Cote n° 69 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Graphes cubiques : notes manuscrites (s.d.), lettre (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

21en tête, entouré : « 18 bis » (sa pagination)

Soit \(r\) un entier,

a) \(Q\) un ens. de cardinal \(r\)

b) \(\widetilde{Q} \xrightarrow{\pi} Q\) un revêtement d'ordre 2 de \(Q\), \(\Leftrightarrow\) un torseur \(Q\) ⌜\(\Pi\)⌝ sous \(\mathbb{F}_2^{Q}\)

les trois lignes suivantes, de « c) » à « \(D_r\) », sont barrées de grands traits obliques

c) restriction du groupe structural : \(\Psi_Q = \operatorname{Ker}(\mathbb{F}_2^{Q} \to \mathbb{F}_2)\), \((x_i) \mapsto \sum x_i\),

La donnée de b), c) moyennant a), revient à la donnée d'un torseur \(P\) sous \(\Psi_Q\).

On va […] : ceci […] un ens. de racines de type \(D_r\).

a) Soit \((x, y)\) le produit scalaire sur \(\mathbb{Z}^{Q}\) défini pour \(x, y \in Q\) par ainsi sur la page, sans tilde, bien que le produit porte sur les éléments de \(\widetilde{Q}\) \[ x \cdot y = \begin{cases} 0 & \text{si } y \neq x, \sigma x \text{ i.e. } \pi(x) \neq \pi(y) \\ 1 & \text{si } y = \sigma x \\ -1 & \text{si } y = x \end{cases} \]

Soit \(E\) \((\Pi)\) \(= \mathbb{Z}^{Q} / \lbrace x \in \mathbb{Z}^{Q} \mid xy = 0 \ \forall y \in \mathbb{Z}^{Q} \rbrace\)

Choisissons un élément

le passage suivant est encadré et barré de traits obliques ordonnons \(Q \simeq [1, r]\) et choisissons un élément \(\tilde{q}_i \in \widetilde{Q}\) sur chaque \(q \in Q\), Soit \(\sigma\tilde{q}\) lié à \(\tilde{q}\) dans \(E\) \(\tilde{q}_i^{2} = -1\) \(\tilde{q}_i \tilde{q}_j = 0\)

je dis que dans \(E\), \(\tilde{q} + \sigma\tilde{q} = 0\) indépendant de \(q\), car \((\sigma\tilde{q} + \tilde{q}, \tilde{q}') = \) car le produit scalaire avec \(\tilde{q}\) est \(-1+1\), avec \(\sigma\tilde{q}\) est \(+1-1\), et avec \(\tilde{q}' \neq \tilde{q}, \sigma\tilde{q}\) est \(0+0\). Donc \(E\) est le \(\mathbb{Z}\)-module libre de rang \(r\) engendré par les \(\tilde{q} \in \widetilde{Q}\), avec \[ \sigma\tilde{q} = -\tilde{q}, \qquad (\tilde{q}, \tilde{q}) = -1, \qquad (\tilde{q}, \tilde{q}') = 0 \ \text{si } \tilde{q}' \neq \tilde{q}, \sigma\tilde{q} \ \ldots \] Les racines sont les différences mutuelles des \(\tilde{q} - \tilde{q}'\), avec \(\tilde{q}' \neq \tilde{q}\), \(\sigma\tilde{q} = -\tilde{q}\).

Supposons que \(Q = E(u)\), \(u\) sommet d'un complexe cubique \(C\), OPS \(C\) muni d'une base \((\xi_i)_{1 \leq i \leq 6}\) dans laquelle \(u = \xi'_6\), donc \[ E(u) = \begin{pmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 & \xi_4 & \xi_5 \\ \xi_{16} & \xi_{26} & \xi_{36} & \xi_{46} & \xi_{56} \end{pmatrix}, \] […] Soit \(E' \subset \frac{1}{2} E(C)\) engendré par les \(\varepsilon_i = \frac{1}{2}(\eta - 2\xi_i - \xi_{i6}) = \frac{1}{2}(\eta -\) \[ \varepsilon_i = \underbrace{\tfrac{1}{2}(\xi'_6 - \eta)}_{\theta_0} + \xi_i , \] alors les diff. mutuelles dans \(\hat{E}(C)\) des couples d'éléments non liés de \(E(u)\) sont les « OPS » : on peut supposer. Les lettres \(\xi_i\), \(\xi'_6\), \(\xi_{i6}\) et \(\eta\) sont lues d'après le contexte (base d'un complexe cubique à 27 sommets) ; le prime de \(\xi'_6\) et la lettre \(\eta\) sont peu nets

22en tête, entouré : « 18 ter » (sa pagination)

\(\pm \xi_i \pm \xi_j\) \((1 \leq i < j \leq 5)\), et l'on a un isom. canonique \(E(\Pi) \simeq E\). Il faut remarquer :

a) les \(x + \sigma x\) \((x \in E(u))\) sont tous égaux, soit \(\theta \in \hat{E}(C)\) [savoir \(\theta = \eta - \xi'_6\)] le dernier terme se lit « \(y - \xi_6\) » ou « \(\eta - \xi'_6\) »

b) L'hom. \(x \mapsto x - \frac{1}{2}\theta\) de \(E(u)\) dans \(\hat{E}(C)\) […] un iso de \(\mathbb{Z}^{E(u)}/N \simeq E(\Pi)\) […] \(\hat{E}(C)\), et les différences […] ⌜mutuelles⌝ qui ⌜dans \(E(\Pi)\)⌝ d'éléments non liés de \(E(u)\) sont transformées en les diff. mutuelles de ces éléments dans \(\hat{E}(C)\), lesquelles forment en un syst. de ⌜(40)⌝ racines de type \(D_5\) — […] sont aussi les ⌜40⌝ racines de \(E_6(C) \simeq E(C)\) orthogonales à \(u\). « (40) » et « 40 » sont ajoutés au-dessus de la ligne ; dans « \(E(\Pi)\) » de la ligne b), la lettre entre parenthèses est surchargée

23en tête, entouré : « 18 » (sa pagination)

À vérifier : Les racines orthogonales à un \(u \in C\) (au nb de 40) forment un syst. de racines de type \(D_5\).

NB La donnée de \((C, u, b)\) avec \(u \in C\), \(b\) base « orthogonale » à \(u\), équivaut à la donnée d'un \(I\) de cardinal 6 (savoir \(b\)) et d'une partie ⌜de \(I\)⌝ \(I_2\) de cardinal 2 et d'une autre \(I_4\) de cardinal 4. Le groupe d'automorphismes de \((C, u, \lbrace b, b' \rbrace)\), il \(\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_4\) […] nb \(27 \times 40\) — « — bien au-dessus de la phrase barrée, « Groupe d'automorphismes », barré avec elle

\[ \operatorname{card} W = (27 \cdot 40) \times (2 \cdot 4!) = 27 \cdot 3^{3} \cdot 5 \] ainsi sur la page ; le produit \((27 \cdot 40) \times (2 \cdot 4!)\) vaut \(51840 = 2^{7} \cdot 3^{4} \cdot 5\), l'ordre du groupe de Weyl de \(E_6\). Le premier facteur du membre de droite se lit aussi \(2^{7}\)

Pour un syst. \((C, u, \lbrace b, b' \rbrace)\), \(\lbrace b, b' \rbrace\) […] ⌜orth.⌝ à \(u\), il correspond : \((I_2, I_4, J)\) \(J\) une ens. de card. 2, \(\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_4 \times \mathfrak{S}_2\), il y en a \(27 \cdot \frac{40}{2}\) …

Autom.

Complexes cubiques : arête marquée (ou : triangle marqué avec sommet distingué)

dans la marge gauche, un triangle aux sommets \(u\) (point épais), \(v\) et \(w\)

La description de cette structure […] […] de la description précédente en termes de \(\lbrace P_u, P \text{ torseur sous } \Psi_Q \rbrace\) […] […] de plus un élément fixé ⌜\(t\)⌝ de \(Q_u\), de sorte que la donnée de \(Q_u\) ⌜de cardinal 5⌝ revient à celle de \(Q_u - \lbrace t \rbrace = P_u\) de cardinal 4. Alors \[ \Psi(Q_u) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{F}_2^{P_u} \qquad (\subset \mathbb{F}_2^{Q_u},\ \text{pr.}), \] sous la flèche, un petit « \(\subset \mathbb{F}_2^{Q_u}\) » relié à « pr. » par une flèche montant vers \(\mathbb{F}_2^{P_u}\) : l'inclusion et la projection donc la donnée des torseurs \(P\) sous \(\Psi(Q_u)\) équivaut à celle d'un torseur \(P\) sous \(\mathbb{F}_2^{P_u}\) — i.e. ⌜\((P_u, P)\) équivaut à⌝ un ens. ⌜\(\widetilde{P}_u\)⌝ de cardinal 8 avec \(\sigma\) automorphisme involutif sans pt fixe.

Alors […] ⌜Conventions⌝ \(\varepsilon : \mathbb{F}_2^{P_u} \to \mathbb{F}_2\), alors \[ C \simeq \lbrace u \rbrace \amalg \overbrace{\bigl(P \times_{\mathbb{F}_2^{P_u}} (\mathbb{F}_2, \varepsilon)\bigr)}^{\lbrace v, w \rbrace} \amalg \overbrace{\Bigl(\coprod_{i \in P_u} \bigl(P \times_{\mathbb{F}_2^{P_u}} (\mathbb{F}_2, p_i)\bigr)\Bigr)}^{\widetilde{P}_u} \amalg \overbrace{P}^{E} \] les accolades supérieures portent, de gauche à droite, « \(\lbrace v, w \rbrace\) », « \(\widetilde{P}_u\) » et une lettre lue \(E\) ; le décompte \(1 + 2 + 8 + 16 = 27\) est implicite

24en tête, entouré : « 19 » (sa pagination)

a) \(u, v, w\) liés deux à deux

b) \(u\) lié aux éléments de \(\widetilde{P}_u\), \(v\) et \(w\) non liés à ces éléments.

c) \(u\) non lié aux él. de […] \(P\). Si \(v \in P \times_{\mathbb{F}_2^{P_u}} (\mathbb{F}_2, \varepsilon)\), il est lié à \(x \in P\) ssi il est dans l'image de \(x\) par \(P \to P \times_{\mathbb{F}_2^{P_u}} (\mathbb{F}_2, \varepsilon)\).

d) Deux éléments de \(\widetilde{P}_u\) liés ssi ils sont […] par \(\sigma\), i.e. […] […] sont […] dans un même \(P \times_{\mathbb{F}_2^{P_u}} (\mathbb{F}_2, p_i)\) \((i \in P_u)\) et sont distincts (i.e. sont distincts […] \(\widetilde{P}_u - P_u\))

e) Deux Un él. \(a\) de \(\widetilde{P}_u\) lié à un él. \(x\) de \(P\) ssi, si \(a \in P \times_{\mathbb{F}_2^{P_u}} (\mathbb{F}_2, p_i)\), \(a\) est dans l'image de \(x\).

f) \(x\) et \(y \in P\) sont liés ssi, posant \(x - y = u\), […] \(e'_1, e_2, \ldots\) \(e'_i\) \((i \in P_u)\) […] est de la forme \[ e'_i = \sum_{j \in P_u - \lbrace i \rbrace} e_j \quad \text{ou} \quad e'_0 = \sum_{i \in I} e_i \] un signe \(\Sigma\) biffé précède chacune des deux formules

Corollaire le passage qui suit est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche Le groupe des autom. de \((C, \lbrace u, w \rbrace)\) ⌜\(W_{\lbrace u, w \rbrace} = \alpha\)⌝ (où \(\lbrace u, w \rbrace\) est une arête marquée) est isom. au groupe des couples \((\rho, \varphi)\), où \(\rho\) ⌜\(\in \mathfrak{S}_{P_u}\)⌝ est un autom. du groupe de \(P_u\), et \(\varphi\) un \(\bar{\rho}\)-autom. ⌜(affine)⌝ de \(P\). Donc on a une suite exacte (splittée) \[ 1 \longrightarrow \bigl(\mathbb{F}_2^{P_u}\bigr)^{F} \longrightarrow W_{\alpha} \longrightarrow \mathfrak{S}_{P_u} \longrightarrow 1 \] l'exposant de \((\mathbb{F}_2^{P_u})\) est une lettre repassée, lue \(F\) et \(W_{\alpha}\) est isom. au groupe de Weyl \(W_{B_4}\) de \(B_4\) \((\simeq SO(9))\).

Ce système de racines \(B_4\) a 32 racines ⌜(mais pas toutes de \(=\) longueur !)⌝ qu'on aimerait retrouver plongé dans \(E_6\). Je […] […], par […] les longueurs […] […] la situation,

25en tête : « 20 » (sa pagination)

en épinglant le triangle \(u, v, w\) i.e. l'arête \((v, w)\), ⌜non⌝ par choix d'une « origine » \(u\), i.e. […] d'une ⌜\(\vec{\alpha}\)⌝ plutôt que d'une arête \(\alpha\). Alors, Car le graphe associé (comme \(\lbrace v, w \rbrace = P \times_{\mathbb{F}_2^{P_u}} (\mathbb{F}_2, \varepsilon)\)) qu'on restreint le groupe structural de \(\mathbb{F}_2^{P_u}\) : \(\Psi_{P_u} = \operatorname{Ker}(\mathbb{F}_2^{P_u} \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{F}_2)\). Cela […] […] l'extension splittée \[ 1 \longrightarrow \Psi_{P_u} \longrightarrow W_{\vec{\alpha}} \overset{= W_t}{\longrightarrow} \mathfrak{S}_{P_u} \longrightarrow 1 \] au-dessus de la flèche centrale, « \(= W_t\) », relié par un trait courbe à la remarque « autom. de \(C\) qui induisent l'identité sur \(t = \lbrace u, v, w \rbrace\) » ; ce trait se poursuit jusqu'au \(W_{\vec{\alpha}}\) de la ligne suivante dans \[ W_{\vec{\alpha}} \simeq W_{D_4} \] groupe de Weyl de \(D_4\) \((\simeq SO(8))\). Ce syst. de racines (étant de \(=\) longueur) : \[ \frac{8 \cdot 7}{2} - 4 = 24 \ \text{racines}. \] On retrouve \(W_t\) […] une description plus symétrique (en \(u, v, w\)) plus bas, ainsi qu'une description […] du syst. de 24 racines de type \(D_4\) associé : un triangle …

Complexes cubiques avec […] marqué ou à […] ⌜triangles⌝ incidents marqués en regard de cette note, dans la marge droite, deux croquis : un graphe en Y, centre \(u\), branches vers \(v\), \(w\) (en haut) et \(a\) (en bas) ; puis deux triangles opposés par le sommet \(u\) (point épais), \(v, w\) en haut, \(a, b\) en bas

sous « un triangle … », un grand griffonnage en zigzag, qui sert de trait de séparation

Complexes cubiques : triangle marqué, \(t = \lbrace u, v, w \rbrace\).

Équivaut : la donnée

a) d'un […] ens. \(t\) de cardinal 3

b) d'un vectoriel \(V\) de dim 2 sur \(\mathbb{F}_2\)la lettre ressemble à un \(N\) ; la page 26 écrit \(V\) (\(\Longleftrightarrow\) un ens. de cardinal 3 savoir \(V^{*}\))

c) Un torseur \(\widetilde{P}\) sous l'extension canonique

26en tête, entouré : « 21 » (sa pagination)

\(\widetilde{\Psi}(V, t)\) de \(\Psi(V, t) = \operatorname{Ker}\bigl(V^{t} \xrightarrow{\varepsilon} V\bigr)\), \((x_i)_{i \in t} \mapsto \sum x_i\) à droite de la ligne, isolé : « \(\Gamma \to \mathbb{F}_2\) », lecture incertaine

[…] extension ⌜(précisions)⌝ (splitting) dans les \(N_i = \operatorname{Ker}\bigl(\Psi(V, t) \xrightarrow{p_i} V\bigr)\) \((i \in t)\) […] […] sous-groupes \(\widetilde{N}'_i \subset \widetilde{\Psi}(V, t)\). Rappelons que \[ \widetilde{\Psi}(V, t) = \bigwedge_{i \in t} p_i^{*}(\widetilde{V}), \] où \(\widetilde{V}\) est l'ext. de \(V\) par \(\mathbb{F}_2\) qui ne splitte sur aucun sous-groupe \(\simeq \mathbb{F}_2\) de \(V\). On a alors, pour \(i \in t\), \[ \widetilde{P}_i = \widetilde{P} / N'_i \] […] « \(P_i = \widetilde{P} / \widetilde{N}_i\) (où \(\widetilde{N}_i\) = image inverse de \(N_i\) dans \(\widetilde{\Psi}\) \(= N_i \cdot \lbrace 1, \sigma \rbrace\), \(\sigma \neq 1\) dans […] \(\widetilde{\Psi} \to \Psi\)) à gauche de la seconde formule, un mot abrégé suivi de guillemets de répétition ; au-dessous, un mot surchargé et illisible \[ C \simeq t \amalg \Bigl(\coprod_{i \in t} \widetilde{P}_i\Bigr) \] La loi du graphe est définie ainsi :

a) les \(i \in t\) sont deux à deux liés

b) \(i\) est lié aux él. de \(\widetilde{P}_i\), et non à ceux de \(\widetilde{P}_j\) si \(j \neq i\)

c) Si \(x \in \widetilde{P}_i\), \(\tilde{x}, \tilde{y} \in \widetilde{P}_i\), \(x\) et \(y\) sont liés ssi \(y = \sigma x\)

d) Si \(\tilde{x} \in \widetilde{P}_i\), \(\tilde{y} \in \widetilde{P}_j\), \(i \neq j\), alors \(x\) et \(y\) sont liés ssi \(\exists\, \tilde{\gamma} \in \widetilde{P}\) tel que \(p_i(\tilde{\gamma}) = \tilde{x}\), \(p_j(\tilde{\gamma}) = \tilde{y}\).

Cor ce corollaire est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche Le groupe des autom. de \((C, t)\) est isom. au groupe des couples ⌜triples⌝ \((\tau, \rho, \varphi)\) d'une permutation \(\tau\) de \(t\), d'un autom. \(\rho\) de \(V\), et d'un […] \(\lambda_{\tau, \rho}\)-autom. de \(\widetilde{P}\), où \(\lambda_{\tau, \rho}\) est l'autom. de \(\Psi\) \(\widetilde{\Psi}(V, t)\) induit par \((\varphi, \tau)\) \((\tau, \rho)\). Donc \[ 1 \longrightarrow \widetilde{\Gamma} \longrightarrow W_t \longrightarrow \underbrace{\mathfrak{S}_t \times \mathfrak{S}_{V^{*}}}_{\simeq\, \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3} \longrightarrow 1 \] la lettre après « \(1 \to\) » se lit \(\widetilde{\Gamma}\) ou \(\widetilde{P}\) ; « \(\simeq \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3\) » est écrit au-dessus de \(\mathfrak{S}_t \times \mathfrak{S}_{V^{*}}\)

NB \(\widetilde{P}\) […] […] […] triangles […] de \(t\), disjoints […] […] \((C, t, t')\) […] […] Cor. […] […] \(t\)) triangles disjoints […] \(t\) ; […] équivaut […] […] \((t, V)\) (\(t\) ens. de card. 3, \(V\) vectoriel de dim. 2 sur \(\mathbb{F}_2\)) note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard de d) et du corollaire ; lecture très partielle

27en tête, entouré : « 22 » (sa pagination)

(extension splittée) Sauf erreur, ce groupe est le groupe de Weyl complété (par automorphismes ext.) de \(D_4\) (le groupe des automorphismes ext. de \(D_4\) correspondant à \(\mathfrak{S}_t\)).

Donc cat. des syst. de racines de type \(D_4\) \(\approx\) cat. des complexes cubiques munis d'un triangle. cette phrase, d'une encre plus foncée, est ajoutée entre les lignes ; le signe \(\approx\) est souligné deux fois

Précisons comment on […] […] un syst. de 24 racines (de type \(D_4\)) à un triangle \(t\) dans \(C\). […] […] que à la structure \((C, t = \lbrace u, v, w \rbrace)\) … associé, […] […] ⌜un syst. transitif d'isom.⌝ […] \(\lbrace t, t' \rbrace\), \(B(i)\) \((i \in t)\), où \(B(i) \subset \mathfrak{P}_2(\widetilde{P}_i)\) : toutes les […] paires \((\tilde{x}, \tilde{y})\) d'éléments non liés ; \(\lbrace x, y \rbrace \in B(i)\) et \(\lbrace x', y' \rbrace \in B(j)\) \((i \neq j)\) sont associés ssi […] \(x, y\) non liés à \(x', y'\). Si \(B\) Si on désigne par \(B\) l'un des « composantes » des \(B(i)\), i.e. l'un des parties ⌜\(b\)⌝ : \(b\) élément de \(C\) mutuellement non liés (i.e. des bases) telles que \(b \cap E(i)\) ⌜\(\cong \widetilde{P}_i\)⌝ soit une des conditions 2 pour tt \(i \in t\), on voit que ⌜\(\forall i \in t\)⌝ \[ B \simeq B(i) \quad \text{par } b \mapsto b \cap E(i), \] le signe \(\simeq\) est surmonté d'un trait ; au-dessus de \(E(i)\), un astérisque, et sous lui « \(\cong \widetilde{P}_i\) » et \[ \operatorname{card} B = \operatorname{card} B(i) = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24 . \] (La ⌜Précisons⌝ condition équivaut à celle … que \(b \cap E(i)\) sont de cardinal 2 \(\forall i \in t\), [[…] […] […] ⌜[…]⌝ implique que \(b \cap t = \emptyset\) […] […] (\(b \cap t\), \(= t\), […] […]) car […] \(u \in t \cap b\), on aurait card \(E(u) \cap b = \emptyset\) ] la parenthèse est fermée par un grand crochet dans la marge droite

[…] : […] \(b\) orthogonale : […] \(i \in t\) […] […] ([…] \(t\)).

NB […] \(\varepsilon_i = \) […] \(\sigma\) […] : \(t\) […] \(i \in t\) […] : […] […] […] […] […] \(i \notin\) […] i.e. note écrite en oblique dans la marge gauche, en regard des dernières lignes ; presque entièrement illisible

28en tête, entouré : « 23 » (sa pagination)

Donc il faudrait vérifier que l'ens. des 24 racines orthogonales à un triangle donné \(t\) forment un syst. de racines de type \(D_4\) …

choisissant un sommet \(u \in t\), on prend \(E(t) \subset \frac{1}{2} E(C)\) engendré par les \(x - \frac{1}{2}\theta\) pour \(x \in E(u)^{*}\), et le syst. de racines engendré par les diff. \(\alpha - \beta\), où \(\alpha, \beta \in E(u)^{*}\) sont distincts non liés … ajout encadré d'un trait vertical, en petite écriture, à droite de la ligne précédente

\(D_4\) = « carrousel » dans la marge gauche, sous « \(D_4\) = « carrousel » » : un triangle \(u, v, w\) ; de \(w\) partent deux traits vers le bas, marqués \(\lambda_w, \mu_w\) ; de \(u\) deux traits vers \(\lambda_u, \mu_u\), de \(v\) deux traits vers \(\lambda_v, \mu_v\)

Le syst. formé d'un \((C, t, b)\), \(t\) triangle du complexe cubique, \(b\) base orth. à \(t\), équivaut à celle de \(C\) muni d'une base \(b\), avec partition de \(b\) en une ens. de 3 classes de 2 éléments, ⌜soit⌝ \(c_1, c_2, c_3\) \((\xi_1, \xi_2)\), \((\xi_3, \xi_4)\), \((\xi_5, \xi_6)\), le triangle correspondant étant \(\xi_{12}, \xi_{34}, \xi_{56}\). Pour \(b\) fixé, il y a \[ \binom{6}{2}\binom{4}{2}\frac{1}{3!} = 15 \] telles partitions, donc pour \(C\) fixé il y a \(72 \cdot 15\) \((= 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5)\) tels couples \((t, b)\) […] […] ([…] […] […] […] […]), avec un groupe de stabilité qui est une extension de \(\mathfrak{S}_3\) par \(\mathfrak{S}_2^{3}\) (en fait, groupe de Weyl de \(B_3 \simeq SO(7)\)) qui est d'ordre \(3! \, 2^{3} = 48 = 2^{4} \cdot 3\) — on retrouve bien \[ \operatorname{card} W = (2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 5)(2^{4} \cdot 3) = 2^{7} \cdot 3^{4} \cdot 5 . \] (on a aussi \(45 \times 24\) : nb de \(t\), nb de \(b\) pour \(t\) fixé)

La cat. des \((C, t, b)\) équivaut à celle des ens. de cardinal 6 munis d'une partition de type \((2, 2, 2)\), i.e. munis d'un automorphisme involutif d'ordre 2 sans pt fixe. Si […] a une […] ⌜\(\lbrace b, b' \rbrace\)⌝

29en tête, entouré : « 24 bis » (sa pagination)

Position relative d'un triangle \(t\) et d'une base \(b\).

On a \(\sum_{i \in t} i = \lambda\) orthogonal aux racines, donc \[ \sum_{i \in t} i \cdot r_b = 0 \] et comme \(i \cdot r_b \in \lbrace 0, 1, -1 \rbrace\) suivant la position relative de \(r_b\) et \(i\) i.e. ⌜de⌝ \(b\) et \(i\), on trouve 2 possibilités (à conjugaison près)

a) \(i \cdot r_b = 0\) \(\forall i \in t\), i.e. \(E\) \(r_b\) (ou \(b\)) orthogonal à \(t\) : cas déjà étudié. L'ens. de ces \(b\) est au nb de 24, stable par passage à l'opposé

b) \(\exists\) \(r_b\) non orthogonal à \(t\). Alors on peut écrire \(t = \lbrace u, v, w \rbrace\) avec \[ \begin{cases} r_b(u) = 1 & \text{i.e. } u \in b \text{ i.e. } E(u) \cap b = \emptyset \\ r_b(v) = -1 & \text{i.e. } v \in b' \text{ i.e. } E(v) \cap b \text{ de card. } 5 \\ r_b(w) = 0 & \text{i.e. } w \notin b \cup b' \text{ i.e. } E(w) \cap b \text{ card } 2 \end{cases} \] dans la deuxième ligne, \(v\) est écrit sur un \(u\) ; on lit aussi « \(r_b(w) = -1\) » avant surcharge

[…] les bases […] […] […] […] […] […] orth. […] […] […] […] note oblique dans la marge gauche, en regard de a) et b) ; illisible pour l'essentiel

Pour \(t\) fixé, le nb de ces \(b\) est \(72 - 24 = 48\), se groupant en 6 groupes de 8 bases \(b\), pour lesquels \(u, v, w\) sont fixés. Comment décrire ⌜commodément⌝ ces 8 bases ? On note que \(E(w)\) avec \(b\) et \(b'\) […] de card. 2 il contient exactement un pt \(u' \in b'\) et un \(v' \in b\), et ces deux sont liés. Donc les […] choix s'obtiennent en choisissant 1°) le triangle \((w, u', v')\) parmi les quatre triangles \(\neq (w, v, u)\) ayant \(w\) comme sommet 2°) un des deux sommets de ⌜\(E(w)^{*}\)⌝ 5 distincts de \(u\) comme … étant \(u'\), La base \(b\) est l'unique base de \(C\) pour laquelle \(u \in b\), \(u' \in b'\), « 6 » est ajouté dans la marge droite, au bout de la ligne barrée

Le choix d'un couple \((t, b)\) […] en position non orthogonale équivaut donc à celui d'un triangle épinglé \(\lbrace u, v, w \rbrace\) et d'un \(u' \in E(w)^{*}\) (Nb : \(27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8\)) ce dernier paragraphe est marqué d'un double trait vertical dans la marge droite

30en tête, entouré : « 24 ter » (sa pagination)

le groupe d'autom. de \((C, t, b)\) est le sous-groupe de \(W_{D_4}\) formé des autom. de \((E(w)^{*}, \sigma, -)\) qui invariant \(u' \in E(w)^{*}\), c'est donc aussi le groupe \(W_{D_3}\) des autom. de \(\bigl(E(w)^{*} - \lbrace u', \sigma u' \rbrace, \sigma\bigr)\) qui correspondent à un nb pair de changts de signes. Quel est le syst. de racines de type \(D_3\) associé (formé de 12 racines) ? On trouve […] […] le syst. des racines de la forme \(\alpha - \beta\), où \(\alpha, \beta \in E(w)^{*} - \lbrace u', \sigma u' \rbrace\) … […] ⌜[…] […] […] une base – il en découle que […] l'ens. \(\lbrace s, t \rbrace\) des⌝ La donnée des \((t, b)\) équivaut aussi à celle d'une base \(b\) avec deux éléments fixés \(\xi_1\) et \(\xi_2\) (le triangle \(t\) étant alors \((\xi_1, \xi'_2, \xi_{12})\), avec \(\xi_1 = u\), \(\xi'_2 = v\)) – le groupe des autom. de \((C, t, b)\) est donc aussi \(\mathfrak{S}_4 \simeq W_{A_3}\) – on est dans le cas de l'« isom. exceptionnel » \(D_3 \simeq A_3\). Le nb de ces syst. \(t, b\) est \[ 72 \cdot 6 \cdot 5 = 2160 = 27 \cdot 10 \cdot 8 \ \text{---} \] les deux lignes « racines de la forme \(\alpha - \beta\) … » et « une base … des » sont serrées l'une sur l'autre ; la seconde est une insertion. Sous \(\xi_1\) et \(\xi'_2\), des signes \(=\) verticaux mènent à \(u\) et \(v\)

deux triangles \(s, t\) tels que \(s \cap t \neq \emptyset\), \(s \neq t\) (donc card \(s \cap t = 1\)) […] […] aussi les racines orth. à \(\lbrace u, v, w, u', v' \rbrace\) \(= s \cup t\) i.e. orth. à \(s\) et à \(t\) note oblique dans la marge gauche, reliée par une accolade et une flèche aux lignes « racines de la forme … » et « La donnée des \((t, b)\) »

31en tête, entouré : « 24 » (sa pagination) ; la page semble poursuivre la page 30

au lieu d'une base, il faut en plus se donner un ens. de cardinal 2 (donc le groupe des autom. est multiplié par \(\mathfrak{S}_2\), le nb d'objets est divisé par 2 …).

un trait horizontal court sépare ce qui précède de ce qui suit

étudions position relative d'une racine et d'un triangle note entourée dans la marge gauche, en regard du paragraphe suivant

Étudions les triples \((t, t', b)\), où \((t, t')\) sont deux triangles disjoints et \(b\) une base orthogonale à \(t\) et \(t'\) – ils correspondent à un ens. \(I\) de card 6, avec 2 partitions ⌜\(\Pi, \Pi'\)⌝ de type \((2, 2, 2)\), sans classe commune. On démontre que ceci correspond à une structure hexagonale sur \(I\) ⌜à côtés-triangles marqués⌝ – avec comme partitions celles marquées aux traits ⌜\((\Pi = \Pi)\)⌝ — et ⌜\((\Pi' = \Pi')\)⌝ […] […] par […] […] […] \(\lbrace t, t' \rbrace\) au lieu de \((t, t')\), on […] […] à choisir des côtés-triangles dans l'hexagone. On trouve que, si \(t''\) est le triangle qui complète \(\lbrace t, t' \rbrace\) en un bitriangle \(\lbrace t, t', t'' \rbrace\), alors \(b\) est aussi orth. à \(t''\) – en fait … la situation d'une base orthogonale à un bitriangle cf. plus bas. Pour \(b\) fixé, le syst. des \((t, t', t'')\) correspondants est de cardinal \(120 = 5!\) (60 pour \(\lbrace t, t' \rbrace\) \(= \frac{5!}{2}\) = nb de structures hexagonales sur \(I\) de card. 6) ce qui fait en tout \(120 \cdot 72 =\) \[ 72 \cdot 5! = \operatorname{card} W / 6 \quad \text{tels triples} \] sous le « 6 » de \(\operatorname{card} W / 6\), une flèche vers la marge gauche, où on lit « \(6 = \operatorname{card} \mathfrak{S}_t\) » ; les lignes depuis « Pour \(b\) fixé » sont fermées par un crochet dans la marge droite

Ou aussi en nb \[ 45 \cdot 32 \cdot 6 \] sous les facteurs, des flèches et, en petit : « triangles », « triangles disjoints » (lecture incertaine) sous \(45\) et \(32\) ; à droite de \(6\), une flèche vers « nb des racines (ou bases) orth. à \(t, t'\) »

à gauche du texte, un hexagone de sommets numérotés 1 à 6 (2 et 1 en haut, 3 à gauche, 6 à droite, 4 et 5 en bas), avec toutes ses diagonales ; les côtés 12, 34, 56 sont épaissis à l'encre, les côtés 23, 45, 61 soulignés d'un trait ondulé

pour […] […] hexagone, […] dual […] […] […] […] côtés sont […] él. de \(I\) … note oblique dans la marge gauche, sous l'hexagone

32en tête, entouré : « 25 » (sa pagination)

Complexes cubiques : balise marquée ⌜ou triangles incidents⌝ bitriangle […] ou à pâte dans le titre, deux petits signes : un triangle posé sur une pointe prolongée d'un trait vertical (une « balise »), marqué \(D_4\) ; et deux triangles opposés par un sommet (un sablier), suivi de « marquée »

avant « Pour », la balise : un triangle, sommet inférieur \(u\) d'où descend un trait, sommets supérieurs \(v\) et \(w\) Pour une balise, on a une arête marquée \(\lbrace v, w \rbrace\), i.e. triangle \(\lbrace u, v, w \rbrace\) à sommet marqué, correspondant à un torseur sous \(\mathbb{F}_2^{P_u}\). Il faut de plus se donner un él. de \(\widetilde{P}_u\), i.e. un élément de \(P_u\) et une trivialisation du \(\mathbb{F}_2\)-torseur au-dessus – il reste donc un ens. à 3 éléments \(R_u = P_u -\) (l'un des 3 triangles de sommet \(u\) distincts de \(\lbrace u, v, w \rbrace = t\) et \(\lbrace u, x, y \rbrace = s\)) et un rev. d'ordre 2 de ce dernier, i.e. un torseur sous \(\mathbb{F}_2^{R_u}\). La catégorie des triples \((C, \text{balise})\) est donc discrète, les autom. d'un objet sont un groupe isom. à \(\widehat{W}_{D_3}\) groupe de Weyl élargi (\(=\) tous les autom.) d'un syst. de racines de type \(D_3\), ⌜il est de cardinal \(3! \, 2^{3} = 48\)⌝ (L'ens. \(\lbrace v, w \rbrace\) se récupère comme le produit ⌜des bases⌝ des 3 ⌜\(\mathbb{F}_2\)-⌝torseurs indexés par \(R_u\) …). « il est de cardinal \(3! \, 2^{3} = 48\) » est ajouté au-dessus de la ligne

dans la marge gauche, un croquis : le triangle \(u, v, w\), un trait vertical descendant de \(u\) vers \(x\), et un trait pointillé de \(u\) vers \(y\)

Les racines en question sont les \(\alpha - \beta\), où \(\alpha, \beta \in\) \(E\) \(E(u)^{*} - \lbrace x, y \rbrace\) sont distincts et non liés.

Le nb des balises dans \(C\) est \[ \underbrace{45}_{\text{triangles}} \cdot \underbrace{3}_{\text{sommets de } t} \cdot \underbrace{8}_{\in E(u)^{*}} = \operatorname{card} W_{E_6} : 48 \quad \text{OK.} \] […] […] balises les accolades sous les facteurs sont les siennes, avec leurs légendes

balise épinglée […] […] groupe d'autom. de \((C, \text{bal. ép.})\) […] \(W_{D_3}\) qui est le […] […] \(W_{D_3}\)) note oblique dans la marge gauche, en regard de « groupe de Weyl élargi »

33en tête, entouré : « 26 » (sa pagination)

Pour les ⌜paires de⌝ bitriangles un sablier : deux triangles opposés par un sommet, quitte à noter que cette paire « épinglée » (ce qui élimine le groupe d'autom. des diagrammes, qui est \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\)) équivaut à la balise épinglée (en éliminant le groupe d'autom. \(\mathfrak{S}_2\) de la balise). équivaut : […] donc ⌜Du pt de vue […]⌝ épinglé : sommet fixé \(u\), avec un ens. des 2 triangles de sommet \(u\), donc

a) un \(Q_u\) de cardinal 5, décomposé en \(Q'_u\) (de cardinal 2) et \(Q''_u\) (de cardinal 3)

b) torseur sous \(\Psi(Q_u, \mathbb{F}_2) = \operatorname{Ker}\bigl(\mathbb{F}_2^{Q'_u \amalg Q''_u} \to \mathbb{F}_2\bigr)\)

Nb de telles paires \[ \underbrace{27}_{\text{sommets}} \cdot \underbrace{\binom{5}{2}}_{\text{partie à 2 él. dans } Q_u} = 270 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 5 \]

Groupe d'autom. de \((C, \text{sablier})\) : \[ \simeq (\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3) \cdot \underbrace{\Psi(\mathbb{F}_2)}_{\simeq\, \mathbb{F}_2^{4}} \quad \text{de cardinal } 2 \cdot 6 \cdot 16 = 2^{6} \cdot 3 \] on trouve bien comme produit \[ 2^{7} \cdot 3^{4} \cdot 5 = \operatorname{card} W_{E_6} \ \ldots \] une flèche relie \(270 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 5\) au cardinal \(2^{6} \cdot 3\) ; « (C, sablier) » : il dessine le sablier dans la parenthèse. Le reste de la page est vierge

34en tête, entouré : « 27 » (sa pagination). Les deux alinéas qui suivent sont précédés chacun d'un petit signe entouré, peu lisible

Cas du prisme triangulaire \(D\) à droite du titre, un petit prisme vu de face : un triangle posé sur un rectangle, marqué \(D\) ; au-dessous, un rectangle au côté supérieur épaissi, marqué \(C\) La donnée de ce diagramme dans \(C\) équivaut à celle d'un carré avec un côté marqué – on l'étudiera plutôt avec le carré.

Complexes cubiques avec prisme triangulaire : ⌜bitriangle⌝ ⌜\(D_6\)⌝ ⌜\(D_7\)⌝ Il donne naissance, par passage aux triangles sur les arêtes latérales, à un bitriangle à paire de triangles ⌜disjoints⌝ distinguée \(\lbrace\lbrace u, v, w \rbrace, \lbrace u', v', w' \rbrace\rbrace\) (épinglage partiel). le titre porte « prisme triangulaire » barré et « \(D_6\) » au-dessus ; « bitriangle » et « \(D_7\) » sont ajoutés sous la ligne

dans la marge gauche, deux croquis. En haut, un prisme triangulaire : base \(u, v\) (et un troisième sommet \(w\) caché), face supérieure \(u', v', w'\), une diagonale sur la face avant. En dessous, un prisme plus grand, sommets \(u, v\) en bas, \(u', v', w'\) au milieu, \(u'', v'', w''\) en haut, certaines arêtes et diagonales repassées à l'encre plus foncée

Étudions d'abord les bitriangles, au nb de 120 (cf. p. 10) ; le groupe des autom. d'un diagramme \(\Delta\) \((\simeq D_7)\), est « cf. p. 10 » renvoie à sa propre pagination

La donnée d'un diagramme de type \(D_7\) \(\mathfrak{S}_2\)⌜\((\Delta)\)⌝ équivaut à celle d'un ens. ⌜\(\Delta_0\)⌝ de cardinal 9, muni de ⌜d'un ens. \(\lbrace \Pi, \Pi' \rbrace\) de⌝ deux partitions de type \((3, 3, 3)\), de telle façon que les applications \[ \Delta_0 \longrightarrow (\Delta_0 / \Pi \times \Delta_0 / \Pi') \] soit bijective, ou encore d'un ens. ⌜\(T\)⌝ de cardinal 6 (l'un des 6 triangles de \(\Delta\)) et d'une partition de \(T\) de type \((3, 3)\), i.e. d'une application \(T \to I\) de degré 3, – […] card \(I = 2\). (Car alors \(\Delta_0 = \prod_{i \in I} T_i \ldots\)) Le groupe des autom.

35en tête, entouré : « 28 » (sa pagination)

de \(\Delta\) est s'identifie au groupe des autom. de \((T \to I)\), une fois choisi un isom. entre les deux fibres de \(T \to I\), il s'identifie au produit semi-direct \[ \underset{\simeq\, \mathfrak{S}_2}{\mathfrak{S}_2} \cdot \prod_{i \in I} \mathfrak{S}_{T_i} \] de cardinal 72 (égal au nb de racines …).

Si on a un plongement \(\Delta_0 \xrightarrow{\ i\ } C\), le groupe des […] autom. de \((C, i(\Delta) = \Delta)\) induisant l'identité sur \(\Delta\), le noyau étant d'ordre 6, isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\). On va associer, à \(i(\Delta)\) un ens. \(V^{*}\), triple, […], qui sera canoniquement isom., pour \(u \in i(\Delta)\), à […] l'ens. ⌜\(V^{*}(u)\)⌝ des trois triangles de \(C\) de sommet \(u\), distincts des 2 triangles \(\in \Delta\). Il faut donc établir […] \(\exists\) syst. transitif d'isom. entre les \(V^{*}(u)\) \((u \in \Delta)\) tels que si \(x \in C - \Delta\), et si \(x\) est lié à \(u, v \in \Delta\), alors les triangles \(\operatorname{tr}(u, x) \in V^{*}(u)\) et \(\operatorname{tr}(v, x) \in V^{*}(v)\) se correspondent. ce dernier énoncé, de « \(V^{*}(u)\) » à « se correspondent », est marqué d'un trait vertical à gauche ; le mot souligné avant \(\exists\) est illisible

Utilisons l'épinglage des p. 8 et 9 sa pagination

On trouve que \[ \operatorname{Aut}(C, \Delta) \longrightarrow \underset{\mathfrak{S}_2 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)}{\underset{\simeq}{\operatorname{Aut}(\Delta)}} \times \underset{\mathfrak{S}_3}{\underset{\simeq}{\operatorname{Aut}(V^{*})}} \] soit un isom. Il faut donc expliciter […] … réciproquement […] la situation \((C, \Delta)\) ces deux dernières lignes sont marquées d'un double trait vertical dans la marge gauche

36en tête, entouré : « 29 » (sa pagination)

via le diagramme \(\Delta\) et le seul ens. \(V^{*}\) de cardinal 3.

Lemme 2 a) \(\forall x \in C - \Delta\), soit \(\Delta(x) = \Delta \cap E(x)\). Alors [card \(\Delta(x) = 3\), et] les deux applications \[ \prod_{j \in I} T_j \simeq \Delta \longrightarrow T_i \quad (i \in I) \] définissent des bijections \(\Delta(x) \simeq T_i\) i.e. \(\Delta_x\) est le graphe d'une bijection \(T_i \simeq T_{i'}\) (si \(i \neq i'\) \(I = \lbrace i, i' \rbrace\)). b) Soit […] \(\mathbb{F}'\) l'ens. des parties ⌜\(\Delta'\)⌝ de \(\Delta\) […] ayant les propriétés précédentes [i.e. de cardinal 3 et formées de \(2\) à \(2\) ⌜non⌝ liés …], et considérons les applications canoniques \((C - \Delta) \to \mathbb{F}'\) et \((C - \Delta) \to V^{*}\), d'où \[ (C - \Delta) \longrightarrow \mathbb{F}' \times V^{*} . \] Cette application est bijective. ici et plus bas, la lettre notée \(\mathbb{F}'\) est un F à double barre ; le texte l'introduit comme l'ensemble des parties \(\Delta'\)

Il faut expliciter la relation de ⌜liaison⌝ […] dans \[ C \simeq \Delta \amalg (\mathbb{F}' \times V^{*}) . \] On connaît déjà la relation de liaison pour deux ⌜\(x, y\) si \(x, y\)⌝ […] sont dans \(\Delta\), ou si \(x \in \Delta\), \(y = (\Delta(y), v(y)) \in \mathbb{F}' \times V^{*}\) [c'est la relation \(x \in \Delta(y)\)]. Il reste à l'expliciter si \(x, y \in \mathbb{F}' \times V^{*}\), \(x = (\Delta(x), v(x))\), \(y = (\Delta(y), v(y))\). On trouve que \(x, y\) ⌜distincts⌝ sont liés ssi \[ \begin{cases} \text{ou bien} & \Delta(x) \cap \Delta(y) \neq \emptyset,\ v(x) = v(y) \quad (\text{donc card } \Delta(x) \cap \Delta(y) = 1) \\ \text{ou bien} & \Delta(x) \cap \Delta(y) = \emptyset,\ v(x) \neq v(y) \end{cases} \]

37en tête, entouré : « 30 » (sa pagination)

Justification a priori de cette description : on considère le graphe ainsi construit à l'aide de \(\Delta, V^{*}\) ; on vérifie qu'il satisfait aux propriétés caractéristiques des complexes cubiques (th. p. 1) … « p. 1 » et, plus bas, « p. 24 bis » renvoient à sa pagination

un court trait horizontal sépare ce qui précède

Bases orthogonales à un bitriangle \(\Delta\). Ce sont aussi les bases \(b \subset C - \Delta\) (cf. p. 24 bis), donc les systèmes de 6 éléments mutuellement non liés de \(\mathbb{F}' \times V^{*}\). Considérons le tors. ⌜\(\widetilde{I}\)⌝ d'ordre 2 de \(I\) des permutations circulaires sur les fibres de \(T \to I\), et considérons \[ \mathcal{J} = \bigwedge_{i \in I} \widetilde{I}_i , \] sous le signe \(\bigwedge\), entre parenthèses : « produit de Baer » au-dessus de « \(i \in I\) » qui est un ens. à 2 él. L'ens. des bases orthogonales est en corr. 1-1 avec \(\operatorname{Mon}(\mathcal{J}, V^{*})\). Si on a une injection \(\mathcal{J} \overset{\varphi}{\hookrightarrow} V^{*}\), on lui associe l'ens. ⌜\(b_{\varphi}\)⌝ des \(x = (\Delta(x), v(x)) \in \mathbb{F}' \times V^{*}\) tels que \[ \varphi(\text{image de } \Delta(x) \text{ dans } \mathcal{J}) = v(x) , \] ils sont évidemment de cardinal 6 [\((b_{\varphi} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathbb{F}')\) car \(\ldots\)], et ces éléments sont mutuellement non liés car \(v(x) = v(y)\) implique que \(\Delta(x)\) et \(\Delta(y)\) ont même image en … ce qui dit que \(\Delta_i \simeq T_j\) (\(I = \lbrace i, j \rbrace\)), diffèrent par un él. du groupe alterné \(A_3\), donc \(\Delta(x) \cap \Delta(y) = \emptyset\), ce qui implique \(x, y\) non liés. la lettre notée \(\mathcal{J}\) est un J cursif ; \(\widetilde{I}_i\) est lu d'après le contexte. Dans « \(\Delta_i \simeq T_j\) », les deux lettres sont surchargées et d'une lecture incertaine

38en tête, entouré : « 31 » (sa pagination)

Donc la cat. des triples \((C, \Delta, b)\) d'un complexe cubique \(C\), muni d'un bitriangle \(\Delta\) et d'une base \(b\) orthogonale à celui-ci, équivaut à celle des \(\Delta\) (car \(V^{*}\) se reconstitue comme \[ V^{*} \simeq \mathcal{J} \amalg \lbrace pt \rbrace ) . \] Donc le groupe des autom. d'une telle structure est \(\simeq \operatorname{Aut}(\Delta) \simeq \mathfrak{S}_2 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)\), de card. 72.

Pour \(C\) fixé, l'ens. des couples \((\Delta, b)\) est de cardinal ⌜\(120 \cdot 6 =\)⌝ 720, donc pour \(b\) ⌜\(= \mathbb{F}'\)⌝ fixé, l'ens. des \(\Delta\) correspondants est de cardinal \(10 = \binom{6}{3} \frac{1}{2}\) = ⌜cardinal de l'ens.⌝ des partitions ⌜\(\lbrace \mathbb{F}'_1, \mathbb{F}'_2 \rbrace\)⌝ de \(\mathbb{F}'\) en deux parties à 3 éléments. Or, pour une telle partition, on déduit un bitriangle orthogonal à \(b\), en prenant ⌜l'ens.⌝ des \((\xi_{ij})_{i \in \mathbb{F}'_1,\ j \in \mathbb{F}'_2}\), correspondant à l'un ⌜\(T\)⌝ des 6 triangles ⌜\(t_{\sigma} = (\xi_{i \sigma i})_{i \in \mathbb{F}'_1}\)⌝, où \(\sigma \in \operatorname{Isom}(\mathbb{F}'_1, \mathbb{F}'_2)\). Ainsi […] = « pour \(b\) ⌜\(= \mathbb{F}'\)⌝ fixé » : l'insertion au-dessus de « fixé » est lue ainsi ; les lettres \(\mathbb{F}'_1, \mathbb{F}'_2\) sont des \(T\) ou des F à double barre d'une lecture incertaine

Longtemps, on tombe sur une autodualité dans la catégorie des ens. de cardinal 6 munis d'une partition de type \((3, 3)\) … ce dernier alinéa est marqué d'un double trait vertical, terminé par une flèche vers le bas, dans la marge gauche ; le reste de la page est vierge

39en tête, entouré : « 32 » (sa pagination)

Considérons les 6 racines, et ⌜bases⌝ orth. à un bitriangle \((u, v, w,\ u' = \alpha_1,\ v' = \beta_1,\ w' = \gamma_1,\ u'' = \alpha'_1,\ v'' = \beta'_1,\ w'' = \gamma'_1)\) […] avec les notations des p. 9, 10. On trouve les bases […] \[ b = (\alpha_1, \alpha'_2, \beta_1, \beta'_2, \gamma_1, \gamma'_2) \] et celles qui s'en déduisent par les ⌜6⌝ permutations de \(\lbrace 1, 2, 3 \rbrace\). La base duale à la précédente \(\to b' = (\alpha_2, \alpha'_1, \beta_2, \beta'_1, \gamma_2, \gamma'_1)\), la racine correspondante à \(b\) est \[ \alpha_2 - \alpha_1 = \alpha'_1 - \alpha'_2 = \beta_2 - \beta_1 = \beta'_1 - \beta'_2 = \gamma_2 - \gamma_1 = \gamma'_1 - \gamma'_2 , \] on trouve donc les 6 racines de la forme \(\alpha_i - \alpha_j\) (\(i \neq j\), \(1 \leq i, j \leq 3\)). Elles forment évidemment un syst. de racines de type \(A_2\). les indices des six lettres de la première ligne se lisent 1 ou 4 ; la suite de la page (indices 1, 2, 3) fait lire 1. « p. 9, 10 » : sa pagination. Un trait horizontal et un trait ondulé séparent ce qui suit

Expliciter a) les positions relatives d'un bitriangle \(\Delta\) et d'un triangle \(t\). Il y en a trois \[ \begin{cases} t \subset \Delta & \text{i.e. card}(t \cap \Delta) = 3 \\ \operatorname{card}(t \cap \Delta) = 1 & \\ t \cap \Delta = \emptyset & \text{i.e. card}(t \cap \Delta) = 0 \end{cases} \qquad \begin{array}{r} 6 \\ 3 \cdot 9 \\ 12 \\ \hline 45 \end{array} \] la colonne de droite (le décompte \(6 + 27 + 12 = 45\) des triangles) est séparée par un trait vertical et close par un double trait

b) Les positions relatives d'une base \(b\) (il […]) et d'un bitriangle il semble ⌜qu'il y en ait⌝ trois : \(b\) orthogonale, […] ⌜[…] \(\Delta\) mais⌝ \(\Delta, b\) ⌜orthogonaux⌝ à au moins un triangle exactement 2 triangles de \(\Delta\) (donc il […] […] […] dimension est de cardinal 5 …), enfin \(b\) […] […] […] […] triangle de \(\Delta\) … les deux dernières lignes, serrées au bas de la feuille, sont d'une lecture très partielle

c) Position relative de deux bitriangles ??? écrit verticalement dans la marge gauche, en regard de a) et b)