Cote n° 69 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Graphes cubiques : notes manuscrites (s.d.), lettre (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

2il numérote lui-même ses feuillets en haut, au centre : celui-ci porte « 1 », et la suite court jusqu'à « 17 » (page 20), avec deux feuillets « bis » (pages 12 et 16)

Th. Soit \(S\) un graphe tel que

a) \(\operatorname{card} S = 27\)

b) \(\forall s \in S\), \(\operatorname{card} E(s) = 10\) (\(E(s) = \lbrace t \in S \mid t \text{ lié à } s \rbrace\))

c) \(\forall s, t \in S\), \(s, t\) liés, \(\exists!\, u \in S\), \(u\) lié à \(s\) et \(t\).

Alors (et alors seulement) \(S\) est un graphe cubique.

Dém. Soient \(u \in S\), \(v \in E(s)\) (\(\operatorname{card} S \geqslant 27\) !) \(v \in E(u)\) i.e. \(v\) lié à \(u\) (\(\operatorname{card} E(u) = 10\)), \(w \in S\) tel que \(w\) lié à \(u\) et \(v\) (axiome c)). ⌜On dit que \(T = \lbrace u, v, w \rbrace\) est un « triangle ».⌝

Lemme 1. Tout \(s \in S - \lbrace u, v, w \rbrace\) ⌜\(= S^{*}\)⌝ est lié à un et un seul des él. \(u, v, w\) [i.e. \(S^{*} = S - \lbrace u, v, w \rbrace\) est réunion disj. de \(E(u)^{*} = S^{*} \cap E(u)\), \(E(v)^{*}\), \(E(w)^{*}\) (chacun de cardinal 8)].

Comme \(\operatorname{card} E(u) = 10\), tiens … \(\operatorname{card} E(u) \cap S^{*} = 8\) car \(E(u) \cap S^{*} = E(u) - \lbrace v, w \rbrace\), de même \(\operatorname{card} E(v) \cap S^{*}\), \(E(w) \cap S^{*}\) ⌜(\(E(v)^{*}\), \(E(w)^{*}\))⌝ sont de cardinal 8. Or (par c)), \(E(u) \cap E(v) = \lbrace w \rbrace\) donc \(E(u)^{*} \cap E(v)^{*} = \emptyset\) et de même pour les autres 2 couples, donc \(E(u)^{*}, E(v)^{*}, E(w)^{*}\) disjoints, donc la […] ⌜réunion⌝ est de cardinal \(3 \times 8 = 24\). Comme \(S^{*}\) est de cardinal \(27 - 3 = 24\) par a), on trouve que \(S^{*}\) est réunion (disjointe) des \(E(u)^{*}, E(v)^{*}, E(w)^{*}\), cqfd.

Lemme 2. \(\forall x \in E(u)^{*}\), \(\exists!\) \(x'\) \(\in E(v)^{*}\) lié à \(x\). (De même pour \(v, w\)).le \(E(u)^{*}\) de l'énoncé est récrit sur un premier \(E(\ldots)\) chargé d'encre En effet, l'unicité ⌜des liés⌝ reformulation de c).

Corollaire. \(\exists!\, \sigma = \sigma_T : S \to S\) tel que \(\sigma_T\) laisse inv. \(u, v, w\) et que \(\forall x \in S^{*} = S - \lbrace u, v, w \rbrace\), \(\sigma(x)\) soit lié à \(x\) et \(x\) et \(\sigma_T(x)\) liés au même élément \(u, v, w\) de \(T\).« même » est écrit comme un signe \(=\) en marge gauche, un triangle de sommets \(w\) (en haut), \(u\) et \(v\) (en bas), et un point \(x\) relié à \(u\) par un trait

Ainsi, dès que \(E(u)^{*}, E(v)^{*}, E(w)^{*}\) se décomposent par 4 couples de ⌜pts liés⌝.

Lemme 3. Soit \(x \in E(u)^{*}\). Alors \(\operatorname{card} E(x) \cap E(w)^{*} = 4\).

Si \(x \in E(u)^{*}\), \(y \in E(w)^{*}\), et si \(x\) et \(y\) liés, \(x\) et \(\sigma_T(y)\) non liés (et inversement.) En d'autres termes, \(E(x) \cap E(w)^{*}\) contient un élément et un seul de chaque paire de sommets liés de \(E(w)^{*}\).

Dém. Si \(x\) était lié à \(y\), il ne peut être lié à \(\sigma_T y\), sinon \(\lbrace y\) et \(\sigma_T(y) \rbrace\) seraient côté de deux triangles distincts \(\lbrace w, y, \sigma_T(y) \rbrace\) et \(\lbrace x, y, \sigma_T(y) \rbrace\). Il faut […] ⌜de \(x\) et \(\sigma_T(y)\)⌝ […] les […].

3« 2 » en haut au centre

Considérons \[ A_x = E(x) \cap \lbrace S^{*} - \sigma_T(x) \rbrace = E(x) \cap (E(v)^{*} \cup E(w)^{*}) = E(x) - \lbrace u, \sigma(x) \rbrace \] son cardinal est \(10 - 2 = 8\) par b), supposons que : il se décompose en réunion disjointe de \(E(x) \cap E(v)^{*} = A_v\) et \(E(x) \cap E(w)^{*} = A_w\), supposons que l'un des deux […] ⌜\(A_v\), \(A_w\) (disons \(A_w\))⌝ de cardinal \(\geqslant 4\), p.ex. \(> 4\) (sinon on intervertit \(v\) et \(w\)). Alors \(\exists\, y, y'\) liés dans \(E(w)^{*}\) qui sont liés […] \(x\), absurde […]

Corollaire. Si \(x \in E(u)\), \(y \in E(w)\) sont liés, \(\sigma_T(x)\) et \(\sigma(y)\) sont liés (et inversement.)

Si \(x\) lié à \(y\), \(x\) non lié à \(y' = \sigma_T(y)\), donc \(\sigma_T(x)\) lié à \(y'\), cqfd.

Corollaire. \(\sigma_T = \sigma\) est un automorphisme de \(S\).

NB Lemme 4. Soient \(x, y \in E(u)^{*}\) non liés. Alors \(\operatorname{card} E(x) \cap E(y) \cap E(w)^{*} = 2\). i.e. \(\operatorname{card} \omega_x\) … Dém. S'il était \(\neq 2\), il […] \(> 2\) […] par \(\sigma(y)\).tout ce passage est barré en travers et recouvert de boucles ; un dessin, barré lui aussi, s'y mêle barré avec le Lemme 4 : un triangle de sommets \(w\), \(u\), \(v\), dont les côtés se prolongent en trois demi-droites marquées \(\gamma_4\), \(\beta_4\), \(\alpha_4\)

⌜Introduisons \(P_u = E(u)^{*}/\sigma\) […] et \(\omega_v(x) =\) image de \(E(x) \cap E(v)^{*}\) dans \(P_v\), donc \(\omega_v(\sigma x) = \complement \omega_v(x)\).⌝ajout serré dans la marge de droite ; le signe devant \(\omega_v(x)\) est lu comme le complémentaire

Soient \(x, y \in E(u)^{*}\), considérons \[ \omega_v(x) = E(x) \cap E(v)^{*}, \qquad \omega_v(y) = E(y) \cap E(v)^{*} \] et comme donc on peut considérer \(\omega_v(y)\) et \(\omega_v(x)\) comme 2 sections de \(E(v)^{*}\) sur \(P_v = E(v)^{*}/\mathbb{F}_2\), dont leur différence est un élément \[ \delta_v(x, y) \in \mathbb{F}_2(P_v) \]

NB \(\delta_v(x, \sigma(y)) = \delta_v(\sigma x, y) = \delta_v(x, y) + \mathbf{1}_v\)un 1 à double barre (fonction cte égale à 1 sur \(P_v\))

Donc \[ \left\lbrace \begin{aligned} \operatorname{supp} \delta_v(x, y) &= \lbrace \beta \in P_v \mid \omega_v(x) \cap \beta \neq \omega_v(y) \cap \beta \rbrace \\ P_v - \operatorname{supp} \delta_v(x, y) &= \lbrace \beta \in P_v \mid \omega_v(x) \cap \beta = \omega_v(y) \cap \beta \rbrace \end{aligned} \right. \] \(=\) image de \(\omega_v(x) \cap \omega_v(y)\) dans \(P_v\).

Lemme 4. \(\operatorname{Card} \operatorname{supp} \delta_v(x, y) = 2\), Supposons \(x, y \in E(u)^{*}\), \(x\) et \(y\) non liés, alors \(\operatorname{card} \operatorname{supp} \delta_v(x, y) = 2\) [i.e. \(\operatorname{card} \omega_v(x) \cap \omega_v(y) = 2\), où \(\omega_v(x) \cap \omega_v(y) = E(x) \cap E(y) \cap E(v)^{*}\)].

Sinon, ce cardinal serait \(> 2\) ou \(< 2\), et quitte à remplacer \(y\) par \(\sigma(y)\), on peut supposer […]

4« 3 », cerclé, en haut au centre

qu'il est \(> 2\). Soient donc ⌜d'abord⌝ \(s, t \in E(w)^{*}\) liés ⌜tous deux⌝ […] lié à \(v\).

Lemme 5. a) Soient \(x \in E(u)^{*}\), \(s \in E(w)^{*}\), \(x\) et \(s\) liés. Soit \(\xi \in\) \(E(\ldots)\) lié à \(x\) et \(s\) ⌜(\(\xi\) lié […])⌝. Alors \(\xi \in E(v)^{*}\).

b) Soient \(x, y \in E(u)^{*}\), \(s, t \in E(w)^{*}\), \(x\) et \(y\) liés à \(s\) et à \(t\). [donc par lemme 3, \(x\) et \(y\) non liés, \(s\) et \(t\) non liés]. Soit Soient \(\xi, \xi'\) tels que \(\xi\) \((x, s)\) et \((y, t)\) \(\xi\) lié à \(x\) et \(s\), \(\xi'\) lié à \(y\) et \(t\). Alors \(\xi, \xi' \in E(v)^{*}\), et \(\xi, \xi'\) liés.

Démonstration du lemme 5. Soient a) On a \(\xi \in S^{*}\) car \(\xi \neq u, v, w\) (car \(u\) non lié à \(s\), \(v\) non lié à \(x\), \(w\) lié ni à \(x\) ni à \(s\)) et \(\xi \notin E(u)^{*}\), sinon on aurait \(\xi = \sigma(x)\) et \(\xi\) non lié à \(s\) par lemme 3, de \(=\)« de même » \(\xi \notin E(w)^{*}\), donc \(\xi \in E(v)^{*}\).

b) Comme \(\lbrace x, \xi, s \rbrace\) est un triangle, \(\xi'\) est lié à un ⌜sommet⌝ et (et un seul) de ce triangle. Or il n'est pas lié à \(x\) (sinon \(\lbrace \xi', t \rbrace\) seraient côtés de deux triangles distincts \(\lbrace \xi', t, x \rbrace\) et \(\lbrace \xi', t, y \rbrace\)) ni à \(s\) ([…] raison symétrique) donc il est lié à \(\xi\). à gauche du texte, un quadrilatère \(x\), \(t\), \(y\), \(s\) (côtés \(xt\), \(ty\), \(ys\), \(sx\)) ; de \(x\) descend un triangle pointant vers \(\xi\), de \(t\) un autre pointant vers \(\xi'\)

Dém. du lemme 4. Supposons \(x, y \in E(u)^{*}\) ⌜(\(x \neq y\))⌝ liés à \(s, t, r \in E(w)^{*}\) ⌜distincts⌝. Considérons le triangle \(\lbrace x, s, \xi \rbrace\), donc (lemme 5 a)) \(\xi \in E(v)^{*}\), et si \(\xi' = \sigma(t) \in E(v)^{*}\) ⌜on applique à \((x, y)\), \((s, t)\)⌝ (d'après le lemme 5 b)) \(\lbrace\)\(y\)\(, t, \xi' \rbrace\) est un triangle, mais aussi \(\lbrace y, r, \xi' \rbrace\) en appliquant à \((x, y)\) \((s, r)\). Donc \(\lbrace y, \xi' \rbrace\) appartient à 2 triangles, absurde.dans la marge, à hauteur de ces lignes : « \(x\) \(y\) \(s\) \(t\) \(r\) »

Lemme 6 ⌜Corollaire.⌝ Il existe une application ⌜bijective, canon.⌝ et une seule de \(\Pi_{22}(P_u)\) dans \(\Pi_{22}(P_w)\) (\(\Pi_{22}\) indique partitions de type \(2.2\)) telle que pour ⌜tout⌝ couple \(x, y\) de pts […] à 2 […] […] liés de \(E(u)^{*}\), la partition […] on ait \[ c_{w,u}\bigl(\lbrace \pi_u\lbrace x, y \rbrace, \complement_{P_u} \pi_u\lbrace x, y \rbrace \rbrace\bigr) = \lbrace \operatorname{supp} \delta_v(x, y), \operatorname{supp}(\delta_v(x, y) + \mathbf{1}_{P_v}) \rbrace . \] \(\pi_u : E_u^{*} \to P_u = E_u^{*}/\mathbb{F}_2\) le mot qui précède « liés » est pris dans les lignes biffées ; le lemme 4 porte sur des points non liés

5« 4 », cerclé, en haut au centre

Il faut montrer que le 2^ième mb ne dépend que de la partition \(\in \Pi_{22}(P_u)\), pas du choix de \((x, y)\) ! Pour ceci, on note

a) Elle est indépendante par permutation de \(x\) et \(y\) […] (car \(\delta_v(x, y) = \delta_v(y, x)\))

b) Elle ne change pas si on change \(x\) et \(\sigma(x)\) (donc aussi \(y\) en \(\sigma(y)\), ou \(x\) en \(\sigma(x)\) et \(y\) en \(\sigma(y)\)) (car \(\delta_v(\sigma x, y) = \delta_v(x, y) + 1\))

c) Si \(x, y\) sont fixés, posons ⌜prenons⌝ \(s \neq t\) \(\lbrace s, t \rbrace =\) \(E(x) \cap E(y) \cap E(\ldots)\) ⌜(lemme 4)⌝ \(E(x) \cap E(y) \cap E(w)^{*}\), donc […] \(\lbrace x, y \rbrace = E(s) \cap E(t) \cap E(u)^{*}\), soient ⌜liés⌝ \(\lbrace x', y' \rbrace = E(s) \cap E(\sigma(t)) \cap E(u)^{*}\), alors \(\pi_u(\lbrace x', y' \rbrace) = \complement_{P_u} \pi_u(\lbrace x, y \rbrace)\), donc \(x', y'\) et \(\lbrace x', y' \rbrace\) donne donc lieu à la même partition \(\in \Pi_{2,2}(P_u)\) que \(\lbrace x, y \rbrace\), mais à \(\lbrace x', y' \rbrace\) la recette prise de l'énoncé du corollaire associe la partition en \(\pi_v(E(x') \cap E(y') \cap E(v)^{*})\) [\(= \lbrace s, \sigma(t) \rbrace\)] et son complémentaire, qui […] est égale à \(\pi_v\lbrace s, t \rbrace\) [\(= \operatorname{supp}(\delta_v(x, y) + 1)\)] et son complémentaire …

Énoncé plus fort :

Corollaire 2. Soit \(\mathfrak{P}'_2(E_u^{*})\) l'ens. des couples ⌜parties à⌝ 2 él. distincts de \(E_u^{*}\) formées de deux él. non liés.la lettre qu'il écrit ici est une grande P cursive, rendue \(\mathfrak{P}\) dans tout le lot Soit \(R_{u,v}\) la relation […] dans \(\mathfrak{P}'_2(E_u^{*}) \times \mathfrak{P}'_2(E_v^{*})\) : \[ R_{u,v}(\alpha, \beta) \overset{\text{déf}}{\iff} \text{tt él.\ de } \alpha \text{ est lié à tt él.\ de } \beta . \] Alors \(R_{u,v}\) ⌜définit⌝ une bijection de \(\mathfrak{P}'_2(E_u^{*})\) sur \(\mathfrak{P}'_2(E_v^{*})\), soit \(\varphi\) \[ \tilde{\varphi}_{vu} : \mathfrak{P}'_2(E_u^{*}) \to \mathfrak{P}'_2(E_v^{*}) \] \[ \tilde{\varphi}_{vu}(\sigma \tilde{\alpha}) = \sigma \tilde{\varphi}_{vu}(\tilde{\alpha}), \qquad \pi_v \tilde{\varphi}_{vu}(\lbrace x, \sigma y \rbrace) = \complement_{P_v} \pi_v \tilde{\varphi}_{vu}(\lbrace x, y \rbrace) \] en oblique dans le coin inférieur gauche : Énoncé plus simple avec \(R'_{u,v}(\alpha, \beta)\) : tt él. de \(\alpha\) non lié à tt él. de \(\beta\), [\(\iff R_{u,v}(\sigma\alpha, \beta) \iff R_{u,v}(\alpha, \sigma\beta)\)] et car les applications \(\varphi'_{vu} : \mathfrak{P}_2(E_u^{*}) \to \mathfrak{P}_2(E_v^{*})\) forment un syst. transitif d'iso (compris […] lemme 6 ci-dessous)

6« 5 », cerclé, en haut au centre

donc la partition définie par \(\pi_u(x, \sigma y\) \(\pi_v \tilde{\varphi}_{vu}(\lbrace x, y \rbrace)\) ne change pas en remplaçant \(x\) par \(\sigma(x)\), ou \(y\) par \(\sigma(y)\), ou les deux à la fois) donc ne dépend que de \(\pi_u \varphi\) \(\alpha = \pi_u(\lbrace x, y \rbrace) \in \Pi_{2,2}(P_u)\) ; enfin, elle ne change pas si on remplace \(\alpha\) par \(\complement_{P_u} \alpha\) … en haut à gauche, une rangée de petits schémas : des segments aux extrémités marquées \(x\ x'\), \(y\ y'\), \(\xi\ \xi'\), \(\eta\ \eta'\), \(s\ s'\), \(t\ t'\), surmontés d'arcs en chevrons qui relient les segments, et sous eux des colonnes \(\binom{s}{t}\), \(\binom{s'}{t'}\), \(\binom{s}{t'}\), \(\binom{s'}{t}\), \(\binom{x}{y}\), \(\binom{x'}{y'}\), \(\binom{x}{y'}\), \(\binom{x'}{y}\) ; un trait vertical sépare les deux premiers groupes, et le dernier groupe (avec \(u'\), \(v'\)) est couvert de hachures

Corollaire ⌜Lemme⌝ 6. \(c_{wv} c_{vu} = c_{wu}\) — donc les \(c_{..}\) définissent un syst. transitif d'iso entre les \(\Pi_{22}(P_u)\), \(\Pi_{22}(P_v)\), \(\Pi_{22}(P_w)\).

Soit \(\lbrace s, t \rbrace = c_{vu}\lbrace x, y \rbrace\) ⌜(\(x, y \in E(u)^{*}\) non liés)⌝, soit \(\xi \in E(w)^{*}\) lié à \(x\) et \(s\), (lemme 5 a)), \(\eta \in E(w)^{*}\) lié à \(y, t\). en marge, les points \(w\) (en haut), \(u\), \(v\), et un angle droit de sommet \(s\) ; \(x\) et \(y\) à gauche, \(t\) à côté de \(s\)

Cela résulte ⌜est inclus dans le⌝ résultat plus précis

Corollaire. \[ \tilde{\varphi}_{wv} \tilde{\varphi}_{vu}(\tilde{\alpha}) = \sigma\bigl( \tilde{\varphi}_{wu}(\tilde{\alpha}) \bigr) \quad \text{i.e.} \quad \tilde{\varphi}_{wv} \tilde{\varphi}_{vu} = \sigma \tilde{\varphi}_{wu} \] i.e. \[ \left. \begin{array}{ll} x, y \in E(u)^{*} & x, y \text{ liés à } s, t \\ s, t \in E(v)^{*} & s, t \text{ liés à } \xi, \eta \\ \lbrace \xi, \eta \rbrace \in E(w)^{*} & \end{array} \right\rbrace \Longrightarrow x, y \text{ liés à } \sigma\xi, \sigma\eta \] les lettres \(\xi\), \(\eta\) de ces trois lignes sont d'une lecture incertaine, et la dernière est récrite sur une autre à gauche, deux figures en perspective : un prisme de sommets \(x\), \(y\), \(s\), \(t\) en bas et \(\xi\), \(\xi'\), \(\eta\), \(\eta'\) en haut ; au-dessous, une seconde figure, plus grande, sur les mêmes lettres, en partie couverte de hachures

Prenons d'abord le lemme 6. Comme dans lemme 5, complétons les triangles \[ (x, s, \xi), \ (y, t, \xi') \quad (\xi, \xi' \in E(w)^{*} \text{ sont liés}) \] \[ (x, t, \eta), \ (y, s, \eta') \quad (\eta, \eta' \in E(w)^{*} \text{ sont liés}) \] Alors \(\xi\) lié à \(s\), non à \(t\) (sinon \((\xi, t)\) appartiendrait à 2 triangles de sommets \(x\), \(\xi'\)) de \(=\) \(\eta\) lié à \(t\), non à \(s\), donc cela montre que \[ \lbrace \pi_w(\lbrace \xi, \eta \rbrace), \complement_{P_w} \pi_w(\lbrace \xi, \eta \rbrace) \rbrace = c_{wv}\bigl(\pi_v\lbrace s, t \rbrace, \complement \pi_v(\lbrace s, t \rbrace)\bigr), \] Mais aussi \(\xi\) lié à \(x\), non à \(y\), \(\eta\) lié à \(x\), non à \(y\), donc \[ \lbrace \pi_w(\lbrace \xi, \eta \rbrace), \complement \pi_w(\lbrace \xi, \eta \rbrace) \rbrace = c_{wu}\bigl(\pi_u(\lbrace x, y \rbrace), \complement \pi_u(\lbrace x, y \rbrace)\bigr) \]

7« 6 », cerclé, en haut au centre

cqfd.

Ceci étant soient \(p \neq q \in E(w)^{*}\) liés à \(s, t\), on sait ⌜donc⌝ qu'ils sont non liés à \(\xi, \xi', \eta, \eta'\) et non liés entre eux i.e. \(E(w)^{*} = \lbrace \xi, \xi', \eta, \eta', p, p', q, q' \rbrace\), où \(p' = \sigma p\), \(q' = \sigma q\). On a \(p\) non lié à \(x\) (sinon \(p\,x\) appartiendrait à 2 triangles de sommets \(s, t\)) de \(=\) \(p\) non lié à \(y\), donc \(p'\) lié à \(x\) et \(y\). de \(=\) \(q'\) lié à \(x\) et \(y\), i.e. \[ \lbrace p', q' \rbrace = \tilde{\varphi}_{wu}(\lbrace x, y \rbrace) \] ce qui prouve le corollaire. en marge gauche, un quadrilatère \(x\), \(s\), \(y\), \(t\) (côtés \(xs\), \(sy\), \(yt\), \(tx\)) et un point \(p\) au-dessus, relié à \(s\) et à \(t\)

un trait horizontal sépare ce qui suit

On identifie entre eux les \(\Pi_{22}(P_u, P_v, P_w)\), soit \(\sqsupset\) de cardinal 3.le signe qu'il donne à cet ensemble à trois éléments a la forme d'un crochet \(\sqsupset\) [Soit \(V\) le vectoriel de dim 2 sur \(\mathbb{F}_2\) associé (\(\sqsupset = V^{*}\)) donc \(P_u, P_v, P_w\) s'identifient comme des torseurs sous \(V^{*}\). Soit \(I = \lbrace u, v, w \rbrace\).

On a Soit \(\tilde{\Gamma}\) l'ens. des triangles \(\subset S^{*}\), on voit que \[ \tilde{\Gamma} \xrightarrow{\ \sim\ } \prod_{x \in E(u)^{*}} \omega_v(x) \] [\(E(u)^{*}\) : card. 8 ; \(\omega_v(x)\) : card 4] donc \(\operatorname{card} \tilde{\Gamma} = 32\).le signe est bien un \(\prod\) ; le cardinal \(32 = 8 \cdot 4\) est celui de la somme disjointe Soit \(\Gamma = \tilde{\Gamma}/\sigma\) (de cardinal 16)

Th Lemme 7. \(\Gamma \to P_u \times P_v \times P_w\) [cardinal \(64 = 4 \cdot 4 \cdot 4\)] est injectif, et […] ⌜l'image de \(\Gamma\)⌝ est un sous-torseur sous \(\Psi(V) \subset V \times V \times V\), (\(\Psi(V) = \lbrace (x, y, z) \in V \times V \times V \mid x + y + z = 0 \rbrace\)).

Dém. Soient \((x, s, \xi)\), \((y, t, \eta)\) deux triangles ayant même image dans \(P_u \times P_v \times P_w\). Quitte à appliquer \(\sigma\) une ou 2 fois, OPS \(y = x\). Alors \(s\) et \(t \in E(v)^{*}\) liés à \(x\) : \(x\) ne peut être […] \(t = \sigma s\), donc \(t = s\), de \(=\)

8« 7 », cerclé, en haut au centre

\(\xi = \eta\), d'où l'injectivité. Montrons que \(\Gamma\) est stable par les éléments de \(N_u = \operatorname{Ker}(\Psi \xrightarrow{\mathrm{pr}_1} V)\) (idem […] pour \(N_v\) et \(N_w\)) — il s'ensuivra qu'il est stable par \(\Psi = N_u + N_v\), donc (étant de cardinal \(16 = \operatorname{card} \Psi\)) c'est un torseur sous \(\Psi\). Ceci équivaut à —

Corollaire. Soient \(x \in E(u)^{*}\), \(s \in E(v)^{*}\), \(\xi \in E(w)^{*}\) formant triangle. Alors Soit […] \(t \in E(v)^{*}\) ⌜\(t \neq s\)⌝ non lié à \(s\), et lié à \(\xi\) (il y en a trois), et soit \(\eta\) l'élément de \(E(w)^{*}\) distinct de \(\xi\) lié à \(s, t\) (lemme 4). Alors \[ (\pi_u(x), \pi_v(t), \pi_w(\eta)) \in \operatorname{Im}(\Gamma \to P_u \times P_v \times P_w), \] i.e. \(\lbrace x, y, t \rbrace\) est un triangle, […] Alors plus précisément \((x, \sigma t, \sigma\eta)\) est un triangle. en marge gauche, un triangle \(u\), \(v\), \(w\) ; plus bas, un quadrilatère \(\xi\), \(s\), \(\eta\), \(t\) avec la diagonale \(s t\), et \(x\) relié à \(\xi\) par un chevron

Dém. Comme \(x\) est lié à \(s\) et \(\xi\), liés resp. à \(\eta\) et \(t\), il ne peut être lié à \(t\) ni \(\eta\), donc il est lié à \(\sigma t\) et \(\sigma\eta\), qui sont liés entre eux (qui puisque \(t\) et \(\eta\) le sont) cqfd.

NB Les données de \(V\) et des torseurs \(\Gamma\) sous \(\Psi(V)\) permet de reconstituer \(P_u, P_v, P_w\) et le système de « triangles » dans \(P_u \times P_v \times P_w\). Il faut ⌜encore⌝ reconstituer les rev. à 2 feuillets \(E(u)^{*}, E(v)^{*}, E(w)^{*}\) ⌜(\(= \tilde{P}_u\), \(= \tilde{P}_v\), \(= \tilde{P}_w\))⌝ de \(P_u, P_v, P_w\), et le revêtement à 2 feuillets \(\tilde{\Gamma}\), et les liens \(\tilde{\Gamma} \to \tilde{P}_u\) etc. sur \(\Gamma \to P_u\) etc.]

…

9« 8 », encadré, en haut au centre

Épilogue. Fixons un triangle \((\alpha_4, \beta_4, \gamma_4) \in \tilde{\Gamma}\) (\(\alpha_4 \in E(u)^{*}\), \(\beta_4 \in E(v)^{*}\), \(\gamma_4 \in E(w)^{*}\)). Alors \(\Pi_{22}(P_u)\) s'identifie à \(P_u - \lbrace \pi_u(\alpha_4) \rbrace\), de \(=\) …. Ordonnons \(V^{*}\), donc les \(P_u - \lbrace \pi_u(\alpha_4) \rbrace\) etc. Dans \(E(u)^{*} - \lbrace \alpha_4 \rbrace\) sur \(P_u - \lbrace \pi_u(\alpha_4) \rbrace\) il y a une section \(\lbrace \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \rbrace\), définie par \[ \mathrm{I}_0 \left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \ (\text{et } \alpha_4) & \text{liés à} & \beta_4 \\ \beta_1, \beta_2, \beta_3 \ (\text{et } \beta_4) & \text{---} & \gamma_4 \\ \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3 \ (\text{et } \gamma_4) & \text{---} & \alpha_4 \end{array} \right. \quad ; \text{ de } = \ldots \] les tirets de ces tableaux sont ses signes de répétition (« liés à »)

Ainsi, en termes d'un ordre total sur \(\sqsupset = V^{*}\) et d'un ordre total (ou seulement un ordre circulaire) sur […] \(I = \lbrace u, v, w \rbrace\), on a étiqueté les \(24\) ⌜\(= 2 \times 12 = 2 \times (3 \times 4)\)⌝ élts. de \(S^{*}\) (les pts autres que \(u, v, w\)) par les \[ \alpha_i, \ \beta_i, \ \gamma_i, \qquad \alpha'_i = \sigma\alpha_i, \ \beta'_i = \sigma\beta_i, \ \gamma'_i = \sigma\gamma_i . \]

De (I), et lemme 3, on déduit \[ [0] \quad \alpha_i \text{ lié à } \alpha'_i \ / \ \beta_i \text{ à } \beta'_i \ / \ \gamma_i \text{ à } \gamma'_i \] \[ \mathrm{I}' \left\lbrace \begin{array}{llll} \alpha'_i & \text{liés à } \beta'_4, & \text{non à } \beta_4 & \text{ni entre eux} \\ \beta'_i & \text{---} \ \gamma'_4, & \text{non à } \gamma_4 & \text{ni entre eux} \\ \gamma'_i & \text{---} \ \alpha'_4, & \text{non à } \alpha_4 & \text{ni entre eux} \end{array} \right. \qquad \mathrm{I} \left\lbrace \begin{array}{llll} \alpha_i & \text{liés à } \beta_4, & \text{non à } \beta'_4 & \text{ni entre eux} \\ \beta_i & \text{---} \ \gamma_4 & \text{---} \ \gamma'_4 & \text{---} \\ \gamma_i & \text{---} \ \alpha_4 & \text{---} \ \alpha'_4 & \text{---} \end{array} \right. \] sur la page, (I′) est écrit au-dessus de (I) et une flèche les relie ; dans la première ligne de (I′) quelques lettres après \(\alpha'_i\) sont biffées. La première ligne de (I′) porte \(\beta_4\), \(\beta_4\) là où le tableau (I) invite à lire \(\beta'_4\), \(\beta_4\) : les accents sont d'une lecture incertaine

Lemme 8 (\(1 \leqslant i \leqslant 3\)) \[ \mathrm{II} \left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha_i \text{ liés à } \gamma'_4, & \text{non à } \gamma_4 \\ \beta_i \ \text{---} \ \alpha'_4, & \text{---} \ \alpha_4 \\ \gamma_i \ \text{---} \ \beta'_4, & \text{---} \ \beta_4 \end{array} \right. \qquad \mathrm{II}' \left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha'_i \ \text{---} \ \gamma_4, & \text{non à } \gamma'_4 \\ \beta'_i \ \text{---} \ \alpha_4, & \text{---} \ \alpha'_4 \\ \gamma'_i \ \text{---} \ \beta_4, & \text{---} \ \beta'_4 \end{array} \right. \]

10« 9 », cerclé, en haut au centre

Il suffit de prouver que \(\alpha_i\) non lié à \(\gamma_4\), mais comme il est lié à \(\beta_4\), \((\beta_4, \gamma_4)\) serait […] ⌜côté⌝ de deux triangles (de sommets \(\alpha_i\) et \(\alpha_4\)), cqfd à gauche, un triangle \(\alpha_4\), \(\beta_4\), \(\gamma_4\), et un trait de \(\beta_4\) à \(\alpha_i\)

Lemme 9 \[ \mathrm{III} \left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha_i \text{ lié à } \beta_j, \gamma_j, \beta'_i, \gamma'_i & (1 \leqslant i \neq j \leqslant 3) & \text{non à } \beta'_j, \gamma'_j, \beta_i, \gamma_i \\ \beta_i \text{ lié à } \gamma_j, \alpha_j, \gamma'_i, \alpha'_i & (\text{---}) & \text{---} \ \gamma'_j, \alpha'_j, \gamma_i, \alpha_i \\ \gamma_i \ \text{---} \ \alpha_j, \beta_j, \alpha'_i, \beta'_i & (\text{---}) & \text{---} \ \alpha'_j, \beta'_j, \alpha_i, \beta_i \end{array} \right. \] \[ \mathrm{III}' \left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha'_i \text{ lié à } \beta'_j, \gamma'_j & \text{--} & \text{--} \\ \text{--} & \text{--} & \text{--} \\ \text{--} & \text{--} & \text{--} \end{array} \right. \] dans (III), les deux derniers termes des colonnes « lié à » sont récrits sur d'autres lettres et leur accent est d'une lecture incertaine ; (III′) n'est écrit que pour sa première ligne, le reste en signes de répétition. La première lettre de (III′) est lue \(\alpha'_i\) par symétrie avec (II′) ; la page porte peut-être \(\alpha_i\)

Il reste à voir que \(\alpha_1\) lié à \(\beta_2\), \(\beta_3\) ⌜non à \(\beta_1\)⌝. Or \[ \begin{array}{ll} \alpha_4 \text{ lié à} & \beta'_1, \beta'_2, \beta'_3, \beta_4 \quad (\text{lemme } 8) \\ \alpha_1 \text{ lié à} & ? \quad ? \quad ? \quad \beta_4 \end{array} \] Donc l'ens. des coïncidences entre \(\omega_v(\alpha_1)\) et \(\omega_v(\alpha_4)\) doit être dans la partition \((1, 4)\,(2, 3)\), se donc être \(\beta_4\) \((1, 4)\) puisqu'il contient 4, donc \[ \alpha_1 \text{ lié à } \beta'_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4 \qquad \text{cqfd.} \] « se donc être » est lu tel quel ; la lettre devant \((1,4)\) est chargée d'encre

Conséquence : \(S\) est déterminé par les conditions de départ, à isom. près. […] donc un graphe cubique

cqfd

en bas à droite : « TSVP »

11« 10 », cerclé, en haut au centre

De plus, on trouve ceci :

Considérons les diagrammes ⌜graphes⌝ suivants \[ \begin{array}{lll|l} D_0 = \emptyset & & & 1 \\ \cap \ D_1 = \bullet\, u & \text{pt} & & 27 = 3^3 . \\ D_2 = u \,\text{---}\, v & \text{arête} & & 27 \cdot 10 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270 \\ \cap \ D_3 = \text{triangle } u, v, w & \text{triangle} & & 27 \cdot 10 \cdot 1 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 270 \\ D_4 & \text{\struck{triangle} \add{balise}} & & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5 = 2160 \\ \cap \ D_5 & \text{préprisme (triangulaire)} & & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 = 8640 \\ \cap \ D_6 & \text{prisme (triangulaire)} & & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 1 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 = 8640 \\ \cap \ D_7 & \text{bitriangle} & & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 = 8640 \end{array} \] la colonne de gauche est une suite de dessins, reliés par des signes \(\cap\) d'inclusion ; \(D_1\), \(D_3\) et \(D_7\) sont cerclés. La colonne de droite est séparée des autres par un trait vertical les graphes \(D_i\) : \(D_1\) le point \(u\) ; \(D_2\) l'arête \(u v\) ; \(D_3\) le triangle \(u, v, w\) ; \(D_4\) le triangle \(u, v, w\) avec une arête pendante \(u u'\) ; \(D_5\) le triangle \(u, v, w\) et, au-dessous, \(u'\), \(v'\) (la moitié inférieure d'un rectangle hachurée, reprise) ; \(D_6\) un prisme triangulaire à bases \(u, v, w\) et \(u', v', w'\) ; \(D_7\) deux prismes accolés par une face, avec les sommets \(u, v, w, u', v', w', w''\) et \(w'''\), dessin repris sur une première esquisse hachurée

Soit ⌜\(\mathrm{Pl}_i =\)⌝ \(\mathrm{Pl}(D_i, C)\) l'ens. des plongements ⌜(« pleins »)⌝ de \(D_i\) dans \(C\), \(W = \operatorname{Aut} C\), \(G_i = \operatorname{Aut} D_i\). Alorssa lettre \(W\) est barrée d'un trait oblique

b) ⌜c)⌝ Les \(\mathrm{Pl}(D_i, C)\) sont des espaces homogènes (non vides) sous \(W\)

a) Les morphismes \(\mathrm{Pl}(D_{i+1}, C) \to \mathrm{Pl}(D_i, C)\) (\(0 \leqslant i \leqslant 6\)) transposés des inclusions \(D_i \subset D_{i+1}\) sont surjectifs et sont des rev. d'ordres respectifs \(27, 10, 1, 8, 4, 1, 1\)

b) (Par conséquent) les cardinaux des \(\mathrm{Pl}_i\) sont les nbs marqués dans la colonne de droite.)une flèche fait passer le c) avant le a) Donc ⌜\(\overline{C}\)⌝ Donc les cardinaux des de l'ens. ⌜\(\operatorname{Conf}_{D_i}(C)\)⌝ des sous-graphes ⌜pleins⌝ \(\operatorname{Conf}_{D_i}(C)\) de \(C\) de type \(D_i\) (s'identifiant à \(\mathrm{Pl}_i/G_i\)) est donné par \(\operatorname{card} \mathrm{Pl}_i/\operatorname{card} G_i\), qui est \[ \begin{array}{llll} \operatorname{Conf}_{D_0} & 1 & \text{---} \operatorname{Aut} D_0 & e \\ \operatorname{Conf}_{D_1} & 27 & \text{---} \operatorname{Aut} D_1 & e \\ \operatorname{Conf}_{D_2} & 27 \cdot 10 : 2 = 135 & \text{---} \operatorname{Aut} D_2 & \mathfrak{S}_2 \\ \operatorname{Conf}_{D_3} & 27 \cdot 10 \cdot 1 : 6 = 45 & \text{---} \operatorname{Aut} D_3 & \mathfrak{S}_3 \\ \operatorname{Conf}_{D_4} & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 : 2 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 = 1080 & \text{---} \operatorname{Aut} D_4 & \mathfrak{S}_2 \\ \operatorname{Conf}_{D_5} & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 : 2 = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5 = 4320 & \text{---} \operatorname{Aut} D_5 & \mathfrak{S}_2 \\ \operatorname{Conf}_{D_6} & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 1 : 12 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 720 & \text{---} \operatorname{Aut} D_6 & \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3 \\ \operatorname{Conf}_{D_7} & 27 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 : 72 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120 & \text{---} \operatorname{Aut} D_7 & \mathfrak{S}_2 . (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3) \end{array} \] dans la dernière ligne, « 72 » et l'exposant de 3 sont récrits, et un premier groupe est biffé avant \(\mathfrak{S}_2 . (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)\). \(C\) désigne ici, semble-t-il, le graphe \(S\) des pages précédentes

12« 10 bis », cerclé, en haut au centre

d) Le stabilisateur d'un élément de \(\mathrm{Pl}_6\) dans ⌜(ou, ce qui revient au \(=\), de \(\mathrm{Pl}_5\) ou \(\mathrm{Pl}_7\))⌝ dans \(W\) est isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\) (via l'opération sur l'ens. \(I\) ⌜de cardinal 3⌝ des éléments de \(E(u)^{*} = E(u) - \lbrace v, w \rbrace\) \(E(u)^{*} = E(u) - \lbrace v, w \rbrace\) qui sont \(\neq u'\), non liés à \(v\) et liés à \(v'\), i.e. des él. de \(E(u) - \lbrace v, \struck{w}\, u' \rbrace\) qui sont liés à \(v'\), i.e. \(I = E(u) \cap E(v') - \lbrace u', v \rbrace\). On voit ⌜donc⌝ que cet \(I\) est can. is. aux \((9 \cdot 4) : 2 = 18\) ensembles analogues tels que \(E(v'') \cap E(w') - \lbrace u'', w' \rbrace\) etc … \(\rbrace\). Donc \(W\) est de cardinal égal à : \(\operatorname{card} \mathrm{Pl}_6 \cdot 6\), i.e. \[ \operatorname{card} W = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 = 51840 \] un double trait sépare ce qui suit

Complexe cubique ⌜Compte⌝deux mots biffés au bas de la page, un mot récrit au-dessus ; la page s'arrête là

13« 11 », cerclé, en haut au centre

La catégorie formée des \(S\), avec un triangle \(I \subset S\) et un triangle \(\Pi' \subset S\) disjoint du précédent (pour les iso) équivaut à celle des couples \((I, \Pi)\) de deux ens. de cardinal 3.les deux ensembles sont écrits \(I\) et \(\Pi\), ce dernier comme une potence ; le « \(\Pi'\) » de la deuxième ligne est d'une lecture incertaine

À un ⌜tel⌝ couple, on associe \[ S = I \amalg (I \amalg I) \amalg I \times \Pi \times \omega(I) = (I \times \lbrace 0, 1, 2 \rbrace) \amalg (I \times \Pi \times \omega(I)), \] \[ I \ni u \longmapsto \alpha(u), \ \alpha'(u) \] où \(\omega(I)\) ⌜\(\subset \mathfrak{S}_I\)⌝ est l'ens. ⌜(de cardinal 2)⌝ des ordres circulaires sur \(I\).

Si \(i \in I\), \(i\) est lié à biffé, à gauche : \(I\) et trois flèches parallèles marquées \(i_3\), \(i'_1\), \(i_2\)

\[ \begin{array}{lll} (i, \nu) \text{ et } (j, \mu) \ (\text{distincts}) & \text{sont liés ssi} & i = j \text{ \emph{ou} } \nu = \mu \\ (i, \nu) \text{ et } (j, \pi, \rho) & \text{liés dans les cas} & \left\lbrace \begin{array}{ll} i = j : & \nu = 0 \\ i \neq j & \left\lbrace \begin{array}{l} \nu = 1, \ j = \rho i \\ \nu = 2, \ i = \rho j \end{array} \right. \end{array} \right. \\ (j, \pi, \rho) \text{ et } (j', \pi', \rho') \ \text{distincts} & \text{liés dans les cas} & \left\lbrace \begin{array}{ll} j = j' & \pi = \pi', \ (\rho \neq \rho') \\ j \neq j' & \left\lbrace \begin{array}{ll} i \neq j, & \rho = \rho' \\ i = j & \rho \neq \rho' \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \] (\(j \in I\), \(\pi \in \Pi\), \(\rho \in \omega(I)\))dans le deuxième cas une première rédaction est raturée ; dans le troisième, les \(i\) sont écrits tels quels, bien que seuls \(j\), \(j'\) figurent dans le couple à gauche, un prisme vu d'en haut : triangle \(u, v, w\) en bas, sommets \(\alpha_4\), \(\beta_4\), \(\gamma_4\) au milieu (le triangle \(\alpha_4 \gamma_4 \beta_4\) repassé), \(\alpha'_4\), \(\beta'_4\), \(\gamma'_4\) à l'extérieur

L'automorphisme \(\sigma\) conserve \(I \times \lbrace 0, 1, 2 \rbrace\) et son complémentaire, et agit sur le premier via l'identité sur \(I\), et la permutation entre 1 et 2 sur l'autre facteur ; sur \(I \times \Pi \times \omega(I)\) il agit par permutation des deux […] élts de \(\omega(I)\) (et l'identité sur \(I \times \Pi\)).

à gauche : « \(u\), \(\alpha_4\), \(\alpha'_4\) » et, dessous, « \((\ldots_i)_{1 \leqslant i \leqslant 3}\) » (raturé), « \(\alpha_i, \alpha'_i\) », « \(\beta_j, \beta'_j\) », « \(1 \leqslant i, j \leqslant 3\) », « \(\alpha_4 \mapsto \alpha'_4\) »

\[ I \amalg (I \times \varepsilon) \amalg (I \times \Pi \times \varepsilon \times \omega(I)/\mathbb{F}_2) \] \[ (I \times J) \amalg \] en bas à gauche, une grille de droites croisées dont les cases portent \(\alpha_4\), \(\beta_4\), \(\gamma_4\), \(\alpha_1\), \(\beta_2\), \(\gamma_3\) et d'autres lettres, en partie illisibles

14« 12 », cerclé, en haut au centre

Proposition. \(G\) groupe abélien (pour simplifier), \(V = G \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_2\), \(\varepsilon\) un \(\mathbb{F}_2\)-vectoriel, \(\Gamma = \Psi(G) = \operatorname{Ker}(G \times G \times G \to G)\), \((x, y, z) \mapsto x + y + z\), \(p_i : \Psi(G) \to G\) induits par \(\mathrm{pr}_i\) (\(1 \leqslant i \leqslant 3\)), \(N_i = \operatorname{Ker} p_i \rightleftarrows G\) (via \(\alpha_i\)) \(\lbrace (x, \hat{x}, x \rbrace\).la lettre qu'il donne à \(\Psi(G)\) est un \(\Gamma\) repassé ; la flèche double porte \(\alpha_i\) en dessous

a) Pour toute extension centrale \(E_0\) : \[ 1 \to \varepsilon \to E_0 \to G \to 1 \] considérons \(\psi(E_0) = p_1^{*}(E_0) \wedge p_2^{*}(E_0) \wedge p_3^{*}(E_0) = \tilde{\Gamma}\) (produit de Baer d'extensions de […] \(\Gamma\) par \(\varepsilon\), image inverse de l'ext. \(E_0\) (de \(G\) par \(\varepsilon\)) par les \(p_i\)). Comme \[ p_j \alpha_i = \left\lbrace \begin{array}{ll} 0 & \text{si } i = j \\ \mathrm{id}_G & \text{si } i \neq j \end{array} \right. , \] on trouve que \(\alpha_i^{*}(\tilde{E})\) est splitté canoniquement.« produit de Baer » : lecture incertaine du mot qui suit « produit » d'où

\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & \varepsilon \arrow[r] & \tilde{E} \arrow[r] & \Gamma \arrow[r] & 1 \\
 & & & G \arrow[ul, "\rho_i"] \arrow[u, "\alpha_i"'] &
\end{tikzcd}

Ceci posé, soit \[ q : \dot{V} \to \varepsilon \] est l'application quadratique qui définit la classe de l'extension \(E_0\), on a pour \(g \in G\) \[ \rho_1(g)\, \rho_2(g)\, \rho_3(g) = q(\dot{g}) \] où \(\dot{g} \in V\) est la classe de \(g \in G\) dans \(V = G/2G\).dans cette formule, un \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\) biffé suit chaque \(\rho_i\) ; le point au-dessus de \(V\) dans la ligne de \(q\) est net sur la page

b) Toute ⌜syst. \((\tilde{E}, \rho_1, \rho_2, \rho_3)\) d'une⌝ extension ⌜centrale⌝ \(\tilde{E}\) de \(\Gamma\) par \(\varepsilon\) et de relèvements \(\rho_1, \rho_2, \rho_3\) de \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) provient d'une extension \(E_0\) de \(G\) par \(\varepsilon\), déterminée : isom. (à un unique) près — sa classe \(q \in \operatorname{Quad}_{\mathbb{Z}}(G, \varepsilon) \simeq \operatorname{Quad}_{\mathbb{F}_2}(V, \varepsilon)\) est donnée par la formule précédente. La catégorie ⌜(pour les iso)⌝ des triples syst. \((\tilde{E}, \rho_1, \rho_2, \rho_3)\) est rigide i.e. tout automorphisme est l'identité (donc tout automorphisme de l'ext. \(E_0\) induit l'identité dans ⌜l'ext⌝ \(\psi(E_0) \ldots\))

15« 13 », cerclé, en haut au centre

c) Conditions équivalentes ⌜\(2G = 0\) i.e. \(G \simeq V\), et⌝ […]

(i) ⌜\(q(x) \neq 0\) pour⌝ […] \(x \in V^{*} = V - \lbrace 0 \rbrace\)

(ii) Posant \(\tilde{P}_i = \tilde{E}/\rho_i(G)\), la fam Posons et \(\tilde{p}_i : \tilde{E} \to \tilde{P}_i\), si \(x_1, x_2, x_3 \in \tilde{\Gamma}\) sont tels que \[ p_1(\tilde{x}_2) = p_1(\tilde{x}_3), \quad p_2(\tilde{x}_3) = p_2(\tilde{x}_1), \quad p_3(\tilde{x}_1) = p_3(\tilde{x}_2), \] alors \(\tilde{x}_1 = \tilde{x}_2 = \tilde{x}_3\).les indices de ces égalités sont d'une lecture incertaine, surtout ceux de la dernière ligne

(iii) Si \(\tilde{z}_1 \in \rho_1(G)\), \(\tilde{z}_2 \in \rho_2(G)\), \(\tilde{z}_3 \in \rho_3(G)\) sont tels que \(\tilde{z}_1 \tilde{z}_2 \tilde{z}_3 = 0\), alors \(\tilde{z}_1 = \tilde{z}_2 = \tilde{z}_3 = 1\)

(iv) Si \(g \in G\) est tel que \(\rho_1(g) \rho_2(g) \rho_3(g) = 1\), alors \(g = 1\)le signe \(=\) est repassé

De plus, pour \(G\), \(\varepsilon\) fixés avec \(\varepsilon\) \(\neq\) \(\mathbb{F}_2\), \(\exists\) une \(\tilde{\Gamma}\) est avec ces propriétés ssi \(2G = 0\) i.e. \(G \simeq V\), \(\operatorname{rg}_{\mathbb{F}_2} V \leqslant 2\) (et cette extension est unique à isom. unique près).

16« 13 bis », cerclé, en haut au centre

\(S\) graphe ⌜\(\neq \emptyset\)⌝ tel que l'ens. des […] […] \(\neq \emptyset\) et

a) \(\forall x, y \in S\) liés, \(\exists!\, z \in S\) tel que \(z\) soit lié à \(x\) et \(y\)

b) \(\exists\, \nu \in \mathbb{N}^{*}\) tel que \(\forall s \in S\), \(\operatorname{card} E(s) = \nu\) (\(E(s) = \lbrace t \in S \mid t \text{ lié à } s \rbrace\))

c) Lemme 1 ⌜\(\nu\) est pair, et⌝ On a \(\operatorname{card} S \geqslant 3(\nu - 1)\). On a égalité ssi \(\forall\) ⌜triangle (il en \(\exists\))⌝ \(T = \lbrace x, y, z \rbrace\) de \(S\), a tt élément de \(S^{*} = S - T\) est lié à un (et un seul) élément de \(T\).l'inégalité porte \(3(\nu - 1)\) sur la page, récrit sur un autre chiffre ; le théorème de la page 2 (\(\nu = 10\), \(\operatorname{card} S = 27\)) correspond à \(3(\nu - 1)\)

\[ \nu = 2(\mu + 1), \qquad \operatorname{card} S = 3(2\mu + 1) \] \[ \operatorname{card} S - E(s) - \lbrace s \rbrace \ \ldots \ \operatorname{card} (S - E(s) - \lbrace s \rbrace) = 4\mu \] \[ 4\mu \leqslant 2^{\mu + 1}, \qquad \mu \leqslant 2^{\mu - 1} \] calculs griffonnés, avec des surcharges ; un « 2 » isolé au-dessus de la deuxième ligne et un mot raturé au-dessous un petit triangle ; à côté, un graphe à quelques sommets entouré de deux ovales qui se croisent ; plus bas, une étoile à trois branches dont chaque bout porte un petit triangle (deux sommets reliés au bout de la branche)

17« 14 », cerclé, en haut au centre

Graphes cubiques ⌜\(C\)⌝ : sommet marqué \(u\)

Revient à la donnée d'un ens. \(Q_u\) de cardinal 5 (l'ens. des triangles de sommet \(u\)), i.e. ens. des 5 couples de pts mutuellement liés de \(E(u)\)), et d'un torseur \(P\) sous \(\Psi = \Psi(Q_u, \mathbb{F}_2) = \operatorname{Ker} (\mathbb{F}_2^{Q_u} \to \mathbb{F}_2)\), \((x_i)_{i \in I} \mapsto \sum x_i\). On reconstitue le torseurla lettre de l'ensemble à cinq éléments, repassée à l'encre plus foncée, tient du \(P\) et du \(Q\) cursifs ; la page suivante l'écrit nettement \(Q_u\), et elle est rendue ainsi \(E(u)\) comme l'ens. somme des \(P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i)\), où les \(p_i : \Psi \to \mathbb{F}_2\) ⌜(\(i \in E\))⌝ sont induits par les projections \(\mathbb{F}_2^{Q_u} \xrightarrow{\mathrm{pr}_i} \mathbb{F}_2\) (\(i \in Q_u\)), et \(C - E(u)\) comme \(P\), donc \[ C \simeq \Bigl( \coprod_{i \in E} P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i) \Bigr) \amalg P \amalg \lbrace u \rbrace . \] La recette pour ce dictionnaire est la suivante : \(E(u)\) est un ens. de cardinal 10 muni d'un automorphisme involutif d'ordre sans pt fixe (car tt él. de \(E(u)\) est lié à un et un seul él. de \(E(u)\), grâce à l'axiome des triangles), or une telle structure est déterminée par un \(Q_u\) de cardinal 5 (\(Q_u = E(u)/\sigma\)) et une famille d'ens. à 2 él. i.e. de \(\mathbb{F}_2\)-torseurs, paramétrisés par \(Q_u\) — i.e. un torseur \(Q\) sous \((\mathbb{F}_2)^{Q_u}\). D'autre part, tt \(x \in C - E(u)\) définit une partie de \(E(u)\) — savoir \(E(x) \cap E(u)\) — telle que sa représentation avec les classes sous \(\lbrace e, \sigma \rbrace\) i.e. les fibres de \(E(u) \to Q_u\) ⌜\(= \tilde{Q}_u\)⌝ i.e. les orbites \(\subset E(u)\), soit de cardinal 1. Or l'ens. de ces parties n'est autre que \(Q\) (qui est de cardinal \(2^5 = 32\)) alors que \(C - E(u)\) est de card \(16 = 32/2\). On trouve que \(C - E(u) \to Q\) est injectif, et son image ⌜\(P\)⌝ est une torseur sous \(\Psi \subset \mathbb{F}_2^{Q_u}\) (\(\Psi = \operatorname{Ker}(\mathbb{F}_2^{Q_u} \to \mathbb{F}_2)\)) — donc on a sur \(Q\) une restriction du groupe« \(C - E(u)\) » s'entend ici, semble-t-il, privé de \(u\) : \(1 + 10 + 16 = 27\)

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structural : \(\Psi\). Donc la donnée de ⌜\(Q_u\),⌝ \(Q\) avec cette restriction équivaut à celle de \(Q_u\), \(P\). Pour reconstituer le graphe \(C\), il faut reconstituer la notion de « sommets liés » sur \[ \lbrace u \rbrace \cup \underbrace{\Bigl( \coprod_i P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i) \Bigr)}_{E_p^{*}} \amalg P . \] sous l'accolade, après \(E_p^{*}\), un signe raturé On déclare :

a) \(u\) est lié aux pts de \(E_p^{*}\), et non à ceux de \(P\)

b) un ⌜a⌝ pt \(a\) de \(E_p^{*}\) est lié à \(\sigma a\) [i.e. si \(a \in P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i)\), il est lié à l'autre pt \(a'\) de cet ens.] et à aucun autre pt de \(E_p^{*}\)

c) un pt \(a\) de \(E_p^{*}\) est lié à un pt […] \(x\) de \(P\) ssi, prenant \(a \in P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i)\), \(a\) est dans l'image de \(x\) par l'application canonique \(P \to P \wedge_{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i)\).

d) Deux pts \(x, y\) de \(P\) sont liés ssi l'élément \(y - x = \alpha \in \Psi(Q_u) = \operatorname{Ker}(\mathbb{F}_2^{Q_u} \to \mathbb{F}_2)\) est […] de la forme […] \(e'_i\) (\(i \in Q_u\)), où \[ e'_i = \sum_{j \in Q_u - \lbrace i \rbrace} e_j \in \Psi \] (\((e_j)_{j \in Q_u}\) étant la base canonique de \(\mathbb{F}_2^{Q_u}\)). Ceci se fonde sur ledans (d), « \(\sum\) » est surmonté d'un trait ; la lecture « se fonde sur le » est incertaine

Lemme Soient \(u \in C\), \(x, y \in C - E(u) - \lbrace u \rbrace\). Pour que \(x\) et \(y\) soient liés, il faut et il suffit que ⌜l'on⌝ puisse […] de l'ens. ⌜existe⌝ un triangle ⌜(un et) un seul⌝ triangle des 5 triangles \(t\) de sommet \(u\) tel que \[ t - E(x) = t - E(y) \] (NB les deux membres sont ⌜de la forme⌝ réduits ⌜réduit à un él. \(\neq u\)⌝) réduits de cardinal 1) OPS \(x \neq y\).les reprises de cet énoncé s'enchevêtrent ; l'ordre des insertions est celui qu'on a pu suivre

Dém. S'il n'existait aucun tel triangle, on aurait \(x - y = \sum_{i \in Q_u} e_i\), or \(\sum e_i \notin \Psi\), ⌜car \(5 \neq 0\) dans \(\mathbb{F}_2\)⌝, absurde. Soit \(\lbrace u, v, w \rbrace\) un tel triangle, donc \(x, y\) sont liés tous deux à \(v\) ou \(w\) — disons \(v\). Si \(y\) et \(x\) sont liés, la loi (ou la condition habituelle) \(y = \sigma x\), on sait que pour tt \(a \in E(u)^{*}\) ⌜\(= E(u) - \lbrace v, w \rbrace\)⌝, si \(x\) lié à \(a\), \(\sigma x\) non lié à \(a\) et inversement.

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donc \(t = \lbrace u, v, w \rbrace\) est unique de son espèce. Si \(x\) et \(y\) sont non liés, on sait qu'il existe un ⌜(et \(=\) deux)⌝ \(a \in E(u)^{*}\) tel que \(a\) lié à la fois à \(x\) et \(y\), donc \(t\) n'est unique de son espèce, cqfd.

Corollaire Le groupe […] \(W_u\) ⌜\(\subset W\)⌝ des automorphismes de \(C\) qui fixent \(u\) est […] isomorphe au groupe des couples \((\varphi, \bar{\varphi})\) d'un automorphisme \(\varphi \in \mathfrak{S}_{Q_u}\) de \(Q_u\), et d'un \(\bar{\varphi}\) automorphisme du […] \(\Psi_{Q_u}\)-torseur \(P\), où \(\bar{\varphi}\) est l'automorphisme de \(\Psi_{Q_u}\) induit par \(\varphi\). Donc on a une suite exacte (splittée)

\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & \Psi_{Q_u} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"'] & W_u \arrow[r] & \mathfrak{S}_{Q_u} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & 1 \\
 & \mathbb{F}_2^4 & & \mathfrak{S}_5 &
\end{tikzcd}

au-dessus de \((\Psi_{Q_u})\), un mot biffé ; les deux isomorphismes verticaux sont écrits \(\wr\)

donc \(W_u \simeq\) groupe de Weyl \(W_{D_5}\) de \(D_5\) (\(\simeq SO(10)\)) qui apparaît donc comme sous-groupe d'indice 27 dans \(W\) (\(\simeq W_{E_6}\)).

NB Il faudrait expliciter comment la donnée de \((C, u)\) permet de définir un syst. de racines \(D_5\) (plongé dans le syst. de racines \(E_6\) associé à \(C\)) — donc définir un ens. de ⌜40⌝ « bases » (= racines) de \(C\), stable par \(W\) : bien précises. Or on trouve qu'il y a \(40 = (10 \cdot 8) : 2\) ⌜\(= \binom{10}{2} - 5\)⌝ couples paires d'éléments de \(E(u)\) non liés. Or […] le

Lemme Pour tt paire ⌜\(\lbrace \xi_1, \xi_2 \rbrace\)⌝ d'éléments non liés de

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\(E(u)\), \(\exists!\) base \(b \subset C\) telle que \(b \cap E(u) = \lbrace \xi_1, \xi_2 \rbrace\) et (si \(b'\) est la base opposée) on a \(b' \cap E(u) = \lbrace \sigma\xi_1, \sigma\xi_2 \rbrace\), […] où \(\sigma\) est l'automorphisme can. d'ordre 2 de \(E(u)\).

⌜NB On aura donc \(\sigma\xi_1 = \xi'_2\), \(\sigma\xi_2 = \xi'_1\). Alors \(b \cap E(u) = \lbrace \xi_1, \xi_2 \rbrace\), \(b' \cap E(u) = \lbrace \sigma\xi_1, \sigma\xi_2 \rbrace\).⌝ligne ajoutée entre les lignes et rattachée par un trait ; les accents des \(\xi'\) sont d'une lecture incertaine

en oblique dans la marge gauche : « rappeler plus simple plus bas » Dém. Soit une base \(\lbrace \xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_6 \rbrace\) satisfaisant à la […] … On aura alors […] que \(u\) est lié à \(\xi_1, \xi_2, \xi'_1, \xi'_2\), donc \(u = \bar{\xi}_{12}\), et \(b \cap E(u) = \lbrace \xi_1, \xi_2 \rbrace\), \(b' \cap E(u) = \lbrace \xi'_1, \xi'_2 \rbrace\). Pour l'existence ⌜d'une base \(b\) satisfaisant les conditions envisagées⌝, on voit que comme le groupe \(W_u\) est transitif sur l'ens. des couples ⌜paires⌝ \(\lbrace \xi_1, \xi_2 \rbrace\) non liés de \(E(u)\) et \(W = W_{E_6}\) transitif sur l'ens. des \(v \in C\)) on peut supposer, p.ex. : une base \((\xi_1, \ldots, \xi_6)\) déjà donnée, que \(u = \bar{\xi}_{12}\), \(\xi_1 = \bar{\xi}_1\), \(\xi_2 = \bar{\xi}_2\).la lettre de \(W_{E_6}\) est récrite sur une autre

Pour l'unicité, on voit que […] […] […] \((3 \leqslant i \leqslant 6)\) […] lié à \(\xi_1\), \(\sigma\xi_1 = \xi'_2\), et \(\sigma\xi_2 = \xi'_1\), […] […] distinct de \(\xi_1\), […] […] \(E(u)\), […] […] d'après ce qui […] […] les \(\bar{\xi}_i\), \(\bar{\xi}'_i\) \((3 \leqslant i \leqslant 6)\) […] \(\in E(u)\), donc que […] […] par des \(\xi_j\), \(\xi'_j\), disons que \(\bar{\xi}_3\) devrait […] : \(\xi_1, \xi_2\) et lié à \(\xi'_1, \xi'_2\) donc \(u\) n'est pas un \(\xi'_j\), ni un \(\xi_j\) (car ce serait un \(\xi_j\) — \(\xi_j\) par […] lié à \(\xi'_1, \xi'_2\), mais il le serait aussi à \(\xi_1, \xi_2\), absurde), de \(=\) pour les \(\bar{\xi}'_i\) \((3 \leqslant i \leqslant 6)\) cqfd.le milieu de ce paragraphe est un bloc de lignes biffées, encadré et barré de deux grands traits en croix ; seuls quelques signes s'y lisent à gauche du bloc biffé, deux segments issus d'un même point, aux extrémités marquées \(\xi_1 \to \sigma\xi_1\) et \(\xi_2\), \(\sigma\xi_2\), joints par de petits traits

NB Positions relatives ⌜(i.e. à conjugaison près)⌝ d'un \(u \in C\) et d'une base \(b \subset C\).

(i) \(u \in b\). Pour \(u\) ⌜\(= \xi_1\)⌝ fixé, il y a 16 telles bases, correspondant au choix d'un \(\xi_1 \in C - E(u)\)

(ii) \(u \in b'\) (base opposée). Pour \(u\) ⌜\(= \xi_1\)⌝ fixé, 16 telles bases, correspondant au choix d'un \(\xi_1 \in C - E(u)\)

(iii) \(u \notin b \cup b'\). Pour \(u\) fixé, il y a 40 telles bases (orthogonal à \(u\)) \[ 16 + 16 + 40 = 72 \] à gauche de (i)-(iii), reliées à eux par des traits : \(\left.\begin{array}{l} r_b(u) = 1 \\ E(u) \cap b = \emptyset \\ \operatorname{card} E(u) \cap b' = 5 \end{array}\right\rbrace\), \(\left.\begin{array}{l} r_b \cdot u = -1 \\ \operatorname{card} E(u) \cap b = 5 \\ E(u) \cap b' = \emptyset \end{array}\right\rbrace\), \(\left.\begin{array}{l} r_b \cdot u = 0 \\ \operatorname{card} E(u) \cap b = 2 \\ \operatorname{card} E(u) \cap b' = 2 \end{array}\right\rbrace\) les \(\emptyset\) de la marge sont récrits sur d'autres signes ; la deuxième accolade porte \(E(u) \cap b^{*}\) ou \(b\) : lecture incertaine. Le total « 72 » est souligné deux fois