Fonds Grothendieck, cote n° 68, pages 41–55

la page achève la démonstration interrompue au bas de la p. 40 (lot précédent) : \delta = \rho\delta avec \rho nilpotent.

\delta = \rho^N \delta \qquad \forall N \in \mathbb{N} d'où, prenant N grand pour que \rho^N = 0 : \delta = 0 \qquad \text{cqfd.}

Extension aux tenseurs

u \in \mathrm{End}_K(M), v \in \mathrm{End}_K(N). Alors M (N) \overline{\mathbb{G}}_a-Module par \bar e_u (\bar e_v), et M \otimes N \overline{\mathbb{G}}_a-Module par \bar e_u \otimes \bar e_v — et \bar e_u \otimes \bar e_v = \bar e_{u \otimes \mathrm{id}_N + \mathrm{id}_M \otimes v} De même, si u, v nilpotents e_u \otimes e_v = e_{u \otimes \mathrm{id}_N + \mathrm{id}_M \otimes v}

Extension : \bigotimes_{i \in I} M_i (I ens. d'indices fini, de cardinal \geq 2)

Cor. naïve Soit M muni d'une structure d'alg. (pas néc. ass. ni unitaire, encore moins commutative), sur K, u \in \mathrm{End}_{K\text{-mod}}(M), donc \overline{\mathbb{G}}_a (resp. \mathbb{G}_a si u nilpotent) opère sur le K-module M. Pour que cette opération soit une op. d'automorph. d'algèbre, il f. et s. que u soit une dérivation.

Si u nilpotent, il f. et s. que \exp u soit un automorph. d'algèbre.

Op. sur \mathrm{Hom}_K(M, N), quand \overline{\mathbb{G}}_a (resp. \mathbb{G}_a) opère sur M par \bar e_u (resp. e_u), sur N par \bar e_v (resp. e_v). Alors il opère sur \mathrm{Hom}_K(M, N) par \bar e_\delta (e_\delta), où \delta(f) = vf - fu

Mais en tt rigueur \bar e_\delta et e_\delta ne sont définis que si \mathrm{Hom}_K(M, N) est is. à un foncteur de la forme \mathbb{W}(M) — ce qui n'est guère assuré que si M proj. de t.f. « is. à » est un ajout interlinéaire, marqué d'un signe d'insertion.

Mais on peut généraliser théorie de l'exponentielle ~~aux tenseurs, les~~ aux endomorphismes de tt K-foncteurs \mathcal{M} en \mathbb{Q}-modules la lettre est surchargée et entourée ; on attend peut-être K. \mathcal{M}(K') \text{ est un } K'\text{-module} \mathcal{M}(K') \to \mathcal{M}(K'') \quad (K' \to K'')\text{-semi-linéaire}

Alors \mathrm{End}_K(\mathcal{M}) est une K-algèbre.

a) Si u \in N(\mathrm{End}_K(\mathcal{M})), \exp u \in \mathrm{End}_K(\mathcal{M}) et aussi \exp(\lambda u) \forall \lambda \in \mathbb{G}_a(K') \simeq K' défini, \in \mathrm{End}_{K'}(\mathcal{M}_{K'}). On trouve sur \mathcal{M} une structure de \mathbb{G}_a-Module

b) Si u \in \mathrm{End}_K(\mathcal{M}), alors on définit \bar e_u : \overline{\mathbb{G}}_{a,K} \to \mathbf{Aut}_K(\mathcal{M}) la flèche aboutit à un symbole surchargé, à initiale doublée, lu \mathbf{Aut}. \bar e_u(\lambda) = \exp(\lambda u)

NB La question se pose encore si u \mapsto \bar e_u et ? u \mapsto e_u sont des bij. : \mathrm{End}_K(\mathcal{M}) \to \mathrm{Hom\,gr}(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}, \mathbf{Aut}_K(\mathcal{M})) N(\mathrm{End}_K(\mathcal{M})) \to \mathrm{Hom\,gr}(\mathbb{G}_{a,K}, \mathbf{Aut}_K(\mathcal{M}))

Extension aux algèbres symétriques, tensorielles, extérieures …

Globalisation

S X schéma de car. 0, \Theta S dérivation de \underline{O}_X, supposons \Theta loc. nilpotente. Alors \exp \Theta est un automorphisme de \underline{O}_X qui induit l'identité sur \underline{O}_{X_{\mathrm{red}}} = \underline{O}_X / N\underline{O}_X, et correspond à un automorphisme de X, que nous désignons par \mathbb{E}_\Theta. Si \Theta est une S-dérivation, \mathbb{E}_\Theta est un S-automorphisme. Enfin \begin{cases} \mathbb{E}_0 = \mathrm{id} \\ \mathbb{E}_{\Theta + \Theta'} = \mathbb{E}_\Theta + \mathbb{E}_{\Theta'} & \text{si } [\Theta, \Theta'] = 0 \end{cases} tel qu'écrit : le signe entre \mathbb{E}_\Theta et \mathbb{E}_{\Theta'} a la forme d'un + ; pour des automorphismes on attend une composition.

Prop A \mathbb{Q}-alg. comm. unit., u un automorph. de \mathbb{Q}-alg., n \in \mathbb{N}, J l'idéal engendré par les u(x) - x (x \in A) ~~NB u induit l'identité sur \mathrm{gr}_J(A)~~ la note marginale en haut à droite est barrée d'un trait oblique.

1) Conditions équivalentes

(i)u op. diff. de A d'ordre \leq n (ii)J^{n+1} = 0 (iii)\exists\, I idéal de A tel que I^{n+1} = 0, et que u induise l'identité dans A/I, i.e. ux - x \in I \forall x \in A [i.e. I \supset J] ~~(iv)~~\exists dérivation \Theta : A \to A avec \Theta^{n+1} = 0, u = \exp \Theta est-il nécessaire ?

au-dessus de la ligne (iv), en interligne : « Pour ceci, il suffit que (u - \mathrm{id})^{n+1} = 0, ou (ce qui revient au même) ».

~~(ii') u induit l'identité~~ ~~(iii') \exists\, I que I^{n+1} = 0, et que u induise l'identité \mathrm{gr}_I(A)~~ les deux conditions de la marge gauche sont barrées et encadrées.

~~NB Si N(A) est nilpotent, ces conditions équivalentes~~

2) L'application \Theta \mapsto \exp \Theta est une bijection de l'ens. des dérivations \Theta de A telles que \Theta^{n+1} = 0, dans l'ens. des automorphismes u de A telles que (u - \mathrm{id})^{n+1} = 0 ( de A () plus ).

Cor Conditions équivalentes sur un automorph. u de A :

(i)u op. diff. de A (ii)J idéal nilp. (iii)\exists\, I nilp. de A tel que u induise \mathrm{id}_{A/I} (iv)\exists\, \Theta dérivation nilp. de A, telle que u = \exp \Theta

De plus, \Theta \mapsto \exp \Theta est une bij. de l'ens. des dérivations nilpotentes de A et l'ens. des autom. de A qui sont des op. diff. de A.

Cor A Supposons NA nilp. (p. ex. A noeth.). Alors les conditions précédentes sur u équivalent à :

(v)u induit l'identité sur A_{\mathrm{red}}

Sous ces conditions, et si N(A)^{N+1} = 0, les conditions de la prop sont satisfaites pour (u, N), i.e. u opérateur diff. de A est d'ordre \leq N.

Cor. Supposons A une K-alg (K une \mathbb{Q}-alg). Si u = \exp \Theta (\Theta dérivation nilpotente) alors u est un K-automorph. ssi \Theta est une K-dérivation.

Cor Soit I un idéal nilpotent de A K-alg. comm. A (K \mathbb{Q}-alg. commut., I^{N+1} = 0, ), soit L_K(A, I) l'ens. des K-dérivations ~~\Theta~~ de A qui induisent 0 dans A/I (i.e. \Theta(A) \subset I), G_K(A, I) le gr. des K-automorph. de A ~~telles~~ qui induisent l'identité sur A/I (i.e. (u - \mathrm{id})(A) \subset I i.e. u(x) - x \in I \forall x \in A). Alors

a)\forall \Theta \in L_K(A, I), on a \Theta^{N+1} = 0 (plus génér. ment, \forall i \in \mathbb{N}, \Theta^i A \subset I^i) b)\Theta \mapsto \exp \Theta : L_K(A, I) \simeq G_K(A, I)

Jeux à N joueurs C ensemble des configurations (ou positions) J ensemble des joueurs (\mathrm{Card}\, J = N) j : C \to J application (pour toute configuration, il y a un joueur « dont c'est le tour » ) \sigma : C \to \mathfrak{P}(C) pour toute configuration x, il y a l'ensemble \sigma(x) des configurations « suivantes » [\Sigma \subset C \times C une relation [N.B. (x, y) \in \Sigma \iff y \in \sigma(x)]] x_0 \in C configuration initiale. C_0 \subset C ens. des configurations ~~gagnantes~~ terminales i.e. C_0 = \{ x \in C \mid \sigma(x) = \emptyset \}

la lettre j de l'application est surchargée.

~~Jeu~~ Partie soit j_0 = j(x_0) (joueur initial)

1)j_0 « choisit » un x_1 \in \sigma(x_0). Soit j_1 = j(x_1) 2)j_1 « choisit » un x_2 \in \sigma(x_1) soit j_2 = j(x_2) — n)j_{n-1} « choisit » x_n \in \sigma(x_{n-1})

Partie à n coups : (x_1, \ldots, x_n) \in C^n, x_i \in \sigma(x_{i-1}) 1 \leq i \leq n

Jeux circulaires

1)j surjectif (tout joueur est effectif) 2)\exists\, \rho : J \to J telle que : ~~\forall x \in C, y \in \sigma(x)~~ \forall (x, y) \in \Sigma \subset C \times C, … j(y) = \rho(j(x))

NB \rho unique si on suppose que \forall x \in C, \sigma(x) \neq \emptyset, ou plus génér. que \forall j \in J, \exists\, x \in C tel que \sigma(x) \neq \emptyset, j(x) = j

3)\rho est une permutation circ.

encre bleue, jusqu'à la p. 53.

Lemme 1 P, Q ens. de card. 2, (x \in P x' = \underline{a}_P x), \varphi : P \to Q conditions équivalentes

a)\varphi bij b) \varphi inj c) \varphi surj d) \varphi non-constante e)\varphi commute à \mathbb{Z}_2 f) \varphi(x') = \underline{a}_Q \varphi(x)

Lemme 2 P, Q, R ens. de card. 2, \varphi : P \times Q \to R appl., x \in P, x' = \underline{a}\, x

Conditions équivalentes

a)\varphi se factorise en iso P \wedge Q \to R b)\varphi_x : y \mapsto \varphi(x, y) : Q \to R est iso, et \varphi_{x'} ~~\varphi_x~~ = \underline{a}_R \varphi_x

Théorie orientation pour vectoriels réels de dim. finie (cat. \mathcal{V}, avec iso)

a) \Omega : \mathcal{V} \to (\mathrm{Ens}_2) b)\Omega(0) \simeq \{\pm 1\} c)\forall V \in \mathcal{V}, W \subset V hyperplan, V' demi-espace de V de frontière W, on a donc une application de Stokes \mathrm{St}_{V'} : \Omega(V) \to \Omega(W) \qquad \text{fonctorielle en } (V, V')

Axiomes

1)\mathrm{St}_{V'} bijectif ~~(cf lemme 1)~~ car \forall V \in \mathcal{V}, \mathrm{Card}\, \Omega(V) = 2 2)Si V'' est l'opposé de V', … \mathrm{St}_{V''} = \underline{a} \circ \mathrm{St}_V

tel qu'écrit : \mathrm{St}_V ; on attend \mathrm{St}_{V'}.

Axiomes équivalents

1)\forall V \in \mathcal{V}, \mathrm{card}\, \Omega(V) = 2 2)\forall V \in \mathcal{V}, W \in \mathrm{Hyp}(V), 2) l'application ~~\Omega(W, V)~~ \mathrm{Dem}_{W,V} \times \Omega(V) \to \Omega(W), (V', \omega) \mapsto \mathrm{St}_{V'}(\omega) se factorise en une ~~application~~ iso \Omega(W, V) \wedge \Omega(V) \xrightarrow{\sim} \Omega(W) \to fonctorielle en (V, W)

l'indice de « \mathrm{Dem} » est lu sous une rature ; la lecture \mathrm{Dem}_{W,V} (demi-espaces) est incertaine.

~~Proposition~~ Hom d'une théorie (\Omega, \mathrm{St}) dans théorie (\Omega', \mathrm{St}') : homs de foncteurs \varphi : \Omega \to \Omega' compatible avec b), et c)

Th.

a)Tout hom d'une théorie dans une autre est un iso. b)Pour 2 théories de l'orientation, \exists ! isom de l'une dans l'autre c)\exists théorie de l'orientation.

Dém

a)\varphi_V : \Omega(V) \simeq \Omega'(V) iso, par réc. sur dim., utilisant Stokes b)De =, unicité de \varphi par récurrence sur dim. Existence ~~Détermination d'une thé~~ Existence d'une théorie de l'orientation ?

donner \Omega \iff donner (\Omega_n)_{n \in \mathbb{N}}, \Omega_n : \mathcal{V}_n \to \mathrm{Ens}_2\ \mathrm{Tors}(\mathbb{Z}/2) au-dessus de la flèche, en interligne : « \mathcal{V} \to \mathrm{Ens}_2 ».

donner \Omega_n \iff donner \varepsilon_n : GL(n, \mathbb{R}) = G_n \to \mathbb{Z}/2, et \omega_n = \Omega(\mathbb{R}^n)

donner \mathrm{St} \iff (\mathrm{St}_n)_{n \in \mathbb{N}^*}, où \mathrm{St}_n est donnée de Stokes en dim. n \Omega(V, W) \wedge \Omega(W) \xrightarrow{\sim} \Omega(W) \qquad \text{pour } \dim V = n tel qu'écrit, le second facteur semble être \Omega(W) ; on attend \Omega(V).

donner ~~\mathrm{St}_n~~ (\mathrm{St}_n)_{n} revient à donner

suite de la p. 49 ; la p. 50 est un tapuscrit sans rapport.

\underbrace{\Omega(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{R}^n)}_{\mathbb{1}} \wedge \Omega(\mathbb{R}^n) \to \Omega(\mathbb{R}^{n-1}) \qquad \text{i.e.} \qquad \omega_n \xrightarrow{\sim} \omega_{n-1} choisi \mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}^+ comme \tfrac{1}{2} espace de \mathbb{R}^n

compatible avec \mathrm{Aut}(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{R}^n) = ss-gr. de GL(n, \mathbb{R}) des matrices u_n = \begin{pmatrix} u_{n-1} & \vdots \\ 0 \ \cdots \ 0 & \lambda \end{pmatrix} opérant sur \omega_{n-1} par ~~\varepsilon(u_{n-1})~~, sur \omega_n par \varepsilon_n(u_n). \mathrm{sg}\,\lambda = ~~\mathrm{sg}\det~~ condition qui signifie des conditions \varepsilon_n(u_n) = \mathrm{sg}(\lambda)\, \varepsilon_{n-1}(u_{n-1})

qui est donc satisfaisante ! Donc la donnée d'une théorie de l'orient. équivaut à la donnée de \{(\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}} et \varepsilon_n : G_n \to \{\pm 1\} s : \omega_n \xrightarrow{\sim} \omega_{n-1}, les \omega_n \simeq \omega_{n-1}, et \omega_0 \simeq \{\pm 1\}, donc \omega_n \simeq \{\pm 1\}\} tout ce passage est encadré et biffé d'une grande croix.

Ceci détermine \varepsilon_1 : \mathbb{R}^* \to \{\pm 1\} i.e. \varepsilon_1 = \mathrm{sg} : \mathbb{R}^* \to \{\pm 1\} et de proche en proche, par récurrence \varepsilon_n(u_n) = \mathrm{sg} \circ \det(u_n) \qquad u \in GL(n, \mathbb{R})

~~Lemme 2~~

U \underbrace{\subset}_{\omega'} W \underbrace{\subset}_{\omega} V \qquad \Omega(V/W) \wedge \Omega(V) \to \Omega(W) \mathrm{St}_\omega : \Omega(V) \to \Omega(W) \mathrm{St}_{\omega'} : \Omega(W) \to \Omega(U) \mathrm{St}_{\omega'} \mathrm{St}_\omega : \Omega(V) \to \Omega(U) I(\omega, \omega') \in \Omega

(\omega, \omega') \mapsto \omega \times \omega' \Omega(V) \wedge \Omega(V') \to \Omega(V \times V') \omega' \times \omega = (-1)^{\dim V \cdot \dim V'}\, \omega \times \omega' un symbole est raturé devant \omega \times \omega'.

~~\mathrm{St}(\omega)\ \mathrm{St}(\omega')~~ \begin{array}{ccccccccc} \mathbb{R} & \subset & \mathbb{R}^2 & \subset & \mathbb{R}^3 & \text{—} & \mathbb{R}^{n-1} & \subset & \mathbb{R}^n \\ \cup & & \cup & & \cup & & \cup & & \cup \\ \mathbb{R}^+ & \subset & \mathbb{R} \times \mathbb{R}^+ & \subset & \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^+ & \subset & \mathbb{R}^{n-2} \times \mathbb{R}^+ & \subset & \mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}^+ \end{array}

~~e_1 \wedge \cdots~~ e_{n-1} \wedge e_n e_1 \wedge \cdots \wedge e_{n-1} \wedge e_n

\omega \times \omega' I(\omega, \omega') I(\omega', \omega)

\begin{cases} \mathrm{St}(\omega \times \omega') = \mathrm{St}(\omega) \times \omega' \\ \mathrm{St}(\omega \times \omega') = \omega \times \mathrm{St}\,\omega' \end{cases} au-dessus de la première ligne, relié par un trait : « (-1)^{?} » ; dans la seconde, un symbole est raturé devant \omega \times \mathrm{St}\,\omega'.

e_1\, e_2 \ldots e_n

\underbrace{e_1, \ldots, e_p}\ f_1 \ldots f_q \mathrm{St}(e_1 \ldots e_{p-1}\, e_p\, f_1 \ldots f_q) = (-1)^q\, e_1 \ldots e_{p-1}\, \hat e_p\, f_1 \ldots f_q au bas de la page, deux croquis : un carré, et un quadrant dont les deux demi-axes portent des flèches et dont l'intérieur est hachuré, accompagné d'une flèche courbe de rotation.

k anneau commut.

\mathcal{V} = \mathcal{V}(k) catégorie des Modules libres de type fini sur k (morphismes : iso) \mathcal{V} = \coprod_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{V}_n(k) \mathcal{V}_n(k) catégorie des modules libres de rang n sur k \mathcal{V} catégorie additive (graduée)

~~\mathcal{V} \xrightarrow{\Delta} \mathcal{V}_{\mathbb{Z}} foncteur~~

\mathbb{P}(k) catégorie de Picard des k-modules libres de rang 1 \mathbb{Z}-gradués, avec donnée de commut. l'isomorphisme de Koszul

Théorie des déterminants gradués

titre souligné ; un premier « déterminants » y est barré, et un mot lu modules est écrit au-dessus.

a)\mathcal{V} \xrightarrow{\Delta} \mathbb{P} \otimes-foncteur [donnée d'iso fonct. \Delta(V + V') \overset{\varphi_{V,V'}}{\simeq} \Delta(V) \otimes \Delta(V') (\Rightarrow \Delta(0) \simeq \mathbb{1} can.) b) Si \mathrm{rg}(V) = 1, \Delta(V) \simeq V, de degré 1 c)Soient V \supset W_1 ; W_2, W_2' deux suppl. de W_1 dans V (W_1, W_2 libres dans V, W_2' …, ni) \alpha : W_1 + W_2 \xrightarrow{\sim} V \qquad \alpha' : W_1 + W_2' \xrightarrow{\sim} V \qquad \lambda : W_2 \simeq W_2'

\begin{tikzcd} \Delta(W_1 + W_2) \arrow[r, "\Delta(\alpha)"] \arrow[d, "\varphi_{W_1, W_2}"'] & \Delta(V) & \Delta(W_1 + W_2') \arrow[l, "\Delta(\alpha')"'] \arrow[d, "\varphi_{W_1, W_2'}"] \\ \Delta(W_1) \otimes \Delta(W_2) & & \Delta(W_1) \otimes \Delta(W_2') \arrow[ll, "\mathrm{id} \otimes \Delta(\lambda)"] \end{tikzcd}

les quatre flèches du carré portent en outre le signe \simeq ; à gauche, l'indice est écrit \varphi_{W_1, W_1}, lapsus pour \varphi_{W_1, W_2}.

commutatif.]

[Équivaut à : si u est un automorph. de V qui est l'identité sur W_1 et sur V/W_1 (\simeq W_2), alors \Delta(u) = \mathrm{id}_{\Delta(V)}]