Fonds Grothendieck, cote n° 67, pages 81–100

feuillet numéroté « 15 » en tête par l'auteur, qui n'y écrit que deux lignes : elles achèvent, semble-t-il, la phrase sur laquelle s'arrête la page 80 (lot 4), « il ne devrait pas être bien dur de vérifier si »

est étale, en calculant ou interprétant l'application tangente.

Modules M_{0,4} et l'octaèdre

titre encadré, en tête du feuillet, de sa main

I ens. de card. 4 donné

J = \mathfrak{P}_{2,2}(I), V(J) plan vectoriel sur \mathbb{F}_{2} avec V(J)^{*} \simeq J,

V(J) \subset \mathfrak{S}_{I} formé des bi-identités et des « bitranspositions ».

On s'intéresse aux droites projectives (sur \mathbb{C} disons – sur tt corps alg. clos de car. \neq 2) munies de I \hookrightarrow X. (plus précisément I_{\mathbb{C}} \hookrightarrow X, ou I \to X(\mathbb{C}) …). « de car. \neq 2 » est ajouté en interligne

L'opération de V(J) sur I se prolonge en une opération de V(J) sur X V(J) \hookrightarrow G_{X} = \operatorname{Aut}(X) Soit S = ens. des pts dans X qui sont fixes par un élément de J = V(J)^{*}, donc \operatorname{card} S = 6.

ok [En fait, on trouve que les opérations fidèles d'un plan vectoriel sur une X, i.e. les plongements V \hookrightarrow G_{X}, sont toutes équivalentes (modulo autom. intérieurs de G_{X}) et sont même avec base fixée{}^{e_{0},\, e_{1}} équivalentes : l'opération sur \mathbb{P}^{1} \begin{array}{lll} u(e_{0}) = (z \mapsto -z) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & & \text{pts fixes } 0, \infty \\[1ex] u(e_{1}) = (z \mapsto 1/z) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & & \text{pts fixes } \pm 1 \\[1ex] u(e_{0}+e_{1}) = (z \mapsto -1/z) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & & \text{pts fixes } \pm i \end{array}

Les ~~quatre groupes~~ sous-groupes : Donc les de G_{X} correspondent 1-1 aux parties S de cardinal 6 de X, isom. à (\mathbb{P}_{1}, \{0, \infty, \pm 1, \pm i\}). parties octaédrales d'une droite projective Le normalisateur d'un tel sous-groupe V de G_{X} est isomorphe au groupe ~~des autom.~~ \mathfrak{S}_{4} (de façon canonique, i.e. à \mathfrak{S}_{I} V ), plus précisément, si V = V(J) avec J = \mathfrak{P}(I), on trouve ~~des~~ un iso de suites exactes la marge gauche porte, écrit en oblique, « parties octaédrales d'une droite projective » (lecture douteuse) ; plus haut, à hauteur du crochet ouvrant « [En fait », une autre note oblique de trois ou quatre mots qui ne se lit pas

\begin{tikzcd}[column sep=small] 1 \arrow[r] & V \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & \mathfrak{S}_{I} \arrow[r] \arrow[d] & \operatorname{Aut}(V) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & 1 \\ 1 \arrow[r] & V \arrow[r] & \Gamma \arrow[r] & \operatorname{Aut}(V) \arrow[r] & 1 \end{tikzcd}

au-dessus de \mathfrak{S}_{I}, un mot biffé et, sous lui, un signe d'égalité vertical défini modulo automorphismes intérieurs par un élément de V. Quand I est le torseur trivial, on trouve un tel iso d'ex

précisé : se donner un scindage de l'extension (*) \qquad 1 \to V \to \Gamma \to \operatorname{Aut}(V) \to 1, \qquad \Gamma = \operatorname{Nor}_{G}(V), \quad \operatorname{Aut}(V) \simeq \mathfrak{S}_{J} « \operatorname{Nor}_{G}(V) » est écrit sous \Gamma avec un signe d'égalité vertical, et « \simeq \mathfrak{S}_{J} » sous \operatorname{Aut}(V) ; l'indice de Nor est une petite lettre qui se lit mal En termes géométriques, ces scindages sont associés aux quatre systèmes de paires de faces antipodiques sur l'octaèdre. ~~Ainsi les~~ L'octaèdre combinatoire (non orienté) l'ens. S de points) se définit : partition de et l'antipodisme ~~sur~~ S, de la façon , et habituelles, on forme les parties : trois éléments ~~qui~~ S' telles que S' \cup \underline{a}(S') = S. ~~Pour~~ un tel triplet, le sous-groupe de \Gamma qui l'invarie est un scindage de l'extension (*).

le groupe \Gamma ~~est~~ est le groupe des autom. de la structure octaédrale S qui conservent les faces F \subset \mathfrak{P}_{3}(S) . Orientation : (définie par l'ens. des « F \subset \mathfrak{P}_{3}(S) » est écrit en interligne, au-dessus de « l'ens. des » des arêtes A \subset \mathfrak{P}_{2}(S) est défini comme l'ens. des parties de card 2 contenues dans une face), par le choix donc d'une orientation, . Choisir cette orientation revient X = \mathbb{P}^{1}, S = \{0, \infty, \pm 1, \pm i\} et le choix dans le cas standard orientés \overleftrightarrow{\{0,1,i\}} et une face est \{0, 1, i\}, et les faces \overrightarrow{\{0,1,i\}} sont opposées. Donc le choix d'une orientation revient au choix d'une racine carrée de -1.

Pour un sous-groupe V \simeq D de G_{X}, on désigne par \operatorname{Oct}(V) \subset X l'octaèdre correspondant, par I(V) = F/\underline{a}_{I} l'ens. de ses paires de faces antipodiques. Alors \Gamma(V) = \operatorname{Nor}_{G}(V)

qui opère sur \operatorname{Oct}(V), puis sur I(V), et on trouve \Gamma(V) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{S}_{I(V)} , sous \Gamma(V), avec un signe d'égalité vertical, « \operatorname{Aut}^{+}(\operatorname{Oct}(V)) » et est iso. définit une structure de V-torseur sur I(V). (Ceci résulte de la théorie combinatoire de l'octaèdre, ou dans c'est kif-kif.)

Proposition Soit X droite projective réelle sur un corps dans lequel soit réalisable par extraction de racines (il suffit qu'il ~~contienne~~ racines \sqrt{\ } de car. \neq 2), et G = \operatorname{Aut}_{k} X. Alors il y a corr. 1-1 entre

a) les sous-groupes V de G isom. à D_{2} b) — \Gamma de G isom. à \mathfrak{S}_{4} c) les parties S \subset \mathfrak{P}_{6}(X(k)) qui sont « octaédrales » i.e. ~~telles que~~ isom. à (\mathbb{P}^{1}_{k}, \{0, \infty, \pm 1, \pm i\})

au b), le trait horizontal tient lieu de « les sous-groupes » par \Gamma = \operatorname{Nor}_{G}(V) V = unique sous-groupe invariant de \Gamma isomorphe à D_{2} « unique » est écrit au-dessus de « sous-groupe », et une fin de phrase biffée suit « D_{2} » S = ens. des points fixes de l'action de V sur X (NB \Gamma a un ens. de points fixes plus grand qui comprend, en plus de S, les « milieux d'arêtes » et « centres des faces » de l'octaèdre), S, on a un antipodisme \underline{a}_{S} = \underline{a}_{V} par la condition que pour \sigma \in V^{\times}, \underline{a}_{S} ~~est~~ induit la transposition X^{\sigma} (de cardinal 2). On définit sur S une structure octaédrale, admettant \Gamma comme groupe des automorphismes orientés, et \underline{a} comme antipodisme, via l'antipodisme (les faces sont les parties S' \in \mathfrak{P}_{3}(S) telles que S' \cup a(S') = S).

Cas : la catégorie formée des (X, V) (ou (X, \Gamma), ou (X, S)) équivalente des octaèdres (\mathrm{Oc}) Dans \mathbb{Q}(i) q : \{\pm i\} \simeq la note marginale est écrite en oblique, de bas en haut, sur toute la moitié inférieure de la marge gauche ; redressée, elle reste en grande partie illisible

NB On sait que la donnée d'un octaèdre combin., non orienté, revient à celle d'un système (I, \infty) E_{I_{3}} \times E_{I_{2}}, ens. des code-graphes et des orientations. Ici \omega = \{i, -i\}, ~~Mais ici on a réduit I figuré le donnée de I~~ qui s'était ôté , mais de cardinal 6 sur lequel V opère. S, qui est un ens. de son cardinal définissent une passage très raturé ; la ligne « Mais ici … figuré » est biffée et la place de ce qui la remplace ne se décide pas La condition à mettre * pour que ceci définisse une structure octaédrale (dont S ser. l'ens. des sommets) est que \forall\, \sigma \in V^{*}, \operatorname{card} S^{\sigma} = 2, et S = \bigcup_{\sigma \in V^{*}} S^{\sigma} (réunion forcément disjointe) tel condition que \sigma opère sur (S \smallsetminus S^{\sigma}) par transposition dans les deux des composants S^{\sigma'}, S^{\sigma''} (où V^{*} = \{\sigma, \sigma', \sigma''\}). Donc la donnée de (V, S, u : V \hookrightarrow \mathfrak{S}_{S}), ou (S, V \subset \mathfrak{S}_{S}), équivaut à celle de S, avec une involution sans pts fixes ayant les S^{\sigma} comme orbites).

Résumant : la donnée d'un V qui opère fidt. sur X, considérons une orbite I de V sur X^{*} = X \smallsetminus S(V). Donc I est un torseur sous V. La donnée de (X, I, V(I) \hookrightarrow G_{X}), (X, I, I \hookrightarrow X) équivalent : celle de (X, I, V(I) \hookrightarrow G_{X}, orbite de V(I) dans X), et on se garde de confondre les (V = V(I))-torseurs I, avec le V-torseur I(V) = I(V, X) défini via l'octaèdre \operatorname{Oc}(V) = \operatorname{Oc}(V, X).

En termes de I \{\pm i\}, on peut définir un octaèdre ~~orienté~~ ~~bien~~ canonique ~~l'un des « \{\pm i\} » I, l'un de ses orientations~~ ~~bitransp.~~ à condition que ~~soit V~~. Cet octaèdre, ~~pas choisi i = \sqrt{-1}~~, peut s'écrire comme ens. (X, S) conséquemment (X(I), S(I)). On a un iso canonique les trois dernières lignes du feuillet sont chargées de ratures superposées ; seules les formules et les mots isolés ci-dessus s'y lisent

X(I)/V(I) \simeq X(J) où J = J(I) comme dessus.

Ceci dit soit une opération de V sur X ~~I \hookrightarrow X donc dans X une~~ ~~opération V = V(I)~~ V \hookrightarrow G_{X}, d'où un I(V) V-torseur des paires de \operatorname{Oc}(V), et ~~X \simeq~~ X \simeq X(I(V)) \qquad \text{iso.\ canonique} (et aussi X \simeq X(I)). Mais pour deux torseurs T, T' sous = V, on a X(T \wedge T') = X(T) \wedge^{V} T' explicitez à droite de la formule, derrière un trait vertical, un mot seul Soit donc \underline{t} = \delta(I, \lambda) le V-torseur tel que I(V) \simeq I \wedge^{V} \underline{t}, i.e. \delta \simeq I(V) \wedge I^{-1}, on aura donc \boxed{X = X(I(V)) = X(I) \wedge^{V} \underline{t}} ~~Donc~~ donc \boxed{X/V \simeq X(I)/V \simeq \Sigma(J)} la lettre de \Sigma(J) est tracée comme un X barré horizontalement ; elle revient plus bas sous la forme « \Sigma(J)^{*} »

En résumé :

Cor. ~~La donnée, d'une~~ Pour I \in \operatorname{Ob} E_{I_{2}} donné, d'où J et V = V(J), la donnée d'un X et d'un plongement V \hookrightarrow G_{X} équivaut à la donnée d'un torseur \underline{t} sous V, via \underline{t} \longmapsto X(I) \wedge^{V} \underline{t} On a donc X/V \simeq \Sigma(J) \qquad \text{(iso.\ canonique)} les trois paragraphes précédents, depuis « V = V(J) », sont réunis par un trait vertical dans la marge

Donc la donnée de (X, I \hookrightarrow X) équivaut à celle de a) un pt \xi de \Sigma(J)^{*}, b) un V-torseur \underline{t}, ~~et c) un V-isom. X = X(I) \wedge^{V} \underline{t}, et~~ X_{\xi} = X(I)_{\xi} \wedge \underline{t} \simeq I \qquad \text{i.e.} \qquad \underline{t} = I \wedge X(I)_{\xi}^{-1} ~~X_{\xi} = fibre de~~

Théorème Soit k un corps alg. clos de car. \neq 2, ~~soit I un ens. de card 4, d'où J de card. 3, et V = V(J)~~ ~~Considérons~~ Considérons le groupoïde des (X, I \hookrightarrow X), où X est une droite projective sur k, I de card. 4. Ce groupoïde est équivalent à celui des couples (I, \xi \in \Sigma(J(I))^{*}), l'équivalence étant : on pose X = X(I) \wedge^{V(J(I))} t(\xi, I) sous V(J(I)), une accolade et « \simeq V(I) » où t(\xi, I) est le V(I)-torseur I \wedge X(I)_{\xi}^{-1} I \hookrightarrow X \text{ est la fibre de } X \to \xi, \text{ compte tenu que} au-dessus de « la fibre », un X en interligne, dont la place dans la phrase n'est pas sûre \begin{array}{c} X/V(I) \simeq X(I)/V(I) \simeq \Sigma(J) \\ X_{\xi} \simeq X(I)_{\xi} \wedge t(\xi, I) . \end{array} l'énoncé, depuis « Théorème », est tenu par un trait vertical dans la marge gauche

Si I est muni d'un pt i_{0}, on a une description de X comme X(I) \wedge^{V(I)} X(I)_{\xi}^{-1}, i.e. isom. à X(I) une fois choisi un élément dans X(I) au-dessus de \xi.

De façon plus générale, la donnée d'un isom. « admissible » X \simeq X(I) équivaut à celle d'un V-isom. I \simeq X(I)_{\xi} .

Courbes elliptiques réelles

titre souligné, en haut à droite du feuillet 90, de sa main

Déc 83 la date est écrite en oblique dans le coin supérieur gauche, séparée du texte par un trait

Soit k un anneau (par exemple commut.) ~~M sur k-~~ Considérons la catégorie des k-Modules M munis d'un automorphisme \sigma ~~tel~~ tels que

a) \sigma^{2} = \mathrm{id} b) 2\,\mathrm{id}_{M} injectif (on dit alors M 2-régulier)

À un tel couple (M, \sigma), associons les triples (P, Q, m) de deux k-modules pour lesquels 2\,\mathrm{id}_{P} et 2\,\mathrm{id}_{Q} sont injectifs (i.e. P, Q 2-réguliers), et m \subset P/2P \oplus Q/2Q un sous-k/2k-module (avec m \cap P/2P = 0, m \cap Q/2Q = 0, i.e. m est le graphe d'un iso. entre deux sous-modules p' \subset p = P/2P, q' \subset q = Q/2Q, et un iso. p' \simeq q'), de la façon suivante \begin{array}{l} P = M_{+} = \operatorname{Ker}(\mathrm{id}_{M} - \sigma) = \{x \in M \mid \sigma x = x\} \\ Q = M_{-} = \operatorname{Ker}(\mathrm{id}_{M} + \sigma) = \{x \in M \mid \sigma x = -x\} \end{array} M_{+} \cap M_{-} = 0 dans M, car M 2-régulier, donc 2M \subset M_{+} \oplus M_{-} \subset M \quad \text{car } \forall x \in M, \text{ on a } 2x = \underbrace{(x + \sigma x)}_{M_{+}} + \underbrace{(x - \sigma x)}_{M_{-}} un point d'exclamation dans la marge, devant la formule ; à la suite de « \subset M », un terme biffé : ~~\subset \tfrac{1}{2}(M_{+} \oplus M_{-})~~ soit \underset{\substack{\Vert \\ 2M}}{M'} \subset M_{+} \oplus M_{-} = P \oplus Q on a donc 2P \oplus 2Q \subset M' \subset P \oplus Q donc M' est l'image d'un sous-module m de (P \oplus Q)/(2P \oplus 2Q) \simeq \underbrace{P/2P}_{p} \oplus \underbrace{Q/2Q}_{q} , et on vérifie \begin{cases} m \cap p = 0 & \text{i.e.\ } \underbrace{M' \cap \bigl(P + (2P + 2Q)\bigr)}_{M' \cap P + (2P + 2Q)} = (2P + 2Q) \\ m \cap q = 0 & \text{i.e.\ } M' \cap \bigl(Q + (2P + 2Q)\bigr) = 2Q \end{cases} car M' \cap P = 2P puisque 2x \in P i.e. \sigma 2x = 2x implique x \in P i.e. \sigma x = x, et M' \cap Q = 2Q.

D'ailleurs (M, \sigma) se reconstitue à partir de (P, Q, m), car M' \subset P \oplus Q se reconstitue, et \sigma_{M'} est induit par \mathrm{id}_{P} \oplus (-\mathrm{id}_{Q}), et 2\,\mathrm{id}_{M} : M \to M' est un iso. de (M, \sigma_{M}) sur (M', \sigma_{M'}).

Prop. Le foncteur précédent (M, \sigma) \longmapsto (P, Q, m) est une équivalence de catégories.

Cor. Supposons k connexe, 2-régulier, prenons M (M, \sigma) projectif de rang 2 , avec \sigma \neq \mathrm{id}_{M}, -\mathrm{id}_{M}, alors la cat. des des faisceaux est équivalente à celle des paires (P, Q) avec P, Q inv., et p \subset P/2P, q \subset Q/2Q et p \simeq q la dernière ligne est coupée au bord droit du feuillet ; l'interligne au-dessus de « prenons » porte plusieurs mots biffés

calculs de brouillon pour le feuillet précédent, écrits sur un listing d'ordinateur daté « 19 AUG 82 » ; ils sont transcrits dans l'ordre de la page, du haut à droite vers le bas

M' P \oplus Q \supset M' \supset 2P \oplus 2Q ~~\exists\, x, y \in M', (1 + \sigma)(x, y) =~~ \begin{array}{l} \sigma(x, y) = x - y \\ (1 + \sigma)(x, y) = 2x \\ (1 - \sigma)(x, y) = 2y \end{array} la troisième ligne est barrée d'un trait oblique ; le « x - y » de la première est tel qu'écrit P = ~~x \in (x, y) \in M'~~ \begin{cases} M' \cap P = 2P \\ M' \cap Q = 2Q \end{cases} \qquad \text{i.e.\ } M' \cap (P + 2Q) = 2P + 2Q \ \ \bigl(= (M' \cap P) + 2Q\bigr) (x, y) \mapsto x + 2y \in M' m \subset \underbrace{P/2P}_{p} \times \underbrace{Q/2Q}_{q} \qquad \text{sous-module de } k/2k\text{-modules} \begin{array}{ll} m \cap p = 0 & \qquad m \to p \text{ injectif} \\ m \cap q = 0 & \qquad m \to q \text{ injectif} \end{array}

x \mapsto 2x : M \to M injectif k' k \hookrightarrow k' = k[\tfrac{1}{2}]

M plat sur k M \subset M \otimes k' = M' = M'_{+} \oplus M'_{-} ~~= M_{+} k'~~ \begin{array}{l} M_{+} = \{x \in M \mid \sigma x = x\} = \operatorname{Ker}(1 - \sigma) \\ M_{-} = \{x \in M \mid \sigma x = -x\} = \operatorname{Ker}(1 + \sigma) \\ M_{+} \cap M_{-} = 0 \\ M/M_{+} + M_{-} \ \text{annulé par } 2 \\ 2x = \underbrace{(x + \sigma x)}_{\in M_{+}} + \underbrace{(x - \sigma x)}_{\in M_{-}} \end{array} dans x \mapsto 2x M \to M injectif \begin{array}{l} M_{+} \oplus M_{-} \subset M \subset \tfrac{1}{2}(M_{+} \oplus M_{-}) \\ 2M_{+} \oplus 2M_{-} \subset \underbrace{2M}_{M'} \subset M_{+} \oplus M_{-} \end{array} ~~P \oplus Q~~ P, Q M m \in P/2P \oplus Q/2Q (1 + \sigma) M' = 2M_{+}, \qquad (1 - \sigma) M' = 2M_{-} un long trait oblique traverse la moitié inférieure de ces calculs, de « M_{-} = \ldots » jusqu'à « 2M » : la page est ainsi, en partie, cancellée

Courbes elliptiques réelles ~~Elles sont~~ La catégorie de ces courbes (avec morphismes pas nécessairement des iso) équivaut à celle des systèmes (\Pi, \sigma, c), où \Pi est un \mathbb{Z}-module libre de rang 2, c une structure ~~conf.~~ conforme orientée sur \Pi_{\mathbb{R}} = \Pi \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}, et \sigma un anti-automorphisme de la struct. (\Pi, c), qui peut s'interpréter comme une symétrie de \Pi \otimes \mathbb{R} i.e. de déterminant -1, involution de \Pi, renversant l'orientation (donc \neq \pm \mathrm{id}_{\Pi}), et conservant la structure conforme. Pour le couple (\Pi, \sigma) il y a seulement deux possibilités, à iso près (elles sont d'ailleurs isogènes …). Je note, pour chacune d'elles, à trouver les structures conformes qui sont invariantes par \sigma. On peut les normaliser par Q(e_{+}) = 1 après Q(e_{+}), une parenthèse biffée ; en marge droite, « NB une base de \Pi_{+}, \Pi_{-} », avec \Pi_{+} et \Pi_{-} l'un sous l'autre et un trait qui les relie donc on sait les structures de la forme Q(x e_{+} + y e_{-}) = x^{2} + a y^{2} où a \in \mathbb{R}^{*+}. Il y a donc deux familles de courbes elliptiques réelles, paramétrées chacune par \mathbb{R}^{*+}, on peut les désigner par E_{a}, E'_{a} (a \in \mathbb{R}^{*+}). ~~Considérons~~

Considérons les automorphismes d'une courbe elliptique définis par (\Pi, \sigma, c), ils correspondent aux automorphismes commutant à \sigma et respectant la de \Pi qui sont orientés = celles de la structure conforme (compatible à l'orientation) Q transforme \Pi^{\pm} en \Pi^{\pm} , \pm e_{0}, la symétrie ) . Mais de \mathbb{R} e_{0} + \mathbb{R} e_{1} qui respectent Q, qui fixent e_{0} et qui respectent l'orientation ! Donc il n'y a que l'identité, et \sigma, que l'automorphisme universel, correspondant à -1. la seconde moitié du feuillet est une écriture rapide, très raturée ; les formules et quelques mots s'y lisent, la prose presque pas

Pour une courbe elliptique complexe donnée, définie par un réseau \Pi dans un espace vectoriel complexe V de dim 1, les structures réelles qu'on peut mettre dessus correspondent aux droites réelles de V, telles que la ~~symétrie~~ réflexion orthogonale : \mathbb{D} conserve \Pi. Peut-il y en avoir plusieurs ? Si oui, les structures réelles correspondantes sont-elles isom. (i.e. conjuguées de l'une d'elles par automorphisme complexe ) ? ~~En tous cas, \sigma, \sigma'~~

~~Cas de~~ Dans tous les cas, soit G le groupe des automorphismes X défini par (\Pi, c) de la courbe elliptique conformes. Pour que X admette une structure réelle, il faut et il suffit que G \xrightarrow{\det} \pm 1 soit surjectif, : on a 1 \longrightarrow \underset{\substack{\Vert \\ \operatorname{Aut}(X)}}{G^{+}} \longrightarrow G \longrightarrow \pm 1 \longrightarrow 1 Mais un élément \sigma de G de déterminant -1 est une transformation orth. de déterminant -1, et une réflexion, donc c'est une structure réelle sur la courbe elliptique ; les courbes elliptiques réelles sur la structures réelles qui admettent une celles dont l'invariant sous la conjugaison, i.e. G^{+} est cyclique d'ordre n = 2, 4 ou 6 et réel. L'ens. ~~des structures~~ est un torseur sous G^{+}, ~~(X fini)~~ et G isomorphe au groupe diédral D_{n}. G^{+} le bas du feuillet est chargé de ratures en deux couches ; « n = 2, 4, \ldots » est ajouté au-dessus d'une ligne biffée, « diédral D_{n} » termine la page

structures réelles s'identifie ! G^{-}, qui est un torseur sous G^{+} par translations à gauche. Par contre, l'opération de G^{+} sur G^{-} par automorphismes intérieurs est , le centre \zeta = \{\pm 1\} de G opérant trivialement, et il y a deux orbites sous G^{+} (ou sous G^{+}/\zeta) si n = 2 ou (pour n = 4 ou 6) les symétries par rapport respectivement aux sommets et aux côtés des polygones (carrés ou hexagones) fondamentaux dans la marge gauche, à hauteur de cette ligne, un petit carré dessiné

Donc on trouve

Proposition. Soit une courbe elliptique ~~réelle~~ complexe X. Les structures réelles sur X de la courbe si et seulement 1 \longrightarrow G^{+} \longrightarrow G \longrightarrow \pm 1 \longrightarrow 1 et carrés (i.e. droites). Dans ce cas, G est ~~un groupe~~ donc un groupe diédral, dont G^{+} (d'ordre n = 2, 4, \ldots, 6) est le groupe des rotations. L'ens. des structures réelles se partage en deux orbites sous G^{+} (par ), et les structures réelles correspondant à deux orbites distinctes sont (par définition !) non isomorphes. ~~correspondant aux structures E_{a}, E'_{a}~~

Je présume que l'une est formée de structures E_{a} (a \in \mathbb{R}^{*+} fixé), l'autre est formée des structures E'_{a'} (avec a' = a), et inversement, i.e. qu'on peut trouver un a \in \mathbb{R}^{*+} unique, tel que les deux orbites sont l'une formée des structures isom. à E_{a}, l'autre des structures isom. à E'_{a}. De plus il faudrait

feuillet de dessins, sans un mot ni une formule : neuf sphères tracées à main levée au feutre (noir, brun, vert, orange, bleu), chacune découpée par un réseau d'arcs de grands cercles en régions dont certaines sont hachurées ou coloriées ; la plus grande, en orange, en haut à droite, est coupée par quatre cordes en secteurs, l'un hachuré

explicitons le lien du paramètre a avec le paramètre \tau, ou mieux, avec l'invariant modulaire j \in \mathbb{R}^{\pm} (s'agit-il ~~i.e. a = \exp j ou a = \exp - j~~ ~~dans la famille E_{a} ou E'_{a} ?)~~). j = \tfrac{1}{2} \log a ? dans la marge gauche, sous cette note, un hexagone dessiné avec son axe vertical et une diagonale horizontale

~~Considérons~~ Notons que si \sigma est dans G^{-}, alors (réflexion par hexagonal, ) suivant les cas -\sigma est conjugué, ou non conjugué, à \sigma. Dans le cas hexagonal il est non conjugué ; dans le cas carré, il est conjugué. Dans le cas non harmonique, n = 2, il est bien sûr non conjugué (cas d'un groupe commutatif) – dans le cas ~~hexagonal~~ carré et le seul soit conjugué à \sigma. ~~Dans le cas~~ ~~dans le cas carré précisément, on trouve~~

Distinguons les cas

1) n = 2 Cas non harmonique. Le groupe des automorphismes anti est \pm 1, \pm \sigma, où \sigma est une anti-rotation. On voit donc que si \sigma est du type droite d'un , il en est de même de -\sigma ( P, Q \mathrm{id}_{P} et -\mathrm{id}_{Q}), donc on est dans le cas E_{a}, ) donc on est dans E_{a} et en E_{a'}, correspondant aux deux de a a' = 1. Si on prend \Pi, \sigma' de G^{-}, un générateur u = e_{+} de \Pi_{+}, v = e_{-} de \Pi_{-}, a = a(\sigma) = \frac{Q(e_{-})}{Q(e_{+})} et remplaçant la de \sigma par -\sigma , on trouve bien a(-\sigma) = 1/a(\sigma) Ceci vaut aussi bien dans le cas des E_{a} que des E'_{a} (valable dans tous les cas), donc a(-\sigma) = a(\sigma) \iff a(\sigma) = 1 \iff \text{cas \emph{carré}} .

2) Cas carré n = 4. On voit que l'un a un \sigma du type E_{1}, et -\sigma est du même type. Cela correspond aux symétries p.r. aux diagonales des carrés de départ. La symétrie par rapport à une arête, changeant e_{0} et e_{1}, les invariants et anti-invariants sont engendrés par e_{0} + e_{1} et e_{0} - e_{1}, qui engendrent dans le cas E'_{a'}. Comme a' = \frac{Q(e_{0} - e_{1})}{Q(e_{0} + e_{1})} = 1 devant le « 1 », une lettre biffée : A on voit . Donc on trouve les types E_{1} (« sommets ») et E'_{1} (« côtés »). dans la marge gauche, le carré fondamental dessiné sur ses axes, avec les vecteurs e_{0} et e_{1} issus du centre vers deux sommets

3) Cas hexagonal n = 6.

Réflexions-sommets. L'ensemble des invariants par la réflexion p.r. à \mathbb{R} u sont engendrés par u, les anti-invariants par 2v - u, c'est du type E'_{a}, avec a = \frac{Q(2v - u)}{Q(u)} = \sqrt{3} dans la marge gauche, l'hexagone dessiné avec ses six sommets nommés u, v, v - u, -u, -v, u - v, et le sommet 2v - u du triangle extérieur qui s'appuie sur le côté v - u, v ; des flèches vont du centre aux sommets. La valeur \sqrt{3} est telle qu'écrite

Réflexions-faces Ce sont les -\sigma, on trouve donc E'_{1/a} = E'_{1/\sqrt{3}}

En résumé Dans tous les cas, sauf le cas carré, l'un des ~~les types de~~ ~~les~~ structures réelles sur X est soit ~~du type~~ \{E_{a}, E_{1/a}\}, avec a > 1, ~~Cas~~ soit \{E'_{a}, E'_{1/a}\} (le cas hexagonal étant dans le deuxième cas avec a = \sqrt{3}), à l'exclusion bien sûr l'un de l'autre. Dans le cas carré, l'ens. des structures réelles est \{E_{1}, E'_{1}\} i.e. il y a à la fois des structures E et E'. le résumé est tenu par un trait vertical dans la marge gauche

Résumé

Cas E_{a} : base u = e_{0}, v = e_{1}, forme ~~Q(e_{0}) = Q(e_{1})~~ Q(x e_{0} + y e_{1}) = x^{2} + a y^{2}.

Si on veut normaliser forme Q sous forme standard, on prend la base \underbrace{e_{0}}_{1}, \underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{a}}\, e_{1}}_{i}, on trouve donc la base 1, \sqrt{a}\, i d'où \boxed{\tau = \sqrt{a}\, i}

Cas E'_{a} : base ~~e_{0}, v = u,~~ la base e_{0} = u, e_{1} = 2v - u, où Q(x e_{0} + y e_{1}) = x^{2} + a y^{2}, v = \tfrac{1}{2}(e_{0} + e_{1}) ; on change encore de base. \underbrace{e_{0}}_{1}, \ \underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{a}}\, e_{1}}_{i} \qquad \text{base orthonormale} et on a u \mapsto 1, v \mapsto \tfrac{1}{2}(1 + \sqrt{a}\, i), donc \boxed{\tau = \tfrac{1}{2}(1 + \sqrt{a}\, i)} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{a}}{2}\, i un trait ondulé traverse ici toute la largeur du feuillet

Calcul des groupes des pts réels d'une courbe E_{a}, E'_{a}.

Pts réels sont les x \bmod \Pi (x \in \Pi_{\mathbb{R}}) tels que \sigma x \equiv x \quad (\Pi)

Distinguons les deux cas.

1) E_{a} ~~\sigma(e_{0}, e_{1}) =~~ \sigma(x, y) = x, -y donc \sigma(x, y) - (x, y) = (0, -2y) le signe de « -2y » est un trait court devant le 2, dont la lecture n'est pas sûre donc la condition est que 2y \in \mathbb{Z}. Donc y = 0 ou ou \tfrac{1}{2}, les pts de 0, \tfrac{1}{2}\, \mathbb{R} e_{0} et de (0, \tfrac{1}{2}) + \mathbb{R} e_{0}, donc deux composantes connexes pour X(\mathbb{R}).

Cor. Supposons k principal 2-régulier, k_{0} = k/2k un corps. Alors les (M, \sigma) à isom. près projectifs équivalent à celles des paires (P, Q, ) avec P, Q libres de rang 1, et ~~p \subset~~ m \subset \underbrace{P/2P}_{p} \oplus \underbrace{Q/2Q}_{q} sous-esp. vectoriel sur k_{0}, qui est soit nul, soit une droite \neq p, q (toutes conditions).

Cor. Cela donne une description des classes de conjugaison d'éléments de \mathrm{Gl}(2, k) * qui sont d'ordre 2 exactement, i.e. et distincts de \{\pm 1\} : il y a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} (correspondant au cas m = 0), puis ~~familles indexées par \mathbb{P}^{1}(k_{0}) distincts de 0, \infty ( que k^{*} \to k_{0}^{*} est surjectif) la classification plus )~~ k^{*} \to k_{0}^{*} surj. une fois base de P/2P Q/2Q provenant d'une base de P, Q. deux lignes de ce paragraphe sont biffées ensemble et reprises dans la marge droite par « k^{*} \to k_{0}^{*} surj. »

Elle correspond à \begin{array}{l} P = k, \quad Q = k, \quad m = \text{diagonale de } k_{0} \times k_{0} \text{ i.e.} \\ M' = (2k \oplus 2k) + \text{diag.\ de } k \oplus k = \{(x, y) \mid x - y \in 2k\} \end{array} donc les pour prendre base de M' u_{0} = (2, 0), \quad v_{1} = (1, 1), \quad \text{d'où} \quad -u_{0} + 2 v_{1} = (0, 2) = \operatorname{sym}(u_{0}) les lettres de u_{0} et v_{1} sont surchargées à chacune de leurs occurrences sur cette ligne et la suivante ; la lecture u, v est celle que confirme la figure en marge u = 2e_{0}, v = e_{0} + e_{1} On trouve \sigma u_{0} = u_{0}, \quad \sigma v_{1} = (1, -1) = u_{0} - \operatorname{sym} v_{1} = u_{0} - v_{1} i.e. la matrice de \sigma p.r. à (u_{0}, v_{1}) est \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} Dans le cas où k = \mathbb{Z}, c'est la matrice de la réflexion p.r. à la diagonale u, e_{0} de l'hexagone régulier, hexagone , le de l'hexagone étant réalisé à un rapport de similitude près comme base deux sommets consécutifs u, v (Mais le réseau est engendré par un des sommets). dans la marge gauche, l'hexagone dessiné, sommets nommés v - u, v, -u, e_{0} = u_{+}, -v, \sigma v = u - v, avec en haut « 2v - u = u_{-} » ; flèches du centre vers les sommets

NB Soit u_{+} une base de \Pi_{+}, u_{-} une base de \Pi_{-}, alors ~~dans~~ on peut représenter \sigma_{\mathbb{R}}, pour la base (u_{+}, u_{-}) de \Pi \otimes \mathbb{R}, par la matrice \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, le réseau \Pi étant identifié à \mathbb{Z} u_{-} + \mathbb{Z} u_{+} dans le premier cas et dans le 2^{\text{e}} cas à l'ens. des x u_{+} + y u_{-} tels que x - y \in \mathbb{Z}, x, y \in \tfrac{1}{2}\mathbb{Z} la dernière ligne est coupée au bord droit ; au pied du feuillet, écrit serré sous la dernière ligne : « \sigma^{2}(e_{1}) = \sigma e_{0} - \sigma e_{1} = e_{0} - (e_{0} - e_{1}) = e_{1} »

2) E'_{a} Donc \Pi engendré par u, v avec \sigma u = u, \sigma v = u - v dans la première ligne de calcul, le second \sigma est surchargé ou biffé \begin{array}{l} \sigma(x, y) = \sigma(xu + yv) = xu + y(u - v) = (x + y) u - y v . \\ \sigma(x, y) - (x, y) = yu - 2yv = y(u - 2v), \end{array} donc la condition est y \in \mathbb{Z}, donc on trouve les points de \mathbb{R} u_{+} mod \Pi, donc dans ce cas X(\mathbb{R}) est connexe.

9.2. « 9.2. » est écrit dans la marge gauche, à hauteur du « NB » ; c'est peut-être une date, sans année NB Pour bien faire, il faudrait aussi classifier les courbes elliptiques réelles inhomogènes, i.e. les torseurs X sur \operatorname{Spec} \mathbb{R}, sous les schémas en groupes elliptiques E_{a}, E'_{a}. Les torseurs non triviaux fournissent les surfaces conformes ~~sans~~ bord non orientables de genre 1. « sans » paraît barré d'un trait horizontal, et aucun mot n'est écrit à sa place ni en interligne ; la lecture « à » d'une première passe ne se trouve pas sur la page La suite exacte de \gamma-modules (où \gamma = \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) \simeq \{\pm 1\}) 0 \longrightarrow \Pi \longrightarrow V \longrightarrow E(\mathbb{C}) \longrightarrow 0 fournit H^{1}(\gamma, E(\mathbb{C})) \simeq H^{2}(\gamma, \Pi) \simeq \Pi^{\gamma}/(1 + \sigma)\Pi = \Pi_{+}/(1 + \sigma)\Pi

1) Cas de E_{a}. On a \Pi \simeq \Pi_{+} \oplus \Pi_{-}, d'où \Pi^{\gamma} = \Pi_{+} H^{1}(\mathbb{R}, E_{\mathbb{R}}) \simeq H^{1}(\gamma, E(\mathbb{C})) \simeq H^{2}(\gamma, \Pi) \simeq \underbrace{H^{2}(\gamma, \Pi_{+})}_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \oplus \underbrace{H^{2}(\gamma, \Pi_{-})}_{0} sous chacun des deux termes, un signe d'égalité vertical porte la valeur Il y a exactement une classe non nulle dans H^{1}, qui est d'ordre 2

2) Cas de E'_{a} On a H^{1}(\mathbb{R}, E_{\mathbb{R}}) \simeq 0.

Donc les seules courbes elliptiques vraiment inhomogènes sur \mathbb{R} sont les E^{!}_{a} = le torseur non trivial (d'ordre 2) sous E_{a}, dépendant du paramètre a \in \mathbb{R}^{*+}. le « ! » en exposant de E^{!}_{a} est tel qu'écrit