Cote n° 68 · batch 3 · pages 41–55 · Transcription · Jeux de position : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978-à partir de 1983]
Édition de démonstration

41la page achève la démonstration interrompue au bas de la p. 40 (lot précédent) : \(\delta = \rho\delta\) avec \(\rho\) nilpotent.

\[ \delta = \rho^N \delta \qquad \forall N \in \mathbb{N} \] d'où, prenant \(N\) grand pour que \(\rho^N = 0\) : \[ \delta = 0 \qquad \text{cqfd.} \]

Extension aux tenseurs

\(u \in \mathrm{End}_K(M)\), \(v \in \mathrm{End}_K(N)\). Alors \(M\) (\(N\)) \(\overline{\mathbb{G}}_a\)-Module par \(\bar e_u\) (\(\bar e_v\)), et \(M \otimes N\) \(\overline{\mathbb{G}}_a\)-Module par \(\bar e_u \otimes \bar e_v\) — et \[ \bar e_u \otimes \bar e_v = \bar e_{u \otimes \mathrm{id}_N + \mathrm{id}_M \otimes v} \] De même, si \(u, v\) nilpotents \[ e_u \otimes e_v = e_{u \otimes \mathrm{id}_N + \mathrm{id}_M \otimes v} \]

Extension : \(\bigotimes_{i \in I} M_i\) (\(I\) ens. d'indices fini, de cardinal \(\geq 2\))

Cor. naïve Soit \(M\) muni d'une structure d'alg. (pas néc. ass. ni unitaire, encore moins commutative), sur \(K\), \(u \in \mathrm{End}_{K\text{-mod}}(M)\), donc \(\overline{\mathbb{G}}_a\) (resp. \(\mathbb{G}_a\) si \(u\) nilpotent) opère sur le \(K\)-module \(M\). Pour que cette opération soit une op. d'automorph. d'algèbre, il f. et s. que \(u\) soit une dérivation.

42Si \(u\) nilpotent, il f. et s. que \(\exp u\) soit un automorph. d'algèbre.

Op. sur \(\mathrm{Hom}_K(M, N)\), quand \(\overline{\mathbb{G}}_a\) (resp. \(\mathbb{G}_a\)) opère sur \(M\) par \(\bar e_u\) (resp. \(e_u\)), sur \(N\) par \(\bar e_v\) (resp. \(e_v\)). Alors il opère sur \(\mathrm{Hom}_K(M, N)\) par \(\bar e_\delta\) (\(e_\delta\)), où \[ \delta(f) = vf - fu \]

Mais en tt rigueur \(\bar e_\delta\) et \(e_\delta\) ne sont définis […] que si \(\mathrm{Hom}_K(M, N)\) est is. à un foncteur de la forme \(\mathbb{W}(M)\) — ce qui n'est guère assuré que si \(M\) proj. de t.f. « is. à » est un ajout interlinéaire, marqué d'un signe d'insertion.

Mais on peut généraliser théorie de l'exponentielle aux tenseurs, les aux endomorphismes de tt \(K\)-foncteurs \(\mathcal{M}\) en \(\mathbb{Q}\)-modules la lettre est surchargée et entourée ; on attend peut-être \(K\). \[ \mathcal{M}(K') \text{ est un } K'\text{-module} \] \[ \mathcal{M}(K') \to \mathcal{M}(K'') \quad (K' \to K'')\text{-semi-linéaire} \]

Alors \(\mathrm{End}_K(\mathcal{M})\) est une \(K\)-algèbre.

a) Si \(u \in N(\mathrm{End}_K(\mathcal{M}))\), \(\exp u \in \mathrm{End}_K(\mathcal{M})\) et aussi \(\exp(\lambda u)\) \(\forall \lambda \in \mathbb{G}_a(K') \simeq K'\) défini, \(\in \mathrm{End}_{K'}(\mathcal{M}_{K'})\). On trouve sur \(\mathcal{M}\) une structure de \(\mathbb{G}_a\)-Module […]

43b) Si \(u \in \mathrm{End}_K(\mathcal{M})\), alors on définit \[ \bar e_u : \overline{\mathbb{G}}_{a,K} \to \mathbf{Aut}_K(\mathcal{M}) \] la flèche aboutit à un symbole surchargé, à initiale doublée, lu \(\mathbf{Aut}\). \[ \bar e_u(\lambda) = \exp(\lambda u) \]

NB La question se pose encore si \(u \mapsto \bar e_u\) et ? \(u \mapsto e_u\) sont des bij. : \[ \mathrm{End}_K(\mathcal{M}) \to \mathrm{Hom\,gr}(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}, \mathbf{Aut}_K(\mathcal{M})) \] \[ N(\mathrm{End}_K(\mathcal{M})) \to \mathrm{Hom\,gr}(\mathbb{G}_{a,K}, \mathbf{Aut}_K(\mathcal{M})) \]

Extension aux […] algèbres symétriques, tensorielles, extérieures …

Globalisation

S \(X\) schéma de car. 0, \(\Theta\) S dérivation de \(\underline{O}_X\), supposons \(\Theta\) loc. nilpotente. Alors \(\exp \Theta\) est un automorphisme de \(\underline{O}_X\) qui induit l'identité sur \(\underline{O}_{X_{\mathrm{red}}} = \underline{O}_X / N\underline{O}_X\), et correspond à un automorphisme de \(X\), que nous désignons par \(\mathbb{E}_\Theta\). Si \(\Theta\) est une \(S\)-dérivation, \(\mathbb{E}_\Theta\) est un \(S\)-automorphisme. Enfin \[ \begin{cases} \mathbb{E}_0 = \mathrm{id} \\ \mathbb{E}_{\Theta + \Theta'} = \mathbb{E}_\Theta + \mathbb{E}_{\Theta'} & \text{si } [\Theta, \Theta'] = 0 \end{cases} \] tel qu'écrit : le signe entre \(\mathbb{E}_\Theta\) et \(\mathbb{E}_{\Theta'}\) a la forme d'un \(+\) ; pour des automorphismes on attend une composition.

44Prop \(A\) \(\mathbb{Q}\)-alg. comm. unit., \(u\) un automorph. de \(\mathbb{Q}\)-alg., \(n \in \mathbb{N}\), \(J\) l'idéal engendré par les \(u(x) - x\) (\(x \in A\)) NB \(u\) induit l'identité sur \(\mathrm{gr}_J(A)\) la note marginale en haut à droite est barrée d'un trait oblique.

1) Conditions équivalentes

• (i)\(u\) op. diff. de \(A\) d'ordre \(\leq n\)
• (ii)\(J^{n+1} = 0\)
• (iii)\(\exists\, I\) idéal de \(A\) tel que \(I^{n+1} = 0\), et que \(u\) induise l'identité dans \(A/I\), i.e. \(ux - x \in I\) \(\forall x \in A\) [i.e. \(I \supset J\)]
• (iv)\(\exists\) dérivation \(\Theta : A \to A\) avec \(\Theta^{n+1} = 0\), \(u = \exp \Theta\) est-il nécessaire ?

au-dessus de la ligne (iv), en interligne : « Pour ceci, il suffit que \((u - \mathrm{id})^{n+1} = 0\), ou (ce qui revient au même) ».

(ii') \(u\) induit l'identité (iii') \(\exists\, I\) […] que \(I^{n+1} = 0\), et que \(u\) induise l'identité […] \(\mathrm{gr}_I(A)\) les deux conditions de la marge gauche sont barrées et encadrées.

NB Si \(N(A)\) est nilpotent, ces conditions équivalentes

2) L'application \(\Theta \mapsto \exp \Theta\) est une bijection de l'ens. des dérivations \(\Theta\) de \(A\) telles que \(\Theta^{n+1} = 0\), dans l'ens. des automorphismes \(u\) de \(A\) telles que \((u - \mathrm{id})^{n+1} = 0\) ([…] de \(A\) ([…]) […] plus […]).

Cor Conditions équivalentes sur un automorph. \(u\) de \(A\) :

• (i)\(u\) op. diff. de \(A\)
• (ii)\(J\) idéal nilp.
• (iii)\(\exists\, I\) nilp. de \(A\) tel que \(u\) induise \(\mathrm{id}_{A/I}\)
• (iv)\(\exists\, \Theta\) dérivation nilp. de \(A\), telle que \(u = \exp \Theta\)

De plus, \(\Theta \mapsto \exp \Theta\) est une bij. de l'ens. des dérivations nilpotentes de \(A\) et l'ens. des autom. de \(A\) qui sont des op. diff. de \(A\).

45Cor A Supposons \(NA\) nilp. […] (p. ex. \(A\) noeth.). Alors les conditions précédentes sur \(u\) équivalent à :

• (v)\(u\) induit l'identité sur \(A_{\mathrm{red}}\)

Sous ces conditions, et si \(N(A)^{N+1} = 0\), les conditions de la prop sont satisfaites pour \((u, N)\), i.e. \(u\) opérateur diff. de \(A\) est d'ordre \(\leq N\).

Cor. Supposons \(A\) une \(K\)-alg (\(K\) une \(\mathbb{Q}\)-alg). Si \(u = \exp \Theta\) (\(\Theta\) dérivation nilpotente) alors \(u\) est un \(K\)-automorph. ssi \(\Theta\) est une \(K\)-dérivation.

Cor Soit \(I\) un idéal nilpotent de A […] \(K\)-alg. comm. \(A\) (\(K\) \(\mathbb{Q}\)-alg. commut., \(I^{N+1} = 0\), […]), soit \(L_K(A, I)\) l'ens. des \(K\)-dérivations \(\Theta\) de \(A\) qui induisent 0 dans \(A/I\) (i.e. \(\Theta(A) \subset I\)), \(G_K(A, I)\) le gr. des \(K\)-automorph. de \(A\) telles qui induisent l'identité sur \(A/I\) (i.e. \((u - \mathrm{id})(A) \subset I\) i.e. \(u(x) - x \in I\) \(\forall x \in A\)). Alors

• a)\(\forall \Theta \in L_K(A, I)\), on a \(\Theta^{N+1} = 0\) (plus génér. ment, \(\forall i \in \mathbb{N}\), \(\Theta^i A \subset I^i\))
• b)\(\Theta \mapsto \exp \Theta : L_K(A, I) \simeq G_K(A, I)\)

47

Jeux à \(N\) joueurs

• \(C\) ensemble des configurations (ou positions)
• \(J\) ensemble des joueurs (\(\mathrm{Card}\, J = N\))
• \(j : C \to J\) application (pour toute configuration, il y a un joueur « dont c'est le tour » […])
• \(\sigma : C \to \mathfrak{P}(C)\) pour toute configuration \(x\), il y a l'ensemble \(\sigma(x)\) des configurations « suivantes »
• [\(\Sigma \subset C \times C\) une relation [N.B. \((x, y) \in \Sigma \iff y \in \sigma(x)\)]]
• \(x_0 \in C\) configuration initiale.
• \(C_0 \subset C\) ens. des configurations gagnantes terminales i.e. \(C_0 = \{ x \in C \mid \sigma(x) = \emptyset \}\)

la lettre \(j\) de l'application est surchargée.

Jeu Partie soit \(j_0 = j(x_0)\) (joueur initial)

• 1)\(j_0\) « choisit » un \(x_1 \in \sigma(x_0)\). Soit \(j_1 = j(x_1)\)
• 2)\(j_1\) « choisit » un \(x_2 \in \sigma(x_1)\) soit \(j_2 = j(x_2)\)
• —
• \(n\))\(j_{n-1}\) « choisit » \(x_n \in \sigma(x_{n-1})\)

Partie à \(n\) coups : […] \((x_1, \ldots, x_n) \in C^n\), \(x_i \in \sigma(x_{i-1})\) \(1 \leq i \leq n\)

Jeux circulaires

• 1)\(j\) surjectif (tout joueur est effectif)
• 2)\(\exists\, \rho : J \to J\) telle que : \(\forall x \in C\), \(y \in \sigma(x)\) \(\forall (x, y) \in \Sigma \subset C \times C\), … \(j(y) = \rho(j(x))\)

NB \(\rho\) unique si on suppose que \(\forall x \in C\), \(\sigma(x) \neq \emptyset\), ou plus génér. que \(\forall j \in J\), \(\exists\, x \in C\) tel que \(\sigma(x) \neq \emptyset\), \(j(x) = j\)

• 3)\(\rho\) est une permutation circ.

49encre bleue, jusqu'à la p. 53.

Lemme 1 \(P, Q\) ens. de card. 2, (\(x \in P\) […] \(x' = \underline{a}_P x\)), \(\varphi : P \to Q\) conditions équivalentes

• a)\(\varphi\) bij b) \(\varphi\) inj c) \(\varphi\) surj d) \(\varphi\) non-constante
• e)\(\varphi\) commute à \(\mathbb{Z}_2\) f) \(\varphi(x') = \underline{a}_Q \varphi(x)\)

Lemme 2 \(P, Q, R\) ens. de card. 2, \(\varphi : P \times Q \to R\) appl., \(x \in P\), \(x' = \underline{a}\, x\)

Conditions équivalentes

• a)\(\varphi\) se factorise en iso \(P \wedge Q \to R\)
• b)\(\varphi_x : y \mapsto \varphi(x, y) : Q \to R\) est iso, et \(\varphi_{x'}\) \(\varphi_x\) \(= \underline{a}_R \varphi_x\)

Théorie orientation pour […] vectoriels réels de dim. finie (cat. \(\mathcal{V}\), avec iso)

• a)[…] \(\Omega : \mathcal{V} \to (\mathrm{Ens}_2)\)
• b)\(\Omega(0) \simeq \{\pm 1\}\)
• c)\(\forall V \in \mathcal{V}\), […] \(W \subset V\) hyperplan, \(V'\) demi-espace de \(V\) de frontière \(W\), on a donc une application de Stokes \[ \mathrm{St}_{V'} : \Omega(V) \to \Omega(W) \qquad \text{fonctorielle en } (V, V') \]

Axiomes

• 1)\(\mathrm{St}_{V'}\) bijectif (cf lemme 1) car \(\forall V \in \mathcal{V}\), \(\mathrm{Card}\, \Omega(V) = 2\)
• 2)Si \(V''\) est l'opposé de \(V'\), … \(\mathrm{St}_{V''} = \underline{a} \circ \mathrm{St}_V\)

tel qu'écrit : \(\mathrm{St}_V\) ; on attend \(\mathrm{St}_{V'}\).

Axiomes équivalents

• 1)\(\forall V \in \mathcal{V}\), \(\mathrm{card}\, \Omega(V) = 2\)
• 2)\(\forall V \in \mathcal{V}\), \(W \in \mathrm{Hyp}(V)\), 2) l'application \(\Omega(W, V)\) \(\mathrm{Dem}_{W,V} \times \Omega(V) \to \Omega(W)\), \((V', \omega) \mapsto \mathrm{St}_{V'}(\omega)\) se factorise en une application iso \[ \Omega(W, V) \wedge \Omega(V) \xrightarrow{\sim} \Omega(W) \] \(\to\) fonctorielle en \((V, W)\)

l'indice de « \(\mathrm{Dem}\) » est lu sous une rature ; la lecture \(\mathrm{Dem}_{W,V}\) (demi-espaces) est incertaine.

Proposition Hom d'une théorie \((\Omega, \mathrm{St})\) dans théorie \((\Omega', \mathrm{St}')\) : homs de foncteurs \(\varphi : \Omega \to \Omega'\) compatible avec b), et c)

Th.

• a)Tout hom d'une théorie dans une autre est un iso.
• b)Pour 2 théories de l'orientation, \(\exists !\) isom de l'une dans l'autre
• c)\(\exists\) théorie de l'orientation.

Dém

• a)\(\varphi_V : \Omega(V) \simeq \Omega'(V)\) iso, par réc. sur dim., utilisant Stokes
• b)De \(=\), unicité de \(\varphi\) par récurrence sur dim. Existence […] Détermination d'une thé Existence d'une théorie de l'orientation ?

donner \(\Omega\) \(\iff\) donner \((\Omega_n)_{n \in \mathbb{N}}\), \(\Omega_n : \mathcal{V}_n \to \mathrm{Ens}_2\ \mathrm{Tors}(\mathbb{Z}/2)\) au-dessus de la flèche, en interligne : « \(\mathcal{V} \to \mathrm{Ens}_2\) ».

donner \(\Omega_n\) \(\iff\) donner \(\varepsilon_n : GL(n, \mathbb{R}) = G_n \to \mathbb{Z}/2\), et \(\omega_n = \Omega(\mathbb{R}^n)\)

donner \(\mathrm{St}\) \(\iff\) \((\mathrm{St}_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\), où \(\mathrm{St}_n\) est donnée de Stokes en dim. \(n\) \[ \Omega(V, W) \wedge \Omega(W) \xrightarrow{\sim} \Omega(W) \qquad \text{pour } \dim V = n \] tel qu'écrit, le second facteur semble être \(\Omega(W)\) ; on attend \(\Omega(V)\).

donner \(\mathrm{St}_n\) \((\mathrm{St}_n)_{n}\) revient à donner

51suite de la p. 49 ; la p. 50 est un tapuscrit sans rapport.

\[ \underbrace{\Omega(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{R}^n)}_{\mathbb{1}} \wedge \Omega(\mathbb{R}^n) \to \Omega(\mathbb{R}^{n-1}) \qquad \text{i.e.} \qquad \omega_n \xrightarrow{\sim} \omega_{n-1} \] choisi \(\mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}^+\) comme \(\tfrac{1}{2}\) espace de \(\mathbb{R}^n\)

compatible avec \(\mathrm{Aut}(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{R}^n) =\) ss-gr. de \(GL(n, \mathbb{R})\) des matrices \[ u_n = \begin{pmatrix} u_{n-1} & \vdots \\ 0 \ \cdots \ 0 & \lambda \end{pmatrix} \] opérant sur \(\omega_{n-1}\) par \(\varepsilon(u_{n-1})\), sur \(\omega_n\) par […] \(\varepsilon_n(u_n)\). \(\mathrm{sg}\,\lambda =\) \(\mathrm{sg}\det\) […] condition qui signifie des conditions \[ \varepsilon_n(u_n) = \mathrm{sg}(\lambda)\, \varepsilon_{n-1}(u_{n-1}) \]

qui est donc […] satisfaisante ! Donc la donnée d'une théorie de l'orient. équivaut à la donnée de \(\{(\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\varepsilon_n : G_n \to \{\pm 1\}\) […] \(s : \omega_n \xrightarrow{\sim} \omega_{n-1}\), les \(\omega_n \simeq \omega_{n-1}\), et \(\omega_0 \simeq \{\pm 1\}\), donc \(\omega_n \simeq \{\pm 1\}\}\) tout ce passage est encadré et biffé d'une grande croix.

Ceci détermine \(\varepsilon_1 : \mathbb{R}^* \to \{\pm 1\}\) i.e. \[ \varepsilon_1 = \mathrm{sg} : \mathbb{R}^* \to \{\pm 1\} \] et de proche en proche, par récurrence \[ \varepsilon_n(u_n) = \mathrm{sg} \circ \det(u_n) \qquad u \in GL(n, \mathbb{R}) \]

Lemme 2

53\[ U \underbrace{\subset}_{\omega'} W \underbrace{\subset}_{\omega} V \qquad \Omega(V/W) \wedge \Omega(V) \to \Omega(W) \] \[ \mathrm{St}_\omega : \Omega(V) \to \Omega(W) \] \[ \mathrm{St}_{\omega'} : \Omega(W) \to \Omega(U) \] \[ \mathrm{St}_{\omega'} \mathrm{St}_\omega : \Omega(V) \to \Omega(U) \] \[ I(\omega, \omega') \in \Omega \]

\((\omega, \omega') \mapsto \omega \times \omega'\) \[ \Omega(V) \wedge \Omega(V') \to \Omega(V \times V') \] \[ \omega' \times \omega = (-1)^{\dim V \cdot \dim V'}\, \omega \times \omega' \] un symbole est raturé devant \(\omega \times \omega'\).

\(\mathrm{St}(\omega)\ \mathrm{St}(\omega')\) \[ \begin{array}{ccccccccc} \mathbb{R} & \subset & \mathbb{R}^2 & \subset & \mathbb{R}^3 & \text{—} & \mathbb{R}^{n-1} & \subset & \mathbb{R}^n \\ \cup & & \cup & & \cup & & \cup & & \cup \\ \mathbb{R}^+ & \subset & \mathbb{R} \times \mathbb{R}^+ & \subset & \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^+ & \subset & \mathbb{R}^{n-2} \times \mathbb{R}^+ & \subset & \mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}^+ \end{array} \]

\(e_1 \wedge \cdots\) \(e_{n-1} \wedge e_n\) \(e_1 \wedge \cdots \wedge e_{n-1} \wedge e_n\)

\(\omega \times \omega'\) \(I(\omega, \omega')\) \(I(\omega', \omega)\)

\[ \begin{cases} \mathrm{St}(\omega \times \omega') = \mathrm{St}(\omega) \times \omega' \\ \mathrm{St}(\omega \times \omega') = \omega \times \mathrm{St}\,\omega' \end{cases} \] au-dessus de la première ligne, relié par un trait : « \((-1)^{?}\) » ; dans la seconde, un symbole est raturé devant \(\omega \times \mathrm{St}\,\omega'\).

\(e_1\, e_2 \ldots e_n\)

\(\underbrace{e_1, \ldots, e_p}\ f_1 \ldots f_q\) \[ \mathrm{St}(e_1 \ldots e_{p-1}\, e_p\, f_1 \ldots f_q) = (-1)^q\, e_1 \ldots e_{p-1}\, \hat e_p\, f_1 \ldots f_q \] au bas de la page, deux croquis : un carré, et un quadrant dont les deux demi-axes portent des flèches et dont l'intérieur est hachuré, accompagné d'une flèche courbe de rotation.

55\(k\) anneau commut.

\(\mathcal{V} = \mathcal{V}(k)\) catégorie des Modules libres de type fini sur \(k\) (morphismes : iso) \[ \mathcal{V} = \coprod_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{V}_n(k) \] \(\mathcal{V}_n(k)\) catégorie des modules libres de rang \(n\) sur \(k\) \(\mathcal{V}\) catégorie additive (graduée)

\(\mathcal{V} \xrightarrow{\Delta} \mathcal{V}_{\mathbb{Z}}\) foncteur

[…] \(\mathbb{P}(k)\) catégorie de Picard des \(k\)-modules libres de rang 1 \(\mathbb{Z}\)-gradués, avec donnée de commut. l'isomorphisme de Koszul

Théorie des déterminants gradués

titre souligné ; un premier « déterminants » y est barré, et un mot lu modules est écrit au-dessus.

• a)\(\mathcal{V} \xrightarrow{\Delta} \mathbb{P}\) \(\otimes\)-foncteur [donnée d'iso fonct. \[ \Delta(V + V') \overset{\varphi_{V,V'}}{\simeq} \Delta(V) \otimes \Delta(V') \] (\(\Rightarrow \Delta(0) \simeq \mathbb{1}\) can.)
• b)[…] Si \(\mathrm{rg}(V) = 1\), \(\Delta(V) \simeq V\), de degré 1
• c)Soient \(V \supset W_1\) ; \(W_2\), \(W_2'\) deux suppl. de \(W_1\) dans \(V\) (\(W_1\), \(W_2\) libres dans \(V\), \(W_2'\) …, ni) \[ \alpha : W_1 + W_2 \xrightarrow{\sim} V \qquad \alpha' : W_1 + W_2' \xrightarrow{\sim} V \qquad \lambda : W_2 \simeq W_2' \]

\begin{tikzcd}
\Delta(W_1 + W_2) \arrow[r, "\Delta(\alpha)"] \arrow[d, "\varphi_{W_1, W_2}"'] & \Delta(V) & \Delta(W_1 + W_2') \arrow[l, "\Delta(\alpha')"'] \arrow[d, "\varphi_{W_1, W_2'}"] \\
\Delta(W_1) \otimes \Delta(W_2) & & \Delta(W_1) \otimes \Delta(W_2') \arrow[ll, "\mathrm{id} \otimes \Delta(\lambda)"]
\end{tikzcd}

les quatre flèches du carré portent en outre le signe \(\simeq\) ; à gauche, l'indice est écrit \(\varphi_{W_1, W_1}\), lapsus pour \(\varphi_{W_1, W_2}\).

commutatif.]

[Équivaut à : si \(u\) est un automorph. de \(V\) qui est l'identité sur \(W_1\) et sur \(V/W_1\) (\(\simeq W_2\)), alors \(\Delta(u) = \mathrm{id}_{\Delta(V)}\)]