Cote n° 66 · pages 1–4 · Lecture modernisée · Problèmes : notes manuscrites (1964) — lecture modernisée du dossier entier
Datation de l’inventaire : 1964
Édition de démonstration — interprétation personnelle de l'œuvre

Résumé

Quatre pages, datées 1964 de sa main — ce qui est rare dans ce fonds, où presque toutes les dates sont des déductions d'archiviste — et qui portent une liste numérotée de vingt-huit sujets de thèse.

Ce n'est pas un programme de recherche au sens où l'on entend d'ordinaire ce mot. C'est une liste de travaux à distribuer : vingt-huit questions qu'un directeur juge assez mûres pour qu'un jeune mathématicien puisse s'y installer trois ans, assez ouvertes pour qu'il y trouve quelque chose à lui. Grothendieck prend soin de dire lesquelles sont dures — il entoure leur numéro et l'annonce en tête de page — et de dire de quoi chacune relève : la cohomologie pour les dix premières, la théorie des intersections pour cinq d'entre elles, la théorie de Néron pour trois, les topos pour trois autres.

L'intérêt de ces pages n'est donc pas dans une démonstration : il n'y en a aucune. Il est dans ce qu'une liste de sujets révèle et qu'un article ne révèle jamais — l'état d'un domaine vu par celui qui l'organise, à un moment donné, avec les proportions qu'il lui donne. On y voit ce qui est tenu pour acquis (assez pour qu'on puisse bâtir dessus), ce qui est tenu pour accessible (assez pour qu'on l'attribue à un débutant), et ce qui est tenu pour hors de portée. On y voit surtout la répartition : combien de forces vers la cohomologie étale, combien vers les cycles, combien vers ce qui n'a pas encore de nom.

Et l'on y voit une chose que la liste ne prévoyait pas. Les marges de gauche sont annotées plus tard, dans une autre encre, et ces annotations disent ce qu'est devenu chaque sujet : qui l'a pris, ce qui a été abandonné, ce qui a été résolu. Deux de ces notes sont d'une brièveté saisissante. En face du sujet 22 — structure des catégories abéliennes à produit tensoriel rigide, « préliminaire algébrique à la théorie des motifs » — il a écrit travail Saavedra en train. En face du sujet 25, qui demande si un 0-cycle algébriquement équivalent à zéro sur une surface est rationnellement équivalent à zéro, il a écrit faux, cf Mumford. La liste enregistre ainsi, sur la même feuille, la question et la réponse : à quelques années de distance, et sans commentaire.

Ce qui suit reprend les vingt-huit sujets dans l'ordre de la page, en donnant à chacun le nom sous lequel on le chercherait aujourd'hui.

Keywords — Ogg-Shafarevich formula, tannakian categories, Néron model, rational equivalence of zero-cycles, standard conjectures, motives

1–1

Ce que la page annonce d'elle-même

Trois indications ouvrent la liste et gouvernent sa lecture.

D'abord la date, 1964, encadrée en haut à gauche. Elle est de sa main, et c'est le seul renseignement de ce dossier qui ne soit pas une reconstitution.

Ensuite une convention : les numéros cerclés sont sans doute difficiles. Quinze des vingt-huit sujets portent ce cercle.1 La difficulté est donc déclarée, non pas laissée à deviner — ce qui, dans une liste destinée à être distribuée, est une information de premier ordre.

Enfin une classification, donnée entre parenthèses, qui répartit les sujets par domaine :

Le sujet 10 figure dans deux classes, ce qui n'est pas une inadvertance : il porte sur Riemann–Roch, qui est précisément où la cohomologie et les intersections se rencontrent. Une note marginale, isolée en haut de page, ajoute une cinquième entrée : relation avec cohomologie cristalline.

1–1

Cohomologie (sujets 1 à 10)

Le premier bloc porte sur ce que la topologie fppf et la topologie étale peuvent recevoir de la cohomologie classique.2 Les sujets 1 à 3 sont explicitement liés : le 2 est marqué subordonné à 1) et 11), et le 3 subordonné à 2), donc à 1) et 11). Le sujet 2 est d'ailleurs le seul de la liste dont la ligne soit restée vide : le numéro et la dépendance sont écrits, l'énoncé ne l'est pas.

Les sujets 3 à 6 tournent autour d'une même formule, celle qui calcule la caractéristique d'Euler–Poincaré d'un faisceau constructible sur une courbe en fonction de son rang et de ses conducteurs de Swan — ce qu'on appelle aujourd'hui la formule de Grothendieck–Ogg–Shafarevich.3 Le sujet 3 en demande la partie \(p\)-primaire, celle que la formule laisse hors de portée en caractéristique \(p\) ; le 4 en demande l'analogue en cohomologie étale à coefficients discrets, avec les représentations d'Artin supérieures ; le 5 une variante pour les variétés abéliennes munies d'un anneau d'opérateurs.

Le sujet 6 demande des formules de Lefschetz explicites, et le 7 — porté difficile — la cohomologie des schémas de type fini sur \(\mathbb{Z}\) avec des théorèmes de dualité globale « satisfaisants, améliorant Artin ». C'est la dualité arithmétique globale ; le jugement porté sur l'état de l'art est de la page.

Les sujets 8 et 9 portent sur le formalisme de dualité du point de vue des opérateurs différentiels et des coefficients à connexion intégrable, avec un lien explicite aux « cristaux » — le mot est de lui, dans son sens de 1964 — puis sur la dualité analytique. Le sujet 10 est Riemann–Roch et les problèmes connexes pour les faisceaux de modules, avec un renvoi qui se lit SGA 6.4

2–2

Théorie de Néron et théorie des topos (sujets 11 à 16)

Le sujet 11 demande le foncteur de Néron relatif à un anneau de valuation discrète, et le 12 « la mise au point, et extensions diverses, de la théorie des modèles de Néron ». La marge porte : commencé par Raynaud.

Le sujet 13 — difficile — porte sur des théorèmes asymptotiques pour les foncteurs de Greenberg au-dessus d'un anneau local noethérien complet ou hensélien. Sa marge est la plus intéressante de cette page : elle renvoie aux résultats d'approximation d'Artin.5

Les sujets 14 et 15 sont les deux sujets « topos » proprement dits. Le 14 demande la structure des topos — questions d'existence de foncteurs fibres — et celle des champs, avec les champs représentables. Le 15, porté difficile, demande une théorie du type d'homotopie des topos : une définition des \(\pi_{i}\), un théorème de Hurewicz, des suites exactes d'homotopie, un théorème de comparaison. Sa marge dit : fait partiellement par M. Artin. Réflexions de Quillen — en train.6

Le sujet 16 demande une théorie de spécialisation du groupe fondamental pour une famille de courbes, et sa marge signale un contre-exemple de Artin.

2–2

Représentabilité et amplitude (sujets 17 à 19)

Le sujet 17 demande les cas de représentabilité et de non-représentabilité du foncteur de Picard \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\) pour \(X\) de dimension relative 1 sur \(S\). Sa marge porte deux mots : résolu par Raynaud.

Le sujet 18, difficile, porte sur les passages au quotient dans des cas arbitraires et sur l'effectivité des données de descente plates — deux questions qui sont, pour la théorie des champs algébriques, la difficulté centrale. Le 19 demande une théorie de l'amplitude pour les cycles de dimension quelconque.

3–3

Un encadré : « Pour mémoire »

Au milieu de la troisième page, un encadré interrompt la liste et note ce qui, n'étant pas un sujet de thèse, doit tout de même figurer. Deux entrées y sont marquées d'un signe et reliées par une accolade d'où partent deux implications :

Cet encadré est le seul endroit de la liste où Grothendieck écrive des implications plutôt que des questions : ce sont les énoncés dont il sait ce qu'ils donneraient, et dont il ne sait pas s'ils sont vrais.

3–4

Théorie des intersections (sujets 23 à 25)

Un titre — Questions dans SGA 1962 — ouvre le dernier bloc.

Le sujet 23 demande une théorie de Chow, c'est-à-dire une théorie de l'équivalence rationnelle des cycles, pour les schémas munis d'un faisceau inversible ample, avec cette exigence précise : que l'image inverse par \(f : X \to Y\) soit définie sous la seule hypothèse que \(Y\) soit régulier.7

Le sujet 24, difficile, demande si sur une variété projective lisse connexe sur un corps algébriquement clos un 1-cycle numériquement équivalent à zéro l'est aussi pour une équivalence plus fine, et en quelle dimension l'équivalence numérique coïncide avec l'équivalence homologique.8 La question de savoir où l'équivalence numérique et l'équivalence homologique se confondent est l'une des conjectures standard.

Le sujet 25, difficile, demande si le produit de deux cycles algébriquement équivalents à zéro est rationnellement équivalent à zéro, puis, en particulier, si un 0-cycle algébriquement équivalent à zéro sur une surface est rationnellement équivalent à zéro. La marge porte trois mots : faux, cf Mumford.9

4–4

Les quatre derniers (sujets 26 à 28)

Le sujet 26 demande une théorie de Rosenlicht relative, sur base quelconque ; le 27, les adèles des schémas de dimension quelconque et les jacobiennes locales. Le 28, difficile, ferme la liste :

Construction d'une théorie abstraite des motifs sur préschémas de type fini sur \(\mathbb{Z}\) (construction catégorique générale).

C'est, avec le sujet 22, le second endroit où la liste nomme les motifs. Les deux se répondent : le 22 demande l'algèbre — la structure des catégories abéliennes à produit tensoriel rigide, en termes de représentations de groupes proalgébriques et de gerbes, explicitement présenté comme préliminaire algébrique à la théorie des motifs — et le 28 demande la construction elle-même. Le premier porte en marge travail Saavedra en train.10

Le reste de la page est vierge.

Notes

  1. Le décompte est le nôtre : la page ne totalise pas. Sur quelques numéros le cercle est tracé légèrement et le relevé n'est pas absolument sûr ; la transcription les donne tels qu'ils se lisent. ↩
  2. Le sujet 1 est écrit très vite et un mot y est illisible ; la transcription le signale. Le contexte — « formalisme général », suivi immédiatement de « dualité (locale, globale) » — ne laisse guère de doute sur ce dont il s'agit, mais la restitution est la nôtre. ↩
  3. La page écrit « Ogg–Chafarevitch », transcription française du nom russe. Elle ne nomme pas Grothendieck lui-même dans la formule, ce qui n'est pas un oubli : le nom à trois termes est postérieur et n'est pas le sien. ↩
  4. Le sigle est peu lisible et la transcription le marque comme incertain. S'il est bien SGA 6, il est remarquable : le séminaire Riemann–Roch a eu lieu en 1966–1967, soit après la date portée sur ces pages, et la mention serait alors une annotation postérieure comme celles des marges. On ne tranche pas. ↩
  5. Le premier mot de cette note est illisible et la transcription le laisse en blanc ; on ne sait donc pas si la note dit que le sujet est simplifié par ces résultats, ou dépassé par eux, ou seulement à reprendre à leur lumière. Le théorème d'approximation d'Artin date de 1968-1969, ce qui donne à cette annotation un terminus post quem et confirme que les marges ont été écrites bien après la liste. ↩
  6. Le nom est abrégé et la transcription le donne comme incertain ; il peut se lire « M. Artin » ou « Mme Artin ». Le sujet lui-même — l'homotopie étale — est celui sur lequel Michael Artin et Barry Mazur travaillaient à cette période, ce qui rend la première lecture plus vraisemblable, mais la page ne le dit pas et cette édition ne le décide pas. ↩
  7. Sur la page, le mot « réguliers » qualifiant les schémas est barré, et c'est la régularité de \(Y\) seule qui subsiste dans l'exigence. La distinction est celle qui gouverne aujourd'hui la construction des pullbacks raffinés en théorie de l'intersection. ↩
  8. Les deux dernières lignes de cette page courent jusqu'au bord du cliché et les dimensions annoncées n'y sont plus lisibles ; la transcription les laisse en blanc et l'énoncé donné ici est en conséquence plus général que celui de la page. La marge, également coupée, porte : réponse négative Griffiths pour… ↩
  9. L'annotation ne donne ni titre ni date. Elle est conforme à ce qui est établi depuis — la réponse à cette question est négative, et le groupe de Chow des 0-cycles d'une surface de genre géométrique non nul n'est pas de dimension finie — mais l'identification précise de la référence est la nôtre, non celle de la page. ↩
  10. C'est le programme tannakien. Le rapprochement entre l'énoncé du sujet 22 et ce qu'on appelle aujourd'hui catégorie tannakienne est immédiat et n'a rien de conjectural : « catégorie abélienne à produit tensoriel rigide » et « représentations d'un groupe proalgébrique » sont les deux termes de l'équivalence. Ce que l'annotation marginale établit, en revanche, est plus précis et plus rare : que le sujet était, à la date où elle a été portée, confié et en cours. ↩