en tête, entouré : « 18 bis » (sa pagination)
Soit r un entier,
a) Q un ens. de cardinal r
b) \widetilde{Q} \xrightarrow{\pi} Q un revêtement d'ordre 2 de Q,
\Leftrightarrow un torseur Q \Pi sous \mathbb{F}_2^{Q}
les trois lignes suivantes, de « c) » à « D_r », sont barrées de
grands traits obliques
c) restriction du groupe structural : \Psi_Q = \operatorname{Ker}(\mathbb{F}_2^{Q} \to \mathbb{F}_2), (x_i) \mapsto \sum x_i,
La donnée de b), c) moyennant a), revient à la donnée d'un torseur P sous \Psi_Q.
On va : ceci un ens. de racines de type D_r.
a) Soit (x, y) le produit scalaire sur \mathbb{Z}^{Q} défini
pour x, y \in Q par
ainsi sur la page, sans tilde, bien que le produit porte sur les
éléments de \widetilde{Q}
x \cdot y =
\begin{cases}
0 & \text{si } y \neq x, \sigma x \text{ i.e. } \pi(x) \neq \pi(y) \\
1 & \text{si } y = \sigma x \\
-1 & \text{si } y = x
\end{cases}
Soit E (\Pi) = \mathbb{Z}^{Q} / \lbrace x \in \mathbb{Z}^{Q} \mid xy = 0 \ \forall y \in \mathbb{Z}^{Q} \rbrace
Choisissons un élément
le passage suivant est encadré et barré de traits obliques
ordonnons Q \simeq [1, r] et choisissons un élément
\tilde{q}_i \in \widetilde{Q} sur chaque q \in Q, Soit \sigma\tilde{q}
lié à \tilde{q} dans E \tilde{q}_i^{2} = -1 \tilde{q}_i \tilde{q}_j = 0
je dis que dans E, \tilde{q} + \sigma\tilde{q} = 0
indépendant de q, car (\sigma\tilde{q} + \tilde{q}, \tilde{q}') =
car le produit scalaire avec \tilde{q} est -1+1, avec \sigma\tilde{q}
est +1-1, et avec \tilde{q}' \neq \tilde{q}, \sigma\tilde{q} est 0+0.
Donc E est le \mathbb{Z}-module libre de rang r engendré par les
\tilde{q} \in \widetilde{Q}, avec
\sigma\tilde{q} = -\tilde{q}, \qquad (\tilde{q}, \tilde{q}) = -1, \qquad
(\tilde{q}, \tilde{q}') = 0 \ \text{si } \tilde{q}' \neq \tilde{q}, \sigma\tilde{q} \ \ldots
Les racines sont les différences mutuelles des \tilde{q} - \tilde{q}', avec
\tilde{q}' \neq \tilde{q}, \sigma\tilde{q} = -\tilde{q}.
Supposons que Q = E(u), u sommet d'un complexe cubique C, OPS C
muni d'une base (\xi_i)_{1 \leq i \leq 6} dans laquelle u = \xi'_6, donc
E(u) = \begin{pmatrix}
\xi_1 & \xi_2 & \xi_3 & \xi_4 & \xi_5 \\
\xi_{16} & \xi_{26} & \xi_{36} & \xi_{46} & \xi_{56}
\end{pmatrix},
\varepsilon_i = \frac{1}{2}(\eta - 2\xi_i - \xi_{i6}) = \frac{1}{2}(\eta -
\varepsilon_i = \underbrace{\tfrac{1}{2}(\xi'_6 - \eta)}_{\theta_0} + \xi_i ,
alors les diff. mutuelles dans \hat{E}(C) des couples
d'éléments non liés de E(u) sont les
« OPS » : on peut supposer. Les lettres \xi_i, \xi'_6,
\xi_{i6} et \eta sont lues d'après le contexte (base d'un complexe
cubique à 27 sommets) ; le prime de \xi'_6 et la lettre \eta sont peu
nets
en tête, entouré : « 18 ter » (sa pagination)
\pm \xi_i \pm \xi_j (1 \leq i < j \leq 5), et l'on a un isom.
canonique E(\Pi) \simeq E. Il faut remarquer :
a) les x + \sigma x (x \in E(u)) sont tous égaux, soit
\theta \in \hat{E}(C) [savoir \theta = \eta - \xi'_6]
le dernier terme se lit « y - \xi_6 » ou « \eta - \xi'_6 »
b) L'hom. x \mapsto x - \frac{1}{2}\theta de E(u) dans \hat{E}(C)
qui dans E(\Pi) d'éléments non liés de E(u) sont
transformées en les diff. mutuelles de ces éléments dans \hat{E}(C),
lesquelles forment en un syst. de (40) racines de type
D_5 — sont aussi les 40 racines de
E_6(C) \simeq E(C) orthogonales à u.
« (40) » et « 40 » sont ajoutés au-dessus de la ligne ; dans
« E(\Pi) » de la ligne b), la lettre entre parenthèses est
surchargée
en tête, entouré : « 18 » (sa pagination)
À vérifier : Les racines orthogonales à un u \in C (au nb
de 40) forment un syst. de racines de type D_5.
NB La donnée de (C, u, b) avec u \in C, b base
« orthogonale » à u, équivaut à la donnée d'un I de cardinal 6
(savoir b) et d'une partie de I I_2 de cardinal 2 et d'une
autre I_4 de cardinal 4. Le groupe d'automorphismes de
(C, u, \lbrace b, b' \rbrace), il \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_4
nb 27 \times 40 — « — bien
au-dessus de la phrase barrée, « Groupe d'automorphismes »,
barré avec elle
\operatorname{card} W = (27 \cdot 40) \times (2 \cdot 4!) = 27 \cdot 3^{3} \cdot 5
ainsi sur la page ; le produit (27 \cdot 40) \times (2 \cdot 4!) vaut
51840 = 2^{7} \cdot 3^{4} \cdot 5, l'ordre du groupe de Weyl de E_6. Le
premier facteur du membre de droite se lit aussi 2^{7}
Pour un syst. (C, u, \lbrace b, b' \rbrace), \lbrace b, b' \rbrace
orth. à u, il correspond : (I_2, I_4, J) J une ens.
de card. 2, \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_4 \times \mathfrak{S}_2, il
y en a 27 \cdot \frac{40}{2} …
Autom.
Complexes cubiques : arête marquée (ou :
triangle marqué avec sommet distingué)
dans la marge gauche, un triangle aux sommets u (point
épais), v et w
La description de cette structure de la description
précédente en termes de \lbrace P_u, P \text{ torseur sous } \Psi_Q \rbrace
de plus un élément fixé t de Q_u, de sorte que
la donnée de Q_u de cardinal 5 revient à celle de
Q_u - \lbrace t \rbrace = P_u de cardinal 4. Alors
\Psi(Q_u) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{F}_2^{P_u}
\qquad (\subset \mathbb{F}_2^{Q_u},\ \text{pr.}),
sous la flèche, un petit « \subset \mathbb{F}_2^{Q_u} » relié à
« pr. » par une flèche montant vers \mathbb{F}_2^{P_u} : l'inclusion et
la projection
donc la donnée des torseurs P sous \Psi(Q_u) équivaut à celle d'un
torseur P sous \mathbb{F}_2^{P_u} — i.e. (P_u, P) équivaut à
un ens. \widetilde{P}_u de cardinal 8 avec \sigma automorphisme
involutif sans pt fixe.
Alors
en tête, entouré : « 19 » (sa pagination)
a) u, v, w liés deux à deux
b) u lié aux éléments de \widetilde{P}_u, v et w non liés à ces
éléments.
c) u non lié aux él. de
d) Deux éléments de \widetilde{P}_u liés ssi ils sont par
\sigma, i.e. sont dans un même
P \times_{\mathbb{F}_2^{P_u}} (\mathbb{F}_2, p_i) (i \in P_u) et sont
distincts (i.e. sont distincts \widetilde{P}_u - P_u)
e) Deux Un él. a de \widetilde{P}_u lié à un él. x de P
ssi, si a \in P \times_{\mathbb{F}_2^{P_u}} (\mathbb{F}_2, p_i), a est
dans l'image de x.
f) x et y \in P sont liés ssi, posant x - y = u,
e'_1, e_2, \ldots e'_i (i \in P_u)
est de la forme
e'_i = \sum_{j \in P_u - \lbrace i \rbrace} e_j
\quad \text{ou} \quad
e'_0 = \sum_{i \in I} e_i
un signe \Sigma biffé précède chacune des deux formules
Corollaire le passage qui suit est marqué d'un trait vertical
dans la marge gauche
Le groupe des autom. de (C, \lbrace u, w \rbrace)
W_{\lbrace u, w \rbrace} = \alpha (où \lbrace u, w \rbrace est une
arête marquée) est isom. au groupe des couples (\rho, \varphi), où
\rho \in \mathfrak{S}_{P_u} est un autom. du groupe de
P_u, et \varphi un \bar{\rho}-autom. (affine) de
P. Donc on a une suite exacte (splittée)
1 \longrightarrow \bigl(\mathbb{F}_2^{P_u}\bigr)^{F} \longrightarrow W_{\alpha}
\longrightarrow \mathfrak{S}_{P_u} \longrightarrow 1
l'exposant de (\mathbb{F}_2^{P_u}) est une lettre repassée, lue
F
et W_{\alpha} est isom. au groupe de Weyl W_{B_4} de B_4
(\simeq SO(9)).
Ce système de racines B_4 a 32 racines (mais pas toutes de
= longueur !) qu'on aimerait retrouver plongé dans E_6.
Je , par les longueurs la
situation,
en tête : « 20 » (sa pagination)
en épinglant le triangle u, v, w i.e. l'arête (v, w),
non par choix d'une « origine » u, i.e.
d'une \vec{\alpha} plutôt que d'une arête \alpha. Alors,
Car le graphe associé (comme
\lbrace v, w \rbrace = P \times_{\mathbb{F}_2^{P_u}} (\mathbb{F}_2, \varepsilon))
qu'on restreint le groupe structural de
\mathbb{F}_2^{P_u} :
\Psi_{P_u} = \operatorname{Ker}(\mathbb{F}_2^{P_u} \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{F}_2).
Cela l'extension splittée
1 \longrightarrow \Psi_{P_u} \longrightarrow W_{\vec{\alpha}}
\overset{= W_t}{\longrightarrow} \mathfrak{S}_{P_u} \longrightarrow 1
au-dessus de la flèche centrale, « = W_t », relié par un trait
courbe à la remarque « autom. de C qui induisent l'identité sur
t = \lbrace u, v, w \rbrace » ; ce trait se poursuit jusqu'au
W_{\vec{\alpha}} de la ligne suivante
dans
W_{\vec{\alpha}} \simeq W_{D_4}
groupe de Weyl de D_4 (\simeq SO(8)). Ce syst. de racines (étant
de = longueur) :
\frac{8 \cdot 7}{2} - 4 = 24 \ \text{racines}.
On retrouve W_t une description plus symétrique (en
u, v, w) plus bas, ainsi qu'une description du syst. de 24
racines de type D_4 associé : un triangle …
Complexes cubiques avec marqué ou à
sous « un triangle … », un grand griffonnage en zigzag,
qui sert de trait de séparation
Complexes cubiques : triangle marqué, t = \lbrace u, v, w \rbrace.
Équivaut : la donnée
a) d'un
b) d'un vectoriel V de dim 2 sur \mathbb{F}_2la lettre ressemble à un N ; la page 26 écrit V (\Longleftrightarrow un
ens. de cardinal 3 savoir V^{*})
c) Un torseur \widetilde{P} sous l'extension canonique
en tête, entouré : « 21 » (sa pagination)
\widetilde{\Psi}(V, t) de
\Psi(V, t) = \operatorname{Ker}\bigl(V^{t} \xrightarrow{\varepsilon} V\bigr),
(x_i)_{i \in t} \mapsto \sum x_i
à droite de la ligne, isolé : « \Gamma \to \mathbb{F}_2 »,
lecture incertaine
extension (précisions) (splitting) dans les
N_i = \operatorname{Ker}\bigl(\Psi(V, t) \xrightarrow{p_i} V\bigr) (i \in t)
sous-groupes \widetilde{N}'_i \subset \widetilde{\Psi}(V, t).
Rappelons que
\widetilde{\Psi}(V, t) = \bigwedge_{i \in t} p_i^{*}(\widetilde{V}),
où \widetilde{V} est l'ext. de V par \mathbb{F}_2 qui ne splitte sur
aucun sous-groupe \simeq \mathbb{F}_2 de V. On a alors, pour i \in t,
\widetilde{P}_i = \widetilde{P} / N'_i
«
P_i = \widetilde{P} / \widetilde{N}_i (où \widetilde{N}_i =
image inverse de N_i dans \widetilde{\Psi}
= N_i \cdot \lbrace 1, \sigma \rbrace, \sigma \neq 1 dans
\widetilde{\Psi} \to \Psi)
à gauche de la seconde formule, un mot abrégé suivi de guillemets de
répétition ; au-dessous, un mot surchargé et illisible
C \simeq t \amalg \Bigl(\coprod_{i \in t} \widetilde{P}_i\Bigr)
La loi du graphe est définie ainsi :
a) les i \in t sont deux à deux liés
b) i est lié aux él. de \widetilde{P}_i, et non à ceux de
\widetilde{P}_j si j \neq i
c) Si x \in \widetilde{P}_i, \tilde{x}, \tilde{y} \in \widetilde{P}_i,
x et y sont liés ssi y = \sigma x
d) Si \tilde{x} \in \widetilde{P}_i, \tilde{y} \in \widetilde{P}_j,
i \neq j, alors x et y sont liés ssi
\exists\, \tilde{\gamma} \in \widetilde{P} tel que
p_i(\tilde{\gamma}) = \tilde{x}, p_j(\tilde{\gamma}) = \tilde{y}.
Cor ce corollaire est marqué d'un trait vertical dans la marge
gauche
Le groupe des autom. de (C, t) est isom. au groupe des
couples triples (\tau, \rho, \varphi) d'une permutation
\tau de t, d'un autom. \rho de V, et d'un \Psi \widetilde{\Psi}(V, t) induit par
(\varphi, \tau) (\tau, \rho). Donc
1 \longrightarrow \widetilde{\Gamma} \longrightarrow W_t \longrightarrow
\underbrace{\mathfrak{S}_t \times \mathfrak{S}_{V^{*}}}_{\simeq\, \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3} \longrightarrow 1
la lettre après « 1 \to » se lit \widetilde{\Gamma} ou
\widetilde{P} ; « \simeq \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3 » est écrit
au-dessus de \mathfrak{S}_t \times \mathfrak{S}_{V^{*}}
NB \widetilde{P} triangles
de t, disjoints (C, t, t')
Cor. t) triangles disjoints t ;
équivaut (t, V) (t ens. de card. 3, V
vectoriel de dim. 2 sur \mathbb{F}_2)
note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de d) et du
corollaire ; lecture très partielle
en tête, entouré : « 22 » (sa pagination)
(extension splittée) Sauf erreur, ce groupe est le groupe de Weyl complété
(par automorphismes ext.) de D_4 (le groupe des automorphismes ext. de
D_4 correspondant à \mathfrak{S}_t).
Donc cat. des syst. de racines de type D_4 \approx cat. des complexes
cubiques munis d'un triangle.
cette phrase, d'une encre plus foncée, est ajoutée entre les
lignes ; le signe \approx est souligné deux fois
Précisons comment on un syst. de 24 racines (de type D_4)
à un triangle t dans C. que à la structure
(C, t = \lbrace u, v, w \rbrace) … associé,
un syst. transitif d'isom.
\lbrace t, t' \rbrace,
B(i) (i \in t), où B(i) \subset \mathfrak{P}_2(\widetilde{P}_i) :
toutes les non liés ; \lbrace x, y \rbrace \in B(i) et
\lbrace x', y' \rbrace \in B(j) (i \neq j) sont associés ssi
non liés à x', y'. Si B Si on
désigne par B l'un des « composantes » des B(i), i.e. l'un des
parties b : b élément de C mutuellement non liés (i.e. des
bases) telles que b \cap E(i) \cong \widetilde{P}_i soit une des
conditions 2 pour tt i \in t, on voit que
\forall i \in t
B \simeq B(i) \quad \text{par } b \mapsto b \cap E(i),
le signe \simeq est surmonté d'un trait ; au-dessus de E(i),
un astérisque, et sous lui « \cong \widetilde{P}_i »
et
\operatorname{card} B = \operatorname{card} B(i) = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24 .
(La Précisons condition
équivaut à celle … que b \cap E(i) sont de
cardinal 2 \forall i \in t, [
implique que b \cap t = \emptyset (b \cap t, = t, ) car
u \in t \cap b, on aurait card E(u) \cap b = \emptyset ]
la parenthèse est fermée par un grand crochet dans la marge droite
: b orthogonale : i \in t
( t).
NB \varepsilon_i = \sigma :
t i \in t :
i \notin i.e.
note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard des
dernières lignes ; presque entièrement illisible
en tête, entouré : « 23 » (sa pagination)
Donc il faudrait vérifier que l'ens. des 24 racines orthogonales à
un triangle donné t forment un syst. de racines de type D_4 …
choisissant un sommet u \in t, on prend
E(t) \subset \frac{1}{2} E(C) engendré par les x - \frac{1}{2}\theta
pour x \in E(u)^{*}, et le syst. de racines engendré par les diff.
\alpha - \beta, où \alpha, \beta \in E(u)^{*} sont distincts non
liés …
ajout encadré d'un trait vertical, en petite écriture, à droite de
la ligne précédente
D_4 = « carrousel »
dans la marge gauche, sous « D_4 = « carrousel » » : un
triangle u, v, w ; de w partent deux traits vers le bas, marqués
\lambda_w, \mu_w ; de u deux traits vers \lambda_u, \mu_u, de v
deux traits vers \lambda_v, \mu_v
Le syst. formé d'un (C, t, b), t triangle du complexe cubique, b base
orth. à t, équivaut à celle de C muni d'une base b, avec
partition de b en une ens. de 3 classes de 2 éléments,
soit c_1, c_2, c_3 (\xi_1, \xi_2), (\xi_3, \xi_4),
(\xi_5, \xi_6), le triangle correspondant étant
\xi_{12}, \xi_{34}, \xi_{56}. Pour b fixé, il y a
\binom{6}{2}\binom{4}{2}\frac{1}{3!} = 15
telles partitions, donc pour C fixé il y a 72 \cdot 15
(= 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5) tels couples (t, b)
La cat. des (C, t, b) équivaut à celle des ens. de cardinal 6
munis d'une partition de type (2, 2, 2), i.e. munis d'un
automorphisme involutif d'ordre 2 sans pt fixe. Si a une
\lbrace b, b' \rbrace
en tête, entouré : « 24 bis » (sa pagination)
Position relative d'un triangle t et d'une base b.
On a \sum_{i \in t} i = \lambda orthogonal aux racines, donc
\sum_{i \in t} i \cdot r_b = 0
et comme i \cdot r_b \in \lbrace 0, 1, -1 \rbrace suivant la position
relative de r_b et i i.e. de b et i, on trouve 2
possibilités (à conjugaison près)
a) i \cdot r_b = 0 \forall i \in t, i.e. E r_b (ou b)
orthogonal à t : cas déjà étudié. L'ens. de ces b est au nb de
24, stable par passage à l'opposé
b) \exists r_b non orthogonal à t. Alors on peut
écrire t = \lbrace u, v, w \rbrace avec
\begin{cases}
r_b(u) = 1 & \text{i.e. } u \in b \text{ i.e. } E(u) \cap b = \emptyset \\
r_b(v) = -1 & \text{i.e. } v \in b' \text{ i.e. } E(v) \cap b \text{ de card. } 5 \\
r_b(w) = 0 & \text{i.e. } w \notin b \cup b' \text{ i.e. } E(w) \cap b \text{ card } 2
\end{cases}
dans la deuxième ligne, v est écrit sur un u ; on lit aussi
« r_b(w) = -1 » avant surcharge
les bases
orth.
note oblique dans la marge gauche, en regard de a) et b) ;
illisible pour l'essentiel
Pour t fixé, le nb de ces b est 72 - 24 = 48, se groupant en 6
groupes de 8 bases b, pour lesquels u, v, w sont fixés. Comment
décrire commodément ces 8 bases ? On note que
E(w) avec b et b' de card. 2 il contient
exactement un pt u' \in b' et un v' \in b, et ces deux sont liés. Donc
les 1°) le triangle (w, u', v') parmi les quatre triangles
\neq (w, v, u) ayant w comme sommet 2°) un des deux
sommets de E(w)^{*} 5 distincts de u comme
… étant u', La base b est l'unique base de C
pour laquelle u \in b, u' \in b',
« 6 » est ajouté dans la marge droite, au bout de la ligne barrée
Le choix d'un couple (t, b) orthogonale équivaut donc à celui d'un triangle épinglé
\lbrace u, v, w \rbrace et d'un u' \in E(w)^{*}
(Nb : 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8)
ce dernier paragraphe est marqué d'un double trait vertical dans la
marge droite
en tête, entouré : « 24 ter » (sa pagination)
le groupe d'autom. de (C, t, b) est le sous-groupe de W_{D_4} formé des
autom. de (E(w)^{*}, \sigma, -) qui invariant u' \in E(w)^{*}, c'est
donc aussi le groupe W_{D_3} des autom. de
\bigl(E(w)^{*} - \lbrace u', \sigma u' \rbrace, \sigma\bigr) qui
correspondent à un nb pair de changts de signes. Quel est le syst. de
racines de type D_3 associé (formé de 12 racines) ? On trouve
le syst. des racines de la forme \alpha - \beta,
où \alpha, \beta \in E(w)^{*} - \lbrace u', \sigma u' \rbrace …
base b avec deux éléments fixés
\xi_1 et \xi_2 (le triangle t étant alors
(\xi_1, \xi'_2, \xi_{12}), avec \xi_1 = u, \xi'_2 = v) – le groupe
des autom. de (C, t, b) est donc aussi \mathfrak{S}_4 \simeq W_{A_3}
– on est dans le cas de l'« isom. exceptionnel » D_3 \simeq A_3. Le nb de
ces syst. t, b est
72 \cdot 6 \cdot 5 = 2160 = 27 \cdot 10 \cdot 8 \ \text{---}
les deux lignes « racines de la forme \alpha - \beta … » et
« une base … des » sont serrées l'une sur l'autre ; la seconde est
une insertion. Sous \xi_1 et \xi'_2, des signes = verticaux mènent à
u et v
deux triangles s, t tels que s \cap t \neq \emptyset,
s \neq t (donc card s \cap t = 1) aussi les racines
orth. à \lbrace u, v, w, u', v' \rbrace = s \cup t i.e. orth. à s et
à t
note oblique dans la marge gauche, reliée par une accolade et une
flèche aux lignes « racines de la forme … » et « La donnée des
(t, b) »
en tête, entouré : « 24 » (sa pagination) ; la page semble
poursuivre la page 30
au lieu d'une base, il faut en plus se donner un ens. de cardinal 2 (donc
le groupe des autom. est multiplié par \mathfrak{S}_2, le nb d'objets est
divisé par 2 …).
un trait horizontal court sépare ce qui précède de ce qui suit
étudions position relative d'une racine et d'un triangle
note entourée dans la marge gauche, en regard du paragraphe
suivant
Étudions les triples (t, t', b), où (t, t') sont deux triangles
disjoints et b une base orthogonale à t et t' – ils
correspondent à un ens. I de card 6, avec 2 partitions \Pi, \Pi'
de type (2, 2, 2), sans classe commune. On démontre que ceci
correspond à une structure hexagonale sur I à
côtés-triangles marqués – avec comme partitions celles
marquées aux traits (\Pi = \Pi) — et
(\Pi' = \Pi') par
\lbrace t, t' \rbrace au lieu de (t, t'), on
à choisir des côtés-triangles dans l'hexagone. On
trouve que, si t'' est le triangle qui complète \lbrace t, t' \rbrace
en un bitriangle \lbrace t, t', t'' \rbrace, alors b est aussi
orth. à t'' – en fait … la situation d'une base orthogonale à un
bitriangle cf. plus bas. Pour b fixé, le syst. des (t, t', t'')
correspondants est de cardinal 120 = 5! (60 pour \lbrace t, t' \rbrace
= \frac{5!}{2} = nb de structures hexagonales sur I de card. 6) ce
qui fait en tout 120 \cdot 72 =
72 \cdot 5! = \operatorname{card} W / 6 \quad \text{tels triples}
sous le « 6 » de \operatorname{card} W / 6, une flèche vers la
marge gauche, où on lit « 6 = \operatorname{card} \mathfrak{S}_t » ;
les lignes depuis « Pour b fixé » sont fermées par un crochet dans la
marge droite
Ou aussi en nb
45 \cdot 32 \cdot 6
sous les facteurs, des flèches et, en petit : « triangles »,
« triangles disjoints » (lecture incertaine) sous 45 et 32 ; à droite
de 6, une flèche vers « nb des racines (ou bases) orth. à t, t' »
à gauche du texte, un hexagone de sommets numérotés 1 à 6
(2 et 1 en haut, 3 à gauche, 6 à droite, 4 et 5 en bas), avec toutes ses
diagonales ; les côtés 12, 34, 56 sont épaissis à l'encre, les côtés
23, 45, 61 soulignés d'un trait ondulé
pour hexagone, dual
côtés sont él. de I …
note oblique dans la marge gauche, sous l'hexagone
en tête, entouré : « 25 » (sa pagination)
Complexes cubiques : balise marquée ou triangles incidents
bitriangle ou à pâte
dans le titre, deux petits signes : un triangle posé sur une
pointe prolongée d'un trait vertical (une « balise »), marqué D_4 ; et
deux triangles opposés par un sommet (un sablier), suivi de « marquée »
avant « Pour », la balise : un triangle, sommet inférieur u
d'où descend un trait, sommets supérieurs v et w
Pour une balise, on a une arête marquée \lbrace v, w \rbrace, i.e.
triangle \lbrace u, v, w \rbrace à sommet marqué, correspondant à un
torseur sous \mathbb{F}_2^{P_u}. Il faut de plus se donner un él. de
\widetilde{P}_u, i.e. un élément de P_u et une trivialisation du
\mathbb{F}_2-torseur au-dessus – il reste donc un ens. à 3 éléments
R_u = P_u - (l'un des 3 triangles de sommet u distincts de
\lbrace u, v, w \rbrace = t et \lbrace u, x, y \rbrace = s) et un rev.
d'ordre 2 de ce dernier, i.e. un torseur sous \mathbb{F}_2^{R_u}. La
catégorie des triples (C, \text{balise}) est donc discrète, les autom.
d'un objet sont un groupe isom. à \widehat{W}_{D_3} groupe de Weyl
élargi (= tous les autom.) d'un syst. de racines de type D_3,
il est de cardinal 3! \, 2^{3} = 48 (L'ens. \lbrace v, w \rbrace
se récupère comme le produit des bases des 3
\mathbb{F}_2-torseurs indexés par R_u …).
« il est de cardinal 3! \, 2^{3} = 48 » est ajouté au-dessus de
la ligne
dans la marge gauche, un croquis : le triangle u, v, w, un
trait vertical descendant de u vers x, et un trait pointillé de u
vers y
Les racines en question sont les \alpha - \beta, où
\alpha, \beta \in E E(u)^{*} - \lbrace x, y \rbrace sont
distincts et non liés.
Le nb des balises dans C est
\underbrace{45}_{\text{triangles}} \cdot \underbrace{3}_{\text{sommets de } t} \cdot \underbrace{8}_{\in E(u)^{*}} = \operatorname{card} W_{E_6} : 48 \quad \text{OK.}
balises
les accolades sous les facteurs sont les siennes, avec leurs
légendes
balise épinglée groupe d'autom. de
(C, \text{bal. ép.}) W_{D_3} qui est le
W_{D_3})
note oblique dans la marge gauche, en regard de « groupe de Weyl
élargi »
en tête, entouré : « 26 » (sa pagination)
Pour les paires de bitriangles
un sablier : deux triangles opposés par un sommet, quitte
à noter que cette paire « épinglée » (ce qui élimine
le groupe d'autom. des diagrammes, qui est \mathbb{Z}/4\mathbb{Z})
équivaut à la balise épinglée (en éliminant le groupe d'autom.
\mathfrak{S}_2 de la balise). équivaut : donc
Du pt de vue épinglé : sommet fixé u, avec un ens.
des 2 triangles de sommet u, donc
a) un Q_u de cardinal 5, décomposé en Q'_u (de cardinal 2) et
Q''_u (de cardinal 3)
b) torseur sous
\Psi(Q_u, \mathbb{F}_2) = \operatorname{Ker}\bigl(\mathbb{F}_2^{Q'_u \amalg Q''_u} \to \mathbb{F}_2\bigr)
Nb de telles paires
\underbrace{27}_{\text{sommets}} \cdot \underbrace{\binom{5}{2}}_{\text{partie à 2 él. dans } Q_u} = 270 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 5
Groupe d'autom. de (C, \text{sablier}) :
\simeq (\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3) \cdot \underbrace{\Psi(\mathbb{F}_2)}_{\simeq\, \mathbb{F}_2^{4}}
\quad \text{de cardinal } 2 \cdot 6 \cdot 16 = 2^{6} \cdot 3
on trouve bien comme produit
2^{7} \cdot 3^{4} \cdot 5 = \operatorname{card} W_{E_6} \ \ldots
une flèche relie 270 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 5 au cardinal
2^{6} \cdot 3 ; « (C, sablier) » : il dessine le sablier dans la
parenthèse. Le reste de la page est vierge
en tête, entouré : « 27 » (sa pagination). Les deux alinéas qui
suivent sont précédés chacun d'un petit signe entouré, peu lisible
Cas du prisme triangulaire D
à droite du titre, un petit prisme vu de face : un triangle posé
sur un rectangle, marqué D ; au-dessous, un rectangle au côté supérieur
épaissi, marqué C
La donnée de ce diagramme dans C équivaut à celle d'un carré avec un côté
marqué – on l'étudiera plutôt avec le carré.
Complexes cubiques avec prisme triangulaire :
bitriangle D_6 D_7 Il donne
naissance, par passage aux triangles sur les arêtes latérales,
à un bitriangle à paire de triangles disjoints distinguée
\lbrace\lbrace u, v, w \rbrace, \lbrace u', v', w' \rbrace\rbrace
(épinglage partiel).
le titre porte « prisme triangulaire » barré et « D_6 » au-dessus ;
« bitriangle » et « D_7 » sont ajoutés sous la ligne
dans la marge gauche, deux croquis. En haut, un prisme
triangulaire : base u, v (et un troisième sommet w caché), face
supérieure u', v', w', une diagonale sur la face avant. En dessous, un
prisme plus grand, sommets u, v en bas, u', v', w' au milieu,
u'', v'', w'' en haut, certaines arêtes et diagonales repassées à
l'encre plus foncée
Étudions d'abord les bitriangles, au nb de 120 (cf. p. 10) ;
le groupe des autom. d'un diagramme \Delta (\simeq D_7), est
« cf. p. 10 » renvoie à sa propre pagination
La donnée d'un diagramme de type D_7
\mathfrak{S}_2(\Delta) équivaut à celle
d'un ens. \Delta_0 de cardinal 9, muni de d'un ens.
\lbrace \Pi, \Pi' \rbrace de deux partitions de type (3, 3, 3), de
telle façon que les applications
\Delta_0 \longrightarrow (\Delta_0 / \Pi \times \Delta_0 / \Pi')
soit bijective, ou encore d'un ens. T de cardinal 6
(l'un des 6 triangles de \Delta) et d'une partition de T de type
(3, 3), i.e. d'une application T \to I de degré 3, –
en tête, entouré : « 28 » (sa pagination)
de \Delta est s'identifie au groupe des autom. de
(T \to I), une fois choisi un isom. entre les deux fibres de
T \to I, il s'identifie au produit semi-direct
\underset{\simeq\, \mathfrak{S}_2}{\mathfrak{S}_2} \cdot \prod_{i \in I} \mathfrak{S}_{T_i}
de cardinal 72 (égal au nb de racines …).
Si on a un plongement \Delta_0 \xrightarrow{\ i\ } C, le groupe des
l'identité sur \Delta, le noyau étant d'ordre 6, isomorphe
à \mathfrak{S}_3. On va associer, à i(\Delta) un ens.
V^{*}, triple, , qui sera canoniquement isom., pour
u \in i(\Delta), à
Utilisons l'épinglage des p. 8 et 9
sa pagination
On trouve que
\operatorname{Aut}(C, \Delta) \longrightarrow
\underset{\mathfrak{S}_2 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)}{\underset{\simeq}{\operatorname{Aut}(\Delta)}}
\times
\underset{\mathfrak{S}_3}{\underset{\simeq}{\operatorname{Aut}(V^{*})}}
soit un isom. Il faut donc expliciter …
réciproquement la situation (C, \Delta)
ces deux dernières lignes sont marquées d'un double trait vertical
dans la marge gauche
en tête, entouré : « 29 » (sa pagination)
via le diagramme \Delta et le seul ens. V^{*} de cardinal 3.
Lemme 2 a) \forall x \in C - \Delta, soit
\Delta(x) = \Delta \cap E(x). Alors [card \Delta(x) = 3, et] les deux
applications
\prod_{j \in I} T_j \simeq \Delta \longrightarrow T_i \quad (i \in I)
définissent des bijections \Delta(x) \simeq T_i i.e. \Delta_x est le
graphe d'une bijection T_i \simeq T_{i'} (si i \neq i'
I = \lbrace i, i' \rbrace). b) Soit
Il faut expliciter la relation de liaison
en tête, entouré : « 30 » (sa pagination)
Justification a priori de cette description : on considère le
graphe ainsi construit à l'aide de \Delta, V^{*} ; on vérifie qu'il
satisfait aux propriétés caractéristiques des complexes cubiques
(th. p. 1) …
« p. 1 » et, plus bas, « p. 24 bis » renvoient à sa pagination
un court trait horizontal sépare ce qui précède
Bases orthogonales à un bitriangle \Delta. Ce sont aussi les bases
b \subset C - \Delta (cf. p. 24 bis), donc les systèmes de 6 éléments
mutuellement non liés de \mathbb{F}' \times V^{*}. Considérons le
tors. \widetilde{I} d'ordre 2 de I des permutations
circulaires sur les fibres de T \to I, et considérons
\mathcal{J} = \bigwedge_{i \in I} \widetilde{I}_i ,
sous le signe \bigwedge, entre parenthèses : « produit
de Baer » au-dessus de « i \in I »
qui est un ens. à 2 él. L'ens. des bases orthogonales est en
corr. 1-1 avec \operatorname{Mon}(\mathcal{J}, V^{*}). Si on a une
injection \mathcal{J} \overset{\varphi}{\hookrightarrow} V^{*}, on lui
associe l'ens. b_{\varphi} des x = (\Delta(x), v(x)) \in \mathbb{F}' \times V^{*}
tels que
\varphi(\text{image de } \Delta(x) \text{ dans } \mathcal{J}) = v(x) ,
ils sont évidemment de cardinal 6 [(b_{\varphi} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{F}')
car \ldots], et ces éléments sont mutuellement non liés
car v(x) = v(y) implique que \Delta(x) et \Delta(y)
ont même image en … ce
qui dit que \Delta_i \simeq T_j (I = \lbrace i, j \rbrace), diffèrent
par un él. du groupe alterné A_3, donc
\Delta(x) \cap \Delta(y) = \emptyset, ce qui implique x, y non liés.
la lettre notée \mathcal{J} est un J cursif ; \widetilde{I}_i
est lu d'après le contexte. Dans « \Delta_i \simeq T_j », les deux
lettres sont surchargées et d'une lecture incertaine
en tête, entouré : « 31 » (sa pagination)
Donc la cat. des triples (C, \Delta, b) d'un complexe cubique C, muni
d'un bitriangle \Delta et d'une base b orthogonale à celui-ci,
équivaut à celle des \Delta (car V^{*} se reconstitue comme
V^{*} \simeq \mathcal{J} \amalg \lbrace pt \rbrace ) .
Donc le groupe des autom. d'une telle structure est
\simeq \operatorname{Aut}(\Delta) \simeq \mathfrak{S}_2 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3),
de card. 72.
Pour C fixé, l'ens. des couples (\Delta, b) est de cardinal
120 \cdot 6 = 720, donc pour b = \mathbb{F}' fixé, l'ens.
des \Delta correspondants est de cardinal
10 = \binom{6}{3} \frac{1}{2} = cardinal de l'ens. des partitions
\lbrace \mathbb{F}'_1, \mathbb{F}'_2 \rbrace de \mathbb{F}' en
deux parties à 3 éléments. Or, pour une telle partition, on déduit un
bitriangle orthogonal à b, en prenant l'ens. des
(\xi_{ij})_{i \in \mathbb{F}'_1,\ j \in \mathbb{F}'_2}, correspondant à
l'un T des 6 triangles
t_{\sigma} = (\xi_{i \sigma i})_{i \in \mathbb{F}'_1}, où
\sigma \in \operatorname{Isom}(\mathbb{F}'_1, \mathbb{F}'_2).
Ainsi =
« pour b = \mathbb{F}' fixé » : l'insertion au-dessus de
« fixé » est lue ainsi ; les lettres \mathbb{F}'_1, \mathbb{F}'_2 sont
des T ou des F à double barre d'une lecture incertaine
Longtemps, on tombe sur une autodualité dans la
catégorie des ens. de cardinal 6 munis d'une partition de type
(3, 3) …
ce dernier alinéa est marqué d'un double trait vertical, terminé
par une flèche vers le bas, dans la marge gauche ; le reste de la page
est vierge
en tête, entouré : « 32 » (sa pagination)
Considérons les 6 racines, et bases orth. à un bitriangle
(u, v, w,\ u' = \alpha_1,\ v' = \beta_1,\ w' = \gamma_1,\ u'' = \alpha'_1,\ v'' = \beta'_1,\ w'' = \gamma'_1)
syst. de racines de type A_2.
les indices des six lettres de la première ligne se lisent 1 ou 4 ;
la suite de la page (indices 1, 2, 3) fait lire 1. « p. 9, 10 » : sa
pagination. Un trait horizontal et un trait ondulé séparent ce qui suit
Expliciter a) les positions relatives d'un bitriangle
\Delta et d'un triangle t. Il y en a trois
\begin{cases}
t \subset \Delta & \text{i.e. card}(t \cap \Delta) = 3 \\
\operatorname{card}(t \cap \Delta) = 1 & \\
t \cap \Delta = \emptyset & \text{i.e. card}(t \cap \Delta) = 0
\end{cases}
\qquad
\begin{array}{r}
6 \\ 3 \cdot 9 \\ 12 \\ \hline 45
\end{array}
la colonne de droite (le décompte 6 + 27 + 12 = 45 des
triangles) est séparée par un trait vertical et close par un double
trait
b) Les positions relatives d'une base b (il ) et
d'un bitriangle il semble qu'il y en ait trois :
b orthogonale,
c) Position relative de deux bitriangles ???
écrit verticalement dans la marge gauche, en regard de a) et b)