Métriques canoniques sur les surfaces conformes
titre de sa main, en haut à droite du feuillet 23, par ailleurs vierge
(le dos d'un listing d'ordinateur), qui ne reçoit pas de numéro de page
petit feuillet réglé ; une liste de données équivalentes sur une sphère
conforme X, G = \mathrm{Aut}^{+}(X)
a) deux réalifications de types , compatibles, i.e. une
paire compatible d'antipodisme et inversion
b) Métriques sphériques + grand cercle
c) cercle + structure torique compatible dessus, i.e.
antiinvolution d avec pts
fixes, et paire de points conjugués par celle-ci
d) Tore compact T \subset G = \mathrm{Aut}^{+}(X), + orbite de
X \smallsetminus X^{T} sous T (i.e. orbites non réduites à un point)
d') paire de pts \{z, z'\} \subset X, + orbite de
X \smallsetminus \{z, z'\} du tore compact unique T \subset G qui fixe
z, z'.
feuille de brouillon : formules isolées, sans texte, relevées dans
l'ordre de la page
u_{+} \qquad \tfrac{1}{2}(u_{+} + u_{-})
\underbrace{\left(x + \tfrac{1}{2} y\right)}_{m} u_{+} +
\underbrace{\tfrac{1}{2} y}_{n} u_{-}
0 \to \Pi \to V \to E \to 0
H^{1}(\gamma, E) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{2}(\gamma, \Pi) \simeq
\Pi^{\gamma} / (1 + \sigma)(\Pi)
z \longmapsto \exp 2i\pi z
pagination de l'auteur : 1, cerclé
X surface conforme hol 0-connexe (pas néc.
cpte)
dans ce lot, ce qui est marqué comme ajout est, sauf mention contraire,
de sa main, porté en interligne au-dessus du mot biffé ou de la ligne
en haut à droite, séparé par un trait oblique : NB Ici
“surface” sous-entend “séparée”
\widetilde{X} rev. universel
Th Conditions équivalentes
(i) X n'est pas isom. à une des trois surfaces
\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}},
\mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}} = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} \smallsetminus
\{\infty\}, \mathbb{G}_{m\,\mathbb{C}} = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}
\smallsetminus \{\infty, 0\}, ni à une courbe elliptique complexe
(ii) \widetilde{X} est isomorphe à H (demi-plan de Poincaré)
(iii) Toute application holomorphe \mathbb{C} \to X est constante
(iv) [Si X est un ouvert d'une droite projective complexe (resp. d'une
droite affine complexe)]
\operatorname{card}(X' \smallsetminus X) \geq 3 (resp.
\operatorname{card}(X' \smallsetminus X) \geq 2).
dans les deux cardinaux, un premier X est biffé et récrit X' ; X'
désigne la droite ambiante
(iv') [Si X est un ouvert de la surface]
(v) [Si X = \widehat{X} \smallsetminus S, \widehat{X} compacte
de genre g, S finie de card \nu]
(2g + \nu \geq 3 i.e. (g, \nu) \notin \{(0,0), (0,1), (0,2), (1,0)\}
i.e. \chi(X) < 0)
sous la ligne, biffé : « holomorphe conforme » ; « genre g »
et « card \nu » sont en interligne ; le 2 de 2g est écrit sur un 3
Déf On dit alors que X est hyperbolique.
Corollaire 1 Un ouvert 0-connexe d'une surface hol hyperbolique est
hyperbolique.
Corollaire 2 Soit X surface hol. à bord,
pagination de l'auteur : 2, cerclé. La phrase qui introduit la liste
n'est pas sur la page précédente
les surfaces suivantes :
a) le plan projectif réel (\simeq Sphère conforme/antipodie) et le plan
projectif réel privé d'un point (dont les rev. universels sont resp.
\simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} et \simeq \mathbb{G}_{m\,\mathbb{C}}).
b) Les surfaces conformes associées aux courbes algébriques
lisses géom. connexes réelles de genre 1 E telles que
E(\mathbb{R}) = \emptyset, on prend E(\mathbb{C})
X = E(\mathbb{C}) / \text{conj.\ complexe} .
On trouve que les E en question sont, à isom. près, les E_{a},
a \in \mathbb{R}^{*+} …
un trait horizontal barre la page
Question des les métriques riemanniennes canoniques sur une
surface conforme (sans bord pour commencer)
(1) Cas hyperbolique. Il y a une métrique canonique, à courbure constante de
valeur -1, déduite par descente du revêtement universel \widetilde{X}.
sous cette ligne, soulignés : « Métriques hyperboliques », comme un
titre ou un renvoi
pagination de l'auteur : 3
déterminée par la condition que l'aire totale de X soit = 1.
le début du cas (2) manque : la page précédente passe du cas (1) à
celle-ci sans transition
On trouve une métrique plate caractérisée par la condition d'être
invariante par translations, et d'aire totale égale à 1 — donc stable par
tt autom. conformes (pas seulement holomorphes). Il s'ensuit que dans le cas
non orienté, la métrique canonique de X^{\mathrm{or}} (qui est une courbe
elliptique /\mathbb{C}) se descend à X.
le dernier signe porte le même exposant que X^{\mathrm{or}} ; le sens
demande X
2') Cas X \simeq \mathbb{C}^{*}, ou X \simeq plan projectif réel
privé d'un point [i.e. X non orientable et
X^{\mathrm{or}} \simeq \mathbb{C}^{*}]. Le cas X \simeq \mathbb{C}^{*},
comme dans 2, plus intrinsèquement X \simeq par descente à partir
des rev. universels on trouve une métrique canonique mod. multiplication
par un scalaire > 0, métrique plate également. de façon
pagination de l'auteur : 4
en la normalisant p. ex. de telle façon que la longueur du
cercle |z| = 1 soit 1, on la définit sur toutes les
X \simeq \mathbb{C}^{*} du même fait. D'ailleurs l'antiautomorphisme
z \mapsto \bar{z}
2'') Cas X \simeq \mathbb{E}_{\mathbb{C}}. Les métriques riemanniennes sur
une courbe autres
homothéties par des u \in \mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1\} ;
elles sont quasi-invariantes par autom. quelconques (lesquels sont
affines). Donc si X \simeq \mathbb{E}_{\mathbb{C}}, on peut définir
une
pagination de l'auteur : 5
canonique stable par translations etc., mais une donnée de telles mod
homothétie par c \in \mathbb{R}^{+*} — ces métriques sont caractérisées
par la condition d'être invariantes par translations [NB X a
canoniquement une structure de droite affine sur \mathbb{C}]. Ces
métriques
3) Cas sphère plan projectif réel.
Dans ce premier cas, X^{\mathrm{or}} est une droite projective
complexe munie d'un antiautomorphisme involutif sans pt fixe
(antipodisme), ou ce qui revient au même, d'une métrique “euclidienne
sphérique” compatible avec sa structure conforme [celle-ci,
3') Cas X \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}. Il n'y a pas de métriques
riemanniennes sur X, invariantes [ou quasi-invariantes] par tt
automorphisme — donc sans structure supplémentaire
sur X
pagination de l'auteur : 6
il n'est pas possible d'y introduire une métrique riemannienne canonique,
même modulo cte. Considérons cependant la donnée d'une structure
supplémentaire du type
H \subset \mathrm{Aut}_{\mathrm{conf}}(X) = G
où H est un sous-groupe compact de
\mathrm{Aut}_{\mathrm{conf}}(X) (condition nécessaire pour que H,
supposé fermé, invarie une métrique riemannienne sphérique comp. avec la
str. conforme). Soit H^{+} = H \cap \mathrm{Aut}^{+}(X) (sous-groupe des
autom. qui conservent l'orientation). OPS X = \mathbb{P}(V), V vectoriel
complexe de rg 2, métrique
autre métrique hermitienne invariante est unique mod cte, on trouve
donc une métrique sphérique normalisée canonique sur X, définie par
la seule donnée de H^{+}. Cette métrique sera = invariante par
\mathrm{Norm}_{G}(H^{+}), et a fortiori par H, et est aussi
caractérisée par cette condition.
« (normalisée par la condition \int_{X} dx = 1) » est en interligne,
sous une accolade ; dans \mathrm{Norm}_{G}(H^{+}), un mot biffé suit
H^{+}
pagination de l'auteur : 7
Nous allons maintenant examiner de plus près le cas où défini formé des élts qui fixent z, z', lequel est isom.
à \mathbb{C}^{*}, Dans ce cas. Les métriques invariantes par
en marge droite, le long d'un trait vertical : à vérifier
Si H^{+} \neq \{1\}, les métriques invariantes par H^{+} sont aussi
celles invariantes par T \supset H^{+}, et elles sont en corr. 1-1 avec
les trajectoires orbites de T dans
X^{*} = X \smallsetminus \{z, z'\}, [NB T opère librement sur
X^{*}].
La relation se détermine comme suit : à une métrique invariante
par T, l'équateur grand cercle équidistant
des pts z z', lequel est une trajectoire orbite de X^{*}
sous T. En particulier, les orbites sous H^{+} (contenues
dans une unique orbite de T) définissent une telle métrique.
Si H = H^{+}, il n'y a
pagination de l'auteur : 8
cas contraire, distinguons deux cas.
a) H^{+} = \{1\}, donc H = \{1, \sigma\}, où \sigma est une
anti-involution.
1) Si
2) Si X^{\sigma} \neq \emptyset i.e. \sigma une inversion, alors
le choix d'une métrique sphérique comp. avec \sigma revient à celui d'une
paire de pts de X conjugués sous \sigma. En particulier, le choix d'un
point x de X tel que \sigma x \neq x définit une telle métrique
sphérique
b) H^{+} \neq \{1\}. Considérons le unique tore compact
maximal T qui contient H^{+}, et T.H = N, ext. de
1) N ext. centrale de \gamma
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} par T, donc
N \simeq T \times \underset{\{1, \sigma\}}{\gamma} (le direct)
engendré par T et un \sigma antiinvolution qui
fixe z, z' intervertit z, z'. On voit que
qui
en bas à droite, un croquis : une sphère, z au pôle nord, z' au
pôle sud, quelques méridiens et un point marqué x
pagination de l'auteur : 9
définit donc (via la paire \{z, z'\}) une métrique sphérique, ce qui sera
OK. Une fois établi explicité que \sigma n'est pas
unique, (il y a une ambiguïté d'ordre 2, on peut le remplacer par
\sigma' = \varepsilon \circ \sigma, où \varepsilon est l'élément d'ordre
2 de T. On trouve en fait que \{\sigma, \sigma'\} est formé d'une
inversion et d'un antipodisme.
Dém. OPS X = sphère de Riemann, \{z, z'\} = \{\infty, 0\}, donc
T = \{ z \mapsto az \mid a \in \mathbb{U} \text{ i.e. } a \in \mathbb{C},\
|a| = 1 \text{ i.e. } a\bar{a} = 1 \}
Les seconds qui normalisent T.
Un tel Si
\sigma(z) = b/\bar{z} , \quad \text{on a} \quad
\sigma^{2}(z) = \tfrac{b}{\bar{b}}\, z ,
donc \sigma involutif ssi b/\bar{b} = 1 i.e. b \in \mathbb{R}^{*}.
Les pts fixes de \sigma sont donnés par
z\bar{z} = b
b \in \mathbb{R} b > 0 ou b < 0.
Si \sigma(z) = b/\bar{z}, on a \sigma'(z) = -b/\bar{z}, donc si
pagination de l'auteur : 10
transforme intervertit 0 et
\infty, et transforme z \in C C en lui-même, car
z \in C i.e. z\bar{z} = b implique que \sigma' z \in C i.e.
\underbrace{\underbrace{(\sigma' z)}_{(-b/\bar{z})}\,
\underbrace{\overline{(\sigma' z)}}_{(-b/z)}}_{b^{2}/z\bar{z}} = b
Ainsi, \sigma' et (\sigma, \{0, \infty\}) définissent la même
structure riemannienne sphérique. On est content !
2) N est non centrale de \gamma par T. Cela signifie
que si \sigma \in N \smallsetminus T, on a
\sigma z = a\bar{z} , \quad (a \in \mathbb{C}^{*}) .
Donc On en conclut
\sigma^{2} z = a(\overline{a z}) = a\bar{a}\, z
et la condition \sigma^{2} \in T signifie a\bar{a} = 1 i.e.
a \in \mathbb{U}, qui implique aussi
Le produit u_{\theta}\sigma (\theta \in \mathbb{U}) est
u_{\theta}\sigma(z) = (\theta a)\bar{z} de la même forme. Soit
\alpha \in \mathbb{U} tel que a = \alpha^{2} = \alpha/\bar{\alpha} donc
z \in \mathbb{C}^{\sigma} \iff z = \alpha \frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}}
\iff z/\alpha = \overline{(z/\alpha)} \quad \text{i.e.} \quad
z \in \alpha \mathbb{R}
en marge droite, séparé par un trait : Ici N est déterminé en
termes de T, i.e. en termes de \{z, z'\}, comme T \cup N^{-}, où
N^{-} est formé de toutes les anti-involutions de X qui fixent
\{z, z'\}. Donc il n'est pas question, , d'extraire une
métrique riem. sphérique
pagination de l'auteur : 11
En résumé et sauf erreur
Prop. Soit X une sphère conforme marquée,
H \subset \mathrm{Aut}_{\mathrm{conf}}(X) \overset{\mathrm{def}}{=} G un
sous-groupe compact de. Alors
a) Il existe une métrique riemannienne sphérique normalisée sur X comp.
avec sa structure conforme invariante par H
b) Celle-ci est unique ssi X^{H} = \emptyset il n'existe pas de
c) c) Supposons
1) Si \operatorname{card} X^{H} = 2, les métriques sphériques
les métriques sphériques riemanniennes normalisées comp., invariantes par
X \smallsetminus X^{H} X \smallsetminus X^{H} [dont les orbites
de
NB Il faudrait arriver à
traduire en termes d'alg. linéaire, l'action d'un autom.
pagination de l'auteur : 12
Récapitulation
on peut lui On peut définir
compatible avec sa str.
conforme sur X une métrique riemannienne canonique Q_{X},
sauf dans les deux cas suivants :
a) X \simeq \mathbb{C} (i.e. X droite affine sur un corps
top./\mathbb{C} isom. à \mathbb{C}), alors on peut
définir seulement une classe de métriques riemanniennes compatibles, mod.
multiplication par un scalaire. Ce sont les métriques stables par
translations, qui sont aussi quasi-inv. par tt autom. conforme de X.
Elles sont plates (donc à courbure nulle).
b) X \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} (i.e. X droite projective sur
un corps top. isom. à \mathbb{C}, i.e. X sphère
conforme). Alors il n'existe pas de métriques riemanniennes sur X
quasi-invariantes sous G = \mathrm{Aut}\, X, ni même sous
\mathrm{Aut}^{+}(X). Pour Il y a partout sur X un riemanniennes
riemanniennes (dites “sphériques normalisées”) avec \int_{X} dx = 1, qui
forment une orbite sous G. Si H \subset G est un sous-groupe, il existe
un Q \in R(X) stable par H ssi H est rel. cpt, et Q est unique ssi
X^{H} = \emptyset. [Pour le cas X^{H} \neq \emptyset, cf. propositions
précédentes qui déterminent R(X)^{H} dans tous les cas.]
en marge gauche, en oblique : NB R(X) est une
variété de dim 3
pagination de l'auteur : 13
[NB Pour passer au cas où X est
associé à une conique, et H est le groupe de ses
automorphismes. cette conique,
qui est fini — la condition X^{H} = \emptyset signifie aussi qu'il n'y a
pas de points de la conique fixés par H …]
Dans tous les cas où Q_{X} est défini, Q_{X} est hyperbolique (i.e. à
courbure < 0) ssi X est hyperbolique, et alors Q_{X} est de courbure
constante égale à -1. D'autre part, Q_{X} est plate
dans le cas (courbure nulle) ssi
\widetilde{X} \simeq \mathbb{C} [y inclus le cas a) ci-dessus, où on a
une classe de Q_{X} mod. cte]. Le cas
restant est celui du plan projectif réel, conforme,
pour lequel égale à > 0.
Donc chaque fois que Q_{X} est défini, ou défini
mod. cte, il est à courbure constante, NB Pour
tt X 0-connexe conforme, on a dans
l'ens. quelle telle que Q, Q' \in R(X),
Q \neq Q' implique Q' et Q non prop.). Notion des métriques
riemanniennes distinguées (a un sens aussi dans le cas des
variétés ?)
« la p. 12) » renvoie à sa pagination : la page 37, où sont les cas
a) et b)
pagination de l'auteur : 14
Cas des surfaces conformes à bord (pas néc. compactes)
On utilise l'équivalence de catégories
\text{surfaces conformes à bord} \;\approx\;
\begin{array}{l}
\text{surfaces holomorphes sans bord,} \\
\text{munies d'une anti-involution}
\end{array}
X \longmapsto (X' = X^{\mathrm{or}}, \sigma)
X = X'/\sigma \longleftarrow (X', \sigma)
On dit que X est hyperbolique ssi X^{\mathrm{or}} est hyperbolique
(i.e. ses comp. connexes le sont).
Quand X est sans bord, on a
\widetilde{X} \simeq \widetilde{X^{\mathrm{or}}} (car X^{\mathrm{or}} est
un rev. étale de X) donc X est hyperbolique au sens des réflexions
précédentes, ssi il l'est en ce nouveau sens.
l'exposant, écrit « or » dont le r ressemble à un 2, est rendu
X^{\mathrm{or}} pour tout le lot : le revêtement double, surface
holomorphe sans bord munie de l'anti-involution \sigma
Si X est compacte, comme on a dès X^{\mathrm{or}} compacte
\chi(X^{\mathrm{or}}) = 2\chi(X)
et que \chi(X^{\mathrm{or}}) < 0 \iff X^{\mathrm{or}} hyperbolique, on
trouve
X \text{ hyperbolique} \iff \chi(X) < 0
P. ex. si X est holomorphe 0-connexe, de type (g, \nu) cela signifie
que 2g - 2 + \nu \geq 1 i.e. 2g + \nu \geq 3
Mais se garder de la confusion entre cette condition et celle que
\operatorname{Int} X soit hyperbolique, ce qui est toujours vrai sauf si
\nu = 0, g \in \{0, 1\} …
pagination de l'auteur : 15
Si X est une surface conforme hyperbolique, alors la métrique canonique
hyperbolique sur X^{\mathrm{or}} se descend en une métrique hyperbolique
sur X, pour laquelle le bord est géodésique.
Plus généralement, chaque fois que X^{\mathrm{or}} est muni d'une métrique
canonique, invariante par automorphismes conformes [ou seulement par
antiinvolution, ce qui est le cas aussi si
X^{\mathrm{or}} \simeq \mathbb{C}] alors celle-ci se descend à X, à bord
géodésique.
Quand X est sans bord, la les métriques
obtenues sur X est celle déjà envisagée — il y a
unicité dans tous les cas, sauf
X \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}. On fera attention cependant que
lorsque X est le plan projectif réel, la deuxième prescription ne
fournit plus de métrique — elle le fait si on exige de la
métrique sur X^{\mathrm{or}} soit dans R(X^{\mathrm{or}}), que la
métrique sur X^{\mathrm{or}} soit stable par \sigma (ce qui la
détermine Dans, dans le cas
X \simeq \mathbb{C}, X^{\mathrm{or}} \simeq \mathbb{C} \amalg \mathbb{C},
la prescription donne un choix de métriques (mod. cte), la deuxième
la page s'arrête au milieu de la phrase, qui se poursuit en haut de la
page 41 (lot 3), son feuillet 16