Fonds Grothendieck, cote n° 64, pages 141–156

\cdot Une courbe elliptique E sur \mathbb{C} est déterminée par (1)\quad \begin{cases} \text{a) « réseau » } H,\ \mathbb{Z}\text{-module libre de rang } 2 \\ \quad \bigl(H = \pi_1(E, o_E) \simeq H_1(E,\mathbb{Z}) = H^1(E,\mathbb{Z})^{\vee}\bigr) \\ \text{b) Une structure complexe sur } V = H \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} \ (\simeq t_E, \text{ espace tangent à l'origine de } E). \end{cases} à la fin de la ligne a), un court groupe biffé (), et un signe biffé entre H \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} et « (\simeq t_E ».

La donnée a) permet de reconstituer E comme groupe de Lie réel par (2)\qquad E \simeq H \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} / H et la donnée b) redonne la structure complexe sur E, par passage au quotient.

Quand on est sur une base S, espace \mathbb{C}-analytique, la donnée a) correspond : à un système local \mathcal{H} sur S — faisceau en \mathbb{Z}-modules loc. libres de rang 2 sur S, d'où un fibré vectoriel \mathbb{R}-analytique \mathcal{H} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} sur S. La structure b) correspond à une structure complexe ~~sur~~ de ce dernier, en disant que fibré vectoriel complexe de rang 1, de façon que les sections locales de \mathcal{H} deviennent des sections analytiques complexes. Si z_1, z_2 sont deux sections de \mathcal{H} formant

une base de \mathcal{H} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} (fibre par fibre sur \mathbb{R}), la donnée d'une telle structure complexe équivaut à la donnée de (3)\qquad \tau = z_2 / z_1 une section du faisceau structural \mathcal{O}_S. (NB . Pour une structure complexe donnée sur \mathcal{H} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}, z_1 et z_2 sont deux sections-base des faisceaux inversibles , et \tau est la section de \mathcal{O}_S qui fait passer de l'une à l'autre : (3\,\mathrm{bis})\qquad z_2 = \tau z_1 . Noter que \forall s \in S, \tau(s) \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}

Une structure de Torelli sur une famille de courbes elliptiques relative E sur S (fournissant \mathcal{H} sur S + structure complexe sur \mathcal{H} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}) est la donnée d'un isomorphisme (4)\qquad t : \mathbb{Z}_S^2 \xrightarrow{\;\sim\;} \mathcal{H}, ce qui revient à la donnée de deux sections z_1, z_2 de \mathcal{H}, ~~distinguées~~ formant une base de \mathcal{H} en ch. fibre. La catégorie des courbes elliptiques relatives sur S, avec structure de Torelli, est « rigide » (pas d'automorphisme \neq \mathrm{id} d'un objet) et l'ens. des

classes d'isomorphie d'objets d'icelle est en corr. biunivoque canonique avec l'ens. des applications holomorphes (5)\qquad \tau : S \longrightarrow \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} . On dit qu'une structure de Torelli est « directe » — « stricte » si pour \forall s \in S, la base z_1, z_2 de \mathcal{H}_s \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} ~~correspond~~ définit l'orientation de cet espace correspondant à sa structure complexe, i.e. si (5) une application (6)\qquad \tau : S \longrightarrow \mathfrak{D}^+ = \{ z \in \mathbb{C} \mid \Im z > 0 \}. Donc \mathfrak{D}^+ apparaît comme l'espace analytique modulaire pour la structure « courbe elliptique relative + str. de Torelli stricte sur espace analytique variable », la famille modulaire étant donnée par (7)\qquad \mathfrak{X}_{\mathfrak{D}^+} = (\mathfrak{D}^+ \times \mathbb{C}) / \mathbb{Z}^2 où \mathbb{Z}^2 opère sur \mathfrak{D}^+ \times \mathbb{C} par (8)\qquad T_{m,n}(\tau, z) = (\tau,\, z + m + n\tau), \qquad \tau \in \mathfrak{D}^+,\ z \in \mathbb{C} . On voit que l'on a (8)\qquad (\mathfrak{X}_{\mathfrak{D}^+})_\tau \simeq \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \mathbb{Z}.\tau) \simeq \mathbb{C}^* / \text{sous-groupe engendré par } k = \exp(2i\pi\tau) (on trouve bien |k| < 1). le numéro (8) est porté deux fois sur la page. Devant T_{m,n}, un petit groupe biffé.

Sur l'ens. des ~~structures~~ classes d'isomorphie de structures de Torelli directes, le groupe (9)\qquad \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \;\middle|\; \begin{array}{l} a,b,c,d \in \mathbb{Z} \\ ad - bc = 1 \end{array} \right\} opère à droite, par t \longmapsto t \circ g , on va expliciter cette opération, en tant qu'opération sur \mathfrak{D}^+, et sur \mathfrak{X}_{\mathfrak{D}^+} (ce qui une opération de \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) sur la situation modulaire).

On voit que : une structure de Torelli (E, (z_1, z_2)), g amène la structure (E, (z'_1, z'_2)), avec \begin{aligned} z'_1 &= a z_1 + c z_2 \\ z'_2 &= b z_1 + d z_2 \end{aligned} d'où, si \tau, \tau' sont les invariants correspondants — \tau = z_2/z_1, \tau' = z'_2/z'_1 ; la formule (10)\qquad \tau' = \frac{d\tau + b}{c\tau + a} \qquad \left(\tau' = \tau \circ g,\ g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right) Si on remplace l'opération à droite par l'opération à gauche par g correspondante, t \longmapsto t \circ g^{-1}, \tau \longmapsto \tau \circ g^{-1}, on trouve, le c du dénominateur de (10) est écrit par-dessus une autre lettre.

Au niveau de la famille modulaire, l'opération t \longmapsto t \circ g se calcule qui correspond : explicitement, si on a \begin{aligned} E_\tau &= \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau), \\ E_{\tau\circ g} &= \mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau') \qquad \tau' = \tau \circ g = \frac{d\tau + b}{c\tau + a} \end{aligned} on note que l'on a une application \mathbb{C}-linéaire \mathbb{C} \to \mathbb{C}, qui transforme \mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau en \mathbb{Z} + \mathbb{Z}\tau', qui est la multiplication par \lambda \bigl(= z_1/z'_1 = \dfrac{z_1}{a z_1 + c z_2} = \dfrac{1}{a + c\tau}\bigr),

\begin{tikzcd} \mathbb{C} \arrow[r, "\sim"] \arrow[d, "2"'] & t_E \arrow[d, no head, "\Vert" description] \\ \mathbb{C} \arrow[r] & t_E \end{tikzcd}

schéma redessiné. Au-dessus de la flèche du haut : \lambda \mapsto \lambda z_1 ; 1 \mapsto z_1, \tau \mapsto z_2. Au-dessous de celle du bas : \lambda \mapsto \lambda z'_1 ; 1 \mapsto z'_1, \tau' \mapsto z'_2. À gauche de la flèche verticale : \lambda \mapsto \lambda \frac{z_1}{z'_1} ; le « 2 » qui l'étiquette est lu tel quel. La flèche de droite est une égalité. En travers du schéma, de biais : « NB on a 1 = a\xi + c\xi\tau, \tau' = b\xi + d\xi\tau », la lettre notée \xi n'étant pas sûre.

et par passage au quotient il en résulte E_{\tau} \xrightarrow{\;\sim\;} E_{\tau\circ g} . Remplaçant g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} par \tau_\infty(g^{-1}) = \begin{pmatrix} d & b \\ c & a \end{pmatrix}, on trouve E_\tau \xrightarrow{\;\sim\;} E_{\tau'} \qquad \tau' = \tau \circ \tau_\infty(g^{-1}) = \frac{a\tau + b}{c\tau + d} après E_{\tau'}, un « = \ldots » est biffé. réduit par multiplication par (c\tau + d)^{-1}, donc on fait opérer g \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) à gauche sur \mathfrak{X}_{\mathfrak{D}^+} \simeq (\mathfrak{D}^+ \times \mathbb{C}) / \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} via l'action (14)\qquad T_g.(\tau, z) = \Bigl(g.\tau,\ \frac{z}{c\tau + d}\Bigr) \qquad \text{où } g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\ g.\tau = \frac{a\tau + b}{c\tau + d} . devant T_g, un groupe biffé ; dans le second membre, un signe biffé devant la fraction. Les formules (11) à (13) sont sur la p. 147. La matrice \tau_\infty(g^{-1}) est transcrite telle qu'écrite.

cette page fait suite à la p. 145 (« on trouve ») ; la p. 146, qui porte la formule (14), en est la suite. Les deux feuillets sont rangés dans l'ordre inverse de celui du raisonnement. on trouve que g^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} la formule (11)\qquad \tau \circ g^{-1} = \frac{a\tau - b}{-c\tau + d} . Introduisons l' (12)\qquad \begin{cases} \tau_\infty = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & +1 \end{pmatrix} \in \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z}) \quad \text{d'où} \\[6pt] \tau_\infty \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \tau_\infty^{-1} = \tau_\infty\Bigl(\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\Bigr) = \begin{pmatrix} A & -B \\ -C & D \end{pmatrix} \\[6pt] \tau_\infty\Bigl(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1}\Bigr) = \begin{pmatrix} d & b \\ c & a \end{pmatrix} \quad \text{« échange de } a \text{ et de } d \text{ »,} \end{cases} on trouve (13)\qquad \tau \circ \tau_\infty(g^{-1}) = \frac{a\tau + b}{c\tau + d} \qquad \text{où } g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\quad \tau_\infty(g^{-1}) = \begin{pmatrix} d & b \\ c & a \end{pmatrix} Par la suite, quand on fait opérer \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) sur \mathfrak{D}^+, ce sera toujours (sauf mention expresse) par la formule (13) — ce n'est donc pas l'action « modulaire » la plus évidente, mais celle consacrée par l'usage, qui correspond (à droite) à la précédente, modifiée via le homomorphisme \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = g \longmapsto \tau_\infty(g^{-1}) = \begin{pmatrix} d & b \\ c & a \end{pmatrix} .

de \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) sur \mathfrak{D}^+ \times \mathbb{C}. On peut en fait faire opérer \underbrace{\mathbb{Z}^2 \cdot \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})}_{\text{produit semi-direct}} sur \mathfrak{D}^+ \times \mathbb{C}, par (15)\qquad T_{g,m,n}(\tau, z) = \Bigl(g\tau,\ \frac{z}{c\tau + d} + m + n\, g\tau\Bigr) et l'opération déduite de \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) sur \mathfrak{X}_{\mathfrak{D}^+} se déduit de (15) en passant au quotient dans \mathfrak{D}^+ \times \mathbb{C} par le ~~faux~~ sous-groupe \mathbb{Z}^2 de \mathbb{Z}^2 \cdot \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}).

On peut énoncer dès maintenant

Théorème La famille \mathbb{C}-analytique de courbes elliptiques, ~~définie~~ modulaire pour la rigidification de Torelli stricte, définie par \begin{array}{c} \mathfrak{X}_{\mathfrak{D}^+} = \mathfrak{D}^+ \times \mathbb{C} / \mathbb{Z}^2 \\ \Big\downarrow \scriptstyle (\tau, z) \mapsto \tau \\ \mathfrak{D}^+ \end{array} \qquad \begin{array}{l} \mathbb{Z}^2 \text{ opérant par} \\ T_{m,n}(\tau, z) = (\tau, z + m + n\tau) \end{array} est un revêtement universel de M_{1,1}, ~~i.e. elle est localement modulaire,~~ avec groupe d'automorphismes sur M_{1,1} le groupe \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}), opérant par g\tau = \frac{a\tau + b}{c\tau + d} \qquad g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\quad \begin{array}{l} a,b,c,d \in \mathbb{Z} \\ ad - bc = 1 \end{array}

L'opération précédente est aussi décrite, en termes du pb modulaire de Torelli, par

g \cdot \tau = \tau \circ \tau_\infty(g^{-1}) \qquad \text{où}\quad \begin{array}{l} \tau_\infty = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathrm{GL}(2,\mathbb{Z}) \\[4pt] \tau_\infty(g^{-1}) = \begin{pmatrix} d & b \\ c & a \end{pmatrix} \ \text{si } g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{array}

Corollaire 1 Le groupe fondamental \mathcal{T}_{1,1} de M_{1,1} relatif au revêtement universel précédent est canoniquement isomorphe à \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) (car les opérations précédentes à gauche de \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) sur le revêtement, déduites de l'opération par le passage à ).

Les sur les \mathcal{T}_{g,\nu} donnent alors :

Corollaire 2 Soit (X, o) une surface orientée compacte de genre 1, \mathcal{T} le groupe des classes d'isotopie d'automorphismes de (X, o), H = \pi_1(X, o) = H_1(X, \mathbb{Z}), ~~considérons~~ alors l'homomorphisme canonique (16)\qquad \mathcal{T} \longrightarrow \mathrm{Aut}^+_{\mathbb{Z}}(H) est un isomorphisme.

Corollaire 3 Soient \pi un groupe de type (1,1), H = \pi_{\mathrm{ab}}, \mathcal{T} le groupe des automorphismes ext. : de \pi compatibles avec l'orientation, alors l'hom canonique \mathcal{T} \longrightarrow \mathrm{Aut}^+_{\mathbb{Z}}(H) est un iso.

Considérons maintenant des courbes elliptiques E, munies d'une « rigidification différentielle », définie par une base \varphi de t_E, permettant donc d'identifier t_E à \mathbb{C}. La donnée d'une courbe elliptique munie d'une rigidification différentielle s'identifie donc : à la donnée d'un réseau H \subset \mathbb{C} de \mathbb{C}. La donnée d'une courbe elliptique avec rigidification double Torelli stricte + différentielle, s'identifie donc à la donnée de (17)\qquad z_1, z_2 \in \mathbb{C}^* \quad \text{avec}\quad \tau = z_2/z_1 \in \mathfrak{D}^+ i.e. ~~la \mathbb{R}-base~~ z_1, z_2 formant une \mathbb{R}-base de \mathbb{C}, qui est directe pour l'orientation canonique de \mathbb{C}. On fait opérer \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) à gauche sur la variété analytique complexe (18)\qquad P\mathfrak{D}^+ = \{ (z_1, z_2) \mid z_1, z_2 \in \mathbb{C}^*,\ z_2/z_1 \in \mathfrak{D}^+ \} par (19)\qquad g(z_1, z_2) = (d z_1 + c z_2,\ b z_1 + a z_2) c'est donc, via le passage (18) g \mapsto \tau_\infty(g^{-1}), l'opération naturelle au pb modulaire , qui note marginale écrite de biais dans l'angle inférieur gauche, qui recouvre en partie le numéro (19) ; ce numéro est lui-même écrit sur un (18). d'autre famille modulaire bi-rigidifiée \mathfrak{X}_{P\mathfrak{D}^+} peut s'écrire

(20)\qquad \mathfrak{X}_{P\mathfrak{D}^+} \simeq P\mathfrak{D}^+ \times \mathbb{C} / \mathbb{Z}^2 où \mathbb{Z}^2 opère sur P\mathfrak{D}^+ \times \mathbb{C} par T_{m,n}(z_1, z_2, z) = (z_1, z_2, z + m z_1 + n z_2) Alors le groupe \mathbb{C}^* \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) opère sur \mathfrak{X}_{P\mathfrak{D}^+} \to P\mathfrak{D}^+, en faisant opérer \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) par (21)\qquad T_g(z_1, z_2, z) = (d z_1 + c z_2,\ b z_1 + a z_2,\ z) et \mathbb{C}^* par (22)\qquad T_\lambda(z_1, z_2, z) = \Bigl(\frac{1}{\lambda} z_1,\ \frac{1}{\lambda} z_2,\ \frac{1}{\lambda} z\Bigr). \mathbb{C}^* opération des dilatations définie par (22) de la base \varphi de t_E par \lambda\varphi … note marginale écrite de biais dans la marge gauche, à la hauteur de (22) ; une partie en est surchargée.

Chacun des deux groupes commute opérant librement sur \mathfrak{X}_{P\mathfrak{D}^+} et même sur P\mathfrak{D}^+, mais l'opération du groupe produit \mathbb{C}^* \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) sur P\mathfrak{D}^+ n'est pas libre, p.ex. l'élément (-1, -1) opère trivialement sur P\mathfrak{D}^+ ( universel des courbes elliptiques) mais sur \mathfrak{X}_{P\mathfrak{D}^+}, \mathfrak{X}_{P\mathfrak{D}^+} ( d'ordre 2 !) opérations \mathbb{C}^* et \mathfrak{X}_{\mathfrak{D}^+} et le quotient la section nulle, \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}), s'identifient M_{1,1} ! la fin de la page est biffée : plusieurs traits horizontaux et obliques barrent un passage surchargé, où se lisent \mathfrak{X}_{P\mathfrak{D}^+}, « d'ordre 2 ! », \mathbb{C}^*, \mathfrak{X}_{\mathfrak{D}^+}, « section nulle », \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) et, encadré, « M_{1,1} ! ». Le passage s'interrompt ; la page suivante est blanche.

la page s'ouvre sur un calcul de groupes, d'une autre plume, traversé de longs traits obliques ; il est sans lien apparent avec ce qui précède et avec le texte qui suit le trait horizontal. 1 \longrightarrow N \longrightarrow G \longrightarrow \mathfrak{S}_A \longrightarrow 1 N \simeq \bigl((\mathbb{F}_2)^A\bigr)' = \operatorname{Ker}\bigl(\mathbb{F}_2^A \to \mathbb{F}_2\bigr), \qquad (x_i) \longmapsto \textstyle\sum x_i au-dessus de G, une flèche courbe ramène \mathfrak{S}_A vers un \mathfrak{S}^0 \subset G (lecture incertaine) ; sous \mathfrak{S}_A, un signe d'inclusion et un second \mathfrak{S} dont l'indice, surchargé, n'est pas lu. L'indice de \mathfrak{S}_A dans la suite exacte est lui aussi surchargé. \begin{aligned} g &= u \cdot x = y u \qquad (u \in \mathfrak{S}_0,\ x \in N), &\quad ux &= yu,\ \ y = u x u^{-1} = u(x) \\ g' &= u' \cdot x' = y' u' &\quad g'g &= y' \underline{u' y u'^{-1}}\, \underline{u' u} \\ g' g &= u' x' u x = (u' u)\bigl(\underbrace{u^{-1} x' u}_{u^{-1}(x')}\bigr) x = U'' X'' , &\quad U'' &= u'u,\ \ X'' = u^{-1}(x')\, x \\ &= \bigl(y' u'(y)\bigr)\, u' u \end{aligned}

un trait horizontal sépare ce calcul de ce qui suit.

L'extension quadratique de \mathbb{Q}(t) est induite par l'extension quadratique B = \mathbb{Z}[t]\bigl[S\bigr]/\bigl(S^2 - Q(t)\bigr) de A = \mathbb{Z}[T]. On voit que pour \forall\, p \in P \setminus \{2\}, localisant A en pA d'où A_{pA} = \mathbb{Z}_{p\mathbb{Z}}\{t\} \overset{\mathrm{df}}{=} A(p), B(p) \overset{\mathrm{df}}{=} B \otimes_A A(p) est normal (car p divise Q, ). Si p = 2, alors B(2) est normal si 2 \mid Q. Si 2 \nmid Q, alors il est normal aussi si Q \bmod 2 \in \mathbb{F}_2[t] n'est pas un carré dans \mathbb{F}_2[t] (donc pas non plus dans \mathbb{F}_2(t)). Si Il le reste si il est un carré dans \mathbb{F}_2[t], mais pas dans \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[t] — i.e. un certain invariant dans \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[t] n'est pas nul. Donc le seul cas où B(2) ne soit normal est celui où 2 \nmid Q Q(t) est un carré mod 4 (p.ex. Q(t) = t^2 - 4 = (t+2)(t-2) ; ou Q(t) = 4t + 1, \varepsilon = +1 ; Q(t) = 4t - 1, \varepsilon = -1).

Si on excepte ce cas — on voit que B est normal en codimension 1 — i.e. \operatorname{Spec} B qui en ses fermés pts non ~~irréductibles~~ normaux et ses pts non fermés (donc isolés). Donc à un ensemble fini près de \operatorname{Spec} A = (\operatorname{Spec} \mathbb{Z}/\ldots, B représente la normalisée de \mathbb{E}'_{\mathbb{Z}} dans l'extension quadratique envisagée — et ceci reste encore le cas si on remplace \mathbb{Z} par \mathbb{Z}[1/2]. le passage sous le trait est d'une lecture difficile ; les lettres A, B, Q, t sont sûres, les liaisons verbales beaucoup moins. Le texte n'a pas de début sur ce feuillet (« L'extension quadratique ») ni de suite visible sur la page 154. La fin de la ligne « \operatorname{Spec} A = \ldots » est coupée au bord de la page.

Normalité des extensions quadratiques A[S]/(S^2 - a) = B

On suppose d'abord A anneau régulier local, soit p la car. résiduelle. NB Si p \neq 2, alors B est local ssi a \in \mathfrak{m} ou (a \notin \mathfrak{m} et \dot a \notin k^2). p \neq 2, alors B normal ssi a \notin \mathfrak{m}^2 — et cette condition est nécessaire en tous cas (y compris p = 2). Si p = 2, distinguons deux cas :

a)a \in \mathfrak{m} alors B normal ssi a \notin \mathfrak{m}^2 b)a \notin \mathfrak{m} i.e. a unité. Soit \dot a son image dans k = k(A) = A/\mathfrak{m}. 1^\circ)\dot a \notin k^2, alors B est normal (c'est un anneau de corps résiduel k[\sqrt{\dot a}\,]) 2^\circ)\dot a \in k^2, soit \dot a = \dot\alpha^2, où \alpha \in A déterminé mod \mathfrak{m} — donc a = \alpha^2 - b, avec b \in \mathfrak{m} (= \alpha^2 - a). Posons T = S - \alpha, alors S^2 - a = (T + \alpha)^2 - a = T^2 + 2\alpha T + b B \simeq A[T]/(T^2 + 2\alpha T + b), \qquad \hat B \simeq \underbrace{A[[T]]}_{C}/(T^2 + 2\alpha T + b) T^2, 2\alpha T sont dans \mathfrak{r}(C)^2, donc T^2 + 2\alpha T + b \notin \mathfrak{r}(C)^2 ssi b \notin \mathfrak{r}(C)^2 i.e. b \notin \mathfrak{m}^2, i.e. \tilde b \neq 0 dans \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2.

NB \tilde b \in \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 ne dépend que du choix de \alpha NB 2 \in \mathfrak{m} \subset \mathfrak{r}(C), T \in \mathfrak{r}(C)

Donc les cas de normalité sont les suivants : a \in \mathfrak{m} \setminus \mathfrak{m}^2, ou a de la forme \alpha^2 - b avec \alpha unité, b \in \mathfrak{m} \setminus \mathfrak{m}^2, ou a \notin \mathfrak{m}, \dot a \notin k^2. Dans les cas normaux : a \in \mathfrak{m} ou a \bmod \mathfrak{m}^2 non carré d'un élément de A/\mathfrak{m}^2, les notes marginales de cette page sont écrites de biais dans la marge gauche ; la dernière est barrée de plusieurs traits obliques.

Application aux rev. quadratiques de \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} (génériquement ~~normales~~ cas de \mathbb{E}^1_{\mathbb{Z}}) au-dessus de \operatorname{Spec} \mathbb{Z}.

Le revêtement ~~au-dessus du~~ fibre quadratique du pt générique, correspond à une ext. quadratique de \mathbb{Q}(t), donc décrit par un élément de \mathbb{Q}(t)^*/\mathbb{Q}(t)^{*2}. Or \mathbb{Q}(t)^*/\{\pm 1\} a une base formée des éléments suivants

a)Les nbs premiers p \in P (P = \{2, 3, 5, 7, \ldots\}) b)Les polynômes P = a_0 t^n + a_1 t^{n-1} + \cdots + a_n \in \mathbb{Z}[t], avec : a_0 > 0, les a_i premiers entre eux (i.e. \forall p \in P, P \bmod p \in \mathbb{Z}_p[t] est \neq 0), P premier dans \mathbb{Q}[T].

Ainsi un élément de \mathbb{Q}(t)^*/\mathbb{Q}(t)^{*2} est représenté de façon unique par un produit (1)\qquad P = \underset{\varepsilon}{\pm}\, \underbrace{p_1 p_2 \cdots p_n}_{q}\, \underbrace{P_1 \cdots P_\ell}_{Q} où les p_i \in P sont distincts, et les P_j comme dans b) distincts. Cela signifie aussi que P = \pm q\, Q \qquad \begin{cases} q \in \mathbb{N}^* \text{ « quadratfrei »} \\ Q \in \mathbb{Z}[t] \text{ à coeff.\ dominant } > 0 \text{, « quadratfrei » dans } \mathbb{Q}[t] \\ \quad \text{à coeff.\ premiers entre eux.} \end{cases} « quadratfrei » est écrit en allemand. La lettre P désigne à la fois l'ensemble des nombres premiers et le polynôme de (1) ; on l'a laissée telle quelle. Le \mathbb{Z}_p[t] est sans doute \mathbb{F}_p[t] ; on transcrit ce qui est écrit.

Considérons d'abord pour B \otimes \mathbb{F}_p sur A \otimes \mathbb{F}_p = \mathbb{F}_p[T], donné par l'équation S^2 - P(T) = 0 sur \mathbb{F}_p (supposons p \neq 2). Cette extension est génériquement étale ssi P(T) \not\equiv 0 \ (p). Cela montre déjà que l'on doit avoir, dans (1), q \in \{1, 2\}, et dans le cas où B(p) est normal (p.ex. si q = 2) on vent donc que B \otimes \mathbb{F}_2 soit génér. étale sur A \otimes \mathbb{F}_2, on voit que l'on doit avoir q = 1. Mais l'équation S^2 - P(T)\ \bigl(= S^2 - \varepsilon Q(T)\bigr) = 0 en car. 2 n'est jamais génériquement étale ! Donc ~~il faut~~ pour avoir qqne chose génér. étale en tout cas, il faut que B(p) soit non normal de car. 2, que P = \varepsilon\, Q \qquad \bigl(\varepsilon \in \{\pm 1\}\bigr) soit un carré mod 4. NB Pour Q fixé, ceci fixe le signe \varepsilon sans ambiguïté, car -1 n'est pas un carré mod 4 !). Cette condition est aussi suffisante … la ligne sous P = \varepsilon Q porte un groupe fortement raturé ; on y devine \{\pm 1\}, qui est transcrit.

Exemple (Légendre modulaires des courbes elliptiques). Soit Q(T) = T(T - \lambda), avec \lambda \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} (dans le cas qui m'intéresse, \lambda = 2^\alpha 3^\beta l'invariant modulaire exceptionnel). On a Q(T) \equiv T^2 \ (2) \quad \text{si } \lambda \equiv 0 \ (4). On trouve un revêtement étale de \mathbb{E}^1_{\mathbb{Z}} \setminus \{0, \lambda\} = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[T]_{T(T-\lambda)} … faut T' = 1/T au-dessus de \infty de \mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} \setminus \{0, \lambda\} = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[T']_{\lambda T' - 1} on considère \mathbb{Z}[T']_{(\lambda T' - 1)}, dans \mathbb{Z}[T']_{(\lambda T' - 1)}\bigl[S\bigr]/\bigl(S^2 - (\lambda T' - 1)\bigr). la page s'arrête sur cette formule. Dans la ligne Q(T) \equiv T^2\ (2), le terme de droite est surchargé (un T^2 ou T^3 écrit sur autre chose).

calculs griffonnés dans les blancs d'une convocation administrative imprimée, tamponnée « 9 JUIN 1981 » et « 16 JUIN 1981 » ; seuls les calculs sont transcrits. Ils reprennent la forme T^2 + 2\alpha T + b de la p. 154. T^2 + 2\alpha T + b x^2 + \alpha x y + \beta y^2, \qquad (x + \beta y)\ \ldots \mathbb{F}_2[T, \pi] \qquad T^2 + \alpha \pi T + \beta \pi^2, \qquad \alpha^2 - 4\beta = \alpha^2 4T - 1 dans x^2 + \alpha x y + \beta y^2 et (x + \beta y), le \beta est écrit par-dessus un autre signe ; sous T^2 + 2\alpha T + b figure un second T^2 + inachevé. Le 4 de 4T - 1 est surchargé.