Cote n° 69 · pages 1–119 · Lecture modernisée · Graphes cubiques : notes manuscrites (s.d.), lettre (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

2–119

Le fil du dossier, et les conventions

Les feuillets

Le dossier compte cent dix-neuf pages. La page 1 est une couverture qui ne porte qu'un « (34p) » au crayon ; la page 40 un intercalaire rose (« (23 p) ») ; les pages 64, 65, 72, 76, 88, 93, 94, 99, 104 et 106 des intercalaires vierges. La page 83 est dactylographiée : c'est l'annonce, par l'Université des Sciences et Techniques du Languedoc, d'un enseignement de DEUG A première année, option mathématique, pour 1976, intitulé « Polyèdres réguliers », en deux parties confiées à A. Grothendieck et à C. Contou-Carrère ; rien de sa main n'y figure, et sa date s'accorde avec celle des archivistes. Les notes d'un cours de ce titre sont au dossier 86. Le titre de l'inventaire annonce aussi une lettre ; les transcriptions n'en trouvent pas. À partir de la page 95, les numéros que les archivistes ont portés au crayon ont deux unités d'avance sur ceux du fac-similé, qu'on suit ici comme le font les transcriptions.

Il pagine lui-même deux suites : les pages 2 à 39 (de « 1 » à « 32 », avec des feuillets « bis » et « ter »), et les pages 41 à 57 (de « 1 » à « 17 »), qui portent le titre « Les 27 droites de la surface cubique, et le syst. de racines \(E_6\) ». Ses renvois (« p. 8 et 9 », « th. p. 1 ») sont à ces paginations ; on les traduit ici en pages du dossier.

Les stations

• Pages 2 à 10 : le théorème de caractérisation. Un graphe à 27 sommets, régulier de valence 10, où toute arête est dans un unique triangle, est le graphe cubique. Démonstration par un triangle \(T = \lbrace u, v, w \rbrace\), l'involution \(\sigma_T\), les quotients \(P_u\), la structure de torseur des triangles extérieurs (lemme 7) et un étiquetage final (« Épilogue »).
• Pages 11 à 13 : dénombrements et un modèle. La tour de sous-graphes du point au bitriangle, \(|W| = 2^7 3^4 5 = 51\,840\), et une construction explicite du graphe à partir de deux ensembles à trois éléments.
• Pages 14 et 15 : l'algèbre des revêtements doubles. Extensions centrales, produit de Baer sur \(\Psi(V)\), formes quadratiques anisotropes ; existence si et seulement si \(\dim V \leq 2\).
• Page 16 : les axiomes en valence quelconque.
• Pages 17 à 39 : le graphe muni d'une configuration marquée. Sommet (17 à 22), arête (23 à 25), triangle (25 à 31), balise et sablier (32, 33), prisme et bitriangle (34 à 39) : la donnée équivalente, le groupe de stabilité comme groupe de Weyl, les racines orthogonales.
• Pages 41 à 60 : les vingt-sept droites et \(E_6\). Le plan éclaté en six points, le groupe de Picard, la forme d'intersection, la classe \(\lambda\) ; les racines, les réflexions, \(W = \operatorname{Aut} C\), le théorème « \(R(C)\) est de type \(E_6\) » ; une définition intrinsèque et la liste des 72 bases.
• Pages 61 à 80 : un recensement. Table des types de configurations ; parties libres ; bitriangles et leur auto-complémentarité ; polygones et polyèdres.
• Pages 81 à 98 : retour aux racines. Différences et sommes de sommets, positions relatives de deux racines, les 27 en coordonnées dans les racines simples, et la recherche des ensembles \(\mathfrak{S}\), \(\mathfrak{S}_0\) qui devraient rendre les 27 à partir de \(E_6\).
• Pages 100 à 118 : le triangle comme structure algébrique. Trois sous-groupes distingués ; trois torseurs et une correspondance \(\Gamma \subset P_1 \times P_2 \times P_3\) (un carré latin) ; ses autotopies ; les bitorseurs ; et, page 113, l'axiome qui revient aux pages 7 et 8.
• Apartés. Page 105 (le \(56\) de \(E_7\)), page 119 (un autre sujet, \(S^2 \times S^2\) et des idempotents).

Conventions, valables pour tout le dossier

• Le graphe cubique est noté \(C\) partout¹ . Deux sommets sont liés quand les droites correspondantes se rencontrent ; \(E(x)\) est l'ensemble des sommets liés à \(x\).
• Une base est un ensemble de six sommets deux à deux non liés (six droites deux à deux disjointes : l'une des deux moitiés d'un double-six de Schläfli) ; à toute base \(b\) correspond une unique base associée (ou opposée) \(b'\), et la paire \(\lbrace b, b'\rbrace\) est une bibase, c'est-à-dire un double-six.
• \(W = \operatorname{Aut}(C)\). On verra (page 52) qu'il est engendré par des réflexions et isomorphe au groupe de Weyl \(W(E_6)\), d'ordre \(51\,840 = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5\).
• La forme bilinéaire est la forme d'intersection, avec ses signes : un sommet \(\delta\) vérifie \(\delta \cdot \delta = -1\), une racine \(r \cdot r = -2\), et l'orthogonal \(E\) de \(\lambda\) est défini négatif. La classe \(\lambda = 3\eta - \xi\) est l'opposée de la classe canonique.
• Autour d'un triangle \(T = \lbrace u, v, w\rbrace\) : \(E(u)^* = E(u) \smallsetminus \lbrace v, w\rbrace\), de même pour \(v, w\) ; \(C^* = C \smallsetminus T\) ; \(\sigma = \sigma_T\) l'involution de la page 2 ; \(P_u = E(u)^*/\sigma\) ; \(\widetilde\Gamma\) l'ensemble des 32 triangles contenus dans \(C^*\) et \(\Gamma = \widetilde\Gamma/\sigma\). L'extension de la page 14 est notée \(\widetilde\Psi\)² .

Deux homonymies sont à garder en tête. Les « triades » de la page 61 sont des partitions des 27 sommets en trois bitriangles ; celles de la page 73 sont des parties de trois sommets deux à deux non liés d'un bitriangle. Et le symbole \(\Gamma\) des pages 107 à 116 est une correspondance entre trois torseurs ; il n'est l'ensemble \(\Gamma\) des triangles que dans le cas particulier de la page 113, où les deux se rejoignent.

2–10

1. Le théorème de caractérisation (pages 2 à 10)

L'énoncé

Théorème (page 2). Soit \(C\) un graphe (simple) tel que

1. a)\(C\) a 27 sommets ;
2. b)tout sommet est lié à exactement 10 sommets ;
3. c)deux sommets liés ont exactement un voisin commun.

Alors \(C\) est isomorphe au graphe des 27 droites d'une surface cubique lisse (le « graphe cubique »), et celui-ci vérifie a), b), c).

La condition c) dit que toute arête est dans un unique triangle. Le théorème est vrai³ .

Le triangle et l'involution (pages 2 et 3)

Soit \(T = \lbrace u, v, w\rbrace\) un triangle (il en existe : une arête et son troisième sommet).

Lemme 1. Tout sommet de \(C^* = C \smallsetminus T\) est lié à un et un seul sommet de \(T\) ; \(C^*\) est réunion disjointe de \(E(u)^*\), \(E(v)^*\), \(E(w)^*\), chacun de cardinal 8.

En effet \(E(u)^* = E(u) \smallsetminus \lbrace v, w\rbrace\) a 8 éléments, et \(E(u)^* \cap E(v)^* = \emptyset\) puisque \(E(u) \cap E(v) = \lbrace w\rbrace\) par c) ; les trois parties disjointes remplissent les \(24 = 27 - 3\) sommets de \(C^*\).

Lemme 2 et corollaire. Pour \(x \in E(u)^*\), il existe un unique \(x' \in E(u)^*\) lié à \(x\) : le troisième sommet du triangle d'arête \(\lbrace u, x\rbrace\)⁴ . D'où une involution \(\sigma = \sigma_T\) de \(C\), qui fixe \(u, v, w\) et envoie \(x \in E(u)^*\) sur ce sommet, de même sur \(E(v)^*\) et \(E(w)^*\) : chacun de ces trois ensembles est partagé en quatre paires de sommets liés.

Lemme 3. Soit \(x \in E(u)^*\). Alors \(x\) est lié à exactement un sommet de chaque paire \(\lbrace y, \sigma y\rbrace\) de \(E(w)^*\), donc à exactement 4 sommets de \(E(w)^*\) (et de même pour \(E(v)^*\)).

Il ne peut être lié aux deux, sinon l'arête \(\lbrace y, \sigma y\rbrace\) serait dans deux triangles, \(\lbrace w, y, \sigma y\rbrace\) et \(\lbrace x, y, \sigma y\rbrace\) ; il est donc lié à au plus 4 sommets de \(E(w)^*\) et à au plus 4 de \(E(v)^*\) ; or ses voisins hors de \(\lbrace u, \sigma x\rbrace\) sont au nombre de 8 et tous dans \(E(v)^* \cup E(w)^*\).

Corollaire. Si \(x \in E(u)^*\) et \(y \in E(w)^*\) sont liés, \(\sigma x\) et \(\sigma y\) le sont : \(\sigma_T\) est un automorphisme de \(C\).

Les quotients \(P_u\) et l'invariant \(\delta_v\) (pages 3 à 7)

Posons \(P_u = E(u)^*/\sigma\), ensemble à quatre éléments, et de même \(P_v\), \(P_w\). Pour \(x \in E(u)^*\), la partie \(\omega_v(x) = E(x) \cap E(v)^*\) choisit un élément dans chacune des quatre paires : c'est une section du revêtement double \(E(v)^* \to P_v\), et \(\omega_v(\sigma x)\) est la section complémentaire. Deux sections diffèrent par une fonction \(\delta_v(x, y) \in \mathbb{F}_2^{P_v}\), de support l'ensemble des paires où elles diffèrent ; \(\delta_v(x, \sigma y) = \delta_v(x, y) + \mathbf{1}\).

Lemme 4. Si \(x, y \in E(u)^*\) sont distincts et non liés, ils ont exactement deux voisins communs dans \(E(v)^*\) ; autrement dit \(\delta_v(x, y)\) a un support de cardinal 2.

La démonstration (page 4) passe par le lemme 5 : si \(x \in E(u)^*\) et \(s \in E(w)^*\) sont liés, le troisième sommet \(\xi\) du triangle \(\lbrace x, s\rbrace\) est dans \(E(v)^*\) ; et si \(x, y \in E(u)^*\) sont tous deux liés à \(s, t \in E(w)^*\), les troisièmes sommets \(\xi\) de \((x, s)\) et \(\xi'\) de \((y, t)\) sont liés. S'il y avait trois voisins communs \(s, t, r\), l'arête \(\lbrace y, \xi'\rbrace\) serait dans deux triangles.

Les paires de sommets non liés de \(E(u)^*\) sont au nombre de \(\binom 82 - 4 = 24\). Le lemme 4 fournit, pour chacune, la paire de ses deux voisins communs dans \(E(v)^*\) — qui sont non liés, sinon on aurait deux triangles sur une même arête —, d'où une bijection \[ \widetilde\varphi_{vu} : \mathfrak{P}'_2(E(u)^*) \longrightarrow \mathfrak{P}'_2(E(v)^*) \] entre ensembles de paires non liées (« corollaire 2 », page 5), compatible à \(\sigma\). Passant aux quotients, elle induit une bijection canonique \(c_{vu}\) de l'ensemble \(\Pi_{22}(P_u)\) des trois partitions de \(P_u\) en deux paires sur \(\Pi_{22}(P_v)\) ; le point à vérifier, que le résultat ne dépend que de la partition et non de la paire choisie, est fait page 5.

Lemme 6. \(c_{wv} \circ c_{vu} = c_{wu}\) ; plus précisément \(\widetilde\varphi_{wv} \circ \widetilde\varphi_{vu} = \sigma \circ \widetilde\varphi_{wu}\) (pages 6 et 7). Les \(c\) forment donc un système transitif de bijections entre les trois ensembles \(\Pi_{22}(P_u)\), \(\Pi_{22}(P_v)\), \(\Pi_{22}(P_w)\).

Les triangles extérieurs forment un torseur (pages 7 et 8)

On identifie entre eux les trois \(\Pi_{22}\) grâce au lemme 6 : on obtient un ensemble à trois éléments, que la page note d'un crochet \(\sqsupset\). Un ensemble à quatre éléments \(P\) est canoniquement un torseur sous son groupe de Klein (l'identité et les trois doubles transpositions), et les trois éléments non nuls de ce groupe correspondent aux trois partitions \(\Pi_{22}(P)\). Soit donc \(V\) l'espace vectoriel de dimension 2 sur \(\mathbb{F}_2\) dont les éléments non nuls sont \(\sqsupset\) : \(P_u\), \(P_v\), \(P_w\) deviennent trois torseurs sous le même \(V\)⁵ .

Un triangle contenu dans \(C^*\) a un sommet dans chacun des \(E(\cdot)^*\) (un sommet de \(E(u)^*\) n'a qu'un voisin dans \(E(u)^*\), son conjugué par \(\sigma\), et celui-ci n'est pas dans le même triangle que deux sommets de \(E(u)^*\)). Il est déterminé par son sommet \(x \in E(u)^*\) et son sommet dans \(\omega_v(x)\)⁶ : \[ \widetilde\Gamma \xrightarrow{\ \sim\ } \coprod_{x \in E(u)^*} \omega_v(x), \qquad \operatorname{card} \widetilde\Gamma = 8 \cdot 4 = 32 . \] \(\sigma\) opère sans point fixe sur \(\widetilde\Gamma\) ; soit \(\Gamma = \widetilde\Gamma/\sigma\), de cardinal 16.

Lemme 7. L'application \(\Gamma \to P_u \times P_v \times P_w\) est injective, et son image est un torseur sous \[ \Psi(V) = \lbrace (x, y, z) \in V^3 \mid x + y + z = 0\rbrace . \]

L'injectivité est directe. Pour la structure de torseur, il suffit de voir l'image stable par les sous-groupes \(N_u = \operatorname{Ker}(\Psi \to V, \mathrm{pr}_1)\), \(N_v\), \(N_w\), qui engendrent \(\Psi\) ; elle aura alors \(16 = \operatorname{card} \Psi\) éléments. C'est le corollaire de la page 8 : si \((x, s, \xi)\) est un triangle, \(t \in E(v)^*\) un sommet non lié à \(s\) mais lié à \(\xi\), et \(\eta\) le second voisin commun de \(s\) et \(t\) dans \(E(w)^*\), alors \((x, \sigma t, \sigma \eta)\) est un triangle.

La page conclut par un programme : la donnée de \(V\) et du torseur \(\Gamma\) redonne \(P_u\), \(P_v\), \(P_w\) et les triangles « à \(\sigma\) près » ; il reste à reconstituer les revêtements doubles \(E(u)^* \to P_u\), …, \(\widetilde\Gamma \to \Gamma\) et leurs liens. C'est ce que font l'algèbre des pages 14 et 15 et, à la fin du dossier, la page 113.

Épilogue : l'étiquetage (pages 9 et 10)

Fixons un triangle \((\alpha_4, \beta_4, \gamma_4)\) de \(\widetilde\Gamma\), avec \(\alpha_4 \in E(u)^*\), \(\beta_4 \in E(v)^*\), \(\gamma_4 \in E(w)^*\), et posons \[ \begin{gathered} \lbrace \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\rbrace = E(\beta_4) \cap E(u)^*, \qquad \lbrace \beta_1, \ldots, \beta_4\rbrace = E(\gamma_4) \cap E(v)^*, \\ \lbrace \gamma_1, \ldots, \gamma_4\rbrace = E(\alpha_4) \cap E(w)^*, \end{gathered} \] trois sections, et \(\alpha'_i = \sigma\alpha_i\), etc. On a ainsi nommé les 24 sommets de \(C^*\). Les tables de la page 9 en découlent :

• (0)\(\alpha_i\) est lié à \(\alpha'_i\), \(\beta_i\) à \(\beta'_i\), \(\gamma_i\) à \(\gamma'_i\) ;
• (I)les \(\alpha_i\) sont liés à \(\beta_4\), non à \(\beta'_4\), et circulairement ; (I\('\)) les \(\alpha'_i\) sont liés à \(\beta'_4\), non à \(\beta_4\)⁷ ;
• (II)(lemme 8) pour \(1 \leq i \leq 3\), \(\alpha_i\) est lié à \(\gamma'_4\) et non à \(\gamma_4\) — sinon l'arête \(\lbrace \beta_4, \gamma_4\rbrace\) serait dans les deux triangles de sommets \(\alpha_i\) et \(\alpha_4\) —, et circulairement ; (II\('\)) de même avec les primes échangés.

Ordonnons alors \(\sqsupset\) ; par l'identification du lemme 6, cela numérote de façon cohérente les trois éléments de \(P_u \smallsetminus \lbrace \pi_u(\alpha_4)\rbrace\), \(P_v \smallsetminus \lbrace \pi_v(\beta_4)\rbrace\), \(P_w \smallsetminus \lbrace\pi_w(\gamma_4)\rbrace\). Avec cette numérotation (lemme 9) :

• (III)pour \(1 \leq i \neq j \leq 3\), \(\alpha_i\) est lié à \(\beta_j\), \(\gamma_j\), \(\beta'_i\), \(\gamma'_i\), et non à \(\beta'_j\), \(\gamma'_j\), \(\beta_i\), \(\gamma_i\) ; et circulairement en \((\alpha, \beta, \gamma)\) ;
• (III\('\))l'image de (III) par \(\sigma\)⁸ .

Le cœur de l'argument (page 10) : \(\alpha_4\) est lié à \(\beta'_1, \beta'_2, \beta'_3, \beta_4\), et la section \(\omega_v(\alpha_1)\) diffère de \(\omega_v(\alpha_4)\) sur exactement deux paires (lemme 4), dont celle de \(\beta_4\) exclue ; la partition correspondante est celle qui contient \(\lbrace 1, 4\rbrace\), d'où \(\alpha_1\) lié à \(\beta'_1\), \(\beta_2\), \(\beta_3\), \(\beta_4\). On a vérifié qu'une telle numérotation existe bien sur le modèle standard.

Conséquence. Toutes les relations de liaison entre sommets de \(C\) sont imposées par a), b), c) une fois faits des choix (triangle, triangle extérieur, ordre sur \(\sqsupset\)) que tout graphe vérifiant ces conditions permet de faire : deux tels graphes sont isomorphes, et le théorème est démontré.

11–12

2. La tour des sous-graphes et l'ordre de \(W\) (pages 11 et 12)

Il considère une suite croissante de graphes \(D_0 \subset D_1 \subset \cdots \subset D_7\) : le vide, un point, une arête, un triangle, la balise (un triangle avec une arête pendante \(uu'\)), le préprisme (le triangle \(u v w\) et une arête \(u'v'\) avec \(u'\) lié à \(u\), \(v'\) à \(v\)), le prisme triangulaire, et le bitriangle (le produit de deux triangles, neuf sommets, dix-huit arêtes : deux prismes accolés par une face). Soit \(\mathrm{Pl}_i\) l'ensemble des plongements pleins (comme sous-graphes induits) de \(D_i\) dans \(C\).

1. a)Les restrictions \(\mathrm{Pl}_{i+1} \to \mathrm{Pl}_i\) sont surjectives, de fibres de cardinaux \(27, 10, 1, 8, 4, 1, 1\) ;
2. b)d'où les cardinaux \(27, 270, 270, 2160, 8640, 8640, 8640\) ;
3. c)chaque \(\mathrm{Pl}_i\) est un espace homogène sous \(W\).

Les fibres se lisent sur le lemme 1 : pour la balise, \(u' \in E(u)^*\) (8 choix) ; pour le préprisme, \(v' \in E(v)^* \cap E(u')\) (4 choix, lemme 3) ; le troisième sommet \(w'\) du triangle \(u'v'\) est forcé, et il est lié à \(w\) puisque tout triangle de \(C^*\) a un sommet dans chaque \(E(\cdot)^*\) ; le bitriangle se complète de même. En divisant par l'ordre du groupe d'automorphismes de chaque \(D_i\) on compte les configurations : \[ \begin{array}{lllllll} \text{points} & \text{arêtes} & \text{triangles} & \text{balises} & \text{préprismes} & \text{prismes} & \text{bitriangles} \\ 27 & 135 & 45 & 1080 & 4320 & 720 & 120 \end{array} \] avec les groupes \(e\), \(\mathfrak{S}_2\), \(\mathfrak{S}_3\), \(\mathfrak{S}_2\), \(\mathfrak{S}_2\), \(\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3\) (ordre 12) et \(\mathfrak{S}_2 \cdot (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)\) (ordre 72)⁹ .

d) (page 12) Le stabilisateur dans \(W\) d'un prisme plongé est isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\) : il opère sur l'ensemble à trois éléments \(I = E(u) \cap E(v') \smallsetminus \lbrace u', v\rbrace\), et cet \(I\) est canoniquement isomorphe aux ensembles analogues construits sur les autres arêtes du prisme. Comme c) donne \(W\) transitif sur \(\mathrm{Pl}_6\), \[ \operatorname{card} W = 8640 \cdot 6 = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 = 51\,840 . \] La page s'arrête sur un mot, « Compte »¹⁰ . Les assertions c) et d) ne sont pas démontrées sur ces feuillets ; elles le sont en substance par la théorie des racines des pages 49 à 53 (\(W\) simplement transitif sur les bases ordonnées) et on les a vérifiées sur le modèle.

13–13

3. Un modèle explicite (page 13)

La catégorie des graphes cubiques munis d'un triangle \(I\) et d'un triangle disjoint, pour les isomorphismes, équivaut à celle des couples \((I, \Pi)\) de deux ensembles à trois éléments¹¹ . À un tel couple on associe, avec \(\omega(I)\) l'ensemble (à deux éléments) des ordres circulaires sur \(I\), chaque \(\rho \in \omega(I)\) vu comme une permutation circulaire, \[ C = \bigl(I \times \lbrace 0, 1, 2\rbrace\bigr) \amalg \bigl(I \times \Pi \times \omega(I)\bigr) \qquad (9 + 18 = 27 \text{ sommets}), \] avec les liaisons suivantes (entre sommets distincts) :

• \((i, \nu)\) et \((j, \mu)\) sont liés si et seulement si \(i = j\) ou \(\nu = \mu\) (un bitriangle) ;
• \((i, \nu)\) et \((j, \pi, \rho)\) sont liés si et seulement si : \(i = j\) et \(\nu = 0\), ou \(i \neq j\), \(\nu = 1\) et \(j = \rho(i)\), ou \(i \neq j\), \(\nu = 2\) et \(i = \rho(j)\) ;
• \((j, \pi, \rho)\) et \((j', \pi', \rho')\) sont liés si et seulement si : pour \(j = j'\), \(\pi = \pi'\) (et donc \(\rho \neq \rho'\)) ; pour \(j \neq j'\), ou bien \(\pi \neq \pi'\) et \(\rho = \rho'\), ou bien \(\pi = \pi'\) et \(\rho \neq \rho'\)¹² .

L'automorphisme \(\sigma\) du triangle \(I \times \lbrace 0\rbrace\) est l'identité sur \(I\), échange \(1\) et \(2\) sur le premier morceau, et échange les deux ordres circulaires sur le second ; on vérifie que c'est bien l'involution \(\sigma_T\) de la page 2 pour \(T = I \times \lbrace 0\rbrace\). Le bas de la page esquisse d'autres écritures du même ensemble, avec des \(\mathbb{F}_2\)-torseurs ; elles ne sont pas menées.

14–15

4. L'algèbre des revêtements doubles (pages 14 et 15)

La structure qui manquait à la fin du lemme 7 — les revêtements doubles \(\widetilde\Gamma \to \Gamma\), \(E(u)^* \to P_u\) — relève d'un énoncé d'algèbre que voici, dans le cas qui sert, celui d'un \(\mathbb{F}_2\)-espace vectoriel¹³ .

Soit \(V\) un \(\mathbb{F}_2\)-espace vectoriel de dimension finie, \(\varepsilon\) un \(\mathbb{F}_2\)-espace vectoriel, \(\Psi = \Psi(V) = \operatorname{Ker}(V^3 \xrightarrow{\ +\ } V)\), \(p_i : \Psi \to V\) les projections et \(\alpha_i : V \to \Psi\) les injections d'image \(N_i = \operatorname{Ker} p_i\) (par exemple \(\alpha_1(g) = (0, g, g)\)), de sorte que \(p_j \alpha_i\) est nul si \(i = j\) et l'identité sinon.

a) Soit \(1 \to \varepsilon \to E_0 \to V \to 1\) une extension centrale ; sa classe est la forme quadratique \(q : V \to \varepsilon\), \(q(g) = \tilde g^2\), et toute forme quadratique provient d'une telle extension¹⁴ . Soit \[ \widetilde\Psi = p_1^* E_0 \wedge p_2^* E_0 \wedge p_3^* E_0 \] le produit de Baer des trois images inverses, extension centrale de \(\Psi\) par \(\varepsilon\)¹⁵ . Pour chaque \(i\), \(\alpha_i^* \widetilde\Psi \simeq E_0 \wedge E_0\) est canoniquement scindée (\(g \mapsto [\tilde g, \tilde g]\), indépendant du relèvement puisque \(\varepsilon\) est d'exposant 2), d'où des relèvements \(\rho_i : V \to \widetilde\Psi\) de \(\alpha_i\), et \[ \rho_1(g)\, \rho_2(g)\, \rho_3(g) = q(g) \qquad (g \in V), \] ce qu'on vérifie en écrivant \(\rho_1(g) = [1, \tilde g, \tilde g]\), etc.

b) Inversement, tout système \((\widetilde\Psi, \rho_1, \rho_2, \rho_3)\) d'une extension centrale de \(\Psi\) par \(\varepsilon\) et de relèvements des \(\alpha_i\) provient d'une extension \(E_0\), déterminée à isomorphisme unique près, de classe donnée par la formule précédente ; et la catégorie de ces systèmes est rigide. On rapporte cet énoncé sans l'avoir vérifié en entier.

c) Conditions équivalentes :

1. (i)\(q\) est anisotrope : \(q(x) \neq 0\) pour \(x \neq 0\) ;
2. (ii)posant \(\widetilde P_i = \widetilde\Psi/\rho_i(V)\), trois points de \(\widetilde\Psi\) qui ont deux à deux la même image dans le \(\widetilde P_k\) convenable sont égaux¹⁶ ;
3. (iii)si \(z_i \in \rho_i(V)\) et \(z_1 z_2 z_3 = 1\), alors \(z_1 = z_2 = z_3 = 1\) ;
4. (iv)si \(\rho_1(g) \rho_2(g) \rho_3(g) = 1\), alors \(g = 0\).

(iii) et (iv) sont équivalents parce que \(\rho_1(a) \rho_2(b) \rho_3(c)\) est au-dessus de \((b + c, a + c, a + b)\), nul seulement si \(a = b = c\) ; et (iv) est (i) par la formule de a).

Existence. Pour \(\varepsilon = \mathbb{F}_2\)¹⁷ , un tel système existe si et seulement si \(\dim V \leq 2\), et il est alors unique à isomorphisme unique près. C'est juste : une forme quadratique sur \(\mathbb{F}_2^n\) à valeurs dans \(\mathbb{F}_2\) est isotrope dès que \(n \geq 3\) (théorème de Chevalley–Warning), et en dimension 2 la seule forme anisotrope est \(x^2 + xy + y^2\). L'extension \(E_0\) correspondante de \(V = \mathbb{F}_2^2\) est alors le groupe des quaternions \(Q_8\) : tout élément non nul de \(V\) se relève en un élément d'ordre 4¹⁸ .

Pour \(\dim V = 2\), \(\widetilde\Psi\) a \(2 \cdot 16 = 32\) éléments et chaque \(\widetilde P_i\) en a 8 : ce sont les cardinaux de \(\widetilde\Gamma\) et des \(E(u)^*\). C'est ainsi que les pages 25 et 26 reconstruiront \(C\) autour d'un triangle.

16–16

5. Les axiomes en valence quelconque (page 16)

Soit \(S\) un graphe non vide tel que a) deux sommets liés ont un unique voisin commun, b) \(S\) est régulier de valence \(\nu \geq 1\).

Lemme 1. \(\nu\) est pair, et \(\operatorname{card} S \geq 3(\nu - 1)\), avec égalité si et seulement si, pour un (ou tout) triangle \(T\), tout sommet hors de \(T\) est lié à exactement un sommet de \(T\).

Les voisins d'un sommet se groupent en paires (les triangles qui le contiennent), d'où la parité ; les \(\nu - 2\) voisins extérieurs de chaque sommet d'un triangle \(T\) sont deux à deux distincts d'un sommet à l'autre, d'où \(\operatorname{card} S \geq 3 + 3(\nu - 2)\)¹⁹ . Les calculs griffonnés qui suivent posent \(\nu = 2(\mu + 1)\), \(\operatorname{card} S = 3(2\mu + 1)\) dans le cas d'égalité ; les non-voisins d'un sommet sont alors \(4\mu\) (16 pour \(\mu = 4\)). L'inégalité \(4\mu \leq 2^{\mu + 1}\) qui suit s'explique si l'on code un non-voisin \(x\) de \(s\) par la section qu'il choisit dans les \(\mu + 1\) paires de \(E(s)\), comme le fait la page 17 ; c'est notre lecture, la page ne le dit pas.

17–20

6. Un sommet marqué (pages 17 à 20)

Soit \(u \in C\) et \(Q_u\) l'ensemble à cinq éléments des triangles de sommet \(u\) (les paires de sommets liés de \(E(u)\))²⁰ . Soit \(\Psi = \Psi(Q_u) = \operatorname{Ker}(\mathbb{F}_2^{Q_u} \xrightarrow{\ \Sigma\ } \mathbb{F}_2)\), de cardinal 16.

Description. La donnée de \((C, u)\) équivaut à celle d'un ensemble \(Q_u\) à cinq éléments et d'un torseur \(P\) sous \(\Psi(Q_u)\). Dans un sens : \(E(u)\), muni de son involution sans point fixe, est un revêtement double de \(Q_u\), c'est-à-dire un torseur \(Q\) sous \(\mathbb{F}_2^{Q_u}\) (l'ensemble de ses 32 sections) ; tout \(x \notin E(u) \cup \lbrace u\rbrace\) choisit un élément dans chaque paire (lemme 1), donc une section ; l'application \(C \smallsetminus (E(u) \cup \lbrace u\rbrace) \to Q\) est injective, d'image un torseur \(P\) sous \(\Psi\) (16 éléments). Dans l'autre : \[ C \simeq \lbrace u\rbrace \amalg \coprod_{i \in Q_u} \bigl(P \wedge^{\Psi} (\mathbb{F}_2, p_i)\bigr) \amalg P , \] avec les règles a) \(u\) est lié aux \(10\) points du terme médian, non à ceux de \(P\) ; b) les deux points de chaque \(P \wedge^\Psi (\mathbb{F}_2, p_i)\) sont liés, et non liés aux autres points du terme médian ; c) \(a \in P \wedge^\Psi (\mathbb{F}_2, p_i)\) est lié à \(x \in P\) si et seulement s'il est l'image de \(x\) ; d) \(x, y \in P\) sont liés si et seulement si \(y - x\) est l'un des cinq vecteurs \(e'_i = \sum_{j \neq i} e_j\) de poids 4.

Lemme (page 18). Pour \(x, y \notin E(u) \cup \lbrace u\rbrace\) distincts, \(x\) et \(y\) sont liés si et seulement s'il existe un et un seul triangle \(t\) de sommet \(u\) sur lequel \(x\) et \(y\) font le même choix²¹ . Les différences de sections sont de poids pair (elles sont dans \(\Psi\)) ; aucun accord est impossible (\(\sum e_i \notin \Psi\), « car \(5 \neq 0\) dans \(\mathbb{F}_2\) ») ; un seul accord correspond au poids 4, trois accords au poids 2.

Corollaire (page 19). Le stabilisateur \(W_u\) de \(u\) est le groupe des couples \((\varphi, \bar\varphi)\) d'une permutation de \(Q_u\) et d'un automorphisme affine de \(P\) au-dessus d'elle : \[ 1 \to \Psi(Q_u) \simeq \mathbb{F}_2^4 \to W_u \to \mathfrak{S}_5 \to 1 , \] extension scindée. C'est le groupe de Weyl \(W(D_5)\), d'ordre \(16 \cdot 120 = 1920\), d'indice 27 dans \(W \simeq W(E_6)\)²² .

Les bases (pages 19 et 20)

Il annonce un système de racines \(D_5\) attaché à \((C, u)\) et le relie aux « bases ». Il y a \(\binom{10}{2} - 5 = 40\) paires de sommets non liés dans \(E(u)\).

Lemme. Pour toute paire \(\lbrace \xi_1, \xi_2\rbrace\) de sommets non liés de \(E(u)\), il existe une unique base \(b\) telle que \(b \cap E(u) = \lbrace\xi_1, \xi_2\rbrace\), et alors \(b' \cap E(u) = \lbrace \sigma\xi_1, \sigma\xi_2\rbrace\), où \(\sigma\) est l'involution de \(E(u)\).

L'existence vient de la transitivité de \(W_u\) sur ces paires ; la preuve de l'unicité est dans un bloc biffé, presque illisible, et n'est pas reconstituée ici²³ .

Positions d'un sommet et d'une base (page 20). Pour \(u\) fixé, les 72 bases se répartissent en \(16 + 16 + 40\) :

• (i)\(u \in b\) (16 bases) : \(E(u) \cap b = \emptyset\), \(\operatorname{card} E(u) \cap b' = 5\), et \(r_b \cdot u = 1\) ;
• (ii)\(u \in b'\) (16 bases) : les rôles de \(b\) et \(b'\) échangés, \(r_b \cdot u = -1\) ;
• (iii)\(u \notin b \cup b'\) (40 bases, dites orthogonales à \(u\)) : \(\operatorname{card} E(u) \cap b = \operatorname{card} E(u) \cap b' = 2\), \(r_b \cdot u = 0\).

Ici \(r_b\) est la racine attachée à la bibase (page 49).

21–22

7. Le réseau d'un revêtement double, et \(D_5\) (pages 21 et 22)

Soit \(\widetilde Q \to Q\) un revêtement double d'un ensemble à \(r\) éléments, d'involution \(\sigma\). Sur \(\mathbb{Z}^{\widetilde Q}\), posons \(\tilde q \cdot \tilde q = -1\), \(\tilde q \cdot \sigma\tilde q = 1\), et \(\tilde q \cdot \tilde q' = 0\) si \(\tilde q'\) n'est ni \(\tilde q\) ni \(\sigma \tilde q\)²⁴ . Soit \(E\) le quotient par le noyau de la forme. Comme \(\tilde q + \sigma \tilde q\) est dans le noyau, \(E\) est libre de rang \(r\), de base un relèvement de chaque point de \(Q\), la forme y étant \(-\mathrm{id}\) ; les « racines » \(\tilde q - \tilde q'\) (\(\tilde q' \neq \tilde q, \sigma \tilde q\)) sont les \(\pm e_i \pm e_j\), un système de type \(D_r\).

Pour \(Q = E(u)\) : dans une base où \(u = \xi'_6\), \(E(u)\) est formé des \(\xi_i\) et des \(\xi_{i6}\) (\(1 \leq i \leq 5\)), \(\sigma \xi_i = \xi_{i6}\), et

1. a)les \(x + \sigma x\), \(x \in E(u)\), sont tous égaux à \(\theta = \eta - \xi_6 = \lambda - u\)²⁵ ;
2. b)\(x \mapsto x - \tfrac12 \theta\) envoie \(E(u)\) sur les \(\pm \varepsilon_i\), \(\varepsilon_i = \xi_i - \tfrac12\theta\), qui vérifient \(\varepsilon_i \cdot \varepsilon_j = -\delta_{ij}\) ; c'est un isomorphisme du réseau de la page 21 sur un sous-réseau de \(\tfrac12 \widehat E(C)\), et les différences de sommets non liés de \(E(u)\), inchangées par la translation, sont les 40 racines \(\pm\varepsilon_i \pm \varepsilon_j\), de type \(D_5\) : ce sont les racines de \(E_6\) orthogonales à \(u\).

23–25

8. Une arête marquée (pages 23 à 25)

Page 23, deux vérifications de l'ordre de \(W\). Une base orthogonale à \(u\) équivaut à un ensemble \(I\) à six éléments (\(b\) lui-même) muni d'une partie \(I_2 = b \cap E(u)\) à deux éléments ; d'où²⁶ \[ \operatorname{card} W = (27 \cdot 40) \cdot (2 \cdot 4!) = 51\,840 . \]

Marquer une arête \(\lbrace v, w\rbrace\) revient à marquer le triangle \(\lbrace u, v, w\rbrace\) avec son sommet \(u\), donc un élément \(t\) de \(Q_u\) ; \(P_u = Q_u \smallsetminus \lbrace t\rbrace\) a 4 éléments et \(\Psi(Q_u) \simeq \mathbb{F}_2^{P_u}\) par projection. Un torseur sous \(\mathbb{F}_2^{P_u}\) est un ensemble \(\widetilde P_u\) à huit éléments muni d'une involution sans point fixe, et \[ C \simeq \lbrace u\rbrace \amalg \lbrace v, w\rbrace \amalg \widetilde P_u \amalg P , \qquad 1 + 2 + 8 + 16 = 27, \] avec six règles de liaison a)–f) analogues à celles de la page 18, la dernière disant que \(x, y \in P\) sont liés si et seulement si \(x - y\) est l'un des vecteurs \(e'_i = \sum_{j \neq i} e_j\) (\(i \in P_u\)) ou \(e'_0 = \sum_j e_j\).

Corollaire. Le stabilisateur \(W_\alpha\) de l'arête \(\alpha\) est une extension scindée de \(\mathfrak{S}_{P_u} \simeq \mathfrak{S}_4\) par \(\mathbb{F}_2^4\) : c'est \(W(B_4)\), d'ordre 384, dont le système de racines a 32 racines de deux longueurs. Il le cherche dans \(E_6\) ; ce qu'il trouve (page 25), c'est qu'en épinglant le triangle (en fixant ses trois sommets) on restreint le groupe structural à \(\Psi_{P_u} = \operatorname{Ker}( \mathbb{F}_2^{P_u} \to \mathbb{F}_2)\), d'où \[ 1 \to \Psi_{P_u} \simeq \mathbb{F}_2^3 \to W_t' \to \mathfrak{S}_{P_u} \to 1, \qquad W_t' \simeq W(D_4), \] d'ordre 192, où \(W_t'\) est le groupe des automorphismes qui fixent \(t\) point par point ; le système \(D_4\) a \(\binom 82 - 4 = 24\) racines, toutes de même longueur.

25–31

9. Un triangle marqué (pages 25 à 31)

Description (pages 25 et 26). La donnée de \((C, t)\), \(t\) un triangle, équivaut à celle de

1. a)un ensemble \(t\) à trois éléments ;
2. b)un \(\mathbb{F}_2\)-espace vectoriel \(V\) de dimension 2 (ou, ce qui revient au même, l'ensemble \(V^* = V \smallsetminus \lbrace 0\rbrace\) à trois éléments)²⁷ ;
3. c)un torseur \(\widetilde P\) sous l'extension canonique \(\widetilde\Psi(V, t) = \bigwedge_{i \in t} p_i^*(\widetilde V)\) de \(\Psi(V, t) = \operatorname{Ker}(V^t \to V)\), où \(\widetilde V\) est l'extension de \(V\) par \(\mathbb{F}_2\) qui ne se scinde sur aucun sous-groupe d'ordre 2 — le groupe \(Q_8\) de la page 15.

On pose \(\widetilde P_i = \widetilde P/N'_i\), où \(N'_i \subset \widetilde\Psi\) est le relèvement canonique de \(N_i = \operatorname{Ker} p_i\) ; alors \(C \simeq t \amalg \coprod_{i \in t} \widetilde P_i\), avec a) les sommets de \(t\) deux à deux liés ; b) \(i\) lié aux points de \(\widetilde P_i\) et non aux autres ; c) dans \(\widetilde P_i\), \(x\) et \(y\) liés si et seulement si \(y = \sigma x\) ; d) pour \(i \neq j\), \(x \in \widetilde P_i\) et \(y \in \widetilde P_j\) liés si et seulement s'ils sont images d'un même point de \(\widetilde P\). Ici \(\widetilde P\) est l'ensemble \(\widetilde\Gamma\) des 32 triangles extérieurs à \(t\), et les \(\widetilde P_i\) sont les \(E(i)^*\) : c'est l'achèvement du programme de la page 8.

Corollaire. Le groupe \(W_t\) des automorphismes de \((C, t)\) est l'ensemble des triples \((\tau, \rho, \varphi)\) d'une permutation de \(t\), d'un automorphisme de \(V\) et d'un automorphisme de \(\widetilde P\) au-dessus de l'automorphisme induit de \(\widetilde\Psi\) : \[ 1 \to \widetilde\Psi \to W_t \to \mathfrak{S}_t \times \mathfrak{S}_{V^*} \to 1, \qquad \operatorname{card} W_t = 32 \cdot 36 = 1152 = 51\,840/45 . \] « Sauf erreur », dit-il, c'est le groupe de Weyl de \(D_4\) complété par ses automorphismes extérieurs, \(\mathfrak{S}_t\) correspondant à ceux-ci, et la catégorie des systèmes de racines de type \(D_4\) serait équivalente à celle des graphes cubiques munis d'un triangle²⁸ .

Les 24 racines orthogonales à un triangle (pages 27 et 28). Les bases \(b\) telles que \(b \cap E(i)\) ait deux éléments pour chaque \(i \in t\) — ce qui force \(b \cap t = \emptyset\) — sont au nombre de \(8 \cdot 6/2 = 24\), et \(b \mapsto b \cap E(i)\) les met en bijection avec les paires non liées de \(\widetilde P_i\). Les racines correspondantes sont les racines orthogonales à \(t\) ; elles forment un système de type \(D_4\) (« à vérifier », écrit-il ; c'est exact). En marge : « \(D_4\) = carrousel », avec un dessin : le triangle et deux arêtes pendantes à chaque sommet.

Le système \((C, t, b)\), \(b\) orthogonale à \(t\), équivaut à une base \(b\) munie d'une partition en trois paires \(\lbrace \xi_1, \xi_2\rbrace\), \(\lbrace \xi_3, \xi_4\rbrace\), \(\lbrace \xi_5, \xi_6\rbrace\), le triangle étant \(\lbrace \xi_{12}, \xi_{34}, \xi_{56}\rbrace\) ; il y en a \(15\) par base, soit \(72 \cdot 15 = 1080 = 45 \cdot 24\), et le stabilisateur est \(W(B_3) = \mathfrak{S}_2 \wr \mathfrak{S}_3\), d'ordre 48 ; \(1080 \cdot 48 = 51\,840\).

Position d'un triangle et d'une base (pages 29 à 31). Comme \(u + v + w = \lambda\) est orthogonal à toutes les racines, \(\sum_{i \in t} i \cdot r_b = 0\) avec chaque terme dans \(\lbrace -1, 0, 1\rbrace\) : ou bien \(b\) est orthogonale à \(t\) (24 bases), ou bien, à l'ordre près, \(r_b \cdot u = 1\) (\(u \in b\)), \(r_b \cdot v = -1\) (\(v \in b'\)), \(r_b \cdot w = 0\) (48 bases, en six groupes de huit selon les rôles de \(u, v, w\)). Dans le second cas, la donnée de \((t, b)\) équivaut à celle d'un triangle épinglé et d'un point \(u' \in E(w)^*\) (\(27 \cdot 10 \cdot 8 = 2160\)), ou d'une base avec deux éléments ordonnés \(\xi_1, \xi_2\), le triangle étant \((\xi_1, \xi'_2, \xi_{12})\) (\(72 \cdot 6 \cdot 5 = 2160\)). Le stabilisateur est \(\mathfrak{S}_4 = W(A_3) \simeq W(D_3)\), « isomorphisme exceptionnel » \(D_3 \simeq A_3\) ; ses 12 racines sont les \(\alpha - \beta\), \(\alpha, \beta\) distincts non liés dans \(E(w)^* \smallsetminus \lbrace u', \sigma u'\rbrace\).

Deux triangles disjoints et une base orthogonale aux deux (page 31). Ils correspondent à un ensemble \(I\) à six éléments muni de deux partitions de type \((2,2,2)\) sans classe commune, c'est-à-dire d'une structure hexagonale sur \(I\) (les deux partitions sont les deux familles de côtés alternés). Le triangle \(t''\) qui complète \(\lbrace t, t'\rbrace\) en bitriangle est encore orthogonal à \(b\). Pour \(b\) fixée il y a \(120 = 5!\) couples \((t, t')\) et \(60 = 5!/2\) paires, autant que de structures hexagonales sur un ensemble à six éléments ; d'où \(72 \cdot 5! = 45 \cdot 32 \cdot 6 = 8640 = \operatorname{card} W/6\) triples, \(6 = \operatorname{card}\mathfrak{S}_t\).

32–33

10. Balise et sablier (pages 32 et 33)

Une balise est un triangle \(\lbrace u, v, w\rbrace\) avec une arête pendante \(\lbrace u, x\rbrace\). Sa donnée revient à celle d'un triangle à sommet marqué (un torseur sous \(\mathbb{F}_2^{P_u}\), page 23) et d'un point de \(\widetilde P_u\) ; il reste un ensemble \(R_u\) à trois éléments et un revêtement double de \(R_u\). La catégorie des \((C, \text{balise})\) est discrète au sens où ses objets n'ont pas d'automorphisme non trivial une fois la balise épinglée ; le groupe d'automorphismes de \((C, \text{balise})\) est le groupe de Weyl élargi de \(D_3\), c'est-à-dire \(W(B_3)\), d'ordre \(3! \cdot 2^3 = 48\), et \[ 45 \cdot 3 \cdot 8 = 1080 = 51\,840 / 48 . \] Les racines correspondantes sont les \(\alpha - \beta\), \(\alpha, \beta \in E(u)^* \smallsetminus \lbrace x, \sigma x\rbrace\) distincts non liés.

Un sablier est une paire de triangles de sommet commun : la donnée équivaut à un sommet \(u\) et une partition de \(Q_u\) en une partie à deux éléments et une à trois. Il y en a \(27 \cdot \binom 52 = 270\), de groupe \((\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3) \cdot \Psi(Q_u)\) d'ordre \(2 \cdot 6 \cdot 16 = 192\), et \(270 \cdot 192 = 51\,840\). Un sablier épinglé équivaut à une balise épinglée (\(270 \cdot 8 = 1080 \cdot 2 = 2160\))²⁹ .

34–39

11. Prisme et bitriangle (pages 34 à 39)

Le prisme triangulaire, dit-il, équivaut à un carré à côté marqué, et il passe au bitriangle \(\Delta\), dont il y a 120 (page 11). La donnée d'un bitriangle abstrait équivaut à celle d'un ensemble \(\Delta_0\) à neuf éléments muni de deux partitions de type \((3,3,3)\) telles que \(\Delta_0 \to \Delta_0/\Pi \times \Delta_0/\Pi'\) soit bijective ; ou à celle d'un ensemble \(T\) à six éléments (les six triangles de \(\Delta\)) muni d'une partition de type \((3, 3)\), c'est-à-dire d'une application \(T \to I\) de degré 3 sur un ensemble \(I\) à deux éléments, avec \(\Delta = \prod_{i \in I} T_i\). D'où \(\operatorname{Aut}(\Delta) \simeq \mathfrak{S}_2 \ltimes (\mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3)\), d'ordre 72.

Pour \(\Delta\) plongé dans \(C\), le noyau de \(\operatorname{Aut}(C, \Delta) \to \operatorname{Aut}(\Delta)\) est d'ordre 6, isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\) (le d) de la page 12). Il l'interprète par un ensemble \(V^*\) à trois éléments, canoniquement isomorphe, pour chaque \(u \in \Delta\), à l'ensemble \(V^*(u)\) des trois triangles de sommet \(u\) non contenus dans \(\Delta\), les isomorphismes formant un système transitif ; d'où \[ \operatorname{Aut}(C, \Delta) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Aut}(\Delta) \times \operatorname{Aut}(V^*), \qquad 432 = 72 \cdot 6 = 51\,840/120 . \]

Lemme 2 (page 36). a) Pour \(x \in C \smallsetminus \Delta\), \(\Delta(x) = \Delta \cap E(x)\) a trois éléments et c'est le graphe d'une bijection \(T_i \simeq T_{i'}\) (une transversale du carré \(3 \times 3\)) ; b) soit \(\mathbb{F}'\) l'ensemble (à six éléments) de ces transversales³⁰ ; l'application \(C \smallsetminus \Delta \to \mathbb{F}' \times V^*\) est bijective (\(18 = 6 \cdot 3\)), et \[ C \simeq \Delta \amalg (\mathbb{F}' \times V^*) , \] deux points distincts \(x, y\) de \(\mathbb{F}' \times V^*\) étant liés si et seulement si ou bien \(\Delta(x) \cap \Delta(y) \neq \emptyset\) et \(v(x) = v(y)\), ou bien \(\Delta(x) \cap \Delta(y) = \emptyset\) et \(v(x) \neq v(y)\). On l'a vérifié sur le modèle ; la page renvoie, comme « justification a priori », au théorème de la page 2.

Bases orthogonales à \(\Delta\) (pages 37 et 38). Ce sont les bases contenues dans \(C \smallsetminus \Delta\). Soit \(\mathcal{J} = \bigwedge_{i \in I} \widetilde I_i\) le produit de Baer des \(\mathbb{F}_2\)-torseurs des deux permutations circulaires de chaque fibre \(T_i\) : un ensemble à deux éléments³¹ . Les bases orthogonales correspondent aux injections \(\varphi : \mathcal{J} \hookrightarrow V^*\) : \(b_\varphi\) est l'ensemble des \(x\) dont la classe de \(\Delta(x)\) dans \(\mathcal{J}\) s'envoie sur \(v(x)\). Il y en a \(6\), de sorte que \((C, \Delta, b)\) équivaut à \(\Delta\) seul (\(V^* \simeq \mathcal{J} \amalg \lbrace \mathrm{pt}\rbrace\)), et, pour \(b\) fixée, il y a \(720/72 = 10 = \tfrac12\binom63\) bitriangles orthogonaux, autant que de partitions de \(b\) en deux moitiés. Il pressent là une « autodualité » de la catégorie des ensembles à six éléments munis d'une partition de type \((3, 3)\) ; il y revient pages 73 à 75.

Les six racines orthogonales à un bitriangle (page 39). Avec l'étiquetage des pages 9 et 10 (le bitriangle \(u, v, w\), \(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\), \(\alpha'_1, \beta'_1, \gamma'_1\)), les bases orthogonales sont \(b = (\alpha_1, \alpha'_2, \beta_1, \beta'_2, \gamma_1, \gamma'_2)\) et ses images par les permutations de \(\lbrace 1, 2, 3\rbrace\)³² ; la racine de \(b\) est \(\alpha_2 - \alpha_1\), et les six racines \(\alpha_i - \alpha_j\) forment un système de type \(A_2\).

La page s'achève sur un programme : a) positions d'un bitriangle et d'un triangle — trois cas, \(t \subset \Delta\) (6), \(\operatorname{card} t \cap \Delta = 1\) (\(3 \cdot 9 = 27\)), \(t \cap \Delta = \emptyset\) (12), total 45 ; b) positions d'une base et d'un bitriangle, « il semble » trois ; c) « position relative de deux bitriangles ??? ». Seul a) est fait.

41–48

12. Les vingt-sept droites (pages 41 à 48)

I. Le plan éclaté (pages 41 à 43)

Soit \(P\) un plan projectif et \(S = \lbrace s_1, \ldots, s_6\rbrace\) six points dont trois ne sont jamais alignés et qui ne sont pas tous sur une conique. Soit \(\widetilde P\) l'éclaté de \(P\) en \(S\), \(D_i\) la courbe exceptionnelle au-dessus de \(s_i\), \(D_{ij}\) le transformé strict de la droite \(s_i s_j\), \(D'_i\) celui de la conique passant par les cinq points autres que \(s_i\). Dans \(\operatorname{Pic}(\widetilde P)\), avec \(\eta\) l'image inverse de la classe d'une droite et \(\xi_i\) la classe de \(D_i\) : \[ \xi_{ij} = \eta - \xi_i - \xi_j, \qquad \xi'_i = 2\eta - \sum_{\alpha \neq i} \xi_\alpha = 2\eta - \xi + \xi_i, \qquad \xi = \sum_1^6 \xi_\alpha . \] On en tire \(\xi' = \sum \xi'_\alpha = 12\eta - 5\xi\), et, définissant \(\eta'\) par \(2\eta - \xi = -(2\eta' - \xi')\) et posant \(\lambda = 3\eta - \xi\), \[ \xi + \xi' = 4\lambda, \qquad \eta + \eta' = 2\lambda, \qquad \eta' = 5\eta - 2\xi, \qquad \xi_i - \xi'_i = 2\eta' - \xi' . \] La forme d'intersection est \(\eta^2 = 1\), \(\xi_i^2 = -1\), \(\eta \cdot \xi_i = 0\), \(\xi_i \cdot \xi_j = 0\) (\(i \neq j\)), et de même pour \((\eta', (\xi'_i))\). On a \[ \lambda^2 = 3, \qquad \lambda \cdot \xi_i = \lambda \cdot \xi'_i = \lambda \cdot \xi_{ij} = 1 , \] \[ \xi_i \cdot \xi'_j = 1 - \delta_{ij}, \qquad \xi_i \cdot \xi_{jk} = \xi'_i \cdot \xi_{jk} = [i \in \lbrace j, k\rbrace], \qquad \xi_{ij} \cdot \xi_{kl} = 1 - \operatorname{card}(\lbrace i,j\rbrace \cap \lbrace k, l\rbrace) \] pour des paires distinctes. La classe \(\lambda\) est celle du système des cubiques passant par \(S\), qui plonge \(\widetilde P\) dans \(\mathbb{P}^3\) comme une surface cubique ; \(\lambda^2 = 3\) dit que l'image est de degré 3, et \(\lambda \cdot \delta = 1\) que les 27 courbes \(D_i, D'_i, D_{ij}\) (\(6 + 6 + 15\)) deviennent des droites. En marge : la classe canonique est déterminée par \(\lambda\), ce qui rend le plongement, et les 27 droites, intrinsèques à la surface³³ . Chaque droite en rencontre dix autres, et deux droites qui se rencontrent ont un unique troisième voisin commun : c'est le graphe de la page 2. Le \((\ast)\) de la page 41, « vérifier », est confirmé par ces formules, au point près de la transversalité, qu'il note « on espère ! » et qui résulte de ce que les intersections valent 1.

II. Le même calcul sur un anneau (pages 43 à 48)

Sur un anneau \(k \neq 0\), il part d'un module muni d'éléments \(\eta, \xi_i, \eta', \xi'_i\) liés par (b) \(2(\eta + \eta') = \xi + \xi'\) et (c) \(\xi'_i - \xi_i = 2\eta - \xi\), en tire les relations symétriques, \(\xi + \xi' = 4\lambda = 4\lambda'\), et suppose en outre \(\lambda = \lambda'\) (conséquence de ce qui précède si 2 est inversible) ; d'où \(2\eta' = 10\eta - 4\xi\), \(\eta' = 5\eta - 2\xi\), et symétriquement³⁴ . La famille \((\eta, (\xi_i))\) est une base si et seulement si \((\eta', (\xi'_i))\) en est une ; une forme bilinéaire symétrique vérifiant les relations ci-dessus pour l'une les vérifie pour l'autre, et elle force la liberté. Les 27 éléments \(\xi_i, \xi'_i, \xi_{ij} = \eta - \xi_i - \xi_j = \eta' - \xi'_i - \xi'_j\) engendrent le module (il suffit des \(\xi_i\) et d'un \(\xi_{ij}\)).

Le graphe standard. Sur l'ensemble \(\Delta\) de ces 27 éléments, on déclare \(\delta \neq \delta'\) liés si \(\delta \cdot \delta' = 1\) (les autres produits sont nuls) : \(\xi_i\) est lié aux \(\xi'_j\) et \(\xi_{ij}\) (\(j \neq i\)), \(\xi'_i\) aux \(\xi_j\) et \(\xi_{ij}\), \(\xi_{ij}\) à \(\xi_i, \xi_j, \xi'_i, \xi'_j\) et aux six \(\xi_{kl}\) disjoints. Lemme (page 46) : deux sommets liés ont un unique voisin commun — \(\xi_{ij}\) pour \(\lbrace \xi_i, \xi'_j\rbrace\), \(\xi'_j\) pour \(\lbrace \xi_i, \xi_{ij}\rbrace\), \(\xi_j\) pour \(\lbrace\xi'_i, \xi_{ij}\rbrace\), \(\xi_{rs}\) pour \(\lbrace \xi_{ij}, \xi_{kl}\rbrace\), \(\lbrace r, s\rbrace\) complémentaire.

Définition. Un graphe cubique est un graphe isomorphe à ce graphe standard \(C_0\), de sommets \([1,6] \amalg [1,6] \amalg \mathfrak{P}_2([1,6])\). À \(C\) on associe \(\widehat E_k(C) = k^{(C)}/N(C)\), quotient par le noyau de la forme donnée par \(\delta \cdot \delta = -1\), \(\delta \cdot \delta' = 1\) ou \(0\) selon que \(\delta, \delta'\) sont liés ou non : un module libre de rang 7 à forme non dégénérée (c'est \(\operatorname{Pic}\), le réseau unimodulaire \(I_{1,6}\)).

Bases ordonnées (pages 47 et 48). Une base ordonnée de \(C\) est l'image de \((\xi_1, \ldots, \xi_6)\) par un isomorphisme \(C_0 \to C\) ; une partie basique, l'ensemble sous-jacent. Proposition. \(u \mapsto u((\xi_i))\) est une bijection de \(\operatorname{Isom}(C_0, C)\) sur les bases ordonnées, qui forment donc un torseur, à droite sous \(W_0 = \operatorname{Aut}(C_0)\) et à gauche sous \(W\) ; et les automorphismes qui stabilisent une partie basique sont induits par \(\mathfrak{S}_6\). Preuve : \(\xi'_i\) est l'unique sommet lié à tous les \(\xi_j\), \(j \neq i\), et \(\xi_{ij}\) l'unique sommet lié à \(\xi_i\) et \(\xi'_j\) ; un automorphisme qui fixe les \(\xi_i\) est donc l'identité. Une base \((\alpha_i)_{i \in I}\) équivaut à un isomorphisme \(C \simeq I \amalg I \amalg \mathfrak{P}_2(I)\).

Proposition. Il existe un unique \(\lambda_C \in \widehat E(C)\) tel que \(\lambda \cdot s = 1\) pour tout sommet \(s\) ; pour toute base \(\alpha\), \[ \lambda = 3\eta(\alpha) - \xi(\alpha), \quad \eta(\alpha) + \eta(\alpha') = 2\lambda, \quad \xi(\alpha) + \xi(\alpha') = 4\lambda, \quad \sum_{ij} \xi_{ij}(\alpha) = 5\lambda, \quad \sum_{s \in C} s = 9\lambda . \] L'unicité vient de ce que les sommets engendrent et que la forme est non dégénérée ; l'existence se voit sur \(C_0\). \(\lambda\) est donc invariant par automorphisme, et le produit scalaire avec \(\lambda\) donne une suite exacte invariante \(0 \to E \to \widehat E \to \mathbb{Z} \to 0\), \(E = \lambda^\perp\), de rang 6.

49–57

13. Relations avec \(E_6\) (pages 49 à 57)

Racines et double-six (pages 49 à 51)

Définition. Une racine de \(C\) est une différence \(\delta' - \delta\) de sommets distincts non liés ; leur ensemble \(R(C) \subset E(C)\) est stable par \(r \mapsto -r\), et \(r^2 = -2\).

Les \(27 \cdot 16 = 432\) couples ordonnés de sommets distincts non liés donnent 72 racines, six couples par racine : pour chaque racine \(r\), il y a un double-six \(\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_6)\), \(\alpha' = (\alpha'_1, \ldots, \alpha'_6)\), avec \(\alpha_i\) lié à \(\alpha'_j\) si et seulement si \(i \neq j\), les \(\alpha_i\) deux à deux non liés, de même les \(\alpha'_i\), et \(r = \alpha'_i - \alpha_i\) pour tout \(i\). Dans \(C_0\) : \[ \begin{array}{lll} 1 & r_0 = 2\eta - \xi = \lambda - \eta = \xi'_i - \xi_i & (\xi_1, \ldots, \xi_6), \ (\xi'_1, \ldots, \xi'_6) \\[3pt] 15 & r_{ij} = \xi_i - \xi_j \ (i < j) & (\xi_j, \xi'_j, (\xi_{ik})_{k \neq i,j}), \ (\xi_i, \xi'_i, (\xi_{jk})_{k \neq i,j}) \\[3pt] 20 & r_{ijk} = \eta - \xi_i - \xi_j - \xi_k & (\xi_i, \xi_j, \xi_k, \xi_{mn}, \xi_{ln}, \xi_{lm}), \ (\xi_{jk}, \xi_{ik}, \xi_{ij}, \xi'_l, \xi'_m, \xi'_n) \end{array} \] avec \(\lbrace l, m, n\rbrace\) le complémentaire de \(\lbrace i, j, k\rbrace\), et les opposées, obtenues en échangeant \(\alpha\) et \(\alpha'\) : \(2 \cdot (1 + 15 + 20) = 72\)³⁵ .

Pour une racine \(r\) de double-six \((\alpha, \alpha')\), on a \(r \cdot \alpha_i = 1\), \(r \cdot \alpha'_i = -1\), et \(r \cdot \delta = 0\) pour les quinze autres sommets ; la racine détermine donc ses deux sixains comme \(\lbrace s : r \cdot s = 1\rbrace\) et \(\lbrace s : r \cdot s = -1\rbrace\), et les racines sont en bijection avec les bases. Pour \(r\) donnée, \(\eta(\alpha) = \lambda - r\) et \(\xi(\alpha) = \sum \alpha_i = 2\lambda - 3r\) (passage biffé de la page 50).

Réflexions et groupe de Weyl (pages 51 à 53)

Après « Vérifications fastidieuses… », un « meilleur procédé » : comme \(r \cdot r = -2\), \[ s_r(x) = x + (x \cdot r)\, r \] est la réflexion orthogonale par rapport à \(r^\perp\) ; elle préserve la forme et \(\lambda\), et \(s_r \alpha_i = \alpha'_i\), \(s_r \alpha'_i = \alpha_i\), \(s_r \delta = \delta\) pour les autres sommets : \(s_r\) est un automorphisme de \(C\). Soit \(W\) le groupe engendré par les \(s_r\). \(s_{r_{ij}}\) est la transposition \((i\, j)\), donc \(W \supset \mathfrak{S}_6\) ; et \[ s_{r_{ijk}}(r_0) = r_{lmn}, \qquad s_{r_{ijk}}(r_{il}) = r_{jkl}, \] de sorte que \(W\) est transitif sur les racines. Corollaires : \(W\) est transitif sur les racines, les sixains, les bases ordonnées, les couples de sommets non liés, et \(W\) est le groupe de tous les automorphismes de \(C\) ; simplement transitif sur les \(72 \cdot 6!\) bases ordonnées, il est d'ordre \[ \operatorname{card} W = 72 \cdot 6! = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 . \]

Le théorème (pages 53 à 55)

Théorème. \((E(C), R(C))\) est un système de racines de type \(E_6\), et si \((\xi_1, \ldots, \xi_6)\) est une base ordonnée, \[ r_1 = \xi_1 - \xi_2, \ r_2 = \xi_2 - \xi_3, \ r_3 = \xi_3 - \xi_4, \ r_4 = \xi_4 - \xi_5, \ r_5 = \xi_5 - \xi_6, \ r_6 = \eta - \xi_1 - \xi_2 - \xi_3 \] est un système de racines simples, de diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
r_1 \arrow[r, no head] & r_2 \arrow[r, no head] & r_3 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & r_4 \arrow[r, no head] & r_5 \\
& & r_6 & &
\end{tikzcd}

\(W\) s'identifie au groupe de Weyl, et la forme est la forme invariante normalisée par \(r \cdot r = -2\).

La démonstration : \(E\) est engendré par \(r_1, \ldots, r_6\) (les \(\xi_i - \xi_1\) et \(\eta - 3\xi_1\) engendrent \(E\), et \(\eta - 3\xi_1 = r_6 - (\xi_1 - \xi_2) - (\xi_1 - \xi_3)\)) ; les racines sont stables par les \(s_r\) et deux racines non opposées ne sont pas proportionnelles ; puis toute racine positive est combinaison à coefficients entiers positifs des \(r_i\) : \[ r_{ij} = r_i + \cdots + r_{j-1}, \qquad r_{ijk} = r_6 + (r_1 + \cdots + r_{i-1}) + (r_2 + \cdots + r_{j-1}) + (r_3 + \cdots + r_{k-1}), \] de hauteur \(i + j + k - 5 \leq 10\), et \[ r_0 = r_{123} + r_{456} = r_1 + 2r_2 + 3r_3 + 2r_4 + r_5 + 2r_6 , \] de hauteur 11 : c'est la plus grande racine. Enfin \(r_i \cdot r_j = 0\) sauf pour \(j = i + 1 \leq 5\) et pour \((i, j) = (3, 6)\), où il vaut 1 : le diagramme est \(E_6\)³⁶ .

Corollaire. \(W = \operatorname{Aut}(C)\) est d'indice 2 dans le groupe \(\widetilde W\) des automorphismes du système de racines, le quotient étant le groupe des automorphismes du diagramme de Dynkin.

Retrouver le graphe à partir des racines (pages 56 et 57)

La donnée de \(C\) est donc un peu plus fine que celle du système de racines : elle revient au choix de l'une des deux extrémités longues du diagramme. Il voudrait voir, dans la géométrie interne de \((E, R)\), ce qui récupère \(C\). Il pose \[ i(\delta) = 3\delta - \lambda \in E \qquad (\delta \cdot \lambda = 1, \ \lambda^2 = 3), \] d'où \(i(\delta) \cdot i(\delta') = 9\, \delta\cdot\delta' - 3\) : \[ i(\delta)^2 = -12, \qquad i(\delta) \cdot i(\delta') = \begin{cases} 6 & \delta, \delta' \text{ liés} \\ -3 & \delta \neq \delta' \text{ non liés.}\end{cases} \] \(i\) est une bijection de \(C\) sur une partie \(\Delta'\) de l'ensemble des vecteurs de carré \(-12\) de \(E\), invariante par \(W\), et les racines s'en déduisent par³⁷ \[ 3R = \lbrace x' - x \mid x, x' \in \Delta', \ x \cdot x' = -3\rbrace \]

\(-\Delta'\) est aussi invariant par \(W\), et \(\Delta' \cap (-\Delta') = \emptyset\), car \(3(\delta + \delta') = 2\lambda\) est impossible (\(2\lambda = 6\eta - 2\xi\) n'est pas divisible par 3). Donc \(-\mathrm{id}_E \notin W\) et³⁸ \[ \widetilde W \simeq W \times \lbrace \pm \mathrm{id}_E\rbrace . \] La réunion \(\widetilde\Delta = \Delta' \cup (-\Delta')\) est canoniquement attachée au système de racines, se décompose en deux orbites sous \(W\), et le choix d'une orbite équivaut au choix de \(C\). « On aimerait l'expliciter, ainsi que \(\widetilde\Delta\), via la géométrie interne du syst. de racines. » Ce sera l'objet des pages 95 à 98 ; la réponse est que \(\tfrac13 \widetilde\Delta\) est l'ensemble des poids minuscules non nuls de \(E_6\) (section 21).

58–60

14. Une définition intrinsèque, et les 72 bases (pages 58 à 60)

Définition (page 58). Un graphe \(C\) est cubique s'il existe deux parties disjointes \(I\), \(I'\) de six sommets, chacune formée de sommets deux à deux non liés³⁹ , telles que

1. b)tout \(i \in I\) est non lié à un unique \(i' \in I'\), et inversement⁴⁰ , d'où une bijection \(i : I \to I'\) ;
2. c)pour toute paire \(J \subset I\), il existe un unique sommet \(\xi_J\) lié aux quatre éléments de \(J \cup i(J)\) et à aucun autre élément de \(I \cup I'\) ;
3. d)\(J \mapsto \xi_J\) est une bijection de \(\mathfrak{P}_2(I)\) sur \(C \smallsetminus (I \cup I')\) ;
4. e)\(\xi_J\) et \(\xi_{J'}\) (\(J \neq J'\)) sont liés si et seulement si \(J \cap J' = \emptyset\).

Avec l'hypothèse ajoutée, ces conditions décrivent exactement le graphe \(C(I)\) construit sur un ensemble \(I\) à six éléments, et \(C\) est cubique si et seulement si \(C \simeq C(I)\). \(I\) détermine \(I'\) ; ce sont les parties basiques ; une bibase est une paire de bases associées.

Proposition. a) La catégorie des graphes cubiques munis d'une base (resp. d'une base ordonnée) équivaut à celle des ensembles à six éléments (resp. à la catégorie ponctuelle) ; b) munis d'une bibase, à celle des couples d'un ensemble à six éléments et d'un ensemble à deux éléments ; c) les bases ordonnées forment un torseur sous \(W_0\) à droite et \(W\) à gauche.

Théorème (pages 59 et 60). Les bases de \(C(I)\) sont : (i) \(I\) et \(I'\) (2) ; (ii) pour \((i, j) \in I^2\), \(i \neq j\), \(B^{(i,j)} = \lbrace \xi_j, \xi'_j, (\xi_{ik})_{k \neq i, j}\rbrace\) (30) ; (iii) pour \(K \in \mathfrak{P}_3(I)\), \(B^K = \lbrace \xi_i \ (i \in K), \ \xi_J \ (J \in \mathfrak{P}_2(I \smallsetminus K))\rbrace\) (20) ; (iv) \(B'^K = \lbrace \xi'_i \ (i \notin K), \ \xi_J \ (J \in \mathfrak{P}_2(K))\rbrace\) (20). La base associée à \(B^{(i,j)}\) est \(B^{(j,i)}\), celle de \(B^K\) est \(B'^K\). Corollaires : il y a 72 bases et \(\operatorname{card} W = 72 \cdot 6!\) ; \(W\) est transitif sur les sommets et sur les couples de sommets distincts non liés, et pour un tel couple \((\delta, \delta')\) il existe une unique base \(I\) contenant \(\delta\) dont la base associée contient \(\delta'\) ; la catégorie des graphes cubiques munis d'une paire de sommets non liés équivaut à celle des couples d'un ensemble à cinq éléments et d'un ensemble à deux éléments.

La fin de la page 60, barrée de deux croix, ébauche une notion de « bi-base » et étudie les parties de trois sommets liés ; elle ne se lit qu'en partie et on ne la restitue pas.

61–63

15. Un tableau des types, et les produits de racines (pages 61 à 63)

La page 61 est un tableau : pour chaque type de configuration, la catégorie équivalente, le groupe d'automorphismes, le nombre de configurations et les longueurs des orbites du stabilisateur sur les 27 sommets. On le redonne corrigé, chaque ligne vérifiée sur le modèle : \[ \begin{array}{llrrl} \text{type} & \text{catégorie} & \text{groupe} & \text{nombre} & \text{orbites} \\ \hline 1\text{-base} & Q \text{ (5) et torseur} & 1920 & 27 & 1, 10, 16 \\ 2\text{-base} & \mathrm{Ens}_5 \times \mathrm{Ens}_2 & 240 & 216 & 2, 5, 10, 10 \\ 2\text{-base ordonnée} & \mathrm{Ens}_5 & 120 & 432 & 1, 1, 5, 5, 5, 10 \\ 3\text{-base} & \mathrm{Ens}_3 \times \mathrm{Ens}_3 \times \mathrm{Ens}_2 & 72 & 720 & 3, 3, 6, 6, 9 \\ 3\text{-base ordonnée} & \mathrm{Ens}_3 \times \mathrm{Ens}_2 & 12 & 4320 & 1^3, 2^3, 3^4, 6 \\ 4\text{-base} & \mathrm{Ens}_4 \times \mathrm{Ens}_2 & 48 & 1080 & 1, 2, 2, 4, 4, 6, 8 \\ 4\text{-base ordonnée} & \mathrm{Ens}_2 & 2 & 25\,920 & 1^{15}, 2^6 \\ 5\text{-base} & \mathrm{Ens}_5 & 120 & 432 & 1, 1, 5, 5, 5, 10 \\ 5\text{-base ordonnée} & \text{ponctuelle} & 1 & 51\,840 & 1^{27} \\ 6\text{-base} & \mathrm{Ens}_6 & 720 & 72 & 6, 6, 15 \\ \text{demi-étoile} & \mathrm{Ens}_5 \times \mathrm{Ens}_2 & 240 & 216 & 2, 5, 10, 10 \\ \text{triades} & & 1296 & 40 & 27 \\ \text{triades ordonnées} & & 216 & 240 & 9, 9, 9 \\ \text{grilles} & & 432 & 120 & 9, 18 \end{array} \] Ici une \(n\)-base est une partie de \(n\) sommets deux à deux non liés contenue dans une base, une demi-étoile la partie \(E(x) \cap E(y)\) pour \(x, y\) non liés (page 66), une grille un bitriangle, une triade une partition des 27 sommets en trois bitriangles⁴¹ .

Page 63. Les racines dans la base \(\eta, \xi_1, \ldots, \xi_6\), avec leurs double-six (\(r_{ijk} = \xi_{jk} - \xi_i = \xi'_l - \xi_{mn} = \cdots\)), et la table des produits : \[ r_0 \cdot r_{ij} = 0, \quad r_0 \cdot r_{ijk} = -1, \quad r_{ijk} \cdot r_{pqs} = 1 - \operatorname{card}(\lbrace i,j,k\rbrace \cap \lbrace p,q,s\rbrace), \] \(r_{ij} \cdot r_{i'j'} = 0\) si \(\lbrace i,j\rbrace \cap \lbrace i',j'\rbrace = \emptyset\), \(+1\) si \(i' = j\) ou \(i = j'\), \(-1\) si \(i = i'\) ou \(j = j'\)⁴² ; \(r_{ij} \cdot r_{pqs}\) vaut \(0\) si \(\lbrace i, j\rbrace\) est contenu dans \(\lbrace p, q, s\rbrace\) ou lui est disjoint, \(+1\) si seul \(i\) y est, \(-1\) si seul \(j\) y est. Il en tire \(\cos\widehat{(r, r')} = - r \cdot r'/2\), et dessine l'étoile \(A_2\) de \(r_0\), \(r_{123} = r_6\), \(r_{456}\), avec⁴³ \[ r_{456} = r_1 + 2r_2 + 3r_3 + 2r_4 + r_5 + r_6, \qquad r_0 = r_6 + r_{456} . \]

66–71

16. Les parties libres (pages 66 à 71)

Une partie \(n\)-libre est une partie de \(n\) sommets deux à deux non liés.

Proposition (page 66). (1) Il existe des parties \(n\)-libres si et seulement si \(1 \leq n \leq 6\) ; les parties libres maximales sont les bases (cardinal 6) et les deux-étoiles \(E(x) \cap E(y)\), \(x, y\) distincts non liés (cardinal 5). (2) Soit \(L_i\) le graphe discret à \(i\) sommets ; \(\operatorname{Pl}(L_i, C)\) est homogène sous \(W\) pour \(i \neq 5\), et a deux orbites pour \(i = 5\) : les 5-bases et les deux-étoiles. Les restrictions \[ \operatorname{Pl}(L_6) \xrightarrow{\ 1\ } \operatorname{Pl}'(L_5) \xrightarrow{\ 2\ } \operatorname{Pl}(L_4) \xrightarrow{\ 6\ } \operatorname{Pl}(L_3) \xrightarrow{\ 10\ } \operatorname{Pl}(L_2) \xrightarrow{\ 16\ } \operatorname{Pl}(L_1) = C \xrightarrow{\ 27\ } \mathrm{pt}, \] et \(\operatorname{Pl}''(L_5) \to \operatorname{Pl}(L_4)\) de degré 1, sont surjectives de degrés indiqués. D'où les nombres de parties libres⁴⁴ : \[ \begin{gathered} B_1 = 27, \ B_2 = 216, \ B_3 = 720, \ B_4 = 1080, \ B'_5 = 432, \ B''_5 = 216, \ B_6 = 72, \\ \operatorname{card} \operatorname{Bib}(C) = 36 . \end{gathered} \]

Étude cas par cas. 1) Le stabilisateur d'un sommet est transitif sur ses 16 non-voisins. 2) Pour un couple \((x, y)\) de sommets non liés, il existe une unique base \(b\) avec \(x \in b\), \(y \in b'\) ; avec \((x, y) = (\xi_6, \xi'_6)\), les sommets non liés à \(x\) ni à \(y\) sont les dix \(\xi_{ij}\), \(i, j \leq 5\), sur lesquels \(\mathfrak{S}_5\) est transitif. Une paire non liée équivaut à une bibase avec un point de \(I = B/\sigma_B\) (page 68).

3) Une partie 3-libre a le type \(J = \lbrace \xi_{12}, \xi_{23}, \xi_{31}\rbrace\) ; ses non-voisins sont \(\xi_4, \xi_5, \xi_6, \xi'_4, \xi'_5, \xi'_6\). Les parties 3-libres correspondent aux couples \((B, K)\) d'une bibase et d'une partie à trois éléments de \(I\), modulo \(K \sim I \smallsetminus K\) (72 \(\cdot 20/2 = 720\)) ; la catégorie des \((C, J)\) équivaut à celle des triples \((\tau, K, K')\) d'ensembles à 2, 3, 3 éléments, avec \(C = (\tau \times (K \amalg K')) \amalg \mathfrak{P}_2(K \amalg K')\), d'où un groupe \(\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3\) d'ordre 72. L'involution \((\tau, K, K') \mapsto (\tau, K', K)\) associe à \(J\) l'ensemble \(J'\) des sommets liés à tout \(J\) (\(\lbrace \xi_{45}, \xi_{56}, \xi_{64}\rbrace\)). Corollaire : \(J\) est contenu dans exactement deux bases, dont l'intersection est \(J\) ; les parties 3-libres correspondent donc aux paires de bases d'intersection 3, et aux paires de racines à \(60^\circ\) (page 89).

Corollaire (page 70). Pour \(J\) 3-libre, l'ensemble \(\mathcal{L}(J)\) des sommets non liés à \(J\) est un hexagone (un 6-cycle induit), et \(J \mapsto \mathcal{L}(J)\) est une bijection des 720 parties 3-libres sur les 720 hexagones de \(C\), d'inverse \(\mathcal{H} \mapsto \mathcal{L}(\mathcal{H})\). Un hexagone équivaut à un couple \((\tau, K')\) de cardinaux 2 et 3 (le graphe \(\tau \times K'\), deux sommets liés si leurs deux composantes diffèrent).

4) Pour \(J = \lbrace \xi_1, \ldots, \xi_4\rbrace\), \(\mathcal{L}(J) = \lbrace \xi_5, \xi_6, \xi_{56}\rbrace\), en deux orbites (\(\lbrace \xi_5, \xi_6\rbrace = b \cap \mathcal{L}(J)\) et le point \(\xi_{56}\)) : d'où les degrés 2 et 1 au-dessus de \(\operatorname{Pl}(L_4)\) ; l'ensemble \(E(J)\) des sommets liés à tout \(J\) est \(\lbrace \xi'_5, \xi'_6\rbrace\), en bijection avec \(b \smallsetminus J\) par \(\sigma_b\). 5) Une partie 5-libre est contenue dans une base, alors unique, ou est une deux-étoile ; \(\lbrace x, y\rbrace \mapsto E(x) \cap E(y)\) est une bijection des paires non liées sur les deux-étoiles, d'inverse \(J \mapsto E(J)\) ; pour \(z = \lbrace \xi_6, \xi'_6\rbrace\), \(J = \lbrace \xi_{i6}\rbrace_{i \leq 5}\).

Bases et bibases (« il fallait commencer par là ! »). \(W\) est simplement transitif sur les bases ordonnées ; 72 bases de stabilisateur \(\mathfrak{S}_6\), 36 bibases de stabilisateur \(\mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_6\).

73–75

17. Le bitriangle est auto-complémentaire (pages 73 à 75)

1) Un bitriangle est un graphe isomorphe au produit \(S \times T\) de deux triangles : \((\alpha, \beta)\) et \((\alpha', \beta')\) distincts sont liés si et seulement si \(\alpha = \alpha'\) ou \(\beta = \beta'\). Neuf sommets, 18 arêtes ; ses six triangles sont les fibres des deux projections, et se groupent en deux familles (deux triangles d'une même famille sont disjoints), d'où un revêtement de degré 3 \(T \to \tau\) sur un ensemble à deux éléments. La catégorie des bitriangles équivaut à celle des ensembles à six éléments munis d'une partition de type \((3,3)\).

2) Le bloc de triades est le graphe \(D = S \times T\) où \((\lambda, \mu)\) et \((\lambda', \mu')\) sont liés si et seulement si \(\lambda \neq \lambda'\) et \(\mu \neq \mu'\) : le complémentaire du bitriangle, avec lui aussi 18 arêtes. Ses six triades (parties de trois sommets deux à deux non liés) se groupent en deux familles de trois.

Proposition. Le bloc de triades est isomorphe à un bitriangle : \(\Delta \simeq \overline\Delta\).

Démonstration. Les triades du bitriangle \(S \times T\) sont les graphes des six bijections \(S \to T\), et forment un torseur sous \(\mathfrak{S}_S\) ; on les partage en deux classes selon la parité de \(\varphi^{-1}\psi\). Deux bijections distinctes d'une même classe diffèrent par une permutation circulaire, sans point fixe : leurs graphes sont disjoints, et chaque classe est une partition des neuf sommets en trois. D'où une application \(\Delta \to \prod_{i \in \sigma} \mathfrak{S}_i\) (la classe dans chaque famille), qui est bijective : une fois \(S\) identifié à \(T\), un couple \((\alpha, \beta)\) est déterminé par la permutation circulaire \(\rho_1\) telle que \(\beta = \rho_1 \alpha\) et la transposition \(\theta\) telle que \(\beta = \rho_1 \theta\alpha\), dont \(\alpha\) est l'unique point fixe. Deux sommets liés dans \(\Delta\) ont des images distinctes dans les deux familles, donc sont liés pour la structure de bloc de triades transportée par cette bijection ; les deux structures ont 18 arêtes, elles coïncident.

Conclusion. \(\Delta \mapsto \overline\Delta\) est une autoéquivalence involutive de la catégorie des bitriangles, donc de celle des ensembles à six éléments munis d'une partition de type \((3, 3)\). La page 75 commence à définir une « dualité » entre deux tels objets \(T\) et \(S\) — une bijection \(\prod T \simeq \prod S\) telle que… — et s'arrête⁴⁵ .

77–80

18. Polyèdres et polygones dans le graphe (pages 77 à 80)

Pages de dénombrements et de dessins. Polygones (sous-graphes induits) : \[ \text{carrés } 27 \cdot 10 \cdot 4 = 1080, \qquad \text{pentagones } 36 \cdot 6 \cdot 12 = 2592, \qquad \text{hexagones } 720 , \] nombres qu'on a vérifiés ; polyèdres : prismes \(45 \cdot 16 = 720\), prismes doubles \(45 \cdot 8\), antiprismes tordus, « pseudocubes », cubes \(27 \cdot 10 \cdot 2\), dodécaèdres gauches \(2^4 \cdot 3^3 = 432\), avec un dodécaèdre gauche dessiné et étiqueté par des \(\xi_{ij}\)⁴⁶ . Au bas de la page 77, tête-bêche, un résumé de la construction \(\mathbb{Z}^{(C)} \to \widehat E(C) \supset E(C) = \lambda^\perp\) de la page 46. La page 78 reprend en brouillon les sections de la page 17 (\(M \subset \mathbb{F}_2^Q\), \(Q\) à cinq éléments). La page 79 donne, entre autres, un groupe d'ordre 144, \(( \mathfrak{S}_3 \times \mathfrak{S}_3) \cdot \mathfrak{S}_2 \times \mathfrak{S}_2\), et décrit des « pentaprismes » comme des couples de 3-bases munis d'une bijection, c'est-à-dire une bibase et une partition de type \((3, 3)\) avec un isomorphisme des deux moitiés ; en bas, une question sur trois automorphismes \(U, V, W\) fixant \(P_u, P_v, P_w\) : « \(UVW \in \lbrace 1, \sigma\rbrace \Rightarrow\)? \(U, V, W = 1\) », et de nouveau l'écriture \(I \times \lbrace 0, 1, 2\rbrace \amalg I \times J \times \operatorname{circ}(I)\) de la page 13. La page 80 énonce un lemme sur un triangle et deux triangles voisins, dont l'implication est barrée ; il reste une question.

81–87

19. Différences, sommes, indices (pages 81 à 87)

La page 81 est un dessin : un fragment à faces pentagonales, étiqueté par des \(\xi_{ij}\). La page 82 classe les différences et les sommes de sommets :

• (0)les différences de sommets non liés se groupent par six parmi les \(27 \cdot 16\) couples : les 72 racines ;
• (6)les différences de sommets liés sont 270 éléments distincts, de carré \(-4\), d'où \(72 + 270 = 342\) éléments⁴⁷ ;
• (1)les sommes de sommets liés se groupent par cinq parmi les 135 paires : \(\delta + \delta' = \lambda - \delta''\), \(\delta''\) le troisième sommet du triangle, d'où 27 éléments, de carré \(0\)⁴⁸ ;
• (b)les sommes de sommets non liés donnent \(216\) éléments distincts, de carré \(-2\), soit \(27 + 216 = 243\) en tout.

La page 83 est l'annonce dactylographiée décrite plus haut. Les pages 84 et 86 calculent des indices dans \(W\) de stabilisateurs de configurations épinglées ou pointées et orientées — prismes (\([W] : 6\), puis 72), hexagones (\(8640\), puis 720), pentagones (\(25\,920\), puis 2592), carrés (\(8640\), puis 1080), triangles pointés orientés (\(270\)), triangles (\(45 = [W] : 1152\)), « carrousels » (\([W] : 2\), puis 12) — et une chaîne d'équivalences « \(A_4\) ép. \(\sim A_5\) ép. \(\sim\) hex. ép. \(\sim\) prisme épinglé \(\sim\) carrous. ép. », que la page n'explique pas⁴⁹ .

Un codage par parité (page 86). Les sommets voisins d'une étoile \(A\) sont codés par des vecteurs de \(\mathbb{F}_2^A\), et la liaison par le poids de leur différence : « \(x, y\) liés \(\iff \operatorname{card} u = 3\) ou \(4\) », « non liés \(\iff \operatorname{card} u = 0, 1\) ou \(2\) », \(u = x - y\). Sur des vecteurs de même parité, c'est la règle d) de la page 17 (poids 4 pour les liés, 2 pour les non liés). La page écrit aussi, pour la même parité, « liés \(\iff x - y = \mathbf{1}^A\) », ce qui est impossible si \(A\) a cinq éléments ; le reste du codage ne se laisse pas reconstituer avec certitude. On note aussi la formule \(\delta \cdot \delta' \equiv \operatorname{card}(\delta \cap \delta') + \operatorname{card}(\varepsilon(\delta) \cap \varepsilon(\delta'))\), sans définition de \(\varepsilon\). La page 87 compte les « bicarrousels » : \(1080 = 72 \cdot 15\), d'indice 48.

89–92

20. Positions de deux racines, et les 27 en coordonnées (pages 89 à 92)

Positions relatives de deux racines (page 89). Pour des racines \(r, r'\) de bases \(b, b'\) : \[ \begin{array}{llll} r' = r & r \cdot r' = -2 & b = b' & 1 \\ r' = -r & r \cdot r' = 2 & b' \text{ associée à } b & 1 \\ r \perp r' & r \cdot r' = 0 & \operatorname{card}(b \cap b') = 1 & 30 \\ \widehat{(r, r')} = 60^\circ & r \cdot r' = -1 & \operatorname{card}(b \cap b') = 3 & 20 \\ \widehat{(r, r')} = 120^\circ & r \cdot r' = 1 & \operatorname{card}(b \cap b') = 0, \ b, b' \text{ non associées} & 20 \end{array} \] (vérifié). D'où \(72 \cdot 15 = 1080\) paires orthogonales, \(720\) paires à \(60^\circ\), \(720\) à \(120^\circ\), et \(720/6 = 120\) « plans spéciaux », les plans engendrés par deux racines non orthogonales : les 120 sous-systèmes de type \(A_2\).

Les 27 dans la base des racines simples (pages 90 à 92). Il exprime \(\widetilde\xi_i = 3\xi_i - \lambda\) (le \(i(\delta)\) de la page 56) dans la base \(r_1, \ldots, r_6\) ; la table de la page 92 est juste pour les \(\xi_i\) : \[ \begin{array}{c|cccccc} & r_1 & r_2 & r_3 & r_4 & r_5 & r_6 \\ \hline -\widetilde\xi_1 & -1 & 1 & 3 & 2 & 1 & 3 \\ -\widetilde\xi_2 & 2 & 1 & 3 & 2 & 1 & 3 \\ -\widetilde\xi_3 & 2 & 4 & 3 & 2 & 1 & 3 \\ -\widetilde\xi_4 & 2 & 4 & 6 & 2 & 1 & 3 \\ -\widetilde\xi_5 & 2 & 4 & 6 & 5 & 1 & 3 \\ -\widetilde\xi_6 & 2 & 4 & 6 & 5 & 4 & 3 \\ \hline -\widetilde\xi'_1 & -4 & -5 & -6 & -4 & -2 & -3 \end{array} \] et \(-\widetilde\xi'_i = -\widetilde\xi_i - 3r_0\), \(3r_0 = (3, 6, 9, 6, 3, 6)\)⁵⁰ .

La page 91, barrée mais lisible, retrouve les 27 comme les solutions de \(x \cdot \lambda = 1\), \(x^2 = -1\) de la forme \(a\eta + b\xi \pm \xi_i (\pm \xi_j)\) : (1) \(x = a\eta + b\xi + \xi_i\) donne \(\xi_i\) et \(\xi'_i\) ; (3) \(x = a\eta + b\xi - \xi_i - \xi_j\) donne \(\xi_{ij}\) ; (2) et (4) se ramènent aux précédents par la symétrie \(\delta \mapsto \tfrac23 \lambda - \delta\), qui est \(-1\) sur \(E\) autour de \(\lambda/3\) et préserve les deux équations. Il note encore une application \(r_i \mapsto -r_{6-i}\) (\(i \leq 5\)), \(r_6 \mapsto r_{456}\) : on vérifie que c'est un automorphisme du système de racines.

95–98

21. Les poids minuscules (pages 95 à 98)

C'est la suite de la question de la page 57. Soit \(R \subset E\) un système de racines, \(W\) son groupe de Weyl, \((\ ,\ )\) une forme invariante. On pose⁵¹ \[ \begin{gathered} \mathfrak{S} = \Bigl\lbrace x \in E \smallsetminus \lbrace 0\rbrace \Bigm| \frac{2(x, r)}{(r, r)} \in \lbrace -1, 0, 1\rbrace \ \forall r \in R\Bigr\rbrace, \\ \mathfrak{S}_0 = \lbrace x \neq 0 \mid wx - x \in R \text{ dès que } wx \neq x\rbrace . \end{gathered} \]

Faits généraux. \(\mathfrak{S}_0 \subset \mathfrak{S}\), puisque \(s_r x - x = -\tfrac{2(x, r)}{(r, r)}\, r\) doit être une racine, donc \(\pm r\), dès qu'il est non nul. \(\operatorname{card} \mathfrak{S} \leq 3^{\operatorname{rg}} - 1\) ; \(\mathfrak{S}\) et \(\mathfrak{S}_0\) sont stables par \(\operatorname{Aut}(E, R)\) et formés d'un nombre fini d'orbites. En langage d'aujourd'hui, \(\mathfrak{S}\) est la réunion des orbites des poids fondamentaux minuscules⁵² .

Cas \(A_r\) (pages 95 et 96). Dans \(E = \lbrace x \in \mathbb{R}^{r+1} \mid \sum x_i = 0\rbrace\), un \(x \in \mathfrak{S}\) prend deux valeurs \(-r_2/(r+1)\) (\(r_1\) fois) et \(r_1/(r+1)\) (\(r_2\) fois), \(r_1 + r_2 = r + 1\) : ce sont les \(r\) orbites des poids fondamentaux. Pour qu'il soit dans \(\mathfrak{S}_0\), il faut que \(\sigma x - x\) soit une racine pour toute permutation qui le bouge, c'est-à-dire \(\operatorname{card}(I_1 \cap \sigma I_2) = 1\) dès qu'il est non nul : d'où \(r_1 = 1\) ou \(r_2 = 1\). Pour \(r \geq 2\), \(\mathfrak{S}_0\) a donc deux orbites, celles de la représentation standard et de sa duale, échangées par \(-1\).

Cas \(B_r\), \(C_r\), \(D_r\) (page 96). Pour \(D_r\), \(\mathfrak{S}\) a trois orbites (les \(\pm \varepsilon_i\) et les deux orbites de vecteurs \((\pm\tfrac12, \ldots, \pm\tfrac12)\)) et \(\mathfrak{S}_0 = \emptyset\) pour \(r \geq 4\), comme le dit la page. Pour \(B_r\) et \(C_r\) la page conclut \(\mathfrak{S} = \emptyset\) (pour \(B_r\)) et \(\mathfrak{S}_0 = \emptyset\) (pour les deux) ; ce n'est vrai que pour \(\mathfrak{S}_0\) dans le cas \(B_r\), \(r \geq 3\). Pour \(B_r\), \(\mathfrak{S}\) est l'orbite de \((\tfrac12, \ldots, \tfrac12)\) ; pour \(C_r\), \(\mathfrak{S}\) est l'ensemble des \(\pm\varepsilon_i\), et il est contenu dans \(\mathfrak{S}_0\), les différences \(\pm\varepsilon_j - \varepsilon_i\) et \(-2\varepsilon_i\) étant des racines de \(C_r\)⁵³ .

Une variante (pages 97 et 98). On affaiblit la condition : \[ \mathfrak{S}'_0 = \lbrace x \mid w(\mathbb{R}x) \neq \mathbb{R}x \Rightarrow wx - x \in R\rbrace \subset \mathfrak{S}' = \Bigl\lbrace x \Bigm| (x, r) \in \tfrac{(r, r)}{2} \lbrace -1, 0, 1\rbrace \ \forall r \in R \smallsetminus \mathbb{R}x\Bigr\rbrace , \] et \(\mathfrak{S}' = \mathfrak{S} \cup \lbrace \lambda s\rbrace\), où \(s\) est une racine et \(\lambda > 0\) tel que \((\lambda s, r)\) soit dans \(\tfrac{(r,r)}{2} \lbrace -1, 0, 1\rbrace\) pour les racines \(r \neq \pm s\). Un tel \(\lambda\) existe si et seulement si les rapports \(|(s, r)|/(r, r)\) sont égaux pour les racines non orthogonales ni proportionnelles à \(s\), c'est-à-dire si toutes les racines ont même longueur (\(A_r\), \(D_r\), \(E_6\), \(E_7\), \(E_8\)), et alors \(\lambda = 1\) : dans le cas simplement lacé, \(\mathfrak{S}' = \mathfrak{S} \cup R\)⁵⁴ . Pour \(A_r\), enfin, \(\mathfrak{S}'_0 = \mathfrak{S}_0\) sauf pour \(r = 3\), où s'ajoute l'orbite \(W \cdot (-\tfrac12, -\tfrac12, \tfrac12, \tfrac12)\) (le poids \(\omega_2\), dont l'opposé est dans l'orbite) ; on l'a vérifié.

Pour \(E_6\) — que ces pages n'atteignent pas —, \(\mathfrak{S}\) a exactement 54 éléments, les \(\pm(\delta - \lambda/3)\), \(\delta \in C\) : c'est \(\tfrac13 \widetilde\Delta\), la réunion des deux orbites de la page 57. La question posée là a donc pour réponse : les 27 droites sont, à l'échelle \(3\) et à translation par \(\lambda\) près, l'une des deux orbites de poids minuscules de \(E_6\)⁵⁵ .

100–103

22. Trois sous-groupes distingués, et un tripode (pages 100 à 103)

Page 100. Soit \(G\) un groupe et \(N_1, N_2, N_3\) trois sous-groupes distingués deux à deux d'intersection triviale et engendrant deux à deux \(G\). Alors \(N_1 \times N_2 \to G\), \((x_1, x_2) \mapsto x_1 x_2\), est un isomorphisme, \(N_1 \simeq G/N_2\), \(N_2 \simeq G/N_1\), et de même pour les autres paires⁵⁶ . On peut ajouter, ce que la page ne dit pas : \(N_3\) est alors le graphe d'un isomorphisme \(N_1 \to N_2\), et sa normalité force \(N_1\) à être commutatif ; \(G \simeq A \times A\) avec \(A\) abélien.

Page 101. C'est ce que montre l'exemple \(G \times G\) avec \(N_2 = G \times e\), \(N_3 = e \times G\), \(N_1 = \delta G\) la diagonale : \((g, h)(k, k)(g, h)^{-1} = (gkg^{-1}, hkh^{-1})\), et la diagonale n'est distinguée que si \(G\) est commutatif. Suivent des essais avec un 1-cocycle \(c : N_2 \to N_1\).

Pages 102 et 103 : le tripode. Trois ensembles \(P, Q, R\) et une partie \(\Gamma \subset P \times Q \times R\) avec ses trois projections ; un point \(\gamma\) de \(\Gamma\) définit des relations « \(y \sim z\) le long de \(p(\gamma)\) », et la page demande si deux telles relations en entraînent une troisième, puis fait le calcul pour \(\Gamma = \lbrace abc = 1\rbrace\). Un diagramme reprend \(\widetilde\Gamma/\sigma \to \widetilde P_u/\sigma\), … : c'est la situation du lemme 7. La page 103 écrit une configuration de huit triplets dans \(P \times Q \times R\) et la question : « pour tous \(a_0, \bar r, \bar r' \in P\), \(b_0, \tilde r'' \in Q\), existe-t-il \(\bar\pi \in P\), \(\tilde r', \tilde\sigma \in Q\), \(r', \pi, \sigma, \rho \in R\) tels que l'on ait » ces triplets. C'est une condition de fermeture de type Reidemeister, qui caractérise les carrés latins provenant d'un groupe⁵⁷ .

105–105

23. Un aparté : le \(56\) de \(E_7\) (page 105)

\(\dim E_7 = 133\), avec 126 racines. 56 indéterminées \(x_i, y_i\) (\(1 \leq i \leq 7\)), \(x_{ih} = -x_{hi}\), \(y_{ih} = -y_{hi}\) (\(1 \leq i < h \leq 7\)) : \(7 + 7 + 21 + 21 = 56\), la représentation de dimension 56 de \(E_7\) décomposée sous un sous-groupe de type \(A_6\). Il écrit un invariant quartique, \[ \sum x_i y_j x_{ih} y_{jk} + \tfrac14 \sum x_{\lambda\mu} x_{\nu\rho} y_{\mu\nu} y_{\lambda\rho} + \sum \bigl(x_i y_{\lambda\mu} y_{\nu\rho} y_{\sigma\tau} + y_i x_{\lambda\mu} x_{\nu\rho} x_{\sigma\tau}\bigr), \] la dernière somme portant sur les permutations paires \((i, \lambda, \mu, \nu, \rho, \sigma, \tau)\) de \([1, 7]\), et la forme symplectique \(\sum (x_i\, dy_i - y_i\, dx_i) + \sum (x_{ih}\, dy_{ih} - y_{ih}\, dx_{ih})\)⁵⁸ .

107–118

24. Trois torseurs et une correspondance (pages 107 à 118)

Le cas commutatif (pages 107 à 109)

Soit \(G\) un groupe commutatif, \(P_1, P_2, P_3\) trois \(G\)-torseurs, et \(\Gamma \subset P_1 \times P_2 \times P_3\) un sous-torseur sous \(\operatorname{Ker}(G^3 \xrightarrow{+} G)\) — ce qui revient à une trivialisation \(t\) du produit de Baer \(P_1 \wedge P_2 \wedge P_3\). Il annonce que le foncteur \[ (G, P_1, P_2, P_3, t) \longmapsto (P_1, P_2, P_3, \Gamma) \] vers les quadruplets de trois ensembles et d'une partie de leur produit est pleinement fidèle. L'image vérifie la condition (1) : les projections \(p_{ij} : \Gamma \to P_i \times P_j\) sont bijectives ; se donner \(\Gamma\) vérifiant (1) revient à se donner \(\pi_3 : P_1 \times P_2 \to P_3\) dont toutes les applications partielles sont bijectives, d'où \(h_{23} : P_1 \to \operatorname{Isom}(P_2, P_3)\), etc. Autrement dit, \(\Gamma\) est un carré latin (la table d'un quasigroupe), et la question est de reconnaître ceux qui viennent d'un groupe⁵⁹ .

Pour un groupe \(G\) quelconque, on se ramène (page 109) aux trois torseurs triviaux et à \[ \Gamma_0 = \lbrace (x, y, z) \in G^3 \mid xyz = 1\rbrace = \lbrace (g_2 g_3^{-1}, g_3 g_1^{-1}, g_1 g_2^{-1}) \mid g_i \in G\rbrace , \] l'orbite de \((1, 1, 1)\) sous l'action \(\sigma(g_1, g_2, g_3)(x_1, x_2, x_3) = (g_2 x_1 g_3^{-1}, g_3 x_2 g_1^{-1}, g_1 x_3 g_2^{-1})\)⁶⁰ . Un point \(\gamma = (a_1, a_2, a_3)\) de \(\Gamma\) définit des isomorphismes \(\tilde a_1 : G_2 \to G_3\), …, par \(g_2 a_1 = a_1 g_3\) ; si on remplace \(\gamma\) par \(\sigma(\alpha)(\gamma)\), ils deviennent \[ \tilde a'_1 = \operatorname{int}(\alpha_3)\, \tilde a_1\, \operatorname{int}(\alpha_2)^{-1}, \qquad \text{et circulairement}, \] calcul refait page 116.

Les autotopies (pages 108, 116 et 118)

Le groupe \(\operatorname{Aut}(G) \ltimes G^3\), de loi \[ (u, \alpha, \beta, \gamma)(u', \alpha', \beta', \gamma') = (uu', \alpha u(\alpha'), \beta u(\beta'), \gamma u(\gamma')), \] d'inverse \((u^{-1}, u^{-1}(\alpha^{-1}), u^{-1}(\beta^{-1}), u^{-1}(\gamma^{-1}))\) (page 118, qui vérifie l'associativité), opère sur \(G\) en trois exemplaires par \[ (u, \alpha, \beta, \gamma) \longmapsto \bigl(x \mapsto \beta u(x) \gamma^{-1},\ x \mapsto \gamma u(x) \alpha^{-1},\ x \mapsto \alpha u(x) \beta^{-1}\bigr) , \] en préservant \(\Gamma_0\), et le noyau est \(N = \lbrace (\operatorname{int}(g), g^{-1}, g^{-1}, g^{-1}) \mid g \in G\rbrace\) (page 108)⁶¹ . La page 116 montre que ce sont toutes les autotopies de \(\Gamma_0\) : si \((\varphi, \psi, \chi)\) sont trois bijections de \(G\) telles que \(xyz = 1 \Rightarrow \varphi(x) \psi(y) \chi(z) = 1\), on les normalise par des translations pour que \(\varphi'(1) = \psi'(1) = \chi'(1) = 1\) ; alors \(\psi'(y) = \chi'(y^{-1})^{-1}\), de même pour les autres, d'où \(\varphi' = \psi' = \chi' = u\), et \(u(x) u(y) = u(xy)\). Le groupe des autotopies de la table de \(G\) est donc \((\operatorname{Aut} G \ltimes G^3)/N\), d'ordre \(|\operatorname{Aut} G| \cdot |G|^2\)⁶² .

Brouillons (pages 110, 111, 114, 115)

Page 110 (tête-bêche) : l'opération \(x \circ y = -x - y\) sur un groupe abélien, commutative et non associative (\((x \circ y) \circ z = x + y - z\)), et une opération \(x \ast y = \overline{x \circ y}\) qui rend la loi de groupe ; les tables de \(\mathbb{Z}/4\) et (page 111) de \(\mathbb{Z}/5\). Page 111 : le triangle de sommets \(P_1, P_2, P_3\) et de côtés \(G_1, G_2, G_3\), et \(P_1 \wedge_{G_3} P_2 \wedge_{G_1} P_3 \simeq \mathbf{1}_{G_2}\). Pages 114 et 115 : pour un carré latin d'ordre \(n\) et un point base \(s = (a_1, a_2, a_3)\), \(\Gamma = \lbrace s\rbrace \cup \Gamma_1 \cup \Gamma_2 \cup \Gamma_3 \cup \Gamma^*\), avec \(\Gamma_i = p_i^{-1}(a_i) \smallsetminus \lbrace s\rbrace\) (\(n - 1\) éléments chacun) et \(\Gamma^*\) le reste (\(n^2 - 3n + 2\)) ; il attache à chaque point un objet \(E_x\) avec des isomorphismes le long de \(\Gamma\), normalisés en \(s\), et compte \(3(n - 1) + 2(n^2 - 3n + 2) = 2n^2 - 3n + 1\) isomorphismes libres⁶³ .

Bitorseurs (page 112)

L'énoncé propre, pour des groupes quelconques : \(P_1\) est un bitorseur sous \((G_2, G_3)\), \(P_2\) sous \((G_3, G_1)\), \(P_3\) sous \((G_1, G_2)\) ; les produits contractés circulaires \(P_1 \wedge P_2 \wedge P_3\) (bitorseur sous \((G_2, G_2)\)), \(P_2 \wedge P_3 \wedge P_1\), \(P_3 \wedge P_1 \wedge P_2\) sont munis de trivialisations \(\varphi_2, \varphi_3, \varphi_1\), données équivalentes ; et, en termes ensemblistes, \(\Gamma \subset P_1 \times P_2 \times P_3\) est une orbite non vide de \(G_1 \times G_2 \times G_3\) opérant par \(\sigma\) comme ci-dessus. Un point \(\gamma\) de \(\Gamma\) fournit les isomorphismes \(\tilde a_1 : G_2 \to G_3\), \(\tilde a_2 : G_3 \to G_1\), \(\tilde a_3 : G_1 \to G_2\), et leur changement quand \(\gamma\) varie est donné par la formule précédente (« opér. transitive d'iso. »)⁶⁴ .

Retour au graphe (pages 113 et 117)

La page 113 referme la boucle. Soit \(V\) de dimension 2 sur \(\mathbb{F}_2\), \(I\) un ensemble à trois éléments, \((P_i)_{i \in I}\) des \(V\)-torseurs avec une trivialisation de \(\bigwedge P_i\), et \(\Gamma = \lbrace (x_i) \mid \sum x_i = 0\rbrace\) (16 éléments) ; des revêtements doubles \(\widetilde P_i \to P_i\), \(\widetilde\Gamma \to \Gamma\), avec \(\widetilde\Gamma \simeq \Gamma \times_{P_i} \widetilde P_i\) pour chaque \(i\) ; sur \(\widetilde P = \coprod \widetilde P_i\) (24 points), \(x \neq y\) sont liés s'ils sont conjugués dans un même \(\widetilde P_i\), ou images d'un même point de \(\widetilde\Gamma\) dans deux \(\widetilde P_i\) différents. Axiome : pour \(i \neq j\), l'application \(\alpha_{ji}\) qui associe à \(\tilde x \in \widetilde P_i\) la section de \(\widetilde P_j \to P_j\) formée de ses voisins est injective, son image est un torseur sous le sous-groupe \(\operatorname{Ker}(\mathbb{F}_2^{P_j} \xrightarrow{\Sigma} \mathbb{F}_2)\) des fonctions paires, et les images de \(\widetilde P_i\) et de \(\widetilde P_k\) sont disjointes. C'est exactement ce que démontraient les lemmes 3 et 4 des pages 2 à 4 : \(\alpha_{ji}(x) = \omega_j(x)\), deux sections de la même image diffèrent sur 2 ou 4 paires, et les 16 sections se partagent en deux classes de parité de 8, l'une pour \(\widetilde P_i\), l'autre pour \(\widetilde P_k\)⁶⁵ . La page 117 redessine le triangle \(u, v, w\) avec ses quatre paires d'arêtes \((\alpha_i, \alpha'_i)\), \((\beta_i, \beta'_i)\), \((\gamma_i, \gamma'_i)\) à chaque sommet, recopie les tables (I), (I\('\)) et la ligne « \(\alpha_1\) lié à \(\beta'_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4\) » des pages 9 et 10, et reprend le calcul de \(\tilde a'_1\).

119–119

25. Un autre sujet (page 119)

Tête-bêche, au crayon et à l'encre, des croquis et des formules sur un autre sujet : \(S^2 \times S^2\) privé de la diagonale et de l'antidiagonale, fibré au-dessus de \(S^2\) de fibre \(S^2\) moins deux points, \(\simeq \mathbb{C}^*\), et le début de la suite exacte des groupes fondamentaux ; les idempotents \(p\) de rang 1 (\(p^2 = p\), \(\operatorname{Tr} p = 1\)), qui correspondent aux décompositions \(E \simeq L \oplus L'\) d'un plan en deux droites ; une suite \(0 \to F \to E_p \to \mathcal{O}(1) \to 0\) avec \(F \simeq \mathcal{O}(-1)\). La page ne conclut rien⁶⁶ .