Fonds Grothendieck, cote n° 68, pages 21–40

la page continue un développement commencé au lot précédent (pp. 19-20, « Couples prétassés », « Couples tassés ») : \mathbb{R}[G]^{+}, produit de convolution *, relations f' \prec f et f' \sim f, ensembles E_\alpha(f). Les conditions a) à c) sont à la page 20.

si (K) les conditions d) et si les couples \in S \times S sont prétassés \downarrow id.

d) \forall A, B \in \mathfrak{P}_f(G) \cap S, A' \sim A, B' \sim B, on a A' * B' \prec A * B i.e. (A, B) tassé.

e) \forall A, B, C \in \mathfrak{P}_f(G) \cap S, A' \sim A, B' \sim B, C' \sim C, on a \| A' * B' * C' \|_\infty \leq \| A * B * C \|_\infty

~~Supposons~~ Conclut : Si l'on a S, avec S stable par translation, S_0 = S \cap \mathfrak{P}_f(G), avec S_0 \neq \emptyset. Soit f \in S. Alors

a)\exists\, t \in G, f = \varepsilon_t * f tel qu'écrit ; l'accent sur l'un des deux f n'est pas visible. Le crochet qui suit et la p. 19 (« \check f = \varepsilon_s * f ») font attendre \check f = \varepsilon_t * f. [(f, f) prétassé] dans ce crochet et dans celui de b), « pré » est écrit en interligne au-dessus de « tassé » : il avait d'abord écrit « tassé ». b) E_\alpha(f) \in S_0 [(f, A) prétassé pour A \in S_0]

~~Inversement, soit f \in \mathbb{R}[G]^{+}~~ Soit S \widetilde{S} = \{ f \in \mathbb{R}(G)^{+} \mid \text{a), \ill{} b)} \} ~~f \in \widetilde S~~ i.e. \begin{cases} f = \sum_I \alpha_i A_i, & \alpha_i > 0,\quad A_i \in S_0 \quad (A_i) \text{ tot.\ ord.} \\ \exists\, s \in G, & A_i = \varepsilon_s * \check{A}_i \quad \forall i \end{cases} Soit de même \begin{cases} g = \sum_J \beta_j B_j, & \beta_j > 0,\quad B_j \in S_0 \quad (B_j) \text{ tot.\ ord.} \\ t \in G, & B_j = \varepsilon_t * \check{B}_j \end{cases} On a f * g = \sum_{(i,j) \in I \times J} \alpha_i \beta_j \, A_i * B_j ~~Supposons que \exists\, (G_n)~~ On a A_i * B_j \in S, donc E_*(A_i * B_j) \subset S_0 Supposons \bigcup E_\alpha(A_i * B_j) tot. ordonné ; on veut \bigcap_{C \in \bigcup E_\alpha(A_i * B_j)} C \neq \emptyset isolé au pied de la page, sans lien apparent avec ce qui précède : 0 \to {}_2 G \to G \xrightarrow{\;2\;} G

Jeux de position

le titre est de sa main, en tête de la page 23.

a) C ensemble des “configurations” ou “positions”

b) R \subset C \times C, interprété comme x \mapsto R(x), C \to \mathfrak{P}(C), il écrit ici un R rond ; les pages suivantes ont un R droit, que l'on garde partout. d'où C_0 = \{ x \in C \mid R(x) = \emptyset \} \subset C \qquad (\text{conf.\ \textit{terminales}})

c) J ensemble des “joueurs”

d) C \setminus C_0 \xrightarrow{\;\alpha\;} J. On dit que (si x \in C \setminus C_0) j = \alpha(x) est le joueur qui a l'initiative dans la position x. \left. \begin{array}{l} C(j) = \{ x \in C \setminus C_0 \mid \alpha(x) = j \} \\ \overline{C}(j) = (C \setminus C_0) \setminus C(j) \end{array} \right\}

e) J \to \mathfrak{P}(C_0), j \mapsto G_0(j) (ens. des positions terminales gagnantes pour j)

ne dépend que de C, R Partie (x_0, x_1, \dots, x_n, \dots) suite finie ou infinie de positions, telles que pour deux termes consécutifs x_i, x_{i+1}, on ait x_{i+1} \in R(x_i) Prolongement des parties — parties non prolongeables ou “terminées” : ce sont les parties qui sont soit infinies, soit finies, avec ~~comme~~ la position finale x_n \in C_0. Composition des parties (Associatif et — aux “catégorie des positions” …)

ne dépend que de C, R et G_0(j) \subset C_0 Parties gagnées pour j : partie finie (non prolongeable) dont la position ~~finale~~ finale x_n est \in G_0(j).

NB Si XY est gagnée par j, \Leftrightarrow Y est gagnée par j.

Stratégie \Sigma pour j (ou j-stratégie) : (Application \Sigma : C(j) \to \mathfrak{P}(C) telle que \forall x \in C(j), on ait

\Sigma(x) \subset R(x), \qquad \Sigma(x) \neq \emptyset . Cette notion ne dépend que de C, R, C(j) \subset C \setminus C_0.

NB On pose \Sigma(x) = R(x) si x \in \overline{C}(j). Donc on peut ~~interpréter \Sigma comme~~ une application C \setminus C_0 \to \mathfrak{P}^{*}(C), avec \Sigma(x) \subset R(x) et \Sigma(x) \neq \emptyset \forall x \in C \setminus C_0, et \Sigma(x) = R(x) si x \in \overline{C}(j).

Partie jouée en accord avec une stratégie \Sigma (ou compatible avec \Sigma, ou \Sigma-partie) : cette notion est stable par composition. (On a une sous-catégorie comp. à ci-dessus, mais a priori moins de flèches)

Lemme Soit ~~\Sigma~~ J' \subset J, \forall j \in J' soit \Sigma_j une j-stratégie. Soit x_0 \in C. Alors \exists partie maximale d'origine x_0, compatible avec les \Sigma_j (j \in J').

ne dépend que de C, R, C(j), G_0(j) Stratégie \Sigma (pour j) gagnante pour x_0 \in C (ou position x_0 gagnante pour une j-stratégie \Sigma) : toute partie maximale commençant en x_0, et jouée suivant \Sigma, est gagnée par j (i.e. est finie, et son extrémité x_n \in C_0 est \in G_0(j)).

Position x_0 \in C gagnante pour j : telle qu'il existe une j-stratégie qui soit gagnante pour x_0. Soit G(j) l'ens. de ces positions. On a G(j) \cap C_0 = G_0(j)

[Proposition Soit J' \subset J. Si \bigcap_{j \in J'} G(j) \neq \emptyset, alors \bigcap_{j \in J'} G_0(j) \neq \emptyset. En d'autres termes, si \bigcap_{j \in J'} G_0(j) = \emptyset, alors \bigcap_{j \in J'} G(j) = \emptyset i.e. une x_0 \in C ne peut être gagnante pour tous les j \in J'.

Immédiat par le Lemme.]

Proposition Soient \Sigma une j-stratégie, x_0 \in C ~~supposons~~ gagnante pour \Sigma, X = (x_0, x_1, \dots, x_n, \dots) une partie (d'origine x_0) jouée suivant \Sigma, alors toutes les positions x_i sont gagnantes pour \Sigma.

Soit en effet Y = (y_0 = x_i, y_1, \dots, y_m, \dots) une partie maximale jouée suivant \Sigma, alors XY est jouée suivant \Sigma et est d'origine x_0 gagnante pour \Sigma, donc est ~~gagnée par partie finie, telle Y~~ ~~a finie~~ donc Y est gagnée par j. les deux ratures de cette phrase se chevauchent ; la lecture des mots barrés est incertaine.

Th On a \begin{array}{ll} \text{a)} & G(j) \cap C(j) = \{ x_0 \in C(j) \mid R(x_0) \cap G(j) \neq \emptyset \} \\ \text{b)} & G(j) \cap \overline{C}(j) = \{ x_0 \in \overline{C}(j) \mid R(x_0) \subset G(j) \} \end{array} [et pour mémoire G(j) \cap C_0 = G_0(j) \quad ].

Dém a) On suppose x_0 \in C(j).

1) \subset Soit x_0 \in G(j) , soit \Sigma une stratégie pour j gagnante pour x_0, considérons x_1 \in \Sigma(x_0), alors (x_0, x_1) est une \Sigma-partie, donc par la prop. précédente, x_1 est gagnante pour \Sigma, donc gagnante, donc x_1 \in R(x_0) \cap G(j), donc R(x_0) \cap G(j) \neq \emptyset.

2) \supset Soit x_1 \in R(x_0) \cap G(j). Prouvons que x_0 \in G(j). ~~Considérons~~ Soit \Sigma_1 une j-stratégie x_1-gagnante. Si x_0 est gagnante pour \Sigma_1, on a x_0 \in G(j), OK. Sinon, définissons une j-stratégie \Sigma_0 x_0-gagnante ainsi : \begin{array}{l} \Sigma_0(x_0) = \{ x_1 \} \\ \Sigma_0(x) = \Sigma_1(x) \quad \text{si } x \neq x_0 \end{array}

C'est une j-stratégie, ~~prouvons~~ Prouvons qu'elle est gagnante pour x_0. Une partie maximale jouée suivant \Sigma_0 ~~commençant~~ avec (x_0, x_1), soit (x_0, x_1, \dots, x_n, \dots) ~~les x_i (i \geq 1) sont gagnants pour \Sigma_1~~ prouvons qu'elle est gagnée par j. Prouvons ~~que tous~~ que les x_i (i \geq 1) sont \neq x_0. Sinon, ~~si i est le~~ soit le plus petit indice i \geq 1 tel que x_i = x_0, ~~pour un i \geq 1~~, alors ~~par la prop. impliquerait~~ [(x_1, \dots, x_i = x_0) serait compatible avec \Sigma_1], on trouverait que x_i = x_0 est gagnant pour \Sigma_1, contrairement à l'hypothèse que x_0 non gagnant pour \Sigma_1.

Comme les x_i (i \geq 1) sont \neq x_0, la partie (x_1, x_2, \dots) est une \Sigma_1-partie, donc elle est gagnée par j, donc (x_0, x_1, \dots) aussi, cqfd.

b) On suppose x_0 \in \overline{C}(j).

1) \subset. Supposons x_0 \in G(j), prouvons R(x_0) \subset G(j). Soit x_1 \in R(x_0), prouvons x_1 \in G(j). En effet, [si \Sigma_0 est une j-stratégie x_0-gagnante,] (x_0, x_1) est une \Sigma_0-partie, donc par la prop., x_1 est gagnante pour \Sigma_0, donc x_1 \in G(j).

2) \supset. Supposons R(x_0) \subset G(j), prouvons x_0 \in G(j). \forall x_1 \in R(x_0), soit \Sigma_{x_1} une j-stratégie x_1-gagnante. Choisissons un bon ordre sur R(x_0). On va définir une j-stratégie \Sigma x_0-gagnante ainsi.

\forall x \in C, soit E(x) = \{ x_1 \in R(x_0) \mid \exists\ \Sigma_{x_1}\text{-partie de } x_1 \text{ à } x \} l'indice du point de départ, dans « de x_1 à x », est surchargé ; x_1 est la lecture que demande la suite.

Soit C' = \{ x \in C \mid E(x) \neq \emptyset \} et pour x \in C', posons \varepsilon(x) = \text{plus petit élément de } E(x) (donc \varepsilon : C' \to R(x_0)). Posons \Sigma_0(x) = \begin{cases} R(x) & \text{si } x \in \overline{C}(j) \cup \complement C' \\ \Sigma_{\varepsilon(x)}(x) & \text{si } x \in C(j) \cap C' \end{cases} Donc \Sigma_0 est une j-stratégie. On va prouver qu'elle est gagnante pour x_0.

Lemme ~~Soit x \in C'~~ Si x \in C', x est gagnant pour \Sigma_{\varepsilon(x)} (donc gagnant pour j — donc C' \subset G(j)) et ~~C' \subset G(j), et si x \in C', y \in \Sigma_0(x), alors \Sigma_0(x) \subset C' et~~ pour tout y \in \Sigma_0(x), on a E(y) \ni \varepsilon(x) (donc E(y) \neq \emptyset, donc y \in C', donc \Sigma_0(x) \subset C' [\subset G(j)]) et par suite \varepsilon(y) \leq \varepsilon(x).

Dém. Soit x \in C' donc E(x) \neq \emptyset, alors si x_1 \in E(x), \exists ~~partie~~ \Sigma_{x_1}-partie de x_1 à x, donc par la prop. (comme \Sigma_{x_1} est x_1-gagnante), x est \Sigma_{x_1}-gagnante, donc a fortiori x \in G(j).

Soit y \in \Sigma_0(x) = \Sigma_{\varepsilon(x)}(x) ; (x_1, x_2, \dots, x_n = x, x_{n+1} = y), où x_1 = \varepsilon(x), est une \Sigma_{\varepsilon(x)}-partie, donc \varepsilon(x) \in E(y), OK.

Prouvons que \Sigma_0 est gagnante pour x_0. Soit une partie maximale commençant par x_0

et comp. avec \Sigma_0 (x_0, x_1, x_2, \dots) Par le lemme, il vient de proche en proche ~~cette partie est~~ (puisque x_1 \in C') que ~~x_1 \in G(j),~~ les x_i (i \geq 1) sont \in C' , donc j-gagnants. Pour montrer que la partie est gagnée par j, il suffit de prouver qu'elle est finie. Or Supposons le contraire. Les \varepsilon(x_i) (i \geq 1) forment une suite décroissante d'éléments de R(x_0), donc stationnaire. Soit n tel que \varepsilon(x_m) = \varepsilon(x_n) (= \xi) pour m \geq n. Alors par définition de \Sigma_0, la partie (x_n, x_{n+1}, \dots) est une partie comp. avec \Sigma_\xi. Comme x_n est gagnant pour \Sigma_\xi (par le lemme), cette partie est finie, absurde.

Stratégie contre j (stratégie relative à : \overline{C}(j)), i.e. \Sigma' telle que \Sigma'(x) = R(x) si x \in C(j) (et \Sigma'(x) \subset R(x), \Sigma'(x) \neq \emptyset si x \in \overline{C}(j)). Admissible pour x_0 (toute partie maximale d'origine x_0 jouée suivant x_0 sic ; on attend « suivant \Sigma' ». est non gagnée par j, i.e. est ou bien infinie, ou bien a une position terminale \notin G_0(j)).

~~Corollaire~~ Théorème Soit \Sigma' la stratégie contre j définie par

\Sigma'(x) = \begin{cases} R(x) & \text{si } x \in C(j) \cup G(j) \\ R(x) \cap \complement G(j) & \text{si } x \in \overline{C}(j) \cap \complement G(j) \end{cases} (C'est une stratégie contre j, par [b) \supset]). Alors pour x \in C, les conditions suivantes sont équivalentes

a)x_0 \notin G(j) b)x_0 est admissible contre j c)x_0 est admissible pour \Sigma' contre j.

Dém c) \Rightarrow b) trivial, b) \Rightarrow a) par le Lemme. Prouvons a) \Rightarrow c). Si une partie (x_0, x_1, \dots) d'origine x_0 jouée en accord avec \Sigma', alors par définition de \Sigma', on voit de proche en proche que x_i \in \complement G(j) \forall i, donc la partie ne peut être gagnée par j !

Corollaire Supposons J = \{ j, j' \}, j \neq j', et G_0(j) \cap G_0(j') = \emptyset . Soit N = \{ x \in C \mid x \text{ admissible contre } j, \text{ et contre } j' \}. Alors C est réunion disjointe de G(j), G(j') et N.

~~Supposons~~ NB G(j), G(j') et N(j) sont connus quand on connaît (en plus des parties G_0(j) et G_0(j') de C_0) les ensembles \begin{cases} G^{*} = \{ x \in C \setminus C_0 \mid x \in G(\alpha(x)) \} \\ P^{*} = \{ x \in C \setminus C_0 \mid x \in G(\bar\alpha(x)) \} \end{cases} où \bar\alpha(x) désigne l'unique j' \in J tel que j' \neq j = \alpha(x).

On dit qu'une position x \in C \setminus C_0 qui est \in G^{*} (resp. \in P^{*}), i.e. ~~telles~~ gagnante pour le joueur qui a l'initiative (resp. pour le joueur qui n'a pas l'initiative) est gagnante (resp. perdante) ; on dit que c'est une position nulle ~~autrement~~ si elle n'est ni gagnante, ni perdante, et on pose N^{*} = (C \setminus C_0) \setminus (G^{*} \cup P^{*}) = N \cap (C \setminus C_0) (où N est défini dans le corollaire ci-dessus).

On aura \begin{cases} G(j) \cap C(j) = G^{*} \cap C(j) \\ G(j) \cap \overline{C}(j) = G(j) \cap C(j') = P^{*} \cap C(j') \\ G(j) \cap C_0 = G_0(j) \end{cases} ce qui montre que les G(j) (j \in J) se reconstituent par la connaissance de G^{*}, P^{*} et des G_0(j) (j \in J).

Supposons qu'on ait une application \hat\alpha : C \to J prolongeant \alpha, et qu'on ait, pour tout x \in C et y \in R(x) \hat\alpha(y) \neq \hat\alpha(x)

On dit alors que le jeu de de position à deux joueurs est un jeu alterné (les deux joueurs jouent alternativement). Pour qu'une application \hat\alpha existe prolongeant \alpha et ayant les propriétés précédentes, il faut et suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites

\forall x, y \in C, tels que y \in R(x), y \notin C_0, on a \alpha(y) \neq \alpha(x) \forall y \in C_0, soit T(y) = \{ x \in C \mid y \in R(x) \} \subset C \setminus C_0, alors \alpha \mid T(y) est constante.

Sous les conditions de 2), on aura donc nécessairement, si T(y) \neq \emptyset et \alpha(T(y)) = \{ j \}, \hat\alpha(y) = j', où j' est l'élément de J qui est \neq j. Cela montre que \hat\alpha est bien déterminé sur l'ens. des y \in C_0 tels que T(y) \neq \emptyset, donc aussi sur l'ens. des positions non isolées (une position y est dite isolée si elle n'a pas de position antécédente ni suivante, i.e. s'il n'existe pas de x \in C tel qu'on ait y \in R(x) ou x \in R(y)). On peut attribuer à \hat\alpha des valeurs arbitraires sur les positions isolées.

Quand on a défini un \hat\alpha, on peut définir \begin{array}{l} G = \{ x \in C \mid x \in G(\hat\alpha(x)) \} \\ P = \{ x \in C \mid x \in G(\bar{\hat\alpha}(x)) \} \end{array} et on aura

\begin{cases} G \cap (C \setminus C_0) = G^{*} \\ P \cap (C \setminus C_0) = P^{*} \\ C \setminus (G \cup P) = N \end{cases} (positions nulles, i.e. gagnantes pour aucun des deux joueurs)

Les positions x seront encore dites gagnantes (resp. perdantes) si x \in G (resp. x \in P) — cette terminologie coïncide avec la précédente si x \notin C_0. On aura, posant \hat C(j) = \{ x \in C \mid \hat\alpha(x) = j \} (de sorte que C apparaît comme réunion disjointe des deux ens. \hat C(j), j \in J), \begin{cases} G(j) \cap \hat C(j) = \hat C(j) \cap G \\ G(j) \cap \hat C(\bar\jmath) = \hat C(\bar\jmath) \cap P \end{cases} donc les G(j) (j \in J) se reconstituent à partir de \hat\alpha et des ensembles G, P.

On aura, pour x \in C \setminus C_0 \begin{array}{lll} x \in G & \Longleftrightarrow \exists\, y \in R(x) \text{ tel que } y \in P & \text{i.e. } R(x) \cap P \neq \emptyset \\ x \in P & \Longleftrightarrow \forall\, y \in R(x), \text{ on a } y \in G & \text{i.e. } R(x) \subset G \end{array} i.e. \begin{array}{l} G \cap (C \setminus C_0) = \{ x \in C \setminus C_0 \mid R(x) \cap P \neq \emptyset \} \\ P \cap (C \setminus C_0) = \{ x \in C \setminus C_0 \mid R(x) \subset G \} \end{array}

Proposition Soit (C, R, J, \hat\alpha, G_0 : J \to \mathfrak{P}(C_0)) un jeu de positions à deux joueurs jouant alternativement, G \subset C et P \subset C, l'ens. des positions gagnantes resp. perdantes. Soient \widetilde G, \widetilde P deux parties de C ayant les propriétés suivantes

\forall x \in \widetilde G, \exists\, y \in R(x) tel que y \in \widetilde P \forall x \in \widetilde P, \forall y \in R(x), on a y \in \widetilde G \forall x \in \widetilde G \cap C_0, on a x \in G_0(\hat\alpha(x)) \forall x \in \widetilde P \cap C_0, on a x \in G_0(\bar{\hat\alpha}(x))

Alors, si dans C il n'existe pas de partie infinie, on a \widetilde G \subset G, \qquad \widetilde P \subset P Si de plus on suppose ~~disjointes des deux parties G_0(j) (j \in J)~~ que \widetilde G et \widetilde P sont complémentaires l'un de l'autre, et G_0(j) \cap G_0(\bar\jmath) = \emptyset (donc G \cap P = \emptyset) alors on a \widetilde G = G, \widetilde P = P (et par suite G \cup P = C donc G_0(j) \cup G_0(j') = C_0)

Cor Soit (C, \dots) un jeu alterné tel que a) Pas de partie infinie b) C_0 réunion disjointe de G_0(j) et G_0(\bar\jmath). Soient \widetilde G, \widetilde P deux parties de C. Pour que \widetilde G = G, \widetilde P = P, il faut et il suffit que \widetilde G et \widetilde P soient complémentaires l'une de l'autre, et satisfont aux conditions 1) à 4) ci-dessus.

Exponentielles (en car. 0)

le titre est de sa main, en tête de la page 35.

I) Généralités

\mathbb{A} \mathbb{Q}-algèbre (ass. avec 1)

N(\mathbb{A}) ens. des él. nilp. de \mathbb{A}. On a donc 1 + N(\mathbb{A}) \subset \mathbb{A}^{*} (ens. des él. inv. de \mathbb{A}) N(\mathbb{A}) \xrightarrow{\;\exp\;} 1 + N(\mathbb{A}) \qquad \exp x = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}

Th 1 1) \exp est bijective. L'application inverse est donnée par \log(1+y) = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n+1} \frac{y^n}{n} \qquad (y \in N(\mathbb{A})) 2) Si x, y \in N(\mathbb{A}) commutent, alors x + y \in N(\mathbb{A}) et \exp(x+y) = \exp x \, \exp y \qquad \text{NB } \exp 0 = 1 Si u, v \in 1 + N(\mathbb{A}) commutent, alors uv \in 1 + N(\mathbb{A}), et \log(uv) = \log u + \log v \qquad \text{NB } \exp 1 = 0 sic : « \exp 1 = 0 » ; on attend \log 1 = 0.

3) Soit L \subset \mathbb{A} un sous-\mathbb{Q}-espace vectoriel tel que x \in L, n \in \mathbb{N}^{*} implique x^n \in L, ~~Alors~~ et L formé d'éléments nilpotents. Alors x \mapsto \exp x : L \xrightarrow{\;\sim\;} 1 + L

Remarques Soit L \subset \mathbb{A} un sous-\mathbb{Q}-espace vectoriel de A ~~les conditions de 3), supposons que~~ tel que L \subset N(A), et tel que x, y \in L \Rightarrow xy \in L. Alors L \xrightarrow{\sim} 1 + L par 3°, et de plus 1 + L est un sous-groupe de \mathbb{A}^{*}. D'où par transport de str. une str. de groupe sur L. Elle est commutative si ssi L est commutatif, i.e. si x, y \in L \Rightarrow xy = yx — et dans ce cas cette structure est l'addition de L. réciproque ?

Exemple 1 Soient K une \mathbb{Q}-alg. commut. , \mathbb{A} une K-algèbre (ass. avec 1), J un idéal nil de K. Alors J\mathbb{A} satisfait les conditions de la Remarque, et on a donc J\mathbb{A} \longrightarrow 1 + J\mathbb{A} \alpha : \mathbb{A} \to \mathbb{A}_0 can. Alors ~~J\mathbb{A} =~~

NB Soient K_0 = K/J, \mathbb{A}_0 = \mathbb{A}/J\mathbb{A} = \mathbb{A} \otimes_K K_0, J\mathbb{A} = \{ x \in \mathbb{A} \mid \alpha(x) = 0 \}, \qquad 1 + J\mathbb{A} = \{ x \in \mathbb{A} \mid \alpha(x) = 1 \} mais avec J nilpotent,

Exemple 2 K, J comme dans Exemple 1, M un K-module, M_0 = M \otimes_K K_0 = M/JM, \alpha_M : M \to M_0 appl. can. ; \mathcal{U} = \operatorname{End}_K(M), posons, alors L = \{ u \in \mathcal{U} = \operatorname{End}_K(M) \mid u \otimes_K K_0 = 0 \} = \{ u \mid u(M) \subset JM \} 1 + L = \{ u \in \mathcal{U} = \operatorname{End}_K(M) \mid u \otimes_K K_0 = \mathrm{id}_{M_0} \}. ~~Ceci posé~~ Ceci posé, les conditions de la remarque sont satisfaites donc on a \exp : L \xrightarrow{\;\sim\;} 1 + L

II) Groupes à un paramètre formels

K \mathbb{Q}-algèbre comm. unifère.

\overline{\mathbb{G}}_{a,K} droite formelle sur K (\overline{\mathbb{G}}_{a,K} \subset \mathbb{G}_{a,K}) : \overline{\mathbb{G}}_{a}(K') = N(K') \subset K' \qquad (K' \ K\text{-alg.\ comm.} \dots)

1) Soit \mathcal{U} K-algèbre, \mathrm{Un}(\mathcal{U}) le foncteur-groupes K' \mapsto (\mathcal{U}_{K'})^{*} \qquad \mathrm{Alg}_{/K} \to \mathrm{Gr} On va définir les homomorphismes de groupes \begin{array}{l} \overline{\mathbb{G}}_{a,K} \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) \\ \mathbb{G}_{a,K} \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) \end{array} Soit x \in \mathcal{U}, on lui associe \bar e_x : \overline{\mathbb{G}}_{a,K} \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) par \bar e_x(\lambda) = \exp(\lambda x) i.e. si \lambda \in \overline{\mathbb{G}}_{a,K}(K') = N(K'), \bar e_x(\lambda) = \exp(\lambda x_{K'}) (cf. Ex. 1). On a bien \bar e_x(\lambda + \lambda') = \bar e_x(\lambda)\, \bar e_x(\lambda') (Th. 1, 2°). Donc \bar e_x \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U})) D'où une application (*) \qquad x \mapsto \bar e_x : \mathcal{U} \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U})) Si x \in N(\mathcal{U}), alors on définit de même \begin{cases} e_x : \mathbb{G}_{a,K} \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) \\ e_x(\lambda) = \exp(\lambda x) \end{cases} et on a encore e_x \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U})) d'où (**) \qquad x \mapsto e_x : N(\mathcal{U}) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U}))

NB a) \bar e_x est la restriction de e_x à \overline{\mathbb{G}}_{a,K}. b) Si x, y commutent, alors \bar e_x, \bar e_y (resp. e_x, e_y) commutent, et \bar e_{x+y} = \bar e_x \cdot \bar e_y (resp. e_{x+y} = e_x \cdot e_y).

Th. 2 (*) et (**) sont bijectives. [NB si \mathcal{U} est commutatif alors ce sont des hom. de groupes]

e_x(\lambda) = \sum \frac{x^n}{n!} \lambda^n d'où e_x = e_y \Longleftrightarrow \frac{x^n}{n!} = \frac{y^n}{n!} \ \ \forall n \in \mathbb{N} \Longleftrightarrow x = y donc x \mapsto e_x injectif N(\mathcal{U}) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U})). On voit de même que x \mapsto \bar e_x \mathcal{U} \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U})) est injectif. ( mult.)

Un hom. quelconque \bar\varphi : \overline{\mathbb{G}}_a \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) \subset W(\mathcal{U}) est donné par \bar\varphi(\lambda) = \sum_{n \geq 0} a_n \lambda^n \qquad a_n \in \mathcal{U} La condition \bar\varphi(0) = 1 signifie a_0 = 1. Écrivons \bar\varphi(\lambda + \mu) = \bar\varphi(\lambda)\, \bar\varphi(\mu) i.e. \begin{array}{ccc} \sum a_n (\lambda + \mu)^n & = & \sum a_i \lambda^i \sum a_j \mu^j \\ \| & & \| \\ \sum_{i,j} a_{i+j} \frac{(i+j)!}{i!\,j!} \lambda^i \mu^j & & \sum a_i a_j \lambda^i \mu^j \end{array} on trouve les conditions \forall n \in \mathbb{N}, i, j \in \mathbb{N} tels que i + j = n \frac{(i+j)!}{i!\,j!}\, a_n = a_i a_j au-dessus, une première écriture barrée : a_n (= a_i a_j). Donc, faisant i = 1, j = n - 1 n a_n = a_1 a_{n-1} \quad \text{i.e.} \quad a_n = \tfrac{1}{n} a_1 (a_{n-1}) d'où par récurrence sur n a_n = \frac{1}{n!} x^n \qquad x = a_1 (Condition aussi suffisante …). Donc \bar\varphi = \bar e_x.

Soit \varphi : \mathbb{G}_{a,K} \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) \subset W(\mathcal{U}), on a encore \varphi(\lambda) = \sum a_n \lambda^n \qquad a_n \in \mathcal{U}, \text{ les } a_n \text{ nuls sauf un nb fini} Utilisant \bar\varphi = \varphi \mid \overline{\mathbb{G}}_a, on trouve a_n = \frac{x^n}{n!}. Comme a_n = 0 pour n grand, on trouve x nilpotent, cqfd.

2) Soit M un K-module, \mathbf{Aut}_K(M) [\subset \mathbf{End}_K(M)] le foncteur en groupes K' \mapsto \mathrm{Aut}_{K'}(M_{K'}) sur \mathrm{Alg}_{/K}. On cherche les hom. de groupes \begin{array}{l} \mathbb{G}_a \xrightarrow{\;\varphi\;} \mathbf{Aut}_K(M) \\ \overline{\mathbb{G}}_a \xrightarrow{\;\bar\varphi\;} \mathbf{Aut}_K(M) \end{array} On trouve comme dans 1) \begin{array}{ll} (*) & u \mapsto \bar e_u : \mathrm{End}_K(M) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}, \mathbf{Aut}_K(M)) \\ (**) & u \mapsto e_u : N(\mathrm{End}_K(M)) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_{a,K}, \mathbf{Aut}_K(M)) \end{array} \begin{array}{ll} \bar e_u(\lambda) = \exp(\lambda u) = \sum_{n \geq 0} \frac{u^n_{K'}}{n!} \lambda^n & \lambda \in \overline{\mathbb{G}}_a(K') = N(K') \\ e_u(\lambda) = \text{— — —} & (\lambda \in \mathbb{G}_a(K') = K') \end{array} On trouve encore que (*) et (**) sont des bij.

(NB Si M est projectif de type fini, il suffirait d'appliquer le cas précédent à \mathcal{U} = \mathrm{End}_K(M))

On utilise le fait que les morphismes de foncteurs \bar\varphi : \overline{\mathbb{G}}_{a,K} \to \mathbf{End}_K(M) (pas nec. multiplicatif) est donné de façon unique par \bar\varphi(\lambda) = \sum_{n \geq 0} u_n \lambda^n \qquad u_n \in \mathrm{End}_K(M), et les morphismes de foncteurs \varphi : \mathbb{G}_{a,K} \to \mathbf{End}_K(M) par \varphi(\lambda) = \sum_{n \geq 0} u_n \lambda^n \qquad u_n \in \mathrm{End}_K(M) \text{ nuls sauf un nb fini.} Ceci posé, ~~le calcul~~ on constate que la condition néc. pour que \bar\varphi (resp. \varphi) soit un hom. de groupes, c'est qu'on ait u_n = \frac{1}{n!}(u_1)^n …

Prop Soient M, N deux K-modules, u (v) un endom. de M (N), f : M \to N un K-hom. Considérons M, N comme \overline{\mathbb{G}}_{a,K}-modules par \lambda \in \overline{\mathbb{G}}_{a,K}(K') opérant par \exp(\lambda u) resp. \exp(\lambda v). Pour que f soit un \overline{\mathbb{G}}_{a,K}-morphisme, il faut et suffit que l'on ait vf = fu i.e. vf - fu = 0.

Cor Si u, v sont nilpotents, c'est aussi la cond. néc. et suff. pour que f soit un \mathbb{G}_a-morphisme.

Dém Il faut écrire \sum_{n \geq 0} \lambda^n \frac{v^n}{n!} f = \sum_{n \geq 0} \lambda^n f \frac{u^n}{n!} identiquement en \lambda nilp. i.e. \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n!} (v^n f - f u^n) \lambda^n = 0 identiquement en \lambda nilp., ce qui équivaut à : v^n f - f u^n = 0 \qquad \forall n \geq 1 Pour n = 1, c'est la commutation vf = fu, qui implique par récurrence v^n f = f u^n (\forall n \geq 1).

Proposition Soient u \in N(\mathrm{End}_K(M)), v \in N(\mathrm{End}_K(N)), f \in \mathrm{Hom}_K(M, N). Conditions équivalentes :

f est un \overline{\mathbb{G}}_{a,K}-hom. (pour \overline{\mathbb{G}}_a opérant sur M, N par \bar e_u et \bar e_v) f est un \mathbb{G}_{a,K}-hom. (…) fu = vf i.e. \delta \overset{\text{déf}}{=} vf - fu = 0 f \circ \exp(u) = \exp(v) \circ f

Dém On a déjà vu l'équivalence de (1) à (3), et cela implique 4 (i.e. e_v(1) f = f e_u(1)). Prouvons (4) \to (3). Or (4) s'écrit \underbrace{(\exp v) \circ f - f \circ \exp u}_{\displaystyle \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n!} \underbrace{(v^n f - f u^n)}_{\delta_n \ (\text{déf})}} = 0 Or on a (réc. sur n) \delta_n = v^{n-1} \delta + v^{n-2} \delta u + \dots + v \delta u^{n-2} + \delta u^{n-1} donc (4) signifie \delta + \frac{1}{2}(v \delta + \delta u) + \frac{1}{3!}(v^2 \delta + v \delta u + \delta u^2) + \dots = 0 \qquad (\text{somme finie}) On peut l'écrire \delta = \sum_{i+j \geq 1} c_{ij}\, v^i \delta u^j \qquad \Bigl(c_{ij} \in K,\ c_{ij} = \frac{1}{(i+j)!}\Bigr) tel qu'écrit ; l'équation qui précède donne c_{ij} = -\frac{1}{(i+j+1)!}. Seule compte ici l'existence des c_{ij} \in K. Or soit \mathcal{U} = \mathrm{End}_K(M) \Theta, \Theta' : \mathcal{U} \to \mathcal{U} \qquad K\text{-endom.} \Theta(x) = vx, \qquad \Theta'(x) = xu Donc \Theta, \Theta' sont nilpotents (v, u l'étant) et commutent, et on a \delta = \sum_{i+j \geq 1} c_{ij}\, \Theta^i \Theta'^j \delta = \rho \delta \rho = \sum_{i+j \geq 1} c_{ij}\, \Theta^i \Theta'^j \in \mathrm{End}_K(\mathcal{U}) où \rho est nilpotent (\Theta, \Theta' l'étant et commutant). Or \delta = \rho \delta implique par récurrence la phrase se poursuit au lot suivant.