Fonds Grothendieck, cote n° 64, pages 101–120

p. 1 de l'auteur, chiffrée en tête de page : une nouvelle suite numérotée commence ici, avec ses propres numéros de formules (1), (2), … . Soit E courbe elliptique, sur corps ~~alg~~ alg. clos k, pour commencer (de car \neq 2 comme d'habitude).

On pose, pour n \in \mathbb{N} (1) \qquad \mathcal{F}_n = \Gamma(E, n\{0_E\}) par la formule de RR on a (2) \qquad \operatorname{rg} \mathcal{F}_n = n \quad\text{si } n \geqslant 1 et (3) \qquad \mathcal{F}_0 = \mathcal{F}_1 = k \cdot 1_E . On a évidemment sur (4) \qquad \mathcal{F}_\infty \overset{\text{déf}}{=} \varinjlim_n \mathcal{F}_n une loi de multiplication ass. comm. avec (5) \qquad \mathcal{F}_m \cdot \mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+m} , de sorte que \mathcal{F}_* = \coprod \mathcal{F}_n devient une algèbre graduée, dont le Proj est can. isomorphe à E. On va déterminer \mathcal{F}_*.

Notons la suite exacte (6) \qquad 0 \to \mathcal{F}_{n-1} \to \mathcal{F}_n \xrightarrow{\;\varepsilon_n\;} t_E^{\otimes n} \to 0 \qquad (n \geqslant 2) où (7) \qquad t_E \overset{\text{déf}}{=} T_{E, 0_E} . On a, pour \delta \in t_E, une opération

(8) \qquad \Theta_\delta : \mathcal{F}_n \longrightarrow \mathcal{F}_{n+1} \qquad \text{dérivation de degré $+1$ de l'algèbre graduée } \mathcal{F}_* qui donne lieu à un homom. de suites exactes (9)

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & \mathcal{F}_{n-1} \arrow[r] \arrow[d, "\Theta_\delta"] & \mathcal{F}_n \arrow[r] \arrow[d, "\Theta_\delta"] & t_E^{\otimes n} \arrow[r] \arrow[d, "\mu_\delta"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \mathcal{F}_n \arrow[r] & \mathcal{F}_{n+1} \arrow[r] & t_E^{\otimes n+1} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

où \mu_\delta est la multiplication par \delta. De façon plus intrinsèque, d'où un homom. (10) \qquad \begin{aligned} t_E \otimes \mathcal{F}_n &\xrightarrow{\;\delta_n\;} \mathcal{F}_{n+1} \\ \delta \otimes \varphi &\longmapsto \Theta_\delta \varphi \end{aligned} qui donne lieu à un homom. de suites exactes (11)

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & t_E \otimes \mathcal{F}_{n-1} \arrow[r] \arrow[d, "\delta_{n-1}"] & t_E \otimes \mathcal{F}_n \arrow[r] \arrow[d, "\delta_n"] & t_E \otimes t_E^{\otimes n} \arrow[r] \arrow[d, "\wr\ \mathrm{can}"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & \mathcal{F}_n \arrow[r] & \mathcal{F}_{n+1} \arrow[r] & t_E^{\otimes n+1} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

pour n \geqslant 2 la flèche verticale de droite de (9) porte un symbole d'une lecture incertaine, transcrit \mu_\delta ; le texte dit seulement qu'il s'agit de la multiplication par \delta.

On en conclut que pour n \geqslant 2, on a \operatorname{Ker} \delta_n = \operatorname{Ker} \delta_{n-1}, donc (12) \qquad \begin{cases} \operatorname{Ker} \delta_n = \operatorname{Ker} \delta_1 = t_E \otimes \mathcal{F}_1 = t_E \otimes_k 1_E \\ \operatorname{Ker} \Theta_\delta = \mathcal{F}_1 = k \cdot 1_E . \end{cases} dans la première ligne de (12), « k \cdot 1_E » est biffé deux fois (après le premier et après le second signe =), et « t_E \otimes » est ajouté au-dessus de la ligne devant \mathcal{F}_1.

Soit, pour f \in \mathcal{F}_n, (13) \qquad \check f(x) = f(-x) donc (14) \qquad f \mapsto \check f \qquad \mathcal{F}_* \longrightarrow \mathcal{F}_* \qquad \text{involution de l'algèbre comm.}

p. 2 de l'auteur, chiffrée en tête de page. On trouve (15) \qquad (\Theta_\delta f)^\vee = \Theta_{\check\delta} \check f = \Theta_{-\delta} \check f = -\Theta_\delta \check f i.e. \vee \circ \Theta_\delta = -\Theta_\delta \circ \vee . Posons (16) \qquad \begin{cases} \mathcal{F}_n^+ = \{ f \in \mathcal{F}_n \mid \check f = f \} \\ \mathcal{F}_n^- = \{ f \in \mathcal{F}_n \mid \check f = -f \} \end{cases} on a donc (17) \qquad \left\{ \begin{aligned} & \mathcal{F}_n = \mathcal{F}_n^+ \oplus \mathcal{F}_n^- \\ & \begin{cases} \Theta_\delta \mathcal{F}_n^+ \subset \mathcal{F}_{n+1}^- , \quad \Theta_\delta \mathcal{F}_n^- \subset \mathcal{F}_{n+1}^+ \\ t_E \otimes \mathcal{F}_n^+ \xrightarrow{\;\delta_n\;} \mathcal{F}_{n+1}^- , \quad t_E \otimes \mathcal{F}_n^- \xrightarrow{\;\delta_n\;} \mathcal{F}_{n+1}^+ \end{cases} \\ & \begin{cases} \mathcal{F}_n^+ \mathcal{F}_m^+ \subset \mathcal{F}_{n+m}^+ \\ \mathcal{F}_n^- \mathcal{F}_m^- \subset \mathcal{F}_{n+m}^+ \end{cases} \qquad \mathcal{F}_n^+ \mathcal{F}_m^- \subset \mathcal{F}_{n+m}^- \end{aligned} \right. dans les deux lignes centrales de (17), les indices des termes d'arrivée sont écrits très court ; n+1 est la lecture qu'impose (8).

On va construire l'alg. graduée \mathcal{F}_*, avec la structure \delta_* : t_E \otimes \mathcal{F}_* \to \mathcal{F}_*, i.e. t_E \to \operatorname{Der}^{+1}_k(\mathcal{F}_*, \mathcal{F}_*), et la structure \vee (automorphisme d'ordre 2).

On a (18) \qquad \mathcal{F}_2^+ = \mathcal{F}_2 \simeq \Gamma(\Sigma_J, \{t\}) \qquad \text{où}\quad \begin{aligned} & J = {}_2E^* \\ & \Sigma_J \simeq E/(\pm \mathrm{id}_E) \\ & t \text{ image de } 0_E \\ & t \in \Sigma_J^* = \Sigma_J \setminus J \end{aligned} plus généralement on a

(19) \qquad \mathcal{F}_{2n}^+ \xrightarrow{\;\sim\;} \mathcal{F}_{2n+1}^+ = \Gamma(\Sigma_J, n\{t\}) On a d'autre part \mathcal{F}_n^- = 0 si n \leqslant 2, et (20) \qquad \mathcal{F}_3^- = \delta_2(t_E \otimes \mathcal{F}_2) \simeq t_E^{\otimes 3} s-complémentaire du vecteur 1 de \mathcal{F}_2 = \mathcal{F}_3^+ dans \mathcal{F}_3. On a alors, pour ~~n \geqslant 3~~ tout n \geqslant 1 (21) \qquad \mathcal{F}_{2n+1}^- \xrightarrow{\;\sim\;} \mathcal{F}_{2n+2}^- \simeq \mathcal{F}_3^- \otimes_k \mathcal{F}_{2n-2}^+ Choisissons (22) \qquad \delta \in t_E et un (23) \qquad \wp \in \mathcal{F}_2 \qquad \varepsilon_2(\wp) = \delta^{\otimes 2} posons (24) \qquad \wp' = \Theta_\delta(\wp) \qquad \text{donc}\quad \varepsilon_3(\wp') = \delta^{\otimes 3} Alors (25) \qquad \begin{cases} 1, \wp & \text{base de } \mathcal{F}_2 = \mathcal{F}_2^+ = \mathcal{F}_3^+ \\ \wp' & \text{base de } \mathcal{F}_3^- \\ 1, \wp, \wp' & \text{base de } \mathcal{F}_3 = \mathcal{F}_3^+ \oplus \mathcal{F}_3^- . \end{cases} (25') \qquad \begin{aligned} & \{1, \wp, \ldots, \wp^n\} \text{ base de } \mathcal{F}_{2n}^+ \simeq \mathcal{F}_{2n+1}^+ \\ & \{\wp', \wp'\wp, \ldots, \wp'\wp^{n-1}\} \text{ base de } \mathcal{F}_{2n+1}^- \simeq \mathcal{F}_{2n+2}^- \end{aligned} (26) \qquad \mathcal{F}_{2n+1}^- = \mathcal{F}_{2n+2}^- = \wp'\, \mathcal{F}_{2n-2}^+ \qquad \text{pour } n \in \mathbb{N}^* . devant (26), « Propos. » biffé. Dans (25'), les derniers exposants sont surchargés ; n-1 est la lecture qu'impose (26).

Proposition 1 Considérons l'homomorphisme f \longmapsto f \mid J \qquad \mathcal{F}_3 \longrightarrow k^J Alors on a (27) \qquad \operatorname{Ker}(\mathcal{F}_3 \to k^J) = \mathcal{F}_3^- = k \cdot \wp'

p. 3 de l'auteur, chiffrée en tête de page. . Si f \in \mathcal{F}_3^-, plus généralement si f \in \mathcal{F}_n^-, alors x = -x, pour x \in E(k), x \neq 0, implique f(x) = -f(-x) = -f(x) i.e. 2f(x) = 0 i.e. f(x) = 0. Ainsi \mathcal{F}_3 \to k^J est nulle sur \mathcal{F}_3^-, donc il reste à voir qu'il est injectif sur \mathcal{F}_3^+ \simeq \mathcal{F}_2. Mais on a mieux

Corollaire La matrice ~~formée~~ de Vandermonde \bigl(\wp(e_i)^\alpha\bigr)_{i \in J,\ 0 \leqslant \alpha \leqslant 2} est inversible, en d'autres termes les \wp(e_i) (i \in J) sont tous distincts.

OPS ~~que les pts de~~ les valeurs de J correspondent aux points 0, 1, \infty, et \Sigma_J = ~~\mathbb{P}^1~~ \mathbb{P}^1_k. (Quitte à multiplier par un scalaire une et ajouter une constante,) OPS \wp(z) = \frac{1}{z - t}, \qquad \therefore\ t \in k \setminus \{0, 1\} = U_{0,1}(k) donc \wp(0) = \frac{1}{-t}, \qquad \wp(1) = \frac{1}{1 - t}, \qquad \wp(\infty) = 0 sont tous distincts, O.K. les points e_i (i \in J) sont ici identifiés à 0, 1, \infty de \Sigma_J \simeq \mathbb{P}^1_k ; \wp est vue comme fonction de la coordonnée z sur \mathbb{P}^1_k. Le passage entre parenthèses est écrit au-dessus de la ligne, relié par un trait.

Considérons maintenant \wp'^2 \in \mathcal{F}_6^+ = engendré par la base 1, \wp, \wp^2, \wp^3 et notons que \varepsilon_6\, \wp'^2 = \varepsilon_6\, \wp^3 = \delta^6 , on arrive donc à la relation (28) \qquad \boxed{\;\wp'^2 = \wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3\;} \qquad a_1, a_2, a_3 \in k déterminés de façon unique (pour \delta choisi). dans la formule encadrée les indices des a_i sont surchargés. La dernière ligne, écrite sous la formule, se lit mal : « déterminés de façon unique (pour … choisi) ».

Proposition 2 Les a_\alpha (1 \leqslant \alpha \leqslant 3) sont caractérisés par la condition que \wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3 \mid J = 0.

C'est nécessaire, puisque \wp' \mid J = 0. Mais d'après le cor. à la prop. précédente, les fonctions 1, \wp, \wp^2 restreintes à J sont lin. indépendantes, donc la relation précédente sur les a_i (qui s'écrit (-\wp^3) \mid J = a_1 (\wp^2 \mid J) + a_2 (\wp \mid J) + a_3 (1_E \mid J)\ ) caractérise déjà les a_i, cqfd.

Corollaire 1 Les (-1)^\alpha a_\alpha (1 \leqslant \alpha \leqslant 3) sont les fonctions sym. élémentaires en les \wp(e_i) (i \in J) i.e. on a (29) \qquad \wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3 = \prod_{i \in J} \bigl(\wp - \wp(e_i)\bigr) . dans le produit, un \wp est surchargé devant \wp(e_i).

Corollaire 2 Pour que l'on ait a_1 = 0 il f. et s. que \operatorname{Tr}_{J/k}(\wp \mid J) = 0 i.e. \sum \wp(e_i) = 0. devant « Corollaire 2 », un chiffre biffé.

Si car. k \neq 3, les \wp \in \mathcal{F}_2 qui satisfont cette condition forment un s-complémentaire W_E de \mathcal{F}_1 dans \mathcal{F}_2 (30) \qquad \mathcal{F}_2 \simeq \underbrace{\mathcal{F}_1}_{k \cdot 1_E} \oplus \underbrace{W_E}_{\simeq\, t_E^{\otimes 2}} Les ~~fonctions~~ éléments de W_E non nuls sont les fonctions de Weierstrass,

p. 4 de l'auteur, chiffrée en tête de page. en corr. 1-1 avec les éléments de (t_E^{\otimes 2})^*.

Corollaire 3 On a (31) \qquad \begin{aligned} \mathcal{F}_\infty &\simeq k[P, P'] \big/ P'^2 - (P^3 + a_1 P^2 + a_2 P + a_3) \\ &\simeq k[P][P'] \big/ \bigl(P'^2 - (P^3 + a_1 P^2 + a_2 P + a_3)\bigr) \end{aligned} l'isomorphisme étant donné par P \mapsto \wp, P' \mapsto \wp'. L'automorphisme f \mapsto \check f correspond à l'automorphisme P' \mapsto -P', P \mapsto P de k[P, P']/\ldots . La dérivation \Theta_\delta est induite par passage aux quotients de ~~l'expression~~ la dérivation (32) \qquad \Theta_\delta P = P', \qquad \Theta_\delta P' = \tfrac12 (3P^2 + 2a_1 P + a_2) sur k[P, P'], qui applique l'idéal P'^2 - (P^3 + a_1 P^2 + a_2 P + a_3) en lui-même. dans (31), le \wp de la seconde ligne est surchargé ; dans (32), l'indice \delta de \Theta et le premier P' sont surchargés.

La formule (32) s'obtient en dérivant \wp'^2 = \wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3 par \Theta_\delta, ~~et en divisant~~ d'où 2\wp'\, \Theta_\delta(\wp') = (3\wp^2 + 2a_1 \wp + a_2)\, \wp' et en divisant par \wp' la relation obtenue, d'où (33) \qquad \wp'' = \tfrac12 (3\wp^2 + 2a_1 \wp + a_2) .

~~Corollaire~~ Remarque En termes des bases explicites des \mathcal{F}_n^+ et \mathcal{F}_n^- (25') dans la décomposition \mathcal{F}_n = \mathcal{F}_n^+ \oplus \mathcal{F}_n^-, on voit maintenant comment expliciter la loi de multiplication, en termes de a_1, a_2, a_3, ainsi que

la dérivation \Theta_\delta.

Inversement partant de a_1, a_2, a_3 \in k, ~~satisfaisant~~ tels que le polynôme Z^3 + a_1 Z^2 + a_2 Z + a_3 \in k[Z] soit sans racines multiples, i.e. tels que (34) \qquad \underbrace{\Delta(a_1, a_2, a_3)}_{\text{discriminant}} \neq 0 , on vérifie que les formules précédentes définissent une courbe elliptique sur k (qu'on peut ~~définir~~ construire comme \operatorname{Proj}(\mathcal{F}_\bullet), où \mathcal{F}_\bullet est défini par (31)), que revêtement ~~quadratique~~ quadratique de \mathbb{P}^1_k défini par (35) \qquad \wp : E \longrightarrow \mathbb{P}^1_k \simeq E/\{\pm \mathrm{id}_E\} ramifié en l'origine et en les trois points z_i de \mathbb{P}^1_{(k)} = k solutions de l'équation (36) \qquad Z^3 + a_1 Z^2 + a_2 Z + a_3 = 0 , ~~l'origine~~ l'unique pointe de E étant au-dessus de la l'infini \infty de \mathbb{P}^1_k. ~~qui est bien~~ , l'inclusion J \subset \mathbb{P}^1_k définit un isom. canonique (37) \qquad \Sigma_J \xrightarrow{\;\sim\;} \mathbb{P}^1_k , \qquad t \mapsto \infty . dans (35), la flèche oblique descendant de E vers E/\{\pm\mathrm{id}_E\} et la flèche remontant vers \mathbb{P}^1_k ont été ramenées ici à un isomorphisme en ligne ; « l'isom. » est écrit à côté. Plusieurs mots de ce paragraphe sont surchargés et soulignés ; la lecture n'est pas sûre. Dans (37), le point t de \Sigma_J est sans doute celui qui a servi à normaliser \wp page 105.

p. 5 de l'auteur, chiffrée en tête de page. . La donnée d'un point x \neq 0 de E(k) équivaut à celle de son image dans \mathbb{P}^1_k, soit ~~\wp(x)~~ (38) \qquad \wp(x) = x_0 \in k , plus la donnée d'une des deux solutions X' de l'équation (distinctes au moins si la 2e membre est \neq 0 i.e. si x_0 \notin J =\, _2E^* i.e. x_0 \notin D_J \subset \Sigma_J) (39) \qquad X'^2 = x_0^3 + a_1 x_0^2 + a_2 x_0 + a_3 , donnée en termes de x par (40) \qquad X' = \wp'(x) .

Proposition 3 Soient x, y, z \in E(k) \setminus \{0\}, ~~pas~~ tous distincts ~~égaux~~, alors on a (41) \qquad x + y + z = 0 ssi on a ~~\wp(x) = \wp(y) = \wp(z)~~ (42) \qquad \det \begin{pmatrix} 1 & \wp(x) & \wp'(x) \\ 1 & \wp(y) & \wp'(y) \\ 1 & \wp(z) & \wp'(z) \end{pmatrix} = 0 (cela implique \wp(x) \neq \wp(y) \neq \wp(z) \neq \wp(x), car si \wp(x) = \wp(y), x = y x = -y, z = 0, ) NB Si Si deux parmi les x, y, z sont égaux, par ex. (41) , \Rightarrow x + y + z = 0 ! condition non \exists\, a \in E(k), algébrique x + y + z = a, a = 0, et x, y, z \neq 0. la page porte trois annotations en marge : une colonne à droite de (41)–(42) et deux blocs écrits de biais dans la marge gauche, l'un autour de « Proposition 3 » (commençant par « NB »), l'autre plus bas, en colonnes séparées par des traits. Elles ne se lisent que par fragments. Devant (41), un renvoi « cf » à la note marginale.

En effet, la définition de la loi de multiplication sur E nous donne que si x, y, z \in E(k) sont ~~x + y + z = 0~~ x + y + z = 0 \iff (\{x\} - \{0\}) + (\{y\} - \{0\}) + (\{z\} - \{0\}) \overset{\text{lin.}}{\sim} 0 \text{i.e.}\quad \{x\} + \{y\} + \{z\} \overset{\text{lin.}}{\sim} 3\{0\} Si x, y, z sont tous \neq 0, cela signifie qu'il existe une fonction rat. sur E, ayant 0 comme pôle d'ordre 3, pas d'autre pôle, (donc f \in \mathcal{F}_3), et \{x\} + \{y\} + \{z\} comme ~~pôles~~ diviseur des zéros. « loi de multiplication » : c'est la loi de groupe de E, notée additivement.

OPS f de la forme \wp' + \alpha\wp + \beta (quitte à multiplier par un scalaire) (43) \qquad \begin{cases} f = \wp' + \alpha \wp + \beta , & \alpha, \beta \in k \\ \operatorname{div} f = \{x\} + \{y\} + \{z\} - 3\{0_E\} \end{cases} On aura donc (44) \qquad f(x) = f(y) = f(z) = 0 \quad\text{i.e.} (45) \qquad \begin{cases} \wp'(x) + \alpha \wp(x) + \beta = 0 \\ \wp'(y) + \alpha \wp(y) + \beta = 0 \\ \wp'(z) + \alpha \wp(z) + \beta = 0 \end{cases} ce qui signifie aussi que le vecteur colonne \begin{pmatrix} \wp'(x) \\ \wp'(y) \\ \wp'(z) \end{pmatrix} s'exprime comme comb. lin. des vecteurs colonnes \begin{pmatrix} \wp(x) \\ \wp(y) \\ \wp(z) \end{pmatrix} et \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, ce qui implique que ces trois vect. colonnes sont lin. dépendants, d'où (42). Inversement, supposons qu'on ait (42), et x, y, z tous distincts, alors, n'a pas \wp(x) = \wp(y) = \wp(z) (sinon fibre de \wp, deux points) les vect. colonnes \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \wp(x) \\ \wp(y) \\ \wp(z) \end{pmatrix} sont lin. indép., et (42) signifie qu'il existe \alpha, \beta \in k tels qu'on ait (45), i.e. (44), où f est donnée par (43) a). ~~Comme~~ Comme x, y, z sont distincts, on en conclut bien (43) b), d'où (41). un passage de deux lignes, surchargé et biffé en partie (« x, y, z … »), est récrit au-dessus de la ligne ; la lecture en est très incertaine.

p. 6 de l'auteur, chiffrée en tête de page. . Montrons comment cela permet de calculer z, par z_0 = \wp(z) et z' = \wp'(z) (reliés par (46) \qquad z'^2 = z_0^3 + a_1 z_0^2 + a_2 z_0 + a_3 \ ), quand on connaît x et y, exprimés à l'aide de ~~x_0 = \wp(x), x' = \wp'(x)~~ \begin{cases} x_0 = \wp(x), & x' = \wp'(x) \\ y_0 = \wp(y), & y' = \wp'(y) \end{cases} (reliés par x'^2 = x_0^3 + a_1 x_0^2 + a_2 x_0 + a_3, y'^2 = y_0^3 + a_1 y_0^2 + a_2 y_0 + a_3).

L'équation (42) s'écrit (*) \qquad z'(x_0 - y_0) + z_0(y' - x') + (x' y_0 - y' x_0) = 0 i.e. (47) \qquad z' = \lambda z_0 + \mu , \quad\text{avec}\quad \lambda = \frac{x' - y'}{x_0 - y_0} , \quad \mu = \frac{y' x_0 - x' y_0}{x_0 - y_0} ~~Donc~~ (NB on a x_0 \neq y_0 i.e. x_0 - y_0 \neq 0). De plus z' satisfait (46), qui équivaut à ~~l'équation~~ (compte tenu de (47), qui implique z'^2 = \lambda^2 z_0^2 + 2\lambda\mu z_0 + \mu^2) : l'équation (48) \qquad z_0^3 + (a_1 - \lambda^2) z_0^2 + (a_2 - 2\lambda\mu) z_0 + (a_3 - \mu^2) = 0 Donc (z_0, z') est lié par (47), (48), a priori on trouve 3 solutions en z_0 de (48), et qui correspondent trois solutions (z_0, z') via (47). Il faut trouver une solution unique, on a rappelé qu'on doit avoir (49) \qquad z_0 \neq x_0 , \quad z_0 \neq y_0 , « on a rappelé » : lecture incertaine ; le sens est que la condition (49) vient de la Proposition 3 (les trois points ont des images distinctes par \wp).

alors qu'il est clair que ~~z_0~~ z_0 = x_0, z_0 = y_0 sont solutions des solutions de l'équation (48). Si donc z_0 est une solution \neq x_0, y_0, on aura x_0 + y_0 + z_0 = -(a_1 - \lambda^2) = \lambda^2 - a_1 = \Bigl(\frac{x' - y'}{x_0 - y_0}\Bigr)^2 - a_1 d'où la solution (sous réserve d'existence d'une solution z_0 \neq x_0, y_0, on a encore à réserver que (50) \qquad x, y \in E \setminus \{0\}, \quad x \neq y , \quad -(x + y) \neq x, y \quad\text{i.e.}\quad \begin{aligned} & 2x + y \neq 0 , \ 2y + x \neq 0 \\ & \text{i.e.}\ y \neq -2x , \ x \neq -2y \end{aligned} \ \Bigr) , la solution (51) \qquad \begin{cases} z_0 = -x_0 - y_0 + \Bigl(\dfrac{x' - y'}{x_0 - y_0}\Bigr)^2 - a_1 \\[2ex] z' = \lambda z_0 + \mu = \dfrac{x' - y'}{x_0 - y_0} \Bigl[ -x_0 - y_0 + \Bigl(\dfrac{x' - y'}{x_0 - y_0}\Bigr)^2 - a_1 \Bigr] + \dfrac{y' x_0 - x' y_0}{x_0 - y_0} . \end{cases}

Par principe de prolongement, cette expression, pour z_0 = \wp(z) et z' = \wp'(z), pour z = -(x + y), est valable encore dès que x, y \in E(k) \setminus \{0\} sont tels que x_0 \neq y_0 i.e. \wp(x) \neq \wp(y), i.e. dès que ~~x \neq~~ y \notin \pm x, de sorte que les formules (51) ont un sens. la seconde ligne de (51) est écrite sur deux lignes, le terme \frac{y'x_0 - x'y_0}{x_0 - y_0} étant renvoyé au-dessous par une accolade. La note \bigl(\ldots\bigr) ouverte avant (50) se ferme après les conditions.

. La fonction \wp, considérée comme morphisme (52) \qquad \wp : E \longrightarrow \mathbb{P}^1_k induit l'iso (53) \qquad \dot\wp : E/\{\pm \mathrm{id}_E\} \simeq \text{droite projective type } \mathbb{P}^1_k par la condition (54) \qquad \wp(0_E) = \infty ce qui détermine \wp modulo transformation affine (55) \qquad \wp \longmapsto \wp_1 = a\wp + b \qquad a \in k^*,\ b \in k . Les points d'ordre 2 (56) \qquad (\varepsilon_i)_{i \in J} , \qquad \varepsilon_i \in {}_2E(k)^* sont transformés par \wp en des points (57) \qquad \zeta_i = \wp(\varepsilon_i) \in \mathbb{P}^1(k) \setminus \{\infty\} = k qui sont, bien sûr, avec le point \infty, les points de ramification de \wp. La normalisation de Weierstrass, possible en car. \neq 3, ~~qui est~~ (58) \qquad \underbrace{\textstyle\sum \zeta_i}_{-a_1} = 0 elle détermine \wp modulo transformation \wp \longmapsto \wp_1 = a\wp \qquad a \in k^* . NB on obtient ainsi E, k le numéro (57) manque sur la page, où la formule \zeta_i = \wp(\varepsilon_i) n'est pas numérotée ; il est ajouté ici entre (56) et (58). La note marginale, écrite de biais dans la marge gauche et renvoyée par un astérisque devant « sont, bien sûr », ne se lit que par fragments.

En général, on pose (59) \qquad \begin{cases} a_1 = -\sum \zeta_i \\ a_2 = \sum \zeta_i \zeta_j \\ a_3 = -\prod \zeta_i \end{cases} après « a_3 = », un symbole biffé et raturé, non lu.

de sorte que \zeta_1, \zeta_2, \zeta_3 sont les solutions de l'équation (60) \qquad \underbrace{Z^3 + a_1 Z^2 + a_2 Z + a_3}_{\prod_i (Z - \zeta_i)} = 0 On aura, ~~donc~~ si \delta \in t_E = T_{E,0} est une base de t_E, liée à \wp mod k \cdot 1 par \varepsilon_2(\wp) = \delta^{\otimes 2} et si \wp' = \Theta_\delta \wp la relation \wp'^2 = \wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3 . Déterminons l'automorphisme involutif \sigma_i de \mathbb{P}^1_k qui échange \zeta_i et \infty, \zeta_j et \zeta_k — qui s'identifie à l'automorphisme induit par passage au quotient de E \to E, ~~x \mapsto x + \ldots~~ x \longmapsto x + \varepsilon_i . On trouve, \sigma_i Z = \frac{aZ + b}{cZ + d} et écrivant \sigma_i \infty = \zeta_i, \sigma_i \zeta_i = \infty ~~\sigma_i Z~~ \frac{a}{c} = \zeta_i , \qquad -\frac{d}{c} = \zeta_i soit, faisant c = 1 \sigma_i Z = \frac{\zeta_i Z + b}{Z - \zeta_i} et écrivant \sigma_i \zeta_j = \zeta_k on trouve \frac{\zeta_i \zeta_j + b}{\zeta_j - \zeta_i} = \zeta_k \quad\text{i.e.}\quad b = \zeta_j \zeta_k - \zeta_i(\zeta_j + \zeta_k) sous (60), une première forme du produit est biffée. Dans le dénominateur de \sigma_i Z faisant c = 1, les deux termes sont surchargés ; la lecture Z - \zeta_i est celle qu'impose -d/c = \zeta_i.

soit (61) \qquad \sigma_i Z = \frac{\zeta_i Z + \overbrace{\zeta_j \zeta_k - \zeta_i(\zeta_j + \zeta_k)}^{b_i}}{Z - \zeta_i} On peut transformer b_i, en utilisant les fonctions symétriques élémentaires (-1)^\alpha a_\alpha des \zeta, b_i = 2\underbrace{\zeta_j \zeta_k}_{-a_3/\zeta_i} - \underbrace{(\zeta_i \zeta_j + \zeta_j \zeta_k + \zeta_k \zeta_i)}_{a_2} = -(a_2 + 2a_3/\zeta_i) (expression valable dès que \zeta_i \neq 0 ?) donc on trouve (62) \qquad \sigma_i Z = \frac{\zeta_i Z - (a_2 + 2a_3/\zeta_i)}{Z - \zeta_i} = \frac{\zeta_i^2 Z - (a_2 \zeta_i + 2a_3)}{\zeta_i Z - \zeta_i^2} a_3/\zeta_i seulement (62) Mais qu'il \zeta_i \neq 0 … deux notes marginales, écrites de biais dans la marge gauche à la hauteur de (62), se lisent mal : la première, « expression valable dès que \zeta_i \neq 0 ? », se rattache à la formule de b_i ; la seconde, renvoyée par une flèche vers (62), n'est lue que par fragments.

Les points, div. \Delta_i des points fixes de \sigma_i est l'ensemble des solutions de l'équation en Z_i (63) \qquad Z_i^2 - 2\zeta_i Z_i + (a_2 + 2a_3/\zeta_i) = 0 dont les solutions sont données par (64) \qquad Z_i = \zeta_i \pm \sqrt{\zeta_i^2 - a_2 - 2a_3/\zeta_i} L'expression sous le signe \sqrt{\ } s'écrit aussi \frac{1}{\zeta_i}\bigl(\zeta_i^3 - a_2 \zeta_i - 2a_3\bigr) on aura, compte tenu de (60) \zeta_i^3 = -a_1 \zeta_i^2 - a_2 \zeta_i - a_3 ~~le radical~~ cette expression devient -\frac{1}{\zeta_i}\bigl(a_1 \zeta_i^2 + 2a_2 \zeta_i + 3a_3\bigr) donc (64) s'écrit aussi (65) \qquad \begin{cases} (Z_i - \zeta_i)^2 = -\dfrac{1}{\zeta_i}\bigl(a_1 \zeta_i^2 + 2a_2 \zeta_i + 3a_3\bigr) \\[2ex] \text{i.e.}\ Z_i = \zeta_i \pm \sqrt{-\dfrac{1}{\zeta_i}\bigl(a_1 \zeta_i^2 + 2a_2 \zeta_i + 3a_3\bigr)} \end{cases} Si \zeta_i = 0, on -(a_1 \zeta_i^2 + 2a_2 \zeta_i + 3a_3) l'expr. sous le radical … le renvoi « (66) » que porte la page devant \zeta_i^3 = \ldots se lit plutôt (60), qui est l'équation dont les \zeta_i sont les racines ; (66) est une formule de la page suivante. La note marginale gauche en face de (65), renvoyée au numéro encerclé, n'est lue qu'en partie.

Les deux points d'ordre 4 de E sont donc les points au-dessus des six points Z_i, donc ~~définis par~~ définis par

points ont obtenus, pour un i et un Z_i fixe ; par le choix d'un Z_i' satisfaisant (66) \qquad Z_i'^2 = \underbrace{Z_i^3 + a_1 Z_i^2 + a_2 Z_i + a_3}_{(Z_i - \zeta_i)(Z_i - \zeta_j)(Z_i - \zeta_k)} . Choisir, pour tout i \in J, un x_i \in E(k) tel que (67) \qquad 2x_i = \varepsilon_i revient donc à choisir, pour tout i, les quantités (68\,a) \qquad \wp(x_i) = Z_i soumises à (65), (2 choix possibles) et ensuite, les quantités Z_i' (68\,b) \qquad \wp'(x_i) = Z_i' , soumises à (66) — ce qui fait quatre choix possibles pour tout i, comme il se doit (vu l'indétermination pour x_i dans {}_2E(k)).

Ceci posé la condition d'équilibre de Jacobi relatif d'échelon 4 (69) \qquad \sum_{i \in J} x_i = 0 s'exprime par la condition (70) \qquad \begin{cases} \det \begin{pmatrix} 1 & Z_1 & Z_1' \\ 1 & Z_2 & Z_2' \\ 1 & Z_3 & Z_3' \end{pmatrix} = 0 \qquad \text{i.e.} \\[3ex] (Z_1 Z_2' - Z_2 Z_1') + (Z_2 Z_3' - Z_3 Z_2') + (Z_3 Z_1' - Z_1 Z_3') = 0 . \end{cases} (cf. prop. 3), qui s'applique, car les x_i sont tous distincts …) « points ont obtenus » : la page commence ainsi, à la suite de la phrase interrompue page 115 ; la lecture de ce début de phrase est incertaine. « condition d'équilibre de Jacobi » : lecture incertaine de « d'équilibre ».

En mettant ensemble les équations pertinentes : (71) \qquad \begin{cases} (Z_i - \zeta_i)^2 = -\dfrac{1}{\zeta_i}\bigl(a_1 \zeta_i^2 + 2a_2 \zeta_i + 3a_3\bigr) \quad \bigl[= -(a_1 \zeta_i + 2a_2 + 3\zeta_j \zeta_k)\bigr] \\[2ex] Z_i'^2 = Z_i^3 + a_1 Z_i^2 + a_2 Z_i + a_3 \quad \bigl[= (Z_i - \zeta_i)(Z_i - \zeta_j)(Z_i - \zeta_k)\bigr] \\[2ex] \det \begin{pmatrix} 1 & Z_1 & Z_1' \\ 1 & Z_2 & Z_2' \\ 1 & Z_3 & Z_3' \end{pmatrix} = 0 \\ \quad \text{i.e.}\ \underbrace{(Z_2 Z_3' - Z_3 Z_2')}_{\varphi_1} + \underbrace{(Z_3 Z_1' - Z_1 Z_3')}_{\varphi_2} + \underbrace{(Z_1 Z_2' - Z_2 Z_1')}_{\varphi_3} = 0 \end{cases} Z_i^2 = 2\zeta_i Z_i - (a_2 + 2\zeta_j \zeta_k) \Longrightarrow NB. \bigl[\varphi_i^\omega = Z_j Z_k' - Z_k Z_j', j = \omega i, k = \omega^2 i = \omega^{-1} i \bigr] qui expriment conjointement les données de (72) \qquad (x_i)_{i \in J} \in E(k)^J \quad \text{satisfaisant (67), (69),} \qquad 2x_i = \varepsilon_i \ \bigl(\in {}_2E(k)^*\bigr) , \quad \sum x_i = 0 via (73) \qquad Z_i = \wp(x_i) , \quad Z_i' = \wp'(x_i) . la première note marginale, dans la marge gauche en face de (71), est reliée par une double flèche à la première ligne de (71) ; la seconde, encadrée de crochets, est à la hauteur de « qui expriment ». Dans les crochets de (71), les indices sont écrits très court.

Je voudrais, à une telle donnée_2 (x_i)_{i \in J}, exprimée calculatoirement (via le choix d'un \delta \in t_E^* et \wp \in \mathcal{F}_2 associés) par (71), associer canoniquement un épinglage de Legendre de E, de façon fonctorielle en E et compatible avec le changement de corps de base (ou même de base …). Je vais pour ceci supposer d'abord fixé un (74) \qquad \dot\imath \in \mu_4^*(k) , de sorte que, via ce choix, la première donnée \alpha d'un épinglage de Legendre de E s'interprète comme un élément (75) \qquad \omega \in \underline{\omega} = \underline{\omega}_J \qquad \text{un ordre circulaire sur } J = {}_2E(k)^* = \{\varepsilon_i\} , \alpha = \dot\imath \wedge \omega de sorte que la deuxième donnée K s'interprète comme un isomorphisme (75) \qquad K : \underline{t}_E \simeq \mathcal{O}_{\Sigma_J, t}(1)^{\otimes \,\cdots} \xrightarrow[\sim]{\ \text{via choix de } \dot\imath\ } \mathcal{O}_t(1) , le numéro (75) est porté deux fois, ici et à la formule précédente ; transcrit tel quel (cette formule est celle que la suite appelle (76)). L'exposant (noté ici \cdots) après \mathcal{O}_{\Sigma_J,t}(1) n'est pas lu. L'étiquette de la flèche, encerclée et renvoyée par une flèche, se lit « via choix de \dot\imath » avec incertitude. « donnée_2 » : l'indice 2 est de l'auteur.

satisfaisant à la la condition que son carré K^{\otimes 2} s'identifie, via les isom. canoniques (77) \qquad \underline{t}_E^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma_J, t} , \qquad \mathcal{O}_t(1)^{\otimes 2} = \mathcal{O}_t(2) \underset{\text{via } \alpha}{\simeq} \mathcal{O}_t(2)(\underline{\omega}) \simeq T_{\Sigma_J, t} à l'isom. identique de T_{\Sigma_J, t} — ce qui, pour \alpha fixé (deux choix), détermine K modulo signe. Pour \alpha non fixé, K est déterminé modulo multiplication par \mu_4(k). « son carré K^{\otimes 2} » : le mot devant K^{\otimes 2} se lit mal ; un mot surchargé suit « s' ». La phrase continue celle de la page 117, interrompue après (76).

Rappelons-nous de la suite exacte canonique (78)

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & F_t \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & V_J(k) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & \mathcal{O}_t(1) \arrow[r] & 0 \\ & \mathcal{O}_t(-1)(\underline{\omega}) & \Gamma(\Sigma_J, \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}(1)) & & \end{tikzcd}

que ~~par~~ je compare avec (79) \qquad 0 \to k \cdot 1_{\Sigma_J} \to \overbrace{\Gamma(\Sigma_J, \underbrace{\underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}\{t\}}_{\substack{\simeq\, \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}(1) \\ \text{non canoniquement}}})}^{\dot\simeq\, \mathcal{F}_2} \to T_{\Sigma_J, t} \to 0 On constate que la deuxième suite exacte est canoniquement isom. à celle déduite de la première, en la tensorisant par (80) \qquad \check F_t \simeq \mathcal{O}_t(1)(\underline{\omega}) (comme on le voit dès qu'on fixe à un Module loc. libre de rang 2, \underline{V}, et une section t de \mathbb{P}(\underline{V}) …) : (81)

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & F_t \otimes \check F_t \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & V_J(k) \otimes \check F_t \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & \mathcal{O}_t(1) \otimes \check F_t \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 0 \\ 0 \arrow[r] & k \cdot 1_{\Sigma_J} \arrow[r] & \Gamma(\Sigma_J, \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}\{t\}) \arrow[r] & T_{\Sigma_J, t} \arrow[r] & 0 \end{tikzcd}

dans (78), les isomorphismes sont écrits verticalement (« \wr ») sous F_t et V_J(k). Dans (79), l'accolade supérieure porte « \dot\simeq \mathcal{F}_2 » avec un point sur le signe. Dans (81), le terme \mathcal{O}_t(1) \otimes \check F_t porte au-dessus l'identification \underline{\mathcal{O}}_t(2)(\underline{\omega}), et le terme \Gamma(\Sigma_J, \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}\{t\}) est souligné d'une accolade marquée \mathcal{F}_2 ; le numéro (81) est écrit sur un numéro biffé.

La donnée d'un isom. K : \underline{t}_E \simeq \mathcal{O}_t(1) équivaut à celle de \check K : \check{\underline{t}}_E \simeq \underline{\mathcal{O}}_t(1)^\vee \simeq \underline{\mathcal{O}}_t(-1) \xrightarrow[\text{via } \omega]{} \underline{\mathcal{O}}_t(-1)(\underline{\omega}) \simeq F_t ~~ce qui implique une injection~~ ou encore à celle d'un monomorphisme \check t_E \hookrightarrow V_J(k) \hookrightarrow k^J dont l'image soit F_t, ou enfin à celle d'un élément non nul de V_J(\underline{t}_E) = \operatorname{Ker}\bigl(\underline{t}_E^J \xrightarrow[\text{somme}]{} \underline{t}_E\bigr) dans la dernière formule, deux symboles sont raturés, l'un devant V_J(\underline{t}_E), l'autre après le signe = ; ils ne sont pas lus. donc on peut considérer que la donnée de K revient à celle d'une famille (82) \qquad (\delta_i)_{i \in J} \in \underline{t}_E^J satisfaisant certaines relations, savoir (83) \qquad \begin{cases} \text{a) } \sum \delta_i = 0 \quad \text{exprimant } \delta_i \in V_J(\underline{t}_E) \\ \text{b) Relation de proportionnalité, exprimant que l'image de } \\ \qquad \check t_E \hookrightarrow V_J(k) \text{ définie par } (\delta_i) \text{ est } F_t , \\ \qquad \text{de sorte que } (\delta_i) \text{ définit } K : \underline{t}_E \xrightarrow{\sim} \check F_t \xrightarrow[\text{via } \omega]{\sim} \mathcal{O}_t(1) \\ \text{c) Relation de l'épinglage de Legendre, exprimant que } \\ \qquad K^{\otimes 2} \text{ est un isom.\ standard déjà connu.} \end{cases} Nous allons expliciter les \delta_i en termes du choix d'un \delta \in \underline{t}_E^*, en plus du choix de \omega \in \underline{\omega}, comme (83) \qquad \delta_i = \varphi_i^\omega(\delta)\, \delta \qquad \text{où}\quad \varphi_i^\omega(\delta) \in k^* \quad \bigl(i \in J,\ \omega \in \underline{\omega}(J),\ \delta \in \underline{t}_E^*\bigr) La condition d'invariance de \delta_i par rapport au choix de \delta s'exprime par la relation (85) \qquad \varphi_i^\omega(\lambda\delta) = \frac{1}{\lambda}\, \varphi_i^\omega(\delta) les numéros (82) à (85) sont écrits de façon peu nette ; le numéro (83) est porté deux fois, transcrit tel quel (la seconde formule est la (84) de la suite). Au début de la page, le K de « isom. K » est surchargé.

la condition (83) a) s'exprime par (86) \qquad \sum_i \varphi_i^\omega(\delta) = 0 la condition b) par la relation (87) \qquad k \cdot \bigl((\varphi_i^\omega(\delta))_i\bigr) = F_t qui détermine d'ailleurs les (\varphi_i^\omega(\delta))_i à un scalaire inversible près — la condition c les déterminant enfin (pour \dot\imath également choisi) au signe près. Bien sûr, la relation entre K et les \varphi_i^\omega(\delta) s'explicite par (88) \qquad \bigl(\varphi_i^\omega(\delta)\bigr) = \underbrace{\check K(\check\delta)}_{\mathcal{O}_t(-1)} \wedge \omega \in \mathcal{O}_t(-1)(\underline{\omega}) \simeq F_t \subset V_J(k) \subset k^J et la condition c) s'écrit … Dieu sait comment — il faudra y revenir. Reste à exprimer la dépendance par rapport à \omega ; pour trouver l'invariance de l'épinglage de Legendre par rapport au choix de \dot\imath i.e. par rapport au choix de \omega = \omega_{\dot\imath} (\alpha : \mu_4^*(k) \simeq \underline{\omega} étant supposé déterminé), on trouve la relation évidente (89) \qquad \varphi_i^{\omega'}(\delta) = \dot\imath_\omega\, \varphi_i^\omega(\delta) où \dot\imath_\omega \overset{\text{déf}}{=} \alpha(\omega) , \qquad \alpha : \mu_4^* \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\omega} \ \text{étant l'iso.} (supposé déterminé) associé à l'épinglage de Legendre cherché.

Posons « la condition c les déterminant enfin » : lecture incertaine de ce passage. Dans (88), le \check\delta porte un second signe, surchargé. Dans (89), un premier facteur est raturé devant \dot\imath_\omega, et le \omega' du membre de gauche se lit mal. La page s'arrête sur « Posons », sans suite dans ce lot.