Cote n° 67 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Chirurgie des surfaces conformes : notes manuscrites (s.d., 1983-1984), lettres (1984)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]-1984
Édition de démonstration

41en haut à gauche, un « 16 » cerclé, de sa main : il fait suite au « 15 » de la page 40 (lot 2), dont la dernière phrase se poursuit ici. […] dans quelques cas que si on le complète par la présomption que l'on peut […] une métrique « distinguée » sur \(X^{\sigma}\) qui soit stable par \(\sigma\).

Considérons maintenant les seuls cas nouveaux — ceux où \(X\) est connexe et \(\partial X \neq \emptyset\), compactes : un \(X^{\sim}\) \(= \mathfrak{X}\) connexe, muni d'une antiinvolution \(\sigma\) telles que \(\mathfrak{X}^{\sigma} \neq \emptyset\). Les seuls cas particuliers pour l'existence d'une métrique canonique sur \(X\), sont les suivants :

a) \(\mathfrak{X} \simeq \mathbb{C}\). […] OPS \(\mathfrak{X} = \mathbb{C}\). Les anti-aut. de \(\mathbb{C}\) sont \[ z \longmapsto a\bar{z} + b \qquad (a \in \mathbb{C}^{*},\ b \in \mathbb{C}) \] Si on prend une antiinvolution à pts fixes, OPS que \(0\) est pt fixe, donc \(b = 0\), donc l'application \(z \mapsto a\bar{z}\) \[ \sigma z = a\bar{z} \] avec \(a\bar{a} = 1\) i.e. \(|a| = 1\) i.e. \(a \in \mathbb{U}\) (puisque \(\sigma^{2} = \mathrm{id}\)) donc l'ens. des pts fixes est si \(a = \alpha^{2}\), \(\alpha \in \mathbb{U}\), \[ \sigma z = \alpha^{2}\bar{z} = \alpha/\bar{\alpha}\,\bar{z} \] et l'ens. des pts fixes est \[ \mathbb{C}^{\sigma} = \alpha.\mathbb{R} \] symétrie par rapport à la droite \(\alpha.\mathbb{R}\)

42en haut à gauche, un « 17 » cerclé, de sa main. En fait, les antiinvolutions de \(\mathbb{C}\) ont toutes des pts fixes, et ce sont les symétries orth. p.r. aux droites réelles (qu'on suppose passant par l'origine) dans \(\mathbb{C}\). La surface à bord conforme correspondante est donc : un demi-plan (avec bord). On note que les métriques sur \(\mathfrak{X}\), quasi-invariantes par autom. conformes, et invariantes par autom. d'ordre fini, en particulier par \(\sigma\). Donc il y a sur \(X\) une donnée métrique canonique, mod. ct.

NB […] Le modèle des \(X\) envisagés est le demi-plan supérieur […] \[ \overline{\mathbb{H}} = \{z \in \mathbb{C} \mid \Im z \geq 0\}. \] Le groupe des autom. de \(\overline{\mathbb{H}}\), s'identifie au groupe des autom. de la droite affine \(\mathbb{C}\) qui commutent à \(\sigma : z \mapsto \bar{z}\), est le groupe affine réel.

43en haut à gauche, un « 18 » cerclé, de sa main. b') Cas \(\mathfrak{X} \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\), \(\sigma\) une inversion — laquelle définit une structure de droite projective réelle — on trouve […] pour \(X\) un disque. Pour obtenir une métrique distinguée sur \(\mathfrak{X}\) invariante par \(\sigma\), il faut se donner un pt du disque ouvert \(X \setminus \partial X\).

un trait horizontal sépare ce qui suit.

En résumé, les surfaces conformes à bord connexes admettent une unique métrique riemannienne distinguée, sauf dans les quatre cas suivants

• a) a')Cas \(X \simeq \mathbb{C}\), où \(X \simeq \mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} \mid \Im z \geq 0\}\) [droite affine complexe, demi-plan : bord défini par une droite affine réelle], on a alors une classe de métriques mod. constantes, qui forment une orbite sous \(\operatorname{Aut} X\)
• b) b')\(X \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\) — \(X \simeq\) disque [droite projective complexe […] défini par droite projective réelle] — il y a alors un ens. de métriques distinguées dépendant de [3] paramètres réels […] des 2 paramètres réels, également orbite sous \(\operatorname{Aut}\).

44feuillet d'un autre papier ; en haut, au centre, un numéro cerclé qu'on lit « \(1'\) » : le signe qui suit le 1, court et levé, ressemble au prime du « \(2'\) » de la page 45, et « 17 » n'est pas tout à fait exclu. Par son texte, ce feuillet intercalaire se place après le feuillet 1 de l'auteur (page 26) ; c'est une induction, la page ne le dit pas. Corollaire 3. Soit \(X \subset X'\) [ouvert 0-connexe], \(X'\) hol. 0-connexe. Alors \(X\) est hyperbolique, sauf dans les cas suivants :

• a)\(X'\) est \(\simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\) (resp. \(\mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}}\), resp. \(\mathbb{G}_{m\,\mathbb{C}}\)), et \(\operatorname{card}(X \setminus X') \leq 2\) (resp. \(\leq 1\), resp. \(= 0\))sic : \(X \setminus X'\) ; le sens demande \(X' \setminus X\). ;
• b)\(X'\) est compacte de genre \(1\), et \(X = X'\).

Remarque. Soit \(X\) une surface conforme 0-connexe (pas nécessairement orientable). On dit encore que \(X\) est hyperbolique si \(\widetilde{X} \simeq \mathbb{H}\), ou ce qui revient au même, si toute applic. conforme \(\mathbb{C} \to X\) est constante. ou encore si le rev. […] des orientations de \(X\) (qui est une surface holomorphe (orient.)) est hyperbolique.

Ainsi Les surfaces conformes [sans bord] 0-connexes non hyperboliques sont, en plus des quatre cas énumérés dans (i) ci-dessus, les quotients de telles surfaces par des antiinvolutions sans pts fixes. On trouve donc de plus

45même papier que la page 44 ; en haut, au centre, un « \(2'\) » cerclé, de sa main. Par son texte, ce feuillet intercalaire se place après le feuillet 2 de l'auteur (page 27) ; c'est une induction, la page ne le dit pas. Dans le cas où \(X\) est compacte, on trouve qu'il y a la seule métrique riemannienne (compatible avec la structure conforme) qui soit de courbure constante égale à \(-1\).

2) Cas elliptique compact connexe (orientable […]) de genre \(1\). Dans le cas orienté, i.e. celui d'une courbe elliptique complexe, dont le rev. universel est une droite complexe, on a sur celui-ci une métrique canonique mod. scalaire (métriques euclidiennes) invariante par translations (et qui l'est par tout autom. i.e. par transformation affine), qui passe descendre à \(X\). La constante multiplicative la phrase s'interrompt au bas du feuillet ; la suite est vraisemblablement le haut de la page 28 (lot 2), « déterminée par la condition que l'aire totale de \(X\) soit \(= 1\) ».

47feuillet de listing, sur un autre papier que les précédents ; en haut, de sa main : « 15.1. » (jour et mois, sans année). Le sujet change : ce feuillet porte sur les isomorphismes de Teichmüller et les groupes fondamentaux, non sur les surfaces conformes à bord.

• \(X\) lisse type \((g,\nu)\) non singulière (sur \(\overline{\mathbb{Q}}\))
• \(Y\) stable non lisse type \((g,\nu)\) avec propagateur normal \(N\), d'où un groupe fondamental ext. modifié \(\pi_1([Y,N])\)
• \(X \overset{\tau}{\underset{T}{\simeq}} Y\) un isomorphisme de Teichmüller

NB Cet isomorphisme induit un isom. de groupes extérieurs […] (et est déterminé par lui) \[ \pi_1(X) \longrightarrow \pi_1([Y,N]) \] Quand on se donne un « pt base sur \(X\) » (ordinaire, ou à l'infini), et un sur \([Y,N]\) (idem — et de plus distinct des pts singuliers de \(Y\)) on a une notion d'isom. de Teichmüller respect. [à] les pts marqués, […] [lesquels] peuvent être tous deux à distance finie, ou tous deux à l'infini) et on trouve alors un isom. de groupes (pas ext. !) \[ \pi_1(X,x) \longrightarrow \pi_1([Y,N],y) \] En tout état de cause, cet isom. extérieur déjà n'est pas compatible avec les actions ext. de \(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/K)\), \(K\) [ext.] assez extension finie de \(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}\) assez grande.

NB Mettre en évidence trois classes de conjugaison d'[…] hom. \(\hat{\mathbb{Z}}(1) \to \pi_1(X)\) (deux seulement si \(\nu = 0\), l'une des trois étant les « bouts »).

48À examiner :

• a)Extension de la conjecture fondamentale en géom. alg. anabélienne aux courbes anabéliennes stables singulières (stables, avec propagateur normal). ?
• b)Pour une \(Y\) (singulière anabélienne) donnée (sur corps \(K\) de t.f. sur \(\mathbb{Q}\)), est-il est-il vrai qu'on récupère les pts de \(Y_0 = \operatorname{Sing}(Y) \cup \mathrm{Pts}\) marqués en termes des classes de conj. de sous-groupes de \(\pi_1(Y)\), isom. à \(\hat{\mathbb{Z}}\), et c'est normalisés par \(\pi_1(K)\) (l'opération de \(\pi_1(K)\) dessus se fait automatiquement via le caractère cyclotomique) ?
• c)S'inspirer des compactifications MD des \(M_{g,\nu}\), définir ce que c'est qu'une compactification anabélienne d'une variété lisse anabélienne (sur un corps \(K\) de car. \(0\), quitte peut-être à supposer \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\)). Comportement par spécialisation ???

« MD » : ainsi sur la page, sans doute pour Mumford–Deligne.

49même papier de listing, écrit sur l'endroit imprimé. Générateurs et relations pour les groupoïdes et groupes de Teichmüller (spéciaux et ordinaires, év. toriques…)

Je m'attends à trouver trois types de présentation, à propriétés complémentaires — mais toutes à signification intrinsèque :

a) Présentation par « pantalons » ou « triades ». Elle revient à travailler avec les pts à l'infini « les plus antiques » sur les multiplicités modulaires, et semble (d'après l'exemple de \(T^{+!}_{0,4}\)) commode surtout pour exprimer des groupes du type \(T^{+!}_{g,\nu}\) (ou \(T^{+}_{g;I}\)).

b) Présentation par « boîte » complète de pièces de Légo (voire des boîtes encore plus complètes), à l'aide des antiautomorphismes [groupes d']automorphismes de ces pièces, et certains « chemins » de déformation particuliers allant de certaines pièces à d'autres. Exemples frappants : \(T^{+}_{0,4}\) (sans !), ou \(T^{+}_{1,1} \simeq \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})\) engendré par \(\rho, \sigma\) avec \(\rho^{3} = \sigma^{2}\), \(\rho^{6}\ (= \sigma^{4}) = 1\).

c) Présentations par involutions, qui sont dans \(T^{-}_{g,\nu}\). Exemple typique \(T_{1,1} \simeq \mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})\) […] ([…] Groupe antiholomorphique triangulé) engendré par trois réflexions \(r_1, r_2, r_3\) avec \[ (r_1 r_2)^{2} = (r_2 r_3)^{3}, \qquad (r_1 r_2)^{4}\ \bigl(= (r_2 r_3)^{6}\bigr) = 1 . \] les exposants de cette dernière ligne sont surchargés (un \(4\) sur un \(2\), un \(3\) sur un autre chiffre) ; la lecture donnée est celle de la dernière encre.

50feuille de brouillon, écrite en tous sens sur l'endroit imprimé d'un listing (qui porte, imprimée, la date du 16 août 1982) : des formules isolées, des suites exactes et trois croquis de sphères au crayon. On les donne dans l'ordre de la feuille retournée, de haut en bas et de gauche à droite ; leur disposition n'est pas reproduite.

\(\mathcal{T}^{+!}_{0,4} \simeq \Pi_{0,3}\) […]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small, nodes={font=\scriptsize}]
1 \arrow[r] & \Pi_{0,3} \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & \mathcal{T}^{+}_{0,4} \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & \mathfrak{S}_4 \arrow[r] \arrow[d, "\mathrm{can}"] & 1 \\
1 \arrow[r] & \Pi_{0,3} \arrow[r] & \mathcal{T}^{+}_{0,1}/\pm 1 \arrow[r] & \mathfrak{S}_3 \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

sous la seconde ligne : \(\mathcal{T}^{+}_{0,1}/\pm 1 \simeq \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})/\pm 1\) et \(\mathfrak{S}_3 \simeq \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\). L'indice « \(0,1\) » est lu tel quel ; l'isomorphisme avec \(\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})/\pm 1\) attend plutôt \(\mathcal{T}^{+}_{1,1}\), ici comme dans les deux lignes suivantes.

\(\mathcal{T}^{+\prime}_{0,4} \simeq \mathcal{T}^{+}_{0,1}/\pm 1 \simeq \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})/\pm 1\)

\(0 \to \Pi_{0,3} \to \mathcal{T}^{+}_{0,1} \to\) […] \(\widetilde{\mathfrak{S}}_3 \to 1\), avec \(\mathcal{T}^{+}_{0,1} = \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})\) et \(\widetilde{\mathfrak{S}}_3 = \mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})/\ldots\) sous \(\Pi_{0,3}\), une courte ligne biffée, illisible ; à côté, \(\mathrm{Gl}(2,\mathbb{F}_2)\) surchargé.

\(\mathrm{Sl}(2,\mathbb{Z})/(\pm 1.\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{Z}} \simeq \mathbb{P}^{1}(\mathbb{Q})\), le sous-groupe \(\pm 1.\mathbb{Z}\) marqué « Borel », et une flèche vers \(\mathbb{P}^{1}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\). \[ \ell_0\,\ell_1\,\ell_2\,\ell_3 = 1, \qquad \ell_0\,\ell_1\,\ell_\infty = 1, \qquad \ell'_0\,\ell'_2\,\ell'_3 = 1, \qquad \ell_\infty = \ell'_0 \] les indices primés de la troisième relation sont surchargés, et la dernière égalité est lue sous réserve.

\(\mathcal{C}\), \(\Pi_{0,3}\), \(\mathcal{C}SD\), \(\mathcal{C}S\), \(\mathcal{C}D\), \(\mathbb{T}'SD\), \(\mathbb{T}S\), \(\mathbb{T}D\), \(\mathbb{T}'\), \(\mathcal{T}^{+\prime}_{0,4}\)

• groupoïdes : \(\mathcal{T}\), \(\mathcal{T}^{+}\) […]
• groupes : \(\mathbb{T}\) ; \(T^{+}\), \(T^{!}\), \(T^{+!}\), \(T'\), \(T'^{+}\)
• multiplicités : \(\mathbb{M}\)
• espace de \(T\) : \(\widetilde{\mathbb{M}}\)

\(\mathrm{Gl}(2,\mathbb{Z})/\mathbb{Z}^{*}\)

\[ 1 \to \Pi_{g,\nu-1} \to \mathbb{T}_{g,\nu} \to \mathbb{T}_{g,\nu-1} \to 1 \] avec, au-dessous, \(\Pi_{g,\nu-1}\) rapporté à \(X_{g,\nu-1}\), un « \(\wr\) » vers \(\pi_1(\mathfrak{X}_{g,\nu-1}, \mathbb{T}_{g,\nu-1}; s_\nu)\), et \(X_{g,\nu-1} \subset \mathfrak{X}\).

\(M_{g,\nu}\) — \(\Pi_{0,3}\) \(\mathfrak{S}_3\)

les trois croquis au crayon : une sphère portant les points marqués \(0\), \(1\), \(\infty\) et \(\alpha\), traversée de grands cercles ; un ovale seul, marqué \(\alpha_0\) ; une sphère dont l'équateur porte \(0\) et \(1\), le pôle \(\infty\), reliés par des arcs.

52feuillet de brouillon, très surchargé dans sa moitié supérieure ; on donne la dernière rédaction, les correspondances qu'il écrit par des flèches doubles.

• Cercles toriques \(\longleftrightarrow\) […] plans vectoriels [réels] unidimensionnels […] \(\longleftrightarrow\) [Droites vectorielles unitaires complexes \(C\) iso. à \(\mathbb{C}\) (mais pas canon.)]
• Cercles toriques orientés \(\longleftrightarrow\) […] plans vectoriels réels orientés \(\longleftrightarrow\) […] droites vectorielles complexes unitaires […] i.e. avec iso \(T \simeq T^{\vee}\) i.e. \(T^{\vee} \simeq \overline{T}\)
• \(\updownarrow\)
• torseurs sous \(\mathbb{U}\) \(\longleftrightarrow\) droites vectorielles complexes conformes, avec […] […] contour fixé \(D\)

[…] toriques […] […]

Le groupe des […] de catégories

Soit \(C'\), \(C''\) deux cercles toriques orientés, […] \(\mathrm{Isom}(C'^{-1}, C'') \simeq \mathrm{Isom}(C''^{-1}, C')\) […] […] des \(\mathbb{R}\)

NB Pour \(D\) droite complexe fixée, on a tous les […] \(= \mathbb{D} \times \mathbb{U}\), et \(\mathfrak{I}(D) \simeq \mathfrak{I}(D_{\mathbb{U}})\) (avec \(=\) groupe de rotations \(\mathbb{U}_{\varepsilon}\)).

Le groupe des cercles toriques [orientés] dual (correspond au passage complexe dual […] \(T^{\vee}\) conjuguée \((\simeq \overline{T})\) i.e. l'inverse naturel […]

La donnée, pour deux droites vect. complexes \(T'\), \(T''\) d'un système \(((D', D''), u)\), où \(D'\), \(D''\) sont des disques dans \(T'\), \(T''\) et \(u \in \partial D' \wedge_{\mathbb{U}} \partial D''\) \[ \bigl(\simeq \mathrm{Isom}_{\mathbb{U}}(\partial D'^{-1}, \partial D'') \simeq \mathrm{Isom}_{\mathbb{U}}(\partial D''^{-1}, \partial D') \] \[ \simeq \mathrm{Isom}(T'^{-1}, T'') \simeq \mathrm{Isom}(T''^{-1}, T') \simeq \mathrm{Bi}\ldots(T' \otimes T'') \] \[ \simeq T'^{\times} \wedge_{\mathbb{C}^{\times}} T''^{\times} \bigr) \simeq \] […] dualités entre \((T', T'')\)) revient à la donnée d'une \(v \in (T' \otimes_{\mathbb{C}} T'')^{*}\) i.e. une dualité entre \(T'\), \(T''\), plus une […] \(D'\) dans \(T'\) ([…] ce qui revient au même […], plus un disque \(D''\) dans \(T''\)). « \(\mathrm{Bi}\ldots\) » : le mot est abrégé, sans doute Bilin, des formes bilinéaires ; lecture incertaine.

Chirurgie conforme

53en tête du feuillet, de sa main : « 11.1.84 » à gauche, « 1 » au centre, puis le titre souligné « Chirurgie conforme », qu'on a pris pour titre de section. Il numérote en tête les rectos 53, 55, 57 et 59, de 1 à 4 (au 59, le « 4 » suit un chiffre biffé) ; les pages 54, 56 et 58 ne portent pas de numéro, le chiffre de la page 60 est raturé, et la suite reprend au « 5 » de la page 61 (lot 4). (1) Surface conforme à bord. On prendra la définit par des cartes locales qui, au voisinage d'un point du bord, sont modelées sur \(\overline{H} = (\Im z \geq 0) \subset \mathbb{C}\). Dans le cas \(X\) orienté i.e. structure holomorphe, la structure peut se définir par un faisceau de \(\mathbb{C}\)-algèbres, qui sur le modèle \(\overline{H}\) précédent, aux points \(x\) de \(\partial \overline{H} = \mathbb{R}\), est formé des germes de fonctions qui se prolongent en fonctions hol. aux pts de [au] voisinage de \(x\) dans \(\mathbb{C}\). À ne pas confondre avec le sous-faisceau plus grand du faisceau des fonctions complexes continues, savoir celui celui des fonctions continues qui sont hol. dans \(\operatorname{Int}(X)\). le numéro cerclé, en tête d'alinéa, peut se lire « 4 » ; la suite des numéros cerclés (2), (3), (4) aux p. 55, 57 et 60 demande (1).

Théorème 1. La structure conforme de \(X\) (surface conforme à bord) est connue quand on connaît celle de \(\operatorname{Int}(X)\), (ce qui suffit à déterminer le faisceau des fonctions [complexes] continues sur \(X\) qui sont conformes dans \(\operatorname{Int}(X)\)).

Il suffit de voir que cela permet de reconstituer les cartes conformes des voisinages des points du bord. Je dis que ces cartes

54\(U \to \overline{H}^{+}\) sont exactement les cartes topologiques (i.e. applications continues injectives plongements inj. ouverts ouverts continus inj., […] bord du bord) qui sont conformes dans \(\operatorname{Int} U\).

Cela précédent du équivalant au

Lemme 1. Soit \(U\) un ouvert de \(\overline{H}^{+}\), \(U \to\) […] injection plongement ouvert \(f : U \hookrightarrow \overline{H}\) fonction continue sur \(V\), qui est hol. dans \(U \cap H\), est holo. (i.e. se prolonge holomorphiquement dans \(\mathbb{C}\), au voisinage de \(U\) et de \(U \cap \partial H = U \cap \mathbb{R}\)).

C'est un cas particulier du lemme de Schwarz, qui dit que toute fonction hol. continue complexe dans \(U\), qui est réelle sur \(U \cap \mathbb{R}\), est holomorphe.

Pour terminer la démonstration du lemme th., il faut voir encore que la \(f\) du lemme est bien (au voisinage de tout pt \(x\) de \(U \cap \partial H\)) une carte holomorphe de \(\partial U\) (i.e. de \(H\)) en \(x\), i.e. que la dérivée en \(x\) de la fonction holomorphe sur \(\mathbb{C}\) définie par \(f\) est inversible. Mais cela […] […] par continuité, et distinction de ce que son dévelop-

55en tête du feuillet, de sa main : « 2 ». Notes : indétermination. Déf. d'une carte loc. au bord : modulo chgt. de coordonnées par conf. […] […] réels de l'autre. [pe]ment en série qui commence par \[ a_n z^{n}, \qquad n > 0,\ a_n \neq 0 \qquad (\text{OPS } x = 0) \] on voit tout de suite que l'on doit avoir \(n = 1\) —

[ Thm 2. Équiv. de la cat. des surfaces conformes compactes, à bord avec celle des courbes alg. propres lisses sur \(\mathbb{R}\). ]

NB À partir d'ici, \(H\) désigne le demi-plan fermé \(\{z \in \mathbb{C} \mid \Im z \geq 0\}\).

(2) Découpage d'une surface conforme à bord, suivant un 1-complexe top. \(K \subset X\), satisfaisant à des hypothèses de régularité convenables (rectifiabilité suffit ?). le numéro est cerclé, comme le (3) de la p. 57 et le (4) de la p. 60.

Théorème 3. Le découpé \(\widetilde{X}\), muni du […] structure faisceau des fonctions [complexes] continues conformes dans \(\operatorname{Int}(\widetilde{X})\) (\(\simeq X \setminus K\)), est une surface conforme à bord.

C'est un th. du type « uniformisation locale » (à bord).

Idée preuve : vérifier deux que pour tout pt \(\tilde{x}\) de \(\partial \widetilde{X}\), il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(\tilde{x}\), et un […] homéo de \(U\) avec \(H \cap \mathring{D}\) (où \(D = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| \leq 1\}\) est le disque unité de \(\mathbb{C}\)). Cela revient à deux choses, suivant que \(x\) correspond :

[…] dans […] Cor. au thm. en marge du dernier alinéa, un croquis : un demi-disque dont le diamètre porte un point marqué.

56à un pt de \(K\) d'ordre \(\geq 2\), ou d'ordre \(1\) :

Lemme 2. Soit \(K\) un segment topologique \(\subset \mathbb{C}\) (On suppose \(K\) avec régularité (rectifiable, suffit ??)), et \(x \in K\). Alors

a) Si \(x\) n'est pas extrémité de \(K\), alors il existe un voisinage \(U\) de \(x\) dans \(\mathbb{C}\), ne contenant pas d'extrémités de \(U\), tel que \(U \setminus K \cap U\) ait deux composantes connexes \(U'\) et \(U''\) avec \(\overline{U'} \cap U = U' \cup (K \cap U)\), \(\overline{U''} \cap U = U'' \cup (K \cap U)\), et […] hol. ce passage est encadré puis abandonné ; en marge, un croquis : un point \(x\) sur un arc, un voisinage en pointillé, une rive hachurée. une application continue injective de \(H \cap \mathring{D}\) dans \(\mathbb{C}\), hol. dans \(H \cap\) […] holomorphe dans \((\operatorname{Int} H) \cap \mathring{D}\), continue \(= \,]-1,+1[\, = (D^{++} \cup D^{--})\) […] dans deux […] de \(\mathbb{R}\) (mais pas […] hol. […]) (\(\partial H \cap \mathring{D} = \,]-1,+1[\,\)) telle que \(f(\partial H \cap \mathring{D}) \subset K\) et \(f(0) = x\). De plus, pour une rive donnée de \(K\) en \(x\), OPS que cette rive est celle déterminée par \(\operatorname{Im} f = f(H \cap \mathring{D})\).

b) Si \(x\) est extrémité de \(K\), et injective, alors \(\exists\) \[ f : H \cap \mathring{D} \to \mathbb{C}, \] hol. dans \((\operatorname{Int} H) \cap \mathring{D}\), et \(f(-1) = f(1)\) […] injective dans […] telles que telles que \(f(0) = 0\) […] \(f(\,]-1,0)\) […] soit […] \(f \mid [-1,0]\) et \(f \mid [0,1[\) bijectives, […] le bas de la page est une suite de surcharges et de ratures ; la version tenue est au haut de la page suivante. En marge, un croquis : un point \(x\) au bout d'un arc, dans un disque.

57en tête du feuillet, de sa main : « 3 ». et telles que

• a)\(f \mid (\operatorname{Int} H) \cap \mathring{D}\) est injective, son image \(\subset \mathbb{C} \setminus K\) ;
• b)\(f(0) = x\), \(f(-t) = f(t)\) ;
• c)\(f \mid \,]-1,0]\) et \(f \mid [0,1[\) injectives, avec même image \(\subset K\).

Scholie. Chaque rive de \(K\) est munit \(K\) d'une structure analytique réelle canonique, vu l'inclusion de \(K\) dans \(\mathbb{C}\) (ou dans une surface conforme quelle), mais le passage de l'une à l'autre se fait par une application (identique) qui n'est pas iso analytique : les propriétés de régularité (fonction \(C^{\infty}\), ou analytique réel etc.) reflètent […] les propriétés de régularité correspondantes de \(K\) dans \(\mathbb{C}\). (Ceci devrait se […] dans le th. un Scholie plus circonstancié au théorème suivant).

(3) Recollement. On doit avoir un théorème dans le style du

58Th. 4. Équivalence de catégories entre

• a)Cat. des couples \((X, K, S)\), \(X\) surface conforme à bord compacte, \((K, S)\) complexe top. [compact] ext avec \[ \partial X \subset K \subset X, \] \(K\) avec régularité (rectifiable suffit) ;
• b)Cat des systèmes \((\widetilde{X}, \widetilde{S}, \sigma)\), où \(\widetilde{X}\) est une surface conforme à bord [compacte], \(\widetilde{S}\) une partie finie de \(\partial \widetilde{X}\), \(\sigma\) une involution de \(\text{Déc}(\partial \widetilde{X} / \widetilde{S})\), \(\sigma\) avec régularité (rectifiable suffit).

NB On ne suppose pas […] les […] des \(K \setminus S\) dans les intervalles b) (il peut y avoir des cercles).

Le foncteur a) \(\to\) b) résulte du th. 3, avec un complément qui explicite les propriétés de régularité de la fonction-recollement dont il a été question dans le lemme 2. Pour le foncteur en sens inverse, il est connu topologiquement, et comme faisceau structural conforme ([…]) sur \(X\) (\(= \widetilde{X}/\mathcal{R}\)), on prend les fonctions continues qui sont conformes dans \(X \setminus K \simeq \operatorname{Int} \widetilde{X}\).

59en tête du feuillet, de sa main : un chiffre biffé, puis « 4 ». Le fait que ça donne bien une structure conforme à bord équivalent (qui automatiquement redonne naissance avec \(K\) à la structure conforme à bord \(\widetilde{X}\) de départ) équivaut aux lemmes suivants deux cas particuliers suivants :

Lemme 3. a) Soit \(\sigma\) un homéomorphisme rectifiable (ou plus régulier que ça ?) de \([0,1]\) sur lui-même, avec \(\sigma(1) = 1\), alors il existe une courbe partie fermée \(K \subset H \cap \mathring{D}\), bien contenant \(0\), telle que \(K \setminus \{0\}\) soit contenue dans \(\operatorname{Int} H\) \(K \cap \partial H = \{0\}\), \(K\) étant un intervalle […] ayant \(0\) comme extrémité, qui partage \(H \cap \mathring{D}\) en deux composantes \(U'\), \(U''\). De plus, on trouve un ce premier « Lemme 3 » est barré de trois longs traits obliques. En marge, deux croquis : deux demi-plans hachurés dont les bords, marqués d'un point et de l'extrémité \(1\), sont reliés par une flèche verticale ; un demi-disque partagé par un arc issu d'un point du diamètre.

comme Lemme 3 (en particulier (deux exemplaires)),

a) Recollement de \(H\) : \(H\) suivant un iso. rectifiable \([0,1] \xrightarrow{\sigma} [0,1]\), régulier au voisinage de \(0\) [ou variante ([…] utilisée th. 3) : suivant un iso rectifiable \([-1,1] \xrightarrow{\sigma} [-1,1]\), régulier au voisinage de \(0\)].

60en tête du feuillet, de sa main : un chiffre, raturé. b) Recollement de \(\overline{H}\) : lui-même suivant iso. rectifiable \([0,1] \xrightarrow{\sigma}\) \([1, 0]\) (\(\sigma(0) = 0\)), régulier au voisinage du pt \(0\). les bornes de l'intervalle d'arrivée sont surchargées l'une et l'autre.

12.1 (a) c) Soit \(C\) une courbe […] dans un ouvert \(U\) de \(\mathbb{C}\), \(f\) un germe de fonction \(f\) une fonction complexe continue sur \(U\), qui est continue dans \(U \setminus C\), alors \(f\) est holomorphe dans \(U\). la note de marge, écrite en oblique, est reliée par un trait au numéro (4) ci-dessous.

(4) Recollements bord à bord de disques. Le recollement « bord à bord ». Cela correspond, dans le th. 4, au cas où \(K\) est une variété [(compacte)] de dim \(1\), \(S = \emptyset\). Il Pour avoir « des cas […] […] », il est naturel de dégager des conditions restrictives naturelles sur l'involution \(\sigma\) de \(\partial \widetilde{X}\).

Pour ceci, […] on se rappelle que pour une surface conforme à bord \(X\) ([…] de \(\widetilde{X}\)) et une comp. connexe du bord, soit \(C\), il revient au même de se donner une structure de droite projective (rectifiable) sur \(C\), ou un « bouchage de trou » sur \(C\) [de bord \(C\)] par un disque ; les propriétés de régularité (p. ex. : la structure analytique réelle de \(C\)) de la structure de droite projective, reflètent