p. 5 de l'auteur, chiffrée en tête de page ; la page s'ouvre au
milieu d'un développement commencé dans le lot précédent (formules (27) et
suivantes).
\text{(30)} \qquad T_{E/S,0}^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma_{\underline{J}},t}
où t est la section de \Sigma_{\underline{J}}^* = \Sigma_{\underline{J}} \setminus D_{\underline{J}}
image de la section nulle de E. Ceci posé, on définit un
épinglage de Legendre de E/S comme étant formé
la donnée d'un iso
\text{(31)} \qquad \underbrace{\Delta_{E/S}}_{T_{E/S,0}}
\xrightarrow[\;\sim\;]{k} \underline{O}(1)_t \simeq
tel que il existe un l'isom k^{\otimes 2} déduit
par passage au carré, lorsqu'on le fait suivre de l'identification,
via (30) et (27), à l'isom
\text{(32)} \qquad T_{\Sigma_{\underline{J}},t} \xrightarrow{\;\sim\;}
T_{\Sigma_{\underline{J}},t} \wedge^{\{\pm 1\}}
\bigl(\mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}\bigr)
déduit d'une section
\text{(33)} \qquad
\begin{cases}
\alpha \in \Gamma\bigl(S, \mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}\bigr)
& \text{i.e.\ d'un iso} \\[2pt]
\alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}_{\underline{J}}
\end{cases}
(qui est déterminé de façon unique en termes
dans (31), un symbole biffé précède \Delta_{E/S} et un autre le
second membre ; l'exposant de \underline{O}(1) est surchargé
(un \otimes biffé) et n'est pas lu, et la formule s'arrête
sur « \simeq » sans second membre. Le symbole que nous rendons
\mu_4^{*} est un \mu à hampe double, d'indice 4 (lu nettement
page 82) et d'exposant * : l'ensemble des racines primitives quatrièmes
de l'unité, torseur sous \{\pm 1\}.
de k). On peut dire aussi que la donnée de k équivaut à celle d'un
paire couple (\alpha, k), où \alpha est une section de
\mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}, et où k est un iso
(31) compatible avec \alpha en un sens évident. Pour \alpha
fixé, les k correspondants forment les sections d'un torseur sous
\mu_2 — le torseur des épinglages de Legendre de E/S,
de associé à « l'épinglage partiel » \alpha.
La catégorie groupoïde fibrée (qui est un champ en
groupoïdes) des courbes elliptiques relatives, munies d'un épinglage de
Legendre, équivaut à celle des triplets (\underline{J}, t, \alpha), où
\begin{cases}
\text{a) } \underline{J} \text{ rev.\ étale cubique de } S \\
\text{b) } t \text{ section de } \Sigma_{\underline{J}}^* \\
\text{c) } \alpha \text{ section de } \mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}
\text{, i.e.\ iso.\ } \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}_{\underline{J}}
\end{cases}
NB Il faudrait expliciter la construction de E, en
fonction des données (via fonction \wp de
Weierstrass)
aucun numéro n'est écrit devant ces données ; la page 83 renvoie
à « un objet (34) », qui semble être un tel triplet. La note
marginale est écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, et
se rattache aux données a), b), c) par une accolade.
p. 6 de l'auteur.
On définit des
Le catégorie champ en question n'est pas rigide — i.e. un
objet peut avoir des automorphismes non triviaux.
Les Les automorphismes d'un objet (34) sont définis par des
automorphismes de \underline{J}, i.e. deux des sections des
schémas en groupes étales \mathfrak{S}_{\underline{J}}, qui sont
compatibles avec les données b) et c). La compatibilité avec c)
signifie que c'est une section de
\mathfrak{S}_{\underline{J}}^{+} \simeq
\underbrace{S}_{\substack{\text{correspond}\\ \text{à la section}\\
\text{unité des}\\ \text{schémas en groupes}}}
\amalg\ \underline{\omega}_{\underline{J}}
une section qui est \neq \mathrm{id} sur tte fibre géom. revient donc
: une section de \underline{\omega}_{\underline{J}}, soit \rho — de
sorte que \underline{J} devient un torseur sous
(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})_S. La compatibilité avec b)
signifie que t = \rho(t) i.e. que t correspond à
est une section du sous-schéma
\underline{P}_{\underline{J}} \subset \Sigma_{\underline{J}}^*,
\qquad \underline{P}_{\underline{J}} =
\bigl(\Sigma_{\underline{J}}\bigr)^{\mathfrak{S}_{\underline{J}}^{+}}
dès que
un symbole biffé devant S dans la première formule. Dans la
deuxième phrase, l'ajout interligne « … d'un objet (34) … » remplace
le début biffé ; sa lecture est incertaine. La
formule \underline{P}_{\underline{J}} = (\Sigma_{\underline{J}})^{\mathfrak{S}_{\underline{J}}^{+}}
est écrite sous la ligne et entourée.
donc que E est la une courbe elliptique exceptionnelle
hexagonale sur S…
Pour éliminer les automorphismes, il est naturel de combiner l'épinglage de
Legendre avec un épinglage de Fonch Jacobi d'échelon 2, on
trouve l'épinglage de Legendre–Jacobi d'échelon 2, défini par un couple
(k, u), où k est un ép. de Legendre (31), et où u est
\text{(35)} \qquad u : \underline{J} \xleftarrow{\;\sim\;} \{0, 1, \infty\}_S
une trivialisation de \underline{J}, i.e. un isom
\text{(36)} \qquad \Sigma_{\underline{J}} \xleftrightarrow{\;\sim\;} \mathbb{P}^1_S
transformant le diviseur \{0\}_S + \{1\}_S + \{\infty\}_S en
D_{\underline{J}}. La catégorie fibrée des courbes elliptiques munies
d'un tel épinglage est alors rigide, et équivalente à celle définie par les
couples (t, \alpha), où t est une section de U_{0,3}, \alpha une section
de \mu_4^{*} — donc la cat. champ en
« hexagonale » est une lecture incertaine : le mot commence par un
h et finit en -gonale ; c'est ce que le contexte appelle (les
sections de \underline{P}_{\underline{J}}, points fixes de
\mathfrak{S}_{\underline{J}}^{+}, correspondent à la courbe d'invariant
j = 0). Dans (35), la flèche est tracée vers la gauche ; dans (36) elle a
une pointe à chaque bout. Le numéro de (36) surcharge un autre chiffre.
p. 7 de l'auteur.
groupoïdes envisagé est représentable par le schéma
\text{(37)} \qquad U_{03} \times \mu_4^{*}
Le fibré \Delta_E correspondant à la courbe elliptique épinglée
(par Legendre–) universelle sur la base
U_{03} \times \mu_4^{*}, est isomorphe canoniquement à
sur au-dessus de \mu_4^{*}, le fibré en
carrés Q_{0S} (S = U_{03} \times \mu_4^{*}) est trivial, d'où un iso.
can.
\text{(39)} \qquad \Pi_0 \simeq \underline{O}_{U_{0,3}}(1)
La question certaine pour les définitions
Mais il faut expliciter le « » naturel pour ces définitions de
et les groupes épinglées, et examinons son action sur
U_{03} \times \mu_4^{*} ainsi que sur \Pi_0.
avant (38), une première écriture de la formule, où se lisent
U_{0,3}, \Pi_0 =, \underline{O}_{U_{0,3}}(1) et \times \mu, est biffée.
L'exposant que nous rendons ^{\natural} (ici et pages 86, 93 et 96) est un
signe en zigzag, en forme d'éclair, que nous ne savons pas identifier. Le second nom
propre de la parenthèse n'est pas lu ; c'est le même tracé qui, biffé,
précède « Jacobi » page 84.
Considérons une courbe elliptique relative E/S, alors les
données épinglages de Legendre
k : \Delta_{E/S} \simeq \underline{O}_{\Sigma}(1)_t^{\natural} forment les
sections d'un torseur \mathcal{L}_{E/S} sous \mu_{4S} — le
torseur des épinglages de Legendre de E/S. Construction de
torseur par multiplication scalaire de \mu_4 \subset (\mathbb{G}_m \ldots).
On peut le peut décrire ce torseur aussi de la façon
suivante, sans faire intervenir explicitement
\underline{O}_{\Sigma}(1)_t^{\natural}, mais seulement
\underline{O}_{\Sigma}(1)_t. Considérons les isom
\text{(40)} \qquad k' : \Delta_{E/S} \simeq \underline{O}_{\Sigma}(1)_t
tels que k'^{\otimes 2}, interprété comme un
\text{(41)} \qquad T_{\Sigma,t} \simeq T_{\Sigma,t} \wedge^{\{\pm 1\}}
\{\underline{\omega}_{\underline{J}}\}
\quad \text{(évidemment unique)}
un isom. provienne d'une section de \underline{\omega}_{\underline{J}}.
Les isom. forment un torseur les sections d'un torseur
sous \mu_{4S}, soit Q_{E/S} (qu'on peut interpréter comme le schéma des
sommets d'un
dans le premier isomorphisme, un indice biffé après \Sigma. Dans
(41), un k'^{\otimes 2} biffé précède T_{\Sigma,t}, dont l'indice porte
aussi une surcharge ; un symbole biffé devant \underline{\omega}_{\underline{J}}.
L'ordre des ajouts « un isom. » et « Les isom. » autour de (41) est
incertain.
p. 8 de l'auteur.
schéma en carrés combinatoires sur S) dont le schéma des diagonales
s'identifie à \underline{\omega}_{\underline{J}} :
\text{(42)} \qquad \underline{Q}_{E/S}/\mu_2 \simeq \underline{\omega}_{\underline{J}}
Ceci posé, on voit que l'on a un isom can. de (\mu_4)_S-torseurs
\text{(43)} \qquad Q_{E/S} \wedge^{\mu_4} Q_{0S} \simeq \mathcal{L}_{E/S}
i.e.
\mathcal{L}_{E/S} \simeq \underline{\mathrm{Isom}}_{\mu_{4S}\text{-tors.}}
\bigl(Q_{0S}^{-1}, Q_{E/S}\bigr)
On aurait pu définir les épinglages de Legendre de E/S comme les
trivialisations de Q_{E/S}, au lieu de celles de \mathcal{L}_{E/S} —
mais on aurait alors une relation moins avec les épinglages de Jacobi
d'échelon 4.
On voit donc que les épinglages de E/S de Legendre forment
les sections d' un torseur sous \mu_4, telles que le \mu_2-torseur
associé soit can. iso. à \underline{\omega}_{\underline{J}} \wedge \mu_4^{*} ;
\text{(44)} \qquad \mathcal{L}_{E/S}/\mu_2 = \mathcal{L}_{E/S}
\wedge^{\mu_{4S}} \mu_{2S} \simeq
\bigl(\mu_{4S}^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}\bigr)
tandis que les épinglages de Jacobi d'échelon
dans l'isomorphisme qui suit (43), un exposant biffé sur Q_{0S}^{-1}.
Dans (44), un \underline{\omega}_{\underline{J}} biffé précède la
parenthèse.
2 forment les sections d'un torseur sous (\mathfrak{S}_3)_S. Donc les
bi-épinglages forment les sections d'un torseur sous le groupe
constant
\text{(45)} \qquad (\mu_4 \times \mathfrak{S}_3)_S
donc on trouve une action à droite du groupe absolu
(\mu_4 \times \mathfrak{S}_3)_{S_0} sur co- et n'est pas lu ; nous le rendons « … » dans la formule.
p. 9 de l'auteur.
action tautologique de \mathfrak{S}_3, et sur \mu_4^{*} via la
mixte \mathrm{sg}(g) \cdot \lambda^2
(g \in \mathfrak{S}_3, \lambda \in \mu_4). Donc le sous-groupe de
\mathfrak{S}_3 \times \mu_4 qui opère trivialement sur \mu_4^{*} est
\text{(48)} \qquad \mathbb{D}'_{3S_0} = (\mathfrak{S}_3)_{S_0}
\times_{\mu_{2S_0}} (\mu_4)_{S_0}
Si on prend comme base absolue non S_0, mais
\widetilde{S}_0 = (\mu_4^{*})_{S_0}, de sorte que l'on trouve, sur ces
schémas /\widetilde{S}_0 envisagés
\begin{cases}
\mu_{4S}^{*} \text{ muni d'une section canonique } i_S \\
\mu_{4S} \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})_S
\end{cases}
alors le groupe (48) s'identifie au groupe constant sur S
de défini par le groupe ordinaire
\text{(49)} \qquad \mathbb{D}'_3 = \mathfrak{S}_3 \times_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}} (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})
qui est une extension de \mathbb{D}_3 \simeq \mathfrak{S}_3 par
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \simeq \{\pm 1\}
\text{(50)} \qquad 1 \to \{\pm 1\} \to \mathbb{D}'_3 \to \mathbb{D}_3 \to 1 .
action envisagée de \mathfrak{S}_3 \times \mu_4
Dans le cadre envisagé i.e. travaillant sur
\widetilde{S} i.e. un choix fixé de i = \sqrt{-1}, on peut
distinguer
dans (50), le premier terme surcharge un \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.
Le début de l'avant-dernière phrase (« action … de
\mathfrak{S}_3 \times \mu_4 ») est biffé et remplacé par l'interligne
« Dans le cadre … ». Nous rendons par \mathbb{D} la lettre D à double
barre de l'auteur.
les
Revenant au cas de la base absolue S_0, on doit encore expliciter les
opérations de \mu_4 \times \mathfrak{S}_3 sur
\underline{O}_{U_{0,3} \times \mu_4^{*}}(1), via l'action tautologique
résultant de l'action de \mathfrak{S}_3 sur
V_{\{0,1,\infty\}}(\underline{O}_{S_0}) et de \mathfrak{S}_3 et
de \mu_4 sur le facteur \mu_4^{*} d'autre part. On désigne l'action
tautologique d'un (g, \lambda) par
\zeta \in \Gamma\underline{O}_{U_{03}}(1)(A)
dans \underline{O}_{U_{0,3} \times \mu_4^{*}}(1), un symbole biffé
entre \underline{O} et (1) ; dans la dernière formule, l'indice
U_{03} surcharge un autre. La phrase se poursuit page 91.
p. 10 de l'auteur.
(où t : S \to U_{03}), par la substitution ordinaire
(g, \lambda) \cdot \zeta, et on trouve que l'on a, pour l'action
modulaire T_{g,\lambda} sur \zeta :
\begin{aligned}
&\text{(51)} \qquad T_{g,\lambda}\, \zeta = \lambda\, (g,\lambda) \cdot \zeta
&& \zeta \in \Gamma\underline{O}_{U_{03}}(1)(t) \\
&\text{(52)} \qquad T_{g,\lambda}\, \eta = \lambda^2\, (g,\lambda) \cdot \eta
&& \eta \in \Gamma\underline{O}_{U_{0,3}}(2)(t) \\
&\text{(53)} \qquad T_{g,\lambda}(\tau) = \lambda^2\, \mathrm{sg}(g)\, (g,\lambda) \cdot \tau
&& \tau \in \Gamma\,\underline{O}_{U_{03}}(2)(t)
\end{aligned}
Quand on se restreint au sous-groupe \mathbb{D}'_{3S_0}, pour lequel on a
\lambda^2 = \mathrm{sg}(g), on trouve donc par (51), (52), (53)
\begin{aligned}
&\text{(51 bis)} \qquad T_g\, \zeta = \chi_4(g)\, (g \cdot \zeta) \\
&\text{(52 bis)} \qquad T_g\, \eta = \mathrm{sg}(g^{0})\, (g \cdot \eta) \\
&\text{(53 bis)} \qquad T_g(\tau) = g \cdot \tau
\end{aligned}
où g \in \Gamma(\mathbb{D}'_{3S}) pour S sur S_0,
\text{(54)} \qquad \chi_4 : \mathbb{D}'_{3S_0} \to \mu_4
le caractère canonique (de sorte que
\mathbb{D}'_{3\,\mathrm{ab}} \simeq \mu_4).
la parenthèse initiale « (où t : S \to U_{03}) » est écrite au-dessus
de la première ligne et reliée à \zeta par un trait. Dans (51), un mot biffé
suit \lambda ; dans (52), le premier \eta surcharge un \zeta ; dans
(53), le fibré dont \tau est section est surchargé et récrit en dessous,
d'une lecture incertaine (on lit \underline{O}_{U_{03}}(2) et un exposant
biffé). Dans (51 bis), un \lambda biffé suit T_g et un
\mathrm{sg}(g) biffé précède \chi_4(g) ; dans (53 bis), un symbole biffé
précède g \cdot \tau. L'exposant ^{0} de (52 bis) est lu tel qu'il est
écrit.
Ces dernières formules sont surtout intéressantes dans le contexte où on
travaille les la base absolue \widetilde{S}_0 et
avec les structures de Legendre–Jacobi directes, et où le schéma modulaire
U_{03} \times_{S_0} \mu_4^{*} sur S_0 est remplacé par
U_{03\widetilde{S}_0} (= U_{03} \times_{S_0} \mu_4^{*} !) sur
\widetilde{S}_0, et le groupe modulaire
\mathbb{D}_{3S_0} \times_{S_0} \mu_{4S_0} est remplacé par le
sous-groupe \mathbb{D}'_{3\widetilde{S}_0} de
ici un trait horizontal de l'auteur sépare deux développements.
Il faut maintenant définir les épinglages de Jacobi d'échelon 4 relatifs
à ceux d'échelon 2, i.e. des sections qui sont des
sections (variables) de {}_4E \to {}_2E au-dessus de
\underline{J}_E = ({}_2E)^{*}, satisfaisant la condition exprimée
p. 11 de l'auteur.
Mais avant, un commentaire. Quand on donne \underline{J}, rev. cubique
étale de S, et une section t de \Sigma_{\underline{J}}^{*}, dans la
donnée d'une courbe elliptique relative sur S, correspondant ainsi aux
données \underline{J}, t, équivaut à celle d'un module inv. T sur S,
et d'un isom (5)
\text{(*)} \qquad T^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma,t}
Quand on a disposé déjà d'un tel T, soit T_0, dans la catégorie des T
sur S munis de (*) équivaut à celle des \mu_{2S}-torseurs
\underline{\varepsilon} sur S, moyennant l'équivalence
\text{(55)} \qquad \underline{\varepsilon} \longmapsto T = T_0 \wedge^{\mu_{2S}} \underline{\varepsilon}
Ici, on a envie de prendre
\text{(56)} \qquad T_0 = \underline{O}_{\Sigma}(1)(t)^{\natural}
= \underline{O}_{\Sigma}(1)(t) \wedge^{\mu_4} Q_{0S}
mais on a un iso. can.
T_0^{\otimes 2} \simeq \underline{O}_{\Sigma}(2)(t) \wedge^{\mu_2} \mu_4^{*}
\simeq T_{\Sigma,t} \wedge^{\mu_2} \bigl(\mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}\bigr)
et pour avoir un iso. « raisonnable » T_0^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma,t},
il faut se donner un section iso
\alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}_{\underline{J}}
\quad \text{i.e.\ une section de } \mu_4^{*} \wedge \underline{\omega}_{\underline{J}}
(ce qui est une des données indiquées par un épinglage de Legendre
d'une courbe elliptique E/S correspondant à \underline{J}…). Une fois
\alpha fixé, on
le premier « dans » de la deuxième phrase est tel qu'écrit. La
référence « (5) » renvoie à une formule d'un lot antérieur ; le repère
« (*) » est un signe de l'auteur. Devant \alpha, dans la dernière formule,
un signe biffé.
trouve l'isom
k_\alpha : T_0^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma,t}
corr. à \underline{J}, t une courbe elliptique E_\alpha, munie d'un
universelle, corr. à
\underline{J}, t et munie d'un épinglage de Legendre
subordonné à \alpha…
la note marginale est écrite en oblique dans le coin supérieur gauche
et reliée par un trait à « une courbe elliptique E_\alpha » ; sa lecture
est en partie incertaine. Au-dessus de « épinglage », un mot biffé. Avant
(57), une première écriture « \mathcal{L}_\alpha(E) \leftarrow » est biffée.
Le « \alpha » ajouté au-dessus de « section » de l'avant-dernière phrase
est de l'auteur.
trouvant une sol. universelle pour
ici un trait horizontal de l'auteur sépare deux développements.
Explicitons entièrement la notion d'épinglage de Legendre, du point de vue
calculatoire, sur une base réduite à un corps alg. clos k pour simplifier,
en décrivant la courbe elliptique E sur k en termes
\begin{aligned}
&\text{de } \underline{J} \ (= {}_2E(k)^{*}) \text{ (ens.\ à trois éléments)}, \text{ de la}\\
&\text{(58)} \quad k\text{-vectoriel } V_{\underline{J}} = \operatorname{Ker}\bigl(k^{\underline{J}} \xrightarrow{\text{somme}} k\bigr) \text{ (d'où} \\
&\text{(59)} \quad \Sigma_{\underline{J}} = \mathbb{P}^1(V_{\underline{J}}), \text{ avec des } \xi_i \in \Sigma_{\underline{J}}(k) \ (i \in \underline{J}) \text{ distincts,}\\
&\qquad \Sigma_{\underline{J}}^{*} = \Sigma_{\underline{J}} - \{\xi_i\}_{i \in \underline{J}}\text{)}, \text{ et un } t \in \Sigma_{\underline{J}}^{*} \text{ i.e.\ une droite}\\
&\text{(60)} \quad F_t \subset V_{\underline{J}},
\end{aligned}
enfin un k-module inv. \underline{t}_E (= \underline{t}_E) et un
isom
\text{(61)} \qquad \nu \ (= \nu_E) : \underline{t}_E^{\otimes 2} \simeq T_{\Sigma_{\underline{J}},t} .
Il faut d'abord expliciter calculatoirement T_{\Sigma_{\underline{J}},t}
\xi_i = k \cdot (e_j - e_k) ou (e_i) est la base canonique de
V_{\underline{J}}
les données « de \underline{J}… » et « k-vectoriel
V_{\underline{J}}… » sont encadrées sur la page ; nous les
disposons en tableau. Dans (58) un symbole biffé suit le signe = ; dans (59)
l'exposant de \mathbb{P}^1 surcharge un indice. Dans (61) l'indice E de
\nu_E et celui de \underline{t}_E sont surchargés. La note marginale, écrite
de biais à gauche de (59), est d'une lecture incertaine ; « ou » y est tel
qu'écrit, pour « où ». L'ajout « (= \underline{t}_E) » est lu tel quel.
comme
\text{(62)} \qquad
\begin{cases}
T_{\Sigma_{\underline{J}},t} \simeq \underline{O}_t(2)(\underline{\omega}) \\
\text{avec } \underline{O}_t(2) \overset{\mathrm{def}}{\simeq} \underline{O}_t(1)^{\otimes 2},
\quad \underline{O}_t(1) \simeq V_{\underline{J}}/F_t \simeq \check{F}_t(\underline{\omega})
\end{cases}
de sorte que \nu_E s'interprète comme un isom
\text{(63)} \qquad \nu : \underline{t}_E^{\otimes 2} \simeq F_t^{\otimes(-2)}(\underline{\omega})
\qquad \text{ou aussi comme} \qquad
\check{\nu} : \underline{t}^{\otimes -2} \simeq F_t^{\otimes 2}(\underline{\omega})
(NB \underline{\omega} = \underline{\omega}_{\underline{J}}, un des deux ordres
circulaires sur \underline{J}). Les données de base sont donc,
pour nous, \bigl[\underline{J} (\mapsto \underline{\omega} = \underline{\omega}_{\underline{J}},
et V_{\underline{J}} = V_{\underline{J}}(k)),
F_t \hookrightarrow V_{\underline{J}}, \underline{t},
\nu : \underline{t}^{\otimes 2} \simeq F_t^{\otimes(-2)}(\underline{\omega})\bigr].
Ceci posé, la donnée d'un épinglage de Legendre s'explicite comme un isom
\text{(64)} \qquad k : \underline{t} \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{O}_t(1)^{\natural}
i.e. comme une famille d'isomorphismes
\text{(65)} \qquad
\begin{cases}
(k_i)_{i \in \mu_4^{*}}, \quad k_i : \underline{t} \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{O}_t(1) \simeq \check{F}_t(\underline{\omega}) \\
k_{i'} = i\, k_i \qquad \text{si } i' = 1/i \text{ est l'autre élément de } \mu_4^{*}
\end{cases}
ou encore, dans familles
\text{(66)} \qquad
\begin{cases}
(\check{k}_i)_{i \in \mu_4^{*}}, \quad \check{k}_i : \check{\underline{t}} \simeq F_t(\underline{\omega}) \\
\check{k}_{i'} = \tfrac{1}{i}\, \check{k}_i ,
\end{cases}
satisfaisant à une certaine condition :
\text{(67)} \qquad
\begin{cases}
k_i^{\otimes 2} : \underline{t}^{\otimes 2} \xrightarrow{\;\sim\;} \check{F}_t^{\otimes(-2)} \text{ est de la forme} \\
k_i^{\otimes 2}(\delta^{\otimes 2}) = \nu(\delta^{\otimes 2}) \wedge \omega_i
\end{cases}
où \omega_i \in \underline{\omega} est un élément convenable de
\underline{\omega}, bien déterminé non par k, i, en fait par k_i.
\mu_4^{*} = \mu_4^{*}(k), racines d'ordre 4 de k^{*}
dans (63), l'accent de \check{F}_t et l'exposant \otimes(-2) sont
surchargés. Le mot illisible de la liste des données de base est un
symbole barré suivi de « et ». Dans (67), l'accent sur F_t est un
circonflexe surchargé ; la lettre que nous lisons \delta (comme page 97,
où \delta \in \underline{t}^{*}) est tracée ici de façon peu nette, et n'est pas
introduite sur la page.
L'indice i de k_i, \omega_i est écrit avec un point et désigne un
élément de \mu_4^{*}.
On aura donc
\text{(68)} \qquad
\begin{cases}
\omega_{i'} = -\omega_i \\
\text{i.e.\ } i \mapsto \omega_i \text{ est une bijection} \\
\qquad \alpha = \alpha_k : \mu_4^{*} \xrightarrow{\;\sim\;} \underline{\omega}
\end{cases}
On va expliciter la donnée des k, donnant un préalable
\alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega} associé à un isom.
\alpha = (i \mapsto \omega_i) : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega},
via les \check{k}_i. On aura, pour \delta \in \underline{t}^{*}
\text{(69)} \qquad \check{k}_i(\check{\delta}) = \underbrace{\psi_i(\delta)}_{\in F_t} \wedge \omega_i
= \underbrace{\psi^{\omega_i}(\delta)} \wedge \omega_i ,
où
\text{(70)} \qquad \bigl(\psi^{\omega}(\delta)\bigr)_{\omega \in \underline{\omega}} \in (F_t)^{\underline{\omega}}
est une famille qui ex et enfin il faut exprimer (67),
NB Comme la donnée d'une … dans l'iso.
\alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}, les deux relations (67)
…
sous « -\frac{1}{i} » de la condition, l'auteur écrit par une
accolade « i » : -1/i = i dans \mu_4^{*}, d'où (71). Dans (68), un
mot biffé en tête, et un autre après « bijection » ; l'indice de \alpha_k surcharge une autre lettre. La
note marginale, écrite de biais en haut à gauche, n'est lue qu'en partie.
Le \check{\delta} de (69) porte un accent sur la lettre et un point devant
\check{k}.
qui précisément sous forme contragrédiente
\check{k}_i^{\otimes 2}(\check{\delta}^{\otimes 2}) = \check{\nu}(\check{\delta}^{\otimes 2}) \wedge \omega_i ,
en termes des \psi^{\omega}(\delta), comme
\text{(73)} \qquad \psi^{\omega}(\delta)^{\otimes 2} = \check{\nu}(\check{\delta}^{\otimes 2}) \wedge \omega .
On trouve ainsi le
Lemme Les épinglages de Legendre de données
\bigl(\underline{J}, F_t \subset V_{\underline{J}}(k), \underline{t},
\check{\nu} : \check{\underline{t}}^{\otimes 2} \simeq F_t^{\otimes 2}(\underline{\omega})\bigr),
s'identifiant aux systèmes
\bigl(\alpha, (\psi^{\omega}(\delta))_{\omega \in \underline{\omega}}\bigr), où
\alpha : \mu_4^{*} \simeq \underline{\omega}, et où
(\psi^{\omega}(\delta))_{\omega \in \underline{\omega},\, \delta \in \underline{t}^{*}}
\in (F_t)^{\underline{\omega} \times \underline{t}^{*}}
satisfaisant produit \underline{\omega} \times \underline{t}^{*}
est une famille indexée par l'ens. (notons
\underline{\omega} = \underline{\omega}_{\underline{J}}), satisfaisant les
conditions (71) (72) (73).
NB Moyennant (71) (ou (72)), les deux
relations (73), pour les deux él. \omega \in \underline{\omega}, sont
équivalentes, il suffit …
« Lemme » est souligné. Dans l'énoncé, l'ajout interligne, sous un
« satisfaisant » biffé, se lit « pr. \underline{\omega} \times
\underline{t}^{*} » et est lui-même souligné d'un trait qui le barre peut-être.
La note marginale, serrée en haut à droite, est surchargée dans ses deux
dernières lignes. Le mot qui suit « en termes des » n'est pas lu ;
« Moyennant » est une lecture du mot qui ouvre la ligne suivante.
indexée par \underline{\omega} \times \underline{t}^{*} soit une famille
d'éléments de V_{\underline{J}}(k) s'exprime par la formule
\text{(75)} \qquad \sum_{i \in \underline{J}} \psi_i^{\omega}(\delta) = 0
les Si on définit F_t comme deux d'une forme
linéaire sur V_{\underline{J}} , on écrira
(77) \sum_{i \in \underline{J}} \psi_i^{\omega}(\delta)\, e_i —
F_t = \Bigl\{ \sum \lambda_i e_i \Bigm| \sum \lambda_i = 0,\
\sum c_i \lambda_i = 0 \Bigr\}
[NB L'élément (c_i)_{i \in \underline{J}} de k^{\underline{J}} est
déterminé modulo multiplication par k^{*} et addition d'un élément
diagonal], cette la condition \psi^{\omega}(\delta) \in F_t s'exprime
par la condition calculatoire
\text{(78)} \qquad \sum_{i \in \underline{J}} c_i\, \psi_i^{\omega}(\delta) = 0 .
Il reste ensuite à exprimer (73)
(e_i)_{i \in \underline{J}} base canonique de k^{\underline{J}}
le passage biffé entre « la condition (73) » et la formule donnant
F_t occupe deux lignes et une formule numérotée (77), elle aussi biffée ; le
numéro (77) est donc employé deux fois sur la page. Devant l'accolade de
F_t, et devant k^{\underline{J}} dans le NB, un symbole biffé ; dans la
formule de F_t, un facteur biffé après \sum c_i \lambda_i.
IV Descriptions explicites par fonctions
\wp de Weierstrass
titre écrit de la main de l'auteur en haut d'une feuille (page 100 de
l'archive) par ailleurs blanche ; il annonce la suite, qui commence au lot
suivant. Le « \wp » est surchargé sur le mot « fonctions ».