Cote n° 67 · pages 1–100 · Lecture modernisée · Chirurgie des surfaces conformes : notes manuscrites (s.d., 1983-1984), lettres (1984) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]-1984
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

1–100

Le fil du dossier, l'ordre des feuillets, les conventions

La numérotation. Les renvois de page de cette lecture sont ceux de la transcription : le rang du feuillet dans le dossier, que confirme le pied de page imprimé par Montpellier. À partir de la page 22, les numéros portés au crayon par les archivistes ont trois unités d'avance (la page 22 porte 25, la page 100 porte 103) ; on ne les utilise pas. Grothendieck numérote lui-même deux suites de feuillets : la première de 1 à 18 (pages 26 à 43), avec deux feuillets intercalaires numérotés \(1'\) et \(2'\) (pages 44 et 45) ; la seconde de 1 à 15, en tête des rectos des pages 53 à 81, le numéro de la page 60 étant raturé. On les cite comme « son feuillet \(n\) ».

Les pièces et leur date. Le dossier réunit des feuillets de trois époques.

1. Pages 1 à 13, fin 1977 ou 1978. La chemise (page 1) porte le titre et « (1978 ou 77 ?) » de sa main. Un programme de chirurgie occupe les pages 2 à 6 (section I). Suivent trois brouillons d'une même liste, écrits sur des enveloppes (pages 8 à 13, section II) ; l'une d'elles porte le cachet de l'université de Nagoya du 20 décembre 1977, date observée sur le papier et non déduite.
2. Pages 15 à 21, la lettre dactylographiée à Lipman Bers, datée des Aumettes le 15 avril 1984, et le double carbone de son dernier feuillet (section III).
3. Pages 23 à 45, sans date : les métriques canoniques (section IV).
4. Pages 47 à 50, datées « 15.1. » sans année, sur du papier de listing imprimé en août 1982 : isomorphismes de Teichmüller et questions anabéliennes (section V). La page 52 est un brouillon (section VI).
5. Pages 53 à 81, une suite datée « 11.1.84 », puis « 12.1. » et « 13.1. » : les fondements de la chirurgie, les disques admissibles, le passage aux courbes stables (sections VII à X). Le « 15.1. » des pages 47 à 50 appartient vraisemblablement à la même semaine de janvier 1984.
6. Pages 83 à 88, sans date : \(M_{0,4}\) et l'octaèdre (section XI).
7. Pages 90 à 100, datées « Déc 83 », avec en marge de la dernière un « 9.2. » : les courbes elliptiques réelles (section XII).

Les pages 7, 11, 14, 22, 46, 51, 82 et 89 ne portent rien pour la mathématique (versos sans rapport, faces d'enveloppe, blancs).

L'ordre des feuillets sur les métriques canoniques. Les pages 26 à 43 sont ses feuillets 1 à 18, numérotés et cerclés en haut à gauche ; la dernière phrase de la page 40, son feuillet 15, se poursuit en haut de la page 41, son feuillet 16. Les pages 44 et 45, sur un autre papier, portent en haut des numéros cerclés qu'on lit « \(1'\) » et « \(2'\) » — le second nettement, le premier sous réserve : ce sont des feuillets intercalaires, et c'est leur texte qui dit où ils s'insèrent. La page 44 s'insère entre les pages 26 et 27 : elle porte un « Corollaire 3 » qui fait suite aux corollaires 1 et 2 de la page 26, et s'achève sur « On trouve donc de plus », que la page 27, dépourvue d'introduction, continue par « les surfaces suivantes ». La page 45 s'insère entre les pages 27 et 28 : elle s'achève sur « La constante multiplicative », et la page 28, qui commence au milieu du cas 2, continue par « déterminée par la condition que l'aire totale de \(X\) soit \(= 1\) ». On lit donc : 26, 44, 27, 45, 28 à 43. Ces deux raccords sont les nôtres et reposent sur le texte ; les numéros primés, qui placent les intercalaires après ses feuillets 1 et 2, s'accordent avec eux.

Le fil. La lettre à Bers dit en toutes lettres ce que le dossier cherche. Il s'agit de comprendre de façon intrinsèque comment l'espace de Teichmüller des courbes de type \((g,\nu)\) — genre \(g\), \(\nu\) points marqués — se place dans celui des surfaces à bord de Thurston, où chaque trou est un cercle muni de sa longueur. L'outil est une chirurgie : boucher chaque trou par un disque canonique.

• Le programme de 1977 (section I) énumère déjà les opérations : découper, recoller, rétrécir ou élargir un collier, et il pose la question des modules d'une surface munie d'un graphe.
• Les métriques canoniques (section IV) rendent le bouchage canonique : elles graduent chaque cercle de bord.
• Les fondations (sections VII et IX) disent quand découper et recoller a un sens.
• Les disques admissibles et leurs ombres (section VIII), puis la lettre (section III), formulent la conjecture et le modèle.
• Le passage aux courbes stables (section X) pousse la chirurgie jusqu'à la dégénérescence et la relie aux groupes de Teichmüller, dont les pages 47 à 50 (section V) posent les questions anabéliennes.
• Deux études latérales complètent la classification : l'espace \(M_{0,4}\) (section XI), pièce de base des tours de Teichmüller, et les courbes elliptiques réelles (section XII), qui donnent les surfaces conformes de genre un non orientables ou à bord.
• Les enveloppes de 1977 (section II) traitent le cas le plus simple d'un pincement : une courbe elliptique munie d'une géodésique fermée.

Les liens entre ces stations, sauf ceux que les pages écrivent (le renvoi de la page 69 aux lemmes 2 et 3 et au théorème 4, par exemple), sont les nôtres.

Conventions.

• Une surface conforme peut être non orientable et avoir un bord : c'est ce qu'on appelle aujourd'hui une surface de Klein. Une surface holomorphe est une surface de Riemann.
• \(\mathbb{H}\) est le demi-plan supérieur ouvert, \(\overline{\mathbb{H}}\) le demi-plan fermé ; \(\mathbb{D}\) est le disque unité fermé, \(\mathring{\mathbb{D}}\) le disque ouvert ; \(\mathbb{U}\) est le groupe des complexes de module \(1\).
• \(X^{\mathrm{or}}\) est le double complexe d'une surface conforme \(X\), muni de son anti-involution \(\sigma\). Pour une surface sans bord, c'est le revêtement des orientations ; pour une surface à bord, c'est le double de Schottky.
• \(\mathrm{T}_{g,\nu}\) est l'espace de Teichmüller des courbes de type \((g,\nu)\) ; \(\mathrm{TB}_{g,\nu}\) celui des surfaces à bord, longueurs du bord strictement positives ; \(\overline{\mathrm{TB}}_{g,\nu}\) celui des surfaces à bord généralisé, longueurs positives ou nulles.
• Les groupes de Teichmüller (groupes modulaires des surfaces) sont notés \(\Gamma_{g,\nu}\), avec ses décorations : \(+\) pour la partie qui conserve l'orientation, \(-\) pour l'autre classe, \(!\) pour les éléments qui fixent chaque point marqué. Les pages écrivent \(T\), lettre qui désigne ailleurs un tore ou un espace tangent.
• L'ombre d'un disque \(D\) centré en \(a\) est un disque rond \(o(D)\) de l'espace tangent \(T_{X,a}\). Une structure torique sur un cercle est une action simplement transitive de \(\mathbb{U}\).
• Le mot admissible a deux sens, qu'on tient séparés : en 1977, une relation d'équivalence de recollement ; en 1984, un système de disques.

Restent des collisions de lettres, qu'on ne corrige pas : \(T\) est un tore aux pages 31 à 36 et une forme de \(\mathbb{G}_m\) à la page 12 ; \(V\) est un plan complexe à la page 31, le groupe de Klein aux pages 83 à 88, une droite complexe à la page 100.

Ce que le dossier annonce sans l'établir. Le décompte des modules des pages 4 à 6, dont la normalisation est illisible. Le théorème 4 et son lemme 3, introduits par « on doit avoir ». La fibration de la page 66. La conjecture de la page 67 et le modèle de la lettre, qui ne tiennent pas sous la forme énoncée. La question de la page 77 et le cas-clef \((0,4)\). Le caractère étale de la page 81. Les questions a) à c) de la page 48 et les trois présentations de la page 49. La construction de l'octaèdre \(X(I)\) à la page 86, illisible.

1–6

I. Le programme de 1977 (pages 1 à 6)

2–3

Les opérations (pages 2 et 3)

La chemise porte le titre du dossier, « Chirurgie des surfaces conformes », suivi d'un mot illisible et de « (1978 ou 77 ?) ». La page 2 reprend le titre et énumère des opérations sur une surface conforme \(X\), éventuellement à bord.

1. Découpage. On découpe \(X\) le long d'un sous-complexe \(K\) de dimension \(1\), compact et rectifiable. On obtient une surface conforme à bord \(\widetilde{X}\), dont une partie compacte du bord, \(\partial' \widetilde{X}\), est marquée : c'est la trace des deux rives de \(K\).
2. Recollement. Inversement, d'une surface conforme à bord, d'une partie compacte de son bord et d'une relation d'équivalence « admissible » sur celle-ci, on déduit une surface conforme.¹
3. Rétrécissage. On choisit autour de \(\partial'\widetilde{X}\) un collier, réunion de couronnes, et on le retire : c'est la surface rétrécie \(\widetilde{X}^{*}\). Un homéomorphisme rectifiable \(\partial' \widetilde{X}^{*} \simeq \partial'\widetilde{X}\), compatible aux composantes, transporte la relation de recollement ; on en déduit une nouvelle surface \(X^{*}\) contenant encore \(K\). Le croquis en marge marque l'épaisseur \(\varepsilon_i\) de chaque couronne, avec \(0 \leqslant \varepsilon_i < +\infty\).²
4. Élargissage. L'opération inverse : on ajoute une couronne au lieu d'en retirer une.
5. Opération mixte. Dans un voisinage tubulaire de \(\partial'\widetilde{X}\), on choisit des cercles \(\Gamma_i\) et on retire ce qu'ils entourent. La marge note que c'est la composée d'un rétrécissage et d'un élargissage, dans l'ordre qu'on veut.³

Un alinéa 4') affirme que ces opérations, faites le long de composantes connexes distinctes de \(K\), commutent. L'alinéa 6) considère une composante de \(K\) qui est une courbe fermée isolée, plongée de façon analytique réelle : l'opération revient alors à retirer une couronne autour de la courbe, ou à en insérer une, en recollant ses deux bords sur un cylindre.⁴

4–6

Les modules d'une surface munie d'un graphe (pages 4 à 6)

L'alinéa 7) pose la question des modules d'un triple \(S \subset K \subset X\), où \(X\) est une surface compacte orientée sans bord, \(K\) un graphe tracé sur \(X\) et \(S\) un ensemble fini de points de \(K\), sans doute ses sommets. On fixe un triple topologique de référence \(S_0 \subset K_0 \subset X_0\), et l'on rigidifie \((S \subset K \subset X)\) par une classe d'isotopie d'homéomorphismes avec la situation de référence : c'est le procédé qui définit l'espace de Teichmüller. Les automorphismes disparaissent ainsi, sauf quand \(X_0\) a des composantes de genre \(0\) ou \(1\).

Pour obtenir un véritable espace de modules, il faut normaliser la forme des arêtes. Grothendieck envisage d'abord d'exiger que les arêtes soient des arcs de cercle pour la structure projective canonique, puis note que certaines « cartes » ne satisfont pas cette condition ; il envisage des paramétrages géodésiques dans le disque hyperbolique ; il conclut, en haut de la page 6, qu'il vaut mieux exiger que les arêtes soient horocycliques par morceaux.⁵ La page 5 est une feuille de croquis. On y lit les notations du découpage : un revêtement \(\widetilde{K} \to K\) qui dédouble \(K\) hors d'un sous-complexe \(L\), avec \(|\widetilde{K}| \smallsetminus |\widetilde{L}| \simeq |K| \smallsetminus |L|\), et \(\widetilde{K} = \varinjlim_{x}K_{x}\) où \(K_x\) est l'ensemble des cellules sous \(x\). On y voit aussi des pantalons et une sphère découpée en fuseaux.

Vient un décompte. On suppose \(X\) connexe de genre \(g\), \(K\) connexe, et l'on note \(F\) l'ensemble des faces, c'est-à-dire des composantes connexes de \(X \smallsetminus K\). Chaque face \(f\) est une surface ouverte de genre \(g(f)\) avec \(\nu(f)\) bouts, et \(\lambda\) est le premier nombre de Betti de \(K\).⁶ Comme la caractéristique d'Euler à support compact d'une face vaut \(2 - 2g(f) - \nu(f)\), on a \[ 2 - 2g = \sum_{f \in F}\bigl(2 - 2g(f) - \nu(f)\bigr) + (1 - \lambda), \] d'où \[ 3g - 3 = \sum_{f \in F}\Bigl(3g(f) - 3 + \tfrac{3}{2}\,\nu(f)\Bigr) + \tfrac{3}{2}(\lambda - 1). \] La page passe par \(g - 1 = \frac12\sum_f\bigl(2g(f)-2+\nu(f)\bigr) + \frac12(\lambda-1)\).⁷

Grothendieck compte alors les modules réels du triple, sous l'hypothèse que \(\pi_0(K_0) \to \pi_0(X_0)\) soit surjectif, et propose \[ N = \sum_{f \text{ non disque}} \bigl(6g(f) + 4\nu(f) - 6\bigr). \] Pour une face de genre \(g(f)\) à \(\nu(f)\) bords, \(6g(f) - 6 + 3\nu(f)\) est la dimension réelle de l'espace de Teichmüller des surfaces à bord ; on peut lire le terme supplémentaire \(\nu(f)\) comme un paramètre réel par bord, lecture qui est la nôtre. C'est la normalisation des arêtes qui justifierait ce décompte, et elle n'est pas lisible ; on donne donc \(N\) comme le décompte qu'il propose. Pour \(g \geqslant 2\) on trouve \[ N - (3g - 3) = \sum_{f \text{ non disque}}\Bigl(3g(f) + \tfrac52\,\nu(f) - 3\Bigr) + \tfrac32\, d + \tfrac32(1 - \lambda), \] où \(d\) est le nombre de faces qui sont des disques. La page demande si cette quantité est positive.⁸ Pour \(g = 1\), il note que toutes les faces sont de genre \(0\) et que chaque terme \(4\nu(f) - 6\) d'une face non disque vaut au moins \(2\).⁹

8–13

II. Courbe elliptique et géodésique fermée (pages 8 à 13)

Trois brouillons successifs d'une même liste, aux pages 8, 10 et 12, écrits sur des enveloppes. L'une porte au recto (page 13) le cachet de Nagoya du 20 décembre 1977. La version de la page 12, la plus complète, énumère six données qui se correspondent deux à deux ; les doubles flèches entre les numéros sont les siennes. On les donne sous leur forme orientée, celle des pages 8 et 10.

1. Une courbe elliptique complexe \(X\) et une géodésique fermée simple orientée \(\Gamma\) de sa métrique plate, à translation près.¹⁰
2. \(X\) et un sous-groupe fermé \(\Gamma_0 \simeq \mathbb{R}/\mathbb{Z}\) de \(X\), orienté : un « tore réel ». C'est le translaté de \(\Gamma\) passant par l'origine.
3. \(X\) et une classe primitive \(a \in \pi_1(X) = \Pi\), où \(X = V/\Pi\) ; en version non orientée, un sous-groupe facteur direct \(Z = \mathbb{Z}a\) de rang \(1\). La variante (3') dit la même chose sans origine : une droite complexe \(V\), un réseau \(\Pi\), un facteur direct \(Z \subset \Pi\) de rang \(1\), et un torseur \(X\) sous \(V/\Pi\).
4. Un groupe \(T\) isomorphe à \(\mathbb{G}_m\) — une « forme » de \(\mathbb{G}_m\) —, un sous-groupe discret \(Z \subset T(\mathbb{C})\) isomorphe à \(\mathbb{Z}\), et un torseur \(\Delta\) sous \(T\) ; alors \(X = \Delta/Z\). Concrètement, \(T = V/Z \simeq \mathbb{C}^{*}\) par \(z \mapsto \exp(2i\pi z/a)\), et \(X \simeq \mathbb{C}^{*}/b^{\mathbb{Z}}\) avec \(0 < |b| < 1\).
5. Une droite projective \(P\) et un automorphisme \(u\) de \(P\) non parabolique — à deux points fixes distincts — dont les valeurs propres \(\lambda, \lambda^{-1}\) (d'un relèvement à \(\mathrm{SL}_2\)) vérifient \(|\lambda| \neq 1\). Alors \(X = (P \smallsetminus \mathrm{Fix}(u))/ u^{\mathbb{Z}}\). C'est (4) complété : \(P = \Delta \cup \{0, \infty\}\), et \(u\) est l'homothétie de rapport \(b\) ou \(b^{-1}\).
6. Un groupe \(G\) isomorphe à \(\mathrm{PGL}_2\) et un sous-groupe discret \(Z \subset G(\mathbb{C})\), isomorphe à \(\mathbb{Z}\) et non unipotent, c'est-à-dire formé d'éléments semi-simples, contenu dans un tore maximal \(T\).¹¹ La droite \(P\) se retrouve comme la variété des sous-groupes de Borel de \(G\), et les deux points fixes de \(u\) comme les deux Borels qui contiennent \(Z\).

Chaque donnée porte un ensemble à deux éléments, et la page écrit la chaîne de bijections canoniques entre eux : les deux orientations de \(\Gamma\), celles de \(\Gamma_0\), les deux générateurs de \(Z\), les deux points fixes de \(u\).¹² La page 10 écrit une autre chaîne, pour \(\Gamma_0\) fixé : la famille des géodésiques parallèles à \(\Gamma_0\) est le cercle \(X/\Gamma_0\). Dans le modèle multiplicatif, ces géodésiques sont les images des cercles \(|z| = r\), c'est-à-dire des cercles de \(P\) qui séparent les deux points fixes de \(u\), pris à l'action de \(u\) près.¹³

Au recto de l'enveloppe, la page 13 vérifie la condition de (5) : \[ |\lambda| \neq 1 \iff \lambda + \lambda^{-1} \notin [-2, 2], \] avec le calcul qu'il faut. Si \(|\lambda| = 1\), alors \(\bar\lambda = \lambda^{-1}\) et \(\lambda + \lambda^{-1}\) est un réel de \([-2,2]\) ; inversement, si \(\lambda + \lambda^{-1} = \alpha \in [-2,2]\), le discriminant \(\alpha^2 - 4\) est négatif ou nul et \(|\lambda| = 1\). Une telle \(u\) est ce qu'on appelle loxodromique.

Ce qu'on reconnaît aujourd'hui dans cette liste est l'uniformisation de Tate (ou de Jacobi) \(X \simeq \mathbb{C}^{*}/q^{\mathbb{Z}}\), attachée au choix d'un cycle \(a\). Pincer \(\Gamma\) jusqu'à un point, c'est faire tendre \(q\) vers \(0\) et obtenir une cubique nodale.¹⁴

15–21

III. La lettre à Lipman Bers (pages 15 à 21)

La lettre est dactylographiée, en anglais, datée des Aumettes le 15 avril 1984. Les lettres grecques y sont portées à la main, et elle n'est pas signée sur ces feuillets. Le feuillet de la page 21 est un double carbone du dernier, celui de la page 20. On la suit dans son ordre.

15–16

Ce que la lettre cherche (pages 15 et 16)

Grothendieck dit animer avec Yves Ladegaillerie, son ancien élève, un « microséminaire » sur les espaces et groupes de Teichmüller. Ses propres motivations viennent de la géométrie algébrique, celles de Ladegaillerie de la topologie des surfaces.¹⁵ Il s'adresse à Bers comme au principal expert de l'approche de l'espace de Teichmüller par la géométrie hyperbolique de Thurston.

On fixe une surface topologique compacte orientée \(X_0\), de genre \(g\), avec \(\nu\) trous, et \(2g - 2 + \nu > 0\). L'objet qui l'intéresse d'abord est l'espace de Teichmüller algébrique \(\mathrm{T}_{g,\nu}\). Il classe les courbes algébriques lisses \(X\) sur \(\mathbb{C}\), de genre \(g\), munies de \(\nu\) points distincts \(S\) et d'une rigidification de Teichmüller de \((X,S)\) : une classe d'homotopie d'homéomorphismes de \(X_0\), privée de son bord, sur \(X \smallsetminus S\), qui conservent l'orientation.¹⁶ Il est homéomorphe à \(\mathbb{C}^{d}\), avec \(d = 3g - 3 + \nu\). Le tilde de sa notation \(\widetilde{M}_{g,\nu}\) rappelle qu'il est le revêtement universel d'un objet plus fin, qui l'intéresse davantage : la multiplicité modulaire, ou champ au sens de Deligne et Mumford, \(M_{g,\nu}\).¹⁷

Thurston considère un autre espace, celui des surfaces conformes compactes orientées à bord : c'est \(\mathrm{TB}_{g,\nu}\), homéomorphe à \(\mathbb{C}^{d} \times (\mathbb{R}^{*}_{+})^{\nu}\). Le facteur supplémentaire est donné par les longueurs \(l_i\) des composantes du bord pour la métrique hyperbolique canonique, celle pour laquelle le bord est géodésique. Grothendieck veut préciser la relation entre les deux espaces. L'idée naturelle est de voir une courbe munie de \(\nu\) points comme la limite d'une surface à bord dont toutes les longueurs \(l_i\) tendent vers zéro. On plonge donc les deux dans un troisième : l'espace \(\overline{\mathrm{TB}}_{g,\nu}\) des surfaces à bord généralisé, où certaines composantes du bord peuvent être réduites à un point. Il est homéomorphe à \(\mathbb{C}^{d} \times (\mathbb{R}_{+})^{\nu}\) : c'est une variété à bord (à coins, en analytique réel), dont \(\mathrm{T}_{g,\nu}\) est la face où toutes les longueurs sont nulles.¹⁸

Ce qu'il cherche est une compréhension intrinsèque, indépendante de toute décomposition de \(X_0\) en pantalons. Il attend une rétraction naturelle de \(\overline{\mathrm{TB}}\) sur \(\mathrm{T}\), compatible au groupe modulaire, à fibres homéomorphes à \((\mathbb{R}_{+})^{\nu}\). Plus précisément, il attend une action du semi-groupe \((\mathbb{R}_{+})^{I}\), indexé par les trous, telle que le sous-groupe \((\mathbb{R}^{*}_{+})^{I}\) agisse librement sur \(\mathrm{TB}\), que \(\mathrm{T}\) soit le quotient, et que chaque fibre devienne isomorphe à \((\mathbb{R}_{+})^{I}\) dès qu'on y choisit une origine. En coordonnées de pantalons, l'action évidente multiplie chaque longueur \(l_i\) par \(\lambda_i\), et le multiplicateur nul donne la rétraction ; mais rien ne dit que cette action soit intrinsèque.

16–18

Boucher les trous, et les disques admissibles (pages 16 à 18)

Il y a une description géométrique directe de la rétraction, par chirurgie. On bouche chaque trou qui est un vrai cercle en y collant le cône sur ce cercle. Le cercle, muni de sa structure riemannienne, est un cercle gradué, et le cône porte une structure conforme canonique. On obtient une surface compacte \(X^{\wedge}\) sans bord, munie de \(\nu\) points. Mais on obtient plus : un système de disques disjoints autour de ces points, dont certains peuvent être dégénérés, réduits à leur centre. Un tel système est admissible s'il provient ainsi d'une surface à bord.

L'admissibilité s'exprime de façon intrinsèque. Soit \(\Gamma_i\) le bord d'un disque non dégénéré \(D_i\). Le groupe \(\mathbb{U}\) agit de deux façons sur \(\Gamma_i\) : comme bord du disque \(D_i\), par les rotations autour du centre, et comme composante du bord de la surface hyperbolique \(X^{\wedge} \smallsetminus \bigcup_j \mathring{D}_j\), par l'abscisse curviligne. Le système est admissible quand ces deux structures toriques coïncident.

Pour \(X^{\wedge}\) et les points \(a_i\) donnés, les systèmes admissibles dépendent de \(\nu\) paramètres, qu'on voudrait voir comme des « rayons ». Or un disque conforme \(D\) autour d'un point intérieur \(a\) se plonge canoniquement dans l'espace tangent \(T_{X,a}\), comme un disque euclidien.¹⁹ C'est l'ombre \(o(D)\) du disque, la notation des pages 62 et 63. Pour une métrique hermitienne donnée sur \(T_{X,a}\), c'est le disque \(|z| \leqslant r\), où \(r\) est ce qu'on appelle aujourd'hui le rayon conforme de \(D\) en \(a\). Les disques possibles de \(T_{X,a}\) forment un torseur \(R_i\) sous \(\mathbb{R}^{*}_{+}\) ; en admettant le rayon nul, on obtient \(R_i^{\wedge}\), et un système de disques a un système de rayons \(r = (r_i) \in \prod_i R_i^{\wedge}\).

Son attente est alors la suivante. Un système admissible est déterminé par ses rayons, et un système de rayons est admissible si et seulement si \(r_i < \rho_i\) pour un système fixé \(\rho = (\rho_i) \in \prod_i R_i\). Il note lui-même que cela ne s'accorde pas avec l'action de \((\mathbb{R}_{+})^{I}\) espérée plus haut, sauf si tous les \(\rho_i\) sont infinis. C'est la révision d'une conjecture de janvier, celle de la page 67 : voir la section VIII, où l'on montre que les ombres sont toujours bornées, de sorte que des \(\rho_i\) finis sont inévitables.

18–21

Le modèle des quartiers d'orange (pages 18 à 21)

Il avoue n'avoir pas regardé la situation de près et avoir perdu un peu le contact depuis deux ou trois mois. Ce qui est clair pour lui, c'est que la clef est le cas des pantalons de Thurston. Si l'on numérote les trois trous \(0, 1, \infty\), la surface bouchée \(X^{\wedge}\) s'identifie canoniquement à la sphère de Riemann \(\Sigma\), et la question est de comprendre tous les systèmes admissibles de trois disques autour de \(0, 1, \infty\).

Le modèle qui lui est venu est le suivant. On munit \(\Sigma\) de la métrique sphérique pour laquelle la droite projective réelle est un grand cercle et les points \(0, 1, \infty\) sont équidistants sur cet équateur.²⁰ Les trois points sont les centres de trois « quartiers d'orange » \(Q_0, Q_1, Q_\infty\), qui forment une décomposition cellulaire de \(\Sigma\). Le bord commun de deux quartiers est un demi-grand cercle qui passe à égale distance des deux centres, et les trois demi-cercles se rejoignent aux deux pôles \(P^{+}, P^{-}\). Chaque \(Q_i\) est un disque conforme pointé ; on peut donc parler des disques concentriques \(\lambda_i Q_i\), pour \(0 < \lambda_i < 1\), définis par l'ombre.

Le modèle affirme que les systèmes admissibles sont exactement les \((\lambda_i Q_i)\), avec \(0 \leqslant \lambda_i < 1\) si l'on admet les disques dégénérés. Il donnerait des paramètres \(\lambda_i\) adaptés à la géométrie sphérique, liés aux rayons par \(r_i = \lambda_i \rho_i\), et, pour une surface quelconque, \[ \overline{\mathrm{TB}} \simeq \mathrm{T} \times [0,1[^{I}. \] Il remarque qu'on ne peut sans doute pas espérer que la longueur \(l_i\) ne dépende que de \(\lambda_i\), ce qui rend peu pertinente l'intuition du début, fondée sur les coordonnées de Thurston. Il demande à Bers si le modèle a des chances d'être vrai ou s'il est franchement faux.²¹

La lettre se termine par une difficulté plus générale. En dehors de l'existence et de l'unicité de la métrique hyperbolique, compatible à la structure conforme et pour laquelle le bord est géodésique, on a peu de prise sur ses propriétés. Que devient par exemple la métrique d'un pantalon quand on lui retire un collier ouvert le long du bord ? Il souhaiterait, si le modèle est juste, une expression explicite de la métrique d'un pantalon en fonction des \(\lambda_i\).

23–45

IV. Métriques canoniques sur les surfaces conformes (pages 23 à 45)

La chemise de la page 23 porte le titre « Métriques canoniques sur les surfaces conformes ». Les feuillets se lisent dans l'ordre établi plus haut : 26, 44, 27, 45, 28 à 43. Deux feuillets volants les précèdent.

24–25

Données équivalentes sur une sphère conforme (pages 24 et 25)

Sur une sphère conforme \(X\), de groupe \(G = \mathrm{Aut}^{+}(X)\), la page 24 donne des données équivalentes :

• a)une paire compatible formée d'un antipodisme et d'une inversion, c'est-à-dire deux structures réelles compatibles ;
• b)une métrique sphérique et un grand cercle ;
• c)un cercle muni de l'inversion qui le fixe, et une paire de points échangés par elle ;
• d)un tore compact \(T \subset G\) et une orbite de \(T\) dans \(X \smallsetminus X^{T}\) ;
• d')une paire de points \(\{z, z'\}\) et une orbite, dans \(X \smallsetminus \{z,z'\}\), de l'unique tore compact qui les fixe.

Tout se vérifie en plaçant les pôles en \(0\) et \(\infty\). La métrique sphérique d'équateur \(|z| = r\) et de pôles \(0, \infty\) est unique, et le cercle \(|z| = r\) est une orbite du tore \(\{z \mapsto tz, |t| = 1\}\). La page 25 est une feuille de calculs isolés ; on y lit déjà la suite exacte \(0 \to \Pi \to V \to E \to 0\) et l'isomorphisme \(H^{1}(\gamma, E) \simeq H^{2}(\gamma, \Pi) \simeq \Pi^{\gamma}/(1 + \sigma)\Pi\) qui clôt la section XII.

26–44

Surfaces hyperboliques (pages 26 et 44)

Soit \(X\) une surface holomorphe connexe (séparée), non nécessairement compacte, et \(\widetilde{X}\) son revêtement universel.

Théorème. Les conditions suivantes sont équivalentes :

• (i)\(X\) n'est isomorphe ni à \(\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\), ni à \(\mathbb{C}\), ni à \(\mathbb{C}^{*}\), ni à une courbe elliptique ;
• (ii)\(\widetilde{X}\) est isomorphe au demi-plan \(\mathbb{H}\) ;
• (iii)toute application holomorphe \(\mathbb{C} \to X\) est constante ;
• (iv)si \(X\) est un ouvert d'une droite projective \(X'\) (resp. d'une droite affine \(X'\)), le complémentaire \(X' \smallsetminus X\) a au moins trois (resp. deux) points ;
• (v)si \(X = \widehat{X} \smallsetminus S\), avec \(\widehat{X}\) compacte de genre \(g\) et \(S\) finie de cardinal \(\nu\), on a \(2g + \nu \geqslant 3\), soit \((g,\nu) \notin \{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0)\}\), soit \(\chi(X) < 0\).

On dit alors que \(X\) est hyperbolique.

C'est le théorème d'uniformisation de Koebe et Poincaré, avec le théorème de Liouville pour (iii). Deux corollaires suivent. Corollaire 1 : un ouvert connexe d'une surface hyperbolique est hyperbolique, par (iii). Corollaire 2 : si \(X\) est une surface holomorphe connexe à bord non vide, \(\operatorname{Int} X\) est hyperbolique.²²

La page 44 ajoute un Corollaire 3. Soit \(X'\) une surface holomorphe connexe et \(X \subset X'\) un ouvert connexe. Alors \(X\) est hyperbolique, sauf si \(X'\) est isomorphe à \(\mathbb{P}^{1}\) (resp. \(\mathbb{C}\), resp. \(\mathbb{C}^{*}\)) et \(X' \smallsetminus X\) a au plus deux points (resp. au plus un, resp. aucun), ou si \(X'\) est compacte de genre \(1\) et \(X = X'\).²³

Elle ajoute aussi une Remarque : une surface conforme connexe \(X\), orientable ou non, est dite hyperbolique si \(\widetilde{X} \simeq \mathbb{H}\), ou, ce qui revient au même, si toute application conforme \(\mathbb{C} \to X\) est constante, ou encore si son revêtement des orientations est hyperbolique. Les surfaces conformes connexes sans bord non hyperboliques sont donc les quatre surfaces de (i), plus leurs quotients par des anti-involutions sans point fixe.

27–30

Les surfaces non hyperboliques, et leurs métriques (pages 27, 45, 28 à 30)

Ces quotients sont les suivants (page 27).

• a)Le plan projectif réel, quotient de la sphère par l'antipodie, et le plan projectif réel privé d'un point, quotient de \(\mathbb{C}^{*}\) par \(z \mapsto -1/\bar z\). Leurs revêtements des orientations sont respectivement \(\mathbb{P}^{1}\) et \(\mathbb{C}^{*}\).²⁴ Aucune anti-involution de \(\mathbb{C}\) n'est sans point fixe (page 42), de sorte que \(\mathbb{C}\) ne donne rien.
• b)Les surfaces \(E(\mathbb{C})/\text{conj}\), où \(E\) est une courbe réelle lisse géométriquement connexe de genre \(1\) sans point réel : ce sont des bouteilles de Klein. La page les nomme \(E_a\), \(a \in \mathbb{R}^{*}_{+}\) ; la page 100 les identifie aux torseurs non triviaux \(E_a^{!}\) sous les courbes \(E_a\) de la section XII.

Suit la question des métriques riemanniennes canoniques, compatibles à la structure conforme, sur une surface conforme sans bord.

1. Cas hyperbolique. La métrique de Poincaré de \(\widetilde{X} \simeq \mathbb{H}\), de courbure \(-1\), est invariante par tous les automorphismes conformes de \(\mathbb{H}\), antiholomorphes compris ; elle descend à \(X\). Si \(X\) est compacte, c'est l'unique métrique compatible de courbure constante \(-1\) (page 45).
2. Genre \(1\), compact (pages 45 et 28). Sur une courbe elliptique, les métriques plates invariantes par translation forment une classe à un scalaire près. On la normalise en imposant l'aire totale \(1\). La métrique obtenue est invariante par tous les automorphismes conformes, et elle descend donc aux bouteilles de Klein.
3. 2')\(X \simeq \mathbb{C}^{*}\), ou plan projectif réel privé d'un point. Les automorphismes holomorphes de \(\mathbb{C}^{*}\) sont \(z \mapsto az\) et \(z \mapsto a/z\). Ils relèvent des translations et des symétries de \(\mathbb{C}\) par \(z \mapsto \exp 2i\pi z\), et conservent la métrique plate \(|dz|^{2}/|z|^{2}\). On la normalise en donnant au cercle \(|z| = 1\) la longueur \(1\), ce qui fait \(|dz|^{2}/4\pi^{2}|z|^{2}\), l'image de la métrique \(|dz|^{2}\) de \(\mathbb{C}\) par \(z \mapsto \exp 2i\pi z\), comme le dit la marge. La conjugaison la conserve aussi, et la métrique descend au plan projectif privé d'un point.
4. 2'')\(X \simeq \mathbb{C}\). Les métriques invariantes par translation correspondent aux formes hermitiennes définies positives sur l'espace des translations, définies à homothétie près. Elles sont invariantes par les translations et les rotations, et seulement quasi-invariantes, c'est-à-dire à un facteur constant près, par les automorphismes affines quelconques. On n'a donc qu'une classe de métriques à un scalaire positif près.²⁵
5. 3)Plan projectif réel. \(X^{\mathrm{or}}\) est une droite projective munie d'un antipodisme, ce qui équivaut à une métrique sphérique compatible, normalisée par l'aire \(1\). Cette métrique descend à \(X\).
6. 3')\(X \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\). Aucune métrique n'est invariante, ni même quasi-invariante, par tous les automorphismes. Il n'y a donc pas de métrique canonique sans structure supplémentaire.

30–36

La sphère munie d'un groupe compact (pages 30 à 36)

Soit \(X = \mathbb{P}(V)\), où \(V\) est un plan vectoriel complexe, et \(G = \mathrm{Aut}_{\mathrm{conf}}(X)\), antiholomorphes compris. On se donne un sous-groupe \(H \subset G\). Pour qu'il laisse invariante une métrique sphérique, il faut, s'il est fermé, qu'il soit compact. Soit \(H^{+} = H \cap \mathrm{Aut}^{+}(X)\). Son image réciproque dans \(\mathrm{SL}(V)\) est compacte ; elle laisse invariante une forme hermitienne définie positive sur \(V\), d'où une métrique sphérique invariante, normalisée par \(\int_X dx = 1\). Si la forme invariante est unique à un scalaire près, la métrique est canonique : elle ne dépend que de \(H^{+}\) et elle est invariante par le normalisateur de \(H^{+}\), a fortiori par \(H\).

La forme invariante n'est pas unique exactement quand \(H^{+}\) fixe deux points distincts \(z, z'\). Alors \(H^{+}\) est contenu dans le stabilisateur de \(z\) et \(z'\), isomorphe à \(\mathbb{C}^{*}\), et dans son unique sous-groupe compact maximal \(T \simeq \mathbb{U}\) ; si \(H^{+} \neq \{1\}\), la paire \(\{z,z'\}\) est déterminée par \(H^{+}\).²⁶ Si \(H^{+} \neq \{1\}\), les métriques invariantes par \(H^{+}\) sont celles qui sont invariantes par \(T\). Elles correspondent bijectivement aux orbites de \(T\) dans \(X \smallsetminus \{z, z'\}\), sur lequel \(T\) agit librement : on associe à une métrique son équateur, le grand cercle équidistant de \(z\) et \(z'\).

Si \(H \neq H^{+}\), deux cas se présentent.

a) \(H^{+} = \{1\}\) et \(H = \{1, \sigma\}\), avec \(\sigma\) une anti-involution. Si \(\sigma\) est sans point fixe (un antipodisme), elle fixe une unique métrique sphérique normalisée. Si \(\sigma\) a des points fixes (une inversion), les métriques sphériques invariantes correspondent aux paires \(\{x, \sigma x\}\) de points échangés, qui en sont les pôles, c'est-à-dire aux points de \((X \smallsetminus X^{\sigma})/\sigma\).

b) \(H^{+} \neq \{1\}\). Soit \(T\) le tore compact maximal qui contient \(H^{+}\), et \(N = T\cdot H\), extension de \(\gamma = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) par \(T\). Un élément antiholomorphe de \(N\) qui fixe \(z\) et \(z'\) agit sur \(T\) par \(t \mapsto t^{-1}\) ; un élément qui les échange centralise \(T\).²⁷

• 1)\(N\) extension centrale. Comme \(H^{2}(\gamma, T) = T/T^{2} = 0\) pour l'action triviale, \(N \simeq T \times \{1, \sigma\}\), où \(\sigma\) échange \(z\) et \(z'\). Avec \(\{z,z'\} = \{0, \infty\}\), les anti-automorphismes qui échangent \(0\) et \(\infty\) sont les \(z \mapsto b/\bar z\), et ce sont eux qui centralisent \(T\).²⁸ On a \(\sigma^{2}(z) = (b/\bar b)\,z\) : \(\sigma\) est involutive si et seulement si \(b\) est réel. Ses points fixes sont donnés par \(z\bar z = b\) : c'est une inversion si \(b > 0\) et un antipodisme si \(b < 0\). On peut remplacer \(\sigma\) par \(\sigma' = \varepsilon\sigma\), où \(\varepsilon = -1\) est l'élément d'ordre \(2\) de \(T\) : des deux, l'un est une inversion et l'autre un antipodisme. Si \(b > 0\), l'inversion \(\sigma\) fixe le cercle \(C = \{z\bar z = b\}\), et l'antipodisme \(\sigma'(z) = -b/\bar z\) conserve \(C\) : tous deux définissent la même métrique, celle de pôles \(0, \infty\) et d'équateur \(C\). « On est content ! »
• 2)\(N\) non centrale. Alors \(\sigma(z) = a\bar z\), et \(\sigma^{2} = (z \mapsto a\bar a z)\) appartient à \(T\) si et seulement si \(a \in \mathbb{U}\), auquel cas \(\sigma^{2} = 1\) et l'extension est scindée. Si \(a = \alpha^{2}\), avec \(\alpha \in \mathbb{U}\), les points fixes de \(\sigma\) forment la droite \(\alpha\mathbb{R}\), un méridien. La marge conclut : \(N = T \cup N^{-}\), où \(N^{-}\) est formé de toutes les anti-involutions qui fixent \(z\) et \(z'\), et \(N\) ne détermine pas plus de métrique que \(T\).

Proposition (page 36, « en résumé et sauf erreur »). Soit \(X\) une sphère conforme et \(H \subset G\) un sous-groupe compact.

• a)Il existe sur \(X\) une métrique sphérique normalisée, compatible, invariante par \(H\).
• b)Elle est unique si et seulement si \(X^{H} = \emptyset\).
• c)Si \(X^{H} \neq \emptyset\) et \(H \neq \{1\}\), alors ou bien \(\operatorname{card} X^{H} = 2\), ou bien \(H = \{1,\sigma\}\) avec \(\sigma\) une inversion. Dans le premier cas, \(X^{H} = X^{H^{+}}\), \(H^{+}\) est contenu dans un unique tore compact \(T\), et les métriques invariantes par \(H\) correspondent bijectivement aux orbites de \(T\) dans \(X \smallsetminus X^{H}\). Dans le second, elles correspondent aux éléments de \((X \smallsetminus X^{\sigma})/\sigma\).

La marge demande de traduire l'action de \(G\) sur les métriques sphériques en termes d'algèbre linéaire. La traduction est la suivante, et elle est la nôtre. Les métriques sphériques normalisées sont les formes hermitiennes définies positives sur \(V\) à un scalaire près, et elles forment l'espace hyperbolique \(\mathbb{H}^{3} = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})/\mathrm{PSU}(2)\), sur lequel \(G\) agit par isométries, les antiholomorphes renversant l'orientation. Les métriques invariantes par \(H\) forment l'ensemble des points fixes de \(H\) dans \(\mathbb{H}^{3}\), qui est une sous-variété totalement géodésique non vide. La proposition dit laquelle : un point si \(X^{H} = \emptyset\) ; la géodésique d'extrémités \(z, z'\) si \(\operatorname{card} X^{H} = 2\), paramétrée par les orbites de \(T\) ; le plan hyperbolique bordé par le cercle \(X^{\sigma}\) si \(\sigma\) est une inversion. C'est une surface isomorphe au disque \((X \smallsetminus X^{\sigma})/\sigma\).

37–38

Récapitulation (pages 37 et 38)

Sur toute surface conforme sans bord \(X\), on peut définir une métrique riemannienne canonique \(Q_X\), compatible à la structure conforme, sauf dans deux cas.

• a)\(X \simeq \mathbb{C}\). On n'a qu'une classe de métriques à un scalaire près : les métriques invariantes par translation, quasi-invariantes par tout automorphisme conforme, et plates.
• b)\(X \simeq \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}\). Aucune métrique n'est quasi-invariante par \(G\), ni même par \(\mathrm{Aut}^{+}(X)\). Les métriques sphériques normalisées forment une orbite \(R(X)\) de \(G\), variété de dimension \(3\). Il existe un \(Q \in R(X)\) invariant par \(H \subset G\) si et seulement si \(H\) est relativement compact, et il est unique si et seulement si \(X^{H} = \emptyset\).

Quand \(Q_X\) est défini, sa courbure est constante. Elle vaut \(-1\) si et seulement si \(X\) est hyperbolique ; elle est nulle si et seulement si \(\widetilde{X} \simeq \mathbb{C}\), cas a) compris ; elle est positive dans le seul cas restant, celui du plan projectif réel. Il en va de même de la métrique \(Q_{X,H}\) définie par un groupe compact \(H\) sans point fixe sur \(\mathbb{P}^{1}\) : elle est de courbure constante positive. La marge généralise : pour toute surface conforme connexe \(X\), l'ensemble des métriques compatibles contient une orbite canonique de \(\mathrm{Aut}_{\mathrm{conf}}(X)\), réduite à un point sauf dans les cas a) et b), où c'est une demi-droite et une variété de dimension \(3\). Elle propose le nom de métriques distinguées.²⁹

39–43

Surfaces à bord (pages 39 à 43)

Le cas des surfaces à bord se ramène au précédent par l'équivalence de catégories \[ X \longmapsto (X^{\mathrm{or}}, \sigma), \qquad (X', \sigma) \longmapsto X'/\sigma, \] entre surfaces conformes à bord et surfaces holomorphes sans bord munies d'une anti-involution. C'est aujourd'hui la théorie des surfaces de Klein, et \(X^{\mathrm{or}}\) est le double complexe : le revêtement des orientations, replié le long du bord.³⁰ On dit que \(X\) est hyperbolique si \(X^{\mathrm{or}}\) l'est. Pour \(X\) sans bord, cela redonne la définition précédente, car \(X^{\mathrm{or}}\) est alors un revêtement étale de \(X\). Pour \(X\) compacte, on a \(\chi(X^{\mathrm{or}}) = 2\chi(X)\), puisque le bord, réunion de cercles, a une caractéristique nulle ; donc \(X\) est hyperbolique si et seulement si \(\chi(X) < 0\). Si \(X\) est orientable, de genre \(g\) à \(\nu\) bords, c'est \(2g + \nu \geqslant 3\). Il faut se garder de confondre avec l'hyperbolicité de \(\operatorname{Int} X\), qui a toujours lieu sauf si \(\nu = 0\) et \(g \in \{0,1\}\) : le disque fermé, par exemple, n'est pas hyperbolique, alors que son intérieur l'est.

Si \(X\) est hyperbolique, la métrique hyperbolique de \(X^{\mathrm{or}}\) est invariante par \(\sigma\), et elle descend en une métrique hyperbolique sur \(X\) pour laquelle le bord, lieu des points fixes d'une isométrie involutive, est géodésique. Plus généralement, toute métrique canonique de \(X^{\mathrm{or}}\) invariante par \(\sigma\) descend, avec un bord géodésique. Pour le plan projectif réel, il faut exiger que la métrique de \(X^{\mathrm{or}}\) soit dans \(R(X^{\mathrm{or}})\) et stable par \(\sigma\), ce qui la détermine. Pour \(X \simeq \mathbb{C}\), on a \(X^{\mathrm{or}} \simeq \mathbb{C} \amalg \mathbb{C}\), et la prescription ne fournit une métrique que si on la complète par l'hypothèse qu'on puisse choisir sur \(X^{\mathrm{or}}\) une métrique distinguée stable par \(\sigma\) (bas de la page 40 et haut de la page 41).

Restent les surfaces connexes, compactes ou non, à bord non vide : un double connexe \(X^{\mathrm{or}}\) et une anti-involution \(\sigma\) à points fixes. Les seuls cas exceptionnels sont les suivants.

• a')\(X^{\mathrm{or}} \simeq \mathbb{C}\). Les anti-automorphismes de \(\mathbb{C}\) sont les \(z \mapsto a\bar z + b\). Une anti-involution a toujours un point fixe ; si on le place en \(0\), elle s'écrit \(\sigma(z) = \alpha^{2}\bar z\) avec \(\alpha \in \mathbb{U}\), et c'est la symétrie orthogonale par rapport à la droite \(\alpha\mathbb{R}\). La surface \(X\) est un demi-plan fermé \(\overline{\mathbb{H}}\). Son groupe d'automorphismes conformes, celui des automorphismes de \(\mathbb{C}\) qui commutent à la conjugaison modulo celle-ci, est le groupe affine réel. Les métriques plates invariantes par translation, invariantes par les automorphismes d'ordre fini et en particulier par \(\sigma\), donnent sur \(X\) une métrique canonique à une constante près.
• b')\(X^{\mathrm{or}} \simeq \mathbb{P}^{1}\), \(\sigma\) une inversion, qui définit une structure de droite projective réelle. \(X\) est un disque fermé, et une métrique distinguée invariante par \(\sigma\) demande le choix d'un point du disque ouvert.

En résumé (page 43), une surface conforme à bord connexe a une unique métrique distinguée, sauf dans quatre cas : a) \(X \simeq \mathbb{C}\) et a') \(X \simeq \overline{\mathbb{H}}\), où l'on a une classe de métriques à une constante près, orbite sous \(\mathrm{Aut}\,X\) ; b) \(X \simeq \mathbb{P}^{1}\) et b') \(X\) un disque, où les métriques distinguées forment une orbite de dimension \(3\), respectivement \(2\).

47–50

V. Isomorphismes de Teichmüller et questions anabéliennes (pages 47 à 50)

Le feuillet de la page 47 est daté « 15.1. », sans année. On se donne une courbe \(X\) lisse de type \((g,\nu)\) sur \(\overline{\mathbb{Q}}\), et une courbe \(Y\) stable non lisse de même type, munie d'un « propagateur normal » \(N\) en ses points doubles. On obtient un groupe fondamental \(\pi_1([Y,N])\) et une notion d'isomorphisme de Teichmüller \(X \simeq_T Y\). Un tel isomorphisme induit un isomorphisme de groupes extérieurs \(\pi_1(X) \to \pi_1([Y,N])\), et il est déterminé par lui. Avec des points base, ordinaires ou à l'infini, on obtient un isomorphisme de groupes. Cet isomorphisme n'est pas compatible aux actions extérieures de \(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/K)\), même pour \(K\) assez grand.³¹ Il note qu'il faudrait mettre en évidence trois classes de conjugaison d'homomorphismes \(\hat{\mathbb{Z}}(1) \to \pi_1(X)\) — deux seulement si \(\nu = 0\), l'une des trois correspondant aux bouts —, sans dire lesquelles.

À examiner (page 48) :

• a)étendre la « conjecture fondamentale » de la géométrie anabélienne aux courbes anabéliennes singulières, stables et munies d'un propagateur normal ;
• b)pour une telle courbe \(Y\) sur un corps \(K\) de type fini sur \(\mathbb{Q}\), récupérer les points singuliers et les points marqués à partir des classes de conjugaison de sous-groupes de \(\pi_1(Y)\) isomorphes à \(\hat{\mathbb{Z}}\) et normalisés par \(\pi_1(K)\), qui agit alors sur eux par le caractère cyclotomique ;
• c)à l'image des compactifications de Deligne et Mumford des \(M_{g,\nu}\), définir une compactification anabélienne d'une variété lisse anabélienne, et étudier son comportement par spécialisation.

La conjecture fondamentale est celle que Grothendieck avait formulée dans sa lettre à Faltings du 27 juin 1983, pour les courbes hyperboliques sur les corps de type fini sur \(\mathbb{Q}\).³²

La page 49 attend trois types de présentation par générateurs et relations pour les groupoïdes et groupes de Teichmüller, chacun à signification intrinsèque.

• a)Par pantalons, ou triades. Elle revient à travailler avec les points à l'infini les plus dégénérés des multiplicités modulaires, et elle semble commode pour les groupes purs \(\Gamma^{+!}_{g,\nu}\), d'après l'exemple de \(\Gamma^{+!}_{0,4}\).³³
• b)Par une « boîte » complète de pièces de Lego : les groupes d'automorphismes des pièces, et certains chemins de déformation entre pièces. Exemples frappants : \(\Gamma^{+}_{0,4}\), et \(\Gamma^{+}_{1,1} \simeq \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\), engendré par \(\rho\) et \(\sigma\) avec \(\rho^{3} = \sigma^{2}\) et \(\rho^{6} = \sigma^{4} = 1\). C'est la présentation classique \(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}/6 *_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/4\).
• c)Par involutions, qui sont dans \(\Gamma^{-}_{g,\nu}\). Exemple typique : \(\Gamma_{1,1} \simeq \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})\), engendré par trois réflexions \(r_1, r_2, r_3\) avec \[ (r_1r_2)^{2} = (r_2r_3)^{3}, \qquad (r_1r_2)^{4} = 1 . \] Avec les relations \(r_i^{2} = 1\), implicites dans le mot « réflexions », c'est la présentation de \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})\) comme produit amalgamé \(D_4 *_{D_2} D_6\).³⁴

Le « jeu de Lego » et l'idée que les groupes de Teichmüller se présentent à partir des petites dimensions sont ceux de l'Esquisse d'un programme, rédigée ce même mois de janvier 1984.³⁵

La page 50 est un brouillon écrit en tous sens. On y lit la suite exacte \[ 1 \to \Pi_{0,3} \to \Gamma^{+}_{0,4} \to \mathfrak{S}_4 \to 1, \] où \(\Pi_{0,3}\), groupe fondamental de la sphère privée de trois points, est libre de rang \(2\) et s'identifie au groupe pur \(\Gamma^{+!}_{0,4}\). Elle s'envoie sur la suite \(1 \to \Pi_{0,3} \to \Gamma^{+}_{1,1}/\pm 1 \to \mathfrak{S}_3 \to 1\), avec \(\Gamma^{+}_{1,1}/\pm 1 \simeq \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})\) et \(\mathfrak{S}_3 \simeq \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/2)\).³⁶ On y lit aussi les relations entre lacets autour des pointes, comme \(\ell_0\ell_1\ell_\infty = 1\) ; l'identification \(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})/\pm B \simeq \mathbb{P}^{1}(\mathbb{Q})\), où \(B\) est le groupe unipotent, les cusps de la courbe modulaire ; la suite \(1 \to \Pi_{g,\nu-1} \to \Gamma_{g,\nu} \to \Gamma_{g,\nu-1} \to 1\) de l'oubli d'un point ; et une liste de notations (groupoïdes, groupes, multiplicités, espace de Teichmüller).

52–52

VI. Un brouillon : deux disques et une dualité (page 52)

Page très surchargée. On y lit d'abord des correspondances. Un cercle torique orienté est un torseur sous \(\mathbb{U}\). Les droites vectorielles complexes unitaires, c'est-à-dire munies d'une norme hermitienne, en donnent par leur cercle unité ; pour une telle droite \(T\), on a \(T^{\vee} \simeq \overline{T}\). Puis vient la correspondance qui servira à la page 74. Soient \(T'\) et \(T''\) deux droites vectorielles complexes. La donnée de disques \(D' \subset T'\) et \(D'' \subset T''\) et d'un anti-isomorphisme \(u\) de \(\mathbb{U}\)-torseurs entre leurs bords équivaut à la donnée d'une dualité \(v : T' \otimes T'' \to \mathbb{C}\) et du seul disque \(D'\). On retrouve \(D''\) comme disque polaire de \(D'\) pour \(v\), et \(u\) comme l'identification des bords qu'impose \(v\). Le compte est bon : deux rayons et un angle d'un côté, un rayon et un nombre complexe non nul de l'autre.³⁷

53–60

VII. Chirurgie conforme : les fondements (pages 53 à 60)

Le feuillet de la page 53 porte « 11.1.84 », « 1 » et le titre souligné « Chirurgie conforme ». La suite, qui va jusqu'à la page 81, est numérotée par lui en tête des rectos : 1 à 4 aux pages 53, 55, 57 et 59, puis, le chiffre de la page 60 étant raturé, 5 à 15 aux pages 61 à 81.

53–55

(1) Surfaces conformes à bord (pages 53 à 55)

Une surface conforme à bord se définit par des cartes modelées, au voisinage du bord, sur \(\overline{\mathbb{H}}\).³⁸ Dans le cas orienté, la structure est un faisceau de \(\mathbb{C}\)-algèbres : en un point \(x \in \mathbb{R} = \partial\overline{\mathbb{H}}\), ce sont les germes de fonctions qui se prolongent en fonctions holomorphes au voisinage de \(x\) dans \(\mathbb{C}\). Ce faisceau est plus petit que celui des fonctions continues holomorphes à l'intérieur, et il ne faut pas les confondre.

Théorème 1. Soit \(X\) une surface topologique à bord. Une structure conforme à bord sur \(X\) est déterminée par sa restriction à \(\operatorname{Int} X\).³⁹ Les cartes au bord sont exactement les plongements topologiques ouverts \(U \hookrightarrow \overline{\mathbb{H}}\), qui envoient bord sur bord et sont holomorphes à l'intérieur. Cela résulte du

Lemme 1. Soit \(U\) un ouvert de \(\overline{\mathbb{H}}\) et \(f : U \hookrightarrow \overline{\mathbb{H}}\) un plongement ouvert, holomorphe dans \(U \cap \mathbb{H}\). Alors \(f\) se prolonge holomorphiquement au voisinage de \(U \cap \mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\), et sa dérivée ne s'y annule pas.

La première assertion est le principe de réflexion de Schwarz. Une fonction continue sur \(U\), holomorphe dans \(U \cap \mathbb{H}\) et réelle sur \(U \cap \mathbb{R}\), se prolonge par \(f(\bar z) = \overline{f(z)}\) ; et \(f\) est réelle sur le bord, puisqu'un plongement ouvert envoie les points du bord sur le bord.⁴⁰ La seconde vient de ce que, si le développement en \(x = 0\) commence par \(a_n z^{n}\) avec \(a_n \neq 0\), l'injectivité et l'inclusion dans \(\overline{\mathbb{H}}\) imposent \(n = 1\).

Un énoncé est mis entre crochets : le théorème 2, équivalence entre surfaces conformes compactes à bord et courbes algébriques propres et lisses sur \(\mathbb{R}\). C'est la version algébrique de l'équivalence de la page 39 : \(X \mapsto\) la courbe réelle dont \(X^{\mathrm{or}}\) est la surface de Riemann et \(\sigma\) la conjugaison.⁴¹

55–57

(2) Le découpage (pages 55 à 57)

On découpe une surface conforme à bord \(X\) le long d'un complexe topologique \(K\) de dimension \(1\). La page demande quelle régularité imposer à \(K\), et propose la rectifiabilité.

Théorème 3. Le découpé \(\widetilde{X}\), muni du faisceau des fonctions continues conformes dans \(\operatorname{Int}\widetilde{X} \simeq X \smallsetminus K\), est une surface conforme à bord.

La marge le qualifie de théorème d'uniformisation locale. Il revient à trouver, autour de chaque point du bord de \(\widetilde{X}\), un homéomorphisme sur un demi-disque \(\overline{\mathbb{H}} \cap \mathring{\mathbb{D}}\), holomorphe à l'intérieur. Deux cas se présentent, selon que le point est au milieu de \(K\) (ordre au moins \(2\)) ou à une extrémité (ordre \(1\)) :

Lemme 2. Soit \(K \subset \mathbb{C}\) un segment topologique et \(x \in K\).

• a)Si \(x\) n'est pas une extrémité, il existe, pour chaque rive de \(K\) en \(x\), une application continue injective \(f\) de \(\overline{\mathbb{H}} \cap \mathring{\mathbb{D}}\) dans \(\mathbb{C}\), holomorphe à l'intérieur, qui envoie le diamètre \(]-1,1[\) dans \(K\) et \(0\) sur \(x\), et dont l'image est du côté de cette rive.
• b)Si \(x\) est une extrémité, il existe \(f\) continue sur \(\overline{\mathbb{H}} \cap \mathring{\mathbb{D}}\), injective et holomorphe à l'intérieur, d'image dans \(\mathbb{C} \smallsetminus K\), avec \(f(0) = x\), et dont les restrictions à \(]-1,0]\) et à \([0,1[\) sont injectives de même image contenue dans \(K\).

Ces énoncés sont vrais pour tout arc de Jordan, sans hypothèse de régularité.⁴²

Scholie. Chaque rive de \(K\) munit \(K\) d'une structure analytique réelle canonique, par les cartes au bord. Le passage de l'une à l'autre se fait par l'identité, qui n'est pas analytique en général. Les propriétés de régularité de cette application de recollement (\(C^{\infty}\), analytique réelle, etc.) reflètent celles de \(K\) dans \(\mathbb{C}\).

57–60

(3) Le recollement, et (4) les recollements bord à bord (pages 57 à 60)

« On doit avoir un théorème dans le style du » :

Théorème 4 (énoncé attendu). Il s'agirait d'une équivalence entre deux catégories. D'un côté, les triples \((X, K, S)\), où \(X\) est une surface conforme compacte à bord et \((K, S)\) un complexe topologique compact, de sommets \(S\), avec \(\partial X \subset K \subset X\). De l'autre, les triples \((\widetilde{X}, \widetilde{S}, \sigma)\), où \(\widetilde{X}\) est une surface conforme compacte à bord, \(\widetilde{S}\) une partie finie de \(\partial \widetilde{X}\), et \(\sigma\) une involution qui dit quels arcs de \(\partial \widetilde{X} \smallsetminus \widetilde{S}\) recoller à quels arcs. Les composantes de \(K \smallsetminus S\) peuvent être des cercles, précise la marge. Le foncteur direct est le découpage (théorème 3). Le foncteur inverse est connu topologiquement : \(X = \widetilde{X}/\mathcal{R}\), avec pour faisceau structural les fonctions continues conformes hors de \(K\). Que cela donne bien une structure conforme à bord revient à deux cas locaux (le lemme 3, en deux versions dont la première est barrée). Le premier est le recollement de deux demi-disques le long d'un arc de leurs diamètres, une couture qui passe par un point intérieur. Le second est le repliement d'un demi-disque sur lui-même, les deux moitiés de son diamètre étant identifiées par un homéomorphisme qui fixe \(0\) : une couture qui s'arrête en un point.⁴³

Des deux côtés, la page demande que \(K\) et \(\sigma\) soient « rectifiables ». Sous cette forme, l'équivalence n'est pas juste, et il faut dire ce qui l'est.⁴⁴ Le découpage n'exige rien (théorème 3). Quand \(K\) est rectifiable, \((X, K, S)\) est déterminé par \((\widetilde{X}, \widetilde{S}, \sigma)\) : c'est l'unicité, et c'est là que la rectifiabilité sert. L'existence du recollement pour une involution \(\sigma\) donnée est un problème de soudure conforme, qui se résout pour \(\sigma\) quasi-symétrique.

La note de marge datée « 12.1. », à la page 60, énonce l'outil de l'unicité : si \(C\) est une courbe dans un ouvert \(U\) de \(\mathbb{C}\) et \(f\) une fonction continue sur \(U\), holomorphe dans \(U \smallsetminus C\), alors \(f\) est holomorphe dans \(U\).⁴⁵ Appliquée à l'application qui compare deux recollements, elle montre que ceux-ci coïncident.

Le paragraphe (4), « recollements bord à bord de disques », est le cas du théorème 4 où \(K\) est une variété compacte de dimension \(1\) et \(S\) vide. On y cherche des conditions naturelles sur \(\sigma\). Pour une composante \(C\) du bord d'une surface conforme, deux données reviennent au même : une structure de droite projective réelle sur \(C\), et un « bouchage du trou » de bord \(C\) par un disque. Car le groupe des automorphismes du disque agit sur son bord comme le groupe projectif de \(\mathbb{P}^{1}(\mathbb{R})\). Les propriétés de régularité de cette structure projective reflètent celles de \(C\) comme cercle intérieur de la surface bouchée.⁴⁶

60–69

VIII. Boucher les trous : disques, ombres, systèmes admissibles (pages 60 à 69)

60–62

Un disque pointé, et la structure torique de son bord (pages 60 à 62)

Une fois le trou bouché par un disque \(D\) de bord \(C\), choisir un point \(a\) de \(\mathring D\) équivaut à choisir une structure torique sur \(C\) compatible à la structure de droite projective réelle. Le groupe structural \(\mathrm{PGL}_2(\mathbb{R})\) se réduit alors à son sous-groupe compact maximal \(\mathrm{O}(2)/\pm 1\). En effet, les points du disque correspondent aux sous-groupes compacts maximaux du groupe des automorphismes, et le stabilisateur de \(a\) agit sur \(C\) par rotations. On a alors l'inclusion canonique \(D \subset T_{X',a}\) de la section III.

Proposition. Les deux catégories suivantes sont équivalentes :

• a)les surfaces conformes compactes à bord, avec une composante \(C\) du bord munie d'une structure torique ;
• b)les surfaces conformes \(X'\) munies d'un disque pointé \((D, a)\), \(D \subset \operatorname{Int} X'\).

L'équivalence se fait en bouchant \(C\) par le disque qui a la même structure torique, et en retirant \(\mathring D\) dans l'autre sens.⁴⁷

62–63

L'ombre d'un disque (pages 62 et 63)

Pour \((X', a)\) fixé, chaque disque \(D\) autour de \(a\) définit dans \(T_{X',a}\) un disque euclidien, son ombre \(o(D)\). Les disques de \(T_{X',a}\) forment un torseur sous \(\mathbb{R}^{*}_{+}\), un espace de dimension \(1\) ; l'application \(D \mapsto o(D)\) n'a donc rien d'injectif. Elle est compatible aux homothéties : les disques concentriques \(\lambda D\), \(0 < \lambda \leqslant 1\), définis par l'inclusion \(D \subset T_{X',a}\), ont pour ombres les \(\lambda\, o(D)\).

On prend alors \(X'\) compacte, munie de points marqués \((a_i)_{i\in I}\) et d'une famille de disques deux à deux disjoints \(D_i\) autour des \(a_i\), qui ont pour ombres des \(o(D_i) \subset T_{X',a_i}\). La question est de trouver des conditions naturelles sur le système des \(D_i\) qui impliquent qu'il soit déterminé par le système des ombres.

64–65

Systèmes admissibles (pages 64 et 65)

On laisse tomber le prime et l'on suppose \(X\) connexe, \(I\) non vide. La surface \(X^{*} = X \smallsetminus \bigcup_i \mathring{D}_i\) a une métrique canonique à courbure constante (section IV). Dans le cas hyperbolique, qui exclut \(g = 0\) et \(\nu = \operatorname{card} I \in \{1,2\}\), c'est la métrique hyperbolique, et les bords sont géodésiques. Pour \((g,\nu) = (0,2)\), \(X^{*}\) est un anneau fermé, dont la métrique plate canonique rend encore les bords géodésiques. Dans ces cas, chaque cercle \(\partial D_i\) reçoit de la métrique une structure torique canonique, par l'abscisse curviligne.⁴⁸ Il est tentant d'exiger que les deux structures toriques de chaque \(\partial D_i\), celle qui vient de \(D_i\) et celle qui vient de \(X^{*}\), coïncident. Cela signifie que \(X\) se déduit de \(X^{*}\) en bouchant les trous par les disques canoniques. On dit alors que le système \((D_i)\) est admissible ; c'est la définition de la lettre à Bers.

Il pose deux questions sans y répondre. Comment l'admissibilité se lit-elle dans la géométrie intrinsèque de \(X\) ? Par exemple, quand \(X\) a une métrique canonique (\(X \not\simeq \mathbb{P}^{1}\)), quel rapport y a-t-il avec la condition que les \(D_i\) soient des disques géodésiques \(\{\mathrm{dist}(x, a_i) \leqslant r_i\}\) ?

65–69

L'espace de Teichmüller à bord, et une conjecture (pages 65 à 69)

On fixe une surface topologique orientée de référence \(X_0\), de type \((g,\nu)\), et l'on considère l'espace de Teichmüller à bord \(\mathrm{TB}_{g,\nu}\). Il est homéomorphe à \(\mathbb{R}^{6g-6+3\nu}\), ou mieux à \(\mathbb{C}^{3g-3+\nu} \times \mathbb{R}^{\nu}\). Le bouchage des trous définit une application \[ \mathrm{TB}_{g,\nu} \longrightarrow \mathrm{T}_{g,\nu}. \] Il présume qu'elle est une fibration de fibre \(\mathbb{R}^{\nu}\). Pour une sphère à trois trous, à combinatoire fixée, faire varier une, deux ou trois des longueurs ne change pas la sphère bouchée à isomorphisme canonique près : c'est \(\mathbb{P}^{1}\) pointée en trois points. Il faudrait comprendre, dit-il, comment les disques \(D(l_i)\) qu'on retire dépendent des longueurs \(l_i\), et en particulier si chacun ne dépend que de sa propre longueur. C'est la question que reprend le modèle de la lettre.

Admettant ce point, la famille des systèmes admissibles autour des \(a_i\) d'une surface pointée donnée est homéomorphe à \(\mathbb{R}^{\nu}\), comme l'ensemble des systèmes d'ombres possibles. D'où la

Conjecture (page 67). Pour une surface conforme pointée, au moins dans le cas hyperbolique, l'application \((D_i) \mapsto (o(D_i))\), des systèmes admissibles de disques autour des \(a_i\) vers les systèmes de disques euclidiens des \(T_{X,a_i}\), est bijective.

Elle ferait de \(\mathrm{TB}_{g,I} \to \mathrm{T}_{g,I}\) un fibré principal de groupe \((\mathbb{R}^{*}_{+})^{I}\).⁴⁹ Si la relation présumée plus haut était vraie, ce fibré aurait une section canonique : des métriques euclidiennes canoniques sur les \(T_{X,a_i}\). En genre au moins \(1\), cela ne l'inquiète pas, puisque \(X\) a une métrique canonique. En genre \(0\), cela lui semble étrange, puisque \(\mathbb{P}^{1}\) n'en a pas.

69–73

IX. Retour sur le principe de chirurgie : le lemme 4 (pages 69 à 73)

Le titre, « 5. Retour sur le principe de chirurgie conforme », est daté « 12.1. » en marge. Les lemmes locaux 2 et 3, « ingrédient technique essentiel pour le théorème 4 (et lui étant équivalents) », sont formulés de façon ambiguë. Il vaut mieux se ramener à des énoncés globaux d'uniformisation par le disque \(\mathbb{D}\). Soit \(\zeta = e^{2i\pi/3}\). Les points \(1, \zeta, \bar\zeta\) découpent le cercle \(\partial\mathbb{D}\) en trois arcs : \(\alpha\), de \(\zeta\) à \(\bar\zeta\) sans passer par \(1\) ; \(\beta\), de \(1\) à \(\zeta\) ; \(\bar\beta\), de \(1\) à \(\bar\zeta\).

Lemme 4. A) Soit \(V\) le domaine intérieur d'une courbe de Jordan \(C\), et \(I\) un arc topologique qui rencontre \(C\) en une seule de ses extrémités \(b\), son autre extrémité \(a\) étant dans \(V\). Soit \(U = V \smallsetminus I\). Il existe une application continue \(f : \mathbb{D} \to \overline{U}\) telle que :

• 1)\(f\) induit un homéomorphisme \(\mathring{\mathbb{D}} \simeq U\), et elle est holomorphe sur \(\mathring{\mathbb{D}}\) ;
• 2)\(f(\zeta) = f(\bar\zeta) = b\), et \(f\) induit une bijection \(\alpha \smallsetminus \{\zeta,\bar\zeta\} \simeq C \smallsetminus \{b\}\) ;
• 3)\(f(1) = a\), et \(f\) induit des bijections de \(\beta\) et de \(\bar\beta\) sur \(I\).

Autrement dit, \(f\) est l'uniformisation de \(\overline{V}\) découpé le long de \(I\). Elle est unique, parce que le groupe des automorphismes de \(\mathbb{D}\) agit de façon simplement transitive sur les triples de points distincts du cercle rangés dans l'ordre de l'orientation. Il en résulte une bijection canonique \[ \varphi : \beta \xrightarrow{\ \sim\ } \bar\beta, \qquad \varphi(1) = 1, \quad \varphi(\zeta) = \bar\zeta, \] l'application de recollement des deux rives de \(I\).⁵⁰

B) Si \(C\) et \(I\) sont rectifiables, \(\varphi\) et son inverse sont absolument continus.⁵¹ Réciproquement, la page affirme que tout homéomorphisme \(\varphi : \beta \to \bar\beta\) de cette classe provient d'une telle situation. On normalise \(\overline{V}\) en \(\mathbb{D}\), puis \(a\) en \(0\) et \(b\) en \(1\). On cherche alors une application continue \(f_\varphi : \mathbb{D} \to \mathbb{D}\), injective et holomorphe sur \(\mathring{\mathbb{D}}\), avec \(f(1) = 0\) et \(f(\zeta) = f(\bar\zeta) = 1\). Elle doit induire un homéomorphisme de \(\alpha \smallsetminus \{\zeta,\bar\zeta\}\) sur \(\partial\mathbb{D} \smallsetminus \{1\}\), envoyer \(\beta\) et \(\bar\beta\) sur un même arc \(I\) joignant \(0\) à \(1\), avec \(I \smallsetminus \{1\} \subset \mathring{\mathbb{D}}\), et vérifier \(\varphi = (f|_{\bar\beta})^{-1} \circ f|_{\beta}\).⁵² Cette réciproque est un problème de soudure conforme, et la page ne la démontre pas. On sait la résoudre pour \(\varphi\) quasi-symétrique : la fente obtenue est alors un quasi-arc, qui peut ne pas être rectifiable. Les homéomorphismes quasi-symétriques ne sont d'ailleurs pas tous absolument continus.

Scholie. La page met en correspondance biunivoque quatre données :

• a)les homéomorphismes rectifiables \(\psi : [0,1] \to [0,1]\) avec \(\psi(0) = 0\) ;
• b)les arcs rectifiables \(I \subset \mathbb{D}\) d'extrémités \(0\) et \(1\), avec \(I \cap \partial\mathbb{D} = \{1\}\) ;
• c)les applications continues \(f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}\) qui ont les propriétés de B) ;
• d)les séries entières \(\sum_{i \geqslant 0} a_i z^{i}\), de rayon de convergence au moins \(1\) et de module au plus \(1\) sur \(\mathring{\mathbb{D}}\), qui se prolongent par continuité en une telle application.

Les correspondances b) \(\leftrightarrow\) c) \(\leftrightarrow\) d) sont acquises : représentation conforme de \(\mathbb{D} \smallsetminus I\) normalisée, et théorème de Carathéodory. L'application b) \(\to\) a), qui associe à une fente son recollement, est injective, parce qu'un arc rectifiable est effaçable (section VII). Sa surjectivité sur une classe d'homéomorphismes est la soudure conforme, et « rectifiable » n'est pas la classe pour laquelle on sait répondre.

73–81

X. Des surfaces à bord aux courbes stables (pages 73 à 81)

Le paragraphe 6 est daté « 13.1. ». Soit \(X\) une surface holomorphe compacte à bord, connexe, de type \((g,\nu)\), et \(C\) un système de courbes le long desquelles la découper : un objet du groupoïde de Teichmüller à bord. On découpe \(X\) le long de \(C\) et l'on obtient \(X'\). On en bouche canoniquement les trous, grâce aux structures toriques que la métrique canonique de \(X'\) donne à son bord. On obtient une surface holomorphe compacte sans bord \(X''\), munie de disques pointés. Ces disques se groupent par paires, sauf les \(\nu\) disques qui viennent de \(\partial X\), et chaque paire est munie de l'anti-isomorphisme unitaire entre ses bords qui recollait les deux rives.

On voit alors \(X''\) comme la normalisée d'une courbe algébrique complexe stable \(X'''\), au sens de Deligne et Mumford. On identifie les centres des disques appariés, et l'on marque les centres des autres. En chaque point double \(x\) de \(X'''\), qui correspond à une paire \(\{x_1, x_2\}\) de points de \(X''\), l'anti-isomorphisme des disques donne un élément non nul \[ t_x \in T_{X'',x_1} \otimes_{\mathbb{C}} T_{X'',x_2}, \qquad\text{soit}\qquad t_x \in T^{*}_{X'',x_1} \wedge_{\mathbb{C}^{*}} T^{*}_{X'',x_2}, \] où \(T^{*}\) désigne le \(\mathbb{C}^{*}\)-torseur des vecteurs non nuls. C'est ce qu'il appelle une structure de propagation normale. La correspondance est celle de la page 52 : la donnée d'une paire de disques et d'un anti-isomorphisme de leurs bords équivaut à celle de l'un des deux disques et d'un élément de \(T_{x_1} \otimes T_{x_2}\).⁵³

On obtient ainsi un foncteur. Il va des surfaces holomorphes compactes à bord de type \((g,\nu)\), munies de leurs disques, vers les courbes algébriques complexes stables de type \((g,\nu)\), munies d'une structure de propagation normale en leurs points doubles et d'un système admissible de disques autour de leurs points marqués.⁵⁴ Au niveau des multiplicités modulaires, analytiques réelles, on a sûrement un morphisme \[ \mathrm{MDB}_{g,\nu} \longrightarrow \mathrm{M_{st}ND}_{g,\nu}. \] La source classe les surfaces holomorphes compactes « disquées » à bord de type \((g,\nu)\), le but les courbes stables à propagation normale et à système admissible de disques. Le morphisme est compatible aux flèches vers la catégorie \(\mathrm{mdt}_{g,\nu}\) des types combinatoires : les diagrammes de Mumford–Deligne, que l'on appelle aujourd'hui graphes duaux, pondérés par les genres, avec des structures toriques aux arêtes (d'où le \(t\)).

\begin{tikzcd}
\mathrm{MDB}_{g,\nu} \arrow[rr] \arrow[dr] & & \mathrm{M_{st}ND}_{g,\nu} \arrow[dl] \\
& \mathrm{mdt}_{g,\nu} &
\end{tikzcd}

De même, sans bord, ou avec un bord générique réduit à \(\nu\) points, et sans disques, on aurait un morphisme de multiplicités algébriques complexes \(\mathrm{MD}_{g,\nu} \to \mathrm{M_{st}N}_{g,\nu}\) au-dessus de \(\mathrm{md}_{g,\nu}\), par le même triangle.

Les dimensions se correspondent : réelle, celle de \(\mathbb{C}^{3g-3+\nu} \times \mathbb{R}^{\nu}\) dans le premier cas ; complexe, \(3g - 3 + \nu\) dans le second. Une courbe stable à \(k\) points doubles varie en effet avec \(3g - 3 + \nu - k\) paramètres complexes, auxquels les \(t_x\) ajoutent \(k\) paramètres complexes et les disques \(\nu\) paramètres réels.

Question (page 77). Ces flèches sont-elles des isomorphismes, et comment expliciter un inverse ? Si la détermination conjecturale des systèmes admissibles était correcte, on construirait aisément la flèche inverse. Un \(u_i \in T^{*}_{x'_i} \wedge_{\mathbb{C}^{*}} T^{*}_{x''_i}\) équivaut à un accouplement dualisant \(w_i : T_{x'_i} \otimes T_{x''_i} \to \mathbb{C}\). On choisit un disque \(D'_i\) dans \(T_{x'_i}\), d'où le disque polaire \(D''_i\) dans \(T_{x''_i}\) ; on réalise ces disques dans la normalisée \(X''\), on retire les disques ouverts, et l'on recolle les bords par l'anti-isomorphisme que définit \(w_i\). On obtient une surface à bord \(X\). Les coutures \(\Gamma_i\) ne sont peut-être pas géodésiques — « à examiner de plus près » — mais elles définissent des géodésiques uniques, par les principes de Thurston.

Il faudrait voir que le résultat ne dépend pas du choix des paires mutuellement polaires. L'argument heuristique est de remplacer \(D'_i\) par \(\lambda D'_i\) et \(D''_i\) par \(\lambda^{-1} D''_i\), avec \(\lambda\) voisin de \(1\) : on obtiendrait la même surface \(X\), les \(\Gamma_i\) étant remplacés par des cercles voisins. Il ajoute : « c'est probablement tout à fait faux ! ».⁵⁵

Le cas-clef est \((g,\nu) = (0,4)\) : deux pantalons de Thurston recollés. D'un côté, les pantalons de types combinatoires \(\Sigma' \sqcup \{s\}\) et \(\Sigma'' \sqcup \{t\}\), recollés suivant \(\{s,t\}\), avec les longueurs des quatre bords et de la couture et un angle de torsion \(\theta\) : six paramètres réels. De l'autre, les paires de pantalons généralisés dont les bords \(s\) et \(t\) sont réduits à des points, avec leurs quatre périmètres \(\lambda_i\) et une identification \(\mathbb{C}^{*}\) de paramètre de lissage : six encore.⁵⁶ Une fois ce cas compris, il faudrait, pour un type de diagramme donné, comprendre l'application induite sur les groupes fondamentaux par \(\mathrm{MDB} \to \mathrm{M_{st}N}_{g,\nu}\). Celui du but s'exprime par des groupes de Teichmüller spéciaux, et il « doit en être de même pour le premier ». La page 81, qu'il numérote 15, achève la dernière phrase : il ne devrait pas être bien difficile de vérifier que cette application est étale, en calculant ou en interprétant l'application tangente.⁵⁷

83–88

XI. Modules \(M_{0,4}\) et l'octaèdre (pages 83 à 88)

Soit \(k\) un corps algébriquement clos de caractéristique différente de \(2\), \(I\) un ensemble à quatre éléments et \(J = \mathfrak{P}_{2,2}(I)\) l'ensemble, à trois éléments, de ses partitions en deux paires. Le groupe de Klein \(V(J) \subset \mathfrak{S}_I\), formé de l'identité et des trois doubles transpositions, est un plan vectoriel sur \(\mathbb{F}_2\) dont les trois éléments non nuls correspondent aux éléments de \(J\).⁵⁸ On s'intéresse aux droites projectives \(X\) sur \(k\) munies d'un plongement \(I \hookrightarrow X\).

L'action de \(V(J)\) sur \(I\) se prolonge en une action sur \(X\) : chaque double transposition de quatre points distincts est induite par une unique homographie, puisque le birapport est invariant par le groupe de Klein. On a ainsi \(V(J) \hookrightarrow G_X = \mathrm{Aut}(X)\). Chaque involution non triviale a deux points fixes, et les trois paires sont disjointes : les points fixes forment un ensemble \(S\) de six points. Toutes les actions fidèles d'un plan vectoriel sur \(X\) sont conjuguées, même à base fixée \((e_0, e_1)\), au modèle \[ e_0 \mapsto -z, \qquad e_1 \mapsto 1/z, \qquad e_0 + e_1 \mapsto -1/z, \] de points fixes \(\{0,\infty\}\), \(\{\pm 1\}\), \(\{\pm i\}\). Les sous-groupes de Klein de \(G_X\) correspondent donc aux parties de six points isomorphes à \(\bigl(\mathbb{P}^{1}, \{0,\infty,\pm 1,\pm i\}\bigr)\), les sommets d'un octaèdre. Le normalisateur \(\Gamma\) d'un tel \(V\) est isomorphe à \(\mathfrak{S}_4\) : c'est le groupe octaédral. Si \(V = V(J)\), on a un isomorphisme d'extensions

\begin{tikzcd}[column sep=small]
1 \arrow[r] & V \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & \mathfrak{S}_{I} \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & \operatorname{Aut}(V) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\Vert" description] & 1 \\
1 \arrow[r] & V \arrow[r] & \Gamma \arrow[r] & \operatorname{Aut}(V) \arrow[r] & 1
\end{tikzcd}

défini à un automorphisme intérieur par un élément de \(V\) près.⁵⁹

Les scindages de l'extension \(1 \to V \to \Gamma \to \operatorname{Aut}(V) \to 1\) correspondent aux quatre paires de faces antipodales de l'octaèdre. Les faces sont les parties \(S' \subset S\) à trois éléments telles que \(S' \cup \mathsf{a}(S') = S\), où \(\mathsf{a}\) est l'antipodie qui échange les deux points fixes de chaque involution de \(V\). Le stabilisateur dans \(\Gamma\) d'une paire \(\{S', \mathsf{a}(S')\}\) est un groupe diédral d'ordre \(6\), supplémentaire de \(V\).⁶⁰ Le groupe \(\Gamma\) est le groupe des automorphismes de l'octaèdre combinatoire qui conservent l'orientation ; choisir une orientation revient à choisir une racine carrée de \(-1\), en déclarant directe la face \((0, 1, \sqrt{-1})\). Notant \(\operatorname{Oct}(V)\) l'octaèdre et \(I(V)\) l'ensemble de ses quatre paires de faces antipodales, on a \(\Gamma(V) \simeq \mathfrak{S}_{I(V)}\), et \(V\) agit simplement transitivement sur \(I(V)\), qui devient un \(V\)-torseur.

Proposition (page 85). Soit \(k\) un corps de caractéristique différente de \(2\) où tout élément est un carré, \(X\) une droite projective sur \(k\) et \(G = \mathrm{Aut}_k X\). Il y a des correspondances biunivoques entre :

• a)les sous-groupes \(V\) de \(G\) isomorphes au groupe de Klein ;
• b)les sous-groupes \(\Gamma\) de \(G\) isomorphes à \(\mathfrak{S}_4\) ;
• c)les parties octaédrales \(S \subset X(k)\), isomorphes à \(\bigl(\mathbb{P}^{1}_k, \{0,\infty,\pm 1,\pm i\}\bigr)\).

On passe de l'une à l'autre par \(\Gamma = \operatorname{Nor}_G(V)\) ; par « \(V\) = l'unique sous-groupe distingué de \(\Gamma\) isomorphe au groupe de Klein » ; et par « \(S\) = l'ensemble des points fixes des éléments non triviaux de \(V\) ».⁶¹ L'ensemble des points fixes d'éléments non triviaux de \(\Gamma\) est plus grand : outre les six sommets, il comprend les douze milieux d'arêtes et les huit centres de faces, les orbites exceptionnelles du groupe octaédral. La page 86 caractérise les structures octaédrales sur un ensemble \(S\) de six points muni d'une action de \(V\). Pour chaque \(\sigma \in V\) non trivial, \(S^{\sigma}\) doit avoir deux éléments, \(S\) doit être la réunion, forcément disjointe, des \(S^{\sigma}\), et chaque \(\sigma\) doit échanger les deux points de chacune des deux autres paires. Cela revient à munir \(S\) d'une involution sans point fixe dont les \(S^{\sigma}\) sont les orbites.

Une action fidèle de \(V\) sur \(X\) étant donnée, \(V\) agit librement hors de \(S\), et chaque orbite \(I\) de \(V\) dans \(X \smallsetminus S\) est un \(V\)-torseur, à ne pas confondre avec le torseur \(I(V)\) des paires de faces. Soit \(X(I)\) une droite projective de référence munie d'une action fidèle de \(V(I)\), que la page construit à partir de \(I\).⁶² Pour deux \(V\)-torseurs, on a \(X(T \wedge T') = X(T) \wedge^{V} T'\) (produit contracté). Si \(\mathsf{t}\) est le \(V\)-torseur tel que \(I(V) \simeq I \wedge^{V} \mathsf{t}\), on obtient \[ X \simeq X(I(V)) = X(I) \wedge^{V} \mathsf{t}, \qquad X/V \simeq X(I)/V \simeq \Sigma(J), \] où \(\Sigma(J)\) est une droite projective qui ne dépend que de \(J\).⁶³ Pour \(I\) donné, se donner \(X\) et un plongement \(V \hookrightarrow G_X\) revient à se donner un \(V\)-torseur \(\mathsf{t}\), par \(\mathsf{t} \mapsto X(I) \wedge^{V} \mathsf{t}\). Se donner \((X, I \hookrightarrow X)\) revient à se donner un point \(\xi\) de \(\Sigma(J)^{*}\), le complémentaire des trois points de ramification, et le torseur \(\mathsf{t} = I \wedge X(I)_\xi^{-1}\), de sorte que la fibre \(X_\xi = X(I)_\xi \wedge \mathsf{t}\) soit \(I\).

Théorème (page 88). Soit \(k\) algébriquement clos de caractéristique différente de \(2\). Le groupoïde des couples \((X, I \hookrightarrow X)\), où \(X\) est une droite projective sur \(k\) et \(I\) un ensemble à quatre éléments, est équivalent à celui des couples \((I, \xi)\) avec \(\xi \in \Sigma(J(I))^{*}\). L'équivalence est donnée par \[ X = X(I) \wedge^{V(I)} t(\xi, I), \qquad t(\xi, I) = I \wedge X(I)_\xi^{-1}, \] et \(I \hookrightarrow X\) est la fibre de \(X \to X/V(I) \simeq \Sigma(J)\) au-dessus de \(\xi\).

C'est la description de l'espace des modules \(M_{0,4}\) : une droite projective canoniquement attachée à l'ensemble \(J\) des trois partitions de \(I\), privée de trois points indexés par \(J\). Ces trois points sont les trois dégénérescences stables d'une droite à quatre points, et le groupe \(\mathfrak{S}_4\) agit à travers \(\mathfrak{S}_3 = \mathfrak{S}_J\), le groupe de Klein agissant trivialement.⁶⁴ Si \(I\) a un point marqué, \(X\) s'identifie à \(X(I)\) dès qu'on choisit un point de \(X(I)\) au-dessus de \(\xi\) ; plus généralement, un isomorphisme « admissible » \(X \simeq X(I)\) revient à un \(V\)-isomorphisme \(I \simeq X(I)_\xi\).

90–100

XII. Courbes elliptiques réelles (pages 90 à 100)

La page 90 est datée « Déc 83 ».

90–91

Modules munis d'une involution (pages 90, 91 et 99)

Soit \(k\) un anneau commutatif, et \(M\) un \(k\)-module muni d'un automorphisme \(\sigma\) tel que \(\sigma^{2} = \mathrm{id}\), avec \(M\) \(2\)-régulier : la multiplication par \(2\) y est injective. On pose \[ P = M_{+} = \operatorname{Ker}(1 - \sigma), \qquad Q = M_{-} = \operatorname{Ker}(1 + \sigma). \] On a \(P \cap Q = 0\), par \(2\)-régularité, et \(2x = (x + \sigma x) + (x - \sigma x)\), d'où \[ 2P \oplus 2Q \subset M' = 2M \subset P \oplus Q. \] Donc \(M'\) est l'image réciproque d'un sous-\(k/2k\)-module \(m \subset P/2P \oplus Q/2Q\). De \(2x \in P \Rightarrow x \in P\), on tire \(M' \cap P = 2P\), et de même \(M' \cap Q = 2Q\) ; ainsi \(m\) rencontre trivialement \(p = P/2P\) et \(q = Q/2Q\). C'est donc le graphe d'un isomorphisme entre un sous-module de \(p\) et un sous-module de \(q\). Réciproquement, \((M, \sigma)\) se reconstitue à partir de \((P, Q, m)\) : \(M'\) est l'image réciproque de \(m\), \(\sigma\) y est induite par \(\mathrm{id}_P \oplus (-\mathrm{id}_Q)\), et la multiplication par \(2\) est un isomorphisme de \((M,\sigma)\) sur \((M', \sigma)\).

Proposition. Le foncteur \((M, \sigma) \mapsto (P, Q, m)\) est une équivalence entre la catégorie des modules \(2\)-réguliers à involution et celle des triples formés de deux modules \(2\)-réguliers et d'un sous-module \(m\) de \(P/2P \oplus Q/2Q\) qui rencontre trivialement chacun des deux facteurs.⁶⁵

Corollaire (page 99). Supposons \(k\) principal, \(2\)-régulier, avec \(k_0 = k/2k\) un corps, et \(M\) libre de rang \(2\) avec \(\sigma \neq \pm 1\). Alors \(P\) et \(Q\) sont libres de rang \(1\), et \(m\) est soit nul, soit une droite de \(p \oplus q\) distincte de \(p\) et de \(q\). Si \(k^{*} \to k_0^{*}\) est surjectif, on peut la ramener à la diagonale. Il y a donc exactement deux classes de conjugaison d'éléments d'ordre \(2\) de \(\mathrm{GL}_2(k)\) distincts de \(\pm 1\) : \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad (m = 0), \qquad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad (m \text{ diagonale}). \] La seconde s'obtient avec \(M' = \{(x,y) \in k^{2} \mid x - y \in 2k\}\), dans la base \(u_0 = (2, 0)\), \(v_1 = (1,1)\), où \(\sigma u_0 = u_0\) et \(\sigma v_1 = u_0 - v_1\). Pour \(k = \mathbb{Z}\), c'est la réflexion d'un réseau hexagonal par rapport à la droite d'un sommet \(u\), dans la base de deux sommets consécutifs \(u, v\). Plus généralement, si \(u_{+}\) et \(u_{-}\) sont des bases de \(\Pi_{+}\) et \(\Pi_{-}\), le réseau \(\Pi\) est \(\mathbb{Z}u_{+} + \mathbb{Z}u_{-}\) dans le premier cas ; dans le second, c'est l'ensemble des \(x u_{+} + y u_{-}\) avec \(x, y \in \frac12\mathbb{Z}\) et \(x - y \in \mathbb{Z}\).

92–92

Deux familles (page 92)

Une courbe elliptique réelle équivaut à un système \((\Pi, \sigma, c)\) : \(\Pi\) est un \(\mathbb{Z}\)-module libre de rang \(2\), \(c\) une structure conforme orientée sur \(\Pi_{\mathbb{R}} = \Pi \otimes \mathbb{R}\), et \(\sigma\) une involution de \(\Pi\) qui conserve la structure conforme et renverse l'orientation. En effet, la structure conforme orientée fait de \(\Pi_{\mathbb{R}}\) une droite complexe, la courbe est \(\Pi_{\mathbb{R}}/\Pi\), et \(\sigma\) en est la conjugaison. Pour le couple \((\Pi, \sigma)\), il y a deux possibilités à isomorphisme près : les deux classes du corollaire, qui sont isogènes. Une structure conforme invariante par \(\sigma\) rend orthogonales les droites propres \(\Pi_{+} \otimes \mathbb{R}\) et \(\Pi_{-} \otimes \mathbb{R}\). On la normalise par \(Q(e_{+}) = 1\), où \(e_{\pm}\) engendre \(\Pi_{\pm}\) : \[ Q(x e_{+} + y e_{-}) = x^{2} + a y^{2}, \qquad a \in \mathbb{R}^{*}_{+}. \] D'où deux familles de courbes elliptiques réelles, \(E_a\) (où \(\Pi = \Pi_{+} \oplus \Pi_{-}\)) et \(E'_a\) (où \(\Pi_{+} \oplus \Pi_{-}\) est d'indice \(2\) dans \(\Pi\)). Les automorphismes d'une courbe elliptique réelle sont \(\pm 1\).⁶⁶

93–97

Les structures réelles d'une courbe complexe donnée (pages 93 à 97)

Soit \(X = V/\Pi\) une courbe elliptique complexe. Ses structures réelles, en tant que courbe elliptique, correspondent aux droites réelles de \(V\) telles que la réflexion orthogonale par rapport à elles conserve \(\Pi\). Soit \(G\) le groupe des isométries de \(\Pi\) pour la structure conforme, et \(G^{+} = \mathrm{Aut}(X)\), cyclique d'ordre \(n \in \{2,4,6\}\). \(X\) admet une structure réelle si et seulement si \(\det : G \to \{\pm 1\}\) est surjectif.⁶⁷ Alors \(G\) est diédral d'ordre \(2n\), et les structures réelles sont les éléments de \(G^{-}\), qui est un torseur sous \(G^{+}\). Deux structures réelles sont isomorphes si elles sont conjuguées par \(G^{+}\), qui agit à travers \(G^{+}/\pm 1\). Il y a toujours exactement deux orbites.

• Pour \(n = 2\) (cas non harmonique), \(G^{+} = \{\pm 1\}\) est central et les deux orbites sont \(\{\sigma\}\) et \(\{-\sigma\}\).
• Pour \(n = 4\) et \(n = 6\), ce sont les réflexions par rapport aux sommets et par rapport aux côtés du polygone fondamental, carré ou hexagone.

Proposition (page 94). Une courbe elliptique complexe à invariant \(j\) réel a exactement deux structures réelles non isomorphes.⁶⁸

La page 94 présume ensuite que l'une des deux orbites est formée de structures \(E_a\) et l'autre de structures \(E'_a\), avec le même \(a\). La suite du calcul la contredit. Le passage de \(\sigma\) à \(-\sigma\) échange \(\Pi_{+}\) et \(\Pi_{-}\), conserve le type (\(E\) ou \(E'\)), et donne \[ a(-\sigma) = \frac{1}{a(\sigma)}, \qquad a(\sigma) = \frac{Q(e_{-})}{Q(e_{+})}, \] de sorte que \(a(-\sigma) = a(\sigma)\) si et seulement si \(a = 1\), le cas carré. Dans le cas carré (\(n = 4\)), avec \(e_0, e_1\) orthonormés dirigés vers deux sommets, la réflexion par rapport à \(\mathbb{R}e_0\) est du type \(E_1\) (« sommets »). Celle qui échange \(e_0\) et \(e_1\) a pour invariants et anti-invariants \(e_0 + e_1\) et \(e_0 - e_1\), qui engendrent un sous-réseau d'indice \(2\) : elle est du type \(E'_1\) (« côtés »). Dans le cas hexagonal (\(n = 6\)), avec \(u, v\) deux sommets consécutifs, la réflexion par rapport à \(\mathbb{R}u\) a pour invariants \(\mathbb{Z}u\) et pour anti-invariants \(\mathbb{Z}(2v - u)\), d'indice \(2\) : elle est du type \(E'_a\) avec \[ a = \frac{Q(2v - u)}{Q(u)} = 3, \] et \(-\sigma\) donne \(E'_{1/3}\).⁶⁹

En résumé (page 97). Sauf dans le cas carré, les deux structures réelles de \(X\) sont soit \(\{E_a, E_{1/a}\}\), soit \(\{E'_a, E'_{1/a}\}\), avec \(a > 1\) ; le cas hexagonal est \(\{E'_3, E'_{1/3}\}\). Dans le cas carré, elles sont \(\{E_1, E'_1\}\). Le lien avec l'invariant modulaire reste une question en marge (« \(j = \frac12 \log a\) ? ») ; l'invariant est \(j(\tau)\), avec le \(\tau\) de la page 98, et il est réel sur les deux familles. La page 95 est un feuillet de dessins : des sphères découpées par des arcs de grands cercles.

98–100

Période, points réels, torseurs (pages 98 à 100)

Pour \(E_a\), une base orthonormée est \((e_0, e_1/\sqrt a)\), d'où la période \(\tau = \sqrt{a}\, i\). Pour \(E'_a\), on prend \(e_0 = u\) et \(e_1 = 2v - u\), avec \(v = \frac12(e_0 + e_1)\), d'où \[ \tau = \tfrac12\bigl(1 + \sqrt{a}\, i\bigr). \]

Les points réels sont les \(x \bmod \Pi\), \(x \in \Pi_{\mathbb{R}}\), tels que \(\sigma x \equiv x \pmod{\Pi}\). Pour \(E_a\), \(\sigma(x,y) = (x,-y)\), et \(\sigma(x,y) - (x,y) = (0, -2y) \in \Pi\) équivaut à \(y \in \frac12\mathbb{Z}\) : \(X(\mathbb{R})\) a deux composantes, les images de \(\mathbb{R}e_0\) et de \(\frac12 e_1 + \mathbb{R}e_0\).⁷⁰ Pour \(E'_a\), avec \(\sigma u = u\) et \(\sigma v = u - v\), on a \(\sigma(xu + yv) - (xu + yv) = y(u - 2v)\), qui est dans \(\Pi\) si et seulement si \(y \in \mathbb{Z}\) : \(X(\mathbb{R})\) est connexe. Ainsi \(E_a\) correspond, par la section IV, à un anneau (quotient de \(X(\mathbb{C})\) par \(\sigma\)), et \(E'_a\) à un ruban de Möbius.

Reste, dit la page 100 sous une date possible « 9.2. », à classer les courbes elliptiques réelles inhomogènes : les torseurs \(X\) sur \(\operatorname{Spec}\mathbb{R}\) sous les schémas en groupes \(E_a\) et \(E'_a\). Soit \(\gamma = \mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})\). La suite exacte de \(\gamma\)-modules \(0 \to \Pi \to V \to E(\mathbb{C}) \to 0\), où \(V\), espace vectoriel réel, a une cohomologie nulle en degrés positifs, donne \[ H^{1}(\mathbb{R}, E) = H^{1}(\gamma, E(\mathbb{C})) \simeq H^{2}(\gamma, \Pi) \simeq \Pi^{\gamma}/(1 + \sigma)\Pi . \] Pour \(E_a\), \(\Pi = \Pi_{+} \oplus \Pi_{-}\) et \(H^{2}(\gamma, \Pi) = H^{2}(\gamma, \Pi_{+}) \oplus H^{2}(\gamma, \Pi_{-}) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus 0\) : il y a exactement une classe non nulle. Pour \(E'_a\), \(\Pi^{\gamma} = \mathbb{Z}u = (1 + \sigma)\Pi\) (car \((1 + \sigma)v = u\)), et \(H^{1}(\mathbb{R}, E'_a) = 0\). Les seules courbes elliptiques réelles vraiment inhomogènes sont donc les torseurs non triviaux \(E_a^{!}\) sous \(E_a\), à un paramètre \(a \in \mathbb{R}^{*}_{+}\). Un torseur non trivial n'a pas de point réel. Le quotient de ses points complexes par la conjugaison est donc une surface conforme non orientable de genre \(1\) sans bord, une bouteille de Klein : ce sont les surfaces \(b)\) de la page 27.⁷¹

Ensemble, les sections IV et XII achèvent le tableau des surfaces conformes de genre \(1\) : tores, bouteilles de Klein, anneaux et rubans de Möbius, chacun avec sa métrique plate canonique.