Cote n° 67 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Chirurgie des surfaces conformes : notes manuscrites (s.d., 1983-1984), lettres (1984)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]-1984
Édition de démonstration

Lettre à Lipman Bers (second exemplaire du dernier feuillet)

21second exemplaire, plus pâle, du dernier feuillet dactylographié de la lettre à Lipman Bers (lot 1, page 20, son feuillet 6) ; le texte est le même, avec les deux mêmes ajouts à la main. En haut au centre, là où la page 20 porte le « 6 » de sa main, on ne voit qu'une trace trop pâle pour être lue

hold on more specific properties. As an example, starting with a compact conformal surface with boundary \(X\) (a pant, say), of hyperbolic type, and removing an (open) “collar” around the boundary, we get another surface with boundary \(X'\) — what about the relation of between the two corresponding metrics ? Assuming the model for pants above is correct, it would be nice to have an explicit expression of the metric of a pant in terms of the parameters \(\lambda_{i}\).

With my thanks for your attention, and for whatever comment you will care to make, very sincerely ypur's « compact » et « between » sont ajoutés à la main au-dessus de la ligne

Métriques canoniques sur les surfaces conformes

titre de sa main, en haut à droite du feuillet 23, par ailleurs vierge (le dos d'un listing d'ordinateur), qui ne reçoit pas de numéro de page

24petit feuillet réglé ; une liste de données équivalentes sur une sphère conforme \(X\), \(G = \mathrm{Aut}^{+}(X)\)

a) deux réalifications de types […], compatibles, i.e. une paire compatible d'antipodisme et inversion

b) Métriques sphériques \(+\) grand cercle

c) cercle \(+\) structure torique compatible dessus, i.e. antiinvolution d[…] [avec pts fixes], et paire de points conjugués par celle-ci

d) Tore compact \(T \subset G = \mathrm{Aut}^{+}(X)\), \(+\) orbite de \(X \smallsetminus X^{T}\) sous \(T\) (i.e. orbites non réduites à un point)

d') paire de pts \(\{z, z'\} \subset X\), \(+\) orbite de \(X \smallsetminus \{z, z'\}\) du tore compact unique \(T \subset G\) qui fixe \(z, z'\).

25feuille de brouillon : formules isolées, sans texte, relevées dans l'ordre de la page

\[ u_{+} \qquad \tfrac{1}{2}(u_{+} + u_{-}) \] \[ \underbrace{\left(x + \tfrac{1}{2} y\right)}_{m} u_{+} + \underbrace{\tfrac{1}{2} y}_{n} u_{-} \] \[ 0 \to \Pi \to V \to E \to 0 \] \[ H^{1}(\gamma, E) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{2}(\gamma, \Pi) \simeq \Pi^{\gamma} / (1 + \sigma)(\Pi) \] \[ z \longmapsto \exp 2i\pi z \]

26pagination de l'auteur : 1, cerclé

\(X\) surface conforme [hol 0-connexe] (pas néc. cpte) dans ce lot, ce qui est marqué comme ajout est, sauf mention contraire, de sa main, porté en interligne au-dessus du mot biffé ou de la ligne en haut à droite, séparé par un trait oblique : NB Ici “surface” sous-entend “séparée”

\(\widetilde{X}\) rev. universel

Th Conditions équivalentes

(i) \(X\) n'est pas isom. à une des trois surfaces \(\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\), \(\mathbb{E}^{1}_{\mathbb{C}} = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} \smallsetminus \{\infty\}\), \(\mathbb{G}_{m\,\mathbb{C}} = \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}} \smallsetminus \{\infty, 0\}\), ni à une courbe elliptique complexe

(ii) \(\widetilde{X}\) est isomorphe à \(H\) (demi-plan de Poincaré)

(iii) Toute application holomorphe \(\mathbb{C} \to X\) est constante

(iv) [Si \(X\) est un ouvert d'une droite projective complexe (resp. d'une droite affine complexe)] \(\operatorname{card}(X' \smallsetminus X) \geq 3\) (resp. \(\operatorname{card}(X' \smallsetminus X) \geq 2\)). dans les deux cardinaux, un premier \(X\) est biffé et récrit \(X'\) ; \(X'\) désigne la droite ambiante

(iv') [Si \(X\) est un ouvert de la surface]

(v) [Si \(X = \widehat{X} \smallsetminus S\), \(\widehat{X}\) compacte [de genre \(g\)], \(S\) finie [de card \(\nu\)]] \((2g + \nu \geq 3\) i.e. \((g, \nu) \notin \{(0,0), (0,1), (0,2), (1,0)\}\) i.e. \(\chi(X) < 0)\) sous la ligne, biffé : « holomorphe […] conforme » ; « genre \(g\) » et « card \(\nu\) » sont en interligne ; le \(2\) de \(2g\) est écrit sur un \(3\)

Déf On dit alors que \(X\) est hyperbolique.

Corollaire 1 Un ouvert 0-connexe d'une surface hol hyperbolique est hyperbolique.

Corollaire 2 Soit \(X\) surface hol. à bord, […] connexe, avec \(\partial X \neq \emptyset\). Alors \(\operatorname{Int} X\) est hyperbolique

27pagination de l'auteur : 2, cerclé. La phrase qui introduit la liste n'est pas sur la page précédente

les surfaces suivantes :

a) le plan projectif réel (\(\simeq\) Sphère conforme/antipodie) et le plan projectif réel privé d'un point (dont les rev. universels sont resp. \(\simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\) et \(\simeq \mathbb{G}_{m\,\mathbb{C}}\)).

b) Les surfaces conformes associées aux courbes algébriques [lisses géom. connexes] réelles [de genre 1] \(E\) telles que \(E(\mathbb{R}) = \emptyset\), on prend \(E(\mathbb{C})\) \[ X = E(\mathbb{C}) / \text{conj.\ complexe} . \] On trouve que les \(E\) en question sont, à isom. près, les \(E_{a}\), \(a \in \mathbb{R}^{*+}\) …

un trait horizontal barre la page

Question des [les] métriques riemanniennes canoniques sur une surface conforme (sans bord pour commencer)

(1) Cas hyperbolique. Il y a une métrique canonique, à courbure constante de valeur \(-1\), déduite par descente du revêtement universel \(\widetilde{X}\). sous cette ligne, soulignés : « Métriques hyperboliques », comme un titre ou un renvoi

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déterminée par la condition que l'aire totale de \(X\) soit \(= 1\). le début du cas (2) manque : la page précédente passe du cas (1) à celle-ci sans transition

On trouve une métrique plate caractérisée par la condition d'être invariante par translations, et d'aire totale égale à \(1\) — donc stable par tt autom. conformes (pas seulement holomorphes). Il s'ensuit que dans le cas non orienté, la métrique canonique de \(X^{\mathrm{or}}\) (qui est une courbe elliptique \(/\mathbb{C}\)) se descend à \(X\). le dernier signe porte le même exposant que \(X^{\mathrm{or}}\) ; le sens demande \(X\)

2') Cas \(X \simeq \mathbb{C}^{*}\), ou [\(X \simeq\)] plan projectif réel privé d'un point [i.e. \(X\) non orientable et \(X^{\mathrm{or}} \simeq \mathbb{C}^{*}\)]. Le cas \(X \simeq \mathbb{C}^{*}\), comme dans 2, plus intrinsèquement \(X \simeq\) par descente à partir des rev. universels on trouve une métrique canonique mod. multiplication par un scalaire \(> 0\), métrique plate également. […] les autom. de \(\mathbb{C}^{*}\) […] [hol.] sont de la forme \(z \to az\), soit \(z \to a/z\), qui conservent la métrique [car sur \(\widetilde{X} \simeq \mathbb{C}\) ils correspondent à des \(z \to z + \alpha\), \(z \mapsto -z + \alpha\)], donc en divisant la métrique sur \(\mathbb{C}^{*}\), de façon

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[…] en la normalisant [p. ex.] de telle façon que la longueur du cercle \(|z| = 1\) soit \(1\), on la définit sur toutes les \(X \simeq \mathbb{C}^{*}\) du même fait. D'ailleurs l'antiautomorphisme \(z \mapsto \bar{z}\) […] conserve la mesure, donc si \(X \simeq \mathbb{C}^{*}\), tt autom. conforme respecte la mesure canonique. Il en résulte que dans le cas non orienté \(X \simeq\) plan projectif réel moins 1 pt, on peut descendre à partir de \(X^{\mathrm{or}}\) et trouver encore une métrique canonique plate, stable par tous les automorphismes conformes. en marge droite : C'est la métrique déduite de […] hermitienne canonique \(z\bar{z}\) sur \(\mathbb{C}\), via \(z \mapsto \exp 2i\pi z\), de \(\mathbb{C}\) sur \(\mathbb{C}^{*}\).

2'') Cas \(X \simeq \mathbb{E}_{\mathbb{C}}\). Les métriques riemanniennes sur une courbe […] elliptique complexe, correspondent aux structures hermitiennes [déf. pos.] sur \(L\), (celles-ci sont bien définies à homothétie près) et sont invariantes par translation […] [réelle] de \(L\), mais seulement par le sous-groupe engendré par les translations, et les autres homothéties par des \(u \in \mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1\}\) ; elles sont quasi-invariantes par autom. quelconques (lesquels sont affines). Donc si \(X \simeq \mathbb{E}_{\mathbb{C}}\), on peut définir une […] métrique

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canonique stable par translations etc., mais une donnée de telles mod homothétie par \(c \in \mathbb{R}^{+*}\) — ces métriques sont caractérisées par la condition d'être invariantes par translations [NB \(X\) a canoniquement une structure de droite affine sur \(\mathbb{C}\)]. Ces métriques […] ne dépendent que de la structure conforme sous-jacente.

3) Cas […] \(X \simeq\) sphère plan projectif réel. Dans ce premier cas, \(X^{\mathrm{or}}\) est une droite projective complexe munie d'un antiautomorphisme involutif sans pt fixe (antipodisme), ou ce qui revient au même, d'une métrique “euclidienne sphérique” compatible avec sa structure conforme [celle-ci, […] [sera normalisée par] la condition que l'aire de la surface soit \(= 1\)]. Étant invariante par l'antipodisme, cette métrique se descend à \(X\).

3') Cas \(X \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\). Il n'y a pas de métriques riemanniennes sur \(X\), invariantes [ou quasi-invariantes] par tt automorphisme — donc sans structure supplémentaire sur \(X\)

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il n'est pas possible d'y introduire une métrique riemannienne canonique, même modulo cte. Considérons cependant la donnée d'une structure supplémentaire du type \[ H \subset \mathrm{Aut}_{\mathrm{conf}}(X) = G \] où \(H\) est un sous-groupe compact de \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{conf}}(X)\) (condition nécessaire pour que \(H\), supposé fermé, invarie une métrique riemannienne sphérique comp. avec la str. conforme). Soit \(H^{+} = H \cap \mathrm{Aut}^{+}(X)\) (sous-groupe des autom. qui conservent l'orientation). OPS \(X = \mathbb{P}(V)\), \(V\) vectoriel complexe de rg 2, […] soit \(\widetilde{H}\) l'image inverse de \(H^{+}\) dans \(\mathrm{SL}(V)\), c'est donc un sous-groupe cpt, qui invarie nécessairement une forme hermitienne déf. pos. sur \(V\), d'où la métrique sphérique couv. sur \(X\). (normalisée par la condition \(\int_{X} dx = 1\)) Dans le cas où la métrique autre métrique hermitienne invariante est unique mod cte, on trouve donc une métrique [sphérique normalisée] canonique sur \(X\), définie par la [seule] donnée de \(H^{+}\). Cette métrique sera \(=\) invariante par \(\mathrm{Norm}_{G}(H^{+})\), et a fortiori par \(H\), et est aussi caractérisée par cette condition. « (normalisée par la condition \(\int_{X} dx = 1\)) » est en interligne, sous une accolade ; dans \(\mathrm{Norm}_{G}(H^{+})\), un mot biffé suit \(H^{+}\)

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Nous allons maintenant examiner de plus près le cas où […] \(\mathrm{Herm}^{++}(V)^{H^{+}}\) n'est pas réduit à une demi-droite. On vérifie aisément que cela revient à dire que \(H^{+}\) […] fixe deux pts distincts \(z, z'\) de \(X\), donc est contenu dans le sous-groupe de \(G^{+}\) défini formé des élts qui fixent \(z, z'\), lequel est isom. à \(\mathbb{C}^{*}\), […] [dont l'unique] sous-groupe cpt maximal [\(T\) isom. à \(\mathbb{U}\)] [alors \(\{z, z'\}\) dans \(T\) est uniquement déterminé] Dans ce cas. Les métriques invariantes par en marge droite, le long d'un trait vertical : à vérifier

Si \(H^{+} \neq \{1\}\), les métriques invariantes par \(H^{+}\) sont aussi celles invariantes par \(T \supset H^{+}\), et elles sont en corr. 1-1 avec les trajectoires [orbites] de \(T\) dans \(X^{*} = X \smallsetminus \{z, z'\}\), [NB \(T\) opère librement sur \(X^{*}\)].

La relation se détermine comme suit : à une métrique invariante par \(T\), l'équateur grand cercle équidistant des pts \(z z'\), lequel est une trajectoire [orbite de \(X^{*}\)] sous \(T\). En particulier, les orbites sous \(H^{+}\) (contenues dans une unique orbite de \(T\)) définissent une telle métrique.

Si \(H = H^{+}\), il n'y a […] rien à ajouter. Dans le

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cas contraire, distinguons deux cas.

a) \(H^{+} = \{1\}\), donc \(H = \{1, \sigma\}\), où \(\sigma\) est une anti-involution.

1) Si […] \(X^{\sigma} = \emptyset\), \(\sigma\) fixe une métrique sphérique normalisée unique, OK.

2) Si \(X^{\sigma} \neq \emptyset\) i.e. \(\sigma\) une inversion, alors le choix d'une métrique sphérique comp. avec \(\sigma\) revient à celui d'une paire de pts de \(X\) conjugués sous \(\sigma\). En particulier, le choix d'un point \(x\) de \(X\) tel que \(\sigma x \neq x\) définit une telle métrique sphérique

b) \(H^{+} \neq \{1\}\). Considérons le [unique] tore compact maximal \(T\) qui contient \(H^{+}\), et \(T.H = N\), ext. de […] \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) par \(T\). Les élts \(\sigma\) de \(N^{-}\) fixent \(z, z'\), ou les intervertissent, suivant que l'élt \(-1\) de \(N/T\) opère trivialement sur \(T\), ou par la symétrie \(t \mapsto t^{-1}\). en marge droite, le long d'un trait vertical qui couvre ces lignes : c'est l'inverse ! Dans le 1er cas, l'ext. \(N\) de \(\overset{\gamma}{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}\) par \(T\) est triviale \[ (H^{2}(\gamma, T) \simeq T^{\gamma} / N_{\gamma}(T) = T / T^{2} \simeq 0) \] dans le deuxième cas on trouve \[ H^{2}(\gamma, T) \simeq T^{\gamma} / N_{\gamma}(T) \simeq \underbrace{{}_{2}T}_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} / 0 \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} . \]

1) \(N\) ext. centrale de \(\gamma\) [\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)] par \(T\), donc \(N \simeq T \times \underset{\{1, \sigma\}}{\gamma}\) (le direct) engendré par \(T\) et un \(\sigma\) antiinvolution qui fixe \(z, z'\) intervertit \(z, z'\). On voit que […] celle-ci est une inversion, qui en bas à droite, un croquis : une sphère, \(z\) au pôle nord, \(z'\) au pôle sud, quelques méridiens et un point marqué \(x\)

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définit donc (via la paire \(\{z, z'\}\)) une métrique sphérique, ce qui sera OK. Une fois établi [explicité] que \(\sigma\) n'est pas unique, (il y a une ambiguïté d'ordre 2, on peut le remplacer par \(\sigma' = \varepsilon \circ \sigma\), où \(\varepsilon\) est l'élément d'ordre 2 de \(T\). On trouve en fait que \(\{\sigma, \sigma'\}\) est formé d'une inversion et d'un antipodisme.

Dém. OPS \(X =\) sphère de Riemann, \(\{z, z'\} = \{\infty, 0\}\), donc \[ T = \{ z \mapsto az \mid a \in \mathbb{U} \text{ i.e. } a \in \mathbb{C},\ |a| = 1 \text{ i.e. } a\bar{a} = 1 \} \] Les […] autom. conformes anti-hol. de \(\mathbb{C}^{*}\) sont \[ z \longmapsto a\bar{z} \quad (a \in \mathbb{C}^{*}) \quad \text{ceux qui fixent } 0, \infty \] \[ z \longmapsto b/\bar{z} \quad (b \in \mathbb{C}^{*}) \quad \text{— intervertissant } 0, \infty \] On voit tout de suite que ce sont les seconds qui normalisent \(T\). Un tel Si \[ \sigma(z) = b/\bar{z} , \quad \text{on a} \quad \sigma^{2}(z) = \tfrac{b}{\bar{b}}\, z , \] donc \(\sigma\) involutif ssi \(b/\bar{b} = 1\) i.e. \(b \in \mathbb{R}^{*}\). Les pts fixes de \(\sigma\) sont donnés par \[ z\bar{z} = b \] […] donc \(\sigma\) est une inversion resp. un antipodisme, suivant que \(b \in \mathbb{R}\) \(b > 0\) ou \(b < 0\).

Si \(\sigma(z) = b/\bar{z}\), on a \(\sigma'(z) = -b/\bar{z}\), donc si […] \(\sigma\) est une inversion, \(\sigma'\) est un antipodisme, et vice versa. OPS les notations choisies de telle façon que \(b > 0\), i.e. \(\sigma\) inversion, donc \(\sigma\) définit une métrique sphérique dont un grand cercle est défini par \(C = \{z \in \mathbb{C} \mid z\bar{z} = b\}\)

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[…] avec les pôles \(0, \infty\). D'autre part, l'antipodisme \(\sigma' z = -b/\bar{z}\) transforme [intervertit] \(0\) et \(\infty\), et transforme \(z \in C\) \(C\) en lui-même, car \(z \in C\) i.e. \(z\bar{z} = b\) implique que \(\sigma' z \in C\) i.e. \[ \underbrace{\underbrace{(\sigma' z)}_{(-b/\bar{z})}\, \underbrace{\overline{(\sigma' z)}}_{(-b/z)}}_{b^{2}/z\bar{z}} = b \] Ainsi, \(\sigma'\) et \((\sigma, \{0, \infty\})\) définissent la même structure riemannienne sphérique. On est content !

2) \(N\) est non centrale de \(\gamma\) par \(T\). Cela signifie que si \(\sigma \in N \smallsetminus T\), on a \[ \sigma z = a\bar{z} , \quad (a \in \mathbb{C}^{*}) . \] Donc On en conclut \[ \sigma^{2} z = a(\overline{a z}) = a\bar{a}\, z \] et la condition \(\sigma^{2} \in T\) signifie \(a\bar{a} = 1\) i.e. \(a \in \mathbb{U}\), qui implique aussi […] \(\sigma^{2} = 1\) i.e. l'extension \(N\) est scindée. on lit \(\alpha^{2} = 1\) ; le calcul qui précède donne \(\sigma^{2} = 1\)

Le produit \(u_{\theta}\sigma\) (\(\theta \in \mathbb{U}\)) est \(u_{\theta}\sigma(z) = (\theta a)\bar{z}\) de la même forme. Soit \(\alpha \in \mathbb{U}\) tel que \(a = \alpha^{2} = \alpha/\bar{\alpha}\) donc \[ z \in \mathbb{C}^{\sigma} \iff z = \alpha \frac{\bar{z}}{\bar{\alpha}} \iff z/\alpha = \overline{(z/\alpha)} \quad \text{i.e.} \quad z \in \alpha \mathbb{R} \] en marge droite, séparé par un trait : Ici \(N\) est déterminé en termes de \(T\), i.e. en termes de \(\{z, z'\}\), comme \(T \cup N^{-}\), où \(N^{-}\) est formé de toutes les anti-involutions de \(X\) qui fixent \(\{z, z'\}\). Donc il n'est pas question, […] […], d'extraire une métrique riem. sphérique

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En résumé et sauf erreur

Prop. Soit \(X\) une sphère conforme marquée, \(H \subset \mathrm{Aut}_{\mathrm{conf}}(X) \overset{\mathrm{def}}{=} G\) un sous-groupe compact de. Alors

a) Il existe une métrique riemannienne sphérique normalisée sur \(X\) comp. avec sa structure conforme invariante par \(H\)

b) Celle-ci est unique ssi \(X^{H} = \emptyset\) il n'existe pas de

c) c) Supposons […] \(X^{H} \neq \emptyset\), \(H \neq \{1\}\). Alors on a […] [ou bien] \(\operatorname{card} X^{H} = 2\), ou bien \(H = \{1, \sigma\}\) où \(\sigma\) est une inversion.

1) Si \(\operatorname{card} X^{H} = 2\), […] \(H^{+} = H \cap G^{+}\), \(G^{+} \ldotp X^{H} = X^{H^{+}}\), et \(H^{+}\) est contenu dans un unique tore compact \(T\), et les métriques sphériques les métriques sphériques riemanniennes normalisées comp., invariantes par […] \(H\), sont en corr. biunivoque avec les orbites de \(T\) dans \(X \smallsetminus X^{H}\) \(X \smallsetminus X^{H}\) [dont les orbites de […] \(H^{+}\) dans \(X \smallsetminus X^{H}\) définissent une telle métrique] la première partie de la ligne, « \(H^{+} = H \cap G^{+}\), \(G^{+}\). \(X^{H} = X^{H^{+}}\), et \(H^{+}\) », est en interligne au-dessus d'un \(H^{+}\) biffé ; le « \(G^{+}\). » reste douteux

[…] 2) Si \(H = \{1, \sigma\}\), \(\sigma\) une inversion, les métriques invariantes sous \(H\) sont en corr. biunivoque avec les éléments de \[ (X \smallsetminus X^{H})/H = (X \smallsetminus X^{\sigma})/\sigma \] en marge droite, en oblique, le long d'un trait vertical qui court sur toute la proposition : à vérifier. (NB Il faudrait arriver à traduire en termes d'alg. linéaire, l'action d'un autom. […] de \(G\) sur une métrique sphérique …)

37pagination de l'auteur : 12

Récapitulation

[…] [\(X\)] surface conforme (sans bord), on peut lui [On peut] définir [compatible avec sa str. conforme] sur \(X\) une métrique riemannienne canonique \(Q_{X}\), sauf dans les deux cas suivants :

a) \(X \simeq \mathbb{C}\) (i.e. \(X\) droite affine sur un corps [top.]/\(\mathbb{C}\) isom. à \(\mathbb{C}\)), alors on peut définir seulement une classe de métriques riemanniennes compatibles, mod. multiplication par un scalaire. Ce sont les métriques stables par translations, qui sont aussi quasi-inv. par tt autom. conforme de \(X\). Elles sont plates (donc à courbure nulle).

b) \(X \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\) (i.e. \(X\) droite projective sur un corps top. isom. à \(\mathbb{C}\), i.e. \(X\) sphère conforme). Alors il n'existe pas de métriques riemanniennes sur \(X\) quasi-invariantes sous \(G = \mathrm{Aut}\, X\), ni même sous \(\mathrm{Aut}^{+}(X)\). Pour Il y a partout sur \(X\) un […] [ens.] \(R(X)\) de métriques riemanniennes [[…]] riemanniennes (dites “sphériques normalisées”) avec \(\int_{X} dx = 1\), qui forment une orbite sous \(G\). Si \(H \subset G\) est un sous-groupe, il existe un \(Q \in R(X)\) stable par \(H\) ssi \(H\) est rel. cpt, et \(Q\) est unique ssi \(X^{H} = \emptyset\). [Pour le cas \(X^{H} \neq \emptyset\), cf. propositions précédentes qui déterminent \(R(X)^{H}\) dans tous les cas.] en marge gauche, en oblique : NB \(R(X)\) est une variété de dim 3

38pagination de l'auteur : 13

[NB Pour passer […] au cas où \(X\) est associé à une conique, et \(H\) est le groupe de ses automorphismes. […] cette conique, qui est fini — la condition \(X^{H} = \emptyset\) signifie aussi qu'il n'y a pas de points de la conique fixés par \(H\) …]

Dans tous les cas où \(Q_{X}\) est défini, \(Q_{X}\) est hyperbolique (i.e. à courbure \(< 0\)) ssi \(X\) est hyperbolique, et alors \(Q_{X}\) est de courbure [constante] égale à \(-1\). D'autre part, \(Q_{X}\) est plate dans le cas (courbure nulle) ssi \(\widetilde{X} \simeq \mathbb{C}\) [y inclus le cas a) ci-dessus, où on a une classe de \(Q_{X}\) mod. cte]. Le cas restant est celui du plan projectif réel, conforme, pour lequel […] [auquel] \(Q_{X}\) est une métrique homogène, de courbure cte égale à \(> 0\).

Donc chaque fois que \(Q_{X}\) est défini, ou défini mod. cte, il est à courbure constante, […] Il en est encore de \(=\) de \(Q_{X,H}\)le signe « \(=\) » tient lieu de « même » quand \(X \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\) et \(H \subset \mathrm{Aut}_{\mathrm{conf}}\, X\) est compact et tel que \(X^{H} = \emptyset\), on trouve […] des métriques sph. normalisées dans […], de courbure constante \(> 0\). en marge droite, en oblique, de haut en bas : NB Pour tt \(X\) 0-connexe conforme, on a dans l'ens. […] \(\mathrm{Riem}(X)\) des métriques riemanniennes comp. avec la str. conforme une orbite canonique sous \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{conf}}(X)\), qui se réduit à 1 pt dans tous les cas, sauf les cas a), b) de la p. 12), où dans le cas a)), on trouve une demi-droite dans \(\mathrm{Riem}(X)\), et dans le cas b), une variété de dim 3 (quelle telle que \(Q, Q' \in R(X)\), \(Q \neq Q'\) implique \(Q'\) et \(Q\) non prop.). Notion des métriques riemanniennes distinguées (a un sens aussi dans le cas des variétés ?) « la p. 12) » renvoie à sa pagination : la page 37, où sont les cas a) et b)

39pagination de l'auteur : 14

Cas des surfaces conformes à bord (pas néc. compactes)

On utilise l'équivalence de catégories \[ \text{surfaces conformes à bord} \;\approx\; \begin{array}{l} \text{surfaces holomorphes sans bord,} \\ \text{munies d'une anti-involution} \end{array} \] \[ X \longmapsto (X' = X^{\mathrm{or}}, \sigma) \] \[ X = X'/\sigma \longleftarrow (X', \sigma) \] On dit que \(X\) est hyperbolique ssi \(X^{\mathrm{or}}\) est hyperbolique (i.e. ses comp. connexes le sont). Quand \(X\) est sans bord, on a \(\widetilde{X} \simeq \widetilde{X^{\mathrm{or}}}\) (car \(X^{\mathrm{or}}\) est un rev. étale de \(X\)) donc \(X\) est hyperbolique au sens des réflexions précédentes, ssi il l'est en ce nouveau sens. l'exposant, écrit « or » dont le \(r\) ressemble à un \(2\), est rendu \(X^{\mathrm{or}}\) pour tout le lot : le revêtement double, surface holomorphe sans bord munie de l'anti-involution \(\sigma\)

Si \(X\) est compacte, comme on a [dès \(X^{\mathrm{or}}\) compacte] \[ \chi(X^{\mathrm{or}}) = 2\chi(X) \] et que \(\chi(X^{\mathrm{or}}) < 0 \iff X^{\mathrm{or}}\) hyperbolique, on trouve \[ X \text{ hyperbolique} \iff \chi(X) < 0 \] P. ex. si \(X\) est holomorphe 0-connexe, de type \((g, \nu)\) cela signifie que \(2g - 2 + \nu \geq 1\) i.e. \(2g + \nu \geq 3\)

Mais se garder de la confusion entre cette condition et celle que \(\operatorname{Int} X\) soit hyperbolique, ce qui est toujours vrai sauf si \(\nu = 0\), \(g \in \{0, 1\}\) …

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Si \(X\) est une surface conforme hyperbolique, alors la métrique canonique hyperbolique sur \(X^{\mathrm{or}}\) se descend en une métrique hyperbolique sur \(X\), pour laquelle le bord est géodésique.

Plus généralement, chaque fois que \(X^{\mathrm{or}}\) est muni d'une métrique canonique, invariante par automorphismes conformes [ou seulement par antiinvolution, ce qui est le cas aussi si \(X^{\mathrm{or}} \simeq \mathbb{C}\)] alors celle-ci se descend à \(X\), à bord géodésique.

Quand \(X\) est sans bord, […] alors la les métriques obtenues sur \(X\) est celle déjà envisagée — [il y a] unicité dans tous les cas, sauf \(X \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\). On fera attention cependant que lorsque \(X\) est le plan projectif réel, la deuxième prescription ne fournit plus de métrique — elle le fait si on exige de la métrique sur \(X^{\mathrm{or}}\) soit dans \(R(X^{\mathrm{or}})\), que la métrique sur \(X^{\mathrm{or}}\) soit stable par \(\sigma\) (ce qui la détermine […] sans ambiguïté). Dans, dans le cas \(X \simeq \mathbb{C}\), \(X^{\mathrm{or}} \simeq \mathbb{C} \amalg \mathbb{C}\), la prescription donne un choix de métriques (mod. cte), la deuxième la page s'arrête au milieu de la phrase, qui se poursuit en haut de la page 41 (lot 3), son feuillet 16