Fonds Grothendieck, cote n° 67, pages 61–80

pagination de l'auteur : 5. La page commence au milieu d'une phrase commencée au lot précédent.

les propriétés de régularité de C au fait que cercle « intérieur » dans la surface conforme X' déduite par bordage des trous. D'autre part, le choix d'un point de D \setminus C équivaut à celui d'une structure torique sur C compatible avec la structure de droite projective réelle (liée aux restrictions du groupe structural \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})/\mathbb{R}^{*} (= \mathrm{GP}(1,\mathbb{R})) au sous-groupe compact maximal \mathrm{O}(2)/\pm 1) – et est équivalent aussi à la donnée d'une structure torique de D sur le bord \partial D = C. Notons que l'on aura alors une inclusion canonique D \subset T_{X',a} où a est le centre choisi de D. On va expliciter ~~ainsi~~ ces dernières relations ainsi. le signe entre D et C est un petit trait, lu comme une différence ; « = \mathrm{GP}(1,\mathbb{R}) » est écrit au-dessus de \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})/\mathbb{R}^{*} avec une accolade ; « le bord » est en interligne.

Prop. Équivalence entre ~~la cat. des surfaces conf.~~

a) Cat. des surfaces conformes à bord, compactes, avec comp. connexe choisie C du bord, et une structure torique disons rectifiable (?) pour la structure analytique réelle, et

b) Cat. des surfaces conformes ~~bord~~ X', avec disque pointé (D, a), D \subset \operatorname{Int}(X') , tel que \partial D soit rectifiable dans X' (i.e. l'injection \partial D \to X' rectifiable, pour la structure analytique naturelle de \partial D comme bord de D).

De plus, pour (X', a) fixé, chaque disque D autour de a définit un « disque ~~canonique~~ euclidien » dans T_{X',a} ( la structure euclidienne (de T_{X',a}) conforme). Comme les disques forment un torseur sous \mathbb{R}^{*+} (par homothéties), i.e. un espace de dim 1, il est clair que l'application

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D \longmapsto o(D) \qquad (\text{« ombre de } D \text{ »}) qui s'ensuit (des disques conformes centrés en a) D \mapsto ombre de dans T_{X',a}, n'a rien d'injectif. Les disques « concentriques » à D donnent les \lambda\, o(D) (0 < \lambda \leq 1), plus précisément, D \mapsto o(D) est compatible aux homothéties de rapport ~~\lambda \leq~~ \lambda \in {]0,1]}.

Je m'intéresse ici au cas où X' est compacte, et munie d'une famille finie de « pts marqués », soit (a_i)_{i \in I}, X, et où on prend une famille mutuellement disjointe D_i (i \in I) autour des a_i de disques donnant des ombres o(D_i) \subset T_{X',a_i} . On demande des conditions restrictives plausibles sur le système des D_i, impliquant (qui sait ?) qu'il est déterminé par le système des ombres.

[On laisse tomber dorénavant le ' des X' !!]

~~Mais sur X^{*} = X \setminus \bigcup D_i (si chaque composante)~~ OPS X connexe, I non vide – ~~dans X~~ il y a sur X^{*} = X \setminus \bigcup_i \mathring{D}_i (surface conforme : bord contenu dans le disque de X \bigcup \partial D_i) une métrique ~~hyperbolique~~ canonique à courbure constante (qu'on peut d'ailleurs normaliser par la condition que la courbure soit \pm 1) ~~sont des~~ sauf cts canonique dans le cas hyperbolique (i.e. hors du cas g = 0, \nu \in \{1, 2\}, \nu = \operatorname{card} I) – dans le cas hyperbolique les bords sont géodésiques, dans tous les cas le bord est muni d'une structure torique canonique provenant de la structure riemannienne. Il est tentant de restreindre les syst. de disques envisagés, en exigeant que les deux structures toriques sur chaque \partial D_i (provenant soit de D_i, soit de X^{*}) il y a aussi le cas ~~deux~~ où du plan projectif réel (\simeq S^2/\pm 1) ~~d'un disque~~ « un trou » « syst. de » est en interligne. La note marginale est écrite en biais dans la marge gauche, au niveau de la condition sur g et \nu ; elle se lit mal. « OPS » ouvre la ligne, souligné, au-dessus d'un mot biffé ; la lecture « \pm 1 » de la normalisation est incertaine.

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coïncident. Cela signifie donc que X se déduit de X^{*} par « bordage des trous par des disques canoniques » (utilisant les structures toriques sur les comp. conn. de \partial X^{*}). ~~La question~~ Disons alors que le système de disques (D_i)_{i \in I} dans X autour des a_i est « admissible ».

Questions Comment cette condition d'admissibilité se reflète-t-elle en termes de la géométrie intrinsèque de X ? Par exemple, ~~quand~~ quand X est muni d'une métrique canonique (cas où X \not\simeq \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}), quelle est la relation de cette condition avec celle que les \partial D_i soient des « disques géodésiques » (définis par la condition que \mathrm{dist.\,géod}(x, a_i) \leq r_i) ?

Fixons une X_0 surface top. orientée ~~à bord~~ de référence (X_0, de type g,\nu, type (g,\nu) (0,1), (0,2) la note marginale, au bas de la marge gauche, est très raturée ; seuls les couples (0,1), (0,2) et « type (g,\nu) » se lisent.

et considérons « l'espace de Teichmüller à bord » correspondant ~~T_{g,\nu}~~ \mathrm{TB}_{g,\nu}, qui est ~~isom.~~ homéo. à \mathbb{R}^{6g-6+3\nu} ou mieux, à \mathbb{C}^{3g-3+\nu} \times \mathbb{R}^{\nu}. Considérons l'application \mathrm{TB}_{g,\nu} \longrightarrow T_{g,\nu} sous la source est écrit \simeq \mathbb{C}^{3g-3+\nu} \times \mathbb{R}^{\nu}, sous le but \mathbb{C}^{3g-3+\nu}, suivi d'un \times \mathbb{R}^{\nu} biffé. de bordage des trous, je présume qu'elle est fibrante de fibre , plus précisément, que ~~deux pts de~~ c'est la projection canonique. et En effet, cela doit provenir du fait que pour une sphère holomorphe à bord de type (0,3), quand la combinatoire (triangle combinatoire) est fixée, et qu'on fait varier seulement ~~les~~ un, deux ou trois des paramètres « longueur » correspondant aux trois trous, la sphère « à bord et paramétrisée » (mono, bi ou triparamétrée suivant les cas) congruente

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par bordage des trous correspondants reste la même (à isom. can. près). Il faudrait, pour le voir clairement, voir la relation entre la sphère à bord S(I) triparamétrée, associée à la sphère à bords \Sigma^{*}, et ses paramètres l_i (i \in I) comme diamètres (riemanniens) des S(I) en enlevant des disques qui dépendent si ?) (D(l_i) ~~qui~~ dont chacun ne dépend que du l_i correspondant, pas des autres l_j. « à bord » est en interligne ; un grand crochet en marge gauche embrasse ce passage.

Ce point étant supposé acquis, ou quelque variante, il semble donc bien que (au moins dans le cas hyperbolique pointé) pour une surface conforme pointée donnée, de type (g,\nu), la famille (D_i) (des disques autour des a_i) forme un espace homéomorphe à \mathbb{R}^{\nu} (\nu = \operatorname{card} I), i.e. à celui des systèmes d'ombres possibles ! Il est donc très tentant de faire la

Conjecture Pour une surface conforme pointée, (au moins dans le cas hyperbolique), l'application ~~que~~ (D_i) \longmapsto (o(D_i))

des syst. admissibles de disques conformes autour des a_i, vers l'ens. des syst. de disques ~~conformes~~ euclidiens dans les T_{X,a_i}, est bijective. ~~Au niveau des esp…~~ Au niveau des espaces modulaires du type Teichmüller, cela donnerait donc ~~une~~ la structure de fibré principal de groupe structural (\mathbb{R}^{*+})^{I} : \mathrm{TB}_{g,I} \longrightarrow T_{g,I} \qquad (\operatorname{card} I = \nu), au-dessus, une première écriture biffée : \mathrm{TB}_{g,I} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{g,I} \times . Si la relation qui précédait était vrai, cela signifierait qu'il y aurait une section canonique de ce fibré, – ce qui signifie aussi que pour un pt de \mathrm{TB}_{g,I}, i.e. une surface à bord (X_0-rigidifiée) de type (g,\nu), il y aurait un syst. d'ombres canonique dans les T_{X,a_i}, i.e. des

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métriques euclidiennes canoniques sur les T_{X,a_i}, décrivant leur structure conforme. Dans le cas g \geq 2 et même pour g = 1, cela ne semble pas inquiétant, puisqu'on a une métrique canonique sur X. Par contre dans le cas g = 0, cela semble étrange, puisque dans ce cas on n'a pas de métrique canonique sur X.

5. Retour sur le principe de chirurgie conforme

12.1. le titre est de sa main, souligné ; « 12.1. », souligné, est écrit dans la marge gauche à sa hauteur, sans année.

La formulation des lemmes locaux 2 et 3, qui sont l'ingrédient technique essentiel pour le Th. 4 (et lui sont équivalents), est un peu ambiguë. Il est plus élégant de se réduire à des lemmes globaux du type uniformisation par le disque \mathbb{D}. Cela donne le

Lemme 4 NB Il y a une version plus faible de A), \dot U = C (sans I), formellement A) En haut à gauche, une figure : une courbe fermée C, un arc I joignant un point b de C à un point a intérieur, et deux branches marquées \zeta, \bar\zeta partant de b vers l'extérieur ; une flèche indique l'orientation. La note « NB … » est écrite en biais au-dessus de la figure.

A) Soit U une partie ouverte bornée de \mathbb{C}, dont la frontière est réunion d'une courbe de Jordan ~~rectifiable. Alors il existe une fonction, continue~~ C, et d'un intervalle ~~homéomorphe~~ topologique I tel que ~~f : \mathbb{D}~~ I \cap C = \{b\}, (alors I \setminus \{b\} est contenu dans la comp. connexe bornée V de \mathbb{C} \setminus C, et b est une extrémité de I, (U = V \setminus I', où I' = I \setminus \{b\})). ~~Soit~~ Supposons de plus que C et I soient rectifiables. Soit a l'autre extrémité de I. Alors il existe une fonction ~~continue~~ f : \mathbb{D} \to \mathbb{C} telle que

1) f est continue, et induit une ho bijection (voire un homéo !) \mathring{\mathbb{D}} \xrightarrow{\ \sim\ } U.

2) f(\zeta) = f(\bar\zeta) = b, et f induit une bijection (voire un homéo) \alpha \setminus \{\zeta, \bar\zeta\} \xrightarrow{\ \sim\ } C \setminus \{b\}. (NB \zeta = \exp 2i\pi/3, et \alpha, \beta, \bar\beta sont les trois arcs sur \partial\mathbb{D} déterminés par 1, \zeta, \bar\zeta). en marge, un petit cercle montre les trois arcs : \alpha du côté de \zeta et \bar\zeta, \beta entre 1 et \zeta, \bar\beta entre 1 et \bar\zeta.

3) f|\beta et f|\bar\beta induisent des bijections de \beta et \bar\beta sur I).

NB a) b) c) peuvent s'exprimer en disant que f induit un de \mathbb{D} sur déduit de \overline{U} = \overline{V} suivant I (on suppose I \cup C = \dot U). les conditions sont numérotées 1) à 4) et renvoyées ici comme a), b), c) : ainsi sur la page.

4) f|\mathring{\mathbb{D}} est holomorphe.

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NB 1 Cette fonction est unique, dû au fait que le groupe des automorphismes ~~conformes~~ holomorphes de \mathbb{D} agit de façon simplement transitive sur l'ens. des triples de pts distincts (r, s, t) de S^1 = \partial\mathbb{D} qui se suivent pour l'orientation canonique de S^1.

NB 2 La condition 3) implique qu'on a une bijection canonique \varphi : \beta = \widehat{(1,\zeta)} \xrightarrow{\ \sim\ } \bar\beta = \widehat{(1,\bar\zeta)} telle que \varphi(1) = 1, \varphi(\zeta) = \bar\zeta).

B) Cette application \varphi est rectifiable. Inversement, ~~tout~~ ~~application~~ homéo. rectifiable \varphi : \beta \xrightarrow{\ \sim\ } \bar\beta provient d'une situation, comme dans A. De façon plus précise, ~~il existe,~~ (quitte à remplacer \overline{V} par \mathbb{D} par la th. d'uniformisation A) simplifiée sans segment intérieur I, et normaliser la situation en amenant a en 0, b en 1) ~~il existe une~~ Il existe une application continue f = f_{\varphi} : \mathbb{D} \longrightarrow \mathbb{D} telle que

1) f|\mathring{\mathbb{D}} soit ~~holo~~ injection holomorphe

En haut à gauche, une figure : le disque, avec un arc ondulé joignant le centre 0 au point 1 du bord.

(soit U = f(\mathring{\mathbb{D}}))

2) f(0) = 0, f(\zeta) = f(\bar\zeta) = 1

~~3) f|~~ f|(\alpha \setminus \{\zeta, \bar\zeta\}) ~~est un~~ induit un homéomorphisme avec \partial\mathbb{D} \setminus \{1\}

3) ~~f|[\zeta, \bar\zeta]~~ f|\beta et f|\bar\beta sont bijectives ~~est~~ = image I, ~~qui contient et I \setminus \{1\}~~ d'après 2) et I \setminus \{1\} est contenu dans \mathring{\mathbb{D}}. ce passage est corrigé en place et en interligne ; l'ordre des mots rendu ici est incertain.

4) Soient f_1 : \beta \xrightarrow{\ \sim\ } I, f_2 : \bar\beta \xrightarrow{\ \sim\ } I induits par f, alors \varphi = f_2^{-1} f_1.

NB Si on veut, f est unique. On peut se servir du théorème d'uniformisation avec bord dans le ~~Scholie~~

Scholie Il y a corr. 1-1 entre les données suivantes :

a) Les homéos rectifiables \psi : [0,1] \xrightarrow{\ \sim\ } [0,1] avec \psi(0) = 0 (donc \psi(1) = 1)

b) Les segments topologiques rectifiables I dans \mathbb{D}, tels que ~~I \cap \partial\mathbb{D} soit réduit~~ I admette 0, 1 comme extrémités et ~~à une extrémité de I~~ I \cap \partial\mathbb{D} = \{1\} (i.e. I \setminus \{1\} \subset \mathring{\mathbb{D}})

c) Les applications continues f : \mathbb{D} \to \mathbb{D} qui satisfont les propriétés 1) 2) 3) de B) ci-dessus

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d) Les séries convergentes f = \sum_{i \geq 0} a_i z^i \qquad (a_i \in \mathbb{C}) de rayon de convergence \geq 1 (donc définissant \mathring{\mathbb{D}} \to \mathbb{C}) avec |f(z)| \leq 1 si z \in \mathbb{D}, telles que la f se prolonge par continuité en une fonction \mathbb{D} \to \mathbb{D}, celle-ci ayant les propriétés 1) 2) 3) de B) ci-dessus.

13.1. le « 6 » est cerclé ; « 13.1. », souligné, est dans la marge gauche, sans année, au lendemain du « 12.1. » de la page 69.

Soit (X, C) un objet du groupoïde de Teichmüller analytique complexe à bord, avec la condition différentiable. Pour fixer les idées, supposons X connexe, de type g,\nu. Considérons la décomposition X' de X suivant C, bouchons ses trous (canoniquement en utilisant les structures toriques de \partial X')^{*}, d'où X'' surface holomorphe compacte sans bord, à disques pointés marqués, avec des ~~iso~~ antiiso unitaires ~~de ces~~ de ces disques (qui se groupent ~~deux à deux~~ par paires, à l'exception des \nu disques correspondant à \partial X). ^{*} via la métrique riemannienne can. de X' On peut considérer X'' comme la normalisée d'une courbe \mathbb{C}-alg. X''' « stable » (au sens de Mumford-Deligne), en

identifiant les pts des centres des disques qui se correspondent, et en pointant par les centres des autres disques. De plus, on obtient, pour chaque point singulier x de X''', correspondant à une paire \{x_1, x_2\} de points de X'' (centres des deux disques associés), grâce à l'antiisomorphisme des mêmes disques pointés, un élément (i.e. ) de T_{X'',x_1} \otimes_{\mathbb{C}} T_{X'',x_2} i.e. un élément de T^{*}_{X'',x_1} \wedge_{\mathbb{C}^{*}} T^{*}_{X'',x_2} .

On trouve ainsi un foncteur de

a) catégorie des courbes hol. compactes à bord X (quasi-vides), de type g,\nu, avec disques holomorphes (mais comme flèches les iso) « X » est ajouté au-dessus de « à bord », et « (quasi-vides) » en interligne au-dessus de « catégorie des » ; la lecture de ce dernier mot est très incertaine.

vers

b) Catégorie des courbes \mathbb{C}-alg. stables de type (g,\nu) X''', munies 1°) d'~~une~~ « structure de propagation normale » en ses pts singuliers, et 2°) d'un ~~structure de multidisques~~ syst. admissible de disques autour des pts marqués.

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Au niveau des multiplicités modulaires (analytiques réelles) on trouve sûrement un morphisme, pour celles-ci \mathrm{MDB}_{g,\nu} \longrightarrow \mathrm{M_{st}ND}_{g,\nu} au-dessus de la flèche, un premier \mathrm{MDB}_{g,\nu} est biffé ; le second membre porte une surcharge biffée entre le \mathrm{N} et le \mathrm{D}. où \mathrm{MDB}_{g,\nu} désigne la multiplicité modulaire (M) pour les surfaces holomorphes compactes « disquées » (D) à bord (B) de type g,\nu, et \mathrm{M_{st}ND}_{g,\nu} celle pour les courbes algébriques stables (de type loc. constant) de type g,\nu à structure de propagation normale (N) et à système admissible de disques (D) autour des pts marqués. « de type g,\nu » est en interligne, au-dessus de « (de type loc. constant) ». Cette flèche est compatible avec les flèches canoniques vers la cat. des types combinatoires de tels objets (diagrammes MD (Mumford-Deligne) « modulaires ») (~~indiquant~~ marquant une pondération des sommets) à structures toriques aux arêtes… données diagrammes connexes) un mot en interligne au-dessus de « combinatoires », terminé en « -iques », n'est pas lu.

\begin{tikzcd} \mathrm{MDB}_{g,\nu} \arrow[rr] \arrow[dr] & & \mathrm{M_{st}ND}_{g,\nu} \arrow[dl] \\ & \mathrm{mdt}_{g,\nu} & \end{tikzcd}

(dans \mathrm{mdt}, la lettre t rappelle qu'on a inclus des structures toriques dans le type combinatoire). Sûrement aussi, si on ~~définit~~ considère \mathrm{MD}_{g,\nu} (sans bord, ou à bord « générique » réduit à un ens. de \nu pts) et \mathrm{M_{st}N}_{g,\nu} (sans structure multi-disquée) on aura

\begin{tikzcd} \mathrm{MD}_{g,\nu} \arrow[rr] \arrow[dr] & & \mathrm{M_{st}N}_{g,\nu} \arrow[dl] \\ & \mathrm{md}_{g,\nu} & \end{tikzcd}

cette fois un morphisme de de multiplicités ~~analytiques~~ \mathbb{C}-algébriques. Dans le cas 1), les dimensions (réelles) sont celles de \mathbb{C}^{3g-3+\nu} \times \mathbb{R}^{\nu} les dim. complexes, dans le cas 2), celle de \mathbb{C}^{3g-3+\nu}. la fin du paragraphe est une correction en interligne, soulignée, qui se lit mal ; l'ordre des mots rendu ici est incertain.

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Question Ces flèches sont-elles des iso – et si oui, comment expliciter un iso en sens inverse ? Sûrt

Si la détermination conjecturale des syst. admissibles de disques sur une surface holomorphe compacte (fonctions de type hyperbolique) était correcte, on trouverait aisément des flèches en sens inverse ; (au niveau plus naïf des foncteurs entre les catégories-tests de ces multiplicités) on ~~fournirait~~ aurait ceci : à l'aide d'un u_i \in T^{*}_{x'_i} \wedge_{\mathbb{C}^{*}} T^{*}_{x''_i} ou ce qui revient au même un w_i \,(= u_i^{-1}) \in T^{\vee *}_{x'_i} \wedge T^{\vee}_{x''_i}, ~~i.e. un isomorphisme~~ i.e. un accouplement dualisant T_{x'_i} \otimes T_{x''_i} \longrightarrow \mathbb{C} sous cet accouplement, une première version est biffée : T_{a'_i} \xrightarrow{\ \sim\ } T_{a''_i} ; les x'_i, x''_i deviennent a'_i, a''_i dans les lignes qui suivent. ~~choisissant~~ choisissant un disque conforme D'_i dans T_{a'_i}, d'où disque conforme polaire D''_i dans T_{a''_i}, on trouverait ~~des~~ pour ce syst. (D'_i) (D''_i) des réalisations de ces disques comme

plongés dans X'' normalisé de X''' part, et on trouverait des antiiso entre les bords ~~de ces~~ de D'_i, D''_i – d'où possibilité de recoller pour trouver une X surface hol. à bord, si on a aussi enlevé des disques ouverts \mathring{D}^{*}_{\alpha} correspondant aux pts marqués x_\alpha (si on a une surface à pts marqués), disons par des cercles \Gamma_i qui ne sont peut-être pas (?? à examiner de plus près) des géodésiques, mais définissant des cercles géodésiques uniques, par les principes de Thurston. « peut-être pas » est en interligne ; « (?? à examiner de plus près) » est ajouté au-dessus d'un début de parenthèse biffé. Il faudrait voir que ce résultat obtenu ne dépend pas du choix des paires (D'_i, D''_i) mutuellement polaires, il y a un argument heuristique pour cela tout à fait sérieux, consistant à dire qu'une petite variation de cette

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paire ne change pas X ; car si on remplace D'_i par \lambda D'_i, donc D''_i par \frac{1}{\lambda} D''_i, avec \lambda \in \mathbb{R}^{*+} voisin de 1, les ~~trois~~ relations vaudront pour les disques obtenus dans X'' normalisé (c'est probablement tout à fait faux !), et on obtiendrait la même surface X, mais les \Gamma_i remplacés par des cercles « voisins » \Gamma'_i.

Le cas-clef à comprendre sans doute est celui où (g,\nu) = (0,4), i.e. le recollement de deux « pantalons » de Thurston, de deux données \Sigma', \Sigma'' à trois éléments, fixés, la fonction de

\{pantalons de type combinatoire \Sigma' \sqcup \{s\}, \Sigma'' \sqcup \{t\}, ~~donnés~~ recollés suivant \{s, t\}, les données (l_i)_{i \in \Sigma' \sqcup \Sigma'' \sqcup u} \in (\mathbb{R}^{*+})^{\Sigma' \sqcup \Sigma'' \sqcup u}, et \theta \in \mathbb{U}_{\Sigma' \wedge \Sigma''} qui fixe le recollement\}

vers

\{paires de pantalons généralisés X', X'' à bord indexés par \Sigma' \sqcup \{s\}, \Sigma'' \sqcup \{t\}, avec s, t correspondant aux ~~bords~~ composantes ponctuelles du bord, avec les périmètres (\lambda_i)_{i \in \Sigma' \sqcup \Sigma''} \in \mathbb{R}^{\Sigma' \sqcup \Sigma''}, et et un isom d'identification des \mathbb{C}^{*}_{\pm 1}(\Sigma' \wedge \Sigma'')\}

chacun des deux ensembles est marqué d'une grande accolade en marge gauche ; l'indice u et le groupe \mathbb{U}_{\Sigma' \wedge \Sigma''} sont lus sous réserve.

Une fois ce cas compris, et revenant alors au cas général, il faudrait déjà, pour un type de diagramme donné – incarné par un diagramme MD dans \mathrm{md}_{g,\nu}, comprendre l'application sur les groupes fondamentaux induite par \mathrm{MDB} \longrightarrow \mathrm{M_{st}N}_{g,\nu} , (*) celui du deuxième membre étant complétés, un de groupes de Teichmüller spéciaux – mais il doit être pareil pour le premier ! Également, il ne devrait pas être bien dur de vérifier si la page s'arrête ici, au milieu de la phrase.