Cote n° 68, pages 21–40

Cote n° 68 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Jeux de position : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978-à partir de 1983]
Édition de démonstration

21la page continue un développement commencé au lot précédent (pp. 19-20, « Couples prétassés », « Couples tassés ») : \(\mathbb{R}[G]^{+}\), produit de convolution \(*\), relations \(f' \prec f\) et \(f' \sim f\), ensembles \(E_\alpha(f)\). Les conditions a) à c) sont à la page 20.

si (K) les conditions d) et si les couples \(\in S \times S\) sont prétassés \(\downarrow\) id.

d) \(\forall A, B \in \mathfrak{P}_f(G) \cap S\), \(A' \sim A\), \(B' \sim B\), on a \[ A' * B' \prec A * B \] i.e. \((A, B)\) tassé.

e) \(\forall A, B, C \in \mathfrak{P}_f(G) \cap S\), \(A' \sim A\), \(B' \sim B\), \(C' \sim C\), on a \[ \| A' * B' * C' \|_\infty \leq \| A * B * C \|_\infty \]

Supposons Conclut : Si l'on a \(S\), avec \(S\) stable par translation, \(S_0 = S \cap \mathfrak{P}_f(G)\), avec \(S_0 \neq \emptyset\). Soit \(f \in S\). Alors

a)\(\exists\, t \in G\), \(f = \varepsilon_t * f\) tel qu'écrit ; l'accent sur l'un des deux \(f\) n'est pas visible. Le crochet qui suit et la p. 19 (« \(\check f = \varepsilon_s * f\) ») font attendre \(\check f = \varepsilon_t * f\). [\((f, f)\) prétassé] dans ce crochet et dans celui de b), « pré » est écrit en interligne au-dessus de « tassé » : il avait d'abord écrit « tassé ».
b)[…] \(E_\alpha(f) \in S_0\) [\((f, A)\) prétassé pour \(A \in S_0\)]

Inversement, soit \(f \in \mathbb{R}[G]^{+}\) Soit \(S\) \[ \widetilde{S} = \{ f \in \mathbb{R}(G)^{+} \mid \text{a), \ill{} b)} \} \] \(f \in \widetilde S\) i.e. \[ \begin{cases} f = \sum_I \alpha_i A_i, & \alpha_i > 0,\quad A_i \in S_0 \quad (A_i) \text{ tot.\ ord.} \\ \exists\, s \in G, & A_i = \varepsilon_s * \check{A}_i \quad \forall i \end{cases} \] Soit de même \[ \begin{cases} g = \sum_J \beta_j B_j, & \beta_j > 0,\quad B_j \in S_0 \quad (B_j) \text{ tot.\ ord.} \\ t \in G, & B_j = \varepsilon_t * \check{B}_j \end{cases} \] On a \[ f * g = \sum_{(i,j) \in I \times J} \alpha_i \beta_j \, A_i * B_j \] Supposons que \(\exists\, (G_n)\) On a \(A_i * B_j \in S\), donc […] \[ E_*(A_i * B_j) \subset S_0 \] Supposons \(\bigcup E_\alpha(A_i * B_j)\) tot. ordonné ; on veut \[ \bigcap_{C \in \bigcup E_\alpha(A_i * B_j)} C \neq \emptyset \] isolé au pied de la page, sans lien apparent avec ce qui précède : \[ 0 \to {}_2 G \to G \xrightarrow{\;2\;} G \]

Jeux de position

le titre est de sa main, en tête de la page 23.

23a) \(C\) ensemble des “configurations” ou “positions”

b) \(R \subset C \times C\), interprété comme \(x \mapsto R(x)\), \(C \to \mathfrak{P}(C)\), il écrit ici un \(R\) rond ; les pages suivantes ont un \(R\) droit, que l'on garde partout. d'où \[ C_0 = \{ x \in C \mid R(x) = \emptyset \} \subset C \qquad (\text{conf.\ \textit{terminales}}) \]

c) \(J\) ensemble des “joueurs”

d) \(C \setminus C_0 \xrightarrow{\;\alpha\;} J\). On dit que (si \(x \in C \setminus C_0\)) \(j = \alpha(x)\) est le joueur qui a l'initiative dans la position \(x\). \[ \left. \begin{array}{l} C(j) = \{ x \in C \setminus C_0 \mid \alpha(x) = j \} \\ \overline{C}(j) = (C \setminus C_0) \setminus C(j) \end{array} \right\} \]

e) \(J \to \mathfrak{P}(C_0)\), \(j \mapsto G_0(j)\) (ens. des positions terminales gagnantes pour \(j\))

ne dépend que de \(C\), \(R\) Partie \((x_0, x_1, \dots, x_n, \dots)\) suite finie ou infinie de positions, telles que pour deux termes consécutifs \(x_i, x_{i+1}\), on ait \[ x_{i+1} \in R(x_i) \] Prolongement des parties — parties non prolongeables ou “terminées” : ce sont les parties qui sont soit infinies, soit finies, avec comme [la] position finale \(x_n \in C_0\). Composition des parties (Associatif et […] — […] aux “catégorie des positions” …)

ne dépend que de \(C\), \(R\) et \(G_0(j) \subset C_0\) Parties gagnées pour \(j\) : partie finie (non prolongeable) dont la position finale finale \(x_n\) est \(\in G_0(j)\).

NB Si \(XY\) est gagnée par \(j\), \(\Leftrightarrow\) \(Y\) est gagnée par \(j\).

Stratégie \(\Sigma\) pour \(j\) (ou \(j\)-stratégie) : (Application \(\Sigma : C(j) \to \mathfrak{P}(C)\) telle que \(\forall x \in C(j)\), on ait

24\[ \Sigma(x) \subset R(x), \qquad \Sigma(x) \neq \emptyset . \] Cette notion ne dépend que de \(C\), \(R\), \(C(j) \subset C \setminus C_0\).

NB On pose \(\Sigma(x) = R(x)\) si \(x \in \overline{C}(j)\). Donc on peut […] interpréter \(\Sigma\) comme une application \(C \setminus C_0 \to \mathfrak{P}^{*}(C)\), avec \(\Sigma(x) \subset R(x)\) et \(\Sigma(x) \neq \emptyset\) \(\forall x \in C \setminus C_0\), et \(\Sigma(x) = R(x)\) si \(x \in \overline{C}(j)\).

Partie jouée en accord avec une stratégie \(\Sigma\) (ou compatible avec \(\Sigma\), ou \(\Sigma\)-partie) : cette notion est stable par composition. (On a une sous-catégorie comp. à ci-dessus, mais a priori moins de flèches)

Lemme Soit \(\Sigma\) \(J' \subset J\), \(\forall j \in J'\) soit \(\Sigma_j\) une \(j\)-stratégie. Soit \(x_0 \in C\). Alors \(\exists\) partie maximale d'origine \(x_0\), compatible avec les \(\Sigma_j\) (\(j \in J'\)).

ne dépend que de \(C\), \(R\), \(C(j)\), \(G_0(j)\) Stratégie \(\Sigma\) (pour \(j\)) gagnante pour \(x_0 \in C\) (ou position \(x_0\) gagnante pour une \(j\)-stratégie \(\Sigma\)) : toute partie maximale commençant en \(x_0\), et jouée suivant \(\Sigma\), est gagnée par \(j\) (i.e. est finie, et son extrémité \(x_n \in C_0\) est \(\in G_0(j)\)).

Position \(x_0 \in C\) gagnante pour \(j\) : telle qu'il existe une \(j\)-stratégie qui soit gagnante pour \(x_0\). Soit \[ G(j) \] l'ens. de ces positions. On a \[ G(j) \cap C_0 = G_0(j) \]

[Proposition Soit \(J' \subset J\). Si \(\bigcap_{j \in J'} G(j) \neq \emptyset\), alors \(\bigcap_{j \in J'} G_0(j) \neq \emptyset\). En d'autres termes, si \(\bigcap_{j \in J'} G_0(j) = \emptyset\), alors \(\bigcap_{j \in J'} G(j) = \emptyset\) i.e. une \(x_0 \in C\) ne peut être gagnante pour tous les \(j \in J'\).

Immédiat par le Lemme.]

25Proposition Soient \(\Sigma\) une \(j\)-stratégie, \(x_0 \in C\) supposons gagnante pour \(\Sigma\), \(X = (x_0, x_1, \dots, x_n, \dots)\) une partie (d'origine \(x_0\)) jouée suivant \(\Sigma\), alors toutes les positions \(x_i\) sont gagnantes pour \(\Sigma\).

Soit en effet \(Y = (y_0 = x_i, y_1, \dots, y_m, \dots)\) une partie maximale jouée suivant \(\Sigma\), alors \(XY\) est jouée suivant \(\Sigma\) et est d'origine \(x_0\) gagnante pour \(\Sigma\), donc est gagnée par partie finie, telle \(Y\) a finie donc \(Y\) est gagnée par \(j\). les deux ratures de cette phrase se chevauchent ; la lecture des mots barrés est incertaine.

Th On a […] \[ \begin{array}{ll} \text{a)} & G(j) \cap C(j) = \{ x_0 \in C(j) \mid R(x_0) \cap G(j) \neq \emptyset \} \\ \text{b)} & G(j) \cap \overline{C}(j) = \{ x_0 \in \overline{C}(j) \mid R(x_0) \subset G(j) \} \end{array} \] [et pour mémoire \[ G(j) \cap C_0 = G_0(j) \quad ]. \]

Dém a) On suppose \(x_0 \in C(j)\).

1) \(\subset\) Soit \(x_0 \in G(j)\) […], soit \(\Sigma\) une stratégie pour \(j\) gagnante pour \(x_0\), considérons \(x_1 \in \Sigma(x_0)\), alors \((x_0, x_1)\) est une \(\Sigma\)-partie, donc par la prop. précédente, \(x_1\) est gagnante pour \(\Sigma\), donc gagnante, donc \(x_1 \in R(x_0) \cap G(j)\), donc \(R(x_0) \cap G(j) \neq \emptyset\).

2) \(\supset\) Soit \(x_1 \in R(x_0) \cap G(j)\). Prouvons que \(x_0 \in G(j)\). Considérons Soit \(\Sigma_1\) une \(j\)-stratégie \(x_1\)-gagnante. Si \(x_0\) est gagnante pour \(\Sigma_1\), on a \(x_0 \in G(j)\), OK. Sinon, définissons une \(j\)-stratégie \(\Sigma_0\) \(x_0\)-gagnante ainsi : \[ \begin{array}{l} \Sigma_0(x_0) = \{ x_1 \} \\ \Sigma_0(x) = \Sigma_1(x) \quad \text{si } x \neq x_0 \end{array} \]

26C'est une \(j\)-stratégie, prouvons Prouvons qu'elle est gagnante pour \(x_0\). Une partie maximale jouée suivant \(\Sigma_0\) commençant avec \((x_0, x_1)\), soit \((x_0, x_1, \dots, x_n, \dots)\) les \(x_i\) (\(i \geq 1\)) sont gagnants pour \(\Sigma_1\) prouvons qu'elle est gagnée par \(j\). Prouvons que tous que les \(x_i\) (\(i \geq 1\)) sont \(\neq x_0\). Sinon, si \(i\) est le soit le plus petit indice \(i \geq 1\) tel que \(x_i = x_0\), pour un \(i \geq 1\), alors par la prop. impliquerait [\((x_1, \dots, x_i = x_0)\) serait compatible avec \(\Sigma_1\)], on trouverait que \(x_i = x_0\) est gagnant pour \(\Sigma_1\), contrairement à l'hypothèse que \(x_0\) non gagnant pour \(\Sigma_1\).

Comme les \(x_i\) (\(i \geq 1\)) sont \(\neq x_0\), la partie \((x_1, x_2, \dots)\) est une \(\Sigma_1\)-partie, donc elle est gagnée par \(j\), donc \((x_0, x_1, \dots)\) aussi, cqfd.

b) On suppose \(x_0 \in \overline{C}(j)\).

1) \(\subset\). Supposons \(x_0 \in G(j)\), prouvons \(R(x_0) \subset G(j)\). Soit \(x_1 \in R(x_0)\), prouvons \(x_1 \in G(j)\). En effet, [si \(\Sigma_0\) est une \(j\)-stratégie \(x_0\)-gagnante,] \((x_0, x_1)\) est une \(\Sigma_0\)-partie, donc par la prop., \(x_1\) est gagnante pour \(\Sigma_0\), donc \(x_1 \in G(j)\).

2) \(\supset\). Supposons \(R(x_0) \subset G(j)\), prouvons \(x_0 \in G(j)\). \(\forall x_1 \in R(x_0)\), soit \(\Sigma_{x_1}\) une \(j\)-stratégie \(x_1\)-gagnante. Choisissons un bon ordre sur \(R(x_0)\). On va définir une \(j\)-stratégie \(\Sigma\) \(x_0\)-gagnante ainsi.

\(\forall x \in C\), soit \[ E(x) = \{ x_1 \in R(x_0) \mid \exists\ \Sigma_{x_1}\text{-partie de } x_1 \text{ à } x \} \] l'indice du point de départ, dans « de \(x_1\) à \(x\) », est surchargé ; \(x_1\) est la lecture que demande la suite.

27Soit \[ C' = \{ x \in C \mid E(x) \neq \emptyset \} \] et pour \(x \in C'\), posons \[ \varepsilon(x) = \text{plus petit élément de } E(x) \] (donc \(\varepsilon : C' \to R(x_0)\)). Posons \[ \Sigma_0(x) = \begin{cases} R(x) & \text{si } x \in \overline{C}(j) \cup \complement C' \\ \Sigma_{\varepsilon(x)}(x) & \text{si } x \in C(j) \cap C' \end{cases} \] Donc \(\Sigma_0\) est une \(j\)-stratégie. On va prouver qu'elle est gagnante pour \(x_0\).

Lemme Soit \(x \in C'\) Si \(x \in C'\), \(x\) est gagnant pour \(\Sigma_{\varepsilon(x)}\) (donc gagnant pour \(j\) — donc \(C' \subset G(j)\)) et \(C' \subset G(j)\), et si \(x \in C'\), \(y \in \Sigma_0(x)\), alors \(\Sigma_0(x) \subset C'\) et pour tout \(y \in \Sigma_0(x)\), on a \[ E(y) \ni \varepsilon(x) \] (donc \(E(y) \neq \emptyset\), donc \(y \in C'\), donc \(\Sigma_0(x) \subset C'\) \([\subset G(j)]\)) et par suite \[ \varepsilon(y) \leq \varepsilon(x). \]

Dém. Soit \(x \in C'\) donc \(E(x) \neq \emptyset\), alors si \(x_1 \in E(x)\), \(\exists\) partie \(\Sigma_{x_1}\)-partie de \(x_1\) à \(x\), donc par la prop. (comme \(\Sigma_{x_1}\) est \(x_1\)-gagnante), \(x\) est \(\Sigma_{x_1}\)-gagnante, donc a fortiori \(x \in G(j)\).

Soit \(y \in \Sigma_0(x) = \Sigma_{\varepsilon(x)}(x)\) ; \((x_1, x_2, \dots, x_n = x, x_{n+1} = y)\), où \(x_1 = \varepsilon(x)\), est une \(\Sigma_{\varepsilon(x)}\)-partie, donc […] \(\varepsilon(x) \in E(y)\), OK.

Prouvons que \(\Sigma_0\) est gagnante pour \(x_0\). Soit une partie maximale commençant par \(x_0\)

28et comp. avec \(\Sigma_0\) \[ (x_0, x_1, x_2, \dots) \] Par le lemme, il vient de proche en proche cette partie est (puisque \(x_1 \in C'\)) que \(x_1 \in G(j)\), les \(x_i\) (\(i \geq 1\)) sont \(\in C'\) […], donc \(j\)-gagnants. Pour montrer que la partie est gagnée par \(j\), il suffit de prouver qu'elle est finie. Or Supposons le contraire. Les \(\varepsilon(x_i)\) (\(i \geq 1\)) forment une suite décroissante d'éléments de \(R(x_0)\), donc stationnaire. Soit \(n\) tel que \(\varepsilon(x_m) = \varepsilon(x_n)\) \((= \xi)\) pour \(m \geq n\). Alors par définition de \(\Sigma_0\), la partie \((x_n, x_{n+1}, \dots)\) est une partie comp. avec \(\Sigma_\xi\). Comme \(x_n\) est gagnant pour \(\Sigma_\xi\) (par le lemme), cette partie est finie, absurde.

Stratégie contre \(j\) (stratégie relative à : \(\overline{C}(j)\)), i.e. \(\Sigma'\) telle que \(\Sigma'(x) = R(x)\) si \(x \in C(j)\) (et \(\Sigma'(x) \subset R(x)\), \(\Sigma'(x) \neq \emptyset\) si \(x \in \overline{C}(j)\)). Admissible pour \(x_0\) (toute partie maximale d'origine \(x_0\) jouée suivant \(x_0\) sic ; on attend « suivant \(\Sigma'\) ». est non gagnée par \(j\), i.e. est ou bien infinie, ou bien a une position terminale \(\notin G_0(j)\)).

Corollaire Théorème Soit \(\Sigma'\) la stratégie contre \(j\) définie par

29\[ \Sigma'(x) = \begin{cases} R(x) & \text{si } x \in C(j) \cup G(j) \\ R(x) \cap \complement G(j) & \text{si } x \in \overline{C}(j) \cap \complement G(j) \end{cases} \] (C'est une stratégie contre \(j\), par [b) \(\supset\)]). Alors pour \(x \in C\), les conditions suivantes sont équivalentes

a)\(x_0 \notin G(j)\)
b)\(x_0\) est admissible contre \(j\)
c)\(x_0\) est admissible pour \(\Sigma'\) contre \(j\).

Dém c) \(\Rightarrow\) b) trivial, b) \(\Rightarrow\) a) par le Lemme. Prouvons a) \(\Rightarrow\) c). Si […] une partie \((x_0, x_1, \dots)\) d'origine \(x_0\) jouée en accord avec \(\Sigma'\), alors par définition de \(\Sigma'\), on voit de proche en proche que \(x_i \in \complement G(j)\) \(\forall i\), donc la partie ne peut être gagnée par \(j\) !

Corollaire Supposons \(J = \{ j, j' \}\), \(j \neq j'\), et \[ G_0(j) \cap G_0(j') = \emptyset . \] Soit […] \[ N = \{ x \in C \mid x \text{ admissible contre } j, \text{ et contre } j' \}. \] Alors \(C\) est réunion disjointe de \(G(j)\), \(G(j')\) et \(N\).

30Supposons NB \(G(j)\), \(G(j')\) et \(N(j)\) sont connus quand on connaît (en plus des parties \(G_0(j)\) et \(G_0(j')\) de \(C_0\)) les ensembles \[ \begin{cases} G^{*} = \{ x \in C \setminus C_0 \mid x \in G(\alpha(x)) \} \\ P^{*} = \{ x \in C \setminus C_0 \mid x \in G(\bar\alpha(x)) \} \end{cases} \] où \(\bar\alpha(x)\) désigne l'unique \(j' \in J\) tel que \(j' \neq j = \alpha(x)\).

On dit qu'une position \(x \in C \setminus C_0\) qui est \(\in G^{*}\) (resp. \(\in P^{*}\)), i.e. telles gagnante pour le joueur qui a l'initiative (resp. pour le joueur qui n'a pas l'initiative) est gagnante (resp. perdante) ; on dit que c'est une position nulle autrement si elle n'est ni gagnante, ni perdante, et on pose \[ N^{*} = (C \setminus C_0) \setminus (G^{*} \cup P^{*}) = N \cap (C \setminus C_0) \] (où \(N\) est défini dans le corollaire ci-dessus).

On aura \[ \begin{cases} G(j) \cap C(j) = G^{*} \cap C(j) \\ G(j) \cap \overline{C}(j) = G(j) \cap C(j') = P^{*} \cap C(j') \\ G(j) \cap C_0 = G_0(j) \end{cases} \] ce qui montre que les \(G(j)\) (\(j \in J\)) se reconstituent par la connaissance de \(G^{*}\), \(P^{*}\) et des \(G_0(j)\) (\(j \in J\)).

Supposons qu'on ait une application \[ \hat\alpha : C \to J \] prolongeant \(\alpha\), et qu'on ait, pour tout \(x \in C\) et \(y \in R(x)\) \[ \hat\alpha(y) \neq \hat\alpha(x) \]

31On dit alors que le jeu de de position à deux joueurs est un jeu alterné (les deux joueurs jouent alternativement). Pour qu'une application \(\hat\alpha\) existe prolongeant \(\alpha\) et ayant les propriétés précédentes, il faut et suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites

\(\forall x, y \in C\), tels que \(y \in R(x)\), \(y \notin C_0\), on a \(\alpha(y) \neq \alpha(x)\)
\(\forall y \in C_0\), soit \(T(y) = \{ x \in C \mid y \in R(x) \} \subset C \setminus C_0\), alors \(\alpha \mid T(y)\) est constante.

Sous les conditions de 2), on aura donc nécessairement, si \(T(y) \neq \emptyset\) et \(\alpha(T(y)) = \{ j \}\), \(\hat\alpha(y) = j'\), où \(j'\) est l'élément de \(J\) qui est \(\neq j\). Cela montre que \(\hat\alpha\) est bien déterminé sur l'ens. des \(y \in C_0\) tels que \(T(y) \neq \emptyset\), donc aussi sur l'ens. des positions non isolées (une position \(y\) est dite isolée si elle n'a pas de position antécédente ni suivante, i.e. s'il n'existe pas de \(x \in C\) tel qu'on ait \(y \in R(x)\) ou \(x \in R(y)\)). On peut attribuer à \(\hat\alpha\) des valeurs arbitraires sur les positions isolées.

Quand on a défini un \(\hat\alpha\), on peut définir \[ \begin{array}{l} G = \{ x \in C \mid x \in G(\hat\alpha(x)) \} \\ P = \{ x \in C \mid x \in G(\bar{\hat\alpha}(x)) \} \end{array} \] et on […] aura

32\[ \begin{cases} G \cap (C \setminus C_0) = G^{*} \\ P \cap (C \setminus C_0) = P^{*} \\ C \setminus (G \cup P) = N \end{cases} \] (positions nulles, i.e. gagnantes pour aucun des deux joueurs)

Les positions \(x\) seront encore dites gagnantes (resp. perdantes) si \(x \in G\) (resp. \(x \in P\)) — cette terminologie coïncide avec la précédente si \(x \notin C_0\). On aura, posant […] \[ \hat C(j) = \{ x \in C \mid \hat\alpha(x) = j \} \] (de sorte que \(C\) apparaît comme réunion disjointe des deux ens. \(\hat C(j)\), \(j \in J\)), \[ \begin{cases} G(j) \cap \hat C(j) = \hat C(j) \cap G \\ G(j) \cap \hat C(\bar\jmath) = \hat C(\bar\jmath) \cap P \end{cases} \] donc les \(G(j)\) (\(j \in J\)) se reconstituent à partir de \(\hat\alpha\) et des ensembles \(G\), \(P\).

On aura, pour \(x \in C \setminus C_0\) \[ \begin{array}{lll} x \in G & \Longleftrightarrow \exists\, y \in R(x) \text{ tel que } y \in P & \text{i.e. } R(x) \cap P \neq \emptyset \\ x \in P & \Longleftrightarrow \forall\, y \in R(x), \text{ on a } y \in G & \text{i.e. } R(x) \subset G \end{array} \] i.e. \[ \begin{array}{l} G \cap (C \setminus C_0) = \{ x \in C \setminus C_0 \mid R(x) \cap P \neq \emptyset \} \\ P \cap (C \setminus C_0) = \{ x \in C \setminus C_0 \mid R(x) \subset G \} \end{array} \]

33Proposition Soit \((C, R, J, \hat\alpha, G_0 : J \to \mathfrak{P}(C_0))\) un jeu de positions à deux joueurs jouant alternativement, \(G \subset C\) et \(P \subset C\), l'ens. des positions gagnantes resp. perdantes. Soient \(\widetilde G\), \(\widetilde P\) deux parties de \(C\) ayant les propriétés suivantes

\(\forall x \in \widetilde G\), \(\exists\, y \in R(x)\) tel que \(y \in \widetilde P\)
\(\forall x \in \widetilde P\), \(\forall y \in R(x)\), on a \(y \in \widetilde G\)
\(\forall x \in \widetilde G \cap C_0\), on a \(x \in G_0(\hat\alpha(x))\)
\(\forall x \in \widetilde P \cap C_0\), on a \(x \in G_0(\bar{\hat\alpha}(x))\)

Alors, si dans \(C\) il n'existe pas de […] partie infinie, on a \[ \widetilde G \subset G, \qquad \widetilde P \subset P \] Si de plus on suppose […] disjointes des deux parties \(G_0(j)\) (\(j \in J\)) que \(\widetilde G\) et \(\widetilde P\) sont complémentaires l'un de l'autre, […] et \(G_0(j) \cap G_0(\bar\jmath) = \emptyset\) (donc \(G \cap P = \emptyset\)) alors on a \(\widetilde G = G\), \(\widetilde P = P\) (et par suite \(G \cup P = C\) donc \(G_0(j) \cup G_0(j') = C_0\))

Cor Soit \((C, \dots)\) un jeu alterné tel que […] a) Pas de partie infinie b) \(C_0\) réunion disjointe de \(G_0(j)\) et \(G_0(\bar\jmath)\). Soient \(\widetilde G\), \(\widetilde P\) deux parties de \(C\). Pour que \(\widetilde G = G\), \(\widetilde P = P\), il faut et il suffit que \(\widetilde G\) et \(\widetilde P\) soient complémentaires l'une de l'autre, et satisfont aux conditions 1) à 4) ci-dessus.

Exponentielles (en car. 0)

le titre est de sa main, en tête de la page 35.

I) Généralités

\(\mathbb{A}\) \(\mathbb{Q}\)-algèbre (ass. avec 1)

\(N(\mathbb{A})\) ens. des él. nilp. de \(\mathbb{A}\). On a donc \(1 + N(\mathbb{A}) \subset \mathbb{A}^{*}\) (ens. des él. inv. de \(\mathbb{A}\)) \[ N(\mathbb{A}) \xrightarrow{\;\exp\;} 1 + N(\mathbb{A}) \qquad \exp x = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!} \]

Th 1 1) \(\exp\) est bijective. L'application inverse est donnée par \[ \log(1+y) = \sum_{n \geq 1} (-1)^{n+1} \frac{y^n}{n} \qquad (y \in N(\mathbb{A})) \] 2) Si \(x, y \in N(\mathbb{A})\) commutent, alors \(x + y \in N(\mathbb{A})\) et \[ \exp(x+y) = \exp x \, \exp y \qquad \text{NB } \exp 0 = 1 \] Si \(u, v \in 1 + N(\mathbb{A})\) commutent, alors \(uv \in 1 + N(\mathbb{A})\), et \[ \log(uv) = \log u + \log v \qquad \text{NB } \exp 1 = 0 \] sic : « \(\exp 1 = 0\) » ; on attend \(\log 1 = 0\).

3) Soit \(L \subset \mathbb{A}\) un sous-\(\mathbb{Q}\)-espace vectoriel tel que \(x \in L\), \(n \in \mathbb{N}^{*}\) implique \(x^n \in L\), Alors et \(L\) formé d'éléments nilpotents. Alors \[ x \mapsto \exp x : L \xrightarrow{\;\sim\;} 1 + L \]

Remarques Soit \(L \subset \mathbb{A}\) un sous-\(\mathbb{Q}\)-espace vectoriel de \(A\) les conditions de 3), supposons que tel que \(L \subset N(A)\), et tel que \(x, y \in L \Rightarrow xy \in L\). Alors \(L \xrightarrow{\sim} 1 + L\) par 3°, et de plus \(1 + L\) est un sous-groupe de \(\mathbb{A}^{*}\). D'où par transport de str. une str. de groupe sur \(L\). Elle est commutative si ssi \(L\) est commutatif, i.e. si \(x, y \in L \Rightarrow xy = yx\) — et dans ce cas cette structure est l'addition de \(L\). réciproque ? […]

Exemple 1 Soient \(K\) une \(\mathbb{Q}\)-alg. commut. […], \(\mathbb{A}\) une \(K\)-algèbre (ass. avec 1), \(J\) un idéal nil de \(K\). Alors \(J\mathbb{A}\) satisfait les conditions de la Remarque, et on a donc \[ J\mathbb{A} \longrightarrow 1 + J\mathbb{A} \] \(\alpha : \mathbb{A} \to \mathbb{A}_0\) can. Alors \(J\mathbb{A} =\)

NB Soient \(K_0 = K/J\), \(\mathbb{A}_0 = \mathbb{A}/J\mathbb{A} = \mathbb{A} \otimes_K K_0\), \[ J\mathbb{A} = \{ x \in \mathbb{A} \mid \alpha(x) = 0 \}, \qquad 1 + J\mathbb{A} = \{ x \in \mathbb{A} \mid \alpha(x) = 1 \} \] mais avec \(J\) nilpotent, […]

Exemple 2 \(K\), \(J\) comme dans Exemple 1, \(M\) un \(K\)-module, \(M_0 = M \otimes_K K_0 = M/JM\), \(\alpha_M : M \to M_0\) appl. can. ; \(\mathcal{U} = \operatorname{End}_K(M)\), […] posons, alors \[ L = \{ u \in \mathcal{U} = \operatorname{End}_K(M) \mid u \otimes_K K_0 = 0 \} = \{ u \mid u(M) \subset JM \} \] \[ 1 + L = \{ u \in \mathcal{U} = \operatorname{End}_K(M) \mid u \otimes_K K_0 = \mathrm{id}_{M_0} \}. \] Ceci posé Ceci posé, les conditions de la remarque sont satisfaites donc on a \[ \exp : L \xrightarrow{\;\sim\;} 1 + L \]

II) Groupes à un paramètre formels

\(K\) \(\mathbb{Q}\)-algèbre comm. unifère.

\(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}\) droite formelle sur \(K\) (\(\overline{\mathbb{G}}_{a,K} \subset \mathbb{G}_{a,K}\)) : \[ \overline{\mathbb{G}}_{a}(K') = N(K') \subset K' \qquad (K' \ K\text{-alg.\ comm.} \dots) \]

1) Soit \(\mathcal{U}\) \(K\)-algèbre, \(\mathrm{Un}(\mathcal{U})\) le foncteur-groupes \[ K' \mapsto (\mathcal{U}_{K'})^{*} \qquad \mathrm{Alg}_{/K} \to \mathrm{Gr} \] On va définir les homomorphismes de groupes \[ \begin{array}{l} \overline{\mathbb{G}}_{a,K} \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) \\ \mathbb{G}_{a,K} \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) \end{array} \] Soit \(x \in \mathcal{U}\), on lui associe \[ \bar e_x : \overline{\mathbb{G}}_{a,K} \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) \] par \[ \bar e_x(\lambda) = \exp(\lambda x) \] i.e. si \(\lambda \in \overline{\mathbb{G}}_{a,K}(K') = N(K')\), \(\bar e_x(\lambda) = \exp(\lambda x_{K'})\) (cf. Ex. 1). On a bien \(\bar e_x(\lambda + \lambda') = \bar e_x(\lambda)\, \bar e_x(\lambda')\) (Th. 1, 2°). Donc \[ \bar e_x \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U})) \] D'où une application \[ (*) \qquad x \mapsto \bar e_x : \mathcal{U} \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U})) \] Si \(x \in N(\mathcal{U})\), alors on définit de même \[ \begin{cases} e_x : \mathbb{G}_{a,K} \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) \\ e_x(\lambda) = \exp(\lambda x) \end{cases} \] et on a encore \[ e_x \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U})) \] d'où \[ (**) \qquad x \mapsto e_x : N(\mathcal{U}) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U})) \]

NB a) \(\bar e_x\) est la restriction de \(e_x\) à \(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}\). b) Si \(x, y\) commutent, alors \(\bar e_x\), \(\bar e_y\) (resp. \(e_x\), \(e_y\)) commutent, et \(\bar e_{x+y} = \bar e_x \cdot \bar e_y\) (resp. \(e_{x+y} = e_x \cdot e_y\)).

Th. 2 \((*)\) et \((**)\) sont bijectives. [NB si \(\mathcal{U}\) est commutatif alors ce sont des hom. de groupes]

37\[ e_x(\lambda) = \sum \frac{x^n}{n!} \lambda^n \] d'où \[ e_x = e_y \Longleftrightarrow \frac{x^n}{n!} = \frac{y^n}{n!} \ \ \forall n \in \mathbb{N} \Longleftrightarrow x = y \] donc \(x \mapsto e_x\) injectif \(N(\mathcal{U}) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U}))\). On voit de même que \(x \mapsto \bar e_x\) \(\mathcal{U} \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}, \mathrm{Un}(\mathcal{U}))\) est injectif. ([…] mult.)

Un hom. quelconque \(\bar\varphi : \overline{\mathbb{G}}_a \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) \subset\) \(W(\mathcal{U})\) est donné par \[ \bar\varphi(\lambda) = \sum_{n \geq 0} a_n \lambda^n \qquad a_n \in \mathcal{U} \] La condition \(\bar\varphi(0) = 1\) signifie \(a_0 = 1\). Écrivons \(\bar\varphi(\lambda + \mu) = \bar\varphi(\lambda)\, \bar\varphi(\mu)\) i.e. \[ \begin{array}{ccc} \sum a_n (\lambda + \mu)^n & = & \sum a_i \lambda^i \sum a_j \mu^j \\ \| & & \| \\ \sum_{i,j} a_{i+j} \frac{(i+j)!}{i!\,j!} \lambda^i \mu^j & & \sum a_i a_j \lambda^i \mu^j \end{array} \] on trouve les conditions \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(i, j \in \mathbb{N}\) tels que \(i + j = n\) \[ \frac{(i+j)!}{i!\,j!}\, a_n = a_i a_j \] au-dessus, une première écriture barrée : \(a_n (= a_i a_j)\). Donc, faisant \(i = 1\), \(j = n - 1\) \[ n a_n = a_1 a_{n-1} \quad \text{i.e.} \quad a_n = \tfrac{1}{n} a_1 (a_{n-1}) \] d'où par récurrence sur \(n\) \[ a_n = \frac{1}{n!} x^n \qquad x = a_1 \] (Condition aussi suffisante …). Donc \(\bar\varphi = \bar e_x\).

Soit \(\varphi : \mathbb{G}_{a,K} \to \mathrm{Un}(\mathcal{U}) \subset W(\mathcal{U})\), […] on a encore \[ \varphi(\lambda) = \sum a_n \lambda^n \qquad a_n \in \mathcal{U}, \text{ les } a_n \text{ nuls sauf un nb fini} \] Utilisant \(\bar\varphi = \varphi \mid \overline{\mathbb{G}}_a\), on trouve \(a_n = \frac{x^n}{n!}\). Comme \(a_n = 0\) pour \(n\) grand, on trouve \(x\) nilpotent, cqfd.

382) Soit \(M\) un \(K\)-module, \(\mathbf{Aut}_K(M)\) \([\subset \mathbf{End}_K(M)]\) le foncteur en groupes \(K' \mapsto \mathrm{Aut}_{K'}(M_{K'})\) sur \(\mathrm{Alg}_{/K}\). On cherche les hom. de groupes \[ \begin{array}{l} \mathbb{G}_a \xrightarrow{\;\varphi\;} \mathbf{Aut}_K(M) \\ \overline{\mathbb{G}}_a \xrightarrow{\;\bar\varphi\;} \mathbf{Aut}_K(M) \end{array} \] On trouve comme dans 1) \[ \begin{array}{ll} (*) & u \mapsto \bar e_u : \mathrm{End}_K(M) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}, \mathbf{Aut}_K(M)) \\ (**) & u \mapsto e_u : N(\mathrm{End}_K(M)) \to \mathrm{Hom}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_{a,K}, \mathbf{Aut}_K(M)) \end{array} \] \[ \begin{array}{ll} \bar e_u(\lambda) = \exp(\lambda u) = \sum_{n \geq 0} \frac{u^n_{K'}}{n!} \lambda^n & \lambda \in \overline{\mathbb{G}}_a(K') = N(K') \\ e_u(\lambda) = \text{— — —} & (\lambda \in \mathbb{G}_a(K') = K') \end{array} \] On trouve encore que \((*)\) et \((**)\) sont des bij.

(NB Si \(M\) est projectif de type fini, il suffirait d'appliquer le cas précédent à \(\mathcal{U} = \mathrm{End}_K(M)\))

On utilise le fait que les morphismes de foncteurs \(\bar\varphi : \overline{\mathbb{G}}_{a,K} \to \mathbf{End}_K(M)\) (pas nec. multiplicatif) est donné de façon unique par \[ \bar\varphi(\lambda) = \sum_{n \geq 0} u_n \lambda^n \qquad u_n \in \mathrm{End}_K(M), \] et les morphismes de foncteurs \(\varphi : \mathbb{G}_{a,K} \to \mathbf{End}_K(M)\) par \[ \varphi(\lambda) = \sum_{n \geq 0} u_n \lambda^n \qquad u_n \in \mathrm{End}_K(M) \text{ nuls sauf un nb fini.} \] Ceci posé, le calcul on constate que la condition néc. pour que \(\bar\varphi\) (resp. \(\varphi\)) soit un hom. de groupes, c'est qu'on ait \(u_n = \frac{1}{n!}(u_1)^n\) …

39Prop Soient \(M, N\) deux \(K\)-modules, \(u\) (\(v\)) un endom. de \(M\) (\(N\)), \(f : M \to N\) un \(K\)-hom. Considérons \(M, N\) comme \(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}\)-modules par \(\lambda \in \overline{\mathbb{G}}_{a,K}(K')\) opérant par \(\exp(\lambda u)\) resp. \(\exp(\lambda v)\). Pour que \(f\) soit un \(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}\)-morphisme, il faut et suffit que l'on ait \(vf = fu\) i.e. \(vf - fu = 0\).

Cor Si \(u, v\) sont nilpotents, c'est aussi la cond. néc. et suff. pour que \(f\) soit un \(\mathbb{G}_a\)-morphisme.

Dém Il faut écrire \[ \sum_{n \geq 0} \lambda^n \frac{v^n}{n!} f = \sum_{n \geq 0} \lambda^n f \frac{u^n}{n!} \] identiquement en \(\lambda\) nilp. i.e. \[ \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n!} (v^n f - f u^n) \lambda^n = 0 \] identiquement en \(\lambda\) nilp., ce qui équivaut à : \[ v^n f - f u^n = 0 \qquad \forall n \geq 1 \] Pour \(n = 1\), c'est la commutation \(vf = fu\), qui implique par récurrence \(v^n f = f u^n\) (\(\forall n \geq 1\)).

Proposition Soient \(u \in N(\mathrm{End}_K(M))\), \(v \in N(\mathrm{End}_K(N))\), \(f \in \mathrm{Hom}_K(M, N)\). Conditions équivalentes :

\(f\) est un \(\overline{\mathbb{G}}_{a,K}\)-hom. (pour \(\overline{\mathbb{G}}_a\) opérant sur \(M, N\) par \(\bar e_u\) et \(\bar e_v\))
\(f\) est un \(\mathbb{G}_{a,K}\)-hom. (…)
\(fu\) \(= vf\) […] i.e. \(\delta \overset{\text{déf}}{=} vf - fu = 0\)
\(f \circ \exp(u) = \exp(v) \circ f\)

40Dém On a déjà vu l'équivalence de (1) à (3), et […] cela implique 4 (i.e. \(e_v(1) f = f e_u(1)\)). Prouvons \((4) \to (3)\). Or (4) s'écrit \[ \underbrace{(\exp v) \circ f - f \circ \exp u}_{\displaystyle \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n!} \underbrace{(v^n f - f u^n)}_{\delta_n \ (\text{déf})}} = 0 \] Or on a (réc. sur \(n\)) \[ \delta_n = v^{n-1} \delta + v^{n-2} \delta u + \dots + v \delta u^{n-2} + \delta u^{n-1} \] donc (4) signifie \[ \delta + \frac{1}{2}(v \delta + \delta u) + \frac{1}{3!}(v^2 \delta + v \delta u + \delta u^2) + \dots = 0 \qquad (\text{somme finie}) \] On peut l'écrire \[ \delta = \sum_{i+j \geq 1} c_{ij}\, v^i \delta u^j \qquad \Bigl(c_{ij} \in K,\ c_{ij} = \frac{1}{(i+j)!}\Bigr) \] tel qu'écrit ; l'équation qui précède donne \(c_{ij} = -\frac{1}{(i+j+1)!}\). Seule compte ici l'existence des \(c_{ij} \in K\). Or soit \[ \mathcal{U} = \mathrm{End}_K(M) \] \[ \Theta, \Theta' : \mathcal{U} \to \mathcal{U} \qquad K\text{-endom.} \] \[ \Theta(x) = vx, \qquad \Theta'(x) = xu \] Donc \(\Theta\), \(\Theta'\) sont nilpotents (\(v\), \(u\) l'étant) et commutent, et on a \[ \delta = \sum_{i+j \geq 1} c_{ij}\, \Theta^i \Theta'^j \delta = \rho \delta \] \[ \rho = \sum_{i+j \geq 1} c_{ij}\, \Theta^i \Theta'^j \in \mathrm{End}_K(\mathcal{U}) \] où \(\rho\) est nilpotent (\(\Theta\), \(\Theta'\) l'étant et commutant). Or \(\delta = \rho \delta\) implique par récurrence la phrase se poursuit au lot suivant.