Cote n° 68 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Jeux de position : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978-à partir de 1983]
Édition de démonstration

1

1. Jeu (de positions)

(a) \(C\) ensemble des positions (ou configurations)

\(R\subset C\times C\) relation (\((x,y)\in R\) se lit \(y\in R(x)\) : \(y\) successeur de \(x\))

Déf. Position \(x\) terminale \(\Longleftrightarrow\) \(R(x)=\emptyset\) \[ C_0=\{x\in C\mid R(x)=\emptyset\}=\text{ens.\ des positions terminales} \] cette définition est écrite plus bas sur la page, à l'encre bleue en partie, et une flèche la renvoie sous (a)

(b) \(J\) ensemble des joueurs

\(i : C\smallsetminus C_0\to J\) \(i(x)\) est le joueur qui a l'initiative dans la position \(x\) \[ C\smallsetminus C_0=\coprod_{j\in J}C(j) \]

NB \(i\) n'intervient que par sa restriction à \(C\smallsetminus C_0\) « \(\smallsetminus C_0\) », dans la flèche \(i\) et dans la décomposition, est ajouté à l'encre bleue ; la remarque NB est barrée de traits bleus, devenue sans objet

(c) \(J\to\mathfrak{P}(C_0)\) \(j\mapsto G_0(j)\subset C_0\) (positions terminales gagnantes pour \(j\)) NB On ne suppose pas \(G_0(j)\subset C_0(j)\) ces mots sont écrits sous \(G_0(j)\), reliés à lui par une flèche

2. Parties.

(Ne dépend que de \((C,R)\)…)

Partie (à \(n\) coups, \(n\in\mathbb{N}\)), \((x_0,x_1,\ldots,x_n)\in C^{n+1}\) \(\forall\ 0\leqslant i\leqslant n-1\), \(x_{i+1}\in R(x_i)\)

Prolongement de parties

Partie terminée (ou partie maximale) : telles que \(x_n\in C_0\)

Partie infinie, partie circulaire. \((x_0,x_1,\ldots,x_n)\) \(x_n=x_0\) (\(n\geqslant 1\))

Prop S'il existe une partie circulaire, existe une partie infinie. L'inverse est vrai si \(C\) est fini.

Construction récurrente \[ C_{-1}=\emptyset \qquad C_0=\{x\in C\mid \forall y\in R(x),\ y\in C_{-1}\}=\{x\in C\mid R(x)=\emptyset\} \] \[ C_1=\{x\in C\mid \forall y\in R(x),\ y\in C_0\} \qquad \text{NB } C_1\supset C_0 \] \[ C_i=\{x\in C\mid \forall y\in R(x),\ y\in C_{i-1}\} \]

Prop \((C_i)\) suite croissante d'ensembles.

\(C_i=\{x\in C\mid\) toute partie […] partant de \(x\) est de longueur \(\leqslant i\}\)

Cor Soit \(C_\infty=\bigcup C_i\). Alors \(C_\infty=\{x\in C\mid\) l'une des les longueurs des parties partant de \(x\) est bornée\(\}\)

2Cor Conditions équivalentes

a) \(C=C_\infty\) i.e. pour tout \(x\in C\), l'une des longueurs des parties partant de \(x\) est finie.

b) \(\exists\ C\xrightarrow{\ \ell\ }\mathbb{N}\) tel que si \(y\in R(x)\), on ait \(\ell(y)<\ell(x)\)

[Alors \(\forall x\in C\), si \(\ell=\ell(x)\), on a \(x\in C_\ell\)]

Exemple

NB Ces conditions impliquent que \(\nexists\) partie infinie. Mais Si \(C\) est fini, […] la réciproque est vraie : en effet, les parties […] ont une longueur majorée par \((\operatorname{card}C)-1=N-1\), i.e. \[ C=C_{N-1} \] la ligne est surchargée ; au-dessus de « fini » une première rédaction, barrée, parlait d'une longueur « […] »

Prop Soit \(C\)

3. Stratégie pour \(j\in J\)

\[ \Sigma\subset\bigl(C(j)\times C\bigr)\cap R \quad\text{tel que} \] \(\forall x\in C(j)\), on ait \(\bigl(R(x)\neq\emptyset\) (i.e. \(x\notin C_0\)) \(\Longrightarrow\Sigma(x)\neq\emptyset\bigr)\)

Partie \(\underline{x}=(x_0,\ldots,x_n)\) compatible avec stratégie \(\Sigma\) pour \(j\) : \(\forall\ 0\leqslant i\leqslant n-1\) tel que \(x_i\in C(j)\), on ait \(x_{i+1}\in\Sigma(x_i)\) / Idem pour partie infinie

Stratégie gagnante (pour \(j\)) pour \(x\) (\(\in C\)) :

a) Toute partie partant de \(x\), compatible avec \(\Sigma\), est finie (i.e. \(\nexists\) partie infinie partant de \(x\), comp. avec \(\Sigma\))

b) […] Toute partie terminée, \((x_0=x,\ x_1,\ \ldots,\ x_N)\), partant de \(x\), compatible avec \(\Sigma\), est telle que \(x_N\in G_0(j)\).

On dit que \(x\in C\) est gagnante pour \(j\) si \(\exists\) stratégie [pour \(j\)] \(\Sigma\) gagnante pour \(x\). L'ens. des \(x\) est noté \(G(j)\)

NB \(G(j)\cap C_0=G_0(j)\)

Posons \(\overline{C}(j)=C\smallsetminus C(j)\), \(\overline{G}(j)=C\smallsetminus G(j)\) …

3Prop. Thm 1 S'il n'y a pas de partie infinie

1°) \(\bigl(C(j)\smallsetminus C_0(j)\bigr)\cap G(j)=\{x\in C(j)\mid\) […] \(\exists\,y\in R(x)\), avec \(y\in G(j)\}\)

(i.e. \(R(x)\cap G(j)\neq\emptyset\))

2°) \(\bigl(\overline{C}(j)\smallsetminus\overline{C}_0(j)\bigr)\cap G(j)=\{x\in\overline{C}(j)\mid \forall y\in R(x)\) on a \(y\in G(j)\) et \(\forall\) si \(R(x)=\emptyset\) (i.e. \(x\in C_0\)) […] \(x\in G_0(j)\)\(\}\)

i.e. \(R(x)\subset G(j)\) « \(\smallsetminus C_0(j)\) », « \(\smallsetminus\overline{C}_0(j)\) » et « \(R(x)\subset G(j)\) » sont ajoutés à l'encre bleue ; la condition sur \(R(x)=\emptyset\) est biffée à grands traits

Dém a) Soit \(x\in C(j)\) 1°) Soit \(x\in C(j)\), il faut prouver que \[ x\in G(j)\Longleftrightarrow \exists\,y\in R(x),\ y\in G(j). \]

Si \(x\in C_0\), […] clair (cf NB plus haut […])

S'il \(x\notin C_0\) (i.e. \(R(x)\neq\emptyset\)). Prouvons \(\Longrightarrow\) i.e. supposons \(x\in G(j)\), prouvons \(\exists\,y\in R(x)\) gagnant. Soit \(\Sigma\) stratégie […] \(x\)-gagnante. Considérons \(\Sigma(x)\) ; donc […] \(\Sigma(x)\neq\emptyset\), donc \(\exists\,y\in\Sigma(x)\). Je dis que \(y\in G(j)\), i.e.

Lemme Si \(x\in C(j)\cap G(j)\), \(\Sigma\) une \(j\)-stratégie \(x\)-gagnante, alors \(\forall y\in\Sigma(x)\), on a \(y\in G(j)\), i.e. \(\Sigma(x)\subset G(j)\). (Plus précisément, \(\Sigma\) est \(y\)-gagnante pour \(\Sigma\).) En effet, je dis que Trivial sur définitions,

Inversement, supposons \(\exists\,y\in R(x)\) avec \(y\in G(j)\), prouvons que \(x\in G(j)\). Soit \(\Sigma\) une \(j\)-stratégie \(y\)-gagnante. On va (en changeant \(\Sigma\)) définir une \(j\)-stratégie \(\Sigma'\) \(x\)-gagnante ainsi : Pour \(z\in C(j)\), on pose \[ \Sigma'(z)=\begin{cases} \Sigma(z) & \text{si } z\neq x\\ \{y\} & \text{si } z=x \end{cases} \] (C'est une \(j\)-stratégie, on a : \(R(z)\neq\emptyset\) […] \(R(x)\neq\emptyset\), […] \(\Sigma(z)\neq\emptyset\) pour […] les cas \(z\neq x\) […], mais […] \(\Sigma'(z)=\Sigma(z)\) \(\neq\emptyset\) par hyp. que \(\Sigma\) est stratégie.) les deux lignes du milieu de cette parenthèse sont barrées et en partie surchargées

Prouvons que \(\Sigma'\) est \(x\)-gagnante : Soit une partie \((x_0=x,\ x_1,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots)\) partant de \(x\) et compatible avec \(\Sigma'\). On a donc \(x_1=y\) ; et prouvons que la partie \((x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots)\) est compatible avec \(\Sigma\), i.e. que […] \(\forall i\geqslant 1\), \(x_i\in C(j)\Longrightarrow x_{i+1}\in\Sigma(x_i)\), « prouvons que » est ajouté au-dessus de la ligne ; sous \(x_1\) il note \(=y\)

4Il n'y a de pb. que si […] \(x_i=x\) (car si \(x_i\neq x\), \(\Sigma(x_i)=\Sigma'(x_i)\), donc \(x_{i+1}\in\Sigma'(x_i)\) par hyp. de compatibilité avec \(\Sigma'\). Mais si on avait […] au-dessus de « \(x_i=x\) », un ajout : « l'un des est égal »

\((x_0=x,\ \ldots,\ x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_i,\ \ldots)\) […] une nouvelle partie ligne encadrée et biffée ; sous \(x_1\) il note \(=y\), sous \(x_i\) \(=x\)

Montrons d'abord qu'il n'y a pas de partie compatible avec […] Fermeture ? \(\Sigma\) commençant avec \(y\) et terminant par \(x\) note écrite en oblique dans la marge gauche, au droit des lignes précédentes

[…] Par hyp. sur \(\Sigma\), la partie \((x_1,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots)\) est finie, donc et son […] dernier terme \(x_N\) qui est […] terminaison de la partie \((x_0,\ x_1,\ \ldots)\), est \(\in G_0(j)\),

[…] OK dans le cas […]. Mais si \(\exists\) partie comp. avec \(\Sigma\) commençant avec \(y\) et terminée avec \(x\), alors par le lemme […] \(x\in G(j)\) cqfd.

2°) Soit \(x\in\overline{C}(j)\), il faut prouver que \[ x\in G(j)\Longleftrightarrow \forall y\in R(x),\ \text{on a } y\in G(j) \] et \((R(x)=\emptyset\Longrightarrow x\in G_0(j))\)

Si \(x\in C_0\) i.e. \(R(x)=\emptyset\), c'est clair Si \(x\notin C_0\) i.e. \(R(x)\neq\emptyset\), il suffit de prouver \(x\in G(j)\Longleftrightarrow\forall y\in R(x)\), \(y\in G(j)\) ces deux lignes, réunies par une accolade, sont biffées

Prouvons \(\Longrightarrow\), Soit \(x\in G(j)\), \(y\in R(x)\), prouvons \(y\in G(j)\). Soit \(\Sigma\) […] stratégie […] \(x\)-gagnante, […] je dis qu'elle est \(y\)-gagnante. En effet […] Considérons […] partie ([…] \(x_1=y,\ x_2,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots\)) maximale, compatible avec \(\Sigma\), […], alors \((x_0=x,\ x_1=y,\ x_2,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots)\) est aussi comp. avec \(\Sigma\). (NB […] \(x\in\overline{C}(j)\), […] \((x,y)\) compatible avec \(\Sigma\))

Alors partie […] […] \(\Sigma\), elle est partie finie, ([…] \(x_N\) […]) et \(x_N\in G_0(j)\).

Prouvons que \(x_1\), \(y\in G(j)\), […] […] […] […] […] \(z\in\Sigma(z)\) passage encadré et biffé au bas de la page

5Prouvons \(\Longleftarrow\), i.e. soit \(x\in\overline{C}(j)\), \(R(x)\neq\emptyset\), \(\forall y\in R(x)\), on a \(y\in G(j)\), prouvons \(x\in G(j)\). la fin de la première ligne, après « i.e. », est biffée et surchargée ; la lecture en est incertaine

Stratégie \(\Sigma\) convenable : \[ z\in C(j), \qquad \Sigma(z)=\begin{cases} R(z) & \text{si } z\notin G(j)\\ R(z)\cap G(j) & \text{si } z\in G(j) \end{cases} \]

par 1° et 2°) \(\Longrightarrow\) i.e. \(R(z)\neq\emptyset\Rightarrow\Sigma(z)\neq\emptyset\).

a) \(\Sigma\) est une stratégie, il suffit de voir que si \(z\in G(j)\) et \(z\in C(j)\), \(R(z)\cap G(j)\neq\emptyset\) ; […] […] si \(z\in G(j)\). ce passage est barré de grandes croix

b) Elle est \(x\)-gagnante. En effet, soit \((x_0=x,\ x_1=y,\ x_2,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots)\) une partie issue de \(x\), compatible avec \(\Sigma\), […] montrons qu'elle est finie. On suppose qu'il y a une partie infinie

Prouvons en prouvant par récurrence que \(x_i\in G(j)\) \(\forall i\geqslant 1\) les distinguer vrai pour \(i=1\) par hyp. Supposons que […] l'on ait \(x_i\in G(j)\), prouvons \(x_{i+1}\in G(j)\). En effet, si \(x_i\in\overline{C}(j)\), cela provient de la partie déjà prouvée de 2°. Si \(x_i\in C(j)\), cela provient de la définition de \(\Sigma\), car \[ \Sigma(x_i)=R(x_i)\cap G(j) \quad\text{donc}\quad x_{i+1}\in\Sigma(x_i) \] donc \(x_{i+1}\) est \(\in G(j)\). O.K.

Corollaire Pour […] Il existe Soit \(j\in J\), \(\Gamma\subset G(j)\) stable (dans \(G(j)\)). Il existe […] stratégie \(\Sigma\) […] Alors les stratégies \(\Gamma\in G(j)\). Il existe une

a) stratégie \(\Sigma\) […] \(x\)-gagnante pour tous les \(x\in\Gamma\).

b) Parmi celles-ci il y en a une plus grande

6toute la page est traversée d'un long trait oblique, qui semble l'annuler ; elle reste lisible et est transcrite Prouvons \(\Longleftarrow\), i.e. supposons que \(\forall y\in R(x)\), […] \(y\in G(j)\), prouvons \(x\in G(j)\), i.e. montrons qu'il existe une \(j\)-stratégie \(\Sigma\) \(x\)-gagnante (sachant que [\(R(x)\neq\emptyset\) et que] \(\forall y\in R(x)\), \(\exists\ \Sigma_y\) stratégie \(j\)-stratégie \(y\)-gagnante, et que \(x\in\overline{C}(j)\)). « \(R(x)\neq\emptyset\) et que » est un ajout interlinéaire de sa main

Considérons un bon ordre sur \(R(x)\), et posons pour \(z\in C(j)\) \[ \Sigma(z)=\begin{cases} R(z) & \text{si } z \text{ n'est pas conséquent de } x\\ \Sigma_{y(z)}(z) & \text{si } \exists\, y(z)\in R(x),\ \text{avec } z\geqslant y(z). \end{cases} \] la première ligne portait d'abord « si \(z\) n'est pas conséquent \(z\ngeq x\) », la seconde « si \(y(z)\geqslant x\), donc si \(z\geqslant y\) » ; les deux formes sont biffées et récrites On prend \(y(z)\) le plus petit.

On vérifie immédiatement que 1) \(\Sigma\) est une stratégie i.e. \(R(z)\neq\emptyset\Longrightarrow\Sigma(z)\neq\emptyset\) (car les \(\Sigma_y\) le sont), 2) qu'elle est \(x\)-gagnante.

Prouvons en effet d'abord que […] si \(z\) […] une succession de […] \(x\), \(\Sigma(z)\subset G(j)\) \(z\in G(j)\cap C(j)\), […] \(\Sigma\) passage encadré et biffé

Soit \((x_0=x,\ x_1=y,\ x_2,\ \ldots,\ x_n,\ \ldots)\) une partie issue de \(x\), compatible avec \(\Sigma\). Alors les \(x_i\) (\(i\geqslant 1\)) sont \(\geqslant x\), […] de \(x\), et […] donc \(\forall i\geqslant 1\), \(\exists\ y_i\in R(x)\), avec […] \(x_i\geqslant y_i\) ; soit \(y_i\) le plus petit de ceux-là. Comme \(x_{i+1}\geqslant x_i\geqslant y_i\), […] \(y_{i+1}\leqslant y_i\) ; donc les \(y_i\) vont décroissant) donc sont stationnaires. Soit \(y\) la valeur commune.

Donc pour \(n\) assez grand, […]

7donnée par la condition (\(\Gamma\) donné et \(z\in C(j)\)) \[ \Sigma(z)=\begin{cases} R(z) & \text{si } z\notin\Gamma\\ R(z)\cap G(j) & \text{si } z\in\Gamma \end{cases} \] les conditions portaient d'abord, biffées et surchargées : « \(\nexists\) partie \((x_0,x_1,\ldots,x_n)\) avec \(x_0\in\Gamma\), \(x_n=z\) », « \(\exists\,x\in\Gamma\), […] \(x_i\in\Sigma(\ldots)\) \(z\geqslant x\), ou si \(z\notin G(j)\) », « \(\exists\,x\in\Gamma\) tel que \(z\geqslant x\), et \(z\in G(j)\) (donc \(z\in G(j)\)) » ; il ne reste que \(z\notin\Gamma\), \(z\in\Gamma\)

Dém. Prouvons que \(\Sigma\) est une stratégie, et […] pour tout \(x\in\Gamma\). C'est une stratégie : i.e. \(R(z)\neq\emptyset\Longrightarrow\Sigma(z)\neq\emptyset\). Il suffit de regarder le cas où \(z\in\Gamma\) \(\exists\,x\in\Gamma\), tel que \(z\geqslant x\), et \(z\in G(j)\). Mais \(\Sigma(z)=R(z)\cap G(j)\), et par le 1°) de la prop. […] (puisque \(z\) \(\notin G_0\) donc \(z\notin G_0(j)\)) \(R(z)\cap G(j)\neq\emptyset\) OK.

Prouvons que \(\Sigma\) est \(x\)-gagnante pour les \(x\in\Gamma\). Soit donc une partie \((x_0=x,\ x_1,\ \ldots,\ x_N)\) définitive partant de \(x\), compatible avec \(\Sigma\), et terminée : \(x_N\in G_0\) ; prouvons \(x_N\in G_0(j)\) (c'est, au reste, \(x_N\in G(j)\)). Par hyp. \(x_0\in G(j)\), on se prouve par récurrence \[ x_i\in G(j)\Longrightarrow x_{i+1}\in G(j) \qquad (0\leqslant i\leqslant N-1). \] Si \(x_i\in\overline{C}(j)\), cela résulte de Prop., 2°. Si \(x_i\in C(j)\), cela résulte de la définition de \(\Sigma\), qui implique que \(\Sigma(x_i)=R(z)\cap G(j)\), il écrit bien \(R(z)\) ici, pour \(R(x_i)\) donc \(x_{i+1}\in\Sigma(x_i)\) et \(x_{i+1}\in G(j)\). O.K.

Prouvons enfin que parmi les stratégies \(\Sigma'\)

8\(\Gamma\)-\(x\)-gagnantes, pour \(\forall\) \(\Sigma\) est la plus grande, i.e. \(\Sigma\supset\Sigma'\), i.e. \(\forall z\in C(j)\), on a \(\Sigma(z)\supset\Sigma'(z)\). C'est évident (puisque \(\Sigma'(z)\subset R(z)\)) \(\Sigma\) dans le cas où \(\Sigma(z)=R(z)\), donc pour […] \(z\notin\Gamma\) \(\exists\,x\in\Gamma\), tel que \(z\geqslant x\), et \(z\in G(j)\). Supposons donc \(z\in\Gamma\), donc \(\Sigma(z)=R(z)\cap G(j)\). Il suffit donc de prouver que \(\Sigma'(z)\subset G(j)\), […] ce qui résulte du lemme après la prop.

Stratégie

4°) Stratégies acceptables, positions acceptables.

\(J'\)-stratégie (où \(J'\subset J\)) se définit comme une \(J\)-stratégie, en y remplaçant \(C(j)\) par \(C(J')\), \[ C(J')=\bigcup_{j\in J'}C(j), \] « comme une \(J\)-stratégie » : lire sans doute « comme une \(j\)-stratégie » ; la lettre est ambiguë Donc les \(j\)-stratégies deviennent les \(\{j\}\)-stratégies.

Une […] \(J'\)-stratégie choisie \(\Sigma'\) est dite acceptable (contre) pour \(x\in C\) si pour toute partie \((x_0,\ \ldots,\ x_N)\) partant de \(x\), compatible avec \(\Sigma'\), et terminée, […] i.e. […] \(x_N\notin G_0(j)\). les mots « pour \(x\in C\) » et « partant de \(x\) » sont des ajouts interlinéaires ; un autre ajout, après « acceptable (», est biffé

9Prop. Pour \(x\in C\) que

On dit que \(x\in C\) […] est acceptable contre \(j'\in J\) pour \(J'=J-\{j\}\) s'il \(\exists\) (posons \(J'=J-\{j'\}\)) \(J'\)-stratégie \(\Sigma'\) telle que \(\Sigma'\) soit acceptable pour \(x\in C\) contre \(j'\). Si \(x\in C\), cela signifie donc que \(x\notin G(j')\).

Cela implique que \(x\notin G(j')\). […] En effet, si \(x\in G(j')\), et si \(\Sigma\) est une \(j'\)-stratégie \(x\)-gagnante, alors prenons une partie maximale ([…]) issue de \(x\), et compatible avec \(\Sigma\) et \(\Sigma'\) ([…] pour \(x\) et \(j\)), et \((x_N\) est terminale\()\) : à la fois \(x_N\in G(j)\), et \(x_N\notin G(j)\), absurde. il écrit ici \(G(j)\) là où l'argument demande \(G_0(j')\) ; la lettre \(j\) et le prime sont peu distincts sur cette ligne

Théorème 2 Soient \(j'\in J\), \(J'=J\smallsetminus\{j'\}\), \(x\in C\). Pour que \(x\in\overline{G}(j')\) (i.e. \(x\notin G(j')\)), il faut et il suffit que \(x\) soit acceptable contre \(j'\).

10Il reste à prouver que si \(x\in\overline{G}(j')\), alors \(x\) est acceptable contre \(j'\). On va construire une stratégie \(\Sigma'\) pour \(J'\) qui soit acceptable pour tous les \(x\in\overline{G}(j')\).

On pose, pour \(z\in C(J')\) \[ \Sigma'(z)=\begin{cases} R(z) & \text{si } z\in G(j')\\ R(z)\cap\overline{G}(j') & \text{sinon, i.e.\ } z\in\overline{G}(j') \end{cases} \]

C'est une stratégie i.e. \(R(z)\neq\emptyset\Longrightarrow\Sigma'(z)\neq\emptyset\). Il suffit de le voir pour \(z\in\overline{G}(j')\), donc \(z\in\overline{C}(j')\cap\overline{G}(j')\), mais par la prop. 2° \[ \overline{C}(j')\cap\overline{G}(j')=\bigl\{z\in\overline{C}(j')\ \big|\ \exists\,y\in R(z) \text{ avec } y\in\overline{G}(j') \text{ ou } (R(z)=\emptyset \text{ et } z\in\overline{G}_0(j'))\bigr\} \] donc, comme \(R(z)\neq\emptyset\), […] que \(R(z)\cap\overline{G}(j')\neq\emptyset\), OK.

Prouvons que \(\Sigma'\) est acceptable contre \(j'\) pour \(x\in\overline{G}(j')\). Soit donc \((x_0=x,\ x_1,\ \ldots,\ x_N)\) […] sous \(x_0\), il inscrit \(\in\overline{G}(j')\)

11une partie compatible avec \(\Sigma'\), commençant avec \(x_0\in\overline{G}(j')\), et maximale i.e. \(x_N\in C_0\), prouvons \(x_N\in\overline{G}_0(j')\). On le prouve par réc. \(x_i\in\overline{G}(j')\) \(0\leqslant i\leqslant N\). Supposons \(x_i\in\overline{G}(j')\), prouvons \(x_{i+1}\in\overline{G}(j')\) … sous la seconde occurrence de \(x_i\), il précise \(0\leqslant i\leqslant N-1\)

À vrai dire, on a fait deux fois le même raisonnement. Considérons un jeu auxiliaire \(J'=J(j')\) : deux joueurs \(j'\) et \(\overline{j'}=j\), avec \[ C'=C \text{ ens.\ des positions}, \quad \text{et } R'=R \] \[ C'(j')=C(j'),\qquad C'(j)=C(J')\qquad (J'=J-\{j'\}), \] \[ G'_0(j')=G_0(j'),\qquad G'_0(j)=C_0\smallsetminus G'_0(j')=C_0\smallsetminus G_0(j') \] (donc \(C_0=G'_0(j)\amalg G'_0(j')\)). Alors les stratégies […] du jeu \(J\) pour \(J'=J\smallsetminus\{j'\}\) sont les stratégies du jeu \(J'=J(j')\) pour \(j\), et une stratégie \(\Sigma'\) est acceptable pour \(x\in C\) contre \(j'\) ssi elle est gagnante pour \(x\) (pour \(J\)). Donc les positions \(x\in C\) acceptables pour contre \(j'\) sont celles qui sont gagnantes pour \(j\). « (on pose aussi \(C'(j)\)) », « (on le note aussi \(G_0(j)\)) », « pour \(x\in C\) » et « positions » sont des ajouts interlinéaires, ici insérés à leur place s'il n'y a pas de partie infinie

Comme \(G_0(j')\cap G_0(j)=\emptyset\), on sait déjà qu'une \(x\) ne peut être simultanément gagnante pour \(j\) et \(j'\) : le raisonnement précédent montre que l'implication les deux inverses au-dessous de la ligne, il écrit : « gagnante pour \(j\) \(\Rightarrow\) non gagnante pour \(j'\) »

12

Construction 5. Essai de construction récurrente de \(G(j)\)

NB \(G_{-1}(j)=\emptyset\)

\(G_0(j)\) donné \[ G_1(j)=G_0(j)\cup\left\{x\in C\ \middle|\ \begin{array}{l} \bigl(x\in C(j) \text{ et } R(x)\cap G_0(j)\neq\emptyset\bigr)\\ \text{ou } \bigl(x\in(\overline{C}(j)\smallsetminus\overline{C}_0(j)) \text{ et } R(x)\subset G_0(j)\bigr) \end{array}\right\} \] \[ G_i(j)=G_0(j)\cup\left\{x\in C\ \middle|\ \begin{array}{l} x\in C(j) \text{ et } R(x)\cap G_{i-1}(j)\neq\emptyset\\ x\in(\overline{C}(j)\smallsetminus\overline{C}_0(j)) \text{ et } R(x)\subset G_{i-1}(j) \end{array}\right\} \] dans la définition de \(G_1(j)\), un premier « \(\{x\in C\) » est biffé avant \(G_0(j)\cup\)

On voit par récurrence sur \(i\) : \[ G_i(j)\subset G_{i+1}(j) \] et aussi \[ G_i(j)\subset G(j) \] (en utilisant la prop.)

Posons \[ G_\infty(j)=\bigcup G_i(j) \quad\text{donc}\quad G_\infty(j)\subset G(j) \]

? Th 3 \(G_\infty(j)=G(j)\). Si \(C\) fini, […] ou s'il n'existe pas de partie infinie, plus généralement si \(C=\bigcup C_i\)

Je vais prouver \(x\in G(j)\Longrightarrow\exists\,i\), \(x\in G_i(j)\). Soit \(\Sigma\) une \(j\)-stratégie gagnante pour \(x\). Donc […] partie maximale compatible avec \(\Sigma\), […] \(x\), compatible avec \(\Sigma\), \(X=(x_0=x,\ x_1,\ \ldots,\ x_N)\), \(x_N\in G_0(j)\). Je dis que tout ce passage est encadré, barré de hachures obliques et abandonné ; sous l'encadré, « On le p… », inachevé et biffé

On prouve par récurrence sur \(i\geqslant 0\) \[ G_\infty(j)\cap C_i=G(j)\cap C_i \] en utilisant le Th. 1.

13

6. Élimination des parties circulaires (en \(C\) fini)

la page ne porte que ce titre ; le paragraphe annoncé n'est pas rédigé ici

14page de calculs de brouillon, sans phrases suivies ; on transcrit ce qui est lisible, dans l'ordre de la page. Le lien avec les jeux de position n'est pas explicité : les objets sont des parties \(E\), \(V_i\) d'un groupe commutatif noté additivement \[ \{0\}\ \big/\ \underset{x_1}{V_1}\ \big/\ V_1\dotplus\{x_2\},\ \underset{x_2}{V_2}\ \big/\ V_2+\{x_3\} \] \[ \bigl\{V_2+x_3*V_1,\ V_2+x_3*V_1+\{x_2+x_3\}\bigr\},\quad V_3 \] sous \(V_1\) et \(V_2\), il écrit \(\ni x_1\), \(\ni x_2\) \[ V_1+\{x_2\}\qquad V_2+\{x_3\}\qquad 2V_2+x_3*V_1+\{x_2+x_3\} \] \[ 3\,3\,3\,3\,1\,1\,1 \]

[…] \(a_1\ a_2\ a_3\) \(b_1\ b_2\ b_3\)

\(E\dotplus x*E\)

(\(E_{2n}\supsetneq E_2\)) donnés ssi [ \(E_2\) ss-groupe abélien ; \(E_{2n}\) stable par translations par \(E_2\)

\(n\) pair, \(E_{2n+1}\), \(E_2\) donnés \(\{\) \(E_2\) ss-groupe ; \(E_{2n+1}=E'_{2n}\dotplus\{x\}\), où \(E'_{2n}\) est stable par \(E_2\) \[ 3\,2\,2\,2 \]

\(E_3\) \(E_3\) donnés \(3\) \(3\,2\,2\,1\,1\) …

\(a_1\ a_2\ a_3\) \(b_1\ b_2\ b_3\)

suivent plusieurs essais de tableaux \(3\times3\) de sommes, encerclés et en partie barrés : lignes \(0,\ a,\ a'\) / \(0,\ a,\ b'\) ; \(0,\ a,\ b'\) / \(a,\ 2a,\ a+b'\) / \(a',\ a+a',\ a'+b'\) avec les conditions \(2a\neq a\), \(a'=b'=a\) (biffé), \(b'=a\), \(a'+b'=a\) ; puis \(0,\ a,\ a-a'\) / \(a,\ 2a,\ 2a-a'\) / \(a',\ a+a',\ a\) \[ 0\ \ a\ \ a' \qquad 0\ \ a\ \ a-a' \qquad\qquad 0\ \ a\ \ 2a \qquad 0\ \ a\ \ -a \] \[ -2a\ \ -a\ \ 0\ \ a\ \ 2a \qquad\qquad 2a\neq 0 \] \[ \begin{array}{ccc} -2a & -a & 0\\ -a & 0 & a\\ 0 & a & 2a \end{array} \] \(0\) \(\left|\begin{array}{l} 2a=0\\ a'=-a\\ a'=2a\end{array}\right.\) ce dernier cas porte en tête, biffé, « \(2a=0\) »

15la page est écrite tête-bêche ; on la lit retournée. Le texte en miroir qui en occupe la moitié inférieure est l'encre traversante d'une autre feuille et n'appartient pas à cette page \[ (V_1\dotplus\{x\})*(V_1\dotplus\{x\})=2V_1\dotplus\{u\}+2\{x\}*V_1=2G+\{u\}\qquad (x^2=u) \] \(2V_1+x+\) \(\boxed{3\ 2\ 2\ 2}\) \[ \{e\}\quad V_1\quad V_1\dotplus\{x\}\quad V_2 \] « \(V_1\dotplus\{x\}\) » est récrit au-dessus d'une première forme biffée

\(E*F\) \(a+b=a'+b'\) \((a-a')=(b'-b)\)

\(a_1+a_2\) \(b_1+b_2\)

\(0\ \ a\ \big/\ 0\) […] \(a\) \(0\ \ a\) \(0\ \ a,\ a\ \ 2a\) \(a\neq0\) \(2a\neq0\) \(2a=0\) \[ 1\,1\,1\,1 \qquad 2\,2 \qquad 2\,1\,1 \qquad 2\,1\,1 \qquad 4\,1\,1\,1 \qquad 2\,2\,1\,1 \qquad 1\,1\,1\,1\,1\,1 \qquad 2\,1\,1\,1 \] colonnes de partitions, sans commentaire ; dans « \(4\,1\,1\,1\) » le \(4\) surcharge un \(2\) ; sous la dernière ligne, un essai biffé et illisible \[ V_1*(V_1+\{x\})=2V_1+x*V_1 \] \[ \underset{3}{E}+\underset{3}{x*E}\qquad (V_1+G) \]

16page à l'encre bleue ; la moitié supérieure et la moitié inférieure sont écrites tête-bêche l'une par rapport à l'autre. On donne d'abord la moitié écrite à l'endroit, puis l'autre, retournée ; rien n'indique laquelle est la première \[ E_i=[-i,i]\quad 0\leqslant i\leqslant m \qquad\qquad \text{NB } E_m=G,\ E_1=\varepsilon \] le signe moins de \([-i,i]\) est un trait oblique tracé à travers le premier \(i\). Il écrit bien \(E_1=\varepsilon\) ; avec \(E_i=[-i,i]\), c'est \(E_0=\{0\}\) que le sens demande \[ F_j=[m-j,\ m+1+j]\quad 0\leqslant j\leqslant m-1 \qquad F_m=E_m=G \] \[ F_i*F_j=\sum_0^m\beta_{ij}^k E_k \qquad \beta_{ij}^k\geqslant 0 \] \[ E_i*E_j=\sum\alpha_{ij}^k E_k \qquad \alpha_{ij}^k\geqslant 0 \] \[ E_i*F_j=\sum\gamma_{ij}^k F_k \qquad\qquad \varepsilon=\varepsilon^{-1} \] les indices des \(F\) dans la première ligne sont surchargés (\(j\) sur \(i\)) ; une flèche relie \(F_i*F_j\) à \(E_i*E_j\). La lettre des coefficients de la troisième formule est lue \(\gamma\) sans certitude \[ \mathcal{A}(g,\varepsilon)=\begin{cases} g*\mathcal{A}(0) & \text{si } \varepsilon=+1\\ g*\mathcal{B}(0) & \text{si } \varepsilon=-1\end{cases} \] \[ \mathcal{A}(\tilde g)*\mathcal{A}(\tilde h)\subset\mathcal{A}(\tilde g\tilde h) \]

Soit \(G\) groupe \(G'\longrightarrow G\)

\(\tilde G\) […] \(\tilde G\xrightarrow{\ 2\ }G\) hom., \(i : {}_2G\simeq\operatorname{Ker}\eta\)

\(\forall\tilde g\in\tilde G\) \(\mathcal{A}(\tilde g)\subset\mathfrak{P}_f(G)\) Soit \(A=g*\check A=\check A*g\), \(B=h*\check B=\check B*h\), \(A*B=g*\check A*h*\check B=g*h*\check A*\check B\) On pose \(C(\tilde g)\) cône des \(\sum_{A\in\mathcal{A}(\tilde g)}\alpha_A A\), \(\alpha_A\geqslant0\)

a) \(\mathcal{A}(\tilde g)\) tot. ordonné

b) \(A\in\mathcal{A}(\tilde g)\Longrightarrow A=\) […] \(g*\check A\) où \(g=\eta(\tilde g)\)

c) \(A\in\mathcal{A}(\tilde g)\), \(B\in\mathcal{A}(\tilde h)\Longrightarrow A*B\in C(\tilde g\tilde h)\) \(\forall\tilde g\in\tilde G\) ; \(\forall\tilde g,\tilde h\in\tilde G\)

d) si \(u\in{}_2G\), \(\tilde g\in\tilde G\), on a \(\mathcal{A}(\tilde g u^2)=u*\mathcal{A}(\tilde g)\) \(\mathcal{A}(i(u)\tilde g)=u*\mathcal{A}(\tilde g)\)

d) \(\forall\,\tilde g,\tilde h\in\tilde G\) \(\exists\,s\in G\) tel que \(\mathcal{A}(\tilde g)\cup s\,\mathcal{A}(\tilde h)\) tot. ordonné

[i.e. \(\bigcup\mathcal{A}_{\tilde g}\) […] la flèche \(\tilde G\to G\) est notée \(\eta\) dans « \(\operatorname{Ker}\eta\) » ; la lettre est lue sans certitude. Le crochet final reste ouvert

18à partir d'ici, encre noire, main plus appliquée ; nouvelle numérotation, par chiffres cerclés, rendus ici (1), (2)

(1) \(|f,g|\)

[…] \(G\) un ensemble, \(C(G)=\mathbb{R}[G]=\mathbb{R}^{(G)}\) (fonctions réelles à support fini), \(\mathbb{R}[G]^+=\{f\in\mathbb{R}[G]\mid f\geqslant0\}\)

\(f,g\in\) Éparpillement \(f'\) de \(f\) (ou \(f,f'\) équivalentes, on écrit \(f\sim f'\)) ssi \(\exists\,\sigma\in\mathfrak{S}_G\), \(f'=f\circ\sigma\) \(\Longleftrightarrow\) la suite des valeurs \(\neq0\) de \(f\), complètement rangée en décroissant et avec multiplicités, soit la même \(\Longleftrightarrow\) \(f(\mu)=f'(\mu)\) (image directe de la mesure canonique). Notation \(A(f)\) ; ordonnée ; \(A(f)=A(f')\) la note de marge, écrite en oblique, est lue ainsi sans certitude ; la parenthèse finale et le mot « canonique » ferment une ligne coupée par la marge

Si \(f,g\in\mathbb{R}[G]^+\), on pose \[ |f,g|=\sup_{f'\sim f}\langle f',g\rangle=\sup_{g'\sim g}\langle f,g'\rangle=\sup_{\substack{f'\sim f\\ g'\sim g}}\langle f',g'\rangle \]

NB \(|f,g|=|f',g'|\) si \(f'\sim f\), \(g'\sim g\) NB Si \(f\sim g\) on a \(|f,g|=\|f\|_2^2\) et \(f'=g'\) … \(|f,g|=|f,g'|\) cette seconde note de marge, en oblique au bas de la page, est en partie coupée ; lecture incertaine dans le détail

Proposition Pour que \(\langle f',g'\rangle\) réalise le sup, il faut et il suffit que pour tt \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}^{+*}\), \(E_\alpha(f')\) et \(E_\beta(g')\) soient en relation d'inclusion (i.e. \(\subset\) ou \(\supset\)), i.e. il faut et il suffit que

\(E_\alpha(f')\cup E_\alpha(g')\) soit tot. ordonné \(\Longleftrightarrow\) \(\exists\) un ordre total sur \(G\) [si \(G\) est fini ou dénombrable] \(\sim[0,n]\) ou \(\mathbb{N}\), tel que \(f\) et \(g\) soient décroissantes. il écrit bien \(E_\alpha(g')\) dans la première formule de cette ligne, là où l'on attend \(E_\beta(g')\) ; et \(f\), \(g\) pour \(f'\), \(g'\) à la fin

NB On pose \(E_\alpha(f)=\{s\in G\mid f(s)\geqslant\alpha\}\) (donc \(\alpha\leqslant\beta\Rightarrow E_\alpha(f)\supset E_\beta(f)\)) et \(E_*(f)=\{E_\alpha(f)\}\)

Proposition \(f'\sim f\Longleftrightarrow\forall g\in C(G)^+\), \(|f',g|=|f,g|\Longleftrightarrow\forall A\in\mathfrak{P}_f(G)\), \(|f',A|=|f,A|\)

(2) \(f'\prec f\)

Prop. Conditions équivalentes sur \(f',f\in\mathbb{R}[G]^+\)

a) \(\forall g\in\mathbb{R}[G]^+\), on a \[ |f',g|\leqslant|f,g| \]

b) \(\forall A\in\mathfrak{P}_f(G)\), on a \[ |f',A|\leqslant|f,A| \]

c) […] \(\forall n\in\mathbb{N}^*\), on a \[ \sum_0^n A(f')_i\leqslant\sum_0^n A(f)_i \]

On écrit alors \(f'\prec f\).

19NB C'est une relation d'ordre de préordre. La relation d'équivalence associée est \(f'\sim f\).

NB Le sup de \(\langle f',g\rangle\) pour \(f'\prec f\) est atteint pour des \(f'\sim f\) …

Cor \(f'\prec f\), \(g'\prec g\Longrightarrow|f',g'|\leqslant|f,g\)

Cor \(f'\prec f\Longleftrightarrow\forall g',g\in C(G)^+\), avec \(g'\prec g\), on a \[ |f',g'|\leqslant|f,g| \]

3. Couples prétassés

le premier mot du titre est surchargé, son initiale récrite sur une autre lettre qu'on ne lit pas ; lu « Couples », que confirme la définition plus bas. Le second mot se lit « prétassés », comme dans la définition et le corollaire ci-dessous, et comme à la p. 21

À partir de maintenant, \(G\) est un groupe, d'où \(\mathbb{R}[G]^*\), \(\mathbb{R}[G]^+\) est stable NB Soient \(f,g\in\mathbb{R}[G]^+\). Considérons les \(\|f'*g\|_\infty\) (ou \((f'*g)(0)\)) pour \(f'\prec f\) ; le sup est […] […], et il est atteint pour des \(f'\sim f\) la note de marge, écrite verticalement le long du bord gauche, est lue en partie seulement

Prop Prop \(f,g\in\mathbb{R}(G)^+\), Conditions équivalentes

a) \(f'\prec f\), \(g'\prec g\), \(\Longrightarrow\) \(\|f'*g'\|_\infty\leqslant\|f*g\|_\infty\)

b) \(\forall f'\prec f\), \(g'\prec g\) \((f'*g')(0)\leqslant\sup_{s\in G}(f*g)(s)\), où \((f'*g')(0)=\langle f',\check g'\rangle\) et \((f*g)(s)=\langle f*\varepsilon_s,\check g\rangle\) la dernière égalité récrit une première forme biffée

a') […] a) b) …

b') … \(f'\sim f\), \(g'\sim g\)

c) \(|f,g|=\|f*g\|_\infty\)

d) \(\exists\,s\in G\) tel que \(E_*(f)\cup E_*(\varepsilon_s\check g)\) tot. ordonné i.e. \[ \forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}^{+*},\quad E_\alpha(f)\ \text{et}\ E_\beta(\varepsilon_s\check g)\ \text{en relation d'inclusion} \] au-dessus, reliée par une double flèche : « \(E_\alpha(g)\cup E_\alpha(f*\varepsilon_s)\) […] tot. ordonné »

Déf On dit alors que le […] couple \((f,g)\) est prétassé

([Il n'est pas clair que la relation soit symétrique telle signifie \(\forall s\) mais OK si \(G\) commutatif])

Cor \(f\in\mathbb{R}[G]^+\), symétrique \((f,f)\) est prétassé ([…] \(f\) et \(\check f\) […] \(\exists\,s\in G\)) tel que \(\check f=\varepsilon_s*f\) (\(\Longleftrightarrow\check f=f*\varepsilon_s\))

NB Si dans la prop. \(g\) satisfait à la condition précédente, alors la condition de la prop. signifie aussi e) \(\exists\,s\in G\) t.q. \(E_*(f)\cup E_*(\varepsilon_s*g)\) tot. ordonné. au-dessus de la fin de ligne, reliée par une flèche : « \(E_\alpha(\varepsilon_s*f)\cup E_\alpha(g)\) tot. ordonné »

205. Donc si \(f\) et \(g\) sont sym. à translation près, la condition \((f,g)\) prétassé est une condition symétrique en \(f,g\) Cette condition est inv. par translations. […] \((f,g)\) est bien \(\check g,\check f\) aussi. Donc si \(f,g\) sont sym. modulo translation, alors \((f,g)\) bonne ssi \((g,f)\) bonne le numéro en tête, souligné comme ceux des paragraphes, superpose un 4 et un 5 sans qu'on puisse dire lequel surcharge l'autre ; « 5 » est lu sans certitude. Ce qu'il ouvre continue le §3 (la remarque tire la conséquence du NB de la p. 19), et le §4 commence plus bas sur la page : lu « 5 », le numéro précède donc « 4. Couples tassés ». La note de droite est d'une écriture serrée, lue en partie

4. Couples tassés

le second mot du titre, d'une écriture ramassée, commence par un \(t\) barré ; lu « tassés », comme au a) du corollaire ci-dessous et à la p. 21

\(f,g\in\mathbb{R}[G]^+\).

Prop Conditions équivalentes

a) \(f'\prec f\), \(g'\prec g\Longrightarrow f'*g'\prec f*g\)

b) \(f'\sim f\), \(g'\sim g\Longrightarrow f'*g'\prec f*g\)

c) \(\forall h\in\mathbb{R}[G]^+\) \[ \sup_{\substack{f'\prec f\\ g'\prec g\\ h'\prec h}}(f'*g'*h')(0)\leqslant\sup_{h'\sim h}f*g*h'(0)\quad\Bigl(=\sup_{h'\sim h}\|f*g*h'\|_\infty\Bigr) \]

c') \(\forall A\in\mathfrak{P}_f(G)\), \[ \sup_{\substack{A'\sim A\\ f'\sim f\\ g'\sim g}}f'*g'*A'(0)\leqslant\sup_{A'\sim A}f*g*A'(0)\quad\Bigl(=\sup_{A'\sim A}\|f*g*A'\|_\infty\Bigr) \]

Cela implique que \((f,g)\) est prétassé.

Cor Soit \(S\subset\mathbb{R}[G]^+\), \(S\) stable par \(*\). Pour que Conditions équivalentes :

a) […] Tout couple \((f,g)\in S\times S\) est tassé, il suffit

b) que Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geqslant2\), \(f_1,\ldots,f_n\in S\), \(f'_1,\ldots,f'_n\in\mathbb{R}[G]^+\) avec \(f'_1\prec f_1,\ \ldots,\ f'_n\prec f_n\) \[ f'_1*\cdots*f'_n\prec f_1*\cdots*f_n \]

c) [Si \(\forall n\in\mathbb{N}^*\), \(\exists\,A\in S\cap\mathfrak{P}_f(G)\) tel que \(\operatorname{card}A=n\)] \(\longrightarrow\) « condition K »

\(f'_1\prec f_1,\ \ldots,\ f'_n\prec f_n\) (\(f'_i\in\mathbb{R}(G)^+\), \(f_i\in S\)) \(\Longrightarrow\) \[ \|f'_1*\cdots*f'_n\|_\infty\leqslant\|f_1*\cdots*f_n\|_\infty \] condition K \(\Uparrow\ \Downarrow\) hyp. « \(n\leqslant\operatorname{card}G\) » est ajouté à l'encre bleue au-dessus de « \(\exists\,A\) », et « condition K » est de la même encre ; la parenthèse de la seconde ligne de c) s'ouvre sur « (ou \(f'_1*\cdots*f'_n(0)\)) »

d) \(f'_1\sim f_1\), \(f'_2\sim f_2\), … \(f'\sim f\), \(g'\sim g\), \(A'\sim A\in\mathfrak{P}_f(G)\cap S\Longrightarrow f'*g'*A'(0)\leqslant\|f*g*A\|_\infty\) condition K