Fonds Grothendieck, cote n° 69, pages 41–60

Les 27 droites de la surface cubique, et le syst. de racines E_6

titre de sa main, en tête de la page ; au-dessus de « cubique », un chiffre qui se lit « 1 », début de sa pagination de 1 à 17 (pages 41 à 57), les suivants étant cerclés

I. P plan projectif (sur un corps )

S = \{s_1, \dots, s_6\} un ens. de 6 pts de P ~~trois~~ pas trois à trois alignés et pas tous sur une conique

\widetilde{P} déduit de P en faisant éclater S

\widetilde{S} = \sum_{1}^{6} D_i image inverse de S

D_{ij} (1 \leq i \neq j \leq 6) image inv. propre de la droite qui joint s_i, s_j

D'_i image inverse propre de la conique dans P passant par S - \{s_i\} vérifier

On a (\ast)\quad \begin{cases} D_i \cap D_j = \emptyset & \text{si } i \neq j \\ D_i \cap D_{jk} \neq \emptyset & \text{ssi } i \in \{j, k\} \\ D'_i \cap D'_j = \emptyset & \text{si } i \neq j \\ D'_i \cap D_{jk} \neq \emptyset & \text{ssi } i \in \{j, k\} \\ D_i \cdot D'_j \neq \emptyset & \text{ssi } i \neq j \\ D_{ij} \cdot D_{kl} \neq \emptyset & \text{ssi } \{i,j\} \cap \{k,l\} \text{ de card.\ } 0 \text{ ou } 2 \end{cases} le signe de renvoi devant l'accolade est un rond plein, rendu ici (\ast) ; la condition « ssi \{i,j\} \cap \{k,l\} de card. 0 ou 2 » est écrite au bout de l'avant-dernière ligne et vaut pour la dernière vérifier — cf calculs plus bas

On calcule, dans E \simeq A^1(\widetilde{P}) = \operatorname{Pic}(\widetilde{P}), en désignant par (1) \qquad \eta, \ (\xi_i)_{1 \leq i \leq 6} les images inverses de \operatorname{cl}(\mathcal{O}_P(1)) et les classes des D_i, par \xi'_i les classes des D'_i, par \xi_{ij} celles des D_{ij}. On trouve \begin{aligned} &(2) & \xi_{ij} &= \eta - \xi_i - \xi_j \\ &(3) & \xi'_i &= 2\eta - \sum_{\alpha \neq i} \xi_\alpha = 2\eta - \xi + \xi_i \end{aligned} i.e. (3\,\text{bis}) \qquad \xi'_i - \xi_i = 2\eta - \xi en posant (4) \qquad \xi = \sum_{1}^{6} \xi_\alpha Posons aussi (4') \qquad \xi' = \sum_{1}^{6} \xi'_\alpha = 12\eta - 5\xi et définissons \eta' par (5) \qquad 2\eta - \xi = -(2\eta' - \xi') \quad \text{i.e.} \quad 2(\eta + \eta') = \xi + \xi' i.e. (compte tenu de (3 bis)) : (5\,\text{bis}) \qquad \xi_i - \xi'_i = 2\eta' - \xi' On trouve, posant (6) \qquad \lambda = 3\eta - \xi

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 2 » les formules (7) \qquad \xi + \xi' = 12\eta - 4\xi = 4\lambda donc (5) s'écrit (en divisant par 2) ~~\eta + \eta' = 2\lambda~~ (8) \qquad \eta + \eta' = 2\lambda ou encore (8\,\text{bis}) \qquad \eta' = 5\eta - 2\xi Notons que \lambda provient de l'application rationnelle P \to \mathbb{P}^3 définie par le système des cubiques qui passent par S, laquelle devient régulière sur \widetilde{P} et définit une immersion \widetilde{P} \hookrightarrow \mathbb{P}^3 dont l'image est une surface cubique. (En particulier, \lambda est ample…) On K = -3\lambda (K classe canonique) ce qui conduit à définir \lambda de façon intrinsèque à la surface \widetilde{P} = X. Donc aussi l'immersion X \hookrightarrow \mathbb{P}^3 ( ) est intrinsèque à X, ainsi que les D_i, D'_i, D_{ij}, i.e. les seules droites de \mathbb{P}^3 contenues dans X ( \to fonctoriel, les 27 élts \xi_i, \xi'_i, \xi_{ij} \in E sont intrinsèques à X) la note marginale est écrite en oblique le long du bord gauche, en face des lignes (10) à (13) ; « K » et le « \lambda » qui le suit sont repassés d'une encre plus foncée

Calculons la forme intersection sur \widetilde{P}. On a (10) \qquad \eta^2 = 1, \quad \xi_i^2 = -1, \quad \eta \cdot \xi_i = 0, \quad \xi_i \xi_j = 0 \ \text{si } i \neq j d'où facilement (11) \qquad \eta'^2 = 1, \quad \xi_i'^2 = -1, \quad \eta' \cdot \xi'_i = 0, \quad \xi'_i \xi'_j = 0 \ \text{si } i \neq j . On a aussi \begin{aligned} &(12) & \lambda^2 &= 3 \qquad (= \lambda\eta = \lambda\eta') \\ &(13) & \lambda\xi_i &= \lambda\xi'_i = \lambda\xi_{ij} = 1 \end{aligned} La relation (12) signifie que l'immersion \widetilde{P} \to \mathbb{P}^3 a comme image une surface cubique, la relation (13) que les images dans \mathbb{P}^3 des 27 = 6 + 6 + 15 courbes D_i, D'_i, D_{ij} sont des droites. le second chiffre du premier renvoi est mal formé ; le sens demande (12)

Notons encore (14) \qquad \xi_i \cdot \xi'_j = \begin{cases} 0 & \text{si } i = j \\ 1 & \text{si } i \neq j \end{cases}

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 3 » \begin{aligned} &(15) & \xi_i \xi_{jk} = \xi'_i \xi_{jk} &= \begin{cases} 0 & \text{si } i \notin \{j, k\} \\ 1 & \text{si } i \in \{j, k\} \end{cases} \\ &(16) & \xi_{ij} \xi_{kl} &= \begin{cases} 0 & \text{si } \operatorname{card}(\{i,j\} \cap \{k,l\}) = 1 \\ 1 & \text{si } \{i,j\} \cap \{k,l\} = \emptyset \end{cases} \end{aligned} dans (16), le 0 est écrit en surcharge sur un autre chiffre

ce qui précise (\ast) : les 27 droites, quand deux ~~elles~~ se rencontrent, se rencontrent en exactement un pt avec int. transversale (on espère !)

On vérifie de plus que ch. droite parmi les 27 en rencontre exactement 10 autres ; p.ex. D_i rencontre les D'_j et D_{ij} (j \neq i), D'_i les D_j et D_{ij} (j \neq i), D_{12} rencontre D_1, D_2, D'_1, D'_2 ; D_{3,4}, D_{5,6}, D_{3,5}, D_{4,6}, D_{3,6}, D_{4,5}…. On vérifie aussi que si \delta, \delta' parmi ~~les~~ l'ens. \Delta des 27 droites se rencontrent, \exists!\, \delta'' \in \Delta ~~parmi~~ tel que \delta'' rencontre \delta et \delta'…

II) Soit, sur un anneau k \neq 0 (p.ex. k = \mathbb{Z}), un module ~~engendré~~ muni ~~par~~ des éléments \bigl[\eta, \xi_i, \eta', \xi'_i \ (1 \leq i \leq 6)\bigr] satisfaisant (posant ~~\xi = \sum \xi_i, \xi' = \sum \xi'_i~~) \begin{aligned} &(a)\ (\text{déf}) & \xi &= \sum_{1}^{6} \xi_i, \quad \xi' = \sum_{1}^{6} \xi'_i \\ &(b) & 2(\eta + \eta') &= \xi + \xi' \quad \text{i.e.} \quad 2\eta - \xi = -(2\eta' - \xi') \end{aligned} et de plus (c) \qquad \xi'_i - \xi_i = 2\eta - \xi \quad \text{i.e.} \quad \xi_i - \xi'_i = 2\eta' - \xi' les lettres (a), (b), (c) sont cerclées sur la page Alors on a les relations (d) \quad \begin{cases} \xi'_i = 2\eta - \xi + \xi_i = 2\eta - \sum_{\alpha \neq i} \xi_\alpha \\ \xi' = 12\eta - 5\xi \end{cases} entre les deux lignes de (d), une ligne biffée, illisible ; à droite, après « donc », un bloc biffé en zigzag : \xi + \xi' = \ill{}\,\lambda , puis \lambda = 3\eta - \xi, \lambda' = 3\eta' - \xi'

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 4 » et les relations symétriques (d') \quad \begin{cases} \xi_i = 2\eta' - \xi' + \xi'_i = 2\eta' - \sum_{\alpha \neq i} \xi'_\alpha \\ \xi = 12\eta' - 5\xi' \end{cases} entre les deux lignes de (d'), une ligne biffée, où se lit encore « \ill{} - 2\eta' » d'où (e) \qquad \xi + \xi' = 4\lambda = 4\lambda' \qquad \text{avec} \quad \lambda = 3\eta - \xi, \ \lambda' = 3\eta' - \xi' ~~Donc~~, On a donc, ~~par (e)~~ 4\lambda = 4\lambda' i.e. 4(\lambda' - \lambda) = 0, mais on suppose en plus que (\ast) \qquad 3\eta - \xi = 3\eta' - \xi' \overset{\text{df}}{=} \lambda le signe de renvoi devant cette formule est une croix cerclée, rendue (\ast) N.B. conséquence de ce qui précède si 2 inv. dans k (ou de M) \bigl(3\eta' = 3\eta - \xi + \xi' = 15\eta - 5\xi\bigr) sous la parenthèse, une accolade porte les mots « compte tenu », qui se raccordent à la ligne suivante ; d'après (b) et (d), 3\eta - \xi + \xi' = 15\eta - 6\xi : le chiffre repassé qui se lit 5, d'une lecture incertaine, ne s'accorde pas avec le calcul et compte tenu de (b) donne 2\eta' \struck{\ill{}} = \xi + \xi' - 2\eta = 10\eta - 4\xi (f) \quad \begin{cases} \eta + \eta' = 2\lambda \\ \xi + \xi' = 4\lambda \end{cases} \qquad\qquad (g, g') \quad \begin{cases} \eta' = 5\eta - 2\xi \\ \eta = 5\eta' - 2\xi' \end{cases} de (e) à (f), une longue accolade ondulée dans la marge gauche

Pour que (\eta, (\xi_i)) soit une famille gén. (basique) de M, il faut et il suffit qu'il en soit de même de (\eta', (\xi'_i)). ~~Posons~~ On a (h) \qquad \eta - \xi_i - \xi_j = \eta' - \xi'_i - \xi'_j \quad \bigl(\overset{\text{df}}{=} \xi_{ij}\bigr) Le module engendré par (\eta, (\xi_i)) ou par (\eta', (\xi'_i)), est aussi engendré par la famille de 27 élts (\xi_i) (\xi'_i) (\xi_{ij}) [ou même ((\xi_i), \xi_{\alpha\beta}) disons] dans les cas…

Supposons qu'il ~~existe~~ donnée sur M une forme sym. b.l., notée x.y. ~~telle que~~ Alors les relations (i) \qquad \eta^2 = 1, \quad \xi_i^2 = -1, \quad \eta\xi_i = 0, \quad \xi_i\xi_j = 0 \ \text{si } i \neq j sont équiv. aux relations sym. (i') \qquad \eta'^2 = 1, \quad \xi_i'^2 = -1, \quad \eta'\xi'_i = 0, \quad \xi'_i\xi'_j = 0 \ \text{si } i \neq j et elles impliquent que (\eta, (\xi_i)) forme une famille libre (et (\eta', (\xi'_i)) aussi) — donc

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 5 » une base s'ils la engendrent. Inversement, si ils forment une base, \exists forme bil. sym. satisfaisant les conditions équivalentes (i), (i'). On aura alors les formules (12) à (16) de (I). On suppose dorénavant qu'on est dans cette situation.

Considérons les 27 éléments \xi_i, \xi'_i, \xi_{ij} (1 \leq i \neq j \leq 6), (qui dans la base (\eta, (\xi_i)) s'écrivent \begin{aligned} \xi_i &= \xi_i \\ \xi'_j &= 2\eta - \sum_{\alpha \neq j} \xi_\alpha \\ \xi_{ij} &= \eta - \xi_i - \xi_j \qquad (i \neq j) \bigr) \end{aligned} Soit \Delta leur ens. ; ils sont tous distincts. On met dessus une structure de graphe en notant que si \delta, \delta' \in \Delta, \delta \neq \delta' on a \delta . \delta' = 0 ou 1, (N.B. \delta^2 = \delta'^2 = -1) ~~et on considère \delta, \delta' liés ssi \delta~~ (j) \qquad \delta, \delta' \ (\in \Delta, \ \delta \neq \delta') \ \text{liés ssi} \ \delta\delta' = 1 \quad \text{i.e.} \quad \delta\delta' \neq 0 . N.B. engendrent E (il suffit des \xi_i et d'un \xi_{ij}) la lettre de la marge est surmontée d'un accent circonflexe, \hat{E} ; le premier mot après « N.B. » peut se lire « tous »

Donc \xi_i est lié aux él. \xi'_j (j \neq i) et \xi_{ij} (j \neq i) exactement (soit 10 él.), \xi'_i est lié aux él. \xi_j (j \neq i) et \xi_{ij} (j \neq i) exactement (soit encore 10 éléments) et \xi_{ij} (i \neq j) est lié à \xi_i, \xi_j, \xi'_i, \xi'_j, et à \xi_{kl} (k \neq i, j, l \neq i, j, k \neq l) en nombre \binom{4}{2} = 6, donc en tout encore 10 éléments.

Les ~~couples~~ paires de sommets liés sont donc

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 6 ». Le bord droit du feuillet est déchiré : la fin de la première ligne et deux signes écrits dans la marge droite, à la hauteur du lemme, manquent exactement les \{\xi_i, \xi'_j\} (i \neq j), \{\xi_i, \xi_{ij}\} (i \neq j), \{\xi'_i, \xi_{ij}\} (i \neq) et \{\xi_{ij}, \xi_{kl}\} avec \{i,j\} \cap \{k,l\} = \emptyset. On note ~~que~~

Lemme. Si \delta, \delta' sont deux sommets (distincts) liés alors \exists!\, \delta'' lié à \delta et \delta'.

En effet, pour \{\xi_i, \xi'_j\} c'est \xi_{ij}, pour \{\xi_i, \xi_{ij}\} c'est \xi'_j, pour \{\xi'_i, \xi_{ij}\} c'est \xi_j ; pour \{\xi_{ij}, \xi_{kl}\} c'est \xi_{rs} où r, s sont les deux autres indices 1 \leq \ \leq 6 distincts des i, j, k, l.

Définition. Graphe cubique = graphe isomorphe au graphe standard précédent (convenir en prenant [1,6] \amalg [1,6] \amalg \mathfrak{P}_2([1,6]) comme ens. des sommets).

À un tel graphe \Delta (comme : tel graphe), on associe (pour un anneau commut. k donné) la forme bilinéaire sym. sur k^{[\Delta]} \times k^{[\Delta]} donnée par \delta\delta' = \begin{cases} -1 & \text{si } \delta = \delta' \\ 1 & \text{si } \delta \neq \delta', \ \delta \text{ et } \delta' \text{ liés} \\ 0 & \text{si } \delta \neq \delta', \ \delta \text{ et } \delta' \text{ non liés} \end{cases} Considérons le noyau N(\Delta) de cette forme, et soit \widehat{E}_k(\Delta) = k^{[\Delta]} / N(\Delta), qui est donc muni d'une forme bilinéaire sym. (non dégénérée au sens faible). Dans le cas d'un graphe cubique, celle-ci est non dégénérée (et \widehat{E}_k(\Delta) est un module libre de rang 7) comme on voit sur le cas standard. la lettre de \widehat{E}_k(\Delta) est écrite d'abord comme un carré surmonté d'un accent, puis corrigée

numéro de sa main en tête de page, non cerclé : « 7 » Base ordonnée (\alpha_i)_{1 \leq i \leq 6} d'un graphe cubique : déduite de (\xi_i)_{1 \leq i \leq 6} dans \Delta_0 standard par un isom. Base (\alpha_i)_{i \in I} : card I = 6, et on peut ordonner I, I \simeq [1,6], de façon que la famille devienne une base ordonnée. Partie basique de \Delta.

Prop (triviale) u \mapsto u((\xi_i)) définit une ~~isom~~ bijection de \operatorname{Isom}(\Delta_0, \Delta) sur l'ens. des bases ordonnées de \Delta (qui est donc un torseur : à droite sous W_0 = \operatorname{Aut}(\Delta_0), à gauche sous W = \operatorname{Aut}(\Delta)). Considérons l'inclusion évidente \mathfrak{S}_6 \subset W_0. Alors u \mapsto u(\{\xi_i\}_{i \in I}) définit par passage au quotient une bijection \operatorname{Isom}(\Delta_0, \Delta) / \mathfrak{S}_6 \ \simeq \ \text{ens.\ des parties basiques de } \Delta .

Dém. Pour le premier pt, il suffit de voir que tt automorphisme u de \Delta tel que u(\xi_i) = \xi_i \forall i est l'identité. Or comme \xi'_i est l'unique élément de \Delta ~~distinct de \xi_i et des autres \xi_j~~ qui soit lié à ~~aucun des~~ tous les autres \xi_j ~~est~~ u laisse invariants aussi les \xi'_i, donc les \xi_{ij} (\xi_{ij} est l'unique élément de \Delta qui est lié à la fois à \xi_i et \xi'_j, ou : à la fois à \xi_j et \xi'_i), donc est l'identité. Ce Le même argument montre que tt automorph. de \Delta_0 qui invar. la partie \{\xi_i\} est induit par un \sigma \in \mathfrak{S}_6.

numéro de sa main en tête de page, non cerclé : « 8 » N.B. La donnée d'une base (\alpha_i)_{i \in I} de \Delta équivaut à la donnée d'un isom \Delta \simeq \underbrace{I \amalg I \amalg \mathfrak{P}_2(I)}_{\substack{\text{avec la structure}\\ \text{de graphe déjà}\\ \text{explicitée}}} On a donc prouvé que tt automorph. de \Delta invariant la partie basique correspondante est induit (de façon unique), par transport de structure, d'une permutation de I.

Base duale \alpha' d'une base \alpha ; notations \eta(\alpha), \xi(\alpha).

Prop \exists!\, \lambda_\Delta = \lambda \in \widehat{E}(\Delta) tel que \boxed{\lambda . s = 1 \quad \forall s \in \Delta}.

On a ~~\sum_{s \in S} s = 9\lambda~~ (pour toute base \alpha = (\alpha_i)_{i \in I}) \begin{cases} \lambda = 3\eta(\alpha) - \xi(\alpha) & 1^\circ) \\ \eta(\alpha) + \underbrace{\eta(\alpha')}_{= \eta'(\alpha)} = 2\lambda & 2^\circ) \\ \xi(\alpha) + \underbrace{\xi(\alpha')}_{= \xi'(\alpha)} = 4\lambda & 3^\circ) \end{cases} d'où \begin{cases} \sum_{ij \in \mathfrak{P}_2} \xi_{ij}(\alpha) = 5\lambda & 4^\circ) \\ \sum_{s \in S} s = 9\lambda & 5^\circ) \end{cases} les numéros 1^\circ à 5^\circ sont écrits dans la colonne de droite ; le dernier est plutôt « 5^\circ » que « 3^\circ »

L'unicité est claire, puisque les s \in S engendrent \widehat{E}(S) et que la forme sym. est non dég. Pour l'existence, et les autres formules écrites (N.B. aussi bien la première, que ~~l'une~~ 2^\circ ou 3^\circ suffit : 4^\circ ou 5^\circ, 4^\circ et 5^\circ, caractérisent \lambda). L'existence est ~~évidente sur~~ comme dans le cas standard, qui est évident. D'où : \lambda est invariant par autom.

Corollaire (le produit scalaire par \lambda donne une suite exacte invariante par autom. 0 \to E \to \widehat{E} \to \mathbb{Z} \to 0 où E est l'orthogonal de \lambda.)

Donc la formation de est

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 9 » commutant : changt de base

III. Relations avec E_6

le titre est de sa main, souligné, dans le cours de la page

Soit \Delta un graphe cubique.

Définition On appelle racine de \Delta différence dans \widehat{E} de sommets distincts non liés \delta' - \delta de \Delta \subset \widehat{E}(\Delta). Leur ensemble R(\Delta) est considéré comme partie de E(\Delta) = orthogonal de \lambda_\Delta.

R(\Delta) est stable par r \mapsto -r.

~~Théorème R(\Delta) est un système de racines (\delta' - \delta vers une racine, …)~~

avec r = \delta' - \delta r^2 = \delta'^2 + \delta^2 = -2 Faisons la liste, explicitée dans le cas du graphe standard \Delta_0, que les différences non liées \delta' - \delta se groupent six à six de la façon suivante en termes de sixtes (« doubles ») (\alpha_1, \dots, \alpha_6)(\alpha'_1, \dots, \alpha'_6) ~~\xi'_1 - \xi_1 = \xi'_2 - \xi_2 =~~ de sommets satisfaisant : \begin{cases} \alpha_i \text{ lié à } \alpha'_j \text{ ssi } i \neq j, \text{ les } \alpha_i \text{ non liés mutuellement}, \\ \text{les } \alpha'_i \text{ itou, en prenant } r_\alpha = \alpha'_1 - \alpha_1 = \alpha'_2 - \alpha_2 = \cdots = \alpha'_6 - \alpha_6 \end{cases}

Racines : \begin{array}{lll} 1 & \begin{cases} r_0 = 2\eta - \sum \xi_i = \lambda - \eta \\ r_0 = \xi'_1 - \xi_1 = \xi'_2 - \xi_2 = \cdots = \xi'_6 - \xi_6 \end{cases} & \text{déduite des } \begin{cases} (\xi_1, \dots, \xi_6) \\ (\xi'_1, \dots, \xi'_6) \end{cases} \\[3ex] 15 & \begin{cases} r_{ij} = \xi_i - \xi_j \\ 1 \leq i < j \leq 6 \end{cases} & \text{déduites des } \begin{cases} (\xi_j, \xi'_j, (\xi_{ik})_{k \neq i,j}) \\ (\xi_i, \xi'_i, (\xi_{jk})_{k \neq i,j}) \end{cases} \\[3ex] 20 & \begin{cases} r_{ijk} = \eta - \xi_i - \xi_j - \xi_k \\ 1 \leq i < j < k \leq 6 \end{cases} & \text{déduites des } \begin{cases} (\xi_i, \xi_j, \xi_k, \xi_{lm}, \xi_{mn}, \xi_{nl}) \\ (\xi_{jk}, \xi_{ki}, \xi_{ij}, \xi'_l, \xi'_m, \xi'_n) \end{cases} \end{array} pour les r_{ij}, la première sixte porte à la fin un groupe biffé, illisible ; les indices des \xi' et des \xi_{\cdot k} des deux sixtes se lisent ainsi, bien que la définition des sixtes demande (\xi_j, \xi'_i, (\xi_{jk})_k) et (\xi_i, \xi'_j, (\xi_{ik})_k) ; la lecture est incertaine

avec ~~1 \leq l < m < n \leq 6~~ l, m, n les trois élts de [1,6] distincts de i, j, k (en ordre cr. p.ex.)

et les opposées, obtenues en échangeant \alpha et \alpha'.

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 10 » Cela fait 72 = 2 \times 36 racines, associées aux 27 \times 16 = 6 \times 72 = 432 couples (\delta', \delta) de sommets distincts non liés.

On vérifie de plus que pour tt racine r_\alpha, associée à un système \begin{cases} \alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_6) \\ \alpha' = (\alpha'_1, \dots, \alpha'_6) \end{cases}, on a r_\alpha \alpha_i = (\alpha'_i - \alpha_i)\alpha_i = 0 - (-1) = 1, de même r_\alpha(\alpha'_i) = -1

\begin{cases} r_\alpha . \alpha_i = 1 \\ r_\alpha \alpha'_i = -1 \\ r_\alpha \delta = 0 \ \text{si } \delta \in \Delta_0 \text{ distinct des } \alpha_i, \alpha'_i \end{cases} (pour un graphe cubique général) ceci provient de ce que ~~(\alpha'_i, \alpha_i)~~ ( ) tel que \delta \alpha_i, \alpha'_i i.e. \alpha_i, \alpha'_i la note marginale est écrite en oblique dans l'angle droit, rattachée par une flèche à la dernière ligne de l'accolade ; elle est presque entièrement illisible

Donc cela explicite, commutant à une racine r son association deux parties \alpha(r), \alpha'(r) de \Delta : l'ens. des s \in \Delta tels que rs = 1 resp. -1 ; On trouve une corr. 1-1 entre ces paires \alpha et les parties racines, la paire r échanger \alpha avec \alpha' donc…

Bien entendu, ~~les~~ parties basiques de \Delta associées à une racine. Pour voir que l'assertion est vraie, il suffit de vérifier que les parties écrites ci-dessus dans le cas standard sont basiques (et ils sont groupés par couples de bases duales). ~~Il reste à vérifier que dans \widehat{E}(\Delta_0)~~

à partir d'ici, le reste de la page est barré de longs traits obliques ; ce qui se lit est donné tel quel \boxed{\alpha'_i - \alpha_i = r} indépendant de i, considérons \eta(\alpha) = \lambda - r(\alpha) = \lambda - r ~~r + \sum \alpha_i = r + \xi(\alpha)~~, vérifions qu'ils ~~par 2~~ ~~\widehat{E} \xi(\alpha) \eta(\alpha) = \frac{1}{2}(r + \xi(\alpha))~~ libres dans le cas \begin{aligned} \eta(r_0) &= \eta(\xi_1, \dots, \xi_6) = \eta \\ \eta(-r_0) &= \eta(\xi'_1, \dots, \xi'_6) = \eta' = 5\eta - 2\xi = 5\eta - 2\textstyle\sum \xi_i \\ \eta(\xi_i - \xi_j) &= \eta(\xi_j, \xi'_i, (\xi_{ik})) = 3\eta - 2\xi_i - \textstyle\sum_{k \neq i,j} \xi_k \ (= \lambda - \xi_i + \xi_j = \lambda - r) \end{aligned} ces trois lignes sont entourées d'un trait qui les rattache à l'encadré ~~\eta(\alpha)~~ r = 2\eta(\alpha) - \underbrace{\sum \alpha_i}_{\xi(\alpha)} \quad \text{i.e.} \quad \underset{\substack{\Vert \\ \sum \alpha_i}}{\xi(\alpha)} = 2(\lambda - r) - r = 2\lambda - 3r

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 11 » (il y a manifestement 4 cas ~~à distinguer,~~ r = r_{ij} et r = r_{ijk}…) dans le cas standard \alpha = \alpha^{ij} = (\xi_i, \xi'_j, (\xi_{ik})_{k \neq i,j}) et \alpha = \alpha^{i,j,k} = (\xi_i, \xi_j, \xi_k, \xi_{lm}, \xi_{mn}, \xi_{nl}) sont des bases, ~~i.e.~~ Il faut si \alpha = \{\alpha_1, \dots, \alpha_6\}, \alpha' = \{\alpha'_1, \dots, \alpha'_6\}, ~~\Rightarrow \forall\, 1 \leq i < j \leq 6, \exists!\, \alpha_{ij} \in \Delta lié à \alpha_i, \alpha'_j~~ si 1 \leq i \neq j \leq 6, \alpha_i et \alpha'_j sont liés, donc \exists!\, \delta \in \Delta_0 lié à \alpha_i et \alpha'_j, soit \alpha_{ij}. ~~Les \alpha_{ij}~~ Tout \delta \in \Delta_0 distinct des \alpha_i, \alpha'_i est-il de la forme \alpha_{ij} i.e. est-il lié à un des \alpha_i et à un des \alpha'_j ? ~~S'il n'était lié à aucun des~~… un trait vertical dans la marge gauche, en face des trois premières lignes, et un trait oblique qui traverse les deux premières

~~Vérifications fastidieuses~~… Meilleur procédé :

Comme pour tte racine r on a r.r = -2, l'endomorphisme (« symétrie par r ») s_r : x \longmapsto x + (x.r)r \qquad \widehat{E} \to \widehat{E} [dont l'ens. des pts fixes est r^\perp, et qui transforme r en -r] est un autom. de ~~orthogonal~~ (\widehat{E}, forme quad.), qui évidemment respecte aussi \lambda (car r \in E = \lambda^\perp). Montrons qu'elle applique \Delta_0 dans \Delta. [Il suffit de regarder le cas standard, et de regarder dans les trois cas r = r_0, r = r_{ij}, r = r_{ijk}.]

Notons d'abord, de façon générale, que si r est associé à (\alpha_1, \dots, \alpha_6), (\alpha'_1, \dots, \alpha'_6) (r = \alpha'_i - \alpha_i pour 1 \leq i \leq 6) on a \boxed{s_r \alpha_i = \alpha'_i, \quad s_r \alpha'_i = \alpha_i} car \lbrace r.\alpha_i = 1, \ r\alpha'_i = -1. Il reste à voir l'effet de r sur les autres éléments de \Delta — et de montrer que \boxed{s_r \delta = \delta \quad \text{si } \delta \notin \{(\alpha_i), (\alpha'_i)\}}

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 12 » ~~\Rightarrow Cas de r_0. Cela provient des relations~~ ~~relations déjà notées plus haut~~

~~s_{r_0}(\xi'_j) -~~

Soit W le groupe d'autom. de (\widehat{E}, \varphi, \lambda) (ou ce qui revient au même, de \Delta) engendré par les s_r. Je dis que W opère transitivement sur l'ens. des racines, donc aussi sur l'ens. des parties (\subset \operatorname{Isg}(\Delta)) associées aux racines — qui sont des bases parties basiques. « \operatorname{Isg} » est une lecture incertaine ; une double barre verticale dans la marge droite, en face des premières lignes

Pour ceci, notons d'abord que ~~s_{r_{ij}}~~ ~~s_{r_{ij}}\, \xi_k = \xi_k si k \neq i,j~~

s_{r_{ij}} est l'autom. de \Delta_0 ~~associé à l'élément~~ ~~par~~ de \mathfrak{S}_6, ~~une~~ ~~permutation~~ transposition de i et j. (vérification immédiate) donc

Corollaire W contient \mathfrak{S}_6

Corollaire Les r_{ij} sont conjugués par W, et les r_{ijk} sont conjugués par W.

Il reste donc à voir que r est conjugué à un r_{ij} et à un r_{ijk}. Or On vérifie de suite s_{r_{ijk}}(r_0) = r_{l,m,n} donc r_0 conjugué aux r_{l,m,n} s_{r_{ijk}}(r_{il}) = r_{jkl} donc un des r_{..} (r_{il}) conjugué à un des r_{...} (r_{jkl}) et on a fini.

On voit donc plus précisément, compte tenu que W \supset \mathfrak{S}_6 :

Corollaire W est transitif sur l'ens. des ~~bases~~ racines, sur l'ens. des sixtes ~~basiques~~ basiques (qui sont en corr. 1-1 avec les racines), sur l'ens. des bases ordonnées, et sur l'ens. ~~des~~ des couples (\delta', \delta) de deux sommets non liés. Enfin, W est identique au groupe de tous les automorphismes de \Delta.

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 13 » ~~Proposition~~.

Corollaire \operatorname{Card} W = 72 . 6! = 2^7 . 3^4 . 5

(En effet, W est ~~simplement~~ transitif sur l'ens. des bases ordonnées, qui a un card de 72 . 6!. Car il y a 72 parties basiques i.e. 72 racines…)

Th (E(\Delta), R(\Delta)) est un un système de racines E(\Delta) engendré par R, de type E_6, et si \alpha = (\xi_1, \dots, \xi_6) est une base ordonnée de \Delta, le système de racines \begin{aligned} &r_1 = r_{12} = \xi_1 - \xi_2 \\ &r_2 = r_{23} = \xi_2 - \xi_3 \\ &\dots \\ &r_5 = r_{56} = \xi_5 - \xi_6 \\ &r_6 = r_{123} = \eta - \xi_1 - \xi_2 - \xi_3 \end{aligned} en tête de la liste, une première ligne biffée : « \alpha_1 = \xi_1 - \xi_2 » ; devant le dernier membre de r_6, un groupe raturé, illisible ; l'indice de r_5 est écrit sur un 6 est un système de racines simples, suivant le diagramme le diagramme est redessiné ci-dessous : il garde les six sommets, leurs noms et les cinq traits sans flèche ; les points marquant les sommets ne sont pas repris

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] r_1 \arrow[r, no head] & r_2 \arrow[r, no head] & r_3 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & r_4 \arrow[r, no head] & r_5 \\ & & r_6 & & \end{tikzcd}

Pour r \in R, (La symétrie s_r rendue… ~~\widehat{E}(\Delta)~~ est la symétrie associée au syst. de racines et à r et W (identifié à un groupe d'autom. de E) est donc le groupe de Weyl du syst. de racines. La forme bil. sym. \varphi = \widehat{\varphi} | E est caractérisée par la propriété d'être invariante par W et de satisfaire r.r = -2 \forall r \in R un trait vertical dans la marge gauche longe l'énoncé du théorème et cette parenthèse, qu'il ne referme pas

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 14 » Dém

E est engendré par R, et même par r_1\, r_2\, r_3\, r_4\, r_5\, r_6 1 \leq i \leq 5… Car les sommes partielles des r_i donnent les \xi_i - \xi_j (i < j), et il est clair que les \xi_i - \xi_1 (2 \leq i \leq 6) et ~~\eta - 2\lambda~~ \eta - 3\xi_1 ~~\xi_1 - \eta - \lambda (car \lambda - \eta = r_0 = r_6)~~ engendrent E (= \operatorname{Ker}(\widehat{E} \xrightarrow{\lambda.} \mathbb{Z})) puisque \lambda . \xi_1 = 1 et \lambda . \xi_i = 1, \lambda . \eta = 3. ~~Donc E engendré par~~ ~~\eta, \xi_1, \dots, \xi_6 engendrent \widehat{E} et 3\lambda~~ par les \xi_1 - \xi_i et ~~\eta - 3\xi_1 = 3\xi_1 - \eta~~ sous la biffure, un groupe entouré d'une boucle, barré d'un trait ondulé ~~3\lambda - \eta~~ donc par r_1, \dots, r_5 et \eta - 3\xi_1. Reste à prouver que \eta - 3\xi_1 est une comb. des r_i, or r_6 = \eta - \xi_1 - \xi_2 - \xi_3 = (\eta - 3\xi_1) + (\xi_1 - \xi_2) + (\xi_1 - \xi_3), \ldots cqfd. après « r_6 = », un groupe biffé, illisible ; sous les deux derniers termes, reliés par un signe « \Vert », ils sont récrits « (\xi_1 - \xi_2) + (\xi_1 - \xi_3) »

On sait déjà que les s_r transforment \Delta en lui-même, R en lui-même, etc. comme s_r (x \mapsto x + (x.r)\,r) avec r^2(r) = -2, — On conclut que R est un syst. de racines — compte tenu que deux racines distinctes non sont non proportionnelles. Prouvons que \alpha_1 \dots \alpha_6 forment un syst. de racines simples. On a déjà vu \boxed{r_{ij} = r_i + r_{i+1} + \cdots + r_{j-1} \quad \text{si } i < j} (pour 1 \leq i, j … \leq 5) On a \begin{aligned} r_{ijk} &= \eta - \xi_i - \xi_j - \xi_k = (\eta - \xi_1 - \xi_2 - \xi_3) + \underbrace{(\xi_1 - \xi_i)}_{r_{1i}} + \underbrace{(\xi_2 - \xi_j)}_{r_{2j}} + \underbrace{(\xi_3 - \xi_k)}_{r_{3k}} \\ &= r_{123} + r_{1i} + r_{2j} + r_{3k} \end{aligned} au début de la seconde ligne, après le signe =, un groupe biffé, illisible donc r_{ijk} = r_6 + (r_1 + \cdots + r_{i-1}) + (r_2 + \cdots + r_{j-1}) + (r_3 + \cdots + r_{k-1})

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 15 » i.e. \boxed{r_{ijk} = r_6 + (r_1 + \cdots + r_{i-1}) + (r_2 + \cdots + r_{j-1}) + (r_3 + \cdots + r_{k-1})} \quad \text{pour } i < j < k les deux premiers signes + sont écrits sur des chiffres raturés ; au-dessus de la dernière parenthèse, un groupe raturé où se lit « 2r_1 + r_2 » (poids r_{ijk} maximum 10) poids ~~+ 3(i-1) + 2(j-i-1) + \ill{}~~ = 1 + (i + j + k \ \ill{}) = i + j + k - 5, maximum : 10 la note, en haut à droite, est à demi raturée par des traits obliques ; seuls l'expression finale et le maximum se lisent sûrement

enfin r_0 = 2\eta - \sum \xi_i = (\eta - \xi_1 - \xi_2 - \xi_3) + (\eta - \xi_4 - \xi_5 - \xi_6) i.e. = r_{123} + r_{456} sous r_{123}, une accolade porte « r_6 + 2r_1 + r_2 », biffé donc \boxed{r_0 = r_1 + 2r_2 + 3r_3 + 2r_4 + r_5 + 2r_6} \quad (\text{poids } 11) le début du membre de droite est surchargé à plusieurs reprises ; les coefficients de r_1, r_2, r_3 sont d'une lecture incertaine, et le « 11 » du poids est écrit sur un autre nombre

(N.B. C'est la « plus grande racine » ).

Donc tte racine est somme comb. à coeff. entiers tous de même signe de r_1 \dots r_6, qui forment donc un système de racines simples. Enfin, on vérifie immédiatement que r_i . r_j = 0 (sauf dans les cas ~~j \neq 5~~ j = i + 1 \leq 5 et le cas j = 6, i = 3), ce qui montre que le diagramme est E_6.

Corollaire Soit \widetilde{W} le groupe des automorphismes du syst. de racines (E(\Delta), R(\Delta)), et considérons l'inclusion canonique W = \operatorname{Aut}(\Delta) \hookrightarrow \widetilde{W} Alors image est d'indice 2 de \widetilde{W}.

En effet, on sait que \widetilde{W}/W \simeq groupe des automorphismes du diagramme de Dynkin, qui est ici d'ordre 2.

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 16 » Donc la donnée de \Delta est un peu plus fine que celle du syst. de racines associé de type E_6 (et a fortiori que la donnée d'une forme bil. sym. non dég. sur un \mathbb{Z}-Mod. E…). On peut interpréter cette donnée supplémentaire comme la donnée d'une des deux sommets un petit schéma du diagramme : un trait horizontal d'une extrémité \alpha à une extrémité \beta, avec une branche descendant du milieu (\alpha, \beta) (extrémités longues) « du » diagramme de Dynkin de (E, R) (i.e. d'un des syst. simples de racines). Mais on aimerait expliciter, en termes de la géométrie interne à un syst. de racines (E, R) de type E_6, comment de structure permet de récupérer le graphe cubique \Delta.

Définissons \Delta \xrightarrow{\ i\ } E par i(\delta) = 3\delta - \lambda \qquad (\in E \ \text{car} \ \delta.\lambda = 1, \ \lambda\lambda = 3) de sorte que pour i(\delta)\, i(\delta') = 9\delta\delta' - 6 + 3 = 9\delta\delta' - 3 devant la formule, « i(\delta) » biffé donc \begin{cases} i(\delta)^2 = -12 \\ i(\delta)\, i(\delta') = \begin{cases} 9 & \text{si } \delta, \delta' \text{ liés} \\ -3 & \text{si } \delta \neq \delta' \text{ non liés.} \end{cases} \end{cases} Donc i est une bijection de \Delta dans une partie \Delta' de l'ens. des (72) éléments x de E satisfaisant x . x = -12 le 12 est repassé et suivi d'un signe qui peut être un 0 biffé et dans l'image \Delta' de \Delta, la relation « liés » s'exprime par x, x' \ \text{liés} \iff x . x' = 9 Bien entendu, W invarie \Delta'. D'ailleurs R est déduit de \Delta' ~~comme~~ par la condition

numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 17 » 3R = \lbrace x' - x \mid x, x' \in \Delta' \rbrace . devant x' - x, un groupe biffé, illisible Mais ~~soit~~ ~~\widetilde{\Delta} notons que \widetilde{\Delta}~~ notons que -\Delta' = \lbrace -(3\delta - \lambda) = \lambda - 3\delta \mid \delta \in \Delta \rbrace est aussi invariant par W et contenu dans S_{-12}, d'ailleurs \Delta' \cap (-\Delta') = \emptyset car 3\delta - \lambda = \lambda - 3\delta' \ \text{implique} \ 3(\delta + \delta') = 2\lambda = 2(3\eta - \xi) or 2\lambda = 6\eta - 2\xi n'est pas divisible par 3 dans \widehat{E} !

~~Notons que W~~ Cela montre ~~que~~ que -\operatorname{id}_E \notin W, et comme c'est \in \widetilde{W}, on trouve \widetilde{W} \simeq W \times \underbrace{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}_{\substack{\text{engendré par} \\ \operatorname{id}_E}} ainsi sur la page : « engendré par \operatorname{id}_E », où l'on attend -\operatorname{id}_E

La réunion \widetilde{\Delta} = \Delta' \cup (-\Delta') est donc ~~intrinsèque~~ canonique associé au syst. de racines (indépendamment de sa structure par un \Delta) et il se décompose en deux orbites sous W. Le choix d'une orbite équivaut au choix du syst. de racines. On aimerait l'expliciter, ainsi que \widetilde{\Delta}, via la géométrie interne du syst. de racines.

Graphes cubiques

titre souligné, de sa main, en tête de la page 58, qui ne porte pas de numéro de sa pagination

Un graphe \Delta est dit graphe cubique si ses arêtes sont déterminées par leurs extrémités, qui sont distinctes, et s'il existe ~~deux~~ parties I, I' de l'ens. des sommets satisfaisant les conditions suivantes

a) \operatorname{card} I = \operatorname{card} I' = 6, I et I' disjoints b)\forall\, i \in I, \exists!\, i' \in I' tel que i' non lié à I, et \forall\, i' \in I', \exists!\, i \in I tel que i non lié à I [donc I et I' sont en corr. biunivoque par la relation « i non lié à i' », soit i : I \cup I' \to I \cup I'] c)

\forall partie J à deux éléments de I, \exists!\, \xi_J = \xi_{i,j} \in \Delta ~~- J \cup i(J)~~ qui soit lié aux ~~deux~~ éléments ~~i, j de~~ de J \cup i(J), et non lié aux autres éléments de I \cup I'.

~~[ \lambda_J \notin I \cup I']~~

[Il est clair que J \mapsto \lambda_J est une appl. injective de \mathfrak{P}_2(I) dans \Delta - (J \cup I')]

d)L'application précédente \mathfrak{P}_2(I) \longrightarrow \Delta - (I \cup I') est ~~bijective~~ surjective (donc bijective), i.e. \forall\, \lambda \in \Delta - I \cup I', ~~\exists\, J \in \mathfrak{P}_2(I) telle que \lambda soit lié à J \cup i(J)~~, l'ens. des éléments de I \cup I' auxquels \lambda est lié est de cardinal 4 et stable par i. e)Si J, J' \in \mathfrak{P}_2(I), J \neq J', alors \xi_J et \xi_{J'} sont liés ssi J \cap J' = \emptyset.

dans b), la page écrit par deux fois « non lié à I », où le sens demande « non lié à i », puis « à i' » ; dans c), l'ajout biffé « - J \cup i(J) » est écrit au-dessus de la ligne ; c) désigne les mêmes éléments tantôt \xi_J, tantôt \lambda_J, et l'image est dite dans « \Delta - (J \cup I') », ainsi sur la page

Graphe cubique \Delta(I) défini par ens. I de card. 6. \Delta cubique ssi \Delta \simeq \Delta(I) (pour un I de card. 6, ou pour tous)

Pour tt i \in I, i(i) = i' est l'unique élément de \Delta tel que i' soit lié à ~~tous les~~ él. de I - \{i\}. Donc la connaissance de I implique déjà celle de I'. On appelle I partie basique. Si I est telle, I' est aussi partie basique, dite partie basique associée. Base (ou partie basique ordonnée). un double trait vertical dans la marge gauche, en face des deux premières lignes

~~des graphes cubiques~~

Bibase ; ~~Bibase ordonnée~~ élt de \mathfrak{P}_2(\mathfrak{P}_6(\Delta)) formée de deux bases associées.

Prop a) La cat. (pour les isom.) des graphes cubiques munis d'une base (resp. base ordonnée) est canoniquement équivalente à la cat. \mathrm{Ens}_6 des ens. à 6 él. (avec isom.) (resp. à la cat. ponctuelle).

b) La catégorie des gr. cub. munis d'une bibase (resp. bibase ordonnée) est canoniquement équivalente à la catégorie (\mathrm{Ens}_6) \times (\mathrm{Ens}_2) des couples (E, b) d'un ens. à six él. et d'un ens. à 2 él.

c) Soit \Delta graphe cubique. L'ens. des bases ordonnées de \Delta est can. isom. à \operatorname{Isom}(\underset{\Delta_0}{\underbrace{\Delta([1,6])}}, \Delta), donc est un torseur à droite sous W_0 = \operatorname{Aut} \Delta_0 ~~([1,6])~~, à gauche sous W = \operatorname{Aut}(\Delta).

Th Considérons \Delta = ~~\Delta_0 =~~ \Delta(I) , les él. de I ~~dans \Delta~~ sont notés \xi_i ~~Alors~~ avec sa base canonique I et la base associée I'. Les bases de \Delta sont les parties obtenues de la façon suivantes écrire en plus en termes des bibases… la note marginale est écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche ; un trait part aussi de l'insertion « les él. de I … » vers la marge droite, où quelques lettres coupées par le bord ne se lisent pas

(i)I et I' (soit 2 parties) (ii)\forall ~~J \in \mathfrak{P}_2(I)~~ (i,j) \in I \times I - \operatorname{diag}, B^{(i,j)} désigne la partie de \Delta formée de \lbrace \xi_j, \xi'_j, (\xi_{ik})_{k \in I - i - j} \rbrace (soit 30 parties) (iii)\forall\, K \in \mathfrak{P}_3(I), B^K désigne la partie de \Delta formée des \lbrace \xi_i \ (i \in K), \ \xi_J \ (J \in \mathfrak{P}_2(I - K)) \rbrace (20) (iv)\forall\, K \in \mathfrak{P}_3(I), B'^K désigne la partie de \Delta

dans (ii), la page écrit \xi_j, \xi'_j, là où la liste de la page 49 donne \xi_j, \xi'_i ; dans (iii), « \mathfrak{P}_2(I - K) » est suivi de « - \mathfrak{P}_2(I) » d'une lecture incertaine. La page s'arrête sur (iv)

formée des \lbrace \xi'_i \ (i \in I - K), \ \xi_J \ (J \in \mathfrak{P}_2(K) \subset \mathfrak{P}_2(I)) \rbrace

La base associée à B^{i,j} est B^{j,i}, B^{K} est B'^{K}. un double trait vertical dans la marge droite, en face de ces lignes

Corollaire 1 \operatorname{Card}(\operatorname{Bases}(\Delta)) = 72, = 8 . 9 = 2^3 3^2 ~~\operatorname{Card} \operatorname{Aut}(\Delta) = 72~~. \operatorname{Card} \underset{\substack{\Vert \\ \operatorname{Aut}(\Delta)}}{W} = 72 . 6! = 2^7 3^4 5 le 6 de 6! est repassé ; ainsi écrit, 72 . 6! = 2^7 3^4 5 s'accorde avec la page 53

Corollaire 2 W est transitif sur \Delta (ens. des sommets), et sur l'ens. des couples de sommets distincts ~~non~~ liés. Si (\delta, \delta') est un couple de sommets distincts non liés, \exists! base I telle que \delta \in I & et \delta' \in I' base associée (donc \delta et \delta' se correspondent par la bijection can. I \simeq I')

Corollaire 3 La cat. des graphes cubiques \Delta munis d'un él. J \in \mathfrak{P}_2(\Delta) formé de 2 sommets non liés, est équivalente à la cat. des couples formés d'un ens. à cinq éléments et d'un autre à deux él. (ces derniers étant J). un trait vertical dans la marge gauche longe l'énoncé

la suite de la page est barrée de deux grandes croix obliques et surchargée d'ajouts à l'encre plus foncée, dans les deux marges comprises ; ce qui se lit est donné, sans prétendre restituer l'ordre des ajouts ~~partie liée de cardinal :~~

Notion de bi-base, ordonnée (1 \leq i \leq 6) : les parties liées sup. : 3 él., ~~bibases~~ opérées par W. Pour les telles \Delta l'ens. des élts de \widetilde{\Delta} liés à tt él. de est de cardinal 6, et \exists! bibase \lbrace I' \cup I'' \rbrace \simeq I \times \ill{} telle que K \subset I' \cup I'', et dans K l'ens. des élts de \Delta liés à tt él. de est de cardinal ( …

Si K est non lié à exactement 1 élément des , une application K \to \ill{}, si la bibase est associée à l'ens. à 2 él. \varepsilon, on a donc K \to \Delta' \times \varepsilon (ou K \to I \cup I' \to \varepsilon) qui est un iso. I_1 = K \cup \ill{} … K \ill{} \ill{} N.B. la relation I et I' les deux notes marginales, à gauche, sont écrites en oblique et elles-mêmes prises dans les croix ; à droite, à la hauteur de la bibase, « K = \ill{} \cup K' »