1. Jeu (de positions)

(a) C ensemble des positions (ou configurations)

R\subset C\times C relation ((x,y)\in R se lit y\in R(x) : y successeur de x)

Déf. Position x terminale \Longleftrightarrow R(x)=\emptyset C_0=\{x\in C\mid R(x)=\emptyset\}=\text{ens.\ des positions terminales} cette définition est écrite plus bas sur la page, à l'encre bleue en partie, et une flèche la renvoie sous (a)

(b) J ensemble des joueurs

i : C\smallsetminus C_0\to J i(x) est le joueur qui a l'initiative dans la position x C\smallsetminus C_0=\coprod_{j\in J}C(j)

NB i n'intervient que par sa restriction à C\smallsetminus C_0 « \smallsetminus C_0 », dans la flèche i et dans la décomposition, est ajouté à l'encre bleue ; la remarque NB est barrée de traits bleus, devenue sans objet

(c) J\to\mathfrak{P}(C_0) j\mapsto G_0(j)\subset C_0 (positions terminales gagnantes pour j) NB On ne suppose pas G_0(j)\subset C_0(j) ces mots sont écrits sous G_0(j), reliés à lui par une flèche

2. Parties.

(Ne dépend que de (C,R)…)

Partie (à n coups, n\in\mathbb{N}), (x_0,x_1,\ldots,x_n)\in C^{n+1} \forall\ 0\leqslant i\leqslant n-1, x_{i+1}\in R(x_i)

Prolongement de parties

Partie terminée (ou partie maximale) : telles que x_n\in C_0

Partie infinie, partie circulaire. (x_0,x_1,\ldots,x_n) x_n=x_0 (n\geqslant 1)

Prop S'il existe une partie circulaire, existe une partie infinie. L'inverse est vrai si C est fini.

Construction récurrente C_{-1}=\emptyset \qquad C_0=\{x\in C\mid \forall y\in R(x),\ y\in C_{-1}\}=\{x\in C\mid R(x)=\emptyset\} C_1=\{x\in C\mid \forall y\in R(x),\ y\in C_0\} \qquad \text{NB } C_1\supset C_0 C_i=\{x\in C\mid \forall y\in R(x),\ y\in C_{i-1}\}

Prop (C_i) suite croissante d'ensembles.

C_i=\{x\in C\mid toute partie partant de x est de longueur \leqslant i\}

Cor Soit C_\infty=\bigcup C_i. Alors C_\infty=\{x\in C\mid l'une des les longueurs des parties partant de x est bornée\}

Cor Conditions équivalentes

a) C=C_\infty i.e. pour tout x\in C, l'une des longueurs des parties partant de x est finie.

b) \exists\ C\xrightarrow{\ \ell\ }\mathbb{N} tel que si y\in R(x), on ait \ell(y)<\ell(x)

[Alors \forall x\in C, si \ell=\ell(x), on a x\in C_\ell]

Exemple

NB Ces conditions impliquent que \nexists partie infinie. Mais Si C est fini, la réciproque est vraie : en effet, les parties ont une longueur majorée par (\operatorname{card}C)-1=N-1, i.e. C=C_{N-1} la ligne est surchargée ; au-dessus de « fini » une première rédaction, barrée, parlait d'une longueur « »

Prop Soit C

3. Stratégie pour j\in J

\Sigma\subset\bigl(C(j)\times C\bigr)\cap R \quad\text{tel que} \forall x\in C(j), on ait \bigl(R(x)\neq\emptyset (i.e. x\notin C_0) \Longrightarrow\Sigma(x)\neq\emptyset\bigr)

Partie \underline{x}=(x_0,\ldots,x_n) compatible avec stratégie \Sigma pour j : \forall\ 0\leqslant i\leqslant n-1 tel que x_i\in C(j), on ait x_{i+1}\in\Sigma(x_i) / Idem pour partie infinie

Stratégie gagnante (pour j) pour x (\in C) :

a) Toute partie partant de x, compatible avec \Sigma, est finie (i.e. \nexists partie infinie partant de x, comp. avec \Sigma)

b) Toute partie terminée, (x_0=x,\ x_1,\ \ldots,\ x_N), partant de x, compatible avec \Sigma, est telle que x_N\in G_0(j).

On dit que x\in C est gagnante pour j si \exists stratégie [pour j] \Sigma gagnante pour x. L'ens. des x est noté G(j)

NB G(j)\cap C_0=G_0(j)

Posons \overline{C}(j)=C\smallsetminus C(j), \overline{G}(j)=C\smallsetminus G(j) …

Prop. Thm 1 S'il n'y a pas de partie infinie

1°) \bigl(C(j)\smallsetminus C_0(j)\bigr)\cap G(j)=\{x\in C(j)\mid \exists\,y\in R(x), avec y\in G(j)\}

(i.e. R(x)\cap G(j)\neq\emptyset)

2°) \bigl(\overline{C}(j)\smallsetminus\overline{C}_0(j)\bigr)\cap G(j)=\{x\in\overline{C}(j)\mid \forall y\in R(x) on a y\in G(j) et \forall si R(x)=\emptyset (i.e. x\in C_0) x\in G_0(j)\}

i.e. R(x)\subset G(j) « \smallsetminus C_0(j) », « \smallsetminus\overline{C}_0(j) » et « R(x)\subset G(j) » sont ajoutés à l'encre bleue ; la condition sur R(x)=\emptyset est biffée à grands traits

Dém a) Soit x\in C(j) 1°) Soit x\in C(j), il faut prouver que x\in G(j)\Longleftrightarrow \exists\,y\in R(x),\ y\in G(j).

Si x\in C_0, clair (cf NB plus haut )

S'il x\notin C_0 (i.e. R(x)\neq\emptyset). Prouvons \Longrightarrow i.e. supposons x\in G(j), prouvons \exists\,y\in R(x) gagnant. Soit \Sigma stratégie x-gagnante. Considérons \Sigma(x) ; donc \Sigma(x)\neq\emptyset, donc \exists\,y\in\Sigma(x). Je dis que y\in G(j), i.e.

Lemme Si x\in C(j)\cap G(j), \Sigma une j-stratégie x-gagnante, alors \forall y\in\Sigma(x), on a y\in G(j), i.e. \Sigma(x)\subset G(j). (Plus précisément, \Sigma est y-gagnante pour \Sigma.) En effet, je dis que Trivial sur définitions,

Inversement, supposons \exists\,y\in R(x) avec y\in G(j), prouvons que x\in G(j). Soit \Sigma une j-stratégie y-gagnante. On va (en changeant \Sigma) définir une j-stratégie \Sigma' x-gagnante ainsi : Pour z\in C(j), on pose \Sigma'(z)=\begin{cases} \Sigma(z) & \text{si } z\neq x\\ \{y\} & \text{si } z=x \end{cases} (C'est une j-stratégie, on a : R(z)\neq\emptyset R(x)\neq\emptyset, \Sigma(z)\neq\emptyset pour les cas z\neq x , mais \Sigma'(z)=\Sigma(z) \neq\emptyset par hyp. que \Sigma est stratégie.) les deux lignes du milieu de cette parenthèse sont barrées et en partie surchargées

Prouvons que \Sigma' est x-gagnante : Soit une partie (x_0=x,\ x_1,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots) partant de x et compatible avec \Sigma'. On a donc x_1=y ; et prouvons que la partie (x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots) est compatible avec \Sigma, i.e. que \forall i\geqslant 1, x_i\in C(j)\Longrightarrow x_{i+1}\in\Sigma(x_i), « prouvons que » est ajouté au-dessus de la ligne ; sous x_1 il note =y

Il n'y a de pb. que si x_i=x (car si x_i\neq x, \Sigma(x_i)=\Sigma'(x_i), donc x_{i+1}\in\Sigma'(x_i) par hyp. de compatibilité avec \Sigma'. Mais si on avait au-dessus de « x_i=x », un ajout : « l'un des est égal »

(x_0=x,\ \ldots,\ x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_i,\ \ldots) une nouvelle partie ligne encadrée et biffée ; sous x_1 il note =y, sous x_i =x

Montrons d'abord qu'il n'y a pas de partie compatible avec Fermeture ? \Sigma commençant avec y et terminant par x note écrite en oblique dans la marge gauche, au droit des lignes précédentes

Par hyp. sur \Sigma, la partie (x_1,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots) est finie, donc et son dernier terme x_N qui est terminaison de la partie (x_0,\ x_1,\ \ldots), est \in G_0(j),

OK dans le cas . Mais si \exists partie comp. avec \Sigma commençant avec y et terminée avec x, alors par le lemme x\in G(j) cqfd.

2°) Soit x\in\overline{C}(j), il faut prouver que x\in G(j)\Longleftrightarrow \forall y\in R(x),\ \text{on a } y\in G(j) et (R(x)=\emptyset\Longrightarrow x\in G_0(j))

Si x\in C_0 i.e. R(x)=\emptyset, c'est clair Si x\notin C_0 i.e. R(x)\neq\emptyset, il suffit de prouver x\in G(j)\Longleftrightarrow\forall y\in R(x), y\in G(j) ces deux lignes, réunies par une accolade, sont biffées

Prouvons \Longrightarrow, Soit x\in G(j), y\in R(x), prouvons y\in G(j). Soit \Sigma stratégie x-gagnante, je dis qu'elle est y-gagnante. En effet Considérons partie ( x_1=y,\ x_2,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots) maximale, compatible avec \Sigma, , alors (x_0=x,\ x_1=y,\ x_2,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots) est aussi comp. avec \Sigma. (NB x\in\overline{C}(j), (x,y) compatible avec \Sigma)

Alors partie \Sigma, elle est partie finie, ( x_N ) et x_N\in G_0(j).

Prouvons que x_1, y\in G(j), z\in\Sigma(z) passage encadré et biffé au bas de la page

Prouvons \Longleftarrow, i.e. soit x\in\overline{C}(j), R(x)\neq\emptyset, \forall y\in R(x), on a y\in G(j), prouvons x\in G(j). la fin de la première ligne, après « i.e. », est biffée et surchargée ; la lecture en est incertaine

Stratégie \Sigma convenable : z\in C(j), \qquad \Sigma(z)=\begin{cases} R(z) & \text{si } z\notin G(j)\\ R(z)\cap G(j) & \text{si } z\in G(j) \end{cases}

par 1° et 2°) \Longrightarrow i.e. R(z)\neq\emptyset\Rightarrow\Sigma(z)\neq\emptyset.

a) \Sigma est une stratégie, il suffit de voir que si z\in G(j) et z\in C(j), R(z)\cap G(j)\neq\emptyset ; si z\in G(j). ce passage est barré de grandes croix

b) Elle est x-gagnante. En effet, soit (x_0=x,\ x_1=y,\ x_2,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots) une partie issue de x, compatible avec \Sigma, montrons qu'elle est finie. On suppose qu'il y a une partie infinie

Prouvons en prouvant par récurrence que x_i\in G(j) \forall i\geqslant 1 les distinguer vrai pour i=1 par hyp. Supposons que l'on ait x_i\in G(j), prouvons x_{i+1}\in G(j). En effet, si x_i\in\overline{C}(j), cela provient de la partie déjà prouvée de 2°. Si x_i\in C(j), cela provient de la définition de \Sigma, car \Sigma(x_i)=R(x_i)\cap G(j) \quad\text{donc}\quad x_{i+1}\in\Sigma(x_i) donc x_{i+1} est \in G(j). O.K.

Corollaire Pour Il existe Soit j\in J, \Gamma\subset G(j) stable (dans G(j)). Il existe stratégie \Sigma Alors les stratégies \Gamma\in G(j). Il existe une

a) stratégie \Sigma x-gagnante pour tous les x\in\Gamma.

b) Parmi celles-ci il y en a une plus grande

toute la page est traversée d'un long trait oblique, qui semble l'annuler ; elle reste lisible et est transcrite Prouvons \Longleftarrow, i.e. supposons que \forall y\in R(x), y\in G(j), prouvons x\in G(j), i.e. montrons qu'il existe une j-stratégie \Sigma x-gagnante (sachant que R(x)\neq\emptyset et que \forall y\in R(x), \exists\ \Sigma_y stratégie j-stratégie y-gagnante, et que x\in\overline{C}(j)). « R(x)\neq\emptyset et que » est un ajout interlinéaire de sa main

Considérons un bon ordre sur R(x), et posons pour z\in C(j) \Sigma(z)=\begin{cases} R(z) & \text{si } z \text{ n'est pas conséquent de } x\\ \Sigma_{y(z)}(z) & \text{si } \exists\, y(z)\in R(x),\ \text{avec } z\geqslant y(z). \end{cases} la première ligne portait d'abord « si z n'est pas conséquent z\ngeq x », la seconde « si y(z)\geqslant x, donc si z\geqslant y » ; les deux formes sont biffées et récrites On prend y(z) le plus petit.

On vérifie immédiatement que 1) \Sigma est une stratégie i.e. R(z)\neq\emptyset\Longrightarrow\Sigma(z)\neq\emptyset (car les \Sigma_y le sont), 2) qu'elle est x-gagnante.

Prouvons en effet d'abord que si z une succession de x, \Sigma(z)\subset G(j) z\in G(j)\cap C(j), \Sigma passage encadré et biffé

Soit (x_0=x,\ x_1=y,\ x_2,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots) une partie issue de x, compatible avec \Sigma. Alors les x_i (i\geqslant 1) sont \geqslant x, de x, et donc \forall i\geqslant 1, \exists\ y_i\in R(x), avec x_i\geqslant y_i ; soit y_i le plus petit de ceux-là. Comme x_{i+1}\geqslant x_i\geqslant y_i, y_{i+1}\leqslant y_i ; donc les y_i vont décroissant) donc sont stationnaires. Soit y la valeur commune.

Donc pour n assez grand,

donnée par la condition (\Gamma donné et z\in C(j)) \Sigma(z)=\begin{cases} R(z) & \text{si } z\notin\Gamma\\ R(z)\cap G(j) & \text{si } z\in\Gamma \end{cases} les conditions portaient d'abord, biffées et surchargées : « \nexists partie (x_0,x_1,\ldots,x_n) avec x_0\in\Gamma, x_n=z », « \exists\,x\in\Gamma, x_i\in\Sigma(\ldots) z\geqslant x, ou si z\notin G(j) », « \exists\,x\in\Gamma tel que z\geqslant x, et z\in G(j) (donc z\in G(j)) » ; il ne reste que z\notin\Gamma, z\in\Gamma

Dém. Prouvons que \Sigma est une stratégie, et pour tout x\in\Gamma. C'est une stratégie : i.e. R(z)\neq\emptyset\Longrightarrow\Sigma(z)\neq\emptyset. Il suffit de regarder le cas où z\in\Gamma \exists\,x\in\Gamma, tel que z\geqslant x, et z\in G(j). Mais \Sigma(z)=R(z)\cap G(j), et par le 1°) de la prop. (puisque z \notin G_0 donc z\notin G_0(j)) R(z)\cap G(j)\neq\emptyset OK.

Prouvons que \Sigma est x-gagnante pour les x\in\Gamma. Soit donc une partie (x_0=x,\ x_1,\ \ldots,\ x_N) définitive partant de x, compatible avec \Sigma, et terminée : x_N\in G_0 ; prouvons x_N\in G_0(j) (c'est, au reste, x_N\in G(j)). Par hyp. x_0\in G(j), on se prouve par récurrence x_i\in G(j)\Longrightarrow x_{i+1}\in G(j) \qquad (0\leqslant i\leqslant N-1). Si x_i\in\overline{C}(j), cela résulte de Prop., 2°. Si x_i\in C(j), cela résulte de la définition de \Sigma, qui implique que \Sigma(x_i)=R(z)\cap G(j), il écrit bien R(z) ici, pour R(x_i) donc x_{i+1}\in\Sigma(x_i) et x_{i+1}\in G(j). O.K.

Prouvons enfin que parmi les stratégies \Sigma'

\Gamma-x-gagnantes, pour \forall \Sigma est la plus grande, i.e. \Sigma\supset\Sigma', i.e. \forall z\in C(j), on a \Sigma(z)\supset\Sigma'(z). C'est évident (puisque \Sigma'(z)\subset R(z)) \Sigma dans le cas où \Sigma(z)=R(z), donc pour z\notin\Gamma \exists\,x\in\Gamma, tel que z\geqslant x, et z\in G(j). Supposons donc z\in\Gamma, donc \Sigma(z)=R(z)\cap G(j). Il suffit donc de prouver que \Sigma'(z)\subset G(j), ce qui résulte du lemme après la prop.

Stratégie

4°) Stratégies acceptables, positions acceptables.

J'-stratégie (où J'\subset J) se définit comme une J-stratégie, en y remplaçant C(j) par C(J'), C(J')=\bigcup_{j\in J'}C(j), « comme une J-stratégie » : lire sans doute « comme une j-stratégie » ; la lettre est ambiguë Donc les j-stratégies deviennent les \{j\}-stratégies.

Une J'-stratégie choisie \Sigma' est dite acceptable (contre) pour x\in C si pour toute partie (x_0,\ \ldots,\ x_N) partant de x, compatible avec \Sigma', et terminée, i.e. x_N\notin G_0(j). les mots « pour x\in C » et « partant de x » sont des ajouts interlinéaires ; un autre ajout, après « acceptable (», est biffé

Prop. Pour x\in C que

On dit que x\in C est acceptable contre j'\in J pour J'=J-\{j\} s'il \exists (posons J'=J-\{j'\}) J'-stratégie \Sigma' telle que \Sigma' soit acceptable pour x\in C contre j'. Si x\in C, cela signifie donc que x\notin G(j').

Cela implique que x\notin G(j'). En effet, si x\in G(j'), et si \Sigma est une j'-stratégie x-gagnante, alors prenons une partie maximale () issue de x, et compatible avec \Sigma et \Sigma' ( pour x et j), et (x_N est terminale) : à la fois x_N\in G(j), et x_N\notin G(j), absurde. il écrit ici G(j) là où l'argument demande G_0(j') ; la lettre j et le prime sont peu distincts sur cette ligne

Théorème 2 Soient j'\in J, J'=J\smallsetminus\{j'\}, x\in C. Pour que x\in\overline{G}(j') (i.e. x\notin G(j')), il faut et il suffit que x soit acceptable contre j'.

Il reste à prouver que si x\in\overline{G}(j'), alors x est acceptable contre j'. On va construire une stratégie \Sigma' pour J' qui soit acceptable pour tous les x\in\overline{G}(j').

On pose, pour z\in C(J') \Sigma'(z)=\begin{cases} R(z) & \text{si } z\in G(j')\\ R(z)\cap\overline{G}(j') & \text{sinon, i.e.\ } z\in\overline{G}(j') \end{cases}

C'est une stratégie i.e. R(z)\neq\emptyset\Longrightarrow\Sigma'(z)\neq\emptyset. Il suffit de le voir pour z\in\overline{G}(j'), donc z\in\overline{C}(j')\cap\overline{G}(j'), mais par la prop. 2° \overline{C}(j')\cap\overline{G}(j')=\bigl\{z\in\overline{C}(j')\ \big|\ \exists\,y\in R(z) \text{ avec } y\in\overline{G}(j') \text{ ou } (R(z)=\emptyset \text{ et } z\in\overline{G}_0(j'))\bigr\} donc, comme R(z)\neq\emptyset, que R(z)\cap\overline{G}(j')\neq\emptyset, OK.

Prouvons que \Sigma' est acceptable contre j' pour x\in\overline{G}(j'). Soit donc (x_0=x,\ x_1,\ \ldots,\ x_N) sous x_0, il inscrit \in\overline{G}(j')

une partie compatible avec \Sigma', commençant avec x_0\in\overline{G}(j'), et maximale i.e. x_N\in C_0, prouvons x_N\in\overline{G}_0(j'). On le prouve par réc. x_i\in\overline{G}(j') 0\leqslant i\leqslant N. Supposons x_i\in\overline{G}(j'), prouvons x_{i+1}\in\overline{G}(j') … sous la seconde occurrence de x_i, il précise 0\leqslant i\leqslant N-1

À vrai dire, on a fait deux fois le même raisonnement. Considérons un jeu auxiliaire J'=J(j') : deux joueurs j' et \overline{j'}=j, avec C'=C \text{ ens.\ des positions}, \quad \text{et } R'=R C'(j')=C(j'),\qquad C'(j)=C(J')\qquad (J'=J-\{j'\}), G'_0(j')=G_0(j'),\qquad G'_0(j)=C_0\smallsetminus G'_0(j')=C_0\smallsetminus G_0(j') (donc C_0=G'_0(j)\amalg G'_0(j')). Alors les stratégies du jeu J pour J'=J\smallsetminus\{j'\} sont les stratégies du jeu J'=J(j') pour j, et une stratégie \Sigma' est acceptable pour x\in C contre j' ssi elle est gagnante pour x (pour J). Donc les positions x\in C acceptables pour contre j' sont celles qui sont gagnantes pour j. « (on pose aussi C'(j)) », « (on le note aussi G_0(j)) », « pour x\in C » et « positions » sont des ajouts interlinéaires, ici insérés à leur place s'il n'y a pas de partie infinie

Comme G_0(j')\cap G_0(j)=\emptyset, on sait déjà qu'une x ne peut être simultanément gagnante pour j et j' : le raisonnement précédent montre que l'implication les deux inverses au-dessous de la ligne, il écrit : « gagnante pour j \Rightarrow non gagnante pour j' »

Construction 5. Essai de construction récurrente de G(j)

NB G_{-1}(j)=\emptyset

G_0(j) donné G_1(j)=G_0(j)\cup\left\{x\in C\ \middle|\ \begin{array}{l} \bigl(x\in C(j) \text{ et } R(x)\cap G_0(j)\neq\emptyset\bigr)\\ \text{ou } \bigl(x\in(\overline{C}(j)\smallsetminus\overline{C}_0(j)) \text{ et } R(x)\subset G_0(j)\bigr) \end{array}\right\} G_i(j)=G_0(j)\cup\left\{x\in C\ \middle|\ \begin{array}{l} x\in C(j) \text{ et } R(x)\cap G_{i-1}(j)\neq\emptyset\\ x\in(\overline{C}(j)\smallsetminus\overline{C}_0(j)) \text{ et } R(x)\subset G_{i-1}(j) \end{array}\right\} dans la définition de G_1(j), un premier « \{x\in C » est biffé avant G_0(j)\cup

On voit par récurrence sur i : G_i(j)\subset G_{i+1}(j) et aussi G_i(j)\subset G(j) (en utilisant la prop.)

Posons G_\infty(j)=\bigcup G_i(j) \quad\text{donc}\quad G_\infty(j)\subset G(j)

? Th 3 G_\infty(j)=G(j). Si C fini, ou s'il n'existe pas de partie infinie, plus généralement si C=\bigcup C_i

Je vais prouver x\in G(j)\Longrightarrow\exists\,i, x\in G_i(j). Soit \Sigma une j-stratégie gagnante pour x. Donc partie maximale compatible avec \Sigma, x, compatible avec \Sigma, X=(x_0=x,\ x_1,\ \ldots,\ x_N), x_N\in G_0(j). Je dis que tout ce passage est encadré, barré de hachures obliques et abandonné ; sous l'encadré, « On le p… », inachevé et biffé

On prouve par récurrence sur i\geqslant 0 G_\infty(j)\cap C_i=G(j)\cap C_i en utilisant le Th. 1.

6. Élimination des parties circulaires (en C fini)

la page ne porte que ce titre ; le paragraphe annoncé n'est pas rédigé ici

page de calculs de brouillon, sans phrases suivies ; on transcrit ce qui est lisible, dans l'ordre de la page. Le lien avec les jeux de position n'est pas explicité : les objets sont des parties E, V_i d'un groupe commutatif noté additivement \{0\}\ \big/\ \underset{x_1}{V_1}\ \big/\ V_1\dotplus\{x_2\},\ \underset{x_2}{V_2}\ \big/\ V_2+\{x_3\} \bigl\{V_2+x_3*V_1,\ V_2+x_3*V_1+\{x_2+x_3\}\bigr\},\quad V_3 sous V_1 et V_2, il écrit \ni x_1, \ni x_2 V_1+\{x_2\}\qquad V_2+\{x_3\}\qquad 2V_2+x_3*V_1+\{x_2+x_3\} 3\,3\,3\,3\,1\,1\,1

a_1\ a_2\ a_3 b_1\ b_2\ b_3

E\dotplus x*E

(E_{2n}\supsetneq E_2) donnés ssi [ E_2 ss-groupe abélien ; E_{2n} stable par translations par E_2

n pair, E_{2n+1}, E_2 donnés \{ E_2 ss-groupe ; E_{2n+1}=E'_{2n}\dotplus\{x\}, où E'_{2n} est stable par E_2 3\,2\,2\,2

E_3 E_3 donnés 3 3\,2\,2\,1\,1 …

a_1\ a_2\ a_3 b_1\ b_2\ b_3

suivent plusieurs essais de tableaux 3\times3 de sommes, encerclés et en partie barrés : lignes 0,\ a,\ a' / 0,\ a,\ b' ; 0,\ a,\ b' / a,\ 2a,\ a+b' / a',\ a+a',\ a'+b' avec les conditions 2a\neq a, a'=b'=a (biffé), b'=a, a'+b'=a ; puis 0,\ a,\ a-a' / a,\ 2a,\ 2a-a' / a',\ a+a',\ a 0\ \ a\ \ a' \qquad 0\ \ a\ \ a-a' \qquad\qquad 0\ \ a\ \ 2a \qquad 0\ \ a\ \ -a -2a\ \ -a\ \ 0\ \ a\ \ 2a \qquad\qquad 2a\neq 0 \begin{array}{ccc} -2a & -a & 0\\ -a & 0 & a\\ 0 & a & 2a \end{array} 0 \left|\begin{array}{l} 2a=0\\ a'=-a\\ a'=2a\end{array}\right. ce dernier cas porte en tête, biffé, « 2a=0 »

la page est écrite tête-bêche ; on la lit retournée. Le texte en miroir qui en occupe la moitié inférieure est l'encre traversante d'une autre feuille et n'appartient pas à cette page (V_1\dotplus\{x\})*(V_1\dotplus\{x\})=2V_1\dotplus\{u\}+2\{x\}*V_1=2G+\{u\}\qquad (x^2=u) 2V_1+x+ \boxed{3\ 2\ 2\ 2} \{e\}\quad V_1\quad V_1\dotplus\{x\}\quad V_2 « V_1\dotplus\{x\} » est récrit au-dessus d'une première forme biffée

E*F a+b=a'+b' (a-a')=(b'-b)

a_1+a_2 b_1+b_2

0\ \ a\ \big/\ 0 a 0\ \ a 0\ \ a,\ a\ \ 2a a\neq0 2a\neq0 2a=0 1\,1\,1\,1 \qquad 2\,2 \qquad 2\,1\,1 \qquad 2\,1\,1 \qquad 4\,1\,1\,1 \qquad 2\,2\,1\,1 \qquad 1\,1\,1\,1\,1\,1 \qquad 2\,1\,1\,1 colonnes de partitions, sans commentaire ; dans « 4\,1\,1\,1 » le 4 surcharge un 2 ; sous la dernière ligne, un essai biffé et illisible V_1*(V_1+\{x\})=2V_1+x*V_1 \underset{3}{E}+\underset{3}{x*E}\qquad (V_1+G)

page à l'encre bleue ; la moitié supérieure et la moitié inférieure sont écrites tête-bêche l'une par rapport à l'autre. On donne d'abord la moitié écrite à l'endroit, puis l'autre, retournée ; rien n'indique laquelle est la première E_i=[-i,i]\quad 0\leqslant i\leqslant m \qquad\qquad \text{NB } E_m=G,\ E_1=\varepsilon le signe moins de [-i,i] est un trait oblique tracé à travers le premier i. Il écrit bien E_1=\varepsilon ; avec E_i=[-i,i], c'est E_0=\{0\} que le sens demande F_j=[m-j,\ m+1+j]\quad 0\leqslant j\leqslant m-1 \qquad F_m=E_m=G F_i*F_j=\sum_0^m\beta_{ij}^k E_k \qquad \beta_{ij}^k\geqslant 0 E_i*E_j=\sum\alpha_{ij}^k E_k \qquad \alpha_{ij}^k\geqslant 0 E_i*F_j=\sum\gamma_{ij}^k F_k \qquad\qquad \varepsilon=\varepsilon^{-1} les indices des F dans la première ligne sont surchargés (j sur i) ; une flèche relie F_i*F_j à E_i*E_j. La lettre des coefficients de la troisième formule est lue \gamma sans certitude \mathcal{A}(g,\varepsilon)=\begin{cases} g*\mathcal{A}(0) & \text{si } \varepsilon=+1\\ g*\mathcal{B}(0) & \text{si } \varepsilon=-1\end{cases} \mathcal{A}(\tilde g)*\mathcal{A}(\tilde h)\subset\mathcal{A}(\tilde g\tilde h)

Soit G groupe G'\longrightarrow G

\tilde G \tilde G\xrightarrow{\ 2\ }G hom., i : {}_2G\simeq\operatorname{Ker}\eta

\forall\tilde g\in\tilde G \mathcal{A}(\tilde g)\subset\mathfrak{P}_f(G) Soit A=g*\check A=\check A*g, B=h*\check B=\check B*h, A*B=g*\check A*h*\check B=g*h*\check A*\check B On pose C(\tilde g) cône des \sum_{A\in\mathcal{A}(\tilde g)}\alpha_A A, \alpha_A\geqslant0

a) \mathcal{A}(\tilde g) tot. ordonné

b) A\in\mathcal{A}(\tilde g)\Longrightarrow A= g*\check A où g=\eta(\tilde g)

c) A\in\mathcal{A}(\tilde g), B\in\mathcal{A}(\tilde h)\Longrightarrow A*B\in C(\tilde g\tilde h) \forall\tilde g\in\tilde G ; \forall\tilde g,\tilde h\in\tilde G

d) si u\in{}_2G, \tilde g\in\tilde G, on a \mathcal{A}(\tilde g u^2)=u*\mathcal{A}(\tilde g) \mathcal{A}(i(u)\tilde g)=u*\mathcal{A}(\tilde g)

d) \forall\,\tilde g,\tilde h\in\tilde G \exists\,s\in G tel que \mathcal{A}(\tilde g)\cup s\,\mathcal{A}(\tilde h) tot. ordonné

[i.e. \bigcup\mathcal{A}_{\tilde g} la flèche \tilde G\to G est notée \eta dans « \operatorname{Ker}\eta » ; la lettre est lue sans certitude. Le crochet final reste ouvert

à partir d'ici, encre noire, main plus appliquée ; nouvelle numérotation, par chiffres cerclés, rendus ici (1), (2)

(1) |f,g|

G un ensemble, C(G)=\mathbb{R}[G]=\mathbb{R}^{(G)} (fonctions réelles à support fini), \mathbb{R}[G]^+=\{f\in\mathbb{R}[G]\mid f\geqslant0\}

f,g\in Éparpillement f' de f (ou f,f' équivalentes, on écrit f\sim f') ssi \exists\,\sigma\in\mathfrak{S}_G, f'=f\circ\sigma \Longleftrightarrow la suite des valeurs \neq0 de f, complètement rangée en décroissant et avec multiplicités, soit la même \Longleftrightarrow f(\mu)=f'(\mu) (image directe de la mesure canonique). Notation A(f) ; ordonnée ; A(f)=A(f') la note de marge, écrite en oblique, est lue ainsi sans certitude ; la parenthèse finale et le mot « canonique » ferment une ligne coupée par la marge

Si f,g\in\mathbb{R}[G]^+, on pose |f,g|=\sup_{f'\sim f}\langle f',g\rangle=\sup_{g'\sim g}\langle f,g'\rangle=\sup_{\substack{f'\sim f\\ g'\sim g}}\langle f',g'\rangle

NB |f,g|=|f',g'| si f'\sim f, g'\sim g NB Si f\sim g on a |f,g|=\|f\|_2^2 et f'=g' … |f,g|=|f,g'| cette seconde note de marge, en oblique au bas de la page, est en partie coupée ; lecture incertaine dans le détail

Proposition Pour que \langle f',g'\rangle réalise le sup, il faut et il suffit que pour tt \alpha,\beta\in\mathbb{R}^{+*}, E_\alpha(f') et E_\beta(g') soient en relation d'inclusion (i.e. \subset ou \supset), i.e. il faut et il suffit que

E_\alpha(f')\cup E_\alpha(g') soit tot. ordonné \Longleftrightarrow \exists un ordre total sur G [si G est fini ou dénombrable] \sim[0,n] ou \mathbb{N}, tel que f et g soient décroissantes. il écrit bien E_\alpha(g') dans la première formule de cette ligne, là où l'on attend E_\beta(g') ; et f, g pour f', g' à la fin

NB On pose E_\alpha(f)=\{s\in G\mid f(s)\geqslant\alpha\} (donc \alpha\leqslant\beta\Rightarrow E_\alpha(f)\supset E_\beta(f)) et E_*(f)=\{E_\alpha(f)\}

Proposition f'\sim f\Longleftrightarrow\forall g\in C(G)^+, |f',g|=|f,g|\Longleftrightarrow\forall A\in\mathfrak{P}_f(G), |f',A|=|f,A|

(2) f'\prec f

Prop. Conditions équivalentes sur f',f\in\mathbb{R}[G]^+

a) \forall g\in\mathbb{R}[G]^+, on a |f',g|\leqslant|f,g|

b) \forall A\in\mathfrak{P}_f(G), on a |f',A|\leqslant|f,A|

c) \forall n\in\mathbb{N}^*, on a \sum_0^n A(f')_i\leqslant\sum_0^n A(f)_i

On écrit alors f'\prec f.

NB C'est une relation d'ordre de préordre. La relation d'équivalence associée est f'\sim f.

NB Le sup de \langle f',g\rangle pour f'\prec f est atteint pour des f'\sim f …

Cor f'\prec f, g'\prec g\Longrightarrow|f',g'|\leqslant|f,g

Cor f'\prec f\Longleftrightarrow\forall g',g\in C(G)^+, avec g'\prec g, on a |f',g'|\leqslant|f,g|

3. Couples prétassés

le premier mot du titre est surchargé, son initiale récrite sur une autre lettre qu'on ne lit pas ; lu « Couples », que confirme la définition plus bas. Le second mot se lit « prétassés », comme dans la définition et le corollaire ci-dessous, et comme à la p. 21

À partir de maintenant, G est un groupe, d'où \mathbb{R}[G]^*, \mathbb{R}[G]^+ est stable NB Soient f,g\in\mathbb{R}[G]^+. Considérons les \|f'*g\|_\infty (ou (f'*g)(0)) pour f'\prec f ; le sup est , et il est atteint pour des f'\sim f la note de marge, écrite verticalement le long du bord gauche, est lue en partie seulement

Prop Prop f,g\in\mathbb{R}(G)^+, Conditions équivalentes

a) f'\prec f, g'\prec g, \Longrightarrow \|f'*g'\|_\infty\leqslant\|f*g\|_\infty

b) \forall f'\prec f, g'\prec g (f'*g')(0)\leqslant\sup_{s\in G}(f*g)(s), où (f'*g')(0)=\langle f',\check g'\rangle et (f*g)(s)=\langle f*\varepsilon_s,\check g\rangle la dernière égalité récrit une première forme biffée

a') a) b) …

b') … f'\sim f, g'\sim g

c) |f,g|=\|f*g\|_\infty

d) \exists\,s\in G tel que E_*(f)\cup E_*(\varepsilon_s\check g) tot. ordonné i.e. \forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}^{+*},\quad E_\alpha(f)\ \text{et}\ E_\beta(\varepsilon_s\check g)\ \text{en relation d'inclusion} au-dessus, reliée par une double flèche : « E_\alpha(g)\cup E_\alpha(f*\varepsilon_s) tot. ordonné »

Déf On dit alors que le couple (f,g) est prétassé

([Il n'est pas clair que la relation soit symétrique telle signifie \forall s mais OK si G commutatif])

Cor f\in\mathbb{R}[G]^+, symétrique (f,f) est prétassé ( f et \check f \exists\,s\in G) tel que \check f=\varepsilon_s*f (\Longleftrightarrow\check f=f*\varepsilon_s)

NB Si dans la prop. g satisfait à la condition précédente, alors la condition de la prop. signifie aussi e) \exists\,s\in G t.q. E_*(f)\cup E_*(\varepsilon_s*g) tot. ordonné. au-dessus de la fin de ligne, reliée par une flèche : « E_\alpha(\varepsilon_s*f)\cup E_\alpha(g) tot. ordonné »

5. Donc si f et g sont sym. à translation près, la condition (f,g) prétassé est une condition symétrique en f,g Cette condition est inv. par translations. (f,g) est bien \check g,\check f aussi. Donc si f,g sont sym. modulo translation, alors (f,g) bonne ssi (g,f) bonne le numéro en tête, souligné comme ceux des paragraphes, superpose un 4 et un 5 sans qu'on puisse dire lequel surcharge l'autre ; « 5 » est lu sans certitude. Ce qu'il ouvre continue le §3 (la remarque tire la conséquence du NB de la p. 19), et le §4 commence plus bas sur la page : lu « 5 », le numéro précède donc « 4. Couples tassés ». La note de droite est d'une écriture serrée, lue en partie

4. Couples tassés

le second mot du titre, d'une écriture ramassée, commence par un t barré ; lu « tassés », comme au a) du corollaire ci-dessous et à la p. 21

f,g\in\mathbb{R}[G]^+.

Prop Conditions équivalentes

a) f'\prec f, g'\prec g\Longrightarrow f'*g'\prec f*g

b) f'\sim f, g'\sim g\Longrightarrow f'*g'\prec f*g

c) \forall h\in\mathbb{R}[G]^+ \sup_{\substack{f'\prec f\\ g'\prec g\\ h'\prec h}}(f'*g'*h')(0)\leqslant\sup_{h'\sim h}f*g*h'(0)\quad\Bigl(=\sup_{h'\sim h}\|f*g*h'\|_\infty\Bigr)

c') \forall A\in\mathfrak{P}_f(G), \sup_{\substack{A'\sim A\\ f'\sim f\\ g'\sim g}}f'*g'*A'(0)\leqslant\sup_{A'\sim A}f*g*A'(0)\quad\Bigl(=\sup_{A'\sim A}\|f*g*A'\|_\infty\Bigr)

Cela implique que (f,g) est prétassé.

Cor Soit S\subset\mathbb{R}[G]^+, S stable par *. Pour que Conditions équivalentes :

a) Tout couple (f,g)\in S\times S est tassé, il suffit

b) que Pour tout n\in\mathbb{N}, n\geqslant2, f_1,\ldots,f_n\in S, f'_1,\ldots,f'_n\in\mathbb{R}[G]^+ avec f'_1\prec f_1,\ \ldots,\ f'_n\prec f_n f'_1*\cdots*f'_n\prec f_1*\cdots*f_n

c) [Si \forall n\in\mathbb{N}^*, \exists\,A\in S\cap\mathfrak{P}_f(G) tel que \operatorname{card}A=n] \longrightarrow « condition K »

f'_1\prec f_1,\ \ldots,\ f'_n\prec f_n (f'_i\in\mathbb{R}(G)^+, f_i\in S) \Longrightarrow \|f'_1*\cdots*f'_n\|_\infty\leqslant\|f_1*\cdots*f_n\|_\infty condition K \Uparrow\ \Downarrow hyp. « n\leqslant\operatorname{card}G » est ajouté à l'encre bleue au-dessus de « \exists\,A », et « condition K » est de la même encre ; la parenthèse de la seconde ligne de c) s'ouvre sur « (ou f'_1*\cdots*f'_n(0)) »

d) f'_1\sim f_1, f'_2\sim f_2, … f'\sim f, g'\sim g, A'\sim A\in\mathfrak{P}_f(G)\cap S\Longrightarrow f'*g'*A'(0)\leqslant\|f*g*A\|_\infty condition K