Cote n° 67 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Chirurgie des surfaces conformes : notes manuscrites (s.d., 1983-1984), lettres (1984)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]-1984
Édition de démonstration

81feuillet numéroté « 15 » en tête par l'auteur, qui n'y écrit que deux lignes : elles achèvent, semble-t-il, la phrase sur laquelle s'arrête la page 80 (lot 4), « il ne devrait pas être bien dur de vérifier si »

est étale, en calculant ou interprétant l'application tangente.

Modules \(M_{0,4}\) et l'octaèdre

titre encadré, en tête du feuillet, de sa main

83\(I\) ens. de card. 4 donné

\(J = \mathfrak{P}_{2,2}(I)\), \(V(J)\) plan vectoriel sur \(\mathbb{F}_{2}\) avec \(V(J)^{*} \simeq J\),

\(V(J) \subset \mathfrak{S}_{I}\) formé des bi-identités et des « bitranspositions ».

On s'intéresse aux droites projectives (sur \(\mathbb{C}\) disons – […] sur tt corps alg. clos [de car. \(\neq 2\)]) munies de \(I \hookrightarrow X\). (plus précisément \(I_{\mathbb{C}} \hookrightarrow X\), ou \(I \to X(\mathbb{C})\) …). « de car. \(\neq 2\) » est ajouté en interligne

L'opération de \(V(J)\) sur \(I\) se prolonge en une opération de \(V(J)\) sur \(X\) \[ V(J) \hookrightarrow G_{X} = \operatorname{Aut}(X) \] Soit \(S\) = ens. des pts dans \(X\) qui sont fixes par un élément de \(J = V(J)^{*}\), donc \(\operatorname{card} S = 6\).

[…] ok […] [En fait, on trouve que les opérations fidèles d'un plan vectoriel sur une \(X\), i.e. les plongements \(V \hookrightarrow G_{X}\), sont toutes équivalentes (modulo autom. intérieurs de \(G_{X}\)) et sont même avec base fixée\({}^{e_{0},\, e_{1}}\) équivalentes : l'opération sur \(\mathbb{P}^{1}\) \[ \begin{array}{lll} u(e_{0}) = (z \mapsto -z) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & & \text{pts fixes } 0, \infty \\[1ex] u(e_{1}) = (z \mapsto 1/z) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & & \text{pts fixes } \pm 1 \\[1ex] u(e_{0}+e_{1}) = (z \mapsto -1/z) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & & \text{pts fixes } \pm i \end{array} \]

Les quatre groupes sous-groupes […] : Donc les […] de \(G_{X}\) correspondent 1-1 aux parties \(S\) de cardinal 6 de \(X\), isom. à \((\mathbb{P}_{1}, \{0, \infty, \pm 1, \pm i\})\). parties octaédrales d'une droite projective Le normalisateur d'un tel […] sous-groupe \(V\) [de \(G_{X}\)] est isomorphe au groupe des autom. \(\mathfrak{S}_{4}\) (de façon canonique, i.e. à \(\mathfrak{S}_{I}\) […] \(V\) […]), plus précisément, si \(V = V(J)\) avec \(J = \mathfrak{P}(I)\), on trouve des un iso de suites exactes la marge gauche porte, écrit en oblique, « parties octaédrales d'une droite projective » (lecture douteuse) ; plus haut, à hauteur du crochet ouvrant « [En fait », une autre note oblique de trois ou quatre mots qui ne se lit pas

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
  1 \arrow[r] & V \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & \mathfrak{S}_{I} \arrow[r] \arrow[d] & \operatorname{Aut}(V) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & 1 \\
  1 \arrow[r] & V \arrow[r] & \Gamma \arrow[r] & \operatorname{Aut}(V) \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

au-dessus de \(\mathfrak{S}_{I}\), un mot biffé et, sous lui, un signe d'égalité vertical défini modulo automorphismes intérieurs par un élément de \(V\). Quand \(I\) est le torseur trivial, on trouve un tel iso d'ex[…]

84précisé : se donner un scindage de l'extension \[ (*) \qquad 1 \to V \to \Gamma \to \operatorname{Aut}(V) \to 1, \qquad \Gamma = \operatorname{Nor}_{G}(V), \quad \operatorname{Aut}(V) \simeq \mathfrak{S}_{J} \] « \(\operatorname{Nor}_{G}(V)\) » est écrit sous \(\Gamma\) avec un signe d'égalité vertical, et « \(\simeq \mathfrak{S}_{J}\) » sous \(\operatorname{Aut}(V)\) ; l'indice de Nor est une petite lettre qui se lit mal En termes géométriques, ces scindages sont associés aux quatre systèmes de paires de faces antipodiques sur l'octaèdre. Ainsi les L'octaèdre combinatoire (non orienté) […] l'ens. \(S\) de […] points) se définit : partition de […] et l'antipodisme sur \(S\), de la façon […], et […] habituelles, on forme les parties : trois éléments qui \(S'\) telles que \(S' \cup \underline{a}(S') = S\). Pour un tel triplet, le sous-groupe de \(\Gamma\) qui l'invarie est un scindage de l'extension \((*)\).

[…] le groupe \(\Gamma\) est est le groupe des autom. de la structure octaédrale […] \(S\) qui conservent […] les faces \(F \subset \mathfrak{P}_{3}(S)\) […]. Orientation : (définie par l'ens. des […] « \(F \subset \mathfrak{P}_{3}(S)\) » est écrit en interligne, au-dessus de « l'ens. des » des arêtes \(A \subset \mathfrak{P}_{2}(S)\) [est] défini comme l'ens. des parties de card 2 contenues dans une face), par le choix [donc] d'une orientation, […]. Choisir cette orientation revient […] […] \(X = \mathbb{P}^{1}\), \(S = \{0, \infty, \pm 1, \pm i\}\) et le choix dans le cas standard […] orientés \(\overleftrightarrow{\{0,1,i\}}\) et […] une face est \(\{0, 1, i\}\), et les faces \(\overrightarrow{\{0,1,i\}}\) sont opposées. Donc le choix d'une orientation revient au choix d'une racine carrée de \(-1\).

Pour un sous-groupe \(V \simeq D\) de \(G_{X}\), on désigne par \(\operatorname{Oct}(V) \subset X\) l'octaèdre correspondant, par \(I(V) = F/\underline{a}_{I}\) l'ens. de ses paires de faces antipodiques. Alors \(\Gamma(V) = \operatorname{Nor}_{G}(V)\)

85qui opère sur \(\operatorname{Oct}(V)\), puis sur \(I(V)\), et on trouve \[ \Gamma(V) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathfrak{S}_{I(V)} , \] sous \(\Gamma(V)\), avec un signe d'égalité vertical, « […] \(\operatorname{Aut}^{+}(\operatorname{Oct}(V))\) » et est iso. […] définit une structure de \(V\)-torseur sur \(I(V)\). (Ceci résulte de la théorie combinatoire de l'octaèdre, ou dans […] c'est kif-kif.)

Proposition […] Soit \(X\) droite projective réelle sur un corps […] dans le[quel] […] soit réalisable par extraction de racines (il suffit qu'il contienne […] racines \(\sqrt{\ }\) de car. \(\neq 2\)), et \(G = \operatorname{Aut}_{k} X\). Alors il y a corr. 1-1 entre

au b), le trait horizontal tient lieu de « les sous-groupes » par \[ \Gamma = \operatorname{Nor}_{G}(V) \] \(V\) = unique sous-groupe invariant de \(\Gamma\) isomorphe à \(D_{2}\) « unique » est écrit au-dessus de « sous-groupe », et une fin de phrase biffée suit « \(D_{2}\) » \(S\) = ens. des points fixes de l'action de \(V\) sur \(X\) […] (NB \(\Gamma\) a un ens. de points fixes plus grand qui comprend, en plus de \(S\), les « milieux d'arêtes » et « centres des faces » de l'octaèdre), […] \(S\), on a un antipodisme \(\underline{a}_{S} = \underline{a}_{V}\) […] par la condition que pour \(\sigma \in V^{\times}\), \(\underline{a}_{S}\) est [induit] la transposition […] \(X^{\sigma}\) (de cardinal 2). On définit sur \(S\) une structure octaédrale, admettant \(\Gamma\) comme groupe des automorphismes orientés, et \(\underline{a}\) comme antipodisme, via l'antipodisme (les faces sont les parties \(S' \in \mathfrak{P}_{3}(S)\) telles que \(S' \cup a(S') = S\)).

Cas : la catégorie formée des \((X, V)\) (ou \((X, \Gamma)\), ou \((X, S)\)) […] équivalente […] des octaèdres […] \((\mathrm{Oc})\) […] […] Dans […] […] \(\mathbb{Q}(i)\) […] \(q : \{\pm i\} \simeq\) […] la note marginale est écrite en oblique, de bas en haut, sur toute la moitié inférieure de la marge gauche ; redressée, elle reste en grande partie illisible

86NB On sait que la donnée d'un octaèdre [combin.,] non orienté, revient à celle d'un système \((I, \infty)\) […] \(E_{I_{3}} \times E_{I_{2}}\), ens. des code-graphes et des orientations. Ici \(\omega = \{i, -i\}\), […] Mais ici on a réduit […] \(I\) figuré […] le donnée de \(I\) […] qui s'était ôté […], mais […] de cardinal 6 sur lequel \(V\) opère. \(S\), qui est un ens. de [son] cardinal […] définissent une passage très raturé ; la ligne « Mais ici … figuré » est biffée et la place de ce qui la remplace ne se décide pas La condition à mettre \(*\) pour que ceci définisse une structure octaédrale (dont \(S\) ser. l'ens. des sommets) […] est que \(\forall\, \sigma \in V^{*}\), […] \(\operatorname{card} S^{\sigma} = 2\), et \(S = \bigcup_{\sigma \in V^{*}} S^{\sigma}\) (réunion forcément disjointe) tel condition que \(\sigma\) opère sur \((S \smallsetminus S^{\sigma})\) par transposition [dans les deux] […] […] des composants \(S^{\sigma'}\), \(S^{\sigma''}\) (où \(V^{*} = \{\sigma, \sigma', \sigma''\}\)). Donc la donnée de […] \((V, S, u : V \hookrightarrow \mathfrak{S}_{S})\), ou \((S, V \subset \mathfrak{S}_{S})\), équivaut à celle de \(S\), avec une involution sans pts fixes […] […] ayant les \(S^{\sigma}\) comme orbites).

Résumant : la donnée d'un \(V\) qui opère [fidt.] sur \(X\), considérons une orbite [\(I\)] de \(V\) sur \(X^{*} = X \smallsetminus S(V)\). Donc \(I\) est un torseur sous \(V\). La donnée de \((X, I, V(I) \hookrightarrow G_{X})\), \((X, I, I \hookrightarrow X)\) équivalent : celle de \((X, I, V(I) \hookrightarrow G_{X}\), orbite de \(V(I)\) dans \(X)\), et on se garde de confondre les \((V = V(I))\)-torseurs \(I\), avec le \(V\)-torseur \(I(V)\) [\(= I(V, X)\)] défini via l'octaèdre \(\operatorname{Oc}(V) = \operatorname{Oc}(V, X)\).

En termes de \(I\) [\(\{\pm i\}\)], on peut définir un octaèdre orienté […] […] bien […] canonique […] l'un des […] « \(\{\pm i\}\) » \(I\), l'un de ses orientations […] […] bitransp. à condition que […] soit \(V\). Cet […] octaèdre, […] pas choisi […] \(i = \sqrt{-1}\), peut s'écrire comme ens. \((X, S)\) […] […] conséquemment \((X(I), S(I))\). On a un iso canonique les trois dernières lignes du feuillet sont chargées de ratures superposées ; seules les formules et les mots isolés ci-dessus s'y lisent

87\[ X(I)/V(I) \simeq X(J) \] où \(J = J(I)\) comme dessus.

Ceci dit soit [une opération de \(V\) sur \(X\)] \(I \hookrightarrow X\) […] donc […] dans \(X\) une opération \(V = V(I)\) \(V \hookrightarrow G_{X}\), d'où un \(I(V)\) \(V\)-torseur des […] paires de \(\operatorname{Oc}(V)\), et […] \(X \simeq\) \[ X \simeq X(I(V)) \qquad \text{iso.\ canonique} \] (et aussi \(X \simeq X(I)\)). Mais pour […] deux torseurs \(T, T'\) sous […] \(= V\), on a […] \[ X(T \wedge T') = X(T) \wedge^{V} T' \] explicitez à droite de la formule, derrière un trait vertical, un mot seul Soit donc \(\underline{t} = \delta(I, \lambda)\) le \(V\)-torseur tel que \(I(V) \simeq I \wedge^{V} \underline{t}\), i.e. \(\delta \simeq I(V) \wedge I^{-1}\), on aura donc \[ \boxed{X = X(I(V)) = X(I) \wedge^{V} \underline{t}} \] Donc [donc] […] \[ \boxed{X/V \simeq X(I)/V \simeq \Sigma(J)} \] la lettre de \(\Sigma(J)\) est tracée comme un \(X\) barré horizontalement ; elle revient plus bas sous la forme « \(\Sigma(J)^{*}\) »

En résumé :

Cor. […] La donnée, d'une Pour \(I \in \operatorname{Ob} E_{I_{2}}\) […] donné, d'où \(J\) […] et \(V = V(J)\), la donnée d'un \(X\) et d'un plongement \(V \hookrightarrow G_{X}\) équivaut à la donnée d'un torseur \(\underline{t}\) sous \(V\), via \[ \underline{t} \longmapsto X(I) \wedge^{V} \underline{t} \] On a donc \[ X/V \simeq \Sigma(J) \qquad \text{(iso.\ canonique)} \] les trois paragraphes précédents, depuis « \(V = V(J)\) », sont réunis par un trait vertical dans la marge

[…] [Donc] la donnée de \((X, I \hookrightarrow X)\) équivaut à celle de a) un pt \(\xi\) de \(\Sigma(J)^{*}\), b) un \(V\)-torseur \(\underline{t}\), et c) un \(V\)-isom. […] \(X = X(I) \wedge^{V} \underline{t}\), et \[ X_{\xi} = X(I)_{\xi} \wedge \underline{t} \simeq I \qquad \text{i.e.} \qquad \underline{t} = I \wedge X(I)_{\xi}^{-1} \] \(X_{\xi}\) = fibre de

88Théorème Soit \(k\) un corps alg. clos de car. \(\neq 2\), soit \(I\) un ens. de card 4, d'où \(J\) de card. 3, et \(V = V(J)\) Considérons Considérons le groupoïde des \((X, I \hookrightarrow X)\), où \(X\) est une droite projective sur \(k\), [\(I\) de card. 4]. […] Ce groupoïde est équivalent à celui des couples \((I, \xi \in \Sigma(J(I))^{*})\), l'équivalence étant […] : on pose \[ X = X(I) \wedge^{V(J(I))} t(\xi, I) \] sous \(V(J(I))\), une accolade et « \(\simeq V(I)\) » où \(t(\xi, I)\) est le \(V(I)\)-torseur \(I \wedge X(I)_{\xi}^{-1}\) \[ I \hookrightarrow X \text{ est la fibre de } X \to \xi, \text{ compte tenu que} \] au-dessus de « la fibre », un \(X\) en interligne, dont la place dans la phrase n'est pas sûre \[ \begin{array}{c} X/V(I) \simeq X(I)/V(I) \simeq \Sigma(J) \\ X_{\xi} \simeq X(I)_{\xi} \wedge t(\xi, I) . \end{array} \] l'énoncé, depuis « Théorème », est tenu par un trait vertical dans la marge gauche

[…] Si \(I\) est muni d'un pt \(i_{0}\), on a une description de \(X\) comme \(X(I) \wedge^{V(I)} X(I)_{\xi}^{-1}\), i.e. isom. à \(X(I)\) une fois choisi un élément dans \(X(I)\) au-dessus de \(\xi\).

De façon plus générale, […] la donnée d'un isom. « admissible » \(X \simeq X(I)\) équivaut à celle d'un \(V\)-isom. \[ I \simeq X(I)_{\xi} . \]

Courbes elliptiques réelles

titre souligné, en haut à droite du feuillet 90, de sa main

90Déc 83 la date est écrite en oblique dans le coin supérieur gauche, séparée du texte par un trait

Soit \(k\) un anneau (par exemple commut.) \(M\) sur \(k\)-[…] Considérons la catégorie des \(k\)-Modules \(M\) munis d'un automorphisme \(\sigma\) tel tels que

À un tel couple \((M, \sigma)\), associons les triples \((P, Q, m)\) de deux [\(k\)-]modules pour lesquels \(2\,\mathrm{id}_{P}\) et \(2\,\mathrm{id}_{Q}\) sont injectifs (i.e. \(P, Q\) 2-réguliers), et \(m \subset P/2P \oplus Q/2Q\) [un sous-\(k/2k\)-module] (avec \(m \cap P/2P = 0\), \(m \cap Q/2Q = 0\), i.e. \(m\) est le graphe d'un iso. entre deux sous-modules \(p' \subset p = P/2P\), \(q' \subset q = Q/2Q\), et un iso. \(p' \simeq q'\)), de la façon suivante \[ \begin{array}{l} P = M_{+} = \operatorname{Ker}(\mathrm{id}_{M} - \sigma) = \{x \in M \mid \sigma x = x\} \\ Q = M_{-} = \operatorname{Ker}(\mathrm{id}_{M} + \sigma) = \{x \in M \mid \sigma x = -x\} \end{array} \] […] \(M_{+} \cap M_{-} = 0\) dans \(M\), car \(M\) 2-régulier, donc \[ 2M \subset M_{+} \oplus M_{-} \subset M \quad \text{car } \forall x \in M, \text{ on a } 2x = \underbrace{(x + \sigma x)}_{M_{+}} + \underbrace{(x - \sigma x)}_{M_{-}} \] un point d'exclamation dans la marge, devant la formule ; à la suite de « \(\subset M\) », un terme biffé : \(\subset \tfrac{1}{2}(M_{+} \oplus M_{-})\) soit \[ \underset{\substack{\Vert \\ 2M}}{M'} \subset M_{+} \oplus M_{-} = P \oplus Q \] on a donc […] \[ 2P \oplus 2Q \subset M' \subset P \oplus Q \] donc \(M'\) est l'image d'un sous-module \(m\) de \[ (P \oplus Q)/(2P \oplus 2Q) \simeq \underbrace{P/2P}_{p} \oplus \underbrace{Q/2Q}_{q} , \] et on vérifie \[ \begin{cases} m \cap p = 0 & \text{i.e.\ } \underbrace{M' \cap \bigl(P + (2P + 2Q)\bigr)}_{M' \cap P + (2P + 2Q)} = (2P + 2Q) \\ m \cap q = 0 & \text{i.e.\ } M' \cap \bigl(Q + (2P + 2Q)\bigr) = 2Q \end{cases} \] car \(M' \cap P = 2P\) puisque \(2x \in P\) i.e. \(\sigma 2x = 2x\) implique \(x \in P\) i.e. \(\sigma x = x\), et \(M' \cap Q = 2Q\).

D'ailleurs […] \((M, \sigma)\) se reconstitue à partir de \((P, Q, m)\), car \(M' \subset P \oplus Q\) se reconstitue, et […] \(\sigma_{M'}\) est induit par \(\mathrm{id}_{P} \oplus (-\mathrm{id}_{Q})\), et \(2\,\mathrm{id}_{M} : M \to M'\) est un iso. de \((M, \sigma_{M})\) sur \((M', \sigma_{M'})\).

Prop. Le foncteur précédent \((M, \sigma) \longmapsto (P, Q, m)\) est une équivalence de catégories.

Cor. Supposons \(k\) […] [connexe,] 2-régulier, prenons […] \(M\) [\((M, \sigma)\)] projectif de rang 2 […], avec \(\sigma \neq \mathrm{id}_{M}, -\mathrm{id}_{M}\), alors la cat. des […] des faisceaux […] est équivalente à celle des paires \((P, Q)\) avec \(P, Q\) inv., et \(p \subset P/2P\), \(q \subset Q/2Q\) et \(p \simeq q\) […] la dernière ligne est coupée au bord droit du feuillet ; l'interligne au-dessus de « prenons » porte plusieurs mots biffés

91calculs de brouillon pour le feuillet précédent, écrits sur un listing d'ordinateur daté « 19 AUG 82 » ; ils sont transcrits dans l'ordre de la page, du haut à droite vers le bas

\(M'\) \[ P \oplus Q \supset M' \supset 2P \oplus 2Q \] […] \(\exists\, x, y \in M'\), \((1 + \sigma)(x, y) =\) […] \[ \begin{array}{l} \sigma(x, y) = x - y \\ (1 + \sigma)(x, y) = 2x \\ (1 - \sigma)(x, y) = 2y \end{array} \] la troisième ligne est barrée d'un trait oblique ; le « \(x - y\) » de la première est tel qu'écrit \(P =\) \(x \in (x, y) \in M'\) \[ \begin{cases} M' \cap P = 2P \\ M' \cap Q = 2Q \end{cases} \qquad \text{i.e.\ } M' \cap (P + 2Q) = 2P + 2Q \ \ \bigl(= (M' \cap P) + 2Q\bigr) \] \((x, y) \mapsto x + 2y \in M'\) \[ m \subset \underbrace{P/2P}_{p} \times \underbrace{Q/2Q}_{q} \qquad \text{sous-module de } k/2k\text{-modules} \] \[ \begin{array}{ll} m \cap p = 0 & \qquad m \to p \text{ injectif} \\ m \cap q = 0 & \qquad m \to q \text{ injectif} \end{array} \]

\(x \mapsto 2x : M \to M\) injectif \(k'\) \(k \hookrightarrow k' = k[\tfrac{1}{2}]\)

\(M\) plat sur \(k\) \(M \subset M \otimes k' = M' = M'_{+} \oplus M'_{-}\) \(= M_{+} k'\) \[ \begin{array}{l} M_{+} = \{x \in M \mid \sigma x = x\} = \operatorname{Ker}(1 - \sigma) \\ M_{-} = \{x \in M \mid \sigma x = -x\} = \operatorname{Ker}(1 + \sigma) \\ M_{+} \cap M_{-} = 0 \\ M/M_{+} + M_{-} \ \text{annulé par } 2 \\ 2x = \underbrace{(x + \sigma x)}_{\in M_{+}} + \underbrace{(x - \sigma x)}_{\in M_{-}} \end{array} \] dans \(x \mapsto 2x\) \(M \to M\) injectif \[ \begin{array}{l} M_{+} \oplus M_{-} \subset M \subset \tfrac{1}{2}(M_{+} \oplus M_{-}) \\ 2M_{+} \oplus 2M_{-} \subset \underbrace{2M}_{M'} \subset M_{+} \oplus M_{-} \end{array} \] \(P \oplus Q\) \(P, Q\) \(M\) \[ m \in P/2P \oplus Q/2Q \] \[ (1 + \sigma) M' = 2M_{+}, \qquad (1 - \sigma) M' = 2M_{-} \] un long trait oblique traverse la moitié inférieure de ces calculs, de « \(M_{-} = \ldots\) » jusqu'à « \(2M\) » : la page est ainsi, en partie, cancellée

92Courbes elliptiques réelles Elles sont La catégorie de ces courbes (avec morphismes pas nécessairement des iso) équivaut à celle des systèmes […] \((\Pi, \sigma, c)\), où \(\Pi\) est un \(\mathbb{Z}\)-module libre [de rang 2], […] \(c\) une structure conf. conforme orientée sur \(\Pi_{\mathbb{R}} = \Pi \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}\), et \(\sigma\) un anti-automorphisme de la struct. \((\Pi, c)\), qui peut s'interpréter comme une [symétrie de \(\Pi \otimes \mathbb{R}\) i.e. de déterminant \(-1\),] involution de \(\Pi\), renversant l'orientation (donc \(\neq \pm \mathrm{id}_{\Pi}\)), et conservant la structure conforme. Pour le couple \((\Pi, \sigma)\) il y a seulement deux possibilités, à iso près (elles sont d'ailleurs isogènes …). Je note, pour chacune d'elles, à trouver les structures conformes qui sont invariantes par \(\sigma\). On peut les normaliser par […] \[ Q(e_{+}) = 1 \] après \(Q(e_{+})\), une parenthèse biffée ; en marge droite, « NB […] une base de […] \(\Pi_{+}\), \(\Pi_{-}\) », avec \(\Pi_{+}\) et \(\Pi_{-}\) l'un sous l'autre et un trait qui les relie donc on sait les structures de la forme \[ Q(x e_{+} + y e_{-}) = x^{2} + a y^{2} \] où \(a \in \mathbb{R}^{*+}\). Il y a donc deux familles de courbes elliptiques réelles, paramétrées chacune par \(\mathbb{R}^{*+}\), on peut les désigner par \(E_{a}\), \(E'_{a}\) \((a \in \mathbb{R}^{*+})\). Considérons

Considérons les automorphismes […] [d'une courbe elliptique] définis par \((\Pi, \sigma, c)\), ils correspondent […] [aux] automorphismes […] commutant à \(\sigma\) et respectant la […] de \(\Pi\) qui [sont orientés] […] […] = celles de la structure conforme (compatible à l'orientation) […] […] \(Q\) transforme \(\Pi^{\pm}\) en \(\Pi^{\pm}\) […], […] […] \(\pm e_{0}\), […] […] […] […] la symétrie […]) […] […]. Mais […] […] […] de \(\mathbb{R} e_{0} + \mathbb{R} e_{1}\) qui respectent \(Q\), qui fixent \(e_{0}\) et qui […] respectent l'orientation ! Donc il n'y a que l'identité, et \(\sigma\), […] […] que l'automorphisme universel, correspondant à \(-1\). la seconde moitié du feuillet est une écriture rapide, très raturée ; les formules et quelques mots s'y lisent, la prose presque pas

93Pour une courbe elliptique complexe donnée, définie par un réseau [\(\Pi\)] dans un espace vectoriel complexe \(V\) de dim 1, les structures réelles qu'on peut mettre dessus correspondent aux […] [droites réelles] […] de \(V\), telles que la symétrie [réflexion] orthogonale […] : \(\mathbb{D}\) conserve \(\Pi\). Peut-il y en avoir plusieurs ? Si oui, les structures réelles correspondantes sont-elles isom. (i.e. conjuguées de l'une d'elles par […] automorphisme complexe […]) ? En tous cas, […] \(\sigma, \sigma'\) […]

Cas de […] Dans tous les cas, soit \(G\) le groupe des automorphismes [\(X\) défini par \((\Pi, c)\)] de la courbe elliptique conformes. Pour que […] \(X\) admette une structure réelle, il faut […] et il suffit que \(G \xrightarrow{\det} \pm 1\) soit surjectif, […] […] […] : on a \[ 1 \longrightarrow \underset{\substack{\Vert \\ \operatorname{Aut}(X)}}{G^{+}} \longrightarrow G \longrightarrow \pm 1 \longrightarrow 1 \] Mais un élément \(\sigma\) de \(G\) de déterminant \(-1\) est une transformation orth. de déterminant \(-1\), et une réflexion, donc c'est une structure réelle sur la courbe elliptique ; les courbes elliptiques réelles sur la […] structures réelles […] […] qui admettent une […] […] celles dont l'invariant […] […] sous la conjugaison, i.e. […] \(G^{+}\) est cyclique d'ordre […] \(n = 2, 4\) ou \(6\) et [réel]. L'ens. des […] structures […] […] est un torseur sous \(G^{+}\), […] (\(X\) fini) et \(G\) […] […] isomorphe au groupe diédral \(D_{n}\). \(G^{+}\) […] le bas du feuillet est chargé de ratures en deux couches ; « \(n = 2, 4, \ldots\) » est ajouté au-dessus d'une ligne biffée, « […] diédral \(D_{n}\) » termine la page

94structures réelles s'identifie ! \(G^{-}\), qui est un torseur sous \(G^{+}\) par translations à gauche. Par contre, l'opération de \(G^{+}\) sur \(G^{-}\) par automorphismes intérieurs est […] […], le centre \(\zeta = \{\pm 1\}\) de \(G\) opérant trivialement, et il y a deux orbites sous \(G^{+}\) (ou sous \(G^{+}/\zeta\)) si \(n = 2\) ou […] (pour \(n = 4\) ou \(6\)) les symétries par rapport […] [respectivement] aux sommets et aux côtés des […] polygones (carrés ou hexagones) fondamentaux dans la marge gauche, à hauteur de cette ligne, un petit carré dessiné

Donc on trouve

Proposition. Soit une courbe elliptique réelle complexe \(X\). Les structures réelles […] [sur \(X\)] […] […] de la courbe […] […] si et seulement […] […] \[ 1 \longrightarrow G^{+} \longrightarrow G \longrightarrow \pm 1 \longrightarrow 1 \] […] et carrés (i.e. droites). Dans ce cas, \(G\) est un groupe [donc un] groupe diédral, dont \(G^{+}\) (d'ordre \(n = 2, 4, \ldots, 6\)) est le groupe des rotations. L'ens. des structures réelles se partage en deux orbites sous \(G^{+}\) (par […] […]), et les structures réelles correspondant à deux orbites distinctes sont (par définition !) non isomorphes. […] […] correspondant aux structures \(E_{a}\), \(E'_{a}\) […]

Je présume que l'une est formée de structures \(E_{a}\) (\(a \in \mathbb{R}^{*+}\) fixé), l'autre est formée des structures \(E'_{a'}\) (avec \(a' = a\)), et inversement, i.e. qu'on peut trouver un \(a \in \mathbb{R}^{*+}\) unique, tel que les deux orbites sont l'une formée des structures isom. à \(E_{a}\), l'autre des structures isom. à \(E'_{a}\). De plus il faudrait […]

95feuillet de dessins, sans un mot ni une formule : neuf sphères tracées à main levée au feutre (noir, brun, vert, orange, bleu), chacune découpée par un réseau d'arcs de grands cercles en régions dont certaines sont hachurées ou coloriées ; la plus grande, en orange, en haut à droite, est coupée par quatre cordes en secteurs, l'un hachuré

96explicitons le lien du paramètre \(a\) avec le paramètre \(\tau\), ou mieux, avec l'invariant modulaire \(j \in \mathbb{R}^{\pm}\) (s'agit-il i.e. \(a = \exp j\) ou \(a = \exp - j\) […] dans la famille \(E_{a}\) ou \(E'_{a}\) ?)). \(j = \tfrac{1}{2} \log a\) ? dans la marge gauche, sous cette note, un hexagone dessiné avec son axe vertical et une diagonale horizontale

Considérons Notons que si \(\sigma\) est dans \(G^{-}\), alors (réflexion par […] […] hexagonal, […]) suivant les cas \(-\sigma\) est conjugué, ou non conjugué, à \(\sigma\). Dans le cas hexagonal il est non conjugué ; dans le cas carré, il est conjugué. Dans le cas non harmonique, \(n = 2\), il est bien sûr non conjugué (cas d'un groupe commutatif) – dans le cas hexagonal [carré] et le seul […] […] […] soit conjugué à \(\sigma\). Dans le cas […] dans le cas carré précisément, on trouve

Distinguons les cas

1) \(n = 2\) Cas non harmonique. Le groupe des automorphismes [anti] est \(\pm 1\), \(\pm \sigma\), où \(\sigma\) est une anti-rotation. On voit donc que si \(\sigma\) est du type […] […] droite d'un […], il en est de même de \(-\sigma\) ([…] \(P\), \(Q\) […] \(\mathrm{id}_{P}\) et \(-\mathrm{id}_{Q}\)), donc on est dans le cas \(E_{a}\), […] […]) donc on est dans \(E_{a}\) et en \(E_{a'}\), correspondant aux deux […] de […] \(a a' = 1\). […] Si on prend \(\Pi\), \(\sigma'\) de \(G^{-}\), […] […] un générateur \(u = e_{+}\) de \(\Pi_{+}\), […] \(v = e_{-}\) de \(\Pi_{-}\), […] \[ a = a(\sigma) = \frac{Q(e_{-})}{Q(e_{+})} \] et remplaçant […] la […] de \(\sigma\) par \(-\sigma\) […] […], on trouve bien \[ a(-\sigma) = 1/a(\sigma) \] Ceci vaut aussi bien dans le cas des \(E_{a}\) que des \(E'_{a}\) (valable dans tous les cas), donc \[ a(-\sigma) = a(\sigma) \iff a(\sigma) = 1 \iff \text{cas \emph{carré}} . \]

972) Cas carré \(n = 4\). On voit que l'un a un \(\sigma\) du type \(E_{1}\), et \(-\sigma\) est du même type. Cela correspond aux symétries p.r. aux [diagonales] […] des carrés de départ. La symétrie par rapport à une arête, changeant \(e_{0}\) et \(e_{1}\), les invariants et anti-invariants sont engendrés par \(e_{0} + e_{1}\) et \(e_{0} - e_{1}\), qui engendrent […] […] […] dans le cas \(E'_{a'}\). Comme \[ a' = \frac{Q(e_{0} - e_{1})}{Q(e_{0} + e_{1})} = 1 \] devant le « 1 », une lettre biffée : A on voit […] […]. Donc on trouve les types \(E_{1}\) (« sommets ») et \(E'_{1}\) (« côtés »). dans la marge gauche, le carré fondamental dessiné sur ses axes, avec les vecteurs \(e_{0}\) et \(e_{1}\) issus du centre vers deux sommets

3) Cas hexagonal \(n = 6\).

[…] Réflexions-sommets. L'ensemble des invariants par la réflexion p.r. à \(\mathbb{R} u\) sont engendrés par \(u\), les anti-invariants par \(2v - u\), c'est du type \(E'_{a}\), avec \[ a = \frac{Q(2v - u)}{Q(u)} = \sqrt{3} \] dans la marge gauche, l'hexagone dessiné avec ses six sommets nommés \(u\), \(v\), \(v - u\), \(-u\), \(-v\), \(u - v\), et le sommet \(2v - u\) du triangle extérieur qui s'appuie sur le côté \(v - u\), \(v\) ; des flèches vont du centre aux sommets. La valeur \(\sqrt{3}\) est telle qu'écrite

Réflexions-faces Ce sont les \(-\sigma\), on trouve donc \(E'_{1/a} = E'_{1/\sqrt{3}}\)

En résumé Dans tous les cas, sauf le cas carré, […] [l'un des] les types de les structures réelles sur \(X\) est soit du type \(\{E_{a}, E_{1/a}\}\), [avec \(a > 1\),] Cas soit \(\{E'_{a}, E'_{1/a}\}\) (le cas hexagonal étant dans le deuxième cas [avec \(a = \sqrt{3}\)]), à l'exclusion bien sûr l'un de l'autre. Dans le cas carré, l'ens. des structures réelles est \(\{E_{1}, E'_{1}\}\) i.e. il y a à la fois des structures \(E\) et \(E'\). le résumé est tenu par un trait vertical dans la marge gauche

98Résumé

Cas \(E_{a}\) : base \(u = e_{0}\), \(v = e_{1}\), forme \(Q(e_{0}) = Q(e_{1})\) \(Q(x e_{0} + y e_{1}) = x^{2} + a y^{2}\).

Si on veut […] [normaliser] forme \(Q\) sous forme standard, on prend la base \(\underbrace{e_{0}}_{1}, \underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{a}}\, e_{1}}_{i}\), on trouve donc la base \(1, \sqrt{a}\, i\) d'où \[ \boxed{\tau = \sqrt{a}\, i} \]

Cas \(E'_{a}\) : base \(e_{0}\), \(v =\) […] \(u\), […] […] […] […] […] la base \(e_{0} = u\), \(e_{1} = 2v - u\), où \(Q(x e_{0} + y e_{1}) = x^{2} + a y^{2}\), \(v = \tfrac{1}{2}(e_{0} + e_{1})\) ; on […] change encore de base. \[ \underbrace{e_{0}}_{1}, \ \underbrace{\tfrac{1}{\sqrt{a}}\, e_{1}}_{i} \qquad \text{base orthonormale} \] et on a \(u \mapsto 1\), \(v \mapsto \tfrac{1}{2}(1 + \sqrt{a}\, i)\), donc \[ \boxed{\tau = \tfrac{1}{2}(1 + \sqrt{a}\, i)} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{a}}{2}\, i \] un trait ondulé traverse ici toute la largeur du feuillet

Calcul des groupes des pts réels d'une courbe \(E_{a}\), \(E'_{a}\).

Pts réels sont les \(x \bmod \Pi\) \((x \in \Pi_{\mathbb{R}})\) tels que \[ \sigma x \equiv x \quad (\Pi) \]

Distinguons les deux cas.

1) \(E_{a}\) \(\sigma(e_{0}, e_{1}) =\) \(\sigma(x, y) = x, -y\) donc \[ \sigma(x, y) - (x, y) = (0, -2y) \] le signe de « \(-2y\) » est un trait court devant le 2, dont la lecture n'est pas sûre donc la condition est que \(2y \in \mathbb{Z}\). Donc \(y = 0\) ou [ou \(\tfrac{1}{2}\)], les pts de \(0\), \(\tfrac{1}{2}\, \mathbb{R} e_{0}\) et de […] \((0, \tfrac{1}{2}) + \mathbb{R} e_{0}\), donc deux composantes connexes pour \(X(\mathbb{R})\).

99Cor. Supposons \(k\) principal [2-régulier], \(k_{0} = k/2k\) un corps. Alors les \((M, \sigma)\) [à isom. près] projectifs équivalent à celles des paires \((P, Q,\) […]\()\) avec \(P, Q\) libres de rang 1, et \(p \subset\) \(m \subset \underbrace{P/2P}_{p} \oplus \underbrace{Q/2Q}_{q}\) sous-esp. vectoriel sur \(k_{0}\), […] qui est soit nul, soit une droite \(\neq p, q\) (toutes conditions).

Cor. Cela donne une description des classes de conjugaison d'éléments de \(\mathrm{Gl}(2, k)\) \(*\) qui sont d'ordre 2 exactement, [i.e.] et distincts de \(\{\pm 1\}\) : il y […] a \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) (correspondant au cas \(m = 0\)), puis […] familles indexées par […] […] […] \(\mathbb{P}^{1}(k_{0})\) distincts de \(0, \infty\) ([…] […] que \(k^{*} \to k_{0}^{*}\) est surjectif) […] […] la classification […] plus […]) [\(k^{*} \to k_{0}^{*}\) surj.] une fois […] base de \(P/2P\) […] \(Q/2Q\) provenant d'une base de \(P\), \(Q\). deux lignes de ce paragraphe sont biffées ensemble et reprises dans la marge droite par « \(k^{*} \to k_{0}^{*}\) surj. »

Elle correspond à \[ \begin{array}{l} P = k, \quad Q = k, \quad m = \text{diagonale de } k_{0} \times k_{0} \text{ i.e.} \\ M' = (2k \oplus 2k) + \text{diag.\ de } k \oplus k = \{(x, y) \mid x - y \in 2k\} \end{array} \] donc les pour prendre base de \(M'\) \[ u_{0} = (2, 0), \quad v_{1} = (1, 1), \quad \text{d'où} \quad -u_{0} + 2 v_{1} = (0, 2) = \operatorname{sym}(u_{0}) \] les lettres de \(u_{0}\) et \(v_{1}\) sont surchargées à chacune de leurs occurrences sur cette ligne et la suivante ; la lecture \(u\), \(v\) est celle que confirme la figure en marge \(u = 2e_{0}\), \(v = e_{0} + e_{1}\) On trouve \[ \sigma u_{0} = u_{0}, \quad \sigma v_{1} = (1, -1) = u_{0} - \operatorname{sym} v_{1} = u_{0} - v_{1} \] i.e. la matrice de \(\sigma\) p.r. à \((u_{0}, v_{1})\) est \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] Dans le cas où \(k = \mathbb{Z}\), c'est la matrice de la réflexion p.r. à la diagonale \(u, e_{0}\) de l'hexagone régulier, hexagone […], le […] de l'hexagone étant réalisé à un rapport de similitude près […] comme base deux sommets consécutifs \(u\), \(v\) (Mais le réseau est engendré par […] un des sommets). dans la marge gauche, l'hexagone dessiné, sommets nommés \(v - u\), \(v\), \(-u\), \(e_{0} = u_{+}\), \(-v\), \(\sigma v = u - v\), avec en haut « \(2v - u = u_{-}\) » ; flèches du centre vers les sommets

NB Soit \(u_{+}\) une base de \(\Pi_{+}\), \(u_{-}\) une base de \(\Pi_{-}\), alors dans on peut représenter \(\sigma_{\mathbb{R}}\), pour la base \((u_{+}, u_{-})\) de \(\Pi \otimes \mathbb{R}\), par la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\), le réseau \(\Pi\) étant identifié à \(\mathbb{Z} u_{-} + \mathbb{Z} u_{+}\) […] dans le premier cas et dans le \(2^{\text{e}}\) cas à l'ens. des \(x u_{+} + y u_{-}\) tels que \(x - y \in \mathbb{Z}\), \(x, y \in \tfrac{1}{2}\mathbb{Z}\) la dernière ligne est coupée au bord droit ; au pied du feuillet, écrit serré sous la dernière ligne : « \(\sigma^{2}(e_{1}) = \sigma e_{0} - \sigma e_{1} = e_{0} - (e_{0} - e_{1}) = e_{1}\) »

1002) \(E'_{a}\) Donc \(\Pi\) engendré par \(u, v\) avec \(\sigma u = u\), \(\sigma v = u - v\) dans la première ligne de calcul, le second \(\sigma\) est surchargé ou biffé \[ \begin{array}{l} \sigma(x, y) = \sigma(xu + yv) = xu + y(u - v) = (x + y) u - y v . \\ \sigma(x, y) - (x, y) = yu - 2yv = y(u - 2v), \end{array} \] donc la condition est \(y \in \mathbb{Z}\), donc on trouve […] les points de \(\mathbb{R} u_{+}\) mod \(\Pi\), donc dans ce cas \(X(\mathbb{R})\) est connexe.

9.2. « 9.2. » est écrit dans la marge gauche, à hauteur du « NB » ; c'est peut-être une date, sans année NB Pour bien faire, il faudrait aussi classifier les courbes elliptiques réelles inhomogènes, i.e. les torseurs \(X\) sur \(\operatorname{Spec} \mathbb{R}\), sous les [schémas en] groupes elliptiques \(E_{a}\), \(E'_{a}\). Les torseurs non triviaux fournissent les surfaces conformes sans bord non orientables de genre 1. « sans » paraît barré d'un trait horizontal, et aucun mot n'est écrit à sa place ni en interligne ; la lecture « à » d'une première passe ne se trouve pas sur la page La suite exacte de \(\gamma\)-modules (où \(\gamma = \operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) \simeq \{\pm 1\}\)) \[ 0 \longrightarrow \Pi \longrightarrow V \longrightarrow E(\mathbb{C}) \longrightarrow 0 \] fournit \[ H^{1}(\gamma, E(\mathbb{C})) \simeq H^{2}(\gamma, \Pi) \simeq \Pi^{\gamma}/(1 + \sigma)\Pi = \Pi_{+}/(1 + \sigma)\Pi \]

1) Cas de \(E_{a}\). On a \(\Pi \simeq \Pi_{+} \oplus \Pi_{-}\), d'où \(\Pi^{\gamma} = \Pi_{+}\) \[ H^{1}(\mathbb{R}, E_{\mathbb{R}}) \simeq H^{1}(\gamma, E(\mathbb{C})) \simeq H^{2}(\gamma, \Pi) \simeq \underbrace{H^{2}(\gamma, \Pi_{+})}_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} \oplus \underbrace{H^{2}(\gamma, \Pi_{-})}_{0} \] sous chacun des deux termes, un signe d'égalité vertical porte la valeur Il y a exactement une classe non nulle dans \(H^{1}\), qui est d'ordre 2

2) Cas de \(E'_{a}\) On a \(H^{1}(\mathbb{R}, E_{\mathbb{R}}) \simeq 0\).

Donc les seules courbes elliptiques vraiment inhomogènes sur \(\mathbb{R}\) sont les \(E^{!}_{a}\) = [le] torseur […] non trivial (d'ordre 2) sous \(E_{a}\), dépendant du paramètre \(a \in \mathbb{R}^{*+}\). le « ! » en exposant de \(E^{!}_{a}\) est tel qu'écrit