Cote n° 70 · pages 1–125 · Lecture modernisée · Réalisations géométriques de structures combinatoires (n-polyèdres, n-hyperpolyèdres [2-polyèdres réguliers]…) (Vieilles rédactions) : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–123

Le fil du dossier, et les conventions

Les chemises et les stations

Huit feuilles de chemise, de sa main, découpent le dossier ; quatre portent un nombre de pages, et l'un au moins se vérifie exactement (« (23 p) » pour les pages 3 à 25). Elles donnent ses titres aux parties de cette lecture. Le mot « \(n\)-hyperpolyèdres » de la première chemise n'est repris nulle part ailleurs.

• Pages 1 à 25 : « \(n\)-polyèdres réguliers en coordonnées affines universelles ». Le polyèdre régulier universel de type \(\{p_1, \dots, p_n\}\) ; ses réalisations affines régulières sur un anneau ; le repère des sommets ; l'exigence que les générateurs soient des réflexions laisse \(n\) paramètres ; une forme normale.
• Pages 28 à 36 : « \(n\)-quasi-polyèdres ». Le même repère sans supposer que les générateurs soient des involutions : \(2n+1\) paramètres.
• Pages 38 à 47 : « étude locale » des \(n\)-polyèdres et des \(n\)-cartes. Bord et étoile d'une facette, sections, invariants ; représentation géométrique par des drapeaux, réalisations induites.
• Pages 49 à 59 : « 2-polyèdres repérés en coordonnées universelles ». Le cas de la dimension trois, avec ses points, droites et plans ; un feuillet isolé sur les groupoïdes (page 58).
• Pages 61 et 62 : le groupe modulaire et ses quotients modulo \(n\).
• Pages 64 à 71 : les trois réflexions en coordonnées, et la quadrique invariante, pour tous les types à la fois ; le tableau des solides de Platon et des polyèdres étoilés ; un cas hyperbolique.
• Pages 73 à 111 : « calculs en coordonnées universelles (icosaèdre) ». Trois passes sur l'icosaèdre au-dessus de l'anneau \(\mathbf{Z}[\alpha]/(\alpha^2 + \alpha - 1)\) : les réflexions, les douze sommets, le centre et l'antipodisme, la quadrique circonscrite et ses discriminants, les réalisations régulières et fidèles. Trois feuilles intercalées traitent d'autre chose (pages 100, 103, 105).
• Pages 113 à 119 : « position du problème des 2-polyèdres réguliers ». Drapeaux universels, polyèdre régulier dans un schéma, axiomes, questions.
• Page 120 : les « cocubes ».
• Pages 121 à 123 : « programme provisoire d'une théorie arithmétique des polyèdres réguliers ».

Aucune de ces rédactions ne renvoie à une autre. Elles sont rangées ici dans l'ordre des feuillets, qui n'est pas forcément celui de leur écriture : la dernière chemise porte « (10 p) », ce qui la ferait courir jusqu'à la page 123, mais les pages 120 à 123 ont leurs propres sujets.

Les dossiers voisins. Le groupe cartographique à \(n+1\) générateurs est celui de la lecture du dossier 76, qui le note \(G_n\) ; pour \(n = 2\), c'est le \(\widehat{\Gamma}\) des dossiers 86 et 88, dont on reprend les rotations \(\rho_f\), \(\rho_s\) et les cartes standards \(C_{p,q}\). Les drapeaux, les trois involutions et l'antipodisme de l'icosaèdre sont ceux du dossier 86, qui traite le même icosaèdre sans coordonnées. Les annonces de cours de 1977–1978 du dossier 75 décrivent exactement ce que font les pages 74 à 111 : réaliser l'icosaèdre « sur les réels et sur d'autres corps », la caractéristique \(2\) et la caractéristique \(5\) « jouant un rôle particulier », et construire « l'icosaèdre régulier général sur un anneau de base fini sur \(\mathbf{Z}\) ». La forme quadratique de la page 105 est celle de l'isomorphisme \(\mathrm{PGL}_2 \simeq \mathrm{SO}_3\) du dossier 82 ; le cube de la page 120 est celui du dossier 76, et le « cocube » le polytope croisé du dossier 87.

Conventions, valables pour tout le dossier

Le groupe cartographique. Pour \(n \geq 0\), \[ \mathfrak{G}_n = \bigl\langle \sigma_0, \dots, \sigma_n \bigm| \sigma_i^2 = 1,\ (\sigma_i \sigma_j)^2 = 1 \text{ si } |i - j| \geq 2 \bigr\rangle , \] noté par lui d'un \(G\) gothique (page 114 : \(\Gamma\), pour \(n = 2\)). Un \(\mathfrak{G}_n\)-ensemble est une \(n\)-carte ; ses éléments sont les repères, ou drapeaux maximaux \((f_0, f_1, \dots, f_n)\), et \(\sigma_i\) change la composante \(f_i\) en gardant les autres. Une \(n\)-carte a des facettes de dimensions \(0\) à \(n\) ; ses réalisations vivent dans un espace de dimension \(n + 1\), dont elle est, en quelque sorte, le bord : les « \(2\)-polyèdres » sont les polyèdres usuels de l'espace à trois dimensions.

Types. \(p_i\) est l'ordre de \(\sigma_{i-1}\sigma_i\) (\(1 \leq i \leq n\)), comme à la page 3 ; \(\{p_1, \dots, p_n\}\) est alors le symbole de Schläfli. Pour \(n = 2\) on suit le dossier 88 : \(\rho_f = \sigma_0\sigma_1\) tourne autour d'une face, d'ordre \(q = p_1\) (le nombre de côtés), \(\rho_s = \sigma_1\sigma_2\) tourne autour d'un sommet, d'ordre \(p = p_2\) (le nombre d'arêtes en un sommet)¹ . \(\Psi_m\) désigne le polynôme minimal de \(2\cos(2\pi/m)\) sur \(\mathbf{Q}\), c'est-à-dire de \(\zeta + \zeta^{-1}\) pour \(\zeta\) racine primitive \(m\)-ième de l'unité : c'est son « polynôme semi-cyclotomique » \(F_m\) (page 67). Ainsi \(\Psi_3(\alpha) = \alpha + 1\), \(\Psi_4(\alpha) = \alpha\), \(\Psi_5(\alpha) = \alpha^2 + \alpha - 1\).

Le repère des sommets. Un drapeau \(f_0 \subset \cdots \subset f_n\) de sous-espaces affines étant donné, \(s_0 = f_0\) et \(s_{i+1} = \sigma_i s_i\) ; \(e_i = s_i - s_0\) ; \((x_1, \dots, x_{n+1})\) sont les coordonnées affines dans le repère \((s_0; e_1, \dots, e_{n+1})\), et \[ \Sigma_0 = x_2 + \cdots + x_{n+1}, \qquad \Sigma_i = x_{i+2} + \cdots + x_{n+1} \quad (1 \leq i \leq n-1) . \] Les paramètres \(\alpha_0, \dots, \alpha_{n-1}\) sont ceux des pages 15 à 25. Pour \(n = 2\), les pages 64 à 111 écrivent \(\beta = \alpha_0\) (la face) et \(\alpha = \alpha_1\) (le sommet) ; on les suit. Pour l'icosaèdre, \(\alpha' = -1 - \alpha\) est la racine conjuguée de \(\alpha^2 + \alpha - 1\).

L'icosaèdre. \(s'_3 = \sigma_1 s_3\) et \(s''_3 = \rho_f s_3\), comme aux pages 74 à 111² ; \(\iota\) est l'antipodisme, qu'il note d'un \(a\) souligné (on garde la lettre du dossier 86) ; \(o\) est le centre ; \(q\) la fonction quadratique invariante et \(q_0\) sa partie homogène.

Réflexion. Les pages appellent réflexion une involution affine dont l'ensemble des points fixes est, dans chaque fibre, un hyperplan affine ; « réflexion projective » quand cet hyperplan peut être à l'infini. On garde le mot. En caractéristique \(2\), une telle involution est une transvection.

Ce que seule une lecture d'ensemble peut dire

Le même calcul, refait. La forme normale des générateurs est établie trois fois : en dimension quelconque (pages 9 à 25), sans l'hypothèse d'involution (pages 30 à 36), et en dimension trois (pages 64 à 66, puis 82 à 84) ; ces trois versions ne nomment pas leurs points ni leurs paramètres de la même façon, et les notes le signalent où il le faut. Le paramètre « invariant modulaire du polygone régulier » de la page 15, le « polynôme semi-cyclotomique » de la page 67 et le \(c = \zeta + \zeta^{-1}\) avec « \(\Phi_n(c) = 0\) » de la page 103 sont une seule et même chose : la trace de la rotation élémentaire.

Une hypothèse ajoutée. Que les générateurs soient des réflexions n'est pas dans la définition d'une réalisation (pages 5 et 6, 43, 51) ; il l'impose à chaque fois au moment du calcul (pages 13, 15, 31, 66, 83). Les pages 29 à 36 sont la tentative de s'en passer.

Une question, et sa réponse pour l'icosaèdre. La question de la page 21 — une réalisation régulière envoie-t-elle des facettes distinctes sur des sous-espaces distincts ? — et la « fidélité » des pages 109 et 110 ont, pour l'icosaèdre, une réponse positive en toute caractéristique : les pages 93 et 94 la démontrent en partie, et la vérification complète est faite dans cette lecture.

Deux points de vue sur le même objet. Les pages 114 à 119 cherchent à définir un polyèdre régulier dans un schéma par des axiomes, puis montrent qu'il revient à un morphisme \(\varphi : \mathfrak{G}_2 \to \mathrm{Aut}(X)\) et à un drapeau ; c'est exactement la donnée que les pages 74 à 111 construisent pour l'icosaèdre. Le programme des pages 121 et 122 renverse la perspective : il part du modèle réel et lui cherche des réalisations sur un anneau.

Ce que le dossier annonce sans l'établir

Le calcul de \((\sigma_0\sigma_1)^p\) (page 19) et les deux « \(\overset{?}{=}\) » de la page 20 restent ouverts (on les complète) ; la question d'injectivité de la page 21 n'est pas tranchée en général ; la réalisation induite de l'étoile d'une facette s'arrête à la page 47 ; deux « à vérifier » (pages 53 et 56) ; les suites exactes de la page 58 ; « un calcul commode » (page 85) et « si nous admettons que \(G\) est d'ordre \(120\) » (page 87), tous deux exacts ; la proposition « une représentation régulière est fidèle » (page 109), dont la démonstration s'interrompt ; le programme de classification esquissé en marge de la page 111 ; les questions (25) à (29) des pages 117 et 118.

1–25

I. Les \(n\)-polyèdres réguliers en coordonnées affines universelles (pages 1 à 25)

La chemise de la page 1 porte « \(n\)-polyèdres et \(n\)-hyperpolyèdres » ; celle de la page 2, « \(n\)-polyèdres réguliers en coordonnées affines universelles (vieilles rédactions) » et « (23 p) » : ce sont les pages 3 à 25.

3–5

Le polyèdre régulier universel (pages 3 à 5)

Soit \(R\) une \(n\)-carte régulière : un \(\mathfrak{G}_n\)-ensemble transitif dont le stabilisateur \(N\) d'un repère \(r\) est distingué dans \(\mathfrak{G}_n\) — il est alors le même pour tous les repères — ; le groupe \(\Gamma = \mathfrak{G}_n / N\) opère simplement transitivement sur \(R\)³ . On suppose que pour toute partie \(I \subset \{0, \dots, n\}\) sans deux entiers consécutifs, le produit \(\sigma_I = \prod_{i \in I} \sigma_i\) est \(\neq 1\) dans \(\Gamma\), et l'on pose \(p_i = \) ordre de \(\sigma_{i-1}\sigma_i\), avec \(3 \leq p_i \leq \infty\) (« les \(p_i\) peuvent être infinis ! »). On se place dans le cas où \(\Gamma\) n'a pas d'autres relations que celles qu'impose ce qui précède : \[ \Gamma = \Gamma_{p_*} = \bigl\langle \sigma_0, \dots, \sigma_n \bigm| \sigma_i^2,\ (\sigma_i\sigma_j)^2 \ (|i-j| \geq 2),\ (\sigma_{i-1}\sigma_i)^{p_i} \bigr\rangle . \] C'est le groupe de Coxeter de type \([p_1, \dots, p_n]\), à diagramme linéaire⁴ . Dans un groupe de Coxeter, un produit de générateurs distincts n'est jamais trivial, de sorte que les conditions \(\sigma_I \neq 1\) sont satisfaites, comme l'affirme la page 4. Toutes les cartes \(R\) de ce type sont isomorphes, et canoniquement isomorphes une fois choisi un repère : \(R \simeq \Gamma_{p_*}\), le repère étant l'élément neutre⁵ .

Pour \(J \subset \{0, \dots, n\}\), soit \(\mathfrak{G}_J\) le sous-groupe engendré par les \(\sigma_i\), \(i \notin J\), et \(D_J = R / \mathfrak{G}_J\) l'ensemble des drapeaux de type \(J\) ; \(J \subset K\) entraîne \(\mathfrak{G}_K \subset \mathfrak{G}_J\), d'où \(D_K \to D_J\), et \(D_i = D_{\{i\}}\) est l'ensemble des \(i\)-facettes. La page 5 affirme, « sauf erreur », que la carte ainsi définie est une géométrie d'incidence dont \(D_i\) est l'ensemble des facettes de dimension \(i\), c'est-à-dire un polyèdre combinatoire régulier. C'est exact : un groupe de Coxeter linéaire vérifie la « propriété d'intersection » \(\mathfrak{G}_J \cap \mathfrak{G}_K = \mathfrak{G}_{J \cup K}\) (dans \(\Gamma\)), et \(R\) est l'ensemble des drapeaux du polytope régulier universel \(\{p_1, \dots, p_n\}\), dont tout polytope régulier de ce type est un quotient⁶ .

5–6

Réalisations affines régulières (pages 5 et 6)

Soit \(k\) un anneau. Une réalisation affine régulière de \(\Pi\) (le polyèdre défini par \(R\)) est la donnée

1. a)d'un espace affine \(E\) sur \(\operatorname{Spec} k\) : un torseur sous un \(k\)-module localement libre \(V\) de rang \(n+1\) ;
2. b)d'applications \(\varphi_i\) de \(D_i\) dans l'ensemble des sous-espaces affines de dimension relative \(i\) de \(E\) (\(0 \leq i \leq n\)), qui respectent l'incidence ;

telle que pour tout \(g \in \operatorname{Aut}(\Pi)\) il existe un unique automorphisme affine \(\bar g\) de \(E\) avec \(\bar g \circ \varphi_i = \varphi_i \circ g\) pour tout \(i\) — « cette unicité reste vraie fibre par fibre »⁷ .

Il revient au même (page 6, « vérifier ») de se donner une application \(\Gamma\)-équivariante \(\varphi_R : R \to \operatorname{Drap}_n(E)\) dans les drapeaux affines maximaux, et un homomorphisme \(\varphi_\Gamma : \Gamma \to \operatorname{Aff}(E)\) compatible, les sommets des drapeaux images engendrant affinement \(E\) — ce qui rend \(\varphi_\Gamma\) unique. Un repère origine \(r\) étant fixé, il suffit de se donner \(\varphi_\Gamma\) et le drapeau \(\varphi_R(r) = (f_0 \subset f_1 \subset \cdots \subset f_n)\), avec pour seules conditions

1. a)\(\sigma_j f_i = f_i\) si \(j \neq i\) ;
2. b)les transformés \(g f_0\), \(g \in \Gamma\), engendrent affinement \(E\) fibre par fibre.

En effet, a) dit que le stabilisateur \(\mathfrak{G}_{\{i\}}\) de la facette \(i\)-dimensionnelle de \(r\) fixe \(f_i\), de sorte que \(\varphi_i(g\,\mathfrak{G}_{\{i\}}) = g f_i\) est bien défini, et b) donne l'unicité⁸ .

7–9

Le repère des sommets (pages 7 à 9)

Proposition (pages 7 et 8). Soit \(s_0 = f_0\) et \(s_{i+1} = \sigma_i s_i\) (\(0 \leq i \leq n\)). Alors \((s_0, \dots, s_{n+1})\) est un repère affine de \(E\) fibre par fibre, \(f_i\) est l'enveloppe affine de \(s_0, \dots, s_i\), et \(\sigma_k s_i = s_i\) pour \(0 \leq i < k \leq n\).

On raisonne par récurrence sur \(i\). Supposons \(s_0, \dots, s_i\) affinement libres, \(f_i = \operatorname{Env}(s_0, \dots, s_i)\) et \(\sigma_k s_j = s_j\) pour \(j \leq i < k\) — c'est vrai pour \(i = 0\), puisque les \(\sigma_k\), \(k \geq 1\), fixent \(f_0\). Comme \(s_i \in f_i \subset f_{i+1}\) et que \(\sigma_i\) fixe \(f_{i+1}\), on a \(s_{i+1} = \sigma_i s_i \in f_{i+1}\) ; il suffit de voir que \(s_{i+1} \notin f_i\). Sinon, \(\sigma_i f_i = \operatorname{Env}(\sigma_i f_{i-1}, \sigma_i s_i) = \operatorname{Env}(f_{i-1}, s_{i+1}) \subset f_i\), donc \(\sigma_i f_i = f_i\) ; comme les autres \(\sigma_j\) fixent \(f_i\) par a), \(f_i\) serait stable par \(\Gamma\) et contiendrait l'orbite de \(s_0\), contre b) (on a \(f_i \neq E\) pour \(i \leq n\)). Enfin, pour \(k > i + 1\), \(\sigma_k\) commute à \(\sigma_i\) et \(\sigma_k s_{i+1} = \sigma_i \sigma_k s_i = \sigma_i s_i = s_{i+1}\).

Il en découle \(\sigma_i s_i = s_{i+1}\), \(\sigma_i s_{i+1} = s_i\) (car \(\sigma_i^2 = 1\)), et, pour \(j \geq i + 2\), \(\sigma_i s_j \in f_j \smallsetminus f_{j-1}\) : \(\sigma_i\) fixe \(f_j\) et \(f_{j-1}\), et \(s_j \notin f_{j-1}\). Les relations \(\sigma_j f_i = f_i\) pour \(j > i\) en résultent formellement ; pour \(j < i\) elles restent une condition, que la page note sans la traiter⁹ .

9–13

Les paramètres (pages 9 à 13)

Par les relations de commutation, les \(\sigma_i\) sont déterminés par les « valeurs critiques » \[ \sigma_i s_{i+2} = s_0 + \lambda_{i1} e_1 + \cdots + \lambda_{i,i+2}\, e_{i+2} \qquad (0 \leq i \leq n-1) , \] qui forment une matrice à \(n\) lignes et \(n + 1\) colonnes, triangulaire, de \(2 + 3 + \cdots + (n+1) = n(n+3)/2\) coefficients. En effet, pour \(j \geq i + 3\), \(s_j = \sigma_{j-1} \cdots \sigma_{i+2}\, s_{i+2}\), les \(\sigma_k\) avec \(k \geq i + 2\) commutent à \(\sigma_i\) et fixent \(s_0, \dots, s_{i+1}\), d'où \[ \sigma_i s_j = s_0 + \lambda_{i1} e_1 + \cdots + \lambda_{i,i+1} e_{i+1} + \lambda_{i,i+2}\, e_j \qquad (j \geq i + 2) . \] Sur l'espace des translations \(V\), cela donne, pour \(1 \leq i \leq n-1\), \[ \sigma_i e_j = \begin{cases} e_j & j < i \\ e_{i+1} & j = i \\ e_i & j = i + 1 \\ \lambda_{i1} e_1 + \cdots + \lambda_{i,i+1} e_{i+1} + \lambda_{i,i+2}\, e_j & j \geq i + 2 , \end{cases} \] \[ \sigma_0 e_j = \begin{cases} -e_1 & j = 1 \\ (\lambda_{01} - 1) e_1 + \lambda_{02}\, e_j & j \geq 2 , \end{cases} \] et \(\sigma_n\) échange \(s_n\) et \(s_{n+1}\) en fixant les autres sommets. Les déterminants sont \(\det(\sigma_i|_V) = -(\lambda_{i,i+2})^{n-i}\) et \(\det(\sigma_0|_V) = -(\lambda_{02})^n\). Les conditions \(\sigma_i^2 = 1\) s'écrivent \[ \sigma_0^2 = 1 \iff (1 - \lambda_{01})(1 - \lambda_{02}) = 0,\ \lambda_{02}^2 = 1 ; \] \[ \sigma_i^2 = 1 \iff \lambda_{ik}(1 + \lambda_{i,i+2}) = 0\ (k < i),\quad \lambda_{i,i+1} + \lambda_{i,i+2}\lambda_{ii} = \lambda_{ii} + \lambda_{i,i+2} \lambda_{i,i+1} = 0,\quad \lambda_{i,i+2}^2 = 1 , \] et \(\sigma_n^2 = 1\) toujours¹⁰ . Ce sont des calculs directs, qu'on a refaits.

13–18

Exiger des réflexions (pages 13 à 18)

Ici intervient une exigence qui n'est pas dans la définition : chaque \(\sigma_i\) doit être une réflexion¹¹ . En coordonnées, \[ \sigma_0(x) = \bigl(1 - x_1 + (\lambda_{01} - 1)\Sigma_0,\ \lambda_{02} x_2,\ \dots,\ \lambda_{02} x_{n+1}\bigr), \] dont les points fixes sont \(2x_1 + (1 - \lambda_{01})\Sigma_0 = 1\), \((\lambda_{02} - 1)x_j = 0\) (\(j \geq 2\)). Si \(\lambda_{02} - 1\) est inversible, c'est un point (ou le vide en caractéristique \(2\)), non un hyperplan ; sur un corps, \(\lambda_{02}^2 = 1\) force donc \(\lambda_{02} = 1\). On pose \[ \lambda_{02} = 1, \qquad \lambda_{01} = 1 + \alpha_0 , \] et \(\alpha_0\) est « l'invariant modulaire du polygone régulier induit par \(\Pi\) dans \(f_2\) ». De même, pour \(1 \leq i \leq n-1\), \[ \sigma_i(x) = \bigl(x_1 + \lambda_{i1}\Sigma_i,\ \dots,\ x_{i-1} + \lambda_{i,i-1}\Sigma_i,\ x_{i+1} + \lambda_{ii}\Sigma_i,\ x_i + \lambda_{i,i+1}\Sigma_i,\ \lambda_{i,i+2} x_{i+2},\ \dots,\ \lambda_{i,i+2} x_{n+1}\bigr) . \] Si \(\lambda_{i,i+2} = -1 \neq 1\), les points fixes vérifient \(x_{i+2} = \cdots = x_{n+1} = 0\) et \(x_i = x_{i+1}\) : codimension \(n - i + 1 \geq 2\). Donc \(\lambda_{i,i+2} = 1\). Si alors l'un des \(\lambda_{ik}\), \(k < i\), n'est pas nul, les points fixes vérifient \(\Sigma_i = 0\) et \(x_i = x_{i+1}\) : codimension \(2\). Donc \(\lambda_{ik} = 0\) pour \(k < i\), et il reste \(\lambda_{ii}\Sigma_i = x_i - x_{i+1} = -\lambda_{i,i+1}\Sigma_i\), qui est un hyperplan si et seulement si \(\lambda_{ii} + \lambda_{i,i+1} = 0\) — c'est aussi ce que demande \(\sigma_i^2 = 1\). On pose \(\lambda_{i,i+1} = 1 + \alpha_i\). Sur un anneau quelconque, la même conclusion vaut dès qu'on demande que le lieu fixe soit un hyperplan relatif, défini par une seule équation de partie linéaire unimodulaire : chaque autre équation doit en être multiple, et la comparaison des coefficients de \(x_1\) (pour \(\sigma_0\)) ou de \(x_i\) (pour \(\sigma_i\)) donne \(\lambda_{02} = 1\), \(\lambda_{ik} = 0\), \(\lambda_{i,i+2} = 1\) et \(\lambda_{ii} = -\lambda_{i,i+1}\) ¹² .

Forme normale (pages 15 et 18). Une réalisation affine régulière de \(\Pi\) dont les générateurs sont des réflexions s'écrit, dans le repère des sommets, \[ \begin{aligned} \sigma_0(x) &= \bigl(1 - x_1 + \alpha_0\Sigma_0,\ x_2,\ \dots,\ x_{n+1}\bigr), \\ \sigma_i(x) &= \bigl(x_1, \dots, x_{i-1},\ x_{i+1} - (1 + \alpha_i)\Sigma_i,\ x_i + (1 + \alpha_i)\Sigma_i,\ x_{i+2}, \dots, x_{n+1}\bigr) \quad (1 \leq i \leq n-1), \\ \sigma_n(x) &= \bigl(x_1, \dots, x_{n-1},\ x_{n+1},\ x_n\bigr), \end{aligned} \] de miroirs \[ H_0 : 2x_1 - \alpha_0\Sigma_0 = 1, \qquad H_i : x_i - x_{i+1} + (1 + \alpha_i)\Sigma_i = 0, \qquad H_n : x_n = x_{n+1} . \] Elle dépend de \(n\) paramètres \(\alpha_0, \dots, \alpha_{n-1}\).¹³

19–22

Les rotations élémentaires, et une question (pages 19 à 22)

Relations. Inversement, les \(\sigma_i\) de la forme normale vérifient les relations de \(\mathfrak{G}_n\) quels que soient les \(\alpha_i\). Ce sont des involutions, et la page 19 observe que \(\sigma_0\) ne change que la première coordonnée et \(\sigma_i\) que la \(i\)-ième et la \((i+1)\)-ième, ce qui « implique » que \(\sigma_i\) et \(\sigma_j\) commutent pour \(j \geq i + 2\). Il faut y ajouter que \(\sigma_j\) conserve la somme \(x_j + x_{j+1}\), donc \(\Sigma_i\) et \(\Sigma_0\), dont dépend \(\sigma_i\)¹⁴ .

Les rotations. La page calcule \(\sigma_0\sigma_1(x) = \bigl(1 + \alpha_0 x_1 - x_2 + (1 + \alpha_1 + 2\alpha_0 + \alpha_0\alpha_1)\Sigma_1,\ x_1 + (1 + \alpha_1)\Sigma_1,\ x_3, \dots\bigr)\), écrit \((\sigma_0\sigma_1)^p = (F_p, G_p, x_3, \dots)\) et s'arrête sur « Donc \((\sigma_0\sigma_1)^p = \mathrm{id} \iff\) ». La page 20 reprend la question par les quotients successifs du drapeau : \(\sigma_i\) est l'identité sur \(f_{i-1}\) et sur \(E / f_{i+1}\), et échange deux coordonnées sur \(f_{i+1} / f_{i-1}\) ; pour \(\sigma_i\sigma_{i+1}\) sur \(f_{i+2} / f_{i-1}\) et pour \(\sigma_0\sigma_1\) sur \(f_2\), la page laisse le membre de droite en blanc. La page 22 calcule \(\pi = \sigma_0\sigma_1\), \(\pi^2\), \(\pi^3\) sur \(f_2\) et trouve, pour un triangle, \(\alpha_0 = -1\). Voici la réponse complète, qui est de l'édition.

Proposition. La partie linéaire de \(\sigma_{i-1}\sigma_i\) (\(1 \leq i \leq n\)) a pour polynôme caractéristique \[ (t - 1)^{n-1}\,(t^2 - \alpha_{i-1} t + 1) . \] Sur un corps \(k\), si \(3 \leq p_i < \infty\) et si \(p_i\) est inversible dans \(k\), \(\sigma_{i-1}\sigma_i\) est d'ordre exactement \(p_i\) si et seulement si \(\alpha_{i-1} = \zeta + \zeta^{-1}\) avec \(\zeta\) racine primitive \(p_i\)-ième de l'unité (dans \(k\) ou dans une extension quadratique), c'est-à-dire si \(\alpha_{i-1}\) est racine de \(\Psi_{p_i}\).

Sur \(V(f_{i+1}) / V(f_{i-2})\), de base les images de \(e_{i-1}, e_i, e_{i+1}\), \(\sigma_{i-1}\sigma_i\) envoie \(e_{i-1} \mapsto e_i\), \(e_i \mapsto -(1 + \alpha)e_{i-1} + (1 + \alpha)e_i + e_{i+1}\), \(e_{i+1} \mapsto e_{i-1}\) (\(\alpha = \alpha_{i-1}\)), de polynôme caractéristique \((t - 1)(t^2 - \alpha t + 1)\) ; il est l'identité sur \(V(f_{i-2})\) et sur \(V / V(f_{i+1})\) (pour \(i = 1\) : la matrice \(\bigl(\begin{smallmatrix} \alpha_0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\) sur \(\langle e_1, e_2 \rangle\)). Comme \(\sigma_{i-1}\sigma_i - 1\) est de rang \(\leq 2\), la valeur propre \(1\) a un sous-espace propre de dimension \(\geq n - 1\) ; si \(\alpha \neq \pm 2\), les racines \(\zeta^{\pm 1}\) sont distinctes et \(\neq 1\), la partie linéaire est diagonalisable, et son ordre est celui de \(\zeta\). Pour \(i \geq 2\), \(\sigma_{i-1}\sigma_i\) fixe \(s_0\) ; pour \(i = 1\), il a un point fixe dans \(f_2\), parce que \(1\) n'est pas valeur propre sur \(\langle e_1, e_2 \rangle\). Si l'ordre est \(p_i\), premier à la caractéristique, la partie linéaire est semi-simple et ses valeurs propres sont des racines \(p_i\)-ièmes de l'unité ; \(\zeta = \pm 1\) donnerait un ordre \(\leq 2\)¹⁵ .

Ainsi, à choix du repère près, les réalisations affines régulières par réflexions du polytope \(\{p_1, \dots, p_n\}\) sur un corps où les \(p_i\) sont inversibles correspondent aux suites \((\alpha_0, \dots, \alpha_{n-1})\) telles que \(\Psi_{p_i}(\alpha_{i-1}) = 0\). Sur les réels, le choix \(\alpha_{i-1} = 2\cos(2\pi/p_i)\) donne le polytope convexe ; les autres racines, \(2\cos(2\pi k/p_i)\), donnent les polytopes étoilés (page 69). Pour \(p_i = \infty\), la page 71 demande \(\alpha_{i-1} = 2\) : la rotation est alors unipotente. La partie linéaire est une représentation du groupe de Coxeter engendrée par des réflexions ; pour un groupe fini, c'est, à un changement de base près, la représentation géométrique de Tits ou l'une de ses conjuguées galoisiennes¹⁶ .

Une question (page 21). Supposons \(k\) un corps et soit \(G\) l'image de \(\Gamma\) dans \(\operatorname{Aut}_{\mathrm{aff}}(E)\). La représentation de \(G\) est fidèle, et \(\varphi_R : R \to \operatorname{Drap}(E)\) injective. Les applications \(D_i(\Pi) \to \operatorname{Grass}_i^{\mathrm{aff}}(E)\) le sont-elles aussi ? Autrement dit, si \(g, g' \in G\) vérifient \(g f_i = g' f_i\), \(g^{-1} g'\) est-il dans le sous-groupe engendré par les \(\sigma_j\), \(j \neq i\) ? « Ce n'est pas évident du tout », et la page soupçonne un lien avec des résultats sur les longueurs dans la réalisation riemannienne¹⁷ . La question n'est pas tranchée ; pour l'icosaèdre, la réponse est oui en toute caractéristique (pages 93 et 94, et ci-dessous).

23–25

La forme normale, en coordonnées barycentriques (pages 23 à 25)

Les pages 23 à 25 récrivent la forme normale de façon homogène. Soit \(\ell_i\) la forme affine \[ \ell_0 = 1 - 2x_1 + \alpha_0\Sigma_0, \qquad \ell_i = x_i - x_{i+1} + (1 + \alpha_i)\Sigma_i \quad (1 \leq i \leq n-1), \qquad \ell_n = x_n - x_{n+1} , \] c'est-à-dire, en coordonnées barycentriques \((t_0, \dots, t_{n+1})\) relatives à \((s_0, \dots, s_{n+1})\), \(\ell_i = t_i - t_{i+1} + (1 + \alpha_i)(t_{i+2} + \cdots + t_{n+1})\) pour tout \(i\) (la somme est vide pour \(i = n\)). Alors \[ \sigma_i(P) = P + \ell_i(P)\,(s_{i+1} - s_i) \qquad (0 \leq i \leq n) , \] et, comme \(\ell_i(s_{i+1}) - \ell_i(s_i) = -2\), \(\sigma_i\) est une involution de miroir \(H_i = \{\ell_i = 0\}\) et de « centre » \(\delta_i\), le point à l'infini de la direction \(s_{i+1} - s_i\) : une réflexion projective, au sens de la géométrie projective classique. La page écrit \(\sigma_i - \mathrm{id} = \ell_i \otimes (s_{i+1} - s_i)\) en termes de la base duale \((s'_j)\), et, en homogénéisant par une variable \(z\), \(\bar\sigma_0(\bar x) = \bar x + [e'_0 - 2e'_1 + \alpha_0(e'_2 + \cdots + e'_{n+1})] \otimes e_1\)¹⁸ . La page 23 commence aussi d'écrire une forme quadratique générale en \(x_1, \dots, x_{n+1}\), sous le titre « Invariants ? », et la biffe : la question est reprise, pour \(n = 2\), à la page 67.

28–36

II. Les \(n\)-quasi-polyèdres (pages 28 à 36)

La chemise de la page 28 porte « \(n\)-quasi-polyèdres (vieilles rédactions) ». On abandonne les relations \(\sigma_i^2 = 1\).

29–29

Le repère, sans involutions (page 29)

Soient \(\sigma_0, \dots, \sigma_n \in \operatorname{Aff}(E)\), \(E\) affine de rang \(n+1\), avec \(\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i\) pour \(j \geq i + 2\), et un drapeau \(E_0 = \{s_0\} \subset E_1 \subset \cdots \subset E_n\) tel que \(\sigma_i E_j = E_j\) pour \(j \neq i\) et \(\sigma_i E_i \neq E_i\). On pose \(s_{i+1} = \sigma_i s_i\).

Proposition (page 29). \((s_0, \dots, s_{n+1})\) est un repère affine de \(E\), \(E_i = \operatorname{Env}(s_0, \dots, s_i)\) et \(\sigma_k s_i = s_i\) pour \(0 \leq i < k \leq n\).

La démonstration est celle de la page 7, l'hypothèse \(\sigma_{i-1}E_{i-1} \neq E_{i-1}\) remplaçant la génération par l'orbite de \(s_0\) : si \(s_i = \sigma_{i-1}s_{i-1}\) était dans \(E_{i-1}\), on aurait \(\sigma_{i-1}E_{i-1} \subset E_{i-1}\), donc l'égalité¹⁹ .

30–33

Les \(2n + 1\) paramètres (pages 30 à 33)

Il suffit de connaître \(u_i = \sigma_i s_{i+1} = \sigma_i^2 s_i \in E_{i+1}\) et \(v_i = \sigma_i s_{i+2} \in E_{i+2}\), puisque \(\sigma_i s_j = \sigma_{j-1}\cdots \sigma_{i+2}(v_i)\) pour \(j > i + 2\). Avec \(u_i = s_0 + \sum_{k \leq i+1} u_{ik}e_k\) et \(v_i = s_0 + \sum_{k \leq i+2} v_{ik}e_k\), \[ \sigma_i s_j = s_0 + \sum_{k \leq i+1} v_{ik}e_k + v_{i,i+2}\,e_j \quad (j \geq i + 2), \] et l'on écrit les matrices. Pour \(\sigma_0\) : \[ \sigma_0(x) = \bigl(1 + (u_{01} - 1)x_1 + (v_{01} - 1)\Sigma_0,\ v_{02}x_2,\ \dots,\ v_{02}x_{n+1}\bigr), \] dont le lieu fixe est un hyperplan (projectif) si et seulement si \(v_{02} = 1\)²⁰ ; on pose \(u_{01} = \lambda_0\), \(v_{01} = \mu_0\). Pour \(1 \leq i \leq n - 1\), \[ \sigma_i(x) = \bigl(x_1 + u_{i1}x_{i+1} + v_{i1}\Sigma_i,\ \dots,\ u_{ii}x_{i+1} + v_{ii}\Sigma_i,\ x_i + u_{i,i+1}x_{i+1} + v_{i,i+1}\Sigma_i,\ v_{i,i+2}x_{i+2},\ \dots\bigr), \] et le lieu fixe est un hyperplan si et seulement si les autres équations sont conséquences de la \(i\)-ième, soit \[ u_{ii} + u_{i,i+1} = 1,\quad v_{ii} + v_{i,i+1} = 0,\quad v_{i,i+2} = 1,\quad u_{ik} = v_{ik} = 0\ (k < i) . \] Avec \(\lambda_i = u_{ii}\), \(\mu_i = v_{ii}\) : \[ \sigma_i(x) = \bigl(x_1, \dots, x_{i-1},\ \lambda_i x_{i+1} + \mu_i\Sigma_i,\ x_i + (1 - \lambda_i)x_{i+1} - \mu_i\Sigma_i,\ x_{i+2}, \dots, x_{n+1}\bigr) ; \] \(\sigma_n\) n'a que \(\lambda_n\) (\(\Sigma_n = 0\)). Le cas général a donc \(2n + 1\) paramètres, \(\lambda_0, \dots, \lambda_n\) et \(\mu_0, \dots, \mu_{n-1}\). Enfin \[ \sigma_i^2 = \mathrm{id} \iff \lambda_i = 1 \ (i \geq 1), \qquad \sigma_0^2 = \mathrm{id} \iff \lambda_0 = 0 , \] et l'on retrouve le cas polyédral, à \(n\) paramètres \(\mu_i\)²¹ .

34–36

Les ordres (pages 34 à 36)

Pour \(n = 1\) (un « quasi-polygone » du plan), avec \(\eta_0 = \lambda_0 - 1\), \(\alpha_0 = \mu_0 - 1\) : \[ \sigma_0(x, y) = (1 + \eta_0 x + \alpha_0 y,\ y), \qquad \sigma_1(x, y) = \bigl(\lambda_1 y,\ x + (1 - \lambda_1)y\bigr), \] sur un corps \(k\) de caractéristique \(p \geq 0\). La partie linéaire de \(\sigma_0\) a pour valeurs propres \(1\) et \(\eta_0\) ; ses puissances sont \(\bigl(\begin{smallmatrix} \eta_0^m & \alpha_0 S_m \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\) avec \(S_m = 1 + \eta_0 + \cdots + \eta_0^{m-1}\), et \(\sigma_0^m(x, 0) = (S_m + \eta_0^m x, 0)\). Donc \[ \sigma_0^m = \mathrm{id} \iff S_m(\eta_0) = 0 , \] et l'ordre de \(\sigma_0\) est celui de \(\eta_0\) dans \(k^*\) si \(\eta_0 \neq 1\). Si \(\eta_0 = 1\), \(\sigma_0(x, y) = (x + 1 + \alpha_0 y, y)\), de partie linéaire la transvection \(\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & \alpha_0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\) : \(\sigma_0\) est d'ordre \(p\) si \(p > 0\), infini si \(p = 0\), quel que soit \(\alpha_0\)²² . De même \(\sigma_1\) a pour valeurs propres \(1\) et \(\delta_1 = -\lambda_1\) ; son ordre est celui de \(\delta_1\) sauf si \(\delta_1 = 1\), où \(\sigma_1(x, y) = (-y, x + 2y)\) est unipotent non trivial, d'ordre infini si \(p = 0\), \(p\) sinon.

En dimension \(n\) (page 36), avec \(\eta_i = -\lambda_i\) (\(i \geq 1\)), la partie linéaire de chaque \(\sigma_i\) a la valeur propre \(1\) avec multiplicité \(n\) et la valeur propre \(\eta_i\) ; \(\sigma_i - \mathrm{id}\) étant de rang \(1\), elle est diagonalisable si \(\eta_i \neq 1\), et l'ordre de \(\sigma_i\) est alors celui de \(\eta_i\), comme la page le demande avec un point d'interrogation²³ .

38–47

III. « Étude locale » des \(n\)-polyèdres et des \(n\)-cartes (pages 38 à 47)

La chemise de la page 38 porte « “étude locale” des \(n\)-polyèdres et des \(n\)-cartes (vieilles rédactions) ».

39–42

Bord, étoile, sections (pages 39 à 42)

Soit \(C\) une \(n\)-carte. Pour \(0 \leq i \leq n\), notons \(\mathfrak{G}^{<i} = \langle \sigma_0, \dots, \sigma_{i-1} \rangle\) et \(\mathfrak{G}^{>i} = \langle \sigma_{i+1}, \dots, \sigma_n \rangle\) ; ils commutent, et \(D_i = C / (\mathfrak{G}^{<i} \times \mathfrak{G}^{>i})\).

• Sur \(C / \mathfrak{G}^{>i} \to D_i\) opère \(\mathfrak{G}^{<i} \simeq \mathfrak{G}_{i-1}\), dans les fibres : c'est une \((i-1)\)-carte dont les composantes connexes correspondent aux \(i\)-facettes. La composante de \(f_i\) est le bord \(\partial f_i\) ; ses \(j\)-facettes sont les drapeaux de type \((j, i)\) de composante \(f_i\), et plus généralement ses drapeaux de type \((j_1 < \cdots < j_p)\) sont les drapeaux de type \((j_1, \dots, j_p, i)\) de \(C\) au-dessus de \(f_i\).
• Dualement, sur \(C / \mathfrak{G}^{<i} \to D_i\) opère \(\mathfrak{G}^{>i} \simeq \mathfrak{G}_{n-i-1}\) : une \((n-i-1)\)-carte, l'étoile \(\delta f_i\), dont les facettes de dimension \(j\) sont les drapeaux de type \((i, i + j + 1)\) au-dessus de \(f_i\)²⁴ .
• Plus généralement (pages 40 et 41), pour \(0 \leq i\), \(i + 2 \leq j \leq n + 1\) (avec les conventions \(f_{-1}\), \(f_{n+1}\)), \(C / (\mathfrak{G}^{<i} \times \mathfrak{G}^{>j}) = D_{\{i, i+1, \dots, j\}} \to D_{\{i, j\}}\), sur lequel opère \(\langle \sigma_{i+1}, \dots, \sigma_{j-1} \rangle \simeq \mathfrak{G}_{j-i-2}\) : la section \(\Pi(d_{ij})\) au-dessus d'un drapeau \(d_{ij} = (f_i < f_j)\), une \((j - i - 2)\)-carte dont les facettes de dimension \(h\) sont les drapeaux de type \((i, i + h + 1, j)\). Pour \(j = i + 2\), c'est un ensemble à deux éléments sous \(\sigma_{i+1}\) quand la carte est un polyèdre ; pour \(j = i + 3\), un polygone, de nombre de côtés \(\nu(d_{ij}) \in [1, +\infty]\)²⁵ .

Aujourd'hui, ce sont les sections \(F/G\) d'un polytope abstrait ; le bord est la section \(f_i/f_{-1}\), l'étoile la « figure de facette » \(f_{n+1}/f_i\).

Les invariants (page 42). Ce sont le nombre de côtés des \(2\)-faces, \(\nu(\partial f_2)\), ceux des sections \(\Pi(d_{k-1,k+2})\) (\(1 \leq k \leq n-2\)), et celui de l'étoile des \((n-2)\)-facettes. Pour \(\Pi\) régulier, ce sont des constantes, et la page affirme qu'elles valent les ordres des \(\sigma_k\sigma_{k+1}\) — « vrai tout au moins dans le cas des géométries d'incidence »²⁶ . La réserve est juste : pour une carte régulière \(C = \Gamma\), le nombre de côtés de la section est l'ordre de \(\sigma_k\sigma_{k+1}\) agissant sur l'orbite correspondante, qui est l'ordre dans \(\Gamma\) dès que \(\langle \sigma_k, \sigma_{k+1}\rangle\) rencontre trivialement le stabilisateur ; c'est une conséquence de la propriété d'intersection, qui vaut pour les polytopes et peut manquer pour une carte quelconque.

43–45

Représentation géométrique (pages 43 à 45)

Soit \(\Pi\) une \(n\)-carte, \(R = \operatorname{Rep}(\Pi)\) son \(\mathfrak{G}_n\)-ensemble de repères. Une représentation géométrique de \(\Pi\) dans un espace affine \(E\) sur un corps est une application \[ \varphi_R : R \to \mathrm{Drap\,max}(E) \] dans l'ensemble des drapeaux \((E_0 \subset E_1 \subset \cdots \subset E_n \subset E)\), \(E_i\) de rang \(i\), telle que \(\pi_j \varphi_R(\sigma_i r) = \pi_j \varphi_R(r)\) pour \(i \neq j\), où \(\pi_j\) prend la composante de dimension \(j\). Par passage au quotient, \(\pi_j\varphi_R\) se factorise en \(\varphi_j : D_j(\Pi) \to \operatorname{Grass}^{\mathrm{aff}}_j(E)\)²⁷ .

Lorsque \(\Pi\) est un polyèdre (une géométrie d'incidence), se donner \(\varphi_R\) revient à se donner les \(\varphi_j\), compatibles à l'incidence. En général, il faut tous les \[ \varphi_J : D_J(\Pi) \to \mathrm{Drap\,aff}_J(E), \qquad J \subset \Delta_n = \{0, \dots, n\}, \] compatibles aux restrictions pour \(J' \subset J\) : un morphisme de « géométries de drapeaux » de base \(\Delta_n\), de \(D(\Pi)\) dans \(\mathrm{Drap\,aff}(E)\) — et c'est la donnée de \(\varphi_R\)²⁸ . En effet, \(R = D_{\Delta_n}\), et \(D_J\) est le quotient de \(R\) par \(\mathfrak{G}_J\).

46–47

Réalisations induites (pages 46 et 47)

Soit \(f_i \in D_i(\Pi)\), \(1 \leq i \leq n\), et \(E_i = \varphi_i(f_i)\). Le bord \(\partial f_i\) a pour ensemble de repères l'image réciproque de \(\{f_i\}\) par \(D_{\{0, \dots, i\}}(\Pi) \to D_i(\Pi)\), et les données de \(\varphi\) en définissent une réalisation canonique, dite induite, dans \(E_i\). « Légèrement moins évident » est le cas de l'étoile \(\delta f_i\) : ses sommets sont les drapeaux \((f_i < f_{i+1})\), qui s'envoient sur des couples \(E_i \subset E_{i+1}\), et si \(V_i\) est l'espace des translations de \(E_i\), ces \(E_{i+1}\) correspondent aux droites de \(E / V_i\) passant par le point image de \(E_i\) — c'est-à-dire aux points de l'espace projectif \(\mathbb{P}(V / V_i)\). La page s'arrête là²⁹ : l'étoile se réalise naturellement non dans un espace affine, mais dans un espace projectif — comme la figure de sommet d'un polyèdre convexe, vue depuis le sommet.

49–59

IV. Les \(2\)-polyèdres repérés (pages 49 à 59)

Deux chemises : « 2 – Polyèdres réguliers. (Vieille rédaction) » (page 49), et « (18) 2-Polyèdres repérés en coordonnées universelles (vieille rédaction) » (page 50).

51–53

Réalisation géométrique d'un polyèdre combinatoire (pages 51 à 53)

Soit \(X = (\mathrm{S}, \mathrm{A}, \mathrm{F}, \mathrm{R}, \mathrm{R}', \mathrm{R}'')\) un polyèdre combinatoire, \(\mathrm{R}\) l'ensemble de ses repères, et \(E\) un espace affine (ou projectif) sur un corps \(k\). Une réalisation géométrique de \(X\) est la donnée de \(\varphi_S : \mathrm{S} \to E\), \(\varphi_A : \mathrm{A} \to \operatorname{Dr}(E)\) (droites), \(\varphi_F : \mathrm{F} \to \operatorname{Pl}(E)\) (plans), compatibles aux incidences, telles que

1. a)les deux sommets d'une arête ont des images distinctes, et de même les deux faces qui la bordent ;
2. b)si \(s < f\), les deux arêtes entre \(s\) et \(f\) ont des images distinctes.

Alors l'une quelconque des trois applications détermine les deux autres.

Proposition (pages 51 et 52). Soit \(r_0 = (s_0, a_0, f_0)\) un repère, \(s_1\) le second sommet de \(a_0\), \(a_1\) la seconde arête entre \(s_0\) et \(f_0\), \(s_2\) son second sommet, \(f_1\) la seconde face qui borde \(a_0\), \(a_2\) la seconde arête entre \(s_0\) et \(f_1\), et \(s_3\) son second sommet. Les images de \(s_0, s_1, s_2, s_3\) sont affinement indépendantes.

\(s_1 \neq s_0\) et \(s_2 \neq s_0\) par a) ; \(a_1 \neq a_0\) par b), donc \(s_2\) n'est pas sur la droite \(a_0\), et \(f_0\) est le plan \((s_0, s_1, s_2)\). De même \(f_1\) est le plan \((s_0, s_1, s_3)\) ; comme \(f_1 \neq f_0\) par a), \(s_3 \notin f_0\). D'où (corollaire) : \(a_0 = \operatorname{dr}(s_0, s_1)\), \(f_0 = \operatorname{pl}(s_0, s_1, s_2)\), et \(\varphi_S\) détermine \(\varphi_A\), \(\varphi_F\) ; dualement \(a_0 = f_0 \cap f_1\), \(s_0 = f_0 \cap f_1 \cap f_2\) (\(f_2\) la seconde face qui borde \(a_1\)), et \(\varphi_F\) détermine les autres ; enfin \(s_0 = a_0 \cap a_1\), \(f_0 = \operatorname{pl}(a_0, a_1)\). Si \(E\) est de dimension \(3\), \(\varphi_S(\mathrm{S})\) engendre \(E\)³⁰ .

Réalisation régulière. \(X\) étant régulier, de groupe \(\mathrm{G} = \operatorname{Aut}(X)\), la réalisation est régulière si pour tout \(\mathrm{g} \in \mathrm{G}\) il existe \(g \in \operatorname{Aut}(E)\) (affine ou projectif) avec \(g \circ \varphi_S = \varphi_S \circ \mathrm{g}\), et de même pour \(\varphi_A\), \(\varphi_F\) — l'une de ces relations entraînant les autres. Dans le cas affine, \(g\) est unique et \(\mathrm{g} \mapsto g\) est un homomorphisme³¹ . Dans le cas projectif, c'est encore vrai pourvu qu'il existe un sommet dont l'image n'est dans aucun des quatre plans engendrés par trois des points \(s_0, s_1, s_2, s_3\), car alors les images contiennent un repère projectif ; l'exception est celle où \(\mathrm{S} = \{s_0, s_1, s_2, s_3\}\), le tétraèdre, dont les automorphismes projectifs fixant les quatre sommets forment un tore (« à vérifier »)³² .

53–55

Les données d'une réalisation régulière (pages 53 à 55)

Un repère \(r_0 = (s_0, a_0, f_0)\) étant choisi, \(\mathrm{G}\) est engendré par \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2\), où \(\sigma_0\) change le sommet, \(\sigma_1\) l'arête, \(\sigma_2\) la face. Une réalisation régulière équivaut à la donnée de \(\varphi_G : \mathrm{G} \to \operatorname{Aut}(E)\) — c'est-à-dire de \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \in \operatorname{Aut}(E)\) satisfaisant certaines conditions, « qu'on explicitera » — et du drapeau \(\varphi_R(r_0) = (s_0, a_0, f_0) \in \operatorname{Drap}_{012}(E)\) : comme \(\mathrm{R}\) est un \(\mathrm{G}\)-torseur, une application \(\mathrm{G}\)-équivariante \(\varphi_R\) est déterminée par \(\varphi_R(r_0)\)³³ . La condition pour que \(\pi^{(i)}_E \circ \varphi_R\) passe au quotient en \(\operatorname{Fac}_i(X) \to \operatorname{Fac}_i(E)\) (\(i = 0, 1, 2\)) est que le stabilisateur de la \(i\)-facette de \(r_0\) fixe son image : \[ \sigma_0 a_0 = a_0,\ \sigma_0 f_0 = f_0 ; \qquad \sigma_1 s_0 = s_0,\ \sigma_1 f_0 = f_0 ; \qquad \sigma_2 s_0 = s_0,\ \sigma_2 a_0 = a_0 . \] C'est la condition a) de la page 6, pour \(n = 2\).

56–56

Cartes homogènes (page 56)

Sous « à vérifier », la page énonce, pour les « cartes homogènes de type \((p, q)\) » — les cartes standards \(C_{p,q}\) du dossier 88, \(p\) l'ordre des sommets, \(q\) celui des faces : \(C_{p,q}\) est une géométrie d'incidence si et seulement si \(p, q \geq 2\), et un polyèdre combinatoire si et seulement si \(p, q \geq 3\). Pour \(p = 1\), une arête a ses deux extrémités confondues en un sommet ; pour \(p = 2\), deux arêtes ont les mêmes extrémités, et deux faces se touchent le long de deux arêtes, ce que l'axiome de treillis du dossier 86 (page 2) interdit³⁴ .

58–58

Un feuillet isolé : groupes opérant sur un groupoïde (page 58)

D'une autre encre, sans lien visible avec ce qui l'entoure : \(\mathcal{C}\) un groupoïde, \(G \subset \operatorname{Aut}(\mathcal{C})\) transitif sur les objets, \(H = G_e\) le stabilisateur d'un objet \(e\), \(\operatorname{Ob}\mathcal{C} \simeq G / H\) ; \(\Gamma\) le normalisateur de \(G\), \(\Gamma^0\) son centralisateur³⁵ , avec \(1 \to \Gamma^0 \to \Gamma \to \operatorname{Aut}(G)\) ; un élément \(\gamma\) de \(\Gamma^0\) est connu sur les objets par \(\gamma(e)\), d'où une flèche \(\Gamma^0 \to N(H)/H\), de noyau \(\Gamma^1\), qui s'envoie dans \(\operatorname{Aut}_H(\pi_e)\), \(\pi_e\) le groupe des automorphismes de \(e\). La même chose est esquissée pour un graphe \(K\) sur lequel \(G\) opère transitivement sur les arêtes, \(K_1 \simeq G / H_1 \to K_0 = G / H_0\). Le fait sous-jacent est classique : les automorphismes d'un \(G\)-ensemble homogène \(G/H\) forment le groupe \(N_G(H)/H\). Les suites exactes du bas de la page, superposées et en partie barrées, ne s'interprètent pas avec sûreté.

61–62

V. Le groupe modulaire et les solides de Platon (pages 61 et 62)

La page 61 s'ouvre au milieu d'un calcul. Pour \(n = 2\), soit \(\Gamma^+_{p,q}\) le sous-groupe d'indice \(2\) des rotations, engendré par \(\rho_s\) et \(\rho_f\), du groupe \(\Gamma_{p,q} = \mathfrak{G}_2 / \langle\langle \rho_s^p, \rho_f^q \rangle\rangle\) ; avec \(\sigma = \sigma_0\sigma_2\) (d'ordre \(2\)), on a \(\rho_f\rho_s = \sigma\) (convention ci-dessus). Quand l'un des ordres vaut \(3\) et l'autre est infini, ce groupe est le produit libre \(\mathbf{Z}/2 * \mathbf{Z}/3\), et \[ \Gamma^+_{3,\infty} \simeq \mathrm{SL}(2, \mathbf{Z}) / \{\pm 1\} = \mathrm{PSL}(2, \mathbf{Z}), \] le groupe modulaire³⁶ . Pour le voir, la page cherche les stabilisateurs des points fixes des homographies \(z \mapsto (az + b)/(cz + d)\) : un point fixe \(z = x + iy\), \(y \neq 0\), impose \(d = a - c\operatorname{Tr}(z)\), \(b = -cN(z)\), et \(\det = N(a - cz) = 1\). Pour \(z = i\), le stabilisateur est \(\{\bigl(\begin{smallmatrix} a & -c \\ c & a \end{smallmatrix}\bigr)\}\), et \(\sigma = \bigl(\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)\), avec \(\sigma^2 = -1\) ; pour \(z = \zeta = e^{i\pi/3}\), c'est \(\{\bigl(\begin{smallmatrix} a & -c \\ c & a - c \end{smallmatrix}\bigr)\}\), et l'élément d'ordre \(3\) (modulo \(\pm 1\)) est \(\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\), de cube \(-1\). Leur produit est la translation \(\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\), dont la puissance \(n\)-ième est \(\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\bigr)\)³⁷ .

Réduisant modulo \(n\), on obtient un épimorphisme \[ \Gamma^+_{3,n} \longrightarrow \mathrm{SL}(2, \mathbf{Z}/n) / \{\pm 1\} \qquad (n \geq 2), \] puisque l'élément parabolique devient d'ordre \(n\) ; c'est un isomorphisme si et seulement si \(n \leq 5\), c'est-à-dire si et seulement si \(\Gamma^+_{3,n}\) est fini. La page dresse le tableau : \[ \begin{array}{c|c|c|l} n & \Gamma^+_{3,n} & \mathrm{SL}(2, \mathbf{Z}/n)/\pm 1 & \\ \hline 2 & \mathfrak{S}_3,\ 6 & 6 & \text{diédral d'ordre } 6 \\ 3 & \mathfrak{A}_4,\ 12 & 12 & \text{tétraèdre} \\ 4 & \mathfrak{S}_4,\ 24 & 24 & \text{cube (ou octaèdre)} \\ 5 & \mathfrak{A}_5,\ 60 & 60 & \text{icosaèdre (ou dodécaèdre)} \\ 6 & \mathbf{Z}^2 \rtimes \mathbf{Z}/6,\ \infty & 72 & \text{pavage du plan par des triangles} \end{array} \] avec \(\operatorname{card}\mathrm{SL}(2, \mathbf{F}_q) = q(q^2 - 1)\) et \(\operatorname{card}\mathrm{SL}(2, \mathbf{Z}/p^\nu) = \operatorname{card} \mathrm{SL}(2, \mathbf{F}_p)\cdot p^{3(\nu - 1)}\). Tout cela est exact. C'est le fait classique que le sous-groupe de congruence principal \(\Gamma(n)\) est engendré, comme sous-groupe distingué de \(\mathrm{PSL}(2, \mathbf{Z})\), par la puissance \(n\)-ième de la translation si et seulement si \(n \leq 5\) ; pour \(n \geq 6\), le quotient \(\Gamma^+_{3,n}\) est infini et la carte correspondante n'est plus une carte de congruence³⁸ .

64–71

VI. Les trois réflexions en coordonnées, et la quadrique invariante (pages 64 à 71)

64–66

Les trois réflexions (pages 64 à 66)

Pour \(n = 2\), on refait le calcul des pages 9 à 18 directement. Le repère \(r = (s_0, a_0, f_0)\) donne \(s_1 = \sigma_0 s_0\), \(s_2 = \sigma_1 s_1\), \(s_3 = \sigma_2 s_2\), \(e_i = s_i - s_0\). Les points \(t_2 = \sigma_0 s_2\) et \(t_3 = \sigma_0 s_3\) sont dans les plans \((s_0, s_1, s_2)\) et \((s_0, s_1, s_3)\), \(\sigma_2\) les échange (puisque \(\sigma_0\sigma_2 = \sigma_2\sigma_0\)), et l'on écrit \(t_2 = (\lambda, \mu, 0)\), \(t_3 = (\lambda, 0, \mu)\), d'où \[ \sigma_0(x, y, z) = \bigl(1 - x + (\lambda - 1)(y + z),\ \mu y,\ \mu z\bigr), \qquad \sigma_0^2 = 1 \iff \mu^2 = 1,\ (\lambda - 1)(\mu - 1) = 0 . \] De même \(s'_3 = \sigma_1 s_3 = s_0 + \xi e_1 + \eta e_2 + (1 + \zeta)e_3\) donne \(\sigma_1(x, y, z) = (y + \xi z,\ x + \eta z,\ (1 + \zeta)z)\), et \(\sigma_1^2 = 1\) équivaut à \((1 + \zeta)^2 = 1\) et \(\xi + \eta + \xi\zeta = \xi + \eta + \eta\zeta = 0\). Comme \(\det\sigma_{1V} = -(1 + \zeta)\), et que le lieu fixe de \(\sigma_1\) est un plan si et seulement si \(\zeta = 0\) et \(\xi = -\eta\), on prend \(\zeta = 0\), \(\xi = -\eta\)³⁹ . Quant à \(\sigma_0\), c'est une réflexion si et seulement si \(\mu = 1\) ; pour \(\mu = -1\) (et alors \(\lambda = 1\)), c'est la symétrie par rapport au milieu de \(s_0 s_1\)⁴⁰ . Avec \(\zeta = 0\), \(\mu = 1\), \(\lambda = 1 + \beta\), \(\eta = 1 + \alpha\) : \[ \begin{aligned} \sigma_0(x, y, z) &= \bigl(1 - x + \beta(y + z),\ y,\ z\bigr), \\ \sigma_1(x, y, z) &= \bigl(y - (1 + \alpha)z,\ x + (1 + \alpha)z,\ z\bigr), \\ \sigma_2(x, y, z) &= (x, z, y), \end{aligned} \] qui est la forme normale de la page 18 pour \(n = 2\), avec \(\beta = \alpha_0\), \(\alpha = \alpha_1\).

67–69

La fonction quadratique invariante (pages 67 à 69)

\(\rho_s = \sigma_1\sigma_2\) est d'ordre \(p\) si et seulement si \(\Psi_p(\alpha) = 0\), et \(\rho_f = \sigma_0\sigma_1\) d'ordre \(q\) si et seulement si \(\Psi_q(\beta) = 0\) (page 67 ; c'est la proposition de la section I). On cherche les fonctions quadratiques \(f = ax^2 + by^2 + cz^2 + uyz + vzx + wxy + px + qy + rz + d\) invariantes par \(\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2\) ; on peut supposer \(d = 0\). La page trouve, à un facteur près, \[ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - \gamma\, yz - \beta\, zx - \beta\, xy - (x + y + z), \qquad \gamma = 2 + 2(\alpha + \beta) + \alpha\beta = (\alpha + 2)(\beta + 2) - 2 . \] Les fonctions quadratiques invariantes sont les combinaisons de \(f\) et de \(1\) ; celles qui s'annulent en \(s_0\) — donc sur tous les sommets — sont les multiples de \(f\)⁴¹ . Sa partie quadratique \(f_0\) a pour matrice \[ \begin{pmatrix} 2 & -\beta & -\beta \\ -\beta & 2 & -\gamma \\ -\beta & -\gamma & 2 \end{pmatrix}, \qquad \delta' = \tfrac12 \det = -(\alpha + 2)(\alpha + \beta)(\beta + 2)^2 , \] et \(f\), homogénéisée, a pour discriminant \(\delta(f) = (\alpha - 2)(\alpha + 2)(\beta + 2)^2\)⁴² . Si \(\alpha + \beta\) est inversible, le groupe a un unique point fixe, le centre \[ c = \Bigl(\frac{\alpha}{2(\alpha + \beta)},\ \frac{-1}{2(\alpha + \beta)},\ \frac{-1}{2(\alpha + \beta)}\Bigr), \qquad f(c) = \frac{2 - \alpha}{4(\alpha + \beta)} , \] et l'antipodisme est la symétrie \(x \mapsto 2c - x\), qui conserve \(f\). \(f(c)\) s'annule si et seulement si \(\alpha = 2\) : la quadrique circonscrite est alors un cône⁴³ . Puis vient le tableau (page 69), dont toutes les valeurs ont été vérifiées : \[ \begin{array}{l|c|c|c|c} & \alpha\ (\text{sommet}) & \beta\ (\text{face}) & \delta' & \delta \\ \hline \text{tétraèdre} & -1 & -1 & 2 & -3 \\ \text{cube} & -1 & 0 & 4 & -12 \\ \text{octaèdre} & 0 & -1 & 2 & -4 \\ \text{icosaèdre} & \alpha^2 + \alpha = 1 & -1 & 1 & -\alpha - 3,\ N = 5 \\ \text{dodécaèdre} & -1 & \beta^2 + \beta = 1 & \beta + 2,\ N = 1 & -9\beta - 15,\ N = 9 \\ \text{« pentagrammes »} & \alpha^2 + \alpha = 1 & \beta = \alpha' & \beta + 2,\ N = 1 & 4\alpha - 3,\ N = 5 \end{array} \] (\(N\) la norme de \(\mathbf{Q}(\sqrt 5)\) à \(\mathbf{Q}\)). On en lit les caractéristiques exceptionnelles : le centre est à l'infini si et seulement si la caractéristique est \(2\) (dans les six cas, \(2(\alpha + \beta)\) est, au signe près, une puissance de \(2\) multipliée par une unité) ; \(f_0\) est dégénérée en caractéristique \(2\) pour les trois premiers, jamais pour les trois derniers ; \(f\) est dégénérée en caractéristique \(3\) (tétraèdre), \(2\) et \(3\) (cube), \(2\) (octaèdre), \(5\) (icosaèdre et pentagrammes), \(3\) (dodécaèdre). Les « pentagrammes » — \(\alpha\) et \(\beta\) les deux racines distinctes de \(x^2 + x - 1\) — sont les polyèdres réguliers étoilés de type \(\{5, 5/2\}\) et \(\{5/2, 5\}\), le grand dodécaèdre et le petit dodécaèdre étoilé de Kepler–Poinsot⁴⁴ .

70–71

Un cas hyperbolique (pages 70 et 71)

La page 71, barrée en haut, dit ce qu'il faut pour une réalisation réelle qui soit un vrai dessin : pour \(p\), \(q\) finis \(\geq 3\), \(\alpha\) et \(\beta\) de la forme \(\zeta + \zeta^{-1}\), \(\zeta = e^{2i\pi/m}\) ; \(\alpha = -2\) ou \(\beta = -2\) « donne des croisements » ; et pour \(p = \infty\) (resp. \(q = \infty\)) il faut \(\alpha = 2\) (resp. \(\beta = 2\)). Elle traite \(\beta = 2\), \(\alpha \neq -2\) : \(\gamma = 2(2\alpha + 3)\), \(\delta' = -16(\alpha + 2)^2\), et \[ f_0(x, y, z) = (-x + y + z)^2 - 4(\alpha + 2)\,yz, \qquad f(c) = \frac{2 - \alpha}{4(\alpha + 2)} . \] Pour \(-2 < \alpha < 2\), \(f(c) = \lambda > 0\), et, en coordonnées centrées \(X = x - c\), les sommets vérifient \(f_0(X) = -\lambda\). Avec \(4YZ = (Y + Z)^2 - (Y - Z)^2\) et \(U = (-X + Y + Z)/\sqrt\lambda\), \(V = \sqrt{\alpha + 2}\,(Y - Z)/\sqrt\lambda\), \(W = \sqrt{\alpha + 2}\,(Y + Z)/\sqrt\lambda\), cela devient \[ W^2 = U^2 + V^2 + 1 , \] la dernière ligne de la page 70 : un hyperboloïde à deux nappes⁴⁵ . C'est le modèle de l'hyperboloïde du plan hyperbolique, et le groupe, qui conserve la forme de signature \((2, 1)\), y agit par isométries : les faces y sont des « apeirogones » et l'on obtient le pavage régulier \(\{\infty, p\}\) du plan hyperbolique, avec \(\alpha = 2\cos(2\pi/p)\) — l'une des réalisations « géodésiques » que le dossier 88 attribue aux cartes standards⁴⁶ .

73–111

VII. L'icosaèdre en coordonnées universelles (pages 73 à 111)

La chemise de la page 73 porte « (32) Calculs en coordonnées universelles (icosaèdre) — vieilles rédactions ». Dans toute la section, \(\beta = -1\) (faces triangulaires) et \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\) (cinq faces en chaque sommet), \(\alpha' = -1 - \alpha\), de sorte que \(\alpha\alpha' = -1\). Les calculs ont lieu sur l'anneau \(\mathbf{Z}[\alpha] = \mathbf{Z}[x]/(x^2 + x - 1)\), ou sur toute base où \(\alpha\) est défini. La page 89 note les identités utiles : \[ (1 + \alpha)\alpha = 1, \quad (1 - \alpha)(1 - \alpha') = 1, \quad (1 + \alpha)(1 + \alpha') = -1, \] \[ (\alpha + 2)(\alpha' + 2) = 1, \quad (2\alpha - 1)(2\alpha' - 1) = -1 ; \] en particulier \(\alpha\), \(1 \pm \alpha\), \(\alpha + 2\), \(2\alpha - 1\) sont des unités, et \(\alpha - 2\) en est une si et seulement si \(5\) est inversible, car \((\alpha - 2)(\alpha + 3) = -5\) (page 90 ; l'identité est de l'édition).

74–75

Première passe : les réflexions et les douze sommets (pages 74 et 75)

Les trois générateurs sont \[ \sigma_0(x, y, z) = \bigl(1 - (x + y + z),\ y,\ z\bigr), \quad \sigma_1(x, y, z) = (y + \alpha' z,\ x - \alpha' z,\ z), \quad \sigma_2(x, y, z) = (x, z, y), \] de miroirs \(H_0 : 2x + y + z = 1\), \(H_1 : x - y - \alpha' z = 0\), \(H_2 : y = z\), et de centres les directions \(\Delta_0 = \langle e_1 \rangle\), \(\Delta_1 = \langle e_1 - e_2 \rangle\), \(\Delta_2 = \langle e_2 - e_3 \rangle\). En caractéristique \(2\), \(H_0\) devient \(y + z = 1\) et \(H_2\) s'écrit \(y + z = 0\) : ils sont parallèles⁴⁷ . Les intersections deux à deux des miroirs sont les axes : \(D_0 = H_1 \cap H_2\), la droite \(y = z = \alpha' x\), de direction \((1, \alpha', \alpha') = \alpha'(-\alpha, 1, 1)\), qui passe par \(s_0\) ; \(D_1 = H_2 \cap H_0\), \(y = z = \tfrac12 - x\) si \(2\) est inversible ; \(D_2 = H_0 \cap H_1\), \(y = \alpha + (1 - 3\alpha)x\), \(z = (1 - \alpha)(1 - 3x)\) (page 111, vérifié). Le centre et l'antipodisme sont \[ o = \tfrac12(\alpha',\ 1 - \alpha',\ 1 - \alpha'), \qquad \iota(x, y, z) = \bigl(\alpha' - x,\ 1 - \alpha' - y,\ 1 - \alpha' - z\bigr) , \] et les douze sommets \[ \begin{array}{ll} s_0 = (0, 0, 0) & \iota s_0 = (\alpha', 1 - \alpha', 1 - \alpha') \\ s_1 = (1, 0, 0) & \iota s_1 = (\alpha' - 1, 1 - \alpha', 1 - \alpha') \\ s_2 = (0, 1, 0) & \iota s_2 = (\alpha', -\alpha', 1 - \alpha') \\ s_3 = (0, 0, 1) & \iota s_3 = (\alpha', 1 - \alpha', -\alpha') \\ s'_3 = (\alpha', -\alpha', 1) & \iota s'_3 = (0, 1, -\alpha') \\ s''_3 = (0, -\alpha', 1) & \iota s''_3 = (\alpha', 1, -\alpha') \end{array} \] sont l'orbite de \(s_0\) sous le groupe engendré, d'ordre \(120\)⁴⁸ .

La fonction quadratique de la page 68 devient \[ q(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - \alpha\,yz + zx + xy - (x + y + z) , \] de partie homogène \(q_0\), de matrice \(\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\alpha \\ 1 & -\alpha & 2 \end{smallmatrix}\bigr)\) et de demi-discriminant \(\delta'(q_0) = 1\). Elle est normalisée par \(q_0(e) = 1\) pour un vecteur arête \(e = s_1 - s_0\) ; pour un vecteur « coarête » \(f = s_3 - s_2\), joignant deux sommets à distance \(2\), \(q_0(f) = \alpha + 2 = \alpha'^2\). Dans les coordonnées classiques, où les sommets sont les permutations circulaires de \((\pm x, \pm y, 0)\), cela donne \((y/x)^2 = \alpha'^2\), et, pour l'icosaèdre convexe réel (\(\alpha = \tfrac12(-1 + \sqrt 5)\)), \(y/x = -\alpha' = \tfrac12(1 + \sqrt 5)\) : le rectangle d'or. En caractéristique \(2\), la forme polaire de \(q_0\) est dégénérée, de noyau engendré par \(u = (\alpha', \alpha, \alpha)\), mais \(q_0(u) = \alpha' \neq 0\), ce qui exprime que \(q_0\) reste non dégénérée comme forme quadratique⁴⁹ .

76–78

Vecteurs et directions remarquables ; la caractéristique 5 (pages 76 à 78)

Le centre étant pris pour origine en caractéristique \(\neq 2\), la forme quadratique identifie \(V\) à son dual, donc les directions de droites et de plans. La page dresse la liste : \(12\) vecteurs « doubles sommets » \(S\) ; \(30\) vecteurs arêtes \(\Delta\) (quinze paires de vecteurs opposés) ; \(30\) vecteurs coarêtes \(\Delta'\) ; les \(30\) milieux d'arêtes \(\mathcal{A}\) et de coarêtes \(\mathcal{A}'\) ; les \(20\) barycentres (triplés) des faces \(\Phi\) et des « cofaces » \(\Phi'\), triangles de sommets deux à deux à distance \(2\) ; les \(20\) sommets \(\Psi\) et \(\Psi'\) de dodécaèdres circonscrits ; les \(12\) barycentres \(\Sigma\) des pentagones de sommets voisins. Elle écrit \[ \Delta = \alpha\Delta', \quad \Delta = \mathcal{A}', \quad \Delta' = \mathcal{A}, \quad \Phi' = (2\alpha - 1)\Phi , \] où \(\mathcal{A}\), \(\mathcal{A}'\) sont les sommes \(s_i + s_j\) (centrées) ; ces relations ont été vérifiées sur machine, avec \(20\) cofaces. Les relations sur \(\Psi\) et \(\Sigma\) — « \(\Psi = \mu\Phi\), \(\mu = 1 + 2\alpha\), \(\mu^2 = 5\) », « \(\Sigma = \rho S\) » — sont rapportées sans vérification : leurs légendes sont trop incertaines pour qu'on sache quels points elles désignent⁵⁰ .

Directions, et la caractéristique 5 (page 78). Il y a \(6\) directions de sommets, \(15\) d'arêtes et \(10\) de plans de faces : \(31 = 5^2 + 5 + 1\), le nombre de points du plan projectif sur \(\mathbf{F}_5\). Ce n'est pas un hasard. En caractéristique \(5\), \(\alpha^2 + \alpha - 1 = (\alpha - 2)^2\), donc \(\alpha = 2\) et \(f(o) = (2 - \alpha)/(4(\alpha - 1)) = 0\) : les sommets sont des vecteurs isotropes de \(q_0\), et les six directions de sommets sont les six points de la conique \(q_0 = 0\) sur \(\mathbf{F}_5\). Les quinze directions d'arêtes correspondent aux points extérieurs à la conique (intersections de deux tangentes), les dix directions de faces aux points intérieurs, comme le dit la page en termes de « sécantes » et de « diviseurs conjugués ». Pour les vecteurs, \(125 = 1 + 24 + 60 + 40\) : le vecteur nul, \(24 = 2 \times 12\) vecteurs isotropes non nuls — les sommets de « deux icosaèdres » —, \(60\) et \(40\) vecteurs sur les points extérieurs et intérieurs⁵¹ .

80–80

Un départ par les cocycles (page 80)

Une représentation affine est une représentation linéaire \(\Gamma \to \mathrm{SO}(q)\) accompagnée d'un \(1\)-cocycle \(f : \Gamma \to V\), \(f(gg') = f(g) + g f(g')\). Avec \(s_0\) pour origine, \(f(\sigma_1) = f(\sigma_2) = 0\), et tout revient à \(e = f(\sigma_0)\) : \(\sigma_0^2 = 1\) donne \(\sigma_0 e = -e\), la commutation de \(\sigma_0\) et \(\sigma_2\) donne \(\sigma_2 e = e\), et, pour \(u = \rho_f\), \(f(u^3) = (1 + u + u^2)e = 0\). La page s'arrête sur ces conditions encadrées⁵² .

82–88

La rédaction suivie : relations et nombre de sommets (pages 82 à 88)

Les pages 82 à 99 reprennent tout, posément, en numérotant les formules. On part de \(\sigma_0\), \(\sigma_2\) connus et de \(\sigma_1\) inconnu, \(\sigma_1 s_3 = s'_3 = s_0 + \lambda e_1 + \mu e_2 + \nu e_3\). \(\sigma_1^2 = 1\) s'écrit \(\nu^2 = 1\), \(\mu = -\nu\lambda\), \(\lambda = -\nu\mu\) ; sur un corps, \(\nu = 1\), \(\mu = -\lambda\) ou \(\nu = -1\), \(\mu = \lambda\) ; et \(\det\sigma_1 = -\nu\), de sorte qu'une réflexion demande \(\nu = 1\). On pose \(\lambda = -(1 + \alpha) = \alpha'\) (1), d'où \[ s'_3 - s_3 = (1 + \alpha)(s_2 - s_1) \quad (2), \qquad \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \alpha' & 0 \\ 1 & 0 & -\alpha' & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad (3) . \] La page écrit la seconde forme de cette matrice avec un signe douteux⁵³ . Avec \(\rho_f = \sigma_0\sigma_1\) et \(\rho_s = \sigma_1\sigma_2\)⁵⁴ , on trouve \(s''_3 = \rho_f s_3 = s_3 + (1 + \alpha)e_2\) (5), \(s''_3 - s_3 = (1 + \alpha)(s_2 - s_0)\) (6), et \[ \rho_f : s_3 \mapsto s''_3 \mapsto s'_3 \mapsto s_3 \quad (7), \qquad \rho_f^3 = \mathrm{id} \quad (8) . \] Les points \(s_1, s_2, s_3, s'_3\) sont dans le plan \(x + y + z = 1\), stable par \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\), donc par \(\rho_s\), et « un calcul commode » montre \[ \rho_s^5 = \mathrm{id} \iff \alpha^2 + \alpha - 1 = 0 \quad (9) , \] ce qui est exact⁵⁵ . Le groupe \(G = \langle \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \mid \sigma_i^2, (\sigma_0\sigma_2)^2, \rho_f^3, \rho_s^5 \rangle\) (10) — le groupe de Coxeter \(H_3\), groupe des automorphismes de l'icosaèdre combinatoire épinglé — opère donc sur l'espace dès que \(\alpha^2 + \alpha = 1\)⁵⁶ .

Les transformés de \(s_0\), de \(\operatorname{Dr}(s_0, s_1)\) et de \(\operatorname{Pl}(s_0, s_1, s_2)\) forment-ils un icosaèdre géométrique — c'est-à-dire, sur tout corps, n'ont-ils entre eux que les incidences de l'icosaèdre combinatoire ? (pages 85 à 87). « Si nous admettons que \(G\) est fini d'ordre \(120\) » — c'est vrai, et classique — le stabilisateur de \(s_0\) contient le groupe diédral \(\langle \sigma_1, \rho_s \rangle\) d'ordre \(10\), donc le nombre de sommets divise \(12\). Les six points \(s_0, s_1, s_2, s_3, s'_3, s''_3\) sont distincts : \(s'_3\) et \(s''_3\) ont pour dernière coordonnée \(1\), et ils coïncident entre eux ou avec \(s_3\) si et seulement si \(1 + \alpha = 0\), ce qui, avec \(\alpha^2 + \alpha = 1\), donnerait \(0 = 1\) (« sur une base non vide ! »). Il y a donc \(6\) ou \(12\) sommets. S'il y en avait \(6\), le stabilisateur de \(s_0\) serait d'ordre \(20\) et contiendrait ce diédral ; or \(G \simeq \mathfrak{A}_5 \times \{1, \iota\}\), \(\mathfrak{A}_5\) n'a pas de sous-groupe d'ordre \(20\), et le seul sous-groupe d'ordre \(20\) qui contienne le diédral est son produit par le centre \(\{1, \iota\}\). Cela voudrait dire \(\iota s_0 = s_0\) ; le calcul des antipodes donne donc la liste des douze sommets⁵⁷ .

89–94

Centre, antipodisme, incidences (pages 89 à 94)

Le centre est l'unique point fixe de \(G\) (s'il existe) : sur les miroirs (12)–(14), \(o = \tfrac12(\alpha', 1 - \alpha', 1 - \alpha') = \tfrac12(-(1 + \alpha), 2 + \alpha, 2 + \alpha)\) (15). En caractéristique \(\neq 2\) c'est un point ; en caractéristique \(2\), c'est le point à l'infini dans la direction \((-1, 1/\alpha, 1/\alpha)\).

Proposition (page 91). L'antipodisme \(\iota\) — l'élément central non trivial de \(G\), \((\sigma_0\sigma_1\sigma_2)^5\) — est donné en toute caractéristique par \[ \iota(x, y, z) = \bigl(\alpha' - x,\ (1 - \alpha') - y,\ (1 - \alpha') - z\bigr) \quad (17) ; \] si \(2\) est inversible, c'est la symétrie de centre \(o\), et \(o\) est son unique point fixe ; en caractéristique \(2\), c'est la translation de vecteur \((\alpha', \alpha, \alpha)\), sans point fixe à distance finie.⁵⁸ En caractéristique \(2\), l'équation \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\) n'a de solutions que dans \(\mathbf{F}_4 \smallsetminus \mathbf{F}_2\) : se donner \(\alpha\) sur une base \(Y\) au-dessus de \(\mathbf{F}_2\), c'est se donner une structure de \(\mathbf{F}_4\)-schéma, \(Y \to \operatorname{Spec} \mathbf{F}_4\), et \(1/\alpha = \alpha + 1\) est l'autre élément de \(\mathbf{F}_4 \smallsetminus \mathbf{F}_2\)⁵⁹ . Les antipodes des six premiers sommets (18) sont ceux du tableau de la page 75 ci-dessus⁶⁰ .

Incidences (pages 93 et 94). La page veut prouver, « sur un corps de base quelconque », que trois sommets distincts ne sont pas alignés, et que quatre sommets distincts ne sont coplanaires que s'ils sont sur une même face — d'où il suivrait qu'un sommet ou une arête n'est incident géométriquement à une face que s'il l'est combinatoirement. Une note marginale ajoute : « c'est en fait faux en car. \(2\) ! ». La seconde affirmation est en fait fausse en toute caractéristique : les cinq voisins d'un sommet sont coplanaires (la page 85 le dit de quatre d'entre eux, \(s_1, s_2, s_3, s'_3\)), et les extrémités de deux arêtes opposées aussi, sur un plan passant par le centre — le rectangle d'or ; il y a \(75\) quadruplets coplanaires de sommets, dont aucun ne contient une face. La page se replie sur ce qui suffit :

1. a)–c)la droite qui joint \(s_0\) à son antipode, à un voisin \(s_1\), ou à un sommet \(s''_3\) à distance \(2\) ne contient pas d'autre sommet (« c'est vrai ») ; par homogénéité, aucun triplet de sommets n'est aligné ;
2. aucun des neuf autres sommets n'est dans le plan \(z = 0\) de la face \((s_0, s_1, s_2)\), c'est-à-dire n'a de coordonnée \(z\) nulle — « et on est heureux ! ».

Ces deux faits valent en toute caractéristique, \(2\) et \(5\) comprises : les coordonnées \(z\) des neuf sommets sont \(1\), \(1 - \alpha' = 2 + \alpha\) ou \(-\alpha' = 1 + \alpha\), qui sont des unités de \(\mathbf{Z}[\alpha]\) ; et pour chaque triplet de sommets, les mineurs d'ordre \(2\) qui expriment le non-alignement engendrent l'idéal unité⁶¹ . La réalisation est donc fidèle au sens de la page 110 en toute caractéristique : l'icosaèdre reste un icosaèdre.

95–99

La quadrique circonscrite (pages 95 à 99)

Les fonctions quadratiques invariantes (page 95, puis page 97) : l'invariance par \(\sigma_2\) donne \(b = c\), \(v = w\), \(\mu = \nu\) ; par \(\sigma_0\), \(v = a\) et \(\lambda = -a\) ; par \(\sigma_1\) (formule (13)), \(b = a\), \(u = -\alpha a\), \(\mu = -a\). D'où \[ \begin{aligned} f &= a\,q, \\ q(x, y, z) &= x(x + y + z - 1) + (y^2 + z^2) - \alpha\,yz - (y + z) \\ &= x^2 + y^2 + z^2 - \alpha\,yz + zx + xy - (x + y + z) \qquad (19) . \end{aligned} \] Les fonctions quadratiques invariantes sont les \(a\,q + d\), et celles qui sont nulles sur les sommets les \(a\,q\)⁶² .

Les pages 99 et 101 font le calcul inverse, sans supposer l'invariance : une fonction quadratique nulle en \(s_0, s_1, s_2, s_3\) s'écrit \(a(x^2 - x) + b(y^2 - y) + c(z^2 - z) + uyz + vzx + wxy\) ; l'annulation en \(s''_3\) donne \(u = -\alpha b\), puis, en \(s'_3\), \(b = c\) et \(v = \alpha' w - (\alpha' - 1)a\), en \(\iota s''_3\) donne \(w = \alpha' v - (\alpha' - 1)a\), d'où \(v = w = a\) (page 101), puis, en \(\iota s_2\), \(b = a\). Donc les douze sommets sont sur une quadrique et une seule, \(q = 0\), et la vérification en \(\iota s_0\), \(\iota s_1\) est inutile, \(q\) étant invariante (« c'est clair »)⁶³ .

100–100

Un feuillet étranger (page 100)

Au crayon puis à l'encre, barré, un brouillon de topologie générale sans lien avec l'icosaèdre : on construit une homotopie \(h : X \times I \to Y\), égale à \((f|F') \circ \mathrm{pr}_1\) sur \(F' \times I\) et à \((b, t) \mapsto c(t\varphi(b))\) sur \(F \times I\), à l'aide d'une fonction continue égale à \(1\) en un point \(x\) et à \(0\) sur le bord \(B = F \cap F'\), avec \(X = F \cup F'\) ; une condition a) demande l'existence d'une telle fonction (« p. ex. si \(F\) compact régulier », lecture douteuse). On n'en dit pas plus.

101–106

Discriminants ; deux feuillets intercalés (pages 101 à 106)

La forme homogène \(q_0\) a pour matrice \(\bigl(\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -\alpha \\ 1 & -\alpha & 2 \end{smallmatrix}\bigr)\), de déterminant \(8 - 2\alpha - 2 - 2\alpha^2 - 2 = 4 - 2(\alpha^2 + \alpha) = 2\) : \(\delta = 2\), donc \(\delta' = 1\) (20)–(21). « Forme quadratique très parfaite, merveille ! » La forme \(q\) homogénéisée par une variable \(t\) a pour matrice \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -\alpha & -1 \\ 1 & -\alpha & 2 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \det = -\alpha - 3, \quad N(-\alpha - 3) = 5 , \] « sauf erreur de calcul » — il n'y en a pas⁶⁴ . La quadrique projective est donc lisse sauf en caractéristique \(5\), où — ajout à l'encre noire — « l'icosaèdre est inscrit dans une … de rayon nul, des quadriques sing. ! » : le cône de sommet \(o\) que l'on a vu à la page 78. En toute autre caractéristique, l'icosaèdre est inscrit dans une « quadrique lisse » (fin de la phrase, en tête de la page 106)⁶⁵ .

Deux feuillets d'un autre papier sont intercalés. La page 103 considère le groupe \(\mu_n\) opérant sur un module quadratique de rang \(2\), \(V_T \simeq D \oplus D^{-1}\), par \(\zeta.(x, y) = (\zeta x, \zeta^{-1}y)\) ; elle pose \(c = \zeta + \zeta^{-1}\), \(\zeta^2 - c\zeta + 1 = 0\), et note qu'une section \(c\) de \(\mathcal{O}_S\) racine du polynôme cyclotomique « réel » définit un revêtement quadratique \(\operatorname{Spec}\mathcal{O}_S[X]/(X^2 - cX + 1)\) sur lequel vit \(\zeta\), avec \(\sigma\zeta = \zeta^{-1}\) pour l'involution du revêtement. C'est, dans la langue des schémas, le passage du paramètre \(\alpha = \zeta + \zeta^{-1}\) des rotations à la racine de l'unité \(\zeta\) elle-même⁶⁶ . La page 105 note que pour un module localement libre \(F\) de rang \(2\), \(\mathbb{V} = \operatorname{Sym}^2(F) \otimes (\det F)^{-1}\) porte une forme quadratique canonique, le discriminant \(Q : \mathbb{V} \to \mathcal{O}_S\), qui en base s'écrit \(b^2 - ac\) : c'est la construction de l'isomorphisme \(\mathrm{PGL}_2 \simeq \mathrm{SO}_3\) que la lecture du dossier 82 développe⁶⁷ . La page 104 calcule les mineurs du déterminant (22).

107–111

Suffisance ; réalisations régulières et fidèles (pages 107 à 111)

« Est-il clair que la condition \(\alpha^2 + \alpha - 1 = 0\) est suffisante pour avoir une représentation de l'icosaèdre ? » (page 107). On a une représentation affine du groupe de Coxeter \(\Gamma' = \langle \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \mid \sigma_i^2, (\sigma_0\sigma_1)^3, (\sigma_1\sigma_2)^5, (\sigma_0\sigma_2)^2\rangle\), qui a pour quotient le groupe \(\Gamma\) de l'icosaèdre combinatoire ; si l'on sait que \(\Gamma' \simeq \Gamma\), c'est fini, sinon il faut vérifier, « de pure routine », que les douze points sont stables par les générateurs et que ceux-ci y opèrent comme sur les douze sommets de l'icosaèdre combinatoire. On sait aujourd'hui que \(\Gamma' \simeq \Gamma\) (les deux sont d'ordre \(120\)) ; et la vérification de routine a été faite ici sur machine⁶⁸ .

Définitions (pages 109 et 110). Soit \(\Pi = (S, A, F; r)\) l'icosaèdre combinatoire épinglé par le repère \(r = (s_0, \operatorname{Dr}(s_0, s_1), \operatorname{Pl}(s_0, s_1, s_2))\), et \(\Gamma\) son groupe d'automorphismes. Une représentation (ou réalisation) affine de \(\Pi\) dans un fibré affine \(E\) de dimension relative \(3\) sur un schéma \(Y\) est la donnée d'applications \(\rho_S\), \(\rho_A\), \(\rho_F\) de \(S\), \(A\), \(F\) dans les sections de \(E\), ses sous-fibrés en droites affines, ses sous-fibrés en plans affines, qui respectent l'incidence⁶⁹ . Elle est

• acceptable si les sommets d'une face ont des images deux à deux distinctes — alors \(\rho_A\), \(\rho_F\) sont connues par \(\rho_S\), qui peut être donnée arbitrairement ;
• fidèle si deux facettes dont les réalisations sont incidentes sur une fibre sont incidentes ; cela entraîne qu'elle est acceptable et que \(\rho_S\), \(\rho_A\), \(\rho_F\) sont injectives ;
• régulière si elle est acceptable et si tout \(g \in \Gamma\) se prolonge en un automorphisme affine \(g_E\) de \(E\) ; c'est une propriété de \(\rho_S\), qui entraîne que \(\rho_S(S)\) engendre affinement \(E\).

Proposition (page 109). Une représentation régulière est fidèle. La démonstration commence comme celle de la page 51 — \(s_0, s_1, s_2, s_3\) sont affinement indépendants, car sinon le plan \(P = \operatorname{Pl}(s_0, s_1, s_2)\), déjà stable par \(\sigma_0\) et \(\sigma_1\), le serait aussi par \(\sigma_2\) — et s'interrompt. Pour l'icosaèdre, la conclusion est vraie, et c'est le résultat des pages 93 et 94 complété plus haut : la seule réalisation régulière à repère près (celle des pages 82 à 99) est fidèle en toute caractéristique.

Réalisations régulières et représentations (page 111). Se donner une réalisation régulière de \(\Pi\) revient à se donner une représentation affine de rang \(3\) de \(\Gamma\) dans \(E\) et un point \(s_0 \in E^{\sigma_1} \cap E^{\sigma_2}\), c'est-à-dire sur l'axe \(D_0\), tel que \(s_0\), \(s_1 = \sigma_0 s_0\), \(s_2 = \sigma_1 s_1\), \(s_3 = \sigma_2 s_2\) soient affinement indépendants. Deux tels points \(s_0, s'_0\) se correspondent par un unique automorphisme de \(E\) commutant à \(\Gamma\) — l'homothétie de centre \(o\) qui envoie l'un sur l'autre, quand \(2\) est inversible⁷⁰ .

113–119

VIII. Position du problème des 2-polyèdres réguliers (pages 113 à 119)

La chemise rose de la page 113 porte « Position du pb des 2-polyèdres réguliers / vieille rédaction » et « (10 p) ».

114–115

Drapeaux universels (pages 114 et 115)

Soit \(\mathfrak{G}_2 = \langle \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \mid \sigma_i^2, (\sigma_0\sigma_2)^2 \rangle\) (1)–(2) le groupe cartographique⁷¹ . Pour toute partie non vide \(H \subset \{0, 1, 2\}\), soit \(\mathfrak{G}_H\) le sous-groupe engendré par les \(\sigma_i\), \(i \notin H\), et \(\mathfrak{F}_H = \mathfrak{G}_2 / \mathfrak{G}_H\) l'ensemble des drapeaux universels de type \(H\) (3). Pour \(H \subset K\), \(\mathfrak{G}_K \subset \mathfrak{G}_H\) donne \(\varphi_{HK} : \mathfrak{F}_K \to \mathfrak{F}_H\) (4), et \(\mathfrak{F}_{**} = \coprod_H \mathfrak{F}_H\) est ordonné par \(x \preccurlyeq y\) si et seulement si \(H \subset K\) et \(x = \varphi_{HK}(y)\) (5)–(6). Les éléments minimaux, \(\mathfrak{F}_0\), \(\mathfrak{F}_1\), \(\mathfrak{F}_2\), sont les sommets, arêtes et faces universels ; sur leur réunion \(\mathfrak{F}_*\), on a la dimension (8) et la relation d'incidence : \(x \leq y\) si \(\dim x \leq \dim y\) et s'il existe \(z \in \mathfrak{F}_{**}\) avec \(x, y \preccurlyeq z\) (9)⁷² . C'est la carte universelle, dont toute \(2\)-carte est un quotient.

115–117

Un polyèdre régulier dans un schéma (pages 115 à 117)

Soit \(X\) un schéma affine (ou quasi-projectif) sur une base \(Y\), et \(\mathfrak{F}_H(X/Y)\) ses drapeaux de type \(H\), au sens habituel. Un polyèdre régulier scindé \(P\) dans \(X\) est la donnée de trois ensembles finis \[ S \subset \mathfrak{F}_0(X/Y) = X(Y), \qquad A \subset \mathfrak{F}_1(X/Y), \qquad F \subset \mathfrak{F}_2(X/Y) \quad (10) \] satisfaisant [11] : (a) chaque arête est incidente à exactement deux sommets, (b) chaque couple sommet–face incidents l'est à exactement deux arêtes, (c) chaque arête à exactement deux faces — et chaque condition reste vraie après tout changement de base \(Y' \to Y\), \(Y' \neq \varnothing\). Alors \(\Psi_* = S \amalg A \amalg F\) (12) est un ensemble ordonné du type voulu, on en forme les drapeaux de tout type \(H\) (12 bis), et \(\operatorname{Rep}(P) = \Psi_{\{0,1,2\}}\) (13), sur lequel \(\mathfrak{G}_2\) opère par (14), \(\sigma_i\) changeant la \(i\)-ième composante. Les restrictions \(\operatorname{Rep}(P) \to \Psi_H(P)\) (15) se factorisent par \(\operatorname{Rep}(P)/\mathfrak{G}_H\) (16). On demande de plus :

1. [17]les applications (15) sont surjectives ;
2. [18]\(S\) engendre affinement \(X\) fibre par fibre ;
3. [19]une condition de connexité sur \(\Psi_*(P)\), qui assure que \(\mathfrak{G}_2\) opère transitivement sur \(\operatorname{Rep}(P)\) et qu'un automorphisme de \(P\) fixant un repère est l'identité ;
4. [20]\(\operatorname{Aut}(X, P)\) opère transitivement sur \(\operatorname{Rep}(P)\)⁷³ .

Alors le stabilisateur \(N\) d'un repère est distingué — les automorphismes de \(P\) commutent à \(\mathfrak{G}_2\) et sont transitifs, de sorte que tous les repères ont le même stabilisateur — et \(\operatorname{Rep}(P)\) est un torseur sous \(\Gamma_P = \mathfrak{G}_2 / N\) (21) ; \(\operatorname{Aut}(X, P) \simeq \operatorname{Aut}_{\mathrm{comb}}(P)\) (22), et le choix d'un repère \(r\) définit une bijection \(\varphi : \Gamma_P \to \operatorname{Aut}(X, P)\), \(\varphi(\gamma)\) étant l'unique automorphisme tel que \(\varphi(\gamma)(r) = \gamma.r\) (23)–(24). Ce \(\varphi\) est un anti-isomorphisme : \(\varphi(\gamma\gamma')(r) = \gamma\gamma'.r\), tandis que \(\varphi(\gamma)\varphi(\gamma')(r) = \varphi(\gamma)(\gamma'.r) = \gamma'.\varphi(\gamma)(r) = \gamma'\gamma.r\)⁷⁴ .

117–119

Questions (pages 117 à 119)

\(r\) étant fixé, \(\gamma \mapsto \gamma.r\) est surjective par [19], et les surjections induites \(N \backslash \mathfrak{F}_H = \mathfrak{G}_2 / N\mathfrak{G}_H \to \Psi_H(P)\) (26) sont-elles bijectives ? Que dire des sous-groupes distingués \(N\) et des espaces homogènes \(\mathfrak{G}_2 / N \simeq \Psi_{**}(P)\) ? « On voudrait que ce soit l'ensemble des \(5\) cartes correspondant aux polyèdres réguliers connus — en particulier, on voudrait que ce soit orientable ! Et il faudrait, pour une carte combinatoire donnée, déterminer les polyèdres réguliers épinglés par ce \(\mathfrak{F}\) — ce qui est un pb modulaire… »⁷⁵ .

Si (26) est bijective — et sinon, il faudrait renforcer la définition — on récupère \(P\) à partir de \(\varphi : \mathfrak{G}_2 \to \operatorname{Aut}(X)\) (27) et de \(r = (s_0, a_0, f_0)\) (28) satisfaisant les conditions de stabilisateur (29), qui sont celles de la page 55, en prenant pour \(S, A, F\) les orbites. Pour que de telles données définissent un polyèdre régulier (sur un corps), il faut que \(N = \ker\varphi\) (30) soit d'indice fini ; [17] est alors automatique, mais [11] demande, avec \(s'_0 = \sigma_0 s_0\), \(a'_0 = \sigma_1 a_0\), \(f'_0 = \sigma_2 f_0\) (31), distincts de \(s_0, a_0, f_0\) :

1. [32]a) si \(\gamma s_0 \prec a_0\), alors \(\gamma s_0 \in \{s_0, s'_0\}\) ; b) si \(s_0 \prec \gamma a_0 \prec f_0\), alors \(\gamma a_0 \in \{a_0, a'_0\}\) ; c) si \(a_0 \prec \gamma f_0\), alors \(\gamma f_0 \in \{f_0, f'_0\}\) ;
2. [33]les \(\gamma s_0\) engendrent affinement \(X\) ;
3. [33']si \(\gamma s_0 \prec \gamma' a_0 \prec \gamma'' f_0\), il existe \(\gamma'''\) avec \(\gamma''' s_0 = \gamma s_0\), \(\gamma''' a_0 = \gamma' a_0\), \(\gamma''' f_0 = \gamma'' f_0\) — ce qui exprime [19].

Ce sont, pour l'icosaèdre, exactement les vérifications des pages 85 à 94 : [32] et [33'] sont des énoncés d'incidence géométrique, et la fidélité établie plus haut les contient⁷⁶ .

120–120

IX. Les « cocubes » (page 120)

D'une encre noire et d'une écriture posée. Soit \(B \to I\) un revêtement double d'ensembles finis, c'est-à-dire un ensemble \(B\) muni d'une involution sans point fixe \(b \mapsto \bar b\), \(I = B/\sigma\), \(n = \operatorname{card} I\). Dans \(k^B\), soit \(E\) l'espace affine des \(\varphi = (\varphi_b)\) tels que \(\varphi_b + \varphi_{\bar b} = 1\) pour tout \(b\) — l'image réciproque de \((1, \dots, 1)\) par la trace \(k^B \to k^I\) —, de dimension \(n\), et \(H_b = \{\varphi_b = 1\}\). Pour une section partielle \(B' \in \Gamma_p(B/I)\), \(F_{B'} = \bigcap_{b \in B'} H_b\) ; l'ensemble \(\mathfrak{F} = \{F_{B'}\} \cup \{\varnothing\}\) est celui des faces du cube \([0, 1]^I\) : les sections totales donnent les sommets, la section vide l'espace entier, et \(H_b \cap H_{\bar b} = \varnothing\). C'est le cube d'un ensemble à involution du dossier 76 (pages 49 et 50), où les faces sont indexées, en renversant l'ordre, par les sections partielles⁷⁷ .

Dualement, soit \(N \subset k^B\) le sous-module, facteur direct de rang \(n - 1\), engendré par les \((b + \bar b) - (b' + \bar b')\), et \(V = k^B / N\), de rang \(n + 1\), avec \(0 \to W \to V \to k \to 0\). Les images des \(b\) sont \(2n\) points d'un hyperplan affine de \(V\) ; c'est le cocube, que la page caractérise ainsi. Un ensemble \(\mathfrak{F}\) de sous-espaces affines d'un espace \(E\) de dimension \(n\) est un cocube si

1. a)pour tout point \(s \in \mathfrak{F}_0\), il existe un unique \(s' \neq s\) dans \(\mathfrak{F}_0\) tel que la droite \(ss'\) ne soit pas dans \(\mathfrak{F}\) ; \(s \mapsto s'\) est une involution sans point fixe de \(B = \mathfrak{F}_0\), et \(I = B/\sigma\) ;
2. b)pour toute section partielle \(B'\), \(B'\) est affinement libre et son enveloppe affine est dans \(\mathfrak{F}\), et l'on obtient ainsi tous les éléments de \(\mathfrak{F}\) autres que \(E\) ;
3. c)pour toute section totale \(B'\) et tout \(b \notin B'\), \(B' \cup \{b\}\) est affinement libre et engendre \(E\) ;
4. d)\(b + \bar b = b' + \bar b'\) pour tous \(b, b'\) : les milieux des diagonales coïncident.

C'est le polytope croisé — l'octaèdre en dimension \(3\) —, dont les faces sont les simplexes sur les ensembles de sommets sans paire opposée ; le cube et lui sont duaux, et le dossier 87 les traite par la polarité convexe⁷⁸ .

121–123

X. Programme provisoire d'une théorie arithmétique des polyèdres réguliers (pages 121 à 123)

Le titre, souligné, est le sien, et la page commence un texte neuf.

Soit \(\tau\) un type de polyèdre régulier dans l'espace affine réel de dimension \(n\). Il a un représentant « canonique » \(X_\tau\), défini à isomorphisme canonique près par le choix d'un repère \(R_\tau\) ; l'espace \(E_\tau\) qui le porte a pour origine le barycentre des sommets et devient un espace vectoriel. Soit \(\mathcal{F}_\tau\) l'ensemble ordonné des facettes de \(X_\tau\), y compris celles de dimension \(-1\) et \(n\), et \[ G_\tau \simeq \operatorname{Aut}_{\mathrm{aff}}(X_\tau) \simeq \operatorname{Aut}_{\mathrm{ord}}(\mathcal{F}_\tau) . \] La catégorie des polyèdres réguliers de type \(\tau\) équivaut à celle des torseurs sous \(G_\tau\) — par \(X \mapsto \operatorname{Isom}(X_\tau, X)\)⁷⁹ .

Soit \(k\) un anneau commutatif (« plus gén., on pourrait se placer sur un schéma, ou sur un topos loc. annelé »). Une \(k\)-réalisation de \(\tau\) est la donnée

1. a)d'un \(k\)-espace projectif \(P\) de dimension \(n\), « splitté » — associé à un module projectif de type fini, défini à tensorisation près par un module inversible —, muni d'une section \(s_0\) et d'un hyperplan « à l'infini » \(H_\infty\) ;
2. b)d'un ensemble \(\mathcal{F}\) de sous-espaces projectifs de \(P\) tel que :

1. 1)\((\mathcal{F}, \subset)\) soit isomorphe à \(\mathcal{F}_\tau\), la dimension combinatoire de chaque \(V \in \mathcal{F}\) (le plus petit élément étant de dimension \(-1\)) étant égale à sa dimension projective, et \(P \in \mathcal{F}\) ;
2. 2)pour tout \(V \in \mathcal{F}\), \(s_0 \notin V\) et \(V \not\subset H_\infty\), fibre par fibre ;
3. 3)les éléments de \(\mathcal{F}_0\) engendrent \(P\), et ceux de \(\mathcal{F}_{n-1}\) engendrent le dual \(\check P\) ; plus précisément, pour \(V \subsetneq W\) dans \(\mathcal{F}\), \(W\) est engendré par les \(V' \in \mathcal{F}\) avec \(V \subset V' \subset W\), \(\dim V' = \dim V + 1\), et dualement ;
4. 4)tout automorphisme de l'ensemble ordonné \(\mathcal{F}\) est induit par un automorphisme de \(P\) qui conserve \(\mathcal{F}\).

« Raisonnable si \(\operatorname{Spec} k\) connexe ».⁸⁰ C'est le renversement annoncé : on ne part plus d'une carte combinatoire pour chercher ses réalisations, mais du polyèdre réel, et l'on demande sur quels anneaux il « s'écrit » — la question que les pages 74 à 111 résolvent pour l'icosaèdre, \(\mathbf{Z}[\alpha]/(\alpha^2 + \alpha - 1)\) étant l'anneau où il vit, avec \(s_0\) le centre et \(H_\infty\) l'hyperplan à l'infini qui, en caractéristique \(2\), contient ce centre. Aucun énoncé ne suit la définition.

La page 123 est une feuille de notations, sans texte suivi, avec un cube et un polygone où un drapeau est repassé en gras, et la chaîne \(F_0, \dots, F_{n-1}\) d'un drapeau. On y lit des suites \((s_i)\), \((s'_i)\), \((\delta_i)\), \((f_i)\) avec \(s_{n-1} = 2\), \(s_n = 1\), \(s'_0 = 2\), \(s'_{-1} = 1\), \(f_{-1} = f_n = 1\), la relation \(s'_i f_{i+1} = f_i s_{i+1}\) et \(N = \operatorname{card} G = \prod s_i = \prod s'_i\). La lecture la plus naturelle : \(f_i\) est le nombre de \(i\)-facettes, \(s_i\) le nombre de \(i\)-facettes contenant une \((i-1)\)-facette donnée, \(s'_i\) le nombre de \(i\)-facettes contenues dans une \((i+1)\)-facette donnée ; la relation compte de deux façons les couples incidents de dimensions \(i\), \(i+1\), et le nombre de drapeaux, qui est l'ordre du groupe, est \(s_0 s_1 \cdots s_n\) (pour le cube, \(8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48\))⁸¹ .