Cote n° 64, pages 101–120

Cote n° 64 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Modules courbes elliptiques en caractéristiques ≠2 : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1980- 1982]
Édition de démonstration

101p. 1 de l'auteur, chiffrée en tête de page : une nouvelle suite numérotée commence ici, avec ses propres numéros de formules (1), (2), … . Soit $E$ courbe elliptique, sur corps alg alg. clos ⌜$k$⌝, pour commencer (de car $\neq 2$ comme d'habitude).

On pose, pour $n \in \mathbb{N}$ \[ (1) \qquad \mathcal{F}_n = \Gamma(E, n\{0_E\}) \] par la formule de RR on a \[ (2) \qquad \operatorname{rg} \mathcal{F}_n = n \quad\text{si } n \geqslant 1 \] et \[ (3) \qquad \mathcal{F}_0 = \mathcal{F}_1 = k \cdot 1_E . \] On a évidemment sur \[ (4) \qquad \mathcal{F}_\infty \overset{\text{déf}}{=} \varinjlim_n \mathcal{F}_n \] une loi de multiplication ass. comm. avec \[ (5) \qquad \mathcal{F}_m \cdot \mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n+m} , \] de sorte que $\mathcal{F}_* = \coprod \mathcal{F}_n$ devient une algèbre graduée, dont le Proj est can. isomorphe à $E$. On va déterminer $\mathcal{F}_*$.

Notons la suite exacte \[ (6) \qquad 0 \to \mathcal{F}_{n-1} \to \mathcal{F}_n \xrightarrow{\;\varepsilon_n\;} t_E^{\otimes n} \to 0 \qquad (n \geqslant 2) \] où \[ (7) \qquad t_E \overset{\text{déf}}{=} T_{E, 0_E} . \] On a, pour $\delta \in t_E$, une opération

102\[ (8) \qquad \Theta_\delta : \mathcal{F}_n \longrightarrow \mathcal{F}_{n+1} \qquad \text{dérivation de degré $+1$ de l'algèbre graduée } \mathcal{F}_* \] qui donne lieu à un homom. de suites exactes (9)

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
    0 \arrow[r] & \mathcal{F}_{n-1} \arrow[r] \arrow[d, "\Theta_\delta"] &
    \mathcal{F}_n \arrow[r] \arrow[d, "\Theta_\delta"] &
    t_E^{\otimes n} \arrow[r] \arrow[d, "\mu_\delta"] & 0 \\
    0 \arrow[r] & \mathcal{F}_n \arrow[r] & \mathcal{F}_{n+1} \arrow[r] &
    t_E^{\otimes n+1} \arrow[r] & 0
  \end{tikzcd}

où $\mu_\delta$ est la multiplication par $\delta$. De façon plus intrinsèque, d'où un homom. \[ (10) \qquad \begin{aligned} t_E \otimes \mathcal{F}_n &\xrightarrow{\;\delta_n\;} \mathcal{F}_{n+1} \\ \delta \otimes \varphi &\longmapsto \Theta_\delta \varphi \end{aligned} \] qui donne lieu à un homom. de suites exactes (11)

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
    0 \arrow[r] & t_E \otimes \mathcal{F}_{n-1} \arrow[r] \arrow[d, "\delta_{n-1}"] &
    t_E \otimes \mathcal{F}_n \arrow[r] \arrow[d, "\delta_n"] &
    t_E \otimes t_E^{\otimes n} \arrow[r] \arrow[d, "\wr\ \mathrm{can}"] & 0 \\
    0 \arrow[r] & \mathcal{F}_n \arrow[r] & \mathcal{F}_{n+1} \arrow[r] &
    t_E^{\otimes n+1} \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}

pour $n \geqslant 2$ la flèche verticale de droite de (9) porte un symbole d'une lecture incertaine, transcrit $\mu_\delta$ ; le texte dit seulement qu'il s'agit de la multiplication par $\delta$.

On en conclut que pour $n \geqslant 2$, on a $\operatorname{Ker} \delta_n = \operatorname{Ker} \delta_{n-1}$, donc \[ (12) \qquad \begin{cases} \operatorname{Ker} \delta_n = \operatorname{Ker} \delta_1 = t_E \otimes \mathcal{F}_1 = t_E \otimes_k 1_E \\ \operatorname{Ker} \Theta_\delta = \mathcal{F}_1 = k \cdot 1_E . \end{cases} \] dans la première ligne de (12), « $k \cdot 1_E$ » est biffé deux fois (après le premier et après le second signe $=$), et « $t_E \otimes$ » est ajouté au-dessus de la ligne devant $\mathcal{F}_1$.

Soit, pour $f \in \mathcal{F}_n$, \[ (13) \qquad \check f(x) = f(-x) \] donc \[ (14) \qquad f \mapsto \check f \qquad \mathcal{F}_* \longrightarrow \mathcal{F}_* \qquad \text{involution de l'algèbre comm.} \]

103p. 2 de l'auteur, chiffrée en tête de page. On trouve \[ (15) \qquad (\Theta_\delta f)^\vee = \Theta_{\check\delta} \check f = \Theta_{-\delta} \check f = -\Theta_\delta \check f \] i.e. \[ \vee \circ \Theta_\delta = -\Theta_\delta \circ \vee . \] Posons \[ (16) \qquad \begin{cases} \mathcal{F}_n^+ = \{ f \in \mathcal{F}_n \mid \check f = f \} \\ \mathcal{F}_n^- = \{ f \in \mathcal{F}_n \mid \check f = -f \} \end{cases} \] on a donc \[ (17) \qquad \left\{ \begin{aligned} & \mathcal{F}_n = \mathcal{F}_n^+ \oplus \mathcal{F}_n^- \\ & \begin{cases} \Theta_\delta \mathcal{F}_n^+ \subset \mathcal{F}_{n+1}^- , \quad \Theta_\delta \mathcal{F}_n^- \subset \mathcal{F}_{n+1}^+ \\ t_E \otimes \mathcal{F}_n^+ \xrightarrow{\;\delta_n\;} \mathcal{F}_{n+1}^- , \quad t_E \otimes \mathcal{F}_n^- \xrightarrow{\;\delta_n\;} \mathcal{F}_{n+1}^+ \end{cases} \\ & \begin{cases} \mathcal{F}_n^+ \mathcal{F}_m^+ \subset \mathcal{F}_{n+m}^+ \\ \mathcal{F}_n^- \mathcal{F}_m^- \subset \mathcal{F}_{n+m}^+ \end{cases} \qquad \mathcal{F}_n^+ \mathcal{F}_m^- \subset \mathcal{F}_{n+m}^- \end{aligned} \right. \] dans les deux lignes centrales de (17), les indices des termes d'arrivée sont écrits très court ; $n+1$ est la lecture qu'impose (8).

On va construire l'⌜alg. graduée⌝ $\mathcal{F}_*$, avec la structure $\delta_* : t_E \otimes \mathcal{F}_* \to \mathcal{F}_*$, ⌜i.e. $t_E \to \operatorname{Der}^{+1}_k(\mathcal{F}_*, \mathcal{F}_*)$,⌝ et la structure $\vee$ (automorphisme d'ordre 2).

On a \[ (18) \qquad \mathcal{F}_2^+ = \mathcal{F}_2 \simeq \Gamma(\Sigma_J, \{t\}) \qquad \text{où}\quad \begin{aligned} & J = {}_2E^* \\ & \Sigma_J \simeq E/(\pm \mathrm{id}_E) \\ & t \text{ image de } 0_E \\ & t \in \Sigma_J^* = \Sigma_J \setminus J \end{aligned} \] plus généralement on a

104\[ (19) \qquad \mathcal{F}_{2n}^+ \xrightarrow{\;\sim\;} \mathcal{F}_{2n+1}^+ = \Gamma(\Sigma_J, n\{t\}) \] On a d'autre part $\mathcal{F}_n^- = 0$ si $n \leqslant 2$, et \[ (20) \qquad \mathcal{F}_3^- = \delta_2(t_E \otimes \mathcal{F}_2) \simeq t_E^{\otimes 3} \] s-complémentaire du vecteur $1$ de $\mathcal{F}_2 = \mathcal{F}_3^+$ dans $\mathcal{F}_3$. On a alors, pour $n \geqslant 3$ ⌜tout⌝ $n \geqslant 1$ \[ (21) \qquad \mathcal{F}_{2n+1}^- \xrightarrow{\;\sim\;} \mathcal{F}_{2n+2}^- \simeq \mathcal{F}_3^- \otimes_k \mathcal{F}_{2n-2}^+ \] Choisissons \[ (22) \qquad \delta \in t_E \] et un \[ (23) \qquad \wp \in \mathcal{F}_2 \qquad \varepsilon_2(\wp) = \delta^{\otimes 2} \] posons \[ (24) \qquad \wp' = \Theta_\delta(\wp) \qquad \text{donc}\quad \varepsilon_3(\wp') = \delta^{\otimes 3} \] Alors \[ (25) \qquad \begin{cases} 1, \wp & \text{base de } \mathcal{F}_2 = \mathcal{F}_2^+ = \mathcal{F}_3^+ \\ \wp' & \text{base de } \mathcal{F}_3^- \\ 1, \wp, \wp' & \text{base de } \mathcal{F}_3 = \mathcal{F}_3^+ \oplus \mathcal{F}_3^- . \end{cases} \] \[ (25') \qquad \begin{aligned} & \{1, \wp, \ldots, \wp^n\} \text{ base de } \mathcal{F}_{2n}^+ \simeq \mathcal{F}_{2n+1}^+ \\ & \{\wp', \wp'\wp, \ldots, \wp'\wp^{n-1}\} \text{ base de } \mathcal{F}_{2n+1}^- \simeq \mathcal{F}_{2n+2}^- \end{aligned} \] \[ (26) \qquad \mathcal{F}_{2n+1}^- = \mathcal{F}_{2n+2}^- = \wp'\, \mathcal{F}_{2n-2}^+ \qquad \text{pour } n \in \mathbb{N}^* . \] devant (26), « Propos. » biffé. Dans (25$'$), les derniers exposants sont surchargés ; $n-1$ est la lecture qu'impose (26).

Proposition 1 Considérons l'homomorphisme \[ f \longmapsto f \mid J \qquad \mathcal{F}_3 \longrightarrow k^J \] Alors on a \[ (27) \qquad \operatorname{Ker}(\mathcal{F}_3 \to k^J) = \mathcal{F}_3^- = k \cdot \wp' \]

105p. 3 de l'auteur, chiffrée en tête de page. . Si $f \in \mathcal{F}_3^-$, plus généralement si $f \in \mathcal{F}_n^-$, alors $x = -x$, pour $x \in E(k)$, $x \neq 0$, implique $f(x) = -f(-x) = -f(x)$ i.e. $2f(x) = 0$ i.e. $f(x) = 0$. Ainsi $\mathcal{F}_3 \to k^J$ est nulle sur $\mathcal{F}_3^-$, donc il reste à voir qu'il est injectif sur $\mathcal{F}_3^+ \simeq \mathcal{F}_2$. Mais on a mieux

Corollaire La matrice formée ⌜de Vandermonde⌝ $\bigl(\wp(e_i)^\alpha\bigr)_{i \in J,\ 0 \leqslant \alpha \leqslant 2}$ est inversible, en d'autres termes les $\wp(e_i)$ ($i \in J$) sont tous distincts.

OPS que […] les pts de ⌜les v[aleurs] de $J$ correspondent aux points $0, 1, \infty$,⌝ et $\Sigma_J =$ $\mathbb{P}^1$ $\mathbb{P}^1_k$. (Quitte à multiplier par un scalaire […] une et ajouter une constante,) OPS \[ \wp(z) = \frac{1}{z - t}, \qquad \therefore\ t \in k \setminus \{0, 1\} = U_{0,1}(k) \] donc \[ \wp(0) = \frac{1}{-t}, \qquad \wp(1) = \frac{1}{1 - t}, \qquad \wp(\infty) = 0 \] sont tous distincts, O.K. les points $e_i$ ($i \in J$) sont ici identifiés à $0, 1, \infty$ de $\Sigma_J \simeq \mathbb{P}^1_k$ ; $\wp$ est vue comme fonction de la coordonnée $z$ sur $\mathbb{P}^1_k$. Le passage entre parenthèses est écrit au-dessus de la ligne, relié par un trait.

Considérons maintenant $\wp'^2 \in \mathcal{F}_6^+ =$ […] ⌜engendré par la base⌝ \[ 1, \wp, \wp^2, \wp^3 \] et notons que \[ \varepsilon_6\, \wp'^2 = \varepsilon_6\, \wp^3 = \delta^6 , \] on arrive donc à la relation \[ (28) \qquad \boxed{\;\wp'^2 = \wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3\;} \qquad a_1, a_2, a_3 \in k \] déterminés de façon unique (pour $\delta$ choisi). dans la formule encadrée les indices des $a_i$ sont surchargés. La dernière ligne, écrite sous la formule, se lit mal : « déterminés de façon unique (pour … choisi) ».

106Proposition 2 Les $a_\alpha$ ($1 \leqslant \alpha \leqslant 3$) sont caractérisés par la condition que $\wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3 \mid J = 0$.

C'est nécessaire, puisque $\wp' \mid J = 0$. Mais d'après le cor. à la prop. précédente, les fonctions $1, \wp, \wp^2$ restreintes à $J$ sont lin. indépendantes, donc la relation précédente sur les $a_i$ (qui s'écrit \[ (-\wp^3) \mid J = a_1 (\wp^2 \mid J) + a_2 (\wp \mid J) + a_3 (1_E \mid J)\ ) \] caractérise déjà les $a_i$, cqfd.

Corollaire 1 Les $(-1)^\alpha a_\alpha$ ($1 \leqslant \alpha \leqslant 3$) sont les fonctions sym. élémentaires en les $\wp(e_i)$ ($i \in J$) i.e. on a \[ (29) \qquad \wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3 = \prod_{i \in J} \bigl(\wp - \wp(e_i)\bigr) . \] dans le produit, un $\wp$ est surchargé devant $\wp(e_i)$.

Corollaire 2 Pour que l'on ait $a_1 = 0$ il f. et s. que $\operatorname{Tr}_{J/k}(\wp \mid J) = 0$ i.e. $\sum \wp(e_i) = 0$. devant « Corollaire 2 », un chiffre biffé.

Si car. $k \neq 3$, les $\wp \in \mathcal{F}_2$ qui satisfont cette condition forment un s-complémentaire $W_E$ de $\mathcal{F}_1$ dans $\mathcal{F}_2$ \[ (30) \qquad \mathcal{F}_2 \simeq \underbrace{\mathcal{F}_1}_{k \cdot 1_E} \oplus \underbrace{W_E}_{\simeq\, t_E^{\otimes 2}} \] Les fonctions ⌜éléments⌝ de $W_E$ ⌜non⌝ nuls ⌜sont⌝ les fonctions de Weierstrass,

107p. 4 de l'auteur, chiffrée en tête de page. en corr. 1-1 avec les éléments de $(t_E^{\otimes 2})^*$.

Corollaire 3 On a \[ (31) \qquad \begin{aligned} \mathcal{F}_\infty &\simeq k[P, P'] \big/ P'^2 - (P^3 + a_1 P^2 + a_2 P + a_3) \\ &\simeq k[P][P'] \big/ \bigl(P'^2 - (P^3 + a_1 P^2 + a_2 P + a_3)\bigr) \end{aligned} \] l'isomorphisme étant donné par $P \mapsto \wp$, $P' \mapsto \wp'$. L'automorphisme $f \mapsto \check f$ correspond à l'automorphisme $P' \mapsto -P'$, $P \mapsto P$ de $k[P, P']/\ldots$ . La dérivation $\Theta_\delta$ est induite par passage aux quotients de l'expression ⌜la⌝ dérivation \[ (32) \qquad \Theta_\delta P = P', \qquad \Theta_\delta P' = \tfrac12 (3P^2 + 2a_1 P + a_2) \] sur $k[P, P']$, qui applique l'idéal $P'^2 - (P^3 + a_1 P^2 + a_2 P + a_3)$ en lui-même. dans (31), le $\wp$ de la seconde ligne est surchargé ; dans (32), l'indice $\delta$ de $\Theta$ et le premier $P'$ sont surchargés.

La formule (32) s'obtient en dérivant $\wp'^2 = \wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3$ par $\Theta_\delta$, et en divisant d'⌜où⌝ \[ 2\wp'\, \Theta_\delta(\wp') = (3\wp^2 + 2a_1 \wp + a_2)\, \wp' \] et en divisant par $\wp'$ la relation obtenue, d'où \[ (33) \qquad \wp'' = \tfrac12 (3\wp^2 + 2a_1 \wp + a_2) . \]

Corollaire ⌜Remarque⌝ En termes des bases explicites des $\mathcal{F}_n^+$ et $\mathcal{F}_n^-$ (25$'$) dans la décomposition $\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_n^+ \oplus \mathcal{F}_n^-$, on voit maintenant comment expliciter la loi de multiplication, ⌜en termes de $a_1, a_2, a_3$,⌝ ainsi que

108la dérivation $\Theta_\delta$.

Inversement partant de $a_1, a_2, a_3 \in k$, satisfaisant ⌜tels que⌝ le polynôme \[ Z^3 + a_1 Z^2 + a_2 Z + a_3 \in k[Z] \] soit sans racines multiples, i.e. tels que \[ (34) \qquad \underbrace{\Delta(a_1, a_2, a_3)}_{\text{discriminant}} \neq 0 , \] on vérifie que les formules précédentes définissent une courbe elliptique sur $k$ (qu'on peut définir ⌜construire⌝ comme […] $\operatorname{Proj}(\mathcal{F}_\bullet)$, où $\mathcal{F}_\bullet$ est défini par (31)), […] ⌜[…]⌝ que revêtement quadratique […] ⌜quadratique⌝ de $\mathbb{P}^1_k$ défini par \[ (35) \qquad \wp : E \longrightarrow \mathbb{P}^1_k \simeq E/\{\pm \mathrm{id}_E\} \] ramifié en ⌜l'origine et en⌝ les trois points ⌜$z_i$⌝ de $\mathbb{P}^1_{(k)}$ ⌜$= k$⌝ […] solutions de l'équation \[ (36) \qquad Z^3 + a_1 Z^2 + a_2 Z + a_3 = 0 , \] l'origine ⌜l'unique⌝ pointe de $E$ étant au-dessus de la […] ⌜l'infini⌝ $\infty$ de $\mathbb{P}^1_k$. qui est bien ⌜[…]⌝, l'inclusion $J \subset \mathbb{P}^1_k$ définit un isom. canonique \[ (37) \qquad \Sigma_J \xrightarrow{\;\sim\;} \mathbb{P}^1_k , \qquad t \mapsto \infty . \] dans (35), la flèche oblique descendant de $E$ vers $E/\{\pm\mathrm{id}_E\}$ et la flèche remontant vers $\mathbb{P}^1_k$ ont été ramenées ici à un isomorphisme en ligne ; « l'isom. » est écrit à côté. Plusieurs mots de ce paragraphe sont surchargés et soulignés ; la lecture n'est pas sûre. Dans (37), le point $t$ de $\Sigma_J$ est sans doute celui qui a servi à normaliser $\wp$ page 105.

109p. 5 de l'auteur, chiffrée en tête de page. . La donnée d'un point $x$ ⌜$\neq 0$⌝ de $E(k)$ équivaut à celle de son image dans $\mathbb{P}^1_k$, soit $\wp(x)$ \[ (38) \qquad \wp(x) = x_0 \in k , \] plus la donnée d'une des deux solutions $X'$ de l'équation (distinctes au moins si la 2^e membre est $\neq 0$ i.e. si $x_0 \notin J =\, _2E^*$ i.e. $x_0 \notin D_J \subset \Sigma_J$) \[ (39) \qquad X'^2 = x_0^3 + a_1 x_0^2 + a_2 x_0 + a_3 , \] donnée en termes de $x$ par \[ (40) \qquad X' = \wp'(x) . \]

Proposition 3 Soient $x, y, z \in E(k) \setminus \{0\}$, pas tous ⌜distincts⌝ égaux, alors on a \[ (41) \qquad x + y + z = 0 \] ssi on a […] $\wp(x) = \wp(y) = \wp(z)$ […] \[ (42) \qquad \det \begin{pmatrix} 1 & \wp(x) & \wp'(x) \\ 1 & \wp(y) & \wp'(y) \\ 1 & \wp(z) & \wp'(z) \end{pmatrix} = 0 \] (cela implique […] […] $\wp(x) \neq \wp(y) \neq \wp(z) \neq \wp(x)$, car si […] $\wp(x) = \wp(y)$, […] $x = y$ […] $x = -y$, […] $z = 0$, […]) NB Si Si ⌜deux⌝ parmi les […] $x, y, z$ sont égaux, par ex. […] […] (41) […], […] $\Rightarrow$ […] $x + y + z = 0$ ! […] condition […] non […] $\exists\, a \in E(k)$, […] algébrique […] $x + y + z = a$, […] […] $a = 0$, et […] […] $x, y, z \neq 0$. la page porte trois annotations en marge : une colonne à droite de (41)–(42) et deux blocs écrits de biais dans la marge gauche, l'un autour de « Proposition 3 » (commençant par « NB »), l'autre plus bas, en colonnes séparées par des traits. Elles ne se lisent que par fragments. Devant (41), un renvoi « cf » à la note marginale.

En effet, la définition de la loi de multiplic[ation] sur $E$ nous donne que si $x, y, z \in E(k)$ […] sont […] $x + y + z = 0$ \[ x + y + z = 0 \iff (\{x\} - \{0\}) + (\{y\} - \{0\}) + (\{z\} - \{0\}) \overset{\text{lin.}}{\sim} 0 \] \[ \text{i.e.}\quad \{x\} + \{y\} + \{z\} \overset{\text{lin.}}{\sim} 3\{0\} \] Si $x, y, z$ sont tous $\neq 0$, cela signifie qu'il existe une fonction rat. sur $E$, ayant $0$ comme pôle d'ordre 3, pas d'autre pôle, (donc $f \in \mathcal{F}_3$), et $\{x\} + \{y\} + \{z\}$ comme pôles diviseur des zéros. « loi de multiplication » : c'est la loi de groupe de $E$, notée additivement.

110OPS $f$ de la forme $\wp' + \alpha\wp + \beta$ (quitte à multiplier par un scalaire) \[ (43) \qquad \begin{cases} f = \wp' + \alpha \wp + \beta , & \alpha, \beta \in k \\ \operatorname{div} f = \{x\} + \{y\} + \{z\} - 3\{0_E\} \end{cases} \] On aura donc \[ (44) \qquad f(x) = f(y) = f(z) = 0 \quad\text{i.e.} \] \[ (45) \qquad \begin{cases} \wp'(x) + \alpha \wp(x) + \beta = 0 \\ \wp'(y) + \alpha \wp(y) + \beta = 0 \\ \wp'(z) + \alpha \wp(z) + \beta = 0 \end{cases} \] ce qui signifie aussi que le vecteur colonne $\begin{pmatrix} \wp'(x) \\ \wp'(y) \\ \wp'(z) \end{pmatrix}$ s'exprime comme comb. lin. des vecteurs colonnes $\begin{pmatrix} \wp(x) \\ \wp(y) \\ \wp(z) \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, ⌜ce⌝ qui implique que ces trois vect. colonnes sont lin. dépendants, d'où (42). Inversement, supposons qu'on ait (42), et $x, y, z$ […] ⌜tous distincts⌝, […] […] […] […] ⌜alors, […] […]⌝ n'a pas $\wp(x) = \wp(y) = \wp(z)$ (sinon […] […] fibre de $\wp$, […] deux points) ⌜[…]⌝ les vect. colonnes $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} \wp(x) \\ \wp(y) \\ \wp(z) \end{pmatrix}$ sont lin. indép., et (42) signifie qu'il existe $\alpha, \beta \in k$ tels qu'on ait (45), i.e. (44), ⌜où⌝ $f$ est donnée par (43) a). Comme Comme $x, y, z$ sont distincts, on en conclut bien (43) b), d'où (41). un passage de deux lignes, surchargé et biffé en partie (« $x, y, z$ … »), est récrit au-dessus de la ligne ; la lecture en est très incertaine.

111p. 6 de l'auteur, chiffrée en tête de page. . Montrons comment cela permet de calculer $z$, par $z_0 = \wp(z)$ et $z' = \wp'(z)$ (reliés par \[ (46) \qquad z'^2 = z_0^3 + a_1 z_0^2 + a_2 z_0 + a_3 \ ), \] quand on connaît $x$ et $y$, exprimés à l'aide de $x_0 = \wp(x)$, $x' = \wp'(x)$ \[ \begin{cases} x_0 = \wp(x), & x' = \wp'(x) \\ y_0 = \wp(y), & y' = \wp'(y) \end{cases} \] (reliés par $x'^2 = x_0^3 + a_1 x_0^2 + a_2 x_0 + a_3$, $y'^2 = y_0^3 + a_1 y_0^2 + a_2 y_0 + a_3$).

L'équation (42) s'écrit \[ (*) \qquad z'(x_0 - y_0) + z_0(y' - x') + (x' y_0 - y' x_0) = 0 \] i.e. \[ (47) \qquad z' = \lambda z_0 + \mu , \quad\text{avec}\quad \lambda = \frac{x' - y'}{x_0 - y_0} , \quad \mu = \frac{y' x_0 - x' y_0}{x_0 - y_0} \] Donc (NB on a $x_0 \neq y_0$ i.e. $x_0 - y_0 \neq 0$). De plus $z'$ satisfait (46), qui équivaut à l'équation (compte tenu de (47), qui implique $z'^2 = \lambda^2 z_0^2 + 2\lambda\mu z_0 + \mu^2$) : l'équation \[ (48) \qquad z_0^3 + (a_1 - \lambda^2) z_0^2 + (a_2 - 2\lambda\mu) z_0 + (a_3 - \mu^2) = 0 \] Donc $(z_0, z')$ est lié par (47), (48), a priori on trouve 3 solutions ⌜en $z_0$⌝ de (48), et qui correspondent trois solutions $(z_0, z')$ via (47). Il faut trouver une solution unique, on a rappelé qu'on doit avoir \[ (49) \qquad z_0 \neq x_0 , \quad z_0 \neq y_0 , \] […] « on a rappelé » : lecture incertaine ; le sens est que la condition (49) vient de la Proposition 3 (les trois points ont des images distinctes par $\wp$).

112alors qu'il est clair que $z_0$ $z_0 = x_0$, $z_0 = y_0$ sont solutions ⌜des⌝ solutions de l'équation (48). Si donc $z_0$ est une solution $\neq x_0, y_0$, on aura \[ x_0 + y_0 + z_0 = -(a_1 - \lambda^2) = \lambda^2 - a_1 = \Bigl(\frac{x' - y'}{x_0 - y_0}\Bigr)^2 - a_1 \] d'où la solution (sous réserve d'existence d'une solution $z_0 \neq x_0, y_0$, on a encore […] ⌜à réserver⌝ que \[ (50) \qquad x, y \in E \setminus \{0\}, \quad x \neq y , \quad -(x + y) \neq x, y \quad\text{i.e.}\quad \begin{aligned} & 2x + y \neq 0 , \ 2y + x \neq 0 \\ & \text{i.e.}\ y \neq -2x , \ x \neq -2y \end{aligned} \ \Bigr) , \] la solution \[ (51) \qquad \begin{cases} z_0 = -x_0 - y_0 + \Bigl(\dfrac{x' - y'}{x_0 - y_0}\Bigr)^2 - a_1 \\[2ex] z' = \lambda z_0 + \mu = \dfrac{x' - y'}{x_0 - y_0} \Bigl[ -x_0 - y_0 + \Bigl(\dfrac{x' - y'}{x_0 - y_0}\Bigr)^2 - a_1 \Bigr] + \dfrac{y' x_0 - x' y_0}{x_0 - y_0} . \end{cases} \]

Par principe de prolongement, cette expression, pour $z_0 = \wp(z)$ et $z' = \wp'(z)$, pour $z = -(x + y)$, est valable encore dès que $x, y \in E(k) \setminus \{0\}$ sont tels que $x_0 \neq y_0$ i.e. $\wp(x) \neq \wp(y)$, i.e. dès que $x \neq$ $y \notin \pm x$, de sorte que les formules (51) ont un sens. la seconde ligne de (51) est écrite sur deux lignes, le terme $\frac{y'x_0 - x'y_0}{x_0 - y_0}$ étant renvoyé au-dessous par une accolade. La note $\bigl(\ldots\bigr)$ ouverte avant (50) se ferme après les conditions.

113. La fonction $\wp$, considérée comme morphisme \[ (52) \qquad \wp : E \longrightarrow \mathbb{P}^1_k \] induit l'iso \[ (53) \qquad \dot\wp : E/\{\pm \mathrm{id}_E\} \simeq \text{droite projective type } \mathbb{P}^1_k \] par la condition \[ (54) \qquad \wp(0_E) = \infty \] ce qui détermine $\wp$ modulo transformation affine \[ (55) \qquad \wp \longmapsto \wp_1 = a\wp + b \qquad a \in k^*,\ b \in k . \] Les points d'ordre 2 \[ (56) \qquad (\varepsilon_i)_{i \in J} , \qquad \varepsilon_i \in {}_2E(k)^* \] sont transformés par $\wp$ en des points \[ (57) \qquad \zeta_i = \wp(\varepsilon_i) \in \mathbb{P}^1(k) \setminus \{\infty\} = k \] ⌜[…]⌝ qui sont, bien sûr, avec le point $\infty$, les points de ramification de $\wp$. La normalisation de Weierstrass, possible en car. $\neq 3$, qui est \[ (58) \qquad \underbrace{\textstyle\sum \zeta_i}_{-a_1} = 0 \] elle détermine $\wp$ modulo transformation \[ \wp \longmapsto \wp_1 = a\wp \qquad a \in k^* . \] NB on obtient ainsi […] […] $E$, […] $k$ […] […] […] le numéro (57) manque sur la page, où la formule $\zeta_i = \wp(\varepsilon_i)$ n'est pas numérotée ; il est ajouté ici entre (56) et (58). La note marginale, écrite de biais dans la marge gauche et renvoyée par un astérisque devant « sont, bien sûr », ne se lit que par fragments.

En général, on pose \[ (59) \qquad \begin{cases} a_1 = -\sum \zeta_i \\ a_2 = \sum \zeta_i \zeta_j \\ a_3 = -\prod \zeta_i \end{cases} \] après « $a_3 =$ », un symbole biffé et raturé, non lu.

114de sorte que $\zeta_1, \zeta_2, \zeta_3$ sont les solutions de l'équation \[ (60) \qquad \underbrace{Z^3 + a_1 Z^2 + a_2 Z + a_3}_{\prod_i (Z - \zeta_i)} = 0 \] […] On aura, donc si \[ \delta \in t_E = T_{E,0} \] est une base de $t_E$, liée à $\wp$ mod $k \cdot 1$ par \[ \varepsilon_2(\wp) = \delta^{\otimes 2} \] et si \[ \wp' = \Theta_\delta \wp \] la relation \[ \wp'^2 = \wp^3 + a_1 \wp^2 + a_2 \wp + a_3 . \] Déterminons l'automorphisme involutif $\sigma_i$ de $\mathbb{P}^1_k$ qui échange $\zeta_i$ et $\infty$, $\zeta_j$ et $\zeta_k$ — qui […] ⌜s'identifie⌝ à l'automorphisme induit par passage au quotient de $E \to E$, $x \mapsto x + \ldots$ \[ x \longmapsto x + \varepsilon_i . \] On trouve, […] \[ \sigma_i Z = \frac{aZ + b}{cZ + d} \] et écrivant $\sigma_i \infty = \zeta_i$, $\sigma_i \zeta_i = \infty$ $\sigma_i Z$ \[ \frac{a}{c} = \zeta_i , \qquad -\frac{d}{c} = \zeta_i \] soit, faisant $c = 1$ \[ \sigma_i Z = \frac{\zeta_i Z + b}{Z - \zeta_i} \] et écrivant $\sigma_i \zeta_j = \zeta_k$ on trouve \[ \frac{\zeta_i \zeta_j + b}{\zeta_j - \zeta_i} = \zeta_k \quad\text{i.e.}\quad b = \zeta_j \zeta_k - \zeta_i(\zeta_j + \zeta_k) \] sous (60), une première forme du produit est biffée. Dans le dénominateur de $\sigma_i Z$ faisant $c = 1$, les deux termes sont surchargés ; la lecture $Z - \zeta_i$ est celle qu'impose $-d/c = \zeta_i$.

115soit \[ (61) \qquad \sigma_i Z = \frac{\zeta_i Z + \overbrace{\zeta_j \zeta_k - \zeta_i(\zeta_j + \zeta_k)}^{b_i}}{Z - \zeta_i} \] On peut transformer $b_i$, en utilisant les fonctions symétriques élémentaires $(-1)^\alpha a_\alpha$ des $\zeta$, \[ b_i = 2\underbrace{\zeta_j \zeta_k}_{-a_3/\zeta_i} - \underbrace{(\zeta_i \zeta_j + \zeta_j \zeta_k + \zeta_k \zeta_i)}_{a_2} = -(a_2 + 2a_3/\zeta_i) \] ⌜(expression valable dès que $\zeta_i \neq 0$ ?)⌝ donc on trouve \[ (62) \qquad \sigma_i Z = \frac{\zeta_i Z - (a_2 + 2a_3/\zeta_i)}{Z - \zeta_i} = \frac{\zeta_i^2 Z - (a_2 \zeta_i + 2a_3)}{\zeta_i Z - \zeta_i^2} \] […] […] […] $a_3/\zeta_i$ seulement […] (62) […] […] Mais qu'il […] […] […] […] $\zeta_i \neq 0$ … deux notes marginales, écrites de biais dans la marge gauche à la hauteur de (62), se lisent mal : la première, « expression valable dès que $\zeta_i \neq 0$ ? », se rattache à la formule de $b_i$ ; la seconde, renvoyée par une flèche vers (62), n'est lue que par fragments.

Les ⌜points, div. $\Delta_i$ des⌝ points fixes de $\sigma_i$ est l'ensemble des solutions de l'équation en $Z_i$ \[ (63) \qquad Z_i^2 - 2\zeta_i Z_i + (a_2 + 2a_3/\zeta_i) = 0 \] dont les solutions sont données par \[ (64) \qquad Z_i = \zeta_i \pm \sqrt{\zeta_i^2 - a_2 - 2a_3/\zeta_i} \] L'expression sous le signe $\sqrt{\ }$ s'écrit aussi \[ \frac{1}{\zeta_i}\bigl(\zeta_i^3 - a_2 \zeta_i - 2a_3\bigr) \] on aura, compte tenu de (60) \[ \zeta_i^3 = -a_1 \zeta_i^2 - a_2 \zeta_i - a_3 \] le radical cette expression devient \[ -\frac{1}{\zeta_i}\bigl(a_1 \zeta_i^2 + 2a_2 \zeta_i + 3a_3\bigr) \] donc (64) s'écrit aussi \[ (65) \qquad \begin{cases} (Z_i - \zeta_i)^2 = -\dfrac{1}{\zeta_i}\bigl(a_1 \zeta_i^2 + 2a_2 \zeta_i + 3a_3\bigr) \\[2ex] \text{i.e.}\ Z_i = \zeta_i \pm \sqrt{-\dfrac{1}{\zeta_i}\bigl(a_1 \zeta_i^2 + 2a_2 \zeta_i + 3a_3\bigr)} \end{cases} \] Si $\zeta_i = 0$, on […] […] […] $-(a_1 \zeta_i^2 + 2a_2 \zeta_i + 3a_3)$ […] l'expr. sous le radical … le renvoi « (66) » que porte la page devant $\zeta_i^3 = \ldots$ se lit plutôt (60), qui est l'équation dont les $\zeta_i$ sont les racines ; (66) est une formule de la page suivante. La note marginale gauche en face de (65), renvoyée au numéro encerclé, n'est lue qu'en partie.

Les deux points ⌜d'ordre 4⌝ de $E$ sont donc les points au-dessus des six points $Z_i$, donc définis par ⌜définis par⌝

116points ont obtenus, pour un $i$ et un $Z_i$ fixe ; par le choix d'un $Z_i'$ satisfaisant \[ (66) \qquad Z_i'^2 = \underbrace{Z_i^3 + a_1 Z_i^2 + a_2 Z_i + a_3}_{(Z_i - \zeta_i)(Z_i - \zeta_j)(Z_i - \zeta_k)} . \] Choisir, pour tout $i \in J$, un $x_i \in E(k)$ tel que \[ (67) \qquad 2x_i = \varepsilon_i \] revient donc à choisir, pour tout $i$, les quantités \[ (68\,a) \qquad \wp(x_i) = Z_i \] soumises à (65), ⌜(2 choix possibles)⌝ et ensuite, les quantités $Z_i'$ \[ (68\,b) \qquad \wp'(x_i) = Z_i' , \] soumises à (66) — ce qui fait quatre choix possibles pour tout $i$, comme il se doit (vu l'indétermination pour $x_i$ dans ${}_2E(k)$).

Ceci posé la condition d'équilibre de Jacobi relatif d'échelon 4 \[ (69) \qquad \sum_{i \in J} x_i = 0 \] s'exprime par la condition \[ (70) \qquad \begin{cases} \det \begin{pmatrix} 1 & Z_1 & Z_1' \\ 1 & Z_2 & Z_2' \\ 1 & Z_3 & Z_3' \end{pmatrix} = 0 \qquad \text{i.e.} \\[3ex] (Z_1 Z_2' - Z_2 Z_1') + (Z_2 Z_3' - Z_3 Z_2') + (Z_3 Z_1' - Z_1 Z_3') = 0 . \end{cases} \] (cf. prop. 3), qui s'applique, car les $x_i$ sont tous distincts …) « points ont obtenus » : la page commence ainsi, à la suite de la phrase interrompue page 115 ; la lecture de ce début de phrase est incertaine. « condition d'équilibre de Jacobi » : lecture incertaine de « d'équilibre ».

117En mettant ensemble les équations pertinentes : \[ (71) \qquad \begin{cases} (Z_i - \zeta_i)^2 = -\dfrac{1}{\zeta_i}\bigl(a_1 \zeta_i^2 + 2a_2 \zeta_i + 3a_3\bigr) \quad \bigl[= -(a_1 \zeta_i + 2a_2 + 3\zeta_j \zeta_k)\bigr] \\[2ex] Z_i'^2 = Z_i^3 + a_1 Z_i^2 + a_2 Z_i + a_3 \quad \bigl[= (Z_i - \zeta_i)(Z_i - \zeta_j)(Z_i - \zeta_k)\bigr] \\[2ex] \det \begin{pmatrix} 1 & Z_1 & Z_1' \\ 1 & Z_2 & Z_2' \\ 1 & Z_3 & Z_3' \end{pmatrix} = 0 \\ \quad \text{i.e.}\ \underbrace{(Z_2 Z_3' - Z_3 Z_2')}_{\varphi_1} + \underbrace{(Z_3 Z_1' - Z_1 Z_3')}_{\varphi_2} + \underbrace{(Z_1 Z_2' - Z_2 Z_1')}_{\varphi_3} = 0 \end{cases} \] $Z_i^2 = 2\zeta_i Z_i - (a_2 + 2\zeta_j \zeta_k)$ $\Longrightarrow$ NB. $\bigl[\varphi_i^\omega = Z_j Z_k' - Z_k Z_j'$, $j = \omega i$, $k = \omega^2 i = \omega^{-1} i \bigr]$ qui expriment conjointement les données de \[ (72) \qquad (x_i)_{i \in J} \in E(k)^J \quad \text{satisfaisant (67), (69),} \qquad 2x_i = \varepsilon_i \ \bigl(\in {}_2E(k)^*\bigr) , \quad \sum x_i = 0 \] via \[ (73) \qquad Z_i = \wp(x_i) , \quad Z_i' = \wp'(x_i) . \] la première note marginale, dans la marge gauche en face de (71), est reliée par une double flèche à la première ligne de (71) ; la seconde, encadrée de crochets, est à la hauteur de « qui expriment ». Dans les crochets de (71), les indices sont écrits très court.

Je voudrais, à une telle donnée$_2$ $(x_i)_{i \in J}$, exprimée calculatoirement (via le choix d'un $\delta \in t_E^*$ et $\wp \in \mathcal{F}_2$ associés) par (71), associer ⌜canoniquement⌝ un épinglage de Legendre de $E$, de façon fonctorielle en $E$ et compatible avec le changement de corps de base (ou même de base …). Je vais pour ceci supposer d'abord fixé un \[ (74) \qquad \dot\imath \in \mu_4^*(k) , \] de sorte que, via ce choix, la première donnée $\alpha$ d'un épinglage de Legendre de $E$ s'interprète comme un élément \[ (75) \qquad \omega \in \underline{\omega} = \underline{\omega}_J \qquad \text{un ordre circulaire sur } J = {}_2E(k)^* = \{\varepsilon_i\} , \] $\alpha = \dot\imath \wedge \omega$ de sorte que la deuxième donnée $K$ s'interprète comme un isomorphisme \[ (75) \qquad K : \underline{t}_E \simeq \mathcal{O}_{\Sigma_J, t}(1)^{\otimes \,\cdots} \xrightarrow[\sim]{\ \text{via choix de } \dot\imath\ } \mathcal{O}_t(1) , \] le numéro (75) est porté deux fois, ici et à la formule précédente ; transcrit tel quel (cette formule est celle que la suite appelle (76)). L'exposant (noté ici $\cdots$) après $\mathcal{O}_{\Sigma_J,t}(1)$ n'est pas lu. L'étiquette de la flèche, encerclée et renvoyée par une flèche, se lit « via choix de $\dot\imath$ » avec incertitude. « donnée$_2$ » : l'indice $2$ est de l'auteur.

118satisfaisant à la ⌜la⌝ condition que son carré $K^{\otimes 2}$ s'identifie, via les isom. canoniques \[ (77) \qquad \underline{t}_E^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma_J, t} , \qquad \mathcal{O}_t(1)^{\otimes 2} = \mathcal{O}_t(2) \underset{\text{via } \alpha}{\simeq} \mathcal{O}_t(2)(\underline{\omega}) \simeq T_{\Sigma_J, t} \] à l'isom. identique de $T_{\Sigma_J, t}$ — ce qui, pour $\alpha$ fixé (deux choix), détermine $K$ modulo signe. Pour $\alpha$ non fixé, $K$ est déterminé modulo multiplication par $\mu_4(k)$. « son carré $K^{\otimes 2}$ » : le mot devant $K^{\otimes 2}$ se lit mal ; un mot surchargé suit « s' ». La phrase continue celle de la page 117, interrompue après (76).

Rappelons-nous de la suite exacte canonique (78)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
    0 \arrow[r] & F_t \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] &
    V_J(k) \arrow[r] \arrow[d, no head, "\wr"] & \mathcal{O}_t(1) \arrow[r] & 0 \\
    & \mathcal{O}_t(-1)(\underline{\omega}) &
    \Gamma(\Sigma_J, \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}(1)) & &
  \end{tikzcd}

que par […] je compare ⌜avec⌝ \[ (79) \qquad 0 \to k \cdot 1_{\Sigma_J} \to \overbrace{\Gamma(\Sigma_J, \underbrace{\underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}\{t\}}_{\substack{\simeq\, \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}(1) \\ \text{non canoniquement}}})}^{\dot\simeq\, \mathcal{F}_2} \to T_{\Sigma_J, t} \to 0 \] On constate que la deuxième suite exacte est canoniquement isom. à celle déduite de la première, en la tensorisant par \[ (80) \qquad \check F_t \simeq \mathcal{O}_t(1)(\underline{\omega}) \] (comme on le voit […] dès qu'on fixe […] à un Module loc. libre de rang $2$, $\underline{V}$, […] et une section $t$ de $\mathbb{P}(\underline{V})$ …) : (81)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
    0 \arrow[r] & F_t \otimes \check F_t \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] &
    V_J(k) \otimes \check F_t \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] &
    \mathcal{O}_t(1) \otimes \check F_t \arrow[r] \arrow[d, "\wr"] & 0 \\
    0 \arrow[r] & k \cdot 1_{\Sigma_J} \arrow[r] &
    \Gamma(\Sigma_J, \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}\{t\}) \arrow[r] &
    T_{\Sigma_J, t} \arrow[r] & 0
  \end{tikzcd}

dans (78), les isomorphismes sont écrits verticalement (« $\wr$ ») sous $F_t$ et $V_J(k)$. Dans (79), l'accolade supérieure porte « $\dot\simeq \mathcal{F}_2$ » avec un point sur le signe. Dans (81), le terme $\mathcal{O}_t(1) \otimes \check F_t$ porte au-dessus l'identification $\underline{\mathcal{O}}_t(2)(\underline{\omega})$, et le terme $\Gamma(\Sigma_J, \underline{\mathcal{O}}_{\Sigma_J}\{t\})$ est souligné d'une accolade marquée $\mathcal{F}_2$ ; le numéro (81) est écrit sur un numéro biffé.

119La donnée d'un isom. $K : \underline{t}_E \simeq \mathcal{O}_t(1)$ équivaut à celle de \[ \check K : \check{\underline{t}}_E \simeq \underline{\mathcal{O}}_t(1)^\vee \simeq \underline{\mathcal{O}}_t(-1) \xrightarrow[\text{via } \omega]{} \underline{\mathcal{O}}_t(-1)(\underline{\omega}) \simeq F_t \] ce qui implique une injection ⌜ou encore à celle d'un⌝ monomorphisme \[ \check t_E \hookrightarrow V_J(k) \hookrightarrow k^J \] dont l'image soit $F_t$, ou enfin à celle d'un élément non nul de \[ V_J(\underline{t}_E) = \operatorname{Ker}\bigl(\underline{t}_E^J \xrightarrow[\text{somme}]{} \underline{t}_E\bigr) \] dans la dernière formule, deux symboles sont raturés, l'un devant $V_J(\underline{t}_E)$, l'autre après le signe $=$ ; ils ne sont pas lus. donc on peut considérer que la donnée de $K$ revient à celle d'une famille \[ (82) \qquad (\delta_i)_{i \in J} \in \underline{t}_E^J \] satisfaisant certaines relations, savoir \[ (83) \qquad \begin{cases} \text{a) } \sum \delta_i = 0 \quad \text{exprimant } \delta_i \in V_J(\underline{t}_E) \\ \text{b) Relation de proportionnalité, exprimant que l'image de } \\ \qquad \check t_E \hookrightarrow V_J(k) \text{ définie par } (\delta_i) \text{ est } F_t , \\ \qquad \text{de sorte que } (\delta_i) \text{ définit } K : \underline{t}_E \xrightarrow{\sim} \check F_t \xrightarrow[\text{via } \omega]{\sim} \mathcal{O}_t(1) \\ \text{c) Relation de l'épinglage de Legendre, exprimant que } \\ \qquad K^{\otimes 2} \text{ est un isom.\ standard déjà connu.} \end{cases} \] Nous allons expliciter les $\delta_i$ en termes du choix d'un $\delta \in \underline{t}_E^*$, ⌜en plus du choix de $\omega \in \underline{\omega}$,⌝ comme \[ (83) \qquad \delta_i = \varphi_i^\omega(\delta)\, \delta \qquad \text{où}\quad \varphi_i^\omega(\delta) \in k^* \quad \bigl(i \in J,\ \omega \in \underline{\omega}(J),\ \delta \in \underline{t}_E^*\bigr) \] La condition d'invariance de $\delta_i$ par rapport au choix de $\delta$ s'exprime par la relation \[ (85) \qquad \varphi_i^\omega(\lambda\delta) = \frac{1}{\lambda}\, \varphi_i^\omega(\delta) \] les numéros (82) à (85) sont écrits de façon peu nette ; le numéro (83) est porté deux fois, transcrit tel quel (la seconde formule est la (84) de la suite). Au début de la page, le $K$ de « isom. $K$ » est surchargé.

120la condition (83) a) s'exprime par \[ (86) \qquad \sum_i \varphi_i^\omega(\delta) = 0 \] la condition b) par la relation \[ (87) \qquad k \cdot \bigl((\varphi_i^\omega(\delta))_i\bigr) = F_t \] qui détermine d'ailleurs les $(\varphi_i^\omega(\delta))_i$ à un scalaire inversible près — la condition c les déterminant enfin (pour $\dot\imath$ également choisi) au signe près. Bien sûr, […] ⌜la relation entre $K$ et les $\varphi_i^\omega(\delta)$ s'explicite par⌝ \[ (88) \qquad \bigl(\varphi_i^\omega(\delta)\bigr) = \underbrace{\check K(\check\delta)}_{\mathcal{O}_t(-1)} \wedge \omega \in \mathcal{O}_t(-1)(\underline{\omega}) \simeq F_t \subset V_J(k) \subset k^J \] et la condition c) s'écrit … Dieu sait comment — il faudra […] y revenir. Reste à exprimer la dépendance par rapport à $\omega$ ; pour […] trouver l'invariance de l'épinglage de Legendre par rapport au choix de $\dot\imath$ i.e. […] par rapport au choix de $\omega = \omega_{\dot\imath}$ ($\alpha : \mu_4^*(k) \simeq \underline{\omega}$ étant supposé déterminé), on trouve la relation évidente \[ (89) \qquad \varphi_i^{\omega'}(\delta) = \dot\imath_\omega\, \varphi_i^\omega(\delta) \] où \[ \dot\imath_\omega \overset{\text{déf}}{=} \alpha(\omega) , \qquad \alpha : \mu_4^* \xrightarrow{\ \sim\ } \underline{\omega} \ \text{étant l'iso.} \] (supposé déterminé) associé à l'épinglage de Legendre cherché.

Posons « la condition c les déterminant enfin » : lecture incertaine de ce passage. Dans (88), le $\check\delta$ porte un second signe, surchargé. Dans (89), un premier facteur est raturé devant $\dot\imath_\omega$, et le $\omega'$ du membre de gauche se lit mal. La page s'arrête sur « Posons », sans suite dans ce lot.