Cote n° 69 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Graphes cubiques : notes manuscrites (s.d.), lettre (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

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Les 27 droites de la surface cubique, et le syst. de racines \(E_6\)

titre de sa main, en tête de la page ; au-dessus de « cubique », un chiffre qui se lit « 1 », début de sa pagination de 1 à 17 (pages 41 à 57), les suivants étant cerclés

I. \(P\) plan projectif (sur un corps […] […] […])

\(S = \{s_1, \dots, s_6\}\) un ens. de \(6\) pts de \(P\) […] trois […] […] pas ⌜trois à trois⌝ alignés et pas […] ⌜tous⌝ sur une conique

\(\widetilde{P}\) déduit de \(P\) en faisant éclater \(S\)

\(\widetilde{S} = \sum_{1}^{6} D_i\) image inverse de \(S\)

\(D_{ij}\) (\(1 \leq i \neq j \leq 6\)) image inv. propre de la droite qui joint \(s_i, s_j\)

\(D'_i\) image inverse propre de la conique dans \(P\) passant par \(S - \{s_i\}\) vérifier

On a \[ (\ast)\quad \begin{cases} D_i \cap D_j = \emptyset & \text{si } i \neq j \\ D_i \cap D_{jk} \neq \emptyset & \text{ssi } i \in \{j, k\} \\ D'_i \cap D'_j = \emptyset & \text{si } i \neq j \\ D'_i \cap D_{jk} \neq \emptyset & \text{ssi } i \in \{j, k\} \\ D_i \cdot D'_j \neq \emptyset & \text{ssi } i \neq j \\ D_{ij} \cdot D_{kl} \neq \emptyset & \text{ssi } \{i,j\} \cap \{k,l\} \text{ de card.\ } 0 \text{ ou } 2 \end{cases} \] le signe de renvoi devant l'accolade est un rond plein, rendu ici \((\ast)\) ; la condition « ssi \(\{i,j\} \cap \{k,l\}\) de card. \(0\) ou \(2\) » est écrite au bout de l'avant-dernière ligne et vaut pour la dernière vérifier — cf calculs plus bas

On calcule, dans ⌜\(E\)⌝ \(\simeq A^1(\widetilde{P}) = \operatorname{Pic}(\widetilde{P})\), en désignant par \[ (1) \qquad \eta, \ (\xi_i)_{1 \leq i \leq 6} \] les images inverses de \(\operatorname{cl}(\mathcal{O}_P(1))\) et les classes des \(D_i\), par \(\xi'_i\) les classes des \(D'_i\), par \(\xi_{ij}\) celles des \(D_{ij}\). On trouve \[ \begin{aligned} &(2) & \xi_{ij} &= \eta - \xi_i - \xi_j \\ &(3) & \xi'_i &= 2\eta - \sum_{\alpha \neq i} \xi_\alpha = 2\eta - \xi + \xi_i \end{aligned} \] i.e. \[ (3\,\text{bis}) \qquad \xi'_i - \xi_i = 2\eta - \xi \] en posant \[ (4) \qquad \xi = \sum_{1}^{6} \xi_\alpha \] Posons aussi \[ (4') \qquad \xi' = \sum_{1}^{6} \xi'_\alpha = 12\eta - 5\xi \] et définissons \(\eta'\) par \[ (5) \qquad 2\eta - \xi = -(2\eta' - \xi') \quad \text{i.e.} \quad 2(\eta + \eta') = \xi + \xi' \] i.e. (compte tenu de (3 bis)) : \[ (5\,\text{bis}) \qquad \xi_i - \xi'_i = 2\eta' - \xi' \] On trouve, posant \[ (6) \qquad \lambda = 3\eta - \xi \]

42numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 2 » les formules \[ (7) \qquad \xi + \xi' = 12\eta - 4\xi = 4\lambda \] donc (5) s'écrit (en divisant par 2) \(\eta + \eta' = 2\lambda\) \[ (8) \qquad \eta + \eta' = 2\lambda \] ou encore \[ (8\,\text{bis}) \qquad \eta' = 5\eta - 2\xi \] Notons que \(\lambda\) provient de l'application rationnelle \(P \to \mathbb{P}^3\) définie par le système des cubiques qui passent par \(S\), laquelle devient régulière sur \(\widetilde{P}\) et définit une immersion \(\widetilde{P} \hookrightarrow \mathbb{P}^3\) dont l'image est une surface cubique. (En particulier, \(\lambda\) est ample…) On \(K = -3\lambda\) (\(K\) classe canonique) ce qui conduit à définir \(\lambda\) de façon intrinsèque à la surface \(\widetilde{P} = X\). Donc aussi l'immersion \(X \hookrightarrow \mathbb{P}^3\) ([…] […] […]) est intrinsèque à \(X\), ainsi que les \(D_i, D'_i, D_{ij}\), i.e. les seules droites de \(\mathbb{P}^3\) contenues dans \(X\) ( \(\to\) fonctoriel, les \(27\) élts \(\xi_i, \xi'_i, \xi_{ij} \in E\) sont intrinsèques à \(X\)) la note marginale est écrite en oblique le long du bord gauche, en face des lignes (10) à (13) ; « \(K\) » et le « \(\lambda\) » qui le suit sont repassés d'une encre plus foncée

Calculons la forme intersection sur \(\widetilde{P}\). On a \[ (10) \qquad \eta^2 = 1, \quad \xi_i^2 = -1, \quad \eta \cdot \xi_i = 0, \quad \xi_i \xi_j = 0 \ \text{si } i \neq j \] d'où facilement \[ (11) \qquad \eta'^2 = 1, \quad \xi_i'^2 = -1, \quad \eta' \cdot \xi'_i = 0, \quad \xi'_i \xi'_j = 0 \ \text{si } i \neq j . \] On a aussi \[ \begin{aligned} &(12) & \lambda^2 &= 3 \qquad (= \lambda\eta = \lambda\eta') \\ &(13) & \lambda\xi_i &= \lambda\xi'_i = \lambda\xi_{ij} = 1 \end{aligned} \] La relation (12) signifie que l'immersion \(\widetilde{P} \to \mathbb{P}^3\) a comme image une surface cubique, la relation (13) que les images dans \(\mathbb{P}^3\) des \(27\) ⌜\(= 6 + 6 + 15\)⌝ courbes \(D_i, D'_i, D_{ij}\) sont des droites. le second chiffre du premier renvoi est mal formé ; le sens demande (12)

Notons encore \[ (14) \qquad \xi_i \cdot \xi'_j = \begin{cases} 0 & \text{si } i = j \\ 1 & \text{si } i \neq j \end{cases} \]

43numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 3 » \[ \begin{aligned} &(15) & \xi_i \xi_{jk} = \xi'_i \xi_{jk} &= \begin{cases} 0 & \text{si } i \notin \{j, k\} \\ 1 & \text{si } i \in \{j, k\} \end{cases} \\ &(16) & \xi_{ij} \xi_{kl} &= \begin{cases} 0 & \text{si } \operatorname{card}(\{i,j\} \cap \{k,l\}) = 1 \\ 1 & \text{si } \{i,j\} \cap \{k,l\} = \emptyset \end{cases} \end{aligned} \] dans (16), le \(0\) est écrit en surcharge sur un autre chiffre

ce qui précise \((\ast)\) : les ⌜\(27\)⌝ droites, quand deux elles se rencontrent, se rencontrent en exactement un pt avec int. transversale (on espère !)

On vérifie de plus que ch. droite parmi les \(27\) en rencontre exactement \(10\) autres ; p.ex. \(D_i\) rencontre les \(D'_j\) […] ⌜et⌝ \(D_{ij}\) (\(j \neq i\)), \(D'_i\) les \(D_j\) et \(D_{ij}\) (\(j \neq i\)), \(D_{12}\) rencontre \(D_1, D_2, D'_1, D'_2\) ; \(D_{3,4}\), \(D_{5,6}\), \(D_{3,5}\), \(D_{4,6}\), \(D_{3,6}\), \(D_{4,5}\)…. On vérifie aussi que si \(\delta, \delta'\) parmi les ⌜l'ens. \(\Delta\) des⌝ \(27\) droites se rencontrent, \(\exists!\, \delta'' \in \Delta\) parmi tel que \(\delta''\) rencontre \(\delta\) et \(\delta'\)…

II) Soit, sur un anneau \(k\) ⌜\(\neq 0\)⌝ (p.ex. \(k = \mathbb{Z}\)), un module engendré ⌜muni⌝ par des éléments \(\bigl[\eta, \xi_i, \eta', \xi'_i \ (1 \leq i \leq 6)\bigr]\) satisfaisant (posant \(\xi = \sum \xi_i\), \(\xi' = \sum \xi'_i\)) \[ \begin{aligned} &(a)\ (\text{déf}) & \xi &= \sum_{1}^{6} \xi_i, \quad \xi' = \sum_{1}^{6} \xi'_i \\ &(b) & 2(\eta + \eta') &= \xi + \xi' \quad \text{i.e.} \quad 2\eta - \xi = -(2\eta' - \xi') \end{aligned} \] et de plus \[ (c) \qquad \xi'_i - \xi_i = 2\eta - \xi \quad \text{i.e.} \quad \xi_i - \xi'_i = 2\eta' - \xi' \] les lettres (a), (b), (c) sont cerclées sur la page Alors on a les relations \[ (d) \quad \begin{cases} \xi'_i = 2\eta - \xi + \xi_i = 2\eta - \sum_{\alpha \neq i} \xi_\alpha \\ \xi' = 12\eta - 5\xi \end{cases} \] entre les deux lignes de (d), une ligne biffée, illisible ; à droite, après « donc », un bloc biffé en zigzag : \(\xi + \xi' = \ill{}\,\lambda\) […], puis \(\lambda = 3\eta - \xi\), \(\lambda' = 3\eta' - \xi'\)

44numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 4 » et les relations symétriques \[ (d') \quad \begin{cases} \xi_i = 2\eta' - \xi' + \xi'_i = 2\eta' - \sum_{\alpha \neq i} \xi'_\alpha \\ \xi = 12\eta' - 5\xi' \end{cases} \] entre les deux lignes de (d'), une ligne biffée, où se lit encore « \(\ill{} - 2\eta'\) » d'où \[ (e) \qquad \xi + \xi' = 4\lambda = 4\lambda' \qquad \text{avec} \quad \lambda = 3\eta - \xi, \ \lambda' = 3\eta' - \xi' \] Donc, On a donc, par (e) \(4\lambda = 4\lambda'\) i.e. \(4(\lambda' - \lambda) = 0\), mais on suppose en plus que \[ (\ast) \qquad 3\eta - \xi = 3\eta' - \xi' \overset{\text{df}}{=} \lambda \] le signe de renvoi devant cette formule est une croix cerclée, rendue \((\ast)\) N.B. conséquence de ce qui précède si \(2\) inv. dans \(k\) (ou de \(M\)) \[ \bigl(3\eta' = 3\eta - \xi + \xi' = 15\eta - 5\xi\bigr) \] sous la parenthèse, une accolade porte les mots « compte tenu », qui se raccordent à la ligne suivante ; d'après (b) et (d), \(3\eta - \xi + \xi' = 15\eta - 6\xi\) : le chiffre repassé qui se lit \(5\), d'une lecture incertaine, ne s'accorde pas avec le calcul et […] […] ⌜compte tenu⌝ de (b) donne \(2\eta' \struck{\ill{}} = \xi + \xi' - 2\eta = 10\eta - 4\xi\) \[ (f) \quad \begin{cases} \eta + \eta' = 2\lambda \\ \xi + \xi' = 4\lambda \end{cases} \qquad\qquad (g, g') \quad \begin{cases} \eta' = 5\eta - 2\xi \\ \eta = 5\eta' - 2\xi' \end{cases} \] de (e) à (f), une longue accolade ondulée dans la marge gauche

Pour que \((\eta, (\xi_i))\) soit une famille gén. (basique) de \(M\), il faut et il suffit qu'il en soit de même de \((\eta', (\xi'_i))\). Posons On a \[ (h) \qquad \eta - \xi_i - \xi_j = \eta' - \xi'_i - \xi'_j \quad \bigl(\overset{\text{df}}{=} \xi_{ij}\bigr) \] Le module engendré par […] […] \((\eta, (\xi_i))\) ou par \((\eta', (\xi'_i))\), est aussi engendré par la famille de \(27\) élts \((\xi_i)\) \((\xi'_i)\) \((\xi_{ij})\) [ou même \(((\xi_i), \xi_{\alpha\beta})\) disons] dans les cas…

Supposons qu'il existe ⌜donnée⌝ sur \(M\) une forme sym. b.l., notée \(x.y\). telle que Alors les relations \[ (i) \qquad \eta^2 = 1, \quad \xi_i^2 = -1, \quad \eta\xi_i = 0, \quad \xi_i\xi_j = 0 \ \text{si } i \neq j \] sont équiv. aux relations sym. \[ (i') \qquad \eta'^2 = 1, \quad \xi_i'^2 = -1, \quad \eta'\xi'_i = 0, \quad \xi'_i\xi'_j = 0 \ \text{si } i \neq j \] et elles impliquent que \((\eta, (\xi_i))\) forme une famille libre (et \((\eta', (\xi'_i))\) aussi) — donc

45numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 5 » une base s'ils […] la engendrent. Inversement, si ils forment une base, \(\exists\) forme bil. sym. satisfaisant les conditions équivalentes (i), (i'). On aura alors les formules (12) à (16) de (I). On suppose dorénavant qu'on est dans cette situation.

Considérons les \(27\) éléments \(\xi_i, \xi'_i, \xi_{ij}\) (\(1 \leq i \neq j \leq 6\)), (qui dans la base \((\eta, (\xi_i))\) s'écrivent \[ \begin{aligned} \xi_i &= \xi_i \\ \xi'_j &= 2\eta - \sum_{\alpha \neq j} \xi_\alpha \\ \xi_{ij} &= \eta - \xi_i - \xi_j \qquad (i \neq j) \bigr) \end{aligned} \] Soit […] \(\Delta\) leur ens. ; ils sont tous distincts. On met dessus une structure de graphe en notant […] que si \(\delta, \delta' \in \Delta\), ⌜\(\delta \neq \delta'\)⌝ on a \(\delta . \delta' = 0\) ou \(1\), (N.B. \(\delta^2 = \delta'^2 = -1\)) et on considère \(\delta, \delta'\) liés ssi \(\delta\) \[ (j) \qquad \delta, \delta' \ (\in \Delta, \ \delta \neq \delta') \ \text{liés ssi} \ \delta\delta' = 1 \quad \text{i.e.} \quad \delta\delta' \neq 0 . \] N.B. […] […] engendrent \(E\) (il suffit des \(\xi_i\) et d'un \(\xi_{ij}\)) la lettre de la marge est surmontée d'un accent circonflexe, \(\hat{E}\) ; le premier mot après « N.B. » peut se lire « tous »

Donc \(\xi_i\) est lié aux él. \(\xi'_j\) (\(j \neq i\)) et \(\xi_{ij}\) (\(j \neq i\)) exactement (soit \(10\) él.), \(\xi'_i\) est lié aux él. \(\xi_j\) (\(j \neq i\)) et \(\xi_{ij}\) (\(j \neq i\)) exactement (soit encore \(10\) éléments) et \(\xi_{ij}\) ⌜(\(i \neq j\))⌝ est lié à \(\xi_i, \xi_j\), ⌜\(\xi'_i, \xi'_j\)⌝, et à \(\xi_{kl}\) (\(k \neq i, j\), \(l \neq i, j\), \(k \neq l\)) en nombre \(\binom{4}{2} = 6\), donc en tout encore \(10\) éléments. […]

Les couples ⌜paires⌝ de sommets liés sont donc

46numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 6 ». Le bord droit du feuillet est déchiré : la fin de la première ligne et deux signes écrits dans la marge droite, à la hauteur du lemme, manquent exactement les \(\{\xi_i, \xi'_j\}\) (\(i \neq j\)), \(\{\xi_i, \xi_{ij}\}\) (\(i \neq j\)), \(\{\xi'_i, \xi_{ij}\}\) (\(i \neq\)[…]) et \(\{\xi_{ij}, \xi_{kl}\}\) avec \(\{i,j\} \cap \{k,l\} = \emptyset\). On note que

Lemme. Si \(\delta, \delta'\) sont deux sommets (distincts) liés alors \(\exists!\, \delta''\) lié à \(\delta\) et \(\delta'\).

En effet, pour \(\{\xi_i, \xi'_j\}\) c'est \(\xi_{ij}\), pour \(\{\xi_i, \xi_{ij}\}\) c'est \(\xi'_j\), pour \(\{\xi'_i, \xi_{ij}\}\) c'est \(\xi_j\) ; pour \(\{\xi_{ij}, \xi_{kl}\}\) c'est \(\xi_{rs}\) où \(r, s\) sont les deux autres indices \(1 \leq \ \leq 6\) distincts des \(i, j, k, l\).

Définition. Graphe cubique \(=\) graphe isomorphe au graphe standard précédent (convenir en prenant \([1,6] \amalg [1,6] \amalg \mathfrak{P}_2([1,6])\) comme ens. des sommets).

À un tel graphe ⌜\(\Delta\) (comme : tel graphe)⌝, on associe (pour un anneau commut. \(k\) donné) la forme bilinéaire ⌜sym.⌝ sur \(k^{[\Delta]} \times k^{[\Delta]}\) donnée par \[ \delta\delta' = \begin{cases} -1 & \text{si } \delta = \delta' \\ 1 & \text{si } \delta \neq \delta', \ \delta \text{ et } \delta' \text{ liés} \\ 0 & \text{si } \delta \neq \delta', \ \delta \text{ et } \delta' \text{ non liés} \end{cases} \] Considérons le noyau ⌜\(N(\Delta)\)⌝ de cette forme, et soit \[ \widehat{E}_k(\Delta) = k^{[\Delta]} / N(\Delta), \] qui est donc muni d'une forme bilinéaire sym. (non dégénérée au sens faible). Dans le cas d'un graphe cubique, celle-ci est non dégénérée (et \(\widehat{E}_k(\Delta)\) est un module libre de rang \(7\)) comme on voit sur le cas standard. la lettre de \(\widehat{E}_k(\Delta)\) est écrite d'abord comme un carré surmonté d'un accent, puis corrigée

47numéro de sa main en tête de page, non cerclé : « 7 » Base ordonnée \((\alpha_i)_{1 \leq i \leq 6}\) d'un graphe cubique : déduite de \((\xi_i)_{1 \leq i \leq 6}\) dans \(\Delta_0\) standard par […] un isom. Base \((\alpha_i)_{i \in I}\) : card \(I = 6\), et on peut ordonner ⌜\(I\), \(I \simeq [1,6]\),⌝ de façon que la famille devienne une base ordonnée. Partie basique de \(\Delta\).

Prop (triviale) \(u \mapsto u((\xi_i))\) définit une isom bijection de \(\operatorname{Isom}(\Delta_0, \Delta)\) sur l'ens. des bases ordonnées de \(\Delta\) (qui est donc un torseur : à droite sous \(W_0 = \operatorname{Aut}(\Delta_0)\), à gauche sous \(W = \operatorname{Aut}(\Delta)\)). Considérons l'inclusion évidente \(\mathfrak{S}_6 \subset W_0\). Alors \(u \mapsto u(\{\xi_i\}_{i \in I})\) définit par passage au quotient une bijection \[ \operatorname{Isom}(\Delta_0, \Delta) / \mathfrak{S}_6 \ \simeq \ \text{ens.\ des parties basiques de } \Delta . \]

Dém. Pour le premier pt, il suffit de voir que tt automorphisme \(u\) de \(\Delta\) tel que \(u(\xi_i) = \xi_i\) ⌜\(\forall i\)⌝ est l'identité. Or comme \(\xi'_i\) est l'unique élément de \(\Delta\) distinct de \(\xi_i\) et des autres \(\xi_j\) qui […] soit lié à aucun des ⌜tous les⌝ autres \(\xi_j\) […] est […] \(u\) laisse invariants aussi les \(\xi'_i\), donc les \(\xi_{ij}\) (\(\xi_{ij}\) est l'unique élément de \(\Delta\) qui est lié à la fois à \(\xi_i\) et \(\xi'_j\), ou : à la fois à \(\xi_j\) et \(\xi'_i\)), donc est l'identité. Ce Le même argument montre que tt automorph. de \(\Delta_0\) qui invar. la partie \(\{\xi_i\}\) est induit par un \(\sigma \in \mathfrak{S}_6\).

48numéro de sa main en tête de page, non cerclé : « 8 » N.B. La donnée d'une base \((\alpha_i)_{i \in I}\) de \(\Delta\) équivaut à la donnée d'un isom \[ \Delta \simeq \underbrace{I \amalg I \amalg \mathfrak{P}_2(I)}_{\substack{\text{avec la structure}\\ \text{de graphe déjà}\\ \text{explicitée}}} \] On a donc prouvé que tt automorph. de \(\Delta\) invariant […] la partie basique correspondante est induit (de façon unique), par transport de structure, d'une permutation de \(I\).

Base duale \(\alpha'\) d'une base \(\alpha\) ; notations \(\eta(\alpha)\), \(\xi(\alpha)\).

Prop \(\exists!\, \lambda_\Delta = \lambda \in \widehat{E}(\Delta)\) tel que \(\boxed{\lambda . s = 1 \quad \forall s \in \Delta}\).

On a \(\sum_{s \in S} s = 9\lambda\) (pour toute base \(\alpha = (\alpha_i)_{i \in I}\)) \[ \begin{cases} \lambda = 3\eta(\alpha) - \xi(\alpha) & 1^\circ) \\ \eta(\alpha) + \underbrace{\eta(\alpha')}_{= \eta'(\alpha)} = 2\lambda & 2^\circ) \\ \xi(\alpha) + \underbrace{\xi(\alpha')}_{= \xi'(\alpha)} = 4\lambda & 3^\circ) \end{cases} \] d'où \[ \begin{cases} \sum_{ij \in \mathfrak{P}_2} \xi_{ij}(\alpha) = 5\lambda & 4^\circ) \\ \sum_{s \in S} s = 9\lambda & 5^\circ) \end{cases} \] les numéros \(1^\circ\) à \(5^\circ\) sont écrits dans la colonne de droite ; le dernier est plutôt « \(5^\circ\) » que « \(3^\circ\) »

L'unicité est claire, puisque les ⌜\(s \in S\)⌝ engendrent \(\widehat{E}(S)\) et que la forme sym. est non dég. Pour l'existence, et les ⌜autres⌝ formules écrites (N.B. aussi bien la première, que l'une \(2^\circ\) ou \(3^\circ\) suffit : \(4^\circ\) ou \(5^\circ\), […] ⌜[…]⌝ \(4^\circ\) et \(5^\circ\), caractérisent \(\lambda\)). L'existence est évidente sur ⌜comme dans⌝ le cas standard, qui est évident. ⌜D'où : \(\lambda\) est invariant par autom.⌝

Corollaire (le produit scalaire par \(\lambda\) donne une suite exacte invariante par autom. \[ 0 \to E \to \widehat{E} \to \mathbb{Z} \to 0 \] où \(E\) est l'orthogonal de \(\lambda\).)

Donc la formation de […] est […]

49numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 9 » commutant : […] changt de base

III. Relations avec \(E_6\)

le titre est de sa main, souligné, dans le cours de la page

Soit \(\Delta\) un graphe cubique.

Définition On appelle racine de \(\Delta\) […] différence ⌜dans \(\widehat{E}\)⌝ de sommets distincts non liés ⌜\(\delta' - \delta\)⌝ de \(\Delta \subset \widehat{E}(\Delta)\). Leur ensemble \(R(\Delta)\) est considéré comme partie de \(E(\Delta) =\) orthogonal de \(\lambda_\Delta\).

\(R(\Delta)\) est stable par \(r \mapsto -r\).

Théorème \(R(\Delta)\) est un système de racines […] (\(\delta' - \delta\) […] vers une racine, …)

avec \(r = \delta' - \delta\) \[ r^2 = \delta'^2 + \delta^2 = -2 \] Faisons la liste, ⌜explicitée dans le cas du graphe standard \(\Delta_0\),⌝ […] […] que les différences ⌜non liées⌝ \(\delta' - \delta\) se groupent six à six de la façon suivante en termes de sixtes ⌜(« doubles »)⌝ \((\alpha_1, \dots, \alpha_6)(\alpha'_1, \dots, \alpha'_6)\) \(\xi'_1 - \xi_1 = \xi'_2 - \xi_2 =\) de sommets satisfaisant : \[ \begin{cases} \alpha_i \text{ lié à } \alpha'_j \text{ ssi } i \neq j, \text{ les } \alpha_i \text{ non liés mutuellement}, \\ \text{les } \alpha'_i \text{ itou, en prenant } r_\alpha = \alpha'_1 - \alpha_1 = \alpha'_2 - \alpha_2 = \cdots = \alpha'_6 - \alpha_6 \end{cases} \]

Racines : \[ \begin{array}{lll} 1 & \begin{cases} r_0 = 2\eta - \sum \xi_i = \lambda - \eta \\ r_0 = \xi'_1 - \xi_1 = \xi'_2 - \xi_2 = \cdots = \xi'_6 - \xi_6 \end{cases} & \text{déduite des } \begin{cases} (\xi_1, \dots, \xi_6) \\ (\xi'_1, \dots, \xi'_6) \end{cases} \\[3ex] 15 & \begin{cases} r_{ij} = \xi_i - \xi_j \\ 1 \leq i < j \leq 6 \end{cases} & \text{déduites des } \begin{cases} (\xi_j, \xi'_j, (\xi_{ik})_{k \neq i,j}) \\ (\xi_i, \xi'_i, (\xi_{jk})_{k \neq i,j}) \end{cases} \\[3ex] 20 & \begin{cases} r_{ijk} = \eta - \xi_i - \xi_j - \xi_k \\ 1 \leq i < j < k \leq 6 \end{cases} & \text{déduites des } \begin{cases} (\xi_i, \xi_j, \xi_k, \xi_{lm}, \xi_{mn}, \xi_{nl}) \\ (\xi_{jk}, \xi_{ki}, \xi_{ij}, \xi'_l, \xi'_m, \xi'_n) \end{cases} \end{array} \] pour les \(r_{ij}\), la première sixte porte à la fin un groupe biffé, illisible ; les indices des \(\xi'\) et des \(\xi_{\cdot k}\) des deux sixtes se lisent ainsi, bien que la définition des sixtes demande \((\xi_j, \xi'_i, (\xi_{jk})_k)\) et \((\xi_i, \xi'_j, (\xi_{ik})_k)\) ; la lecture est incertaine

avec \(1 \leq l < m < n \leq 6\) \(l, m, n\) les trois élts de \([1,6]\) distincts de \(i, j, k\) (en ordre cr. p.ex.)

et les opposées, obtenues en échangeant \(\alpha\) et \(\alpha'\).

50numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 10 » Cela fait \(72 = 2 \times 36\) racines, associées aux \(27 \times 16 = 6 \times 72\) ⌜\(= 432\)⌝ couples \((\delta', \delta)\) de sommets distincts non liés.

On vérifie de plus que pour tt racine \(r_\alpha\), associée à un système \(\begin{cases} \alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_6) \\ \alpha' = (\alpha'_1, \dots, \alpha'_6) \end{cases}\), on a \[ r_\alpha \alpha_i = (\alpha'_i - \alpha_i)\alpha_i = 0 - (-1) = 1, \] ⌜de même⌝ \(r_\alpha(\alpha'_i) = -1\)

\[ \begin{cases} r_\alpha . \alpha_i = 1 \\ r_\alpha \alpha'_i = -1 \\ r_\alpha \delta = 0 \ \text{si } \delta \in \Delta_0 \text{ distinct des } \alpha_i, \alpha'_i \end{cases} \] ⌜(pour un graphe cubique général)⌝ ceci provient de ce que \((\alpha'_i, \alpha_i)\) […] […] […] ([…] […]) […] tel que \(\delta\) […] \(\alpha_i, \alpha'_i\) i.e. […] \(\alpha_i, \alpha'_i\) […] la note marginale est écrite en oblique dans l'angle droit, rattachée par une flèche à la dernière ligne de l'accolade ; elle est presque entièrement illisible

Donc cela explicite, ⌜commutant à une racine⌝ […] \(r\) son association deux parties \(\alpha(r), \alpha'(r)\) de \(\Delta\) : l'ens. des \(s\) ⌜\(\in \Delta\)⌝ tels que \(rs = 1\) resp. \(-1\) ; On trouve une corr. \(1\)-\(1\) entre ces paires ⌜\(\alpha\)⌝ et les parties […] […] racines, la paire […] […] \(r\) […] […] échanger \(\alpha\) avec \(\alpha'\) donc…

Bien entendu, les ⌜[…]⌝ parties basiques de \(\Delta\) […] associées à […] ⌜une⌝ racine. Pour voir que l'assertion est vraie, il suffit de vérifier que les parties écrites ci-dessus ⌜dans le cas standard⌝ sont basiques (et ils sont groupés par couples de bases duales). Il reste à vérifier que […] dans \(\widehat{E}(\Delta_0)\)

à partir d'ici, le reste de la page est barré de longs traits obliques ; ce qui se lit est donné tel quel \(\boxed{\alpha'_i - \alpha_i = r}\) indépendant de \(i\), considérons \[ \eta(\alpha) = \lambda - r(\alpha) = \lambda - r \] \(r + \sum \alpha_i = r + \xi(\alpha)\), vérifions qu'ils […] […] par \(2\) \(\widehat{E}\) […] \(\xi(\alpha)\) […] \(\eta(\alpha) = \frac{1}{2}(r + \xi(\alpha))\) libres […] dans le cas \[ \begin{aligned} \eta(r_0) &= \eta(\xi_1, \dots, \xi_6) = \eta \\ \eta(-r_0) &= \eta(\xi'_1, \dots, \xi'_6) = \eta' = 5\eta - 2\xi = 5\eta - 2\textstyle\sum \xi_i \\ \eta(\xi_i - \xi_j) &= \eta(\xi_j, \xi'_i, (\xi_{ik})) = 3\eta - 2\xi_i - \textstyle\sum_{k \neq i,j} \xi_k \ (= \lambda - \xi_i + \xi_j = \lambda - r) \end{aligned} \] ces trois lignes sont entourées d'un trait qui les rattache à l'encadré \(\eta(\alpha)\) \[ r = 2\eta(\alpha) - \underbrace{\sum \alpha_i}_{\xi(\alpha)} \quad \text{i.e.} \quad \underset{\substack{\Vert \\ \sum \alpha_i}}{\xi(\alpha)} = 2(\lambda - r) - r = 2\lambda - 3r \]

51numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 11 » (il y a manifestement \(4\) cas à distinguer, […] \(r = r_{ij}\) et \(r = r_{ijk}\)…) dans le cas standard \(\alpha = \alpha^{ij} = (\xi_i, \xi'_j, (\xi_{ik})_{k \neq i,j})\) et \(\alpha = \alpha^{i,j,k} = (\xi_i, \xi_j, \xi_k, \xi_{lm}, \xi_{mn}, \xi_{nl})\) sont des bases, i.e. ⌜Il faut⌝ si \(\alpha = \{\alpha_1, \dots, \alpha_6\}\), \(\alpha' = \{\alpha'_1, \dots, \alpha'_6\}\), \(\Rightarrow \forall\, 1 \leq i < j \leq 6\), \(\exists!\, \alpha_{ij} \in \Delta\) lié à \(\alpha_i\), \(\alpha'_j\) si \(1 \leq i \neq j \leq 6\), \(\alpha_i\) et \(\alpha'_j\) sont liés, donc \(\exists!\, \delta \in \Delta_0\) lié à \(\alpha_i\) et \(\alpha'_j\), soit \(\alpha_{ij}\). Les \(\alpha_{ij}\) Tout \(\delta \in \Delta_0\) distinct des \(\alpha_i, \alpha'_i\) est-il de la forme \(\alpha_{ij}\) i.e. est-il lié à un des \(\alpha_i\) et à un des \(\alpha'_j\) ? S'il n'était lié à aucun des… un trait vertical dans la marge gauche, en face des trois premières lignes, et un trait oblique qui traverse les deux premières

Vérifications fastidieuses… Meilleur procédé :

Comme pour tte racine \(r\) on a \(r.r = -2\), l'endomorphisme (« symétrie par \(r\) ») \[ s_r : x \longmapsto x + (x.r)r \qquad \widehat{E} \to \widehat{E} \] [dont l'ens. des pts fixes est \(r^\perp\), et qui transforme \(r\) en \(-r\)] est un autom. de orthogonal ⌜(\(\widehat{E}\), forme quad.)⌝, qui évidemment respecte aussi \(\lambda\) (car \(r \in E = \lambda^\perp\)). Montrons qu'elle applique \(\Delta_0\) dans \(\Delta\). [Il suffit de regarder le cas standard, et de regarder dans les trois cas \(r = r_0\), \(r = r_{ij}\), \(r = r_{ijk}\).]

[…] Notons d'abord, de façon générale, que si \(r\) est associé à \((\alpha_1, \dots, \alpha_6), (\alpha'_1, \dots, \alpha'_6)\) (\(r = \alpha'_i - \alpha_i\) pour \(1 \leq i \leq 6\)) on a \[ \boxed{s_r \alpha_i = \alpha'_i, \quad s_r \alpha'_i = \alpha_i} \] car \(\lbrace r.\alpha_i = 1, \ r\alpha'_i = -1\). Il reste à voir l'effet de \(r\) sur les autres éléments de \(\Delta\) — et de montrer que \[ \boxed{s_r \delta = \delta \quad \text{si } \delta \notin \{(\alpha_i), (\alpha'_i)\}} \]

52numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 12 » \(\Rightarrow\) Cas de \(r_0\). Cela provient des relations ⌜relations déjà notées plus haut⌝

\(s_{r_0}(\xi'_j) -\)

Soit \(W\) le groupe d'autom. de \((\widehat{E}, \varphi, \lambda)\) ⌜(ou ce qui revient au même, de \(\Delta\))⌝ engendré par les \(s_r\). Je dis que \(W\) opère transitivement sur l'ens. des racines, donc aussi sur l'ens. des parties ⌜(\(\subset \operatorname{Isg}(\Delta)\))⌝ […] associées aux racines — qui sont des bases […] parties basiques. « \(\operatorname{Isg}\) » est une lecture incertaine ; une double barre verticale dans la marge droite, en face des premières lignes

Pour ceci, notons d'abord que \(s_{r_{ij}}\) \(s_{r_{ij}}\, \xi_k = \xi_k\) si \(k \neq i,j\)

\(s_{r_{ij}}\) est l'autom. de \(\Delta_0\) associé à l'élément par de \(\mathfrak{S}_6\), une permutation ⌜transposition⌝ de \(i\) et \(j\). (vérification immédiate) donc

Corollaire \(W\) contient \(\mathfrak{S}_6\)

Corollaire Les \(r_{ij}\) sont conjugués par \(W\), et les \(r_{ijk}\) sont conjugués par \(W\).

Il reste donc à voir que \(r\) est conjugué à un \(r_{ij}\) et à un \(r_{ijk}\). Or On vérifie […] de suite \[ s_{r_{ijk}}(r_0) = r_{l,m,n} \] donc \(r_0\) conjugué aux \(r_{l,m,n}\) \[ s_{r_{ijk}}(r_{il}) = r_{jkl} \] donc […] un des \(r_{..}\) (\(r_{il}\)) conjugué à un des \(r_{...}\) (\(r_{jkl}\)) et on a fini.

On voit donc plus précisément, compte tenu que \(W \supset \mathfrak{S}_6\) :

Corollaire \(W\) est transitif sur l'ens. des bases racines, sur l'ens. des ⌜sixtes⌝ basiques basiques ⌜(qui sont en corr. \(1\)-\(1\) avec les racines)⌝, sur l'ens. des bases ordonnées, et sur l'ens. des des couples \((\delta', \delta)\) de deux sommets non liés. Enfin, \(W\) est identique au groupe de tous les automorphismes de \(\Delta\).

53numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 13 » Proposition.

Corollaire \(\operatorname{Card} W = 72 . 6! = 2^7 . 3^4 . 5\)

(En effet, \(W\) est simplement transitif sur l'ens. des bases ordonnées, qui a un card de \(72 . 6!\). Car il y a \(72\) parties basiques i.e. \(72\) racines…)

Th \((E(\Delta), R(\Delta))\) est un ⌜un système de⌝ racines […] \(E(\Delta)\) engendré par \(R\), de type \(E_6\), et si \(\alpha = (\xi_1, \dots, \xi_6)\) est une base ordonnée de \(\Delta\), le système de racines \[ \begin{aligned} &r_1 = r_{12} = \xi_1 - \xi_2 \\ &r_2 = r_{23} = \xi_2 - \xi_3 \\ &\dots \\ &r_5 = r_{56} = \xi_5 - \xi_6 \\ &r_6 = r_{123} = \eta - \xi_1 - \xi_2 - \xi_3 \end{aligned} \] en tête de la liste, une première ligne biffée : « \(\alpha_1 = \xi_1 - \xi_2\) » ; devant le dernier membre de \(r_6\), un groupe raturé, illisible ; l'indice de \(r_5\) est écrit sur un \(6\) est un système de racines simples, suivant le diagramme le diagramme est redessiné ci-dessous : il garde les six sommets, leurs noms et les cinq traits sans flèche ; les points marquant les sommets ne sont pas repris

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
r_1 \arrow[r, no head] & r_2 \arrow[r, no head] & r_3 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & r_4 \arrow[r, no head] & r_5 \\
& & r_6 & &
\end{tikzcd}

⌜Pour \(r \in R\),⌝ (La symétrie \(s_r\) […] ⌜[…]⌝ rendue… \(\widehat{E}(\Delta)\) est la symétrie associée au syst. de racines et à \(r\) et \(W\) (identifié à un groupe d'autom. de \(E\)) est ⌜donc⌝ le groupe de Weyl du syst. de racines. La forme bil. ⌜sym.⌝ \(\varphi = \widehat{\varphi} | E\) est caractérisée par la propriété d'être invariante ⌜par \(W\)⌝ et de satisfaire \(r.r = -2\) \(\forall r \in R\) un trait vertical dans la marge gauche longe l'énoncé du théorème et cette parenthèse, qu'il ne referme pas

54numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 14 » Dém […]

\(E\) est engendré par \(R\), et même par \(r_1\, r_2\, r_3\, r_4\, r_5\, r_6\) ⌜\(1 \leq i \leq 5\)⌝… Car les sommes partielles des \(r_i\) donnent les \(\xi_i - \xi_j\) (\(i < j\)), et il est clair que les \(\xi_i - \xi_1\) (\(2 \leq i \leq 6\)) et \(\eta - 2\lambda\) ⌜\(\eta - 3\xi_1\)⌝ \(\xi_1 - \eta - \lambda\) (car \(\lambda - \eta = r_0 = r_6\)) engendrent \(E\) (\(= \operatorname{Ker}(\widehat{E} \xrightarrow{\lambda.} \mathbb{Z})\)) puisque \(\lambda . \xi_1 = 1\) et \(\lambda . \xi_i = 1\), \(\lambda . \eta = 3\). Donc \(E\) engendré par […] […] \(\eta, \xi_1, \dots, \xi_6\) engendrent \(\widehat{E}\) et […] \(3\lambda\) par ⌜les⌝ \(\xi_1 - \xi_i\) et \(\eta - 3\xi_1 = 3\xi_1 - \eta\) sous la biffure, un groupe entouré d'une boucle, barré d'un trait ondulé \(3\lambda - \eta\) donc par \(r_1, \dots, r_5\) et \(\eta - 3\xi_1\). Reste à prouver que \(\eta - 3\xi_1\) est une comb. des \(r_i\), or \[ r_6 = \eta - \xi_1 - \xi_2 - \xi_3 = (\eta - 3\xi_1) + (\xi_1 - \xi_2) + (\xi_1 - \xi_3), \ldots \] cqfd. après « \(r_6 =\) », un groupe biffé, illisible ; sous les deux derniers termes, reliés par un signe « \(\Vert\) », ils sont récrits « \((\xi_1 - \xi_2) + (\xi_1 - \xi_3)\) »

On sait déjà que les \(s_r\) transforment \(\Delta\) en lui-même, \(R\) en lui-même, etc. comme \(s_r\) ⌜\((x \mapsto x + (x.r)\,r)\) avec \(r^2(r) = -2\)⌝, […] — On conclut que \(R\) est un syst. de racines — compte tenu que deux racines distinctes non […] sont ⌜non⌝ proportionnelles. Prouvons que […] \(\alpha_1 \dots \alpha_6\) forment un syst. de racines simples. […] […] On a déjà vu \[ \boxed{r_{ij} = r_i + r_{i+1} + \cdots + r_{j-1} \quad \text{si } i < j} \] (pour \(1 \leq i, j\) … \(\leq 5\)) On a \[ \begin{aligned} r_{ijk} &= \eta - \xi_i - \xi_j - \xi_k = (\eta - \xi_1 - \xi_2 - \xi_3) + \underbrace{(\xi_1 - \xi_i)}_{r_{1i}} + \underbrace{(\xi_2 - \xi_j)}_{r_{2j}} + \underbrace{(\xi_3 - \xi_k)}_{r_{3k}} \\ &= r_{123} + r_{1i} + r_{2j} + r_{3k} \end{aligned} \] au début de la seconde ligne, après le signe \(=\), un groupe biffé, illisible donc \[ r_{ijk} = r_6 + (r_1 + \cdots + r_{i-1}) + (r_2 + \cdots + r_{j-1}) + (r_3 + \cdots + r_{k-1}) \]

55numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 15 » i.e. \[ \boxed{r_{ijk} = r_6 + (r_1 + \cdots + r_{i-1}) + (r_2 + \cdots + r_{j-1}) + (r_3 + \cdots + r_{k-1})} \quad \text{pour } i < j < k \] les deux premiers signes \(+\) sont écrits sur des chiffres raturés ; au-dessus de la dernière parenthèse, un groupe raturé où se lit « \(2r_1 + r_2\) » (poids \(r_{ijk}\) maximum \(10\)) poids […] \(+ 3(i-1) + 2(j-i-1) + \ill{}\) \(= 1 + (i + j + k \ \ill{}) = i + j + k - 5\), maximum : \(10\) la note, en haut à droite, est à demi raturée par des traits obliques ; seuls l'expression finale et le maximum se lisent sûrement

enfin \[ r_0 = 2\eta - \sum \xi_i = (\eta - \xi_1 - \xi_2 - \xi_3) + (\eta - \xi_4 - \xi_5 - \xi_6) \] i.e. \[ = r_{123} + r_{456} \] sous \(r_{123}\), une accolade porte « \(r_6 + 2r_1 + r_2\) », biffé donc \[ \boxed{r_0 = r_1 + 2r_2 + 3r_3 + 2r_4 + r_5 + 2r_6} \quad (\text{poids } 11) \] le début du membre de droite est surchargé à plusieurs reprises ; les coefficients de \(r_1, r_2, r_3\) sont d'une lecture incertaine, et le « \(11\) » du poids est écrit sur un autre nombre

(N.B. C'est la « plus grande racine » […]).

Donc tte racine est somme […] comb. à coeff. entiers tous de même signe de \(r_1 \dots r_6\), qui forment donc un système de racines simples. Enfin, on vérifie immédiatement que \(r_i . r_j = 0\) (sauf dans les cas \(j \neq 5\) \(j = i + 1 \leq 5\) et le cas \(j = 6\), \(i = 3\)), ce qui montre que le diagramme est \(E_6\).

Corollaire Soit \(\widetilde{W}\) le groupe des automorphismes du syst. de racines \((E(\Delta), R(\Delta))\), et considérons l'inclusion canonique \[ W = \operatorname{Aut}(\Delta) \hookrightarrow \widetilde{W} \] Alors […] image est d'indice \(2\) de \(\widetilde{W}\).

En effet, on sait que \(\widetilde{W}/W \simeq\) groupe des automorphismes du diagramme de Dynkin, qui est ici d'ordre \(2\).

56numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 16 » Donc la donnée de \(\Delta\) est un peu plus fine que celle du syst. de racines associé de type \(E_6\) (et a fortiori que la donnée d'une forme bil. sym. ⌜non dég.⌝ sur un \(\mathbb{Z}\)-Mod. \(E\)…). On peut interpréter cette donnée supplémentaire comme la donnée […] d'une des deux sommets un petit schéma du diagramme : un trait horizontal d'une extrémité \(\alpha\) à une extrémité \(\beta\), avec une branche descendant du milieu \((\alpha, \beta)\) (extrémités longues) « du » diagramme de Dynkin de \((E, R)\) (i.e. d'un des syst. simples de racines). Mais on aimerait expliciter, en termes de la géométrie interne à […] un syst. de racines \((E, R)\) de type \(E_6\), comment […] ⌜[…]⌝ de structure permet de récupérer le graphe cubique \(\Delta\).

Définissons \[ \Delta \xrightarrow{\ i\ } E \] par \[ i(\delta) = 3\delta - \lambda \qquad (\in E \ \text{car} \ \delta.\lambda = 1, \ \lambda\lambda = 3) \] de sorte que pour \[ i(\delta)\, i(\delta') = 9\delta\delta' - 6 + 3 = 9\delta\delta' - 3 \] devant la formule, « \(i(\delta)\) » biffé donc \[ \begin{cases} i(\delta)^2 = -12 \\ i(\delta)\, i(\delta') = \begin{cases} 9 & \text{si } \delta, \delta' \text{ liés} \\ -3 & \text{si } \delta \neq \delta' \text{ non liés.} \end{cases} \end{cases} \] Donc \(i\) est une bijection de \(\Delta\) dans ⌜une partie \(\Delta'\) de⌝ l'ens. des ⌜(72)⌝ éléments \(x\) de \(E\) satisfaisant \[ x . x = -12 \] le \(12\) est repassé et suivi d'un signe qui peut être un \(0\) biffé et dans l'image \(\Delta'\) de \(\Delta\), […] la relation « liés » s'exprime par \[ x, x' \ \text{liés} \iff x . x' = 9 \] Bien entendu, \(W\) invarie \(\Delta'\). […] D'ailleurs \(R\) est déduit de \(\Delta'\) comme par la condition […]

57numéro de sa main en tête de page, cerclé : « 17 » \[ 3R = \lbrace x' - x \mid x, x' \in \Delta' \rbrace . \] devant \(x' - x\), un groupe biffé, illisible Mais soit \(\widetilde{\Delta}\) notons que \(\widetilde{\Delta}\) notons que \[ -\Delta' = \lbrace -(3\delta - \lambda) = \lambda - 3\delta \mid \delta \in \Delta \rbrace \] est aussi invariant par \(W\) et contenu dans \(S_{-12}\), d'ailleurs […] \(\Delta' \cap (-\Delta') = \emptyset\) car \[ 3\delta - \lambda = \lambda - 3\delta' \ \text{implique} \ 3(\delta + \delta') = 2\lambda = 2(3\eta - \xi) \] or \(2\lambda = 6\eta - 2\xi\) n'est pas divisible par \(3\) dans \(\widehat{E}\) !

Notons que \(W\) Cela montre que que \(-\operatorname{id}_E \notin W\), et comme c'est \(\in \widetilde{W}\), on trouve \[ \widetilde{W} \simeq W \times \underbrace{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}_{\substack{\text{engendré par} \\ \operatorname{id}_E}} \] ainsi sur la page : « engendré par \(\operatorname{id}_E\) », où l'on attend \(-\operatorname{id}_E\)

[…] La réunion \(\widetilde{\Delta} = \Delta' \cup (-\Delta')\) est donc intrinsèque ⌜canonique⌝ associé au syst. de racines (indépendamment de sa structure par un \(\Delta\)) et il se décompose en deux orbites sous \(W\). Le choix d'une orbite équivaut au choix du syst. de racines. On aimerait l'expliciter, ⌜ainsi que \(\widetilde{\Delta}\),⌝ via la géométrie interne du syst. de racines.

Graphes cubiques

titre souligné, de sa main, en tête de la page 58, qui ne porte pas de numéro de sa pagination

58Un graphe \(\Delta\) est dit ⌜graphe⌝ cubique si […] ses arêtes sont déterminées par leurs extrémités, qui sont distinctes, et s'il existe deux parties \(I\), ⌜\(I'\)⌝ de l'ens. des sommets satisfaisant les conditions suivantes

dans b), la page écrit par deux fois « non lié à \(I\) », où le sens demande « non lié à \(i\) », puis « à \(i'\) » ; dans c), l'ajout biffé « \(- J \cup i(J)\) » est écrit au-dessus de la ligne ; c) désigne les mêmes éléments tantôt \(\xi_J\), tantôt \(\lambda_J\), et l'image est dite dans « \(\Delta - (J \cup I')\) », ainsi sur la page

Graphe cubique \(\Delta(I)\) défini par ens. \(I\) de card. \(6\). \(\Delta\) cubique ssi \(\Delta \simeq \Delta(I)\) (pour un \(I\) de card. \(6\), ou pour tous)

59Pour tt \(i \in I\), \(i(i) = i'\) est l'unique élément de \(\Delta\) tel que \(i'\) soit lié à tous les ⌜[…]⌝ él. de \(I - \{i\}\). Donc la connaissance de \(I\) implique déjà celle de \(I'\). On appelle \(I\) partie basique. Si \(I\) est telle, \(I'\) est aussi partie basique, dite partie basique associée. Base (ou partie basique ordonnée). un double trait vertical dans la marge gauche, en face des deux premières lignes

[…] […] des graphes cubiques

Bibase ; Bibase ordonnée […] ⌜élt de⌝ \(\mathfrak{P}_2(\mathfrak{P}_6(\Delta))\) formée de deux […] bases associées.

Prop a) La cat. ⌜(pour les isom.)⌝ des graphes cubiques munis d'une base (resp. base ordonnée) est ⌜canoniquement⌝ équivalente à la cat. \(\mathrm{Ens}_6\) des ens. à \(6\) él. (avec isom.) (resp. à la cat. ponctuelle).

b) La catégorie des gr. cub. munis d'une bibase (resp. bibase ordonnée) est ⌜canoniquement⌝ équivalente à la catégorie ⌜\((\mathrm{Ens}_6) \times (\mathrm{Ens}_2)\)⌝ des couples \((E, b)\) d'un ens. à six él. et d'un ens. à \(2\) él.

c) Soit \(\Delta\) graphe cubique. L'ens. des bases ordonnées de \(\Delta\) est can. isom. à \(\operatorname{Isom}(\underset{\Delta_0}{\underbrace{\Delta([1,6])}}, \Delta)\), donc est un torseur à droite sous \(W_0 = \operatorname{Aut} \Delta_0\) \(([1,6])\), à gauche sous \(W = \operatorname{Aut}(\Delta)\).

Th Considérons \(\Delta =\) \(\Delta_0 =\) \(\Delta(I)\) […], ⌜les él. de \(I\) dans \(\Delta\) sont notés \(\xi_i\)⌝ Alors avec sa base canonique […] \(I\) et la base associée \(I'\). Les bases de \(\Delta\) sont les parties ⌜obtenues de la façon⌝ suivantes écrire en plus […] en termes des bibases… la note marginale est écrite en oblique dans l'angle inférieur gauche ; un trait part aussi de l'insertion « les él. de \(I\) … » vers la marge droite, où quelques lettres coupées par le bord ne se lisent pas

dans (ii), la page écrit \(\xi_j, \xi'_j\), là où la liste de la page 49 donne \(\xi_j, \xi'_i\) ; dans (iii), « \(\mathfrak{P}_2(I - K)\) » est suivi de « \(- \mathfrak{P}_2(I)\) » d'une lecture incertaine. La page s'arrête sur (iv)

60formée des \(\lbrace \xi'_i \ (i \in I - K), \ \xi_J \ (J \in \mathfrak{P}_2(K) \subset \mathfrak{P}_2(I)) \rbrace\)

La base […] ⌜associée⌝ à \(B^{i,j}\) est \(B^{j,i}\), […] ⌜[…]⌝ \(B^{K}\) est \(B'^{K}\). un double trait vertical dans la marge droite, en face de ces lignes

Corollaire 1 \(\operatorname{Card}(\operatorname{Bases}(\Delta)) = 72\), ⌜\(= 8 . 9 = 2^3 3^2\)⌝ \(\operatorname{Card} \operatorname{Aut}(\Delta) = 72\). \[ \operatorname{Card} \underset{\substack{\Vert \\ \operatorname{Aut}(\Delta)}}{W} = 72 . 6! = 2^7 3^4 5 \] le \(6\) de \(6!\) est repassé ; ainsi écrit, \(72 . 6! = 2^7 3^4 5\) s'accorde avec la page 53

Corollaire 2 \(W\) est transitif sur \(\Delta\) (ens. des sommets), et […] sur l'ens. des couples de sommets ⌜distincts⌝ non liés. Si \((\delta, \delta')\) est un couple de sommets distincts non liés, \(\exists!\) base \(I\) telle que \(\delta \in I\) & et \(\delta' \in I'\) base associée (donc \(\delta\) et \(\delta'\) se correspondent par la bijection can. \(I \simeq I'\))

Corollaire 3 La cat. des graphes cubiques \(\Delta\) munis d'un él. \(J \in \mathfrak{P}_2(\Delta)\) formé de \(2\) sommets non liés, est équivalente à la cat. des couples formés d'un ens. à cinq éléments et d'un autre à deux él. (ces derniers étant \(J\)). un trait vertical dans la marge gauche longe l'énoncé

la suite de la page est barrée de deux grandes croix obliques et surchargée d'ajouts à l'encre plus foncée, dans les deux marges comprises ; ce qui se lit est donné, sans prétendre restituer l'ordre des ajouts […] […] partie liée de cardinal :

Notion de bi-base, ⌜ordonnée⌝ (\(1 \leq i \leq 6\)) : […] ⌜les⌝ parties liées sup. : \(3\) él., […] bibases […] opérées par \(W\). Pour les telles ⌜\(\Delta\)⌝ […] ⌜[…]⌝ l'ens. des élts ⌜de \(\widetilde{\Delta}\)⌝ […] liés à tt él. de […] est de cardinal \(6\), et \(\exists!\) bibase \(\lbrace I' \cup I'' \rbrace \simeq I \times \ill{}\) telle que \(K \subset I' \cup I''\), […] ⌜et dans \(K\) […]⌝ […] l'ens. des élts de \(\Delta\) liés à tt él. de […] est de cardinal […] ([…] […] […] […]…

Si \(K\) est non lié à exactement \(1\) élément des […], […] une application \(K \to \ill{}\), si la bibase est associée à l'ens. à \(2\) él. \(\varepsilon\), on a donc \(K \to \Delta' \times \varepsilon\) (ou \(K \to I \cup I' \to \varepsilon\)) qui est un iso. \(I_1 = K \cup \ill{}\) … \(K \ill{} \ill{}\) N.B. la relation […] \(I\) et \(I'\) […] […] les deux notes marginales, à gauche, sont écrites en oblique et elles-mêmes prises dans les croix ; à droite, à la hauteur de la bibase, « \(K = \ill{} \cup K'\) »