Cote n° 68 · pages 1–55 · Lecture modernisée · Jeux de position : notes manuscrites (s.d.) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978-à partir de 1983]
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–55

Le fil du dossier, et les conventions

Les pièces. Le dossier n'a pas de pagination de sa main ; on suit celle de l'archive.

1. Pages 1 à 13, crayon : un exposé numéroté sur les jeux de position, §1 à §5, et le seul titre d'un §6 (section I). C'est la première mouture.
2. Pages 14 à 16 : calculs de brouillon sur des parties finies d'un groupe commutatif, la page 16 à l'encre bleue ; pages 18 à 21, encre noire puis bleue : une suite numérotée sur le réarrangement des fonctions positives sur un groupe (section IV). La page 17 est un tableau administratif dactylographié, sans rapport, que la transcription ne reprend pas.
3. Pages 23 à 33, crayon, titrées « Jeux de position » : la seconde mouture de la théorie des jeux (section II).
4. Pages 35 à 45, crayon, titrées « Exponentielles (en car. 0) » (section V).
5. Page 47, crayon, « Jeux à \(N\) joueurs » : une troisième mouture, réduite aux données (section III).
6. Pages 49, 51 et 53, encre bleue : une théorie axiomatique de l'orientation (section VI). Elles alternent avec trois exemplaires d'une même page dactylographiée, pages 50, 52 et 54, intitulée « XVIII Les épousailles (2) » — une liste de couples de mots, « lumière et ombre », corrigée à la main, sans mathématiques, que la transcription ne reprend pas.¹
7. Page 55, crayon : les axiomes d'une théorie des déterminants gradués (section VII).

Les pages 22, 34, 46 et 48 sont blanches.

Le fil. Il n'y en a pas un, mais cinq. Les jeux (sections I à III) forment le seul sujet repris : trois fois, et les trois rédactions sont des moutures distinctes, qu'on ne fond pas. La première (pages 1 à 13) démontre le théorème central par un argument qui ne vaut qu'en l'absence de parties infinies, s'essaie au cas général sur une page qu'il barre, et finit sur une question. La seconde (pages 23 à 33) reprend tout, démontre le théorème en général et va jusqu'au jeu alterné. La troisième (page 47) change de cadre — une position initiale, \(N\) joueurs qui jouent dans un ordre circulaire — et s'arrête aux définitions. L'ordre dans lequel les trois ont été écrites n'est pas établi ; celui des pages est celui qu'on suit. Le réarrangement (section IV), l'exponentielle (section V), l'orientation et le déterminant (sections VI et VII) sont des sujets à part ; les deux derniers se touchent, par la règle des signes de Koszul, et ce rapprochement est dit à la section VII.

Notations. Chaque partie garde les lettres de ses pages, avec les exceptions suivantes, signalées en note au point où elles interviennent. Dans les deux premières moutures, l'application qui donne le joueur qui a l'initiative est notée \(\alpha\), comme dans la seconde (la première écrit \(i\)) ; et \(\overline{C}(j)\) désigne toujours l'ensemble des positions non terminales où l'initiative est à un autre joueur que \(j\), comme dans la seconde (la première y inclut les positions terminales). Pour le réarrangement, la suite décroissante des valeurs d'une fonction \(f\) est notée \(f^{\downarrow}\), et l'élément neutre du groupe \(e\). Pour l'exponentielle, la droite formelle est notée \(\widehat{\mathbb{G}}_a\).

Collisions de lettres. Elles sont nombreuses et on ne les corrige pas, mais il faut les avoir en tête. \(G\) est l'ensemble des positions gagnantes (pages 31 à 33), \(G(j)\) celui des positions gagnantes pour \(j\), et \(G\) un groupe aux pages 14 à 21. \(N\) est l'ensemble des positions nulles (pages 29 à 32), le nombre de joueurs (page 47), et \(N(A)\) l'ensemble des éléments nilpotents d'un anneau (pages 35 à 45). \(P\) est l'ensemble des positions perdantes ; \(\mathfrak{P}\), l'ensemble des parties. Surtout, la théorie des jeux combinatoires d'aujourd'hui dit N-position (« next ») ce que la page appelle gagnante, P-position (« previous ») ce qu'elle appelle perdante, et D-position (« draw ») ce qu'elle appelle nulle : le \(N\) de la page n'est pas celui de la littérature.

Ce que le dossier annonce sans l'établir. Le §6 de la première mouture (page 13), dont il n'y a que le titre ; le « Th 3 » de la page 12, dans la généralité où la marge le place ; la fin de la page 21 ; l'usage des axiomes de la page 16 ; la question du NB de la page 43 ; l'indice \(I(\omega, \omega')\) de la page 53 ; le théorème que préparent les axiomes de la page 55 ; une condition de gain pour les jeux à \(N\) joueurs de la page 47.

1–13

I. Jeux de position, première mouture (pages 1 à 13)

1–1

Les données (page 1)

Un jeu de position est la donnée :

• d'un ensemble \(C\) de positions (ou configurations) ;
• d'une relation \(R \subset C \times C\) ; on écrit \(y \in R(x)\) pour \((x, y) \in R\), et l'on dit que \(y\) est un successeur de \(x\). Les positions sans successeur sont dites terminales : \(C_0 = \{x \in C \mid R(x) = \emptyset\}\) ;
• d'un ensemble \(J\) de joueurs et d'une application \(\alpha : C \smallsetminus C_0 \to J\), où \(\alpha(x)\) est le joueur qui a l'initiative dans la position \(x\) ; on pose \(C(j) = \alpha^{-1}(j)\), d'où \(C \smallsetminus C_0 = \bigsqcup_{j \in J} C(j)\), et \(\overline{C}(j) = (C \smallsetminus C_0) \smallsetminus C(j)\) ;
• pour chaque joueur \(j\), d'une partie \(G_0(j) \subset C_0\), les positions terminales gagnantes pour \(j\).

Rien n'oblige les \(G_0(j)\) à être disjoints ; une position terminale peut n'être gagnante pour personne.²

1–2

Parties, et positions de longueur bornée (pages 1 et 2)

Une partie à \(n\) coups est une suite \((x_0, \ldots, x_n)\) avec \(x_{i+1} \in R(x_i)\) ; elle ne dépend que de \((C, R)\). Elle est terminée si \(x_n \in C_0\). On parle aussi de parties infinies, et une partie est circulaire si \(x_n = x_0\) avec \(n \geqslant 1\). S'il existe une partie circulaire, il existe une partie infinie ; la réciproque vaut si \(C\) est fini, puisqu'une partie infinie repasse alors par une même position.

On définit par récurrence \[ C_{-1} = \emptyset, \qquad C_i = \{x \in C \mid R(x) \subset C_{i-1}\} \quad (i \geqslant 0), \] de sorte que \(C_0\) est bien l'ensemble des positions terminales. La suite \((C_i)\) est croissante, et \(C_i\) est l'ensemble des positions dont toutes les parties issues sont de longueur au plus \(i\). La réunion \(C_\infty = \bigcup_i C_i\) est donc l'ensemble des positions d'où les longueurs des parties sont bornées. Il revient au même de demander \(C = C_\infty\) ou l'existence d'une fonction \(\ell : C \to \mathbb{N}\) qui décroît strictement le long des coups (\(\ell(y) < \ell(x)\) pour \(y \in R(x)\)) ; on a alors \(x \in C_{\ell(x)}\).³

Ces conditions interdisent les parties infinies. Si \(C\) est fini, de cardinal \(N\), la réciproque est vraie : sans partie infinie, il n'y a pas de partie circulaire, une partie ne repasse jamais par la même position, sa longueur est au plus \(N - 1\), et \(C = C_{N-1}\).⁴

2–2

Stratégies et positions gagnantes (page 2)

Une stratégie pour le joueur \(j\) est une application \(\Sigma : C(j) \to \mathfrak{P}(C)\) telle que \(\emptyset \neq \Sigma(x) \subset R(x)\) pour tout \(x \in C(j)\) : en chaque position où il a la main, \(j\) s'autorise un ensemble non vide de coups. Une partie est compatible avec \(\Sigma\) si chacun de ses coups joués depuis une position de \(C(j)\) est dans \(\Sigma\) ; même définition pour les parties infinies. La stratégie \(\Sigma\) est gagnante pour \(x\) si

• a)il n'y a pas de partie infinie issue de \(x\) et compatible avec \(\Sigma\) ;
• b)toute partie terminée issue de \(x\) et compatible avec \(\Sigma\) s'achève dans \(G_0(j)\).

La position \(x\) est gagnante pour \(j\) s'il existe une stratégie pour \(j\) gagnante pour \(x\) ; on note \(G(j)\) l'ensemble de ces positions. On a \(G(j) \cap C_0 = G_0(j)\).

Deux traits de cette définition sont modernes avant la lettre. Une stratégie ne regarde que la position présente, non l'histoire de la partie : c'est ce qu'on appelle aujourd'hui une stratégie positionnelle, ou sans mémoire. Et elle autorise un ensemble de coups plutôt qu'un seul, ce qu'on appelle parfois une multi-stratégie. Le second trait dispense de choisir un coup en chaque position ; le premier se révélera sans perte de généralité (section II).

3–6

Théorème 1 : l'équation de point fixe (pages 3 à 6)

Théorème 1. Soit \(j \in J\).

• 1°)Pour \(x \in C(j)\) : \(x \in G(j)\) si et seulement si \(R(x) \cap G(j) \neq \emptyset\).
• 2°)Pour \(x \in \overline{C}(j)\) : \(x \in G(j)\) si et seulement si \(R(x) \subset G(j)\).

Avec \(G(j) \cap C_0 = G_0(j)\), cela dit que \(G(j)\) est un point fixe de l'opérateur, croissant pour l'inclusion, \[ F_j(X) = G_0(j) \cup \{x \in C(j) \mid R(x) \cap X \neq \emptyset\} \cup \{x \in \overline{C}(j) \mid R(x) \subset X\}, \] qu'on introduit pour la commodité de ce qui suit.⁵

Le théorème est vrai tel quel, sans hypothèse. La démonstration de la page ne l'établit pourtant qu'en partie.⁶ Elle repose sur un lemme : si \(\Sigma\) est gagnante pour \(x\), elle l'est pour toute position d'une partie issue de \(x\) et compatible avec \(\Sigma\) ; en particulier \(\Sigma(x) \subset G(j)\) quand \(x \in C(j)\).

1°. Le sens direct est le lemme. Pour la réciproque, soit \(y \in R(x) \cap G(j)\) et \(\Sigma\) gagnante pour \(y\) ; on la modifie en posant \(\Sigma'(x) = \{y\}\). Si une partie issue de \(y\) et compatible avec \(\Sigma\) passe par \(x\), alors \(x\) est déjà gagnante pour \(\Sigma\) par le lemme ; sinon, une partie issue de \(x\) et compatible avec \(\Sigma'\) ne revient jamais en \(x\), suit \(\Sigma\) après son premier coup, et est gagnée.⁷

2°. Le sens direct est immédiat : une stratégie gagnante pour \(x\) l'est pour chaque \(y \in R(x)\), puisque \(x\) n'est pas une position de \(j\). Pour la réciproque, la page 5 propose la stratégie \[ \Sigma(z) = R(z) \cap G(j) \ \ (z \in C(j) \cap G(j)), \qquad \Sigma(z) = R(z) \ \ \text{sinon}, \] et montre par récurrence que toute partie issue de \(x\) et compatible avec elle reste dans \(G(j)\) ; une telle partie, si elle se termine, se termine donc dans \(G(j) \cap C_0 = G_0(j)\). Ce raisonnement ne montre pas qu'elle se termine, et ne suffit donc qu'en l'absence de parties infinies. Rester dans les positions gagnantes n'est pas gagner.⁸

La page 6, traversée d'un trait oblique qui l'annule, tente le cas général : on munit \(R(x)\) d'un bon ordre, on choisit pour chaque \(y \in R(x)\) une stratégie \(\Sigma_y\) gagnante pour \(y\), et, en une position \(z\) atteinte, on suit \(\Sigma_{y(z)}\) pour le plus petit \(y(z)\) d'où \(z\) est atteint ; le long d'une partie, les \(y(x_i)\) décroissent, donc stationnent. La page s'interrompt là. Telle qu'écrite, l'accessibilité est prise au sens de parties quelconques, et la queue de partie qui suit \(\Sigma_y\) après la stationnarité n'a alors aucune raison d'être gagnante pour \(\Sigma_y\). La seconde mouture reprend exactement cet argument, en prenant l'accessibilité par des parties compatibles avec \(\Sigma_y\), et il passe (pages 26 à 28, section II).

5–8

La plus grande stratégie gagnante (pages 5, 7 et 8)

Disons qu'une partie \(\Gamma \subset G(j)\) est stable si \(R(z) \cap G(j) \subset \Gamma\) pour \(z \in \Gamma \cap C(j)\) et \(R(z) \subset \Gamma\) pour \(z \in \Gamma \cap \overline{C}(j)\) ; par le théorème 1, \(G(j)\) lui-même est stable. On ordonne les stratégies par inclusion : \(\Sigma' \subset \Sigma\) si \(\Sigma'(z) \subset \Sigma(z)\) pour tout \(z\).

Corollaire. Supposons qu'il n'y ait pas de partie infinie, et soit \(\Gamma \subset G(j)\) stable. La stratégie \[ \Sigma_\Gamma(z) = R(z) \cap G(j) \ \ (z \in \Gamma \cap C(j)), \qquad \Sigma_\Gamma(z) = R(z) \ \ (z \in C(j) \smallsetminus \Gamma) \] est gagnante pour tout \(x \in \Gamma\), et elle est la plus grande des stratégies gagnantes pour tout \(x \in \Gamma\).

C'est une stratégie par le 1° du théorème 1. Une partie issue de \(x \in \Gamma\) et compatible avec elle reste dans \(\Gamma\) par stabilité ; elle est finie par hypothèse, et se termine dans \(\Gamma \cap C_0 \subset G_0(j)\). Enfin, si \(\Sigma'\) est gagnante pour tout point de \(\Gamma\), le lemme donne \(\Sigma'(z) \subset G(j)\) pour \(z \in \Gamma \cap C(j)\), donc \(\Sigma' \subset \Sigma_\Gamma\) (pages 7 et 8).⁹

Sans cette hypothèse, il n'y a pas en général de plus grande stratégie gagnante.¹⁰

8–11

Positions acceptables ; théorème 2 (pages 8 à 11)

Pour \(J' \subset J\), une \(J'\)-stratégie se définit comme une stratégie pour un joueur, en remplaçant \(C(j)\) par \(C(J') = \bigcup_{j \in J'} C(j)\) : c'est la stratégie d'une coalition. Fixons \(j' \in J\) et \(J' = J \smallsetminus \{j'\}\). Une \(J'\)-stratégie \(\Sigma'\) est acceptable pour \(x\) contre \(j'\) si toute partie terminée issue de \(x\) et compatible avec \(\Sigma'\) s'achève hors de \(G_0(j')\) ; et \(x\) est acceptable contre \(j'\) s'il existe une telle \(\Sigma'\). Les parties infinies ne comptent pas contre la coalition : être acceptable, c'est empêcher \(j'\) de gagner.

Théorème 2. Pour que \(x \notin G(j')\), il faut et il suffit que \(x\) soit acceptable contre \(j'\).

Suffisance (page 9). Si \(x \in G(j')\) par une stratégie \(\Sigma\) et que \(\Sigma'\) est acceptable pour \(x\), une partie maximale issue de \(x\) et compatible avec les deux est finie, puisque \(\Sigma\) est gagnante, et s'achève à la fois dans \(G_0(j')\) et hors de \(G_0(j')\).¹¹

Nécessité (pages 10 et 11). On pose, pour \(z \in C(J')\), \[ \Sigma'(z) = R(z) \ \ (z \in G(j')), \qquad \Sigma'(z) = R(z) \smallsetminus G(j') \ \ (z \notin G(j')). \] C'est une \(J'\)-stratégie par le 2° du théorème 1, et une partie issue d'une position \(x \notin G(j')\) et compatible avec elle reste hors de \(G(j')\) : aux positions de \(j'\) par le 1°, aux autres par construction. Elle ne peut donc s'achever dans \(G_0(j')\). Cette stratégie est acceptable pour toutes les positions non gagnantes pour \(j'\) à la fois.

Le théorème 2 vaut sans hypothèse, dès lors que le théorème 1 vaut en général. Grothendieck observe alors qu'il a « fait deux fois le même raisonnement », et réduit le théorème au jeu auxiliaire à deux joueurs \(J(j')\) : \(j'\) contre la coalition, notée \(\bar\jmath\), avec les mêmes positions et les mêmes coups, \(C(\bar\jmath) = C(J')\), \(G_0(\bar\jmath) = C_0 \smallsetminus G_0(j')\). Les \(J'\)-stratégies du jeu initial sont les stratégies de \(\bar\jmath\) dans \(J(j')\), et, s'il n'y a pas de partie infinie, être acceptable contre \(j'\) revient à être gagnant pour \(\bar\jmath\).¹² On en tire, sans parties infinies, qu'en tout jeu à deux joueurs où chaque position terminale est gagnante pour exactement l'un des deux, toute position est gagnante pour exactement l'un des deux. C'est le théorème de Zermelo, qui est ce que la page écrit, en bas, par « gagnante pour \(j\) \(\Rightarrow\) non gagnante pour \(j'\) » et l'implication inverse.¹³

12–12

« ? Th 3 » : la construction récurrente (page 12)

La page 12 cherche à construire \(G(j)\) comme la page 1 construisait les \(C_i\). On pose \(G_{-1}(j) = \emptyset\) et \[ G_i(j) = F_j\bigl(G_{i-1}(j)\bigr) \qquad (i \geqslant 0), \] c'est-à-dire : \(G_i(j)\) est l'ensemble des positions d'où \(j\) peut forcer le gain en au plus \(i\) coups. La suite est croissante, contenue dans \(G(j)\) par le théorème 1, et l'on pose \(G_\omega(j) = \bigcup_i G_i(j) \subset G(j)\). La page énonce alors, sous un point d'interrogation :

? Th 3. \(G_\omega(j) = G(j)\).

et démontre, par récurrence sur \(i\) au moyen du théorème 1, que \(G_\omega(j) \cap C_i = G(j) \cap C_i\) pour tout \(i\).¹⁴ Voici ce qui est vrai.

• a)Si \(C = \bigcup_i C_i\) — les longueurs des parties issues de chaque position sont bornées —, alors \(G_\omega(j) = G(j)\) : c'est la démonstration de la page. Le cas d'un \(C\) fini sans partie circulaire est compris.
• b)Si \(C\) est fini, même avec des parties circulaires, alors \(G_\omega(j) = G(j)\) : la suite croissante \(G_i(j)\) stationne, et sa limite est le plus petit point fixe de \(F_j\), qui est \(G(j)\) (point d) ci-dessous).
• c)Plus généralement, \(G_\omega(j) = G(j)\) dès que chaque position de \(\overline{C}(j)\) n'a qu'un nombre fini de successeurs.
• d)En général, \(G_\omega(j) \neq G(j)\), même quand il n'y a aucune partie infinie. Il faut prolonger la récurrence au-delà des entiers : \[ G_\alpha(j) = F_j\Bigl(\,\bigcup_{\beta < \alpha} G_\beta(j)\Bigr) \quad (\alpha \text{ ordinal}), \qquad G(j) = \bigcup_\alpha G_\alpha(j), \] et \(G(j)\) est le plus petit point fixe de \(F_j\).

Les points b) à d) sont les nôtres.¹⁵ Pour d), on voit que \(G_\alpha(j) \subset G(j)\) par récurrence transfinie à l'aide du théorème 1 ; inversement, si \(\Sigma\) est gagnante pour \(x\), l'arbre des parties issues de \(x\) et compatibles avec \(\Sigma\) n'a pas de branche infinie, et une récurrence sur son rang montre que \(x\) appartient à un \(G_\alpha(j)\). La suite transfinie stationne à un ordinal de cardinal au plus celui de \(C\). Pour c), l'hypothèse rend \(F_j\) compatible aux réunions croissantes dénombrables, et le point fixe est atteint en \(\omega\) étapes.¹⁶

13–13

Un paragraphe annoncé (page 13)

La page 13 ne porte que le titre d'un §6, « Élimination des parties circulaires (en \(C\) fini) ». Le paragraphe n'est écrit nulle part dans le dossier, et l'on n'en reconstitue pas le contenu. On note seulement qu'en \(C\) fini, le point b) ci-dessus rend la question du « Th 3 » sans objet.

23–33

II. Jeux de position, seconde mouture (pages 23 à 33)

23–24

Données, parties, stratégies (pages 23 et 24)

Les données sont celles de la première mouture, écrites cette fois avec la convention \(\overline{C}(j) = (C \smallsetminus C_0) \smallsetminus C(j)\) dès le départ.¹⁷ Une partie est une suite finie ou infinie de positions dont deux termes consécutifs vérifient \(x_{i+1} \in R(x_i)\) ; les parties terminées, ou non prolongeables, sont les parties infinies et les parties finies dont la dernière position est terminale. Une marge note que les parties se composent de façon associative, et parle de « catégorie des positions » : c'est la catégorie libre sur le graphe \((C, R)\), dont les parties finies sont les flèches. Une partie est gagnée pour \(j\) si elle est finie, terminée, et s'achève dans \(G_0(j)\) ; une marge observe qu'une partie composée \(XY\) est gagnée si et seulement si \(Y\) l'est.

Une stratégie pour \(j\) est, comme en I, une application \(\Sigma : C(j) \to \mathfrak{P}(C)\) avec \(\emptyset \neq \Sigma(x) \subset R(x)\) ; on la prolonge par \(\Sigma(x) = R(x)\) sur \(\overline{C}(j)\). Les parties compatibles avec \(\Sigma\) — les « \(\Sigma\)-parties » — sont stables par composition et forment une sous-catégorie.

Lemme (page 24). Soient \(J' \subset J\) et, pour chaque \(j \in J'\), une stratégie \(\Sigma_j\) pour \(j\). De toute position part une partie terminée compatible avec toutes les \(\Sigma_j\).¹⁸

La stratégie \(\Sigma\) est gagnante pour \(x_0\) si toute partie terminée issue de \(x_0\) et compatible avec \(\Sigma\) est gagnée pour \(j\) : c'est la définition de la section I, les deux conditions a) et b) réunies en une. On note encore \(G(j)\) l'ensemble des positions gagnantes pour \(j\), et \(G(j) \cap C_0 = G_0(j)\). Une proposition entre crochets en tire, par le lemme, que si \(\bigcap_{j \in J'} G_0(j) = \emptyset\) (avec \(J'\) non vide), aucune position n'est gagnante pour tous les \(j \in J'\) à la fois.

25–28

Le théorème de point fixe, démontré (pages 25 à 28)

Proposition (page 25). Si \(\Sigma\) est gagnante pour \(x_0\), toute position d'une \(\Sigma\)-partie issue de \(x_0\) est gagnante pour \(\Sigma\).

Théorème (page 25). On a \[ G(j) \cap C(j) = \{x \in C(j) \mid R(x) \cap G(j) \neq \emptyset\}, \qquad G(j) \cap \overline{C}(j) = \{x \in \overline{C}(j) \mid R(x) \subset G(j)\}, \] et \(G(j) \cap C_0 = G_0(j)\) ; autrement dit, \(G(j) = F_j(G(j))\).

C'est le théorème 1 de la page 3, et la démonstration en est cette fois complète. Le point a), \(\supset\), est celui de la section I : si \(x_1 \in R(x_0) \cap G(j)\) par une stratégie \(\Sigma_1\), et si \(x_0\) n'est pas déjà gagnante pour \(\Sigma_1\), la stratégie \(\Sigma_0\) égale à \(\Sigma_1\) sauf en \(x_0\), où \(\Sigma_0(x_0) = \{x_1\}\), est gagnante : une partie jouée suivant \(\Sigma_0\) ne revient jamais en \(x_0\), car le premier retour ferait de \(x_0\) une position gagnante pour \(\Sigma_1\).

Le point b), \(\supset\), est le cœur. Soit \(x_0 \in \overline{C}(j)\) avec \(R(x_0) \subset G(j)\) ; on choisit pour chaque \(x_1 \in R(x_0)\) une stratégie \(\Sigma_{x_1}\) gagnante pour \(x_1\), et un bon ordre sur \(R(x_0)\). Pour \(x \in C\), soit \(E(x)\) l'ensemble des \(x_1 \in R(x_0)\) tels qu'il existe une \(\Sigma_{x_1}\)-partie de \(x_1\) à \(x\), soit \(C' = \{x \mid E(x) \neq \emptyset\}\), et, pour \(x \in C'\), soit \(\varepsilon(x)\) le plus petit élément de \(E(x)\). On pose \[ \Sigma_0(x) = \Sigma_{\varepsilon(x)}(x) \ \ (x \in C(j) \cap C'), \qquad \Sigma_0(x) = R(x) \ \ \text{sinon}. \] Un lemme (page 27) dit que tout \(x \in C'\) est gagnant pour \(\Sigma_{\varepsilon(x)}\), donc \(C' \subset G(j)\), et que pour \(y \in \Sigma_0(x)\) on a \(\varepsilon(x) \in E(y)\), donc \(y \in C'\) et \(\varepsilon(y) \leqslant \varepsilon(x)\). Le long d'une partie issue de \(x_0\) et compatible avec \(\Sigma_0\), les \(\varepsilon(x_i)\), \(i \geqslant 1\), forment alors une suite décroissante dans un ensemble bien ordonné : elle stationne en une valeur \(\xi\) à partir d'un rang \(n\), et la queue \((x_n, x_{n+1}, \ldots)\) est une \(\Sigma_\xi\)-partie issue d'une position gagnante pour \(\Sigma_\xi\) ; elle est donc finie. Comme toutes les \(x_i\) sont dans \(C' \subset G(j)\), la partie s'achève dans \(G(j) \cap C_0 = G_0(j)\).

C'est très exactement l'argument que la page 6 avait ébauché puis barré ; ce qui le fait passer est de mesurer l'accessibilité par des parties compatibles avec \(\Sigma_{x_1}\), et non par des parties quelconques.¹⁹

Lecture moderne. Le théorème dit que \(G(j)\) est un point fixe de \(F_j\) ; il ne dit pas lequel, et les équations seules ne le caractérisent pas quand il y a des parties infinies.²⁰ Ce qui le caractérise est d'être le plus petit point fixe (section I, page 12, point d)) ; quand il n'y a pas de partie infinie, le point fixe est unique, par récurrence sur le rang. C'est ce qu'établit la page 33 dans le cas alterné.

28–29

Stratégies contre \(j\) ; positions admissibles (pages 28 et 29)

Une stratégie contre \(j\) est une application \(\Sigma'\) définie sur \(C \smallsetminus C_0\), avec \(\Sigma'(x) = R(x)\) pour \(x \in C(j)\) et \(\emptyset \neq \Sigma'(x) \subset R(x)\) pour \(x \in \overline{C}(j)\) : c'est la stratégie de la coalition de tous les autres joueurs. Elle est admissible pour \(x_0\) si toute partie terminée issue de \(x_0\) et jouée suivant \(\Sigma'\) n'est pas gagnée par \(j\), c'est-à-dire est infinie ou s'achève hors de \(G_0(j)\).²¹ C'est la notion que la première mouture appelait « acceptable ».

Théorème (pages 28 et 29). Soit \(\Sigma'_*\) la stratégie contre \(j\) définie par \[ \Sigma'_*(x) = R(x) \ \ (x \in C(j) \cup G(j)), \qquad \Sigma'_*(x) = R(x) \smallsetminus G(j) \quad (x \in \overline{C}(j) \smallsetminus G(j)). \] Pour \(x_0 \in C\), les conditions suivantes sont équivalentes : a) \(x_0 \notin G(j)\) ; b) \(x_0\) est admissible contre \(j\) ; c) \(x_0\) est admissible pour \(\Sigma'_*\).

C'est une stratégie par le b) du théorème de point fixe ; c) \(\Rightarrow\) b) est trivial, b) \(\Rightarrow\) a) résulte du lemme de la page 24, et pour a) \(\Rightarrow\) c) une partie jouée suivant \(\Sigma'_*\) depuis \(x_0 \notin G(j)\) reste hors de \(G(j)\).²² C'est le théorème 2 de la première mouture, et il contient une remarque qui n'est pas sur la page : une seule stratégie positionnelle de la coalition bloque \(j\) depuis toutes ses positions non gagnantes, contre toute façon de jouer de \(j\), avec ou sans mémoire. Restreindre \(j\) aux stratégies positionnelles ne lui retire donc rien : \(G(j)\) est aussi l'ensemble des positions d'où \(j\) gagne avec des stratégies qui tiennent compte de l'histoire. C'est la détermination positionnelle des jeux d'atteinte.

Corollaire (page 29). Supposons \(J = \{j, j'\}\) et \(G_0(j) \cap G_0(j') = \emptyset\), et soit \(N\) l'ensemble des positions admissibles contre \(j\) et contre \(j'\). Alors \[ C = G(j) \sqcup G(j') \sqcup N . \] Les positions de \(N\) sont celles d'où aucun des deux joueurs ne peut forcer le gain : la partie peut se prolonger indéfiniment, ou finir sur une position qui ne donne la victoire à personne.

30–32

Gagnantes, perdantes, nulles : le jeu alterné (pages 30 à 32)

Toujours à deux joueurs, notons \(\bar\alpha(x)\) l'adversaire du joueur \(\alpha(x)\) qui a la main en \(x \in C \smallsetminus C_0\). La page 30 pose \[ G^* = \{x \in C \smallsetminus C_0 \mid x \in G(\alpha(x))\}, \qquad P^* = \{x \in C \smallsetminus C_0 \mid x \in G(\bar\alpha(x))\}, \] les positions non terminales gagnantes (pour celui qui a la main) et perdantes (gagnantes pour l'autre), et appelle nulles les autres : \(N^* = N \cap (C \smallsetminus C_0)\). On a \(G(j) \cap C(j) = G^* \cap C(j)\) et \(G(j) \cap \overline{C}(j) = P^* \cap C(j')\), de sorte que les \(G(j)\) se reconstituent à partir de \(G^*\), de \(P^*\) et des \(G_0(j)\).

Le jeu est alterné s'il existe \(\hat\alpha : C \to J\) prolongeant \(\alpha\) avec \(\hat\alpha(y) \neq \hat\alpha(x)\) pour \(y \in R(x)\). Il faut et il suffit que deux coups consécutifs vers des positions non terminales changent de joueur, et que les prédécesseurs d'une même position terminale appartiennent tous au même joueur ; \(\hat\alpha\) est alors déterminée hors des positions isolées, sans prédécesseur ni successeur, où l'on peut la choisir librement. On pose \[ G = \{x \in C \mid x \in G(\hat\alpha(x))\}, \qquad P = \{x \in C \mid x \in G(\bar{\hat\alpha}(x))\}, \] qui prolongent \(G^*\) et \(P^*\), et l'on a \(C \smallsetminus (G \cup P) = N\). Les \(G(j)\) se lisent sur \(\hat\alpha\), \(G\) et \(P\), et pour \(x \in C \smallsetminus C_0\) : \[ x \in G \iff R(x) \cap P \neq \emptyset, \qquad x \in P \iff R(x) \subset G . \] Une position est gagnante si l'on peut jouer vers une position perdante, et perdante si tous les coups mènent à des positions gagnantes : c'est l'analyse rétrograde des jeux combinatoires.²³

33–33

Caractérisation sans parties infinies (page 33)

Proposition (page 33). Soit un jeu alterné à deux joueurs, et soient \(\widetilde{G}, \widetilde{P} \subset C\) tels que

• 1)pour \(x \in \widetilde{G} \smallsetminus C_0\), il existe \(y \in R(x) \cap \widetilde{P}\) ;
• 2)pour \(x \in \widetilde{P}\), \(R(x) \subset \widetilde{G}\) ;
• 3)pour \(x \in \widetilde{G} \cap C_0\), \(x \in G_0(\hat\alpha(x))\) ;
• 4)pour \(x \in \widetilde{P} \cap C_0\), \(x \in G_0(\bar{\hat\alpha}(x))\).

S'il n'y a pas de partie infinie, alors \(\widetilde{G} \subset G\) et \(\widetilde{P} \subset P\). Si de plus \(\widetilde{G}\) et \(\widetilde{P}\) sont complémentaires et \(G_0(j) \cap G_0(j') = \emptyset\), alors \(\widetilde{G} = G\), \(\widetilde{P} = P\), et par suite \(G \cup P = C\) et \(C_0 = G_0(j) \sqcup G_0(j')\).²⁴

Pour la première assertion, chaque joueur joue, depuis ses positions de \(\widetilde{G}\), vers \(\widetilde{P}\) : la partie alterne entre \(\widetilde{G}\) et \(\widetilde{P}\), se termine faute de parties infinies, et les conditions 3) et 4) disent que la position finale donne la victoire au bon joueur. Sans l'hypothèse, deux positions qui se renvoient l'une à l'autre, l'une dans \(\widetilde{G}\) et l'autre dans \(\widetilde{P}\), vérifient 1) à 4) sans que personne ne gagne. La seconde vient de ce que \(G \cap P = \emptyset\) quand les \(G_0\) sont disjoints.

Corollaire (page 33). Pour un jeu alterné sans partie infinie où \(C_0 = G_0(j) \sqcup G_0(j')\), le couple \((G, P)\) est l'unique couple de parties complémentaires de \(C\) qui vérifie 1) à 4).

Dans la convention normale, où les positions terminales sont perdantes, les conditions disent que \(P\) ne contient aucun coup entre deux de ses éléments, et que toute position hors de \(P\) a un coup vers \(P\) : \(P\) est le noyau du graphe du jeu, et le corollaire est l'existence et l'unicité du noyau d'un graphe sans chemin infini.²⁵

47–47

III. Jeux à \(N\) joueurs, troisième mouture (page 47)

La page 47 repart d'un autre cadre. Un jeu à \(N\) joueurs est la donnée

• d'un ensemble \(C\) de configurations et d'un ensemble \(J\) de joueurs, de cardinal \(N\) ;
• d'une application \(j : C \to J\), définie cette fois partout : en toute configuration, il y a un joueur « dont c'est le tour » ;
• d'une application \(\sigma : C \to \mathfrak{P}(C)\) qui donne les configurations suivantes, ou de la relation équivalente \(\Sigma \subset C \times C\) ;
• d'une configuration initiale \(x_0\) ; les configurations terminales sont celles où \(\sigma(x) = \emptyset\).

Une partie à \(n\) coups est une suite \((x_1, \ldots, x_n)\) avec \(x_i \in \sigma(x_{i-1})\) : le joueur \(j(x_0)\) choisit \(x_1\), puis \(j(x_1)\) choisit \(x_2\), et ainsi de suite.²⁶

Le jeu est circulaire si \(j\) est surjective (tout joueur joue), s'il existe \(\rho : J \to J\) avec \(j(y) = \rho(j(x))\) pour tout coup \((x, y) \in \Sigma\), et si \(\rho\) est une permutation circulaire : les joueurs jouent à tour de rôle, dans un ordre fixé. L'application \(\rho\) est unique dès que chaque joueur a la main dans au moins une configuration non terminale.

Trois choses changent par rapport aux deux premières moutures : une position initiale est fixée, l'initiative est définie aussi aux positions terminales, comme le \(\hat\alpha\) du jeu alterné, et il n'y a pas encore de condition de gain. Pour \(N = 2\), un jeu circulaire est un jeu alterné au sens de la page 31. La page s'arrête aux définitions.

14–21

IV. Réarrangements sur un groupe (pages 14 à 21)

14–16

Les brouillons (pages 14 à 16)

Les pages 14 et 15 sont des calculs sans phrases, sur des parties finies d'un groupe commutatif noté additivement : sommes de parties, tableaux de sommes \(0, a, a'\) contre \(0, a, b'\), et des listes d'entiers comme \(3\,2\,2\,1\,1\) ou \(3\,2\,2\,2\). On y reconnaît — la page ne le dit pas — des profils de convolution : la suite décroissante des valeurs de \(\mathbf{1}_E * \mathbf{1}_F\), c'est-à-dire du nombre de façons d'écrire chaque élément comme somme d'un élément de \(E\) et d'un élément de \(F\).²⁷ La page 14 s'essaie aussi à décrire des familles emboîtées \(E_2 \subset E_{2n}\) de parties, où \(E_2\) est un sous-groupe et \(E_{2n}\) est stable par translation par \(E_2\) : ce sont les candidats au rôle d'« intervalles » dans un groupe qui a de la \(2\)-torsion.

La page 16, à l'encre bleue, est plus organisée, et ses deux moitiés sont écrites tête-bêche. L'une est un modèle : dans \(G = \mathbb{Z}/(2m+1)\), les intervalles \(E_i = [-i, i]\), de cardinal impair, et \(F_j = [m - j, m + 1 + j]\), de cardinal pair, centrés en \(m + \tfrac12\), le « demi-point » opposé à \(0\) sur le cercle (dans \(\mathbb{Z}/(2m+1)\), où \(2\) est inversible, on a encore \(F_j = -F_j\)) ; la convolution de deux \(E\) ou de deux \(F\) est une combinaison à coefficients positifs des \(E_k\), celle d'un \(E\) et d'un \(F\) une combinaison des \(F_k\).²⁸ L'autre moitié en tire des axiomes, pour un groupe commutatif \(G\) muni d'un homomorphisme surjectif \(\eta : \widetilde{G} \to G\) dont le noyau est identifié par \(i\) au sous-groupe \({}_2G\) des éléments d'ordre divisant \(2\). À chaque \(\tilde g \in \widetilde{G}\) est associée une famille \(\mathcal{A}(\tilde g)\) de parties finies de \(G\) ; on note \(\mathcal{C}(\tilde g)\) le cône des combinaisons positives de ses éléments, et \(g = \eta(\tilde g)\). Les axiomes sont :

• a)\(\mathcal{A}(\tilde g)\) est totalement ordonnée par inclusion ;
• b)tout \(A \in \mathcal{A}(\tilde g)\) vérifie \(A = g - A\) ;
• c)pour \(A \in \mathcal{A}(\tilde g)\) et \(B \in \mathcal{A}(\tilde h)\), \(\mathbf{1}_A * \mathbf{1}_B \in \mathcal{C}(\tilde g \tilde h)\) ;
• d)pour \(u \in {}_2G\), \(\mathcal{A}(i(u)\tilde g) = u + \mathcal{A}(\tilde g)\) ;
• d')pour \(\tilde g, \tilde h\), il existe \(s \in G\) tel que \(\mathcal{A}(\tilde g) \cup (s + \mathcal{A}(\tilde h))\) soit totalement ordonné.

Lu ainsi, \(\tilde g\) est le centre des ensembles de \(\mathcal{A}(\tilde g)\) : un ensemble tel que \(A = g - A\) est symétrique autour de « \(g/2\) », qui n'existe pas toujours dans \(G\) — dans \(\mathbb{Z}\), un intervalle de longueur paire est centré en un demi-entier —, et \(\widetilde{G}\) est le groupe de ces centres. Deux centres au-dessus du même \(g\) diffèrent d'un élément de \({}_2G\), et d) dit que leurs familles se déduisent l'une de l'autre par translation.²⁹ C'est le cadre où le réarrangement « symétrique décroissant » a un sens sur un groupe commutatif ; il n'est pas repris ailleurs dans le dossier.

18–18

Le couplage \(|f, g|\) (page 18)

Soit \(G\) un ensemble, \(\mathbb{R}[G] = \mathbb{R}^{(G)}\) les fonctions réelles à support fini, \(\mathbb{R}[G]^+\) celles qui sont positives. Deux fonctions \(f, f' \in \mathbb{R}[G]^+\) sont équivalentes, \(f' \sim f\), si \(f' = f \circ \sigma\) pour une permutation \(\sigma\) de \(G\) ; il revient au même de demander qu'elles aient la même suite décroissante de valeurs \[ f^{\downarrow} = (f^{\downarrow}_0 \geqslant f^{\downarrow}_1 \geqslant \cdots), \] valeurs non nulles comptées avec multiplicité et complétées par des zéros, ou la même image de la mesure de comptage. La page dit \(f'\) un éparpillement de \(f\).³⁰ On pose, pour \(f, g \in \mathbb{R}[G]^+\), \[ |f, g| = \sup_{f' \sim f} \langle f', g \rangle = \sup_{f' \sim f,\ g' \sim g} \langle f', g' \rangle = \sum_{n \geqslant 0} f^{\downarrow}_n g^{\downarrow}_n , \] la dernière égalité, que la page n'écrit pas, étant l'inégalité de réarrangement de Hardy et Littlewood : le couplage est maximal quand on range les grandes valeurs en face des grandes valeurs. En particulier \(|f, f| = \|f\|_2^2\).

Cas d'égalité. \(\langle f', g' \rangle = |f, g|\) si et seulement si, pour tous \(\alpha, \beta > 0\), les ensembles de niveau \(E_\alpha(f') = \{s \mid f'(s) \geqslant \alpha\}\) et \(E_\beta(g')\) sont comparables pour l'inclusion ; autrement dit, si la réunion des familles \(E_*(f')\) et \(E_*(g')\) est totalement ordonnée ; autrement dit encore, s'il existe un ordre total sur \(G\) pour lequel \(f'\) et \(g'\) sont toutes deux décroissantes.³¹

Enfin \(f' \sim f\) si et seulement si \(|f', g| = |f, g|\) pour tout \(g\), et il suffit de le demander pour les indicatrices des parties finies : \(|f, \mathbf{1}_A|\) est la somme des \(\operatorname{card} A\) plus grandes valeurs de \(f\).

18–19

La relation \(f' \prec f\) (pages 18 et 19)

Proposition. Pour \(f', f \in \mathbb{R}[G]^+\), les conditions suivantes sont équivalentes :

• a)\(|f', g| \leqslant |f, g|\) pour tout \(g \in \mathbb{R}[G]^+\) ;
• b)\(|f', \mathbf{1}_A| \leqslant |f, \mathbf{1}_A|\) pour toute partie finie \(A\) ;
• c)\(\sum_{i < n} f'^{\downarrow}_i \leqslant \sum_{i < n} f^{\downarrow}_i\) pour tout \(n \geqslant 1\).

On écrit alors \(f' \prec f\).³²

C'est un préordre, dont la relation d'équivalence associée est \(\sim\). On l'appelle aujourd'hui sous-majorisation faible : les sommes partielles de la suite décroissante sont dominées, sans égalité imposée des sommes totales.³³ Le supremum de \(\langle f', g \rangle\) sur les \(f' \prec f\) est \(|f, g|\), atteint en des \(f' \sim f\) ; et \(f' \prec f\) équivaut à \(|f', g'| \leqslant |f, g|\) pour tous \(g' \prec g\).

19–20

Couples prétassés (pages 19 et 20)

Désormais \(G\) est un groupe, d'élément neutre \(e\), et \(\mathbb{R}[G]^+\) est stable par la convolution \((f * g)(s) = \sum_{ab = s} f(a)\, g(b)\). On note \(\check g(a) = g(a^{-1})\) et \(\varepsilon_s\) la masse de Dirac en \(s\). On a \[ (f * g)(s) = \langle f, \varepsilon_s * \check g \rangle , \qquad\text{d'où}\qquad \|f * g\|_\infty \leqslant |f, g| , \] puisque \(\varepsilon_s * \check g \sim g\).³⁴

Proposition (page 19). Pour \(f, g \in \mathbb{R}[G]^+\), les conditions suivantes sont équivalentes :

• a)\(\|f' * g'\|_\infty \leqslant \|f * g\|_\infty\) pour tous \(f' \prec f\), \(g' \prec g\) ;
• b)\((f' * g')(e) \leqslant \|f * g\|_\infty\) pour tous \(f' \prec f\), \(g' \prec g\) (ou seulement \(f' \sim f\), \(g' \sim g\)) ;
• c)\(|f, g| = \|f * g\|_\infty\) ;
• d)il existe \(s \in G\) tel que la réunion des familles \(E_*(f)\) et \(E_*(\varepsilon_s * \check g)\) soit totalement ordonnée.

On dit alors que le couple \((f, g)\) est prétassé.³⁵ La relation n'est pas symétrique en général, mais l'est si \(G\) est commutatif.

Corollaire. Le couple \((f, f)\) est prétassé si et seulement si \(f\) est symétrique autour d'un centre : il existe \(s \in G\) avec \(\check f = \varepsilon_s * f\), ou, ce qui revient au même, \(\check f = f * \varepsilon_s\).

En effet, deux fonctions équivalentes dont les ensembles de niveau sont comparables ont les mêmes ensembles de niveau, puisque ceux-ci ont deux à deux le même cardinal fini : la condition d) force \(f = \varepsilon_s * \check f\).³⁶ Si \(g\) est elle-même symétrique, d) se récrit : il existe \(s\) tel que \(E_*(f) \cup E_*(\varepsilon_s * g)\) soit totalement ordonné. Quand \(f\) et \(g\) sont toutes deux symétriques à translation près, la condition est donc symétrique en \(f\) et \(g\) (page 20, en tête), et elle est invariante par translation.³⁷

20–21

Couples tassés, et la condition K (pages 20 et 21)

Proposition (page 20). Pour \(f, g \in \mathbb{R}[G]^+\), les conditions suivantes sont équivalentes :

• a)\(f' * g' \prec f * g\) pour tous \(f' \prec f\), \(g' \prec g\) ;
• b)\(f' * g' \prec f * g\) pour tous \(f' \sim f\), \(g' \sim g\) ;
• c)pour tout \(h \in \mathbb{R}[G]^+\), \[ \sup_{f' \prec f,\ g' \prec g,\ h' \prec h} (f' * g' * h')(e) \leqslant \sup_{h' \sim h} (f * g * h')(e) ; \]
• c')la même inégalité pour \(h = \mathbf{1}_A\), \(A\) partie finie de \(G\), et \(f' \sim f\), \(g' \sim g\), \(h' \sim h\).

On dit que \((f, g)\) est tassé.³⁸

Un couple tassé est prétassé, comme le dit la page : la première inégalité de \(f' * g' \prec f * g\) est \(\|f' * g'\|_\infty \leqslant \|f * g\|_\infty\). La réciproque est fausse.³⁹

Corollaire (page 20). Soit \(S \subset \mathbb{R}[G]^+\) stable par convolution. Les conditions suivantes sont équivalentes :

• a)tout couple de \(S \times S\) est tassé ;
• b)pour tout \(n \geqslant 2\), tous \(f_1, \ldots, f_n \in S\) et tous \(f'_i \prec f_i\), \(f'_1 * \cdots * f'_n \prec f_1 * \cdots * f_n\) ;
• c)(condition K) si \(S\) contient, pour chaque \(n \leqslant \operatorname{card} G\), l'indicatrice d'une partie finie de cardinal \(n\) : pour tout \(n \geqslant 2\), tous \(f_i \in S\) et tous \(f'_i \prec f_i\), \[ \|f'_1 * \cdots * f'_n\|_\infty \leqslant \|f_1 * \cdots * f_n\|_\infty . \]

Le passage de a) à b) se fait par récurrence, \(S\) étant stable ; celui de c) à a) passe par c') de la proposition, et c'est là que sert l'hypothèse sur les cardinaux.⁴⁰

La condition K est la forme que prend sur un groupe l'inégalité de Riesz–Sobolev et sa version à plusieurs fonctions : si \(S\) est la classe des fonctions « symétriques décroissantes », elle dit que la convolution de fonctions réarrangées n'a jamais un pic plus haut que celle de leurs réarrangements symétriques décroissants.⁴¹

La page 21 reprend la question pour les parties finies. Soit \(S\) stable par convolution et par translation, et \(S_0 = S \cap \mathfrak{P}_f(G)\) ses parties finies (identifiées à leurs indicatrices), supposé non vide. Elle énonce

• d)pour \(A, B \in S_0\), \(A' \sim A\), \(B' \sim B\) : \(\mathbf{1}_{A'} * \mathbf{1}_{B'} \prec \mathbf{1}_A * \mathbf{1}_B\), c'est-à-dire que \((A, B)\) est tassé ;
• e)pour \(A, B, C \in S_0\) et des parties équivalentes : \(\|\mathbf{1}_{A'} * \mathbf{1}_{B'} * \mathbf{1}_{C'}\|_\infty \leqslant \|\mathbf{1}_A * \mathbf{1}_B * \mathbf{1}_C\|_\infty\),

et conclut que tout \(f \in S\) vérifie a) \(\check f = \varepsilon_t * f\) pour un \(t \in G\) — \((f, f)\) est prétassé — et b) ses ensembles de niveau sont dans \(S_0\).⁴² Elle définit alors la classe \(\widetilde{S}\) des \(f\) qui vérifient a) et b), c'est-à-dire \[ f = \sum_i \alpha_i \mathbf{1}_{A_i}, \qquad \alpha_i > 0,\ \ A_i \in S_0 \ \text{emboîtées},\quad A_i = s - A_i \ \text{pour un même } s, \] calcule \(f * g\) pour deux telles fonctions, et veut montrer que, si les ensembles de niveau des \(\mathbf{1}_{A_i} * \mathbf{1}_{B_j}\) forment une chaîne, ils ont un point commun. La page s'arrête sur cette intersection. C'est le programme de la page 16 : bâtir, à partir d'une chaîne de parties symétriques, la classe des fonctions symétriques décroissantes d'un groupe, et montrer qu'elle est stable par convolution.

Un cas particulier montre ce que la condition d) contient. Pour \(G = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\), \(p\) premier, et deux intervalles de longueurs \(a, b\) avec \(a + b \leqslant p + 1\), la condition d) équivaut — calcul nôtre — au théorème de Pollard (1974), qui généralise celui de Cauchy–Davenport : pour \(t \leqslant \min(a, b)\), \(\sum_x \min(r(x), t) \geqslant t(a + b - t)\), où \(r(x)\) est le nombre de représentations de \(x\) comme somme d'un élément de \(A'\) et d'un élément de \(B'\).⁴³

35–45

V. Exponentielles en caractéristique zéro (pages 35 à 45)

35–35

L'exponentielle des éléments nilpotents (page 35)

Soit \(\mathbb{A}\) une \(\mathbb{Q}\)-algèbre associative unitaire et \(N(\mathbb{A})\) l'ensemble de ses éléments nilpotents ; on a \(1 + N(\mathbb{A}) \subset \mathbb{A}^*\). Sur \(N(\mathbb{A})\), la série \(\exp x = \sum_{n \geqslant 0} x^n / n!\) est une somme finie.

Théorème 1.

• 1)\(\exp : N(\mathbb{A}) \to 1 + N(\mathbb{A})\) est bijective, d'inverse \(\log(1 + y) = \sum_{n \geqslant 1} (-1)^{n+1} y^n / n\).
• 2)Si \(x, y \in N(\mathbb{A})\) commutent, \(x + y \in N(\mathbb{A})\) et \(\exp(x + y) = \exp x \exp y\) ; si \(u, v \in 1 + N(\mathbb{A})\) commutent, \(uv \in 1 + N(\mathbb{A})\) et \(\log(uv) = \log u + \log v\). On a \(\exp 0 = 1\) et \(\log 1 = 0\).
• 3)Si \(L \subset N(\mathbb{A})\) est un sous-\(\mathbb{Q}\)-espace stable par les puissances \(x \mapsto x^n\) (\(n \geqslant 1\)), \(\exp\) induit une bijection \(L \to 1 + L\).

Tout se ramène à des identités entre séries formelles à une ou deux variables qui commutent.⁴⁴

Remarques. Si de plus \(L\) est stable par produit — une sous-algèbre non unitaire formée d'éléments nilpotents —, \(1 + L\) est un sous-groupe de \(\mathbb{A}^*\), et \(\exp\) transporte sa loi sur \(L\) : \(x \star y = \log(\exp x \exp y)\). Cette loi est commutative si et seulement si \(L\) l'est, et c'est alors l'addition. La page marque la réciproque d'un « ? » ; elle est vraie.⁴⁵

Exemple 1. Soient \(K\) une \(\mathbb{Q}\)-algèbre commutative, \(\mathbb{A}\) une \(K\)-algèbre et \(J\) un nilidéal de \(K\). Alors \(J\mathbb{A}\) vérifie les conditions de la remarque — un élément \(\sum j_k a_k\) fait intervenir un nombre fini d'éléments nilpotents et centraux \(j_k\), et est donc nilpotent — et \(\exp : J\mathbb{A} \to 1 + J\mathbb{A}\) est une bijection. Avec \(K_0 = K/J\) et \(\mathbb{A}_0 = \mathbb{A} \otimes_K K_0\), \(J\mathbb{A}\) est le noyau de \(\mathbb{A} \to \mathbb{A}_0\) et \(1 + J\mathbb{A}\) l'image réciproque de \(1\).

Exemple 2. Soit \(M\) un \(K\)-module, \(M_0 = M/JM\), et \(\mathcal{U} = \operatorname{End}_K(M)\). On pose \[ L = \{u \in \mathcal{U} \mid u(M) \subset JM\}, \qquad 1 + L = \{u \in \mathcal{U} \mid u \otimes_K K_0 = \mathrm{id}_{M_0}\}. \] Si \(J\) est nilpotent, ou si \(M\) est de type fini, \(L\) vérifie les conditions de la remarque et \(\exp : L \to 1 + L\) est une bijection.⁴⁶

36–37

Groupes formels à un paramètre (pages 36 et 37)

Soit \(K\) une \(\mathbb{Q}\)-algèbre commutative unitaire. Les foncteurs considérés sont définis sur les \(K\)-algèbres commutatives \(K'\). La droite formelle \(\widehat{\mathbb{G}}_a\) est le sous-foncteur \(K' \mapsto N(K')\) du groupe additif \(\mathbb{G}_a : K' \mapsto K'\) ; c'est la limite inductive des \(\operatorname{Spec} K[t]/(t^n)\).⁴⁷ Pour une \(K\)-algèbre \(\mathcal{U}\), soit \(W(\mathcal{U})\) le foncteur \(K' \mapsto \mathcal{U} \otimes_K K'\) et \(\mathrm{Un}(\mathcal{U}) \subset W(\mathcal{U})\) le foncteur en groupes \(K' \mapsto (\mathcal{U} \otimes_K K')^*\).⁴⁸

À \(x \in \mathcal{U}\) on associe \(\bar e_x : \widehat{\mathbb{G}}_a \to \mathrm{Un}(\mathcal{U})\), \(\lambda \mapsto \exp(\lambda x)\), bien défini parce que \(\lambda x\) est nilpotent quand \(\lambda\) l'est (exemple 1), et homomorphisme par le 2) du théorème 1. Si \(x\) est nilpotent, \(e_x : \mathbb{G}_a \to \mathrm{Un}(\mathcal{U})\), \(\lambda \mapsto \exp(\lambda x)\), est défini pour tout \(\lambda\), et \(\bar e_x\) en est la restriction. D'où deux applications \[ (*)\quad \mathcal{U} \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{gr}}(\widehat{\mathbb{G}}_a, \mathrm{Un}(\mathcal{U})), \ \ x \mapsto \bar e_x ; \qquad (**)\quad N(\mathcal{U}) \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_a, \mathrm{Un}(\mathcal{U})), \ \ x \mapsto e_x . \] Si \(x\) et \(y\) commutent, \(\bar e_{x+y} = \bar e_x \bar e_y\), et de même pour \(e\) ; si \(\mathcal{U}\) est commutative, \((*)\) et \((**)\) sont des homomorphismes de groupes.

Théorème 2. \((*)\) et \((**)\) sont bijectives.

Un morphisme de foncteurs \(\widehat{\mathbb{G}}_a \to W(\mathcal{U})\) est une série \(\sum_{n \geqslant 0} a_n \lambda^n\) à coefficients \(a_n \in \mathcal{U}\), et un morphisme \(\mathbb{G}_a \to W(\mathcal{U})\) un polynôme : c'est le lemme de Yoneda, \(W(\mathcal{U})\) prenant la valeur \(\mathcal{U}[t]/(t^n)\) sur \(K[t]/(t^n)\) et \(\mathcal{U}[t]\) sur \(K[t]\).⁴⁹ L'injectivité se lit sur le coefficient de \(\lambda\). Pour la surjectivité, écrire que \(\varphi(\lambda + \mu) = \varphi(\lambda)\varphi(\mu)\) donne, coefficient par coefficient, \[ \binom{i + j}{i}\, a_{i+j} = a_i a_j , \qquad\text{d'où}\qquad n a_n = a_1 a_{n-1} \quad\text{et}\quad a_n = \frac{x^n}{n!},\ \ x = a_1 , \] où l'on divise par \(n\) : c'est là que sert la caractéristique zéro. Pour \(\mathbb{G}_a\), les \(a_n\) sont nuls à partir d'un certain rang, donc \(x\) est nilpotent.⁵⁰

38–38

Opérations sur un module (page 38)

Soit \(M\) un \(K\)-module et \(\mathbf{Aut}_K(M)\) le foncteur en groupes \(K' \mapsto \operatorname{Aut}_{K'}(M \otimes_K K')\). Le même calcul donne :

• \((*)\)\(u \mapsto \bar e_u\) est une bijection de \(\operatorname{End}_K(M)\) sur \(\operatorname{Hom}_{\mathrm{gr}}(\widehat{\mathbb{G}}_a, \mathbf{Aut}_K(M))\), pour tout \(M\) ;
• \((**)\)\(u \mapsto e_u\) est une bijection de l'ensemble des endomorphismes localement nilpotents de \(M\) (tout \(m \in M\) est tué par une puissance de \(u\)) sur \(\operatorname{Hom}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_a, \mathbf{Aut}_K(M))\) ; si \(M\) est de type fini, ce sont les endomorphismes nilpotents.

Un morphisme de foncteurs \(\widehat{\mathbb{G}}_a \to \mathbf{End}_K(M)\) s'écrit bien de façon unique \(\sum_n u_n \lambda^n\) avec \(u_n \in \operatorname{End}_K(M)\), puisque \(\operatorname{End}_{K[t]/(t^n)}(M[t]/(t^n)) = \operatorname{End}_K(M)^n\). Pour \(\mathbb{G}_a\), en revanche, un morphisme est une application \(K\)-linéaire \(M \to M[t]\), c'est-à-dire une suite \((u_n)\) telle que, pour chaque \(m\), les \(u_n(m)\) soient nuls pour \(n\) grand — non une suite d'endomorphismes nuls à partir d'un certain rang, comme l'écrit la page ; les deux coïncident si \(M\) est de type fini.⁵¹

39–41

Morphismes, et le passage à \(\exp\) (pages 39 à 41)

Proposition (page 39). Soient \(u \in \operatorname{End}_K(M)\), \(v \in \operatorname{End}_K(N)\) et \(f : M \to N\) linéaire. Pour que \(f\) commute aux actions \(\bar e_u\) et \(\bar e_v\) de \(\widehat{\mathbb{G}}_a\), il faut et il suffit que \(vf = fu\) ; si \(u\) et \(v\) sont nilpotents, c'est aussi la condition pour \(\mathbb{G}_a\).

On écrit \(\sum_n \lambda^n (v^n f - f u^n)/n! = 0\) identiquement en \(\lambda\) nilpotent, ce qui équivaut à \(v^n f = f u^n\) pour tout \(n\), et donc à \(vf = fu\).

Proposition (pages 39 à 41). Soient \(u, v\) nilpotents. Les conditions suivantes sont équivalentes : (1) \(f\) est un \(\widehat{\mathbb{G}}_a\)-morphisme ; (2) \(f\) est un \(\mathbb{G}_a\)-morphisme ; (3) \(\delta = vf - fu\) est nul ; (4) \(f \circ \exp u = \exp v \circ f\).

Seul (4) \(\Rightarrow\) (3) est nouveau. Avec \(\delta_n = v^n f - f u^n = \sum_{i + j = n - 1} v^i \delta u^j\), la condition (4) s'écrit \(\sum_{n \geqslant 1} \delta_n / n! = 0\), soit \[ \delta = \sum_{i + j \geqslant 1} c_{ij}\, v^i \delta u^j, \qquad c_{ij} = -\frac{1}{(i + j + 1)!} . \] Les opérateurs \(\Theta(x) = vx\) et \(\Theta'(x) = xu\) sur \(\operatorname{Hom}_K(M, N)\) sont nilpotents et commutent ; donc \(\rho = \sum_{i+j \geqslant 1} c_{ij} \Theta^i \Theta'^j\) est nilpotent, et \(\delta = \rho\delta = \rho^N \delta = 0\) pour \(N\) grand (page 41).⁵²

41–42

Tenseurs, dérivations, et l'action sur \(\operatorname{Hom}\) (pages 41 et 42)

Si \(\widehat{\mathbb{G}}_a\) opère sur \(M\) par \(\bar e_u\) et sur \(N\) par \(\bar e_v\), il opère sur \(M \otimes N\) par \[ \bar e_u \otimes \bar e_v = \bar e_{u \otimes 1 + 1 \otimes v}, \] puisque \(u \otimes 1\) et \(1 \otimes v\) commutent ; de même pour \(e\) si \(u\) et \(v\) sont nilpotents, et pour un produit tensoriel fini quelconque.

Corollaire. Soit \(M\) une \(K\)-algèbre, non nécessairement associative ni unitaire, et \(u \in \operatorname{End}_K(M)\). L'action \(\bar e_u\) de \(\widehat{\mathbb{G}}_a\) se fait par automorphismes d'algèbre si et seulement si \(u\) est une dérivation. Si \(u\) est nilpotent, il en est de même de l'action \(e_u\) de \(\mathbb{G}_a\), et aussi de la seule condition que \(\exp u\) soit un automorphisme d'algèbre.

On applique la proposition précédente à la multiplication \(m : M \otimes M \to M\) : elle est équivariante si et seulement si \(u \circ m = m \circ (u \otimes 1 + 1 \otimes u)\), ce qui est la règle de Leibniz ; et la condition sur \(\exp u\) est la condition (4).⁵³

Si \(\mathbb{G}_a\) opère sur \(M\) et \(N\) par \(e_u\) et \(e_v\), il opère sur \(\operatorname{Hom}_K(M, N)\) par \(e_\delta\), avec \(\delta(f) = vf - fu\), et de même pour \(\widehat{\mathbb{G}}_a\). La page note qu'en toute rigueur ces actions ne sont définies que si le foncteur \(K' \mapsto \operatorname{Hom}_{K'}(M \otimes K', N \otimes K')\) est de la forme \(W(\operatorname{Hom}_K(M, N))\), ce qui n'est guère assuré que si \(M\) est projectif de type fini.

42–43

Foncteurs en modules (pages 42 et 43)

Pour s'affranchir de cette restriction, la page généralise aux \(K\)-foncteurs en modules \(\mathcal{M}\) : pour chaque \(K'\), un \(K'\)-module \(\mathcal{M}(K')\), et pour chaque \(K' \to K''\) une application semi-linéaire \(\mathcal{M}(K') \to \mathcal{M}(K'')\).⁵⁴ Les endomorphismes de \(\mathcal{M}\) forment une \(K\)-algèbre. Si \(u\) en est un élément nilpotent, les \(\exp(\lambda u)\), \(\lambda \in K'\), font de \(\mathcal{M}\) un \(\mathbb{G}_a\)-module ; pour \(u\) quelconque, \(\bar e_u(\lambda) = \exp(\lambda u)\), \(\lambda\) nilpotent, définit un homomorphisme \(\widehat{\mathbb{G}}_a \to \mathbf{Aut}_K(\mathcal{M})\). La page se demande, sans y répondre, si \[ \operatorname{End}_K(\mathcal{M}) \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{gr}}(\widehat{\mathbb{G}}_a, \mathbf{Aut}_K(\mathcal{M})), \qquad N(\operatorname{End}_K(\mathcal{M})) \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{gr}}(\mathbb{G}_a, \mathbf{Aut}_K(\mathcal{M})) \] sont encore bijectives, et annonce l'extension aux algèbres symétriques, tensorielles et extérieures. On ne tranche pas la question ; la page 38 montre seulement que, pour \(\mathcal{M} = W(M)\), la seconde demande de remplacer les nilpotents par les localement nilpotents.

43–43

Globalisation (page 43)

Soit \(X\) un schéma de caractéristique zéro et \(\Theta\) une dérivation de \(\mathcal{O}_X\), nilpotente localement sur \(X\) : tout point a un voisinage ouvert sur lequel une puissance de \(\Theta\) est nulle. Alors \(\exp \Theta\) est un automorphisme du faisceau d'anneaux \(\mathcal{O}_X\) qui induit l'identité sur \(\mathcal{O}_{X_{\mathrm{red}}}\), donc un automorphisme de \(X\), qu'on note \(\mathbb{E}_\Theta\), et qui est un \(S\)-automorphisme si \(\Theta\) est une \(S\)-dérivation. On a \(\mathbb{E}_0 = \mathrm{id}\) et \[ \mathbb{E}_{\Theta + \Theta'} = \mathbb{E}_\Theta \circ \mathbb{E}_{\Theta'} \qquad\text{si } [\Theta, \Theta'] = 0 . \] Que \(\exp \Theta\) soit l'identité modulo les nilpotents tient à ce qu'une dérivation nilpotente d'une \(\mathbb{Q}\)-algèbre commutative prend ses valeurs dans le nilradical.⁵⁵

44–45

Automorphismes unipotents et dérivations nilpotentes (pages 44 et 45)

Soit \(A\) une \(\mathbb{Q}\)-algèbre commutative unitaire, \(u\) un automorphisme de \(A\), et \(J\) l'idéal engendré par les \(u(x) - x\).

Proposition (page 44). Soit \(n \in \mathbb{N}\).

• 1)Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) \(u\) est un opérateur différentiel d'ordre \(\leqslant n\) ; (ii) \(J^{n+1} = 0\) ; (iii) il existe un idéal \(I\) avec \(I^{n+1} = 0\) et \(u \equiv \mathrm{id}\) modulo \(I\).
• 2)\(\Theta \mapsto \exp \Theta\) est une bijection de l'ensemble des dérivations \(\Theta\) de \(A\) telles que \(\Theta^{n+1} = 0\) sur l'ensemble des automorphismes \(u\) tels que \((u - \mathrm{id})^{n+1} = 0\).

Pour (i) \(\Leftrightarrow\) (ii) : au sens de EGA IV (16.8), un opérateur \(P\) est différentiel d'ordre \(\leqslant n\) si ses commutateurs itérés \([\ldots[[P, a_0], a_1], \ldots, a_n]\) avec les multiplications sont nuls ; pour un endomorphisme d'anneau, \([u, a] = (u(a) - a)\, u\), et le commutateur itéré vaut \(\prod_{i=0}^n (u(a_i) - a_i) \cdot u\), qui est nul pour tous les \(a_i\) si et seulement si \(J^{n+1} = 0\).⁵⁶ Pour 2), \(\log u\) est une dérivation parce que \(\log(u \otimes u) = \log u \otimes 1 + 1 \otimes \log u\), par l'argument du corollaire de la page 41.

Une quatrième condition, (iv) \(u = \exp \Theta\) avec \(\Theta\) dérivation et \(\Theta^{n+1} = 0\), est écrite puis biffée, avec en marge « est-il nécessaire ? ». La réponse est non. La condition (iv) entraîne (i), parce que \(\Theta^k\) est un opérateur différentiel d'ordre \(\leqslant k\) ; mais elle ne lui est pas équivalente. Dans \(A = \mathbb{Q}[x, e]/(e^2)\), l'automorphisme \(u\) qui fixe \(x\) et envoie \(e\) sur \(2e\) vérifie \(J = (e)\), \(J^2 = 0\), alors que \((u - \mathrm{id})^k(e) = e\) pour tout \(k\) : \(u\) n'est pas unipotent, et n'est l'exponentielle d'aucune dérivation nilpotente.⁵⁷

Corollaire (page 44). Pour un automorphisme \(u\) de \(A\), les conditions (i) \(u\) est un opérateur différentiel, (ii) \(J\) est nilpotent, (iii) \(u \equiv \mathrm{id}\) modulo un idéal nilpotent, sont équivalentes. La condition (iv) \(u = \exp \Theta\) pour une dérivation nilpotente \(\Theta\), c'est-à-dire \(u\) unipotent, les entraîne et est strictement plus forte ; et \(\Theta \mapsto \exp \Theta\) est une bijection des dérivations nilpotentes sur les automorphismes unipotents.⁵⁸

Corollaire (page 45). Si le nilradical \(N(A)\) est nilpotent (par exemple si \(A\) est noethérien), les conditions (i) à (iii) équivalent à : (v) \(u\) induit l'identité sur \(A_{\mathrm{red}}\) ; et si \(N(A)^{N+1} = 0\), \(u\) est alors un opérateur différentiel d'ordre \(\leqslant N\).

Corollaire (page 45). Si \(A\) est une \(K\)-algèbre, \(K\) une \(\mathbb{Q}\)-algèbre, et \(\Theta\) une dérivation nilpotente, \(\exp \Theta\) est \(K\)-linéaire si et seulement si \(\Theta\) l'est.

Corollaire (page 45). Soit \(I\) un idéal de \(A\) avec \(I^{N+1} = 0\). Soient \(L_K(A, I)\) l'ensemble des \(K\)-dérivations \(\Theta\) telles que \(\Theta(A) \subset I\) et \(\Theta(I) \subset I^2\), et \(G_K(A, I)\) le groupe des \(K\)-automorphismes qui induisent l'identité sur \(\mathrm{gr}_I(A) = \bigoplus_k I^k / I^{k+1}\), c'est-à-dire sur \(A/I\) et sur \(I/I^2\). Alors \(\Theta^i(A) \subset I^i\) pour \(\Theta \in L_K(A, I)\), en particulier \(\Theta^{N+1} = 0\), et \[ \exp : L_K(A, I) \xrightarrow{\ \sim\ } G_K(A, I). \] La page définit \(L_K(A, I)\) et \(G_K(A, I)\) par les seules conditions \(\Theta(A) \subset I\) et \(u \equiv \mathrm{id}\) modulo \(I\) ; avec ces définitions, le corollaire est faux.⁵⁹ C'est, dans ce cadre, la correspondance entre une algèbre de Lie nilpotente de dérivations et un groupe unipotent d'automorphismes : \(L_K(A, I)\) est une algèbre de Lie, filtrée par les \(I^k\), et \(\exp\) en fait un groupe par la formule de Baker–Campbell–Hausdorff.

49–53

VI. L'orientation des espaces vectoriels réels (pages 49 à 53)

49–49

Deux lemmes sur les ensembles à deux éléments (page 49)

Un ensemble \(P\) à deux éléments a une seule involution sans point fixe, \(\tau_P\) ; c'est un torseur sous \(\mathbb{Z}/2\).⁶⁰

Lemme 1. Pour \(\varphi : P \to Q\) entre ensembles à deux éléments, sont équivalents : \(\varphi\) bijective, injective, surjective, non constante, \(\mathbb{Z}/2\)-équivariante (\(\varphi \circ \tau_P = \tau_Q \circ \varphi\)).

Lemme 2. Pour \(\varphi : P \times Q \to R\) entre ensembles à deux éléments, \(\varphi\) se factorise par un isomorphisme \(P \wedge Q \xrightarrow{\sim} R\) si et seulement si, pour \(x \in P\), \(\varphi(x, \cdot) : Q \to R\) est bijective et \(\varphi(\tau_P x, \cdot) = \tau_R \circ \varphi(x, \cdot)\). Ici \(P \wedge Q = (P \times Q)/(\mathbb{Z}/2)\) est le produit contracté des deux torseurs.

49–49

Les axiomes (page 49)

Soit \(\mathcal{V}\) le groupoïde des espaces vectoriels réels de dimension finie et de leurs isomorphismes linéaires. Une théorie de l'orientation est la donnée

• a)d'un foncteur \(\Omega\) de \(\mathcal{V}\) vers les ensembles, avec \(\operatorname{card} \Omega(V) = 2\) pour tout \(V\) ;
• b)d'une identification \(\Omega(0) \simeq \{\pm 1\}\) ;
• c)pour tout hyperplan \(W \subset V\) et tout demi-espace fermé \(V'\) de \(V\) bordé par \(W\), d'une application de Stokes \(\mathrm{St}_{V'} : \Omega(V) \to \Omega(W)\), naturelle en \((V, V')\),

soumise à deux axiomes : \(\mathrm{St}_{V'}\) est bijective, et si \(V''\) est le demi-espace opposé, \(\mathrm{St}_{V''} = \tau \circ \mathrm{St}_{V'}\).⁶¹ Par le lemme 2, il revient au même de demander que, en notant \(D(W, V)\) l'ensemble à deux éléments des demi-espaces bordés par \(W\), les applications de Stokes se factorisent en un isomorphisme naturel⁶² \[ D(W, V) \wedge \Omega(V) \xrightarrow{\ \sim\ } \Omega(W). \] Le nom rappelle la formule de Stokes, où l'orientation d'un domaine induit celle de son bord.

Un morphisme de théories \((\Omega, \mathrm{St}) \to (\Omega', \mathrm{St}')\) est une transformation naturelle \(\Omega \to \Omega'\) compatible à b) et à c).

Théorème (page 49). a) Tout morphisme de théories est un isomorphisme. b) Entre deux théories de l'orientation, il existe un et un seul isomorphisme. c) Il existe une théorie de l'orientation.

Pour a) et l'unicité dans b), on raisonne par récurrence sur la dimension : \(\varphi_V\) est déterminé, et bijectif, par \(\varphi_W \circ \mathrm{St}_{V'} = \mathrm{St}'_{V'} \circ \varphi_V\), puisque les applications de Stokes sont bijectives. L'existence dans b) et c) passe par une description des théories en termes de groupes.

49–51

Réduction au signe du déterminant (pages 49 et 51)

Le groupoïde des espaces de dimension \(n\) est équivalent au groupe \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\). Se donner \(\Omega\) en dimension \(n\) revient donc à se donner l'ensemble \(\omega_n = \Omega(\mathbb{R}^n)\) et l'action de \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\) sur lui, c'est-à-dire un homomorphisme \(\varepsilon_n : \mathrm{GL}(n, \mathbb{R}) \to \{\pm 1\}\). Se donner les applications de Stokes en dimension \(n\) revient, en choisissant le demi-espace \(\mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}_+\) de \(\mathbb{R}^n\), à se donner une bijection \(s_n : \omega_n \to \omega_{n-1}\) compatible à l'action du stabilisateur de l'hyperplan \(\mathbb{R}^{n-1}\), formé des matrices \[ u_n = \begin{pmatrix} u_{n-1} & * \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \qquad u_{n-1} \in \mathrm{GL}(n-1, \mathbb{R}),\ \lambda \in \mathbb{R}^* , \] qui échange ou non les deux demi-espaces selon le signe de \(\lambda\). La compatibilité s'écrit \[ \varepsilon_n(u_n) = \operatorname{sg}(\lambda)\, \varepsilon_{n-1}(u_{n-1}). \] Pour \(n = 1\), elle donne \(\varepsilon_1 = \operatorname{sg}\), et de proche en proche⁶³ \[ \varepsilon_n = \operatorname{sg} \circ \det . \]

Les caractères sont donc imposés, et une théorie se réduit aux bijections \(s_n : \omega_n \to \omega_{n-1}\) et à \(\omega_0 \simeq \{\pm 1\}\), qui identifient tous les \(\omega_n\) à \(\{\pm 1\}\) : d'où l'unicité à isomorphisme unique près, et l'existence en prenant pour \(\Omega(V)\) l'ensemble des deux orientations usuelles de \(V\). C'est ce que disait un passage encadré et biffé d'une grande croix, dont la conclusion est « donc \(\omega_n \simeq \{\pm 1\}\) ».

Dans le langage d'aujourd'hui, \(\Omega(V)\) est le torseur d'orientation de \(V\), l'ensemble des deux composantes connexes de \(\Lambda^{\dim V} V \smallsetminus \{0\}\), où \(\Lambda^{\dim V} V\) est la droite déterminant ; \(\operatorname{sg} \circ \det\) est le caractère d'orientation. Le théorème dit que ces objets sont caractérisés par leur comportement vis-à-vis des bords. La normalisation de la page, où \([e_1 \wedge \cdots \wedge e_n]\) s'envoie sur \([e_1 \wedge \cdots \wedge e_{n-1}]\) pour le demi-espace \(\mathbb{R}^{n-1} \times \mathbb{R}_+\), met en dernier la normale rentrante ; la convention usuelle des géomètres, normale sortante en premier, en diffère par le signe \((-1)^{\dim V}\), et le théorème fournit l'isomorphisme canonique entre les deux.⁶⁴

53–53

Produits, et composition des applications de Stokes (page 53)

La page 53 ébauche la suite, sans phrases. Pour un sous-espace \(W \subset V\) quelconque, les applications de Stokes se généralisent en un isomorphisme \(\Omega(V/W) \wedge \Omega(V) \simeq \Omega(W)\) ; pour un drapeau \(U \subset W \subset V\), elles se composent, et la page nomme \(I(\omega, \omega')\) un élément de \(\Omega\) qu'elle ne définit pas. Il y a un produit \[ \Omega(V) \wedge \Omega(V') \to \Omega(V \times V'), \qquad (\omega, \omega') \mapsto \omega \times \omega', \qquad \omega' \times \omega = (-1)^{\dim V \cdot \dim V'}\, \omega \times \omega' , \] la seconde égalité s'entendant via l'échange des facteurs : c'est la règle des signes de Koszul. Enfin la page compare Stokes et produits. Dans la normalisation qu'on vient de dire, pour un demi-espace de \(V'\) et pour un demi-espace de \(V\) respectivement, \[ \mathrm{St}(\omega \times \omega') = \omega \times \mathrm{St}(\omega'), \qquad \mathrm{St}(\omega \times \omega') = (-1)^{\dim V'}\, \mathrm{St}(\omega) \times \omega' , \] ce qui est la formule \(\mathrm{St}(e_1 \cdots e_{p-1} e_p f_1 \cdots f_q) = (-1)^q\, e_1 \cdots e_{p-1} f_1 \cdots f_q\) écrite au bas de la page, où \(e_p\) est la normale.⁶⁵

55–55

VII. Les déterminants gradués (page 55)

Soit \(k\) un anneau commutatif, \(\mathcal{V}(k)\) le groupoïde des \(k\)-modules libres de type fini et de leurs isomorphismes, réunion disjointe des \(\mathcal{V}_n(k)\) des modules de rang \(n\), et muni de la somme directe. Soit \(\mathrm{Pic}^{\mathbb{Z}}(k)\) la catégorie de Picard des \(k\)-modules libres de rang \(1\) gradués par \(\mathbb{Z}\), avec pour contrainte de commutativité l'isomorphisme de Koszul \(\ell \otimes m \mapsto (-1)^{\deg \ell \cdot \deg m}\, m \otimes \ell\).⁶⁶ Une théorie des déterminants gradués est un foncteur \(\Delta : \mathcal{V}(k) \to \mathrm{Pic}^{\mathbb{Z}}(k)\) muni

• a)d'isomorphismes naturels \(\varphi_{V,V'} : \Delta(V \oplus V') \simeq \Delta(V) \otimes \Delta(V')\) qui en font un foncteur monoïdal, d'où \(\Delta(0) \simeq \mathbb{1}\) ;
• b)pour \(V\) de rang \(1\), d'un isomorphisme \(\Delta(V) \simeq V\), placé en degré \(1\) ;
• c)de la condition suivante : si \(W_2\) et \(W'_2\) sont deux supplémentaires libres d'un sous-module \(W_1 \subset V\), avec \(\alpha : W_1 \oplus W_2 \simeq V\), \(\alpha' : W_1 \oplus W'_2 \simeq V\) et \(\lambda : W_2 \simeq W'_2\) l'isomorphisme induit par \(V/W_1\), le diagramme

\begin{tikzcd}
\Delta(W_1 \oplus W_2) \arrow[r, "\Delta(\alpha)"] \arrow[d, "{\varphi_{W_1,W_2}}"'] & \Delta(V) & \Delta(W_1 \oplus W'_2) \arrow[l, "\Delta(\alpha')"'] \arrow[d, "{\varphi_{W_1,W'_2}}"] \\
\Delta(W_1) \otimes \Delta(W_2) & & \Delta(W_1) \otimes \Delta(W'_2) \arrow[ll, "{\mathrm{id} \otimes \Delta(\lambda)}"]
\end{tikzcd}

est commutatif.⁶⁷ Ce qui équivaut, dit la page, à demander que tout automorphisme de \(V\) qui induit l'identité sur \(W_1\) et sur \(V/W_1\) agisse trivialement sur \(\Delta(V)\).

La page s'arrête sur les axiomes. Le théorème qu'ils préparent, analogue à celui de la page 49, n'est pas écrit. L'objet visé est le déterminant gradué \(V \mapsto (\Lambda^{\operatorname{rg} V} V, \operatorname{rg} V)\) ; la condition c) dit que les transvections agissent trivialement, et sur un corps, où \(\mathrm{GL}_n\) est engendré par les transvections et les matrices diagonales, l'argument de la page 51 transpose : le caractère par lequel \(\mathrm{GL}_n(k)\) opère sur \(\Delta(k^n)\) est forcé d'être le déterminant. Sur un anneau quelconque, la question touche au groupe \(SK_1(k)\), et la page ne la pose pas.⁶⁸

La règle des signes de la page 53, \(\omega' \times \omega = (-1)^{\dim V \cdot \dim V'}\, \omega \times \omega'\), est la trace de celle-ci : sur \(\mathbb{R}\), l'ensemble des orientations de \(V\) est celui des composantes connexes de \(\Delta(V) \smallsetminus \{0\}\), et la contrainte de Koszul y devient le signe de la page 53. Le rapprochement des deux dernières sections est le nôtre ; les pages ne le font pas.