Fonds Grothendieck, cote n° 64, pages 121–140

\begin{array}{ccc} \xi_1 & \xi_2 & \xi_3 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 0 & 1 & \infty \end{array} \in k , \qquad \infty \mapsto t feuillet pris en largeur. En tête, trois éléments \xi_1, \xi_2, \xi_3 de k envoyés sur 0, 1, \infty ; une flèche courbe relie le \infty écrit à droite à une lettre t (lecture peu sûre). Au-dessous, un croquis : dans le plan, trois droites issues de l'origine passent par les points \xi_1, \xi_3, \xi_2 marqués sur une horizontale, soit les droites engendrées par les vecteurs ci-dessous. \begin{cases} (\xi_1, 1) \\ (\xi_2, 1) \\ (\xi_3, 1) \end{cases} \qquad \begin{array}{l} \lambda_1 \xi_1, \lambda_1 \\ \lambda_2 \xi_2, \lambda_2 \\ \lambda_3 \xi_3, \lambda_3 \end{array} \left[\; \begin{aligned} &\textstyle\sum \lambda_i = 0 \\ &\textstyle\sum \lambda_i \xi_i = 0 \end{aligned} \right. \xi_1, \xi_2, \xi_3 deux à deux distincts. Les déterminés (\lambda_i) sont déterminés mult. par scalaire la ligne sous l'accolade est rapide ; le sens est que la solution (\lambda_i) du système est déterminée à un multiple scalaire près.

ou \begin{aligned} \lambda_1 &= \xi_2 - \xi_3 \\ \lambda_2 &= \xi_3 - \xi_1 \\ \lambda_3 &= \xi_1 - \xi_2 \end{aligned} \qquad \begin{cases} e_2 - e_3 = \bigl((\xi_2 - \xi_3)\xi_1,\ \xi_2 - \xi_3\bigr) \\ e_3 - e_1 = \bigl((\xi_3 - \xi_1)\xi_2,\ \xi_3 - \xi_1\bigr) \\ e_1 - e_2 = \bigl((\xi_1 - \xi_2)\xi_3,\ \xi_1 - \xi_2\bigr) \end{cases} entre les deux colonnes, une colonne \xi_1, \xi_2, \xi_3 séparée par un trait vertical. Au bas de la page, un fragment biffé : ~~(\xi_1, 1) \mapsto~~ … ~~f_1 \to~~, puis « \xi_1 f_1 + », inachevé.

\begin{aligned} \xi_1 f_1 + f_2 &= \frac{1}{\xi_2 - \xi_3}\,(e_2 - e_3) \\ \xi_2 f_1 + f_2 &= \frac{1}{\xi_3 - \xi_1}\,(e_3 - e_1) \\ \xi_3 f_1 + f_2 &= \frac{1}{\xi_1 - \xi_2}\,(e_1 - e_2) \end{aligned} (\xi_1 - \xi_2) f_1 = \frac{1}{\xi_3 - \xi_1}\, e_1 + \frac{1}{\xi_2 - \xi_3}\, e_2 - \Bigl(\frac{1}{\xi_3 - \xi_1} + \frac{1}{\xi_2 - \xi_3}\Bigr) e_3 f_1 = \frac{1}{(\xi_1 - \xi_2)(\xi_3 - \xi_1)}\, e_1 + \frac{1}{(\xi_1 - \xi_2)(\xi_2 - \xi_3)}\, e_2 - \frac{1}{\xi_1 - \xi_2}\,(\;\cdot\;)\, e_3 la parenthèse devant e_3 reprend, par une accolade tracée au-dessus, la somme de la ligne précédente ; son contenu n'est pas écrit. \begin{aligned} f_2 &= \frac{1}{\xi_2 - \xi_3}\,(e_2 - e_3) - \xi_1 f_1 \\ &= -\frac{\xi_1}{(\xi_1 - \xi_2)(\xi_3 - \xi_1)}\, e_1 + \Bigl(\frac{1}{\xi_2 - \xi_3} - \frac{\xi_1}{(\xi_1 - \xi_2)(\xi_2 - \xi_3)}\Bigr) e_2 \\ &\qquad + \Bigl[-\frac{1}{\xi_2 - \xi_3} + \frac{\xi_1}{\xi_1 - \xi_2}\Bigl(\frac{1}{\xi_3 - \xi_1} + \frac{1}{\xi_2 - \xi_3}\Bigr)\Bigr] e_3 \end{aligned} \begin{aligned} (\xi_1 - \xi_2)(\xi_2 - \xi_3)(\xi_3 - \xi_1)\, f_2 &= -\xi_1(\xi_2 - \xi_3)\, e_1 + \bigl[(\xi_1 - \xi_2)(\xi_3 - \xi_1) - \xi_1(\xi_3 - \xi_1)\bigr] e_2 \\ &\qquad + \bigl[-(\xi_1 - \xi_2)(\xi_3 - \xi_1) + \xi_1(\xi_2 - \xi_3) + \xi_1(\xi_3 - \xi_1)\bigr] e_3 \\ &= -\xi_1(\xi_2 - \xi_3)\, e_1 - \xi_2(\xi_3 - \xi_1)\, e_2 - \xi_3(\xi_1 - \xi_2)\, e_3 \end{aligned} le signe devant le crochet du coefficient de e_3 est surchargé d'une tache ; la lecture « - » est celle que donne le calcul. Des points et des traits obliques pointent les termes qui se simplifient ; les deux derniers signes « - » de la dernière ligne sont repassés.

~~\xi_1(\xi_2 - \xi_3) \quad \xi_2(\xi_3 - \xi_1)~~ (\xi_1 - \xi_2)(\xi_2 - \xi_3)(\xi_3 - \xi_1) = \Delta_0 \boxed{\; \begin{aligned} -\Delta_0 f_2 &= \xi_1(\xi_2 - \xi_3)\, e_1 + \xi_2(\xi_3 - \xi_1)\, e_2 + \xi_3(\xi_1 - \xi_2)\, e_3 \\ \Delta_0 f_1 &= (\xi_2 - \xi_3)\, e_1 + (\xi_3 - \xi_1)\, e_2 + (\xi_1 - \xi_2)\, e_3 \end{aligned}\;} t correspond donc : \sum (\xi_j - \xi_k)\, e_i = \sum_i \bigl(\wp(\varepsilon_j) - \wp(\varepsilon_k)\bigr)\, e_i feuillet pris en largeur. Les indices (i, j, k) parcourent les permutations circulaires de (1, 2, 3) ; les \varepsilon sont lus d'après le contexte (valeurs de \wp aux points d'ordre 2), le premier est surchargé.

Relations entre M_{11} et M_{04}

titre de l'auteur, seul sur un feuillet par ailleurs blanc (p. 127). Aucune page de ce lot ne le suit avant la couverture suivante.

Approche transcendante

titre de l'auteur, seul sur un feuillet par ailleurs blanc (p. 128), précédé de la mention « (21 p) » entourée ; p. 129 est blanche.

Modules des courbes elliptiques : théorie transcendante

titre de l'auteur, en tête de page.

La donnée d'une courbe elliptique E sur \mathbb{C} revient à celle d'un \mathbb{C}-espace vectoriel de rang 1, savoir t_E V = t_E \qquad \text{(espace tangent à l'origine)} \tag{1} et d'un « réseau » \Pi \subset V \tag{2} (sous-~~groupe additif~~ \mathbb{Z}-module, i.e. ~~discret~~ discret, libre de rang 2). La donnée du ~~groupe~~ \mathbb{Z}-module \Pi permet de récupérer V en tant qu'espace vectoriel réel (de rang 2), par V \simeq \Pi \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} \overset{\text{déf}}{=} \Pi_{\mathbb{R}} \tag{3} et E en tant que groupe de Lie réel, par E \simeq V/\Pi \simeq \Pi_{\mathbb{R}}/\Pi , \tag{4} tandis que la structure complexe de E est déterminée par la donnée d'une structure d'espace vectoriel complexe sur V par passage aux quotients ~~de groupes~~. le réseau est noté par un symbole à deux jambages barrés, qui ressemble à un H ou à un \Pi doublement barré ; le texte l'appelle « le \mathbb{Z}-module \Pi », et on le transcrit \Pi partout dans ce lot.

Étant donné un espace vectoriel réel V, la donnée d'une structure complexe sur V (i.e. d'un automorphisme u de V de carré -\mathrm{id}_V) équivaut à ceci : celle d'un sous-espace vectoriel \mathbb{C}-L de V_{\mathbb{C}} = V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \tag{5} tel que la projection canonique \begin{aligned} V_{\mathbb{C}} &\longrightarrow V = V_{\mathbb{R}} \\ z &\longmapsto \tfrac{1}{2}(z + \bar z) = \Re z \end{aligned} \tag{6} ~~soit~~ induise un isomorphisme d'espaces vectoriels réels ~~Pour un~~ \varphi : L \xrightarrow{\;\sim\;} V \qquad (\mathbb{R}\text{-iso}) \tag{7}

(à un tel L, on associe la structure complexe de V ~~, , conjuguée de celle déduite de~~ ~~de celle de par transport de~~ V qui est conjuguée de celle déduite de la str. complexe de L par transport de structure via (7), i.e. on pose u x = \varphi(-i\,\varphi^{-1}(x)) = -\varphi(i\,\varphi(x)) \tag{8} u étant la multiplication par i pour la structure complexe envisagée sur V. cette convention par les courbes elliptiques de fait qui introduit la note marginale est écrite de biais dans l'angle supérieur gauche, sur plusieurs lignes, et reliée par un trait au début de la page ; elle justifie le choix de la structure conjuguée, mais n'est lue que par bribes. Le signe « - » dans \varphi(-i\,\varphi^{-1}(x)) est surchargé ; la seconde égalité, avec \varphi(x) au lieu de \varphi^{-1}(x), est telle qu'écrite.

Inversement, si V est muni d'une structure complexe, ~~l'applic.~~ faisant de V un espace vectoriel complexe V_c, alors l'application identique \mathbb{R}-linéaire V \to V_c se prolonge, par la propriété universelle de V_{\mathbb{C}}, en une application \mathbb{C}-linéaire \psi : V_{\mathbb{C}} \longrightarrow V_c \tag{9} de sorte que \begin{cases} \psi(i x) = u x \\ \psi(x) = x \end{cases} \qquad \forall\, x \in V = V_{\mathbb{R}}, \tag{10} donc \psi(x + i y) = x + u y . \tag{11} ~~Considérons~~ ~~Prenons~~ Considérons \begin{aligned} L' = \operatorname{Ker} \psi &= \{\, x + i y \mid x, y \in V_{\mathbb{R}},\ x + u y = 0 \ \text{ i.e. } y = u x \,\} \\ &= \{\, x + i u(x) \mid x \in V_{\mathbb{R}} \,\} \end{aligned} \tag{12} et considérons l'application correspondante (6) \varphi : \underset{\substack{\| \\ x + i u(x)}}{z} \longmapsto \tfrac{1}{2}(z + \bar z) = \Re z = x : L \longrightarrow V . dans (12), la lettre primée est surchargée (L puis L') ; « y = ux » récrit sur un premier essai. Pour x + uy = 0 on a en fait y = ux puisque u^2 = -1 ; la ligne d'accolade du second membre est surchargée d'un premier essai biffé.

On voit alors que cette application est bijective, et antilinéaire, ~~la conjuguée de la structure complexe pour V L = L' = \operatorname{Ker}\psi \subset V_{\mathbb{C}}, \mathbb{R}~~ mais pas , alors V \to V_c antilinéaire deux lignes et demie sont biffées ici ; on n'en lit que des fragments. La note marginale gauche, reliée à la ligne suivante, précise le caractère antilinéaire de l'application.

(13) [On peut dire aussi, que la donnée d'une structure complexe sur V équivaut à :

1°) La donnée d'un sous-groupe compact ~~maximal~~ U de \simeq \mathbb{C}^{1} de \operatorname{Aut}_{\mathbb{R}}(V), ~~i.e. d'une~~ « \simeq \mathbb{C}^{1} » est une lecture peu sûre d'un groupe surchargé écrit au-dessus de la ligne.

isomorphe isomorphe : \mathbb{U} = \{\, z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \,\}, tel que l'action sur V_{\mathbb{C}} ait exactement 2 sous-espaces propres propres (i.e. dominantes si \operatorname{rg}_{\mathbb{R}} V = 2)

2°) d'un des deux éléments d'ordre 4 de \mathbb{U}, ce qui revient au d'une orientation de \mathbb{U}, ou encore (si \operatorname{rg}_{\mathbb{R}} V = 2, plus généralement si \operatorname{rg}_{\mathbb{R}} V = 2n, n impair) d'une orientation de V — l'élément d'ordre 4 de \mathbb{U} associé à une orientation \omega de \mathbb{U} (ou de V) sera noté u_\omega, c'est donc la rotation de +\pi/2 pour l'orientation \omega de V et la structure ~~complexe~~ symplectique sur V choisie invariante sous \mathbb{U} (cas si \operatorname{rg}_{\mathbb{R}} V = 2, une telle ~~structure~~ symplectique est unique : scalaire multiplicatif près). on engendre d'un isomorphisme \mathbb{U} \xrightarrow{\sim} \mathbb{U}, \mathbb{U} \xrightarrow{\sim} \mathbb{U} le groupe est écrit avec une lettre U à double jambage ; on le note \mathbb{U}. Les deux notes marginales gauches, écrites de biais, ne sont lues qu'en partie.

Alors V_{\mathbb{C}} sous l'action de \mathbb{U} se décompose en deux sous-espaces propres V_{\mathbb{C}} = \bigoplus_{\omega \in \underline{\omega}} L_\omega \tag{14} où pour \omega \in \underline{\omega}(\mathbb{U}) = \underline{\omega}, L_\omega est caractérisé par le fait que l'isomorphisme \varphi_\omega : \mathbb{U} \xrightarrow{\;\sim\;} \mathbb{U} \qquad g(z) = \varphi_\omega(g)\cdot z \ \text{ pour } z \in L_\omega \tag{15} défini par l'action de \mathbb{U} sur L_\omega, correspond à l'orientation \omega. La donnée d'une structure complexe sur V compatible avec \mathbb{U} équivaut alors à celle d'un des deux isomorphismes \varphi_\omega permettant de faire opérer \mathbb{U} sur V, donc aussi \mathbb{R}^{\times}_{+} \times \mathbb{U} \simeq \mathbb{C}^{\times}, \mathbb{C} …). Ceci dit, pour z \in L_\omega, on aura \Re(\varphi_\omega(g) z) = \Re(g z) = g\, \Re(z) = \text{produit de } \Re(z) \text{ par } \varphi_\omega(g) pour la structure complexe de V associée à \varphi_\omega le numéro de (14) est surchargé (13 corrigé en 14). La parenthèse fermante après « \mathbb{C} \ldots » répond à une parenthèse ouverte que la page ne montre pas.

i.e. \begin{aligned} L_\omega &\xrightarrow{\;\sim\;} V \\ z &\longmapsto \Re z \end{aligned} est un isomorphisme d'espaces vectoriels complexes, quand on munit V de la structure complexe c_\omega. ] Mais il y a lieu d'associer à cette structure complexe sur V non par L_\omega, mais L_{\omega'} plutôt … le crochet fermant clôt celui ouvert en (13), p. 131. La note marginale, de biais dans la marge gauche, n'est lue qu'en partie.

Dans le cas qui nous occupe, \operatorname{rg}_{\mathbb{R}} V = 2, les ~~droites~~ sous-espaces vectoriels envisagés de V_{\mathbb{C}} sont de rang 1, cotangents 1, et peuvent s'interpréter comme les points de \Sigma = \Sigma_V = P(\mathbb{C}), \qquad \text{où } P = \mathbb{P}(V) \tag{16} est la relative droite projective réelle associée à V. Pour que \begin{aligned} L &\longrightarrow V \\ z &\longmapsto \Re z \end{aligned} soit un isomorphisme, ~~i.e.~~ pour que L corresponde à une structure complexe de sur V, L \cap V = \{0\} i.e. L il faut et il suffit que ~~le point z correspondant de \Sigma soit non réel~~ L n'est pas complexifié d'une droite L_0 \subset V_{\mathbb{R}}, i.e. que le point z \in \Sigma qui correspond à L ne soit pas dans ~~\Sigma(\mathbb{R})~~ \Sigma_{\mathbb{R}} = P(\mathbb{R}) ou encore qu'on ait z \in \Sigma \setminus \Sigma_{\mathbb{R}} . \tag{17} ~~En résumé~~ Ainsi, les structures complexes « V_{\mathbb{R}} » : l'indice de V est surchargé. La phrase continue p. 134.

sur V sont en correspondance biunivoque avec l'ens. \Sigma \setminus \Sigma_{\mathbb{R}} des points non réels de \Sigma.

Notons que l'ens. \Sigma \setminus \Sigma_{\mathbb{R}} a deux composantes connexes \Sigma^*_\omega, qui correspondent (par Stokes) aux deux orientations de \Sigma_{\mathbb{R}}, ou encore aux deux orientations de V. La composante connexe d'un z \in \Sigma \setminus \Sigma_{\mathbb{R}} correspond à l'orientation de V définie de façon évidente par la structure complexe envisagée sur V (définie par z). Il faut préciser quelle convention vers le bas la note marginale, écrite verticalement et reliée par un trait au paragraphe, n'est lue qu'en partie.

Revenant à la description transcendante des courbes elliptiques, on voit que ~~une telle~~ la donnée d'une telle courbe E revient à la donnée

a)D'un \mathbb{Z}-module libre de rang 2 \Pi b)D'une ~~droite~~ orientation \omega de V = \Pi \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}, ou ce qui revient au même, d'une des deux bases de \bigwedge^2_{\mathbb{Z}} \Pi (i.e. d'une restriction du groupe structural \mathrm{GL}(2, \mathbb{Z}) de \Pi : \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})), ~~soit~~ notée aussi \omega c)D'un point z \in \Sigma_\omega(V),

On a \Pi = \pi_1(E, 0_E), V = \Pi \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R} \simeq t_E

Une rigidification de Torelli de la courbe elliptique E est la donnée d'un isomorphisme « \Sigma_\omega(V) » : le \Sigma est surchargé ; il s'agit de la composante \Sigma^*_\omega introduite plus haut. La phrase continue p. 135.

\mathbb{Z}^2 \longrightarrow \Pi \tag{18} compatible avec les orientations, i.e. tel que l'on ait z_1 \wedge z_2 = \omega \tag{19} où z_1, z_2 sont les images par (18) des éléments de la base canonique de \mathbb{Z}^2. Cet isomorphisme (18) définit un isomorphisme correspondant \mathbb{R}^2 \xrightarrow{\;\sim\;} V \tag{20} d'où des isomorphismes \begin{cases} \mathbb{P}^1_{\mathbb{R}} \simeq \mathbb{P}^1(V), \quad \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) \simeq \Sigma_V \\ \mathfrak{D} \xrightarrow{\;\sim\;} \Sigma^*_{V,\omega} \end{cases} \tag{21} où \mathfrak{D} est le demi-plan de Poincaré, i.e. la variété complexe des z \in \mathbb{C} tels que ~~\Im z~~ \Im z > 0 \mathfrak{D} = \{\, z \in \mathbb{C} \mid \Im z > 0 \,\}, \tag{22} identifié à \Sigma^*_{\mathbb{R}^2, \omega_0} en identifiant z \in \mathfrak{D} à la droite L_z = \mathbb{C}\cdot\underset{z e_1 + e_2}{\underbrace{(z, 1)}} . \tag{23} si (e_1, e_2) base canonique de \mathbb{R}^2 : associant à z \in \mathbb{C} la droite \mathbb{C}(1, z), alors correspond \Sigma^*_{\mathbb{R}^2, \omega_0} donnerait \mathfrak{D} = \mathfrak{D}^+ l'indice de L_z dans (23) est surchargé. La note marginale, écrite de biais dans l'angle inférieur gauche, envisage l'autre convention \mathbb{C}(1, z) ; elle n'est lue qu'en partie.

Sur l'ens. des classes d'isomorphie de courbes elliptiques E = (\Pi, \omega, L \subset \Pi \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}), avec rigidification de Torelli \mathbb{Z}^2 \simeq \Pi, le groupe \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) opère : ~~droite~~ à droite de façon évidente, par composition à droite de (18) avec les automorphismes de \mathbb{Z}^2. ~~Quant~~ On va Ainsi, les classes d'isomorphie de courbes elliptiques avec rigidification de Torelli sont en correspondance biunivoque avec l'ensemble des pts de \mathfrak{D}. la note de droite, insérée entre (23) et la phrase suivante, est de l'auteur ; son point d'insertion n'est pas marqué.

expliciter cette action en tant qu'action sur \mathfrak{D} (défini par (22)).

Si une structure complexe sur \mathbb{R}^2 est définie par l'élément z \in \mathfrak{D}, z = x + iy, alors l'application \mathbb{C}-linéaire \varphi : L_z = \mathbb{C}\cdot(z, 1) \longrightarrow V s'identifie à : \underset{\substack{\| \\ a + ib}}{\lambda} \longmapsto \Re\bigl(\underbrace{\lambda(z e_1 + e_2)}_{[(ax - by) + i(ay + bx)] e_1 + (a + ib) e_2}\bigr) = (ax - by) e_1 + a e_2 les images inverses \lambda_1, \lambda_2 de e_1, e_2 par cette app. sont données par \lambda_1 = -\frac{i}{y} \qquad \lambda_2 = 1 + i\,\frac{x}{y} d'où \lambda_2 / \lambda_1 = i(y + ix) = -x + iy donc on a \underset{\substack{\text{quotient dans } \mathbb{C}^* \\ \text{au sens de la} \\ \text{structure compl.\ de } \mathbb{R}^2 \\ \text{définie par } z = x + iy \in \mathfrak{D}}} {\underbrace{e_2 / e_1}} = (-x + iy)^{-} = -x - iy = -z \ \in \mathfrak{D}^{-} dans la définition de \varphi, un premier argument de \Re est biffé et surchargé. Le « ^{-} » après (-x+iy) est la barre de conjugaison. L'auteur écrit \lambda_2/\lambda_1 = i(y+ix) ; le calcul donne en fait (y+ix)/(-i) = i(y+ix), ce qui est cohérent.

Donc si une structure de Torelli sur E est définie par la ~~donnée~~ base (z_1, z_2) de \Pi \subset t_E, alors l'élément z \in \mathfrak{D} correspondant est donné par ~~z_2/z_1 = -x + iy = -z~~ z = -(z_2 / z_1) \tag{24} ~~où z = x + iy~~. la ligne (24) est en partie biffée : l'auteur a d'abord écrit z_2/z_1 = -x+iy = -z, puis a récrit au-dessus z = -(z_2/z_1) ; « où z = x+iy » est biffé.

Soit alors g \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) \qquad g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \qquad a, b, c, d \in \mathbb{Z},\ ad - bc = 1 et soit u : \mathbb{Z}^2 \xrightarrow{\;\sim\;} \Pi une structure de Torelli, correspondant à :

z_1 = u(e_1), \quad z_2 = u(e_2) \in \Pi \subset V alors la structure de Torelli u \circ g correspond à z'_1, z'_2 \in \Pi donnés par \begin{aligned} z'_1 &= u\,g(e_1) = u(a e_1 + c e_2) = a z_1 + c z_2 \\ z'_2 &= u\,g(e_2) = u(b e_1 + d e_2) = b z_1 + d z_2 , \end{aligned} qui correspond donc à un élément z' = x' + i y' \in \mathfrak{D}' donné par z' = -\frac{z'_2}{z'_1} = -\frac{b z_1 + d z_2}{a z_1 + c z_2} = -\frac{d \frac{z_2}{z_1} + b}{c \frac{z_2}{z_1} + a} = \frac{d z - b}{-c z + a} \tag{25} où . Si on préfère expliciter une action à gauche u \mapsto u \circ g^{-1} de \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) sur l'ens. des structures de Torelli mod. iso, on note que g^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} ~~d'où~~ d'où immédiatement, pour z' = x' + i y' correspondant à u \circ g^{-1} : z' = \frac{a z + b}{c z + d} \tag{25 bis} victoire, c'est la formule habituelle, à côté de (25), un premier essai surchargé « z' = \ldots » est biffé, avec au-dessous « z' = -\bar z' » partiellement biffé ; le signe de la dernière fraction de (25) et la lettre z au numérateur sont surchargés. Avant (25 bis), une ligne entière est biffée : \tilde z' = -\bar z' = \frac{a\tilde z - b}{-c\tilde z + d} = \frac{-a\bar z - b}{-c\bar z - d} = \frac{a\bar z + b}{c\bar z + d}, avec un numéro « (25 bis) » biffé à gauche. Dans la marge gauche, un schéma de calcul croisé (les produits -dz, -c, b, a, x, reliés par des traits obliques) aboutit à un « (25) » entouré ; il n'est pas transcrit plus avant.

mais on fera attention que le nb complexe z \in \mathfrak{D} attaché à la structure de Torelli définie par ~~z_1, z_2 \in t_E~~ les deux éléments z_1, z_2 de la droite complexe = t_E est donnée, non la phrase continue p. 138.

~~par la formule z_2/z_1, qui naïvement~~ paraîtrait naturelle z = z_2 / z_1 , mais par (24) i.e. par z = -(z_2 / z_1)^{-} = -\bar z_2 / \bar z_1 \in \mathfrak{D} ( si on voulait associer répérer la structure de Torelli sur \mathbb{R}^2 par le nb z \in \mathfrak{D} choisi, mais par le nombre complexe \tau = z_2 / z_1 lui-même, il faudrait z par à l'axe imaginaire), donnerait une formule de transformation d'opération de \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) sur \mathfrak{D} distincte de la formule habituelle. Donc cela montre que la condition z \in \mathfrak{D}^+ signifie que (z_1, z_2) est une base directe de t_E Torelli complexe ; inverse voulait faire z \in \mathfrak{D}^+ (23) \mathbb{C}\cdot(1, z) L_z \Sigma^*_{\mathbb{R}^2, \omega_0}, z = -(z_2/z_1)^{-}, il faudrait naturelles … la marge gauche porte, sur toute la moitié supérieure de la page, une longue note écrite de biais, en partie biffée, qui reprend la question des conventions (base directe, choix de \mathbb{C}(1, z) au lieu de \mathbb{C}(z, 1) en (23)) ; on n'en donne que des bribes. Plusieurs mots du corps, entre les lignes, sont aussi incertains ; le sens général est que la formule naïve \tau = z_2/z_1 conduirait à une action de \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) différente de la formule habituelle.

Théorème. ~~On trouve ici la~~ \mathfrak{D} = \{\, z \in \mathbb{C} \mid \Im z > 0 \,\}, muni de la famille analytique de courbes elliptiques E_z = \mathbb{C} / (\mathbb{Z}\cdot 1 + \mathbb{Z}\cdot(-\bar z)) est un revêtement universel de M^{\mathrm{an}}_{1,1}, correspondant à la classification des courbes elliptiques avec rigidification de Torelli ; le groupe des M^{\mathrm{an}}_{1,1}-automorphismes de \mathfrak{D} (opérant à droite) s'identifie au groupe \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}), opérant sur \mathfrak{D} par g z = \frac{a z + b}{c z + d} \qquad \text{pour } g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}), qui correspond aussi à l'opération à gauche naturelle l'exposant de M_{1,1}, deux points surmontés d'un trait, est lu « an ». Une parenthèse ouvrante isolée précède E_z. La phrase continue p. 139.

de \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) sur les structures de Torelli, par g \cdot u = u \circ g^{-1} \qquad (u : \mathbb{Z}^2 \xrightarrow{\;\sim\;} \Pi_E).

Corollaire 1. On a un iso. canonique \mathcal{T}_{1,1} \simeq \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) \tag{26} (où \mathcal{T}_{1,1} = \pi_1(M_{1,1}) est calculé relativement au revêtement universel choisi \mathfrak{D} de M_{1,1}). On a un iso. can. M_{1,1} \simeq (\mathfrak{D}, \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})) \tag{27} le groupe noté \mathcal{T} est écrit comme un T cursif bouclé ; nous le transcrivons \mathcal{T}. Dans (27), la lettre \mathfrak{D} est surchargée. Le numéro (27) est repris plus bas pour une autre formule.

Utilisant les grands théorèmes orthodoxes-piles, on en déduit

Corollaire 2. Soit ~~(E)~~ (E, a) une surface pointée orientée compacte connexe de genre 1, et soit \mathcal{T} le groupe des classes d'isotopie des automorphismes de (E, a). ~~Alors~~ ~~Considérons~~ Alors l'homomorphisme naturel \mathcal{T} \longrightarrow \operatorname{Aut}^+_{\mathbb{Z}}(\Pi) \qquad \text{où } \Pi = \pi_1(E, a) \tag{27} est un isomorphisme.

Corollaire 3. Soit \pi un groupe discret de type (1, 1), H = \pi_{\mathrm{ab}} (qui est un \mathbb{Z}-module libre de rang 1), \mathcal{T} = \operatorname{Autext}^+_{\mathrm{loc}}(\pi), ~~considérons~~ alors l'homom. \mathcal{T} \longrightarrow \operatorname{Aut}^+_{\mathbb{Z}}(H) \tag{28} est iso. Il faudrait expliciter l'action de \operatorname{Aut}^+_{\mathbb{Z}}(H) extérieure sur \pi \operatorname{Aut}^+_{\mathbb{Z}}(H) … le mot lu « discret » est court et incertain ; l'auteur écrit « rang 1 » pour H ; l'abélianisé d'un groupe de type (1,1) est de rang 2, et le « 1 » est sans doute un lapsus, laissé tel quel. Dans (27) de cette page, le groupe est noté par le même symbole doublement barré que le réseau \Pi. La note marginale, de biais dans l'angle inférieur gauche et reliée par un trait au Corollaire 3, n'est lue qu'en partie.

Nous pouvons expliciter le fibré tangent le long des ~~fibres~~ la section unité de la courbe elliptique universelle rigidifiée à la Torelli, comme étant le fibré formé des t_E, qui du point de vue fibré vectoriel réel s'identifie au ~~fibré~~ \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})-fibré sur \mathfrak{D} défini par l'opération standard de \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z}) sur \mathbb{R}^2. Le fibré principal associé P\mathfrak{D}, s'obtient (du point de vue de la seule structure topologique) en remplaçant dans ce qui précède \mathbb{R}^2 par (\mathbb{R}^2)^*. Pour en trouver un revêtement universel, il suffit de choisir un revêtement universel de (\mathbb{R}^2)^* \simeq \mathbb{C}^*, p. ex. le revêtement par l'exponentielle complexe z \longmapsto \exp(2 i \pi z) : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}^* en haut à droite, un numéro entouré et surchargé, non lu. Le reste de la page est blanc.