Cote n° 66 · batch 1 · pages 1–4 · Transcription · Problèmes : notes manuscrites (1964)
Datation de l’inventaire : 1964
Édition de démonstration

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En haut à gauche, encadré : 1964.

En haut à droite : Numéros cerclés sont sans doute difficiles.

Travaux de thèses

sous le titre, un sous-titre a été rayé au point d'être illisible : […]

(NB Les sujets 1 à 10 et 20, 21, [26, 27, 28] sont de nature essentiellement cohomologique. 10, 19, 23, 24, 25 relèvent de la théorie des intersections ; 11, 12, 13 se rattachent à la th. de Néron. 14, 15, 22 th. des topos… 17, 18 yoga de représentabilité, formalisme général […])

\(*\) [Relation avec cohomologie cristalline]

les numéros que Grothendieck a entourés sont donnés ici entre parenthèses, sous la forme (7) ; ce sont ceux qu'annonce la ligne de tête

  1. [1)] Topologie et cohomologies […] fppf : formalisme général […]
  2. [(2)] (la ligne est laissée vide, un simple trait horizontal la tient) : dualité (\underline{locale}, globale). [subordonné à 1), 11)]
  3. [(3)] Partie \(p\)-primaire dans formule de Ogg–Chafarevitch [subordonné à 2)) donc à 1) et 11)]
  4. [(4)] Formule de RR en cohomologie étale, coeff. discrets. Relation avec représentations d'Artin supérieures. [Formule des \(\chi\) pour revêtement étale d'un schéma propre…]
  5. [5)] Formule des \(\chi\) pour V.A. avec anneau d'opérateurs (variante de Ogg–Chafarevitch).
  6. [6)] Formules de Lefschetz explicites (coeff. discrets étales, ou « continus » cohérents). Représentations d'Artin du point de vue cohérent…
  7. [(7)] Cohomologie des schémas de type fini sur \(\mathbb{Z}\) ; théorèmes de dualité globale satisfaisants (améliorant Artin).
  8. [(8)] Formalisme de dualité, du point de vue complexes [opérateurs] différentiels. Coefficients à connexion intégrable… Lien avec « cristaux ».
  9. [(9)] Dualité analytique…
  10. [(10)] Riemann–Roch et pb problèmes connexes (faisceaux de Modules), analytiques ou algébriques. (Cf. SGA 6)
  11. [(11)] Structures et groupes de la catégorie des schémas normaux. Foncteur de Néron relatif à un anneau de val. discrète.

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  1. [12)] Mise au point, et extensions diverses, de la théorie des modèles de Néron. commencé par Raynaud
  2. [(13)] Théorèmes asymptotiques pour les foncteurs de Greenberg, relatifs à un anneau local noethérien complet ou hensélien. […] depuis les résultats d'approximation d'Artin
  3. [14)] Structures des Topos (questions d'existence de foncteurs fibres…). Structure des champs. champs représentables…
  4. [(15)] Théories du type d'homotopie des Topos, incluant une définition des \(\pi_{i}\) à coefficients morceaux infinitésimaux. Th. d'Hurewicz. Suites exactes d'homotopie. Th. de comparaison, [« livrai »] […] fait partiellement par M. Artin. Réflexions de Quillen — en train
  5. [(16)] Théorie de spécialisation du [gr.] gr. p. fondamental, pour une famille de courbes. contre-exemple de Artin, schéma […]
  6. [17)] Séparation des foncteurs : classes de correspondance… Cas de représentabilité et de non-représentabilité du \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\), \(X\) de dim. […] relative 1 sur \(S\). résolu par Raynaud
  7. [(18)] Question des passages aux quotients dans cas arbitraires et de l'effectivité de données de descente plates. Construction générale de corps de […]
  8. [(19)] Théorie d'amplitude pour cycles de dim. quelconque.

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  1. [(20)] Vanishing theorems. Cas des espaces homogènes.
  2. [(21)] \(H^{*}(X, F) \to H^{*}(X_{0}, F_{0})\) (\(X_{0}\) fermé dans \(X\) [coh. étale], quand est-ce un isom ? Suffit-il que ce soit vrai en dim 0 ? Cas \(X = \mathrm{Spec}\,A\), \(X_{0} = \mathrm{Spec}\,A/J\), \(A\) \(J\)-adiquement séparé complet. Cas de la localisation étale le long de \(X_{0} \subset X\), \(X\) affine.
  3. [22)] Structure des catégories abéliennes avec produit tensoriel \(\pm\) rigide, en termes de représentations linéaires de groupes proalgébriques, et de représentations de gerbes… (préliminaire algébrique à la théorie des motifs). travail Saavedra en train

c'est le programme tannakien : la thèse de Saavedra Rivano, Catégories tannakiennes, est ici notée en cours

Encadré : Pour mémoire

Une accolade réunit ces deux lignes et deux flèches en partent : \(\Rightarrow\) dualité locale \(=\) bidualité, pour le top. étale ; \(\Rightarrow\) th. de finitude pour morphismes [de type fini] etc. etc.

Changement de base régulier [en cohomologie].

Dimension cohomologique des morphismes affines.

Questions dans SGA 1962

  1. [23)] Théorie de Chow pour schémas réguliers ayant un faisceau inversible ample (équivalence rationnelle des cycles). L'image inverse par \(f : X \to Y\) doit être définie, sous seule condition que \(Y\) soit régulier.
  2. [(24)] 1\textsuperscript{o} Sur une variété projective lisse connexe de dim […] sur \(k\) corps algébriquement clos, un 1-cycle num. équiv. à 0 est-il […] équivalent à zéro ? En dim […], quand […] équiv. num. \(\approx\) équiv. hom. ? Réponse négative Griffiths pour […]

les deux dernières lignes de la page courent jusqu'au bord inférieur du cliché et n'y sont plus qu'en partie lisibles ; ce qui manque est signalé et non restitué

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  1. [(25)] Le produit de deux cycles alg. équiv. à 0 est-il rat. équiv. à 0 ? (« Pb des courbes »). Un 0-cycle qui est alg. équiv. à 0 est-il rationnellement équivalent à 0 ? Question de l'équivalence rationnelle des 0-cycles sur une surface. faux, cf Mumford…
  2. [26] Théorie de Rosenlicht relative (sur base quelconque).
  3. [27] Adèles des schémas de dim. quelconque. Jacobiennes locales.
  4. [(28)] Construction d'une théorie abstraite des motifs sur préschémas de type fini sur \(\mathbb{Z}\) (construction catégorique générale).

la liste s'arrête à 28 et le reste de la page est vierge