Fonds Grothendieck, cote n° 69, pages 61–80

page entière occupée par un tableau à cinq colonnes, lignes numérotées de 1^\circ à 12^\circ dans la marge gauche, puis quelques lignes non numérotées. En-têtes : « Cat. à étudier des » | « équivalente à » | « groupe d'automorphismes » | « cardinal de l'ens. des él. de structure du type envisagé » | (sans titre : des suites d'entiers, sans doute les longueurs des orbites). On donne le tableau ligne par ligne, les colonnes séparées par des barres verticales. Chaque type est accompagné d'un petit schéma de points (un, deux, …, six points, parfois numérotés), qu'on ne reproduit pas.

1^\circ1-base | ens. J de card. 5 et torseur sous \mathbb{F}_2(J)' | W_{SO(10)}, ext. de \mathfrak{S}_5 par (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4, de cardinal 2^4\,5!=2^7\cdot3\cdot5=1920 | 3^3=27 | 1,10,16 2^\circ2-base | \mathrm{Ens}_5\times\mathrm{Ens}_2 | \mathfrak{S}_5\times\mathfrak{S}_2, de card. 2\cdot5!=2^4\cdot3\cdot5=240 | 2^3 3^3=27\cdot8=216 | 1,5,10,10 3^\circ2 bases ordonnées | \mathrm{Ens}_5 | \mathfrak{S}_5 de card. 5!=120 | 2^4 3^3=27\cdot16=432=6\cdot72 | 1,5,5,5,10 4^\circ3 base | \mathrm{Ens}_3\times\mathrm{Ens}_3\times\mathrm{Ens}_2 | \mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_2, de card. 6\cdot6\cdot2=72=2^3 3^2 | 2^4 3^2 5=16\cdot45=720 | 3,3,6,6,9 5^\circ3 bases ordonnées | \mathrm{Ens}_3\times\mathrm{Ens}_2 | \mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_2, card. 12 | 2^5 3^3\cdot5=27\cdot16\cdot10=4320 | 1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,6 6^\circ4-base | \mathrm{Ens}_4\times\mathrm{Ens}_2 | \mathfrak{S}_4\times\mathfrak{S}_2, card. 2\cdot4!=48=2^4 3 | 2^3 3^3 5=27\cdot16\cdot10\cdot6=1080 | 1,2,3,4,4,6,8 7^\circ4 bases ordonnées | \mathrm{Ens}_2 | \mathfrak{S}_2, card. 2 | 2^6\cdot3^4\cdot5=25\,920 | 15\times1, 6\times2 8^\circ5 base | \mathrm{Ens}_5 | \mathfrak{S}_5, card. 5!=120=2^3\cdot3\cdot5 | 2^4\cdot3^3=27\cdot16=432=6\cdot72 | 1,1,5,5,5,10 9^\circ5 bases ordonnées | e | e, card. 1 | 2^7\cdot3^4\cdot5=51\,840 | 27\times1 10^\circ6 bases | \mathrm{Ens}_6 | \mathfrak{S}_6, card. 720=2^4 3^2 5 | 2^3 3^2=8\cdot9=72 | 6,6,15 11^\circ6 bases ordonnées | e | e, card. 1 | 2^7\cdot3^4\cdot5=51\,840 | 27\times1 12^\circ\frac12 étoile, formée de 5-bases | \mathrm{Ens}_5\times\mathrm{Ens}_2 | cf. plus haut 2^\circ | 15 | 1,1,5,5,5,10 *triades ordonnées | | \mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3, ordre 6^3=2^3 3^3=216 | 2^4\cdot3\cdot5=240 | 9,9,9 triades | perm. d'ordre 3 d'ens. de card. 3 ; ens. de card. 9 avec partition | \mathfrak{S}_3\cdot(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3), card. 6^4=2^4 3^4 | 2^3\cdot5=40 | 27 grilles 3-carrées | (somme directe avec partition distinguée) | \mathfrak{S}_2\cdot(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) | 2^3\cdot3\cdot5=120 | 9,18 arête \sim triangles pointés arcs \to \sim triangles ordonnés triangles \Delta V (\bullet\!\to\!\bullet)\simeq(arcs)

la ligne 12^\circ porte un petit dessin (une demi-étoile : un losange avec des arcs issus d'un sommet). La ligne marquée d'un astérisque est celle des triades ordonnées ; en marge, en face de la dernière ligne, « 13^\circ » (lecture douteuse) et « 16 ». Les suites de la dernière colonne des lignes 5^\circ et 6^\circ sont écrites sur deux lignes serrées. Dans la ligne 8^\circ, 27\cdot16=432 est surchargé. Dans la ligne des triades, « 2^3\cdot5 » et « 6^4 » sont récrits.

brouillon de calculs sur une demi-feuille à en-tête imprimé, écrit dans les deux sens et traversé de deux traits obliques ; on donne d'abord le côté à l'endroit, puis le côté tête-bêche.

\delta_1-\delta_8\,\delta_9 ; \delta_1-\delta_n\,\delta_{n+1}, n+1+g\leq27, n\leq\ill{} r_1+r_2+r_3,\qquad r_2+r_3+r_4,\qquad r_3+r_4+r_5 ; ~~(r_1+r_{i-1})+~~ (r_1+\cdots+r_{i-1})+(r_2+\cdots+r_{j-1})+(r_3+\cdots+r_{k-1}) (i\geq3), r_1+2(r_2+\cdots+r_{i-1}), r_1+2r_2 ; i-1, j-2, k-3 ; i+j+k-6.

trois petits graphes en zigzag (lettres « M » et « W » faites de sommets et d'arêtes), deux d'entre eux entourés de boucles, une ligne brisée en créneau, un chevron.

Tête-bêche : \begin{array}{ll} r_0=2\eta-\ldots & \\ r_1=\xi_1-\xi_2 & \\ r_2=\xi_2-\xi_3 & 3(r_1+r_2+r_3)=3(\xi_1-\xi_4)\\ r_3=\xi_3-\xi_4 & \\ r_4=\xi_4-\xi_5 & 2r_4=\ldots\xi_4-2\xi_5\\ r_5=\xi_5-\xi_6 & 2r_5=\ldots\xi_5-\xi_6\\ r_6=\eta-\xi_1-\xi_2-\xi_3 & \end{array} \qquad 3\xi_1-\xi_4-\xi_5-\xi_6 les coefficients marqués « \ldots » sont surchargés et ne se lisent pas ; avant r_6, une ligne biffée. Plus bas, de ce côté, des inégalités t_1\geq\ldots, t_2\geq6+1+n, et deux petits graphes entourés, aux sommets marqués \xi.

r_0=2\eta-\xi,\qquad r_{ij}=\xi_i-\xi_j\quad(i<j), r_{\lbrace i,j,k\rbrace}= ~~(\xi_i,\xi_j,\xi_k,\xi_{mn},\xi_{n\ell},\xi_{\ell m})~~ r_{\lbrace i,j,k\rbrace}=\xi_{jk}-\xi_i=\xi_{ki}-\xi_j=\xi_{ij}-\xi_k =\xi'_\ell-\xi_{mn}=\xi'_m-\xi_{n\ell}=\xi'_n-\xi_{\ell m}=\eta-\xi_i-\xi_j-\xi_k sous la parenthèse biffée, une seconde ligne également biffée : \xi_{jk},\xi_{ki},\xi_{ij},\xi'_\ell,\xi'_m,\xi'_n. En face, à droite, les couples « \binom{\xi_i\ \ -\xi_6}{\xi'_i\ \ -\xi'_6} » (lecture douteuse), puis \begin{pmatrix}\xi_i,\xi'_j,\xi_{j\ell}\ \ \ell\neq i,j\\ \xi_j,\xi'_i,\xi_{i\ell},\ \ell\neq i,j\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}\xi_i,\xi_j,\xi_k, & \xi_{mn},\xi_{n\ell},\xi_{\ell m}\\ \xi_{jk},\xi_{ki},\xi_{ij}, & \xi'_\ell,\xi'_m,\xi'_n\end{pmatrix} : les « doubles-six » associés aux racines. Dans la marge gauche, un empilement de formules raturées, écrites en long, illisible .

r_0\cdot r_{ij}=0,\qquad r_0\cdot r_{ijk}=-1, r_{ij}\cdot r_{i'j'}=\begin{cases}0 & \lbrace i,j\rbrace\cap\lbrace i',j'\rbrace=\emptyset\\ \pm1 & \lbrace i,j\rbrace\cap\lbrace i',j'\rbrace\neq\emptyset\end{cases} et à côté : +1 si ~~i<j=i'<j' ou i'<j'=i<j~~ i'=j ou i=j', -1 si i\neq i' ou j=j'. ainsi sur la page, i\neq i' ; on attendrait i=i'. Le signe est peut-être un = mal formé. r_{ijk}\cdot r_{pqr}=1-\operatorname{card}(\lbrace i,j,k\rbrace\cap\lbrace p,q,r\rbrace)=\begin{cases}-1 & \operatorname{card}(\lbrace i,j,k\rbrace\cap\lbrace p,q,r\rbrace)=2\\ 0 & \ldots=1\\ 1 & \ldots=0\end{cases} r_{ij}\cdot r_{pqr}=\begin{cases}0 & \lbrace i,j\rbrace\subset\lbrace p,q,r\rbrace\ \text{ou}\ \lbrace i,j\rbrace\cap\lbrace p,q,r\rbrace=\emptyset\\ \pm1 & \operatorname{card}(\lbrace i,j\rbrace\cap\lbrace p,q,r\rbrace)=1\end{cases} \qquad \begin{cases}+1 & i\in\lbrace p,q,r\rbrace\\ -1 & j\in\lbrace p,q,r\rbrace\end{cases} \frac{-\langle r,r'\rangle}{\sqrt{\langle r,r\rangle\langle r',r'\rangle}}=\frac{\langle r,r'\rangle}{-2}

\begin{align*} \xi_1\xi_2\xi_3\ \ \xi_4,\xi_5\xi_6\quad &= r_0=2\eta-\xi=3(r_1+r_2+r_3)+2r_4+r_5+2r_6\\ \xi_1\xi_2\xi_3\ \ \xi_{56}\xi_{64}\xi_{45}\quad &= r_{123}=\eta-\xi_1-\xi_2-\xi_3=r_6\\ \xi_{23},\xi_{31},\xi_{12}\ \ \xi_4\xi_5\xi_6\quad &= r_{4,5,6}=\eta-\xi_4-\xi_5-\xi_6=r_6+3(r_1+r_2+r_3)+2r_4+r_5 \end{align*} la notation « \xi_1\xi_2\xi_3\ \ \xi_4,\xi_5\xi_6 » etc. désigne sans doute la base (le double-six) qui correspond à la racine ; dans la troisième ligne, l'écriture fait voir 3(\xi_1+\xi_2+\xi_3)+2\xi_4+\xi_5 avec des r récrits sur des \xi.

deux étoiles de six rayons (système de racines de type A_2) : la première aux extrémités r_{456}, r_0, r_{123}=r_6, -r_{4,5,6}, -r_0, -r_{123}=-r_6, deux côtés de l'hexagone en tirets ; la seconde, en bas à droite, avec r_{456}, -r_{4,5,6} et des indices surchargés.

Parties i-libres etc.

le titre, souligné, est de sa main, en tête de la page 66.

On étudie des types de diagrammes plongés dans les complexes cubiques C, liés directement aux parties n-libres ~~bases~~ (parties de cardinal n de C formées de sommets non liés deux à deux). Signalons de suite

Prop. (1)numéro entouré. Pour qu'il existe en C une partie n-libre, il faut et il suffit que 1\leq n\leq 6. Les parties n-libres maximales sont :

a) celles de cardinal 6, ou sous-ensembles des bases ;

b) celles ~~de cardinal 5~~ de la forme E(x)\cap E(y), où x,y sont deux sommets distincts non liés en C. Ce sont des parties de cardinal 5.

(2)numéro entouré. Soit L_i, 1\leq i\leq 6, le graphe discret [1,i] de de cardinal i (pas de liens). Alors pour i\neq 5, l'ens. \operatorname{Pl}(L_i,C) des plongements de L_i en C est un espace homogène sous W=\operatorname{Aut}(C). Pour i=5, il a deux orbites \operatorname{Pl}(L_5,C)' et \operatorname{Pl}(L_5,C)'' sous W, savoir

a) les 5-bases, i.e. parties 5-libres qui sont contenues dans une base ;

b) les deux-étoiles, i.e. parties de la forme E(x)\cap E(y), où x,y sont deux sommets distincts non liés.

Les applications \operatorname{Pl}(homomorphismes d'inclusion)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}] & & & & & \operatorname{Pl}''(L_5,C) \arrow[dl, "1"'] & \\ \mathrm{pt}=\operatorname{Pl}(L_0,C) & \operatorname{Pl}(L_1,C) \arrow[l, "27"'] & \operatorname{Pl}(L_2,C) \arrow[l, "16"'] & \operatorname{Pl}(L_3,C) \arrow[l, "10"'] & \operatorname{Pl}(L_4,C) \arrow[l, "6"'] & \operatorname{Pl}'(L_5,C) \arrow[l, "2"'] & \operatorname{Pl}(L_6,C) \arrow[l, "1"'] \end{tikzcd}

la ligne est écrite de gauche à droite, flèches vers la gauche, les degrés au-dessus des flèches ; sous \operatorname{Pl}(L_1,C) il écrit « = D_1 », et « \mathrm{pt} » est glosé en dessous « =\operatorname{Pl}(L_0,C) ».

sont surjectives, et les degrés de projection sont respectivement ~~27,16,10~~ 27,16,10,6 comme indiqué (cf. dessin plus bas), d'où les cardinaux des i-bases

\begin{array}{ll} \operatorname{Pl}(L_1,C)=C & 27=3^3\\ \uparrow\ \operatorname{Pl}(L_2,C) & 27\cdot 16=2^4 3^3=432\\ \uparrow\ \operatorname{Pl}(L_3,C) & 27\cdot16\cdot10=2^5\cdot3^3\cdot5=4320\\ \uparrow\ \operatorname{Pl}(L_4,C)\xleftarrow{\ \approx\ }\operatorname{Pl}''(L_5,C) & 27\cdot16\cdot10\cdot6=2^6\cdot3^4\cdot5=25\,920\\ \uparrow\ \operatorname{Pl}'(L_5,C) & 27\cdot16\cdot10\cdot6\cdot2=2^7\cdot3^4\cdot5=51\,840\\ \uparrow\ \operatorname{Pl}(L_6,C) & \end{array} colonne de gauche : chaque \operatorname{Pl} est surmonté d'une petite flèche montante vers le précédent ; celle qui précède \operatorname{Pl}(L_6,C) porte « 2 ». Sous la dernière ligne de nombres, un « ,5 » isolé. Le L_1 de la première ligne est récrit par-dessus une autre lettre.

On trouve pour les configurations correspondantes \begin{array}{lll} B_1(C) & 27:1=27=3^3 & \operatorname{aut}L_1=e\\ B_2(C) & 27\cdot16:2!=27\cdot8=2^3 3^3=216 & \operatorname{aut}L_2=\mathfrak{S}_2\\ B_3(C) & 27\cdot16\cdot10:3!=2^4\cdot3^2\cdot5=720=6! & \operatorname{aut}L_3=\mathfrak{S}_3\\ B_4(C) & 27\cdot16\cdot10\cdot6:4!=2^3\cdot3^3\cdot5=1080 & \operatorname{aut}L_4=\mathfrak{S}_4\\ \quad\simeq B''_4(C) & & \\ B'_5(C) & 27\cdot16\cdot10\cdot6\cdot2:5!=2^4\cdot3^3=432 & \operatorname{aut}L_5=\mathfrak{S}_5\\ B(C)=B_6(C) & 27\cdot16\cdot10\cdot6\cdot2\cdot1:6!=2^3 3^2=72 & \operatorname{aut}L_5\simeq\mathfrak{S}_6\\ \operatorname{Bib}(C) & 36 & \operatorname{aut}(L'_5)\simeq\mathfrak{S}_2\times\mathfrak{S}_6 \end{array} ainsi sur la page : B''_4(C) (et non B''_5), et « \operatorname{aut}L_5\simeq\mathfrak{S}_6 » sur la ligne de B_6, « \operatorname{aut}(L'_5) » sur celle de \operatorname{Bib}(C) ; la lecture des indices 5 est sûre, aucun n'est corrigé ici. Dans 2^4\cdot 3^2\cdot 5 (ligne de B_3), le 4 est écrit sur un 5. Le signe devant B''_4(C) est un petit « \simeq », de lecture douteuse.

Étude cas par cas de cardinal 27

1) \operatorname{Pl}(L_1,C)=C (si x\in C, \operatorname{Aut}(C;x) est transitif sur l'ens. des 16 C-E(x) [])

2) \operatorname{Pl}(L_2,C)

Prop. Pour tout couple (x,y) de sommets dist. non liés, \exists! base b telle que x\in b, y\in b' base opposée (et x,y ~~liés~~ correspondent : y=\sigma_b x=\sigma_{b'}x, x=\sigma_b y=\sigma_{b'}y). Ainsi l'ens. des parties épinglées 2-libres (x,y) est en corr. 1-1 avec l'ens. des couples d'une base b et d'un x\in b. La cat. des (C,(x,y)) équivaut à celle des ens. de cardinal 5 , des ens. de cardinal 6 à pt marqué)

On peut écrire (x,y)=(\xi_6,\xi'_6). L'ens. C-E(\xi_6)-E(\xi'_6)-\lbrace x,y\rbrace des pts \neq x,y non liés à x ni y est l'ens. des \xi_{ij} (1\leq i<j\leq5), de cardinal 10=\binom{5}{2}, et \operatorname{Aut}(C,(x,y))=\mathfrak{S}_5 y opère transitivement.

Cas des paires \lbrace x,y\rbrace de pts dist. non liés : la donnée équivaut à une bibase B=\lbrace b,b'\rbrace avec un élt z dans B/\sigma_B=I. La catégorie des (C,\lbrace x,y\rbrace) équivaut à celle des couples (\tau,J) de deux ens. avec \tau de cardinal 2 (\tau=\lbrace b,b'\rbrace), J de cardinal 5 (J=B/\sigma_B-\lbrace z\rbrace).\mathrm{Ens}_2\times\mathrm{Ens}_5

\operatorname{Pl}(L_3,C). Le type d'une partie épinglée trois-libre (x,y,z) de C est (\xi_{12},\xi_{23},\xi_{31}). L'ens. des pts de C-\lbrace\xi_{12},\xi_{23},\xi_{31}\rbrace qui ne sont pas liés à aucun ~~aucun~~ des trois est \lbrace\underbrace{\xi_4,\xi_5,\xi_6}\,,\underbrace{\xi'_4,\xi'_5,\xi'_6}\rbrace, qui est de cardinal 6 ; le groupe des automs de (C;\xi_{12},\xi_{23},\xi_{31}) (contenant le groupe des automs de (C,\lbrace\xi_i\rbrace,\lbrace\xi'_i\rbrace) qui respectent la partition de I= [1,6] en [1,3] et [4,6]) est transitif sur l'ens. précédent.

Prop. Pour les couples (B,K) formés d'une bibase B=\lbrace b,b'\rbrace de C et d'une partie K de B/\sigma_B telles que \operatorname{card}K=3, soit J(B,K) l'ens. partie de C formée des \xi^B_{ij} (i,j\in K). On trouve ainsi une bijection de l'ens. \mathcal{B} (de cardinal 72\cdot\binom{6}{3}\cdot\frac12=720) des couples (B,K) avec l'ens. des parties 3-libres de C. sous \binom{6}{3}, un « 20 ».

La cat. des couples (C,J) d'un graphe cubique et d'une partie 3-libre de C équivaut à celle des triples (\tau,K,K') d'ens. de cardinal 2,3,3 — on associe à un triple le couple C=C(\tau,K\amalg K')=(\tau\times(K\amalg K'))\amalg\mathfrak{P}_2(K\amalg K'), et l'ens. J des \xi^B_{ij} (i,j\in K), où B est la bibase can. de C. Le groupe\mathrm{Ens}_2\times\mathrm{Ens}_3\times\mathrm{Ens}_3lecture douteuse de la note marginale.

des automs de (C,J) est donc canoniquement \mathfrak{S}_\tau\times\mathfrak{S}_K\times\mathfrak{S}_{K'}\quad(\simeq\mathfrak{S}_2\times\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) d'ordre 72.

NB Il y a une involution naturelle de la catégorie des (\tau,K,K'), savoir (\tau,K,K')\longmapsto(\tau,K',K). Elle se traduit en associant à (C,J) le (C,J'), où J' est l'ens. des élts de C liés à tous les él. de J. Dans le cas où J=\lbrace\xi_{12},\xi_{23},\xi_{31}\rbrace, on a J'=\lbrace\xi_{45},\xi_{56},\xi_{64}\rbrace.

Corollaire. J admet exactement 2 bases, savoir J\cup(b|K') et J\cup(b'|K') ~~(dans le cas envisagé, \lbrace\xi_{12},\xi_{13},\xi_{34}\rbrace)~~ [dans l'exemple, la réunion de J=\lbrace\xi_{12},\xi_{23},\xi_{31}\rbrace avec \lbrace\xi_4,\xi_5,\xi_6\rbrace ou \lbrace\xi'_4,\xi'_5,\xi'_6\rbrace] dont l'intersection se réduit à J. ~~Ainsi~~

Considérons l'application \lbrace\beta',\beta''\rbrace\longmapsto\beta'\cap\beta'' de l'ens. des couples de bases telles que \operatorname{card}\beta'\cap\beta''=3, vers l'ens. des parties 3-libres de C, application est une bijection. identifié aussi : l'ens. des paires \lbrace r,s\rbrace de racines telles que \widehat{r,s}=60^\circ.explicitez possibles \lbrace r,s\rbrace

feuille en largeur, écrite sur deux colonnes ; on donne la colonne de gauche, puis celle de droite.

Corollaire (cf. plus bas). Pour toute partie 3-libre J de C, l'ens. \mathcal{L}(J) des él. de C-J non liés aux él. de J, est un hexagone, et on trouve ainsi une corr. biun. entre B_3(C) et l'ens. \operatorname{Hex}(C) des hexagones dans C ; l'application inverse associe à un hexagone \mathcal{H} l'ens. \mathcal{L}(\mathcal{H}) des él. de C-\mathcal{H} non liés aux él. de \mathcal{H}.\mathrm{Ens}_2\times\mathrm{Ens}_4, en regard de ce paragraphe et du suivant, avec une accolade

dans la marge gauche, un hexagone de sommets \xi'_6, \xi_4, \xi'_5, \xi_6, \xi'_4, \xi_5 (en tournant), ses côtés en trait plein, les diagonales intérieures en tirets, avec de petites flèches.

NB La donnée d'un graphe hexagonal (= hexagone combinatoire) équivaut à celle d'un couple (\tau,K') d'un ens. de card. 2 et d'un autre de cardinal 3 (l'hexagone étant \tau\times K', deux sommets étant liés ssi ils ont des composantes distinctes dans \tau et dans K', i.e. ses parties à deux él. de \tau\times K' qui ils forment avec le graphe d'une bijection \tau\hookrightarrow K'). Ceci dit, si (C,J) est défini par (\tau,K,K'), l'hexagone correspondant dans C est défini par (\tau,K'), on \tau\times K'\subset\mathcal{B}=\struck{\ill{}}\ \tau\times(K\amalg K')\ \cdots

Parties 4-libres. Cas typique J=\lbrace\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4\rbrace ; \mathcal{L}(J)=\lbrace\xi_5,\xi_6,\xi_{56}\rbrace. On sait par l'étude précédente que J est contenu dans une base unique b, et b\cap\mathcal{L}(J) est ici de cardinal 2 (c'est \lbrace\xi_5,\xi_6\rbrace), il reste un pt dans le complémentaire (\xi_{56}). Donc \operatorname{Aut}(C,J) (qui est fidèle \operatorname{Aut}(C,\xi_1,\ldots,\xi_4)) n'opère pas transitivement sur \mathcal{L}(J), mais ~~\mathcal{L}(J)~~ a deux orbites b\cap\mathcal{L}(J) (=\lbrace\xi_5,\xi_6\rbrace) et le pt fixe \lbrace\xi_{56}\rbrace. Donc \operatorname{Pl}'(L_5,C)\to\operatorname{Pl}(L_4,C) est de degré 2, et \operatorname{Pl}''(L_5,C)\to\operatorname{Pl}(L_4,C) de degré 1. Notons l'ens. E(J) des él. de C liés él. de J est de cardinal 2 (c'est \lbrace\xi'_5,\xi'_6\rbrace=b'\cap\sigma_b(J)' ), et on a une bijection canonique (induite par \sigma_b) E(J)\simeq(b-J)=b\cap\mathcal{L}(J)\subset\mathcal{L}(J).

Parties 5-libres. 1°) Celles qui sont contenues dans une base sont contenues dans une base unique. D'Pour les autres, on vérifie que ce sont des 2-étoiles.dans un cadre, dont une partie est biffée : « Pour des de cardinal \mathcal{L}(J) de cardinal E(J), (=\lbrace\xi_6\rbrace), (=\lbrace\xi'_6\rbrace), aussi J La cat. des (C,J), J une 5-base, équivaut à celle des ~~couples (\tau,J) d'un ens. de card. 2~~ ~~d'un autre~~ J de card. 5. » et, contre le cadre, « \mathrm{Ens}_5 »

Prop. L'application qui, à toute paire \lbrace x,y\rbrace de pts non liés de C associe E(x)\cap E(y), est une bijection de l'ens. des paires avec l'ens. des 2-étoiles (parties 5-libres ne s'immergeant pas dans une base).La bijection inverse est donnée par J\mapsto E(J) Si on tient compte de \lbrace x,y\rbrace\leftrightarrow (bibase B=\lbrace b,b'\rbrace, avec z\in B/\sigma_B),

on trouve que J=\lbrace\xi^B_{z,i}\rbrace_{i\in I-\lbrace z\rbrace} — en termes de base (\xi_i)_{1\leq i\leq6}, z=\lbrace\xi_6,\xi'_6\rbrace, J=\lbrace\xi_{i6}\rbrace_{1\leq i\leq5}. La cat. des couples (C,J), J une 2-étoile, est donc équivalente à celle des couples (\tau,J), \tau ens. de card. 2, J ens. de card. 5.\mathrm{Ens}_2\times\mathrm{Ens}_5

Bases et bibases (il fallait commencer par là !) W=\operatorname{Aut}(C) est simplement transitif sur l'ens. des bases épinglées (= ordonnées). Il y a 72 bases, le groupe de stabilité d'une base est \simeq\mathfrak{S}_6. Il y a 36 bibases, groupe de stabilité \mathfrak{S}_2\times\mathfrak{S}_6. La cat. des (C,b) est \simeq celle des ens. de cardinal 6, celle des (C,B=\lbrace b,b'\rbrace) à celle des couples (\tau,I), \tau ens. de cardinal 2, I ens. de cardinal 6.\mathrm{Ens}_6 ; \mathrm{Ens}_2\times\mathrm{Ens}_6

1) Bitriangle \Delta : graphe isomorphe au graphe produit de deux triangles : \Delta\simeq S\times T (\operatorname{card}S=\operatorname{card}T=3), x=(\alpha,\beta) et x'=(\alpha',\beta'), x\neq y, liés ssi \alpha=\alpha' ou \beta=\beta' (exclusivement), donc 9 sommets et 4\cdot9:2=18 arêtes. Les triangles \subset\Delta sont les 6 fibres des deux projections S\times T\rightrightarrows S,T, () ils se groupent en deux familles par la relation p\sim q ssi p=q ou p\cap q=\emptyset (\Longleftrightarrow\operatorname{card}p\cap q\neq1). L'ens. des deux familles, \tau, donne lieu à un rev. d'ordre 3 T\longrightarrow\tau\qquad(\operatorname{card}\tau=2). La cat. des \Delta équivaut à celle des ens. T de cardinal 6 munis d'une partition de type (3,3), ou encore des flèches de degré 3 T\to\tau des \mathrm{Ens}, avec \operatorname{card}\tau=2. On associe à T\to\tau le graphe \Delta=\prod_{i\in\tau}T_i, avec ~~deux arêtes~~ x,y (\in\Delta) liés ssi x\neq y et \exists i\in\tau tel que x_i=y_i (ou encore, ssi \exists!\,i\in\tau, x_i=y_i).

2) Le bloc de triades (c'est un graphe D tel que le graphe opposé \bar D ((x,y) liés dans \bar D ssi x\neq y et x,y non liés dans D) soit un bitriangle. Ainsi D=S\times T, \operatorname{card}S=\operatorname{card}T=3, avec x=(\lambda,\mu) et x'=(\lambda',\mu') liés ssi \lambda\neq\lambda', \mu\neq\mu'. Il y a donc \operatorname{card}\Bigl(\frac{D\times D-D}{2}\Bigr)-18=18 ~~arêtes~~ 18 arêtes, , que pour le bitriangle \bar D. Il y a 6 triades, i.e. parties de cardinal 3 formées de pts mutuellement non liés, qui se groupent en 2 familles de 3, d'où un rev. de degré 3 S\to\sigma (\operatorname{card}\sigma=2). la formule de dénombrement est surchargée et en partie biffée ; au-dessus, « \operatorname{card}D » ; lecture douteuse.

Proposition. Le bloc de triades est isomorphe à un bitriangle — i.e. si \Delta (=S\times T) est un bitriangle, \Delta\simeq\bar\Delta. l'énoncé est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche.

Dém. On va définir dans \Delta une autre famille \mathfrak{S} de 6 parties à trois éléments — savoir l'ens. \mathfrak{S} des triades \subset\Delta. Ce sont aussi les parties U de \Delta=S\times T de cardinal 3 telles que les deux projections U\to S et U\to T soient injectives (donc bijectives) donc ce sont les graphes des bijections S\xrightarrow{\sim}T — il y en a bien 6. Elles se groupent en 2 familles de trois éléments, en prenant la relation \varphi\sim\psi ssi \varphi^{-1}\psi est une permutation paire de S ~~condition~~ [\mathfrak{S} =\operatorname{Isom}(S,T) torseur sous ~~\operatorname{Isom} \operatorname{Aut}~~ \operatorname{Aut}S=\mathfrak{S}_S, et on prend les 2 classes sous le sous-groupe d'indice 2 \mathfrak{S}^+_S ; on voit que ce partage ne dépend pas de l'ordre dans lequel on prend S,T\ldots

Si \varphi,\psi (\in\mathfrak{S}_i (i\in\sigma)) sont dans une même classe (i\in\sigma) et \varphi\neq\psi, on a \varphi\cap\psi=\emptyset, i.e. \varphi^{-1}\psi sans pt fixe (en effet, c'est une des deux permut. circulaires de S) donc les \varphi\in\mathfrak{S}_i forment une partition de l'ens. \Delta de cardinal 9. De même pour l'ens. \mathfrak{S}_j (j\in\sigma, j\neq i). On trouve ainsi une application \Delta\xrightarrow{\ \sim\ }\prod_{i\in\sigma}\mathfrak{S}_i je dis qu'elle est bijective. Il revient au même de dire qu'elle est injective, ou encore de dire qu'un él. (\alpha,\beta) de \Delta=S\times T est connu quand on connaît ses deux composantes dans \mathfrak{S}_i\times\mathfrak{S}_j (\sigma=\lbrace i,j\rbrace). Choisissons un isom. S\simeq T, \Delta\to S\times S, \mathfrak{S}_1, \mathfrak{S}_2 d'où un isom. \sigma\simeq\lbrace1,2\rbrace, il revient au même de dire qu'un couple (\alpha,\beta) d'él. de S est connu quand on connaît l'unique permutation circulaire \rho_1 telle que \beta=\rho_1\alpha (ceci détermine \beta quand \alpha ) puis l'unique transposition \theta telle que \beta=(\underbrace{\rho_1\theta}_{\rho_2})\alpha, i.e. telle que \theta\alpha=\alpha — or \alpha est le (seul) unique pt fixe de \theta. la glose au-dessus de « Choisissons un isom. S\simeq T » est serrée et de lecture douteuse.

Il est clair par construction que deux pts de \Delta ayant même image dans ou dans sont non liés dans \Delta, donc deux pts de \Delta qui sont liés ont des images distinctes dans et dans , donc sont liés pour la structure de bloc de triades D définie sur \Delta par la bijection \Delta\simeq\prod_{i\in\sigma}\mathfrak{S}_i. Comme le cardinal de l'ens. des arêtes de \Delta et de D est le même cardinal 18, on conclut que les deux structures coïncident. cqfd.

Conclusion. Dans la catégorie (quasi-prédéterminée) (Bitr) des bitriangles, le foncteur \Delta\longmapsto\bar\Delta définit donc une autoéquivalence involutive. On peut l'interpréter aussi comme une autoéquivalence involutive dans la catégorie des ens. T de cardinal 6 munis d'une partition de type (3,3). Pour présenter de façon symétrique cette relation entre T et S de \mathrm{Ens}_{(3,3)}, on considère comme « dualité » entre T et S\mathrm{Ens}_{\lbrace3,3\rbrace}

la donnée d'une ~~relation~~ bijection ~~R\subset T\times S~~ \prod T\simeq\prod S telle que… ~~graphe~~ la ligne biffée est illisible sauf « graphe » ; à droite, deux colonnes de trois points, deux fois. Le reste de la page est blanc.

page de dénombrements et de figures, sans phrase suivie ; on donne les listes, puis les figures, puis les calculs de la moitié inférieure, écrits tête-bêche.

polyèdres dans complexe cubique :

prismes 45\cdot16 prismes doubles 45\cdot8 antiprismes tordus (appelons projectif ) 45\cdot8\cdot16\cdot3=2^4 3^4 5 avec graine diagonale Möbius pseudocubes (cubes avec 1 arête contractée) cubes 27\cdot10\cdot2=2^2\cdot3^3\cdot5 dodécaèdre gauche 2^4\cdot3^3=36\cdot12=36\cdot6\cdot2

dans « 45\cdot8\cdot16\cdot3 » le 8 est récrit sur un autre chiffre ; dans « 27\cdot10\cdot2 » le 2 est écrit sur un 4. La note en biais, en haut à droite, contre un hexagone divisé par trois diagonales, se lit mal.

polygones :

carrés 27\cdot10\cdot4=2^3 3^3 5 pentagones 36\cdot6\cdot12=2^5\cdot3^4 hexagones 720=2^4\cdot3^2\cdot5

en regard des listes : un prisme triangulaire, un prisme double (deux prismes empilés), un « pseudocube » en perspective, et un hexagone traversé de trois diagonales. Au milieu de la page : un dodécaèdre gauche en perspective, ses sommets marqués \xi_{13}, \xi_{45}, \xi_{14}, \xi_{23}, \xi_{51}, \xi_{24}, \xi_{34}, \xi_{12}, \xi_{53} ; plus loin un pentagone numéroté 1,\ldots,5 avec la suite « 1\,2\,3\,4\,5 », un pentagramme dans un carré, une petite figure fermée et un hexagone.

Sous le dodécaèdre : \xi_{56}, \xi_{26}, \xi_{46}, \xi_{16}, \xi_{36} ; \xi_6, \xi'_6 ; \xi_{12}, \xi_{34}, \xi_{51}, \xi_{23}, \xi_{45} (accolade) ; 5\cdot2 ; puis 2^5\cdot3^4=36\cdot6\cdot12 pentagones, 2^8\cdot\ldots\cdot5 aut., et 72=\dfrac{27\cdot16}{6}. le 36 est écrit sur un autre nombre ; « 4!/2= » isolé plus à droite.

Tête-bêche, en bas de la page (barré de deux grands traits obliques) : C=I\amalg I'\amalg\mathfrak{P}_2(I), d'éléments \xi_i, \xi'_i, \xi_{ij} ; « 27 » devant \mathbb{Z}[C], une flèche \mathbb{Z}[C]\to\hat E(C), « 7 » devant \hat E(C), « 6 » devant E(C), avec la forme c\cdot c'=\begin{cases}-1 & c=c'\\ 0 & c\neq c',\ c,c'\ \text{non liés}\\ 1 & c\neq c',\ c,c'\ \text{liés}\end{cases} puis \xi_1,\ldots,\xi_6, \eta=\xi_{ij}+\xi_i+\xi_j, \lambda\in\hat E(C) avec \lambda\cdot\sum\xi=1, et E(C)=\lambda^{\perp}. suivent, du même côté, des ensembles de la forme \lbrace\xi_i,\ldots\rbrace égalés à 9, une somme \sum_{b\in\operatorname{Bas}(C)} biffée et des bouts de calcul qu'on ne lit pas . Lectures de cette moitié douteuses dans l'ensemble.

page de brouillon, faite surtout de figures ; on relève les formules lisibles, dans l'ordre de haut en bas.

M\subset\mathbb{F}_2^{\,Q}, P ; Q ens. de cardinal 5, I\subset Q ens. de cardinal 2. \dot e_i\in M ; \dot e_1, \dot e_2, \dot e_1+\dot e_2 ; \dot e_1=e_2+e_3+e_4+e_5,\qquad \dot e_2=e_1+e_3+e_4+e_5,\qquad \dot e_1+\dot e_2=e_1+e_2 ; \dot e_i+\mathbb{1}, e_j+\mathbb{1}, e_i+e_j+\ldots ; e_i+\mathbb{1}, e_j+\mathbb{1}, e_i+e_j ; \mathbb{F}_2^{\,I}. dans \dot e_1=\ldots un terme est surchargé ; le dernier terme de « e_i+e_j+\ldots » est biffé.

\tilde I\to I, J (cardinaux 2 et 3) ; \tilde I\amalg(J\times\tau(\tilde I/I)) ; \underbrace{[0,1]}_{I_0}\amalg I_1\amalg(J\times I_1) ; \dot e_1,\dot e_2,\dot e_3 \mathbb{F}_2^{\,J}.

3\cdot2^6\qquad 3\cdot2^3\qquad 3\cdot2=6\qquad 2 1'' : liés : 1 ; non liés : 2' (non : 1'). 2'' : liés : 2 ; liés : 1'' ; non liés : 1', 2'. liés \in\hat E(2)^*, liés : 1''+\sigma1', \ldots\sigma2'. lecture de ce tableau très incertaine.

en haut à gauche, une étoile de dix rayons issus d'un point s, les extrémités marquées \circ, \bullet, \times, *, \alpha_1, \alpha'_1, \alpha_2, \alpha'_2 ; un petit parallélogramme fléché ; un carré aux sommets \bullet, \times, \circ ; un tableau 2\times2 de lignes \alpha_2, \alpha'_2 et colonnes \alpha_1, \alpha'_1, garni de \circ, *, \times, \bullet ; un cube aux sommets marqués 0, e_1, e_2, e_3, e_1+e_2, e_1+e_3, e_2+e_3, e_1+e_2+e_3 ; un hexagone entouré de trois arcs joignant ses sommets \alpha_1, \alpha'_1, \alpha_2, \alpha'_2 à un point s ; deux boîtes en perspective ; une figure d'éventails autour de sommets 1, 1'', 2', \alpha'_1 ; en bas, trois graphes à sommets u, v, w, \sigma_4, \alpha'_3, \alpha_4, \beta_3, \beta_4, un éventail de triangles, un octaèdre marqué w ; enfin deux lignes \alpha'_3,\alpha'_4 / \beta'_2,\beta'_1,\beta'_3,\beta'_4 / \beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta'_4 et, en bas à droite, « 2\cdot6\cdot8 ».

page de brouillon, en deux parties séparées par un trait horizontal ; la partie inférieure est barrée de deux traits obliques.

\underbrace{45\cdot3}\cdot\underbrace{32\cdot3}\ :\ \ldots=45\cdot8\cdot\ldots=2^3\,3^2\,5=360 après le deux-points, un facteur biffé illisible ; le facteur après 45 est surchargé ; « 2^3 » est récrit sur « 2^5 ».

autom. \ 36\cdot4=144\ \mid\ (\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3)\cdot\mathfrak{S}_2\times\mathfrak{S}_2.

W_u(a), w_u(b), w_u(a)-\lbrace b\rbrace ; \underbrace{\xi_{12}\,\xi_{13}\,\xi_{34}}\,\xi_{45}\,\xi_{36}\,\xi_{64} ; \xi_i, \xi'_i, 4\leq i\leq 6. la liste des \xi est de lecture douteuse.

pentaprismes \sim couples de 3-bases munis d'une bijection entre les deux — couples d'une bibase et d'une partition de type (3,3), avec isom. des deux morceaux i.e. isom. de I (avec : 6 él.) comme produit d'un ens. de 3 par un de 2.

en haut à gauche, un hexagone aux sommets a, b, a', b' et u=\infty, w=0 (lecture douteuse), avec une diagonale épaisse ; au-dessous, trois sommets u, v, w d'où partent des éventails de rayons, marqués \gamma_4, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3=b', \alpha_4=a, \beta_1,\beta'_1,\beta_2,\beta'_2,\beta_3, \beta'_3, \beta_4=b ; un petit prisme étiqueté 1, 1', 2, 2', 3, 3' ; un cube de même ; un schéma a-b-u au-dessus de a'-b'-u', reliés par des traits ; un petit « \wedge ».

Partie inférieure : U\mid P_u=\mathrm{id},\quad V\mid P_v=\mathrm{id},\quad W(P_w)=\mathrm{id},\qquad U(\alpha_4)=\alpha_4,\quad V(\beta_4)=\beta_4,\quad W(\gamma_4)=\gamma_4, UVW\in\lbrace1,\sigma\rbrace\ \overset{?}{\Longrightarrow}\ U,V,W=1 ; C\hookrightarrow V\times V\times V, N_1, N_2, N_3, C ; J, I ; J\simeq V^*, I\simeq\lbrace u,v,w\rbrace (lecture douteuse) ; \underset{9}{I\times\lbrace0,1,2\rbrace}\ \amalg\ \underset{3}{I}\times\underset{3}{J}\times\underset{2}{\operatorname{circ}(I)}. à gauche de ces formules, une figure en éventail aux sommets \gamma_4, \beta_4, \alpha_4.

page de figures, traversée de trois grands traits obliques ; seul le lemme du haut est rédigé.

Lemme. [u,v,w triangle] u,v liés ; u',u'' liés à u (et \neq u,v,w, i.e. non liés à v) ; v',v'' … v (…) ; u',u'' liés à chacun v',v'' ; \lbrace u',v',w' triangle ; u'',v'',w'' triangle \rbrace \not\Longrightarrow les « … » rendent ses tirets de répétition (« idem ») ; lecture de « chacun » douteuse. La flèche d'implication est barrée d'un trait vertical.

en haut à gauche, un grand polyèdre en perspective aux sommets u, v, w (triangle en trait épais), u', u'', v', v'', w', w'', \xi, \eta, e, f ; à côté du lemme, deux hexagones, un rectangle surmonté d'un triangle, un « U » fermé par un segment, une chaîne de segments marqués (u,v), (u',v'), (u,v''), (u'',v), (u',v'), (u',v). Au-dessous, plusieurs cubes et prismes aux sommets u, v, u', u'', v', v'', w', w'', \xi, \eta ; des octaèdres aux sommets x, y, s, t, \xi, \eta ; un losange aux sommets \alpha, \beta, \gamma ; un triangle aux sommets \gamma_4, \beta'_4, \alpha_4, \gamma_1 ; et, écrites en travers de la page, les listes \beta_1\,\beta_2\,\beta_3\,\beta_4, \beta'_1\,\beta'_2\,\beta'_3\,\beta'_4, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_4, \alpha_1, \alpha'_2 et « V\times V\times V ».