cases} e_j & \text{si } j<i \\ e_{i+1} & \text{si } j=i \\ e_i & \text{si } j=i+1 \\ \lambda_{i,1}e_1+\dots+\lambda_{i,i+1}e_{i+1}+\lambda_{i,i+2}e_j & \text{si } i+2\leq j\leq n+1 \\ & (\text{donc } 0\leq i\leq n-1) \end{cases} \qquad 1\leq i\leq n \] \[ \sigma_0 e_j = \begin{cases} -e_1 & \text{si } j=1 \\ (\lambda_{0,1}-1)e_1+\lambda_{0,2}e_j & \text{si } 2\leq j\leq n+1 \end{cases} \] \[ \sigma_0^2=\mathrm{id} \iff \begin{cases} (\lambda_{01}-1)(\lambda_{02}-1)=0 \\ \lambda_{02}^2=1 \end{cases} \] \[ \sigma_i^2=\mathrm{id} \ (1\leq i\leq n-1) \iff \begin{cases} \lambda_{i1}(1+\lambda_{i,i+2}) = \lambda_{i2}(1+\lambda_{i,i+2}) = \dots = \lambda_{i,i-1}(1+\lambda_{i,i+2}) = 0 \\ \lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{ii} = \lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+2}\lambda_{i,i+1} = 0 \\ (\lambda_{i,i+2})^2 = 1 \end{cases} \] NB ces équations […] […] si $i\geq 2$

$\sigma_n^2=\mathrm{id}$ tjrs vérifié, $\sigma_n$ est une réflexion.

Exprimons que $\sigma_0$ est une réflexion. en marge droite, une première matrice de $\sigma_0$, commencée (première ligne $-1,\ \lambda_{01}-1,\ \lambda_{01}-1\cdots$, première colonne de zéros), est biffée.

$\sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = \sigma_0(s_0+x_1e_1+\dots+x_{n+1}e_{n+1})$ \[ \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & \lambda_{0,1}-1 & \lambda_{0,1}-1 & \cdots & \lambda_{01}-1 & 1 \\ 0 & \lambda_{0,2} & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{02} & & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & & \lambda_{02} & 0 \\ & & & & 0 & 1 \end{pmatrix} \] une accolade sous les colonnes porte « $n+1$ ». \[ \sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = \struck{\ill{}}\ \bigl(1-x_1+(\lambda_{0,1}-1)(x_2+\dots+x_{n+1}),\ \lambda_{0,2}x_2,\ \dots,\ \lambda_{0,2}x_{n+1}\bigr) \]

14Points fixes : \[ H_0 : \begin{cases} (\lambda_{02}-1)x_i = 0 & \text{si } 2\leq i\leq n+1 \\ 2x_1+(1-\lambda_{01})(x_2+\dots+x_{n+1}) = 1 \end{cases} \] […] Si $\lambda_{0,2}-1$ inv. ces équations s'écrivent $x_i=0$, $2\leq i\leq n+1$, \[ \begin{cases} x_i = 0 & 2\leq i\leq n+1 \\ 2x_1\ \struck{\ill{}} = 1 \end{cases} \] donc c'est une sous-espace linéaire affine de dim. $0$ […] ⌜(en $\pm 2$)⌝ […] si $2$ inv. […], et c'est vide si $2$ nul dans $k$ ⌜[[…] […] en car. $2$, l'hyperplan : l'infini…]⌝ — donc ce n'est pas un hyperplan. Donc il faut que $\lambda_{02}-1$ soit non inv. ⌜i.e. nul⌝ sur les fibres, donc nilpotent, i.e. $\lambda_{02}=1+\nu$, $\nu$ nilpotent. Alors les équations deviennent \[ \begin{cases} \nu x_i = 0 & 2\leq i\leq n+1 \\ 2x_1+(1-\lambda_{01})(x_2+\dots+x_{n+1}) = 1 \end{cases} \] est un hyperplan sur chaque fibre, sauf en en car. $2$ si $\lambda_{0,1}=1$, où c'est vide (mais alors on trouve l'hyperplan : l'infini). introduction de la variable $2$ […] […] […] $2x_1+(1-\lambda_{01})(x_2+\dots+x_{n+1})=2$

Pour que ce soit un hyperplan, il faut […] […] ⌜[…]⌝ (où la car. est $\neq 2$ […] ou $\lambda_{01}-1$ inv.), comme l'hyperplan $H_0$ $H_0$ contenu dans $H_0'$ d'équation $2x_1+(1-\lambda_{01})(x_2+\dots+x_{n+1})=\uncertain{2}$, il faut qu'il y ait égalité, donc que les équations $\nu x_i=0$ ⌜($2\leq i\leq n+1$)⌝ soient conséquences de la précédente ⌜(vu […] de base…)⌝, ⌜d'évidence⌝ ceci exige que $\nu=0$. Si $2$ […] […]. Mais $(1-\lambda_{01})$ […], […] […] […] […] […] […] […] cas $n=1$ doit être traité à part… Si $2$ est $(1-\lambda_{01})$ les trois dernières lignes sont biffées d'un trait ondulé.

15[…] inversibles, […] […] […] […] […], […] […] $(H_0')_t$ […] hyperplan : l'infini… deux premières lignes biffées en diagonale.

On exigera donc \[ \lambda_{02} = 1 \] (ce qui suffit à impliquer $\sigma_0^2=\mathrm{id}$) et on posera \[ \boxed{\ \lambda_{01} = 1+\alpha_0\ } \] de sorte que $\alpha_0$ est l'invariant modulaire du polygone régulier induit par $\Pi$ dans $f_2$…

Exprimons que $\sigma_i$ est une \[ \begin{cases} \sigma_0 = \begin{pmatrix} -1 & \alpha_0 & \alpha_0 & \cdots & \alpha_0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \\[2ex] \sigma_0(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(1-x_1+\alpha_0(x_2+\dots+x_{n+1}),\ x_2,\ \dots,\ x_{n+1}\bigr) \\[1ex] H_0 : 2x_1\ \uncertain{-}\ \alpha_0(x_2+\dots+x_{n+1}) = 1 \end{cases} \]

Exprimons que $\sigma_i$ est une réflexion ($1\leq i\leq n-1$). matrice par blocs de $\sigma_i$, $(n+2)\times(n+2)$ : bloc identité d'ordre $i-1$ en haut à gauche ; bloc $2\times 2$ $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ aux places $i,i+1$ ; à droite, sur les lignes $1$ à $i+1$, les coefficients $\lambda_{i1}\ \lambda_{i1}\cdots\lambda_{i1}$, …, $\lambda_{ii}\cdots\lambda_{ii}$, $\lambda_{i,i+1}\cdots\lambda_{i,i+1}$ ; sur les $n-i$ dernières lignes, la diagonale $\lambda_{i,i+2}$ ; dernière colonne de translation nulle, $1$ en bas à droite. Les accolades marquent « $i-1$ », « $2$ », « $n-i$ », « $i+1$ ». \[ \begin{aligned} \sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(&x_1+\lambda_{i1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}),\ x_2+\lambda_{i2}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}),\ \dots, \\ &x_{i-1}+\lambda_{i,i-1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}),\ x_{i+1}+\lambda_{i,i}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}), \\ &x_i+\lambda_{i,i+1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}),\ \lambda_{i,i+2}x_{i+2},\ \dots,\ \lambda_{i,i+2}x_{n+1}\bigr) \end{aligned} \]

16le haut de la page, jusqu'à « $\lambda_{i,i+2}=1$ », est biffé de longues diagonales ; il est transcrit. \[ \struck{\sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = (x_1,\dots,x_{i-1},x_{i+1},x_i,\lambda_{i,i+2}x_{i+2},\lambda_{i,i+2}x_{i+3},\dots,\lambda_{i,i+2}x_{n+1})} \] \[ \struck{H_i : \begin{cases} x_i = x_{i+1} \\ (\lambda_{i,i+2}-1)x_{i+2} = \dots = (\lambda_{i,i+2}-1)x_{n+1} = 0 \end{cases}} \] Si $H_i'$ est l'hyperplan d'équation $x_i=x_{i+1}$, on a $H_i\subset H_i'$, donc $H_i$ n'est un hyperplan que si $H_i=H_i'$, i.e. les équations $(\lambda_{i,i+2}-1)x_{i+2}=\dots=(\lambda_{i,i+2}-1)x_{n+1}=0$ sont conséquences de $x_i=x_{i+1}$, ce qui […] […] que si $\lambda_{i,i+2}=1$. \[ (H_i)\quad \begin{cases} \lambda_{i1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}) = \lambda_{i2}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}) = \dots \\ \qquad = \lambda_{i,i-1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}) = 0 \\ \lambda_{i,i}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}) = x_i-x_{i+1} \\ \lambda_{i,i+1}(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}) = x_{i+1}-x_i \\ (\lambda_{i,i+2}-1)x_{i+2} = \dots = (\lambda_{i,i+2}-1)x_{n+1} = 0 \end{cases} \] (en plus, les conditions sur les $\lambda_{i,j}$, $1\leq j\leq i+2$, […] exprimant $\sigma_i^2=\mathrm{id}$…)

Si par exemple : si on avait $\lambda_{i,i+2}\neq 1$, comme $\lambda_{i,i+2}^2=1$, on aurait $\lambda_{i,i+2}=-1\neq 1$ (car $\neq 2$), et les équations de $H_i$ deviennent \[ \begin{cases} x_{i+2} = \dots = x_{n+1} = 0 \\ \struck{\ill{} = \lambda_{i,i+1}\Sigma_i(x) = 0 \quad \Sigma_i(x)=x_{i+2}+\dots+x_{n+1}} \\ \struck{\ill{}\ x_i = x_{i+1}} \\ \struck{\ill{}} \end{cases} \] ce qui fait $[n+1-(i+1)]+1 = n-i+1$ équations si $i\leq n$, les premières équations […] […] indépendantes et comme $i\leq n-1$, on trouve une variété linéaire de codim. $\geq 2$. Donc on doit avoir $\lambda_{i,i+2}=1$, les équations de $H_i$ deviennent

17\[ \begin{cases} \lambda_{i1}\Sigma_i(x) = \dots = \lambda_{i,i-1}\Sigma_i(x) = 0 \\ \lambda_{i,i}\Sigma_i(x) = x_i-x_{i+1} \\ \lambda_{i,i+1}\Sigma_i(x) = x_{i+1}-x_i \end{cases} \qquad \text{où } \Sigma_i(x) = x_{i+2}+\dots+x_{n+1} \] Si dans les $\lambda_{ij}$, $1\leq j\leq i-1$, un est $\neq$ nul, alors ces équations se réduisent à : \[ \begin{cases} \Sigma_i(x) = 0 \\ x_i-x_{i+1} = 0 \end{cases} \] ce sont des équations linéaires indépendantes, donc $H_i$ serait de codim. $2$, donc pas un hyperplan. On veut donc \[ \lambda_{i1} = \dots = \lambda_{i,i-1} = 0 \] et les équations se réduisent alors à : \[ \lambda_{ii}\Sigma_i(x) = -\lambda_{i,i+1}\Sigma_i(x) = x_i-x_{i+1} . \] Si on avait $\lambda_{ii}=\lambda_{i,i+1}=0$, ces équations Les relations exprimant $\sigma_i^2=\mathrm{id}$ se réduisent ici à : $\lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+1}=0$, de sorte qu'il reste un seul paramètre $\lambda_{i,i+1}=1+\alpha_i$, et on trouve matrice par blocs de $\sigma_i$ : identité d'ordre $i-1$ en haut à gauche ; bloc $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ aux places $i,i+1$, suivi sur ces deux lignes de $-(1+\alpha_i)\ \cdots\ -(1+\alpha_i)$ et $(1+\alpha_i)\ \cdots\ (1+\alpha_i)$ ; identité sur le reste de la diagonale ; dernière colonne $(0,\dots,0,1)$. Plusieurs entrées retouchées.

18\[ \begin{cases} \begin{aligned} \sigma_i(x_1,\dots,x_{n+1}) = \bigl(&x_1,\dots,x_{i-1},\ x_{i+1}-(1+\alpha_i)(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}), \\ &x_i+(1+\alpha_i)(x_{i+2}+\dots+x_{n+1}), \\ &x_{i+2},\dots,x_{n+1}\bigr) \end{aligned} \\[2ex] H_i :\ x_i-x_{i+1}+(1+\alpha_i)(x_{i+2}+\dots+x_{n+2}) = 0 \end{cases} \] « $x_{n+2}$ » est écrit ainsi, pour $x_{n+1}$.

Ces résultats marchent aussi sur un anneau réduit. Pour un anneau quelconque [il y a lieu de faire poser] \[ \lambda_{i,i+2} = 1+\nu \qquad \nu \text{ nilpotent} \] et les relations en car. rés. $\neq 2$ les relations qui expriment $\sigma_i^2=\mathrm{id}$ deviennent $\nu$ \[ \begin{cases} \nu = 0 \\ \lambda_{i,1} = \dots = \lambda_{i,i-1} = 0 \\ \lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i+1}\ \struck{\ill{}} = \lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+1}\ \struck{\ill{}} = 0 \\ \struck{\nu^2=\ill{}} \end{cases} \] donc $\lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+1} = -\nu\lambda_{ii} = -\nu(\lambda_{i,i+1})$

Comme devant. Il reste à examiner ce qui se passe en car. rés. $2$ (ou un anneau quelconque, si on veut…), où on trouve : \[ \begin{cases} \underbrace{(2+\nu)}_{\text{nilpot.}}\lambda_{i,1} = (2+\nu)\lambda_{i,2} = \dots = (2+\nu)\lambda_{i,i-1} = 0 \\ \lambda_{ii}+\lambda_{i,i+1} = -\nu\lambda_{ii} = -\nu\lambda_{i,i+1} \\ \struck{\ill{}}\ \nu^2+2\nu = 0 \quad \text{i.e.}\quad \nu(2+\nu) = 0 \end{cases} \] \[ \Longrightarrow\quad \lambda_{i,i+1} = -(1+\nu)\lambda_{ii} \qquad \struck{-\nu\lambda_{ii}=}\quad \nu\underbrace{\bigl[\lambda_{i,i+1}-\lambda_{ii}\bigr]}_{-(2+\nu)\lambda_{ii}} = 0 \] la troisième ligne du premier système, en car. rés. $\neq 2$, se lit $\lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i+1}$ ; on attendrait $\lambda_{i,i+1}+\lambda_{i,i}$.

19\[ \text{II}\qquad \left.\begin{cases} (2+\nu)\lambda_{i,1} = \dots = (2+\nu)\lambda_{i,i-1} = 0 \\ \lambda_{i,i+1} = -(1+\nu)\lambda_{i,i} \\ \nu(2+\nu) = 0 \end{cases}\right] \] Reprenons les équations de $H_i$. $H_i$ est contenu dans l'hyperplan $H_i'$ d'équation \[ \lambda_{ii}\Sigma_i(x) = x_i-x_{i+1} . \] Si on avait Si $H_i$ était un hyperplan, on aurait $H_i=H_i'$, i.e. les autres équations de $H_i$ seraient conséquences de la précédente. Ce n'est possible manifestement que si $\lambda_{i,1}=\dots=\lambda_{i,i-1}=0$, $\lambda_{i,i}+\lambda_{i,i+1}=0$, $\lambda_{i,i+1}=1$, OK…

NB $\sigma_0$ ne change que la première coordonnée, $\sigma_i$ ($1\leq i\leq n-1$) que la $i$-ième et $(i+1)$-ième. Ceci […] ⌜implique⌝ que $\sigma_i$ et $\sigma_j$ commutent si $j\geq i+2$. \[ \begin{aligned} \sigma_0\sigma_1(x_1,x_2,x_3,\dots,x_{n+1}) &= \sigma_0\bigl(x_2-(1+\alpha_1)\Sigma_1,\ x_1+(1+\alpha_1)\Sigma_1,\ x_3,\dots\bigr) \\ &= \bigl(1-x_2+(1+\alpha_1)\Sigma_1+\alpha_0(x_1+(1+\alpha_1)\Sigma_1+\Sigma_1), \\ &\qquad x_1+(1+\alpha_1)\Sigma_1,\ x_3,\dots,x_{n+1}\bigr) \\ &= \bigl(1+\alpha_0x_1-x_2+(1+\alpha_1+2\alpha_0+\alpha_0\alpha_1)\Sigma_1,\ x_1+(1+\alpha_1)\Sigma_1, \\ &\qquad x_3,\dots,x_{n+1}\bigr) \end{aligned} \] dans la dernière ligne, un premier coefficient de $\Sigma_1$ est biffé et remplacé au-dessous par $(1+\alpha_1+2\alpha_0+\alpha_0\alpha_1)$. \[ (\sigma_0\sigma_1)^p(x_1,x_2,\dots,x_{n+1}) = \bigl(F_p(\alpha_0,\alpha_1;x_1,\dots,x_{n+1}),\ G_p(\alpha_0,\alpha_1;x_1,\dots,x_{n+1}),\ x_3,\dots,x_{n+1}\bigr) \] Donc $(\sigma_0\sigma_1)^p = \mathrm{id} \iff$ la phrase s'arrête là ; la page suivante reprend sous une autre forme (restrictions aux quotients du drapeau) et le calcul de $(\sigma_0\sigma_1)^p$ n'est pas mené à terme dans ce lot.

20\[ (i\geq 1)\quad \begin{cases} \sigma_i|f_{i-1} = \mathrm{id} \\ \sigma_i|(f_{i+1}/f_{i-1}) = \text{échange des coordonnées } x_i,x_{i+1} \\ \sigma_i|E/f_{i+1} = \mathrm{id} \end{cases} \] \[ \begin{cases} \sigma_0|f_1 = \text{échange de } s_0,s_1 \\ \sigma_0|E/f_1 = \mathrm{id} \end{cases} \] \[ \struck{\ill{}}\ (i\geq 1)\quad \begin{cases} \sigma_i\sigma_{i+1}|f_{i-1} = \mathrm{id} \\ \sigma_i\sigma_{i+1}|f_{i+2}/f_{i-1} \overset{?}{=} \\ \sigma_i\sigma_{i+1}|E/f_{i+2} = \mathrm{id} \end{cases} \] \[ \begin{cases} \sigma_0\sigma_1|f_2 \overset{?}{=} \\ \sigma_0\sigma_1|E/f_2 = \mathrm{id} \end{cases} \] les deux « $\overset{?}{=}$ » restent sans membre de droite ; le reste de la page est blanc. La liasse annoncée « 23 p » sur la couverture se poursuit au-delà de ce lot.

\(n\)-polyèdres et \(n\)-hyperpolyèdres

\(n\)-polyèdres réguliers en coordonnées affines universelles (vieilles rédactions)