Fonds Grothendieck, cote n° 69, pages 1–20

il numérote lui-même ses feuillets en haut, au centre : celui-ci porte « 1 », et la suite court jusqu'à « 17 » (page 20), avec deux feuillets « bis » (pages 12 et 16)

Th. Soit S un graphe tel que

a) \operatorname{card} S = 27

b) \forall s \in S, \operatorname{card} E(s) = 10 (E(s) = \lbrace t \in S \mid t \text{ lié à } s \rbrace)

c) \forall s, t \in S, s, t liés, \exists!\, u \in S, u lié à s et t.

Alors (et alors seulement) S est un graphe cubique.

Dém. Soient u \in S~~, v \in E(s)~~ (\operatorname{card} S \geqslant 27 !) v \in E(u) i.e. v lié à u (\operatorname{card} E(u) = 10), w \in S tel que w lié à u et v (axiome c)). On dit que T = \lbrace u, v, w \rbrace est un « triangle ».

Lemme 1. Tout s \in S - \lbrace u, v, w \rbrace = S^{*} est lié à un et un seul des él. u, v, w [i.e. S^{*} = S - \lbrace u, v, w \rbrace est réunion disj. de E(u)^{*} = S^{*} \cap E(u), E(v)^{*}, E(w)^{*} (chacun de cardinal 8)].

Comme \operatorname{card} E(u) = 10, ~~tiens~~ … \operatorname{card} E(u) \cap S^{*} = 8 car E(u) \cap S^{*} = E(u) - \lbrace v, w \rbrace, de même \operatorname{card} E(v) \cap S^{*}, E(w) \cap S^{*} (E(v)^{*}, E(w)^{*}) sont de cardinal 8. Or (par c)), E(u) \cap E(v) = \lbrace w \rbrace donc E(u)^{*} \cap E(v)^{*} = \emptyset et de même pour les autres 2 couples, donc E(u)^{*}, E(v)^{*}, E(w)^{*} disjoints, donc la réunion est de cardinal 3 \times 8 = 24. Comme S^{*} est de cardinal 27 - 3 = 24 par a), on trouve que S^{*} est réunion (disjointe) des E(u)^{*}, E(v)^{*}, E(w)^{*}, cqfd.

Lemme 2. \forall x \in E(u)^{*}, \exists! x' \in E(v)^{*} lié à x. (De même pour v, w).le E(u)^{*} de l'énoncé est récrit sur un premier E(\ldots) chargé d'encre En effet, ~~l'unicité des liés~~ reformulation de c).

Corollaire. \exists!\, \sigma = \sigma_T : S \to S tel que \sigma_T laisse inv. u, v, w et que \forall x \in S^{*} = S - \lbrace u, v, w \rbrace, \sigma(x) soit lié à x et x et \sigma_T(x) liés au même élément u, v, w de T.« même » est écrit comme un signe = en marge gauche, un triangle de sommets w (en haut), u et v (en bas), et un point x relié à u par un trait

Ainsi, dès que E(u)^{*}, E(v)^{*}, E(w)^{*} se décomposent par 4 couples de pts liés.

Lemme 3. Soit x \in E(u)^{*}. Alors \operatorname{card} E(x) \cap E(w)^{*} = 4.

Si x \in E(u)^{*}, y \in E(w)^{*}, et si x et y liés, x et \sigma_T(y) non liés (et inversement.) En d'autres termes, E(x) \cap E(w)^{*} contient un élément et un seul de chaque paire de sommets liés de E(w)^{*}.

Dém. Si x était lié à y, il ne peut être lié à \sigma_T y, sinon \lbrace y et \sigma_T(y) \rbrace seraient côté de deux triangles distincts \lbrace w, y, \sigma_T(y) \rbrace et \lbrace x, y, \sigma_T(y) \rbrace. ~~Il faut de x et \sigma_T(y) les~~ .

« 2 » en haut au centre

Considérons A_x = E(x) \cap \lbrace S^{*} - \sigma_T(x) \rbrace = E(x) \cap (E(v)^{*} \cup E(w)^{*}) = E(x) - \lbrace u, \sigma(x) \rbrace son cardinal est 10 - 2 = 8 par b), ~~supposons que~~ : il se décompose en réunion disjointe de E(x) \cap E(v)^{*} = A_v et E(x) \cap E(w)^{*} = A_w, supposons que l'un ~~des deux~~ A_v, A_w (disons A_w) de cardinal \geqslant 4, p.ex. > 4 (sinon on intervertit v et w). Alors \exists\, y, y' liés dans E(w)^{*} qui sont liés x, absurde

Corollaire. Si x \in E(u), y \in E(w) sont liés, \sigma_T(x) et \sigma(y) sont liés (et inversement.)

Si x lié à y, x non lié à y' = \sigma_T(y), donc \sigma_T(x) lié à y', cqfd.

Corollaire. \sigma_T = \sigma est un automorphisme de S.

NB ~~Lemme 4. Soient x, y \in E(u)^{*} non liés. Alors \operatorname{card} E(x) \cap E(y) \cap E(w)^{*} = 2. i.e. \operatorname{card} \omega_x … Dém. S'il était \neq 2, il > 2 par \sigma(y).~~tout ce passage est barré en travers et recouvert de boucles ; un dessin, barré lui aussi, s'y mêle barré avec le Lemme 4 : un triangle de sommets w, u, v, dont les côtés se prolongent en trois demi-droites marquées \gamma_4, \beta_4, \alpha_4

Introduisons P_u = E(u)^{*}/\sigma et \omega_v(x) = image de E(x) \cap E(v)^{*} dans P_v, donc \omega_v(\sigma x) = \complement \omega_v(x).ajout serré dans la marge de droite ; le signe devant \omega_v(x) est lu comme le complémentaire

Soient x, y \in E(u)^{*}, considérons \omega_v(x) = E(x) \cap E(v)^{*}, \qquad \omega_v(y) = E(y) \cap E(v)^{*} ~~et comme~~ donc on peut considérer \omega_v(y) et \omega_v(x) comme 2 sections de E(v)^{*} sur P_v = E(v)^{*}/\mathbb{F}_2, dont leur différence est un élément \delta_v(x, y) \in \mathbb{F}_2(P_v)

NB \delta_v(x, \sigma(y)) = \delta_v(\sigma x, y) = \delta_v(x, y) + \mathbf{1}_vun 1 à double barre (fonction cte égale à 1 sur P_v)

Donc \left\lbrace \begin{aligned} \operatorname{supp} \delta_v(x, y) &= \lbrace \beta \in P_v \mid \omega_v(x) \cap \beta \neq \omega_v(y) \cap \beta \rbrace \\ P_v - \operatorname{supp} \delta_v(x, y) &= \lbrace \beta \in P_v \mid \omega_v(x) \cap \beta = \omega_v(y) \cap \beta \rbrace \end{aligned} \right. = image de \omega_v(x) \cap \omega_v(y) dans P_v.

Lemme 4. ~~\operatorname{Card} \operatorname{supp} \delta_v(x, y) = 2,~~ Supposons x, y \in E(u)^{*}, x et y non liés, alors \operatorname{card} \operatorname{supp} \delta_v(x, y) = 2 [i.e. \operatorname{card} \omega_v(x) \cap \omega_v(y) = 2, où \omega_v(x) \cap \omega_v(y) = E(x) \cap E(y) \cap E(v)^{*}].

Sinon, ce cardinal serait > 2 ou < 2, et quitte à remplacer y par \sigma(y), on peut supposer

« 3 », cerclé, en haut au centre

qu'il est > 2. Soient ~~donc~~ d'abord s, t \in E(w)^{*} liés tous deux lié à v.

Lemme 5. a) Soient x \in E(u)^{*}, s \in E(w)^{*}, x et s liés. Soit \xi \in ~~E(\ldots)~~ lié à x et s (\xi lié ). Alors \xi \in E(v)^{*}.

b) Soient x, y \in E(u)^{*}, s, t \in E(w)^{*}, x et y liés à s et à t. [donc par lemme 3, x et y non liés, s et t non liés]. ~~Soit~~ Soient \xi, \xi' tels que ~~\xi (x, s) et (y, t)~~ \xi lié à x et s, \xi' lié à y et t. Alors \xi, \xi' \in E(v)^{*}, et \xi, \xi' liés.

Démonstration du lemme 5. ~~Soient~~ a) On a \xi \in S^{*} car \xi \neq u, v, w (car u non lié à s, v non lié à x, w lié ni à x ni à s) et \xi \notin E(u)^{*}, sinon on aurait \xi = \sigma(x) et \xi non lié à s par lemme 3, de =« de même » \xi \notin E(w)^{*}, donc \xi \in E(v)^{*}.

b) Comme \lbrace x, \xi, s \rbrace est un triangle, \xi' est lié à un sommet et (et un seul) de ce triangle. Or il n'est pas lié à x (sinon \lbrace \xi', t \rbrace seraient côtés de deux triangles distincts \lbrace \xi', t, x \rbrace et \lbrace \xi', t, y \rbrace) ni à s ( raison symétrique) donc il est lié à \xi. à gauche du texte, un quadrilatère x, t, y, s (côtés xt, ty, ys, sx) ; de x descend un triangle pointant vers \xi, de t un autre pointant vers \xi'

Dém. du lemme 4. Supposons x, y \in E(u)^{*} (x \neq y) liés à s, t, r \in E(w)^{*} distincts. Considérons le triangle \lbrace x, s, \xi \rbrace, donc (lemme 5 a)) \xi \in E(v)^{*}, et si \xi' = \sigma(t) \in E(v)^{*} on applique à (x, y), (s, t) (d'après le lemme 5 b)) \lbracey, t, \xi' \rbrace est un triangle, mais aussi \lbrace y, r, \xi' \rbrace en appliquant à (x, y) (s, r). Donc \lbrace y, \xi' \rbrace appartient à 2 triangles, absurde.dans la marge, à hauteur de ces lignes : « x y s t r »

~~Lemme 6~~ Corollaire. Il existe une application bijective, canon. et une seule de \Pi_{22}(P_u) dans \Pi_{22}(P_w) (\Pi_{22} indique partitions de type 2.2) telle que pour tout couple x, y de pts ~~à 2~~ liés de E(u)^{*}, ~~la partition~~ on ait c_{w,u}\bigl(\lbrace \pi_u\lbrace x, y \rbrace, \complement_{P_u} \pi_u\lbrace x, y \rbrace \rbrace\bigr) = \lbrace \operatorname{supp} \delta_v(x, y), \operatorname{supp}(\delta_v(x, y) + \mathbf{1}_{P_v}) \rbrace . \pi_u : E_u^{*} \to P_u = E_u^{*}/\mathbb{F}_2 le mot qui précède « liés » est pris dans les lignes biffées ; le lemme 4 porte sur des points non liés

« 4 », cerclé, en haut au centre

Il faut montrer que le 2ième mb ne dépend que de la partition \in \Pi_{22}(P_u), pas du choix de (x, y) ! Pour ceci, on note

a) Elle est indépendante par permutation de x et y (car \delta_v(x, y) = \delta_v(y, x))

b) Elle ne change pas si on change x et \sigma(x) (donc aussi y en \sigma(y), ou x en \sigma(x) et y en \sigma(y)) (car \delta_v(\sigma x, y) = \delta_v(x, y) + 1)

c) Si x, y sont fixés, ~~posons~~ prenons ~~s \neq t~~ \lbrace s, t \rbrace = ~~E(x) \cap E(y) \cap E(\ldots)~~ (lemme 4) E(x) \cap E(y) \cap E(w)^{*}, donc \lbrace x, y \rbrace = E(s) \cap E(t) \cap E(u)^{*}, ~~soient~~ liés \lbrace x', y' \rbrace = E(s) \cap E(\sigma(t)) \cap E(u)^{*}, alors \pi_u(\lbrace x', y' \rbrace) = \complement_{P_u} \pi_u(\lbrace x, y \rbrace), ~~donc x', y'~~ et \lbrace x', y' \rbrace donne donc lieu à la même partition \in \Pi_{2,2}(P_u) que \lbrace x, y \rbrace, mais à \lbrace x', y' \rbrace la recette ~~prise~~ de l'énoncé du corollaire associe la partition en \pi_v(E(x') \cap E(y') \cap E(v)^{*}) [= \lbrace s, \sigma(t) \rbrace] et son complémentaire, qui est égale à \pi_v\lbrace s, t \rbrace [= \operatorname{supp}(\delta_v(x, y) + 1)] et son complémentaire …

Énoncé plus fort :

Corollaire 2. Soit \mathfrak{P}'_2(E_u^{*}) l'ens. des ~~couples~~ parties à 2 él. distincts de E_u^{*} formées de deux él. non liés.la lettre qu'il écrit ici est une grande P cursive, rendue \mathfrak{P} dans tout le lot Soit R_{u,v} la relation dans \mathfrak{P}'_2(E_u^{*}) \times \mathfrak{P}'_2(E_v^{*}) : R_{u,v}(\alpha, \beta) \overset{\text{déf}}{\iff} \text{tt él.\ de } \alpha \text{ est lié à tt él.\ de } \beta . Alors R_{u,v} définit une bijection de \mathfrak{P}'_2(E_u^{*}) sur \mathfrak{P}'_2(E_v^{*}), soit ~~\varphi~~ \tilde{\varphi}_{vu} : \mathfrak{P}'_2(E_u^{*}) \to \mathfrak{P}'_2(E_v^{*}) \tilde{\varphi}_{vu}(\sigma \tilde{\alpha}) = \sigma \tilde{\varphi}_{vu}(\tilde{\alpha}), \qquad \pi_v \tilde{\varphi}_{vu}(\lbrace x, \sigma y \rbrace) = \complement_{P_v} \pi_v \tilde{\varphi}_{vu}(\lbrace x, y \rbrace) en oblique dans le coin inférieur gauche : ~~Énoncé~~ plus simple avec R'_{u,v}(\alpha, \beta) : tt él. de \alpha non lié à tt él. de \beta, [\iff R_{u,v}(\sigma\alpha, \beta) \iff R_{u,v}(\alpha, \sigma\beta)] et car les applications \varphi'_{vu} : \mathfrak{P}_2(E_u^{*}) \to \mathfrak{P}_2(E_v^{*}) forment un syst. transitif d'iso (compris lemme 6 ci-dessous)

« 5 », cerclé, en haut au centre

donc la partition définie par ~~\pi_u(x, \sigma y~~ \pi_v \tilde{\varphi}_{vu}(\lbrace x, y \rbrace) ne change pas en remplaçant x par \sigma(x), ou y par \sigma(y), ou les deux à la fois) donc ne dépend que de ~~\pi_u \varphi~~ \alpha = \pi_u(\lbrace x, y \rbrace) \in \Pi_{2,2}(P_u) ; enfin, elle ne change pas si on remplace \alpha par \complement_{P_u} \alpha … en haut à gauche, une rangée de petits schémas : des segments aux extrémités marquées x\ x', y\ y', \xi\ \xi', \eta\ \eta', s\ s', t\ t', surmontés d'arcs en chevrons qui relient les segments, et sous eux des colonnes \binom{s}{t}, \binom{s'}{t'}, \binom{s}{t'}, \binom{s'}{t}, \binom{x}{y}, \binom{x'}{y'}, \binom{x}{y'}, \binom{x'}{y} ; un trait vertical sépare les deux premiers groupes, et le dernier groupe (avec u', v') est couvert de hachures

~~Corollaire~~ Lemme 6. c_{wv} c_{vu} = c_{wu} — donc les c_{..} définissent un syst. transitif d'iso entre les \Pi_{22}(P_u), \Pi_{22}(P_v), \Pi_{22}(P_w).

~~Soit \lbrace s, t \rbrace = c_{vu}\lbrace x, y \rbrace (x, y \in E(u)^{*} non liés), soit \xi \in E(w)^{*} lié à x et s, (lemme 5 a)), \eta \in E(w)^{*} lié à y, t.~~ en marge, les points w (en haut), u, v, et un angle droit de sommet s ; x et y à gauche, t à côté de s

Cela ~~résulte~~ est inclus dans le résultat plus précis

Corollaire. \tilde{\varphi}_{wv} \tilde{\varphi}_{vu}(\tilde{\alpha}) = \sigma\bigl( \tilde{\varphi}_{wu}(\tilde{\alpha}) \bigr) \quad \text{i.e.} \quad \tilde{\varphi}_{wv} \tilde{\varphi}_{vu} = \sigma \tilde{\varphi}_{wu} i.e. \left. \begin{array}{ll} x, y \in E(u)^{*} & x, y \text{ liés à } s, t \\ s, t \in E(v)^{*} & s, t \text{ liés à } \xi, \eta \\ \lbrace \xi, \eta \rbrace \in E(w)^{*} & \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow x, y \text{ liés à } \sigma\xi, \sigma\eta les lettres \xi, \eta de ces trois lignes sont d'une lecture incertaine, et la dernière est récrite sur une autre à gauche, deux figures en perspective : un prisme de sommets x, y, s, t en bas et \xi, \xi', \eta, \eta' en haut ; au-dessous, une seconde figure, plus grande, sur les mêmes lettres, en partie couverte de hachures

Prenons d'abord le lemme 6. Comme dans lemme 5, complétons les triangles (x, s, \xi), \ (y, t, \xi') \quad (\xi, \xi' \in E(w)^{*} \text{ sont liés}) (x, t, \eta), \ (y, s, \eta') \quad (\eta, \eta' \in E(w)^{*} \text{ sont liés}) Alors \xi lié à s, non à t (sinon (\xi, t) appartiendrait à 2 triangles de sommets x, \xi') de = \eta lié à t, non à s, donc cela montre que \lbrace \pi_w(\lbrace \xi, \eta \rbrace), \complement_{P_w} \pi_w(\lbrace \xi, \eta \rbrace) \rbrace = c_{wv}\bigl(\pi_v\lbrace s, t \rbrace, \complement \pi_v(\lbrace s, t \rbrace)\bigr), Mais aussi \xi lié à x, non à y, \eta lié à x, non à y, donc \lbrace \pi_w(\lbrace \xi, \eta \rbrace), \complement \pi_w(\lbrace \xi, \eta \rbrace) \rbrace = c_{wu}\bigl(\pi_u(\lbrace x, y \rbrace), \complement \pi_u(\lbrace x, y \rbrace)\bigr)

« 6 », cerclé, en haut au centre

cqfd.

Ceci étant soient p \neq q \in E(w)^{*} liés à s, t, on sait donc qu'ils sont non liés à \xi, \xi', \eta, \eta' et non liés entre eux i.e. E(w)^{*} = \lbrace \xi, \xi', \eta, \eta', p, p', q, q' \rbrace, où p' = \sigma p, q' = \sigma q. On a p non lié à x (sinon p\,x appartiendrait à 2 triangles de sommets s, t) de = p non lié à y, donc p' lié à x et y. de = q' lié à x et y, i.e. \lbrace p', q' \rbrace = \tilde{\varphi}_{wu}(\lbrace x, y \rbrace) ce qui prouve le corollaire. en marge gauche, un quadrilatère x, s, y, t (côtés xs, sy, yt, tx) et un point p au-dessus, relié à s et à t

un trait horizontal sépare ce qui suit

On identifie entre eux les \Pi_{22}(P_u, P_v, P_w), soit \sqsupset de cardinal 3.le signe qu'il donne à cet ensemble à trois éléments a la forme d'un crochet \sqsupset [Soit V le vectoriel de dim 2 sur \mathbb{F}_2 associé (\sqsupset = V^{*}) donc P_u, P_v, P_w s'identifient comme des torseurs sous V^{*}. Soit I = \lbrace u, v, w \rbrace.

~~On a~~ Soit \tilde{\Gamma} l'ens. des triangles \subset S^{*}, on voit que \tilde{\Gamma} \xrightarrow{\ \sim\ } \prod_{x \in E(u)^{*}} \omega_v(x) [E(u)^{*} : card. 8 ; \omega_v(x) : card 4] donc \operatorname{card} \tilde{\Gamma} = 32.le signe est bien un \prod ; le cardinal 32 = 8 \cdot 4 est celui de la somme disjointe Soit \Gamma = \tilde{\Gamma}/\sigma (de cardinal 16)

Th Lemme 7. \Gamma \to P_u \times P_v \times P_w [cardinal 64 = 4 \cdot 4 \cdot 4] est injectif, et l'image de \Gamma est un sous-torseur sous \Psi(V) \subset V \times V \times V, (\Psi(V) = \lbrace (x, y, z) \in V \times V \times V \mid x + y + z = 0 \rbrace).

Dém. Soient (x, s, \xi), (y, t, \eta) deux triangles ayant même image dans P_u \times P_v \times P_w. Quitte à appliquer \sigma une ou 2 fois, OPS y = x. Alors s et t \in E(v)^{*} liés à x : x ne peut ~~être~~ t = \sigma s, donc t = s, de =

« 7 », cerclé, en haut au centre

\xi = \eta, d'où l'injectivité. Montrons que \Gamma est stable par les éléments de N_u = \operatorname{Ker}(\Psi \xrightarrow{\mathrm{pr}_1} V) (idem pour N_v et N_w) — il s'ensuivra qu'il est stable par \Psi = N_u + N_v, donc (étant de cardinal 16 = \operatorname{card} \Psi) c'est un torseur sous \Psi. Ceci équivaut à —

Corollaire. Soient x \in E(u)^{*}, s \in E(v)^{*}, \xi \in E(w)^{*} formant triangle. ~~Alors~~ Soit t \in E(v)^{*} t \neq s non lié à s, et lié à \xi (il y en a trois), et soit \eta l'élément de E(w)^{*} distinct de \xi lié à s, t (lemme 4). Alors (\pi_u(x), \pi_v(t), \pi_w(\eta)) \in \operatorname{Im}(\Gamma \to P_u \times P_v \times P_w), ~~i.e. \lbrace x, y, t \rbrace est un triangle,~~ ~~Alors~~ plus précisément (x, \sigma t, \sigma\eta) est un triangle. en marge gauche, un triangle u, v, w ; plus bas, un quadrilatère \xi, s, \eta, t avec la diagonale s t, et x relié à \xi par un chevron

Dém. Comme x est lié à s et \xi, liés resp. à \eta et t, il ne peut être lié à t ni \eta, donc il est lié à \sigma t et \sigma\eta, qui sont liés entre eux (~~qui~~ puisque t et \eta le sont) cqfd.

NB Les ~~données~~ de V et des torseurs \Gamma sous \Psi(V) permet de reconstituer P_u, P_v, P_w et le système de « triangles » dans P_u \times P_v \times P_w. Il faut encore reconstituer ~~les~~ rev. à 2 feuillets E(u)^{*}, E(v)^{*}, E(w)^{*} (= \tilde{P}_u, = \tilde{P}_v, = \tilde{P}_w) de P_u, P_v, P_w, et le revêtement à 2 feuillets \tilde{\Gamma}, et les liens \tilde{\Gamma} \to \tilde{P}_u etc. sur \Gamma \to P_u etc.]

…

« 8 », encadré, en haut au centre

Épilogue. Fixons un triangle (\alpha_4, \beta_4, \gamma_4) \in \tilde{\Gamma} (\alpha_4 \in E(u)^{*}, \beta_4 \in E(v)^{*}, \gamma_4 \in E(w)^{*}). Alors \Pi_{22}(P_u) s'identifie à P_u - \lbrace \pi_u(\alpha_4) \rbrace, de = …. Ordonnons V^{*}, donc les P_u - \lbrace \pi_u(\alpha_4) \rbrace etc. Dans E(u)^{*} - \lbrace \alpha_4 \rbrace sur P_u - \lbrace \pi_u(\alpha_4) \rbrace il y a une section \lbrace \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \rbrace, définie par \mathrm{I}_0 \left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \ (\text{et } \alpha_4) & \text{liés à} & \beta_4 \\ \beta_1, \beta_2, \beta_3 \ (\text{et } \beta_4) & \text{---} & \gamma_4 \\ \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3 \ (\text{et } \gamma_4) & \text{---} & \alpha_4 \end{array} \right. \quad ; \text{ de } = \ldots les tirets de ces tableaux sont ses signes de répétition (« liés à »)

Ainsi, en termes d'un ordre total sur \sqsupset = V^{*} et d'un ordre total (ou seulement un ordre circulaire) sur I = \lbrace u, v, w \rbrace, on a étiqueté les 24 = 2 \times 12 = 2 \times (3 \times 4) élts. de S^{*} (les pts autres que u, v, w) par les \alpha_i, \ \beta_i, \ \gamma_i, \qquad \alpha'_i = \sigma\alpha_i, \ \beta'_i = \sigma\beta_i, \ \gamma'_i = \sigma\gamma_i .

De (I), et lemme 3, on déduit [0] \quad \alpha_i \text{ lié à } \alpha'_i \ / \ \beta_i \text{ à } \beta'_i \ / \ \gamma_i \text{ à } \gamma'_i \mathrm{I}' \left\lbrace \begin{array}{llll} \alpha'_i & \text{liés à } \beta'_4, & \text{non à } \beta_4 & \text{ni entre eux} \\ \beta'_i & \text{---} \ \gamma'_4, & \text{non à } \gamma_4 & \text{ni entre eux} \\ \gamma'_i & \text{---} \ \alpha'_4, & \text{non à } \alpha_4 & \text{ni entre eux} \end{array} \right. \qquad \mathrm{I} \left\lbrace \begin{array}{llll} \alpha_i & \text{liés à } \beta_4, & \text{non à } \beta'_4 & \text{ni entre eux} \\ \beta_i & \text{---} \ \gamma_4 & \text{---} \ \gamma'_4 & \text{---} \\ \gamma_i & \text{---} \ \alpha_4 & \text{---} \ \alpha'_4 & \text{---} \end{array} \right. sur la page, (I′) est écrit au-dessus de (I) et une flèche les relie ; dans la première ligne de (I′) quelques lettres après \alpha'_i sont biffées. La première ligne de (I′) porte \beta_4, \beta_4 là où le tableau (I) invite à lire \beta'_4, \beta_4 : les accents sont d'une lecture incertaine

Lemme 8 (1 \leqslant i \leqslant 3) \mathrm{II} \left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha_i \text{ liés à } \gamma'_4, & \text{non à } \gamma_4 \\ \beta_i \ \text{---} \ \alpha'_4, & \text{---} \ \alpha_4 \\ \gamma_i \ \text{---} \ \beta'_4, & \text{---} \ \beta_4 \end{array} \right. \qquad \mathrm{II}' \left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha'_i \ \text{---} \ \gamma_4, & \text{non à } \gamma'_4 \\ \beta'_i \ \text{---} \ \alpha_4, & \text{---} \ \alpha'_4 \\ \gamma'_i \ \text{---} \ \beta_4, & \text{---} \ \beta'_4 \end{array} \right.

« 9 », cerclé, en haut au centre

Il suffit de prouver que \alpha_i non lié à \gamma_4, mais comme il est lié à \beta_4, (\beta_4, \gamma_4) serait côté de deux triangles (de sommets \alpha_i et \alpha_4), cqfd à gauche, un triangle \alpha_4, \beta_4, \gamma_4, et un trait de \beta_4 à \alpha_i

Lemme 9 \mathrm{III} \left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha_i \text{ lié à } \beta_j, \gamma_j, \beta'_i, \gamma'_i & (1 \leqslant i \neq j \leqslant 3) & \text{non à } \beta'_j, \gamma'_j, \beta_i, \gamma_i \\ \beta_i \text{ lié à } \gamma_j, \alpha_j, \gamma'_i, \alpha'_i & (\text{---}) & \text{---} \ \gamma'_j, \alpha'_j, \gamma_i, \alpha_i \\ \gamma_i \ \text{---} \ \alpha_j, \beta_j, \alpha'_i, \beta'_i & (\text{---}) & \text{---} \ \alpha'_j, \beta'_j, \alpha_i, \beta_i \end{array} \right. \mathrm{III}' \left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha'_i \text{ lié à } \beta'_j, \gamma'_j & \text{--} & \text{--} \\ \text{--} & \text{--} & \text{--} \\ \text{--} & \text{--} & \text{--} \end{array} \right. dans (III), les deux derniers termes des colonnes « lié à » sont récrits sur d'autres lettres et leur accent est d'une lecture incertaine ; (III′) n'est écrit que pour sa première ligne, le reste en signes de répétition. La première lettre de (III′) est lue \alpha'_i par symétrie avec (II′) ; la page porte peut-être \alpha_i

Il reste à voir que \alpha_1 lié à \beta_2, ~~\beta_3~~ non à \beta_1. Or \begin{array}{ll} \alpha_4 \text{ lié à} & \beta'_1, \beta'_2, \beta'_3, \beta_4 \quad (\text{lemme } 8) \\ \alpha_1 \text{ lié à} & ? \quad ? \quad ? \quad \beta_4 \end{array} ~~Donc~~ l'ens. des coïncidences entre \omega_v(\alpha_1) et \omega_v(\alpha_4) doit être dans la partition (1, 4)\,(2, 3), se donc être \beta_4 (1, 4) puisqu'il contient 4, donc \alpha_1 \text{ lié à } \beta'_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4 \qquad \text{cqfd.} « se donc être » est lu tel quel ; la lettre devant (1,4) est chargée d'encre

Conséquence : S est déterminé par les conditions de départ, à isom. près. donc un graphe cubique

cqfd

en bas à droite : « TSVP »

« 10 », cerclé, en haut au centre

De plus, on trouve ceci :

Considérons les ~~diagrammes~~ graphes suivants \begin{array}{lll|l} D_0 = \emptyset & & & 1 \\ \cap \ D_1 = \bullet\, u & \text{pt} & & 27 = 3^3 . \\ D_2 = u \,\text{---}\, v & \text{arête} & & 27 \cdot 10 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270 \\ \cap \ D_3 = \text{triangle } u, v, w & \text{triangle} & & 27 \cdot 10 \cdot 1 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270 \\ D_4 & \text{\struck{triangle} \add{balise}} & & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5 = 2160 \\ \cap \ D_5 & \text{préprisme (triangulaire)} & & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 = 8640 \\ \cap \ D_6 & \text{prisme (triangulaire)} & & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 1 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 = 8640 \\ \cap \ D_7 & \text{bitriangle} & & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 = 8640 \end{array} la colonne de gauche est une suite de dessins, reliés par des signes \cap d'inclusion ; D_1, D_3 et D_7 sont cerclés. La colonne de droite est séparée des autres par un trait vertical les graphes D_i : D_1 le point u ; D_2 l'arête u v ; D_3 le triangle u, v, w ; D_4 le triangle u, v, w avec une arête pendante u u' ; D_5 le triangle u, v, w et, au-dessous, u', v' (la moitié inférieure d'un rectangle hachurée, reprise) ; D_6 un prisme triangulaire à bases u, v, w et u', v', w' ; D_7 deux prismes accolés par une face, avec les sommets u, v, w, u', v', w', w'' et w''', dessin repris sur une première esquisse hachurée

Soit \mathrm{Pl}_i = \mathrm{Pl}(D_i, C) l'ens. des plongements (« pleins ») de D_i dans C, W = \operatorname{Aut} C, G_i = \operatorname{Aut} D_i. Alorssa lettre W est barrée d'un trait oblique

b) c) Les \mathrm{Pl}(D_i, C) sont des espaces homogènes (non vides) sous W

a) Les morphismes \mathrm{Pl}(D_{i+1}, C) \to \mathrm{Pl}(D_i, C) (0 \leqslant i \leqslant 6) transposés des inclusions D_i \subset D_{i+1} sont surjectifs et sont des rev. d'ordres respectifs 27, 10, 1, 8, 4, 1, 1

b) (Par conséquent) les cardinaux des \mathrm{Pl}_i sont les nbs marqués dans la colonne de droite.)une flèche fait passer le c) avant le a) ~~Donc~~ \overline{C} Donc les cardinaux ~~des~~ de l'ens. \operatorname{Conf}_{D_i}(C) des sous-graphes pleins ~~\operatorname{Conf}_{D_i}(C)~~ de C de type D_i (s'identifiant à \mathrm{Pl}_i/G_i) est donné par \operatorname{card} \mathrm{Pl}_i/\operatorname{card} G_i, qui est \begin{array}{llll} \operatorname{Conf}_{D_0} & 1 & \text{---} \operatorname{Aut} D_0 & e \\ \operatorname{Conf}_{D_1} & 27 & \text{---} \operatorname{Aut} D_1 & e \\ \operatorname{Conf}_{D_2} & 27 \cdot 10 : 2 = 135 & \text{---} \operatorname{Aut} D_2 & \mathfrak{S}_2 \\ \operatorname{Conf}_{D_3} & 27 \cdot 10 \cdot 1 : 6 = 45 & \text{---} \operatorname{Aut} D_3 & \mathfrak{S}_3 \\ \operatorname{Conf}_{D_4} & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 : 2 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 = 1080 & \text{---} \operatorname{Aut} D_4 & \mathfrak{S}_2 \\ \operatorname{Conf}_{D_5} & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 : 2 = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 = 4320 & \text{---} \operatorname{Aut} D_5 & \mathfrak{S}_2 \\ \operatorname{Conf}_{D_6} & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 1 : 12 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 720 & \text{---} \operatorname{Aut} D_6 & \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3 \\ \operatorname{Conf}_{D_7} & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 : 72 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 & \text{---} \operatorname{Aut} D_7 & \mathfrak{S}_2 . (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3) \end{array} dans la dernière ligne, « 72 » et l'exposant de 3 sont récrits, et un premier groupe est biffé avant \mathfrak{S}_2 . (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3). C désigne ici, semble-t-il, le graphe S des pages précédentes

« 10 bis », cerclé, en haut au centre

d) Le stabilisateur d'un élément de \mathrm{Pl}_6 ~~dans~~ (ou, ce qui revient au =, de \mathrm{Pl}_5 ou \mathrm{Pl}_7) dans W est isomorphe à \mathfrak{S}_3 (via l'opération sur l'ens. I de cardinal 3 des éléments de ~~E(u)^{*} = E(u) - \lbrace v, w \rbrace~~ E(u)^{*} = E(u) - \lbrace v, w \rbrace qui sont \neq u', ~~non liés à v~~ et liés à v', i.e. des él. de E(u) - \lbrace v, \struck{w}\, u' \rbrace qui sont liés à v', i.e. I = E(u) \cap E(v') - \lbrace u', v \rbrace. On voit donc que cet I est can. is. aux (9 \cdot 4) : 2 = 18 ensembles analogues tels que E(v'') \cap E(w') - \lbrace u'', w' \rbrace etc … \rbrace. Donc W est de cardinal égal à : \operatorname{card} \mathrm{Pl}_6 \cdot 6, i.e. \operatorname{card} W = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 = 51840 un double trait sépare ce qui suit

~~Complexe cubique~~ Comptedeux mots biffés au bas de la page, un mot récrit au-dessus ; la page s'arrête là

« 11 », cerclé, en haut au centre

La catégorie formée des S, avec un triangle I \subset S et un triangle \Pi' \subset S disjoint du précédent (pour les iso) équivaut à celle des couples (I, \Pi) de deux ens. de cardinal 3.les deux ensembles sont écrits I et \Pi, ce dernier comme une potence ; le « \Pi' » de la deuxième ligne est d'une lecture incertaine

À un tel couple, on associe S = I \amalg (I \amalg I) \amalg I \times \Pi \times \omega(I) = (I \times \lbrace 0, 1, 2 \rbrace) \amalg (I \times \Pi \times \omega(I)), I \ni u \longmapsto \alpha(u), \ \alpha'(u) où \omega(I) \subset \mathfrak{S}_I est l'ens. (de cardinal 2) des ordres circulaires sur I.

~~Si i \in I, i est lié à~~ biffé, à gauche : I et trois flèches parallèles marquées i_3, i'_1, i_2

\begin{array}{lll} (i, \nu) \text{ et } (j, \mu) \ (\text{distincts}) & \text{sont liés ssi} & i = j \text{ \emph{ou} } \nu = \mu \\ (i, \nu) \text{ et } (j, \pi, \rho) & \text{liés dans les cas} & \left\lbrace \begin{array}{ll} i = j : & \nu = 0 \\ i \neq j & \left\lbrace \begin{array}{l} \nu = 1, \ j = \rho i \\ \nu = 2, \ i = \rho j \end{array} \right. \end{array} \right. \\ (j, \pi, \rho) \text{ et } (j', \pi', \rho') \ \text{distincts} & \text{liés dans les cas} & \left\lbrace \begin{array}{ll} j = j' & \pi = \pi', \ (\rho \neq \rho') \\ j \neq j' & \left\lbrace \begin{array}{ll} i \neq j, & \rho = \rho' \\ i = j & \rho \neq \rho' \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} (j \in I, \pi \in \Pi, \rho \in \omega(I))dans le deuxième cas une première rédaction est raturée ; dans le troisième, les i sont écrits tels quels, bien que seuls j, j' figurent dans le couple à gauche, un prisme vu d'en haut : triangle u, v, w en bas, sommets \alpha_4, \beta_4, \gamma_4 au milieu (le triangle \alpha_4 \gamma_4 \beta_4 repassé), \alpha'_4, \beta'_4, \gamma'_4 à l'extérieur

L'automorphisme \sigma conserve I \times \lbrace 0, 1, 2 \rbrace et son complémentaire, et agit sur le premier via l'identité sur I, et la permutation entre 1 et 2 sur l'autre facteur ; sur I \times \Pi \times \omega(I) il agit par permutation des deux élts de \omega(I) (et l'identité sur I \times \Pi).

à gauche : « u, \alpha_4, \alpha'_4 » et, dessous, « (\ldots_i)_{1 \leqslant i \leqslant 3} » (raturé), « \alpha_i, \alpha'_i », « \beta_j, \beta'_j », « 1 \leqslant i, j \leqslant 3 », « \alpha_4 \mapsto \alpha'_4 »

I \amalg (I \times \varepsilon) \amalg (I \times \Pi \times \varepsilon \times \omega(I)/\mathbb{F}_2) (I \times J) \amalg en bas à gauche, une grille de droites croisées dont les cases portent \alpha_4, \beta_4, \gamma_4, \alpha_1, \beta_2, \gamma_3 et d'autres lettres, en partie illisibles

« 12 », cerclé, en haut au centre

Proposition. G groupe abélien (pour simplifier), V = G \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_2, \varepsilon un \mathbb{F}_2-vectoriel, \Gamma = \Psi(G) = \operatorname{Ker}(G \times G \times G \to G), (x, y, z) \mapsto x + y + z, p_i : \Psi(G) \to G induits par \mathrm{pr}_i (1 \leqslant i \leqslant 3), N_i = \operatorname{Ker} p_i \rightleftarrows G (via \alpha_i) ~~\lbrace (x, \hat{x}, x \rbrace~~.la lettre qu'il donne à \Psi(G) est un \Gamma repassé ; la flèche double porte \alpha_i en dessous

a) Pour toute extension centrale ~~E_0~~ : 1 \to \varepsilon \to E_0 \to G \to 1 considérons \psi(E_0) = p_1^{*}(E_0) \wedge p_2^{*}(E_0) \wedge p_3^{*}(E_0) = \tilde{\Gamma} (produit de Baer d'extensions de \Gamma par \varepsilon, image inverse de l'ext. E_0 (de G par \varepsilon) par les p_i). Comme p_j \alpha_i = \left\lbrace \begin{array}{ll} 0 & \text{si } i = j \\ \mathrm{id}_G & \text{si } i \neq j \end{array} \right. , on trouve que \alpha_i^{*}(\tilde{E}) est splitté canoniquement.« produit de Baer » : lecture incertaine du mot qui suit « produit » d'où

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & \varepsilon \arrow[r] & \tilde{E} \arrow[r] & \Gamma \arrow[r] & 1 \\ & & & G \arrow[ul, "\rho_i"] \arrow[u, "\alpha_i"'] & \end{tikzcd}

Ceci posé, soit q : \dot{V} \to \varepsilon est l'application quadratique qui définit la classe de l'extension E_0, on a pour g \in G \rho_1(g)\, \rho_2(g)\, \rho_3(g) = q(\dot{g}) où \dot{g} \in V est la classe de g \in G dans V = G/2G.dans cette formule, un \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 biffé suit chaque \rho_i ; le point au-dessus de V dans la ligne de q est net sur la page

b) Toute syst. (\tilde{E}, \rho_1, \rho_2, \rho_3) d'une extension centrale \tilde{E} de \Gamma par \varepsilon et de relèvements \rho_1, \rho_2, \rho_3 de \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 provient d'une extension E_0 de G par \varepsilon, déterminée : isom. (à un unique) près — sa classe q \in \operatorname{Quad}_{\mathbb{Z}}(G, \varepsilon) \simeq \operatorname{Quad}_{\mathbb{F}_2}(V, \varepsilon) est donnée par la formule précédente. La catégorie (pour les iso) des ~~triples~~ syst. (\tilde{E}, \rho_1, \rho_2, \rho_3) est rigide i.e. tout automorphisme est l'identité (donc tout automorphisme de l'ext. E_0 induit l'identité dans l'ext \psi(E_0) \ldots)

« 13 », cerclé, en haut au centre

c) Conditions équivalentes 2G = 0 i.e. G \simeq V, et

(i) q(x) \neq 0 pour x \in V^{*} = V - \lbrace 0 \rbrace

(ii) Posant \tilde{P}_i = \tilde{E}/\rho_i(G), ~~la fam Posons~~ et \tilde{p}_i : \tilde{E} \to \tilde{P}_i, si x_1, x_2, x_3 \in \tilde{\Gamma} sont tels que p_1(\tilde{x}_2) = p_1(\tilde{x}_3), \quad p_2(\tilde{x}_3) = p_2(\tilde{x}_1), \quad p_3(\tilde{x}_1) = p_3(\tilde{x}_2), alors \tilde{x}_1 = \tilde{x}_2 = \tilde{x}_3.les indices de ces égalités sont d'une lecture incertaine, surtout ceux de la dernière ligne

(iii) Si \tilde{z}_1 \in \rho_1(G), \tilde{z}_2 \in \rho_2(G), \tilde{z}_3 \in \rho_3(G) sont tels que \tilde{z}_1 \tilde{z}_2 \tilde{z}_3 = 0, alors \tilde{z}_1 = \tilde{z}_2 = \tilde{z}_3 = 1

(iv) Si g \in G est tel que \rho_1(g) \rho_2(g) \rho_3(g) = 1, alors g = 1le signe = est repassé

De plus, pour G, \varepsilon fixés avec \varepsilon \neq \mathbb{F}_2, \exists une \tilde{\Gamma} ~~est~~ avec ces propriétés ssi 2G = 0 i.e. G \simeq V, \operatorname{rg}_{\mathbb{F}_2} V \leqslant 2 (et cette extension est unique à isom. unique près).

« 13 bis », cerclé, en haut au centre

S graphe \neq \emptyset tel que ~~l'ens. des \neq \emptyset et~~

a) \forall x, y \in S liés, \exists!\, z \in S tel que z soit lié à x et y

b) \exists\, \nu \in \mathbb{N}^{*} tel que \forall s \in S, \operatorname{card} E(s) = \nu (E(s) = \lbrace t \in S \mid t \text{ lié à } s \rbrace)

c) Lemme 1 \nu est pair, et On a \operatorname{card} S \geqslant 3(\nu - 1). On a égalité ssi \forall triangle (il en \exists) T = \lbrace x, y, z \rbrace de S, a tt élément de S^{*} = S - T est lié à un (et un seul) élément de T.l'inégalité porte 3(\nu - 1) sur la page, récrit sur un autre chiffre ; le théorème de la page 2 (\nu = 10, \operatorname{card} S = 27) correspond à 3(\nu - 1)

\nu = 2(\mu + 1), \qquad \operatorname{card} S = 3(2\mu + 1) \operatorname{card} S - E(s) - \lbrace s \rbrace \ \ldots \ \operatorname{card} (S - E(s) - \lbrace s \rbrace) = 4\mu 4\mu \leqslant 2^{\mu + 1}, \qquad \mu \leqslant 2^{\mu - 1} calculs griffonnés, avec des surcharges ; un « 2 » isolé au-dessus de la deuxième ligne et un mot raturé au-dessous un petit triangle ; à côté, un graphe à quelques sommets entouré de deux ovales qui se croisent ; plus bas, une étoile à trois branches dont chaque bout porte un petit triangle (deux sommets reliés au bout de la branche)

« 14 », cerclé, en haut au centre

Graphes cubiques C : sommet marqué u

Revient à la donnée d'un ens. Q_u de cardinal 5 (l'ens. des triangles de sommet u), i.e. ens. des 5 couples de pts mutuellement liés de E(u)), et d'un torseur P sous \Psi = \Psi(Q_u, \mathbb{F}_2) = \operatorname{Ker} (\mathbb{F}_2^{Q_u} \to \mathbb{F}_2), (x_i)_{i \in I} \mapsto \sum x_i. ~~On reconstitue~~ ~~le torseur~~la lettre de l'ensemble à cinq éléments, repassée à l'encre plus foncée, tient du P et du Q cursifs ; la page suivante l'écrit nettement Q_u, et elle est rendue ainsi E(u) comme l'ens. somme des P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i), où les p_i : \Psi \to \mathbb{F}_2 (i \in E) sont induits par les projections \mathbb{F}_2^{Q_u} \xrightarrow{\mathrm{pr}_i} \mathbb{F}_2 (i \in Q_u), et C - E(u) comme P, donc C \simeq \Bigl( \coprod_{i \in E} P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i) \Bigr) \amalg P \amalg \lbrace u \rbrace . La recette pour ce dictionnaire est la suivante : E(u) est un ens. de cardinal 10 muni d'un automorphisme involutif d'ordre sans pt fixe (car tt él. de E(u) est lié à un et un seul él. de E(u), grâce à l'axiome des triangles), or une telle structure est déterminée par un Q_u de cardinal 5 (Q_u = E(u)/\sigma) et une famille d'ens. à 2 él. i.e. de \mathbb{F}_2-torseurs, paramétrisés par Q_u — i.e. un torseur Q sous (\mathbb{F}_2)^{Q_u}. D'autre part, tt x \in C - E(u) définit une partie de E(u) — savoir E(x) \cap E(u) — telle que sa représentation avec les classes sous \lbrace e, \sigma \rbrace i.e. les fibres de E(u) \to Q_u = \tilde{Q}_u i.e. les orbites \subset E(u), soit de cardinal 1. Or l'ens. de ces parties n'est autre que Q (qui est de cardinal 2^5 = 32) alors que C - E(u) est de card 16 = 32/2. On trouve que C - E(u) \to Q est injectif, et son image P est une torseur sous \Psi \subset \mathbb{F}_2^{Q_u} (\Psi = \operatorname{Ker}(\mathbb{F}_2^{Q_u} \to \mathbb{F}_2)) — donc on a sur Q une restriction du groupe« C - E(u) » s'entend ici, semble-t-il, privé de u : 1 + 10 + 16 = 27

« 15 », cerclé, en haut au centre

structural : \Psi. Donc la donnée de Q_u, Q avec cette restriction équivaut à celle de Q_u, P. Pour reconstituer le graphe C, il faut reconstituer la notion de « sommets liés » sur \lbrace u \rbrace \cup \underbrace{\Bigl( \coprod_i P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i) \Bigr)}_{E_p^{*}} \amalg P . sous l'accolade, après E_p^{*}, un signe raturé On déclare :

a) u est lié aux pts de E_p^{*}, et non à ceux de P

b) un a pt a de E_p^{*} est lié à \sigma a [i.e. si a \in P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i), il est lié à l'autre pt a' de cet ens.] et à aucun autre pt de E_p^{*}

c) un pt a de E_p^{*} est lié à un pt x de P ssi, prenant a \in P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i), a est dans l'image de x par l'application canonique P \to P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i).

d) Deux pts x, y de P sont liés ssi l'élément y - x = \alpha \in \Psi(Q_u) = \operatorname{Ker}(\mathbb{F}_2^{Q_u} \to \mathbb{F}_2) est de la forme e'_i (i \in Q_u), où e'_i = \sum_{j \in Q_u - \lbrace i \rbrace} e_j \in \Psi ((e_j)_{j \in Q_u} étant la base canonique de \mathbb{F}_2^{Q_u}). Ceci se fonde sur ledans (d), « \sum » est surmonté d'un trait ; la lecture « se fonde sur le » est incertaine

Lemme Soient u \in C, x, y \in C - E(u) - \lbrace u \rbrace. Pour que x et y soient liés, il faut et il suffit que l'on ~~puisse de l'ens.~~ existe ~~un triangle~~ (un et) un seul triangle ~~des 5 triangles~~ t de sommet u tel que t - E(x) = t - E(y) (NB les deux membres sont de la forme ~~réduits~~ réduit à un él. \neq u) ~~réduits~~ de cardinal 1) OPS x \neq y.les reprises de cet énoncé s'enchevêtrent ; l'ordre des insertions est celui qu'on a pu suivre

Dém. S'il n'existait aucun tel triangle, on aurait x - y = \sum_{i \in Q_u} e_i, or \sum e_i \notin \Psi, car 5 \neq 0 dans \mathbb{F}_2, absurde. Soit \lbrace u, v, w \rbrace un tel triangle, donc x, y sont liés tous deux à v ou w — disons v. Si y et x sont liés, la loi (ou la condition habituelle) y = \sigma x, on sait que pour tt a \in E(u)^{*} = E(u) - \lbrace v, w \rbrace, si x lié à a, \sigma x non lié à a et inversement.

« 16 », cerclé, en haut au centre

donc t = \lbrace u, v, w \rbrace est unique de son espèce. Si x et y sont non liés, on sait qu'il existe un (et = deux) a \in E(u)^{*} tel que a lié à la fois à x et y, donc t n'est unique de son espèce, cqfd.

Corollaire Le groupe W_u \subset W des automorphismes de C qui fixent u est isomorphe au groupe des couples (\varphi, \bar{\varphi}) d'un automorphisme \varphi \in \mathfrak{S}_{Q_u} de Q_u, et d'un \bar{\varphi} automorphisme du \Psi_{Q_u}-torseur P, où \bar{\varphi} est l'automorphisme de \Psi_{Q_u} induit par \varphi. Donc on a une suite exacte (splittée)

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & \Psi_{Q_u} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & W_u \arrow[r] & \mathfrak{S}_{Q_u} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & 1 \\ & \mathbb{F}_2^4 & & \mathfrak{S}_5 & \end{tikzcd}

au-dessus de (\Psi_{Q_u}), un mot biffé ; les deux isomorphismes verticaux sont écrits \wr

donc W_u \simeq groupe de Weyl W_{D_5} de D_5 (\simeq SO(10)) qui apparaît donc comme sous-groupe d'indice 27 dans W (\simeq W_{E_6}).

NB Il faudrait expliciter comment la donnée de (C, u) permet de définir un syst. de racines D_5 (plongé dans le syst. de racines E_6 associé à C) — donc définir un ens. de 40 « bases » (= racines) de C, stable par W : bien précises. Or on trouve qu'il y a 40 = (10 \cdot 8) : 2 = \binom{10}{2} - 5 ~~couples~~ paires d'éléments de E(u) non liés. Or le

Lemme Pour tt paire \lbrace \xi_1, \xi_2 \rbrace d'éléments non liés de

« 17 », cerclé, en haut au centre

E(u), \exists! base b \subset C telle que b \cap E(u) = \lbrace \xi_1, \xi_2 \rbrace et (si b' est la base opposée) on a b' \cap E(u) = \lbrace \sigma\xi_1, \sigma\xi_2 \rbrace, où \sigma est l'automorphisme can. d'ordre 2 de E(u).

NB On aura donc \sigma\xi_1 = \xi'_2, \sigma\xi_2 = \xi'_1. Alors b \cap E(u) = \lbrace \xi_1, \xi_2 \rbrace, b' \cap E(u) = \lbrace \sigma\xi_1, \sigma\xi_2 \rbrace.ligne ajoutée entre les lignes et rattachée par un trait ; les accents des \xi' sont d'une lecture incertaine

en oblique dans la marge gauche : « rappeler plus simple plus bas » Dém. Soit une base \lbrace \xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_6 \rbrace satisfaisant à la … On aura alors que u est lié à \xi_1, \xi_2, \xi'_1, \xi'_2, donc u = \bar{\xi}_{12}, et b \cap E(u) = \lbrace \xi_1, \xi_2 \rbrace, b' \cap E(u) = \lbrace \xi'_1, \xi'_2 \rbrace. Pour l'existence d'une base b satisfaisant les conditions envisagées, on voit que comme le groupe W_u est transitif sur l'ens. des ~~couples~~ paires \lbrace \xi_1, \xi_2 \rbrace non liés de E(u) et W = W_{E_6} transitif sur l'ens. des v \in C) on peut supposer, p.ex. : une base (\xi_1, \ldots, \xi_6) déjà donnée, que u = \bar{\xi}_{12}, \xi_1 = \bar{\xi}_1, \xi_2 = \bar{\xi}_2.la lettre de W_{E_6} est récrite sur une autre

Pour l'unicité, on voit que (3 \leqslant i \leqslant 6) lié à \xi_1, \sigma\xi_1 = \xi'_2, et \sigma\xi_2 = \xi'_1, distinct de \xi_1, E(u), d'après ce qui les \bar{\xi}_i, \bar{\xi}'_i (3 \leqslant i \leqslant 6) \in E(u), donc que par des \xi_j, \xi'_j, disons que \bar{\xi}_3 devrait : \xi_1, \xi_2 et lié à \xi'_1, \xi'_2 donc u n'est pas un \xi'_j, ni un \xi_j (car ce serait un \xi_j — \xi_j par lié à \xi'_1, \xi'_2, mais il le serait aussi à \xi_1, \xi_2, absurde), de = pour les \bar{\xi}'_i (3 \leqslant i \leqslant 6) cqfd.le milieu de ce paragraphe est un bloc de lignes biffées, encadré et barré de deux grands traits en croix ; seuls quelques signes s'y lisent à gauche du bloc biffé, deux segments issus d'un même point, aux extrémités marquées \xi_1 \to \sigma\xi_1 et \xi_2, \sigma\xi_2, joints par de petits traits

NB Positions relatives (i.e. à conjugaison près) d'un u \in C et d'une base b \subset C.

(i) u \in b. Pour u = \xi_1 fixé, il y a 16 telles bases, correspondant au choix d'un \xi_1 \in C - E(u)

(ii) u \in b' (base opposée). Pour u = \xi_1 fixé, 16 telles bases, correspondant au choix d'un \xi_1 \in C - E(u)

(iii) u \notin b \cup b'. Pour u fixé, il y a 40 telles bases (orthogonal à u) 16 + 16 + 40 = 72 à gauche de (i)-(iii), reliées à eux par des traits : \left.\begin{array}{l} r_b(u) = 1 \\ E(u) \cap b = \emptyset \\ \operatorname{card} E(u) \cap b' = 5 \end{array}\right\rbrace, \left.\begin{array}{l} r_b \cdot u = -1 \\ \operatorname{card} E(u) \cap b = 5 \\ E(u) \cap b' = \emptyset \end{array}\right\rbrace, \left.\begin{array}{l} r_b \cdot u = 0 \\ \operatorname{card} E(u) \cap b = 2 \\ \operatorname{card} E(u) \cap b' = 2 \end{array}\right\rbrace les \emptyset de la marge sont récrits sur d'autres signes ; la deuxième accolade porte E(u) \cap b^{*} ou b : lecture incertaine. Le total « 72 » est souligné deux fois